高中数学基础知识过关题
【高中数学过关练习】过关练12 求函数的解析式
过关练12 求函数的解析式一、单选题1．（2022·全国·高一课时练习）已知2211f x x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则函数()2f 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】2221112f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22f x x ∴=+()22226f ∴=+=. 故选：D.2．（2022·全国·高一课时练习）已知()22143f x x +=+，则()f x =（ ）．A ．224x x -+B ．22x x +C ．221x x --D ．223x x ++【解析】因为()()()222143212214f x x x x +=+=+-++，所以()224f x x x =-+．故选：A3．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）已知函数2(1)21f x x x +=++，那么(1)f x -=（ ） A ．2x B ．21x + C ．221x x -+D ．221x x --【解析】令11t x x t =+⇒=-，则22()(1)2(1)1f t t t t =-+-+=，22(1)(1)21f x x x x -=-=-+. 故选：C.4．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()f x 为一次函数，且()()3751f f ==-，，则()1f =（ ） A ．15B ．15-C ．9D ．9-【解析】设()f x kx b =+，则3751k b k b +=⎧⎨+=-⎩，解得419k b =-⎧⎨=⎩，()419f x x ∴=-+，()141915f ∴=-+=．故选：A5．（2022·全国·高一专题练习）某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y 与x 成反比例（如图），现测得药物10分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为8毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于4毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是（ ）A ．11分钟B ．12分钟C ．15分钟D ．20分钟【解析】当010x ≤≤时，设y kx =， 将点(10,8)代入y kx =得：108k =，解得45k =， 则此时45y x =， 当10x >时，设a y x=， 将点(10,8)代入ay x=得：10880a =⨯=， 则此时80y x=， 综上，()4010580(10)x x y x x⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，当010x ≤≤时，445x =，解得5x =，当10x >时，804x=，解得20x ，则当4y ≥时，520x ≤≤，所以此次消毒的有效时间是20515-=（分钟）， 故选：C ．6．（2022·全国·高一课时练习）若函数2112f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，且()4f m =，则实数m 的值为（ ）A 6B 6或6-C ．6-D ．3【解析】令1x t x +=（2t ≥或2t ≤-），22221122x x t x x ⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭，()22f t t ∴=-，()224f m m =-=，6m ∴=故选；B7．（2022·全国·高一专题练习）已知)2fx x =，则有（ ）A ．()()2(2)0f x x x =-≥B ．2()(2)(2)f x x x =-≥C ．()()2(2)0f x x x =+≥D ．()()2(2)2f x x x =+≥ 2x t =，2t ≥，则()22x t =-，()2(2)f t t ∴=-，2t ≥，所以函数()f x 的解析式为()2(2)f x x =-，()2x ≥．故选：B.8．（2022·全国·高一课时练习）已知函数)222f x x x =+，则()f x 的最小值是（ ）A ．1-B ．2C ．1D ．02x t =，则2t ≥，且()22x t =-， 所以()()()22222222f t t t t t =-+-+=-+，()2t ≥所以()()2222(1)12f x x x x x =-+=-+≥，当2x =时，()()22min f x f ==. 故选：B9．（2022·全国·高一课时练习）已知定义域为R 的函数()f x 满足()()13f x f x +=，且当(]0,1x ∈时，()()41f x x x =-，则当[)2,1x ∈--时，()f x 的最小值是（ ）A ．181-B ．127-C ．19-D ．13-【解析】由题意得，()10f =，又()()0130f f +=， ∴()00f =，()()()()()1111221111003399f f f f f -=-+=-=-+==. ∵()2,1x ∈--，∴()20,1x +∈，∴()()()()()21144311221399929f x f x f x x x x ⎛⎫=+=+=++=+- ⎪⎝⎭，故当32x =-时，()f x 取得最小值19-.综上，当[)2,1x ∈--时，()f x 的最小值是19-.故选:C.二、多选题10．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x 是一次函数，满足()41f f x x =-⎡⎤⎣⎦，则()f x 的解析式可能是（ ） A ．()123f x x =-B ．()21f x x =--C ．()223f x x =+D ．()21f x x =-+【解析】设()f x kx b =+(0k ≠)，则2[()]()()f f x k f x b k kx b b k x kb b =⋅+=⋅++=++，∴241k kb b ⎧=⎨+=-⎩，解得213k b =⎧⎪⎨=-⎪⎩或21k b =-⎧⎨=⎩， ∴()123f x x =-或()21f x x =-+.故选：AD.11．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高一阶段练习）已知()221f x x +=，则下列结论正确的是（ ） A ．()34f -=B ．()2214x x f x -+=C ．()2f x x =D ．()39f = 【解析】由()221f x x +=，令21x t +=，可得12t x -=， 可得：()222(1)2124t t t f t --+==，即：()2214x x f x -+=，故C 不正确，B 正确；可得：()2(31)344f ---==，故A 正确；()2(31)314f -==故D 不正确； 故选：AB.三、填空题12．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高一期末）若()1fx x x =，则()3f =_____．11x t =≥1x t =-所以()()2211f t t t t t =-+-=-，即()2f x x x =-，()1x ≥，()23336f =-=.故答案为：613．（2022·全国·高一专题练习）若()1324f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()f x =______．【解析】由()1324f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭①，将x 用1x 代替得()1432ff x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭②，由①②得()12855x f x x-=. 故答案为：12855x x-. 14．（2022·全国·高一单元测试）已知()123f f x x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，()0x ≠，则()f x 的解析式为________．【解析】由题知，()132f x f x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，①；又()123f f x x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，②； 由①2-⨯②得，1()2f x x x-=+， 则()12f x x x=--， 故答案为：12x x--15．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()f x 满足()2()23f x f x x +-=+，则()f x =___________.【解析】因为()2()23f x f x x +-=+①， 所以()2()2()3f x f x x -+=⋅-+②， ②2⨯-①得，()21f x x =-+． 故答案为：21x -+．16．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x 满足对任意非零实数x ，均有()()()21122f f x f x x =+-，则()f x 在()0,∞+上的最小值为______. 【解析】对任意非零实数x ，均有()()()21122f f x f x x =+-，∴()()()211122f f f =+-，解得：()21f =， ∴()()()2122142f f f =+-，解得：()518f =，∴()511511518228222f x x x x x =+-≥⨯=，当且仅当5182x x =时，即25x =成立. 512.四、解答题(共0分)17．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()y f x =是一次函数，且()()23159f x f x x ++=-+，求()f x 的表达式．【解析】由题意，设一次函数的解析式为()f x kx b =+，因为()()23159f x f x x ++=-+，可得2(31)59kx b k x b x ++++=-+，整理得5259kx k b x ++=-+，即5529k k b =-⎧⎨+=⎩，解得1,5k b =-=，所以函数的表达式为()5f x x =-+. 18．（2022·全国·高一课时练习）已知函数)221=+gx x x .求函数()g x 的解析式；【解析】设2t x =，则2t ≥2x t =-， 所以22()(2)2(2)121g t t t t t =-+-+=-+， 所以2()21g x x x =-+，2x ≥．19．（2022·全国·高一课时练习）在①2(23)46f x x x -=-，②2()2()33f x f x x x +-=-，③对任意实数x ，y ，均有()2()f x y f y +=22233x xy y x y ++-+-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答.已知函数()f x 满足_________，求()f x 的解析式.注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分. 【解析】选①，令23t x =-，则32t x +=. 因为2(23)46f x x x -=-，所以233()4622t t f t ++⎛⎫=⨯-⨯⎪⎝⎭26939t t t =++--23t t =+ 即2(3)f x x x =+.选②，因为2()2()33f x f x x x +-=-，（1） 所以22()2()3()3()33f x f x x x x x -+=---=+.（2） （2）2⨯-（1）得23()39f x x x =+， 即2(3)f x x x =+.选③，令0x y ==，则(0)2(0)f f =，即(0)0f =.令0y =，则22()2(0)33f x f x x x x =++=+，所以，2(3)f x x x =+20．（2022·湖南·长沙市雨花区教育科学研究所高一期末）已知函数()f x 满足()1f x x a ++，且()11f =． (1)求a 的值和函数()f x 的解析式；(2)判断()f x 在其定义域的单调性并加以证明．【解析】(1)由()1f x x a ++，得()1f x x a -+则()1111f a a -+=，得1a =， 所以()f x x =(2)函数()f x 的定义域为[)0,∞+，函数()f x 为定义域上的增函数，证明如下： 任取1x 、[)20,x ∈+∞且12x x <，所以210x x ->， 所以()()(21212121212121x x x x f x f x x x x x x x -=++因为210x x ->210x x >，所以()()210f x f x ->， 所以()f x 在其定义域为单调增函数21．（2022·全国·高一课时练习）在①()()121f x f x x +=+-，②()()11f x f x +=-，且()03f =，③()2f x ≥恒成立，且()03f =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知二次函数()f x 的图像经过点（1，2），______. (1)求()f x 的解析式； (2)求()f x 在[)1,-+∞上的值域. 【解析】（1）选条件①.设()()20f x ax bx c a =++≠，则()()()()221112f x a x b x c ax a b x a b c +=++++=+++++.因为()()121f x f x x +=+-，所以()22221ax a b x a b c ax bx c x +++++=+++-，所以221a a b =⎧⎨+=-⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩.因为函数()f x 的图像经过点（1，2），所以()1122f a b c c =++=-+=，得3c =.故()223x x x f =-+.选条件②.设()()20f x ax bx c a =++≠，则函数()f x 图像的对称轴为直线2b x a=-. 由题意可得()()120312b a fc f a b c ⎧-=⎪⎪==⎨⎪=++=⎪⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩.故()223x x x f =-+.选条件③设()()20f x ax bx c a =++≠.因为()03f =，所以3c =.因为()()21f x f ≥=恒成立，所以()13212f a b b a⎧=++=⎪⎨-=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，故()223x x x f =-+.（2）由（1）可知()()222312f x x x x =-+=-+.因为1x ≥-，所以()210x -≥， 所以()2122x -+≥.所以()f x 在[)1,-+∞上的值域为[)2,+∞.22．（2022·全国·高一课时练习）（1）已知()24fx x x =+()f x 的解析式；（2）已知()f x 是二次函数，且满足()01f =，()()12f x f x x +=+，求函数()f x 的解析式；（3）已知()()22f x f x x x +-=-，求函数()f x 的解析式；（4）已知()f x 的定义在R 上的函数，()01f =，且对任意的实数x ，y 都有()()()21f x y f x y x y -=--+，求函数()f x 的解析式．【解析】（1）方法一 设2t x =，则2t ≥2x t =-，即()22x t =-，所以()()()222424f t t t t =-+-=-，所以()24f x x =-（2x ≥）.方法二 因为)()2224fx x =-，所以()()242f x x x =-≥．（2）因为()f x 是二次函数，所以设()()20f x ax bx c a =++≠．由()01f =，得1c =．由()()12f x f x x +=+，得()()2211112++++=+++a x b x ax bx x ，整理得()()220a x a b -++=，所以2200a a b -=⎧⎨+=⎩，所以1,1,a b =⎧⎨=-⎩所以()21f x x x =-+．（3）因为()()22f x f x x x +-=-，① 所以()()22f x f x x x -+=+，② 2⨯-②①，得()233f x x x =+，所以()23x f x x =+．（4）方法一 令y x =，则()()()()0211f x y f f x x x x -==--+=，所以()21f x x x =++．方法二 令0x =，则()()()001f y f y y -=--+，即()21f y y y -=-+，令x y =-，则()21f x x x =++．23．（2022·全国·高一）甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km ，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y （km ）与时间x （分）的关系．试写出y ＝f （x ）的函数解析式．【解析】当x ∈[0，30]，设y ＝k 1x ＋b 1，由已知得1110,302,b k b =⎧⎨+=⎩ ∴k 1＝115，b 1＝0，y ＝115x ； 当x ∈（30，40）时，y ＝2； 当x ∈[40，60]时，设y ＝k 2x ＋b 2，由已知得2222402,604,k b k b +=⎧⎨+=⎩ ∴k 2＝110，b 2＝－2，y ＝110x －2. ∴f （x ）＝1,[0,30],152,(30,40),12,[40,60]10x x x x x ⎧∈⎪⎪∈⎨⎪⎪-∈⎩24．（2022·广东汕尾·高一期末）某城市2021年12月8日的空气质量指数（Air Quality Inex ，简称AQI ）y 与时间x （单位：小时）的关系()y f x =满足下图连续曲线，并测得当天AQI 的最大值为103．当[]0,14x ∈时，曲线是二次函数图象的一部分；当(]14,24x ∈时，曲线是函数()()log 13102a g x x =-+（0a >且1a ≠）图象的一部分，根据规定，空气质量指数AQI 的值大于或等于100时，空气就属于污染状态．(1)求函数()y f x =的解析式；(2)该城市2021年12月8日这一天哪个时间段的空气属于污染状态？并说明理由． 【解析】（1）当(]14,24x ∈时，()()log 13102a f x x =-+，将()15,101代入得12a =， ∵14x =时，()log 13102102a x -+=，∴由()y f x =的图象是一条连续曲线可知，点()14,102在()y f x =的图象上，当[]0,14x ∈时，设()()212103f x x λ=-+，将()14,102代入得14λ=-，∴()()()212112103,0144log 13102,1424x x f x x x ⎧--+≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩．（2）由题意可知，空气属于污染状态时()100f x ≥， ∴()20141121031004x x ≤≤⎧⎪⎨--+≥⎪⎩或()121424log 13102100x x <≤⎧⎪⎨-+≥⎪⎩， ∴122314x -≤或1417x <≤，∴122317x -≤，∴当天在122317x -≤这个时间段，该城市的空气处于污染状态．25．（2022·广东·化州市第三中学高一阶段练习）已知二次函数()f x 的图象过点()0,4，对任意x 满足()()3f x f x -=，且有最小值是74.（1）求()f x 的解析式；（2）在区间[1,3]-上，()y f x =的图象恒在函数2y x m =+的图象上方，试确定实数m 的取值范围.【解析】（1）由题知二次函数图象的对称轴为32x =，又最小值是74则可设()()237024f x a x a ⎛⎫=-+≠ ⎪⎝⎭ 又图象过点(0)4，， 则2370424a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得1a =， ∴()22373424f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭. （2）由已知，()2f x x m >+对[1,3]x ∈-恒成立， ∴254m x x <-+在[1,3]x ∈-恒成立，∴()()2min 5[]341,x m x x -∈-<+. ∵()254g x x x =-+在[1,3]x ∈-上的最小值为94-. ∴94m <-.。
高中数学6.4《平面向量的应用》基础过关练习题
第六章 6.4 6.4.1 6.4.2A 级——基础过关练1．两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N ，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( )A ．40 NB ．10 2 NC ．20 2 ND ．10 3 N【答案】B 【解析】|F 1|＝|F 2|＝|F |cos 45°＝102，当θ＝120°时，由平行四边形法则知|F 合|＝|F 1|＝|F 2|＝10 2 N.2．(2020年北京期末)已知正方形ABCD 的边长为1，设AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则|a －b ＋c|等于( )A ．0B ．2C ．2D ．22【答案】C 【解析】如图，a ＋b ＝c ，则|a －b ＋c|＝|2a|.又|a|＝1，∴|a －b ＋c|＝2.故选C ．3．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的( )A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点【答案】D 【解析】∵OA →·OB →＝OB →·OC →，∴(OA →－OC →)·OB →＝0.∴OB →·CA →＝0.∴OB ⊥AC ．同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB ，∴O 为三条高的交点．4．(2020年深圳期中)已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N ，合力与F 1的夹角为60°，那么F 2的大小为( )A ．5 3 NB ．5 NC ．10 ND ．5 2 N【答案】A 【解析】由题意可知对应向量如图．由于α＝60°，∴F 2的大小为|F 合|·sin60°＝10×32＝5 3 N ．故选A ．5．已知直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ＝2，DC ＝1，AB ∥DC ，则当AC ⊥BC 时，AD ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】建立平面直角坐标系，如图所示．设AD ＝t (t ＞0)，则A (0,0)，C (1，t )，B (2,0)，则AC →＝(1，t )，BC →＝(－1，t )．由AC ⊥BC 知AC →·BC →＝－1＋t 2＝0，解得t ＝1，故AD ＝1.6．一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进60 m ，若牵绳与行进方向夹角为30°，纤夫的拉力为50 N ，则纤夫对船所做的功为________J.【答案】1 5003 【解析】所做的功W ＝60×50×cos 30°＝1 5003(J)．7．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则y 与x 的函数关系式为________．【答案】y ＝－12x ＋2 【解析】OP →·OA →＝(x ，y )·(1,2)＝x ＋2y ＝4，∴x ＋2y －4＝0，则y＝－12x ＋2.8．在四边形ABCD 中，已知AB →＝(4，－2)，AC →＝(7,4)，AD →＝(3,6)，则四边形ABCD 的面积是________．【答案】30 【解析】BC →＝AC →－AB →＝(3,6)＝AD →，又因为AB →·BC →＝(4，－2)·(3,6)＝0，所以四边形ABCD 为矩形．又|AB →|＝42＋(－2)2＝25，|BC →|＝32＋62＝35，所以S ＝|AB→||BC →|＝25×35＝30.9．如图，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC 的长．解：设AD →＝a ，AB →＝b ，则BD →＝a －b ，AC →＝a ＋b ，而|BD →|＝|a －b|＝a 2－2a·b ＋b 2＝1＋4－2a·b ＝5－2a·b ＝2，所以5－2a·b ＝4.所以a·b ＝12.又|AC →|2＝|a ＋b|2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝1＋4＋2a·b ＝6，所以|AC →|＝6，即AC ＝ 6.10．质量m ＝2.0 kg 的木块，在平行于斜面向上的拉力|F|＝10 N 的作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s |＝2.0 m 的距离(g 取9.8 N/kg)．(1)分别求物体所受各力对物体所做的功；(2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？解：(1)木块受三个力的作用，重力G ，拉力F 和支持力F N ，如图所示．拉力F 与位移s 方向相同，所以拉力对木块所做的功为W F ＝F·s ＝|F|·|s |cos 0°＝20(J)．支持力F N 的方向与位移方向垂直，不做功，所以W N ＝F N ·s ＝0.重力G 对物体所做的功为W G ＝G·s ＝|G||s |cos(90°＋θ)＝－19.6(J)．(2)物体所受各力对物体做功的代数和为W ＝W F ＋W N ＋W G ＝0.4(J)．B 级——能力提升练11．△ABC 中，若动点D 满足CA →2－CB →2＋2AB →·CD →＝0，则点D 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．垂心D ．重心【答案】A 【解析】取AB 的中点E ，则CA →2－CB →2＋2AB →·CD →＝(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＋2AB →·CD →＝2CE →·BA →＋2AB →·CD →＝2AB →·(CD →－CE →)＝2AB →·ED →＝0，∴AB ⊥ED ，即点D 在AB 的垂直平分线上．∴点D 的轨迹一定通过△ABC 的外心．12．如图，用两根分别长52米和10米的绳子，将100 N 的物体吊在水平屋顶AB 上，平衡后，G 点距屋顶距离恰好为5米，绳子的重量忽略不计，则A 处所受力的大小为( )A ．1202－50 6 NB ．1502－50 6 NC ．1203－50 2 ND ．1503－50 2 N【答案】B 【解析】如图，由已知条件可知AG 与垂直方向成45°角，BG 与垂直方向成60°角．设A 处所受力为F a ，B 处所受力为F b ，物体的重力为G ，∠EGC ＝60°，∠EGD ＝45°，则有|F a |·cos 45°＋|F b |cos 60°＝G ＝100①，且|F a |·sin 45°＝|F b |sin 60°②.由①②解得|F a |＝1502－50 6.故选B ．13．(2020年太原月考)在△ABC 中，若AD →＝13AB →＋12AC →，记S 1＝S △ABD ，S 2＝S △ACD ，S 3＝S △BCD ，则下列结论正确的是( )A ．S 3S 1＝23B ．S 2S 3＝12C ．S 2S 1＝23D ．S 1＋S 2S 3＝163【答案】C 【解析】如图，作AE →＝13AB →，AF →＝12AC →，则AD →＝AE →＋AF →，∴四边形AEDF是平行四边形．∴S △ADE ＝S △ADF .设△ABD 的边AB 上的高为h 1，△ACD 的边AC 上的高为h 2，则12|AE →|h 1＝12|AF →|h 2，∴13·⎝⎛⎭⎫12|AB →|h 1＝12·⎝⎛⎭⎫12|AC →|h 2.∴13S 1＝12S 2.∴S 2S 1＝1312＝23.故选C ．14．如图所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2，6)，则AC 和OB 的交点P 的坐标为________．(3,3) 【解析】设P (x ，y )，OB →＝(4,4)，OP →＝(x ，y )，由于OB →∥OP →，所以x －y ＝0.AC →＝(－2,6)，AP →＝(x －4，y )，由于AP →∥AC →，所以6(x －4)＋2y ＝0.可得x ＝3，y ＝3，故P 的坐标是(3,3)．15．已知P ，Q 为△ABC 内的两点，且AQ →＝14AC →＋12AB →，AP →＝12AC →＋14AB →，则△APQ 的面积与△ABC 的面积之比为________．【答案】316 【解析】如图，根据题意，P ，Q 为△ABC 中位线DE ，DF 的中点，PQ ＝12EF ＝14BC ，而A 到PQ 的距离是到BC 距离的34，根据三角形的面积公式可知，S △APQ ＝316S △ABC ．16．若a ，b 是两个不共线的非零向量，t ∈R .(1)t 为何值时，共起点的三个向量a ，t b ，13(a ＋b )的终点在一条直线上？(2)若|a|＝|b|且a 与b 的夹角为60°，t 为何值时，|a －t b |最小？解：(1)由题意得a －t b 与a －13(a ＋b )共线，则设a －t b ＝m ⎣⎡⎦⎤a －13(a ＋b )，m ∈R ，化简得⎝⎛⎭⎫23m －1a ＝⎝⎛⎭⎫m 3－t b .因为a 与b 不共线，所以⎩⎨⎧23m －1＝0，m 3－t ＝0，解得⎩⎨⎧m ＝32，t ＝12.所以当t ＝12时，a ，t b ，13(a ＋b )三个向量的终点在一条直线上．(2)因为|a|＝|b|，所以|a －t b |2＝(a －t b )2＝|a |2＋t 2|b |2－2t |a||b |cos 60°＝(1＋t 2－t )|a |2＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫t －122＋34·|a |2.所以当t ＝12时，|a －t b |有最小值32|a |.17．某人骑车以每小时a 千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来；而当速度为每小时2a 千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向．解：设a 表示此人以每小时a 千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为－a .设实际风速为v ，那么此时人感到风速为v －a ，设OA →＝－a ，OB →＝－2a ，PO →＝v .因为PO →＋OA →＝P A →，所以P A →＝v －a ，这就是感到由正北方向吹来的风速．因为PO →＋OB →＝PB →，所以PB →＝v －2a .于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是PB →.由题意∠PBO ＝45°，P A ⊥BO ，BA ＝AO ，从而，△POB 为等腰直角三角形，所以PO ＝PB ＝2a ，即|v |＝2a .所以实际风速是每小时2a 千米的西北风．C 级——探索创新练18．在△ABC 中，AC ＝BC ＝33AB ＝1，且CE →＝xCA →，CF →＝yCB →，其中x ，y ∈(0,1)，且x ＋4y ＝1.若M ，N 分别为线段EF ，AB 中点，则线段MN 的最小值为________．【答案】77【解析】如图，连接CM ，CN ，∵等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝1，AB ＝3，∴∠ACB ＝120°.∴CA →·CB →＝|CA →|·|CB →|cos 120°＝－12.又CM 是△CEF 的中线，∴CM →＝12(CE→＋CF →)＝12(xCA →＋yCB →)．同理可得CN →＝12(CA →＋CB →)，∴MN →＝CN →－CM →＝1－x 2CA →＋1－y 2CB →.∴MN→2＝(1－x )24＋(1－x )(1－y )2×⎝⎛⎭⎫－12＋(1－y )24.由x ＋4y ＝1，得1－x ＝4y ，代入上式得MN →2＝214y 2－32y ＋14.又x ，y ∈(0,1)，∴当y ＝17时，MN →2取得最小值17，此时|MN →|的最小值为77，即线段MN 的最小值为77.。
