关于双曲线的离心率问1
双曲线离心率常见求法整理归纳
1双曲线离心率求法 在双曲线中，1c e a =>，c e a ===== 方法一、直接求出a c ，或求出a 与b 的比值，以求解e1．已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为 . 2．已知双曲线22212x y a -=(a >)的两条渐近线的夹角为3π,则双曲线的离心率为 .3．已知1F 、2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段12F F 为边作正三角形12MF F ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 .4．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF ∆是直角三角形，则双曲线的离心率=e .5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 .6．设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是 . 7．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60，则双曲线C 的离心率为 .8．已知双曲线的渐近线方程为125y x =±，则双曲线的离心率为 . 9.过双曲线12222=-by a x 的一个焦点的直线交双曲线所得的弦长为2a ，若这样的直线有且仅有两条，则离心率为 .10．双曲线两条渐近线的夹角等于90，则它的离心率为 ．方法二、构造,a c 的齐次式，解出e1．过双曲线22221x y a b-=((0,0)a b >>)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于________．2．设1F 和2F 为双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两个焦点, 若1F 、2F ，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为________．3．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为________．方法三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形1．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为________．2．双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为12,F F ,若P 为其上一点，且12||2||PF PF =,则双曲线离心率的取值范围为________．3．设12,F F 分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠=，且12||3||AF AF =，则双曲线离心率为________．4．双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12,F F ，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为________．5．如图，1F 和2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且2F AB ∆是等边三角形，则双曲线的离心率为________．6．设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>右支上的任意一点，12,F F 分别是其左右焦点，离心率为e ，若12||||PF e PF =，此离心率的取值范围为________．方法四、双曲线离心率取值范围问题例1.(本题需要使用双曲线的第二定义解决)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若双曲线上存在一点P 使1221sin sin PF F a PF F c∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．例2.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是 ．例 4.已知点P 在双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右支上，双曲线两焦点为12,F F ，2221||||PF PF 最小值是8a ，则此双曲线的离心率的取值范围是 ． 例 5.双曲线2222222211x y y x a b b a-=-=与的离心率分别是12,,e e 则12e e +的最小值为 ．与准线有关的题目1．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 .2．已知双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心率为 . 3.设点P 在双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左支上，双曲线两焦点为12,F F ，已知1PF 是点P 到左准线l 的距离d 和2PF 的比例中项，则此双曲线的离心率的取值范围是 ．4．已知双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是准线上一点，且12PF PF ⊥，124PF PF ab =，则双曲线的离心率是_______.。
双曲线离心率如何求——从一道高考真题谈起
双曲线离心率如何求从一道高考真题谈起ʏ河南省禹州市第一高级中学 冯会远求双曲线的离心率,是高考常考题型㊂那么双曲线的离心率该如何求呢?让我们从一道高考真题谈起㊂题目:(2023年高考新课标Ⅰ卷)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左㊁右焦点分别为F 1㊁F 2,点A 在双曲线C 上,点B 在y 轴上,F 1A ңʅF 1B ң,F 2A ң=-23F 2B ң,则双曲线C 的离心率为㊂分析:方法1:利用双曲线的定义与向量数量积的几何意义得到|A F 2|,|B F 2|,|B F 1|,|A F 1|关于a ,m 的表达式,从而利用勾股定理求得a =m ,最后利用余弦定理得到a ,c 的齐次方程,进行得解㊂方法2:依题意设出各点坐标,从而由向量坐标运算求得x 0=53c ,y 0=-23t ,t 2=4c 2,将点A 代入双曲线C 的方程得到关于a ,b ,c 的齐次方程,最后得解㊂图1解析:(方法1)依题意,如图1,设|A F 2|=2m ,则|B F 2|=3m =|B F 1|,|A F 1|=2a +2m ㊂在R t әA B F 1中,9m 2+(2a +2m )2=25m 2,则(a +3m )(a -m )=0,故a =m 或a =-3m(舍去)㊂所以|A F 1|=4a ,|A F 2|=2a ,|B F 2|=|B F 1|=3a ,则|A B |=5a ㊂故c o s øF 1A F 2=|A F 1||A B |=4a 5a =45㊂所以在әA F 1F 2中,c o søF 1A F 2=16a 2+4a 2-4c 22ˑ4a ˑ2a=45,整理得5c 2=9a 2㊂故e =c a =355㊂(方法2)依题意,得F 1(-c ,0),F 2(c ,0),令A (x 0,y 0),B (0,t )㊂因为F 2Aң=-23F 2B ң,所以(x 0-c ,y 0)=-23(-c ,t ),则x 0=53c ,y 0=-23t ㊂又F 1A ңʅF 1B ң,所以F 1A ң㊃F 1B ң=83c ,-23t㊃(c ,t )=83c 2-23t 2=0,则t 2=4c 2㊂又点A 在双曲线C 上,则259c 2a 2-49t 2b2=1,整理得25c 29a 2-4t 29b 2=1,即25c 29a 2-16c29b2=1㊂所以25c 2b 2-16c 2a 2=9a 2b 2,即25c 2(c 2-a 2)-16a 2c 2=9a 2(c 2-a 2)㊂整理得25c 4-50a 2c 2+9a 4=0㊂则(5c 2-9a 2)(5c 2-a 2)=0,解得5c 2=9a 2或5c 2=a 2㊂又e >1,所以e =355或e =55(舍去)㊂故e =355㊂点评:解决过双曲线焦点的三角形的关键是充分利用双曲线的定义,结合勾股定理与余弦定理得到关于a ,b ,c 的齐次方程,从而得解㊂从这道高考真题的解法可以看出,双曲线离心率的求法主要有两种方法:定义法和方程法㊂我们再来看几个变式题㊂变式1:过双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点F ,作x 2+y 2=a 2的一条切线,设切点为T ,该切线与双曲线E 在第一象限交于点A ,若F A ң=3F T ң,则双曲线E 的离心率为( )㊂A.3 B .5C .132 D .152分析:取线段A T 中点,根据给定条件,结03 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年12月合双曲线定义及勾股定理解答㊂图2解析:如图2,令双曲线E 的右焦点为F ',半焦距为c ,取线段A T 中点M ,连接O T ,A F ',F 'M ㊂因为F A 切圆x 2+y2=a 2于T ,所以O T ʅF A ,|F T |=|O F |2-|O T |2=c 2-a 2=b ㊂因为F A ң=3F T ң,所以|A M |=|M T |=|F T |=b ,|A F '|=|A F |-2a =3b -2a ㊂而O 为F F '的中点,于是F 'M ʊO T ,即F 'M ʅA F ,|F 'M |=2|O T |=2a ㊂在R t әA F 'M 中,(2a )2+b 2=(3b -2a )2,整理得b a =32㊂所以双曲线E 的离心率e =ca=1+b 2a2=132,选C ㊂点评:本题采用了定义法,关键是应用双曲线的定义和几何图形的性质,求出a 与b 的关系式,进而再通过a 2+b 2=c 2,来求a 与c 的关系式,即双曲线的离心率㊂变式2:已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左㊁右焦点分别为F 1㊁F 2,点M 在双曲线E 上,әF 1M F 2为直角三角形,O 为坐标原点,作O N ʅM F 1,垂足为N ,若2MN ң=3N F 1ң,则双曲线E 的离心率为㊂分析:根据给定条件,确定直角三角形的直角顶点位置,建立方程并结合双曲线定义求出|M F 1|,|M F 2|,再借助相似三角形性质列式求解㊂图3解析:әF 1M F 2为直角三角形,显然øM F 1F 2ʂ90ʎ,否则N 与F 1重合㊂若øF 1M F 2=90ʎ,由O N ʅM F 1,得O N ʊM F 2,则N 为M F 1的中点,与2MN ң=3N F 1ң矛盾㊂于是øM F 2F 1=90ʎ,即M F 2ʅx 轴,如图3㊂令双曲线半焦距为c ,由x =c ,x 2a 2-y 2b2=1,得y 2=b 4a2㊂因此,|M F 2|=b 2a ,|M F 1|=b2a +2a =a 2+c 2a㊂由2MN ң=3N F 1ң,得|N F 1|=25|M F 1|=2(a 2+c 2)5a㊂显然әO N F 1ʐәM F 2F 1,则|N F 1||F 1F 2|=|O F 1||M F 1|,即a 2+c 25a c =a c a 2+c2,整理得a 2+c 2=5a c ㊂则e 2-5e +1=0,解得e =5+12或e =5-12(舍去),所以双曲线E 的离心率为5+12㊂点评:本题采用了方程法,即通过建立关于离心率的方程来求得离心率,解答的关键是充分利用几何图形中相似三角形的对应边成比例建立方程㊂变式3:双曲线C :x 2a 2-y2b 2=1(a >0,b >),过虚轴端点且平行x 轴的直线交双曲线C 于A ,B 两点,F 为双曲线的一个焦点,且A F ʅB F ,则该双曲线的离心率e 为㊂分析:解决本题的落脚点是 A F ʅB F ,对于解决线线垂直问题,高中阶段我们常用的策略有:(1)两条直线垂直且斜率存在,则两条直线斜率之积等于-1;(2)考虑三边边长,利用勾股定理构造直角三角形;(3)转化为向量问题,两条垂线对应向量的数量积为零;(4)利用直角三角形的几何性质㊂解析:(方法1,利用 两条直线垂直且斜率存在,则两直线斜率之积等于-1)如图4,已知A ,B 两点的纵坐标都为b ,将b 代入双曲线方程得x =ʃ2a ,所以A (-2a ,b ),B (2a ,b )㊂13解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年12月图4设F (c ,0)为双曲线右焦点,则k A F =-bc +2a ,k B F =-bc -2a㊂因为A F ʅB F ,所以k A F ㊃k B F =-b c +2a ㊃-bc -2a=-1,整理得c 2+b 2=2a 2㊂①易知c 2=a 2+b 2㊂②由①②,得b 2a2=12㊂离心率e =1+ba2=62㊂(方法2,әA F B 是直角三角形,利用勾股定理解题)根据方法1可得A (-2a ,b ),B (2a ,b )㊂设F (c ,0)为双曲线的右焦点,则:|A B |=22a ,|A F |=(c +2a )2+b 2,|B F |=(c -2a )2+b 2㊂因为A F ʅB F ,所以由勾股定理得:|A F |2+|B F |2=|A B |2,即(c +2a )2+b 2+(c -2a )2+b 2=8a 2㊂整理得c 2+b 2=2a 2㊂①又在双曲线中有c 2=a 2+b 2㊂②由①②,得b 2a2=12㊂故离心率e =1+ba2=62㊂(方法3,转化为向量求解)根据方法1可得A F ң=(c +2a ,-b ),B F ң=(c -2a ,-b )㊂因为A F ʅB F ,所以A F ңʅB F ң㊂则(c -2a )(c +2a )+b 2=0,整理得c 2+b 2=2a 2㊂①又双曲线中有c 2=a 2+b 2㊂②由①②,得b 2a2=12㊂故离心率e =1+ba2=62㊂(方法4,转化为直角三角形性质求解)由方法2可得|A B |=22a ,如图5,设图5虚轴端点为C ,连接C F ,则|C F |=|A B |2=2a ㊂即c 2+b 2=2a ,c 2+b 2=2a 2㊂后面过程与前三种方法相同㊂(方法5,转化为双曲线定义求解)图6如图6,设虚轴端点为C ,连接C F ,则|C F |=|C A |=|C B |=2a ㊂由题意|A F |-|B F |=2a ,|A F |2+|B F |2=8a 2,得|A F |=(3+1)a ,|B F |=(3-1)a ㊂t a n øF A B =|B F ||A F |=(3-1)a(3+1)a=2-3,则t a nøF C B =t a n 2øF A B =33,故øF C B =30ʎ,øF C O =60ʎ㊂因为s i n øF C O =|O F ||C F |,所以s i n 60ʎ=c2a,则e =62㊂点评:双曲线有两个虚轴端点以及两个焦点,本题未明确给出哪个端点哪个焦点,看似让人无从下手,实则增加了问题的灵活性,同学们只需根据双曲线的对称性,任意选取其中的一个虚轴端点和焦点即可解决本题㊂方法总结:离心率是双曲线最重要的几何性质,求离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出a ,c ,代入公式e =ca ;②只需要根据条件得到关于a ,b ,c 的齐次式,结合b 2=c 2-a 2转化为a ,c 的齐次式,然后等式两边分别除以a 或a 2转化为关于e的方程,解方程即可得离心率e 的值㊂当求双曲线的离心率时一定要注意数形结合思想和双曲线定义的应用㊂(责任编辑 徐利杰)23 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年12月。
