广东省2019年汕头市普通高考第一次模拟考试文科数学试题(解析版)

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广东省汕头市2019届高三上学期第一次联考数学(文)试题

广东省汕头市2019届高三上学期第一次联考文科数学本试题卷共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分）1. 已知全集U =R , 集合{}2|20N A x x x =∈-≤, {}2,3B =, 则=)(B C A U A ．∅ B ．{}0 C ．{}1 D ．{}0,12．复数21iz =+，则2z =（） A ．2- B ．2 C ．2i - D ．2i3．在等比数列{}n a 中，1344a a a ==，则6a =（） A ．6 B ．8± C ．8- D ．84.函数)sin(ϕω+=x A y 的部分图象如图所示，则 A. )6sin(2π+=x y B. )62sin(2π-=x yC. )3sin(2π+=x y D. )32sin(2π-=x y5．函数22cos ()sin ()44y x x ππ=+-+的最小正周期为A ．4πB ．2πC ．πD ．2π6.已知双曲线14222=-y a x 的渐近线方程为x y 332±=，则此双曲线的离心率是( )A.72B.133C.53D.2137.执行下面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的 S =A ．2B ．3C ．4D ．58．变量x ，y 满足22221x y x y y x +⎧⎪--⎨⎪-⎩≤≥≥，则3z y x =-的取值范围为（）A ．[]1,6B ．[]2,6C ．[]2,5D ．[]1,29图中均为正方形，则该几何体的体积为（）A ．16B ．163C ．83D ．810.已知x ，y 均为正实数，且1x ＋2＋1y ＋2＝16，则x ＋y 的最小值为( )A ．24B ．32C ．20D ．2811．已知函数()f x 是R 上的奇函数,对于(0)x ∀∈+∞，，都有(2)()f x f x +=-，且(]01x ∈，时,()21xf x =+，则)2018()2017(f f +的值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤+-=1215)3()(x x ax x a x f 是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,3]C ．(0,2)D ．(0,2]第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）13.设函数2log ,0()4,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则[(1)]f f -=14.曲线)1ln(2+=x y 在点()0,0处的切线方程为15.不共线向量a ，b 满足a b =，且()2a a b ⊥-，则a 与b 的夹角为16.已知函数22)(),)(1)(3()(-=++++=x x g m x m x m x f ，若对任意R x ∈，有)(x f >0 或)(x g >0 成立，则实数 m 的取值范围是三、解答题：（本大题共6小题，共70分） 17．（本小题满分12分）某学校有初级教师21人，中级教师14人，高级教师7人，现采用分层抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查． (1)求应从初级教师，中级教师，高级教师中分别抽取的人数；(2)若从抽取的6名教师中随机抽取2名做进一步数据分析，求抽取的2名均为初级教师的概率。

广东省2019年汕头市普通高考第一次模拟考试试题文科数学(精品解析)

汕头市2019届普通高考第一次模拟考试试题文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|log 1},{0,12,34}A x x B =>=，，，则A B =（）A ．{0,12}，B ．{123}，，C ．{2,34}，D ．{3}，4答案：D考点：集合的运算，对数函数。

解析：22{|log 1log 2}{|2}A x x x x =>=>＝，所以，A B ={3}，42．已知,i R a ∈是虚数单位，复数2i1ia z +=+，若2z =，则a = （） A ．0 B ．2 C ．2-D ．1答案：A考点：复数的概念与运算。

解析：2i (2)(1)221i 222a a i i a az i ++-+-===++，因为2z =，所以，2222()()222a a +-+=，即2288a +=，解得：a =0 3．设,x y 满足约束条件1y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩1-，则2z x y =+的最大值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5答案：B考点：线性规划。

解析：不等式组表示的平面区域如下图，2z x y =+经过点C （2，－1）时，取得最大值为：34．现有甲、乙、丙、丁 4 名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为A ．12B ．13C ．16D ．112答案：B考点：古典概型。

解析：：甲、乙、丙、丁4 名学生平均分成两个小组共有3 种情形：{（甲、乙），（丙、丁）}，{（甲、丙），（乙、丁）}，{（甲、丁），（乙、丙）}.乙、丙两人恰好在一起只有1 种情形{（甲、丁），（乙、丙）}.5．已知圆O :x 2+ y 2= 4 ( O 为坐标原点)经过椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的短轴端点和两个焦点，则椭圆C 的标准方程为A ．22142x y += B ．22184x y += C ．221164x y += D ．2213216x y += 答案：B考点：椭圆的性质。

广东省2019届高三第一次模拟考试数学(文)试题Word版含答案

广东省2019届高三第一次模拟考试数学（文）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足()11i z +=，则复数z 的虚部为（） A ．12i B ．12 C ．12i - D ．12- 2.已知集合{}{}2|0,|1A x x B x x =>=<，则AB = （）A ．()0,+∞B ． ()0,1C ． ()1,-+∞D ．()1,0- 3. “常数m 是2与8的等比中项”是“4m =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4.下图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（）A ．320 B ．325π C ．325 D ．20π 5. 已知F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一个焦点，点F 到C 的一条渐近线的距离为2a ，则双曲线C 的离心率为（）A ．．2 6. 等差数列()()()333log 2,log 3,log 42,x x x +的第四项等于（）A ．3B ．4 C. 3log 18 D ．3log 247. 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A ．488π+B ．968π+ C. 9616π+ D ．4816π+ 8.已知曲线:sin 23C y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（） A ．把C 向左平移512π个单位长度，得到的曲线关于原点对称 B ．把C 向右平移12π个单位长度，得到的曲线关于y 轴对称C. 把C 向左平移3π个单位长度，得到的曲线关于原点对称 D ．把C 向右平移6π个单位长度，得到的曲线关于y 轴对称9. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（）A ．n 是偶数，100n ≥B ．n 是奇数，100n ≥ C. n 是偶数，100n > D ．n 是奇数，100n > 10.已知函数()xf x e在其定义域上单调递减，则函数()f x 的图象可能是（）A ．B ．C. D ．11.已知抛物线2:,C y x M =为x 轴负半轴上的动点，,MA MB 为抛物线的切线，,A B 分别为切点，则MA MB 的最小值为（）A ．14-B ．18- C. 116- D ．12- 12.设函数()121,25,2x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若互不相等的实数,,a b c 满足()()()f a f b f c ==，则222ab c ++的取值范围是（）A ．()16,32B ．()18,34 C. ()17,35 D ．()6,7 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知单位向量12,e e 的夹角为30°，则123e e -= ．14.设,x y 满足约束条件6456543x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则z x y =+的最大值为．15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23122n S n n =+，则5a = ． 16.如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为,,,,O E F G H 为圆O 上的点，,,,ABE BCF CDG ADH ∆∆∆∆分别是以,,,AB BC CD DA 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以,,,AB BC CD DA 为折痕折起,,CDG,ADH ABE BCF ∆∆∆∆，使得,,,E F G H 重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知22b c a a ⎫+=+⎪⎪⎝⎭.（1）证明：a A =；（2）若,36A B ππ==，求ABC ∆的面积.18.“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号.用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现.现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下： 3000 6000800010000 1 0规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”.（1）填写下面列联表（单位：人），并根据列表判断是否有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（2）为了进一步了解“懈怠性”人群中每个人的生活习惯，从步行数在30016000的人群中再随机抽取3人，求选中的人中男性人数超过女性人数的概率.19.如图，在直角梯形ABCD 中，//,AD BC AB BC ⊥，且24,,BC AD E F ==分别为线段,AB DC 的中点，沿EF 把AEFD 折起，使AE CF ⊥，得到如下的立体图形. （1）证明：平面AEFD ⊥平面EBCF ；（2）若BD EC ⊥，求点F 到平面ABCD 的距离.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，且C 过点1,2⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点（点,P Q 均在第一象限），且直线,,OP l OQ 的斜率成等比数列，证明：直线l 的斜率为定值.21. 已知函数()2xf x e x ax =--.（1）证明：当22ln 2a ≤-时，函数()f x 在R 上是单调函数；（2）当0x >时，()1f x x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，圆()()221:2420C x y -+-=，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，()2:3C R πθρ=∈.（1）求1C 的极坐标方程和2C 的平面直角坐标系方程；（2）若直线3C 的极坐标方程为()6R πθρ=∈，设2C 与1C 的交点为O M 、，3C 与1C 的交点为O N 、，求OMN ∆的面积.23.【选修4-5：不等式选讲】已知函数()()331,412f x x a x g x x x =-++=--+.（1）求不等式()6g x <的解集；（2）若存在12,x x R ∈，使得()1f x 和()2g x 互为相反数，求a 的取值范围.广东省2019届高三第一次模拟考试数学（文）试题答案一、选择题1-5:DCBAC 6-10: ABBDA 11、12：CB 二、填空题13. 1 14. 2 15. 14 16. 27三、解答题17.解：（1）因为2223b c a +=+，所以2223b c a abc +-=，又因为2222cos b c a bc A +-=，所以2cos 3bc A =，即a A =.（2）因为3A π=，所以a A =由正弦定理sin sin a bA B=，可得1b =， 2C A B ππ=--=，所以1sin 2ABC S ab C ∆==. 18.解：（1）根据题意完成下面的列联表：根据列联表中的数据，得到()225020810120.231 2.70630203218K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；（2）设步行数在30016000中的男性的编号为1，2，女性的编号为,,a b c .选取三位的所有情况为：()()()()()()()()()()1,2,,1,2,,1,2,c ,1,,,1,,,1,,,2,,,2,,,2,,,,,a b a b a c b c a b a c b c a b c 共有10种情形，符合条件的情况有：()()()1,2,,1,2,,1,2,a b c 共3种情形. 故所求概率为310. 19.（1）证明：由题可得//EF AD ，则AE EF ⊥，又AE CF ⊥，且EFCF F =，所以AE ⊥平面EBCF .因为AE ⊂平面AEFD ，所以平面AEFD ⊥平面EBCF ；（2）解：过点D 作//DG AE 交EF 于点G ，连结BG ，则DG ⊥平面EBCF ，DG EC ⊥，又,BD EC BD DG D ⊥=，所以EC ⊥平面,BDG EC BG ⊥，易得EGBBEC ∆∆，则EG EBEB BC=，得EB = 设点F 到平面ABCD 的距离为h ，因为14482F ABC A BCF V V --==⨯⨯=，又因为,,BC AE BC EB AE EB ⊥⊥于E ，所以BC ⊥平面AEB ，故AB BC ⊥，又因为14AE EB 2BCF S ∆=⨯⨯===，所以28h ==，故点F 到平面ABCD 的距离为2.20.解：（1）由题意可得221314c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，故椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠，点,P Q 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()()222148410k x kmx m +++-=，则()()()222222641614116410k m k m k m ∆=-+-=-+>，且()2121222418,1414m km x x x x k k--+==++，故()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，又直线,,OP l OQ 的斜率成等比数列，则22121y y k x x =，即()221212212k x x km x x m k x x +++=，所以22228014k m m k -+=+，又0m ≠，所以214k =，又结合图象可知，12k =-，所以直线l 的斜率为定值. 21.解：（1）()2xf x e x a '=--，令()2xg x e x a =--，则()2xg x e '=-，则当(),ln 2x ∈-∞时，()0g x '<，当()ln 2,x ∈+∞时，()0g x '>，所以函数()g x 在ln 2x =取得最小值，()ln 22ln 20g a =--≥，故()0f x '≥，即()f x 在R 上是单调递增函数；（2）当0x >时，21xe x ax x --≥-，即11x e a x x x≤--+，令()()110x e h x x x x x =--+>，则()()()()2221111xx x e x e x x h x x x-----+'==，令()()10x x e x x ϕ=-->，则()10x x e ϕ'=->. 当()0,x ∈+∞时，()x ϕ单调递增，()()00x ϕϕ>=，则当()0,1x ∈时，()0h x '<，所以()h x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，所以()h x 单调递增. 所以()()min 11h x h e ==-，所以(],1a e ∈-∞-.22.解：（1）因为圆1C 的普通方程为22480x y x y +--=，把cos ,sin x y ρθρθ==代入方程得24cos 8sin 0ρρθρθ--=，所以1C 的极坐标方程为4cos 8sin ρθθ=+，2C的平面直角坐标系方程为y =；（2）分别将,36ππθθ==代入4cos 8sin ρθθ=+，得1224ρρ=+=+则OMN ∆的面积为((124sin 8236ππ⎛⎫⨯+⨯+⨯-=+ ⎪⎝⎭23.解：（1）由题意可得()33,2151,24133,4x x g x x x x x ⎧⎪-+≤-⎪⎪=---<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，当2x ≤-时，336x -+<，得1x >-，无解；当124x -<<时，516x --<，得75x >-，即7154x -<<；当14x ≥时，336x -<，得134x ≤<，综上，()6g x <的解集为7|35x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. （2）因为存在12,x x R ∈，使得()()12f x g x =-成立，所以(){}(){}|,|y g ,y y f x x Ry x x R =∈=-∈≠∅，又()()()331333131f x x a x x a x a =-++≥--+=+，由（1）可知()9 , 4g x⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，则()9,4g x⎛⎤-∈-∞⎥⎝⎦，所以9314a+≤，解得1351212a-≤≤.故a的取值范围为135,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。

广东省2019届高三2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学模拟(一)试题(解析版)