高中数学10.1.4《概率的基本性质》基础过关练习题
第十章 10.1 10.1.4A 级——基础过关练1．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20,0.30,0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为( )A ．0.40B ．0.30C ．0.60D ．0.90【答案】A 【解析】依题意，射中8环及以上的概率为0.20＋0.30＋0.10＝0.60，故不够8环的概率为1－0.60＝0.40.故选A ．2．(2019年咸阳检测)某校高三(1)班50名学生参加1 500 m 体能测试，其中23人成绩为A ，其余人成绩都是B 或C ．从这50名学生中任抽1人，若抽得B 的概率是0.4，则抽得C 的概率是( )A ．0.14B ．0.20C ．0.40D ．0.60【答案】A 【解析】由于成绩为A 的有23人，故抽到C 的概率为1－2350－0.4＝0.14.故选A ．3．(2019年信阳月考)盒子中有若干个红球和黄球，已知从盒中取出2个球都是红球的概率为328，从盒中取出2个球都是黄球的概率是514，则从盒中任意取出2个球恰好是同一颜色的概率是( )A ．1328B ．57C ．1528D ．37【答案】A 【解析】设“从中取出2个球都是红球”为事件A ，“从中取出2个球都是黄球”为事件B ，“任意取出2个球恰好是同一颜色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥，所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝328＋514＝1328.故选A ．4．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A 表示“向上的点数是奇数”，事件B 表示“向上的点数不超过3”，则P (A ∪B )＝( )A ．12B ．23C ．56D ．1【答案】B 【解析】(方法一)A 包含向上点数是1,3,5的情况，B 包含向上的点数是1,2,3的情况，所以A ∪B 包含了向上点数是1,2,3,5的情况，故P (A ∪B )＝46＝23.(方法二)P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )＝12＋12－26＝1－13＝23.故选B ．5．从1,2,3，…，30这30个数中任意摸出一个数，则事件“摸出的数是偶数或能被5整除的数”的概率是( )A ．710B ．35C ．45D ．110【答案】B 【解析】(方法一)这30个数中“是偶数”的有15个，“能被5整除的数”有6个，这两个事件不互斥，既是偶数又能被5整除的数有3个，所以事件“是偶数或能被5整除的数”包含的样本点是18个，而样本点共有30个，所以所求的概率为1830＝35.(方法二)设事件A “摸出的数为偶数”，事件B “摸出的数能被5整除”，则P (A )＝12，P (B )＝630＝15，P (A ∩B )＝330＝110，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )＝12＋15－110＝35.故选B ．6．已知P (A )＝0.4，P (B )＝0.2.(1)如果B ⊆A ，则P (A ∪B )＝________， P (AB )＝________；(2)如果A ，B 互斥，则P (A ∪B )＝________， P (AB )＝________.【答案】(1)0.4 0.2 (2)0.6 0 【解析】(1)因为B ⊆A ，所以P (A ∪B )＝P (A )＝0.4，P (AB )＝P (B )＝0.2.(2)如果A ，B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.4＋0.2＝0.6，P (AB )＝0.7．已知事件A ，B 互斥，它们都不发生的概率为25，且P (A )＝2P (B )，则P (A )＝________.【答案】25 【解析】因为事件A ，B 互斥，它们都不发生的概率为25，所以P (A )＋P (B )＝1－25＝35.又因为P (A )＝2P (B )，所以P (A )＋12P (A )＝35，所以P (A )＝25.8．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如下表所示：． 【答案】0.68 【解析】由题意知至多3人排队等候的概率为0.72，则a ＋b ＋0.3＋0.1＝0.72，从而得到a ＋b ＝0.32，故至少2人排队等候的概率为1－a －b ＝0.68.9．(2020年保定月考)甲、乙两人进行围棋比赛，记事件A 为“甲获得比赛胜利或者平局”，事件B 为“乙获得比赛的胜利或者平局”，已知P (A )＝0.7，P (B )＝0.4.(1)求甲获得比赛胜利的概率； (2)求甲、乙两人获得平局的概率．解：(1)甲获得比赛胜利的概率P 1＝1－P (B )＝1－0.4＝0.6. (2)甲、乙两人获得平局的概率为P 2＝P (A )－P 1＝0.7－0.6＝0.1.10．某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A 饮料，另外2杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A 饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为不合格．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．(1)求此人被评为优秀的概率； (2)求此人被评为良好及以上的概率．解：将5杯饮料编号为1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A 饮料，编号4,5表示B 饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，(345)，共有10种．令D 表示“此人被评为优秀”的事件，E 表示“此人被评为良好”的事件，F 表示“此人被评为良好及以上”的事件．(1)P (D )＝110.(2)P (E )＝610＝35，P (F )＝P (D )＋P (E )＝710.B 级——能力提升练11．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，从中取出2粒都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A ．17B ．1235C ．1735D ．1【答案】C 【解析】易知事件“从中取出2粒都是黑子”和“从中取出2粒都是白子”为互斥事件，故所求的概率为17＋1235＝1735.故选C ．12．从几个数中任取实数x ，若x ∈(－∞，－1]的概率是0.3，x 是负数的概率是0.5，则x ∈(－1,0)的概率是________．【答案】0.2 【解析】设“x ∈(－∞，－1]”为事件A ，“x 是负数”为事件B ，“x ∈(－1,0)”为事件C ，由题意知，A ，C 为互斥事件，B ＝A ∪C ，∴P (B )＝P (A )＋P (C )，∴P (C )＝P (B )－P (A )＝0.5－0.3＝0.2.13．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为14，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________． 【答案】1928 【解析】由题意知事件“甲夺得冠军”与“乙夺得冠军”互斥，故所求事件的概率为37＋14＝1928.14．已知A ，B ，C 两两互斥，且P (A )＝0.3，P (B )＝0.6，P (C )＝0.2，则P (A ∪B ∪C )＝________.【答案】0.9 【解析】因为P (B )＝0.6，所以P (B )＝1－P (B )＝0.4.又A ，B ，C 两两互斥，所以P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.3＋0.4＋0.2＝0.9.15．口袋中有若干个大小形状完全相同的红球、黄球、蓝球，随机摸出一球，是红球的概率为0.45，是红球或黄球的概率为0.64，则摸出是红球或蓝球的概率是________．【答案】0.81 【解析】因为摸出是红球的概率为0.45，是红球或黄球的概率为0.64，所以摸出黄球的概率为0.64－0.45＝0.19，所以摸出是红球或蓝球的概率为1－0.19＝0.81.16．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率，则当天商店不进货的概率为________．【答案】310 【解析】商店不进货即日销售量少于2件，显然“日销售量为1件”与“日销售量为0件”不可能同时发生，彼此互斥，分别计算两事件发生的频率，将其视作概率，利用概率加法公式可解．记“当天商品销售量为0件”为事件A ，“当天商品销售量为1件”为事件B ，“当天商店不进货”为事件C ，则P (C )＝P (A )＋P (B )＝120＋520＝310.17．近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000 吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率．解：(1)设“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量为m 吨，厨余垃圾总量为n 吨，则m ＝400，n ＝400＋100＋100＝600.所以厨余垃圾投放正确的概率约为m n ＝400600＝23.(2)设“生活垃圾投放错误”为事件A ，则事件A 表示“生活垃圾投放正确”，从而P (A )＝400＋240＋601 000＝0.7，所以P (A )＝1－P (A )＝1－0.7＝0.3.18．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．解：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y ＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20,25)，则Y ＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100.所以，Y 的所有可能值为900,300，－100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490＝0.8，因此Y 大于零的概率的估计值为0.8.C 级——探索创新练19．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：(ⅰ)元)的平均数；(ⅱ)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．解：(1)若当天需求量n ≥17，则利润y ＝85； 若当天需求量n <17，则利润y ＝10n －85.故y 关于n 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －85，n <17，85，n ≥17(n ∈N )．(2)(ⅰ)这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的日利润的平均数为1100×(55×10＋65×20＋75×16＋85×54)＝76.4(元)．(ⅱ)“当天的利润不少于75元”即“当天的需求量不少于16枝”，故当天的利润不少于75元的概率为0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.7.。
高中数学10.2《事件的相互独立性》基础过关练习题
第十章 10.2A 级——基础过关练1．袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A 表示“第一次摸得白球”，用B 表示“第二次摸得白球”，则A 与B 是( )A ．互斥事件B ．相互独立事件C ．对立事件D ．不相互独立事件【答案】D 【解析】根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知，A 与B 不是相互独立事件．故选D ．2．若P (AB )＝19，P (A )＝23，P (B )＝13，则事件A 与B 的关系是( )A ．事件A 与B 互斥 B ．事件A 与B 对立C ．事件A 与B 相互独立D ．事件A 与B 既互斥又独立【答案】C 【解析】因为P (A )＝23，所以P (A )＝13，又P (B )＝13，P (AB )＝19，所以有P (AB )＝P (A )·P (B )，所以事件A 与B 相互独立但不一定互斥．故选C ．3．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是( )A ．1425B ．1225C ．34D ．35【答案】A 【解析】由题意知P 甲＝810＝45，P 乙＝710，所以p ＝P 甲·P 乙＝1425.故选A ．4．甲和乙下象棋，他们约定谁先赢满5局，谁就获胜．下完7局时，甲赢了4局，乙赢了3局，假设每局甲、乙输赢的概率各占12，每局输赢相互独立，那么甲、乙2人分别获胜的概率为多少( )A ．甲获胜概率为12，乙获胜概率为12B ．甲获胜概率为14，乙获胜概率为34C ．甲获胜概率为34，乙获胜概率为14D ．甲获胜概率为23，乙获胜概率为13【答案】C 【解析】由题意得，甲获胜的概率为12＋12×12＝34，乙获胜的概率为12×12＝14.故选C ． 5．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙、丙去北京旅游的概率分别为14，15.假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( )A ．5960B ．35C ．12D ．160【答案】B 【解析】因为甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为13，14，15，所以他们不去北京旅游的概率分别为23，34，45，故至少有1人去北京旅游的概率为1－23×34×45＝35.故选B ．6．甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局，甲乙各胜一局，则再赛2局结束这次比赛的概率为________．【答案】0.52 【解析】记“第i 局甲获胜”为事件A i (i ＝3,4,5)，记“第j 局乙获胜”为事件B j (j ＝3,4,5)．设“再赛2局结束这次比赛”为事件A ，则A ＝A 3·A 4＋B 3·B 4.由于各局比赛结果相互独立，故P (A )＝P (A 3·A 4＋B 3·B 4)＝P (A 3·A 4)＋P (B 3·B 4)＝P (A 3)·P (A 4)＋P (B 3)·P (B 4)＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52.7．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为13，12，23，则汽车在这三处因遇红灯或黄灯而停车一次的概率为________． 【答案】718 【解析】分别设汽车在甲、乙、丙三处通行的事件为A ，B ，C ，则P (A )＝13，P (B )＝12，P (C )＝23，停车一次为事件(A BC )∪(A B C )∪(AB C )，故其概率p ＝⎝⎛⎭⎫1－13×12×23＋13×⎝⎛⎭⎫1－12×23＋13×12×⎝⎛⎭⎫1－23＝718. 8．某学生语、数、英三科考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率分别为0.9,0.8,0.85，求在一次考试中：(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？ (2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？解：分别记“该学生语、数、英考试成绩排名全班第一”的事件为A ，B ，C ，则A ，B ，C 两两互相独立，且P (A )＝0.9，P (B )＝0.8，P (C )＝0.85.(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用A B C 表示，P (A B C ))＝P (A )P (B )P (C )＝[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85)＝0.003，即三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可用(A BC )∪(A B C )∪(AB C )表示．由于事件A BC ，A B C 和AB C 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的意义，所求的概率为P (A B B C )＋P (A B B C )＋P (AB C )＝P (A )·P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝[1－P (A )]P (B )P (C )＋P (A )[1－P (B )]P (C )＋P (A )·P (B )[1－P (C )]＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)＝0.329，即恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.9．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100)m 跑(互不影响)的成绩在13)s 内(称为合格)的概率分别为25，34，13，若对这三名短跑运动员的100)m 跑的成绩进行一次检测，求：(1)三人都合格的概率； (2)三人都不合格的概率； (3)出现几人合格的概率最大．解：记“甲、乙、丙三人100)m 跑成绩合格”分别为事件A ，B ，C ，显然事件A ，B ，C 相互独立，则P (A )＝25，P (B )＝34，P (C )＝13.设恰有k 人合格的概率为P k (k ＝0,1,2,3)．(1)三人都合格的概率为P 3＝P (ABC )＝P (A )·P (B )·P (C )＝25×34×13＝110.(2)三人都不合格的概率为P 0＝P (A )B ))C )＝P (A )·P (B )·P (C )＝35×14×23＝110.(3)恰有两人合格的概率为P 2＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝25×34×23＋25×14×13＋35×34×13＝2360.恰有一人合格的概率为P 1＝1－P 0－P 2－P 3＝1－110－2360－110＝2560＝512.综合(1)(2)(3)可知P 1最大．所以出现恰有1人合格的概率最大．B 级——能力提升练10．甲骑自行车从A 地到B 地，途中要经过4个十字路口，已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是13，且在每个路口是否遇到红灯相互独立，那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到第三个路口才首次遇到红灯的概率是( )A ．13B ．427C ．49D ．127【答案】B 【解析】由题意知，甲在前两个十字路口没有遇到红灯，直到第三个路口才首次遇到红灯的概率为p ＝23×23×13＝427.故选B ．11．(2020年广州月考)某大学选拔新生补充进“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2019年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团的概率依次为m ，13，n ，已知三个社团他都能进入的概率为124，至少进入一个社团的概率为34，则m ＋n ＝( ) A ．12B ．23C ．34D ．512【答案】C 【解析】由题意得⎩⎨⎧13mn ＝124，(1－m )⎝⎛⎭⎫1－13(1－n )＝1－34，即m ＋n ＝34.故选C ．12．端午节放假，甲、乙、丙回老家过节的概率分别为13，14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人回老家过节的概率为( )A ．5960B ．35C ．12D ．160【答案】B 【解析】“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件A ，B ，C ，则P (A )＝13，P (B )＝14，P (C )＝15，所以P (A )＝23，P (B )＝34，P (C )＝45.由题知A ，B ，C 为相互独立事件，所以三人都不回老家过节的概率P (A B C )＝P (A )P (B )·P (C )＝23×34×45＝25，所以至少有1人回老家过节的概率p ＝1－25＝35.故选B ．13．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是互相独立的，则灯亮的概率为( )A ．316B ．34C ．1316D ．14【答案】C 【解析】记“A ，B ，C ，D 四个开关闭合”分别为事件A ，B ，C ，D ，可用对立事件求解，图中含开关的三条线路同时断开的概率为P (C )P (D )[1－P (AB )]＝12×12×⎝⎛⎭⎫1－12×12＝316.所以灯亮的概率为1－316＝1316，故选C ． 14．事件A ，B ，C 相互独立，如果P (AB )＝16，P (B C )＝18，P (AB C )＝18，则P (B )＝________，P (A B )＝________.【答案】12 13【解析】易知⎩⎪⎨⎪⎧P (A )·P (B )＝16，P (B )·P (C )＝18，P (A )·P (B )·P (C )＝18，解得P (A )＝13，P (B )＝12，P (C )＝14，所以P (A B )＝P (A )·P (B )＝23×12＝13.15．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为45、56、23，且三个项目是否成功互相独立．(1)求恰有两个项目成功的概率； (2)求至少有一个项目成功的概率．解：(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为45×56×⎝⎛⎭⎫1－23＝29，只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为45×⎝⎛⎭⎫1－56×23＝445，只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为⎝⎛⎭⎫1－45×56×23＝19，所以恰有两个项目成功的概率为29＋445＋19＝1945. (2)三个项目全部失败的概率为⎝⎛⎭⎫1－45×⎝⎛⎭⎫1－56×⎝⎛⎭⎫1－23＝190， 所以至少有一个项目成功的概率为1－190＝8990.16．某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0.6,0.4,0.5,0.2.已知各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选手被淘汰的概率；(2)求该选手在选拔中至少回答了2个问题后最终被淘汰的概率．解：记“该选手能正确回答第i 轮的问题”为事件A i (i ＝1,2,3,4)，则P (A 1)＝0.6，P (A 2)＝0.4，P (A 3)＝0.5，P (A 4)＝0.2.(1)(方法一)该选手被淘汰的概率p ＝P (A 1∪A 1A 2∪A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3A 4)＝P (A 1)＋P (A 1)P (A )2)＋P (A 1)·P (A 2)P (A )3)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)P (A )4)＝0.4＋0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.976.(方法二)p ＝1－P (A 1A 2A 3A 4)＝1－P (A 1)P (A 2)·P (A 3)·P (A 4)＝1－0.6×0.4×0.5×0.2＝1－0.024＝0.976.(2)(方法一)p ＝P (A 1A )2∪A 1A 2A )3∪A 1A 2A 3A )4)＝P (A 1)P (A )2)＋P (A 1)P (A 2)P (A )3)＋P (A 1)·P (A 2)·P (A 3)P (A 4)＝0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.576.(方法二)p ＝1－P (A 1)－P (A 1A 2A 3A 4)＝1－(1－0.6)－0.6×0.4×0.5×0.2＝0.576.C 级——探索创新练17．(2020年中山期末)电路从A 到B 上共连接着6个灯泡(如图)，每个灯泡断路的概率为13，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从A 到B 连通的概率是( )A ．1027B ．448729C ．100243D ．4081【答案】B 【解析】依题意，从A 到B 连通的概率p ＝⎝⎛⎭⎫1－13×13×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1－23×23⎝⎛⎭⎫1－23×23＝448729.故选B ． 18．(2020年成都模拟)国际羽毛球比赛规则从2006年5月开始，正式决定实行21分的比赛规则和每球得分制，并且每次得分者发球，所有单项的每局获胜分至少是21分，最高不超过30分，即先到21分的获胜一方赢得该局比赛，如果双方比分为20∶20时，获胜的一方需超过对方2分才算取胜，直至双方比分打成29∶29时，那么先到第30分的一方获胜．在一局比赛中，甲发球赢球的概率为12，甲接发球赢球的概率为35，则在比分为20∶20，且甲发球的情况下，甲以23∶21赢下比赛的概率为( )A ．18B ．320C ．950D ．720【答案】B 【解析】根据题意，甲后4局的比赛输赢情况只能为①输赢赢赢，②赢输赢赢，故所求概率p ＝12×35×12×12＋12×12×35×12＝320.故选B ．。
高中数学必修1基础知识过关100题带答案
高中数学必修1基础知识过关100题带答案1.方程组3x=6，x+2y=6的解构成的集合是{2}。
2.不同于另外三个集合的是C.{x=1}。
3.若函数f(x)=ax^2-x-1有且仅有一个零点，则实数a的值为1/4.4.是空集的是C.{x|x^2<0}。
5.能使A⊇B成立的实数a的取值范围是B.{a|3<a<4}。
6.若B⊆A，则实数m=4.7.M∪N={3,5,6,7,8}。
8.A∩B={x|x>-1}。
9.M∩N={0}。
10.A∩B={x|-1<x≤3}。
11.A∩(∁B U)=C.{3}。
12.集合C={x|x≥1/2}。
则f(x)＝2x＋1，x＞2或x＜－427．若f(x)＝ax＋b，且f(1)＝2，f(2)＝3，则a＝()，b＝().28．已知函数f(x)＝x2－4x＋3，g(x)＝2x－1，则f(g(x))＝()A．4x2－12xB．4x2－8x－1C．4x2－4x－1D．4x2－4x＋129．已知函数f(x)＝x2－x＋1，g(x)＝x＋1，则f(g(x))＝() A．x2＋2xB．x2＋x＋1C．x2＋2x＋1D．x2－2x＋130．已知函数f(x)＝x3＋1，g(x)＝x－1，则f(g(x))＝()A．x3－x2＋xB．x3－3x2＋3xC．x3－3xD．x3－2x2＋x31．已知函数f(x)＝x＋1，g(x)＝2x－1，则f(g(x))＝()A．2xB．2x＋1C．2x＋2D．2x－132．已知函数f(x)＝2x－1，g(x)＝x2，则f(g(x))＝()A．2x2－1B．2x4－1C．2x2－2D．2x4－2x＋133．已知函数f(x)＝x2－1，g(x)＝x＋1，则f(g(x))＝()A．x2＋2xB．x2＋2x＋1C．x2＋2x－1D．x2＋x34．已知函数f(x)＝x＋1，g(x)＝x2，则f(g(x))＝()A．x2＋xB．x2＋x＋1C．x2＋2xD．x2＋2x＋135．已知函数f(x)＝x2＋1，g(x)＝x＋1，则f(g(x))＝()A．x2＋2xB．x2＋2x＋1C．x2＋x＋2D．x2＋2x＋236．已知函数f(x)＝|x|，g(x)＝x2，则f(g(x))＝()A．|x2|B．x2C．x2＋1D．|x2|＋137．已知函数f(x)＝x2，g(x)＝|x|，则f(g(x))＝()A．x4B．x2C．|x|2D．|x|27.已知函数f(x) = {2x。
高中数学8.1 《旋转体与简单组合体的结构特征》基础过关练习题目