椭圆、双曲线的离心率问题值得关注
椭圆、双曲线的离心率问题值得关注江西临川二中 何泉清解几是高考重点考查的内容，故椭圆、双曲线的离心率问题依然是高考数学的热点和重点．一、求离心率的值 求解椭圆、双曲线离心率的值的方法：一是直接利用其定义；二是利用直线与其位置关系，转化到一个关于离心率e 的方程来求解．例1 已知P 是以F 1、F 2为焦点的双曲线2222by a x -=1上的一点，1PF ·2PF =0，且tan ∠P F 1F 2=21，则此双曲线的离心率e = ． 解：如图1，∵1PF ·2PF =0，∴△P F 1F 2为直角三角形．∵tan ∠P F 1F 2=21，∴12PF PF =21，即| P F 1|=2| P F 2|． 又| PF 1|-| PF 2|=2a ，| PF 1|2+| PF 2|2=（2c ）2， 图１∴| PF 2|=2a ,5| PF 2|2=4c 2,20a 2=4c 2， ∴22ca =5，则e =c a =5．例2 已知椭圆的短轴长为 6,F 1、F 2分别为它的左、右焦点，CD 是过F 1的弦，且与x 轴成α角（0＜α＜)π，若△F 2CD 的周长为20，则椭圆的离心率e =．解：如图2，∵| CF 1|+| CF 2|=2a ，|DF 1|+|DF 2|=2a ，∴两式相加，得：| CF 1|+| CF 2|+|DF 1|+|DF 2|=20=4a ．∴a =5，又b =3，∴c =4, 则e =a c =54． 图２ 点评：例1、例2是直接利用双曲线、椭圆的一义来求离心率的．例3 设双曲线2222by a x -=1（0＜a ＜b ＝的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（b ，0）两点．已知原点到直线l 的距离为43c ，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．2或332 解：由l ： by a x -=1，得bx +a -yab =0 原点到直线l 的距离为22b a ab+-=43c ，又a 2+b 2=c 2， ∴ab =43c 2，∴a 2b 2= 163c 4，即a 2c 2-a 4=163c 4，两边同除以a 4，则e 2-1=163e 4，解得e =2或e =332． 又b ＞a ＞0，∴ab ＞1，即e 2-1＞1，e 2＞2． ∴e =2．故选A ．例4 已知椭圆C 的方程为2222x y a b+=1（a ＞b ＞0），若直线y =22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F 2，则椭圆的离心率e 的（ ）A ．21B ．22C ．23D ．2-1解：设半焦距为c ，则F 2（c ,0）．∵M 在轴上的射影恰好是右焦点F 2，∴M （c , 22c ）． ∴22a c +22)22(bc =1，又a 2-c 2=b 2， ∴22ac +)(2222c a c -=1， 整理得，2c 4-52a c 2+2a 4=0，即2e 4-5e 2+2=0．∴e 4=21，故选B ． 点评：例3、例4求离心率的方法是有相同的特点：先根据条件得到一个关于a 、c 的齐次等式，然后等式两边同除以a 的方幂，得到一个关于离心率的方程，解出e 并注意条件即得到所求．二、求离心率的取值范围其方法可以利用椭圆、双曲线的变化范围，直线与椭圆、双曲线的三种位置关系建立的一元二次方程存在实根的条件，图形的直观性，实数的非负性或已知变量的取值范围（隐含条件的不等关系）等来确立含离心率e 的不等式，从而获解．例5 已知椭圆2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别为A 、B ，如果椭圆上存在点P ，使得∠APB =1200，求椭圆的离心率e 的取值范围．解法一：设P （x 0，y 0），由椭圆的对称性，不妨令0≤x 0＜a , 0＜y 0≤b ．∵A （-a ，0），B （a ，0）， ∴PA k =a x y +00，PB k =ax y -00． ∵∠APB =1200，∴tan ∠APB =-3，又tan ∠APB =1PB PA PB PA k k k k -+=2202002a y x ay -+， ∴2202002a y x ay -+=-3，……① 而点P 在椭圆上，∴b 2x 02+a 2y 02=a 2b 2……②由①、②得 y 0=)(32222b a ab -．∵0＜y 0≤b ，∴0＜)(32222b a ab -≤b ．∵a ＞b ＞0，∴2ab ≤3（a 2-b 2），即4 a 2b 2≤3 c 4，整理得，3e 4+4e 2-4≥0．考虑0＜e ＜1，可解得36≤e ＜1． 解法二：以AB 为弦，含0120的角且在x 轴上方的弓形弧与上半椭圆的交点除A 、B外至多有两个，至少有一个，所以上顶点D （0，b ）在弓形内，即∠ADB ≥0120， ∴∠ODB ≥600（点O 为坐标原点），∴ba ≥3，即a 2≥3b 2=3(a 2-c 2)， 则e 2≥32． ∴33≤e ≤1． 点评：椭圆、双曲线上点的横、纵坐标的取值范围往往可以确立含离心率e 的不等式．解法二是考虑到几何性质运用数形结合的思想方法建立了含e 的不等式，简化了求解过程．下面再看例6对这一方法漂亮的应用．例6 已知椭圆2222by a x +=1（a ＞b ＞0）上有点P ，使∠F 1PF 2为直角，求椭圆离心率的取值范围．解：依题意知，以F 1F 2为直径的圆Ｃ与椭圆必有公共点P ，则椭圆短轴上端点B 必在圆Ｃ的内部或圆上，即|OB |≤r =c （r 为圆Ｃ的半径），∴b ≤c ，∴a 2- c 2≤c 2, 即2 c 2≥a 2，则22≤e ＜1． 点评：本题还有其他多种解法，请同学们试试．例7 过双曲线2222by a x -=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F 且倾斜角为045的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点．求双曲线离心率的取值范围．解：设F （c ,0），则直线AB 的方程为y =x -c ，且c 2= a 2+ b 2 由⎪⎩⎪⎨⎧-==-c x y b y a x 12222，消去y ，得2222)(b c x a x --=1， 即（a 2- b 2）x 2-2 a 2cx + a 2 (b 2 -c 2)=0．∵直线AB 与双曲线有两个交点，∴a 2- b 2≠0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2222b a c a -，x 1x 2=22222)(ba cb a -+． 又∵A 、B 分别在双曲线的右支上， ∴⎪⎩⎪⎨⎧〉-+=≠-0)(022*******b a c b a x x b a ，即a 2＞ b 2，a 2＞c 2- a 2， ∴e 2＜2，则1＜e ＜2．点评：本题是以直线与双曲线的位置关系来确立含e 的不等式，亦可由图形上根据角度的大小关系确立含e 的不等式来求解．例8 已知梯形ABCD 中，|AB |=2|CD |，点E 满足=λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点，当32≤λ≤43时，求双曲线e 的取值范围． 解：以AB 为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图3，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称．设A （-c ,0）， C （2c ,h ）， E （x 0,y 0）,其中c =21|AB |，h 是梯形的高． ∵=λ， 图３∴（x 0+c ，y 0）=λ（2c -x 0，h -y 0）， ∴x 0=)1(2)2(+-λλc ，y 0=λλ+1h ． 设双曲线方程为2222by a x -=1， ∵C 、E 在双曲线上，并考虑e =a c ， ∴222222221,(1)42()() 1.(2)411e h b eh b λλλλ⎧-=⎪⎪⎨-⎪-=⎪++⎩ 由(1)得22bh =42e -1，代入(2)，得42e （4-4λ）=1+2λ， ∴λ=1-132+e ，由32≤λ≤43，得32≤1-132+e ≤43， 解得7≤e ≤10． 故双曲线离心率的取值范围为[7，10]．点评：本题依据已知变量的范围来确立含e不等式从而获解．―――原载《广东教育》2005年第18期。
双曲线的离心率问题
双曲线的离心率问题一、引言双曲线是平面几何中的一种重要曲线，其离心率问题是双曲线研究中的重要内容之一。
本文将从离心率定义、离心率的几何意义、离心率的范围、离心率与双曲线的关系、离心率与渐近线的关系、离心率与焦点的关系、离心率与轴比的关系、离心率与实轴和虚轴的关系以及离心率与准线的关系等方面，对双曲线的离心率问题进行详细阐述。
二、离心率定义离心率是描述双曲线的一个重要参数，其定义为：双曲线的焦距除以双曲线的实轴长度。
离心率的数学表达式为：e=c/a，其中c为焦距，a为实轴长度。
三、离心率的几何意义离心率的几何意义是描述双曲线在平面上的开口程度。
当离心率e越大时，双曲线的开口程度越大；当离心率e越小时，双曲线的开口程度越小。
四、离心率的范围离心率的范围为0<e<1。
其中，0表示圆，1表示直线，0<e<1表示双曲线的形状。
五、离心率与双曲线的关系离心率与双曲线的关系密切。
离心率的改变会导致双曲线的形状和开口程度发生变化。
同时，离心率也是双曲线的一个重要参数，可以用于描述双曲线的几何特征。
六、离心率与渐近线的关系离心率与渐近线的关系也十分重要。
渐近线是双曲线在某一方向上的近似直线，离心率的大小决定了渐近线的斜率。
当离心率e越大时，渐近线的斜率越大；当离心率e越小时，渐近线的斜率越小。
七、离心率与焦点的关系离心率与焦点的关系是双曲线的一个重要特征。
双曲线的焦点到中心的距离为c，其中c的表达式为：c^2=a^2+b^2（在实数轴上）或者c^2=|a^2-b^2|（在复数轴上）。
因此，离心率的改变会导致焦点的位置发生变化。
八、离心率与轴比的关系轴比是描述双曲线的一个重要参数，其定义为：实轴长度a与虚轴长度b的比值。
离心率的改变会影响轴比的大小，进而影响双曲线的形状和开口程度。
九、离心率与实轴和虚轴的关系实轴和虚轴是双曲线的重要特征线。
离心率的改变会影响实轴和虚轴的长度和位置，进而影响双曲线的形状和开口程度。
双曲线的离心率
双曲线的离心率
双曲线的离心率定义为双曲线上任意一点到它的长轴的距离除以到短轴的距离的比值，其符号表示为e，称为双曲线的离心率。
双曲线总是一种几何形状，它的定义即在任意一
点处都满足特定方程，特别是，双曲线满足椭圆方程：
$$
\frac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } }+\frac
{ { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } }=1
$$
这里a和b分别叫做长轴和短轴的长度，因此，双曲线离心率的定义就是指：
$$
e=\frac { a }{ b }
$$
双曲线是一类重要的曲线，在几何图形中起着重要作用，它有多种形式，可以根据离
心率来划分，离心率表示双曲线形状的大小，离心率越大，双曲线越扁，离心率越小，双
曲线越圆。
如果离心率为1，则双曲线为椭圆，离心率大于1，则双曲线称为钝心双曲线；离心率小于1，则双曲线称为锐心双曲线；当离心率等于无穷大时，双曲线变为直线。
双
曲线是非常常见的几何图形，由于其扁平程度的不同，在许多地方都有应用，比如在球面
测地学中，双曲线用来定义地球的地图投影，也可以用于计算电流在涡旋器中的流动等。
双曲线也经常被应用在求解复杂方程组以及分析特殊函数的问题中。
双曲线的特征与其离心率有关，离心率越大，双曲线越快，越圆，反之，则双曲线变
得越扁，离心率越小，因此，双曲线的离心率在双曲线中起着关键作用，它反映了双曲线
形状的大小，可以用来描述双曲线的属性，以及求解复杂的几何图形模型。
求双曲线的离心率 习题
10．B
【解析】依题意得 ,由于三角形 为等腰直角三角形,则 , ,两边除以 得 ,解得 .故选B.
11．C
7．D
【解析】
分析：根据题意，由双曲线的标准方程依次分析选项，综合即可得答案.
解析：根据题意，依次分析选项：
对于A，双曲线的方程为 ，其中b=3，虚轴长为6，则A错误；
对于B，双曲线的方程为 ，其中a=2，b=3，则 ，则焦距为 ，则B错误；
对于C，双曲线的方程为 ，其中a=2，b=3，则 ，则离心率为
17．B
【解析】若双曲线的渐近线方程为 ，则 双曲线的离心率为
故答案为：B。
18．B
【解析】由题意得：点 在直线 上，
则
故选
19．D
【解析】双曲线 ，有： .
有： .
离心率为： .
故选D.
20．A
【解析】
设 ，
则 ，
所以 ， ，
所以 ，得 ，所以 ，
所以 。故选A。
21．A
【解析】由条件可得双曲线的渐近线方程为 ，不妨取 ，
【详解】
依题意设|PF1|=4t，|F1F2|=3t，|PF2|=2t，
若曲线为椭圆，则2a=|PF1|+|PF2|=6t，c= t
则e= = ，
若曲线为双曲线，则2a=4t﹣2t=2t，a=t，c= t
∴e= =
故选：A．
【点睛】
本题重点考查圆锥曲线的定义，考查曲线的离心率，正确判断曲线的类型是解题的关键．
双曲线离心率习题课.资料讲解
diǎn)为B，
如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此
双曲线的离心率为
A. 2
B. 3
3＋1 C. 2
( )． 5＋1 D. 2
[审题视点] 设出双曲线的方程，由两直线垂直可以确 定一个关于a，b，c的关系式，结合c2－a2＝b2可解．
PF1
r1，PF2
r2.因为PF1 PF2，tanPF1F2
1， 2
所以 r2 r1
1 2
,所以r1
2r2.由双曲线的定义可知，r1
r2
2a，
所以r2 2a.又r12 r22 2c2 ,所以4a2 2a2 2c2 ，
所以e c 5. a
第二十七页，共59页。
(理)在正三角形 ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的
所以 a2＝2b2＝2c2－2a2，即 3a2＝2c2.所以 e＝ 26.故选 B
[答案(dá
àn)] B
第八页，共59页。
[优美解法] 不妨设 c＝1，则直线 PQ：y＝bx＋b，两渐近线 为 y＝±bax，因此有交点 P－a＋a 1，a＋b 1，Q1－a a，1－b a， 设 PQ 的中点为 N，则点 N 的坐标为1－a2a2，1－b a2，因为 线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M，|MF2|＝|F1F2|，所 以点 M 的坐标为(3,0)，因此有 kMN＝11－－ab2aa22－－03＝－1b， 所以 3－4a2＝b2＝1－a2，所以 a2＝23，所以 e＝ 26.
