弹塑性力学第八章

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(完整)弹塑性力学简答题

弹塑性力学简答题第一章应力1、什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用,偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。

2、应力边界条件所描述的物理本质是什么？物体边界点的平衡条件。

3、对照应力张量ij δ与偏应力张量ij S ，试问：两者之间的关系？两者主方向之间的关系?相同。

110220330S S S σσσσσσ=+=+=+.4、为什么定义物体内部应力状态的时候要采取在一点的领域取极限的方法？不规则，内部受力不一样。

5、解释应力空间中为什么应力状态不能位于加载面之外？保证位移单值连续。

连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。

6、Pie 平面上的点所代表的应力状态有何特点?该平面上任意一点的所代表值的应力状态1+2+3=0,为偏应力状态，且该平面上任一法线所代表的应力状态其应力解不唯一。

固体力学解答必须满足的三个条件是什么？可否忽略其中一个？第二章应变1、从数学和物理的不同角度，阐述相容方程的意义。

从数学角度看，由于几何方程是6个，而待求的位移分量是3个，方程数目多于未知函数的数目,求解出的位移不单值.从物理角度看,物体各点可以想象成微小六面体,微单元体之间就会出现“裂缝”或者相互“嵌入"，即产生不连续.2、两个材料不同、但几何形状、边界条件及体积力(且体积力为常数）等都完全相同的线弹性平面问题，它们的应力分布是否相同？为什么？相同。

应力分布受到平衡方程、变形协调方程及力边界条件，未涉及本构方程，与材料性质无关.3、应力状态是否可以位于加载面外？为什么？不可以.保证位移单值连续。

连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续.4、给定单值连续的位移函数，通过几何方程可求出应变分量,问这些应变分量是否满足变形协调方程？为什么？满足。

工程弹塑性力学第八章.pptx

8.1 平面应变问题的基本方程
物体的各点位移发生在xoy平面内：
u u(x, y) v v(x, y) w 0 (8.1)
应变分量为:
x
u x
,
y
v y
,
z
0
(8.2)
xy
v x
u , y
yz
zx
0
z 0
x
x (x, z
y), y z (x, y)
y (x,
y)
(8.3)
xy
xy (x,
y),
yz zx 0
8.1 平面应变问题的基本方程
理想刚塑性材料的总应变分量：
忽略弹性变形
p
ij
ij
(8.4)
流动速度场
du
dv
dw
vx (x, y) dt , vy (x, y) dt , vz (x, y) dt 0
应变率张量
vx
x
1 ( vx vy ) 2 y x
8.1 平面应变问题的基本方程
间断条件
对于应力场，作用与反作用定律要求：间断线上的应力矢量应连续， (•n)+= (•n) 连续，其余分量可以间断
n
n
nt
nt
t
t
对于速度场，连续性条件要求：法向分量应连续，切线分量可以间断，塑性区可相对于刚性区作相对滑动，即：
vn vn vt vt
0代入
vx 0, vy 0 (8.26)
x
y
沿特征线的正应变率等于零，没有伸缩。
8.2 特征线和滑移线
三、沿滑移线上的速度方程式
y 图 8.4 速度的坐标变换
vx v cos v sin

弹塑性力学基本理论及应用__第八章_能量原理及其应用

第八章能量原理及其应用弹塑性力学问题实质上是边值问题，即求解满足一定边界条件的偏微分方程组。

然而只有对一些特殊的结构在特定加载条件下才能找到精确解，而对于一般的力学问题，如空间问题，泛定方程为含有15个未知量的6个偏微分方程，在给定边界条件时．求解是极其困难的，而且往往足小对能的。

因此，为了解决具体的工程结构力学问题，目前都广泛应用数值方法，如有限元法、无限元法、边界元法、无网格化法及样条元法等等。

这些解法的依据都是能量原理。

本章将讨论利用能量原理和极值原理求解弹塑性力学问题的近似解法。

本章共讨论五个能量原理。

首先是虚位移原理，由虚位移原理推导出最小势能原理，其次介绍虚应力原理，和由虚应力原理推导出最小余能原理。

另外，还简单介绍最大耗散能原理。

本章还讲述了根据上述的能量原理建立的有关弹性力学问题的数值解法。

8.1 基本概念1.1 物体变形的热力学过程由第四章知，物体在外界因素影响下的变形过程，严格来说都是一个热力学过程。

因此研究物体的状态，不仅要知道物体的变形状态，而且还要知道物体中每一点的温度。

如果物体在变形过程中，各点的温度与其周围介质的温度保持平衡，则称这一过程为等温过程；若在变形过程中，物体的温度没有改变，即既没有热量损失也没有热量增加，则称这一过程为绝热过程。