第八章8.1第2课时A级——基础过关练1．圆锥的母线有()A．1条B．2条C．3条D．无数条【答案】D【解析】由图锥母线的定义可知圆锥的母线有无数条．故选D．2．给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是()A．①②B．①③C．②③D．③④【答案】A【解析】①正确，圆柱的底面是圆面；②正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③不正确，圆台的母线延长相交于一点；④不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．3．等腰三角形ABC绕底边上的中线AD所在的直线旋转所得的几何体是()A．圆台B．圆锥C．圆柱D．球【答案】B【解析】由题意可得AD⊥BC，且BD＝CD，所以形成的几何体是圆锥．故选B．4．如图，在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是()A．一个棱柱中挖去一个棱柱B．一个棱柱中挖去一个圆柱C．一个圆柱中挖去一个棱锥D．一个棱台中挖去一个圆柱【答案】B【解析】一个六棱柱挖去一个等高的圆柱．故选B．5．(多选)如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法正确的是()A．该几何体是由2个同底的四棱锥组成的几何体B．该几何体有12条棱、6个顶点C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余各面均为三角形【答案】ABC【解析】该几何体用平面ABCD可分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个截面而不是一个面．故D说法不正确．故选ABC．6．下列说法正确的是________．①圆台可以由任意一个梯形绕其一边所在直线旋转形成；②在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；③圆柱的任意两条母线平行，圆锥的任意两条母线相交，圆台的任意两条母线延长后相交．【答案】③【解析】①错，圆台是直角梯形绕其直角边所在直线或等腰梯形绕其底边的中线所在直线旋转形成的；由母线的定义知②错；③正确．7．圆台的两底面半径分别为2,5，母线长是310，则其轴截面面积是________．【答案】63【解析】设圆台的高为h，则h＝(310)2－(5－2)2＝9，∴轴截面面积S＝12×(4＋10)×9＝63.8．某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm，如图所示，则该地球仪的半径是________cm.【答案】43 【解析】如图所示，由题意知北纬30°所在小圆的周长为12π，则该小圆的半径r ＝6，其中∠ABO ＝30°，所以该地球仪的半径R ＝6cos 30°＝4 3 cm.9．圆台的上底周长是下底周长的13，轴截面面积等于392，母线与底面的夹角为45°，求此圆台的高、母线长及两底面的半径．解：设圆台上、下底面半径分别为r ，R ，母线长为l ，高为h . 由题意，得2πr ＝13·2πR ，即R ＝3r .①12(2r ＋2R )·h ＝392，即(R ＋r )h ＝392.② 又母线与底面的夹角为45°，则h ＝R －r ＝22l .③ 联立①②③，得R ＝21，r ＝7，h ＝14，l ＝14 2.10．已知一个圆锥的底面半径为r ，高为h ，在此圆锥内有一个内接正方体，这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上，求此正方体的棱长．解：作出圆锥的一个纵截面如图所示，其中AB ，AC 为母线，BC 为底面直径，DG ，EF 是正方体的棱，DE ，GF 是正方体的上、下底面的对角线．设正方体的棱长为x ，则DG ＝EF ＝x ，DE ＝GF ＝2x .依题意，得△ABC ∽△ADE ，∴h h －x ＝2r 2x ，∴x ＝2rhh ＋2r ，即此正方体的棱长为2rhh ＋2r.B 级——能力提升练11．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是( )A ．4B ．3C ．2D ．0.5【答案】B 【解析】如图所示，∵两个平行截面的面积分别为5π，8π，∴两个截面圆的半径分别为r 1＝5，r 2＝2 2.∵球心到两个截面的距离d 1＝R 2－r 21，d 2＝R 2－r 22，∴d 1－d 2＝R 2－5－R 2－8＝1，∴R 2＝9，∴R ＝3.12．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切(球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点)，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的( )A B C D【答案】C 【解析】易知截面是一个非等边的等腰三角形，排除A ，D ；等腰三角形的底边是正三棱锥的一条棱，这条棱不可能与内切球有交点，排除B ；而等腰三角形的两条腰正好是正三棱锥两个面的中线，且经过内切球在两个面上的切点．故选C ．13．(2020年余姚市校级月考)一个圆台的母线长为12 cm ，两底面积分别为4π cm 2和25π cm 2，则圆台的高为________，截得此圆台的圆锥的母线长________．【答案】315 cm 20 cm 【解析】圆台的轴截面是等腰梯形ABCD ，如图所示，由已知可得上底半径O 1A ＝2 cm ，下底半径OB ＝5 cm ；又腰长为母线长是AB ＝12 cm ，所以高AM ＝122－(5－2)2＝315(cm)；设截得此圆台的圆锥的母线长为l ，则由△SAO 1∽△SBO 可得l －12l ＝25，解得l ＝20(cm)．14．用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是________．【答案】2π或4π 【解析】如图所示，设底面半径为r ，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr ＝8，所以r ＝4π；同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr＝4，所以r ＝2π.15．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为________． 【答案】3 【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则4π＝πl 2，所以母线长为l ＝2.所以半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr ＝2π，所以底面圆半径r ＝1.所以该圆锥的高为h ＝l 2－r 2＝22－12＝ 3.16．圆台的两底面面积分别为1,49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比．解：将圆台还原为圆锥，如图所示．O 2，O 1，O 分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心，V 是圆锥的顶点．令VO 2＝h ，O 2O 1＝h 1，O 1O ＝h 2，则⎩⎪⎨⎪⎧h ＋h 1h ＝49＋121，h ＋h 1＋h 2h ＝491，所以⎩⎪⎨⎪⎧h 1＝4h ，h 2＝2h ，即h 1∶h 2＝2∶1.故圆台的高被截面分成的两部分的比为2∶1.C 级——探索创新练17．我国古代名著《数书九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好与圆木顶部平齐，问葛藤最短长多少尺？”(注：1丈等于10尺)则葛藤最短为( )A ．29尺B ．24尺C ．26尺D ．30尺【答案】C 【解析】由题意，圆木的侧面展开图是矩形，将圆木侧面展开两次，则一条直角边(即圆木的高)长为24尺，其邻边长为5×2＝10(尺)，因此葛藤最短为242＋102＝26(尺)．18．如图所示，已知圆锥SO 中，底面半径r ＝1，母线长l ＝4，M 为母线SA 上的一个点，且SM ＝x ，从点M 拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A ．求：(1)绳子的最短长度的平方f (x )；(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离； (3)f (x )的最大值．解：将圆锥的侧面沿SA 展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧AA ′的长度L 就是圆O 的周长，∴L ＝2πr ＝2π.∴∠ASM ＝360°·L 2πl ＝2π2π×4×360°＝90°.(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM ，其值为AM ＝x 2＋16(0≤x ≤4)．f (x )＝AM 2＝x 2＋16(0≤x ≤4)．(2)绳子最短时，在展开图中作SR ⊥AM ，垂足为R ，则SR 的长度为顶点S 到绳子的最短距离．在△SAM 中，∵S △SAM ＝12SA ·SM ＝12AM ·SR ，∴SR ＝SA ·SMAM＝4x x 2＋16(0≤x ≤4)，即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为4x x 2＋16(0≤x ≤4)．(3)∵f (x )＝x 2＋16(0≤x ≤4)是增函数， ∴f (x )的最大值为f (4)＝32.。
高中数学8.6.3 《平面与平面垂直的判定定理》基础过关练习题
第八章8.68.6.3第2课时A级——基础过关练1．(2020年上海月考)已知平面α，β，γ两两垂直，直线a，b，c满足a⊆α，b⊆β，c⊆γ，则直线a，b，c不可能满足的是()A．两两垂直B．两两平行C．两两相交D．两两异面【答案】B【解析】直线a，b，c在三个平面内，不会是共面直线．当直线两两平行时，a，b，c为共面直线，与已知条件整理出的结论不符．故选B．2．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则()A．α∥γB．α⊥γC．α与γ相交但不垂直D．以上都有可能【答案】D【解析】α与γ可能平行、相交但不垂直、垂直．故选D．3．(多选)如图，点P为四边形ABCD外一点，平面P AD⊥平面ABCD，P A＝PD，E为AD的中点，则下列结论成立的是()A．PE⊥ACB．PE⊥BCC．平面PBE⊥平面ABCDD．平面PBE⊥平面P AD【答案】ABC【解析】因为P A＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD．又平面P AD ⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A，B成立．又PE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C成立．若平面PBE⊥平面P AD，则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此关系不一定成立．故选ABC．4．平面α⊥平面β，直线a∥平面α，则()A．a⊥βB．a∥βC．a与β相交D．以上都有可能【答案】D【解析】因为a∥α，平面α⊥平面β，所以直线a与β垂直、相交、平行都有可能．5．在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，若平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1()A．平行B．共面C．垂直D．不垂直【答案】C【解析】如图所示，在四边形ABCD中，因为AB＝BC，AD＝CD，所以BD⊥AC．因为平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C．又CC1⊂平面AA1C1C，所以BD⊥CC1.故选C．6．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________．【答案】平行【解析】由题意知n⊥α，又m⊥α，所以m∥n.7．在三棱锥P-ABC中，平面P AC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为________．【答案】27【解析】连接CM，则由题意知PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM.所以PM ＝PC2＋CM2.要求PM的最小值，只需求出CM的最小值即可．在△ABC中，当CM⊥AB 时，CM有最小值，此时CM＝4×3＝23，所以PM的最小值为27.28．如图，三棱锥P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△P AC是直角三角形，∠P AC＝90°，平面P AC⊥平面ABC．求证：平面P AB⊥平面PBC．证明：∵平面P AC⊥平面ABC，平面P AC∩平面ABC＝AC，P A⊥AC，∴P A⊥平面ABC．又BC⊂平面ABC，∴P A⊥BC．又∵AB⊥BC，AB∩P A＝A，AB⊂平面P AB，P A⊂平面P AB，∴BC⊥平面P AB．又BC⊂平面PBC，∴平面P AB⊥平面PBC．9．(2020年沈阳月考)如图，已知△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，AB ⊥BD．平面ABC⊥平面ABD，点E与点D在平面ABC的同侧，且CE∥BD，BD＝2CE.点F为AD中点，连接EF.(1)求证：EF∥平面ABC；(2)求证：平面AED⊥平面ABD．证明：(1)取AB的中点O，连接FO，CO.∵点F为AD中点，∴FO1．2BD∵CE∥BD，BD＝2CE，∴FO CE.∴四边形FOCE为平行四边形，∴CO∥EF.又∵CO⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，∴EF∥平面ABC．(2)由(1)知点O为AB的中点，且△ABC为等边三角形，∴CO⊥AB．又∵AB⊥BD，平面ABC⊥平面ABD，∴BD⊥平面ABC，∴BD⊥CO.又AB∩BD＝B，∴CO⊥平面ABD．又CO∥EF，∴EF⊥平面ABD．∵EF⊂平面AED，∴平面AED⊥平面ABD．B级——能力提升练10．(2020年广州月考)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，n∥α，且m⊂β，n⊂β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n【答案】D【解析】A中，m与n相交、平行或异面，故A错误；B中，α与β相交或平行，故B错误；C中，α与β相交或平行，故C错误；D中，由线面垂直、面面垂直的性质定理得m⊥n，故D正确．故选D．11．在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【答案】A【解析】过点A作AH⊥BD于点H.由平面ABD⊥平面BCD，得AH⊥平面BCD，则AH⊥BC．又DA⊥平面ABC，所以BC⊥AD，所以BC⊥平面ABD，所以BC⊥AB，即△ABC为直角三角形．故选A．12．已知平面α，β，γ，则下列命题中正确的是()A．α⊥β，β⊥γ，则α∥γB．α∥β，β⊥γ，则α⊥γC．α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，β⊥γ，则a⊥bD．α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，则b⊥α【答案】B【解析】A中α，γ可以相交；C中如图，a与b不一定垂直；D中b仅垂直于α的一条直线a，不能判定b⊥α.13．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β【答案】D【解析】如图，AB∥l∥m，AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m，AB∥l⇒AB∥β.故选D．14．空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD 与平面BCD所成的角是________．【答案】45°【解析】过A作AO⊥BD于O点．∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠ADO＝45°.15．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为________．【答案】3【解析】因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊥BD，所以AB⊥平面BCD，所以平面ABC⊥平面BCD．因为AB⊥BD，AB∥CD，所以CD⊥BD，又因为平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD，共3对．16．如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC．(1)求证：AM⊥平面EBC；(2)求直线EC与平面ABE所成角正切值．(1)证明：∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，∴BC⊥平面ACDE.又AM⊂平面ACDE，∴BC⊥AM.∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥CE.又BC∩CE＝C，∴AM⊥平面EBC．(2)解：取AB的中点F，连接CF，EF.∵EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，∴EA⊥平面ABC，∴EA⊥CF.又AC＝BC，∴CF⊥AB．∵EA∩AB＝A，∴CF⊥平面AEB，∴∠CEF即为直线EC与平面ABE所成的角．在Rt△CFE中，CF＝2，FE＝6，tan∠CEF＝26＝33.17．(2020年南通模拟)如图，在三棱锥P-ABC中，△PBC为等边三角形，点O为BC 的中点，AC⊥PB，平面PBC⊥平面ABC．(1)求证：平面P AC⊥平面PBC；(2)已知E为PO的中点，F是AB上的点，AF＝λAB．若EF∥平面P AC，求λ的值．(1)证明：连接PO.∵△PBC为等边三角形，点O为BC的中点，∴PO⊥BC．∵平面PBC ⊥平面ABC ，平面PBC ∩平面ABC ＝BC ， ∴PO ⊥平面ABC ．∵AC ⊂平面ABC ，∴PO ⊥AC ．∵AC ⊥PB ，PO ∩PB ＝P ，∴AC ⊥平面PBC ． ∵AC ⊂平面P AC ，∴平面P AC ⊥平面PBC ． (2)解：取CO 中点G ，连接EG ，FG .∵E 为PO 的中点，∴EG ∥PC ．∵F 是AB 上的点，AF ＝λAB ，EF ∥平面P AC ， ∴平面EFG ∥平面P AC ， ∴FG ∥AC ，∴λ＝AF AB ＝CG CB ＝14.∴λ的值为14.C 级——探索创新练18．如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到图2中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1-BCDE .(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1-BCDE 的体积为362，求a 的值． (1)证明：在图1中，因为AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC ，即在图2中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC ，从而BE ⊥平面A 1OC ，又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC ．(2)解：由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ，且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ， 又由(1)可得A 1O ⊥BE ，所以A 1O ⊥平面BCDE ，即A 1O 是四棱锥A 1-BCDE 的高． 由图2知，A 1O ＝22AB ＝22a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC ·AB ＝a 2， 从而四棱锥A 1-BCDE 的体积为V ＝13S ·A 1O ＝13×a 2×22a ＝26a 3.由26a 3＝362，得a ＝6.。
(精选试题附答案)高中数学选修一基本知识过关训练
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学选修一基本知识过关训练单选题1、设B是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是（）A．[√22,1)B．[12,1)C．(0,√22]D．(0,12]答案：C分析：设P(x0,y0)，由B(0,b)，根据两点间的距离公式表示出|PB|，分类讨论求出|PB|的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．设P(x0,y0)，由B(0,b)，因为x02a2+y02b2=1，a2=b2+c2，所以|PB|2=x02+(y0−b)2=a2(1−y02b2)+(y0−b)2=−c2b2(y0+b3c2)2+b4c2+a2+b2，因为−b≤y0≤b，当−b3c2≤−b，即b2≥c2时，|PB|max2=4b2，即|PB|max=2b，符合题意，由b2≥c2可得a2≥2c2，即0<e≤√22；当−b 3c2>−b，即b2<c2时，|PB|max2=b4c2+a2+b2，即b4c2+a2+b2≤4b2，化简得，(c2−b2)2≤0，显然该不等式不成立．故选：C．小提示：本题解题关键是如何求出|PB|的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．2、美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的13，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm ，五眼中一眼的宽度为1cm ，若图中提供的直线AB 近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（ ）A ．5√24B ．7√24C ．9√24D ．11√24答案：B分析：建立平面直角坐标系，求出直线AB 的方程，利用点到直线距离公式进行求解.如图，以鼻尖所在位置为原点O ，中庭下边界为x 轴，垂直中庭下边界为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (12,4),B (-32,2)，直线AB : y -42-4=x -12-32-12，整理为x -y +72=0，原点O 到直线距离为|72|√1+17√24，故选：B3、已知两点A(2,−3)，B(−3,2)，直线l 过点P(1,1)且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．−4≤k ≤−14B ．k ≤−4或k ≥−14C ．−4≤k ≤34D ．−34≤k ≤4答案：B分析：数形结合法，讨论直线l 过A 、B 时对应的斜率，进而判断率k 的范围. 如下图示，当直线l 过A 时，k =−3−12−1=−4， 当直线l 过B 时，k =2−1−3−1=−14，由图知：k ≤−4或k ≥−14. 故选：B4、已知空间三点A (−2,0,8)，P (m,m,m )，B (4,−4,6)，若向量PA ⃑⃑⃑⃑⃑ 与PB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的夹角为60°，则实数m =（ ） A ．1B ．2C ．−1D ．−2 答案：B分析：直接由空间向量的夹角公式计算即可 ∵A (−2,0,8)，P (m,m,m )，B (4,−4,6)，∴PA⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2−m,−m,8−m )，PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(4−m,−4−m,6−m ) 由题意有cos60°=|PA⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ||PA ⃑⃑⃑⃑⃑ ||PB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=2√3m 2−12m+68√3m 2−12m+68即3m 2−12m+682=3m 2−12m +40，整理得m 2−4m +4=0， 解得m =2 故选：B5、已知圆C ：x 2+y 2=4，直线L ：y =kx +m ，则当k 的值发生变化时，直线被圆C 所截的弦长的最小值为2，则m 的取值为（ ）A ．±2B ．±√2C ．±√3D ．±3 答案：C分析：由直线L 过定点M(0,m)，结合圆的对称性以及勾股定理得出m 的取值.直线L ：y =kx +m 恒过点M(0,m)，由于直线被圆C 所截的弦长的最小值为2，即当直线L 与直线OM 垂直时（O 为原点），弦长取得最小值，于是22=(12×2)2+|OM|2=1+m 2，解得m =±√3. 故选：C6、若直线 y =kx +1与圆x 2+y 2=1相交于A ，B 两点， 且∠AOB =60∘(其中O 为原点)， 则k 的值为（ ） A ．−√33或√33B ．√33C ．−√2或√2D ．√2 答案：A分析：根据点到直线的距离公式即可求解.由∠AOB =60∘可知，圆心(0,0)到直线y =kx +1的距离为√32，根据点到直线的距离公式可得√12+k2=√32⇒k =±√33故选：A小提示：7、过点(1,−2)，且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是（ ） A ．y 2=4x B ．y 2=−4x C ．x 2=−12y D ．x 2=12y 答案：C分析：设抛物线方程为x 2=my ，代入点的坐标，即可求出m 的值，即可得解； 解：依题意设抛物线方程为x 2=my ，因为抛物线过点(1,−2)， 所以12=m ×(−2)，解得m =−12，所以抛物线方程为x 2=−12y ； 故选：C8、已知动点P 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1(不含端点)上.设D 1PD 1B =λ，若∠APC 为钝角，则实数λ的取值范围为（ ）A ．(0,13)B ．(0,12)C ．(13,1)D ．(12,1) 答案：C分析：建立空间直角坐标系，由题设，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ，用坐标法计算，利用∠APC 不是平角，可得∠APC 为钝角等价于cos∠APC <0，即PA⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PC ⃑⃑⃑⃑⃑ <0，即可求出实数λ的取值范围.设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1， 则有A (1,0,0),B (1,1,0),C (0,1,0),D (0,0,1) ∴D 1B ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,1,−1)，∴设D 1P ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(λ,λ,−λ)，∴PA ⃑⃑⃑⃑⃑ =PD 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +D 1A ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−λ,−λ,λ)+(1,0,−1)=(1−λ,−λ,λ−1)， PC ⃑⃑⃑⃑⃑ =PD 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +D 1C ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−λ,−λ,λ)+(0,1,−1)=(−λ,1−λ,λ−1)， 由图知∠APC 不是平角，∴∠APC 为钝角等价于cos∠APC <0， ∴PA⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PC ⃑⃑⃑⃑⃑ <0， ∴(1−λ)(−λ)+(−λ)(1−λ)+(λ−1)2=(λ−1)(3λ−1)<0， 解得13<λ<1∴λ的取值范围是(13,1)故选：C.9、设圆C 1:x 2+y 2−2x +4y =4，圆C 2:x 2+y 2+6x −8y =0，则圆C 1，C 2的公切线有（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 答案：B分析：先根据圆的方程求出圆心坐标和半径，再根据圆心距与半径的关系即可判断出两圆的位置关系，从而得解．由题意，得圆C1:(x−1)2+(y+2)2=32，圆心C1(1,−2)，圆C2:(x+3)2+(y−4)2=52，圆心C2(−3,4)，∴5−3<|C1C2|=2√13<5+3，∴C1与C2相交，有2条公切线．故选：B．10、已知两圆分别为圆C1:x2+y2=49和圆C2:x2+y2−6x−8y+9=0，这两圆的位置关系是（）A．相离B．相交C．内切D．外切答案：B分析：先求出两圆圆心和半径，再由两圆圆心之间的距离和两圆半径和及半径差比较大小即可求解.由题意得，圆C1圆心(0,0)，半径为7；圆C2:(x−3)2+(y−4)2=16，圆心(3,4)，半径为4，两圆心之间的距离为√32+42=5，因为7−4<5<7+4，故这两圆的位置关系是相交.故选：B.填空题11、从圆x2+y2−2x−2y+1=0外一点P(2,3)向圆引切线，则此切线的长为______．答案：2分析：作图，利用圆心到定点的距离、半径、切线长满足勾股定理可得.将圆化为标准方程：(x−1)2+(y−1)2=1，则圆心C(1,1)，半径1，如图，设P(2,3)，|PC|=√5，切线长|PA|=√5−1=2．所以答案是：212、在空间直角坐标系中，点P(x,y,z)满足：x2+y2+z2=16，平面α过点M(1,2,3)，且平面α的一个法向量n⃑=(1,1,1)，则点P在平面α上所围成的封闭图形的面积等于__________.答案：4π分析：由题意，点P在球面上，所以点P在平面α上所围成的封闭图形即为平面α截球面所得的截面圆，根据球的截面性质求出截面圆的半径r即可求解.解：由题意，点P在以(0,0,0)为球心，半径为4的球面上，所以点P在平面α上所围成的封闭图形即为平面α截球面所得的截面圆，因为平面α的方程为1×(x−1)+1×(y−2)+1×(z−3)=0，即x+y+z−6=0，所以球心(0,0,0)到平面α的距离为d=√12+12+12=2√3，所以截面圆的半径r=√42−(2√3)2=2，截面圆的面积为S=πr2=4π，所以点P在平面α上所围成的封闭图形的面积等于4π.所以答案是：4π.13、已知椭圆E的两个焦点分别为F1,F2，点P为椭圆上一点，且tanPF1F2=13，tanPF2F1=3，则椭圆E的离心率为 __．答案：√104分析：由题意得到tanPF1F2(−tanPF2F1)=−1，即PF1⊥PF2，进而求得|PF1|=√10|PF2|=√10，结合|PF1|+|PF2|=2a，得到√10=2a，即可求得椭圆的离心率.