2019年普通高等学校招生全国统一考试广东省文科数学模拟试卷（一）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合，再求两集合的交集即可．【详解】在集合中，得，即，在集合中在上递增，且，所以，即,则．故选：D．【点睛】本题考查了集合的交集及其运算，也考查了指数函数的单调性，属于基础题．2.复数（为虚数单位）的虚部为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简即可得答案．【详解】=，所以z的虚部为．故选：A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题．3.双曲线的焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将双曲线化成标准方程，可得，，即可得焦点坐标．【详解】将双曲线化成标准方程为：，得，，所以，所以，又该双曲线的焦点在x轴上，所以焦点坐标为．故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单性质，将双曲线的方程化为标准形式是关键，属于基础题．4.若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可.【详解】因为，由诱导公式得，所以 .故选：B【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式，灵活掌握公式是关键，属于基础题.5.已知函数在上单调递减，且当时，，则关于的不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】当时，由=，得，由函数单调性的性质，即可得的解集.【详解】当时，由=，得或（舍），又因为函数在上单调递减，所以的解集为.故选：D【点睛】本题考查函数的单调性的应用，关键是理解函数单调性的性质，属于基础题．6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】由三视图可知该几何体的直观图，从而求出几何体的体积．【详解】由三视图可知几何体为边长为2的正方体的一半，做出几何体的直观图如图所示，故几何体的体积为23＝4．故选：B．【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状是解题的关键，属于中档题．7.设x1＝18，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝22，将这5个数依次输入如图所示的程序框图运行，则输出S的值及其统计意义分别是（）A. S＝2，这5个数据的方差B. S＝2，这5个数据的平均数C. S＝10，这5个数据的方差D. S＝10，这5个数据的平均数【答案】A【解析】【分析】根据程序框图，得输出的S是5个数据的方差，先求这5个数的均值，然后代入方差公式计算即可．【详解】根据程序框图，输出的S是x1＝18，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝22这5个数据的方差，因为，∴由方差的公式S＝．故选：A．【点睛】本题通过循环结构的程序框图考查了均值和方差，属于基础题．8.的内角所对的边分别是.已知，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由余弦定理化简，得，再由基本不等式求解即可.【详解】因为，得，所以，所以当且仅当取等号，且为三角形内角，所以. 故选：D【点睛】本题考查余弦定理解三角形和基本不等式的应用，属于基础题.9.已知，，三点不共线，且点满足，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】运用向量的减法运算，把已知等式中的向量换为表示，整理后可求结果。

2019年广东省高考数学一模试卷(文科)

2019年广东省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A {x|x 12}，B {x|1216}，则A B ()A．(,8)2．（5分）复数zi51iB．(0,8)B．(,3)(i为虚数单位）的虚部为()D．(0,3)A．111B．C．i2221D．i23．（5分）双曲线9x216y21的焦点坐标为( )A．(512，0)B．(0,512)C．(5,0)D．(0,5)4．（5分）若sin(33)23，则cos2()A．12B．11C．33D．125．（5分）已知函数f(x)在(,)上单调递减，且当x [2，1]时，f(x)x22x 4，则关于x的不等式f(x)1的解集为()A．(,1)B．(,3)C．(1,3)D．(1,)6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．3B．4C．6D．87．（5分）执行如图的程序框图，依次输入x 17，x 19，x 20，x 21，x 23，则输出的S值及其1 2 3 4 5统计意义分别是()xA．S 4，即5个数据的方差为4 B．S 4，即5个数据的标准差为4 C．S 20，即5个数据的方差为20 D．S 20，即5个数据的标准差为208．（5分）ABC的内角A，B，C所对的边分别是a 围为()，b，cb b，已知cos C cos A 1，则c os B的取值范c a1 A．( ,)21B．[,)2C．(12，1)D．[12，1)9．（5分）已知A，B，C 三点不共线，且点O满足16OA 12O B 3OC 0，则() A．OA 12AB 3A C B．OA 12AB 3A C C．OA 12A B 3A C D．OA 12A B 3A C10．（5分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB ，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足AC BC510.618．后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点在ABC中，AB AC2若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在ABC内任取一点M，则点M 落在APQ内的概率为( )A．512B．52C．5152D．4211．（5分）已知F为抛物线C:x24y的焦点，直线y 12x 1与曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，则SOAB()A．255B．455C．5D．2512．（5分）函数f(x)(k x 2)lnx，g(x)2lnx x，若f(x)g(x)在(1,)上的解集中恰有两个整数，则k取值范围为( )的141A．[1，)2ln23ln3411C．[，2)3ln32ln2141B．(1，]2ln23ln3411D．( ，2]3ln32ln2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．lnx,x 113．（5分）已知函数f(x)，则f(f（2）)e x,x (1)．14．（5分）设x，y满足约束条件3x 2y 11 0x 2y 1…0，则z 2x y的最大值为．x (1)15．（5分）在三棱锥P ABC中，AP，AB，AC两两垂直，且AP AB AC 3，则三棱锥P ABC的内切球的表面积为．116．（5分）已知函数f(x)sin(x )(0)62，点P，Q，R是直线y m(m 0)与函数f(x)的图象自左至右的某三个相邻交点，且2|PQ ||Q R|32，则m ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）设数列{a}的前n项和为S，S 1a(n N*)．n n n n（1）求数列{a}的通项公式；n1（2）设b log a，求数列{}的前nb bn n 1项和T．n18．（12分）在五面体A BCDEF中，四边形CDEF为矩形，CD 2D E 2A D 2A B 4，AC 25，EAD30（1）证明：AB 平面ADE；（2）求该五面体的体积．．19．（12分）某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，经过调查得到如下数据：间隔时间x101112131415n2n（分钟）等候人数 y（人 )23 25 26 29 28 31调查小组先从这 6 组数据中选取 4 组数据求线性回归方程，再用剩下的 2 组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数 y ˆ，再求 y ˆ与实际等候人数 y 的差，若差值的绝对值不超过 1，则称所求方程是“恰当回归方程”．（1）从这 6 组数据中随机选取 4 组数据后，求剩下的 2 组数据的间隔时间不相邻的概率；（2）若选取的是后面 4 组数据，求 y 关于 x 的线性回归方程 y ˆ bxa ˆ，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；（3）为了使等候的乘客不超过 35 人，试用（2）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟？附：对于一组数据 ( x ， y ) 11， ( x ， y ) 22，， ( x ， y ) nn，其回归直线 y ˆbxa ˆ的斜率和截距的最小二乘估计分别为： bx y nxy i ii 1 x 2nx 2ii 1( xx )( y y ) i i ( xx )2 i， a ˆ y bx ， i 1x y1546 ． i ii 120．（12 分）已知点 (1, 2) ， ( （1）求椭圆 C 的方程；22 i 1y 2 x 2 , 3) 都在椭圆 C :1(a b 0) 上．a 2b 2（2）过点 M (0,1) 的直线 l与椭圆 C 交于不同两点 P ， Q （异于顶点），记椭圆与 y 轴的两个交点分别为 A ， 1A ，若直线 A P 与 A Q 交于点 S ，证明：点 S 恒在直线 y 4上． 2 1 221．（12 分）已知函数 f ( x )e x2ax (a R )（1）若曲线 y f ( x ) 在 x 0 处的切线与直线 x 2 y 2 0 垂直，求该切线方程；（2）当 a 0 时，证明 f ( x )…4a 24a(二)选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修 4-4：坐标系与参数方程](10 分)22．（10 分）在平面直角坐标系 x Oy 中，曲线x 2cosC 的参数方程为， (为参数）已知点Q (4,0) ，点 Py 2sin是曲线 C 上任意一点，点 M 为 PQ 的中点，以坐标原点为极点， x l轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点 M 的轨迹 C 的极坐标方程；2（2）已知直线 l : y kx 与曲线 C 交于 A ， B 两点，若 OA 3 A B ，求 k 的值．2ˆ ˆ ˆnn nn ˆ 41[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f(x)|x a|2|x 1|(a 0)．（1）求f(x)的最小值；（2）若不等式f(x)50的解集为(m,n)，且n m 43，求a的值．2019年广东省高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A {x|x 12}，B {x|1216}，则A B ()A．(,8)B．(,3)C．(0,8)D．(0,3)【解答】解：集合A {x| x 12}(,3)，B {x|12A B (0,3)．故选：D．x 16}(0,4)2．（5分）复数zi51i(i为虚数单位）的虚部为()111 A．B．C．i 222i5 i4 1 i i(1i)11【解答】解：z i1i1i1i(1i)(1i)22，1D．i2zi51i1的虚部为．2故选：B．3．（5分）双曲线9x216y21的焦点坐标为( )A．(512，0)B．(0,512)C．(5,0)D．(0,5)【解答】解：双曲线9x216y2x2 y21的标准方程为：111，916可得a 11 1 15，b ，c ，3 491612所以双曲线的焦点坐标为(0,512)．故选：B．4．（5分）若sin(33)23，则cos2()A．12B．11C．33D．12【解答】解：sin(33)cos23，则cos22cos121，3故选：B．x式f(x)1的解集为()A．(,1)B．(,3)【解答】解：x [2，1]时，f(x)x2C．(1,3)2x 4 ；D．(1,)f(1)1；f(x)在(,)上单调递减；由f(x)1得，f(x)f(1)；x 1；不等式f(x)1的解集为(1,)．故选：D．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．3B．4C．6D．8【解答】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，3组合体的体积是：122故选：A．23，7．（5分）执行如图的程序框图，依次输入x 17，x 19，x 20，x 21，x 23，则输出的S值及其1 2 3 4 5统计意义分别是()A．S 4，即5个数据的方差为4B．S 4，即5个数据的标准差为4C．S 20，即5个数据的方差为20D．S 20，即5个数据的标准差为20【解答】解：根据程序框图，输出的S是x 17，x 19，x 20，x 21，x 23这5个数据的方差，1 2 3 4 51x (1719 202123)20，51由方差的公式S [(1720)2 (1920)2 (2020)2 (2120)2 (2320)2]4．5故选：A．8．（5分）ABC的内角A，B，C所对的边分别是a 围为()，b，cb b，已知cos C cos A 1，则c os B的取值范c a1 A．( ,)21B．[,)2C．(12，1)D．[12，1) b b【解答】解：cos C cos A 1，c ab a2b2c2b b2c2a2由余弦定理可得：1，化简可得：bc2ab a2bc2ac，由余弦定理可得；cos B a2c2b2a2c2ac2ac ac1…，2ac2ac2ac211…cos B 1，即：cos B [，1)．22故选：D．9．（5分）已知A，B，C 三点不共线，且点O满足16OA 12O B 3OC 0，则() A．OA 12AB 3A C B．OA 12AB 3A C C．OA 12A B 3A C D．OA 12A B 3A C 【解答】解：由题意，可知：对于A:OA 12AB 3A C 12(OB OA)3(OC OA)12O B 3OC 15OA，整理上式，可得：16O A 12O B 3OC 0，这与题干中条件相符合，故选：A．10．（5分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB ，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足AC BC510.618．