物体的瞬态高频振动，高速变形过程都可视为绝热过程。

令物体在变形过程中的动能为E ，应变能为U ，则在微小的t δ时间间隔内，物体从一种状态过渡到另一种状态时，根据热力学第一定律，总能量的变化为 Q W U E δδδδ+=+ (a) 其中，W δ为作用于物体上的体力和面力所完成的功；Q δ是物体由其周围介质所吸收(或向外发散)的热量，并以等量的功度量。

假定弹性变形过程是绝热的，则对于静力平衡问题有00==Q ，E δδ (b)将式(b)代入式(a)，则有W U δδ= (8.1-1)1.2 应变能由第四章的式(4.1-5b)知，在线弹性情况下，单位体积的应变能为ik ij ij ij ij d U εσεσε2100==⎰ (8.1-2)对于一维应力状态，在x x εσ-平面内，则0U 实际上就是应力应变曲线与x ε轴和'x x εε=所围成的面积(图8.1)，即⎰='0Xx x d U εεσ (8.1-3)其中'x ε是物体变形过程某一指定时刻的应变，应图8.1 应变能与应变余能变能0U 表示物体在变形过程中所储存的能量。

000弹塑性理论-本构方程

如图4 13所示。
我们知道，当应力
较小时，材料
ij
处于弹性状态。这就是说，在主应
力空间中，围绕着坐标原点有一个
弹性变形区域。弹性区域是被塑性
区域包围着。弹性区与塑性区的分界
就是屈服面。
若我们认为球应力（静水压力）状态不影响材料的屈服。则上述屈服面必定是一个与坐标轴呈等倾斜的柱体表
面。其母线垂直于平面。显然我们对屈服面的讨论只需研究它与平面的截
第四章应力、应变关系
§3-1 典型金属材料曲线分析
大量实验证明，应力和应变之间的关系是相辅相成的，有应力就会有应变，而有应变就会有应力。
对于每一种具体的固体材料，在一定的条件下，应力和应变之间有着确定的关系，这种关系反映了材料客观固有的特性。下面以典型的金属材料低碳钢轴向拉伸试验所得的应力应变曲线为例来说明。

2)
3-2-2 弹塑性本构简化模型
（1）理想弹塑性模型
当材料进入塑性状态后，具有明显的屈服流动阶段，而强化程度较小。又称为弹性完全塑性模型。

E ,当

时
s

Es ,当

时
s
（2）理想线性强化弹塑性模型
当材料有显著强化率，而屈服流动不
明显时，可不考虑材料的塑性流动。
其解析表达式为：
表示一个六维应力空间内的屈服面。
该面上任意一点都表示一个屈服应
力状态。
如，在单向拉伸时，屈服应力 s应在
屈服面上，如用六维应力空间来描述，则该点应为屈服面上的一个点，且该
点坐标为（ s，0，0，0，0，0）。
对于各向同性材料来说，坐标轴的转动不应当影响材料的屈服。而一点的应力状态可用该点的主单元体来表示，因此，可以取三个应力主轴为坐标轴。此时，屈服函数式（4-10）可改写为