因为tanPF1F2=13，tanPF2F1=3，则tanPF1F2(−tanPF2F1)=−1，所以PF1⊥PF2,且cosPF1F2=√10sinPF1F2=√10，所以|PF1|=|F1F2|cos∠PF1F2=√10|PF2|=|F1F2|sin∠PF1F2=√10，又由|PF1|+|PF2|=2a，即√10√10=2a，即√10=2a，所以e =c a=√104. 所以答案是：√104. 14、已知双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a >0，b >0），矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |=6，则双曲线E 的标准方程是______． 答案：x 214−y 234=1分析：如图所示，设AB ，CD 的中点分别为M ，N ，则可得|MN |=2c =2，|BN |=52，再利用双曲线的定义可得a 2=14，即求.由题意得|AB |=3，|BC |=2．如图所示，设AB ，CD 的中点分别为M ，N ，在Rt △BMN 中，|MN |=2c =2，故|BN |=√|BM|2+|MN |2=√(32)2+22=52． 由双曲线的定义可得2a =|BN |−|BM |=52−32=1，则a 2=14，又2c =2，所以c =1，b 2=34． 所以双曲线E 的标准方程是x 214−y 234=1．所以答案是：x 214−y 234=1.15、已知圆x 2+y 2+2x −4y −5=0与x 2+y 2+2x −1=0相交于A ､B 两点，则公共弦AB 的长是___________.答案：2分析：两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，利用垂径定理即可得解.解：由题意AB所在的直线方程为：(x2+y2+2x−4y−5)−(x2+y2+2x−1)=0，即y=−1，因为圆x2+y2+2x−1=0的圆心O(−1,0)，半径为r=√2，所以，圆心O(−1,0)到直线y=−1的距离为1，所以|AB|=2√2−12=2.所以答案是：2解答题16、直线l过点A(1,2)且与直线x+2y+1=0垂直.（1）求直线l的方程；（2）求圆心在直线l上且过点O(0,0)、B(2,0)的圆的方程.答案：（1）y=2x；（2）(x−1)2+(y−2)2=5.分析：（1）设直线l的方程为2x−y+c=0，将点A的坐标代入直线l的方程，求出c的值，即可得出直线l的方程；（2）设圆心的坐标为(a,2a)，根据已知条件可得出关于实数a的等式，求出a的值，可得出圆心坐标以及圆的半径，进而可得出所求圆的方程.（1）因为直线l与直线x+2y+1=0垂直，则直线l的方程可设为2x−y+c=0，又因为直线l过点A(1,2)，所以2×1−2+c=0，即c=0，所以直线l的方程为y=2x；（2）因为圆心在直线l:y=2x上，所以圆心坐标可设为(a,2a)，又因为该圆过点O(0,0)、B(2,0)，所以有(a−0)2+(2a−0)2=(a−2)2+(2a−0)2，解得a=1，所以圆心坐标为(1,2)，半径r=√(1−0)2+(2−0)2=√5，故圆的方程为(x −1)2+(y −2)2=5.17、已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)过点A(2√2,1)，焦距为2√5，B(0,b)．(1)求双曲线C 的方程；(2)是否存在过点D(−32,0)的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，使△BMN 构成以∠MBN 为顶角的等腰三角形？若存在，求出所有直线l 的方程；若不存在，请说明理由．答案：(1)x 24−y 2=1.(2)存在，直线l 为y =0或2x −16y +3=0.分析：（1）根据焦距、双曲线上的点求双曲线参数，进而写出双曲线C 的方程；（2）由题设有B(0,1)，设直线l 为y =k(x +32)，M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，并联立双曲线方程，应用韦达定理、中点坐标公式求M ，N 的中点坐标，由等腰三角形中垂线性质求参数k ，进而可得直线l 的方程.（1）由题设，c =√5，又A(2√2,1)在双曲线上，∴{a 2+b 2=58a 2−1b 2=1，可得{a 2=4b 2=1， ∴双曲线C 的方程为x 24−y 2=1.（2）由（1）知：B(0,1)，直线l 的斜率一定存在，当直线斜率为0时，直线l ：y =0，符合题意；设直线l 为y =k(x +32)，M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)， 联立双曲线方程可得：(1−4k 2)x 2−12k 2x −(9k 2+4)=0，由题设{1−4k 2≠0Δ>0， ∴x 1+x 2=12k 21−4k 2，x 1x 2=−9k 2+41−4k 2，则y 1+y 2=k(x 1+x 2+3)=3k 1−4k 2.要使△BMN 构成以∠MBN 为顶角的等腰三角形，则|BM|=|BN|，∴MN 的中点坐标为(6k 21−4k 2,3k2(1−4k 2))，∴−1k =3k 2(1−4k 2)−16k 21−4k 2=8k 2+3k−212k 2，可得k =18或k =−2， 当k =−2时，Δ<0，不合题意，所以k =18，直线l ：2x −16y +3=0，∴存在直线l 为y =0或2x −16y +3=0，使△BMN 构成以∠MBN 为顶角的等腰三角形.18、已知△ABC 的顶点坐标为A(−5,−1)，B(−1,1)，C(−2,3)．（1）试判断△ABC 的形状；（2）求AC 边上的高所在直线的方程．答案：（1）直角三角形；（2）3x +4y −1=0.分析：(1)先求AB,AC,BC 直线的斜率,再根据斜率关系即可判断;(2)由k AC =43得AC 边上高线所在直线的斜率为−34,进而根据点斜式求解即可. 解：（1）∵k AB =1+1−1+5=12,k BC =3−1−2+1=−2，k AC =3+1−2+5=43∴k AB ⋅k BC =−1，∴AB ⊥BC ，∴△ABC 为直角三角形（2）因为k AC =3−(−1)−2−(−5)=43，所以，AC 边上高线所在直线的斜率为−34∴直线的方程是y −1=−34(x +1)，即3x +4y −1=0 19、如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE =AD ．△ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，PO =√66DO ．（1）证明：PA⊥平面PBC；（2）求二面角B−PC−E的余弦值．答案：（1）证明见解析；（2）2√55.分析：（1）要证明PA⊥平面PBC，只需证明PA⊥PB，PA⊥PC即可；（2）方法一：过O作ON∥BC交AB于点N，以O为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别算出平面PCB的一个法向量n⃑，平面PCE的一个法向量为m⃑⃑ ，利用公式cos<m⃑⃑ ,n⃑>=n⃑ ⋅m⃑⃑⃑|n⃑ ||m⃑⃑⃑ |计算即可得到答案.（1）[方法一]：勾股运算法证明由题设，知△DAE为等边三角形，设AE=1，则DO=√32，CO=BO=12AE=12，所以PO=√66DO=√24，PC=√PO2+OC2=√64=PB=PA又△ABC为等边三角形，则BAsin60∘=2OA，所以BA=√32，PA2+PB2=34=AB2，则∠APB=90∘，所以PA⊥PB，同理PA⊥PC，又PC∩PB=P，所以PA⊥平面PBC；[方法二]：空间直角坐标系法不妨设AB=2√3，则AE=AD=ABsin60°=4，由圆锥性质知DO⊥平面ABC，所以DO=√AD2−AO2=√42−22=2√3，所以PO =√66DO =√2．因为O 是△ABC 的外心，因此AE ⊥BC ．在底面过O 作BC 的平行线与AB 的交点为W ，以O 为原点，OW ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 方向为x 轴正方向，OE ⃑⃑⃑⃑⃑ 方向为y 轴正方向，OD⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系O −xyz ，则A(0,−2,0)，B(√3,1,0)，C(−√3,1,0)，E(0,2,0)，P(0,0,√2)．所以AP⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,2,√2)，BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−√3,−1,√2)，CP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(√3,−1,√2)． 故AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =0−2+2=0，AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CP⃑⃑⃑⃑⃑ =0−2+2=0． 所以AP ⊥BP ，AP ⊥CP ．又BP ∩CP =P ，故AP ⊥平面PBC ．[方法三]：因为△ABC 是底面圆O 的内接正三角形，且AE 为底面直径，所以AE ⊥BC ．因为DO （即PO ）垂直于底面，BC 在底面内，所以PO ⊥BC ．又因为PO ⊂平面PAE ，AE ⊂平面PAE ，PO ∩AE =O ，所以BC ⊥平面PAE ．又因为PA ⊂平面PAE ，所以PA ⊥BC ．设AE ∩BC =F ，则F 为BC 的中点，连结PF ．设DO =a ，且PO =√66DO ， 则AF =√32a ，PA =√22a ，PF =12a ．因此PA 2+PF 2=AF 2，从而PA ⊥PF ．又因为PF ∩BC =F ，所以PA ⊥平面PBC ．[方法四]：空间基底向量法如图所示，圆锥底面圆O 半径为R ，连结DE ，AE =AD =DE ，易得OD =√3R ，因为PO =√66OD ，所以PO =√22R ． 以OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 为基底，OD ⊥平面ABC ，则AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =AO ⃑⃑⃑⃑⃑ +OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =−OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +√66OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ， BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =BO ⃑⃑⃑⃑⃑ +OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =−OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +√66OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，且OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =−12R 2，OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0 所以AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +√66OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )⋅(−OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +√66OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )= OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ −OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅√66OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅√66OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +16OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2=0． 故AP⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =0．所以AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥BP ⃑⃑⃑⃑⃑ ，即AP ⊥BP ． 同理AP ⊥CP ．又BP ∩CP =P ，所以AP ⊥平面PBC ．（2）[方法一]：空间直角坐标系法过O 作ON ∥BC 交AB 于点N ，因为PO ⊥平面ABC ，以O 为坐标原点，OA 为x 轴，ON 为y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则E(−12,0,0),P(0,0,√24),B(−14,√34,0),C(−14,−√34,0)， PC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−14,−√34,−√24)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−14,√34,−√24)，PE ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−12,0,−√24)， 设平面PCB 的一个法向量为n ⃑ =(x 1,y 1,z 1)，由{n ⃑ ⋅PC ⃑⃑⃑⃑⃑ =0n ⃑ ⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =0 ，得{−x 1−√3y 1−√2z 1=0−x 1+√3y 1−√2z 1=0 ，令x 1=√2，得z 1=−1,y 1=0， 所以n ⃑ =(√2,0,−1)，设平面PCE 的一个法向量为m ⃑⃑ =(x 2,y 2,z 2)由{m ⃑⃑ ⋅PC ⃑⃑⃑⃑⃑ =0m ⃑⃑ ⋅PE⃑⃑⃑⃑⃑ =0 ，得{−x 2−√3y 2−√2z 2=0−2x 2−√2z 2=0 ，令x 2=1，得z 2=−√2,y 2=√33， 所以m ⃑⃑ =(1,√33,−√2) 故cos <m ⃑⃑ ,n ⃑ >=n ⃑ ⋅m ⃑⃑⃑ |n ⃑ |⋅|m ⃑⃑⃑ |=√2√3×√10√3=2√55， 设二面角B −PC −E 的大小为θ，由图可知二面角为锐二面角，所以cosθ=2√55. [方法二]【最优解】：几何法 设BC ∩AE =F ，易知F 是BC 的中点，过F 作FG ∥AP 交PE 于G ，取PC 的中点H ，联结GH ，则HF ∥PB ．由PA ⊥平面PBC ，得FG ⊥平面PBC ．由（1）可得，BC 2=PB 2+PC 2，得PB ⊥PC ．所以FH ⊥PC ，根据三垂线定理，得GH ⊥PC ．所以∠GHF 是二面角B −PC −E 的平面角．设圆O 的半径为r ，则AF =ABsin60°=32r ，AE =2r ，EF =12r ，EF AF =13，所以FG =14PA ，FH =12PB =12PA ，FG FH=12． 在Rt △GFH 中，tan∠GHF =FG FH =12， cos∠GHF =2√55． 所以二面角B −PC −E 的余弦值为2√55．[方法三]：射影面积法如图所示，在PE 上取点H ，使HE =14PE ，设BC ∩AE =N ，连结NH ．由（1）知NE =14AE ，所以NH ∥PA ．故NH ⊥平面PBC ． 所以，点H 在面PBC 上的射影为N ．故由射影面积法可知二面角B −PC −E 的余弦值为cosθ=S △PCN S △PCH ． 在△PCE 中，令PC =PE =√62，则CE =1，易知S △PCE =√54．所以S △PCH =34S △PCE =3√516．又S△PCN=12S△PBC=38，故cosθ=S△PCNS△PCH=383√516=2√55所以二面角B−PC−E的余弦值为2√55．【整体点评】本题以圆锥为载体，隐含条件是圆锥的轴垂直于底面，（1）方法一：利用勾股数进行运算证明，是在给出数据去证明垂直时的常用方法；方法二：选择建系利用空间向量法，给空间立体感较弱的学生提供了可行的途径；方法三：利用线面垂直，结合勾股定理可证出；方法四：利用空间基底解决问题，此解法在解答题中用的比较少；（2）方法一：建系利用空间向量法求解二面角，属于解答题中求角的常规方法；方法二：利用几何法，通过三垂线法作出二面角，求解三角形进行求解二面角，适合立体感强的学生；方法三：利用射影面积法求解二面角，提高解题速度.。
高中数学命题及其关系、充分条件与必要条件 基础过关专题训练(2)
专题训练(二) 命题及其关系、充分条件与必要条件基础过关一、选择题1．命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的否命题是( )A ．若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋cB ．若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤bC ．若a ＋c >b ＋c ，则a >bD ．若a >b ，则a ＋c ≤b ＋c2．设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设a >b ，a ，b ，c ∈R ，则下列命题为真命题的是( )A ．ac 2>bc 2B ．a b >1C ．a －c >b －cD ．a 2>b 24．若命题p 的否命题是命题q 的逆否命题，则命题p 是命题q 的( ) A ．逆命题 B ．否命题C ．逆否命题D ．p 与q 是同一命题 5．“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos2α＝12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．(2020·皖南八校联考)“1x >1”是“e x －1<1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．命题“对任意x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )A ．a ≥4B ．a >4C ．a ≥1D ．a >18．在等比数列{a n }中，“a 1，a 3是方程x 2＋3x ＋1＝0的两根”是“a 2＝±1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：x >a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－3]10．(2020·南昌市第一次模拟)已知r >0，x ，y ∈R ，p ：|x |＋|y |2≤1，q ：x 2＋y 2≤r 2，若p 是q 的必要不充分条件，则实数r 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，255 B ．(0,1] C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫255，＋∞ D ．[2，＋∞)二、填空题11．“在△ABC 中，若∠C ＝90°，则∠A ，∠B 都是锐角”的否命题为________。
高中数学10.1.1《随机事件与概率》基础过关练习题
第十章10.110.1.110.1.2A级——基础过关练1．(2020年赤峰月考)若颜色分别为红，黑，白的三个球随机地分给甲、乙、丙3人，每人分得1个球，事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是()A．对立事件B．不可能事件C．互斥事件D．必然事件【答案】C【解析】由于三个人都可以持有红球，故事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”不可能是对立事件，又事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”不可能同时发生，故两事件的关系是互斥事件．故选C．2．同时投掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的基本事件的个数是()A．3B．4C．5D．6【答案】D【解析】有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)共6个基本事件．故选D．3．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不可能事件为() A．3件都是正品B．至少有1件次品C．3件都是次品D．至少有1件正品【答案】C【解析】25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品．故选C．4．(2020年保定月考)学校将5个不同颜色的奖牌分给5个班，每班分得1个，则事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是()A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对立事件D．不是互斥事件【答案】C【解析】事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”能同时不发生，但是不能同时发生．∴两事件为互斥但不对立事件．故选C．5．掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则()A．A⊆BB．A＝BC．A＋B表示向上的点数是1或2或3D．AB表示向上的点数是1或2或3【答案】C【解析】设A＝{1,2}，B＝{2,3}，则A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3}，所以A ＋B表示向上的点数为1或2或3.故选C．6．抛掷一枚均匀的正方体骰子，向上的点数是奇数为事件A，事件A的对立事件是________．【答案】向上的点数是偶数【解析】抛掷一枚均匀的正方体骰子，向上的点数不是奇数就是偶数，故向上的点数为奇数的对立事件向上的点数是偶数．7．做掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数，则这个试验不同的结果数有________种．【答案】36【解析】将这个试验的所有结果一一列举出来为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．共有36种．8．在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G ＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．解：(1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3.同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.9．设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S1，S2，…，S10站．若甲在S3站买票，乙在S6站买票，设样本空间Ω表示火车所有可能停靠的站，令A表示甲可能到达的站的集合，B表示乙可能到达的站的集合．(1)写出该事件的样本空间Ω；(2)用集合表示事件A、事件B；(3)铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？解：(1)Ω＝{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}；(2)A＝{S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}，B＝{S7，S8，S9，S10}；(3)铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种，从S2站发车的车票共计8种，…，从S9站发车的车票1种，合计共9＋8＋…＋2＋1＝45(种)．B级——能力提升练10．在10名学生中，男生有x名，现从10名学生中任选6人去参加某项活动：①至少有1名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生．若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则x＝()A．5B．6C．3或4D．5或6【答案】C【解析】依题意知，10名同学中，男生人数少于5人，但不少于3人，故x＝3或4.故选C．11．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A中任取不相同的两个数作为点P的坐标，则事件“点P落在x轴上”包含的样本点共有() A．7个B．8个C．9个D．10个【答案】C【解析】“点P落在x轴上”包含的样本点的特征是纵坐标为0，横坐标不为0，因A中有9个非零数．故选C．12．打靶3次，事件A i表示“击中i发”，其中i＝0,1,2,3.那么A＝A1∪A2∪A3表示()A．全部击中B．至少击中1发C．至少击中2发D．以上均不正确【答案】B【解析】A1∪A2∪A3所表示的含义是A1，A2，A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发、2发或3发．故选B．13．(多选)若干个人站成一排，其中不是互斥事件的是( )A ．“甲站排头”与“乙站排头”B ．“甲站排头”与“乙不站排尾”C ．“甲站排头”与“乙站排尾D ．“甲不站排头”与“乙不站排尾”【答案】BCD 【解析】对于A ，“甲站排头”与“乙站排头”不可能同时发生，是互斥事件，对于B ，“甲站排头”时，乙可以“不站排尾”，两者可以同时发生，不是互斥事件，对于C ，甲站排头”时，乙可以“站排尾”，两者可以同时发生，不是互斥事件，对于D ，“甲不站排头”时，乙可以“不站排尾”，两者可以同时发生，不是互斥事件．故选BCD ．14．从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的样本点个数为________．【答案】4 【解析】从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)共10种情况，其中(1,2,4)，(1,3,5)，(2,3,4)，(2,4,5)中三个数字之和为奇数．15．将一枚质地均匀且四个面上分别标有1,2,3,4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x ，第二次朝下面的数字为y ，用(x ，y )表示一个样本点．(1)请写出所有的样本点；(2)满足条件“x y为整数”这一事件包含哪几个样本点？ 解：(1)先后抛掷两次正四面体的样本点：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个样本点．(2)用A 表示满足条件“x y为整数”的事件，则A 包含的样本点有：(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共8个样本点．16．判断下列各对事件是不是互斥事件，并说明理由．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：(1)“恰有1名男生”和“恰有2名男生”；(2)“至少有1名男生”和“至少有1名女生”；(3)“至少有1名男生”和“全是男生”；(4)“至少有1名男生”和“全是女生”．解：(1)是互斥事件．理由是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件．(2)不是互斥事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果，它们可能同时发生．(3)不是互斥事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，这与“全是男生”可能同时发生．(4)是互斥事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它和“全是女生”不可能同时发生．C级——探索创新练17．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y)．(1)写出这个试验的样本空间；(2)求这个试验的样本点的总数；(3)“x＋y＝5”这一事件包含哪几个样本点？“x<3且y>1”呢？(4)“xy＝4”这一事件包含哪几个样本点？“x＝y”呢？解：(1)样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．(2)样本点的总数为16.(3)“x＋y＝5”包含以下4个样本点：(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)；“x<3且y>1”包含以下6个样本点：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)．(4)“xy＝4”包含以下3个样本点：(1,4)，(2,2)，(4,1)；“x＝y”包含以下4个样本点：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．。
2023年人教版高中数学第一章集合与常用逻辑用语基本知识过关训练
