六年级上册奥数试题：第5讲容斥原理全国通用(含答案)
六年级奥数题及答案-容斥原理问题
六年级奥数题及答案-容斥原理问题学好奥数的小窍门有的人认为学习是一门苦差事，也有的人认为学习是一种很有意思的事，觉得学习很轻松很快乐。
其实人在智力上并没有多大的区别，主要是学习习惯或学习方法不对头，所以才导致很多人觉得学习很难，很怕学习。
所以我们就是要不断培养学习的兴趣和努力学习。
下面我们就一起来欣赏下奥数题吧。
容斥原理问题1．有100种赤贫.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是( )A 43,25B 32,25 C32,15 D 43,11解：根据容斥原理最小值68+43-100＝11最大值就是含铁的有43种2．在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是( )A，5 B，6 C，7 D，8解：根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类：只答第1题，只答第2题，只答第3题，只答第1、2题，只答第1、3题，只答2、3题，答1、2、3题。
分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123＝25…①由（2）知：a2+a23＝（a3+ a23）×2……②由（3）知：a12+a13+a123＝a1－1……③由（4）知：a1＝a2+a3……④再由②得a23＝a2－a3×2……⑤再由③④得a12+a13+a123＝a2+a3－1⑥然后将④⑤⑥代入①中，整理得到a2×4+a3＝26由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解：当a2＝6、5、4、3、2、1时，a3＝2、6、10、14、18、22又根据a23＝a2－a3×2……⑤可知：a2>a3因此，符合条件的只有a2＝6，a3＝2。
小学奥数计数专题--容斥原理(六年级)竞赛测试.doc
小学奥数计数专题--容斥原理（六年级）竞赛测试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）【题文】某班有40名学生，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加．那么有多少人两个小组都不参加?【答案】17【解析】有至少参加一个小组的同学有15+18－10＝23人，所以有40－23＝17人两个小组都不参加．【题文】某班45个学生参加期末考试，成绩公布后，数学得满分的有10人，数学及语文均得满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人．那么语文成绩得满分的有多少人?【答案】9【解析】有数学、语文至少有一门得满分的学生有45－29＝16人．所以语文成绩得满分的有16－10+3＝9人．【题文】50名同学面向老师站成一行．老师先让大家从左至右按1，2，3，…，49，50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转．问：现在面向老师的同学还有多少名?【答案】38【解析】在转过两次后，面向老师的同学分成两类：第一类是标号既不是4的倍数，又不是6的倍数；第二类是标号既是4的倍数又是6的倍数．1～50之间，4的倍数有＝12，6的倍数有＝8，即是4的倍数又是6的倍数的数一定是12的倍数，所以有＝4．于是，第一类同学有50－12－8+4＝34人，第二类同学有4人，所以现在共有34+4＝38名同学面向老师．【题文】在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券．按奖券标签号发放奖品的规则如下：①标签号为2的倍数，奖2支铅笔；②标签号为3的倍数，奖3只铅笔；③标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖；④其他标签号均奖1支铅笔．那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支? 【答案】232【解析】1～100，2的倍数有＝50个，3的倍数有＝33个，因为既是2的倍数，又是3的倍数的数一定是6的倍数，所以这样的数有＝16人．于是，既不是2的倍数，又不是3的倍数的数在1～100中有100－50－33+16＝33．所以，游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有50×2+33×3+33×1＝232支．【题文】有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一记号，每隔4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断．问绳子共被剪成了多少段?【答案】90【解析】我们只用先计算剪了多少刀，再加上1即为剪成的段数．从一端开始，将绳上距离这个端点整数厘米数的点编号，并将距离长度作为编号．有1～180，3的倍数有＝60个，4的倍数有＝45个，而既是3的倍数，又是4的倍数的数一定是12的倍数，所以这样的数有＝15个．注意到180厘米处的记号无法剪断，所以剪了(60－1)+(45－1)－(15－1)＝89，所以绳子被剪成89+1＝90段．【题文】东河小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的．现知道五、六年级共有25幅画，那么其他年级的画共有多少幅?【答案】3【解析】将东河小学分成3个部分，六年级、五年级、其他年级，那么有五年级和其他年级共作画16幅，六年级和其他年级共作画15幅．而五、六年级共作画25幅，所以其他年级的画共有(16+15－25)÷2＝3幅．【题文】有若干卡片，每张卡片上写着一个数，它是3的倍数或4的倍数，其中标有3的倍数的卡片占，标有4的倍数的卡片占，标有12的倍数的卡片有15张．那么，这些卡片一共有多少张?【答案】36【解析】设这些卡片共有x张，那么标有3的倍数的卡片有x张，标有4的倍数的卡片有x张，而标有12的倍数的卡片既属于3的倍数又属于4的倍数．所以有x+x－15＝x，解得x＝36．即这些卡片一共有36张．【题文】在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?【答案】686个【解析】1～1000之间，5的倍数有＝200个，7的倍数有＝142个，因为既是5的倍数，又是7的倍数的数一定是35的倍数，所以这样的数有＝28个．