工程弹塑性力学题库及答案

，而应变
，试证明当体积不变
证毕！
5.3 对于线性弹塑性随动强化模型，若（1）、已知给定应力路径为（2）、已知给定应变路径为
，试求，求对应的应变值。，求对应的应力值。
（1）解：①、，；②、
，
③、，
；④、
，
⑤、，
（2）解：①、，；②、
，
③、，
；
④、
，
⑤、，
5.4 在拉伸试验中，伸长率为
Mises 屈服条件：
故有
6.5 试用 Lode 应力参数表达 Mises 屈服条件。解：由定义：
即 Mises 屈服条件为将上式代入，得：
即：
6.6 物体中某点的应力状态为
，该物体在单向拉伸
时
，试用 Mises 和 Tresca 屈服条件分别判断该点是处于弹性
状态还是塑性状态，如主应力方向均作相反的改变（即同值异号），则对被研究点所处状态的判断有无变化? 解：（1）Mises 屈服条件判断
6.8证明下列等式：（1）、证明：（1）、右边
（2）、
=左边
证毕！
（2）、
证毕！
6.9 设、、为应力偏量，试证明用应力偏量表示 Mises 屈服条件时，其形式为
，提示：
证明：Mises 屈服条件：
，
，
又又
证毕！
第七章塑性本构关系
7.1 塑性全量理论的成立条件：解：（1）应力主方向与应变主方向是重合的，即应力 Mohr 圆与应变 Mohr 圆相似，应力 Load 参数和应变 Load 参数相等，而且在整个加载过程中主方向
力为多大，并求此时塑性应变增量的比。
解：设扭转剪应力入 Mises 屈服条件，得

弹塑性力学部分讲义

弹塑性力学引言一、固体力学在工程中的作用工程中的各种机械都是用固体材料制造而成的、各种结构物也都是用固体材料建造的。

为了使机械结构正常使用、实现其设计的功能，首先要保证它们在工作载荷与环境作用下不发生材料的破坏或影响使用的过大的变形，即保证它们具有足够的强度、刚度和稳定性。

在设计阶段，要根据要求实现的功能，对于设计的机械结构的形式按强度要求确定其各部分的形状和尺寸，以及所需选择的材料。

要完成这样的任务，首先要解决如下基本问题：在给定形状尺寸与材料的机械结构在设计规定载荷与环境（如温度）作用下所产生的变形与应力。

对于柔性结构，如细长梁、薄板、薄壳，以及它们的组合结构，还要分析其是否会丧失稳定性。

这些都是固体力学的基本问题。

如果机械结构所受载荷或环境的作用是随时间变化的，那么，它们的振动特性也对其性能有重要的影响。

在设计时往往要对其进行模态分析，求出影响最大的各个低阶固有频率与相应的振型，以确保不会与主要的激振载荷产生共振，导致过大的交变应力与变形，影响强度和舒适性。

有些情况下还要考虑它们在瞬态或冲击载荷作用下的瞬态响应。

这些也是固体力学的基本问题。

此外、许多机械零件和结构元件在制造工程中，采用各种成型工艺，材料要产生很大的塑性变形。

如何保证加工质量，提高形状准确性、减少残余应力、避免产生裂纹、皱曲等缺陷？如何设计加工用的各种模具，加工的压力，以及整个工艺流程，这里也都有固体力学问题。

正因为工程中提出了各种各样的固体力学问题，有时还有流体力学问题，在19世纪产生了弹性力学和流体力学，才导致力学逐渐从物理学中独立出来。

工程技术发展的要求是工程力学，包括固体力学、流体力学等发展的最重要的推动力。

而工程力学的发展则大大推动了许多工程技术的飞速发展。

因此，力学是许多工程部门设计研究人员的基本素质之一。

二、力学发展概况力学曾经是物理学的一个部分，最初也是物理学中最重要的组成部分。

力学知识最早起源于人们对自然现象的观察和在生产劳动中积累的经验。

弹塑性力学第08章

应力偏量不变量

§8-2 八面体应力应力强度
1.八面体应力 2.应力强度（或等效应力）
1.八面体应力
等倾面八面体应力:ζ 8(ζ oct) 和η 8 (η oct) 设坐标轴x、y、z与应力主轴方向一致
2 2 2
l mn
1 3
1 8 1l 2 m 3 n 1 2 3 m ? 3 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 p8 f nx f ny f nz 1l 2 m 3 n 1 2 3
2 2 1 3 2 3 S 2 S3 2 1 2 1 1 3 1 3 S1 S 3 MP 1 M P2
§8-4 应力空间
如同在三维空间中x、y、z三个坐标值可以确定空间一个点的位置一样，一点的应力状态可以用九维或六维应力空间中的一个点来表示。应力空间中任一点都表示一个应力状态。由于我们讨论的是各向同性体，与方向无关。因此只要注意主应力的大小，而不考虑它们在物理空间中的方向。这样，我们就可以采用主应力空间。
J 1 e x e y e z e1 e 2 e 3 0 1 2 2 2 2 2 2 J 2 e x e y e y e z e z e x 6 e xy e yz e zx 6 1 3 2 2 2 2 2 2 x y y z x x xy yz zx 6 2 1 2 2 2 1 2 2 3 3 1 6 e 1 e 2 e 2 e 3 e 3 e1 1 1 1 1 2 2 2 J e x e y e z xy yz zx e x yz e y zx e xy 3 4 4 4 4 e1 e 2 e 3