(名师选题)2023年人教版高中数学第一章集合与常用逻辑用语基本知识过关训练单选题1、已知集合A={(x,y)|x,y∈N∗,y≥x}，B={(x,y)|x+y=8}，则A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．6答案：C分析：采用列举法列举出A∩B中元素的即可.由题意，A∩B中的元素满足{y≥xx+y=8，且x,y∈N∗，由x+y=8≥2x，得x≤4，所以满足x+y=8的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故A∩B中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.2、若集合A={x∣|x|≤1,x∈Z}，则A的子集个数为（）A．3B．4C．7D．8答案：D分析：先求得集合A,然后根据子集的个数求解即可.解：A={x∥x∣≤1,x∈Z}={−1,0,1}，则A的子集个数为23=8个，故选：D.3、下列命题中正确的是（）①∅与{0}表示同一个集合②由1，2，3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}③方程(x−1)2(x−2)=0的所有解的集合可表示为{1,1,2}④集合{x∣4<x<5}可以用列举法表示A．只有①和④B．只有②和③C．只有②D．以上都对答案：C分析：由集合的表示方法判断①，④；由集合中元素的特点判断②，③．解：对于①，由于“0”是元素，而“{0}”表示含0元素的集合，而 ϕ 不含任何元素，所以①不正确；对于②，根据集合中元素的无序性，知②正确；对于③，根据集合元素的互异性，知③错误；对于④，由于该集合为无限集、且无明显的规律性，所以不能用列举法表示，所以④不正确.综上可得只有②正确.故选：C.4、已知集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝（）A．{x|0≤x<1}B．{x|－1<x≤2}C．{x|1<x≤2}D．{x|0<x<1}答案：B分析：由集合并集的定义可得选项.解：由集合并集的定义可得A∪B＝{x|－1<x≤2}，故选：B.<0}，B={0,1,2,3,4,5}，则(∁R A)∩B=（）5、已知集合A={x|x+2x−4A．{5}B．{4,5}C．{2,3,4}D．{0,1,2,3}答案：B分析：首先化简集合A ，再根据补集的运算得到∁R A ，再根据交集的运算即可得出答案.因为A ={x |x+2x−4<0 }=(−2,4)，所以∁R A ={x|x ≤−2 或x ≥4}.所以(∁R A )∩B ={4,5}故选：B.6、设条件甲：“事件A 与事件B 是对立事件”，结论乙：“概率满足P （A ）＋P （B ）＝1”，则甲是乙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确答案.①若事件A 与事件B 是对立事件，则A ∪B 为必然事件，再由概率的加法公式得P （A ）＋P （B ）＝1；②投掷一枚硬币3次，满足P （A ）＋P （B ）＝1，但A ，B 不一定是对立事件，如：事件A ：“至少出现一次正面”，事件B ：“出现3次正面”，则P （A ）＝78，P （B ）＝18，满足P （A ）＋P （B ）＝1，但A ，B 不是对立事件. 所以甲是乙的充分不必要条件.故选：A小提示：本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查对立事件的理解，属于基础题.7、已知p:0<x <2，q:−1<x <3，则p 是q 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分不必要条件答案：A分析：根据充分和必要条件的定义即可求解.由p:0<x <2，可得出q:−1<x <3，由q:−1<x <3，得不出p:0<x <2，所以p是q的充分而不必要条件，故选：A.8、已知集合A={x|x2−2x≤0}，B={−1,0,3}，则(∁R A)∩B=（）A．∅B．{0,1}C．{−1,0,3}D．{−1,3}答案：D分析：先由一元二次不等式的解法求得集合A，再由集合的补集和交集运算可求得答案. 因为A={x|x2−2x≤0}={x|0≤x≤2}，所以∁R A={x|x<0或x>2}，又B={−1,0,3}，所以(∁R A)∩B={−1,3}，故选：D．9、已知集合A={0,1,2}，B={ab|a∈A,b∈A}，则集合B中元素个数为（）A．2B．3C．4D．5答案：C分析：由列举法列出集合B的所有元素，即可判断；解：因为A={0,1,2}，a∈A,b∈A，所以ab=0或ab=1或ab=2或ab=4，故B={ab|a∈A,b∈A}={0,1,2,4}，即集合B中含有4个元素；故选：C10、命题“∀1≤x≤2,x2−a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥4B．a≥5C．a≤4D．a≤5答案：B分析：根据命题是真命题，由∀1≤x≤2，a≥x2恒成立求解.因为命题“∀1≤x≤2，x2−a≤0”是真命题，所以∀1≤x≤2，a≥x2恒成立，所以a≥4，结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是a≥5，故选：B11、设全集U={−3,−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,0,1,2},B={−3,0,2,3}，则A∩(∁U B)=（）A．{−3,3}B．{0,2}C．{−1,1}D．{−3,−2,−1,1,3}答案：C分析：首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.由题意结合补集的定义可知：∁U B={−2,−1,1}，则A∩(∁U B)={−1,1}.故选：C.小提示：本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.12、若集合U={0,1,2,3,4,5},A={0,2,4}，B={3,4}，则(∁U A)∩B=（）．A．{3}B．{5}C．{3,4,5}D．{1,3,4,5}答案：A分析：根据补集的定义和运算求出∁U A，结合交集的概念和运算即可得出结果.由题意知，∁U A={1,3,5}，又B={3,4}，所以(∁U A)∩B={3}.故选：A双空题13、用量词符号“∀，∃”表示下列命题：（1）有的实数不能写成小数形式：____________________.（2）凸n边形的外角和等于2π：____________________.答案：∃x∈R，不能写成小数形式；∀x∈{x|x是凸n边形}，x的外角和等于2π.分析：（1）本题可以根据题意确定命题是特称命题，然后根据特称命题的性质即可得出结果；（2）本题可以根据题意确定命题是全称命题，然后根据全称命题的性质即可得出结果.（1）因为“有的实数不能写成小数形式”即“存在实数不能写成小数形式”，所以可以表示为：∃x∈R，不能写成小数形式；（2）因为“凸n边形的外角和等于2π”即“任意凸n边形的外角和等于2π”，所以可以表示为：∀x∈{x|x是凸n边形}，x的外角和等于2π.所以答案是：∃x∈R，不能写成小数形式；∀x∈{x|x是凸n边形}，x的外角和等于2π.小提示：本题考查用存在量词和全称量词改写命题，能否确定命题是全称命题还是特称命题是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题.14、设x∈R，则“x3≥8”是“______”的充分条件，是“______”的必要条件．（答案不唯一，写出一组即可）答案：x≥1x≥3（答案不唯一）分析：先解不等式x3≥8，然后由包含关系可知.由x3≥8，得x≥2，所以“x3≥8”是“x≥1”的充分条件，是“x≥3”的必要条件．（答案不唯一）所以答案是：x≥1，x≥3（答案不唯一）15、已知集合A={x|x2=x}，集合B={x|1<2x<4}，则集合A的子集个数为________；A∩B=__________ 答案： 4 {1}解析：求出集合A、B，即可求出集合A的子集个数及A∩B.A={x|x2=x}={0,1}，B={x|1<2x<4}={x|0<x<2}，故集合A的子集个数为N=22=4，A∩B={1}.所以答案是：4；{1}小提示：本题考查交集及其运算，考查了子集，属于基础题．16、定义A∗B={x|x∈A且x∉B}，若A={x∈N|0≤x≤13}，B={x∈N|x>9}，则A∗B的子集个数为_______________，非空真子集个数为_______________.答案： 1024 1022解析：先判断A ∗B 中有几个元素，再判断A ∗B 有多少个子集；非空真子集个数为子集个数减2.由A ∗B 的定义知：若A ={0,1,2,3,4,5,6,7,9,10,11,12,13}，B ={10,11,12,⋯}，则A ∗B ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∴子集个数为210=1024，非空真子集个数为210−2=1022.所以答案是：1024；1022.小提示：本题考查集合子集、真子集个数的判断问题，较简单.一般地，对于含一个有n 个元素的集合，其子集个数为2n 个，真子集个数为2n −1个，非空真子集为2n −2个.17、若集合A ={x |x >2 }，B ={x |bx >1 }，其中b 为实数．（1）若A 是B 的充要条件，则b =________；（2）若A 是B 的充分不必要条件，则b 的取值范围是：__________；（答案不唯一，写出一个即可） 答案： 12 (12,+∞)（答案不唯一）分析：（1）分析可得A =B ，可知x =2是方程bx =1的解，即可解得b 的值；（2）根据不等式bx >1对任意的x >2恒成立，求出实数b 的取值范围，结合A 是B 的充分不必要条件可得出实数b 的取值范围.（1）由已知可得A =B ，则x =2是方程bx =1的解，且有b >0，解得b =12； （2）若不等式bx >1对任意的x >2恒成立，则b >1x 对任意的x >2恒成立，当x >2时，1x ∈(0,12)，则b ≥12，因为A 是B 的充分不必要条件，故b 的取值范围可以是(12,+∞)（答案不唯一）.所以答案是：（1）12；（2）(12,+∞)（答案不唯一）.小提示：名师点评本题考查利用充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则求解：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集；（3）p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等；（4）p是q的既不充分又不必要条件，则q对应集合与p对应集合互不包含解答题18、写出下列命题的否定，并判断真假．(1)正方形都是菱形；(2)∃x∈R，使4x-3>x；(3)∀x∈R，有x+1=2x；(4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．答案：(1)答案见解析(2)答案见解析(3)答案见解析(4)答案见解析分析：根据命题的否定的概念，逐一写出，并判断真假即可.（1）命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．（2）命题的否定：∀x∈R，有4x-3≤x．因为当x=2时，4×2-3=5>2，所以“∀x∈R，有4x-3≤x”是假命题．（3）命题的否定：∃x∈R，使x+1≠2x．因为当x=2时，x+1=2+1=3≠2×2，所以“∃x∈R，使x+1≠2x”是真命题．（4）命题的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集，是假命题．∈A．19、已知集合A中的元素全为实数，且满足：若a∈A，则1+a1−a(1)若a=−3，求出A中其他所有元素．(2)0是不是集合A中的元素？请你取一个实数a∈A(a≠−3)，再求出A中的元素．(3)根据（1）（2），你能得出什么结论？答案：(1)A中其他所有元素为−12，13，2(2)0不是A中的元素，答案见解析(3)A中没有元素−1，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数．分析：（1）把a=−3代入1+a1−a，得出数值后再代入，直至出现重复数即可求解.（2）假设0∈A，计算并导出矛盾得0不是A的元素，取a=3，求出集合A中元素即可.（3）由（2）可观察出A中不能取的数，分析（1）（2）中的四个值的特点得出结论，进而由“若a∈A，则1+a1−a∈A”推证即可.（1）由题意，可知−3∈A，则1+(−3)1−(−3)=−12∈A，1+(−12)1−(−12)=13∈A，1+131−13=2∈A，1+21−2=−3∈A，所以A中其他所有元素为−12，13，2．（2）假设0∈A，则1+01−0=1∈A，而当1∈A时，1+a1−a不存在，假设不成立，所以0不是A中的元素．取a=3，则1+31−3=−2∈A，1+(−2)1−(−2)=−13∈A，1+(−13)1−(−13)=12∈A，1+121−12=3∈A，所以当3∈A时，A中的元素是3，−2，−13，12．（3）猜想：A中没有元素−1，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数．由（2）知0，1∉A，若−1∈A，则1+(−1)1−(−1)=0∈A，与0∉A矛盾，则有−1∉A，即−1，0，1都不在集合A中．若实数a1∈A，则1+a11−a1=a2∈A，a3=1+a21−a2=1+1+a11−a11−1+a11−a1=−1a1∈A，a4=1+a31−a3=1+(−1a1)1−(−1a1)=a1−1a1+1=−1a2∈A，a5=1+a41−a4=1+a1−1a1+11−a1−1a1+1=a1∈A．结合集合中元素的互异性知，A中最多只有4个元素a1，a2，a3，a4且a1a3=−1，a2a4=−1．显然a1≠a2，否则a1=1+a11−a1，即a12=−1，无实数解．同理，a1≠a4，即A中有4个元素．所以A中没有元素−1，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数．20、定义：若任意m,n∈A（m，n可以相等），都有1+mn≠0，则集合B={x|x=m+n1+mn,m,n∈A}称为集合A的生成集；(1)求集合A={3,4}的生成集B；(2)若集合A={a,2}，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值；(3)若集合A=(−1,1)，A的生成集为B，求证A=B.答案：(1)B={35,817,713}(2)a=±1或a=12(3)证明见解析分析：（1）根据新定义算出x的值即可求出B；（2）B的子集个数为4个，转化为B中有2个元素，然后列出等式即可求出a的值；（3）求出B的范围即可证明出结论（1）由题可知，(1)当m=n=3时，x=3+31+3×3=35，(2) 当m=n=4时，x=4+41+4×4=817，（3）当m=3,n=4或m=4,n=3时，x=3+41+3×4=713所以B={35,817,713}（2）（1）当m=n=2时，x=2+21+2×2=45，（2）当m=n=a时，x=a+a1+a2=2a1+a2（3）当m=2,n=a或m=a,n=2时，x=2+a1+2a B的子集个数为4个，则B中有2个元素，所以45=2a1+a2或2a1+a2=2+a1+2a或2+a1+2a=45，解得a=±1或a=12（a=2舍去）,所以a=±1或a=12.（3）证明：∀m,n∈(−1,1)=A，m+n 1+mn +1=(m+1)(n+1)1+mn>0，m+n 1+mn −1=−(m−1)(n−1)1+mn<0，∴−1<m+n1+mn<1，即B=(−1,1)∴B⊆A，又A=(−1,1)，所以A⊆B，所以A=B。
高中数学6.2.2《平面向量的运算》基础过关练习题(含答案)
第六章 6.2 6.2.2A 级——基础过关练1．(多选)如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论正确的是( )A ．AB →＝DC → B ．AD →＋AB →＝AC → C ．AB →－AD →＝BD → D ．AD →＋CB →＝0【答案】ABD 【解析】A 项显然正确；由平行四边形法则知B 正确；C 项中AB →－AD →＝DB →，故C 错误；D 项中AD →＋CB →＝AD →＋DA →＝0.故选ABD ．2．化简以下各式：①AB →＋BC →＋CA →；②AB →－AC →＋BD →－CD →；③OA →－OD →＋AD →；④NQ →＋QP →＋MN →－MP →.结果为零向量的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】①AB →＋BC →＋CA →＝AC →＋CA →＝AC →－AC →＝0； ②AB →－AC →＋BD →－CD →＝(AB →＋BD →)－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →＝0； ③OA →－OD →＋AD →＝(OA →＋AD →)－OD →＝OD →－OD →＝0； ④NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝NP →＋PM →＋MN →＝NM →－NM →＝0. 3．(2020年北京期末)如图，向量a －b 等于( )A ．3e 1－e 2B ．e 1－3e 2C ．－3e 1＋e 2D ．－e 1＋3e 2【答案】B 【解析】如图，设a －b ＝AB →＝e 1－3e 2，∴a －b ＝e 1－3e 2.故选B ．4．对于菱形ABCD ，给出下列各式：①AB →＝BC →；②|AB →|＝|BC →|；③|AB →－CD →|＝|AD →＋BC →|；④|AD →＋CD →|＝|CD →－CB →|. 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】C 【解析】由菱形的图形，可知向量AB →与BC →的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以②正确，①错误；因为|AB →－CD →|＝|AB →＋DC →|＝2|AB →|，|AD →＋BC →|＝2|BC →|，且|AB →|＝|BC →|，所以|AB →－CD →|＝|AD →＋BC →|，即③正确；因为|AD →＋CD →|＝|BC →＋CD →|＝|BD →|，|CD →－CB →|＝|CD →＋BC →|＝|BD →|，所以④正确．综上所述，正确的个数为3.故选C ．5．若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是( ) A ．[3,8] B ．(3,8) C ．[3,13]D ．(3,13)【答案】C 【解析】由于BC →＝AC →－AB →，则有|AB →|－|AC →|≤|BC →|≤|AB →|＋|AC →|，即3≤|BC →|≤13.6．若非零向量a 与b 互为相反向量，给出下列结论：①a ∥b ；②a ≠b ；③|a|≠|b|；④b ＝－a.其中所有正确命题的序号为________．【答案】①②④ 【解析】非零向量a ，b 互为相反向量时，模一定相等，因此③不正确．7．若a ，b 为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a ＋b|＝________，|a －b|＝________. 【答案】0 2 【解析】若a ，b 为相反向量，则a ＋b ＝0，所以|a ＋b|＝0.又a ＝－b ，所以|a|＝|－b|＝1.因为a 与－b 共线，所以|a －b|＝2.8．如图，已知向量a 和向量b ，用三角形法则作出a －b ＋a .解：如图所示，作向量OA →＝a ，向量OB →＝b ，则向量BA →＝a －b ；作向量AC →＝a ，则BC →＝a －b ＋a .9．如图，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，f 表示以下向量：AC →，AD →，AD →－AB →，AB →＋CF →，BF →－BD →. 解：AC →＝OC →－OA →＝c －a . AD →＝AO →＋OD →＝OD →－OA →＝d －a . AD →－AB →＝BD →＝OD →－OB →＝d －b .AB →＋CF →＝OB →－OA →＋OF →－OC →＝b －a ＋f －c . BF →－BD →＝OF →－OB →－(OD →－OB →)＝OF →－OD →＝f －d .10．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，且|AB →|＝|AD →|＝1，OA →＋OC →＝OB →＋OD →＝0，cos ∠DAB ＝12，求|DC →＋BC →|与|CD →＋BC →|.解：∵OA →＋OC →＝OB →＋OD →＝0， ∴OA →＝CO →，OB →＝DO →.∴四边形ABCD 为平行四边形．又|AB →|＝|AD →|＝1，∴▱ABCD 为菱形． ∵cos ∠DAB ＝12，∠DAB ∈(0，π)，∴∠DAB ＝π3，∴△ABD 为正三角形．∴|DC →＋BC →|＝|AB →＋BC →|＝|AC →|＝2|AO →|＝3，|CD →＋BC →|＝|BD →|＝|AB →|＝1.B 级——能力提升练11．在平面上有A ，B ，C 三点，设m ＝AB →＋BC →，n ＝AB →－BC →，若m 与n 的长度恰好相等，则有( )A ．A ，B ，C 三点必在一条直线上 B ．△ABC 必为等腰三角形且∠B 为顶角 C ．△ABC 必为直角三角形且∠B 为直角D ．△ABC 必为等腰直角三角形【答案】C 【解析】以BA →，BC →为邻边作平行四边形ABCD ，则m ＝AB →＋BC →＝AC →，n ＝AB →－BC →＝AB →－AD →＝DB →，由m ，n 的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形．故选C ．12．平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．矩形D ．菱形【答案】B 【解析】因为OA →＋OC →＝OB →＋OD →，所以OA →－OB →＝OD →－OC →，即BA →＝CD →.所以AB CD ．故四边形ABCD 是平行四边形．13．平面上有一个△ABC 和一点O ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .又OA →，BC →的中点分别为D ，E ，则向量DE →等于( )A ．12(a ＋b ＋c )B ．12(－a ＋b ＋c )C ．12(a －b ＋c )D ．12(a ＋b －c )【答案】B 【解析】DE →＝DO →＋OE →＝－12a ＋12(b ＋c )＝12(－a ＋b ＋c )．14．如图，在正六边形ABCDEF 中，与OA →－OC →＋CD →相等的向量有________．①CF →；②AD →；③DA →；④BE →；⑤CE →＋BC →；⑥CA →－CD →；⑦AB →＋AE →.【答案】① 【解析】OA →－OC →＋CD →＝CA →＋CD →＝CF →；CE →＋BC →＝BC →＋CE →＝BE →≠CF →；CA →－CD →＝DA →≠CF →；AB →＋AE →＝AD →≠CF →.15．已知|a|＝7，|b|＝2，且a ∥b ，则|a －b|的值为________．【答案】5或9 【解析】当a 与b 方向相同时，|a －b|＝||a|－|b||＝7－2＝5；当a 与b 方向相反时，|a －b|＝|a|＋|b|＝7＋2＝9.16．如图所示，点O 是四边形ABCD 内任一点，试根据图中给出的向量，确定a ，b ，c ，d 的方向(用箭头表示)，使a ＋b ＝BA →，c －d ＝DC →，并画出b －c 和a ＋d .解：因为a ＋b ＝BA →，c －d ＝DC →，所以a ＝OA →，b ＝BO →，c ＝OC →，d ＝OD →.如图所示，作平行四边形OBEC ，平行四边形ODF A ．根据平行四边形法则可得，b －c ＝EO →，a ＋d ＝OF →.17．如图所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，若AB →＝a ，DA →＝b ，OC →＝c ，试证明：b ＋c －a ＝OA →.证明：(方法一)因为b ＋c ＝DA →＋OC →＝OC →＋CB →＝OB →，OA →＋a ＝OA →＋AB →＝OB →，所以b ＋c ＝OA →＋a ，即b ＋c －a ＝OA →.(方法二)OA →＝OC →＋CA →＝OC →＋CB →＋CD →＝c ＋DA →＋BA →＝b ＋c －AB →＝b ＋c －a .(方法三)因为c －a ＝OC →－AB →＝OC →－DC →＝OC →＋CD →＝OD →＝OA →＋AD →＝OA →－DA →＝OA →－b ，所以b ＋c －a ＝OA →.C 级——探索创新练18．已知|a |＝8，|b |＝15. (1)求|a －b |的取值范围；(2)若|a －b |＝17，则表示a ，b 的有向线段所在的直线所成的角是多少？ 解：(1)由向量三角不等式||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |，得7≤|a －b |≤23. 当a ，b 同向时，不等式左边取等号， 当a ，b 反向时，不等式右边取等号． (2)易知|a |2＋|b |2＝82＋152＝172＝|a －b |2. 作OA →＝a ，OB →＝b ，则|BA →|＝|a －b |＝17， 所以△OAB 是直角三角形，其中∠AOB ＝90°. 所以表示a ，b 的有向线段所在的直线成90°角．。
高中数学8.3 《简单几何体的表面积与体积》基础过关练习题目
第八章8.3第1课时A级——基础过关练1．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()A．4πB．3πC．2πD．π【答案】C【解析】底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故选C．2．(2020年上海徐汇区月考)一个棱锥被平行于底面的平面所截，截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是()A．1∶2B．1∶8C．2∶2D．2∶4【答案】C【解析】∵在棱锥中，平行于底面的平面截棱锥所得的截面与底面相似，相似比等于截得的小棱锥与原棱锥对应棱长之比．∵一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，∴相似比为1∶2＝2∶2.则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是2∶2.故选C．3．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于()A．πB．2πC．4πD．8π【答案】B【解析】设圆柱的底面半径为r，则圆柱的母线长为2r，由题意得S圆柱侧＝2πr×2r＝4πr2＝4π，所以r＝1，所以V圆柱＝πr2×2r＝2πr3＝2π.故选B．4．(2020年赤峰期末)南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面α所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1，V2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S1，S2，则()A．如果S1，S2总相等，则V1＝V2B ．如果S 1＝S 2总相等，则V 1与V 2不一定相等C ．如果V 1＝V 2，则S 1，S 2总相等D ．存在这样一个平面α使S 1＝S 2相等，则V 1＝V 2【答案】A 【解析】由题意可知如果S 1，S 2总相等，则V 1＝V 2.故选A ．5．(2020年赤峰期末)用边长分别为2与4的矩形作圆柱的侧面，则这个圆柱的体积为( )A ．4πB ．6πC ．6π或8πD ．4π或8π【答案】D 【解析】圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，当母线为2时，圆柱的底面半径是42π＝2π，此时圆柱体积是π×⎝⎛⎭⎫2π2×2＝8π；当母线为4时，圆柱的底面半径是22π＝1π，此时圆柱的体积是π×⎝⎛⎭⎫1π2×4＝4π.综上，所求圆柱的体积是4π或8π.故选D ． 6．如图，ABC -A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C -AA ′B ′B 的体积是________．【答案】23 【解析】因为V C -A ′B ′C ′＝13V ABC -A ′B ′C ′＝13，所以V C -AA ′B ′B ＝1－13＝23.7．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆面，则该圆锥的底面直径为________． 【答案】2 【解析】设圆锥的母线为l ，圆锥底面半径为r ，由题意可知，πrl ＋πr 2＝3π，且πl ＝2πr ，解得r ＝1，即直径为2.8．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为________．【答案】168π 【解析】先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r ，下底面半径为R ，则它的母线长为l ＝h 2＋(R －r )2＝(4r )2＋(3r )2＝5r ＝10，所以r ＝2，R ＝8.故S 侧＝π(R ＋r )l ＝π(8＋2)×10＝100π，S 表＝S 侧＋πr 2＋πR 2＝100π＋4π＋64π＝168π.9．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积． 解：设圆锥的底面半径为r ，母线为l ， 则2πr ＝13πl ，得l ＝6r .又S 锥＝πr 2＋πr ·6r ＝7πr 2＝15π，得r ＝157， 圆锥的高h ＝35×157， V ＝13πr 2h ＝13π×157×35×157＝2537π. 10．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，截下一个棱锥C -A 1DD 1，求棱锥C -A 1DD 1的体积与剩余部分的体积之比．解：已知长方体可以看成直四棱柱，设它的底面ADD 1A 1的面积为S ，高为h ，则它的体积为V ＝Sh .而棱锥C -A 1DD 1的底面积为12S ，高为h ，故三棱锥C -A 1DD 1的体积VC -A 1DD 1＝13·⎝⎛⎭⎫12S h ＝16Sh ， 余下部分体积为Sh -16Sh ＝56Sh .所以棱锥C -A 1DD 1的体积与剩余部分的体积之比1∶5.B 级——能力提升练11．(2020年株洲期末)《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡壔(dǎo)，周四丈八尺，高一丈－尺，文积几何？”意思是：今有圆柱形土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少立方尺？这个问题的答案是(π≈3,1丈＝10尺)( )A ．2 112B ．2 111C ．4 224D ．4 222【答案】A 【解析】由已知，圆柱底面圆的周长为48尺，圆柱的高为11尺，∴底面半径r ＝482π＝8(尺)，∴它的体积V ＝11πr 2＝2 112(立方尺)．故选A ．12．(2020年达州模拟)斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特有．图1和图2是斗拱实物图，图3是斗拱构件之一的“斗”的几何体．本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽(长方体去掉一个小长方体)组成．若棱台两底面面积分别是400 cm 2，900 cm 2，高为9 cm ，长方体形凹橹的体积为4 300 cm 3，那么这个斗的体积是( )A ．5 700 cm 3B ．8 100 cm 3C ．10 000 cm 3D ．9 000 cm 3【答案】C 【解析】由题意可知这个斗的体积V ＝13×(400＋400×900＋900)×9＋4300＝10 000(cm 3)．故选C ．13．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．【答案】262－1 【解析】依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．设题中的半正多面体的棱长为x ，则22x ＋x ＋22x ＝1，解得x ＝2－1，故题中的半正多面体的棱长为2－1.14．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________．【答案】8 【解析】如图1为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展开成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图2所示，由图知正方形的边长为22，其面积为8.15．降水量是指水平平面上单位面积降水的深度，现用上口直径为38 cm 、底面直径为24 cm 、深度为35 cm 的圆台形水桶(轴截面如图所示)来测量降水量．如果在一次降雨过程中，此桶盛得的雨水正好是桶深的17，求本次降雨的降水量是多少毫米？(精确到1 mm)解：因为这次降雨的雨水正好是桶深的17，所以水深为17×35＝5(cm)．如图，设水面半径为r cm ，在△ABC 中，AC A ′C ＝CB C ′B ，所以7r －12＝7，r ＝13.所以V 水＝13×(π×122＋π×122×π×132＋π×132)×5＝2 3453π(cm 3)． 水桶的上口面积是S ＝π×192＝361π(cm 2)， 所以V 水S ＝2 3453π361π×10≈22(mm)．故此次降雨的降水量约是22 mm.16．已知一个圆锥的底面半径为R ，高为H ，在其内部有一个高为x 的内接圆柱． (1)求圆柱的侧面积；(2)x 为何值时，圆柱的侧面积最大？解：(1)作圆锥的轴截面，如图所示．设圆柱底面半径为r ， 因为r R ＝H －x H ，所以r ＝R －R H x .所以S 圆柱侧＝2πrx ＝2πRx －2πR Hx 2(0<x <H )． (2)因为－2πR H <0，所以当x ＝2πR 4πR H＝H2时，S 圆柱侧最大．故当x ＝H2时，即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大．C 级——探索创新练17．一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图1，底面处于水平状态)．将容器放倒(如图2，一个侧面处于水平状态)，这时水面所在的平面与各棱交点E ，F ，F 1，E 1分别为所在棱的中点，则图1中水面的高度为( )A ．3B ．2C ．332D ．94【答案】D 【解析】设正三棱柱的底面积为S ，则VABC -A 1B 1C 1＝3S .∵E ，F ，F 1，E 1分别为所在棱的中点．∴S AEF S ＝14，即S AEF ＝14S .∴S BCEF ＝34S .∴VBCFE -B 1C 1F 1E 1＝3×34S ＝94S .则图1中水面的高度为94.故选D ．。