(文)(2010·广州一中)过双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的 右顶点 A 作斜率为－1 的直线，该直线与双曲线的两条渐
双曲线的离心率问题 -2021-2022学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
专题16：双曲线的离心率问题一、单选题1．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为A ．1B 1C ．12D ．122．12,F F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，直线l 为双曲线C 的一条渐近线，1F 关于直线l 的对称点为'1F ，且点'1F 在以F 2为圆心、以半虚轴长b 为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为 AB C ．2D3．已知双曲线2222:1x y E a b-=的左、右顶点分别为A 、B ，M 是E 上一点，ABM 为等腰三角形，且外接圆面积为23a π，则双曲线E 的离心率为 AB 1CD 14．设点1F ，2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点.点A ，B 分别在双曲线C 的左，右支上，若21225AB F A AF AB AF ==⋅，，且22AF BF <，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．B C ．135D ．1775．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点、右焦点分别为A ，F ，过点A 的直线l 与C 的一条渐近线交于点Q ，直线QF 与C 的一个交点为B ，若AQ AB AQ FB ⋅=⋅，且3BQ FQ =，则C 的离心率为( )A ．2B1C D ．2+6．已知1F ，2F 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点，过点1F 倾斜角为30°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点A ，B .若22AF BF =，则双曲线C 的离心率为（ ） AB C ．2D 7．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，关于原点对称的两点A 、B 分别在双曲线的左、右两支上，0AF FB ⋅=，3BF FC =且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）AB C D ．28．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右两个焦点，若双曲线左支上存在一点P 与点2F 关于直线b y x a=对称，则该双曲线C 的离心率为（ ）A．2B C D ．29．已知1F ，2F 分别为双曲线2222:1x y C a b-=的左，右焦点，过点2F 的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，设点(),H H H x y ，(,)G G G x y 分别为12AF F △，12BF F △的内心，若3H G y y =，则双曲线离心率的取值范围为（ ） A．[2,)+∞B ．C ．(1,2]D ．(1,2)10．双曲线上22221(0)x y b a a b-=>>有两点A 、B ，O 为坐标原点，F 为双曲线焦点，满足OA OB ⊥，当A 、B 在双曲线上运动时，使得恒222111||||||OA OB OF +≤成立，则离心率取值范围是（） A ．⎦ B ．⎦C ．⎭ D ．⎛ ⎝ 11．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，点A是双曲线C 右支上一点，若12AF F △的内切圆M 的半径为a ，且12AF F △的重心G 满足12MG F F λ=，则双曲线C 的离心率为（） A BC ．2D ．12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作斜率为2的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A 、B 两点，若22AF BF =，则双曲线的离心率为（ ）A．2 BC D13．已知1F ，2F 分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左，右焦点，点A 为双曲线C 的右顶点，且直线2:b l y a=与双曲线C 的左、右两支分别交于P ，Q 两点，若122QAF PAF π∠∠+<，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ）A ．(B ．11,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．)+∞D ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭14．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 、2F ，A B 、分别是双曲线左、右两支上关于坐标原点O 对称的两点，且直线AB 的斜率为M N 、分别为2AF 、2BF 的中点，若原点O 在以线段MN 为直径的圆上，则双曲线的离心率为（ ） A ．BCD 15．若双曲线E ：221x y m n-=(0)mn >绕其对称中心旋转3π后可得某一函数的图象，则E 的离心率等于（ ）A ．B C ．2 D ．216．已知F 为双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 、B 是双曲线C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，AF BF ⊥，且AF 的中点在双曲线C 上，则C 的离心率为A1B C D 117．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点为12,F F ，一条渐近线方程为:bl y x a=-，过点1F 且与l 垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,P Q ，满足11122OP OF OQ =+，则该双曲线的离心率为（ ） A．B ．3C D ．218．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 的左支交于P ，Q 两点，若212PF F F =，且1132PF QF =，则C 的离心率为（ ） A ．32B ．75C ．53D ．219．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点C在双曲线上，ABC ∆的三个内角分别用A ，B ，C 表示，若tan tan 2tan 0A B C ++=，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．2 D 20．设双曲线()2222100y x a b a b-=＞，＞的上焦点为F ，过点F 作与y轴垂直的直线交两渐近线于A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若OP OA OB λμ=+，()2259R λμλμ+=∈，，则双曲线的离心率e 的值是（ ）A ．3B C ．4D ．3221．已知1x =是方程320x ax bx c +++=的一个根，另两个实根可分别作为某椭圆，某双曲线的离心率，则22a b +的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．)+∞C ．[)5,+∞D ．()5,+∞二、填空题22．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右顶点分别是,A B ，右焦点F，过F 垂直于x 轴的直线l 交双曲线于,M N 两点，P 为直线l 上的点，当APB ∆的外接圆面积达到最小时，点P 恰好落在M （或N ）处，则双曲线的离心率是__________．23．已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2122e e +的最小值为____________． 24．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点为12,F F ，P 是双曲线上一点，且123F PF π∠=.若12F PF ∆的外接圆和内切圆的半径分别为,R r ，且4R r =，则双曲线的离心率为__________.25．如图，已知双曲线222:12x y C a a -=+的左､右焦点分别为1F ，2F ，M 是C 上位于第一象限内的一点，且直线2F M 与y 轴的正半轴交于A 点，1AMF 的内切圆在边1MF 上的切点为N ，若||4MN =，则双曲线C 的离心率为________.26．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>上一点P ，过双曲线中心O 的直线交双曲线于A 、B 两不同（点A ，B 异于点P ）．设直线P A 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，当22121261ln ln k k k k ⋅++最小时，双曲线的离心率为_______．27．已知双曲线()2222:10x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 且斜率C 于A 、B 两点，若4AF FB =，则C 的离心率为______.参考答案1．B【解析】过P 作准线的垂线，垂足为N ，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，∵|PA|=m|PB|， ∵|PA|=m|PN| ∵1||||PN m PA =， 设PA 的倾斜角为α，则1sin mα=， 当m 取得最大值时，sin α最小，此时直线PA 与抛物线相切， 设直线PA 的方程为y=kx ﹣1，代入x 2=4y ，可得x 2=4（kx ﹣1），即x 2﹣4kx+4=0，∵∵=16k 2﹣16=0，∵k=±1， ∵P （2，1），∵双曲线的实轴长为PA ﹣PB=2﹣1）， ∵双曲线的离心率为1=．故选B ．【点评】本题的关键是探究m 的最大值，先利用抛物线的定义转化PA m PF =得到1sin PNm PAα==，m 取得最大值时，sin α最小，此时直线PA 与抛物线相切，得到∵=0，得到k 的值.转化是高中数学很重要的一个数学思想，在解题过程中要注意灵活运用. 2．B【分析】根据左焦点1F 与渐近线方程，求得1F 关于直线l 的对称点为'1F 的坐标，写出以F 2为圆心、以半虚轴长b 为半径的圆的方程，再将'1F 的坐标代入圆的方程，化简即可得离心率．【解析】因为直线l 为双曲线C 的一条渐近线，则直线:bl y x a= 因为12,F F 是双曲线C 的左、右焦点 所以1F （-c ，0），2F （c ，0）因为1F 关于直线l 的对称点为'1F ，设'1F 为（x ，y ） 则001,22y b y b x cx c a a -+-⋅=-=⋅+ 解得222,b a abx y c c -==- 所以'1F 为（222,b a abc c--） 因为'1F 是以2F 为圆心，以半虚轴长b 为半径的圆，则圆的方程为()222x c y b -+=将以'1F 的（222,b a ab c c --）代入圆的方程得222222b a ab c b c c ⎛⎫-⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简整理得225a c = ，所以e ==所以选B【点评】本题考查了双曲线渐近线方程、离心率的应用，点关于直线对称点的求法，对于几何关系的理解非常关键，属于难题．3．C【分析】不妨设M 在第二象限，由外接圆面积得其半径，设ABM AMB θ∠=∠=，利用正弦定理求出sin θ，从而可得sin 2,cos 2θθ，然后求得M 点坐标，把M 点坐标代入双曲线方程可得,a b 关系式，化简后可求得离心率．【解析】不妨设M 在第二象限，则在等腰ABM ∆中，2AB AM a ==， 设ABM AMB θ∠=∠=，则12F AM θ∠=，θ为锐角．ABM ∆外接圆面积为23a π，∵2sin aθ=，∵sin 3θ=，cos 3θ=，∵sin 223θ==，21cos 2213θ=⨯-=， 设M点坐标为(,)x y ，则5cos 23a x a AM θ=--=-，sin 2y AM θ==， 即M点坐标为5(3a -， 由M点在双曲线上，得22225()331a a b --=，整理得222b a=，∵c e a ===故选C ．【点评】本题将解三角形和双曲线的几何性质结合在一起考查，综合性较强，解题时要抓住问题的关键和要点，从所要求的离心率出发，寻找双曲线中,a c 之间的数量关系，其中通过解三角形得出M 点的坐标，是解题的突破点，在得到点M 坐标后，根据点在双曲线上得出,a b间的关系，最后根据222c a b =+可求得离心率． 4．B【分析】由222AF AB AF =⋅及数量积的运算律可得22F B AF ⊥，设1F A m =，则5AB m =，16BF m =，利用双曲线的定义及直角三角形可求得m a =（23m a =不合题意舍去），然后求出cos BNM ∠，再用余弦定理得出,a c 关系求得离心率．【解析】15AB F A =，∴1,,F A B 共线，且15AB F A =，2222222222()AF AB AF AF F B AF AF F B AF =⋅=+⋅=+⋅，∴220F B AF ⋅=，则22F B AF ⊥，故有22222AF BF AB+=，设1F A m =，则5AB m =，16BF m =，QQ 群333528558由双曲线的定义可得222222226225AF m a m BF aAF BF m ⎧-=⎪⎪-=⎨⎪⎪+=⎩∵222(2)(62)25m a m a m ++-=，整理得()(32)0m a m a --=，解得：m a =或23m a =，若23m a =，则283AF a =，22BF a =，不满足22AF BF <，舍去；若m a =，2234AF a BF a =<=，符合题意，则16BF a =，5AB a =， 此时22cos 5||445a BF A a BF AB ∠===， 在12F BF 中，22212121222cos F F BF BF BF BF ABF =+-⋅∠，即2224361664542c a a a a =+-⨯⨯⨯，得到222175c e a ==，即22175c a =，∵c e a ==． 故选：B ．【点评】关键点【点评】本题主要考查双曲线的定义、双曲线的离心率及直线与双曲线的位置关系的应用，其中涉及到平面向量的线性运算和余弦定理，求解出22F B AF ⊥是本题的解题关键，属于中档题. 5．C【分析】由向量数量积等式推出l ∵x 轴，求出点Q 坐标，进而得点B 坐标，再代入双曲线方程求解即得. 【解析】由已知得(),0A a ，设(),0F c ，由AQ AB AQ FB ⋅=⋅，得()0AQ AB BF AQ AF ⋅+=⋅=， 所以l x ⊥轴，即:l x a =，不妨设点Q 在第一象限，则(),Q a b . 设()00,B x y ，由3BQ FQ =，得2BF FQ =，()()00,2,c x y a c b ∴--=-， 00322x c a y b =-⎧∴⎨=-⎩，即()32,2B c a b --， 点()00,B x y 在双曲线上，()()22223221c a b ab--∴-=，整理得229120c ac a --=，291210e e ∴--=，解得e =e =负值舍去).故选C. 故选：C【点评】求解双曲线离心率的问题，根据条件建立关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2=c 2-a 2转化为a ，c 的齐次式，再转化为关于e 的方程，解之即可得e . 6．A【分析】设1AF t =，据双曲线的定义可用t 表示22AF BF ，，作2F H AB H ⊥=，构造直角三角形可计算得t ，并用勾股定理列出了)()2222c a -=，进而可求e .【解析】设1AF t =，则222AF t a BF =+=， 从而14BF t a =+，进而4BA a =.过2F 作2F H AB H ⊥=，则2AH a =.如图：在12Rt F F H △中，22sin30F H c c =︒=，122cos F H c AF θ==；在2Rt AF H △中，)()2222c a -=，即2224c a =，所以e = 故选：A【点评】（1）焦点三角形为条件求圆锥曲线的离心率，常利用圆锥曲线的定义；（2）求圆锥曲线的离心率，常利用有关三角形建立关于,,a b c 的齐次等式，再化为e 的等式可求；（3）此题的关键是作2F H AB H ⊥=得直角三角形，即可求出边长，又可用来建立,,a b c 的齐次等式. 7．B【分析】由点A 、B 关于原点对称，设(),B x y ，则(),A x y --，利用3BF FC =，得()43,3C c x y --，再利用0AF FB ⋅=得到关系式222c x y =+，再用点C 、B 在双曲线上，三个式子联立求解得到2223a c +=，化简得到425702e e -+=，即可求得双曲线的离心率.【解析】由点A 、B 关于原点对称，设(),B x y ，则(),A x y --(),0F c ，设(),C m n ，(),BF c x y ∴=--，(),FC m c n =- 3BF FC =，()43333m c x c x m c n y y n =-⎧-=-⎧∴⇒⎨⎨=--=⎩⎩，即()43,3C c x y -- 0AF FB ⋅=，()(),,,AF c x y BF c x y =+=--利用向量数量积公式得：()(),,0c x y c x y +⋅--=，即222c x y =+∵ 又点C 、B 均在双曲线上，22221x y a b ∴-=∵，()()22224331c x y a b ---=∵由∵∵∵可得：2223a c +=两边同时除以2a 可得：212e +=两边同时平方得；()()22212921e e +=-，即()()422227502510e e e e -+=⇒--=又双曲线的离心率1e >，则252e =，即e ==【点评】关键点【点评】本题考查双曲线的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系．本题中利用3BF FC =得到点C 坐标，利用点C 、B 均在双曲线上，得到关系式，再利用0AF FB ⋅=得到关系式，三个式子联立得到所要求的等量关系，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题． 8．B【分析】求出过焦点2F 且垂直渐近线的直线方程，联立渐近线方程，解方程组可得对称中心的点的坐标，代入方程结合222+=a b c ，解出e 即得.【解析】由题意，设点焦点2F 且垂直渐近线的直线方程为：()0ay x c b-=--， 由()0a y x c b b y xa ⎧-=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：2a x c =，ab yc =，所以，对称中心的点坐标为2,a ab c c ⎛⎫⎪⎝⎭，又()2,0F c ，设点()00,P x y ，则200202c x a c y ab c ⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得20022a x c c ab y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点222,a ab P c c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 将点222,a ab P c c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入双曲线的方程可得()222222222241a c a b a c b c--=，又222+=a b c ，化简可得225c a =，故ce a==.【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线离心率的求解和对称问题，属于中档题. 9．D【分析】结合图形，由双曲线的定义及内切圆的性质可得1212AF AF F F FF -=-，即H x a =，同理可得G x a =，从而可得12HG F F ⊥，再由3H G y y =，可得3FH FG =，设直线AB 的倾斜角为θ，在2Rt F FG △和2Rt F FH △中，分别将FH ,FG 用θ表示代入即可求出直线AB 的斜率，再结合直线AB 与双曲线右支交于两点，即可求出b a<进而可求出离心率的取值范围.【解析】不妨设直线AB 的斜率大于0．如图:连接HG ．2HF ，2GF ，设12AF F △的内切圆与三边分别切于点D ，E ，F ，则12121212()AF AF AD DF AE EF DF EF F F FF -=+-+=-=-，所以2()H H a c x c x =+--，即H x a =，同理可得G x a =，所以12HG F F ⊥，设直线AB 的倾斜角为θ，在2Rt F FG △中，2tan ()tan 22FG FF c a θθ==-，在2Rt F FH △中，2tan()tan 222FH FF c a πθπθ-⎛⎫==-⋅- ⎪⎝⎭，又3H G y y =，所以3FH FG =，即()tan 3()tan 222c a c a πθθ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得tan 2θ=，所以22tan2tan 1tan 2==-θθθAB， 由题意，直线AB与双曲线右支交于两点，故ba<所以(1,2)c a =. 