后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点在ABC中，AB AC2若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在ABC内任取一点M，则点M 落在APQ内的概率为( )A．512B．52C．514D．522【解答】解：设BC a，由点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，所以BQ 5151a，CP a，22所以PQ BQ CP BC (52)a，SAPQ :SABCPQ:BC (52)a:a 52，由几何概型中的面积型可得：在ABC内任取一点M，则点M落在APQ内的概率为SSAPQABC5 2 ，故选：B．11．（5分）已知F为抛物线C:x24y的焦点，直线y 12x 1与曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，则SOAB()A．255B．455C．5D．25【解答】解：抛物线C:x24y的焦点(0,1)，设A(x1，y)1，B(x2，y)2，F且倾斜角为60的直线y 12x 1，1y x 122x 4y，整理得：x22x 40，由韦达定理可知：x x 2，y y 31 2 1 2由抛物线的性质可知：|AB |p y y 235，1 2点O到直线y 12x 1的距离d，d25．则OAB的面积S，S 12|AB|d 5．故选：C ．12．（5分）函数f(x)(k x 2)lnx，g(x)2lnx x，若f(x)g(x)在(1,)上的解集中恰有两个整数，则k的取值范围为( )A．[1141，)2ln23ln3B．(1141，]2ln23ln3411C．[，2)3ln32ln2【解答】解：当x 1时，lnx 0，由f(x)g(x)得(k x 2)lnx 2lnx x，411 D．( ，2] 3ln32ln2即kx 22x x，即kx 4，lnx lnx设h(x)4xlnx，则h(x)lnx x(lnx)21x lnx 1，(lnx)2由h(x)0得(lnx 1)0得lnx 1，得1x e，此时h(x)为增函数，由h(x)0得(lnx 1)0得lnx 1，得x e，此时h(x)为减函数，即当x e时，h(x)取得极大值h（e）4作出函数h(x)的图象，如图，当x 1时，h(x)，elne4e，h（3）43ln3，h（4）442324，即A(3,4)，B(4,4)ln4ln2ln3ln2，当直线y kx过A，B点时对应的斜率k3244411，k 1，ln3ln2B要使 f ( x ) g ( x ) 在 (1,)上的解集中恰有两个整数，则对应的整数为 x 2 ，和 x 3 ，即直线 y kx 的斜率 k满足 k k … k BB，即 11 41k … ，2ln 2 3 ln 3即实数 k的取值范围是 (11 4 1， ] 2ln 2 3 ln 3，故选： B ．二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡中的横线上．lnx , x 113．（5 分）已知函数 f ( x )，则 f ( f （2） ) e x , x (1)2 ．【解答】解： f （2） ln 2 ， f ( f （2） ) f (ln 2) e 故答案为：2．ln 22 ．14．（5 分）设 x3x 2 y 11 0， y 满足约束条件 x 2 y 1… 0 ，则 z 2 x y 的最大值为 7 ．x (1)【解答】解：画出 x3x 2 y 11 0， y 满足约束条件 x 2 y 1… 0 表示的平面区域，x (1)如图所示，由3x 2 y 11 0 x 2 y 1 0，解得点 A (3,1) ，结合图形知，直线 2 x y z 0 过点 A 时， z 2 x y 取得最大值为 2 3 1 7 ．故答案为：7．15．（5 分）在三棱锥 P ABC 中， AP ， AB ， AC 两两垂直，且 AP AB AC 3 ，则三棱锥 P ABC 的内切球的表面积为(4 2 3)．【解答】解：如图，由 AP ， AB ， AC 两两垂直，且 AP AB AC 3 ，得 PB PC BC 6 ，SPBC1 323 36 ， 2 2 2设三棱锥 P ABC 的内切球的半径为 r ，1 1 1 1 3 3利用等体积可得： 3 3 3 (3 3 3 )r ，3 2 3 2 23 1解得 r ．2三棱锥 P ABC 的内切球的表面积为 S 4( 3 1 ) 22(4 2 3)．故答案为： (4 2 3)．116．（5 分）已知函数 f ( x ) sin(x ) (0) 6 2，点 P ， Q ， R 是直线 y m (m 0) 与函数 f ( x ) 的图象自左至右的某三个相邻交点，且 2 | PQ ||Q R|3 17 ，则 m 2 9． 13 3【解答】解：函数 f ( x ) sin(x ) (0) ，由 2 | PQ ||Q R | ，解得 | PQ | ，6 2 2 4T |P Q | | QR |94， 2 2 8 ， T 9 9设 P ( x 0T ，m ) ，则 Q (x2， m ) ， R (T x 0 ， m ) ，| PQ |T T2 x ， | QR |2 x ， 2 2 T T 2( 2 x ) 2 x 2 2，解得 xT 3，12 168 3 1 1 1m sin( )1 ，9 16 2 2 2m8 171 ． 9 9故答案为： 179．三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每道试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共 60 分．17．（12 分）设数列 {a }的前 n n（1）求数列 {a }的通项公式；n项和为 S ， S 1 a (n N *) nnn．1（2）设 blog a ，求数列 { }的前 n b bn n 1项和 T ．n 【解答】解：（1）数列 {a }的前 n n当 n 1 时，项和为 S ， S1 a (n N *) nnn①．1解得： a12 当 n …2 时， S，n 11 an 1．②①②得： 2aa nn 1，a1所以： n（常数）， a2n 1故：数列 {a }是以 n 1 1为首项，为公比的等比数列． 2 2 则： an1 1 1 ( )n 1 ( )2 2 2 n （首项符合通项），1所以： a( ) 2n．1 （2）由于： a ( ) 2n ，则： blog an ．n2n所以： bn 1 (n 1) ，则：11 1 1 ， 0 0 00 0 n2 nn n故：T 1n11111n223n n 1n 1．18．（12分）在五面体A BCDEF中，四边形CDEF为矩形，CD 2D E 2A D 2A B 4，AC 25，EAD30（1）证明：AB 平面ADE；（2）求该五面体的体积．．【解答】解：（1）证明：因为AD 2，DC 4，AC 25，所以AD 2 DC 2 AC2 ，所以AD CD，又四边形CDEF为矩形，所以CD D E，所以CD 面ADE，所以EF 面ADE，由线面平行的性质定理得：AB//E F，所以AB 面ADE（2）几何体补形为三棱柱，DE 2，AD 2，AB 2，EAD 30．可得E 到底面ABCD的距离为：2sin603，该五面体的体积为棱柱的体积减去三棱锥F BCH的体积，11123103可得22sin120422 3 43．2323319．（12分）某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，经过调查得到如下数据：间隔时间x （分钟）等候人数y （人)101112131415 232526292831调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数yˆ，再求yˆ与实际等候人数y的差，若差值的绝对值不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”．（1）从这6组数据中随机选取4组数据后，求剩下的2组数据的间隔时间不相邻的概率；（2）若选取的是后面4组数据，求y关于x的线性回归方程yˆbx aˆ，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；（3）为了使等候的乘客不超过35人，试用（2）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟？附：对于一组数据(x，y)1 1，(x，y)2 2，，(x，y)n n，其回归直线yˆbx aˆ的斜率和截距的最小二乘估计分别为：bx yi ii 1x2inxynx2i 1(xix)(y y)i(x x)2i，aˆy bx，x y 1546 ．i ii 1i 1i 1【解答】解：（1）设“从这6 组数据中随机选取4组数据后，剩下的2组数据不相邻”为事件A，记这六组数据分别为1，2，3，4，5，6，剩下的两组数据的基本事件有12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15种，其中相邻的有12，23，34，45，56，共5种，所以P(A)152．153（2）后面4组数据是：间隔时间(x分钟）等候人数(y人）1226132914281531因为x 121314152629283113.5,y4428.5，i 1x yi i1546,x2ii 1734，x y nxyi i所以b i 1x2nx2 ii 12757154642227734421.4，aˆy bx 28.5 1.413.59.6，ˆˆˆnn nn4ˆ44nˆn2ˆ所以 y ˆ 1.4 x 9.6 ．当 x 10 时， y ˆ 当 x 11 时， y ˆ1.4 10 9.6 23.6,23.6 23 0.6 1 ， 1.4 11 9.6 25,25 25 0 1 ，所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”．（3）由 1.4x 9.6... 35 ，得 x (18)17，故间隔时间最多可设置为 18 分钟．20．（12 分）已知点 (1, 2) ， ( （1）求椭圆 C 的方程；22y 2 x 2 , 3) 都在椭圆 C :1(a b 0) 上．a 2b 2（2）过点 M (0,1) 的直线 l与椭圆 C 交于不同两点 P ， Q （异于顶点），记椭圆与 y 轴的两个交点分别为 A ， 1A ，若直线 A P 与 A Q 交于点 S ，证明：点 S 恒在直线 y 4上． 2 1 2 211【解答】解：（1）由题意可得，解得 a 31 1 a2 2b 22 4 ， b 2 2 ，故椭圆 C 的方程为y 2x 2 1 ．4 2证明：（2）易知直线l ， y ) 2的斜率存在且不为 0，设过点 M (0,1) 的直线 l 方程为 y kx 1 ，(k 0) ，P ( x ，y ) 11，Q ( x ， 2由 y kx 1y 2x 2 1 42，消 y 可得 (k 22) x 2 2kx 3 0 ，xx122k 3， x x，k 22k 22A (0,2) 1， A (0, 2) 2，y 2 kx 1 2 1直线 A P 的方程为 y 1 x 2 1 x 2 (k ) x 2 ，x x x 1 1 1 y 2 3则直线 A Q 的方程为 y 2 x 2 (k ) 2 ，x x22由y (ky(k1 x 1 3 x 2) x 2 ) x 2 ，消 x1 ky 2 x可得 1 y 2 3 x2，整理可得4kx x 6 x 2 x 4kx x 6( x x ) 4(3 x x ) 4k x x 6( x x )y 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 23xx3xx3xx12121244kk 3 2k622k 22 3xx124 4，直线 A P 与 A Q 交于点 S ，则点 S 恒在直线 y 4 上12a 2b 21 212 k21．（12 分）已知函数 f ( x ) e x2ax (a R )（1）若曲线 y f ( x ) 在 x 0 处的切线与直线 x 2 y 2 0 垂直，求该切线方程；（2）当 a 0 时，证明 f ( x )…4a 24a【解答】（1）解： f (x)e x2a ，1 f (0) 1 2a2 ，解得： a， 2f (x ) e x ，则 f (0) 1．切线方程为 y12x 1 ；（2）证明： f (x)e x2a ，由 f (x)e x2a 0 ，解得 x ln 2a ．当 x (,l n 2a ) 时， f (x) 0 ，当 x (ln 2a , )时， f (x) 0 ．f ( x ) 在 (,l n 2a ) 上单调递减，在 (ln 2a , )上单调递增．f ( x )minf (ln 2a )e ln 2a2a ln 2a 2a 2a ln 2a ．令 g （a ） 2a 2aln 2a4a 24a2a 22a 2aln 2a (a 0) ．要证 g （a ） …0 ，即证 a 1ln 2a …0 ，令 h （a ） a 1 ln 2a ，则 h（a ） 11 a 1，a a 当 a (0,1) 时， h （a ） 0 ，当 a (1,)时， h（a ） 0 ，h （a ） …h （1） 0 ，即 a 1ln 2a …0 ．f ( x )…4a 24a ．(二)选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修 4-4：坐标系与参数方程](10 分)x22．（10分）在平面直角坐标系x 2cosx Oy中，曲线C的参数方程为，(为参数）已知点Q(4,0)，点Px 2sin是曲线C上任意一点，点M为PQ的中点，以坐标原点为极点，xl（1）求点M的轨迹C的极坐标方程；2轴正半轴为极轴建立极坐标系．（2）已知直线l:y kx与曲线C交于A，B两点，若OA 3A B，求k2【解答】解：（1）消去得曲线C的普通方程为：x y 4，1的值．设M(x,y)则P(2x 4,2 y)在曲线C上，所以(2x 4)12(2y)24，即(x 2)2y21，即x2y24x 30，C轨迹的极坐标方程为：224cos 30．（2）如图：取AB的中点M，连CM，CA，在直角三角形11CMA中，CM 2 CA2(AB)21AB242，①在直角三角形CMO中，CM2OC2OM27494(AB)24AB242，②1715由①②得AB ，O M ，CM ，24415CM 15kOM774．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f(x)|x a|2|x 1|(a 0)．（1）求f(x)的最小值；4（2）若不等式f(x)50的解集为(m,n)，且n m ，求a3的值．12 2 43x a 2,x…a【解答】解：（1）f(x)x a2,a x 1，x 1时，f(x)的最小值为a 1．3x a 2,x (1)（2）如图所示：当a 152a 2即合，3a a4a4a 4时，f(x)50的解集为(a 3,1)，1a 34，a 2符23333当2a 2...5即0a (3)2时，f(x)的解集为a a a a4(1，1)，112．33333综上可得a 2．。