高中数学8.6.2《直线与平面垂直》基础过关练习题
第八章 8.6 8.6.2A 级——基础过关练1．已知直线m ，b ，c 和平面α，下列条件中，能使m ⊥α的是( ) A ．m ⊥b ，m ⊥c ，b ⊥α，c ⊥α B ．m ⊥b ，b ∥α C ．m ∩b ＝A ，b ⊥α D ．m ∥b ，b ⊥α【答案】D 【解析】由线线平行及线面垂直的判定知选项D 正确．2．△ABC 所在的平面为α，直线l ⊥AB ，l ⊥AC ，直线m ⊥BC ，m ⊥AC ，则直线l ，m 的位置关系是( )A ．相交B ．异面C ．平行D ．不确定【答案】C 【解析】因为l ⊥AB ，l ⊥AC 且AB ∩AC ＝A ，所以l ⊥平面ABC ．同理可证m ⊥平面ABC ，所以l ∥m .故选C ．3．已知直线m ，n 是异面直线，则过直线n 且与直线m 垂直的平面( ) A ．有且只有一个 B ．至多一个 C ．有一个或无数个D ．不存在【答案】B 【解析】若异面直线m ，n 垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在． 4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的正弦值为( ) A ．23B ．33 C ．23D ．63【答案】B 【解析】如图所示，连接BD 交AC 于点O ，连接D 1O .由于BB 1∥DD 1，∴DD 1与平面ACD 1所成的角就是BB 1与平面ACD 1所成的角．设D 到平面ACD 1的距离为d ，DD 1与平面ACD 1所成的角为θ.由VD -ACD 1＝VD 1-ACD 得13×34×(2)2·d ＝13×1×1×12×1，解得d ＝33.所以sin θ＝d DD 1＝33.5．(2020年石嘴山月考)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列判断正确的是( )A ．A 1C ⊥平面AB 1D 1 B ．A 1C ⊥平面AB 1C 1D C ．A 1B ⊥平面AB 1D 1 D ．A 1B ⊥AD 1【答案】A 【解析】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，又CC 1⊥B 1D 1，且A 1C 1∩CC 1＝C 1，∴B 1D 1⊥平面A 1C 1C ，则A 1C ⊥B 1D 1，同理A 1C ⊥AB 1，则A 1C ⊥平面AB 1D 1，故A 正确，B 不正确；连接D 1C ，AC ，则∠AD 1C 为A 1B 与AD 1所成角，为60°，故C ，D 不正确．故选A ．6．(多选)已知P A ⊥矩形ABCD 所在的平面，则下列结论中正确的是( )A ．PB ⊥BC B ．PD ⊥CD C ．PD ⊥BD D ．P A ⊥BD【答案】ABD 【解析】P A ⊥平面ABCD ⇒P A ⊥BD ，D 正确；⎭⎪⎬⎪⎫P A ⊥平面ABCD ⇒P A ⊥BC平面ABCD 为矩形⇒AB ⊥BC ⇒BC ⊥平面P AB ⇒BC ⊥PB ．故A 正确；同理B 正确；C 不正确．7．若a ，b 表示直线，α表示平面，给出下列命题：①a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b ；②a ⊥α，a ⊥b ⇒b ∥α；③a ∥α，a ⊥b ⇒b ⊥α；④a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b .其中正确的命题为________．(填序号)【答案】①④ 【解析】由线面垂直的性质知①、④正确．②中b 可能满足b ⊂α，故②错误；③中b 可能与α相交(不垂直)，也可能平行，故③错误．8．如图所示，P A ⊥平面ABC ，在△ABC 中，BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数有________．【答案】4 【解析】⎭⎪⎬⎪⎫P A ⊥平面ABC BC ⊥AC ⇒⎭⎪⎬⎪⎫P A ⊥BCAC ⊥BC P A ∩AC ＝A ⇒BC ⊥平面P AC ⇒BC ⊥PC ，∴直角三角形有△P AB 、△P AC 、△ABC 、△PBC ．9．如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .求证：AE ⊥BE .证明：∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面ABE . 又AE ⊂平面ABE ，∴AE ⊥BC ．∵BF ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ACE ，∴AE ⊥BF . 又∵BF ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，BF ∩BC ＝B ， ∴AE ⊥平面BCE .又BE ⊂平面BCE ，∴AE ⊥BE .10．如图所示，三棱锥A -SBC 中，∠BSC ＝90°，∠ASB ＝∠ASC ＝60°，SA ＝SB ＝SC ．求直线AS 与平面SBC 所成的角．解：因为∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB与△SAC都是等边三角形．因此AB＝AC．如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD，则AD⊥BC．设SA＝a，则在Rt△SBC中，BC＝2a，CD＝SD＝22a.在Rt△ADC中，AD＝AC2－CD2＝22a.则AD2＋SD2＝SA2，所以AD⊥SD．又BC∩SD＝D，所以AD⊥平面SBC．因此∠ASD即为直线AS与平面SBC所成的角．在Rt△ASD中，SD＝AD＝22a，所以∠ASD＝45°，即直线AS与平面SBC所成的角为45°.B级——能力提升练11．(2019年汕头期末)在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是()A．①B．①②C．②③D．④【答案】A【解析】如图．在①中，∵BE⊥CD，AE⊥CD，BE∩AE＝E，∴CD⊥平面ABE，∵AB⊂平面ABE，∴AB ⊥CD，故①正确；在②中，∵CD∥AE，△ABE是等边三角形，∴AB与CD异面，且所成角为60°，故②错误；在③中，CD∥BE，∠ABE＝45°，∴AB与CD异面，且所成角为45°，故③错误；在④中，CD∥BE，tan∠ABE＝AEBE＝2，∴AB与CD异面，且不垂直，故④错误．故选A．12．(2020年延边月考)已知三棱锥P-ABC中，若P A，PB，PC两两互相垂直，作PO⊥平面ABC，垂足为O，则点O是△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心【答案】D【解析】连接AO并延长，交BC于D，连接BO并延长，交AC于E.因为P A⊥PB，P A⊥PC，故P A⊥平面PBC，故P A⊥BC．因为PO⊥平面ABC，故PO⊥BC，故BC⊥平面P AO，故AO⊥BC，即AD⊥BC．同理可证BE⊥AC．故O是△ABC的垂心．故选D．13．如图，在三棱锥P-ABC中，P A⊥底面ABC，∠BAC＝90°，F是AC的中点，E是PC上的点，且EF⊥BC，则PEEC＝________.【答案】1【解析】在三棱锥P-ABC中，因为P A⊥底面ABC，∠BAC＝90°，所以AB ⊥平面APC．因为EF⊂平面P AC，所以EF⊥AB．因为EF⊥BC，BC∩AB＝B，所以EF⊥底面ABC，所以P A∥EF.因为F是AC的中点，E是PC上的点，所以E是PC的中点，所以PEEC＝1.14．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BD，且E为AD的中点，F为BC的中点，则直线BE和平面ADF所成的角的正弦值为________．【答案】33【解析】连接EF，根据题意，BC⊥AF，BC⊥DF.∵AF∩DF＝F，∴BC⊥平面ADF.∴∠BEF是直线BE和平面ADF所成的角．设BC＝2，则BF＝1，BE＝3，∴sin∠BEF＝13＝33.15．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AC＝6，BC＝8，EC⊥平面ABC，且EC＝12，则ED＝________.【答案】13【解析】如图，∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，∴CD＝5.在Rt△ECD中，EC ＝12，∴ED＝52＋122＝13.16．如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有______个．①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．【答案】4【解析】因为SD⊥底面ABCD，所以AC⊥SD．因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD．又BD∩SD＝D，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故①正确．因为AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，所以AB∥平面SCD，故②正确．因为AD是SA 在平面ABCD内的射影，所以SA与平面ABCD所成的角是∠SAD．故③正确．因为AB∥CD，所以AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，故④正确．17．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1.(1)求证：AB1⊥平面A1BC1；(2)若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值．解：(1)证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形，∴AB1⊥BA1.由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1.又∵A1C1⊥A1B1，AA1∩A1B1＝A1，∴A1C1⊥平面AA1B1B．又∵AB1⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥AB1.又∵BA1∩A1C1＝A1，∴AB1⊥平面A1BC1.(2)连接A1D．设AB＝AC＝AA1＝1.∵AA1⊥平面A1B1C1，∴∠A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角．在等腰直角三角形A1B1C1中，D为斜边B1C1的中点，∴A1D＝12B1C1＝2 2.在Rt△A1DA中，AD＝A1D2＋A1A2＝62.∴sin ∠A 1DA ＝A 1A AD ＝63，即AD 与平面A 1B 1C 1所成角的正弦值为63.C 级——探索创新练18．(多选)如图，等边三角形ABC 的边长为1，BC 边上的高为AD ，沿AD 把△ABC 折起来，则( )A ．在折起的过程中始终有AD ⊥平面DB ′C B ．三棱锥A -DB ′C 的体积的最大值为348C ．当∠B ′DC ＝60°时，点A 到B ′C 的距离为154D ．当∠B ′DC ＝90°时，点C 到平面ADB ′的距离为12【答案】ABCD 【解析】因为AD ⊥DC ，AD ⊥DB ′，且DC ∩DB ′＝D ，所以AD ⊥平面DB ′C ，故A 正确；当DB ′⊥DC 时，△DB ′C 的面积最大，此时三棱锥A -DB ′C 的体积也最大，最大值为13×32×12×12×12＝348，故B 正确；当∠B ′DC ＝60°时，△DB ′C 是等边三角形，设B ′C 的中点为E ，连接AE ，DE ，则AE ⊥B ′C ，即AE 为点A 到B ′C 的距离，AE ＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫342＝154，故C 正确；当∠B ′DC ＝90°时，CD ⊥DB ′，CD ⊥AD ，故CD ⊥平面ADB ′，则CD 就是点C 到平面ADB ′的距离，则CD ＝12，故D 正确．19．在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1＝2，D 是A 1B 1的中点．(1)求证C 1D ⊥平面AA 1B 1B ；(2)当点F 在BB 1上的什么位置时，会使得AB 1⊥平面C 1DF ？并证明你的结论． 证明：(1)∵ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱， ∴A 1C 1＝B 1C 1＝1，且∠A 1C 1B 1＝90°. 又D 是A 1B 1的中点，∴C 1D ⊥A 1B 1. 又∵AA 1⊥平面A 1B 1C 1，C 1D ⊂平面A 1B 1C ． ∴AA 1⊥C 1D ．又A1B1∩AA1＝A1.∴C1D⊥平面AA1B1B．(2)作DE⊥AB1交AB1于点E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F为所求．∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1.又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF.∵AA1＝A1B1＝2，∴四边形AA1B1B为正方形．又D为A1B1的中点，DF⊥AB1，∴F为BB1的中点．∴当点F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF.。
高中数学9.1.1《简单随机抽样》基础过关练习题
第九章 9.1 9.1.1A 级——基础过关练1．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析，在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是( )A ．总体B ．个体C ．样本量D ．从总体中抽取的一个样本【答案】A 【解析】根据题意，结合总体、样本、个体、样本容量的定义可知，5 000名居民的阅读时间的全体是总体．2．(2019年哈尔滨第三中学期末)总体由编号为01,02,03，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )78 16 65 72 08 02 63 14 07 02 43 69 97 28 01 9832 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81A ．08B ．07C ．02D ．01【答案】B 【解析】从随机数表第1行的第3列开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号，依次为16,08,02,14,07，则第5个个体的编号为07.故选B ．3．下列抽样方法是简单随机抽样的是( )A ．某工厂从老年、中年、青年职工中按2∶5∶3的比例选取职工代表B ．从实数集中逐个抽取10个数分析能否被2整除C ．福利彩票用摇奖机摇奖D ．规定凡买到明信片的最后几位号码是“6637”的人获三等奖【答案】C 【解析】简单随机抽样要求总体个数有限，从总体中逐个进行不放回抽样，每个个体有相同的可能性被抽到，分析可知选C ．4．(2019年天津期末)已知m 个数的平均数为a ，n 个数的平均数为b ，用这m ＋n 个数的平均数为( )A ．a ＋b 2B ．a ＋b m ＋nC ．ma ＋nb a ＋bD ．ma ＋nb m ＋n【答案】D 【解析】m 个数的平均数为a ，n 个数的平均数为b ，则这m ＋n 个数的平均数为x ＝ma ＋nb m ＋n.故选D ． 5．为了了解参加运动会的2 000名运动员的年龄情况，从中抽取20名运动员的年龄进行统计分析．下列说法中正确的为( )①2 000名运动员的年龄是总体；②每个运动员的年龄是个体；③所抽取的20名运动员的年龄是一个样本；④样本量为2 000；⑤每个运动员被抽到的机会相等．A ．①⑤B ．④⑤C ．③④⑤D ．①②③⑤【答案】D 【解析】样本容量为20，④错误．①②③⑤正确．6．下列调查的样本合理的是________．①在校内发出一千张印有全校各班级的选票，要求被调查学生在其中一个班级旁画“√”，以了解最受欢迎的教师是谁；②从一万多名工人中，经过选举，确定100名代表，然后投票表决，了解工人们对厂长的信任情况；③到老年公寓进行调查，了解全市老年人的健康状况；④为了了解全班同学每天的睡眠时间，在每个小组中各随机抽取3名学生进行调查．【答案】②④ 【解析】①中样本不具有代表性、有效性，在班级前画“√”与了解最受欢迎的老师没有关系；③中样本缺乏代表性；而②④是合理的样本．7．用随机数表法从100名学生(男生25人)中抽选20人进行评教，某男学生被抽到的概率是________．【答案】15 【解析】简单随机抽样是等可能性抽样，每个个体被抽到的概率都是20100＝15. 8．齐鲁风采“七乐彩”的中奖号码是从分别标有1,2，…，30的三十个小球中逐个不放回地摇出7个小球来按规则确定中奖情况，这种从30个号码中选7个号码的抽样方法是________．【答案】抽签法 【解析】三十个小球相当于号签，搅拌均匀后逐个不放回地抽取，这是典型的抽签法．9．某校2018级高一年级有50位任课教师，为了调查老师的业余兴趣情况，打算抽取一个样本量为5的样本，问此样本若采用抽签法将如何获得？解：首先，把50位任课教师编上号码：01,02,03，…，50.制作50个形状、大小均相同的号签(号签可以用小球、卡片、纸条等制作)，然后将这些号签放在一个不透明的箱子里，进行均匀搅拌．抽签时，每次从中抽出1个号签，不放回，连续抽取5次，就得到一个容量为5的样本．10．某企业调查消费者对某产品的需求量，要从95户居民中抽选10户居民，用随机数法抽选样本时，应如何操作？附部分随机数表：85 38 44 05 2748 98 76 06 0216 08 52 99 7161 27 94 30 2192 98 02 77 6826 91 62 77 83解：第一步：将95户居民编号，每一户一个编号，即01～95.第二步：随机确定抽样的起点和抽样的顺序．如假定从第1行第6列开始读取，读数顺序从左往右，每次读两位．(横的数列称为“行”，纵的数列称为“列”)．第三步：将编号范围内的数取出，编号范围外或重复的数去掉．得到的样本号码是：40,52,74,89,87,60,21,85,29,16.由此产生10个样本号码，编号为这些号码的居民家庭就是抽样调查的对象．B级——能力提升练11．下列问题中，最适合用简单随机抽样方法抽样的是()A．某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40，有一次报告会坐满了听众，报告会结束后为听取意见，要留下32名听众进行座谈B．从10台冰箱中抽出3台进行质量检查C．某学校有在编人员160人，其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人，教育部门为了解在编人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个样本量为20的样本D．某乡农田有：山地800公顷，丘陵1 200公顷，平地2 400公顷，洼地400公顷，现抽取农田48公顷估计全乡农田平均每公顷产量【答案】B【解析】A的总体容量较大，用简单随机抽样法比较麻烦；B的总体容量较少，用简单随机抽样法比较方便；C由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异很大，不宜采用简单随机抽样法；D总体容量大，且各类田地的差别很大，也不宜采用简单随机抽样法．12．某总样本量为M ，其中带有标记的有N 个，现用简单随机抽样的方法从中抽取一个样本量为m 的样本，则抽取的m 个个体中带有标记的个数估计为( )A ．mN MB ．mM NC ．MN mD ．N【答案】A 【解析】由随机抽样的意义可得x N ＝m M ，故x ＝mN M，即抽取的m 个个体中带有标记的个数估计为mN M. 13．(2020年荆门月考)某学校为了调查学生的学习情况，由每班随机抽取5名学生进行调查，若一班有50名学生，将每一学生编号从01到50，请从随机数表的第1行第5列(如表为随机数表的前2行)开始，依次向右，直到取足样本，则第五个编号为________．78 16 65 14 08 02 63 14 07 02 43 69 97 28 01 9832 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81【答案】43 【解析】根据应用随机数表取样本数据的特征知，依次抽取的5个数据分别为14,08,02,07,43.所以第5个编号为43.14．一个布袋中有6个同样质地的小球，从中不放回地抽取3个小球，则某一特定小球被抽到的可能性是________；第三次抽取时，剩余小球中的某一特定小球被抽到的可能性是________．【答案】12 14 【解析】因为简单随机抽样时每个个体被抽到的可能性为36＝12，所以某一特定小球被抽到的可能性是12.因为此抽样是不放回抽样，所以第一次抽样时，每个小球被抽到的可能性均为16；第二次抽取时，剩余5个小球中每个小球被抽到的可能性均为15；第三次抽取时，剩余4个小球中每个小球被抽到的可能性均为14. 15．为制定本市高一、高二、高三年级学生校服的生产计划，有关部门准备对180名高中男生的身高作调查，现有三种调查方案：方案一：测量少年体校中180名男子篮球、排球队员的身高；方案二：查阅有关外地180名高中男生身高的统计资料；方案三：在本市的市区任选两所中学、郊区任选一所中学，在这三所学校有关的年级中，用抽签的方法分别选出20名男生，然后测量他们的身高．为了达到估计本市高中这三个年级男生身高分布的目的，你认为采用上述哪一种调查方案比较合理，为什么？解：方案三比较合理，理由如下：方案一中，少年体校的男子篮球、排球的运动员的身高一定高于一般的情况，因此无法用测量的结果去估计总体的结果．方案二中，用外地学生的身高也不能准确地反映本地学生身高的实际情况．方案三中的抽样方法符合简单随机抽样，因此用方案三比较合理．16．为了检验某种产品的质量，决定从40件产品中抽取10件进行检查，如何用简单随机抽样抽取样本？(下面抽取了第5行到9行的随机数表)16 22 77 94 3949 54 43 54 8217 37 93 23 7887 35 20 96 4384 26 34 91 6484 42 17 53 3157 24 55 06 8877 04 74 47 6721 76 33 50 2583 92 12 06 7663 01 63 78 5916 95 55 67 1998 10 50 71 7512 86 73 58 0744 39 52 38 79解：(方法一，抽签法)①将这40件产品编号为01,02， (40)②做好大小、形状相同的号签，分别写上这40个号码；③将这些号签放在一个不透明的容器内，搅拌均匀；④连续抽取10个号签；⑤然后对这10个号签对应的产品检验．(方法二，随机数法)①将40件产品编号，可以编为00,01,02，…，38,39；②在随机数表中任选一个数作为开始，例如从第7行第9列的数8开始；③从选定的数8开始向右读下去，得到一个两位数字号码88，由于88>39，将它去掉；继续向右读，得到77，由于77>39，将它去掉；继续向右读，得到04，将它取出；继续下去，又得到21,33,25,12,06,01,16,19,10，至此，10个样本号码已经取满，于是，所要抽取的样本号码是04,21,33,25,12,06,01,16,19,10.C级——探索创新练17．从某批零件中抽取50个，然后再从这50个中抽取40个进行合格检查，发现合格产品有36个，则该产品的合格率为()A．36%B．72%C．90%D．25%【答案】C 【解析】3640×100%＝90%. 18．某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第一次抽到的可能性为a ，第二次被抽到的可能性为b ，则( )A ．a ＝310，b ＝29B ．a ＝110，b ＝19C ．a ＝310，b ＝310D ．a ＝110，b ＝110【答案】D 【解析】由简单随机抽样的定义知，每个个体在每次抽取中都有相同的可能性被抽到，故五班在每次抽样中被抽到的可能性都是110.。
【高中数学过关练习】过关练13-二次函数在闭区间上的最值问题
过关练13 二次函数在闭区间上的最值问题一、单选题1．（2022·山西运城·高一期末）已知二次函数()()2f x ax x c x =-+∈R 的值域为[)0,∞+，则41a c+的最小值为（ ） A ．16 B ．12 C ．10 D ．8【解析】由题意知0a >，140ac ∆=-=， ∴14ac =且0c >， ∴4148a c ac+≥=， 当且仅当41a c=，即1a =，14c =时取等号.故选：D.2．（2022·全国·高一期末）若不等式220ax bx ++>的解集为{}21x x -<<，则二次函数224y bx x a =++在区间[]0,3上的最大值、最小值分别为（ ）A ．-1，-7B ．0，-8C ．1，-1D ．1，-7【解析】220ax bx ++>的解集为{}21x x -<<， 2∴-，1是方程220ax bx ++=的根，且0a <，∴21221b a a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，1a ∴=-，1b =-，则二次函数2224241y bx x a x x =++=-+-开口向下，对称轴1x =，在区间[]0,3上，当1x =时，函数取得最大值1，当3x =时，函数取得最小值7- 故选：D ．3．（2022·河南·信阳高中高一期末（理））函数()(||1)f x x x =-在[,]m n 上的最小值为14-，最大值为2，则n m -的最大值为（ ） A ．52B ．522+C ．32D ．2【解析】当x ≥0时，()()221111()244f x x x x x x ==-=--≥-﹣， 当x ＜0时，()()22111()24f x x x x x x =-=--=-++，作出函数()f x 的图象如图：当0x ≥时，由()f x =22x x -=，解得x =2． 当12x =时，()1124f =-．当x ＜0时，由21()4f x x x =--=-,即24410x x +=﹣，解得x 2444443244212-±+⨯-±-±-±===∴此时x 12-- ∵[,m n ]上的最小值为14-，最大值为2，∴n =21212m --≤≤， ∴n m -的最大值为1252222--=+， 故选：B ．4．（2022·重庆巫山·高一期末）若函数234y x x =--的定义域为[]0,m ，值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，则m 的取值范围是（ ） A ．(]0,4 B ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】234y x x =--为开口方向向上，对称轴为32x =的二次函数 min 99254424y ∴=--=- 令2344x x --=-，解得：10x =，23x = 332m ∴≤≤即实数m 的取值范围为3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：C5．（2022·浙江台州·高一期末）已知函数()22f x ax x =+的定义域为区间[m ，n ]，其中,,a m n R ∈，若f （x ）的值域为[-4，4]，则n m -的取值范围是（ ）A ．[4，42]B ．[22，82]C ．[4，82]D ．[42，8]【解析】若0a =，()2f x x =，函数为增函数，[,]x m n ∈时，则()24,()24f m m f n n ==-==，所以2(2)4n m -=--=， 当0a >时，作图如下，为使n m -取最大，应使n 尽量大，m 尽量小，此时14a =， 由22()424()424f n am m f m an n =⎧+=⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩，即2240ax x +-=， 所以24,m n mn a a+=-=-，所以()22416482n m m n mn a a-=+-=+=82n m -≤ 当14a -<-时，即104a <<时，此时,m n 在对称轴同侧时n m -最小，由抛物线的对称性，不妨设,n m 都在对称轴右侧，则由22()24,()24f n an n f m am m =+==+=-， 解得24162416a an m -++-+-==416416141441414141422a a a a n m a aa a+--+--∴-===++-++-， 当且仅当1414a a +=- ,即0a =时取等号，但0a >，等号取不到，4n m ∴->，0a <时，同理，当14a =-时，max ()82n m -=14a >-时，()min 4n m ->， 综上，n m -的取值范围是[4,82]， 故选：C6．（2022·广东茂名·高一期末）已知函数2,02()34,23x x f x x x ⎧≤≤=⎨-<≤⎩，若存在实数1x ，2x （12x x <）满足12()()f x f x =，则21x x -的最小值为（ ） A ．