塑性本构方程

这是七个方程
1 2 ii ii E
1 eij Sij 2G
第二个式子是六个方程,但因为有 Sii 0 , 所以有5个是独立的. 从第二式可以看到在弹性范围内应力主轴和应变主轴是一致的. 应变偏量的分量和相应的应力偏量的分量成正比. 第二式也可以写成 Sij 2Geij ,把它代入等效应力的表达式就可以得到下面的第二式, 然后有 G / 3 再代回上面第一式得到下面的第二式. 3 • 所以也可写成如下形式 eij Sij 3G 2 • 当应力从加载面卸载, 也服从广义Hooke定律,写成增量形式 1 2 1 d ii d ii deij dSij E 2G
O

0 O 0

O
0

a 所示的材料,随加载应力,应变都增加,材料是硬化的. 在这
一变形工程中,附加应力在应变增量上作正功,这种特性的材料被称为稳定材料或硬化材料. b 所示,应力应变曲线在过D点以后, 应变增加,应力减小,此时应力增量作负功, 这种特性的材料被称为材料不稳定或软化材料. c 所示,与能量守恒矛盾,所以不可能.
d d p 0

ij
ij

ij
d ij d ijp 0
第二式中的等号适用于理想塑性材料.
Drucker公设在塑性力学中有重要意义.
3. 屈服面的外凸性和塑性应变增量的法向性 •我们如将塑性应变空间与应力空间重合起来,由Drucker公设的第一式, 把它看成是两个矢量的点积. 0 p 0 p n d d ij ij ij ij ij ij cos 0 C d p ij 0 A0 A AC cos 0 图示即 ij ij

弹塑性力学部分习题

2018/10/7 7
第六章弹性力学平面问题的直坐标系解答
§6-1平面问题的分类
§6-2平面问题的基本方程和边界条件
§6-3平面问题的基本解法
§6-4多项式应力函数运用举例
2018/10/7
8
第七章弹性力学平面问题的极坐标系解答
§7-1平面极坐标下的基本公式 §7-2轴对称问题 §7-3轴对称应力问题——曲梁的纯弯曲 §7-4圆孔的孔边应力集中问题 §7-5曲梁的一般弯曲 §7-6楔形体在楔顶或楔面受力
弹塑性力学
第六章弹性力学平面问题的直角坐标系解答第七章弹性力学平面问题的极坐标系解答第八章等截面直杆的扭转第九章空间轴对称问题第十章弹性力学问题的能量原理第十一章塑性力学基础知识
2018/10/7
1
参考书目
1.徐芝纶，弹性力学：上册 .第三版,高等教育
w k x, y
其中 k 为待定常数，(x‚y)为待定函数，试写出应力分量的表达式和位移法方程。
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18
题1-6 半空间体在自重 g 和表面均布压力 q 作用下的位移解为 u = v = 0,
1 g 2 2 w q h z h z 2G 2
2018/10/7
在 V上
16
题1-4 等截面柱体在自重作用下，应力解为
x=y=xy=yz=zx=0 , z=gz，试求位移。
z l y
Fbz g
x
x
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17
题1-5 等截面直杆（无体力作用），杆轴方向为 z 轴,已知直杆的位移解为
u kyz
v kxz

