2014届北师大版高中数学必修二(高一)章节测试题：第二章§1.4知能演练轻松闯关

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2014届北师大版高中数学必修二(高一)章节测试题：第二章§1.1知能演练轻松闯关

1．以下两点确定的直线的斜率不存在的是( )A ．(4,2)与(－4,1)B ．(0,3)与(3,0)C ．(3，－1)与(2，－1)D ．(－2,2)与(－2,5)解析：选D.选项D 中两点的横坐标相同，所以这两点确定的直线与x 轴垂直，因此直线的斜率不存在．2．下列叙述中不正确的是( )A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B ．若直线的倾斜角为α，则必有斜率与之对应C ．每一条直线都有唯一的倾斜角与之对应D ．与x 轴垂直的直线的斜率不存在解析：选B.每一条直线都有倾斜角且倾斜角唯一，但并不是每条直线都有斜率；垂直于y 轴的直线的倾斜角为0°，垂直于x 轴的直线的倾斜角为90°；仅当倾斜角α不为90°时，直线的斜率存在，换句话说，当倾斜角为90°时，斜率不存在．故选B.3．直线l 的斜率为k ＝ln 12，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．0°≤α≤90° B ．0°<α≤90°C ．90°≤α<180°D ．90°<α<180°解析：选D.由k ＝ln 12<0及直线倾斜角的范围是[0°，180°)，可知选D. 4．已知直线l 1的倾斜角为α，将直线l 1绕直线与x 轴的交点逆时针旋转45°，得直线l 2，则l 2的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－45°C ．α－135°D ．α＋45°或α－135°解析：选D.当0°≤α＜135°时，l 2的倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，l 2的倾斜角为：α－135°.5．如图所示，直线l 1、l 2、l 3的斜率分别是k 1、k 2、k 3，则( )A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 1＜k 3＜k 2D ．k 3＜k 2＜k 1解析：选C.由图知k 2＞k 3＞0＞k 1.6．已知直线l 的斜率k 满足－1≤k ＜1，则它的倾斜角α的取值范围是________．解析：当0＞k ≥－1时，α∈[135°，180°)；当0≤k ＜1时，α∈[0°，45°)．答案：[0°，45°)∪[135°，180°)7．直线过l 过A ⎝⎛⎭⎫－2，⎝⎛⎭⎫t ＋1t 2，B ⎝⎛⎭⎫2，⎝⎛⎭⎫t －1t 2两点，其中t ≠0，则此直线的斜率为________，倾斜角为________．解析：k AB ＝⎝⎛⎭⎫t －1t 2－⎝⎛⎭⎫t ＋1t 22－(－2)＝－1，由tan α＝－1，得α＝135°.答案：－1 135° 8．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值等于________．解析：三点共线，则k AB ＝k AC ，即22－a＝2－b 2，整理知2a ＋2b ＝ab ，同除以ab ，有2b ＋2a＝1， ∴1a ＋1b ＝12. 答案：129．已知三点A (2,1)，B (－2，m )，C (6,8)在同一条直线上，求m 的值．解：k AB ＝m －1－2－2＝1－m 4，k AC ＝8－16－2＝74. ∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，即1－m 4＝74，∴m ＝－6. 10．已知M (2m ＋3，m )，N (m －2,1)．(1)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为锐角？(2)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为直角？(3)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为钝角？解：当2m ＋3≠m －2，即m ≠－5时，k MN ＝m －1(2m ＋3)－(m －2)＝m －1m ＋5(m ≠－5)． (1)当k MN ＞0，即m －1m ＋5＞0时，解得m ＞1或m ＜－5，直线MN 的倾斜角为锐角． (2)当k MN 不存在，即m ＝－5时，直线MN 的倾斜角为直角．(3)当k MN ＜0时，解得－5＜m ＜1，直线MN 的倾斜角为钝角．1．(2013·九江同文中学期中测试)斜率为2的直线经过(3,5)、(a,7)、(－1，b )三点，则a 、b 的值是( )A ．a ＝4，b ＝0B ．a ＝－4，b ＝－3C ．a ＝4，b ＝－3D ．a ＝－4，b ＝3解析：选C.由斜率公式可得：⎩⎪⎨⎪⎧ 7－5a －3＝2b －5－1－3＝2，解得a ＝4，b ＝－3.2．已知实数x ，y 满足方程x ＋2y ＝6，当1≤x ≤3时，y －1x －2的取值范围是________．解析：y －1x －2的几何意义是过M (x ，y )，N (2,1)两点的直线的斜率，因为点M 在函数x ＋2y ＝6的图像上，且1≤x ≤3，所以可设该线段为AB ，且A (1，52)，B ⎝⎛⎭⎫3，32，由于k NA ＝－32，k NB ＝12，所以y －1x －2的取值范围是(－∞，－32]∪[12，＋∞)．答案：(－∞，－32]∪[12，＋∞) 3．在坐标轴上有一点B ，已知点A (3,4)，且k AB ＝2，求点B 的坐标．解：若点B 在x 轴上，设点B 的坐标为(x,0)，由题意可知4－03－x＝2，解得x ＝1，即B (1,0)．若点B 在y 轴上，设点B 的坐标为(0，y )，由题意可知4－y 3－0＝2，解得y ＝－2，即B (0，－2)，故点B 的坐标为(1,0)或(0，－2)．4．已知两点A (－3,4)，B (3,2)，过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点．(1)求直线l 的斜率k 的取值范围；(2)求直线l 的倾斜角α的取值范围(注：tan 135°＝－1)．解：如图所示，由题意可知k P A ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1. (1)要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．(2)由题意可知，直线l 的倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间，又PB 的倾斜角是45°，P A 的倾斜角是135°，所以α的取值范围是[45°，135°]．。

2014届北师大版高中数学必修二(高一)章节测试题：第二章§1.5知能演练轻松闯关

1．数轴上两点A 、B ，若x A ＝3，|AB |＝5，则x B ＝( )A ．8B ．－2C ．8或－2D ．－8或2解析：选C.∵|AB |＝|x A －x B |＝|3－x B |＝5，∴x B ＝8或－2.2．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( )A.12 .32C.22 .322解析：选D.由点到直线的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2得d ＝|1＋1＋1|1＋1＝32＝322，故选D.3．以A (5,5)、B (1,4)、C (4,1)为顶点的三角形是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选B.∵|AB |＝(5－1)2＋(5－4)2＝17，|AC |＝(5－4)2＋(5－1)2＝17， |BC |＝(1－4)2＋(4－1)2＝18＝32，∴△ABC 为等腰三角形．4．已知两直线l 1：2x ＋3y －3＝0与l 2：mx ＋6y ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离等于( )A.21313 .52613 C.72613 D ．4 解析：选C.∵l 1与l 2平行，∴2m ＝36， ∴m ＝4，l 2的方程为4x ＋6y ＋1＝0.l 1的方程可化为4x ＋6y －6＝0，由两平行线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2，得l 1与l 2间的距离为d ＝|1－(－6)|42＋62＝7213＝71326. 5．(2013·临川一中4月月考)如图，点A 的坐标为(1,0)，点B 在直线y ＝－x 上运动，则当线段AB 最短时，点B 的坐标为( )A ．(0,0)B ．(12，－12) C ．(22，－22) D ．(－12，12) 解析：选B.当AB 与直线y ＝－x 垂直时，线段AB 最短．此时直线AB 的方程为y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x y ＝x －1，得⎩⎨⎧ x ＝12y ＝－12，∴B 点坐标为(12，－12)． 6．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为________．解析：d ＝|0＋0－5|5＝ 5. 答案： 57．已知A (1,1)，B (3,3)，C (2,4)，则△ABC 的面积为________．解析：由两点间距离公式，得|AB |＝22；直线AB 的斜率k AB ＝1，则直线AB 的方程为y －1＝x －1，即x －y ＝0.设点C 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|2－4|2＝2， ∴S △ABC ＝12×22×2＝2. 答案：28．与A (－2,2)，B (2,4)两点等距离，且在x 轴上的点的坐标是________．解析：设点P (x,0)，则|AP |＝(x ＋2)2＋4，|BP |＝(x －2)2＋16，由于|AP |＝|BP |，∴(x ＋2)2＋4＝(x －2)2＋16，解得：x ＝32，∴P (32，0)．答案：(32，0) 9．正方形的中心为(－1,0)，一条边所在直线方程为x ＋3y －5＝0，求其他三条边所在的直线方程．解：正方形的边心距d ＝3105. 设与x ＋3y －5＝0平行的一边为x ＋3y ＋C 1＝0，则|－1＋3×0＋C 1|12＋32＝3105， ∴C 1＝－5(舍去)或C 1＝7，∴x ＋3y ＋7＝0.设与x ＋3y －5＝0垂直的直线为3x －y ＋C 2＝0. ∴|3×(－1)－0＋C 2|(－1)2＋32＝3105，解得C 2＝－3或C 2＝9.∴3x －y －3＝0或3x －y ＋9＝0.∴其他三条边所在直线方程为3x －y －3＝0,3x －y ＋9＝0，x ＋3y ＋7＝0.10．已知直线l ：x ＋y －3＝0，点A (3,2)，B (4,5)，设点P 是直线l 上的动点，求点P 到A 与点B 的距离和的最小值．解：如图所示，作出点A (3,2)关于直线l ：x ＋y －3＝0的对称点A 1，其坐标为(1,0)． ∵|P A |＋|PB |＝|P A 1|＋|PB |，由两点之间线段最短，则当P ，A 1，B 三点共线时距离最短． ∴|BA 1|＝(4－1)2＋(5－0)2＝34，即点P 到点A 与点B 的距离和的最小值为34.1．平面上一点到两个坐标轴和直线x ＋y ＝2的距离都相等，则该点的横坐标为( )A ．2＋ 2B ．2±2C ．±2D ．(2±2)或±2解析：选D.设该点为(m ，n )，则|m |＝|n |＝|m ＋n －2|2.当m ＝n 时，则|m |＝|2m －2|2，解得m ＝2±2；当m ＝－n 时，则|m |＝|－2|2，解得m ＝±2. 2．已知两平行线l 1，l 2分别过点P 1(1,0)，P 2(0,5)，设l 1，l 2之间的距离为d ，则d 的取值范围是________．解析：若两直线的斜率不存在，则d ＝1.若两直线的斜率存在，设两直线的方程为y ＝k (x －1)与y ＝kx ＋5.由平行线之间的距离公式，得d ＝|5＋k |k 2＋1.整理，得(1－d 2)k 2＋10k ＋25－d 2＝0.∵k ∈R ，∴Δ＝100－4(1－d 2)(25－d 2)≥0，解得d 2≤26.又∵d >0，∴0<d ≤26.综上所述，d 的取值范围为0<d ≤26.答案：(0，26]3．直线l 过点P (1,0)，且被两条平行线l 1：3x ＋y －6＝0，l 2：3x ＋y ＋3＝0所截得的线段长为9，求l 的方程．解：若l 的斜率不存在，则l 的方程为x ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，3x ＋y －6＝0，得A (1,3)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋y ＋3＝0，得B (1，－6)． ∴|AB |＝9，符合要求．若l 的斜率存在，设为k ，则l 的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －1)，3x ＋y －6＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋6k ＋3，3k k ＋3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，3x ＋y ＋3＝0，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫k －3k ＋3，－6k k ＋3. ∴|AB |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋6k ＋3－k －3k ＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3k k ＋3－－6k k ＋32 ＝91＋k 2(k ＋3)2. 由|AB |＝9，得1＋k 2(k ＋3)2＝1，∴k ＝－43. ∴l 的方程为y ＝－43(x －1)，即4x ＋3y －4＝0. 综上所述，l 的方程为x ＝1或4x ＋3y －4＝0.4.如图，已知P 是等腰三角形ABC 的底边BC 上一点且不与B 、C两点重合，PM ⊥AB 于M ，PN ⊥AC 于N ，用解析法证明|PM |＋|PN |为定值．证明：过点A 作AO ⊥BC ，垂足为O ，以O 为原点，建立如图所示的直角坐标系，设B (－a,0)，C (a,0)(a ＞0)，A (0，b )(b ＞0)，P (x 1,0)，a ，b 为定值，x 1为参数，－a ≤x 1≤a ，∴直线AB 的方程是bx －ay ＋ab ＝0，直线AC 的方程是bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式，得|PM |＝|bx 1＋ab |a 2＋b 2，|PN |＝|bx 1－ab |a 2＋b 2. ∵a ＞0，b ＞0，－a ≤x 1≤a ，∴ab ＞0，－ab ＜0，∴bx 1＋ab ≥0，bx 1－ab ≤0，∴|PM |＋|PN |＝bx 1＋ab －(bx 1－ab )a 2＋b 2＝2ab a 2＋b2(定值)．。