712B ．22C ．23D ．1【解析】当0≤x ≤2时，0≤x 2≤4，当2<x ≤3时，2<3x －4≤5， 则[0，4]∩(2，5]=(2，4]，令12()()f x f x ==t ∈(2，4]， 则1x t 243t x +=， ∴2214143333t x x t tt -==， 32t ，即94t =时，21x x -有最小值712，故选：A.二、多选题7．（2022·新疆巴音郭楞·高一期末）定义在R 上的奇函数()f x 在(),0∞-上的解析式()()1f x x x =+，则()f x 在[)0,∞+上正确的结论是（ ）A ．()00f =B ．()10f =C ．最大值14D ．最小值14-【解析】由题可知，函数()f x 为定义在R 上的奇函数，则()()f x f x -=-， 已知()f x 在(),0∞-上的解析式()()1f x x x =+， 则当0x >时，0x -<，则()()()1f x x x f x -=--=-，所以当[)0,x ∈+∞时，()()2211124f x x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，可知()00f =，()10f =，且最大值为14，无最小值，所以()f x 在[)0,∞+上正确的结论是ABC. 故选：ABC.8．（2022·贵州遵义·高一期末）设函数()21,21,ax x a f x x ax x a -<⎧=⎨-+≥⎩，()f x 存在最小值时，实数a 的值可能是（ ）A ．2B ．-1C ．0D ．1【解析】当x a ≥时，()()222211f x x ax x a a =-+=--+，所以当x a ≥时，()()2min 1f x f a a ==-+，若0a =，则()21,01,0x f x x x -<⎧=⎨+≥⎩，所以此时()min 1f x =-，即()f x 存在最小值， 若0a >，则当x a <时，()1f x ax =-，无最小值， 若0a <，则当x a <时，()1f x ax =-为减函数， 则要使()f x 存在最小值时，则22110a a a ⎧-+≤-⎨<⎩，解得1a ≤-，综上0a =或1a ≤-. 故选：BC.三、填空题9．（2022·广西南宁·高一期末）已知函数2()25,[1,5]f x x x x =-+∈-．则函数的最大值和最小值之积为______【解析】因为22()25(1)4f x x x x =-+=-+，所以当1x =时，min ()(1)4f x f ==，当5x =时，2max ()(5)(51)420f x f ==-+=，所以最大值和最小值之积为42080⨯=.故答案为：8010．（2022·广东汕头·高一期末）函数()()()2f x x a bx a =++是偶函数，且它的值域为(],2-∞，则2a b +=__________．【解析】()()()()22222f x x a bx a bx a ab x a =++=+++为偶函数，所以20a ab +=，即0a =或2b =-，当0a =时，()2f x bx =值域不符合(],2-∞，所以0a =不成立；当2b =-时，()2222f x x a =-+，若值域为(],2-∞，则21a =，所以21a b +=-.故答案为：1-.11．（2022·广东·华南师大附中高一期末）对x ∀∈R ，不等式2430mx x m ++->恒成立，则m 的取值范围是___________；若2430mx x m ++->在()1,1-上有解，则m 的取值范围是___________.【解析】（1）关于x 的不等式函数2430mx x m ++->对于任意实数x 恒成立，则()204430m m m >⎧⎨∆=--<⎩，解得m 的取值范围是()4,+∞.（2）若2430mx x m ++->在()1,1-上有解， 则2341x m x ->+在()1,1-上有解，易知当314x -<≤时23401xx -≥+， 当314x <<时23401x x -<+，此时记34t x =-， 则104t <<，()244253311624t g t t t t --==⎛⎫++++ ⎪⎝⎭，在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故()12g t >-， 综上可知，234112x x ->-+，故m 的取值范围是1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：()4,+∞；1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭四、解答题12．（2022·河南安阳·高一期末（文））已知二次函数()2f x ax bx c =++，满足()02f =，()()121f x f x x +-=-.(1)求函数()f x 的解析式； (2)求()f x 在区间[]1,2-上的值域. 【解析】（1）解：由()02f =可得2c =，()()()()221112f x a x b x c ax a b x a b c +=++++=+++++，由()()121f x f x x +-=-得221ax a b x ++=-，所以221a a b =⎧⎨+=-⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，所以()222f x x x =-+.（2）解：由（1）可得：()()222211f x x x x =-+=-+， 则()f x 的图象的对称轴方程为1x =，()11f =， 又因为()15f -=，()22f =，所以，()f x 在区间[]1,2-上的值域为[]1,5.13．（2022·广东潮州·高一期末）()2f x x bx c =++，不等式()0f x ≤的解集为[]1,3．(1)求实数b ，c 的值；(2)[]0,3x ∈时，求()f x 的值域．【解析】(1)解：由题意，1和3是方程20x bx c ++=的两根，所以1313b c +=-⎧⎨⨯=⎩，解得4,3b c =-=；(2)解：由（1）知，22()43(2)1f x x x x =-+=--，所以当[]0,2x ∈时，()f x 单调递减，当[]2,3x ∈时，()f x 单调递增， 所以min ()(2)1f x f ==-，max ()(0)3f x f ==， 所以()f x 的值域为[1,3]-.14．（2022·广东湛江·高一期末）已知函数()223f x x ax =++，[]4,6x ∈-．(1)当2a =-时，求()f x 的最值；(2)若()f x 在区间[]4,6-上是单调函数，求实数a 的取值范围． 【解析】（1）当2a =-时，()()224321f x x x x =-+=--， ∴()f x 在[]4,2-上单凋递减，在2,6上单调递增，∴()()min 21f x f ==-，()()()()2max 4444335f x f =-=--⨯-+=.（2）()()222233f x x ax x a a =++=++-，∴要使()f x 在[]4,6-上为单调函数，只需4a -≤-或6a -≥，解得4a ≥或6a ≤-． ∴实数a 的取值范围为(][),64,-∞-+∞．15．（2022·北京通州·高一期末）已知二次函数2()21f x ax ax =-+. (1)求()f x 的对称轴；(2)若(1)7f -=，求a 的值及()f x 的最值.【解析】(1)解：因为二次函数2()21f x ax ax =-+， 所以对称轴212ax a-=-=． (2)解：因为(1)7f -=，所以217a a ++=. 所以2a =.所以2()241f x x x =-+． 因为20a =>， 所以()f x 开口向上，又2()241f x x x =-+对称轴为1x =，所以最小值为(1)1f =-，无最大值. 16．（2022·陕西·长安一中高一期末）函数2()22f x x x =-- (1)当[2,2]x ∈-时，求函数()f x 的值域； (2)当[,1]x t t ∈+时，求函数()f x 的最小值．【解析】(1)解：由题意，函数()22()2213f x x x x =--=--，可得函数()f x 在[]2,1-上单调递减，在[]12，上单调递增，所以函数()f x 在区间[]22-,上的最大值为(2)6f -=，最小值为(1)3f -=-， 综上函数()f x 在上的值域为[]3,6-.(2)解：①当0t ≤时，函数在区间[],1t t +上单调递减，最小值为2(1)3f t t +=-； ②当01t <<时，函数在区间[],1t 上单调递减， 在区间[]1,+1t 上单调递增，最小值为(1)3f =-；③当1t ≥时，函数在区间[],1t t +上单调递增，最小值为2()22f t t t =--，综上可得：当0t ≤时，函数()f x 的最小值为23t -；当01t <<，函数()f x 的最小值为3-；当1t ≥时，函数()f x 的最小值为222t t --.17．（2022·福建泉州·高一期末）已知函数2()4(0)f x ax ax b a =-+>在[0,3]上的最大值为3，最小值为1-． (1)求()f x 的解析式；(2)若(1,)∃∈+∞x ，使得()f x mx <，求实数m 的取值范围． 【解析】（1）()f x 的开口向上，对称轴为2x =， 所以在区间[]0,3上有：()()()()min max 2,0f x f f x f ==，即481133a a b a b b -+=-=⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩，所以()243f x x x =-+.（2）依题意(1,)∃∈+∞x ，使得()f x mx <，即2343,4x x mx m x x-+<>+-， 由于1x >，33424234x x x x+-≥⋅=， 当且仅当33x x x=⇒=. 所以234m >.18．（2022·吉林·梅河口市第五中学高一期末）已知函数()()220f x mx mx n m =-+<在区间[]0,3上的最大值为5，最小值为1．(1)求m ，n 的值；(2)若正实数a ，b 满足2na mb -=，求114a b+的最小值．【解析】(1)由()()220f x mx mx n m =-+<，可得其对称轴方程为212mx m-=-=，所以由题意有(1)25(3)961f m m n f m m n =-+=⎧⎨=-+=⎩，解得1,4m n =-=.(2)由（1）2na mb -=为42a b +=，则111111171171725()()()(2)14242424848b a b a a b a b a b a b a b +=++=++≥+⨯=+=， （当且仅当25a b ==时等号成立）. 所以114a b +的最小值为258.19．（2022·山东日照·高一期末）已知函数()223f x x ax =--.(1)若1a =，求不等式()0f x ≥的解集；(2)已知()f x 在[)3,+∞上单调递增，求a 的取值范围； (3)求()f x 在[]1,2-上的最小值.【解析】（1）当1a =时，函数()223f x x x =--，不等式()0f x ≥，即223(1)(3)0x x x x --=+-≥，解得1x ≤-或3x ≥， 即不等式()0f x ≥的解集为(,1][3,)-∞-+∞.（2）由函数()223f x x ax =--，可得()f x 的图象开口向上，且对称轴为x a =，要使得()f x 在[)3,+∞上单调递增，则满足3a ≤， 所以a 的取值范围为(,3]-∞.（3）由函数()223f x x ax =--，可得()f x 的图象开口向上，且对称轴为x a =，当1a <-时，函数()f x 在[]1,2-上单调递增，所以()f x 最小值为()122f a -=-； 当12a -≤≤时，函数()f x 在[]1,a -递减，在[],2a 上递增，所以()f x 最小值为()23f a a =--；当2a >时，函数()f x 在[]1,2-上单调递减，所以()f x 最小值为()214f a =-， 综上可得，()f x 在[]1,2-上的最小值为()2min22,13,1214,2a a f x a a a a -<-⎧⎪=---≤≤⎨⎪->⎩. 20．（2022·江苏苏州·高一期末）已知函数f （x ）＝x |x ﹣m |＋n . (1)当f （x ）为奇函数，求实数m 的值；(2)当m ＝1，n ＞1时，求函数y ＝f （x ）在[0，n ]上的最大值. 【解析】(1)因为f （x ）为奇函数，所以f （﹣0）＝﹣f （0）， 所以f （0）＝0，即n ＝0，所以f （x ）＝x |x ﹣m |， 又f （﹣1）＝﹣f （1），所以|1﹣m |＝|1＋m |，解得m ＝0，此时f （x ）＝x |x |，对∀x ∈R ，f （﹣x ）＝﹣x |x |＝﹣f （x ）， 所以f （x ）为奇函数,故m ＝0.(2)f （x ）＝x |x ﹣1|＋n ＝22,1,1x x n x x x n x ⎧-++⎨-+>⎩所以f （x ）在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和[1，n ]上单调递增，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，其中211(),()24f n f n n =+=，2111212()()()24f n f n n n n +--=--=，令214n n >+得，12n +>12n +>1()()2f n f >，2max ()f x n =.121n +<≤时1()()2f n f ≤，所以max 1()4f x n =+，因此y ＝f （x ）在[0，n ]上的最大值为2112,14212,n n n n ⎧++⎪⎪⎨+⎪⎪⎩. 21．（2022·天津市武清区杨村第一中学高一期末）已知函数()22f x x mx n =++的图象过点()1,1-，且满足()()23f f -=．(1)求函数()f x 的解析式：(2)求函数()f x 在[],2a a +上的最小值；(3)若0x 满足()00f x x =，则称0x 为函数()y f x =的不动点，函数()()g x f x tx t =-+有两个不相等且正的不动点，求t 的取值范围． 【解析】（1）∵()f x 的图象过点()1,1-， ∴21m n ++=-① 又()()23f f -=， ∴82183m n m n -+=++② 由①②解2m =-，1n =-，∴()2221f x x x =--；（2）()2213221222f x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，[],2x a a ∈+，当122a +≤，即32a ≤-时，函数()f x 在[],2a a +上单调递减，∴()()2min 2263f x f a a a ⎡⎤=+=++⎣⎦；当122a a <<+，即3122a -<<时，函数()f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,22a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦单调递增，∴()min1322f x f ⎛⎫⎡⎤==- ⎪⎣⎦⎝⎭； 当12a ≥时，函数()f x 在[],2a a +上单调递增， ∴()()2min 221f x f a a a ⎡⎤==--⎣⎦．综上，()2min23263,,2331,,2221221,2a a a f x a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪⎡⎤=--<<⎨⎣⎦⎪⎪--≥⎪⎩．（3）设()()g x f x tx t =-+有两个不相等的不动点1x 、2x ，且1>0x ，20x >，∴()g x x =，即方程()22310x t x t -++-=有两个不相等的正实根1x 、2x ．∴()()21212Δ3810,30,2102t t t x x t x x ⎧⎪=+-->⎪+⎪+=>⎨⎪-⎪=>⎪⎩，解得1t >． 22．（2022·安徽合肥·高一期末）已知函数()22f x x mx =--.(1)若0m >且()f x 的最小值为3-，求不等式()1f x <的解集； (2)若当21x ≤时，不等式()20f x x -<恒成立，求实数m 的取值范围. 【解析】（1）解：()f x 的图象是对称轴为2mx =，开口向上的抛物线，所以，()222min2232424m m mm f x f ⎛⎫==--=--=- ⎪⎝⎭，因为0m >，解得2m =，由()1f x <得2230x x --<，即()()310x x -+<，得13x ，因此，不等式()1f x <的解集为()1,3-.（2）解：由21x ≤得11x -≤≤，设函数()()()2222g x f x x x m x =-=-+-，因为函数()g x 的图象是开口向上的抛物线，要使当21x ≤时，不等式()20f x x -<恒成立，即()0g x <在[]1,1-上恒成立，则()()1010g g⎧<⎪⎨-<⎪⎩，可得122010m m ---<⎧⎨+<⎩，解得3<1m -<-. 23．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数2()2(0)f x x ax a =->． (1)当3a =时，解关于x 的不等式5()7f x -<<；(2)函数()y f x =在[],2t t +上的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值．【解析】（1）当3a =时，不等式5()7f x -<<， 即为2567x x -<-<，即226756⎧-<⎪⎨-<-⎪⎩x x x x ，所以171,5或-<<⎧⎨<>⎩x x x ， 所以11x -<<或57x <<，所以原不等式的解集为(1,1)(5,7)-⋃． （2）(0)(2)0f f a ==，由题意0=t 或22t a +=，这时24a -≤-解得2a ≥， 若0=t ，则2t a +≤，所以()()2242f t f a +==-⇒=；若22t a +=，即22t a a =-≥， 所以()()422f t f a =-=-，则2a =，综上，0,2t a ==或2,2t a ==．24．（2022·贵州·赫章县教育研究室高一期末）已知函数()2623f x ax x b =+-+（,a b 为常数），在1x =时取得最大值2. （1）求()f x 的解析式； （2）求函数()f x 在3,2上的单调区间和最小值.【解析】（1）由题意知6126232a ab ⎧-=⎪⎨⎪+-+=⎩,∴32a b =-⎧⎨=⎩ , ∴ ()2361f x x x =-+-.（2）∵()()()22321312f x x x x =---=--+，∴当[]3,2x ∈-时，()f x 的单调增区间为[]3,1-，单调减区间为[]1,2，又()()32718146,2121211f f -=---=-=-+-=-， ∴ ()f x 最小值为46-.25．（2022·广东·化州市第三中学高一期末）已知函数()22f x x mx =-+．（1）若()f x 在区间(],1-∞上有最小值为1-，求实数m 的值；（2）若4m ≥时，对任意的12,1,12m x x ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，总有()()21244mf x f x -≤-，求实数m 的取值范围．【解析】（1）可知()f x 的对称轴为2m，开口向上， 当12m ≤，即2m ≤时，()2min 2124m m f x f ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭， 解得23m =-23，∴23m =- 当12m>，即2m >时，()()min 131f x f m ==-=-， 解得4m =，∴4m =． 综上，23m =-4m =．（2）由题意得，对1,12m x ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，()()2max min 44m f x f x -≤-． ∵1,122m m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，11222m m m⎛⎫-≥+- ⎪⎝⎭，∴()2min224m m f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()()max 13f x f m ==-．∴()()22max min1444m m f x f x m -=-+≤-， 解得5m ≥，∴5m ≥．26．（2022·黑龙江·鹤岗一中高一期末）已知二次函数()f x 满足()()12f x f x x +-=，且()01f =.(1)求函数()f x 在区间[]1,1-上的值域；(2)当x ∈R 时，函数y a =-与()3y f x x =-的图像没有公共点，求实数a 的取值范围.【解析】(1)解：设()()20f x ax bx c a =++≠､∴()1()22f x f x ax a b x +-=++=，∴220a a b =⎧⎨+=⎩，∴1a =，1b =-，又()01f =，∴1c =，∴()21f x x x =-+.∵对称轴为直线12x =，11x -≤≤，1324f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()13f -=， ∴函数的值域3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(2)解：由（1）可得：()2341y f x x x x =-=-+∵直线y a =-与函数()3y f x x =-的图像没有公共点∴()2min 41a x x -<-+， 当2x =时，()2min 41=3x x -+-∴3a -<-，∴3a >.27．（2022·陕西安康·高一期末）已知二次函数()[]21,1,2f x x ax x =++∈-．(1)当1a =时，求()f x 的最大值和最小值，并指出此时x 的取值； (2)求()f x 的最小值，并表示为关于a 的函数()H a ．【解析】(1)当1a =时，()21f x x x =++，对称轴为12x =-，开口向上，所以()f x 在11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，()2min111312224f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()2max 22217f x f ==++=.所以当12x =-时，()f x 的最小值为34，当2x =时()f x 的最大值为7.(2)()21f x x ax =++的对称轴为2a x =-，开口向上，当12a-≤-即2a ≥时，()21f x x ax =++在[]1,2-上单调递增， ()()()2min 1112f x f a a =-=--+=-，当122a -<-<即42a -<<时，()21f x x ax =++在1,2a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,22a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，此时()22min 112224a a a a f x f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+⋅-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当22a-≥即4a ≤-时，()21f x x ax =++在[]1,2-上单调递减， ()()2min 222152f x f a a ==++=+，所以252,4()1,4242,2a a a H a a a a +≤-⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩.28．（2022·北京平谷·高一期末）已知二次函数()()211f x ax a x =-++.(1)当对称轴为1x =-时， （i ）求实数a 的值；（ii ）求f （x ）在区间[]22-,上的值域. (2)解不等式()0f x ≥. 【解析】(1)解：（i ）由题得(1)(1)11,12,223a a a a a a a -++-==-∴+=-∴=-； （ii ）()212133f x x x =--+，对称轴为1x =-， 所以当[]2,2x ∈-时，max 124()(1)1333f x f =-=-++=.min 445()(2)1333f x f ==--+=-.所以f （x ）在区间[]22-,上的值域为54[,]33-. (2)解：()2110ax a x -++≥，当0a =时，10,1x x -+≥∴≤；当0a >时，121(1)(1)0,0,1ax x x x a--≥∴=>=， 当01a <<时，不等式的解集为1{|x x a≥或1}x ≤； 当1a =时，不等式的解集为R ；当1a >时，不等式的解集为{|1x x ≥或1}x a≤；当0a <时，121(1)(1)0,0,1ax x x x a--+≤∴=<=， 所以不等式的解集为1{|1}x x a≤≤. 综上，当0a =时，不等式的解集为{|1}x x ≤； 当01a <<时，不等式的解集为1{|x x a≥或1}x ≤； 当1a =时，不等式的解集为R ；当1a >时，不等式的解集为{|1x x ≥或1}x a≤；当0a <时， 不等式的解集为1{|1}x x a≤≤. 29．（2022·重庆·高一期末）已知函数()29f x x ax a =-+-，a R ∈．(1)若()f x 在[]0,1上的值域为[]4,6，求a 的值；(2)若关于x 的不等式()0f x <只有一个正整数解，求a 的取值范围． 【解析】(1)解：因为函数()29f x x ax a =-+-，a R ∈，对称轴2ax =，且()09f a =-，()1102f a =-，21924a f a a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，当02a<时，函数()f x 在0,1上单调递增，所以 ()()0416f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即941026a a -=⎧⎨-=⎩，此时无解； 当>12a时，函数()f x 在0,1上单调递减，所以 ()()0614f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即961024a a -=⎧⎨-=⎩，解得3a =； 当012a ≤≤，即02a ≤≤时，函数()f x 在2a x =取得最小值，所以42a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即21944a a --+=，方程在02a ≤≤上无解， 综上得：3a =；(2)解：关于x 的不等式()0f x <只有一个正整数解，等价于2+9>+1x a x 只有一个正整数解，令()2+9+1x g x x =，则()()()2+91010+1+22+12102+1+1+1g x x x x x x x ==-≥⋅=，当且仅当10+1+1x x =，即101x =， ()2+9+1x g x x =在(101⎤-⎦，上递减，在)101,⎡+∞⎣递增， 而21013<，()21+9151+1g ==，()29g =，()2+913222+13g ==，()2+999133,5>>3+12233g ==，当a 13932⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，不等式只有一个正整数解2x =，所以a 的取值范围为13932⎛⎤⎥⎝⎦，．30．（2022·河北秦皇岛·高一期末）已知函数()1f x x x=+，()21g x x ax a =-+-． (1)若()g x 的值域为[)0,∞+，求a 的值．(2)证明：对任意[]11,2x ∈，总存在[]21,3x ∈-，使得()()12f x g x =成立．【解析】(1)解：因为()g x 的值域为[)0,∞+，所以()()222414420a a a a a ∆=--=-+=-=，解得2a =．(2)证明：由题意，根据对勾函数的单调性可得()1111f x x x =+在[]1,2上单调递增，所以()152,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．设()21g x x ax a =-+-在[]1,3-上的值域为M ，当12a≤-，即2a -时，()g x 在[1,3]-上单调递增，因为max ()(3)8212g x g a =-=，min ()(1)24g x g a -==-，所以2,52M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦；当32a，即6a 时，()g x 在[1,3]-上单调递减，因为max ()(1)212g x g a -==，min ()(3) 824g x g a =--=，所以2,52M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦；当132a -<<，即26a -<<时，22min 11()1(2)(4,0]244a g x g a a a ⎛⎫==-+-=--∈- ⎪⎝⎭，max ()max{2, 82}[4,12)g x a a =-∈，所以52,2M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦；综上，52,2M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦恒成立，即()f x 在[1,2]上的值域是()g x 在[1,3]-上值域的子集恒成立，所以对任意1[1,2]x ∈总存在2[1,3]x ∈-，使得()()12f x g x =成立.31．（2022·内蒙古赤峰·高一期末）已知函数2()21f x ax x a =-+-（a 为实常数）． （1）若0a >，设()f x 在区间[1,2]的最小值为()g a ，求()g a 的表达式： （2）设()()f x h x x=，若函数()h x 在区间[1,2]上是增函数，求实数a 的取值范围． 【解析】（1）由于0a >，当[1,2]x ∈时，2211()212124f x ax x a a x a a a ⎛⎫=-+-=-+-- ⎪⎝⎭①若1012a <<，即12a >，则()f x 在[1,2]为增函数 ，()(1)32g a f a ==-； ②若1122a ≤≤，即1142a ≤≤时，11()2124g a f a a a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭；③若122a >，即104a <<时，()f x 在[1,2]上是减函数，()(2)63g a f a ==-； 综上可得163,04111()21,442132,2a a g a a a a a a ⎧-<<⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩； （2）21()1a h x ax x-=+-在区间[1,2]上任取1212x x ≤<≤， ()()()212121211221212111a a a h x h x ax ax x x a x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫----=+--+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭[]211212(21)x x ax x a x x -=--（*） ()h x 在[1,2]上是增函数 ()()210h x h x ∴->∴（*）可转化为12(21)0ax x a -->对任意12,[1,2]x x ∈且12x x <都成立，即1221ax x a >- ①当0a =时，上式显然成立 ②12210,a a x x a ->>，由1214x x <<得211a a-≤，解得01a <≤； ③12210,a a x x a-<<，由1214x x <<得，214a a -≥，得102a -≤<， 所以实数a 的取值范围是1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．。