故选:D【点评】本题主要考查了结合平面几何知识求双曲线的离心率的取值范围，属于难题. 10．A【分析】先根据OA OB ⊥得到12120x x y y +=，再联立直线方程和双曲线方程利用韦达定理化简得到2222221m a b k b a=+-，从而得到22222211||||b a a b OA OB -+=为定值，即可求解离心率. 【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，直线AB :y kx m =+ 因为OA OB ⊥，即12120OA OB x x y y ⋅=+=联立22221y kx mx y a b=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得()22222222220b a k x kma x a m a b ----=2122222kma x x b a k +=-，()22212222a m b x x b a k-+=-()()()2212121112y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++ 代入得2222212222m b a b k y y b a k-=- 所以()222222*********2220a m b m b a b k x x y y b a k b a k-+-+=+=-- 整理得2222221m a b k b a=+-即由()0,0O 到直线AB :y kx m =+的距离d =所以距离为一个定值又()()222222211||||||||||||||||||OA OB AB OA OB OA OB OA OB +==⋅⋅+ 又11||||||22ABCSOA OB AB d =⋅=⋅ 即()222||||||OA OB AB d ⋅=所以()2222222222211||11||||||||AB k b a dm a bOA OB OA OB +-+====⋅ 又222111||||||OA OB OF +≤所以222221112b a e a bc -≤⇒<≤又b a e >⇒< 12e +<≤ 故选：A【点评】此题考查双曲线的离心率，难点是联立方程后的化简过程，对计算的要求较高，属于较难题目. 11．C【分析】根据12MG F F λ=，得到M G y y a ==，33A G y y a ==，然后由等面积法由()12121123222AF FS c a AF AF c a =⋅⋅=⋅++⋅，结合122AF AF a -=，解得12,AF AF ，再利用距离公式得到2A x a =，进而得到A 的坐标，代入双曲线方程求解即可. 【解析】如图所示：因为12MG F F λ=， 所以12//MG F F ，所以M G y y a ==，33A G y y a ==， 所以()12121123222AF FS c a AF AF c a =⋅⋅=⋅++⋅， 又122AF AF a -=， 解得122,2AF c a AF c a =+=-，设(),A A A x y ，()1,0F c -，所以1AF ==A ex a ==+.所以1A AF a ex =+，解得2A x a =，所以()2,3A a a ，代入双曲线方程得：()()2222231aa ab-=，解得,2b c a ===， 所以2c e a==. 故选：C【点评】本题主要考查双曲线的第一定义和焦半径公式以及内切圆的应用，离心率的求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于难题. 12．D【分析】取AB 中点M ，连结2F M ，因为22AF BF =，所以可得2F M AB ⊥，设22AF BF x ==，根据双曲线的定义求出1F M ，再由勾股定理得出2F M ==，得出22222x a c =+，再由直线l ，即可求出离心率.【解析】如图，因为22AF BF =，则取AB 中点M ，连结2F M ，可得2F M AB ⊥，设22AF BF x ==，因为212AF AF a -=，则12AF x a =-，又因为122BF BF a -=，则12BF x a =+，114AB BF AF a =-=，则2AM BM a ==，则1FM x =，在12Rt F F M中有2=F M 2Rt AF M ∆中有2=F M=，解得22222x a c =+，因为直线l的斜率为2，所以2121tan F MMF F F M ∠===222212c a a c -=+，223c a =，所以离心率e =故选：D【点评】本题主要考查双曲线的性质即离心率的求法，解题的关键是找出双曲线中,,a b c 间的关系. 13．A【分析】首先联立直线l 与双曲线的方程，求得点P ，Q 的坐标，然后根据条件可推出0AP AQ ⋅<，由此得到关于a ，b 的不等式，从而求得22b a的范围，进而求得双曲线离心率的取值范围. 【解析】由222221x y a b by a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得x c =±，所以2,b P c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,b Q c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.因为(),0A a ，所以2,b AP c a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，2,b AQ c a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.又122QAF PAF π∠∠+<，所以2PAQ ππ<∠<，则0AP AQ ⋅<，即()()220b b c a c a a a---+⨯<，整理，得42220b a c a -+<.因为222c a b -=，所以4220b b a -+<，所以221b a <，所以双曲线C 的离心率c e a ==1e >，所以1e << 故选：A.【点评】本题考查双曲线的几何性质、向量的数量积等，考查逻辑推理能力、运算求解能力、数形结合思想，考查的核心素养是逻辑推理，数学运算，属于较难题.关于求解椭圆，双曲线的离心率问题，基本的解题思路是建立椭圆或双曲线中关于a ，b ，c 的关系式，求值问题建立关于a ，b ，c 的等式，求取值范围问题建立关于a ，b ，c 的不等式. 14．A【分析】设()00,B x ，A 点与B 点关于原点对称，M N 、分别为2AF 、2BF 的中点，可得出,,A M N的坐标，再根据原点O 在以线段MN 为直径的圆上，所以有OM ON ⊥,可得出0x 与c 的关系，代入双曲线方程化简即可得出离心率.【解析】设()()000,0B x x >，则()00,A x --，(),0F c ，如图M N 、分别为2AF 、2BF 的中点，00,2x c M -+⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，002x c N +⎛⎫ ⎪⎝⎭，原点O 在以线段MN 为直径的圆上，∴OM ON ⊥即22200204c x OM ON x →→-=-=，解得：03c x =故3c B ⎛ ⎝⎭，把,33c B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入双曲线方程22221x y a b -=可得：22228199c c a b -=，化简得：42249180a a c c -+=即421890e e -+=，解得：29e =+e =故选：A【点评】本题考查了双曲线的几何性质及其应用，由题意得到a 和c 的关系，接下来解关于离心率e 的方程，考查了学生的计算能力，属于较难题. 15．C【分析】由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为60，所以b a =e =即可算出结果.【解析】由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为60，又双曲线的焦点既可在x 轴，又可在y 轴上，所以b a =2e ∴==. 故选：C【点评】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的概念，考查了分类讨论的数学思想. 16．A【分析】由题知ABF 是直角三角形，O 是斜边中点，得AO OB OF c === ，从而求出点A 坐标，得到点M 坐标，再代入双曲线方程化简可得离心率.【解析】AF BF ⊥，ABF 是直角三角形，AO OB OF c ===A 点在渐近线0bx ay -=上，设00(,)bx A x a0(0)x > ，(c,0)F 22222002b x AOx c a 解得：0x a =(,)A a b ，+(,)22c a bM 中点M 在双曲线C 上,代入方程：2222(+)144c a b a b化简得22()=5c a a ，224=0e e 则1e = 故选：A.【点评】本题考查求双曲线离心率. 求双曲线离心率的三种方法:(1)直接求出,a c 来求解e 通过已知条件列方程组，解出,a c 的值． (2)构造,a c 的齐次式，解出e 由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．在解关于离心率e 的二次方程时，要注意利用双曲线的离心率()1+e ，∈∞)进行根的取舍，否则将产生增根．17．A【分析】设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为bx y c a=-，联立方程得到()312222ab y y b a c +=-，()2412222a b y y b a c =-，根据向量关系化简到229b a =，得到离心率.【解析】设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为bx y c a=-. 联立2222,1,b x y c a x y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩整理得()44232420b a y ab cy a b --+=， 则()()3241212222222,ab a b y y y y b a c b a c +==--.因为11122OP OF OQ =+，所以P 为线段1QF 的中点，所以212y y =，()()()()22622221222222224124942a b b a c y y b y y b a b a c a b -+===⋅--，整理得229b a =，故该双曲线的离心率e = 故选：A .【点评】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力. 18．B【分析】计算得到2122PF F F c ==，122PF c a =-， ()13QF c a =-，23QF c a =-，根据1212cos cos PF F QF F ∠=-∠，利用余弦定理得到2251270c ac a -+=，计算得到答案.【解析】2122PF F F c ==，故12222PF PF a c a =-=-，1132PF QF =，故()13QF c a =-，故2123QF a QF c a =+=-.根据余弦定理222112212112cos 2PF F F PF PF F PF F F +-∠=⋅，222112212112cos 2QF F F QF QF F QF F F +-∠=⋅，1212cos cos PF F QF F ∠=-∠，化简整理得到：2251270c ac a -+=，即251270e e -+=，解得75e =或1e =（舍去）. 故选：B .【点评】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 19．A【分析】由式子tan tan()C A B =-+和tan tan 2tan 0A B C ++=可得：2(tan tan )tan tan 01tan tan A B A B A B++-=-，进而可得出tan tan 1A B =-，设点(,)c c C x y 在第一象限，分别求得tan c c y A x a =+，tan cc y B x a =--，代入tan tan 1A B =-可得：221b a =，最后求出离心率即可.【解析】tan tan tan tan()1tan tan A B C A B A B +=-+=--，2(tan tan )tan tan 01tan tan A B A B A B++-=-，∵2(tan tan )101tan tan A B A B ⎛⎫+-= ⎪-⎝⎭，tan tan 0A B +≠， ∵1tan tan 2A B -=，即tan tan 1A B =-， 设点(,)c c C x y 在第一象限，则tan c c y A x a =+，tan c cy B x a =--，222tan tan c c y A B x a =--，22221c cx y a b -=，∵22221c cx y b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，22tan tan 1b A B a =-=-，∵221b a =，e == 故选：A.【点评】本题考查两角和的正切公式，考查双曲线的简单几何性质，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 20．C【分析】根据,,A B P 三点共线得到1λμ+=，计算得到,3bc P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，代入双曲线方程，化简得到答案.【解析】渐近线为：a y x b =±，取y c =，解得bcx a=±，则,,,bc bc A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. OP OA OB λμ=+，且,,A B P 三点共线，故1λμ+=，2259λμ+=， 则1323λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或2313λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，不妨取1323λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则,3bc P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 代入双曲线方程得到：222219c c a a -=，即281,94e e ==.故选：C .【点评】本题考查了双曲线的离心率，根据共线得到1λμ+=是解题的关键. 21．D【分析】由题意，求出1c a b =---，分解函数的表达方式为一个一次因式与一个二次因式的乘积，通过函数的零点即可推出a ，b 的关系利用线性规划求解22a b +的取值范围即可. 【解析】依题意得10a b c +++=，故1c a b =---，所以()()()2111f x x x a x a b ⎡⎤=-+++++⎣⎦.另外两根分别是一椭圆、一双曲线的离心率，故()()211g x x a x a b +=++++有两个分别属于()0,1和()1,+∞的零点.故有()00g >且()10g <，即10a b ++>且230a b ++<. 运用线性规划知识，以横轴为a ，以纵轴为b ，作出不等式组10230a b a b ++>⎧⎨++<⎩所表达平面区域,为阴影部分可求得()225,a b +∈+∞.故选D.【点评】椭圆离心率()0,1e ∈，双曲线离心率()1,e ∈+∞，本题考查函数零点问题，线性规划问题，综合性比较强，有一定难度. 22【解析】【分析】设点P 的坐标为(),c t ，求出点M 的坐标2,b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，由APB ∆的外接圆面积取最小值时，APB ∠取到最大值，则()tan tan APB APF BPF ∠=∠-∠，利用基本不等式求出tan APB ∠的最小值，利用等号成立求出t 的表达式，令2bt a=求出双曲线的离心率的值．【解析】如下图所示，将x c =代入双曲线的方程得22221c ya b-=，得2b y a =±，所以点2,b M c a ⎛⎫⎪⎝⎭，设点P 的坐标为()(),0c t t >，由APB ∆的外接圆面积取最小值时，则APB ∠取到最大值，则tan APB ∠取到最大值，tan a c APF t +∠=，tan c aBPF t-∠=，()tan tan tan tan 1tan tan APF BPFAPB APF BPF APF BPF∠-∠∠=∠-∠=+∠⋅∠2222211c a c a aa a t t t c a c ab b b t t t t t +--===≤=+-+⋅++， 当且仅当()20b t t t=>，即当t b =时，等号成立，所以，当t b =时，APB ∠最大，此时APB ∆的外接圆面积取最小值，由题意可得2b b a =，则1b a =，此时，双曲线的离心率为e ==，．【点评】本题考查双曲线离心率的求解，考查利用基本不等式求最值，本题中将三角形的外接圆面积最小转化为对应的角取最大值，转化为三角函数值的最值求解，考查化归与转化思想的应用，运算量较大，属于难题． 23．6【分析】由于线段1PF 的垂直平分线过2F ，所以有122F F PF =，再根据双曲线和椭圆的定义，求出2c 的表达式，然后利用基本不等式来求得最小值.【解析】设椭圆对应的参数为11,,a b c ，双曲线对应的参数为22,,a b c ，由于线段1PF 的垂直平分线过2F ，所以有1222F F PF c ==.根据双曲线和椭圆的定义有11122222PF c a PF c a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，两式相减得到()1242c a a =-，即122a a c -=.所以2121222224222e a a c c e c a c a +=+=++46≥+=，即最小值为6.【点评】本小题考查双曲线的定义和几何性质，考查椭圆的定义和几何性质，是一个综合性较强的题目.由于椭圆和双曲线有公共的焦点，所以焦距相同，也就是有相同c .对于两个曲线的公共交点来说，即满足椭圆的定义，又满足双曲线的定义，根据定义可列出方程.再利用基本不等式可求得最小值.24【分析】在12F PF △中，利用正弦定理：12122sin F F R F PF =∠，求得R =，14r R ==，设12,PF m PF n ==，再利用余弦定理求得mn ，然后由121sin 23F PF Smn π=()122m n c r =++求解． 【解析】双曲线的焦点为()()1212,0,,0,2F c F c F F c -=， 在12F PF △中，由正弦定理得：121222sin 3sin3F F c R F PF π===∠，解得3R c =，146r R ==， 设12,PF m PF n ==，在12F PF △中，由余弦定理得：()222242cos3c m n mn m n mn π=+-=-+，解得()224mn c a =-，所以)12221sin23P F F S c mn a π==-△，因为()()()222222244161612m n m n mn a c a c a +=-+=+-=-又()()12212212F PF m n c Sm n c r ++=++=，)()22212m c a n c ++-=，则221012c a m n c -+=所以()22222210121612c a m n c a c ⎛⎫-+==- ⎪⎝⎭整理得44222136570c a a c +-=，则()()222221360c a c a --=解得c e a ==1e =（舍去）故答案为：7． 【点评】关键点【点评】本题的关键在于结合正余定理以及121sin 23F PF Smn π=()122m n c r =++化简求解．25．4【分析】根据双曲线的定义以及圆的切线定理得到2242GF MF a +-=，进而得到28a =，求出a ，即可求出双曲线的离心率.【解析】解：如图所示：设1AMF 的内切圆在1,AF AM 上的切点分别为,E G ，由双曲线的定义知：122MF MF a -=， 即1242NF MF a +-=， 又112NF EF GF ==， 即2242GF MF a +-=， 即42GM a +=，又4GM MN ==，28a ∴=，即4a =， 则216a =，2426a +=+=，222166=22c a a ∴=++=+，即c =4e ∴=故答案为：4. 【点评】关键点【点评】本题解题的关键是利用双曲线的定义以及切线长定理得到2242GF MF a +-=. 26．2【分析】设(),P x y ，()11,A x y ，()11,B x y --，显然1x x ≠，1x x ≠-，又由点A ，P 在双曲线上得221122222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，结合斜率公式可推得2122b k k a =，令12t k k =，构造函数62ln y t t=+，利用导数求出函数的最小值，然后计算出双曲线的离心率.【解析】设(),P x y ，()11,A x y ，()11,B x y --，显然1x x ≠，1x x ≠-．∵点A ，P 在双曲线上，∵221122222211x y a bx y ab ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式相减得22212221y y b x x a-=-，∵222111122221110AP BPy y y y y y b k k k k x x x x x x a-+-==⋅==>-+-， ∵()2212121212616ln ln 2ln y k k k k k k k k =⋅++=+⋅⋅，设12t k k =，则()62ln 0y t t t=+>， ∵求导得226226t y t t t-'=-+=， ∵62ln y t t=+在()0,3单调递减，在()3,+∞单调递增， ∵当3t =时，62ln y t t=+取最小值，此时2e ===．故答案为：2【点评】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，利用导数求函数的最值，直线的斜率公式，考查了学生的运算求解能力. 27．65【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，将直线的方程和双曲线的方程联立消元得出24121222223,33c b y y y y a b a b-+==--，由4AF FB =可得124y y =-，这几个式子再结合222b c a =-化简可得65c a =【解析】因为直线AB 过点(c,0)F所以直线AB 的方程为：)y x c =-与双曲线22221x y a b-=联立消去x ，得22224103b a y cy b ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭设()()1122,,,A x y B x y所以412122233b y y y y a b-+==-因为4AF FB =，可得124y y =-代入上式得4222223343b y y a b--=-=-消去2y 并化简整理得：22243(3)34c a b =- 将222b c a =-代入化简得：223625c a = 解之得65c a =因此，该双曲线的离心率65c e a== 故答案为：65【点评】1.直线与双曲线相交的问题，常将两个的方程联立消元，用韦达定理表示出横（纵）坐标之和、积，然后再结合条件求解 2.求离心率即是求a 与c 的关系.。