2014届北师大版高中数学必修二(高一)章节测试题：第一章§2知能演练轻松闯关

1．利用斜二测画法，下列叙述正确的是( ) A ．正三角形的直观图是正三角形 B ．平行四边形的直观图是平行四边形 C ．相等的线段在直观图中仍然相等 D ．全等三角形的直观图一定全等解析：选B.斜二测画法主要保留了原图的三个性质：①保平行；②保共点；③保平行线段的长度比，所以平行四边形的直观图是平行四边形．2．下列说法正确的个数是( ) ①三角形的直观图是三角形； ②正方形的直观图是正方形； ③菱形的直观图是菱形．A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B.斜二测画法保持平行性和相交性不变，即平行直线的直观图还是平行直线，相交直线的直观图还是相交直线，故①正确；但是斜二测画法中平行于y 轴的线段在直观图中长度为原来的一半，故正方形的直观图不是正方形，菱形的直观图也不是菱形，所以②③错．3．如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是图中的( )解析：选A.在斜二测画法所作出的图形中，O ′M ′＝2，因此在平面直角坐标系中相应的OM ＝22，选项中只有A 满足题意，故选A.4．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( )A.1＋22B.2＋22C ．1＋ 2D ．2＋ 2解析：选D.根据平面图形斜二测直观图的画法，所求平面图形为四边形，由“横不变”知，四边形为梯形，且上底边长为1，依据直观图可求得下底边长为1＋2，由直观图的底角为45°知这个梯形为直角梯形，再由“竖取半”知，直腰长为2，∴S ＝1＋1＋22×2＝2＋ 2.5．如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的，其中正确的是( )解析：选A.由题意应看到正方体的上面、前面、和右面，由几何体直观图的画法及直观图中虚线的使用，可知A 正确．6．用斜二测画法画一个水平放置的正五边形的直观图，则得到的图形的各个角__________(填“相等”“不相等”“不全相等”)．解析：通过斜二测画法后，图形的各个角有的变大有的变小，得到的各个角不再全相等．答案：不全相等7.如图所示，△A ′B ′C ′是△ABC 的直观图，且A ′B ′＝A ′C ′，那么△ABC 是________．解析：因为A ′B ′∥x 轴，A ′C ′∥y ′轴，所以AB ∥x 轴，AC ∥y 轴．所以在直角坐标系中，∠BAC ＝90°.又因为A ′B ′＝A ′C ′，所以AC ＝2AB . 所以△ABC 为直角三角形．答案：直角三角形8．如图，△ O ′A ′B ′是水平放置的△OAB 的直观图，则△OAB 的面积是________．解析：按斜二测画法，将直观图中△O ′A ′B ′还原成原图形，即△OAB (如图)，则△OAB 的面积是S ＝12×6×4＝12.答案：129．画出如图中四边形OABC 的直观图(图中数据已给出)．解：以O 为原点，OB 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ，如图所示：作∠C ′O ′B ′＝45°，其中O ′B ′是水平的，O ′B ′＝4，O ′D ′＝3，O ′C ′＝1，过D ′作∠B ′D ′A ′＝135°，使A ′D ′＝1，顺次连接O ′A ′，A ′B ′，B ′C ′，所得四边形即为四边形OABC 的直观图(如图所示)：10．画出底面边长为1.2 cm 的正方形，侧棱均相等且高为1.5 cm 的四棱锥的直观图．解：画法如下：(1)画轴，画x 轴、y 轴、z 轴，∠xOy ＝45°(或135°)，∠xOz ＝90°.(2)画底面，以O 为中心在xOy 平面内，画出正方形的直观图ABCD ，使AB ＝1.2 cm. (3)画顶点，在Oz 轴上截取OP ，使OP ＝1.5 cm.(4)成图，连结P A ，PB ，PC ，PD ，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，即得四棱锥的直观图．1.(2013·焦作水平测试)如图所示是水平放置的三角形的直观图，D 是△ABC 中BC 边的中点，那么AB ，AD ，AC 三条线段在原图形中( )A ．最长的是AB ，最短的是AC B ．最长的是AC ，最短的是AB C ．最长的是AB ，最短的是AD D ．最长的是AD ，最短的是AC解析：选C.由直观图易知AD ∥y ′轴，根据斜二测画法规则，在原图中应有AD ⊥BC ，又因为AD 为BC 边上的中线，所以△ABC 为等腰三角形，AD 为BC 边上的高，则有AB ，AC 相等且最长，AD 最短，比较各选项可知C 正确．2．如图，四边形OABC 是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法，画出这个梯形的直观图O ′A ′B ′C ′，则在直观图中梯形的高为__________．解析：∵OA ＝6，CB ＝2， ∴OD ＝2.又∵∠COD ＝45°， ∴CD ＝2.梯形的直观图如图．则C ′D ′＝1，∴梯形的高C ′E ′＝22. 答案：223．画一个上、下底面边长分别为0.8 cm 、1.5 cm ，高为1.5 cm 的正三棱台的直观图．解：(1)画轴．画x 轴、y 轴、z 轴三轴相交于O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°；(2)画下底面．以O 为中点，在x 轴上截取线段AB ，使AB ＝1.5 cm ，在y 轴上截取线段OC ，使OC ＝383cm ，连接BC ，CA ，则△ABC 为正三棱台的下底面；(3)画上底面．在z 轴上截取线段OO ′，使OO ′＝1.5 cm.过O ′点作O ′x ′∥Ox ，O ′y ′∥Oy .建立坐标系x ′O ′y ′，在x ′O ′y ′中，重复(2)的步骤得上底面A ′B ′C ′(取A ′B ′＝0.8 cm ，O ′C ′＝35cm)．(4)连线成图．连接AA ′，BB ′，CC ′，擦去辅助线，被遮线画为虚线，则三棱台ABC A ′B ′C ′为要求画的三棱台的直观图．4．已知如图，四边形ABCD 的面积为S ，用斜二测画法作出的直观图为四边形A ′B ′C ′D ′，面积为S ′.求S ∶S ′.解：过D ，C 分别作DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，以E 为坐标原点，AB 为x 轴，ED 为y 轴建立坐标系，如图所示：相应的直观图如下图所示：在图1中，四边形ABCD 的面积S ＝S △AOD ＋S 梯形DOFC ＋S △BFC ＝12OA ·OD ＋12(OD ＋CF )·OF＋12BF ·CF ，在图2中，过D ′，C ′分别作D ′M ⊥A ′B ′，C ′N ⊥A ′B ′，则：D ′M ＝O ′D ′·sin 45°＝22·12OD ＝24OD ，C ′N ＝C ′F ′·sin 45°＝22·12CF ＝24CF ，此时S △A ′O ′D ′＝12A ′O ′·D ′M ′＝12A ′O ′·24OD＝28AO ·OD ， S △C ′F ′B ′＝12B ′F ′·C ′N ＝12BF ·24CF ＝28BF ·CF ，过F ′作F ′G ⊥O ′D ′于G ，则F ′G ＝O ′F ′·sin 45°＝OF ·22＝22OF ，因此：S 梯形D ′O ′F ′C ′＝12(D ′O ′＋C ′F ′)·F ′G ＝12⎝⎛⎭⎫12DO ＋12CF·22OF＝28(DO＋CF)·OF，∴四边形A′B′C′D′的面积S′＝S△A′O′D′＋S梯形D′O′F′C′＋S△C′F′B′＝28AO·OD＋28(DO＋CF)·OF＋28BF·CF＝24S，∴S∶S′＝S24S＝2 2.。

2014届北师大版高中数学必修二(高一)章节测试题：第二章§1.2第二课时知能演练轻松闯关

1．下列说法正确的是( ) A.y －y 1x －x 1＝k 是过点(x 1，y 1)且斜率为k 的直线 B ．在x 轴和y 轴上的截距分别是a 、b 的直线方程为x a ＋xb＝1C ．直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点到原点的距离为bD ．不与坐标轴平行或重合的直线方程一定可以写成两点式或斜截式解析：选D.对A ，∵y －y 1x －x 1＝k 表示的直线不包含(x 1，y 1)，∴A 错；对B ，当a 、b 为零时，不能写成x a ＋yb＝1，∴B 错；因为截距与距离不同，∴C 错；只有D 正确．2．若2x 1＋3y 1＝4,2x 2＋3y 2＝4，则过点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的直线方程为( ) A ．2x ＋3y ＝4 B ．2x －3y ＝4 C ．3x ＋2y ＝4 D ．不能确定解析：选A.由于(x 1，y 1)，(x 2，y 2)都满足2x ＋3y ＝4，故A 、B 两点都在直线2x ＋3y ＝4上，故选A.3．直线x a ＋yb＝1过一、二、三象限，则( )A ．a ＞0，b ＞0B ．a ＞0，b ＜0C ．a ＜0，b ＞0D ．a ＜0，b ＜0 解析：选C.根据截距的意义可知a ＜0，b ＞0.4．两直线x m －y n ＝1与x n －ym＝1的图像可能是( )解析：选B.两直线方程可化为y ＝n m x －n 及y ＝m n x －m ，两直线的斜率n m 与mn同号，故倾斜角同为锐角或钝角，因而A ，C ，D 不正确，选B.5．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足( ) A ．m ≠1B ．m ≠－32C ．m ≠0D ．m ≠1且m ≠－32且m ≠0解析：选A.由直线方程的一般式Ax ＋By ＋C ＝0要求A ，B 不同时为0，因此由2m 2＋m －3＝0且m 2－m ＝0，解得m ＝1，所以当m ≠1时，2m 2＋m －3与m 2－m 不同时为0，故选A.6．(2013·宜春高中质检)过点M (1,1)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是________．解析：若直线过原点，则方程为y ＝x .若直线不过原点，设x a ＋ya＝1，将M (1,1)代入得a ＝2，∴直线的方程为x ＋y ＝2.综上所述，所求直线的方程为y ＝x 或x ＋y ＝2. 答案：x －y ＝0或x ＋y －2＝07．过两点(5,7)、(1,3)的直线方程为________；若点(a,12)在此直线上，则a ＝________. 解析：由两点式求得直线方程为y ＝x ＋2，即为x －y ＋2＝0，把点(a,12)代入直线方程可求得a ＝10.答案：x －y ＋2＝0 10 8．(2013·西安交大附中月考)不论k 为何值时，直线(k －1)x ＋y －k ＋1＝0恒过定点________．解析：将直线方程整理得k (x －1)＋y －x ＋1＝0.∵k ∈R ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝0y －x ＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝0. 答案：(1,0)9．一条光线从点A (3,2)发出，经x 轴反射，通过点B (－1,6)，求入射光线和反射光线所在直线的方程．解：∵点A (3,2)关于x 轴的对称点为A ′(3，－2)，由两点式，得直线A ′B 的方程为 y －6－2－6＝x ＋13－(－1) 即2x ＋y －4＝0，同理，点B 关于x 轴的对称点为B ′(－1，－6)，由两点式可得直线AB ′的方程为2x －y －4＝0，故入射光线所在直线的方程为2x －y －4＝0，反射光线所在直线的方程为2x ＋y －4＝0.10．已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限．证明：法一：直线l 的方程可化为y －35＝a ⎝⎛⎭⎫x －15， ∴l 的斜率为a ，且过定点⎝⎛⎫15，35.而点⎝⎛⎭⎫15，35在第一象限，故l 总经过第一象限．法二：直线l 的方程可化为(5x －1)a －(5y －3)＝0. ∵上式对任意的a 总成立，必有⎩⎪⎨⎪⎧5x －1＝05y －3＝0，即⎩⎨⎧x ＝15y ＝35，即l 过定点⎝⎛⎭⎫15，35.而点⎝⎛⎭⎫15，35在第一象限，故l 总经过第一象限．1．方程|x |＋|y |＝1所表示的图形在平面直角坐标系中所围成图形的面积是( ) A ．2 B ．1 C ．4 D. 2 解析：选A.原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1x ≥0y ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1x ≥0y ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝1x ≤0y ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＝1，x ≤0，y ≤0.分别表示四条线段，如图，在坐标系中围成一个边长为2的正方形，故面积为2.2．在直线方程y ＝kx ＋b 中，当x ∈[－3,4]时，恰好y ∈[－8,13]，则此直线的方程为________．解析：由已知得k ≠0，当k ＞0时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－8＝－3k ＋b ，13＝4k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，b ＝1，此时直线方程为y ＝3x ＋1，即3x －y ＋1＝0.当k ＜0时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 13＝－3k ＋b ，－8＝4k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3，b ＝4. 此时直线方程为y ＝－3x ＋4，即3x ＋y －4＝0. 综上，直线的方程为3x －y ＋1＝0或3x ＋y －4＝0. 答案：3x －y ＋1＝0或3x ＋y －4＝0.3．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解：(1)当直线l 过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，显然相等，所以a ＝2，方程为3x ＋y ＝0；当a ≠2时，由a －2a ＋1＝a －2，解得a ＝0，所以直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0.综上所述，所求直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将直线l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)≥0a －2≤0，解得a ≤－1，当a ＝2时，－(a ＋1)＝－3＜0，此时直线过第二象限．综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，－1]．4．给定点B (3,2)，若A 是直线l ：y ＝3x 上位于第一象限内的一点，直线AB 与x 轴的正半轴相交于点C .试探究：△AOC 面积是否具有最小值？若有，求出点A 的坐标；若没有，请说明理由．若点A 为直线y ＝3x 上的任意一点，情况又会怎样呢？解：设A (m,3m )(m ＞0)，C (x,0)(x ＞0)，由A ，B ，C 三点共线得3m －2m －3＝2－03－x ，解得x ＝7m3m －2，∴△AOC 的面积：S ＝12x ·3m ＝21m 26m －4.即21m 2－6Sm ＋4S ＝0.若S 有最小值时，则关于m 的一元二次方程有唯一解，故Δ＝(－6S )2－4×21×4S ＝0，解得S ＝283或S ＝0(舍去)，即△AOC 面积的最小值为283.此时m ＝43，点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，4. 若A 点是直线y ＝3x 上的任意一点，△AOC 面积不具有最小值．因为当A 点无限地接近于原点O 时，△AOC 面积无限地接近于0.。

2014届北师大版高中数学必修二(高一)章节测试题：第一章§4.2(二)知能演练轻松闯关

1．如图所示的正四棱台ABCD A1B1C1D1中，A1D1所在的直线与BB1所在的直线是()A．相交直线B．平行直线C．不垂直的异面直线D．互相垂直的异面直线解析：选C.A1D1∥B1C1∥BC，B1BCC1是梯形，且BB1与B1C1、BC都不垂直．∴A1D1与BB1不垂直，且是异面直线．2．若∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论正确的是()A．OB∥O1B1且OB与O1B1的方向相同B．OB∥O1B1C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行解析：选D.OB与O1B1可以平行，也可以不平行，都能使∠AOB＝∠A1O1B1，故选D.3.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB 1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于()A．45°B．60°C．90°D．120°解析：选B.连接A1B、C1B、A1C1，易证∠A1BC1为异面直线EF与GH所成的角，又因为△BC1A1为等边三角形，所以∠A1BC1＝60°.4．空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是()A．梯形B．矩形C．平行四边形D．正方形解析：选D.∵BD⊥AC且BD＝AC，又F、E、G、H分别为中点，∴FG EH 12BD，HG EF 12AC，∴FG⊥HG且FG＝HG，∴四边形EFGH 为正方形．5．已知m ，n 为异面直线，m 平面α，n 平面β，α∩β＝l ，则l ( )A ．与m ，n 都相交B ．与m ，n 中至少有一条相交C ．与m ，n 都不相交D ．至多与m ，n 中的一条相交解析：选B.法一：若l 与m 、n 都不相交，则由于l 与m 同在α内，l 与n 同在β内，所以l ∥m ，l ∥n ，从而m ∥n ，与m 、n 是异面直线矛盾，因此，l 与m 、n 两条直线中至少有一条相交．法二：由于4个选项只有1项符合题意，故还可利用选项间的逻辑关系来筛选答案．若A 对，则B 也对，因而有2个选项符合题意，矛盾，故可舍去；若C 对，则D 也对，因此C 也应舍去．最后取特例，异面直线m 、n 有可能都与l 相交，故可排除D.6．若a ，b 是异面直线，b ，c 是异面直线，则直线a 与直线c 的位置关系是__________．解析：如图，可借助长方体理解，令a ＝CC 1，b ＝A 1B 1，则BC ，AD ，DD 1均满足题目条件，故直线a 和直线c 的位置关系是平行、相交或异面．答案：平行、相交或异面7．(2013·南昌期中测试)已知AB ∥PQ ，BC ∥QR ，∠ABC ＝30°，则∠PQR 等于__________．解析：根据空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．答案：30°或150°8.如图所示，在正方体ABCD A1B 1C 1D 1中，BD 和B 1D 1是正方形ABCD 和A 1B 1C 1D 1的对角线．则(1)∠DBC 的两边与__________的两边分别平行且方向相同；(2)∠DBC 的两边与__________的两边分别平行且方向相反．解析：(1)因为B 1D 1∥BD ，B 1C 1∥BC 且方向相同，所以∠DBC 的两边与∠D 1B 1C 1的两边分别平行且方向相同．(2)B 1D 1∥BD ，D 1A 1∥BC 且方向相反，所以∠DBC 的两边与∠B 1D 1A 1的两边分别平行且方向相反．答案：(1)∠D 1B 1C 1 (2)∠B 1D 1A 19.如图，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)若四边形EFGH 是矩形，求证：AC ⊥BD .证明：(1)∵E 、F 分别为AB 、BC 中点，∴EF 12AC ，又∵G 、H 分别为CD ，AD 中点，∴GH 12AC ，∴EF GH ，∴E 、F 、G 、H 四点共面，且四边形EFGH 为平行四边形．(2)∵E 、H 分别为AB 、AD 为中点，∴EH ∥BD ，又∵四边形EFGH 是矩形，∴EF ⊥EH ，又∵EF ∥AC ，∴AC ⊥BD .10．如图所示，在三棱锥P -ABC 中，D ，E 是PC 上不重合的两点，F ，H 分别是P A ，PB 上的点，且与点P 不重合．求证：EF 与DH 是异面直线．证明：∵P A ∩PC ＝P ，∴P A ，PC 确定一个平面α.∵E ∈PC ，F ∈P A ，∴E ∈α，F ∈α，∴EF α.∵D ∈PC ，∴D ∈α，且D ∉EF .又PB ∩α＝P ，H ∈PB ，∴H ∉α，DH ∩α＝D ，且DH 与EF 不相交，于是直线EF 和DH 是异面直线．1.如图所示是正三棱锥的展开图(D 、E 分别为PB 、P A 的中点)，则在原正三棱锥中，下列说法正确的是( )A ．直线DE 与AF 相交成60°角B ．直线DE 与AC 相交C ．直线DE 与AB 异面D ．直线AF 与BC 平行解析：选A.将上面的展开图还原成正三棱锥，如图所示，点F 与点P 重合，容易知道在△PDE 中，PD ＝PE ＝DE ，△PDE 是等边三角形，故∠PED ＝60°，即直线DE 与AF 相交成60°角．2.如图所示，在四面体ABCD 中，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，若CD ＝2AB ＝2，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角等于________．解析：如图所示，取H 为DA 的中点，连接FH ，则FH ∥AB ，FH ⊥EF .在Rt △EFH 中，HE ＝1，HF ＝12， ∴∠HEF ＝30°，即EF 与CD 所成的角为30°.答案：30°3.如图所示，P 是△ABC 所在平面外一点，D 、E 分别是△P AB 、△PBC 的重心．求证：DE ∥AC ，DE ＝13AC . 证明：连接PD 并延长交AB 于M ，连接PE 并延长交BC 于N ，则M 为AB 的中点，N 为BC 的中点，∴MN ∥AC ，又PD DM ＝PE EN ＝21，∴DE ∥MN ，∴DE ∥AC .又DE MN ＝PD PM ＝23，∴DE ＝23MN ，又因MN ＝12AC ，∴DE ＝13AC .4.如图，设E 、F 、G 、H 依次是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且AE AB ＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CG CD ＝μ.(1)当λ＝μ 时，求证：四边形EFGH 是平行四边形；(2)当λ≠μ时，求证：①四边形EFGH 是梯形；②三条直线EF 、HG 、AC 交于一点．证明：在△ABD 中，AE AB ＝AH AD ＝λ，故EH λBD .同理FG μBD .由公理4得EH ∥FG ，又可得FG ＝μλEH .(1)若λ＝μ，则FG ＝EH ，故EFGH 是平行四边形．(2)①若λ≠μ，则EH ≠FG ，故EFGH 是梯形．②在平面EFGH 中EF 、HG 不平行，必然相交．设EF ∩HG ＝O ，则由O ∈EF ，EF 平面ABC ，得O ∈平面ABC .同理有O ∈HG 平面ACD .而平面ABC ∩平面ACD ＝AC ，所以O ∈AC ，即EF 、HG 、AC 交于点O .。