所以既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有1000－200－142+28＝686个．【题文】五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人．求这个班的学生人数．【答案】62【解析】设参加自然兴趣小组的人组成集合A，参加美术兴趣小组的人组成集合B，参加语文兴趣小组的人组成集合C．|A|＝25，|B|＝35，|C|＝27，|B∩C|＝12，|A∩B|＝8，|A∩C|＝9，|A∩B∩C|＝4,|A∪B∪C|＝|A|+|B|+|C|－|A∩B|－|A∩C|－|B∩C|+|A∩B∩C|.所以，这个班中至少参加一项活动的人有25+35+27－12－8－9+4＝62，而这个班每人至少参加一项．即这个班有62人．【题文】如图，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，而3个圆覆盖的总面积为73．求阴影部分的面积．【答案】58【解析】设甲圆组成集合A，乙圆组成集合B，丙圆组成集合C．|A|＝|B|＝|C|＝30，|A∩B|＝6，|B∩C|＝8，|A∩C|＝5，|A∪B∪C|＝73，而|A∪B∪C|＝|A|+|B|+|C|－|A∩B|－|B∩C|－|A∩C|+|A∩B∩C|.有73＝30×3－6－8－5+|A∩B∩C|，即|A∩B∩C|＝2，即甲、乙、丙三者的公共面积(⑧部分面积)为2．那么只是甲与乙(④)，乙与丙(⑥)，甲与丙(⑤)的公共的面积依次为6－2＝4，8－2＝6，5－2＝3，所以有阴影部分(①、②、③部分之和)的面积为73－4－6－3－2＝58．【题文】四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3.5倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人．求参加文艺小组的人数．【答案】21【解析】设参加数学小组的学生组成集合A，参加语文小组的学生组成集合B，参加文艺小组的学生组成集合C．三者都参加的学生有x人．有|A∪B∪C|＝46，|A|＝24，|B|＝20，|C|＝3.5|A∩C|＝7|A∩B∩C|，|B∩C|＝2|A∩B∩C|，|A∩B|＝10．因为|A∪B∪C|＝|A|+|B|+|C|－|A∩B|－|A∩C|－|B∩C|+|A∩B∩C|，所以46＝24+20+7x－10－2x－2x+x ，解得x＝3，即三者的都参加的有3人．那么参加文艺小组的有3×7＝21人．【题文】图书室有100本书，借阅图书者需在图书上签名．已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有33，44和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本．问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过?【答案】33【解析】设甲借过的书组成集合A，乙借过的书组成集合B，丙借过的书组成集合C．|A|＝33，|B|＝44，|C|＝55，|A∩B|＝29，|A∩C|＝25，|B∩C|＝36．本题只需算出甲、乙、丙中至少有一人借过的书的最大值，再将其与100作差即可．|A∪B∪C|＝|A|+|B|+|C|－|A∩B|－|A∩C|－|B∩C|+|A∩B∩C|，当|A∩B∩C|最大时，|A∪B∪C|有最大值．也就是说当三人都借过的书最多时，甲、乙、丙中至少有一人借过的书的最多．而|A∩B∩C|最大不超过|A|、|B|、|C|、|A∩B|、|B∩C|、|A∩C|6个数中的最小值，所以|A∩B∩C|最大为25．有此时|A∪B∪C|＝33+44+55－29－25－36+25＝67，即三者至少有一人借过的数最多为67本，所以这批图书中最少有33本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过．【题文】如图，5条同样长的线段拼成了一个五角星．如果每条线段上恰有1994个点被染成红色，那么在这个五角星上红色点最少有多少个?【答案】9960【解析】如下图，下图中“○”位置均有两条线段通过，也就是交点，如果这些交点所对应的线段都在“○”位置恰有红色点，那么在五角星上重叠的红色点最多，显然此时就有显现的红色点最少，有1994×5－(2－1)×10＝9960个．【题文】甲、乙、丙同时给100盆花浇水．已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇过的花最少有多少盆?【答案】4【解析】只考虑甲乙两人情况，有甲、乙都浇过的最少为：78+68－100＝46盆，此时甲单独浇过的为78－46＝32盆，乙单独浇过的为68－46＝22盆；欲使甲、乙、丙三人都浇过的花最少时，应将丙浇过的花尽量分散在两端，于是三者都浇过花最少为58－32－22＝4盆．【题文】甲、乙、丙都在读同一本故事书，书中有100个故事．每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读．已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事．那么甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有多少个?【答案】12【解析】只考虑甲乙两人情况，有甲、乙都读过的最少为：75+60－100＝35个，此时甲单独读过的为75－35＝40个，乙单独读过的为60－35＝25个；欲使甲、乙、丙三人都读过的书最少时，应将丙读过的书尽量分散在某端，于是三者都读过书最少为52－40＝12个．评注：注意与14题的区别，本题中必须是从一端连续的排下去，而14题没有要求连续．。
小学五六年级奥数学竞赛第5讲计数原理之容斥原理
计数原理之容斥原理【加油站】计数问题的最高原则是什么？不重不漏A B1．先包含——重叠部分计算了2次，A B多加了1次；2．再排除——A B A BA∩B1．先包含：A＋B＋C2．再排除：A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C，重叠部分A∩B∩C重叠了3次，但是在进行A＋B＋C－A∩BC∩A B∩CA∩B∩C－B∩C－A∩C计算时都被减掉了。
3．再包含：A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C＋A∩B∩C。
A B减去。
【例1】(★★) 【例3】(★★★)在一群小朋友中，有12人看过动画片《樱桃小丸子》，有21人看过动画片《喜羊羊与灰太狼》，并且有8人两部动画片都看过。
