运动守恒定律

I
Fdt
∫ F=
p2 − p1 = F t2 −t1 t2 −t1
t1
t2
Fdt
F
t1
t2 t
3.直角坐标系中动量定理的分量形式 3.直角坐标系中动量定理的分量形式
I x = ∫ Fx (t)dt = mv2x − mv1x
t1
t2
I y = ∫ Fy (t)dt = mv2 y − mv1y
t1
运动守恒下
重点： I = p2 − p1 ∴
∫
t2
t1
Fdt = ∫ dp
p1
b
p2
A = FS⋅ cosθ
难点：A = F ⋅ dr ∫a
∴A外 + A非内 = (Ekb + Epb ) − (Eka + Epa )
1.力和加速度之间的 1.力和加速度之间的瞬时效应 力和加速度之间的瞬时效应 ----牛顿定律 ----牛顿定律 2.力的时间 2.力的时间累积效应 力的时间累积效应 ----冲量 ----冲量 3.力的空间 3.力的空间累积效应 力的空间累积效应 ----功 ----功
单位时间内力所作的功
∆A dA F ⋅ dr N = lim = = = F ⋅v ∆t →0 ∆ t dt dt
运动守恒下
保守力的功、势能、 §3-3保守力的功、势能、势定 理 2 弹性势能 完全弹性碰撞：碰撞前后， 完全弹性碰撞：碰撞前后，械能 守恒。 守恒。 非完全弹性碰撞： 碰撞前后， 非完全弹性碰撞： 碰撞前后， 机械能有损失 (转化为热 、声 等能) 等能)。
m v1 mv1 + Mv = 0 + M(v + ∆v) ∴∆v = M
§3-2牛顿第二定律的积分形式之二： 牛顿第二定律的积分形式之二： 动能定理 一.功和功率 1.功 1.功: 力在位移方向上的分量与位移大小的 乘积为该力所作的功 （1）恒力直线功 F
θ
A = FS⋅ cosθ
s
（2）变力曲线运动
A
L = 2πR 4π = t1 = 2s 时 S1 = π m t2 = 2s 时 S2 = 2π m
B
A B
O
ds mvA A 小球速度 v = = πt dt B ∴vA = 2π m s O mvB vB = 2π m s 动量 pA = mvA= 2π kg ⋅ m s = 2π kg ⋅ m s mvA pB = mvB
y
∆m = ρv∆t
由动量定理 ∆m 所受的平均 满足： 冲力 f 满足：
f ⋅ ∆t = ∆mv − 0
∆m ρv∆t 2 f = ⋅v= ⋅ v = ρv ∆t ∆t
又∵铁链匀速上升，即a=0 铁链匀速上升，
∴ F = mg + f
= ρgx + ρv
2
[例6]如图：质量为M的滑块正沿光滑水平 6]如图：质量为M 如图 面向右滑动。一质量m的小球， 面向右滑动。一质量m的小球，水平向右 飞行， 飞行，以速度 v （相对地）与滑块相碰， 1 相对地）与滑块相碰， 碰后， 竖直向上弹起。 碰后，以 v2竖直向上弹起。假设碰撞时 间为 ∆t 。求此过程中滑块对地的平均作 用力和滑块速度增量的大小？ 用力和滑块速度增量的大小？
p1
定义： 定义：外力在一段时间内的累积量 称为冲量， 称为冲量，即
I = ∫ Fdt
t2
∴I = p2 − p1
即质点某一时间内所受合外力的冲量等于质 点同一时间内动量的增量 ----质点动量定理 ----质点动量定理
t1
讨论 1. I 的方向一般不是F(t) 的方向 ，而是微分冲量 Fdt 的矢量和的 方向 2.作用时间很短时，常引入平均冲力 2.作用时间很短时，常引入平均冲力 作用时间很短时
v
∴
故动量守恒MV来自设车和人相对地面速度分别为 V 和
v
∴MV + mv = 0 m 即 V =− ----运动方向相反 v ----运动方向相反 M
人相对于车的速度为
M +m v v' = v −V= M
设人在时间 t 内走到另一端
M +m M +m t x vdt = ∴l = ∫ v' dt= ∫0 0 M M m M v ∴x = l M +m X =l −x M m = l V M +m
t2
I z = ∫ Fz (t)dt = mv2z − mv1z
t1
t2
4.物体的动量相对于不同的惯性系是不同的 4.物体的动量相对于不同的惯性系是不同的, 物体的动量相对于不同的惯性系是不同的, 但动量定律不变. 但动量定律不变.