2014届北师大版高中数学必修二(高一)章节测试题：第二章§3知能演练轻松闯关

1.在空间直角坐标系中，点P(1，2，3)，过点P作平面xOy的垂线PQ，则Q的坐标为()A．(0，2，0)B．(0，2，3)C．(1,0，3)D．(1，2，0)解析：选D.过P作平面xOy的垂线PQ，则Q点的x坐标，y坐标与P点相同，Q点的z坐标为0，所以Q点的坐标为(1，2，0)．2．在空间直角坐标系中，点A(1，－1,1)与点B(－1，－1，－1)关于________对称() A．x轴B．y轴C．z轴D．原点解析：选B.∵A、B两点的y坐标相同，其他两个坐标均互为相反数，∴A、B两点关于y轴对称．3．设z为任一实数，则点(2,2，z)表示的图形是()A．z轴B．与平面xOy平行的一直线C．平面xOyD．与平面xOy垂直的一直线解析：选D.(2,2，z)表示过点(2,2,0)且与z轴平行的直线，即与平面xOy垂直的直线．4．以A(1,2,1)，B(1,5,1)，C(1,2,7)为顶点的△ABC的形状为()A．等腰三角形B．直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形解析：选B.由空间两点间的距离公式，得|AB|＝(1－1)2＋(2－5)2＋(1－1)2＝3，|BC|＝(1－1)2＋(2－5)2＋(7－1)2＝35，|AC|＝(1－1)2＋(2－2)2＋(7－1)2＝6.因为|BC|2＝|AB|2＋|AC|2，所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形．5．(2013·南昌质检)点M(3，－2,1)关于坐标平面yOz对称的点的坐标是()A．(－3，－2,1) B．(－3,2，－1)C．(－3，－2，－1) D．(－3,2,1)解析：选A.关于yOz平面对称的两个点应该是x坐标互为相反数，y、z坐标不变，故选A.6．(2013·赣州一中质检)在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________．解析：设M的坐标为(0，y,0)，由|MA|＝|MB|得(0－1)2＋(y－0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y ＋3)2＋(0－1)2，整理得6y＋6＝0，∴y＝－1，即点M的坐标为(0，－1,0)．答案：(0，－1,0)7.如图所示，已知正方体ABCD A ′B ′C ′D ′的棱长为1，点M是棱AA ′的中点，点O 是对角线BD ′的中点，则M 点的坐标为________，点O 的坐标为________．解析：根据题中所建空间直角坐标系，可得正方体ABCD A ′B ′C ′D ′各个顶点的坐标分别为A (1,0,0)，B (1,1,0)，A ′(1,0,1)，D ′(0,0,1)．因为点M 是AA ′的中点，点O 是BD ′的中点，所以M (1,0，12)，O (12，12，12)．答案：(1,0，12) (12，12，12) 8．在△ABC 中，如果A (－1,2,3)，B (2，－2,3)，C (12，52，3)，那么AB 边上的中线CD 的长为________．解析：依题意可得AB 边的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，3，所以AB 边上的中线CD 的长为 ⎝⎛⎭⎫12－122＋⎝⎛⎭⎫52－02＋()3－32＝52. 答案：529．如图，正四棱锥S －ABCD 的底面ABCD 的中心为O ，试以O 为原点建立空间直角坐标系Oxyz .解：底面四边形ABCD 为正方形，连接AC 、BD ，∴AC ⊥BD .又SO ⊥平面ABCD ，∴以直线CA 为x 轴，直线OB 为y 轴，直线SO 为z 轴建立空间直角坐标系，如图(1)．或过点O 在平面ABCD 内作与CB 、BA 平行的直线，分别作为x 轴、y 轴，由于SO ⊥平面ABCD ，∴仍以直线SO 为z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz ，如图(2)．10．如图，在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且|CG |＝14|CD |，H 为C 1G 的中点，求|EF |和|GH |.解：法一：由已知条件得|DE |＝12，|DF |＝12|DB |＝22，∴|EF |＝|DE |2＋|DF |2＝14＋24＝32， |C 1G |＝|CC 1|2＋|CG |2＝1＋(14)2＝174， ∴|GH |＝178. 法二：以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系(图略)，那么E (0,0，12)，F (12，12，0)，G (0，34，0)，H (0，78，12)， ∴|EF |＝14＋14＋14＝32， |GH |＝0＋(34－78)2＋14＝178.1．在坐标平面xOy 上，到点A (3,2,5)，B (3,5,1)距离相等的点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个解析：选 D.在坐标平面xOy 上，设点P (x ，y,0)，依题意得(x －3)2＋(y －2)2＋25＝(x －3)2＋(y －5)2＋1，整理得y ＝－12，x ∈R ，所以符合该条件的点有无数个． 2.如图所示，BC ＝4，原点O 是BC 的中点，点A⎝⎛⎭⎫32，12，0，点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，则AD 的长度为________．解析：由于D 在平面yOz 上，所以D 点的横坐标为0，又因为BC＝4，原点O 是BC 的中点，∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，所以D 点的竖坐标为z ＝4·sin 30°·sin 60°＝3，纵坐标为y ＝－(2－4·sin 30°·cos 60°)＝－1，所以D (0，－1，3)，故AD 的长度为 34＋94＋3＝ 6. 答案： 63．在空间直角坐标系中，已知A (2,0,0)，B (0,2,0)，问在直线AB 上是否存在一点P ，使它到定点Q (1,2,3)的距离最小？解：存在．假设在直线AB 上存在适合题意的点P ，∵点A ，B 都在xOy 平面内，∴直线AB 在xOy 平面内，点P 也在xOy 平面内，设P (x ，y,0)．又点P 在直线AB 上，而直线上的点的横坐标和纵坐标满足x ＋y ＝2.∴y ＝2－x ，|PQ |＝(x －1)2＋(y －2)2＋(0－3)2＝(x －1)2＋(2－x －2)2＋9＝ 2⎝⎛⎭⎫x －122＋192， ∴当x ＝12时，|PQ |取得最小值382.此时y ＝32. ∴在直线AB 上存在一点P ⎝⎛⎭⎫12，32，0.使得点P 到Q 的距离最小．4.如图所示，已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，过点B 1作B 1E ⊥BD 1于点E .(1)求A ，E 两点之间的距离；(2)求四棱锥E ABCD 的体积．解：(1)以D 为坐标原点，DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系．如图所示，由题意，得A (a,0,0)，B (a ，a,0)，D 1(0,0，a )，B 1(a ，a ，a )．过点E 作EF ⊥BD 于点F ，则在Rt △BB 1D 1中，|BB 1|＝a ，|BD 1|＝3a ，|B 1D 1|＝2a ，所以|B 1E |＝a ·2a 3a＝6a 3. 在Rt △BEB 1中，|BE |＝|BB 1|2－|B 1E |2＝a 2－⎝⎛⎭⎫63a 2＝3a 3. 由平面几何知识得Rt △BEF ∽Rt △BD 1D ，所以|BF |＝23a ，所以点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫2a 3，2a 3，0，则点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫2a 3，2a 3，a 3.所以由两点间的距离公式，得|AE |＝ ⎝⎛⎭⎫a －2a 32＋⎝⎛⎭⎫0－2a 32＋⎝⎛⎭⎫0－a 32＝63a ，所以A ，E 两点之间的距离为63a . (2)因为ABCD 为边长为a 的正方形，所以S 四边形ABCD ＝a 2，由(1)知E 到平面ABCD 的距离d ＝|EF |＝a 3，所以V E -ABCD ＝13S 四边形ABCD ·d ＝13×a 2×a 3＝a 39. 即四棱锥E -ABCD 的体积为a 39.。

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(北师大版)必修二综合质量评估]

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综合质量评估第一、二章(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2014·银川高一检测)在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是( )【解析】选C.由y=x+a得斜率为1，排除B，D，由y=ax与y=x+a中a同号知，若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上.故选C.2.(2013·新课标全国卷Ⅰ)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π【解析】选A.由三视图可知，该几何体是一个长方体和一个半圆柱组成的几何体，所以体积为〓22〓4〓π+2〓2〓4=16+8π.3.(2014·亳州高一检测)已知A，B，C，D是空间不共面的四个点，且AB⊥CD，AD⊥BC，则直线BD与AC( )A.垂直B.平行C.相交D.位置关系不确定【解析】选A.过点A作AO⊥面BCD，垂足为O，连接BO，CO并延长分别交CD与BD于F，E点，连接DO.因为AB⊥CD，AO⊥CD，所以CD⊥平面AOB，所以BO⊥CD，同理DO⊥BC.所以O为△BCD的垂心，所以CO⊥BD，所以BD⊥AC.故选A.C1中，侧棱AA1⊥底面【变式训练】如图，三棱柱ABC-AA1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是( )1与B1E是异面直线B.AC⊥平面ABB1A1C.AE，B1C1为异面直线D.A1C1∥平面AB1E【解析】选C.A不正确，因为CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线；B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在AC⊥平面ABB1A1；C正确，因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D不正确，因为A1C1所在的平面A1C1CA与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故A1C1∥平面AB1E不正确；故选C.4.(2014·安康高一检测)圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0与圆C2：x2+y2-4x+4y-2=0的位置关系是( )A.相离B.外切C.内切D.相交【解析】选D.圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0，即(x+1)2+(y+4)2=25，表示以A(-1，-4)为圆心，以5为半径的圆.C2：x2+y2-4x+4y-2=0，即(x-2)2+(y+2)2=10，表示以A(2，-2)为圆心，以为半径的圆.两圆的圆心距d==，大于两圆半径之差小于半径之和，故两圆相交，故选D.5.圆(x+2)2+y2=5关于y=x对称的圆的方程为( )A.(x-2)2+y2=5B.x2+(y-2)2=5C.(x+2) 2+(y+2)2=5D.x2+(y+2)2=5【解析】选D.圆(x+2)2+y2=5的圆心(-2，0)关于y=x对称的点的坐标为(0，-2)，故所求圆的方程为x2+(y+2)2=5.【误区警示】本题容易出现因为不会求点关于y=x的对称点而导致出错.6.三棱柱的放置方法如图所示，它的三视图是( )【解析】选A.对于选项A，其主视图是一个矩形，左视图是一个三角形，俯视图是一个矩形，中间应有一条横线，其摆放位置符合要求，故对；对于选项B，俯视图中少了一条横线，不符合三视图的作图规则，不正确；对于选项C，正视图中不应该有横线，故不正确；对于选项D，俯视图不可能是三角形，故不正确.7.(2014·吉安高一检测)已知a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个结论①a∥b，a∥α⇒b∥α；②a⊥b，a⊥α⇒b∥α；③a∥α，β∥α⇒a∥β；④a⊥α，β⊥α⇒a∥β，其中不正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选D.①不正确，b可以在平面α内.②错误，b可能在平面α内.③错误，a可以在β内.④错误，平面β可经过直线a，所以①②③④均不正确.8.在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是( )A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面ABCD.平面PAE⊥平面ABC【解析】选C.由DF∥BC可得BC∥平面PDF，故A正确.若PO⊥平面ABC，垂足为O，则O在AE上，则DF⊥PO，又DF⊥AE，故DF⊥平面PAE，故B正确.由DF⊥平面PAE可得，平面PAE⊥平面ABC，故D正确.故选C.9.(2013·山东高考)过点(3，1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0【解析】选A.由题意可知，A(1，1)是一个切点，根据切线的特点可知过点A，B的直线与过点(3，1)，(1，0)的直线互相垂直，k AB=-=-2，所以直线AB的方程为y-1=-2(x-1)，即2x+y-3=0.10.(2014·西安高一检测)如果函数y=|x|-2的图象与曲线C：x2+y2=λ恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是( )A.{2}∪(4，+∞)B.(2，+∞)C.{2，4}D.(4，+∞)【解析】选A.根据题意画出函数y=|x|-2与曲线C：x2+y2=λ的图象，如图所示，当AB与圆O相切时两函数图象恰好有两个不同的公共点，过O作OC⊥AB，因为OA=OB=2，∠AOB=90°，所以根据勾股定理得：AB=2，所以OC=AB=，此时λ=OC2=2；当圆O半径大于2，即λ>4时，两函数图象恰好有两个不同的公共点，综上，实数λ的取值范围是{2}∪(4，+∞).故选A.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把正确答案填在题中的横线上)11.已知点M(a，b)在圆O：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是________.【解析】点M(a，b)在圆x2+y2=1外⇒a2+b2>1.圆心O(0，0)到直线ax+by=1的距离d=<1=圆的半径，故直线与圆相交.答案：相交12.已知圆O：x2+y2=5和点A(1，2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为____________.【解析】由题意知，点A在圆上，切线斜率为==-，用点斜式可直接求出切线方程为：y-2=-(x-1)，即x+2y-5=0，从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和，所以所求面积为〓〓5=.答案：13.过点P(-1，6)且与圆(x+3)2+(y-2)2=4相切的直线方程是____________________.【解析】画出草图可知直线x=-1是一条切线，设另一条为y-6=k(x+1)，则y-kx-6-k=0.由2=得k=，可知答案.答案：x=-1或4y-3x-27=0【误区警示】本题易忽略斜率不存在的情况，而忘记考虑直线x=-1.14.(2013·安徽高考)如图，正方体ABCD-AC1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号).①当0<CQ<时，S为四边形；②当CQ=时，S为等腰梯形；③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=；④当<CQ<1时，S为六边形；⑤当CQ=1时，S的面积为.【解析】①当0<CQ<时，截面如图1所示，截面是四边形APQM，故①正确；②当CQ=时，截面如图2所示，易知PQ∥AD1且PQ=AD1，S是等腰梯形，故②正确；③当CQ=时，截面如图3所示，易得C1R=，截面是五边形；④当<CQ<1时，如图4是五边形；故④不正确；⑤当CQ=1时，截面是边长相等的菱形，如图5所示，由勾股定理易求得AC1=，MP=，故其面积为S=AC1〓MP=.答案：①②③⑤15.(2014·镇江高一检测)从直线3x+4y+8=0上一点P向圆C：x2+y2-2x-2y+1=0引切线PA，PB，A，B为切点，则四边形PACB的周长最小值为________.【解析】由圆C：x2+y2-2x-2y+1=0得(x-1)2+(y-1)2=1，所以圆心C(1，1)，半径r=1.因为PA，PB是☉C的切线，则CA⊥PA，CB⊥PB，所以|PA|=|PB|==，所以四边形PACB的周长l=2+2，因此当PC垂直于直线3x+4y+8=0时，PC取得最小值，此时|PC|==3，所以四边形PACB的周长l的最小值=2+2=4+2.答案：4+2三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(2014·宝鸡高一检测)已知两直线l1：2x-y+7=0，l2：x+y-1=0，A(m，n)是l1和l2的交点.(1)求m，n的值.(2)求过点A且垂直于直线l1的直线l3的方程.(3)求过点A且平行于直线l：2x-3y-1=0的直线l4的方程.【解析】(1)因为A(m，n)是l1和l2的交点，所以解得(2)由(1)得A(-2，3).因为=2，l 3⊥l1，所以=-，由点斜式得，l3：y-3=-(x+2)，即l3：x+2y-4=0.(3)因为l 4∥l，所以k l==，由点斜式得，l4：y-3=(x+2)，即2x-3y+13=0.17.(12分)(2013·辽宁高考)如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点.(1)求证：BC⊥平面PAC.(2)设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC. 【证明】(1)由AB是圆的直径，得AC⊥BC；由PA垂直于圆所在的平面，得PA⊥平面ABC；由BC平面ABC，得PA⊥BC；又PA∩AC=A，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC⊥平面PAC.(2)连接OG并延长交AC于M，连接QM，QO.由G为△AOC的重心，知M为AC的中点，由Q为PA的中点，得QM∥PC，又因为QM⊈平面PBC，PC平面PBC，所以QM∥平面PBC.又由O为AB的中点，则OM∥BC.同理可证，OM∥平面PBC.因为QM∩OM=M，QM平面QMO，OM平面QMO，所以，据面面平行的判定定理，平面QMO∥平面PBC，又QG平面QMO，故QG∥平面PBC.18.(12分)(2014·商州高一检测)已知圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切；②在直线y=x上截得弦长为2；③圆心在直线x-3y=0上，求圆C的方程. 【解析】所求的圆C与y轴相切，又与直线y=x相交，设交于A，B两点，因为圆心C在直线x-3y=0上，所以设圆心C(3a，a)，又圆与y轴相切，所以R=3|a|.又圆心C到直线x-y=0的距离|CD|==|a|.因为在Rt△CBD中，R2-|CD|2=()2，所以9a2-2a2=7，a2=1，a=〒1，3a=〒3，所以圆心的坐标C分别为(3，1)和(-3，-1)，故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.19.(12分)(2014·陕西高考)四面体ABCD及其三视图如图所示，过AB的中点E 作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.(1)求四面体ABCD的体积.(2)证明：四边形EFGH是矩形.【解题指南】(1)先利用三视图推得线线垂直进而得AD垂直于平面BDC，确定四面体的高后再求其体积.(2)先证得四边形EFGH为平行四边形，再证得此平行四边形的邻边相互垂直，注意从三视图中推得已知.【解析】(1)由该四面体的三视图可知，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD=DC=2，AD=1，所以AD⊥平面BDC.所以四面体ABCD的体积V=〓〓2〓2〓1=.(2)因为BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC=FG，平面EFGH∩平面ABC=EH，所以BC∥FG，BC∥EH，所以FG∥EH.同理EF∥AD，HG∥AD，所以EF∥HG，所以四边形EFGH是平行四边形.又因为AD⊥平面BDC，所以AD⊥BC，所以EF⊥FG，所以四边形EFGH是矩形.20.(13分)圆(x+1)2+y2=8内有一点P(-1，2)，AB过点P，(1)若弦长|AB|=2，求直线AB的倾斜角α.(2)若圆上恰有三点到直线AB的距离等于，求直线AB的方程.【解析】(1)当直线AB斜率不存在时，AB的直线方程为x=-1，与圆的交点坐标A(-1，2)，B(-1，-2)，则|AB|=4(不符合条件).当直线AB斜率存在时，设AB的直线方程为y=k(x+1)+2，圆心到直线AB的距离d=，又d==1，所以=1，即k=〒.所以直线AB的倾斜角α为或.(2)要满足圆上恰有三点到直线AB的距离等于，则圆心到这条直线的距离应为，当直线AB斜率不存在时，AB的直线方程为x=-1，直线过圆心(不符合条件)，当直线AB斜率存在时，设AB的直线方程为y=k(x+1)+2，d==，即k=〒1，所以直线AB的方程为y=x+3或y=-x+1.【变式训练】设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是关于x 的方程x2+x+c=0的两个实数根，且0≤c≤，求这两条直线之间距离的最大值和最小值.【解析】由题意a+b=-1，ab=c，所以 (a-b)2=1-4c，所以≤(a-b)2≤1，因为两平行线间距离d=，所以d2=∈，所以d∈，所以d的最大值为，最小值为.21.(14分)已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y 轴交于点O，B，其中O为原点.(1)求证：△OAB的面积为定值.(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M，N，若OM=ON，求圆C的方程.【解析】(1)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey=0，由于圆心C，所以D=-2t，E=-，令y=0得x=0或x=-D=2t，所以A(2t，0)，令x=0得y=0或y=-E=，所以B，所以S△OAB=|OA|·|OB|=·|2t|·=4(定值).(2)因为OM=ON，所以O在MN的垂直平分线上，而MN的垂直平分线过圆心C，所以k OC=，所以=，解得t=2或t=-2，而当t=-2时，直线与圆C不相交，所以t=2，所以D=-4，E=-2，所以圆的方程为x2+y2-4x-2y=0.关闭Word文档返回原板块。