请问：只看过其中一部动画片的小朋友有多少人？一根101厘米长的木棒，从同一端开始，第一次每隔2厘米画一个刻度，第二次每隔3厘米画一个刻度，第三次每隔5厘米画一个刻度，如果按刻度把木棒截断，那么可以截出______段.【例2】(★★★)【例4】(★★★★)某科室有12人，其中6人会英语，5人会俄语，5人会日语，3人既会英语又会俄语，2人既会俄语又会日语，2人既会英语又会日语，1人三种语言全会.只会1种外语的人比1种外语也不会的人多______ 个. 2016盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为1、2、……2016.将编号为2的倍数的灯各拉一下，再将编号为3的倍数的灯各拉一下，最后将编号为5的倍数的灯各拉一下，最后亮着的灯有______盏.1【例5】(★★★)【例6】(★★★★★)森林里住着一群小白兔，每只小白兔都爱吃萝卜、白菜和青草中的一种或者几种.爱吃萝卜的小白兔中有12只不爱吃白菜；爱吃白菜的小白兔中有23只不爱吃青草；爱吃青草的小白兔中有34只不爱吃萝卜.如果三种食物都爱吃的小白兔有5只，那么这群小白兔一共有多少只？在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了40盆，丙浇了50盆，丁浇了70盆，①恰好被4个人浇过的花最多是多少？最少是多少？②恰好被3个人浇过的花最多是多少？最少是多少？③恰好被2个人浇过的花最多是多少？最少是多少？④恰好被1个人浇过的花最多是多少？最少是多少？【例7】(★★★★)已知三角形ABC是直角三角形，AC＝4厘米，BC＝2厘米，求阴影部分的面积．(π取3.14)B 本讲总结必会工具：韦恩图，线段图，方程，高斯记号重要应用：数论，几何C重点例题：例2，例3，例5，例6 A2。
(完整版)容斥原理习题加答案
1.现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有( )A、27人B、25人C、19人D、10人【答案】B【解析】直接代入公式为：50=31+40+4－A∩B得A∩B=25，所以答案为B。
2.某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。
其中25％是白色的，75％是蓝色的。
如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？（）A、15B、25C、35D、40【答案】C【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A∩B，本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B，小号占50%，蓝色占75%，直接代入公式为：100=50+75+10－A∩B，得：A∩B=35。
3.某高校对一些学生进行问卷调查。
在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人，不参加其中任何一种考试的都15人。
问接受调查的学生共有多少人？（）A．120B．144C．177D．192【答案】A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字24，再推其他部分数字：根据每个区域含义应用公式得到：总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数＝63+89+47－{(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15＝199－{（x+z+y）+24+24+24}+24+15根据上述含义分析得到：x+z+y只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只选择两种考试都参加的人数，所以x+z+y的值为46人；得本题答案为120.4.对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。
其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有多少人（）A.22人B.28人C.30人D.36人【答案】A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字12，再推其他部分数字：根据各区域含义及应用公式得到：总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数100＝58+38+52－{18+16+（12+ x）}+12+0,因为该题中，没有三种都不喜欢的人，所以三集合之外数为0，解方程得到：x＝14。
六年级上册奥数试题：第5讲 容斥原理 全国通用(含答案)
第5讲容斥原理知识网络我们经常会遇到这样一类问题，题目中涉及到包含与排除，也就是说有重叠部分。
解答此类问题的主要依据是容斥原理。
容斥原理一：设A、B是两类有重叠部分的量（如图1所示），若A对应的量为a，B对应的量为b，A与B重叠部分对应的量为ab，那么这两类量的总量可以用下面的公式进行计算：总量=a+b-ab容斥原理二：设A、B、C是三类有重叠部分的量（如图2所示），若A对应的量为a，B 对应的量为b，C以应的量为c，A与B重叠部分以应的量为ab，B与C重叠部分对应的量为bc，C与A重叠部分对应的量为ca，A、B、C三部分重叠部分对应的量为abc，则这三类量的总量可以用下面的公式进行计算：总量=a+b+c-ab-bc-ca+abc重点·难点容斥原理的表述虽然简单，但涉及容斥原理的题型很多，范围很广。
我们往往会遇到一些看似与容斥原理无关的问题，然而通过恰当的转化，便可利用容斥原理顺利求解。
如何分析题目，准确找到重叠部分，将问题转化成可用容斥原理解决的问题是本节的难点。
学法指导解决本节问题的最基本方法是示意图法，即通过示意图来表示题目中的数量关系，使分析、推理与计算结合起来，达到使题目的内容形象化，数量之间关系直观化的目的。
因此，这就要求我们在解题过程中，仔细分析，找出所需量并用示意图表示出来，进而通过观察示意图，确定几类量的重叠部分，然后运用容斥原理解决问题。
经典例题[例1]分母是1001的最简真分数，共有多少个？思路剖析分母是1001的真分数有共1000个，为了方便计算，增加一个分数在1001个分数中考虑问题。
由于1001=7×11×13，所心1~1001的分子里只要含有7、11、13的倍数的就一定能同分母约分，即不是最简真分数，应排除掉。
因此，首先应考虑1~1001中，有多少个7、11或13的倍数。