2019年广东省高考数学一模试卷(文科)(解析版)

2019年广东省汕头市高考数学一模试卷(文科)(A卷)-含详细解析

2019年广东省汕头市高考数学一模试卷（文科）（A卷）副标题一、选择题（本大题共12小题，共63.0分）1.已知集合A={x|log2x＞0}，B={0，1，2，3，4}，则A∩B=（）A. 1，B. 2，C. 3，D.2.已知a∈R，i是虚数单位，复数，若，则a=（）A. 0B. 2C.D. 13.若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是（）A. 2B. 3C. 4D. 54.现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为（）A. B. C. D.5.已知圆O：x2+y2=4（O为坐标原点）经过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴端点和两个焦点，则椭圆C的标准方程为（）A. B. C. D.6.已知向量，满足•（+）=5，且||=2，||=1，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.7.已知{a n}是等差数列，{b n}是正项等比数列，且b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6，则a2018+b9=（）A. 2026B. 2027C. 2274D. 25308.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则g（x）在，上的最大值为（）A. B. C. D. 19.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，关于直线A1O，下列说法正确的是（）A. B. 平面C. D. 平面10.若函数f（x）=e x（cos x-a）在区间，上单调递减，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.11.三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，∠ABC=30°，△APC的面积为2，则三棱锥P-ABC的外接球体积的最小值为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＞0时f（x）=，＜，＞，则函数g（x）=2f（x）-1的零点个数为（）个．A. 6B. 2C. 4D. 8二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f（x）=（bx-1）e x+a（a，b∈R）．若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x，则a+b=______．14.有一种工艺品是由正三棱柱挖去一个圆锥所成，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2，圆锥的顶点为△ABC的中心，底面为△A1B1C1的内切圆，则该工艺品的体积为______．15.设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，a2=2，且a n+2=3S n-S n+1+3（n∈N*），则S10=______．16.设双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|AF2|+|BF2|的最小值等于______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若b sin A=a（2-cos B）．（1）求角B的大小；（2）D为AB上一点，且满足CD=2，AC=4，锐角三角形△ACD的面积为，求BC的长．18.如图，四棱锥P-ABCD中，PA菱形ABCD所在的平面，∠ABC=60°，E是BC中点，M是PD的中点．（1）求证：平面AEM平面PAD；（2）若F是PC上的中点，且AB=AP=2，求三棱锥P-AMF的体积．19.我市南澳县是广东唯一的海岛县，海区面积广阔，发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的优势，所产的“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉．2019年某南澳牡蛎养殖基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量x（人）与年收益增量y（万元）的数据如下：该基地为了预测人工投入增量为人时的年收益增量，建立了与的两个回归模型：模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：；模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，对人工投入增量x做变换，令，则y=b•t+a，且有，，，．（1）根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程（精确到0.1）；（2）分别利用这两个回归模型，预测人工投入增量为16人时的年收益增量；（3）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数R2，并说明（2）中哪个附：若随机变量Z～N（μ，σ），则P（μ-3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.9987≈0.9871；样本（t i，y i）（i=1，2，…，n）的最小二乘估计公式为：，另，刻画回归效果的相关指数20.已知抛物线C的标准方程为y2=2px（p＞0），M为抛物线C上一动点，A（a，0）（a≠0）为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N．当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，△MON的面积为18．（1）求抛物线C的标准方程；（2）记t=，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由．21.已知f（x）=x2+ae x-ln x．（1）设x=是f（x）的极值点，求实数a的值，并求f（x）的单调区间；（2）当a＞0时，求证：f（x）＞．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数，a＞0）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．（1）设P是曲线C上的一个动点，若点P到直线l的距离的最大值为，求a的值；（2）若曲线C上任意一点（x，y）都满足y≥|x|+2，求a的取值范围．23.已知函数f（x）=|2x+k|+|x-2|（k∈R）．（1）若k=4，求不等式f（x）≥x2-2x-4的解集；（2）设k＜-4，当x∈[-1，2]时都有f（x）≥x2-2x+4，求k的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|log2x＞0}={x|x＞1}，B={0，1，2，3，4}，∴A∩B={2，3，4}．故选：C．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：∵复数，且，∴，即，则a=0．故选：A．利用商的模等于模的商列式求解a的值．本题考查复数模的求法，是基础的计算题．3.【答案】B【解析】【解答】解：先根据约束条件画出可行域，当直线z=2x+y过点A（2，-1）时，z最大是3，故选：B．【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大值即可．本小题主要考查线性规划问题，以及利用几何意义求最值，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本事件总数n==6，乙、丙两人恰好参加同一项活动包含的基本事件个数m==2，∴乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率p=．故选：B．先求出基本事件总数n==6，再求出乙、丙两人恰好参加同一项活动包含的基本事件个数m==2，由此能求出乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】B【解析】解：∵圆O：x2+y2=4（O为坐标原点）经过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴端点和两个焦点，∴b=2，c=2，则a2=b2+c2=8．∴椭圆C的标准方程为：，故选：B．根据圆O：x2+y2=4（O为坐标原点）经过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴端点和两个焦点，可得b，c，a，本题考查了椭圆的方程，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：因为•（+）=5，所以2=5，又因为||=2，||=1，设向量与的夹角为θ，所以cosθ=，又θ∈[0，π]，所以θ=，故选：C．由向量的数量积的运算及向量的夹角公式得：cosθ=，又θ∈[0，π]，所以θ=，得解．本题考查了向量的数量积的运算及向量的夹角，属中档题．7.【答案】C【解析】解：{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是正项等比数列，公比设为q，q＞0，由b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6，可得q2=q+2，q3=a1+2d+a1+4d，q4=a1+3d+2（a1+5d），即有q=2，a1=d=1，则a n=1+n-1=n，b n=2n-1，则a2018+b9=2018+28=2274．故选：C．{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是正项等比数列，公比设为q，q＞0，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公差、公比，即可得到所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则g（x）=sin[2（x-）+]=sin（2x-），∵x∈，∴2x∈[-，]，则2x-∈[-，]，∴当2x-=，时，g（x）取得最大值，最大值为sin=，故选：C．根据平移关系求出g（x）的解析式，然后求出角的等价范围，结合三角函数的最值性质进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式，以及角的范围，结合三角函数的最值性质是解决本题的关键．9.【答案】B【解析】解：∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，∴A1D∥B1C，OD∥B1D1，∵A1D∩DO=D，B1D1∩B1C=B1，∴平面A1DO∥平面B1CD1，∵A1O⊂平面A1DO，∴A1O∥平面B1CD1．故选：B．推导出A1D∥B1C，OD∥B1D1，从而平面A1DO∥平面B1CD1，由此能得到A1O∥平面B1CD1．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．10.【答案】D【解析】解：f′（x）=e x（cosx-sinx-a），若f（x）在区间上单调递减，则cosx-sinx-a≤0区间上恒成立，即a≥cosx-sinx，x∈，令h（x）=cosx-sinx=sin（-x），x∈，故-x∈（-，），故sin（-x）的最大值是1，此时-x=，即x=-，故h（x）的最大值是，故a≥，故选：D．求出函数的导数，问题转化为a≥cosx-sinx，x∈，令h（x）=cosx-sinx=sin（-x），x∈，根据三角函数的性质求出a的范围即可．本题考查了三角函数的性质，考查函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．11.【答案】A【解析】解：如图，设AC=x，由△APC的面积为2，得PA=，∵∠ABC=30°，∴三角形ABC外接圆的半径r=x，∵PA平面ABC，PA=，∴O到平面ABC的距离为d=PA=，设球O的半径为R，则R=，当且仅当时“=”成立．∴三棱锥P-ABC的外接球体积的最小值为．故选：A．由题意画出图形，设AC=x，由△APC的面积为2，得PA=，再由∠ABC=30°，得三角形ABC外接圆的半径r=x，求出球心到平面ABC的距离，再由勾股定理可得外接球的半径，利用基本不等式求得最小值，代入球的体积公式求解．本题考查了棱锥与球的位置关系，考查正弦定理的应用，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：令g（x）=0可得f（x）=，作出f（x）在（0，+∞）上的函数图象，如图所示：由图象可知f（x）=在（0，+∞）上有2解，又f（x）是偶函数，∴f（x）=在（-∞，0）上有2解，∴f（x）=有4解．故选：C．作出f（x）的函数图象，根据f（x）与y=的交点个数得出答案．本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数奇偶性的性质，属于中档题．13.【答案】3【解析】解：f（x）=（bx-1）e x+a得f′（x）=e x（bx+b-1），曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x．f′（0）=1，f（0）=0，即b-1=1，-1+a=0，解得a=1，b=2，则a+b=3，故答案为：3．求导函数，利用曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x，建立方程，可求a、b的值，进而得到所求和．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线方程的运用，考查运算能力，属于基础题．14.【答案】2【解析】解：有一种工艺品是由正三棱柱挖去一个圆锥所成，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2，圆锥的顶点为△ABC的中心，底面为△A1B1C1的内切圆，∴△AB1C1的高h==，1设底面为△A1B1C1的内切圆半径为r，则（r）2=r2+1，解得r=，∴该工艺品的体积为：V=-V圆锥=S△ABC×AA1-=-=2-．故答案为：2-．求出△A1B1C1的高h==，设底面为△A1B1C1的内切圆半径为r，则（r）2=r2+1，求出r=，从而该工艺品的体积为：V=-V圆锥，由此能求出结果．本题考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．15.【答案】363【解析】解：数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，a2=2，且a n+2=3S n-S n+1+3（n∈N*），所以：S n+2-S n+1=3S n-S n+1+3，整理得：S n+2=3S n+3当n=2时，S4=3S2+3=9+3=12．当n=4时，S6=3S4+3=36+3=39，当n=6时，S8=3S6+3=117+3=120，当n=8时，S10=3S8+3=360+3=363，故答案为：363．直接利用数列的关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的关系式的转换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．16.【答案】16【解析】解：根据双曲线，得：a=3，b=，由双曲线的定义可得：|AF2|-|AF1|=2a=6…①，|BF2|-|BF1|=2a=6…②，①+②可得：|AF2|+|BF2|-（|AF1|+|BF1|）=12，∵过双曲线的左焦点F1的直线交双曲线的左支于A，B两点，∴|AF1|+|BF1|=|AB|，当|AB|是双曲线的通径时|AB|最小．∴|AF2|+|BF2|-（|AF1|+|BF1|）=|AF2|+|BF2|-|AB|=12．|BF2|+|AF2|=|AB|+12≥+12=+12=16．故答案为：16．根据双曲线的标准方程可得：a=3，b=，再由双曲线的定义可得：|AF2|-|AF1|=2a=6，|BF2|-|BF1|=2a=6，所以得到|AF2|+|BF2|-（|AF1|+|BF1|）=12，再根据A、B两点的位置特征得到答案．本题考查两条线段和的最小值的求法，是中档题，解题时要注意双曲线的简单性质的合理运用．17.【答案】解：（1）由正弦定理得sin B sin A=sin A（2-cos B）．∵sin A≠0，∴sin B=2-cos B．即sin B+cos B=2，即2sin（B+）=2，即sin（B+）=1．∵0＜B＜π，∴B+=，即B=，即角B的大小为（2）△ACD的面积为S=×2×4sin∠ACD=，即sin∠ACD=，∵△ACD是锐角三角形，∴cos∠ACD==，由余弦定理得AD2=22+42-2×2×4×=4+16-4=16，则AD=4，在△ACD中，，∴sin A=，则△ABC中，=，得BC=，法2，∵△ACD的面积为S=×AD×BC sinB=，∴BC×=，故BC=．【解析】（1）根据正弦定理结合辅助角公式进行化简求解即可；（2）根据三角形的面积公式结合正弦定理进行求解即可．本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理以及辅助角公式，余弦定理以及辅助角公式进行转化是解决本题的关键．18.【答案】证明：（1）连结AC，∵底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，∴△ABC是正三角形，∵E是BC中点，∴AE BC，又AD∥BC，∴AE AD，∵PA平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA AE，∵PA∩AD=A，∴AE平面PAD，又AE⊂平面AEM，∴平面AEM平面PAD．解：（2）∵F是PC上的中点，且AB=AP=2，∴AD=2，AE=，∴三棱锥P-AMF的体积：V P-AMF=V M-APF==△===．【解析】（1）连结AC，推导出AE BC，AE AD，PA AE，从而AE平面PAD，由此能证明平面AEM平面PAD．（2）三棱锥P-AMF的体积：V P-AMF=V M-APF=，由此能求出结果．本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（1）由，，，得=≈21.3，∴=-i=38.9-21.3×2.5=-14.4，∴模型②中y关于x的回归方程为=2.13-14.4．（2）当x=16时，模型①年收益增量预测值为=4.1×16+11.8=77.4万元，模型②年收益增量预测值为=21.3×-14.4=70.8万元，（3）由表格中的数据，有182.4＞79.2，即＞，由R2的公式可知，模型①的R2的小于模型②的，这说明模型②拟合效果更好，在（2）中，用模型②预测当人工投入量x=16时，年收益增量为70.8万元，这一个预报值比模型①的77.4万精确度更高，更可靠【解析】（1）根据题意列方程组求出回归系数，模型②中y关于x的回归方程，（2）代值计算即可预测人工投入增量为16人时的年收益增量，（3）由R2的公式可知，模型①的R2的小于模型②的，这说明模型②拟合效果更好，故可得答案本题考查了线性回归方程与相关指数的应用问题，是中档题．20.【答案】解：（1）由题意，△ ，∴p=6，抛物线C的标准方程为y2=12x．…（5分）（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MN的方程为x=my+a，联立得y2-12my-12a=0，△=144m2+48a＞0，y1+y2=12m，y1y2=-12a，由对称性，不妨设m＞0，（ⅰ）a＜0时，∵y1y2=-12a＞0，∴y1，y2同号，又，∴，不论a取何值，t均与m有关，即a＜0时，A不是“稳定点”；（ⅱ）a＞0时，∵y1y2=-12a＜0，∴y1，y2异号，又，∴===，∴仅当，即a=3时，t与m无关，∴所求的“稳定点”为（3，0）…（12分）【解析】（1）根据三角形的面积公式求出p的值即可；（2）设出直线MN的方程，联立方程组，得到关于y的一元二次方程，通过讨论a的符号结合二次函数的性质解出即可．本题考查了抛物线的性质，考查新定义“稳定点”问题，考查二次函数的性质，是一道中档题．21.【答案】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．又，∵x=是f（x）的极值点，∴f=-2=0．∴a=．∵f′（x）在（0，+∞）上单调递增，且f．∴f′（x）＞0时，x＞，f′（x）＜0时，＜．∴f（x）的递减区间为（0，），递增区间为（，+∞）．（2）证法1，由（1）可得a＞0时，f′（x）=x+ae x-在（0，+∞）上单调递增．又因为f′（1）=1+ae-1=ae＞0，当x趋近于0时，f′（x）趋近于-∞．∴∃x0∈（0，1）使得f′（x0）=0，即．当x∈（0，x0）时，f′（x0）＜0，x∈（x0，+∞）时，f′（x0）＞0．∴f（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增．∴f（x）min=f（x0）=，（0＜x0＜1）令＜＜．，在（0，1）上g′（x）＜0，∴g′（x）单调递减，∴＞．∴当a＞0时，f（x）＞．方法2，令g（x）=，（x＞0），当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0．∴g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增．∴，∴．∵a＞0，∴ae x＞0．∴＞．【解析】（1）求得，利用f=-2=0．求得a=．再求f（x）的单调区间．（2）证法1，由（1）可得a＞0时，∃x0∈（0，1）使得f′（x0）=0，即．f （x）min=f（x0）=，（0＜x0＜1）令．利用导数可得f（x）＞．方法2，令g（x）=，（x＞0），利用导数可得．即可得．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数的零点问题，考查转化思想，是一道综合题．22.【答案】解：（1）依题意得曲线C的普通方程为：x2+（y-a）2=4，因为ρsin（θ-）=2，所以ρsinθ-ρcosθ=4，因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以直线l的直角坐标方程为：x-y-4=0，所以圆心C（0，a）到直线的距离为，依题意得+2=2+2，因为a＞0，解得a=8．（2）因为曲线C上任意一点（x，y）都满足y≥|x|+2，所以≥2，所以|a-2|，解得a≤2-2或a≥2+2，又a＞0，所以a的取值范围为[2+2，+∞）【解析】（1）圆C上动点P到直线l的距离的最大值为圆心（0，a）到直线的距离加上半径；（2）利用圆心（0，a）到直线y=x+2的距离大于等于圆C的半径2，解不等式可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）k=4时，函数f（x）=|2x+4|+|x-2|，所以f（x）=，＜，，＞，当x＜-2时，由f（x）≥x2-2x-4化为-3x-2≥x2-2x-4，解得-1≤x≤2，所以此时不等式无解；当-2≤x≤2时，由f（x）≥x2-2x-4化为x+6≥x2-2x-4，解得-2≤x≤5，所以是-2≤x≤2；当x＞2时，由f（x）≥x2-2x-4化为3x+2≥x2-2x-4，解得-1≤x≤6，所以是2＜x≤6；综上所述，不等式f（x）≥x2-2x-4的解集为{x|-2≤x≤6}；（2）设k＜-4，则-＞2，当x∈[-1，2]时，f（x）=-3x+2-k，不等式f（x）≥x2-2x+4化为-3x+2-k≥x2-2x+4，即x2+x+k+2≤0；设g（x）=x2+x+k+2，则g（x）≤0在x∈[-1，2]恒成立，即g（2）=4+2+k+2≤0，解得k≤-8，∴k的取值范围是（-∞，-8]．【解析】（1）k=4时，函数f（x）=|2x+4|+|x-2|，分类讨论去掉绝对值，求不等式f（x）≥x2-2x-4的解集；（2）由k＜-4，x∈[-1，2]，化简f（x），把不等式f（x）≥x2-2x+4转化为关于k的不等式恒成立问题，从而求出k的取值范围．本题考查了不等式恒成立问题，也考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，是中档题．。