2014届北师大版高中数学必修二(高一)章节测试题：模块综合检测

一、选择题(本大题共10小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．过点P (1，－2)，斜率为3的直线方程是( )A ．y －2＝3(x －1)B ．y －1＝3(x ＋2)C ．y ＋2＝3(x －1)D ．y ＋2＝－3(x －1)解析：选C.利用点斜式写出直线方程：y －(－2)＝3(x －1)，即y ＋2＝3(x －1)，故选C.2．下列说法不正确的是( )A ．一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B ．同一平面的两条垂线一定共面C ．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直解析：选D.A 项是平行四边形的判定定理，正确．B 项中，同一平面的两条垂线平行，所以一定在同一平面内，故B 正确．C 项过直线上一点与这条直线垂直的直线都在这条直线过该点的垂面内，C 正确．D 项中，若直线与已知平面垂直，则有无数个平面过已知直线且与已知平面垂直，故D 不正确．3．一束光线自点P (1,1,1)发出，被xOy 平面反射到达点Q (3，3,6)后被吸收，那么光线所走的路程是( ) A.57 B.47C.37D.33解析：选A.点P (1,1,1)关于xOy 平面的对称点P ′的坐标为(1,1，－1), 由两点间的距离公式，得|P ′Q |＝(3－1)2＋(3－1)2＋(6＋1)2＝57，由对称性知光线所走路程等于|P ′Q |的长．4．体积为33的正方体内接于球，则球的体积为( )A ．36π B.272π C.92π D ．9π 解析：选C.设正方体的棱长为a ，则a 3＝33，a ＝ 3.又∵2R ＝3a ，∴R ＝32a .故V ＝43πR 3＝92π.所以选C.5．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A ．3 B. 3C ．3 3D ．3＋4 3解析：选D.由三视图可知，该空间几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，三棱柱的底面直角三角形的边长分别为1和3，三棱柱的高为3，故该几何体的表面积为2×12×3×1＋(1＋3＋3＋1)×3＝3＋4 3.6．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别为D 1D 和DC 的中点，则BC 1与PQ 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．45°解析：选B.如图所示，由正方体的性质易知BC 1∥AD 1，因为P ，Q 为D 1D 与DC 的中点，所以PQ ∥D 1C ，所以∠AD 1C 即为BC 1与PQ 的夹角．因为△ACD 1为正三角形，所以∠AD 1C ＝60°，即PQ 与BC 1的夹角为60°.7．过点A (－2,2)，且在两坐标轴上截距相等的直线方程是( )A ．x ＋y ＝0B ．x ＝－2或y ＝2C ．x －y ＋22＝0D ．x ＋y ＝0或x －y ＋22＝0解析：选A.代入点A (－2,2)可排除C 、D 两项，又x ＝－2或y ＝2是两条直线，且每一条都仅有一个截距，所以B 项错．8．圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最小值是( )A ．0B ．1＋ 2C ．22－2D ．2－ 2解析：选A.∵圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0和直线x －y ＝2相交，∴最小距离是0.9．已知一圆与直线3x ＋4y ＋5＝0相切于点(1，－2)，且圆心在直线x ＋y ＋92＝0上，则圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＋x －8y ＋10＝0B ．x 2＋y 2＋x ＋8y ＋10＝0C ．x 2＋y 2－x －8y ＋10＝0D ．x 2＋y 2－x －8y －10＝0解析：选B.过点(1，－2)与直线3x ＋4y ＋5＝0垂直的直线方程为4x －3y －10＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －10＝0，x ＋y ＋92＝0，解得圆心的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，－4，且r ＝⎝⎛⎭⎫1＋122＋(－2＋4)2＝52，所以圆的方程为x 2＋y 2＋x ＋8y ＋10＝0.10．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，BD 1与A 1D 所成的角为α1，AB 1与BC 1所成的角为α2，AA 1与BD 1所成的角为α3，则有( )A ．α3<α2<α1B ．α2<α3<α1C ．α2<α1<α3D ．α3<α1<α2解析：选A.连接AD 1，因为BA ⊥平面A 1ADD 1，所以AD 1为BD 1在平面A 1ADD 1上的射影，如图所示，因为A 1D ⊥AD 1，所以A 1D ⊥BD 1，即α1＝90°.因为AD 1∥BC 1，所以AD 1与AB 1所成的角即为BC 1与AB 1所成的角．连接B 1D 1.因为△AB 1D 1为等边三角形，所以α2＝60°.因为BB 1∥AA 1，所以BB 1与BD 1所成的角即为AA 1与BD 1所成的角．在Rt △BB 1D 1中，tanα3＝B 1D 1BB 1＝2，所以45°<α3<60°，所以α3<α2<α1. 二、填空题(本大题共5小题．把答案填在题中横线上)11．在空间直角坐标系中，已知M (2,0,0)，N (0,2,10)，若在z 轴上有一点D 满足|MD |＝|ND |，则点D 的坐标为________．解析：设D (0,0，z )，由|MD |＝|ND |，可解得z ＝5，故选A.答案：512.如图所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于__________．解析：因为EF ∥平面AB 1C ，而过EF 的平面ABCD 与平面AB 1C 交于AC ，所以EF ∥AC ，又因为点E 为AD 的中点，所以EF ＝12AC ＝1222＋22＝ 2. 答案： 213．若直线x ＋ay ＋2＝0和2ax ＋3y ＋1＝0互相垂直，则a 等于__________．解析：a 应满足：1×2a ＋a ×3＝0，即5a ＝0，∴a ＝0.答案：014．(2012·高考江西卷)过直线x＋y－22＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．解析：∵点P在直线x＋y－22＝0上，∴可设点P(x0，－x0＋22)，且其中一个切点为M.∵两条切线的夹角为60°，∴∠OPM＝30°.故在Rt△OPM中，有OP＝2OM＝2.由两点间的距离公式得OP＝x20＋(－x0＋22)2＝2，解得x0＝ 2.故点P的坐标是(2，2)．答案：(2，2)15．过△ABC所在平面外一点P，作PO⊥平面ABC，垂足为O，连接P A，PB，PC.①若P A＝PB＝PC，∠ABC＝90°，则O为AB边的中点；②若P A＝PB＝PC，则O为△ABC的外心；③若P A⊥PB，PB⊥PC，PC⊥P A，则O为△ABC的垂心；④若P A⊥BC，PB⊥AC，则PC⊥AB；⑤若P A＝PC，AB＝BC，则PB⊥AC.以上五种说法中正确的是__________．解析：∵P A＝PB＝PC，PO⊥平面ABC，∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，∴OA＝OB ＝OC，∴O为△ABC的外心，故①②均正确；∵P A⊥PB，PB⊥PC，且P A∩PC＝P，∴PB ⊥平面P AC.∴PB⊥AC.又∵PO⊥AC，∴AC⊥平面POB，∴BO⊥AC.同理可证AO⊥BC，因而O为△ABC的垂心；类似于③可以证明④正确；对于⑤，取AC中点为M，可得PM⊥AC，BM⊥AC，且PM∩BM＝M，∴AC⊥平面PMB，∴AC⊥PB.故⑤也正确．答案：①②③④⑤三、解答题(本大题共5小题．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.如图，在正方体ABCD-AB1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．(1)证明：AD⊥D1F；(2)求AE与D1F所成的角．解：(1)证明：因为AC1是正方体，所以AD⊥面DC1.又D1F DC1，所以AD⊥D1F.(2)取AB的中点G，连接A 1G，FG，因为F是CD的中点，所以GF AD，又A1D1AD，所以GF A1D1，故四边形GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F.设A1G与AE相交于H，则∠A1HA是AE与D1F所成的角．因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌△ABE，∠GA1A＝∠GAH，从而∠A1HA＝90°，即直线AE与D1F所成的角为直角．17．已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0(m∈R)．(1)判断直线l与圆C的位置关系；(2)设直线l与圆C交于A，B两点，若直线l的倾斜角为120°，求弦AB的长．解：(1)直线l可改写为y－1＝m(x－1)，因此直线l过定点D(1,1)，又12＋(1－1)2＝1<5，所以点D在圆C内，则直线l与圆C必相交．(2)由题意知m≠0，所以直线l的斜率k＝m.又k＝tan 120°＝－3，即m＝－ 3.此时，圆心C(0,1)到直线l：3x＋y－3－1＝0的距离d ＝|－3|(3)2＋12＝32，又圆C 的半径r ＝5，所以|AB |＝2r 2－d 2＝25－⎝⎛⎭⎫322＝17. 18．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，且A 1M ＝AN .(1)求证：MN ∥平面BB 1C 1C ；(2)当A 1M ＝AN ＝23a 时，求MN 的长．解：(1)证明：如图所示，作MP ∥AB 交BB1于P ，NQ ∥AB 交BC 于Q ，所以MP ∥NQ .因为PM A 1B 1＝BM A 1B ，即PM a ＝BM 2a .又因为NC AC ＝NQ AB ，所以NC 2a ＝NQ a，所以PM ＝NQ ，所以四边形MPQN 是平行四边形，所以MN ∥PQ .又因为PQ 平面BB 1C 1C ，所以MN ∥平面BB 1C 1C .(2)由题设AN ＝A 1M ＝23a ，所以BQ ＝a 3＝PB 1，所以BP ＝23a ，所以MN ＝PQ ＝BP 2＋BQ 2＝53a . 19．一个简单多面体的直观图和三视图如图所示，它的主视图和左视图都是腰长为1的等腰直角三角形，俯视图为正方形，E 是PD 的中点．(1)求证：PB ∥平面ACE ；(2)求证：PC ⊥BD ；(3)求三棱锥C -P AB 的体积．解：(1)证明：连接BD ，BD ∩AC ＝O ，连接OE ，易知OE 是△BPD 的中位线， ∴BP ∥OE .OE 平面ACE ，PB ⃘平面ACE ，∴PB ∥平面ACE .(2)证明：俯视图为正方形，即ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD .∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥BD .P A ∩AC ＝A ，BD ⊥平面P AC ，PC 平面P AC ，∴PC ⊥BD .(3)易知正方形ABCD 的边长为1，P A ＝1，V C -P AB ＝V P -ABC ＝13×12×1×1×1＝16. 20．已知坐标平面上点M (x ，y )与两个定点M 1(26,1)，M 2(2,1)的距离之比等于5.(1)求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中的轨迹为C ，过点M (－2,3)的直线l 被C 所截得的线段的长为8，求直线l 的方程．解：(1)由题意，得|M 1M ||M 2M |＝5， (x －26)2＋(y －1)2(x －2)2＋(y －1)2＝5，化简，得x 2＋y 2－2x －2y －23＝0.即(x －1)2＋(y －1)2＝25. ∴点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －1)2＝25，轨迹是以(1,1)为圆心，以5为半径的圆．(2)当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝－2，此时所截得的线段的长为252－32＝8，∴l ：x ＝－2符合题意．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，圆心到l 的距离d ＝|3k ＋2|k 2＋1. 由题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎫|3k ＋2|k 2＋12＋42＝52.解得k ＝512. ∴直线l 的方程为512x －y ＋236＝0，即5x －12y ＋46＝0. 综上，直线l 的方程为x ＝－2或5x －12y ＋46＝0.。