离心率题型专练
1．点P 是双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>与圆22222:C x y a b +=+的一个交点，且12212PF F PF F ∠=∠，其中1F ，2F 分别为双曲线1C 的左右焦点，则双曲线1C 的离心率为（ ） A.31+ B.312+ C.512+ D.51- 【答案】A.【解析】试题分析：由题意可知，圆222222:C x y a b c +=+=，画出如下示意图，从而可知1290F PF ∠=，又∵12212PF F PF F ∠=∠，∴1230PF F ∠=，2160PF F ∠=， ∴123231cPF PF c c a e a-=-=⇒==+. .考点：双曲线的性质.2．已知点,,P A B 在双曲线12222=-by a x 上，直线AB 过坐标原点，且直线PA 、PB 的斜率之积为31，则双曲线的离心率为（ ） A.332 B.315 C.2 D.210【答案】A 【解析】试题分析：因为直线AB 过原点，且在双曲线上，所以,A B 两点关于原点对称，则可设111122,,,,,A x y Bx y P x y ，所以2121PAy y k x x ，2121PB y y k x x ，由题意得222121212221212113PA PBy y y y y y k k x x x x x x ，又由2211221x y a b ，2222221x y a b ，相减得2222212122x x y y a b ，即222212222113y y b a x x ，2213b a ，所以2222242333a c ab eaa a .故正确答案为A. 考点：1.直线与双曲线；2.双曲线的离心率.3．设点P 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，I为21F PF ∆的内心，若21212F IF IPF IPF S S S ∆∆∆=+，则该椭圆的离心率是A ．21 B ． 22 C ．23 D ．41【答案】A【解析】试题分析：如下图所示设21F PF ∆的内切圆半径为r ，根据内心的性质，有111||2IPF S PF r ∆=⋅，221||2IPF S PF r ∆=⋅，12121||2PF F S F F r ∆=⋅． 12122IPF IPF IF F S S S ∆∆∆+=，即1212111||||2||222PF r PF r F F r ⋅+⋅=⨯⋅1211||||2||PF PF F F ∴+=故椭圆的离心率1212||212||||2F F c c e a a PF PF ====+，所以正确选项为A ． 考点：①三角形内切圆的性质；②椭圆的定义和性质．4．已知0a b >>，12,e e 分别为圆锥曲线22221x y a b +=和22221x y a b -=的离心率，则12lg lg e e +的值为（ ）A ．正数B ．负数C ．零D ．不确定【答案】B 【解析】试题分析：由题意，,0>>b a ab a e a b a e 222221,+=-=，1)(1421<-=a b e e12lg lg e e +)lg(21e e =01lg =<，所以选C.考点：圆锥曲线的性质及对数的运算.5．过椭圆22221x y a b+=)0(>>b a 的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为（ ）． A.25 B.33 C.21 D.31【答案】B 【解析】试题分析：由题意得点P 的坐标为),(),(22ab c a b c ---或，因为02160=∠PF F所以322=ab c ，即)(332222c a b ac -==，所以03232=-+e e 解得333-==e e 或（舍去），答案为B 考点：椭圆的简单性质6．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与圆2222:C x y b +=，若在椭圆1C 上不存在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ）A.0,2⎛⎝⎭ B.⎛ ⎝⎭C.[,1)2D.[2 【答案】A【解析】试题分析：如图所示，若椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>上不存在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，由于自椭圆长轴端点（顶点）所做圆的切线形成的角最小，所以045APO ∠>,0sin sin 45APO ∠>，即2b a >，所以22212b e a =-<，选A .考点：1.椭圆的几何意义；2.直线与圆的位置关系.7．已知椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若BF AF ⊥，设α=∠ABF ，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,6ππα，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ） A 、]13,22[- B 、)1,22[ C 、]23,22[ D 、]36,33[ 【答案】A 【解析】 试题分析：：∵B 和A 关于原点对称 ∴B 也在椭圆上 设左焦点为F ′根据椭圆定义：a F A AF 2||||='+又∵=||AF ||BF ∴+||AF ||BF a 2= ①o 是ABF Rt ∆的斜边中点，∴c AB 2||=又αsin 2||c AF = ②αcos 2||a BF = ③②③代入①αsin 2c +αcos 2a a 2= ∴)4sin(21cos sin 1πααα+=+=a c即)4sin(21πα+=e⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,6ππα∴125π24ππα≤+≤,1)4sin(426≤+≤+πα 所以1322-≤≤e . 考点：椭圆的性质．8F ，过F 作圆222a y x =+的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为（ ） A 、210B 、5C 、2D 、5 【答案】D 【解析】试题分析：设双曲线的右焦点为F ',||,||,||b EF a OE c OF =∴== 因为E 为PF 的中点， ∴a F P b PF 2||,2||='=， ∵a F P PF 2||||='- ∴a b 2=，所以，5122=+=ab e .考点：双曲线的性质和应用.9．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =，则双曲线的离心率是（ ）A B D 【答案】C 【解析】试题分析：由已知得：A 点坐标为（a ，0），直线AB 的方程为0=-+a y x ，双曲线的渐进线的方程为x a by ±=，联立方程可的B 、C 两点的坐标分别为),(2b a ab b a a ++，),(2ba abb a a ---，由12AB BC =得ab 2=，所以离心率5)2(222222=+=+==aa a ab a ac e ，答案选 C. 考点：10．已知双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>的左、右焦点分别为1F ，2F ,过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线,垂足为H ,若2F H 的中点M 在双曲线C 上,则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．3 【答案】A【解析】试题分析：由题意得双曲线2222:1(,0)x y C a b a b -=>的一条渐近线方程是x aby =，则H F 2方程为)(0c x b a y --=-代入渐近线方程x aby =可得),(2c ab c a ，故H F 2的中点)2,2(2c ab c a c M +中点在双曲线上，所以,144)(2222222=-+cb b a ac a c 所以222=a c ，所以2=ac，所以双曲线C 的离心率2. 考点：双曲线的标准方程及简单性质的应用.11．从椭圆的短轴的一个端点看长轴的两个端点的视角为120°，那么此椭圆的离心率为（ ） A.B.C. D.【答案】D 【解析】试题分析：结合图形，得出a 、b 之间的关系，再根据a 2=b 2+c 2推导出a 、c 之间的关系，根据e=求解即可．解：∵从椭圆的短轴的一个端点看长轴的两个端点的视角为120°，∴tan60°==，∴a 2=3b 2=3（a 2﹣c 2）⇒2a 2=3c 2⇒=，∴e==．故选D点评：本题考查椭圆的离心率．12．过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率e等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：根据由题设条件可知，|F1F2|=2c，由此可以求出双曲线的离心率e．解：由题意可知，|F1F2|=2c，∵∠，∴，∴4a2c2=b4=（c2﹣a2）2=c4﹣2a2c2+a4，整理得e4﹣6e2+1=0，解得或（舍去）故选C．点评：本题考查双曲线的离心率，解题要注意时双曲线的离心率大于1．13．已知三个数2，m，8构成一个等比数列，则圆锥曲线2212x ym+=的离心率为（）A．22B3 C．223．226【答案】C【解析】试题分析：由2，m，8构成一个等比数列，可得m＝4或m＝－4当m＝4时，2212x ym+=表示椭圆，其中a＝2，b2，故c2离心率为e＝22 ca=当m ＝－4时，2212x y m +=表示双曲线，其中a，b ＝2，故c离心率为e＝ca=考点：等比数列，椭圆与双曲线的离心率14．从一块短轴长为b 2的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[]224,3b b ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,23B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,35C.⎥⎦⎤ ⎝⎛35,0D.⎥⎦⎤⎝⎛23,0【答案】B【解析】试题分析：设椭圆的标准方程为2222x y a b+=1，在第一象限内取点（x ，y ），设x=acosθ，y=bsinθ，（0＜θ＜2π）， 则椭圆的内接矩形长为2acosθ，宽为2bsinθ，内接矩形面积为2acosθ•2bsinθ=2absin2θ≤2ab ，由已知得：3b 2≤2ab≤4b 2，3b≤2a≤4b ，平方得：9b 2≤4a 2≤16b 2， 即，9（a 2-c 2）≤4a 2≤16（a 2-c 2），整理得5a 2≤9c 2且12 a 2 ≥16 c 2，∴32c a ≤≤，即e ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,35，故选B. 考点：椭圆的基本性质，离心率.15．已知二次曲线224x y m+=1，则当[]1,2--∈m 时，该曲线的离心率e 的取值范围是 （ ） A．22 B．[22 C．,22 D．22【答案】C 【解析】试题分析：由题意可知：二次曲线为双曲线，且m b a -==22,4，所以m c -=42，因为[]1,2--∈m ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-==26,2524m a c e ，所以选C ． 考点：双曲线性质的应用．16．已知双曲线方程224312x y -=，则双曲线的离心率为（ ）A.73B.3【答案】B 【解析】试题分析：由双曲线方程224312x y -=，即22134x y -=，则2a b ==，c ==3c e a ===.故正确答案为B. 考点：双曲线方程、离心率.17．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线，一条渐近线方程是y =，则双曲线的离心率是( )B.322 【答案】D【解析】试题分析：由题意b a =，∴22)14(be a=+= ，∴2e =，故选：D ． 考点：双曲线的简单性质．18．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．16 B ．13C．6 D．3【答案】D【解析】试题分析：∵线段1PF 的中点在y 轴上设P 的横坐标为x ，()0,1c F -，∴c x x c =⇒=+-0； ∴P 与2F 的横坐标相等，∴x PF ⊥2轴，考点：椭圆的性质.19．设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为 （ ） A ．45 B ．2 C ．2 D ．35【答案】D【解析】试题分析：由已知得，在12PF F ∆中，212PF F F ==2c ，由双曲线定义得，122PF a c =+，过点2F 作21F M PF ⊥，垂足为M ，则在2Rt PF M ∆中有222()(2)(2)a c a c ++=，化简得2252ac 3c 0a +-=，23e 2e 50--=，得5e 3=．考点：1、双曲线的标准方程；2、双曲线的简单几何性质．20．已知12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，以坐标原点O 为圆心，1OF 为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ,则当12PF F 的面积等于2a 时，双曲线的离心率为 （ ） A ．2 B ．3 C ．26D ．2 【答案】A【解析】试题分析：设c F F x PF x PF 2,,212211===，由于三角形21F PF 为直角三角形，()22222142c c x x ==+∴由双曲线的定义得a x x 221=-，两边平方得222212142a x x x x =+-，得()22212a c x x -=，由三角形的面积得22121a x x =，得2212a x x =，222a a c =-∴，即222a c =，离心率222===a c a c e ，故答案为A ．考点：双曲线的性质．21．．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点A 作与实轴垂直的直线，交两渐近线于M ,N 两点，F 为该双曲线的右焦点，若△FMN 的内切圆恰好是222x y a +=，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B 【答案】A 【解析】试题分析：双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为0=±ay bx ，直线ax -=与渐近线的交点()()b a N b a M ---,,,，由于()0,c F ，()22b c a FN ++=，根据FON ∆面积公式得()bc a b c a ⋅=⋅++⋅212122，()bb c a ac e 22++==∴，1222222222-+=-+=∴e ee a c ac c e 化简得0233=--e e ，解得2=e 考点：双曲线的离心率．22．直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ ）B.1223【答案】C【解析】试题分析：直线220x y -+=与两坐标轴的交点为()()0120，，， ，而椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点一定在x轴上，所以，1,2b c a ==⇒===，所以5c e a ===故选C.考点：椭圆的标准方程与简单几何性质.23．已知2221x a b2y ＋＝（a ＞b ＞0），M ，N 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上任意一点，且直线PM 、PN 的斜率分别为1k ，2k （1k 2k ≠0），若｜1k ｜＋｜2k ｜的最小值为1，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B ．2C ．2D ．3试题分析：设()ααsin ,cos b a P ()()aa b k a a b k a N a M +=-=∴-ααααcos sin ,cos sin 0,,0,21则 =+∴21k k ()()()()aba b a b b a a b a a b 2sin 2cos 1cos 1cos 1sin cos 1sin cos sin cos sin ≥=+--++=++-ααααααααααα，由题意可得：12=ab所以23=e . 考点：椭圆的性质. 24．双曲线12222=-b x a y 与抛物线y x 82=有一个公共焦点F ，双曲线上过点F 且垂直实 轴的弦长为332，则双曲线的离心率等于 （ ） A.2 B.332 C.223 D.3 【答案】B【解析】试题分析：在双曲线12222=-bx a y 中，令22b a y +=，得到a b x 2=，所以双曲线上过点f 且垂直轴的弦长为2a b 2∴2ab 2=332又因为抛物线y x 82=的焦点为(0,2) 所以a²+b²=4两式联立，得到3a =，得b=1，所以离心率e=332，故选B. 考点：圆锥曲线性质.25．双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）A C试题分析：设)0,(),0,(21c F c F -，易求M 坐标为),(2a b c M ，在三角形21F MF 中，3330tan tan 212021===∠F F MF F MF 即3322222=-=ac a c ac b ，由a c e =得3=e ，答案选B.考点：双曲线的性质26．过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A ，B 两点，设双曲线的左顶点为M ，若点M 在以AB 为直径的圆的内部，则此双曲线的离心率e 的取值范围为A ．),23(+∞B ．)23,1( C ．),2(+∞ D ．)2,1( 【答案】C 【解析】将222a c b -=，并化简整理，得0222<-+c ac a ，两边都除以2a ，整理得022>--e e ，解之得2>e （舍负）故选：C . 考点：双曲线的简单性质 .27．椭圆)320(112222<<=+b by x 与渐近线为02=±y x 的双曲线有相同的焦点21,F F ,P 为它们的一个公共点,且 9021=∠PF F ,则椭圆的离心率为（ )（A ）6（B)6 （C ）6 （D)6【答案】C【解析】试题分析：解：设F 1F 2=2c ，在双曲线中，=，a 2+b 2=c 2，得a 2=．不妨设p 在第一象限，则由椭圆的定义得PF 1+PF 2=，由双曲线的定义得PF 1-PF 2=2a=又∠F1PF2=90°∴PF 12+PF 22=4c 2∴48+=8c 2，解c=，∴e===．故选C考点：椭圆及其性质．28．如图所示，已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A 、B 两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为 （A ）324 （B ）233 （C ）305 （D ）52【答案】B 【解析】试题分析：双曲线22221(x y a b a b -=>>的渐近线方程为x aby ±=，∵直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，∴2222212b a abab a bk OA-=-=，∴直线l 的方程为)(222c x b a aby --=，与x a b y ±=联立，可得2232b a abc y --=或222ba abcy +=， ∵FB AF 2=， ∴)32(222222b a abc b a abc -⋅=+，∴c=2b ，考点：双曲线的简单性质.29．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 是抛物线28y x =的焦点，两曲线的一个公共点为P ，且||5PF =，则双曲线的离心率为A ．2 D ．3【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点为()()0,2,0,21F F -，且两曲线的一个公共点为P 在y 轴右侧，因为||5PF =，因此可设点()62,3P ,所以71=PF ,所以221=-=PF PF a ， 所以双曲线的离心率为2==ace ． 