解答因为1001=7×11×13，所以在1~1001的自然数中，7的倍数共有（11×13）个，11的倍数共有（7×13）个，13的倍数共有（7×11）个；7、11年公倍数有13个，7、13的公倍数有11个，11、13的公倍数有7个；7、11、13的公倍数有1个（即1001）。
奥数 容斥原理(例题+详解)
容斥原埋在很多计数问题中常用到数学上的一个包含与排除原理，也称为容斥原理.为了说明这个原理，我们先介绍一些集合的初步知识。
例1、桌上有两张圆纸片A、B.假设圆纸片A的面积为30平方厘米，圆纸片B的面积为20平方厘米.这两张圆纸片重叠部分的面积为10平方厘米.则这两张圆纸片覆盖桌面的面积由容斥原理的公式（1）可以算出为：｜A∪B｜=30＋20-10＝40（平方厘米）。
例2、求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数。
分析解这类问题时首先要知道在一串连续自然数中能被给定整数整除的数的个数规律是：在n个连续自然数中有且仅有一个数能被n整除.根据这个规律我们可以很容易地求出在1至100中能被3整除的数的个数为33个，被7整除的数的个数为14个，而其中被3和7都能整除的数有4个，因而得到解：设A=｛在1～100的自然数中能被3整除的数｝，B＝｛在1～100的自然数中能被7整除的数｝，则A∩B=｛在1～100的自然数中能被21整除的数｝。
∵100÷3＝33…1，∴｜A｜＝33。
∵100÷7＝14…2，∴｜B｜=14。
∵100÷21＝4…16，∴｜A∩B｜=4。
由容斥原理的公式（1）：｜A∪B｜＝33＋14-4=43。
答：在1～100的自然数中能被3或7整除的数有43个。
例3、求在1～100的自然数中不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？分析如果在1～100的自然数中去掉5的倍数、6的倍数，剩下的数就既不是5的倍数也不是6的倍数，即问题要求的结果。
解：设A＝｛在1～100的自然数中5的倍数的数｝，B=｛在1～100的自然数中6的倍数的数｝，数.为此先求｜A∪B｜。
∵100÷50=20，∴｜A｜=20又∵100÷6＝16…4，∴｜B｜=16∵100÷30＝3…10，∴｜A∩B｜=3，｜A∪B｜=｜A｜+｜B｜-｜A∩B｜=20＋16-3＝33。
六年级上册数学试题-培优讲学练考专题：容斥原理(含答案)全国通用
容斥原理[同步巩固演练]1、 大长方形的面积是100平方分米，小长方形的面积是80平方分米，两个长方形重合部分的面积是30平方分米，这两个长方形覆盖桌面的面积是______________平方分米。
2、1～200这二百个数能够被5整除或能够被8整除的数共有（ ）个。
3、 比21大，比7小，分母是6的最简分数有多少个？ 4、（新加坡小学数学奥林匹克竞赛试题）36名学生参加数学比赛。
答对第1题的有25名学生，答对第二题有23名学生，两题都答对的有15名学生，两题都没有答对的有（ ）名。
5、（新加坡小学数学奥林匹克竞赛试题）某班有45人在一次数学测验中，做对第一题的有38人；做对第二题的有35人；做第三题的有31人，做对第四题有42人。
问：四题都做对的至少有多少人？6、如图。
有三个圆的面积分别是8，9和11平方厘米，而三个圆所围成的曲线形面积是18平方厘米，且A 与B 的公共部分的面积是5平方厘米，B 与C 的公共部分的面积是3平方厘米，C 与A 公共部分的面积是4平方厘米。
求三个圆的公共部分的面积。
7、有40名运动员，其中有25人会摔跤，有20人会击剑，有10人击剑、摔跤都不会，那么既会摔跤又会击剑的运动员有多少人？8、一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，这个数最小是多少？[能力拓展平台]1、外语学校某班有48名学生，每人至少要选学一门法语或计算机课程，已知有127的学生选学法语，有41的学生同时选学了法语和计算机，则选学计算机课程的学生有多少名？2、 在一次调查中，对45人作了统计，其中有弟弟的有19人，既无弟弟又无妹妹的有14人，有妹妹无弟弟的与有妹妹有弟弟的人数比是3：1，问有妹妹的有多少人？3、 某班45名同学参加了体育测试，其中百米得优者20人，跳远得优者18人，又知百米、跳远均得优者7人，跳高、百米均得优者6人，跳高、跳远均得优者8人，跳高得优者22人，全班只有1名同学各项都没达到优。
小学奥数《容斥原理》
有的有27人，这个班有学生多少人？
容斥原理
订阅报纸的总人数是 多少？（2）两种报纸 都没订阅的有多少人？
一个班有45名学生，订阅《小学生数学报》的有15人， 订阅《今日少年报》的有10人，两种报纸都订阅的有6人。
二．有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不 懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语，问既 懂英语又懂俄语的有多少人？
三．求不超过100的自然数中，不能被3、5中任 何一数整除的数的个数。
一个俱乐部里，会下中国象棋的有69人，会下 国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12 人，都会下的有30人。这个俱乐部里有多少人？
. 六一班有学生46人，其中会骑自行 的有19人，会游泳的有25人，既会骑 又会游泳的有7人，既不会骑自行车 不会游泳的有多少人？
例4. 某年级的课外小组分为美术、音乐、手 工三个小组，参加美术小组有20人，参加音 乐小组有24人，参加手工小组有31人，同时 参加美术和音乐两个小组有5人，同时参加音 乐和手工两个小组有6人，同时参加美术和手 工两个小组的有7人，三个小组都参加的有3 人，这个年级参加课外小组的同学共有多少人？
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么， A类或B类或C类元素个数= A类元素个数 + B类元素个数+C类元素个数—既是A类 又是B类的元素个数—既是A类又是C类的 元素个数—既是B类又是C类的元素个数+ 既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
一．四（1）班有40个学生，其中25人参加数学 小组，23人参加航模小组，有19个人两个小 组都参加了，那么，有多少人两个小组都没 有参加？
容斥原理(试题)六年级上册数学人教版
容斥原理容斥原理，也称为重叠原理或包含与排除原理。
原理一：两个集合A,B 相交合并成一个集合C,C 的元素个数等于A ，B 的个数和减去A 、B 的公共元素的个数，如下图所示：即：C=A+B-AB 或 AB=A+B-C原理二：三个集合A.B,C 两两都交合并点一个集合D.D 的元素个数等于A,B.C 的个数减去A.B.C 两两公共元素加上A.B.C 公共元素的个数。