2014届北师大版高中数学必修二(高一)章节测试题：第二章§2.1知能演练轻松闯关

1．(2013·西安交大附中月考)以点(－2，－2)为圆心，3为半径的圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －2)2＝3B ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝3C ．(x －2)2＋(y －2)2＝ 3D ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝ 3解析：选B.根据圆的标准方程可得出圆的方程：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝3，故选B.2．圆(x ＋2)2＋(y －3)2＝2的圆心和半径分别是( )A ．(2，－3)， 2B ．(2，－3)，2C ．(－2,3)， 2D ．(－2,3)，2解析：选C.由圆的标准方程中a ，b ，r 的意义可知，圆心为(－2,3)，半径r ＝ 2.3．点(5a ＋1,12a )在圆(x －1)2＋y 2＝1的内部，则实数a 的取值范围是( )A ．|a |<1B ．a <113C ．|a |<15D ．|a |<113解析：选D.由(5a ＋1－1)2＋(12a )2<1，得|a |<113. 4．过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x －1)2＋(y －1)2＝4C ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4解析：选B.设圆心为(a ，b )，半径为r ，则圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －2＝0(1－a )2＋(－1－b )2＝r2(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝1r ＝2，故选B.5．已知动点M 到定点(8,0)的距离等于动点M 到定点(2,0)的距离的2倍，那么点M 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝32B ．x 2＋y 2＝16C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：选B.设M (x ，y )，则(x －8)2＋y 2＝2(x －2)2＋y 2，化简得x 2＋y 2＝16.6．与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝6同心且过点P (－1,1)的圆的方程是________．解析：可设方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝r 2.由点P (－1,1)在圆上得r 2＝(－1－2)2＋(1＋3)2＝25，∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25.答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝257．(2013·赣州一中质检)圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝5关于原点对称的圆的方程为________．解析：圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝5的圆心是(2，－1)，(2，－1)关于原点对称的点的坐标是(－2,1)，故所求圆的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5.答案：(x ＋2)2＋(y －1)2＝58．圆C ：(x －4)2＋(y －2)2＝5上各点到点P (2,2)距离的最小值为________，最大值为________．到点Q (－2,2)距离的最小值为________，最大值为________．解析：因为r ＝5，圆心坐标为C (4,2)，|PC |＝(4－2)2＋(2－2)2＝2<r ，所以点P 在圆内，圆上各点到点P 距离的最小值为5－2，最大值为5＋2；又|QC |＝(4＋2)2＋(2－2)2＝6>r ，所以点Q 在圆外，圆上各点到点Q 距离的最小值为6－5，最大值为6＋ 5.答案：5－2 5＋2 6－5 6＋ 59．已知直线l 与圆C 相交于点P (1,0)和点Q (0,1)．(1)求圆心所在的直线方程；(2)若圆C 的半径为1，求圆C 的方程．解：(1)PQ 的方程为x ＋y －1＝0.PQ 的中点为M (12，12)，k PQ ＝－1，所以圆心所在的直线方程为y ＝x .(2)由条件设圆的方程为：(x －a )2＋(y －b )2＝1，由圆过P ，Q 点得：⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋b 2＝1(－a )2＋(1－b )2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1，所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝1或(x －1)2＋(y －1)2＝1.10．如果实数x ，y 满足方程(x －3)2＋(y －4)2＝4，求x 2＋y 2的最大值与最小值．解：设d 2＝x 2＋y 2，则x 2＋y 2的几何意义是圆上任意一点到原点距离的平方．如图所示，显然原点O 和圆心C 的连线与圆的交点到原点的距离的平方即为所求最值．又|OC |＝32＋42＝5，∴|OP 1|＝|OC |－|P 1C |＝5－2＝3，|OP 2|＝|OC |＋|CP 2|＝5＋2＝7，∴|OP 1|2＝9，|OP 2|2＝49.∴x 2＋y 2的最小值为9，最大值为49.1．设P (x ，y )是曲线x 2＋(y ＋4)2＝4上任意一点，则(x －1)2＋(y －1)2的最大值为( ) A.26＋2 B.26C ．5D ．6解析：选A.x 2＋(y ＋4)2＝4表示以C (0，－4)为圆心，2为半径的圆，式子(x －1)2＋(y －1)2表示圆上的点P (x ，y )到点A (1,1)的距离，即求P 点到A 点距离的最大值．∵A 点在圆C 外，∴|AC |＝1＋(1＋4)2＝26.∴最大值为26＋2.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．解析：由题意可知，圆心为(0,0)，半径为2.若圆上有四个点到直线的距离为1，则需圆心(0,0)到直线12x －5y ＋c ＝0的距离小于1，即d ＝|c |122＋52＝|c |13＜1，得|c |＜13，所以c 的取值范围是(－13,13)．答案：(－13,13)3．求过点A (6,0)，B (1,5)，且圆心在直线l ：2x －7y ＋8＝0上的圆的方程．解：法一：直线AB 的斜率k ＝－1，所以AB 的垂直平分线m 的斜率为1，AB 的中点的横坐标和纵坐标分别为x ＝72，y ＝52. 因此直线m 的方程为y －52＝x －72，即x －y －1＝0. 又圆心在直线l 上，所以圆心是直线l 与直线m 的交点，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －1＝02x －7y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝2，所以圆心的坐标是C (3,2)，半径r ＝|CA |＝13，所以圆的方程是(x －3)2＋(y －2)2＝13.法二：由于圆心在直线l ：2x －7y ＋8＝0上，所以可设圆心的坐标为(a ，2a ＋87)，由题意，得(a －6)2＋(2a ＋87－0)2＝(a －1)2＋(2a ＋87－5)2，解得a ＝3，所以圆心的坐标为(3,2)，所以r 2＝(3－6)2＋(2－0)2＝13，所以所求圆的标准方程为(x －3)2＋(y －2)2＝13.4．如图，直角三角形ABC 的顶点坐标A (－2,0)，直角顶点B (0，－22)，顶点C 在x 轴上，点M 为线段AC 的中点，且M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心．(1)求BC 边所在直线方程；(2)求圆M 的方程；(3)求圆M 关于直线l ：x －y －4＝0的对称圆M ′的方程．解：(1)∵A (－2,0)，B (0，－22)，∴k AB ＝22－2＝－ 2. ∵AB ⊥BC ，∴k BC ＝－1k AB ＝22. 又∵直线BC 过B (0，－22)，∴BC 所在直线方程为y －(－22)＝22(x －0)，即y ＝22x －2 2. (2)由(1)可得，直线BC 的方程为y ＝22x －22，当y ＝0时，x ＝4，∴C (4,0)．∵M 为AC 中点，∴M (1,0)，∴r ＝|AM |＝3，∴圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝9.(3)设M ′(a ，b )，则M ′满足：⎩⎨⎧ a ＋12－b 2－4＝0b a －1×1＝－1，即：⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝7b ＝－(a －1)，解得：a ＝4，b ＝－3， ∴圆M 关于l ：x －y －4＝0的对称圆M ′为(x －4)2＋(y ＋3)2＝9.。

2014届北师大版高中数学必修二(高一)章节测试题：第二章§1.3知能演练轻松闯关

1．经过A (3,1)，B (－2,0)两点的直线与直线y ＝15x ＋1的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直C ．重合D ．不确定解析：选A.直线AB 的方程为：y －0＝1－03－(－2)·(x ＋2)，即y ＝15x ＋25.此时，两直线斜率相等，但在y 上的截距不等，故两直线平行．2．已知直线l 1的倾斜角为45°，直线l 2过点A (1,2)，B (－5，－4)，则l 1与l 2的位置关系是( )A ．平行B ．既不平行也不垂直C ．垂直D ．平行或重合解析：选D.∵kl 1＝tan 45°＝1，kl 2＝2－(－4)1－(－5)＝1， ∴kl 1＝kl 2，故选D.3．已知两条直线y ＝ax －2和y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则a 等于( )A ．2B ．1C ．0D ．－1解析：选D.由题意，知(a ＋2)a ＝－1⇒a 2＋2a ＋1＝(a ＋1)2＝0，∴a ＝－1.故选D.4．(2013·焦作水平测试)过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( )A ．2x ＋y －1＝0B ．2x ＋y －5＝0C ．x ＋2y －5＝0D ．x －2y ＋7＝0解析：选A.设所求直线方程为2x ＋y ＋m ＝0，∵(－1,3)在2x ＋y ＋m ＝0上，∴－2＋3＋m ＝0，∴m ＝－1，∴所求直线为2x ＋y －1＝0，故选A.5．已知两点M (2,2)，N (5，－2)，点P 在x 轴上，且∠MPN ＝90°，则P 点的坐标为( )A ．(1,0)或(6,0)B ．(1,0)或(2,0)C ．(5,0)或(6,0)D ．(2,0)或(－2,0)解析：选A.设P (x,0)，则k PM ＝2－02－x ＝22－x， k PN ＝－2－05－x ＝2x －5， ∵PM ⊥PN ，∴22－x ·2x －5＝－1，即x 2－7x ＋6＝0，∴x ＝1或6，即P (1,0)或(6,0)．6．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2∶2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k ＝________. 解析：∵l 1∥l 2，∴－2(k －3)－2(k －3)(4－k )＝0，且(4－k )3＋2×1≠0，即－2(k －3)(5－k )＝0，且k ≠143，解得k ＝3或k ＝5.答案：3或57．已知矩形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (0,1)，B (1,0)，C (3,2)，求第四个顶点D 的坐标为________．解析：设第四个顶点D 的坐标为(x ，y )，∵AD ⊥CD ，AD ∥BC ，∴k AD ·k AB ＝－1，且k AD ＝k BC .∴⎩⎪⎨⎪⎧ y －1x －0·0－11－0＝－1，y －1x －0＝2－03－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3. ∴第四个顶点D 的坐标为(2,3)．答案：(2,3)8．已知点A (0,1)，点B (x ，y )的坐标满足x ＋y ＝0，若AB ⊥OB (O 是原点)，则B 的坐标为________．解析：设B (x ，－x )，则k AB ＝1＋x －x，k OB ＝－1， ∵k AB ·k OB ＝－1，∴1＋x －x·(－1)＝－1，∴x ＝－12， ∴B (－12，12)．答案：(－12，12) 9．求过点P (1，－1)，且与直线l 2：2x ＋3y ＋1＝0垂直的直线方程．解：设直线方程为3x －2y ＋m ＝0，将点P (1，－1)代入，得3×1－2×(－1)＋m ＝0，解得m ＝－5.所以所求直线方程为3x －2y －5＝0.10．已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)试判断l 1与l 2是否平行；(2)l 1⊥l 2时，求a 的值．解：(1)若l 1∥l 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a (a －1)－2×1＝0，a (a 2－1)－6×1≠0. ∴a ＝－1.∴a ＝－1时，l 1∥l 2.(2)当l 2的斜率不存在时，a ＝1.则l 2：x ＝0，l 1：x ＋2y ＋6＝0.显然l 1与l 2不垂直．当l 2的斜率存在时，a ≠1.则k 2＝11－a，k 1＝－a 2. ∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝11－a·(－a 2)＝－1. ∴a ＝23.1．若点P (a ，b )与Q (b －1，a ＋1)关于直线l 对称，则l 的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°解析：选B.由题意知k PQ ·k l ＝－1，即k l ·a ＋1－b b －1－a ＝k l·(－1)＝－1， ∴k l ＝1，∴l 的倾斜角为45°.2．已知直线ax ＋4y －2＝0和2x －5y ＋b ＝0垂直，且同时过点A (1，m )，则a ＝________，b ＝________，m ＝________.解析：∵点A (1，m )在两直线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋4m －2＝0，①2－5m ＋b ＝0②又两直线垂直，得2a －4×5＝0，③由①②③得，a ＝10，m ＝－2，b ＝－12.答案：10 －12 －23．已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求直线l ′的方程，使l ′与l 垂直，且l ′与两坐标轴围成的三角形面积为4.解：因为l ′⊥l ，所以设直线l ′的方程为4x －3y ＋n ＝0，由y ＝0得x ＝－n 4，由x ＝0得y ＝n 3，因为三角形的面积为4，所以12·|－n 4|·|n 3|＝4，得n 2＝96，即n ＝±46，所以直线l ′的方程为4x －3y ±46＝0.4．点A 是x 轴上的动点，一条直线经过点M (2,3)且垂直于MA ，交y 轴于点B ，过A ，B 分别作x 轴，y 轴的垂线交于点P ，求点P 的坐标(x ，y )满足的关系式．解：如图，∵P A ⊥x 轴，点P 的坐标为(x ，y )，∴点A 的坐标为(x,0)．又∵PB ⊥y 轴，∴点B 的坐标是(0，y )．∵k MA ＝32－x(x ≠2)，k MB ＝3－y 2，且MA ⊥MB ， ∴k MA ·k MB ＝－1.∴32－x×3－y 2＝－1(x ≠2)．化简，得2x ＋3y －13＝0(x ≠2)．当x ＝2时，根据题意易知，点P 与点M 重合，又∵M (2,3)，∴P (2,3)．经检验，(2,3)符合方程2x ＋3y －13＝0，即当x ＝2时，点P 与点M 重合，且在直线2x ＋3y －13＝0上．综上所述，点P 的坐标(x ，y )满足的条件是2x ＋3y －13＝0.。