考点：双曲线、抛物线的定义及性质．30．对于任意给定的实数m ，直线03=+-m y x 与双曲线0(12222>=-a by a x ，)0>b 最多有一个交点则，双曲线的离心率等于A ．2B ．2C ．3D ．10 【答案】D【解析】试题分析：由条件可得：双曲线的渐近线方程为x aby ±=，又因为直线03=+-m y x 与双曲线0(12222>=-a by a x ，)0>b 最多有一个交点，所以直线03=+-m y x 与渐近线方程x aby ±=平行，所以3=a b ，所以双曲线的离心率1010===a a a c e ． 考点：双曲线的性质．31．已知椭圆C 的上、下顶点分别为1B 、2B ，左、右焦点分别为1F 、2F ，若四边形1122B F B F 是正方形，则此椭圆的离心率e 等于A ．13 B ．12C ．22D ．32【答案】C【解析】试题分析：设椭圆的方程为：()012222>>=+b a by a x ，则由题意可得c b =，所以椭圆的离心率22==a c e ． 考点：椭圆的离心率．32．过点M （1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）相交于A ，B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,∵ 过点M （1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）相交于A ，B ，若M 是线段AB 的中点，∴两式相减可得2221202a b ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ , 2222,,2c a b c a b b e a ∴=∴=-=∴== .故选A. 考点：直线与圆锥曲线的综合问题 33．设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x 2+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．5C ．D ．【答案】D 【解析】试题分析：将双曲线的渐进线方程x aby =代如抛物线方程y=x 2+1中化简得02=+-b ax bx ，由只有一公共点可知0422=-=∆b a 即224b a =，所以，答案选D.考点：1.双曲线的渐进线方程；2.直线与抛物线的位置关系 34．设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A.12 B. 23 C.34 D.45【答案】C 【解析】试题分析：∵△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF 2|=|F 2F 1|∵P 为直线32ax =上一点332()224a c c c e a ∴-=⇒==,故选C ．考点：椭圆的几何性质．35．已知抛物线24y x =的准线与双曲线2221x y a-=()0a ＞交于,A B 两点，点F 为抛物线的焦点，若FAB ∆为直角三角形，则双曲线的离心率是（ ） 36 【答案】B 【解析】试题分析：抛物线24y x =的准线为1x =-，它与双曲线2221x y a-=()0a ＞交于,A B两点，则坐标为211,1a ⎛-- ⎝，抛物线的焦点(1,0)F ，因为FAB ∆为直角三角形，2112a -=，从而有5a =65c =，因此6ce a == B. 考点：圆锥曲线的性质.36．已知F 2、F 1是双曲线22y a -22x b=1(a>0，b>0)的上、下焦点，点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）A ．3 BC ．2 D【答案】C 【解析】试题分析：设2F 关于渐近线的对称点为P ，P F 2的中点为M ，连接1,PF OM ，则1//PF OM21PF PF ⊥∴，又c F F 221= ，c PF =1，点2F 到渐近线的距离b ba bc d =+=22()()22222b c c +=∴，即224a c =，2=e考点：双曲线性质的应用.37．已知双曲线22221x y a b-=，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为1：2的两部分，则双曲线的离心率为（ ）【答案】B 【解析】试题分析：由题意知圆的圆心()0,a 半径a r =∴圆的方程()222a y a x =+-，渐近线方程x aby =即0=-ay bx 渐近线分弧长为1：2，劣弧所对角为32π由余弦定理得弦长2222332cos 2a a a a a l =⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅-+=πa l 3=∴，圆心()0,a 到直线0=-ay bx 的距离22322aa d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=222aba ab =+∴化简得223b a =3323422222==+===∴a b a a c a c e 考点：双曲线性质的综合应用.38．斜率为2的直线l 过双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，则双曲线的离心率e 的取值范围是 （ ）A.)2,(-∞B.)3,1(C.)5,1(D.),5(+∞ 【答案】D【解析】试题分析：如图,要使斜率为2的直线l 过双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，必须且只需2>ab即可,从而有5442222222>⇔>-⇔>ac a a c a b 所以有离心率5>e ,故选D.考点：双曲线的离心率.39．已知抛物线22y px =（0p >）的焦点F 为双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰过点F ，则该双曲线的离心率为（ ） 2 B.123 D.13【答案】B 【解析】试题分析：抛物线22y px =（0p >）的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，它也是双曲线22221x y a b -=（0,0a b >>）的一个焦点，所以有2pc =①，由两曲线交点的直线恰过点F ，可知它们在第一象限的交点为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，此点也在双曲线上，故有222214p p a b -=②，由①②消去p ，得222241c c a b-=，即422460c a c a -+=，即42610e e -+=，因为1e >，所以12e =+选择B ，求离心率的值关键是寻找到关于,,a b c 的等式，然后转化到e 的方程，从而解出e .考点：圆锥曲线的性质40．如图，已知椭圆221:111x C y +=，双曲线22222:1y x C a b-=(a ＞0，b ＞0)，若以C 1的长轴为直径的圆与C 2的一条渐近线交于A ，B 两点，且C 1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则C 2的离心率为（ ）A 、5B 175214【答案】C 【解析】试题分析：由已知，|OA|＝a 11设OA 所在渐近线的方程为y ＝kx(k ＞0)，于是A 点坐标可表示为A(x 0，kx 0)(x 0＞0) 于是20111k x +，即A(221111,11k k k ++)，进而AB 的一个三分点坐标为221111,3131k k k ++)该点在椭圆C 1上，有222119(1)111119(1)k k k ++=+，即2211119(1)k k +=+，得k ＝2 即b a ＝2，于是225c a b a +，所以离心率5c e a=，选C考点：圆的方程，椭圆的性质，双曲线的性质，双曲线的渐近线，直线与圆锥曲线的位置关系，双曲线的离心率.。
双曲线离心率专题
双曲线离心率专题一．选择题（共40小题）1．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点P，若点P在以线段F1F2为直径的圆，则双曲线离心率的取值围是（）A．（1，2）B．（1，）C．（，2）D．（2，+∞）2．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个顶点分别为A，B，点P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的倾斜角分别为α，β．若=﹣，则C的离心率为（）A．B．C．D．3．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），过原点的一条直线与双曲线交于A，B两点，点F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF=，则该双曲线离心率e的值为（）A．2B．C．2D．4．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为双曲线的两个焦点，若双曲线上存在点P使得，则双曲线离心率的取值围为（）A．（1，+∞）B．[2，+∞）C．D．5．双曲线C1：（a＞0，b＞0）的焦点为F1（0，﹣c）、F2（0，c），抛物线C2：的准线与C1交于M、N两点，且以MN为直径的圆过F2，则椭圆的离心率的平方为（）A．B．C．D．6．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．圆x2+y2=a2+b2与双曲线C的右支交于点A，且2|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．7．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞）的左焦点为F，右顶点为E，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线C相交于不同的两点A，B，若△ABE为锐角三角形，则双曲线C的离心率的取值围为（）A．（1，2）B．（1，2]C．（2，3]D．[2，3）8．已知双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M，N 在E上，MN∥F1F2，|MN|=|F1F2|，线段F2M交E于点Q．且=，则E的离心率为（）A．B．C．2D．10．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线将第一象限三等分，则C1的离心率为（）A．或B．2或C．2或D．或11．已知F为双曲线C：x2﹣m2y2=3（m＞0）的一个焦点，若点F到C的一条渐近线的距离为3，则该对曲线的离心率为（）A．B．2C．D．312．设F1，F2分别为椭圆与双曲线C2公共的左、右焦点，两曲线在第一象限交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|=2，若椭圆C1的离心率，则双曲线C2的离心率e2的取值围是（）A．（1，5]B．[2，4]C．[2，5]D．[4，5]13．已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线的经过点（﹣2，1），则它的离心率为（）A．B．C．D．14．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的实轴为A1A2，虚轴的一个端点为B，若三角形A1A2B的面积为b2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．15．过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P．若点P的横坐标为2a，则C的离心率为（）A．B．C．D．16．若双曲线C的渐近线与实轴的夹角为，则该双曲线的离心率为（）A．3B．2C．D．17．已知双曲线，四点P1（2，1），P2（1，0），P3（﹣2，），P4（2，）中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．518．若双曲线的渐近线与抛物线相切，则C的离心率为（）A．B．C．2D．19．过双曲线的左焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的右顶点，若点M在以AB为直径的圆的外部，则此双曲线的离心率e 的取值围为（）A．（）B．（1，）C．（2，+∞）D．（1，2）20．已知双曲线C1：（a＞0，b＞0）的焦点为F1（0，﹣c），F2（0，c），抛物线C2：的准线与C1交于M、N两点，且MN与抛物线焦点的连线构成等边三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．21．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C右支上的一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的切圆在边AF2上的切点为Q，若|F2Q|=2|AQ|，|OA|=b（O是坐标原点）则双曲线C的离心率是（）A．B．C．5D．+122．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线E右支上的一点，若线段PF1的中点恰好是虚轴的一个端点，则双曲线E 的离心率为（）A．B．C．2D．23．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．24．设F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点．若双曲线上存在点M，使∠F1MF2=90°，且|MF1|=2|MF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．2D．25．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），若直线1：y=（x+c）（c为双曲线的半焦距）恰好与圆：x2+y2=a2相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．26．设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M是双曲线右支上一点，|MF2|=|F1F2|，并且sin∠F1MF2=，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．27．已知双曲线的标准方程，F1，F2为其左右焦点，若P是双曲线右支上的一点，且tan∠PF1F2==2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．28．若双曲线的焦点都在直线x+2y﹣4=0的下方，则C的离心率的取值围为（）A．（4，+∞）B．（1，4）C．（2，+∞）D．（1，2）29．若m＜﹣2，则双曲线的离心率的取值围是（）A．B．C．D．30．已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线与y轴所形成的锐角为30°，则双曲线M的离心率是（）A．B．C．2D．或231．直线x=2a与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）在第一和第四象限分别交于点M和N．O为坐标原点，A为y轴上一点〔（不与O重合），若∠AOM=∠MON，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．32．双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，过右焦点F2作实轴的垂线交双曲线C于M，N两点若△MNF1是直角三角形，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．33．已知双曲线﹣=1，经过点M（2，2），则其离心率e=（）A．B．C．D．34．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2=45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．35．已知点P（1，2）在双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线上，则C的离心率是（）A．B．C．D．36．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右支于P，Q两点，PQ⊥PF1，且|PF1|、|PQ|、|F2Q|依次成等差数列，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．37．已知双曲线的渐近线方程为y=，则双曲线的离心率（）A．B．C．或D．或38．设双曲线的一个焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线C的离心率为（）A．B．2C．D．39．若双曲线的两个焦点为F1，F2，若双曲线上存在一点P，满足|PF1|=3|PF2|，则该双曲线的离心率的取值围是（）A．1＜e＜2B．1≤e≤2C．1＜e≤2D．1≤e＜2 40．F为双曲线（a＞0，b＞0）右焦点，M，N为双曲线上的点，四边形OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN的面积为bc，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．双曲线离心率专题参考答案与试题解析一．选择题（共40小题）1．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点P，若点P在以线段F1F2为直径的圆，则双曲线离心率的取值围是（）A．（1，2）B．（1，）C．（，2）D．（2，+∞）【解答】解：设F1（﹣c，0），双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线方程为y=（x+c），联立渐近线方程y=﹣x，可得交点P（﹣c，），点P在以线段F1F2为直径的圆，可得（﹣c）2+（）2＜c2，即有＜3，可得双曲线的离心率e==＜2，但e＞1，即1＜e＜2．故选：A．2．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个顶点分别为A，B，点P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的倾斜角分别为α，β．若=﹣，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），点P（m，n）是C上异于A，B的一点，可得﹣=1，即有=，设k1=tanα=，k2=tanβ=，k1k2=tanαtanβ===，若=﹣，则==﹣，解得tanαtanβ=5，即b2=5a2，可得双曲线的离心率为e===．故选：D．3．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），过原点的一条直线与双曲线交于A，B两点，点F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF=，则该双曲线离心率e的值为（）A．2B．C．2D．【解答】解：如图，可设|AF|=m，|OF|=c，F'为双曲线的左焦点，连接AF'，BF'，可得四边形AFBF'为矩形，在直角三角形ABF中，∠ABF=，即有|BF|=m，|AF'|=m，2c=2m，2a=m﹣m，则双曲线的离心率e===+1．故选：B．4．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为双曲线的两个焦点，若双曲线上存在点P使得，则双曲线离心率的取值围为（）A．（1，+∞）B．[2，+∞）C．D．【解答】解：设P（m，n），可得m2+n2≥a2，由•=（﹣c﹣m，﹣n）•（c﹣m，﹣n）=m2﹣c2+n2=﹣c2，可得m2+n2=c2，则c2≥a2，即有e=≥，故选：C．5．双曲线C1：（a＞0，b＞0）的焦点为F1（0，﹣c）、F2（0，c），抛物线C2：的准线与C1交于M、N两点，且以MN为直径的圆过F2，则椭圆的离心率的平方为（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线C2：的准线方程为y=﹣c，焦点坐标为（0，c），由，解得x=±，以MN为直径的圆的方程为x2+（y+c）2=，以MN为直径的圆过F2，可得4c2=，即有4c2a2=（c2﹣a2）2，即为a4﹣6a2c2+c4=0，解得a2=（3﹣2）c2，椭圆的离心率的平方为=1﹣（3﹣2）=2﹣2．故选：C．6．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．圆x2+y2=a2+b2与双曲线C的右支交于点A，且2|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：可设A为第一象限的点，且|AF1|=m，|AF2|=n，由题意可得2m=3n，①由双曲线的定义可得m﹣n=2a，②由勾股定理可得m2+n2=4（a2+b2），③联立①②③消去m，n，可得：36a2+16a2=4a2+4b2，即b2=12a2，则e====，故选：D．7．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞）的左焦点为F，右顶点为E，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线C相交于不同的两点A，B，若△ABE为锐角三角形，则双曲线C的离心率的取值围为（）A．（1，2）B．（1，2]C．（2，3]D．