m
地上
t2 t1
v1
m
v2
u
车上
t2
mv1
mv2
∴∫ Fdt = mv2 − mv1
[例3]一装沙车以v =3m/s的速率从沙斗下面 3]一装沙车以 =3m/s的速率从沙斗下面 一装沙车以v 通过。 通过。每秒钟落入车厢的沙为 ∆m = 500kg 如果使车厢的速率保持不变， ，如果使车厢的速率保持不变，应用多大的 牵引力？ 车与轨道的摩擦不计) 牵引力？(车与轨道的摩擦不计) 解： 设m为t 时刻已 落入车厢的沙的 质量 dm
It1−t2 = pt=2 − p0 = pt=2
2 2 2
∴ pt =2 = 20i + 4 j + 8k N⋅ s
大小
方向
pt=2 = It1−t2 = 20 + 4 +8 = 21.9 N⋅ s cosα = I x I= 20 21.9= 0.91 cos β = I y I= 0.18 cosγ = Iz I = 0.37
t1
m(v1 + u) m(v2 + u)
∴∫ Fdt = m(v2 + u) − m(v1 + u) = mv2 − mv1
二.质点系动量定理 质点系： 质点系：由有相互作用的若干个质点组成 的系统 内 外 力：系统内各物体间的相互作用力 力：系统外物体对系统内物体的作用 力
1.两个质点的质点系 1.两个质点的质点系 根据牛顿定律
三.系统动量守恒 当合外力 ΣF = 0 时： i
∴Σpi = Σmivi =常矢量
d Σpi = 0 dt
即质点系所受合外力为零时，质点系的总动 即质点系所受合外力为零时， 量保持不变 ----系统动量守恒定律 ----系统动量守恒定律 分量形式 px = Σmivix =常量 ΣFix = 0时
t
[例5]一条单位长度为 ρ 的均匀铁链在地面 5]一条单位长度为 上卷成一堆，一人拿起一端以速度v匀速提高。 上卷成一堆，一人拿起一端以速度v匀速提高。 当手离地面的高度为x 手的提力为多大？ 当手离地面的高度为x时，手的提力为多大？ 解： t → t + ∆t 时间内有 ∆m 设 的铁链被提起， 的铁链被提起，
2. n个质点的质点系 因内力总是成对出现
d 可得 ΣF = Σpi 或 F = dp i dt dt t2 p2 ∴∫ Fdt = ∫ dp= p2 − p1 合外力
t1
∴Σfij = 0
总动量
或
I = p2 − p1
p1
即系统所受合外力的冲量等于质点系总动量 的增量 ----质点系动量定理 ----质点系动量定理
[例4]质量为m的人站在一质量为M、长为l的 4]质量为 的人站在一质量为M 长为l 质量为m 小车一端，由静止走向车的另一端， 小车一端，由静止走向车的另一端，求人和 小车各移动了多少距离?(不计摩擦) ?(不计摩擦 小车各移动了多少距离?(不计摩擦) 解： 水平方向上车和人 系统不受外力作用
m
二.完全非弹性碰撞 完全非弹性碰撞：碰撞前后， 完全非弹性碰撞：碰撞前后，机械 并以共同的速度运动。 能有损 失，并以共同的速度运动。
ΣFiy = 0时 ΣFiz = 0时
py = Σmiviy pz = Σmiviz
=常量 =常量
[例1]质量m=1kg的小球作半径R=2m 的圆 1]质量 1kg的小球作半径 2 质量m= 的小球作半径R= 周运动， 周运动，运动方程为 S = ( 2)πt 2(自然坐 1 标), 求小球从 t1 = 2s 到 t2 = 2s 所受外 力的冲量？ 力的冲量？ 解：以O为自然坐标原点 圆周周长
v2
m y v M x mg Mg M m
N
v1
解： 建立如图坐标 组成的系统， 对m,M组成的系统，由质点组的动量定理 组成的系统 Y方向：(N − mg − Mg)∆t = mv2 − 0 方向： 方向
mv2 ∴N = g + M + mg ∆t X 方向： ∵∑Fx = 0 ∴ X方向系统动 方向： 方向系统动 量守恒
F 1
m 1
f12 f21
dp1 F + f12 = 1 dt
相加
∵ f21 = − f12
dp2 F2 + f21 = F2 m2 dt dp1 dp2 F + F2 + f12 + f21 = + 1 dt dt
dp1 dp2 d ∴F1 + F2 = + = ( p1 + p2 ) dt dt dt
§3-1 牛顿第二定律积分形式之一： 牛顿第二定律积分形式之一： 量定理、 量定理、动量守恒定律 一.质点动量定理 由牛顿定律 有 力在
动
F = dp dt Fdt = dp
---牛顿定律的微分形式 ---牛顿定律的微分形式 时间内的累积量为
p2
t1 →t2
∫
t2
t1
Fdt = ∫ dp = p2 − p1
b