如下图所示：即D=A+B+C-AB-BC-AC+ABC 或ABC=D+AB+BC+AC-A-B-C 。
1. 某校五年级举行语文和数学竞赛,参加人数占全年级人数的25，参加语文占竞赛人数的25，参加数学竞赛的占竞赛人数的34,两项都参加的有12人，全年级共有多少人？2.36名学生参加数学竞赛,答对第一题的有25人,答对第二题的有23人,两题都答对的有15人,两题都没答对的有多少人?3.50名同学面向老师站成一行,老师先让大家从左到右按1,2,3,......依次报数,再让报数是4的倍数的同学向后转,接着又让报数是6的倍数的同学向后转.问:现在面向老师的同学还有多少名?4.有一栋居民楼,每家都订不同的两份报纸,该居民楼共订了三种报纸,其中《楚天都市报》34份,《武汉晚报》30份,《武汉晨报》22份,那么订《武汉晚报》和《武汉晨报》的共有多少家？5、胜一小学六年级课外活动分体育、音乐、书法三个小组，分别有54人,46人.36人同时参加体育.音乐的有4人,同时参加体育书法的有7人.同时参加着乐,书法的有10人。
三个组都参加的有2人,参加课外活动一共多少人？6、桌子上放有甲,乙,西三个正方形;甲、丙重叠部分占甲正方面积的14,乙丙重叠都分占乙正方形面积的25,丙正方形与甲.乙正方形重叠部分占丙正方形面积的19,甲正方形和乙正方形面积的和是丙正方形面积的13,求甲正方形与乙正方形面积的最简整数比？7、某校五年级共有110人,参加语文、数学、英语三科活动小组,每人至少参加一组，已知参加语文小组的有52人,只参加语文小组的有16人;参加英语小组的有61人,只参加英语小组的有15人，参加数学小组的有63人,只参加数学小组的有21人.那么三组都参加的有多少人?8、一次数学竞赛,小王做对的题目占题目总数的23.小李做错5题,两人都做错的题数占题目总数的14,小王做对了多少题?9、某班有60人,其中42人会游泳，46人会骑车,50人会溜冰,55人会打乒乓球,可以肯定至少有多少人这四项都会?10、40名同学在做3道数学题时,有25人做对第一题,有28人做对第二题,有31人做对第三题,那么至少有多少人做对了三道题?11.某班有50名学生,在一次测验中有26人满分,在第二次测验中有21人满分。
【精品】通用版2022年六年级奥数精品讲义易错专项高频计算题-容斥原理(含答案)
通用版六年级奥数专项精品讲义及常考易错题汇编计数问题:容斥原理【知识点归纳】在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复．这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题．一般方法：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考．容斥原理1：两量重叠问题A类与B类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数-既是A类又是B类的元素个数用符号可表示成：A∪B=A+B-A∩B （其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思，符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思）．容斥原理2：三量重叠问题A类、B类与C类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C【经典例题】例1：聚会时，有5人喝可乐，有6人喝果汁，有4人喝茶水，其中有3人既喝果汁又喝茶水，有（）人参加聚会．A、18B、12C、10分析：由题意可知，聚会人数=喝可乐的人数+喝果汁的人数+喝茶水的人数-既喝果汁又喝茶水的人数即可．解：5+6+4-3=12（人）答：共有12人参加聚会．故选：B点评：此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题一．选择题1．三（1）班有30人，订阅《少儿书画》的有20人，订阅《少年博览》的有25人，每人至少订阅一种刊物，两种刊物都订阅的有()人．2．某班同学积极参加跳绳比赛，参加集体比赛的有10人、参加个人比赛的有19人，两项都参加的有8人，这个班共有()人参加跳绳比赛．A．21B．27C．29D．373．同学们去秋游，休息时玩了2个游戏．玩贴鼻子的有27人，玩抢椅子的有34人，两个游戏都玩的有11人，参加秋游的同学共()人．A．72B．61C．504．一班进行语文、数学测试，得优的共30人．其中语文得优的有18人，两科全得优的有9人，数学得优的有()人．A．3B．12C．215．某单位职工24人中，有女性11人，已婚的16人．在已婚的16人中有女性6人．问这个单位的未婚男性有多少人？()A．1B．3C．9D．126．小强和小刚经常向王爷爷借书来读．已知王爷爷有100本书，其中小强读过的书有60本，小刚读过的书有50本，两人都读过的书有20本，那么() A．两人都没读过的书有20本B．小强读过但小刚没读过的书有30本C．小刚读过但小强没读过的书有40本D．只有一人读过的书有70本7．同学们去动物园游玩，参观猴馆的有31人，参观孔雀馆的有26人，参观两个馆的有20人．每位同学至少参观这两馆中的一个，则去动物园的一共有( )人8．三（1）班喜欢读书的有28人，喜欢运动的有31人，既喜欢读书又喜欢运动的有12人，三（1）班共有()人．（每人至少选一项喜欢的）A．59B．35C．479．三（1）班有学生45人，喜欢喜羊羊的有38人，喜欢美羊羊的有36人，每个学生至少喜欢喜羊羊和美羊羊中的一个，既喜欢喜羊羊又喜欢美羊羊的有( )人．A．12B．29C．3310．下列4句话中正确的说法是哪些？()（1）步测一段距离，每步的平均长度和走的步数成反比例．（2）用4个圆心角是90 的扇形肯定可以拼成一个圆．（3）将形状、大小一样的红、白两种颜色的小球各5个，放在一个不透明的袋子里，任意摸出1个球，摸到红球和白球的可能性相等．（4）一个班有40名学生，其中有18人参加美术组，15人参加数学组，有10人这两个小组都参加，那么这两个小组都没参加的有17人．A．（1）（2）（3）B．（1）（3）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（4）二．填空题11．三（1）班有32人订阅了《小学科学》，有24人订阅了《纸上天文馆》，有12人两种刊物都订阅了，每人至少订阅了其中的一种刊物，三（1）班共有人。
小学数学题型归纳：容斥原理练习题(附答案)_
小学数学题型归纳：容斥原理练习题（附答案）_