[2，3）【解答】解：根据双曲线的对称性，得：△ABE中，|AE|=|BE|，∴△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角，由此可得Rt△AFE中，∠AEF＜45°，得|AF|＜|EF|，∵|AF|==，|EF|=a+c，∴＜a+c，即2a2+ac﹣c2＞0，两边都除以a2，得e2﹣e﹣2＜0，解之得﹣1＜e＜2，∵双曲线的离心率e＞1，∴该双曲线的离心率e的取值围是（1，2），故选：A．8．已知双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），∴渐近线方程为y=±x，因此，点（2，﹣1）在直线y=﹣x上，可得a=4，∴b=2，可得c=2，由此可得双曲线的离心率e==．故选：C．9．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M，N 在E上，MN∥F1F2，|MN|=|F1F2|，线段F2M交E于点Q．且=，则E的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：F1（﹣c，0），F2（c，0），∵MN∥F1F2，|MN|=|F1F2|，∴M的横坐标为﹣，N的横坐标为，把x=﹣代入﹣=1得：y=±=±b，∴M（﹣，b），∵=，即Q为MF2的中点，∴Q（，），把Q坐标代入双曲线方程得：﹣=1，即﹣+=1，解得e=．故选：B．10．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线将第一象限三等分，则C1的离心率为（）A．或B．2或C．2或D．或【解答】解：双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线将第一象限三等分，可得双曲线C1的一条渐近线倾斜角为30°或60°，即有=或，e===或2．故选：B．11．已知F为双曲线C：x2﹣m2y2=3（m＞0）的一个焦点，若点F到C的一条渐近线的距离为3，则该对曲线的离心率为（）A．B．2C．D．3【解答】解：F为双曲线C：x2﹣m2y2=3（m＞0）的一个焦点（，0），点F到C的一条渐近线x+my=0的距离为3，可得：=3，解得m=，则a=，c=2，双曲线的离心率为：e==2．故选：B．12．设F1，F2分别为椭圆与双曲线C2公共的左、右焦点，两曲线在第一象限交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|=2，若椭圆C1的离心率，则双曲线C2的离心率e2的取值围是（）A．（1，5]B．[2，4]C．[2，5]D．[4，5]【解答】解：∵F1，F2为椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与双曲线C2的左右焦点，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|=2，∴|MF2|=|F1F2|=2c，∵椭圆C1的离心率e1∈[，]，∴当e1=时，=，解得c=，双曲线C2的离心率e2==2，当e1=时，=，解得c=，双曲线C2的离心率e2==5，∴双曲线C2的离心率取值围是[2，5]．故选：C．13．已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线的经过点（﹣2，1），则它的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（2，﹣1），可得2b﹣a=0，即4c2﹣4a2=a2，可得4c2=5a2e=．故选：A．14．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的实轴为A1A2，虚轴的一个端点为B，若三角形A1A2B的面积为b2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设B（0，b），则|A1A2|=2a，∵三角形A1A2B的面积为b2，∴S=×2a•b=ab=b2，即a=b，则离心率e====，故选：A．15．过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P．若点P的横坐标为2a，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：x=2a时，代入双曲线方程可得y=±b，取P（2a，﹣b），∴双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线的斜率为，∴=∴e==2+．故选：B．16．若双曲线C的渐近线与实轴的夹角为，则该双曲线的离心率为（）A．3B．2C．D．【解答】解：∵双曲线不妨设为：（a＞0，b＞0）的渐近线与实轴的夹角为30°，∴a=b，∴c==2b，∴e===．故选：D．17．已知双曲线，四点P1（2，1），P2（1，0），P3（﹣2，），P4（2，）中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5【解答】解：根据双曲线的性质可得P3（﹣2，），P4（2，）中在双曲线上，则P1（2，1），一定不在双曲线上，则P2（1，0）在双曲线上，∴a=1，，解得b2=，∴c2=a2+b2=，∴c=，∴e==，故选：A．18．若双曲线的渐近线与抛物线相切，则C的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：双曲线的渐近线为y=±x，所以其中一条渐近线方程为y=x，又因为渐近线与抛物线y=x2+相切，所以，消去y得x=x2+，即x2﹣x+=0，所以△=﹣4×1×=0，解得b=a，又c2=a2+b2，所以c2=a2，所以离心率e==．故选：A．19．过双曲线的左焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的右顶点，若点M在以AB为直径的圆的外部，则此双曲线的离心率e 的取值围为（）A．（）B．（1，）C．（2，+∞）D．（1，2）【解答】解：设双曲线方程为，a＞0，b＞0则直线AB方程为：x=﹣c，因此，设A（﹣c，m），B（﹣c，﹣m），∴，解之得m=，得|AF|=，∵双曲线的左焦点M（﹣a，0）在以AB为直径的圆外部，∴|MF|＞|AF|，即a+c＞，将b2=c2﹣a2，并化简整理，得2a2+ac﹣c2＞0，两边都除以a2，整理得e2﹣e﹣2＜0，∵e＞1，解之得1＜e＜2，故选：D．20．已知双曲线C1：（a＞0，b＞0）的焦点为F1（0，﹣c），F2（0，c），抛物线C2：的准线与C1交于M、N两点，且MN与抛物线焦点的连线构成等边三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线C2：的准线方程为y=﹣c，焦点坐标为（0，c）由，解得x=±，则MN=，∵MN与抛物线焦点的连线构成等边三角形，∴=tan60°=，∴2ac=b2=（c2﹣a2），即2e=（e2﹣1），解得e=，∴椭圆的离心率为==，故选：B．21．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C右支上的一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的切圆在边AF2上的切点为Q，若|F2Q|=2|AQ|，|OA|=b（O是坐标原点）则双曲线C的离心率是（）A．B．C．5D．+1【解答】解：设△PAF2的切圆在边PF2上的切点为M，在AP上的切点为N，则|PM|=|PN|，|AQ|=|AN|，|QF2|=|MF2|，由双曲线的对称性可得|AF1|=|AF2|=|AQ|+|QF2|，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=|PA|+|AF1|﹣|PM|﹣|MF2|=+|AN|+|NP|﹣|PM|﹣|QF2|=+|AQ|﹣|QF2|=﹣|AQ|=﹣==2a，化为9a2=2c2﹣a2，即5a2=c2，离心率e==．故选：B．22．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线E右支上的一点，若线段PF1的中点恰好是虚轴的一个端点，则双曲线E 的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：由已知中点P是双曲线E右支上的一点，线段PF1的中点恰好是虚轴的一个端点，可得P点横坐标为c，则P为通径的一个端点，则，即b=2a，则c==，故双曲线E的离心率e=，故选：D．23．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，即=，∴b=a，∴c==a，∴双曲线的离心率为e===．故选：D．24．设F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点．若双曲线上存在点M，使∠F1MF2=90°，且|MF1|=2|MF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：设F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点．若双曲线上存在点M，使∠F1MF2=90°，且|MF1|=2|MF2|，设|MF2|=t，|MF1|=2t，（t＞0）双曲线中2a=|MF1|﹣|MF2|=t，2c==t=2a，∴离心率为，故选：D．25．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），若直线1：y=（x+c）（c为双曲线的半焦距）恰好与圆：x2+y2=a2相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：直线1：y=（x+c）（c为双曲线的半焦距）恰好与圆：x2+y2=a2相切，可得=a，化简可得c=2a，即e==2，故选：C．26．设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M是双曲线右支上一点，|MF2|=|F1F2|，并且sin∠F1MF2=，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设|MF2|=|F1F2|=2c，并且sin∠F1MF2=，可得cos∠F1MF2==，由双曲线的定义可得|MF1|=2a+|MF2|=2a+2c，在△MF1F2中，可得cos∠F1MF2===，即4c=5a，即e==．故选：B．27．已知双曲线的标准方程，F1，F2为其左右焦点，若P是双曲线右支上的一点，且tan∠PF1F2==2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设P（m，n），可得﹣=1，F1（﹣c，0），F2（c，0）为其左右焦点，可得直线PF1的斜率k1=，直线PF2的斜率k2=，k2=﹣2，k1=，即为=，=﹣2，解得m=c，n=c，则﹣=1，由b2=c2﹣a2，e=可得9e2﹣=25，化为9e4﹣50e2+25=0，即为e2=5（＜1舍去），可得e=．故选：A．28．若双曲线的焦点都在直线x+2y﹣4=0的下方，则C的离心率的取值围为（）A．（4，+∞）B．（1，4）C．（2，+∞）D．（1，2）【解答】解：双曲线的焦点（0，±），双曲线的焦点都在直线x+2y﹣4=0的下方，可得：2﹣4＜0，解得b2＜3，因为a=1，所以c∈（1，2）．∴双曲线C的离心率的取值围为：（1，2）．故选：D．29．若m＜﹣2，则双曲线的离心率的取值围是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，双曲线中，a=1，c=，m＜﹣2，其离心率e==，故选：A．30．已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线与y轴所形成的锐角为30°，则双曲线M的离心率是（）A．B．C．2D．或2【解答】解：∵双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线与y轴所形成的锐角为30°，则这条渐近线与x轴的夹角为60°，∴=tan60°=，∴e===2．故选：C．31．直线x=2a与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）在第一和第四象限分别交于点M和N．O为坐标原点，A为y轴上一点〔（不与O重合），若∠AOM=∠MON，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：直线x=2a与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）在第一和第四象限分别交于点M和N．O为坐标原点，A为y轴上一点〔（不与O重合），∠AOM=∠MON，可得∠AOM=∠MON=60°，所以M（2a，），所以，∴b=，e===，故选：C．32．双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，过右焦点F2作实轴的垂线交双曲线C于M，N两点若△MNF1是直角三角形，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，过右焦点F2作实轴的垂线交双曲线C于M，N两点，不妨M在第一象限，若△MNF1是直角三角形，可得M（c，2c），可得，即，e＞1，解得e2=3+2，可得e=1+．故选：B．33．已知双曲线﹣=1，经过点M（2，2），则其离心率e=（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线﹣=1，经过点M（2，2），可得﹣=1，解得m=4，则双曲线的a=，b=2，c=，则其离心率e==，故选：A．34．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2=45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：如图，OM⊥PF1，ON⊥PF1，依题意|OM|=a，|NF2|=2a，∵且∠F1PF2=45°，可知三角形PF2N是一个等腰直角三角形，∴|PF2|=2a，|PF1|=2a+2a，在△F1PF2中，由余弦定理可得：（2c）2=（2a+2a）2+（2a）2﹣2×，化简得c2=3a2，∴该双曲线的离心率为．故选：B．35．已知点P（1，2）在双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线上，则C的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：点P（1，2）在双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线上，可得：，即b=2a，所以e===．故选：D．36．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右支于P，Q两点，PQ⊥PF1，且|PF1|、|PQ|、|F2Q|依次成等差数列，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：可设P，Q为双曲线右支上一点，设|PF2|=m，|QF2|=n，|F1F2|=2c，由双曲线的定义可得|PF1|=2a+m，|QF1|=2a+n，且|PF1|、|PQ|、|F2Q|依次成等差数列，可得2|PQ|=|PF1|+|QF2|，即2（m+n）=2a+m+n，即|PQ|=2a，由PQ⊥PF1，在直角△PF1Q中，|QF1|2=|PF1|2+|PQ|2，即（4a﹣m）2=（2a+m）2+4a2，解得m=a，|PF1|=2a+m=a，由|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，即a2+a2=4c2，化为e2==，即e=，故选：A．37．已知双曲线的渐近线方程为y=，则双曲线的离心率（）A．B．C．或D．或【解答】解：∵双曲线的焦点在x轴上，∴设双曲线的方程为，（a＞0，b＞0）可得双曲线的渐近线方程是y=x结合题意双曲线的渐近线方程是y=±x，∴2b=a，可得c==a因此，此双曲线的离心率e==．当双曲线的焦点在y轴上，∴设双曲线的方程为，（a＞0，b＞0）可得双曲线的渐近线方程是y=x结合题意双曲线的渐近线方程是y=±x，∴b=2a，可得c==a因此，此双曲线的离心率e==．故选：C．38．设双曲线的一个焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线C的离心率为（）A．B．2C．D．【解答】解：双曲线的一个焦点为F（0，﹣c），渐近线方程为y=±x，若，可得BF=2FA，由F到渐近线y=x的距离FA==b，BF=2b，在直角三角形OAF中，OF=c，可得OA==a，在直角三角形OAB中，可得OB=，由OF为∠AOB的平分线可得=，即=，化为a2=3b2，由b2=c2﹣a2，可得3c2=4a2，则e==．故选：C．39．若双曲线的两个焦点为F1，F2，若双曲线上存在一点P，满足|PF1|=3|PF2|，则该双曲线的离心率的取值围是（）A．1＜e＜2B．1≤e≤2C．1＜e≤2D．1≤e＜2【解答】解根据双曲线定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a，即3|PF2|﹣|PF2|=2a．∴a=|PF2|，|PF1|=3a在△PF1F2中，|F1F2|＜|PF1|+|PF2|，2c＜4|PF2|，c＜2|PF2|=2a，∴＜2，当p为双曲线顶点时，=2又∵双曲线e＞1，∴1＜e≤2故选：C．40．F为双曲线（a＞0，b＞0）右焦点，M，N为双曲线上的点，四边形OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN的面积为bc，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．【解答】解：设M（x0，y0），x0＞0，y0＞0．∵四边形OFMN为平行四边形，∴，∵四边形OFMN的面积为bc，∴|y0|c=bc，即|y0|=b，∴，代入双曲线方程得，∵e＞1，∴．故选：B．。
双曲线离心率计算公式
双曲线离心率计算公式
双曲线是一种广泛应用于几何学、力学和物理学等领域的曲线。
它的形状是一条“双弯曲”的曲线，其中有一条长轴和一条短轴。
双曲线的离心率(eccentricity) 是衡量其“弯曲程度”的重要参数。
离心率的值越大，则双曲线的形状越“扁”；离心率的值越小，则双曲线的形状越“圆”。
离心率的计算公式为：e = √(a^2 - b^2) / a
其中a 为双曲线的长轴长度，b 为双曲线的短轴长度。
当e = 0 时，双曲线是一个圆；当0 < e < 1 时，双曲线是一个椭圆；当e = 1 时，双曲线是一个双曲线；当e > 1 时，双曲线是一个狭缝。
在物理学中，双曲线离心率常用来描述物体运动轨迹的形状，如行星运动轨道，卫星运动轨道等。
双曲线的三种离心率公式
双曲线的三种离心率公式
双曲线的三种离心率公式是指双曲线的离心率有三种可能的表示形式：椭圆离心率，双曲线离心率和双曲线参数离心率。
首先，椭圆离心率是指双曲线的离心率的椭圆形式。
椭圆离心率的表示形式是C=a/b，其中C代表椭圆离心率，a代表双曲线的短半轴长，b代表双曲线的长半轴长。
第二种双曲线离心率表示形式是双曲线离心率。
双曲线离心率的表示形式是C=e，其中C代表双曲线离心率，e代表双曲线的离心率。
最后，双曲线参数离心率的表示形式是C=e/2，其中C代表双曲线参数离心率，e代表双曲线的离心率。
双曲线的三种离心率公式可以用来表示双曲线的各种形状，从而有助于我们对双曲线的研究。
椭圆离心率可以用来表示双曲线的轮廓，双曲线离心率可以表示双曲线的不同程度的弯曲，而双曲线参数离心率可以表示双曲线的不同程度的扭曲。
双曲线是很多几何图形的一种，它的三种离心率公式可以帮助我们更好地理解双曲线的特性，并且可以应用到许多数学问题中。
例如，可以使用双曲线离心率来计算两个双曲线之间的距离，可以使用双曲线参数离心率来计算双曲线的曲率，也可以使用椭圆离心率来计算双曲线的面积。
总之，双曲线的三种离心率公式可以用来帮助我们更好地理解双曲线的形状，它们也可以用来解决许多数学问题，这使得它们极具有实用价值。
双曲线之焦点三角形和离心率问题-2022-2023高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
A．4 3
B．3 7
C．
455 2
D．6 7
1 =6
【详解】∵双曲线
:
2−
2
= 1，
3
∴ = 1, = 3, = 2 ，又点 P 在双曲线 C 的右支上， 1 = 6， 所以 1 − 2 = 2 ，6 − 2 = 2，即 2 = 4，
又 1 2 =2 =4，
∴△
1 2面积为12 × 6 ×
42 −
提醒：在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求 轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定 是哪一支．
例题讲解：
[典例 1] (1)已知双曲线 x2－ y2 ＝1 上一点 P 到它的一个焦点的 16
距离等于 4，那么点 P 到另一个焦点的距离等于
．
(1)6 [(1)设双曲线的焦点为 F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2|| ＝2，故|PF2|＝6 或 2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为 c－ a＝ 17－1，故|PF2|＝6.
4
即 1 + 4 的最小值为 7， 2
故选：C.
例题讲解：
[典例 1]
(3)已知 F1，F2 为双曲线 C：x2－y2＝2 的左、右焦点，点 P 在 C
上，|PF1|＝2|PF2|，则 cos∠F1PF2＝
.
例题讲解：
(3)因为由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2 2， 所以|PF1|＝2|PF2|＝4 2， 所以cos∠F1PF2＝|PF1|22＋|P|PFF1|·2||P2－F2||F1F2|2 ＝4 22×24＋22×222－2 42＝34.]
＋a＝3a，c＝2a，因此，双曲线 C 的离心率为 2.