2019年广东省高考数学一模试卷(文科)-含详细解析

2019年广东省高考数学一模试卷（文科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x-1＜2}，B={x|1＜2x＜16}，则A∩B=（）A. B. C. D.2.复数z=（i为虚数单位）的虚部为（）A. B. C. D.3.双曲线9x2-16y2=1的焦点坐标为（）A. B. C. D.4.若sin（）=，则cos2α=（）A. B. C. D.5.已知函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，且当x∈[-2，1]时，f（x）=x2-2x-4，则关于x的不等式f（x）＜-1的解集为（）A. B. C. D.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.7.执行如图的程序框图，依次输入x1=17，x2=19，x3=20，x4=21，x5=23，则输出的S值及其统计意义分别是（）A. ，即5个数据的方差为4B. ，即5个数据的标准差为4C. ，即5个数据的方差为20D. ，即5个数据的标准差为208.△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知cos C+cos A=1，则cos B的取值范围为（）A. B. C. D.9.已知A，B，C三点不共线，且点O满足16-12-3=，则（）A. B.C. D.10.古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足==≈0.618．后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为（）A. B. C. D.11.已知F为抛物线C：x2=4y的焦点，直线y=x+1与曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，则S△OAB=（）A. B. C. D.12.函数f（x）=（kx-2）ln x，g（x）=2ln x-x，若f（x）＜g（x）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数，则k的取值范围为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f（x）=，则f（f（2））=______．14.设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为______．15.在三棱锥P-ABC中，AP，AB，AC两两垂直，且AP=AB=AC=，则三棱锥P-ABC的内切球的表面积为______．16.已知函数f（x）=sin（ωx+）+（ω＞0），点P，Q，R是直线y=m（m＞0）与函数f（x）的图象自左至右的某三个相邻交点，且2|PQ|=|QR|=，则ω+m=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设数列{a n}的前n项和为S n，S n=1-a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，求数列{}的前n项和T n．18.在五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，CD=2DE=2AD=2AB=4，AC=2，∠EAD=30°．（1）证明：AB⊥平面ADE；（2）求该五面体的体积．19.某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，调查小组先从这组数据中选取组数据求线性回归方程，再用剩下的组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数y的差，若差值的绝对值都不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”．（1）从这6组数据中随机选取4组数据后，求剩下的2组数据的间隔时间不相邻的概率；（2）若选取的是后面4组数据，求y关于x的线性回归方程=x+，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；（3）为了使等候的乘客不超过35人，试用（2）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），……，（x n，y n），其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：==，=．20.已知点（1，），（，）都在椭圆C：=1（a＞b＞0）上．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（0，1）的直线l与椭圆C交于不同两点P，Q（异于顶点），记椭圆与y轴的两个交点分别为A1，A2，若直线A1P与A2Q交于点S，证明：点S恒在直线y=4上．21.已知函数f（x）=e x-2ax（a∈R）（1）若曲线y=f（x）在x=0处的切线与直线x+2y-2=0垂直，求该切线方程；（2）当a＞0时，证明f（x）≥-4a2+4a22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（θ为参数）已知点Q（4，0），点P是曲线C l上任意一点，点M为PQ的中点，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M的轨迹C2的极坐标方程；（2）已知直线l：y=kx与曲线C2交于A，B两点，若=3，求k的值．23.已知函数f（x）=|x+a|+2|x-1|（a＞0）．（1）求f（x）的最小值；（2）若不等式f（x）-5＜0的解集为（m，n），且n-m=，求a的值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A={x|x-1＜2}=（-∞，3），B={x|1＜2x＜16}=（0，4）∴A∩B=（0，3）．故选：D．由A与B，求出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.【答案】B【解析】解：∵z==，∴z=的虚部为．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】B【解析】解：双曲线9x2-16y2=1的标准方程为：，可得a=，b=，c==，所以双曲线的焦点坐标为（0，±）．故选：B．直接利用双曲线的方程求解a，b，c得到焦点坐标即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．4.【答案】B【解析】解：sin（）=-cosα=，则cos2α=2cos2α-1=-，故选：B．利用诱导公式求得cosα的值，再利用二倍角公式求得cos2α的值．本题主要考查利用诱导公式、二倍角公式进行化简三角函数式，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：∵x∈[-2，1]时，f（x）=x2-2x-4；∴f（-1）=-1；∵f（x）在（-∞，+∞）上单调递减；∴由f（x）＜-1得，f（x）＜f（-1）；∴x＞-1；∴不等式f（x）＜-1的解集为（-1，+∞）．故选：D．根据条件可得出f（-1）=-1，根据f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，即可由f（x）＜-1得出f（x）＜f（-1），从而得到x＞-1，即得出原不等式的解集．考查减函数的定义，已知函数求值的方法，根据函数单调性解不等式的方法．6.【答案】A【解析】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，∴组合体的体积是：=3π，故选：A．几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，根据体积公式得到结果．本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原直观图，本题是一个基础题，题目的运算量比较小，若出现是一个送分题目．7.【答案】A【解析】解：根据程序框图，输出的S是x1=17，x2=19，x3=20，x4=21，x5=23这5个数据的方差，∵=（17+19+20+21+23）=20，∴由方差的公式S=[（17-20）2+（19-20）2+（20-20）2+（21-20）2+（23-20）2]=4．故选：A．根据程序框图，输出的S是x1=17，x2=19，x3=20，x4=21，x5=23这5个数据的方差，先求这5个数的均值，然后代入方差公式计算即可．本题通过程序框图考查了均值和方差，解决问题的关键是通过程序框图能得出这是一个求数据方差的问题，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：∵cosC+cosA=1，∴由余弦定理可得：•+•=1，化简可得：b2=ac，由余弦定理可得；cosB==≥=，∴≤cosB＜1，即：cosB∈[，1）．故选：D．由余弦定理化简已知等式可得b2=ac，由余弦定理，基本不等式可求cosB≥，结合余弦函数的性质即可得解．本题考查了余弦定理、基本不等式以及余弦函数的性质的综合应用，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：由题意，可知：对于A：==，整理上式，可得：16-12-3=，这与题干中条件相符合，故选：A．本题可将四个选项中的式子进行转化成与题干中式子相近，再比较，相同的那项即为答案．本题主要考查向量加减、数乘的运算，属基础题．10.【答案】B【解析】解：设BC=a，由点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，所以BQ=，CP=，所以PQ=BQ+CP-BC=（）a，S△APQ：S△ABC=PQ：BC=（-2）a：a=-2，由几何概型中的面积型可得：在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为=，故选：B．先阅读题意，理解“黄金分割”，再结合几何概型中的面积型可得：BQ=，CP=，所以PQ=BQ+CP-BC=（）a，S△APQ：S△ABC=PQ：BC=（-2）a：a=-2，则在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为=，得解．本题考查了阅读能力及几何概型中的面积型，属中档题．11.【答案】C【解析】解：抛物线C：x2=4y的焦点（0，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），由，整理得：x2-2x-4=0，由韦达定理可知：x1+x2=2，y1+y2=3由抛物线的性质可知：|AB|=p+y1+y2=2+3=5，点O到直线y=x+1的距离d，d=．∴则△OAB的面积S，S=•|AB|•d=．故选：C．根据抛物线的方程求得焦点坐标，根据直线的倾斜角求得直线方程，代入抛物线方程，利用韦达定理求得x1+x2，由抛物线的性质可知|AB|=p+y1+y2，利用点到直线的距离公式求得O到直线y=x+1的距离d，根据三角形的面积公式S=•|AB|•d，即可求得则△OAB的面积．本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，点到直线的距离公式及三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：当x＞1时，lnx＞0，由f（x）＜g（x）得（kx-2）lnx＜2lnx-x，即kx-2＜2-，即kx＜4-，设h（x）=4-，则h′（x）=-=-，由h′（x）＞0得-（lnx-1）＞0得lnx＜1，得1＜x＜e，此时h（x）为增函数，由h′（x）＜0得-（lnx-1）＜0得lnx＞1，得x＞e，此时h（x）为减函数，即当x=e时，h（x）取得极大值h（e）=4-=4-e，作出函数h（x）的图象，如图，当x→1时，h（x）→-∞，h（3）=4-，h（4）=4-=4-，即A（3，4-），B（4，4-），当直线y=kx过A，B点时对应的斜率k A==-，k B==1-，要使f（x）＜g（x）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数，则对应的整数为x=2，和x=3，即直线y=kx的斜率k满足k B＜k≤k B，即1-＜k≤-，即实数k的取值范围是（1-，-]，故选：B．将不等式f（x）＜g（x）转化为kx＜4-，设h（x）=4-，求函数的导数，研究函数的极值和图象，利用数形结合确定使f（x）＜g（x）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数为2，3，然后求出对应点的坐标和对应直线y=kx的斜率，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用转化法转化为两个函数图象交点问题，可以数形结合求出对应两点的坐标和斜率是解决本题的关键．13.【答案】2【解析】解：f（2）=ln2，∴f（f（2））=f（ln2）=e ln2=2．故答案为：2．利用分段函数的定义、对数的恒等式即可得出．本题考查了分段函数的定义、对数的恒等式，属于基础题．14.【答案】7【解析】解：画出x，y满足约束条件表示的平面区域，如图所示，由，解得点A（3，1），结合图形知，直线2x+y-z=0过点A时，z=2x+y取得最大值为2×3+1=7．故答案为：7．画出约束条件表示的平面区域，结合图形找出最优解，求出z的最大值．本题考查了线性规划的简单应用问题，是基础题．15.【答案】【解析】解：如图，由AP，AB，AC两两垂直，且AP=AB=AC=，得，∴，设三棱锥P-ABC的内切球的半径为r，利用等体积可得：，解得r=．∴三棱锥P-ABC的内切球的表面积为S=．故答案为：．由题意画出图形，利用等体积法求出多面体内切球的半径，则球的表面积可求．本题考查多面体内切球表面积的求法，训练了利用等积法求多面体内切球的半径，是中档题．16.【答案】3【解析】解：函数f（x）=sin（ωx+）+（ω＞0），由2|PQ|=|QR|=，解得|PQ|=，∴T=|PQ|+|QR|=π，∴ω==2，设P（x0，m），则Q（-x0，m），R（T+x0，m），∴|PQ|=-2x0，|QR|=+2x0，∴2（-2x0）=+2x0，解得x0==，∴m=sin（2×）+=+=1，∴ω+m=2+1=3．故答案为：3．根据题意求出函数f（x）的最小正周期T，得出ω的值，再求出m的值，即可求出ω+m的值．本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是中档题．17.【答案】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，S n=1-a n（n∈N*）①．当n=1时，解得：，当n≥2时，S n-1=1-a n-1．②①-②得：2a n=a n-1，所以：（常数），故：数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列．则：（首项符合通项），所以：．（2）由于：，则：b n=log2a n=-n．所以：b n+1=-（n+1），则：，故：=．【解析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用．主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】解：（1）证明：因为AD=2，DC=4，AC=2，所以AD2+DC2=AC2，所以AD⊥CD，又四边形CDEF为矩形，所以CD⊥DE，所以CD⊥面ADE，所以EF⊥面ADE，由线面平行的性质定理得：AB∥EF，所以AB⊥面ADE（2）几何体补形为三棱柱，DE=2，AD=2，AB=2，∠EAD=30°．可得E到底面ABCD 的距离为：2sin60°=，该五面体的体积为棱柱的体积减去三棱锥F-BCH的体积，可得=4=．【解析】（1）证明AD⊥CD，CD⊥DE，推出CD⊥面ADE，然后证明AB⊥平面ADE；（2）转化几何体的体积为棱柱的体积，减去三棱锥的体积，即可求该五面体的体积．本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力．19.【答案】解：（1）设“从这6组数据中随机选取4组数据后，剩下的2组数据不相邻”为事件A，记这六组数据分别为1，2，3，4，5，6，剩下的两组数据的基本事件有12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15种，其中相邻的有12，23，34，45，56，共5种，所以．（2）后面4组数据是：因为，，，，所以，，所以．当x=10时，，当x=11时，，所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”．（3）由1.4x+9.6≤35，得，故间隔时间最多可设置为18分钟．【解析】（1）由题意结合古典概型计算公式确定概率值即可；（2）首先求得回归方程，然后确定其是否为“恰当回归方程”即可；（3）结合（2）中求得的结论得到不等式，求解不等式即可确定间隔时间．本题主要考查古典概型计算公式，线性回归方程及其应用等知识，属于中等题．20.【答案】解：（1）由题意可得，解得a2=4，b2=2，故椭圆C的方程为+=1．证明：（2）易知直线l的斜率存在且不为0，设过点M（0，1）的直线l方程为y=kx+1，（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由，消y可得（k2+2）x2+2kx-3=0，∴x1+x2=-，x1x2=-，∵A1（0，2），A2（0，-2），∴直线A1P的方程为y=x+2=•x+2=（k-）x+2，则直线A2Q的方程为y=x-2=（k+）-2，由，消x可得=，整理可得y===+4=+4=4，直线A1P与A2Q交于点S，则点S恒在直线y=4上【解析】（1）由题意可得，解得a2=4，b2=2得椭圆方程，（2）先设出直线l的方程，再分别求出直线A1P的方程，直线A2Q的方程，联立，消x整理可得y=，根据韦达定理化简整理可得直线y=4 本题考查了椭圆方程的求法，直线和椭圆的位置关系，直线方程的求法，考查了运算求解能力，属于中档题21.【答案】（1）解：f′（x）=e x-2a，f′（0）=1-2a=2，解得：a=-，∴f（x）=e x+x，则f（0）=1．∴切线方程为y=2x+1；（2）证明：f′（x）=e x-2a，由f′（x）=e x-2a=0，解得x=ln2a．∴当x∈（-∞，ln2a）时，f′（x）＜0，当x∈（ln2a，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）在（-∞，ln2a）上单调递减，在（ln2a，+∞）上单调递增．∴f（x）min=f（ln2a）=e ln2a-2a ln2a=2a-2a ln2a．令g（a）=2a-2a ln2a+4a2-4a=2a2-2a-2a ln2a（a＞0）．要证g（a）≥0，即证a-1-ln2a≥0，令h（a）=a-1-ln2a，则h′（a）=1-=，当a∈（0，1）时，h′（a）＜0，当a∈（1，+∞）时，h′（a）＞0，∴h（a）≥h（1）=0，即a-1-ln2a≥0．∴f（x）≥-4a2+4a．【解析】（1）求出函数的导数，计算f′（0），得到关于a的方程，求得a，得到函数解析式，求得f（0），再由直线方程点斜式得答案；（2）把证明f（x）≥-4a2+4a转化为证f（x）的最小值大于等于-4a2+4a，即证a-1-ln2a≥0，令h（a）=a-1-ln2a，求其最小值大于等于0即可．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的最值，是中档题．22.【答案】解：（1）消去θ得曲线C1的普通方程为：x2+y2=4，设M （x ，y ）则P （2x -4，2y ）在曲线C 1上，所以（2x -4）2+（2y ）2=4，即（x -2）2+y 2=1，即x 2+y 2-4x +3=0，C 2轨迹的极坐标方程为：ρ2-4ρcosθ+3=0．（2）如图：取AB 的中点M ，连CM ，CA ，在直角三角形CMA 中，CM 2=CA 2-（ AB ）2=1-AB 2，① 在直角三角形CMO 中，CM 2=OC 2-OM 2=4-（ AB ）2=4-AB 2，②由①②得AB = ，∴OM =，CM =，k ===．【解析】（1）消去θ得曲线C 1的普通方程为：x 2+y 2=4；设出M 的坐标后利用中点公式得到P 的坐标后代入C 1德轨迹C 2的直角坐标方程，再化成极坐标方程；（2）如图：取AB 的中点M ，连CM ，CA ，在两个直角三角形中，根据勾股定理解得CM ，OM 后可得斜率．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．23.【答案】解：（1）f （x ）= ，，＜＜，，∴x =1时，f （x ）的最小值为a +1．（2）如图所示：当a +1＜5＜2a +2即＜a ＜4时，f （x ）-5＜0的解集为（a -3，1-），∴1--a +3=4- =，∴a =2符合，当2a +2≤5即0＜a ≤时，f （x ）的解集为（ --1，1-），∴1- ++1=2≠．综上可得a =2．【解析】（1）去绝对值变成分段函数可求得最小；（2）结合分段函数的图象，按照两种情况讨论可得．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。