《力学》第八章弹性体应力和应变ppt课件

＝ y(x x) y(x)
x
当 x 0 时：
＝ lim y(x x) y(x) y
x0
x
x
因此，
＝G y
x
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第八章弹性体的应力和应变 5、剪切形变的弹性势能密度（单位体积的弹性势能）：
E
0 p
1 G
2
2
（5）
注意：切变只能在固体中产生，流体中不会产生。所以流体中只能传播纵波，而固体中既能传播纵波，也能传播横波。
弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。
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第八章弹性体的应力和应变
人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17世纪开始的。
由于课程所限，我们在本章仅对弹性体力学作简单的介绍，为振动部分和波动部分作准备。
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第八章弹性体的应力和应变
§8.1 弹性体的拉伸和压缩形变
弹性体有四种形变：拉伸压缩、剪切、扭转和弯曲。其实，最基本的形变只有两种：拉伸压缩和剪切形变；扭转和弯曲可以看作是由两种基本形变的组成。
1. 正压力（拉伸压缩应力）
＝ Fn
S
（1）
其中，F沿作用力截面的法线方向。
例：如图示，一般取n为外法线方向，则
0,也可能是 0.
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第八章弹性体的应力和应变
2. 线应变（相对伸长或压缩）

力学(专)第八章弹性体的应力和应变

（ 3）
b b 0
其中：设想直杆横截面是正方形每边长为 b，横向形变后为 b。其中： 0 横向形变和纵向形变之比为泊松系数横向形变和纵向形变之比为泊松系数：泊松系数：
7
用S表示横截面面积， n 表示内力在 en 上的投影，则表示横截面面积，上的投影， F
F σ＝ n S
称作假想截面S上的拉伸或压缩应力，又统称正应力称作假想截面S上的拉伸或压缩应力，又统称正应力为正， σ为正，表示有向面元为负， σ 为负，表示有向面元
(1) 若内力与有向假想截面外法向方向相同，则若内力与有向假想截面外法向方向相同，某一侧受到另外一侧的拉力，某一侧受到另外一侧的拉力，为拉伸应力 (2) 若内力与有向假想截面外法向方向相反，则若内力与有向假想截面外法向方向相反，某一侧受到另外一侧的压力，某一侧受到另外一侧的压力，为压缩应力
4
弹性力学的基本内容弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和基本规律有三个运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。连续变形规律是指弹性力学在考虑物体的变形时，连续变形规律是指弹性力学在考虑物体的变形时，只考虑经过连续变形后仍为连续的物体，如果物体中本来就有裂纹，则只考虑裂纹不扩展形后仍为连续的物体，如果物体中本来就有裂纹，则只考虑裂纹不扩展的裂纹不扩展的情况。这里主要使用数学中的几何方程和位移边界条件等方面的知识。情况。这里主要使用数学中的几何方程和位移边界条件等方面的知识。求解一个弹性力学问题，就是设法确定弹性体中各点的位移、求解一个弹性力学问题，就是设法确定弹性体中各点的位移、应变和应力共15个函数。从理论上讲，只有15个函数全部确定后，问题才算解决。应力共15个函数。从理论上讲，只有15个函数全部确定后，问题才算解决。 15个函数 15个函数全部确定后但在各种实际问题中，起主要作用的常常只是其中的几个函数，但在各种实际问题中，起主要作用的常常只是其中的几个函数，有时甚至只是物体的某些部位的某几个函数。所以常常用实验和数学相结合的方法，只是物体的某些部位的某几个函数。所以常常用实验和数学相结合的方法，就可求解。就可求解。

第八章弹性力学问题一般解·空间轴对称问题

所求问题的边界条件给定的是边界上的位移 ui ui，则可直接进行计算。如果全部边界或部分边界上给出的是应力边界条件， ij l j F i 就要将应力形式的边界条件转换成为位移形式。其方法与将应力形式的平衡方程转化为Lame方程的方法大致相同。现推导如下：先后将式(4-6)、式(4-2)代人式(4-13)得 E E ij ij e ij ij e 2G ij (4 6) (1 )(1 2 ) (1 )
将 2G 换成 , E 来表示，则位移解答为
显然最大位移发生在边界上，由式(8-7)可知
将式(8-7)代入几何方程(4-2)求出应变，再引用式本够方程(4-6)可得应力分量解答
x y