学习方法网小编为各位同学整理了小学数学题型归纳，是我们平时学习中的一大难点，希望能对各位同学有所帮助。
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小学数学题型归纳：容斥原理练习题（附答案）
【题目】
某大学的一间学生宿舍里居住着8名大学生，已知其中有6人会游泳，有5人会滑冰，有4人会打乒乓球.该宿舍内这两种运动都会的最多能有人。
【答案】
6+5+4=15，152=71，所以最多能有7人会两种。
今天就和大家就分享到这，祝各位同学学习愉快！。
小学奥数教程：容斥原理之数论问题_全国通用(含答案)
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：教学目标知识要点1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去．图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．7-7-4 容斥原理之数论问题在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．【例 1】 在1~100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？ A B【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 如图，用长方形表示1~100的全部自然数，A 圆表示1~100中3的倍数，B 圆表示1~100中5的倍数，长方形内两圆外的部分表示既不是3的倍数也不是5的倍数的数．由1003331÷=可知，1~100中3的倍数有33个；由100520÷=可知，1~100中5的倍数有20个；由10035610÷⨯=（）可知，1~100既是3的倍数又是5的倍数的数有6个．由包含排除法，3或5的倍数有：3320647+-=(个)．从而不是3的倍数也不是5的倍数的数有1004753-=(个)．【答案】53【巩固】 在自然数1100~中，能被3或5中任一个整除的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 1003331÷=，100520÷=，10035610÷⨯=（）．根据包含排除法，能被3或5中任一个整除的数有3320647+-=(个)．【答案】47【巩固】 在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 如图所示，A 圆内是前100个自然数中所有能被2整除的数，B 圆内是前100个自然数中所有能被3整除的数，C 为前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数．前100个自然数中能被2整除的数有：100250÷=(个)．由1003331÷=知，前100个自然数中能被3整除的数有：33个．由10023164÷⨯=（）知，前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数有16个．所以A 中有50个数，B 中有33个数，C 中有16个数．因为A ，B 都包含C ，根据包含排除法得到，能被2或3整除的数有：50331667+-=(个)．【答案】67【例 2】 在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 1～1000之间，5的倍数有10005⎡⎤⎢⎥⎣⎦=200个，7的倍数有10007⎡⎤⎢⎥⎣⎦=142个，因为既是5的倍数，又是7的倍数的数一定是35的倍数，所以这样的数有100035⎡⎤⎢⎥⎣⎦=28个． 所以既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有1000-200-142+-28=686个．【答案】686【巩固】 求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数．【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 记 A ：1～100中3的倍数，1003331÷=，有33个；B ：1～100中7的倍数，1007142÷=，有14个；A B ：1～100中3和7的公倍数，即21的倍数，10021416÷=，有4个．依据公式，1～100中3的倍数或7的倍数共有3314443+-=个，则能被3或7整除的数的个数为43个.【答案】43例题精讲【例 3】 以105为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？【考点】容斥原理之数论问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 以105为分母的最简真分数的分子与105互质，105=3×5×7，所以也是求1到105不是3、5、7倍数的数有多少个，3的倍数有35个，5的倍数有21个，7的倍数有15个，15的倍数有7个，21的倍数有5个，35的倍数有3个，105的倍数有1个，所以105以内与105互质的数有105-35-21-15+7+5+3-1=48个，显然如果n 与105互质，那么（105-n ）与n 互质，所以以105为分母的48个最简真分数可两个两个凑成1，所以它们的和为24.【答案】48个，和24【巩固】 分母是385的最简真分数有多少个？并求这些真分数的和.【考点】容斥原理之数论问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 385=5×7×11，不超过385的正整数中被5整除的数有77个；被7整除的数有55个；被11整除的数有35个；被77整除的数有5个；被35整除的数有11个；被55整除的数有7个；被385整除的数有1个；最简真分数的分子可以有385-77-55-35+5+11+7-1=240.对于某个分数a/385如果是最简真分数的话，那么（385-a ）/385也是最简真分数，所以最简真分数可以每两个凑成整数1，所以这些真分数的和为120.【答案】240个，120个【例 4】 在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有 个．【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】西城实验【解析】 1到2008这2008个自然数中，3和5的倍数有200813315⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，3和7的倍数有20089521⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，5和7的倍数有20085735⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，3、5和7的倍数有200819105⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个．所以，恰好是3、5、7中两个数的倍数的共有1331995195719228-+-+-=个．【答案】228个【例 5】 求1到100内有____个数不能被2、3、7中的任何一个整除。