【高中数学过关练习】过关练10-求函数的定义域(取值范围)
过关练10 求函数的定义域（取值范围）一、单选题1．（2022·四川自贡·高一期末）函数421y x x =-的定义域为（ ）A ．[)0,1B ．()1,+∞C ．()()0,11,+∞ D ．[)()0,11,+∞【解析】由题意得2010x x ≥⎧⎨-≠⎩，解得0x ≥且1x ≠，故选：D2．（2022·新疆喀什·高一期末）函数2x y -=x 的取值范围是（ ） A ．2x >B ．2x ≥C ．2x ≥且0x ≠D ．0x ≠【解析】由题意知，200x x -≥⎧⎨≠⎩，解得2x ≥， 即函数2x y -[2,)+∞. 故选：B3．（2022·广东揭阳·高一期末）函数1()1f x x x =+的定义域是（ ）A ．RB ．[)1,-+∞C ．()(),00,∞-+∞ D ．[)()1,00,-+∞【解析】由题意100x x +≥⎧⎨≠⎩，解得[)()1,00,x ∈-+∞故选：D4．（2022·安徽·歙县教研室高一期末）函数223y x x --+ ） A ．[]3,1-B ．[]1,3-C ．(][),31,-∞-⋃+∞D ．(][),13,-∞-+∞【解析】依题意可得2230x x --+≥，即2230x x +-≤，即()()310x x +-≤，解得31x -≤≤，即函数的定义域为[]3,1x ∈-； 故选：A5．（2022·河南许昌·高一期末）已知{}2430M x x x =-+<，2{|4}N x y x =-，则M N ⋃=（ ） A ．(]1,2 B ．(](),21,3-∞-⋃C ．(](),23,-∞-+∞ D ．(](),21,-∞-⋃+∞【解析】由2430x x -+<可得13x <<，所以(1,3)M =, 由240x -≥可得2x -≤或2x ≥，所以(][),22,N =-∞-+∞,所以(](),21,MN =-∞-+∞.故选：D.6．（2022·浙江省东阳中学高一开学考试）已知函数()282f x x x +-()()3y f x f x =+-的定义域是（ ）A ．[-5，4]B ．[-2，7]C ．[-2，1]D ．[1，4]【解析】由()282f x x x +-2820x x +-≥， 解得24x -≤≤，所以函数()()3y f x f x =+-的定义域满足24234x x -≤≤⎧⎨-≤-≤⎩ ，解得14x ≤≤， 所以函数的定义域为[1，4]. 故选：D7．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()y f x =的定义域为[8,1]-，则函数(21)()2f xg x x +=+的定义域是（ ） A ．(,2)(2,3]-∞-⋃- B ．[8,2)(2,1]--⋃- C ．9[,2]2--D ．](9[,2)2,02--⋃-【解析】由题意得：8211x -+，解得902x -， 由20x +≠解得2x ≠-，故函数的定义域是9,2)(2,02⎡⎤--⋃-⎢⎥⎣⎦.故选：D8．（2022·河南安阳·高一期末（理））若函数()y f x =的定义域是[]0,2，则函数(1)()1f xg x x +=-的定义域是（ ） A ．[0,2] B ．(1,3]C ．[1,1)-D ．[0,1)(1,2]⋃【解析】()y f x =的定义域是[]0,2，∴在()g x 中，01210x x ≤+≤⎧⎨-≠⎩，解得11x -≤<，故()g x 的定义域为[1,1)-.9．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()2f x +的定义域为()3,4-，则函数()()31g x x =-的定义域为（ ） A ．1,43⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,63⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】因为函数()2f x +的定义域为()3,4-，所以()f x 的定义域为()1,6-.又因为310x ->，即13x >，所以函数()g x 的定义域为1,63⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C.10．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()f x a x =-(,1]-∞，则实数a 的取值集合为（ ） A ．{1}B ．(,1]-∞C ．[1,)+∞D ．(,1)(1,)-∞⋃+∞【解析】由0a x -≥可得x a ≤，即()f x 的定义域为(,]a -∞，所以1a =， 则实数a 的取值集合为{}1. 故选：A.11．（2022·全国·高一课时练习）若函数()2223x f x mx mx +=++的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 A ．()0,3 B ．[)0,3C ．[)()0,22,3 D ．[)(]0,22,3【解析】由于函数()f x 的定义域为R ,则关于x 的不等式2230mx mx ++≠恒成立. 当0m =时,不等式30≠恒成立；当0m ≠时,由24120m m ∆=-<,解得03m <<. 综上,得实数m 的取值范围是[)0,3 故选B12．（2022·全国·高一专题练习）若函数221y kx x =-+R ，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()0,∞+B ．[)0,∞+C ．[)1,+∞D ．R【解析】函数221y kx x =-+R 等价于2210kx x -+恒成立， 当0k =时，显然不恒成立；当0k ≠时，由0Δ440k k >=-，，得1k ，综上，实数k 的取值范围为[)1,+∞．13．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()()23114f x m x m x =+-++的定义域为R ，则m 的取值范围是（ ） A ．12m -<<B ．12m -<≤C ．12m -≤≤D ．12m -≤<【解析】由题意得：()()231104m x m x +-++≥在R 上恒成立. 10m +=即1m =-时，()3f x =10m +≠时，只需()()2101310m m m +>⎧⎪⎨∆=+-+≤⎪⎩， 解得：12m -<≤， 综上：1,2m ，故选：C .14．（2022·全国·高一专题练习）已知21(1)4y ax a x =+-+的定义域是R ，则实数a 的取值范围是( )A ．35⎛+ ⎝⎭B ．35⎫-⎪⎪⎝⎭C ．3535,2⎛⎛⎫-+-∞+∞ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．3535-+⎝⎭【解析】由题意可知，21(1)04ax a x +-+>的解集为R ， ①当0a =时，易知211(1)044ax a x x +-+=-+>，即14x <，这与21(1)04ax a x +-+>的解集为R 矛盾；②当0a ≠时，若要21(1)04ax a x +-+>的解集为R ，则只需21(1)4y ax a x =+-+图像开口向上，且与x 轴无交点，即判别式小于0，即20(1)0a a a >⎧⎨∆=--<⎩3535a -+<< 综上所述，实数a 的取值范围是3535-+⎝⎭.故选：D.15．（2022·全国·高一课时练习）（1）已知函数()f x 的定义域为[]0,1，则函数()21f x +的定义域为______；（2）已知函数()23f x -的定义域为[)1,3，则()13f x -的定义域为______． 【解析】（1）因为函数()f x 的定义域为[]0,1， 所以2011x ≤+≤，即210x -≤≤，所以0x =，所以函数()21f x +的定义域为{}0x x =．（2）因为函数()23f x -的定义域为[)1,3，即13x ≤<， 所以1233x -≤-<，即()f x 的定义域为[)1,3-， 所以1133x -≤-<，解得2233x -<≤，所以函数()13f x -的定义域为22,33⎛⎤- ⎥⎝⎦．故答案为：（1）{}0x x =；（2）22,33⎛⎤- ⎥⎝⎦.16．（2022·全国·高一课时练习）（1）若函数()1f x ax +(],1-∞，则实数a 的值为______；（2）若函数()1f x ax +(],1-∞上有意义，则实数a 的取值范围为______. 【解析】（1）根据题意，知关于x 的不等式10ax +≥的解集为(],1-∞. 当0a ≥时，不符合题意；当0a <时，关于x 的不等式10ax +≥的解集为1,a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，故11a -=，所以1a =-.综上，1a =-.（2）根据题意，知当(],1x ∈-∞时，关于x 的不等式10ax +≥恒成立. 当a ＝0时，符合题意；当a ≠0时，设()1g x ax =+，根据一次函数的性质，得()010a g <⎧⎨≥⎩解得10a -≤<.综上，10a -≤≤. 故答案为：-1；[]1,0-17．（2022·全国·高一专题练习）函数()12ax f x x a-=+A ，若3A ∈，则a 的取值范围是__________．【解析】由于3A ∈，所以()()3160310,,660a a a a a ⎧-+≥-≥⎨++≠⎩解得6a <-或13a ≥. 所以a 的取值范围是()1,6,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：()1,6,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭18．（2022·全国·高一课时练习）若函数2()f x x x a =-+R ，则实数a 的取值范围是________.【解析】由题意可知，20x x a -+≥对x R ∀∈恒成立， 又因为2y x x a =-+的图像开口向上，所以2y x x a =-+的图像与x 轴最多只有一个交点， 从而2(1)40a ∆=--≤，解得14a ≥， 故实数a 的取值范围是1[,)4+∞.故答案为：1[,)4+∞.19．（2022·全国·高一专题练习）函数2()31f x ax ax =++的定义域是R ，则实数a 的取值范围为________．【解析】因为函数()f x 的定义域是R . 所以不等式2310ax ax ++>恒成立．所以，当0a =时，不等式等价于10>，显然恒成立；当0a ≠时，则有0Δ0a >⎧⎨<⎩，即20940a a a >⎧⎨-<⎩，解得409a <<.综上，实数a 的取值范围为40,9⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为: 40,9⎡⎫⎪⎢⎣⎭20．（2022·全国·高一专题练习）对于函数2()f x ax bx +,其中0b >,若()f x 的定义域与值域相同,则非零实数a 的值为______________. 【解析】函数2()f x ax bx +，其中0b > 若0a >，由于20ax bx +≥，即()0x ax b +≥，∴对于正数b ，()f x 的定义域为:,[0,)b D a ⎛⎤=-∞-+∞ ⎥⎝⎦，但()f x 的值域[)0,A ⊆+∞，故D A ≠，不合要求. 若0a <，对于正数b ，()f x 的定义域为D 0,a b ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.由于此时max [()]22b b f x f a a ⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭，故函数的值域0,2b A a ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. 由题意，有2b ba a-=-，由于0b >，所以4a =﹣. 故答案为：﹣4三、解答题21．（2022·四川南充·高一期末）已知函数21()4f x x =-. (1)求函数()f x 的定义域；(2)判断函数()f x 在(2,)+∞上的单调性，并用定义加以证明. 【解析】（1）要使函数有意义，当且仅当240x -≠. 由240x -≠得2x ≠±， 所以，函数21()4f x x =-的定义域为{2}x Rx ∈≠±∣. （2）函数21()4f x x =-在(2,)+∞上单调递减. 证明：任取1x ，2(2,)x ∈+∞，设12x x <，则210x x x ∆=-> ()()()()12122122222112114444x x x x y y y x x x x -+∆=-=-=----. ∵12x >，22x >∴2140x ->，2240x ->，120x x +>又12x x <，所以120x x -<，故0y ∆<，即21y y <， 因此，函数21()4f x x =-在(2,)+∞上单调递减. 22．（2022·江苏·高一课时练习）如图所示，在一张边长为20cm 的正方形铁皮的4个角上，各剪去一个边长是x cm 的小正方形，折成一个容积是3ycm 的无盖长方体铁盒，试写出用x 表示y 的函数关系式，并指出它的定义域．【解析】根据题意确定长方体的长宽高,再根据长方体体积公式得函数关系式,最后根据实际意义得定义域试题解析: ()()232410420100y x x x x x =-⋅=-+,100,0010x x x ->>∴<< ,所以定义域为()0,1023．（2022·全国·高一）将长为a 的铁丝折成矩形，求矩形面积y 关于一边长x 的解析式，并写出此函数的定义域．【解析】设矩形的一边长为x ，则另一边长为12 (a －2x )， 所以y ＝x ·12 (a －2x )＝－x 2＋12ax ， 由01(2)02x a x >⎧⎪⎨>⎪⎩－解得102x a <<，所以函数定义域为1|02x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.24．（2022·全国·高一专题练习）已知函数3243y ax ax ++的定义域为R ，求实数a 的取值范围.【解析】由题意，函数3243y ax ax =++R ，即2430ax ax ++≠在x ∈R 上恒成立，当0a =时，24330ax ax ++=≠对任意x ∈R 恒成立；当0a ≠时，要使2430ax ax ++≠恒成立，即方程2430ax ax ++=无实根， 只需判别式2(4)124(43)0a a a a ∆=-=-<，解得304a <<， 综上，实数a 的取值范围是30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭.25．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()37y f x =-的定义域为[]2,3-，求函数()()11y f x f x =-+-的定义域．【解析】因为函数()37y f x =-的定义域为[]2,3-， 所以23x -≤≤，13372x -≤-≤， 所以函数()y f x =的定义域为[]13,2-，所以要使函数()()11y f x f x =-+-有意义，则有13121312x x -≤-≤⎧⎨-≤-≤⎩，解得13x -≤≤，所以函数()()11y f x f x =-+-的定义域为[]1,3-.26．（2022·贵州·黔西南州金成实验学校高一期末）若()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，且()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求()1f 的值；（2）若()21f =，解不等式1(3)2f x f x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭.【解析】（1）令1x y ==，则有(1)(1)(1)f f f =-，(1)0f ∴=. （2）(2)1f =，()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭令4x =，2y =，则()()4422f f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()4222f f ==∴不等式1(3)23f x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭等价为不等式1(3)(4)f f x f x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭， ∴()23(4)f x x f +<，又()f x 是()0,∞+上的增函数，∴2341030x x x x ⎧+<⎪⎪>⎨⎪+>⎪⎩，解得01x <<，即不等式的解集为()0,1.所以不等式1(3)2f x f x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭的解集为()0,1.27．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()43f x kx =+（1）若函数()f x 的定义域为R ，求实数k 的值．（2）是否存在实数k ，使得函数()f x 的定义域为(),2-∞-？若存在，求出实数k 的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）由题意，函数()f x 的定义域为R ，即关于x 的不等式430kx +>的解集为R ，当0k >时，不等式430kx +>的解集为34x x k ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭，不符合题意；当0k <时，不等式430kx +>的解集为34x x k ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭，不符合题意；当0k =时，30>恒成立，符合题意． 综上，实数k 的值是0．（2）假设存在满足题意的实数k ．由题意，得关于x 的不等式430kx +>的解集为(),2-∞-，所以0324k k<⎧⎪⎨-=-⎪⎩，即038k k <⎧⎪⎨=⎪⎩，无解，与假设矛盾．故不存在实数k ，使得函数()f x 的定义域为(),2-∞-．28．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()23f x x mx =++A . (1)若A =R ，求m 的取值范围； (2)若[]1,2A -⊆，求m 的取值范围.【解析】（1）解：由题得230x mx ++≥恒成立，所以2120m ∆=-≤，所以2323m -≤（2）解：由题得230y x mx =++≥在[]1,2-上恒成立，即min 0y ≥， 当12m-≤-，即2m ≥时，23y x mx =++在[]1,2-上单调递增， 则1x =-时，min 40y m =-≥，所以24m ≤≤； 当122m -<-<，即42m -<<，23y x mx =++在1,2m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,22m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则2m x =-时，2min 304m y =-≥，所以232m -<； 当22m-≥，即4m ≤-时，23y x mx =++在[]1,2-上单调递减， 则2x =时，min 720y m =+≥，又4m <-，所以此时无解. 综上所述：23m ≥-。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章 集合及常用逻辑用语第一节 集合的概念及相互关系1．(2009年新宾高中模拟)若集合M ＝{a ，b ，c }中元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 说明：知识点：集合元素的三个性质，选D2. （2011广州一模文）已知集合}{10A x ax =+=，且1A ∈，则实数a 的值为A ．1-B ． 0C ．1D ．2 说明：知识点：集合的表示及集合的元素与集合的关系，选A3．设a ，b ，∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝A ．1B ．－1C ．2D ．－2 说明：知识点：集合的元素的性质和集合的关系（相等）选C4．已知集合M ＝{}x | x －a ＝0，N ＝{}x | ax －1＝0，若N ⊆M ，则实数a 的取值集合是( )A ．{1}B ．{－1}C ．{－1,1}D ．{－1,0,1}说明：知识点：集合的关系（子集）及空集，分类讨论的思想，选D5．已知{}{},,,,,a b A a b c d e ⊆⊄，则集合A 的个数是________说明：知识点：集合的关系（子集，真子集，）及个数问题，列举法，7个6.（2009广东文）已知全集U=R ，则正确表示集合M= {－1，0，1} 和N= { x |x 2+x=0} 关系的韦恩（Venn ）图是说明：知识点：集合的关系及集合的韦恩图表示法，选B第二节 集合的运算1. 已知集合A= {1,2,3,4}，集合 B= {2，4},则 A ⋃B =A.{2,4}B. {1,3}C. {1,2,3,4}D.说明：知识点：集合的运算(并集)及求法,选C2．（2011广东文）已知集合(){,A x y = ∣,x y 为实数，且}221x y +=，(){,B x y =,x y 为实数，且1x y +=}，则A B ⋂的元素个数为则A ⋂B 的元素个数为A ．4B ．3C ．2D ．1 说明：知识点：集合的运算（交集）及求法、点集的概念及集合与其他知识的综合（方程，不等式，函数的定义域和值域以等），方程思想或数形结合的思想，选C 3.设集合{}1,2,3,4,5,6U =,{}1,3,5M =，则U C M =A ．{}2,4,6B ．{}1,3,5C ．{}1,2,4D ．U说明：知识点：集合的运算（补集）及求法选A第三节 常用逻辑用语1．下列命题中：(1)命题“在△ABC 中，若AB >AC ，则∠C ＞∠B ”的逆命题；(2)命题“若ab ＝0，则a ≠0且b ＝0”的否命题；(3)命题“若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0”的逆否命题；(4)命题“平行四边形的两条对角线互相平分”的逆命题其中真命题的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 说明：知识点：命题的概念及四种命题的相互转化及命题的真假判断。
特别是一些常见词语的否定，及逻辑词的否定，命题的否命题和命题的否定的差别。
逐一验证法，选D 2.“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0”互相垂直的A ．充分不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件说明：知识点：条件的四种情形及判断方法，选C3. 如果命题“)(q p ∧⌝”是真命题，则 A.命题p 、q 均为假命题 B.命题p 、q 均为真命题C.命题p 、q 中至少有一个是真命题D.命题p 、q 中至多有一个是真命说明：知识点：含逻辑联结词的命题的真假性判断，选D2．命题2,0x R x x ∀∈-≥的否定是 A ．2,0x R x x ∀∈-≥ B ．2,0x R x x ∃∈-≥C ．0,2<-∈∀x x R xD ．0,2<-∈∃x x R x说明：知识点：含有量词命题的否定方法，特别要能识别符号，文字表述也要能发现。
选D第二章 函数的概念与性质第一节 函数的概念1．下面哪一个图形可以作为函数的图象说明：知识点：函数的概念及函数的图像，选B2．设f ：A →B 是从集合A 到B 的映射，A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，f ：(x ，y )→(kx ，说明：知识点：函数值的概念及求法，深入理解用()f x 符号记函数的意义，分段函数的概念。
选B4．函数y ＝x 2－2x 的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为A ．{－1,0,3}B ．{0,1,2,3}C ．{y |－1≤y ≤3}D ．{y |0≤y ≤3} 说明：值域的概念及求法，选A5．函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a ＝________.说明：知识点：函数的最值概念及求法，函数的最值和值域的差别。
a ＝2 6.若函数()y f x =是函数1x y a a a =≠（>0，且）的反函数，且(2)1f =，则()f x =A ．x 2logB ．x 21C ．x 21logD ．22-x说明：知识点：反函数的概念及求法，选A第三节 函数的单调性1.下列函数中，在定义域内始终满足()()1212,x x f x f x <<的是A.y=ln （x+2） C.y=（12）x D.y=x+1x说明：知识点：函数单调性的定义、用途、判断方法及有关性质结论，选A2．函数y ＝x 2＋2x －3的递减区间是________．说明：知识点：函数的单调区间的概念及求法，一定要先求定义域，多个相同单调区间不能取并集及并集符号连结。
(－∞，－3)3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －4a ，x ＜1，log ax ， x ≥1，在(－∞，＋∞)上满足()()()1212120f x f x x x x x -<≠-，那么a 的取值范围是A ．(1，＋∞)B ．(－∞，3) C.⎣⎡⎭⎫35，3 D ．(1,3) 说明：知识点：深入理解函数的单调性及及函数单调区间的意义。
由题意应满足 ()30,1,314log 1a a a a a ->>-⨯-≤，选D第四节 函数的奇偶性1．下列函数为在定义域内始终满足()()f x f x -=的是A ．sin y x =B ．3y x =说明：知识点：函数奇偶性的概念、用途、判断方法及有关性质结论。
选D2．若函数3()()f x x x =∈R ，则函数()y f x =-在其定义域上是A ．单调递减的偶函数B ．单调递减的奇函数C ．单调递增的偶函数D ．单调递增的奇函数 说明：知识点：函数奇偶性与单调性的综合。
选B第五节函数的周期性对称性 1.已知()f x 是奇函数，()()4f x f x +=，当01x ≤≤时，()f x x =，则()7.5f =说明：知识点：函数周期性的定义，用途及有关性质结论。
-0.52.下列两个函数的图像关于x 轴对称的是A ．()()13,3xxf xg x ⎛⎫== ⎪⎝⎭B ．()()133,f x x g x x ==C ．()()sin ,cos f x x g x x ==D ．()()313log ,log f x x g x x =说明：知识点：函数的对称性的概念、用途、种类，函数图像变换的有关方法，及对称性的有关性质结论。
选D第三章 基本初等函数与性质第一节 指数及指数函数1.方程2343,84x x x ===，的根分别是________．说明：知识点：根式的定义，要记住一些平方数和立方数。
结果：2,2.()284212241--⋅⎫-+-=⎪⎭说明：知识点：指数幂的运算及性质，结果：-63.指数函数()f x的图像过点1,22⎛⎝⎭，则()5f=________．说明：知识点：指数函数的定义，待定系数法求函数的解析式，求函数值的方法，指数函数的图像及点与函数解析式和图像的关系。
结果:1324.函数()f x=的定义域是________说明：知识点：指数函数的定义域，解简单的指数方程和不等式的方法。
结果：(],0-∞5.函数()[)1,1,2xf x x⎛⎫=∈-+∞⎪⎝⎭的值域为A．[)2,+∞B．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C．(]0,2D．(],2-∞说明：知识点：指数函数的单调性，指数函数的值域及最值。
选C6．若函数()33x xf x-=+与()33x xg x-=-的定义域均为R，则A．()()f xg x与均为偶函数B．()f x为偶函数，()g x为奇函数C．()()f xg x与均为奇函数D．()f x为奇函数，()g x为偶函数说明：知识点：指数函数的奇偶性。
选B第二节对数及对数函数1.方程23x=，则x=______说明：知识点：对数的定义及有关概念，对数与指数的联系，解指数方程的方法。
结果：2log32.()()ln2322322log1log22lg5lg44log9log4log log33e+-++=++说明：知识点：对数的运算法则及性质，结果：163..函数2logy x=的反函数是______说明：知识点：对数函数的定义及有关概念，对数与指数的联系及解对数方程的方法。
结果：2xy=4.函数1lnyx=的定义域为______说明：知识点：对数函数的定义域，解对数不等式的方法。
结果：()()0,11,⋃+∞5.函数121l o g,,44y x x⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦的值域为_____说明：知识点：单调性法求对数函数的值域，对数函数的图像。
结果：[)2,2-注意区间的开闭6．31,ln,logln3ππ的大小关系是____说明：知识点：两个数比较大小的方法，善于借助中间量。
结果：31ln logln3ππ>>7．若函数()()()log1log1f x x x=++-与()()()log1log1g x x x=+--的定义域均为R，则A．()()f xg x与均为偶函数B．()f x为偶函数，()g x为奇函数C．()()f xg x与均为奇函数D．()f x为奇函数，()g x为偶函数说明：知识点：对数函数的奇偶性。
选B第三节导数及应用1. 已知()3f x x x =-，则()/2=f______说明：知识点：导数的定义及计算方法，平均变化率，瞬时变化率。
结果：112. ()3ln +sin 2tan 2xf x x x e x x =+--+的导数。
说明：知识点：导数公式及运算法则。
结果：221122cos 2cos x x e x x x+-+- 3. 曲线ln y x =在点()1,0处的切线方程是______说明：知识点：导数的几何意义，导数的图像和原函数图像的关系及物理意义。
结果1y x =-4.函数xy xe =的极值点为______极值是______说明：知识点：函数的极值点的定义（极大值、极小值），极值的定义（极大值、极小值），极值点和极值的差别。