1
( q pz ), z ( q pz ), xy yz zx 0
采用半逆解法。由于载荷和几何形状都对称于z 轴，则各点位移只在z向有变化。试假设
于是而
因此由Lame方程式(8-3)的前两式知，它们成为恒等式自然满足，而第三式给出
式中A、B为积分常数。边界上
边界条件式(8-6)前两式自然满足，
lx l y 0
lz 1
u u u u v w lx ly lz ) G ( lx ly lz ) x y z x x x v v v u v w F y el y G ( lx ly lz ) G ( lx ly lz ) x y z y y y w w w u v w F z el z G ( lx ly lz ) G ( lx ly lz ) x y z z z z F x el x G (
利用式(4-5)，式(1)中简化后得

第八章塑性本构关系

ij ij ( ij， )
材料从当前状态卸载后，恢复的应变为弹性应变，保留的应变为塑性应变。即在某一状态下的应变可分解为：
ij
e ij
p ij
• 假设卸载过程为弹性
Lijkl kl
e ij
Lijkl为弹性系数，称为弹性柔度张量
Lijkl 与开始卸载时的应力 ij 和内变量有关
中性变载加载
卸载加,卸载准则为: 加载; 后继屈服面中性变载; 卸载. 中性变载是指不产生新的塑性变形.
§8-3 Drucker公设和Ilyushin公设
一、Drucker公设 1. 稳定材料和不稳定材料. 材料的拉伸应力应变曲线可能有: a c b D 0 0 0
Nadai理论（1938）：考虑有限变形和材料硬化，但总变形中不考虑弹性变形。 Il’yushin (伊柳辛)理论（1943）：考虑有限变形和材料硬化。
(2)增量理论, 又称为流动理论, 它认为在塑性状态下是塑性应变增量和应力及应力增量之间的随动关系.增量理论能够反映应力历史的相关性，但数学处理相对复杂。塑性力学早期的增量理论有Levy-Mises(莱维-米泽斯)理论和PrandtlReuss(普朗特-罗伊斯)理论. 20世纪50年代，随着Drucker公设和稳定材料的定义，正交流动法则概念的提出，塑性力学有了很大的发展。这些定义和概念建立了屈服面或加载面与塑性应变的联系，为塑性应力-应变关系的描述提供了统一方法。
第八章塑形本构关系
引言:
塑性变形规律的复杂性, 到目前为止这个塑性本构关系问题还没有得到满意的解决.经典塑性本构关系的理论分为两大类: (1)全量理论, 又称为形变理论, 它认为在塑性状态下仍有应力和应变全量之间的关系. 包括：

弹塑性力学习题集(有图)

~弹塑性力学习题集[殷绥域李同林编!)~中国地质大学·力学教研室二○○三年九月》目录弹塑性力学习题 (1)第二章应力理论.应变理论 (1)；第三章弹性变形.塑性变形.本构方程 (6)第四章弹塑性力学基础理论的建立及基本解法 (8)第五章平面问题的直角坐标解答 (9)第六章平面问题的极坐标解答 (11)第七章柱体的扭转 (13)]第八章弹性力学问题一般解.空间轴对称问题 (14)第九章* 加载曲面.材料稳定性假设.塑性势能理论 (15)第十章弹性力学变分法及近似解法 (16)第十一章* 塑性力学极限分析定理与塑性分析 (18)第十二章* 平面应变问题的滑移线场理论解 (19)`附录一张量概念及其基本运算.下标记号法.求和约定 (21)习题参考答案及解题提示 (22)>前言弹塑性力学是一门理论性较强的技术基础课程，它与许多工程技术问题都有着十分密切地联系。

应用这门课程的知识，能较真实地反映出物体受载时其内部的应力和应变的分布规律，能为工程结构和构件的设计提供可靠的理论依据，因而受到工程类各专业的重视。

·《弹塑性力学习题集》是专为《弹塑性力学》（中国地质大学李同林、殷绥域编，研究生教学用书。

）教材的教学使用而编写的配套教材。

本习题集紧扣教材内容，选编了170余道习题。

作者期望通过不同类型习题的训练能有助于读者理解和掌握弹塑性力学的基本概念、基础理论和基本技能，并培养和提高其分析问题和解决问题的能力。

鉴于弹塑性力学课程理论性强、内容抽象、解题困难等特点，本书对所编习题均给出了参考答案，并对难度较大的习题给出了解题提示或解答。

本习题集的编写基本取材于殷绥域老师编写的弹塑性力学习题集，由李同林老师重新修编，进一步充实而成。

书中大部分内容都经过了多届教学使用。

为保证教学基本内容的学习，习题中带“*”号的题目可酌情选做。

由于编者水平所限，错误和不妥之处仍在所难免，敬请读者指正。

<编者2003年9月@弹塑性力学习题"第二章应力理论·应变理论2—1 试用材料力学公式计算：直径为1cm 的圆杆，在轴向拉力P = 10KN 的作用下杆横截面上的正应力σ及与横截面夹角︒=30α的斜截面上的总应力αP 、正应力ασ和剪应力ατ，并按弹塑性力学应力符号规则说明其不同点。