6年级 奥数 容斥原理
姓名
居室
门厅
厨房
厕所
总面积
小明家
14
12
8
4
38
小龙家
20
12
8
4
44
他们住的这套房子共有多少平方米？
课后作业
1.100个小朋友做游戏，每人至少拿一面旗，其中56人拿小红旗，52人拿小黄旗。几人既拿小红旗又拿小黄旗？
容斥原理
专题解读：
在数学中，我们经常会碰到重复包含的现象。为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分，这一原理，我们称之为容斥原理，也称包含排除原理。正确运用这一原理，可以帮助我们解答血多抽象的数学问题。
例1.六一班有学生46人，其中会骑自行车的有19人，会游泳的有25人，既会骑自行车又会游泳的有7人，既不会骑自行车又不会游泳的有多少人？
5.某班学生进行短跑、游泳、篮球三个项目的测试。有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的人数如下表。求这个班的学生数？
短跑
游泳
篮球
短跑、游泳
游泳、篮球
短跑、篮球
短跑、游泳、篮球
17
18
15
6
6
5
2
课堂检测
1六一班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种，已知参加赛跑的有36人，参加跳绳的有38人。问两项比赛都参加的有几人？
例5.某班在短跑、投掷和跳远三项检测中，有4人三项都未达到优秀，其他人至少有一项是优秀，下表是得优秀的情况，请你算出全班人数。
短跑
投掷
跳远
短跑、跳远
短跑、投掷
小学奥数精讲：容斥原理习题及答案
⼩学奥数精讲：容斥原理习题及答案⼩学奥数精讲：容斥原理习题及答案年级班姓名得分⼀、填空题1.⼀个班有45个⼩学⽣,统计借课外书的情况是:全班学⽣都借有语⽂或数学课外书.借语⽂课外书的有39⼈,借数学课外书的有32⼈.语⽂、数学两种课外书都借的有⼈.2.有长8厘⽶,宽6厘⽶的长⽅形与边长为5厘⽶的正⽅形,如图,放在桌⾯上(阴影是图形的重叠部分),那么这两个图形盖住桌⾯的⾯积是平⽅厘⽶.3.在1~100的⾃然数中,是5的倍数或是7的倍数的数有个.4.某区100个外语教师懂英语或俄语,其中懂英语的75⼈,既懂英语⼜懂俄语的20⼈,那么懂俄语的教师为⼈.5.六⼀班有学⽣46⼈,其中会骑⾃⾏车的17⼈,会游泳的14⼈,既会骑车⼜会游泳的4⼈,问两样都不会的有⼈.6.在1⾄10000中不能被5或7整除的数共有个.7.在1⾄10000之间既不是完全平⽅数,也不是完全⽴⽅数的整数有个.8.某班共有30名男⽣,其中20⼈参加⾜球队,12⼈参加蓝球队,10⼈参加排球队.已知没⼀个⼈同时参加3个队,且每⼈⾄少参加⼀个队,有6⼈既参加⾜球队⼜参加蓝球队,有2⼈既参加蓝球队⼜参加排球队,那么既参加⾜球队⼜参加排球队的有⼈.69.分母是1001的最简真分数有个.10.在100个学⽣中,⾳乐爱好者有56⼈,体育爱好者有75⼈,那么既爱好⾳乐,⼜爱好体育的⼈最少有⼈,最多有⼈.⼆、解答题11.某进修班有50⼈,开甲、⼄、丙三门进修课、选修甲这门课的有38⼈,选修⼄这门课有的35⼈,选修丙这门课的有31⼈,兼选甲、⼄两门课的有29⼈,兼选甲、丙两门课的有28⼈,兼选⼄、丙两门课的有26⼈,甲、⼄、丙三科均选的有24⼈.问三科均未选的⼈数?12.求⼩于1001且与1001互质的所有⾃然数的和.13.如图所⽰,A、B、C分别代表⾯积为8、9、11的三张不同形状的纸⽚,它们重叠放在⼀起盖住的⾯积是18,且A与B,B与C,C与A公共部分的⾯积分别是5、3、4,求A、B、C 三个图形公共部分(阴影部分)的⾯积.14.分母是385的最简真分数有多少个,并求这些真分数的和.———————————————答案——————————————————————1. 26从图中可以看出全班45⼈,借语⽂或数学课外读物的共39+32=71(⼈),超过全班⼈数71-45=26(⼈),这26⼈都借了语⽂、数学两种课外书。
六年级容斥原理练习题
六年级容斥原理练习题
容斥原理是概率论中的一个重要原理，可以用于解决涉及多个事件的概率计算问题。
在六年级数学中，我们也可以运用容斥原理来解决一些错排、组合问题等。
以下是一些关于容斥原理的练习题，供同学们进行练习。
练习题1：
某班有30位学生，其中15人喜欢音乐，20人喜欢体育，10人既喜欢音乐又喜欢体育。
请问至少有多少位学生既不喜欢音乐也不喜欢体育？
练习题2：
甲、乙、丙三位同学是某班的值日生，每周值日一天。
如果要求甲同学在星期一值日，乙同学在星期三值日，丙同学在星期五值日，那么这样的安排共有多少种？
练习题3：
某班有30位学生，其中15人喜欢英语，18人喜欢数学，12人喜欢音乐。
其中恰好3人即喜欢英语又喜欢数学，4人既喜欢英语又喜欢音乐，5人既喜欢数学又喜欢音乐。
请问这个班级有多少人？
练习题4：
在一个小说比赛中，参赛者需要选择一个主题，主题共有A、B、C 三个选项。
每个参赛者必须选择一个主题进行创作，并且选定主题后
不能更换。
如果有10位参赛者，其中有4位选择了A主题，3位选择
了B主题，2位选择了C主题，1位参赛者选择了两个主题。
那么最终
有多少位参赛者选择了至少一个主题？
练习题5：
小明有5个相同的红球，4个相同的绿球，3个相同的蓝球。
他希
望从中选择4个球放入一个盒子里，要求盒子中至少有一种颜色的球。
那么小明一共有多少种不同的放球方法？
通过以上几道练习题，我们可以较好地掌握容斥原理在解决数学问
题中的运用。
希望同学们能够认真思考并正确解答，提高数学问题解
决能力。
小学奥数 容斥原理 知识点+例题+练习 (分类全面)
5、在1到130的全部自然数中，既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个？不是6的倍数或不是5的倍数的数有几个？
6、某班统计考试成绩，数学得90分上的有25人;语文得90分以上的有21人;两科中至少有一科在90分以上的有38人。问两科都在90分以上的有多少人?