北师大版高中数学必修二第一学期高一数学第二章《解析几何初步》检测试题.docx

陕西省扶风县法门高中2010-2011学年度第一学期高一数学必修2第二章《解析几何初步》检测试题命题人扶风县法门高中姚连省第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．下列命题中为真命题的是（）A ．平行直线的倾斜角相等B ．平行直线的斜率相等C ．互相垂直的两直线的倾斜角互补D ．互相垂直的两直线的斜率互为相反2. 在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（）A ．B ．C ．D ．3．已知点(1,2)A 、(3,1)B ，则线段AB 的垂直平分线l 的方程是（）A ．524=+y xB ．524=-y xC ．52=+y xD ．52=-y x4．如果直线022=++y ax 与直线023=--y x 平行，那么系数a 为（）A ．23-B ．6-C ．3-D ．32 5．过直线013=-+y x 与072=-+y x 的交点，且与第一条直线垂直的直线l 的方程是（）A ．073=+-y xB ．0133=+-y xC ．072=+-y xD ．053=--y x6．与圆02422=+-+y y x 相切，并在x 轴、y 轴上的截距相等的直线共有（）A.6条B.5条C.4条D.3条7．直线2x =被圆422=+-y a x ）（所截得的弦长等于32，则a 的值为（） A 、-1或-3 B 、22-或 C 、1或3 D 、38．已知1O e ：06422=+-+y x y x 和2O e ：0622=-+x y x 交于,A B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（）Ａ. 30x y ++= Ｂ. 250x y --= Ｃ. 390x y --= Ｄ. 4370x y -+=9．两点)2,2(++b a A 、B ),(b a b --关于直线1134=+y x 对称，则（）Ａ.2,4=-=b a Ｂ.2,4-==b a Ｃ.2,4==b a Ｄ. 2,4a b ==10.空间直角坐标系中,点(3,4,0)A -和点(2,1,6)B -的距离是 ( )A ．B ．C ．9D 二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)11．直线x y 2=关于x 轴对称的直线方程为 .12．已知点)1,1(P 和直线l ：02043=--y x ，则过P 与直线l 平行的直线方程是，过点P 与l 垂直的直线方程是 .13．直线l 经过直线0623=++y x 和0752=-+y x 的交点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程是_____ _.14.圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4)A -，(0,2)B -，则圆C 的方程为．15．已知点(,)M a b 在直线1543=+y x 上，则22b a +的最小值为16．经过)1,2(-A 和直线1x y +=相切，且圆心在直线x y 2-=上的圆的方程为_____________ _________ __________ . 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上)11.________________________ 12._______________________13._________________________ 14.______________________15._________________________ 16._______________________三、解答题(本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(12分)求经过点)2,1(A 且到原点的距离等于1的直线方程.18. (14分) 已知一曲线是与两个定点(0,0)O 、(3,0)A 距离的比为21的点的轨迹，则求此曲线的方程.19.(14分) 求垂直于直线0743=--y x ，且与两坐标轴构成周长为10的三角形的直线方程20.(15分) 自点A(-3，3)发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2-4x-4y+7=0相切，求光线L 所在直线的方程.21（15分）圆822=+y x 内有一点(1,2)P -，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦，（1）当α＝135０时，求AB ;（2）当弦AB 被点P 平分时，求出直线AB 的方程;（3）设过P 点的弦的中点为M ，求点M 的坐标所满足的关系式.参考答案及评分标准一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 12 3 4 5 6 7 8 9 10 A C B B B D C C C D二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)11. x y 2-=. 12. 0143=+-y x 或0734=-+y x .13. 340x y +=或10x y ++= 14. 22(2)(3)5x y -++= 15. 316. 22(1)(2)2x y -++=三、解答题(本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(12分) （1）当过点)2,1(A 的直线与x 轴垂直时，则点)2,1(A 到原点的距离为1，所以1=x 为所求直线方程. …………5分（2）当过点)2,1(A 且与x 轴不垂直时，可设所求直线方程为)1(2-=-x k y ，即：02=+--k y kx ，由题意有11|2|2=++-k k ，解得43=k ， …………10分故所求的直线方程为)1(432-=-x y ，即0543=+-y x .综上，所求直线方程为1=x 或0543=+-y x . …………12分18.(14分) 解：在给定的坐标系里，设点(,)M x y 是曲线上的任意一点，则||1.||2OM AM =…………4分由两点间的距离公式，点M 所适合的条件可以表示为21)3(2222=+-+y x y x ， …………8分两边平方，得41)3(2222=+-+yx y x ，化简整理有：22230x y x ++-=，化为标准形式：22(1)4x y ++=， …………12分所以，所求曲线是以C （－1，0）为圆心，2为半径的圆 …………14分 19.(14分)解：由所求直线能与坐标轴围成三角形，则所求直线在坐标轴上的截距不为0，故可设该直线在x 轴、y 轴上的截距分别为b a ,，又该直线垂直于直线0743=--y x ，且与两坐标轴构成周长为10的三角形，故有⎪⎩⎪⎨⎧=+++=10||||3422b a b a a b ， …………9分解得：52103a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或52103a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， …………12分所以所求直线方程为0103y 4x =-+或0103y 4x =++. …………14分20. （15分）解法一：,已知圆的标准方程是：(x-2)2+(y-2)2=1，它关于x 轴的对称圆的方程是(x-2)2+(y+2)2=1. …………5分设光线L 所在的直线的方程是y-3=k(x+3)（其中斜率k 待定），由题设知对称圆的圆心C ′（2，-2）到这条直线的距离等于1，即21k +…………10分整理得：12k 2+25k+12=0，解得k= -34或k= -43. (13)分故所求直线方程是y-3= -43 (x+3)，或y-3= -43 (x+3)，即3x+4y+3=0或4x+3y+3=0. …………15分解法二：已知圆的标准方程是：(x-2)2+(y-2)2=1，设光线L 所在的直线的方程是：y-3=k(x+3)（其中斜率k 待定），由题意知k ≠0，则L 的反射点的坐标是（-3(1)k k+，0），因为光线的入射角等于反射角，所以反射光线L '所在直线的方程为y= -k(x+3(1)k k +)，即y+kx+3(1+k)=0.这条直线与已知圆相切，故圆心到直线的距离为1，即=1.以下同解法一 21（15分）解：（1）过点O 做OG AB ⊥于G ，连结OA ，当α=1350时，直线AB 的斜率为-1，故直线AB 的方程x+y-1=0，∴OG=d=222100=-+， …………2分又∵r=22,∴OA ===，∴2AB OA == …………5分（2）当弦AB 被P 平分时，OP AB ⊥，此时K OP =21-， ∴AB 的点斜式方程为0521212=+-+=-y x x y ），即（. …………10分（3）设AB 的中点为(,)M x y ，AB 的斜率为K ，OM AB ⊥，则⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-x k y x k y 112）（, 消去K ，得：0222=+-+x y y x ，当AB 的斜率K 不存在时也成立，故过点P 的弦的中点的轨迹方程为：0222=+-+x y y x . …………15分。

2014届北师大版高中数学必修二(高一)章节测试题：第二章§1.2第一课时知能演练轻松闯关

1．直线x ＝tan 60°的倾斜角为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．不存在解析：选B.直线x ＝tan 60°＝3垂直于x 轴，故其倾斜角为90°.2．过点P (－2,0)，斜率为3的直线方程是( )A ．y ＝3x －2B ．y ＝3x ＋2C ．y ＝3(x －2)D ．y ＝3(x ＋2)解析：选D.由直线的点斜式方程得y ＝3(x ＋2)，故选D.3．直线y ＝mx －3m ＋2(m ∈R )必过定点( )A ．(3,2)B ．(－3,2)C ．(－3，－2)D ．(3，－2)解析：选A.由y ＝mx －3m ＋2可得：y －2＝m (x －3)，此直线斜率为m ，过定点(3,2)，故选A.4．直线y ＝kx ＋b (k ＋b ＝0，k ≠0)的图像是( )解析：选B.法一：因为直线方程为y ＝kx ＋b ，且k ≠0，k ＋b ＝0，即k ＝－b ，所以令y＝0时，x ＝－b k＝1，所以直线过点(1,0)．法二：已知k ＋b ＝0，所以k ＝－b ，代入直线方程，可得y ＝－bx ＋b ，即y ＝－b (x －1)．又k ≠0，所以k ≠0，所以直线过点(1,0)．5．直线l 的斜率为k ，在x 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是( )A ．y ＝kx ＋bB ．y ＝k (x －b )C ．y ＝k (x ＋b )D ．y ＝kx －b解析：选B.由于直线l 在x 轴上的截距为b ，所以直线l 过点(b,0)，利用点斜式可得：y －0＝k (x －b )，即y ＝k (x －b )，故选B.6．若k ＞0，b ＜0，则直线y ＝kx ＋b 必不过第____象限．解析：根据直线的斜率k ＞0，直线在y 轴上的截距b ＜0，可作出如图直线，可知直线过第一、三、四象限．答案：二7．直线l 经过点P (1,2)，且与直线2x ＋3y －9＝0在y 轴上的截距相等，则直线l 的方程为________．解析：直线2x ＋3y －9＝0在y 轴上的截距等于3，即直线l 经过点M (0,3)，故直线l 的斜率k ＝3－20－1＝－1，故直线l 的方程为y ＝－x ＋3，即x ＋y －3＝0. 答案：x ＋y －3＝08．(2013·亳州调研)下列四个结论：①方程k ＝y －2x ＋1与方程y －2＝k (x ＋1)可表示同一直线； ②直线l 过点P (x 1，y 1)，倾斜角为90°，则其方程是x ＝x 1；③直线l 过点P (x 1，y 1)，斜率为0，则其方程是y ＝y 1；④所有的直线都有点斜式和斜截式方程．正确的为________．(填序号)解析：方程k ＝y －2x ＋1表示的是除去(－1,2)的直线，而y －2＝k (x ＋1)则表示了完整直线，故①错误；过P (x 1，y 1)且倾斜角为90°的直线为x ＝x 1，过P (x 1，y 1)且斜率为0的直线为y ＝y 1，故②③正确；当直线的斜率不存在时，无法写出其点斜式和斜截式方程，故④错误．答案：②③9．求经过点A (－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程．解：设直线方程为y －4＝k (x ＋3)(k ≠0)．当x ＝0时，y ＝4＋3k ；当y ＝0时，x ＝－4k－3. 由已知得4＋3k －4k－3＝12，即3k 2－11k －4＝0. 解得k ＝4或k ＝－13. ∴直线的方程为y －4＝4(x ＋3)或y －4＝－13(x ＋3)．即4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.10．直线l 的方程为x －2y ＋6＝0，求出直线l 的斜率以及它在x 轴、y 轴上的截距，并画出图形．解：将直线l 的方程化成斜截式为y ＝12x ＋3. 因此，直线l 的斜率k ＝12，它在y 轴上的截距是3. 在直线l 的方程x －2y ＋6＝0中，令y ＝0，得x ＝－6.即直线l 在x 轴上的截距是－6.由上面可得直线l 与x 轴、y 轴的交点分别为A (－6,0)、B (0,3)．如图，建立平面直角坐标系，过点A ，B 作直线，则得直线l 的图形．1．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)解析：选C.当x ＝0时，y ＝b 2；当y ＝0时，x ＝－b ，则三角形的面积S ＝12·|b 2|·|－b |＝b 24，由于S ≤1，所以b 24≤1，即b 2≤4，可得：－2≤b ≤2，当b ＝0时，直线与坐标轴构不成三角形，故选C.2．直线l 过点(－4，－1)，且横截距是纵截距的两倍，则直线l 的方程是________．解析：设直线l 的方程为：y －(－1)＝k [x －(－4)](k ≠0)，即y ＝k (x ＋4)－1.当x ＝0时，y ＝4k －1.当y ＝0时，x ＝1k－4，则有：1k －4＝2(4k －1)，解得：k ＝14或k ＝－12， ∴直线方程为y ＝14(x ＋4)－1或y ＝－12(x ＋4)－1，即y ＝14x 或y ＝－12x －3. 答案：y ＝14x 或y ＝－12x －3 3．光线自点M (2,3)射到y 轴上的点N (0,1)后被y 轴反射，求反射光线所在直线的方程．解：∵入射角等于反射角，入射光线经过点M 、N .且k MN ＝1，∴入射光线所在直线的倾斜角为45°.故反射光线所在直线的倾斜角为135°.因此斜率为－1，又反射光线过(0,1)点，故所求直线方程为y ＝－x ＋1.4．设k ，a 是实数，要使关于x 的方程|2x －1|＝k (x －a )＋a 对一切k ∈R 都有解，求实数a 的取值范围．解：在平面直角坐标系中分别画出y ＝|2x －1|和y ＝k (x －a )＋a 的图像，如图其中直线y ＝k (x －a )＋a 是过定点M (a ，a )，且斜率为k 的直线系，y ＝|2x －1|的图像是折线y ＝2x －1⎝⎛⎭⎫x ≥12和y ＝－2x ＋1⎝⎛⎭⎫x ＜12. 由图形的直观性可知：使原方程对于k 的一切值都有解的几何意义是直线y ＝k (x －a )＋a 绕点M (a ，a )旋转时，都与折线y ＝|2x －1|相交，点M (a ，a )必须位于过点⎝⎛⎭⎫12，0的两条射线上或射线上方．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2a －1，a ≥－2a ＋1，解得13≤a ≤1. 故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，1.。

2014届北师大版高中数学必修二(高一)章节测试题：第一章§4.2(一)知能演练轻松闯关

1．P∈α，P∈β，则平面α与平面β的位置关系是()A．平行B．异面C．相交D．不确定解析：选C.根据面面相交的概念可判断平面α与平面β是相交的，故选C.2．三个平面可把空间分成()A．4部分B．4或6部分C．4或6或8部分D．4或6或7或8部分解析：选D.由平面的无限延展性可知：图(1)中的三个平面把空间分成4部分；图(2)中的三个平面把空间分成6部分；图(3)中的三个平面把空间分成7部分；图(4)中的三个平面把空间分成8部分．3．异面直线是指()A．空间中两条不相交的直线B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．平面内的一条直线与平面外的一条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线解析：选D.对于A，空间两条不相交的直线有两种可能：一是平行(共面)，另一是异面．对于B，分别位于两个平面内的直线，既可平行也可相交也可异面，如图就是相交的情况．对于C，如图的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线．故A、B、C错，只有D符合定义．4．以下四个命题中，正确说法的个数是()①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E 共面，则A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0 B．1C．2 D．3解析：选B.①正确；②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上．5．在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，则()A．M一定在直线AC上B．M一定在直线BD上C．M可能在AC上，也可能在BD上D．M不在AC上，也不在BD上解析：选A.因为E，F，G，H分别是四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上的点，EF与HG交于点M，所以点M为平面ABC与平面ACD的公共点，而两个平面的交线为AC，所以M一定在直线AC上．6.如图，点A∈α，B∉α，C∉α，则平面ABC与平面α的交点有__________个．解析：根据公理3可知平面ABC与平面α交于过A点的直线，因此平面ABC与平面α的交点有无数个．答案：无数7．(2013·宜春高中质检)给出了下列说法：(1)和直线a都相交的两条直线在同一个平面内；(2)三条两两相交的直线一定在同一个平面内；(3)有三个不同公共点的两个平面重合；(4)两两平行的三条直线确定三个平面；(5)两两相交且不过同一点的四条直线共面，其中正确说法的序号是__________．解析：和直线a都相交的两直线只要不过同一个点，所得两直线不一定相交，故(1)是错误的；当三条直线共点时，三条直线不一定在同一平面内，故(2)错误；当三个点共线时，即使两个平面有在同一条直线上三个公共点，这两个平面也不一定重合，故(3)错误；两两平行的三条直线也可以在同一平面内，故(4)错误；对于(5)可以证明，也只有(5)正确．答案：(5)8．读图①②，用符号语言表示下列图形中元素的位置关系．(1)图①可以用符号语言表示为________________________________________________________________________；(2)图②可以用符号语言表示为________________________________________________________________________．解析：结合图形语言，正确运用“∈，，∩”等符号，利用符号语言将其表示出即可．答案：(1)α∩β＝l，mα，nβ，l∩n＝P(2)α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B9．判断下列说法是否正确，并说明理由：(1)一点和一条直线确定一个平面；(2)经过同一点的两条直线确定一个平面；(3)首尾顺次相接的四条线段在同一平面内．解：(1)不正确．如果点在直线上，这时有无数个平面；如果点不在直线上，在已知直线上任取两个不同的点，由公理2知，有唯一一个平面．(2)正确．经过同一点的两条直线是相交直线，能确定一个平面．(3)不正确．四边形中三点可确定一个平面．而第四点不一定在此平面内(如图)，因此，这四条线段不一定在同一平面内．10.如图，E 、F 、G 、H 分别是空间四边形AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且直线EH 与直线FG 交于点O .求证：B 、D 、O 三点共线．证明：∵E ∈AB ，H ∈AD ，∴E ∈平面ABD ，H ∈平面ABD .∴EH 平面ABD .∵EH ∩FG ＝O ，∴O ∈平面ABD .同理O ∈平面BCD ，即O ∈平面ABD ∩平面BCD ，∴O ∈BD ，即B 、D 、O 三点共线．1．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 分别是棱AA 1与CC 1的中点，则经过P 、B 、Q 三点的截面是( )A ．邻边不相等的平行四边形B ．菱形但不是正方形C ．矩形D ．正方形解析：选B.如图所示，显然PB 綊D 1Q ，∴PBQD 1是平行四边形．设正方体的棱长为a ，则PB ＝BQ ＝52a ，AC ＝PQ ＝2a ， ∴PBQD 1是菱形且PB 2＋BQ 2≠PQ 2，故选B.2.如图所示是正方体的平面展开图，在这个正方体中：①BM 与ED 是异面直线；②CN 与BE 是异面直线；③DM 与AF 平行．以上三个命题中，正确的是__________(填序号)．解析：将展开图还原为正方体，易知①③正确．答案：①③ 3．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B 1，BB 1的中点．(1)判断AM 所在的直线与平面ABCD 的位置关系；(2)判断CN 所在的直线与平面ABCD 的位置关系；(3)判断AM 所在的直线与平面CDD 1C 1的位置关系；(4)判断CN 所在的直线与平面CDD 1C 1的位置关系．解：(1)AM所在的直线与平面ABCD相交；(2)CN所在的直线与平面ABCD相交；(3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行；(4)CN所在的直线与平面CDD1C1相交．4.如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．解：平面ABC与β的交线与l相交．证明如下：∵AB与l不平行，且ABα，lα，∴AB与l一定相交．设AB∩l＝P，则P∈AB，P∈l.又∵AB平面ABC，lβ，∴P∈平面ABC，P∈β.∴点P是平面ABC与β的一个公共点，而点C也是平面ABC与β的一个公共点，且P，C是不同的两点，∴直线PC就是平面ABC与β的交线．即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，∴平面ABC与β的交线与l相交．。