汕头市2019届普通高考第一次模拟考试(文数)

汕头市2019届普通高考第一次模拟考试数学（文科）本试题卷共5页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合2{|log 1},{0,12,34}A x x B =>=，，，则A B =I （） A ．{0,12}， B ．{123}，， C ．{2,34}， D ．{3}，42．已知,i R a ∈是虚数单位，复数2i1ia z +=+，若z =a = （） A ．0B ．2C ．2-D ．13．设,x y 满足约束条件1y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩1-，则2z x y =+的最大值为（）A ．2B ．3C ．4D ．54．现有甲、乙、丙、丁 4 名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A ．12B ．13C ．16D ．1125．已知圆4:22=+y x O ( O 为坐标原点)经过椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的短轴端点和两个焦点，则椭圆C 的标准方程为A ．22142x y += B ．22184x y += C ．221164x y += D ．2213216x y += 6．已知向量,a b r r 满足5)(=+⋅b a a ，且||2,||1a b ==r r ，则向量a r 与b r的夹角为（）A ．6π B ．4π C ．3πD ．23π7．已知}{n a 是等差数列，}{n b 是正项等比数列，且6455342312,,2,1a a b a a b b b b +=+=+==，则=+92018b aA ．2026B ．2027C ．2274D ．25308、将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则()g x 在3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为（） A ．12B．2 C．2 D ．19．在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 是四边形ABCD 的中心，关于直线1A O ，下列说法正确的是（） A ．11//A O D CB ．1//A O 平面11B CDC ．1A O BC ⊥D ．1A O ⊥平面11AB D10．若函数()(cos )xf x e x a =-在区间,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，则实数a 的取值范围是（） A．()+∞ B ．(1,)+∞ C ．[1,)+∞ D ．)+∞ 11．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,30,ABC ABC APC ∠=︒△的面积为2，则三棱锥P ABC -的外接球体积的最小值为（） A ．4πB ．43πC ．64πD ．323π12．已知函数)(x f 是定义在),0()0,(+∞-∞Y 上的偶函数，当0>x 时，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<=-2),2(2120,2)(1x x f x x f x ，则函数1)(2)(-=x f x g 的零点个数为A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分。

(晨鸟)2019年广东省高考数学一模试卷(文科)