巩固：刘老师、夏老师和胡老师共有书90本，其中刘老师和夏老师一共有70本，夏老师和胡老师共有50本，三位老师各有书多少本？
例5、在1至10000中不能被5或7整除的数共有多少个？既不能被5整除又不能被7整除的有多少个？
巩固：在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？不是5的倍数或不是8的倍数的数有几个？
巩固：某校的每个学生至少爱好体育和文娱中的一种活动，已知有900人爱好体育活动，有850人爱好文娱活动，其中260人两种活动都爱好。这个学校共有学生多少人？
例3、学校开展课外活动，共有250人参加。其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。问这250名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人？
课后作业
1、五年级有112人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优，其中，语文得优的有65人，数学得优的有87人，问语文、数学都得优的有多少人？
2、某班在一次测验中有26人语文获优，有30人数学获优，其中语、数双优的有12人，另外还有8人语、数均未获优，这个班共有多少个学生？
3、五（1）班有学生50人，在一次测试中，语文90分以上的有30人，数学90分以上的35人，语文和数学都在90分以上的有20人，90分以下的有多少人？
(完整word版)小学奥数-容斥原理(教师版)
容斥原理森林中住着很多动物，据说狮子大王派仙鹤去统计鸟类的种数，蝙蝠跑过去对仙鹤说；“我有翅膀，我应该是属于鸟类的。
”于是仙鹤就把蝙蝠统计到鸟类的种类里去了，结果得出森林中一共有80种鸟类。
狮子大王又派大象去统计野兽的种类数，蝙蝠听说又来统计兽类了，急忙跑过去对大象说；“我没有羽毛，我应该是属于兽类的。
”于是大象就把蝙蝠统计到兽类的种类里去了，结果统计出森林中一共有60种兽类。
最后狮子大王问：“森林中共有鸟类和兽类多少种？”狡猾的狐狸听见了仙鹤和大象的统计结果，高兴地向狮子大王汇报：“这还不简单！森林中共有鸟类和兽类140种。
”这个统计正确吗？同学们肯定会说：“不对！蝙蝠被算了两次，应该再减去一，是139种。
”这个故事说明了一个数学问题，那就是被称为“容斥原理”的包含与排除问题。
当需要计数的两类事物互相包含（有部分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉。
由此我们得到逐步排除法（容斥原理）：当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分。
容斥原理1如果被计数的事物有A、B两类，那么， A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
即A∪B = A+B - A∩B容斥原理2如果被计数的事物有A、B、C三类，那么， A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
即A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C容斥原理1【例1】★一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？【解析】依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。
(完整版)容斥原理习题加答案
1.现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有( )A、27人B、25人C、19人D、10人【答案】B【解析】直接代入公式为：50=31+40+4－A∩B得A∩B=25，所以答案为B。
2.某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。
其中25％是白色的，75％是蓝色的。
如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？（）A、15B、25C、35D、40【答案】C【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A∩B，本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B，小号占50%，蓝色占75%，直接代入公式为：100=50+75+10－A∩B，得：A∩B=35。
3.某高校对一些学生进行问卷调查。
在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人，不参加其中任何一种考试的都15人。
问接受调查的学生共有多少人？（）A．120B．144C．177D．192【答案】A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字24，再推其他部分数字：根据每个区域含义应用公式得到：总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数＝63+89+47－{(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15＝199－{（x+z+y）+24+24+24}+24+15根据上述含义分析得到：x+z+y只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只选择两种考试都参加的人数，所以x+z+y的值为46人；得本题答案为120.4.对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。
其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有多少人（）A.22人B.28人C.30人D.36人【答案】A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字12，再推其他部分数字：根据各区域含义及应用公式得到：总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数100＝58+38+52－{18+16+（12+ x）}+12+0,因为该题中，没有三种都不喜欢的人，所以三集合之外数为0，解方程得到：x＝14。
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第5讲容斥原理
知识网络
我们经常会遇到这样一类问题，题目中涉及到包含与排除，也就是说有重叠部分。
解答此类问题的主要依据是容斥原理。
容斥原理一：设A、B是两类有重叠部分的量（如图1所示），若A对应的量为a，B对应的量为b，A与B重叠部分对应的量为ab，那么这两类量的总量可以用下面的公式进行计
算：
总量=a+b-ab
容斥原理二：设A、B、C是三类有重叠部分的量（如图2所示），若A对应的量为a，B 对应的量为b，C以应的量为c，A与B重叠部分以应的量为ab，B与C重叠部分对应的量为bc，C与A重叠部分对应的量为ca，A、B、C三部分重叠部分对应的量为abc，则这三类量的总量可以用下面的公式进行计算：
总量=a+b+c-ab-bc-ca+abc
重点·难点
容斥原理的表述虽然简单，但涉及容斥原理的题型很多，范围很广。
我们往往会遇到一些看似与容斥原理无关的问题，然而通过恰当的转化，便可利用容斥原理顺利求解。
如何分析题目，准确找到重叠部分，将问题转化成可用容斥原理解决的问题是本节的难点。
学法指导
解决本节问题的最基本方法是示意图法，即通过示意图来表示题目中的数量关系，使分析、
推理与计算结合起来，达到使题目的内容形象化，数量之间关系直观化的目的。
因此，这就要求我们在解题过程中，仔细分析，找出所需量并用示意图表示出来，进而通过观察示意图，确定几类量的重叠部分，然后运用容斥原理解决问题。
经典例题
[例1]分母是1001的最简真分数，共有多少个？
思路剖析。