2014届北师大版高中数学必修二(高一)章节测试题：第二章§2.3第二课时知能演练轻松闯关

1．(2012·高考山东卷)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解析：选B.两圆的圆心距离为17，两圆的半径之差为1、半径之和为5，而1<17<5，所以两圆相交．2．两圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0的公切线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选C.∵两圆标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，(x ＋2)2＋(y －2)2＝9，∴圆心距d ＝(2＋2)2＋(－1－2)2＝5，r 1＝2，r 2＝3.∴d ＝r 1＋r 2，∴两圆外切，∴公切线有3条．3．过圆x 2＋y 2＋6x ＋4y ＝0与圆x 2＋y 2＋4x ＋2y －4＝0的交点的直线方程是( )A ．x ＋y ＋2＝0B ．x ＋y －2＝0C ．5x ＋3y －2＝0D ．不存在解析：选A.两圆方程相减即得．4．两圆交于A (1,3)及B (m ，－1)，两圆的圆心均在直线x －y ＋n ＝0上，则m ＋n 的值为( )A ．1B ．3C ．－3D ．－1解析：选 B.由题意可知，k AB ＝－1且AB 的中点在直线x －y ＋n ＝0上，则⎩⎪⎨⎪⎧ －1－3m －1＝－1，1＋m 2－3－12＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝－2， ∴m ＋n ＝3.5．点P 在圆x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是( )A ．5B ．0C ．35－5D ．5－3 5解析：选C.∵(x －4)2＋(y －2)2＝9的圆心为C 1(4,2)，半径r 1＝3，(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4的圆心为C 2(－2，－1)，半径r 2＝2，∴|C 1C 2|＝35>r 1＋r 2＝5，∴两圆相离，∴|PQ |min ＝|C 1C 2|－r 1－r 2＝35－5，故选C.6．已知圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝13和圆(x －3)2＋y 2＝9交于A ，B 两点，则弦AB 的垂直平分线的方程是________．解析：弦AB 的垂直平分线也就是两圆连心线，因为两圆圆心分别是(2，－3)和(3,0)．由两点式得y －3＝x －32－3，即3x －y －9＝0. 答案：3x －y －9＝07．过两圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与C 2：x 2＋y 2－6x ＝0的交点，且过点(2，－2)的圆的方程为________．解析：设圆的方程为：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＋λ(x 2＋y 2－6x )＝0，(λ≠－1)由于圆过(2，－2)，可得22＋(－2)2－4×2＋2×(－2)＋1＋λ[22＋(－2)2－6×2]＝0，得λ＝－34，所以，所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x ＋8y ＋4＝0.答案：x 2＋y 2＋2x ＋8y ＋4＝08．若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是________．解析：如图所示，在Rt △OO 1A 中，|OA |＝5，|O 1A |＝25，∴|OO 1|＝5，∴|AC |＝5×255＝2， ∴|AB |＝4.答案：49．求圆心在直线x ＋y ＝0上，且过圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0与圆x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的交点的圆的方程．解：设圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋10y －24＋λ(x 2＋y 2＋2x ＋2y －8)＝0(λ≠－1)，即x 2＋y 2＋2(λ－1)λ＋1x ＋2(5＋λ)λ＋1y －8(λ＋3)λ＋1＝0(λ≠－1)．圆心(1－λλ＋1，－5＋λλ＋1)，∴1－λλ＋1－5＋λλ＋1＝0，解得λ＝－2.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋10y －24－2(x 2＋y 2＋2x ＋2y －8)＝0，即x 2＋y 2＋6x －6y ＋8＝0.10.如图所示，在单位圆O 上任取C 点为圆心，作一圆与圆O 的直径AB 相切于点D ，圆C 与圆O 交于点E ，F ，求证：EF 平分CD .证明：取圆O 的直径AB 所在的直线为x 轴，圆心O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1.①设EF 与CD 相交于H ，令C (x 1，y 1)，则可得圆C 的方程(x －x 1)2＋(y －y 1)2＝y 21，即x 2＋y 2－2x 1x －2y 1y ＋x 21＝0.②①－②得2x 1x ＋2y 1y －1－x 21＝0，③③式就是直线EF 的方程．设CD 的中点为H ′，其坐标为(x 1，y 12)，将H ′的坐标代入③式，得2x 21＋2y 1·y 12－1－x 21＝x 21＋y 21－1＝0，即H ′在EF 上，∴EF 平分CD .1．两圆x 2＋y 2＝16及(x －4)2＋(y ＋3)2＝R 2(R ＞0)在交点处的切线互相垂直，则R 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选A.由题意知两圆交点与两圆圆心构成直角三角形，可知(42＋32)2＝52＝R 2＋16，∴R ＝3.2．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值等于________．解析：y －2x －1表示圆上的点与定点(1,2)连线的斜率，令k ＝y －2x －1，画出图形，可知定点(1,2)与圆上的点的连线的倾斜角均小于90°，则当直线与圆在圆的上方相切时，斜率最小，直线方程可设为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0.∴d ＝|－k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝34. 答案：343．如图，圆C 与圆C 1：x 2＋y 2－2x ＝0相外切，并且与直线l ：x ＋3y ＝0相切于点P (3，－3)，求此圆C 的方程．解：设所求圆的圆心为C (a ，b )，半径长为r .因为C (a ，b )在过点P 且与l 垂直的直线上，所以b ＋3a －3＝ 3.① 又因为圆C 与l 相切于点P ，所以r ＝|a ＋3b |2.② 因为圆C 与C 1相外切，所以(a －1)2＋b 2＝|a ＋3b |2＋1.③ 由①得3a －b －43＝0，将其代入③得4a 2－26a ＋49＝|2a －6|＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝0或⎩⎨⎧a ＝0b ＝－43，此时r ＝2或r ＝6，所以所求圆C的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋43)2＝36.4．已知圆M：x2＋y2－2mx－2ny＋m2－1＝0与圆N：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0交于A、B 两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心的轨迹方程，并求其半径最小时，圆M的方程．解：两圆方程相减得公共弦AB所在直线的方程为2(m＋1)x＋2(n＋1)y－m2－1＝0.由于A、B两点平分圆N的圆周，∴AB为圆N的直径，即直线AB经过圆N的圆心．而N(－1，－1)，∴－2(m＋1)－2(n＋1)－m2－1＝0，即m2＋2m＋2n＋5＝0，即(m＋1)2＝－2(n＋2)(n≤－2)．由于圆M的圆心坐标为(m，n)，从而可知圆M的圆心轨迹方程为(x＋1)2＝－2(y＋2)．又圆M的半径r＝n2＋1≥5(n≤－2)．当且仅当n＝－2，m＝－1时取等号．故半径的最小值为5，此时圆M的方程为x2＋y2＋2x＋4y＝0.。

2014届北师大版高中数学必修二(高一)章节测试题：第二章章末综合检测

(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y 等于( )A ．1B ．－1C ．5D ．－5解析：选D.由斜率与倾斜角的关系知k AB ＝tan 135°＝－tan 45°＝－1，再由斜率公式知k AB ＝y －(－3)4－2＝y ＋32，所以y ＋32＝－1，解得y ＝－5. 2．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( )A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3)解析：选D.∵x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0中D ＝－4，E ＝6，∴－D 2＝2，－E 2＝－3，∴圆心坐标为(2，－3)，故选D. 3．若三点A (3,1)，B (－2，b )，C (8,11)在同一直线上，则实数b 等于( )A ．2B ．3C ．9D ．－9解析：选D.k AB ＝b －1－2－3＝1－b 5，k AC ＝11－18－3＝2， ∴1－b 5＝2，解得b ＝－9. 4．设点P (a ，b ，c )关于原点的对称点为P ′，则|PP ′|＝( )A.a 2＋b 2＋c 2B ．2a 2＋b 2＋c 2C ．|a ＋b ＋c |D ．2|a ＋b ＋c |解析：选B.P (a ，b ，c )关于原点的对称点P ′(－a ，－b ，－c )，则|PP ′|＝(2a )2＋(2b )2＋(2c )2＝2a 2＋b 2＋c 2.5．若点(2，k )到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是( )A ．1B ．－3C ．1或53D ．－3或173解析：选D.由点到直线的距离公式，得4＝|10－12k ＋6|52＋(－12)2＝|16－12k |13，解得k ＝173或k ＝－3. 6．若直线(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0与(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则实数a 的值为( )A ．1B ．±1C ．－1D ．0解析：选B.当(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，即a ＝±1时，这两条直线垂直，故选B.7．圆(x －4)2＋(y －4)2＝4与直线y ＝mx 的交点为P ，Q ，原点为O ，则|OP |·|OQ |的值为( )A ．28B ．27C ．32D ．42m答案：A8．方程x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0(a ≠0)表示的圆( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线x －y ＝0对称D ．关于直线x ＋y ＝0对称解析：选D.把圆的方程化成标准形式，得(x ＋a )2＋(y －a )2＝2a 2.圆心坐标是(－a ，a )，由于圆心(－a ，a )在直线x ＋y ＝0上，∴方程x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0(a ≠0)表示的圆关于直线x ＋y ＝0对称．故选D.9．(2012·高考安徽卷)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：选C.欲使直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，只需使圆心到直线的距离小于等于圆的半径2即可，即|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，化简得|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1. 10．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 6解析：选B.圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，其圆心为(3,4)，半径R ＝5，该圆过点(3,5)的最长弦为圆的直径，所以AC ＝10，过点(3,5)的最短弦为垂直于该点与圆心连线的弦，所以BD ＝252－12＝46，所以四边形ABCD 的面积为12AC ·BD ＝20 6. 二、填空题(本大题共5小题．把答案填在题中横线上)11．若直线l 1：2x ＋my ＋1＝0与直线l 2：y ＝3x －1平行，则m ＝________.解析：由题意得2×(－1)－3m ＝0，且2×(－1)－3×1＝－5≠0，则m ＝－23. 答案：－2312．已知点A (2,1)，B (－2,3)，C (0,1)，则△ABC 中，BC 边上的中线长为__________．解析：BC 中点为⎝⎛⎭⎫－2＋02，3＋12，即(－1,2)，所以BC 边上的中线长为(2＋1)2＋(1－2)2＝10.答案：1013．过点A (1，－1)，B (－1,1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程为__________．解析：AB 的中点为(0,0)，k AB ＝－1，则AB 的垂直平分线为y ＝x ，则圆心为x ＋y －2＝0与y ＝x 的交点(1,1)，半径r 2＝4，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.答案：(x －1)2＋(y －1)2＝414．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是__________．解析：已知圆化为(x －2)2＋(y －2)2＝18，即得圆心C (2,2)和半径r ＝3 2.设圆心C 到直线x ＋y －14＝0距离为d ，则圆上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离为d ＋r ，最小距离为d －r ，∴(d ＋r )－(d －r )＝2r ＝6 2.答案：6 215．已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成面积为3的三角形，则直线l 的方程为__________．解析：设直线方程为y ＝16x ＋b ，在坐标轴上的截距分别为－6b ，b ，所以12|－6b |·b ＝3，解得b ＝±1，所以直线方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.答案：x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0三、解答题(本大题共5小题．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．直线l 过点(1,0)且被两条平行直线l 1：3x ＋y －6＝0和l 2：3x ＋y ＋3＝0所截得的线段长为91010，求直线l 的方程．解：法一：当直线l 与x 轴垂直时，方程为x ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，3x ＋y －6＝0，得l 与l 1的交点为(1,3)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋y ＋3＝0，得l 与l 2的交点为(1，－6)，此时两交点间的距离d ＝|－6－3|＝9≠91010. ∴直线l 与x 轴不垂直．设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠－3)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －1)，3x ＋y －6＝0，得l 与l 1交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋6k ＋3，3k k ＋3，同理，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，3x ＋y ＋3＝0，得l 与l 2交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k －3k ＋3，－6k k ＋3，由题意及两点间距离公式得91010＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫k －3k ＋3－k ＋6k ＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k k ＋3－3k k ＋32，即9k 2－6k ＋1＝0，∴k ＝13， ∴直线l 的方程为y ＝13(x －1)，即x －3y －1＝0.法二：由两平行线间的距离公式可得l 1与l 2间的距离d ＝|－6－3|32＋12＝91010，而l 被l 1，l 2截得的线段长恰为91010， ∴l 与l 1垂直，由l 1的斜率k 1＝－3知，l 的斜率k ＝13， ∴l 的方程为y ＝13(x －1)，即x －3y －1＝0.17．已知关于x ，y 的方程C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0.(1)当m 为何值时，方程C 表示圆？(2)若圆C 与直线l ：x ＋2y －4＝0相交于M ，N 两点，且|MN |＝45，试求m 的值．解：(1)方程C 可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，显然当5－m >0，即m <5时，方程C 表示圆．(2)圆的方程可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，故可知圆心C (1,2)，半径r ＝5－m ，则圆心C (1,2)到直线l ：x ＋2y －4＝0的距离d ＝|1＋2×2－4|12＋22＝15，因为|MN |＝45，所以12|MN |＝25 .因为r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫12|MN |2，所以5－m ＝⎝⎛⎭⎫152＋⎝⎛⎭⎫252，解得m ＝4. 18．在空间直角坐标系中，已知A (3,0,1)和B (1,0，－3)．(1)在y 轴上是否存在点M ，满足|MA |＝|MB |?(2)在y 轴上是否存在点M ，使△MAB 为等边三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)假设在y 轴上存在点M ，满足|MA |＝|MB |.因为M 在y 轴上，所以可设M (0，y,0)，由|MA |＝|MB |，可得32＋(－y )2＋12＝(－1)2＋y 2＋32，显然，此式对任意y ∈R 恒成立，这就是说y 轴上所有点都满足|MA |＝|MB |.(2)假设在y 轴上存在点M ，使△MAB 为等边三角形．由(1)可知，y 轴上任一点都有|MA |＝|MB |，所以只要|MA |＝|AB |就可以使得△MAB 是等边三角形．因为|MA |＝(3－0)2＋(0－y )2＋(1－0)2＝10＋y 2，|AB |＝(1－3)2＋(0－0)2＋(－3－1)2＝20，所以10＋y 2＝20，解得y ＝±10.故y 轴上存在点M 使△MAB 是等边三角形，点M 的坐标为(0，10，0)或(0，－10，0)．19．如图所示，一座圆拱桥，当水面在图示位置时，拱顶离水面2 m ，水面宽12 m ，当水面下降1 m 后，水面宽多少米？解：以圆拱桥顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y 轴，建立直角坐标系，设圆心为C ，水面所在弦的端点为A ，B ，则由已知得A (6，－2)，B (－6，－2)，设A 、B 所在的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，因为原点在圆周上，所以F ＝0，另外点A ，点B 在圆周上，所以⎩⎪⎨⎪⎧40＋6D －2E ＝040－6D －2E ＝0， ∴D ＝0，E ＝20，∴圆的方程为x 2＋y 2＋20y ＝0.当水面下降1 m 后，可设点A ′的坐标为(x 0，－3)(x 0>0)，如图所示，将A ′的坐标(x 0，－3)代入圆的方程，求得x 0＝51，所以，水面下降1 m 后，水面宽为2x 0＝251(m)．20．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程；(2)从圆C 外一点P (x 1，y 1)向圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使|PM |最小的P 点坐标．解：(1)当切线不过原点时，∵切线在两坐标轴上截距的绝对值相等，∴切线的斜率是±1. 设切线方程为y ＝－x ＋b 或y ＝x ＋c ，分别代入圆C 的方程得：2x 2－2(b －3)x ＋(b 2－4b ＋3)＝0或2x 2＋2(c －1)x ＋(c 2－4c ＋3)＝0.由于相切，方程有等根，由此可得b ＝3或b ＝－1，c ＝5或c ＝1，∴所求切线方程为x ＋y －3＝0，x ＋y ＋1＝0，x －y ＋5＝0，x －y ＋1＝0.当切线过原点时设为y ＝kx ，即kx －y ＝0，则|－k －2|1＋k 2＝2⇒k ＝2±6， ∴y ＝(2＋6)x 或y ＝(2－6)x .综上，所求切线方程为x ＋y －3＝0，或x ＋y ＋1＝0，或x －y ＋5＝0，或x －y ＋1＝0，或y ＝(2＋6)x ，或y ＝(2－6)x .(2)将圆C 的方程变形为标准式得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，∴圆心C (－1,2)，半径r ＝ 2. ∵切线PM 与半径CM 垂直，∴|PM |＝|PC |2－|CM |2，又∵|PM |＝|PO |， ∴x 21＋y 21＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2，化简整理得2x 1－4y 1＋3＝0.而|PO |的最小值为O 点到直线2x 1－4y 1＋3＝0的距离，即d ＝3510，从而解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝920，2x 1－4y 1＋3＝0，得⎩⎨⎧ x 1＝－310，y 1＝35.∴满足条件的P 点为⎝⎛⎭⎫－310，35.。