2019年广东省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A ＝{x|x ﹣1＜2}，B ＝{x|1＜2x＜16}，则A ∩B ＝（）A ．（﹣∞，8）B ．（﹣∞，3）C ．（0，8）D ．（0，3）2．（5分）复数z ＝（i 为虚数单位）的虚部为（）A ．B ．C ．D ．3．（5分）双曲线9x 2﹣16y 2＝1的焦点坐标为（）A ．（±，0）B ．（0，）C ．（±5，0）D ．（0，±5）4．（5分）若sin （）＝，则cos2α＝（）A ．B ．C ．D ．5．（5分）已知函数f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递减，且当x ∈[﹣2，1]时，f （x ）＝x2﹣2x ﹣4，则关于x 的不等式f （x ）＜﹣1的解集为（）A ．（﹣∞，﹣1）B ．（﹣∞，3）C ．（﹣1，3）D ．（﹣1，+∞）6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．3πB ．4πC ．6πD ．8π7．（5分）执行如图的程序框图，依次输入x 1＝17，x 2＝19，x 3＝20，x 4＝21，x 5＝23，则输出的S 值及其统计意义分别是（）A．S＝4，即5个数据的方差为4B．S＝4，即5个数据的标准差为4C．S＝20，即5个数据的方差为20D．S＝20，即5个数据的标准差为208．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知cosC+cosA＝1，则cosB 的取值范围为（）A．（）B．[）C．（，1）D．[，1）9．（5分）已知A，B，C三点不共线，且点O满足16﹣12﹣3＝，则（）A．＝12+3B．＝12﹣3C．＝﹣12+3D．＝﹣12﹣310．（5分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足＝＝≈0.618．后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在△ABC 内任取一点M ，则点M 落在△APQ 内的概率为（）A ．B ．﹣2C ．D ．11．（5分）已知F 为抛物线C ：x 2＝4y 的焦点，直线y ＝x+1与曲线C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则S △OAB ＝（）A ．B ．C ．D ．212．（5分）函数f （x ）＝（kx ﹣2）lnx ，g （x ）＝2lnx ﹣x ，若f （x ）＜g （x ）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数，则k 的取值范围为（）A ．[1﹣，﹣）B ．（1﹣，﹣]C ．[﹣，2﹣）D ．（﹣，2﹣]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．（5分）已知函数f （x ）＝，则f （f （2））＝．14．（5分）设x ，y 满足约束条件，则z ＝2x+y 的最大值为．15．（5分）在三棱锥P ﹣ABC 中，AP ，AB ，AC 两两垂直，且AP ＝AB ＝AC ＝，则三棱锥P ﹣ABC 的内切球的表面积为．16．（5分）已知函数f （x ）＝sin （ωx+）+（ω＞0），点P ，Q ，R 是直线y ＝m （m ＞0）与函数f （x ）的图象自左至右的某三个相邻交点，且2|PQ|＝|QR|＝，则ω+m ＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝1﹣a n （n ∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n＝log2a n，求数列{}的前n项和T n．18．（12分）在五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，CD＝2DE＝2AD＝2AB＝4，AC ＝2，∠EAD＝30°．（1）证明：AB⊥平面ADE；（2）求该五面体的体积．19．（12分）某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，经过调查得到如下数据：间隔时间/101112131415分等候人数y/232526292831人调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数y的差，若差值的绝对值都不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”．（1）从这6组数据中随机选取4组数据后，求剩下的2组数据的间隔时间不相邻的概率；（2）若选取的是后面4组数据，求y关于x的线性回归方程＝x+，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；（3）为了使等候的乘客不超过35人，试用（2）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），……，（x n，y n），其回归直线＝x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝＝，＝．20．（12分）已知点（1，），（）都在椭圆C ：＝1（a ＞b ＞0）上．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M （0，1）的直线l 与椭圆C 交于不同两点P ，Q （异于顶点），记椭圆与y 轴的两个交点分别为A 1，A 2，若直线A 1P 与A 2Q 交于点S ，证明：点S 恒在直线y ＝4上．21．（12分）已知函数f （x ）＝e x﹣2ax （a ∈R ）（1）若曲线y ＝f （x ）在x ＝0处的切线与直线x+2y ﹣2＝0垂直，求该切线方程；（2）当a ＞0时，证明f （x ）≥﹣4a 2+4a (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为，（θ为参数）已知点Q （4，0），点P 是曲线?l 上任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M 的轨迹C 2的极坐标方程；（2）已知直线l ：y ＝kx 与曲线C 2交于A ，B 两点，若＝3，求k 的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x+a|+2|x ﹣1|（a ＞0）．（1）求f （x ）的最小值；（2）若不等式f （x ）﹣5＜0的解集为（m ，n ），且n ﹣m ＝，求a 的值．2019年广东省高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A ＝{x|x ﹣1＜2}，B ＝{x|1＜2x＜16}，则A ∩B ＝（）A ．（﹣∞，8）B ．（﹣∞，3）C ．（0，8）D ．（0，3）【分析】由A 与B ，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵集合A ＝{x|x ﹣1＜2}＝（﹣∞，3），B ＝{x|1＜2x＜16}＝（0，4）∴A ∩B ＝（0，3）．故选：D ．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）复数z ＝（i 为虚数单位）的虚部为（）A ．B ．C ．D ．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z ＝＝，∴z ＝的虚部为．故选：B ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（5分）双曲线9x 2﹣16y 2＝1的焦点坐标为（）A ．（±，0）B ．（0，）C ．（±5，0）D ．（0，±5）【分析】直接利用双曲线的方程求解a ，b ，c 得到焦点坐标即可．【解答】解：双曲线9x 2﹣16y 2＝1的标准方程为：，可得a ＝，b ＝，c ＝＝，所以双曲线的焦点坐标为（±，0）．故选：A ．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．4．（5分）若sin（）＝，则cos2α＝（）A．B．C．D．【分析】利用诱导公式求得cosα的值，再利用二倍角公式求得cos2α的值．【解答】解：sin（）＝﹣cosα＝，则cos2α＝2cos2α﹣1＝﹣，故选：B．【点评】本题主要考查利用诱导公式、二倍角公式进行化简三角函数式，属于基础题．2 5．（5分）已知函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，且当x∈[﹣2，1]时，f（x）＝x﹣2x﹣4，则关于x的不等式f（x）＜﹣1的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，+∞）【分析】根据条件可得出f（﹣1）＝﹣1，根据f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，即可由f（x）＜﹣1得出f（x）＜f（﹣1），从而得到x＞﹣1，即得出原不等式的解集．【解答】解：∵x∈[﹣2，1]时，f（x）＝x2﹣2x﹣4；∴f（﹣1）＝﹣1；∵f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减；∴由f（x）＜﹣1得，f（x）＜f（﹣1）；∴x＞﹣1；∴不等式f（x）＜﹣1的解集为（﹣1，+∞）．故选：D．【点评】考查减函数的定义，已知函数求值的方法，根据函数单调性解不等式的方法．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3πB．4πC．6πD．8π【分析】几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，根据体积公式得到结果．【解答】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，∴组合体的体积是：＝3π，故选：A．【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原直观图，本题是一个基础题，题目的运算量比较小，若出现是一个送分题目．7．（5分）执行如图的程序框图，依次输入x1＝17，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝23，则输出的S值及其统计意义分别是（）A．S＝4，即5个数据的方差为4B．S＝4，即5个数据的标准差为4C．S＝20，即5个数据的方差为20D．S＝20，即5个数据的标准差为20【分析】根据程序框图，输出的S是x1＝17，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝23这5个数据的方差，先求这5个数的均值，然后代入方差公式计算即可．【解答】解：根据程序框图，输出的S是x1＝17，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝23这5个数据的方差，∵＝（17+19+20+21+23）＝20，∴由方差的公式S＝[（17﹣20）2+（19﹣20）2+（20﹣20）2+（21﹣20）2+（23﹣20）2]＝4．故选：A．【点评】本题通过程序框图考查了均值和方差，解决问题的关键是通过程序框图能得出这是一个求数据方差的问题，属于基础题．8．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知cosC+cosA＝1，则cosB 的取值范围为（）A．（）B．[）C．（，1）D．[，1）【分析】由余弦定理化简已知等式可得b2＝ac，由余弦定理，基本不等式可求cosB≥，结合余弦函数的性质即可得解．【解答】解：∵cosC+cosA＝1，∴由余弦定理可得：?+?＝1，化简可得：b2＝ac，由余弦定理可得；cosB＝＝≥＝，∴≤cosB＜1，即：cosB∈[，1）．故选：D．【点评】本题考查了余弦定理、基本不等式以及余弦函数的性质的综合应用，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．9．（5分）已知A，B，C三点不共线，且点O满足16﹣12﹣3＝，则（）A．＝12+3B．＝12﹣3C．＝﹣12+3D．＝﹣12﹣3【分析】本题可将四个选项中的式子进行转化成与题干中式子相近，再比较，相同的那项即为答案．【解答】解：由题意，可知：对于A：＝＝，整理上式，可得：16﹣12﹣3＝，这与题干中条件相符合，故选：A．【点评】本题主要考查向量加减、数乘的运算，属基础题．10．（5分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足＝＝≈0.618．后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为（）A．B．﹣2C．D．【分析】先阅读题意，理解“黄金分割”，再结合几何概型中的面积型可得：BQ＝，CP＝，所以PQ＝BQ+CP﹣BC＝（）a，S△APQ：S△ABC＝PQ：BC＝（﹣2）a：a＝﹣2，则在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为＝，得解．【解答】解：设BC＝a，由点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，所以BQ＝，CP＝，所以PQ＝BQ+CP﹣BC＝（）a，S△APQ：S△ABC＝PQ：BC＝（﹣2）a：a＝﹣2，由几何概型中的面积型可得：在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为＝，故选：B．【点评】本题考查了阅读能力及几何概型中的面积型，属中档题．11．（5分）已知F 为抛物线C ：x 2＝4y 的焦点，直线y ＝x+1与曲线C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则S △OAB ＝（）A ．B ．C ．D ．2【分析】根据抛物线的方程求得焦点坐标，根据直线的倾斜角求得直线方程，代入抛物线方程，利用韦达定理求得x 1+x 2，由抛物线的性质可知|AB|＝p+y 1+y 2，利用点到直线的距离公式求得O 到直线y ＝x+1的距离d ，根据三角形的面积公式S ＝?|AB |?d ，即可求得则△OAB 的面积．【解答】解：抛物线C ：x 2＝4y 的焦点（0，1），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由，整理得：x 2﹣2x ﹣4＝0，由韦达定理可知：x 1+x 2＝2，y 1+y 2＝3由抛物线的性质可知：|AB|＝p+y 1+y 2＝2+3＝5，点O 到直线y ＝x+1的距离d ，d ＝．∴则△OAB 的面积S ，S ＝?|AB|?d ＝．故选：C ．【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，点到直线的距离公式及三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．12．（5分）函数f （x ）＝（kx ﹣2）lnx ，g （x ）＝2lnx ﹣x ，若f （x ）＜g （x ）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数，则k 的取值范围为（）A ．[1﹣，﹣）B ．（1﹣，﹣]C ．[﹣，2﹣）D ．（﹣，2﹣]【分析】将不等式f （x ）＜g （x ）转化为kx ＜4﹣，设h （x ）＝4﹣，求函数的导数，研究函数的极值和图象，利用数形结合确定使f （x ）＜g （x ）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数为2，3，然后求出对应点的坐标和对应直线y ＝kx 的斜率，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：当x ＞1时，lnx ＞0，由f（x）＜g（x）得（kx﹣2）lnx＜2lnx﹣x，即kx﹣2＜2﹣，即kx＜4﹣，设h（x）＝4﹣，则h′（x）＝﹣＝﹣，由h′（x）＞0得﹣（lnx﹣1）＞0得lnx＜1，得1＜x＜e，此时h（x）为增函数，由h′（x）＜0得﹣（lnx﹣1）＜0得lnx＞1，得x＞e，此时h（x）为减函数，即当x＝e时，h（x）取得极大值h（e）＝4﹣＝4﹣e，作出函数h（x）的图象，如图，当x→1时，h（x）→﹣∞，h（3）＝4﹣，h（4）＝4﹣＝4﹣，即A（3，4﹣），B（4，4﹣），当直线y＝kx过A，B点时对应的斜率k A＝＝﹣，k B＝＝1﹣，要使f（x）＜g（x）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数，则对应的整数为x＝2，和x＝3，即直线y＝kx的斜率k满足k B＜k≤k B，即1﹣＜k≤﹣，即实数k的取值范围是（1﹣，﹣]，故选：B．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用转化法转化为两个函数图象交点问题，可以数形结合求出对应两点的坐标和斜率是解决本题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（2））＝2．【分析】利用分段函数的定义、对数的恒等式即可得出．【解答】解：f（2）＝ln2，∴f（f（2））＝f（ln2）＝e ln2＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了分段函数的定义、对数的恒等式，属于基础题．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为7．【分析】画出约束条件表示的平面区域，结合图形找出最优解，求出z的最大值．【解答】解：画出x，y满足约束条件表示的平面区域，如图所示，由，解得点A（3，1），结合图形知，直线2x+y﹣z＝0过点A时，z＝2x+y取得最大值为2×3+1＝7．故答案为：7．【点评】本题考查了线性规划的简单应用问题，是基础题．15．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，AP，AB，AC两两垂直，且AP＝AB＝AC＝，则三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积为．【分析】由题意画出图形，利用等体积法求出多面体内切球的半径，则球的表面积可求．【解答】解：如图，由AP，AB，AC两两垂直，且AP＝AB＝AC＝，得，∴，设三棱锥P﹣ABC的内切球的半径为r，利用等体积可得：，解得r＝．∴三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积为S＝．故答案为：．【点评】本题考查多面体内切球表面积的求法，训练了利用等积法求多面体内切球的半径，是中档题．16．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+）+（ω＞0），点P，Q，R是直线y＝m（m＞0）与函数f（x）的图象自左至右的某三个相邻交点，且2|PQ|＝|QR|＝，则ω+m＝3．【分析】根据题意求出函数f（x）的最小正周期T，得出ω的值，再求出m的值，即可求出ω+m的值．【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+）+（ω＞0），由2|PQ|＝|QR|＝，解得|PQ|＝，∴T＝|PQ|+|QR|＝π，∴ω＝＝2，设P（x0，m），则Q（﹣x0，m），R（T+x0，m），∴|PQ|＝﹣2x0，|QR|＝+2x0，∴2（﹣2x0）＝+2x0，解得x0＝＝，∴m＝sin（2×）+＝+＝1，∴ω+m＝2+1＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，S n＝1﹣a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log2a n，求数列{}的前n项和T n．【分析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，S n＝1﹣a n（n∈N*）①．当n＝1时，解得：，当n≥2时，S n﹣1＝1﹣a n﹣1．②①﹣②得：2a n＝a n﹣1，所以：（常数），故：数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列．则：（首项符合通项），所以：．（2）由于：，则：b n＝log2a n＝﹣n．所以：b n+1＝﹣（n+1），则：，故：＝．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用．主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18．（12分）在五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，CD＝2DE＝2AD＝2AB＝4，AC ＝2，∠EAD＝30°．（1）证明：AB⊥平面ADE；（2）求该五面体的体积．【分析】（1）证明AD⊥CD，CD⊥DE，推出CD⊥面ADE，然后证明AB⊥平面ADE；（2）转化几何体的体积为棱柱的体积，减去三棱锥的体积，即可求该五面体的体积．【解答】解：（1）证明：因为AD＝2，DC＝4，AC＝2，所以AD2+DC2＝AC2，所以AD⊥CD，又四边形CDEF为矩形，所以CD⊥DE，所以CD⊥面ADE，所以EF⊥面ADE，由线面平行的性质定理得：AB∥EF，所以AB⊥面ADE（2）几何体补形为三棱柱，DE＝2，AD＝2，AB＝2，∠EAD＝30°．可得E到底面ABCD 的距离为：2sin60°＝，该五面体的体积为棱柱的体积减去三棱锥F﹣BCH的体积，可得＝4＝．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力．19．（12分）某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，经过调查得到如下数据：间隔时间/101112131415分等候人数y/232526292831人调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数y的差，若差值的绝对值都不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”．（1）从这6组数据中随机选取4组数据后，求剩下的2组数据的间隔时间不相邻的概率；（2）若选取的是后面4组数据，求y关于x的线性回归方程＝x+，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；（3）为了使等候的乘客不超过35人，试用（2）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），……，（x n，y n），其回归直线＝x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝＝，＝．【分析】（1）由题意结合古典概型计算公式确定概率值即可；（2）首先求得回归方程，然后确定其是否为“恰当回归方程”即可；（3）结合（2）中求得的结论得到不等式，求解不等式即可确定间隔时间．【解答】解：（1）设“从这6组数据中随机选取4组数据后，剩下的2组数据不相邻”为事件A，记这六组数据分别为1，2，3，4，5，6，剩下的两组数据的基本事件有12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15种，其中相邻的有12，23，34，45，56，共5种，所以．（2）后面4组数据是：间隔时间（x分钟）12131415等候人数（y人）26292831因为，，所以，，所以．当x＝10时，，当x＝11时，，所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”．（3）由1.4x+9.6≤35，得，故间隔时间最多可设置为18分钟．【点评】本题主要考查古典概型计算公式，线性回归方程及其应用等知识，属于中等题．20．（12分）已知点（1，），（）都在椭圆C：＝1（a＞b＞0）上．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（0，1）的直线l与椭圆C交于不同两点P，Q（异于顶点），记椭圆与y轴的两个交点分别为A1，A2，若直线A1P与A2Q交于点S，证明：点S恒在直线y＝4上．【分析】（1）由题意可得，解得a2＝4，b2＝2得椭圆方程，（2）先设出直线l的方程，再分别求出直线A1P的方程，直线A2Q的方程，联立，消x 整理可得y＝，根据韦达定理化简整理可得直线y＝4【解答】解：（1）由题意可得，解得a2＝4，b2＝2，故椭圆C的方程为+＝1．证明：（2）易知直线l的斜率存在且不为0，设过点M（0，1）的直线l方程为y＝kx+1，（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由，消y可得（k2+2）x2+2kx﹣3＝0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，∵A1（0，2），A2（0，﹣2），∴直线A 1P 的方程为y ＝x+2＝?x+2＝（k ﹣）x+2，则直线A 2Q 的方程为y ＝x ﹣2＝（k+）﹣2，由，消x 可得＝，整理可得y ＝＝＝+4＝+4＝4，直线A 1P 与A 2Q 交于点S ，则点S 恒在直线y ＝4上【点评】本题考查了椭圆方程的求法，直线和椭圆的位置关系，直线方程的求法，考查了运算求解能力，属于中档题21．（12分）已知函数f （x ）＝e x﹣2ax （a ∈R ）（1）若曲线y ＝f （x ）在x ＝0处的切线与直线x+2y ﹣2＝0垂直，求该切线方程；（2）当a ＞0时，证明f （x ）≥﹣4a 2+4a 【分析】（1）求出函数的导数，计算f ′（0），得到关于a 的方程，求得a ，得到函数解析式，求得f （0），再由直线方程点斜式得答案；（2）把证明f （x ）≥﹣4a 2+4a 转化为证f （x ）的最小值大于等于﹣4a 2+4a ，即证a ﹣1﹣ln2a≥0，令h（a）＝a﹣1﹣ln2a，求其最小值大于等于0即可．【解答】（1）解：f′（x）＝e x﹣2a，f′（0）＝1﹣2a＝2，解得：a＝﹣，∴f（x）＝e x+x，则f（0）＝1．∴切线方程为y＝2x+1；（2）证明：f′（x）＝e x﹣2a，由f′（x）＝e x﹣2a＝0，解得x＝ln2a．∴当x∈（﹣∞，ln2a）时，f′（x）＜0，当x∈（ln2a，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）在（﹣∞，ln2a）上单调递减，在（ln2a，+∞）上单调递增．∴f（x）min＝f（ln2a）＝e ln2a﹣2aln2a＝2a﹣2aln2a．令g（a）＝2a﹣2aln2a+4a2﹣4a＝2a2﹣2a﹣2aln2a（a＞0）．要证g（a）≥0，即证a﹣1﹣ln2a≥0，令h（a）＝a﹣1﹣ln2a，则h′（a）＝1﹣＝，当a∈（0，1）时，h′（a）＜0，当a∈（1，+∞）时，h′（a）＞0，∴h（a）≥h（1）＝0，即a﹣1﹣ln2a≥0．∴f（x）≥﹣4a2+4a．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的最值，是中档题．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（θ为参数）已知点Q（4，0），点P是曲线?l上任意一点，点M为PQ的中点，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M的轨迹C2的极坐标方程；（2）已知直线l：y＝kx与曲线C2交于A，B两点，若＝3，求k的值．【分析】（1）消去θ得曲线C1的普通方程为：x2+y2＝4；设出M的坐标后利用中点公式得到P的坐标后代入C1德轨迹C2的直角坐标方程，再化成极坐标方程；（2）如图：取AB的中点M，连CM，CA，在两个直角三角形中，根据勾股定理解得CM，OM后可得斜率．【解答】解：（1）消去θ得曲线C 1的普通方程为：x 2+y 2＝4，设M （x ，y ）则P （2x ﹣4，2y ）在曲线C 1上，所以（2x ﹣4）2+（2y ）2＝4，即（x ﹣2）2+y 2＝1，即x 2+y 2﹣4x+3＝0，C 2轨迹的极坐标方程为：ρ2﹣4ρcos θ+3＝0．（2）当k ＞0时，如图：取AB 的中点M ，连CM ，CA ，在直角三角形CMA 中，CM 2＝CA 2﹣（AB ）2＝1﹣AB 2，①在直角三角形CMO 中，CM 2＝OC 2﹣OM 2＝4﹣（AB ）2＝4﹣AB 2，②由①②得AB ＝，∴OM ＝，CM ＝，k ＝＝＝．当k ＜0时，同理可得k ＝﹣．综上得k ＝±．【点评】本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x+a|+2|x ﹣1|（a ＞0）．（1）求f （x ）的最小值；（2）若不等式f （x ）﹣5＜0的解集为（m ，n ），且n ﹣m ＝，求a 的值．【分析】（1）去绝对值变成分段函数可求得最小；（2）结合分段函数的图象，按照两种情况讨论可得．【解答】解：（1）f（x）＝，∴x＝1时，f（x）的最小值为a+1．（2）如图所示：当a+1＜5＜2a+2即＜a＜4时，f（x）﹣5＜0的解集为（a﹣3，﹣），∴﹣﹣a+3＝﹣＝，∴a＝3符合，当2a+2≤5即0＜a≤时，f（x）的解集为（﹣﹣1，﹣），∴﹣++1＝≠．综上可得a＝3．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。