应用弹塑性力学课后习题答案

附录Ⅱ习题解答提示与参考答案第二章应力理论2-1 ζn=ζ1l2+ζ2m2,；式中l、m、n为斜截面外法线的方向余弦。

2-2 p=111.5A；ζn=26A；ηn=108.5A2-3 提示：平面Ax+By+C z+D=0的外法线的方向余弦为：(式中i=1，2，3或A，B，C)答案：2-4 略2-5 (a)ζ1=738.5；ζ2=600；ζ3=-338.5；ηmax=538.5；应力单位为MPa。

(b)ζ1=700；ζ2=600；ζ3=-600；ηmax=650；应力单位为MPa。

2-6 ζ1=3.732η0；ζ2=-0.268η0；α=15º。

2-7 (材料力学解) 应力单位为MPa。

(弹塑性力学解) 应力单位为MPa。

2-8 ζ1=107.3a；ζ2=44.1a；ζ3=-91.4a；ζ1主方向：(±0.314，0.900，0.305)；ζ2主方向：(±0.948，±0.282，±0.146)；ζ3主方向：(0.048，±0.337，0.940)。

2-9；ζ2=0；ζ3=-ζ1。

2-10、2-11 略2-12 (1)略；(2)ζ8=ζm=5.333MPa；η8=8.654MPa。

2-13 p8=59.5；ζ8=25.0a；η8=54.1a。

2-14上式中S为静矩。

材料力学解不满足平衡微分方程和边界条件。

2-15，Q为梁横截面上的剪力。

提示：利用平衡微分方程求解。

2-16 ζ1=17.083×103Pa；ζ2=4.917×103Pa；ζ3=0,∂=40º16′。

2-17 略2-18 2。

2-19 提示：将三个主方向的三组方向余弦分别两两一组代人式(2-12)证之。

2-20 。

2-21 在AA′上：ζx=-γy，ηxy=0；在AB上：ηxy=0，ζy=-γh；在BB′上：l1=cosα，l2=-sinα，l3=0；则应力分量满足关系式：2-22 。

李同林弹塑性力学第八章空间轴对称问题

并采用拉普拉斯算符：
可得下列用位移表示的平衡微分方程，也称拉梅位移方程：
可缩记为：
G u jji Guijj Fi 0
可改写为：
187
缩记为：
G i G2ui Fi 0 1 2
2．位移解法的张量推导：
若以位移为基本未知量，必须将泛定方程改用位移 ui 来表示。现在来进行推导：将式几何方程（4—2）代入本构方程（4—6）得：
192
（6）
uv0
(1 )(1 2 ) p 2 2 w q ( h z ) 2 (h z ) (1 ) E
（8—7）
显然最大位移发生在边界上，由式（8—7）可知：
wmax ( w) z 0 (1 )(1 2 ) 1 2 qh ph (1 ) E 2
一、位移法： 1．位移解法的一般推导：
为用位移作为基本未知量，必须将泛定方程改用位移 u、v 和 w 来表示。
186
为此，由本构方程，再利用几何方程可得：
再代入平衡微分方程得：注意到：
x y z ，则：
2u 2v 2 w x x 2 xy xz
问题的特点假设一部分应力或位移为已知，然后在基本方程和边界条件中，求解另一部分，这样便得到了全部未知量。在具体计算中对于简单问题经常先利用材料力学中对同类型问题的初等解作为近似解，建立应力（或位移）函数再代入弹性力学的基本方程中逐步修正得到精确解。
（3）迭代法：在塑性力学中使用全量理论并按位移求解问题时，还经常
F i (e ij 2Gij )l j e ijl j G(uij u ji )l j

弹塑性力学-第8章能量原理及其应用