2014届北师大版高中数学必修二(高一)章节测试题：第二章§2.3第一课时知能演练轻松闯关

1．(2013·南昌期中测试)直角坐标平面内，过点P (2,1)且与圆x 2＋y 2＝4相切的直线( )A ．有两条B ．有且仅有一条C ．不存在D ．不能确定解析：选A.∵|OP |＝5>r ＝2，∴点P 在圆外，∴过点P 与圆相切的直线有两条．2．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P ，Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为原点)，则k 的值为( )A ．±3B ．±33C ．±1D ．不存在解析：选A.由已知利用半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形可得圆心O 到直线y＝kx ＋1的距离为12，由点到直线的距离公式得12＝11＋k 2，解得k ＝±3. 3．(2013·宜春质检)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为( )A. 3 B ．2C. 6 D ．2 3解析：选D.过原点且倾斜角为60°的直线方程为3x －y ＝0，圆x 2＋(y －2)2＝4的圆心(0,2)到直线的距离为d ＝|3×0－2|3＋1＝1，因此弦长为2R 2－d 2＝24－1＝2 3. 4．若直线x a ＋y b＝1与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则( ) A ．a 2＋b 2≤1 B ．a 2＋b 2≥1C.1a 2＋1b 2≤1D.1a 2＋1b 2≥1 解析：选D.直线x a ＋y b＝1化为bx ＋ay －ab ＝0，则圆心到直线的距离小于等于半径，即|－ab |a 2＋b 2≤1，∴1a 2＋1b 2≥1. 5．(2012·高考陕西卷)已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( )A ．l 与C 相交B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能解析：选A.把点(3,0)代入圆的方程的左侧得32＋0－4×3＝－3<0，故点(3,0)在圆的内部，所以过点(3,0)的直线l 与圆C 相交．6．在直径为10 cm 的圆中，弦AB 的长为8 cm ，则它的弦心距为________．解析：由勾股定理得弦心距为3 cm.答案：3 cm7．设直线mx －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，则实数m 的值为________．解析：圆x 2＋y 2＝1的圆心C (0,0)，半径r ＝1，则m 满足：|2|m 2＋1＝1，解得：m ＝±3. 答案：3或－ 38．(2011·高考重庆卷)过原点的直线与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________．解析：化圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝1，又相交所得弦长为2，故相交弦为圆的直径，由圆的方程得圆心为(1,2)，又直线过原点，故由两点式得直线方程为2x －y ＝0.答案： 2x －y ＝09．(2011·高考福建卷节选)已知直线l ：y ＝x ＋m ，x ∈R .若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程．解：法一：依题意，点P 的坐标为(0，m )．因为PM ⊥l ，所以0－m 2－0×1＝－1，解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)．从而圆的半径r ＝|MP |＝(2－0)2＋(0－2)2＝22，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.法二：设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2.依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P (0，m )，则⎩⎪⎨⎪⎧4＋m 2＝r 2|2－0＋m |2＝r ，解得⎩⎨⎧m ＝2，r ＝2 2.所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8. 10．求经过点P (2，－1)的直线被圆C ：x 2＋y 2－6x －2y －15＝0所截得的最短弦长．解：圆的方程可化为(x －3)2＋(y －1)2＝25.∴圆心C (3,1)，半径r ＝5.由题意知当直线与过(2，－1)的直径垂直时，弦长最短．∵k PC ＝1－(－1)3－2＝2， ∴所求直线的方程为y －(－1)＝－12(x －2)，即x ＋2y ＝0.∴圆心到直线的距离d ＝|3＋2|12＋22＝ 5. 由圆的性质：圆的半径、圆心到弦的距离、半弦长构成直角三角形，∴弦长l ＝2r 2－d 2＝252－(5)2＝4 5.1．已知点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最大值是( ) A ．6 B ．8C ．3－ 2D ．3＋ 2解析：选D.直线AB 的方程是x －2＋y 2＝1，|AB |＝22，则当△ABC 面积取最大值时，边AB 上的高即点C 到直线AB 的距离d 取最大值．又圆心M (1,0)，半径r ＝1，点M 到直线x －2＋y 2＝1的距离是322，由圆的几何性质得d 的最大值是322＋1，所以△ABC 面积的最大值是12×22×(322＋1)＝3＋ 2.故选D. 2．(2012·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．解析：设圆心C (4,0)到直线y ＝kx －2的距离为d ，则d ＝|4k －2|k 2＋1，由题意知问题转化为d ≤2，即d ＝|4k －2|k 2＋1≤2，得0≤k ≤43，所以k max ＝43. 答案：433．已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0.(1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点；(2)设l 与圆C 交于A 、B 两点，若|AB |＝17，求l 的倾斜角；(3)求弦AB 的中点M 的轨迹方程．解：(1)证明：由已知l ：y －1＝m (x －1)，∴直线l 恒过定点P (1，1)．∵12＋(1－1)2＝1＜5，∴P 在圆C 内．则直线l 与圆C 总有两个不同的交点．(2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)为圆C 和直线l 的两交点，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋(y －1)2＝5mx －y ＋1－m ＝0，消y 得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0，则x 1＋x 2＝2m 21＋m 2，x 1x 2＝m 2－51＋m 2，从而|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝16m 2＋201＋m 2. ∵|AB |＝1＋m 2|x 1－x 2|，∴17＝1＋m 2·16m 2＋201＋m 2， ∴m 2＝3，m ＝±3，∴l 的倾斜角为α＝π3或2π3. (3)设M 的坐标为(x ，y )，连接CM ，CP (图略)．∵C (0,1)，P (1,1)，|CM |2＋|PM |2＝|CP |2，∴x 2＋(y －1)2＋(x －1)2＋(y －1)2＝1，整理得轨迹方程为x 2＋y 2－x －2y ＋1＝0(x ≠1)．4．已知与圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切的直线l 交x 轴、y 轴的正半轴于A 、B 两点，O 为原点，且OA ＝a ，OB ＝b ，a ＞2，b ＞2.(1)求证：(a －2)(b －2)＝2；(2)求线段AB 中点的轨迹方程．解：(1)证明：设直线l 的方程为x a ＋y b＝1，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，直线l 与圆C 相切的条件为d ＝|b ＋a －ab |a 2＋b 2＝1，即ab (ab ＋2－2a －2b )＝0.又因为a ＞2，b ＞2，所以ab ＋2－2a －2b ＝0，即(a －2)(b －2)＝2.(2)设AB 的中点为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝a ＋02，y ＝0＋b 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2x ，b ＝2y . 所以(2x －2)(2y －2)＝2，1即AB中点的轨迹方程为(x－1)(y－1)＝2(x＞1，y＞1)．。

2014届北师大版高中数学必修二(高一)课件第二章§1.4

栏目导引
第二章
解析几何初步
法二：设所求直线方程为 x＋3y－4＋λ(5x＋2y＋ 6)＝ 0(λ∈ R)．将点 A(2,3)的坐标代入，有 7 2＋3×3－4＋ λ(5× 2＋2×3＋6)＝ 0，∴ λ＝－， 22 7 故所求直线为 x＋3y－4－ (5x＋2y＋ 6)＝ 0， 22 即 x－ 4y＋ 10＝0.
栏目导引
第二章
解析几何初步
【名师点评】
解决此类问题常有两种方法：一是常规法，
即由题目已知条件求出交点，用两点式求出直线方程；二是利用直线系方程，过两条相交直线 A1x ＋ B1y ＋ C1 ＝ 0 和 A2x ＋ B2y ＋ C2 ＝ 0 的交点的直线方程可设为 A1x ＋ B1y ＋ C1 ＋ λ(A2x ＋ B2y＋C2)＝0，这里λ∈R，此直线系不包括A2x＋B2y＋C2＝0,这
(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；
(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.
栏目导引
第二章
解析几何初步
【解】
3 法一： (1)∵ k1＝2，k2＝－， 2
∴ k1≠k2，故 l1 和 l2 相交．
2x－ y－7＝0 x＝3， ∵方程组的解为 3x＋ 2y－ 7＝ 0 y＝－ 1.
A1x＋ B1y＋ C1＝0 有唯一解， l1 与 l2 相交；有无数解， l1 与 A2x＋ B2y＋ C2＝0
l2 重合；没有解时， l1 与 l2 平行．
栏目导引
第二章
解析几何初步
典题例证技法归纳
题型探究
题型一判断两直线的位置关系及求交点坐标例1 判断下列两条直线的位置关系，若相交，求出交点坐标．

北师大版数学必修2第二章测试题及答案

xy Oxy Oxy OxyO高一年级数学学科必修2第二章质量检测试题试卷第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．下列命题中为真命题的是（） A ．平行直线的倾斜角相等 B ．平行直线的斜率相等C ．互相垂直的两直线的倾斜角互补D ．互相垂直的两直线的斜率互为相反2. 在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（）A ．B ．C ．D ．3．已知点(1,2)A 、(3,1)B ，则线段AB 的垂直平分线l 的方程是（）A ．524=+y xB ．524=-y xC ．52=+y xD ．52=-y x4．如果直线022=++y ax 与直线023=--y x 平行，那么系数a 为（） A ．23-B ．6-C ．3-D ．325．过直线013=-+y x 与072=-+y x 的交点，且与第一条直线垂直的直线l 的方程是（） A ．073=+-y x B ．0133=+-y x C ．072=+-y x D ．053=--y x 6．与圆02422=+-+y y x 相切，并在x 轴、y 轴上的截距相等的直线共有（） A.6条 B.5条 C.4条 D.3条7．直线2x =被圆422=+-y a x ）（所截得的弦长等于32，则a 的值为（） A 、-1或-3 B 、22-或 C 、1或3 D 、3 8．已知1O ：06422=+-+y x y x 和2O ：0622=-+x y x 交于,A B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（）Ａ. 30x y ++= Ｂ. 250x y --= Ｃ. 390x y --= Ｄ. 4370x y -+= 9．两点)2,2(++b a A 、B ),(b a b --关于直线1134=+y x 对称，则（）Ａ.2,4=-=b a Ｂ.2,4-==b a Ｃ.2,4==b a Ｄ. 2,4a b ==10.空间直角坐标系中,点(3,4,0)A -和点(2,1,6)B -的距离是 ( ) A． B． C ．9 D二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)把答案填第Ⅱ卷题中横线上11．直线x y 2=关于x 轴对称的直线方程为 .12．已知点)1,1(P 和直线l ：02043=--y x ，则过P 与直线l 平行的直线方程是，过点P与l 垂直的直线方程是 .13．直线l 经过直线0623=++y x 和0752=-+y x 的交点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程是_____ _.14.圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4)A -，(0,2)B -，则圆C 的方程为．15．已知点(,)M a b 在直线1543=+y x 上，则22b a +的最小值为 16．经过)1,2(-A 和直线1x y +=相切，且圆心在直线x y 2-=上的圆的方程为_____________ _________ __________ .金台区高一年级数学学科必修2第二章质量检测试题参赛试卷第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上)11.________________________ 12._______________________ 13._________________________ 14.______________________ 15._________________________ 16._______________________三、解答题(本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(12分)求经过点)2,1(A 且到原点的距离等于1的直线方程.18. (14分) 已知一曲线是与两个定点(0,0)O 、(3,0)A 距离的比为21的点的轨迹，则求此曲线的方程.19.(14分) 求垂直于直线0743=--y x ，且与两坐标轴构成周长为10的三角形的直线方程20.(15分) 自点A(-3，3)发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2-4x-4y+7=0相切，求光线L 所在直线的方程.21（15分）圆822=+y x 内有一点(1,2)P -，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦，（1）当α＝135０时，求AB ;（2）当弦AB 被点P 平分时，求出直线AB 的方程;（3）设过P 点的弦的中点为M ，求点M 的坐标所满足的关系式.高一年级数学学科必修2第二章质量检测试题试卷试卷说明学校：卧龙寺中学命题人吴亮李丰明一、命题意图解析几何是新课标中方程与几何部分的重点内容，其中既有一些几何图形基础，也蕴含了丰富的数形结合的思想方法，新课程标准要求重视数学之间的联系应用，培养和发展数学联系意识，所以本章内容一定会成为高考中的热点与重点。

2014届北师大版高中数学必修二(高一)章节测试题：第一章§3知能演练轻松闯关

1．(2012·高考湖南卷)某几何体的正视图和左视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()解析：选D.对于选项A，两个圆柱的组合体符合要求；对于选项B，一个圆柱和一个正四棱柱的组合体符合要求；对于选项C，底面为等腰直角三角形的直三棱柱符合要求，故选D.2．下列说法正确的是()A．任何物体的三视图都与物体的摆放位置有关B．任何物体的三视图都与物体的摆放位置无关C．有的物体的三视图与物体的摆放位置无关D．正方体的三视图一定是三个全等的正方形解析：选C.对于A，球的三视图与物体的摆放位置无关，故A错；对于B，D，正方体的三视图与摆放位置有关，故B，D错；故选C.3．下图所示几何体的一个俯视图是下列选项中的()解析：选C.该几何体是由一个长方体和一个截去一个角的三棱柱组成的，结合轮廓线和交线知它的俯视图应为C.4．(2013·赣州一中质检)下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④解析：选D.利用排除法：正方体的三视图都是正方形，所以①不符合题意，可排除A、B、C，只能选D.5．(2011·高考江西卷)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为()解析：选D.被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为长方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(正方形)的两条边重合，另一条为长方体的对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图及对角线方向，只有选项D符合．6．①若一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体一定是正方体；②若一个几何体的主视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；③若一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；④若一个几何体的主视图和左视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台．其中正确的说法是__________．解析：①不正确，因为球的三视图也完全相同．②不正确，因为一个横放在水平位置的圆柱，其主视图和俯视图都是矩形．④不正确，因为一个正四棱台的主视图和左视图也都是等腰梯形．③正确．答案：③7．如图①，直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，主视图和俯视图如图②所示，则其左视图的面积为__________．解析：左视图为矩形，边长如图，所以其面积为2 3.答案：2 38．如图所示，(1)(2)(3)是图(4)所表示的几何体的三视图，其中，图(1)是______，图(2)是________，图(3)是________．(说出视图的名称)解析：根据三视图的特点：主俯一样长，主左一样高，俯左一样宽可知．答案：主视图俯视图左视图9．根据图中所给出的一个物体的三视图，试画出它的形状．解：对应的几何体是一个正六棱锥，其所对应的空间几何体的图形为：10．根据如图所示的几何体的组合体，画出它的三视图．解：这个组合体的三视图如图所示：1．(2012·高考陕西卷)将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为()解析：选B.左视图中能够看到线段AD1，画为实线，看不到线段B1C，画为虚线，而且AD1与B1C不平行，投影为相交线，所以选择B.2.如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．解析：由三视图得到直观图(如图)，从而最长的棱长是2 3.答案：2 33．如图是一个几何体的三视图，试画出其直观图．解：由三视图的主视图、左视图与俯视图，容易想到该几何体可以由正方体切割而得到，连结正方体的三个顶点，切去一个角，则可得相应的几何体，也可以是切掉对应位置的两个角，如图所示：4．如图是底边为2 cm，侧棱长为4 cm的正四棱锥．(1)画出其三视图，并把其尺寸标注在图中；(2)求该正四棱锥的高及各侧面三角形的高(即斜高)．解：(1)三视图如图所示：(2)在等腰△SAC中，SA＝SC＝4 cm，AC＝22＋22＝2 2 cm，此时等腰△SAC底边AC 的高即为正四棱锥的高h，所以：h＝42－(2)2＝14 cm(如图)；在等腰△SAB中，SA＝SB＝4 cm，AB＝2，此时底边AB上的高即为各侧面三角形的高h′，所以：h′＝42－12＝15 cm.综上，该四棱锥的高为14 cm，各侧面三角形的高为15 cm.。