广东汕头2019年高考一模文科数学试题参考答案和评分标准

因为 A1O BD ，如果 A1O BC ，
则 A1O 平面 ABCD ，选项 C 不对.
因为 A1C 平面 AB1D1 ，选项 D 不对.
10.D
解析：由题意知： x (
,
)，
f
/ (x)ex (sinxcosx
a)
0
恒成立，
22
即： a sin x cos x
2
sin( x
A (0, )
sin A 0, .........................2 分
3 sin B 2 cos B
2 sin(B ) 2, sin(B ) 1.........................4 分
6
6
B (0, )
B ， B ....................5 分
S10 3S8 3 3(3S6 3) 3 9S6 12 27S4 39 81S2 120 363
16
解析： |
AF2
| | BF2
|
2a |
AF1 | 2a |
BF1 |
4a |
AB |
4a
2b2 a
43
2 6 16 3
．
三．解答题
17.解：（1）由正弦定理得： 3 sin B sin A sin A(2 cos B) .........................1 分
5.B 解析：由题设可得 b c r 2 ，故 a2 b2 c2 4 4 8 ．
6.C 解析： a (a b)
2 a
a b
a
2
a
b
cos
4 2 cos
5
，所以 cos
1

广东汕头2019一模文数

绝密★启用前试卷类型：A2019年汕头市普通高考第一次模拟考试试题文科数学本试卷5页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1.已知集合{}2|log 1A x x =>，{}0,1,2,3,4B =，则=A B A ．{}0,1,2B ．{}1,2,3C ．{}2,3,4D ．{}3,42.已知R a ∈，i 是虚数单位，复数iia z ++=12，若z ==a A ．0B ．2C ．2-D ．13.若x ，y 满足约束条件 1 1y x x y y ≤+≤≥-⎧⎪⎨⎪⎩，则2z x y =+的最大值是A.2B.3C.4D.54.现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为A ．12B ．13C ．16D ．1125.已知圆22:4O x y +=(O 为坐标原点)经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴端点和两个焦点，则椭圆C 的标准方程为A ．22142x y +=B ．22184x y +=C ．221164x y +=D ．2213216x y +=6.已知向量a ，b 满足()5a a b += ，且2a = ，1b = ，则向量a 与b的夹角为A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π7.已知{}n a 是等差数列，{}n b 是正项等比数列，且11b =，322b b =+，435b a a =+，5462b a a =+，则20189a b +=A ．2026B ．2027C ．2274D ．25308.将函数()sin(24f x x π=+的图象向右平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则()g x 在3[,]88ππ-上的最大值为A ．12B．2C．2D ．19.在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 是四边形ABCD 的中心，关于直线1AO ，下列说法正确的是A ．1A O ∥1D CB ．1A O ∥平面11B CDC ．1A O BC ⊥D ．1AO ⊥平面11AB D 10.若函数()(cos )xf x e x a =-在区间2,2(ππ-上单调递减，则实数a 的取值范围为A ．(-,)+∞B ．),1(+∞C ．),1[+∞D ．[,)+∞11.三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，ABC ∠=30o ，APC ∆的面积为2，则三棱锥P ABC -的外接球体积的最小值为A ．4πB ．43πC ．64πD ．323π12.已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的偶函数，当0x >时，|1|2,02()1(2),22x x f x f x x -⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数()2()1g x f x =-的零点个数为A.2B.4C.6D.8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

汕头市2019届高三毕业班教学质量检测试题-数学(文科)

绝密★启用前试卷类型：A汕头市2019年普通高中高三教学质量测评试题文科数学本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和坐号．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题纸各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．圆柱的表面积222S r rl ππ=+，其中r 是底面圆的半径，l 是母线的长．第一部分（选择题满分50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数(2)z i i =+的虚部是（ ※ ）A ． 2B ． -2C ． 2iD ． -2i2．已知全集R,U = 集合{}1,2,3,4,5A =,[)2,B =+∞，则图中阴影部分所表示的集合为（ ※ ）A ． {0,1,2}B ． {0,1}C ． {1,2}D ． {1}3．设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a （）（第2题图）A ．1B ．12C ．12-D ．1-4．对某校400名学生的体重（单位：kg ）进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则学生体重在60kg 以上的人数为（ ※ ）A ． 300B ． 100C ． 60D ． 20 5．下列各式中错误．．的是（ ※ ） A ． 330.80.7> B ． 0..50..5log 0.4log 0.6> C ． 0.10.10.750.75-< D ． lg1.6lg1.4>6．已知正项组成的等差数列{}n a 的前20项的和为100，那么615a a 的最大值为（ ※ ） A ． 25B ． 50C ． 100D ．不存在7．如图所示，一个空间几何体的主视图和俯视图都是边长为1的正方形，侧视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为（ ※ ）A ．π4B ．π3C ．π2D ．π23 8．实数y x ,满足不等式组20206318x y x y x y -≥⎧⎪+-≥⎨⎪+≤⎩，且()0z ax y a =+>取得最小值的最优解有无穷多个, 则实数a 的取值范围是（ ※ ） A ． 45-B ． 1C ． 2D ．无法确定9．已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ※ ）A ． ()2sin 26x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B ．()44f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（kg ）（第4题图）（第9题图）主视图侧视图俯视图（第7题图）C ． ()2cos 23x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D ． ()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭10．已知函数(1)f x +是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数1x 、2x ，不等式1212()[()()]0x x f x f x --<恒成立，则不等式(1)0f x -<的解集为（ ※ ）A ．()1,+∞B ．(),0-∞C ．()0,+∞D ．(),1-∞第二部分（非选择题满分100分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．11．已知sin π 0()(-1)+1 >0x x fx f x x ≤⎧=⎨⎩，则5()6f 的值为 ※ ．12．ABC ∆中，如果bc a c b c b a 3))((=-+++，那么A 等于 ※ ．13. 已知某算法的流程图如图所示,若将输出的),(y x 值依次记为),(11y x ,),(22y x ， ),,(,n n y x（1）若程序运行中输出的某个数组是(,6)t -，则=t ※ ；（2）程序结束时,共输出),(y x 的组数为 ※ ．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分． 14．（坐标系与参数方程选做题）过点(2,)3π且平行于极轴的直线的极坐标方程为 ※ ．15．（几何证明选讲选做题）已知PA 是O 的切线，切点为A ，直线PO 交O 于B 、C 两点，2AC =，120PAB ∠=︒，则O 的面积为 ※ ．三．解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知集合{}2230A x x x =+-<，{}(2)(3)0B x x x =+-<，（第13题图）PABOC（第15题图）（1）在区间()3,3-上任取一个实数x ，求“x AB ∈”的概率；（2）设(),a b 为有序实数对，其中a 是从集合A 中任取的一个整数，b 是从集合B 中任取的一个整数，求“a b A B -∈”的概率.17．（本小题满分14分）已知向量()()2sin ,cos m x x π=--，3cos ,2sin()2n x x π⎛⎫=- ⎪⎭，函数()1f x m n =-⋅．（1）求函数()f x 的解析式；（2）当[]0,x π∈时，求()f x 的单调递增区间；（3）说明()f x 的图象可以由()sin g x x =的图象经过怎样的变换而得到． 18. （本题满分12分）某商店经销一种洗衣粉，年销售总量为6000包，每包进价为8.2元，销售价为4.3元，全年分若干次进货，每次进货均为x 包，已知每次进货的运输劳务费为5.62元，全部洗衣粉全年保管费为x 5.1元.（1）将该商店经销洗衣粉一年的利润y （元）表示为每次进货量x （包）的函数；（2）为使利润最大，每次应进货多少包？19．（本小题满分14分）如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，AB ∥EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且2AB =，1AD EF ==.（1）求证：AF ⊥平面CBF ；（2）设FC 的中点为M ，求证：OM ∥平面DAF ；（3）求三棱锥F CBE -的体积.C（第19题图）20. （本题满分14分）已知函数()f x xlnx =，（1）求()f x 的最小值；（2）若对所有1x ≥都有()1f x ax ≥-，求实数a 的取值范围.21．（本小题满分14分）已知一非零向量列{}n a 满足：()11,1a =，()()11111,,2n n n n n n n a x y x y x y ----==-+()2n ≥. （1）证明：{}n a 是等比数列；（2）设n θ是1,n n a a -的夹角()2n ≥，n b =21n n θ-，12n n S b b b =+++，求n S ；（3）设n c =2log n n a a ，问数列{}n c 中是否存在最小项？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.汕头市2019年普通高中高三教学质量测评文科数学参考答案和评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一．：二．：11．12． 12．3π． 13．27，1006． 14．sin ρθ= 15．4π．说明：第13题填对一空得3分，填对2空得5分.解答过程分析：1．选A ．解析：(2)z i i =+12i =-+，虚部是2.特别提醒：不是2i ．2．选D ．解析：阴影部分的元素x A ∈且x B ∉，即U A B ⋂ð,选项D 符合要求．3．选A ．解析：由2y ax '=，又点（1，a ）在曲线2ax y =上，依题意得122x k y a ='===，解得1a =．4．选B ．解析：60kg 以频率为0.04050.01050.25⨯+⨯=，故人数为4000.25100⨯=（人）． 5．选C ．解析：构造相应函数，再利用函数的性质解决，对于A ，构造幂函数3y x =，为增函数，故A 是对；对于B 、D ，构造对数函数0.5log y x =为减函数，lg y x =为增函数，B 、D 都正确；对于C ，构造指数函数0.75x y =，为减函数，故C 错．6．选A ．解析：()()1202012020101002a a S a a +==+=，故12010a a +=，615120a a a a =2120252a a +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭． 7．选D ．解析：这是一个横放的圆柱体，其底面半径12r =，高1h =，底面面积24S r ππ==底，侧面积2S rh ππ==侧，故322S S S π=+=侧表底．8．选B ．解析：要使目标函数取得最小值的最优解有无穷多个，令ax +y =0并平移使之与过点C （34,32）（可行域中最左侧的点）的边界重合即可，注意到a >0，只能和AC 重合，∴a =19．选C ．解析：由点A 、点C 的横坐标可知4T π=，∴24T ππω==，12ω=，排除B 、D ，又点()0,1在图象上，代入()2sin 26x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭得12sin 6π⎛⎫=- ⎪⎝⎭不成立，排除A ，只有C 合适．说明，本题得出的是最佳选项，由图象无法确定振幅的值．10．选B ．解析：(1)f x +是奇函数，即其的图象关于点(0,0)对称，将(1)f x +向右平移1个单位长度，得()f x ，故()f x 的图象关于点(1,0)对称，由1212()[()()]0x x f x f x --<恒成立，知12120()()0x x f x f x ->⎧⎨-<⎩或1212()()0x x f x f x -<⎧⎨->⎩，()f x 为R 上的减函数；又将(1)0f =，不等式(1)0f x -<即(1)(1)f x f -<，有11x ->，故0x <.11．填12．解析：55111111sin 11666622f f f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．12．填3π．解析：()()a b c b c a +++-()()()223b c a b c a b c a bc +++-=+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，得222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，又0A π<<，∴3A π=． 13．填27，1006．解析：（1）按框图，x 是公比为2的等比数列的项，y 是公差为-2的等差数列的项，当6y =-时，为第4项，这时x 是等比数列的第4项，即27t =；（2）n 是公差为2的等差数列的项，当2012n >时，最大的项数为1006，即输出),(y x 共1006组． 14．填sin ρθ=(2,)3π化为，过且平行于x轴的直线为y =sin ρθ=法二：在极坐标系中直接构造直角三角形由其边角关系得方程sin ρθ=15．填4π．解析：由弦切角定理，PAC ABC ∠=∠，由120PAB ∠=︒，90CAB ∠=︒得30PAC ABC ∠=∠=︒，在Rt ABC ∆中，22224R BC AC ===⨯=，4R =，2S R π==4π．三．解答题：16．（1）由已知{}31A x x =-<<，{}23B x x =-<<，…………………………2分设事件“x AB ∈”的概率为1P ，这是一个几何概型，则13162P ==。