巧解双曲线的离心率
巧解双曲线的离心率离心率是双曲线的重要性质，也是高考的热点。
经常考查：求离心率的值，求离心率的取值范围，或由离心率求参数的值等。
下面就介绍一下常见题型和巧解方法。
1、求离心率的值（1）利用离心率公式ace =，先求出c a ,，再求出e 值。
（2）利用双曲线离心率公式的变形： 2)(1a b a c e +==，先整体求出ab，再求出e 值。
例1 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线方程为x y 34=，则双曲线的离心率为__________.分析：双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的渐近线方程为x a b y ±=，由已知可得34=a b解答：由已知可得34=a b ，再由2)(1a b a c e +==，可得35=e .（3）构造关于c a ,的齐次式，再转化成关于e 的一元二次方程，最后求出e 值，即“齐次化e ”。
例如：010222=-+⇒=-+e e a ac c例2 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为____________. 分析：利用两条直线垂直建立等式，然后求解。
解答：因为两条直线垂直，011)(2222=--⇒-=⋅=⇒-=-⋅e e a c c a b c ba b所以215+=e （负舍） 2、求离心率的取值范围求离心率的取值范围关键是建立不等关系。
（1）直接根据题意建立c b a ,,的不等关系求解e 的取值范围。
例3 若双曲线22221x y a b-=（0>>b a ），则双曲线离心率的取值范围是_________.分析：注意到0>>b a 的条件 解答：），（21)(10102∈+=⇒>>⇒>>ab e a b b a（2）利用平面几何性质建立c a ,不等关系求解e 的取值范围。
离心率(答案版)
圆锥曲线的离心率一、与渐近线有关的离心率问题1.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的一条渐近线过点1,3 ，则C 的离心率为10.2.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的焦点到渐近线的距离为a 2b ，则该双曲线的离心率为2.3.已知双曲线x 2a 2-y 22=1a >0 的一条渐近线的倾斜角为π6，则此双曲线的离心率e 为(D )A.233B.263C.3D.2∵双曲线x 2a2-y 22=1a >0 的一条渐近线的倾斜角为π6，tan π6=33，∴该渐近线的方程为y =33x ，∴2a 2=33 2，解得a =6或-6(舍去)，∴c =a 2+b 2=22，∴双曲线的离心率为e =c a =226=233．4.已知双曲线方程为x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 ，左焦点F 1关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为(B )A.2B.2C.22D.425.双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)右焦点为F 2，过F 2倾斜角为π4的直线与双曲线右支交于A ，B 两点，则双曲线离心率的范围为(A )A.1,2B.1,32C.62,+∞D.32,+∞6.已知F 为双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点，过点F 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于Q ，P ，且2FQ =FP，以原点O 为圆心的圆与直线FP 相切，且切点恰为Q ，则双曲线的离心率为2.7.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 ，过左焦点F 作斜率为12的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A ，且A 在第一象限，若OA =OF ，则双曲线C 的离心率为(A )A.53B.5+12C.2D.58.双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 ，直线l 过双曲线的右焦点且斜率为ab ，直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于M 、N 两点(M 点在x 轴的上方)，且OMON =2，则双曲线C 的离心率为(B )A.2B.233 C.2D.3如下图所示：由题意可知，直线l 与渐近线y =-bax 垂直，则ON ⊥MN ，又OM ON =2，则∠OMN =30∘，故∠MON =60∘，则∠MOF =30∘，则b a =tan30∘=33，所以，该双曲线的离心率为e =c a=a 2+b 2a 2=1+b a2=233.故选：B .9.已知圆C ：x 2+y 2-4x +3=0与中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线D 的一条渐近线相切，则双曲线D 的离心率为(B )A.43或4 B.233或2 C.233D.2圆C ：x -2 2+y 2=1的圆心为2,0 ，半径为1，当双曲线的焦点在x 轴上时，其渐近线方程为bx ±ay =0，由题意得2b b 2+a 2=1，即3b 2=a 2，所以b 2a2=13，所以e =c a =1+b 2a2=233，当双曲线的焦点在y 轴上时，b 2a2=3，则e =c a =1+b 2a2=210.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线被圆x 2+y 2-4x =0截得的线段长为165，则双曲线C 的离心率为(D )A.43B.53C.32D.5411.已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过F 作双曲线两渐近线的垂线垂足分别为点A ，B (A ，B 分别在一、四象限)，若2AB =FA ，则该双曲线的离心率为(C )A.2B.23C.4D.4312.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的焦距为2c ，A 是C 的右顶点，在C 的一条渐近线上存在M ，N 两点，使得AM =AN =c ，且∠MAN =120°，则双曲线C 的离心率为(A )A.2B.3C.2D.5设渐近线方程为y =b a x ，则点A a ,0 到渐近线的距离d =abc，又∠MAN =120°，AM =AN =c ，则cos ∠60°=abcc =12，即有2ab =c 2=a 2+b 2，所以a =b ，e = 2.13.已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >b >0 的斜率为正的渐近线为l ，若曲线E ：4x -x 2上存在不同3点到l 的距离为1，则双曲线C 的离心率的取值范围是41515,233 ．二、焦点三角形相关的离心率14.已知F 1，F 2分别为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右焦点，过原点O 且倾斜角为60°的直线l与椭圆C 的一个交点为M ，若MF 1⊥MF 2，则椭圆的离心率为(D )A.4+23 B.4-23 C.1-3D.3-1依题意可得OM =12F 1F 2=c ．又∠MOF 2=60°∴MF 2 =c ，MF 1 =3c ，∴2a =3c +c ，∴e =ca=3-1．15.设F 1,F 2为双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左､右焦点，过坐标原点O 的直线依次与双曲线C的左、右支交于P ,Q 两点，若PQ =2QF 2 =2OF 2 ，则该双曲线的离心率为(B )A.233B.1+3C.2+3D.3+2316.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为F 1，F 2，以原点O 为圆心，OF 1为半径的圆与双曲线C 在第一象限交于点A ，若∠OAF 1=π6，则双曲线C 的离心率为(D )A.2B.2+1C.3D.3+117.已知F 为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点，过F 作与x 轴垂直的直线交双曲线于A ，B两点，若以AB 为直径的圆过坐标原点，则该双曲线的离心率为5+12．18.已知点F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2-y 2b2=1b >0 的左，右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C的右支上，且满足F 1F 2 =2OP ，tan ∠PF 2F 1≥5，则双曲线C 的离心率的取值范围为(B )A.1,173B.1,264C.1,5D.1,219.已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 在E 的右支上，直线F 1M 与E 的左支交于点N ，若F 1N =b ，且MF 2 =MN ，则E 的离心率为(D )A.2B.3C.2+1D.5由双曲线的定义可得MF 1 -MF 2 =2a ，∵MF 2 =MN ，∴2a =MF 1 -MF 2 =MF 1 -MN =F 1N =b ，即b =2a ，则E 的离心率为e =c a=a 2+b 2a=a 2+4a 2a=5．故选：D ．20.如图，F 1、F 2分别是双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的左、右两支分别交于点A 、B ．若△ABF 2为等边三角形，则双曲线C 的离心率为(B )A.4B.7C.233D.321.设F 1，F 2分别是椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，且AF 1 ⋅AF 2 =0，AF 2 =2F 2B ，则椭圆E 的离心率为(C )A.23B.34C.53D.7422.已知双曲线C :x 29-y 2b2=1(b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，直线l 过点F 2与双曲线的右支交于A ，B 两点，若AF 2 =2BF 2 ，∠BAF 1=π3，则双曲线C 的离心率为(A )A.133B.113C.73D.14323.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)左右焦点分别为F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，若椭圆上一点P 满足PF 2⊥x 轴，且PF 1与圆x 2+y 2=c 24相切，则该椭圆的离心率为(A )A.33B.12C.22D.6324.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左､右焦点分别是F 1，F 2，直线y =kx 与椭圆C 交于A ，B 两点，AF 1 =3BF 1 ，且∠F 1AF 2=60°，则椭圆C 的离心率是(B )A.716B.74C.916D.3425.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线与双曲线C 的左支相交于点A ，与双曲线的右支相交于点B ，O 为坐标原点.若2BF 2=3 AF 1 ，且F 1F 2 =2OB ，则双曲线C 的离心率为(D )A.2B.3 C.2 D.526.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 与圆x 2+y 2=a 2相切于点T ，且直线l 与双曲线C 的右支交于点P ，若F 1P =4F 1T，则双曲线C 的离心率为(D )A.45B.54C.43D.5327.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，关于原点对称的点A 、B 在椭圆上，且满足|AB |=F 1F 2 ，若令∠F 1AB =θ且θ∈π12,π4 ，则该椭圆离心率的取值范围为22,63 ．28.椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，过原点的直线与C 交于A ，B 两点(A 在第一象限)，若|AB |=2a 2-b 2，且sin ∠ABF 1≤2sin ∠BAF 1，则椭圆离心率的取值范围是22,53三、点差法相关的离心率问题29.已知A ，B ，C 是椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上不同的三点，且原点O 是△ABC 的重心，若点C的坐标为3a 2,b 2 ，直线AB 的斜率为-33，则椭圆Γ的离心率为(B )A.13B.223C.23D.7330.直线l :y =kx 交双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)于P ，Q 两点，M 是双曲线C 上一点，若直线MP 与直线MQ 的斜率之积是13，则双曲线C 的离心率是(A )A.2B.233C.23D.431.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，点F 为右焦点，B 为上顶点，平行于FB 的直线l 交椭圆于M ，N 两点且线段MN 的中点为Q -12,-14 ，则椭圆的离心率为(A )A.22B.12C.14D.3232.已知点A 1，A 2分别为双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0，b >0 的左、右顶点，直线y =kx 交双曲线于M ，N 两点，若k MA 1•k MA 2•k NA 1•k NA 2=4，则双曲线C 的离心率为(C )A.62B.2C.3D.1+233.若A ,B 是双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 上关于原点对称的两点，P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，记PA ,PB 的斜率分别为k 1,k 2，且k 1⋅k 2=14，则双曲线C 的离心率为(A )A.52B.32C.2D.534.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左焦点为F ，过F 作一条倾斜角为60°的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，若3FM =OF (O 为坐标原点)，则椭圆C 的离心率为(B )A.55B.105C.33D.2235.已知直线l ：x -3y =0交双曲线Γ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 于A ，B 两点，过A 作直线l 的垂线AC 交双曲线Γ于点C ．若∠ABC =60°，则双曲线Γ的离心率为2．四、相同焦点的离心率问题36.已知椭圆x 2a 21+y 2=1与双曲线x 2a 22-y 2=1有相同的焦点F 1、F 2，设椭圆与双曲线的离心率分别为e 1、e 2，则(C )A.e 1e 2=1B.e 22-e 21=1C.e 21+e 22=2e 21e 22D.e 2=2e 1设F 1-c ,0 、F 2c ,0 ，由已知可得a 21-1=c 2=a 22+1，所以，a 21+a 22=2c 2，则a 21c 2+a 22c 2=2，即1e 21+1e 22=2，变形可得e 21+e 22=2e 21e 2237.如图，F 1，F 2是椭圆C 1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1与C 2在第二､四象限的公共点，若AF 1⊥BF 1，设C 1与C 2的离心率分别为e 1，e 2，则8e 1+e 2的最小值为(C )A.6+322B.43+62C.5102D.55238.已知椭圆和双曲线有相同的焦点F 1,F 2，它们的离心率分别为e 1,e 2，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2=2π3.若e 1e 2=3，则e 2=(B )A.6+12B.6+22C.6+32D.6+2239.已知椭圆C1和双曲线C2有公共焦点F1-c,0，C1和C2在第一象限的交点为P，∠F1PF2，F2c,0=π3且双曲线的虚轴长为实轴长的2倍，则椭圆的离心率为(B) A.12 B.33 C.22 D.2。
双曲线离心率的求法
双曲线离心率的求法在化学领域中，离心率（eccentricity）是指椭圆曲线形状（ellipses）长短轴两端之间的中间有多长的距离，双曲线离心率（hyperbolic eccentricity）是一种常见的曲线，它位于传统的椭圆曲线（ellipses）之后。
双曲线的离心率可以通过一系列的特定算法或公式来求解。
双曲线离心率的求解公式是根据双曲线的对称性来确定的。
双曲线的对称性可以通过它的弧长参数（arc length parameter）来定义。
大多数情况下，双曲线的弧长参数r/r0是用于求解它的离心率的。
下面是一个双曲线离心率的求解公式：双曲线离心率（e）＝√(1-(r/r0)^2)这个公式定义了双曲线的离心率，其中r/r0表示双曲线的弧长参数，e表示双曲线的离心率。
这个公式可以用来计算任何双曲线的离心率，但是在使用这个公式之前，必须确定双曲线的弧长参数。
另一种求解双曲线离心率的方法是使用现有的椭圆离心率公式，这个公式可以用来求解任何椭圆的离心率：椭圆离心率（e）＝√(a^2-b^2/a^2)其中a,b分别为椭圆的长半轴（major axis）和短半轴（minor axis）。
可以使用这个公式来求解任何双曲线的离心率，使用这种方法可以准确求解双曲线的离心率，而且这个公式不需要计算双曲线的弧长参数，只要确定椭圆的长半轴（major axis）和短半轴（minor axis），就可以求解出双曲线的离心率。
虽然这两种方法都可以求解出双曲线的离心率，但从精准性以及计算简单性上考虑，相比较而言椭圆公式求解双曲线离心率更为可行。
尤其是在双曲线的弧长参数很难确定的情况下，使用椭圆公式求解双曲线离心率更加简易，并且结果更为准确。
因此，椭圆公式求解双曲线离心率是比较理想的一种方法。
双曲线的离心率
双曲线的离心率1．已知双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（ ） 2．过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）3．过双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左焦点F （﹣c ，0）（c ＞0），作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若2OP OE OF =-，则双曲线的离心率为（ ）4．若点(2,0)P 到双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>，则该双曲线的离心率为（ ） 5．已知12,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以点1F 为直角顶点作等腰直角三角形12MF F ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是6．如图，1F 、2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B ．若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为7．当双曲线C 不是等轴双曲线时，我们把以双曲线C 的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称为双曲线C 的“伴生8．已知点P 是双曲线()22221,0,0x y a b a b-=>> 右支上一点， 12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，I 为12PF F ∆ 的内心，若121212IPF IPF IF F S S S ∆∆∆=+成立，则双曲线的离心率为（ ） 9．已知21,F F 分别是双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的左、右焦点，O 为坐标原点，P 为双曲线右支上的一点，1PF 与以2F 为圆心，2OF 为半径的圆相切于点Q ，且Q 恰好是1PF 的中点，则双曲线C 的离心率为（ ） 10．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与实轴的夹角为30，则双曲线的离心率为（ ） 11．已知A 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点，12,F F 分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线上一点，G 是12PF F ∆的重心，若1GA PF λ=，则双曲线的离心率为12．双曲线12222=-by a x （0>a ，0>b ）的左右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，若AB F 1∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则=2e （ ）13．设双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 的渐近线与抛物线12+=x y 相切，则该双曲线的离心率等于( ) 14．设双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为e ，右顶点为A ，点()3,0Q a ，若C 上存在一点P ，使得AP PQ ⊥，则15．过双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ， C ．若BC AB =2，则双曲线的离心率是（ ）16．已知1F 、2F 分别是双曲线1:2222=-by a x C 的左、右焦点，若2F 关于渐近线的对称点恰落在以1F 为圆心，||1OF 为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为17．设1F 、2F 分别为双曲线22221(0x y a a b-=>，0)b >的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得12||||3PF PF b +=，129||||4PF PF ab ⋅=，则该双曲线的离心率为（ ） 18．若点P 是以21,F F 为焦点的双曲线12222=-b y a x 上一点，满足21PF PF ⊥，且212PF PF =，则此双曲线的离心率为 ．19．已知F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，抛物线的准线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于A 、B 两点．若AFB ∆为直角三角形，则双曲线的离心率为__________．20．如图，12,F F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，,A B 分别是12,C C 在第二，第四象限的公共点，若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是 ．21．双曲线22122:1x y C a b-=与双曲线22222:1x y C a b -=-的离心率分别为1e 和2e ，则221211e e += ． 22．已知双曲线的左焦点为F ，若过点F 且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是________．23．设F 1、F 2分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P ，使12120,PF PF F PF ⋅= ∆且的三边长构成等差数列，则此双曲线的离心率为 ．参考答案1．A【解析】 试题分析：由渐近线方程得，34=a b 35122=+=a b e ．故选A ． 考点：求双曲线的离心率．2．D【解析】试题分析：由题意23b a<<，即22249c a a -<<，所以22510c a <<e << 考点：双曲线的性质．【方法点晴】在研究双曲线的性质时，半实轴、半虚轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容;双曲线的离心率涉及的也比较多．由于e=是一个比值，故只需根据条件得到关于a ，b ，c 的一个关系式，利用b 2=c 2-a 2消去b ，然后变形求e ，并且需注意e>1．3．C【解析】试题分析：由2OP OE OF =-得1()2OE OP OF =+，所以E 是FP 的中点，设2F 是右焦点，则O 是2FF 的中点，所以2//OE F P ，又E 切点，即OE FP ⊥，所以2F P PF ⊥，22PF OE a ==，点P 双曲线上，故22PF PF a -=，所以3PF a =，于是由22222PF PF FF +=有222(3)(2)a a c +=，得22104c a =，即2c e a ==，故选C ． 考点：双曲线的几何性质．4．A【解析】试题分析：双曲线22221x y a b -=的一条渐近线为0bx ay -==得a b =，所以c ==，c e a==A ． 考点：双曲线的性质．5．A【解析】 试题分析：由等腰直角三角形12MF F 得222121220b F F MF c c ac a a=∴=∴--=210e e ∴--= e ∴=考点：双曲线方程及性质6．B【解析】试题分析：因为2ABF ∆为等边三角形，不妨设22AB BF AF m ===，A 为双曲线上一点，12112F A F A F A AB F B a -=-==，B 为双曲线上一点，则212122,4,2BF BF a BF a F F c -===，由260ABF ∠=︒，则12120F BF ∠=︒，在12F BF 中应用余弦定理得：2224416224cos120c a a a a =+-⋅⋅⋅︒，得227c a =，则27e e =⇒=考点：双曲线的简单性质7．D【解析】 试题分析：不妨设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则其“伴生椭圆”的方程为22221x y a b +=．3c a ==，解得222b a =，所以其“伴生椭圆”的离心率2e ==；故选D ． 考点：双曲线的简单性质8．C 【解析】试题分析：如图，设圆I 与12PF F 的三边1212,,F F PF PF 分别相切于点,,E F G ，连接,,IE IF IG ，则1212,,IE F F IF PF IG PF ⊥⊥⊥，它们分别是1212,,IF F IPF IPF 的高，12112211,,2222IPF IPF r r SPF IF PF S PF IG PF ∴=⨯⨯==⨯⨯=212121122IF F r S F F IE F F =⨯⨯=，其中r 是12PF F 的内切圆的半径．121212I P F I P F I F F S S S =+，1212224r r r PF PF F F ∴=+，两边约去2r 得：121212P F P F F F =+，根据双曲线定义，得121212,,22PF PF a F F c a c -==∴=，所以离心率为2c e a ==，故选C ．考点：双曲线的离心率【思路点睛】离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下五种情况①，直接求出,a c ，从而求出e ②构造,a c 的齐次式，求出e ③采用离心率的定义以及椭圆的定义来求解④根据圆锥曲线的统一定义求解⑤构建关于e 的不等式，解出e 的取值范围。