千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第86炼事件的关系与概率运算 Word版含解析

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千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第70炼求点的轨迹方程

求点的轨迹问题一、基础知识：1、求点轨迹方程的步骤：（1）建立直角坐标系（2）设点：将所求点坐标设为(),x y ，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示）（3）列式：从已知条件中发掘,x y 的关系，列出方程（4）化简：将方程进行变形化简，并求出,x y 的范围 2、求点轨迹方程的方法（1）直接法：从条件中直接寻找到,x y 的关系，列出方程后化简即可（2）代入法：所求点(),P x y 与某已知曲线()00,0F x y =上一点()00,Q x y 存在某种关系，则可根据条件用,x y 表示出00,x y ，然后代入到Q 所在曲线方程中，即可得到关于,x y 的方程（3）定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程。

常见的曲线特征及要素有： ① 圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹直角→圆：若AB AC ⊥，则A 点在以BC 为直径的圆上确定方程的要素：圆心坐标(),a b ，半径r② 椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹确定方程的要素：距离和2a ，定点距离2c③ 双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支确定方程的要素：距离差的绝对值2a ，定点距离2c④ 抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹确定方程的要素：焦准距：p 。

若曲线位置位于标准位置（即标准方程的曲线），则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程（4）参数法：从条件中无法直接找到,x y 的联系，但可通过一辅助变量k ，分别找到,x y 与k 的联系，从而得到,x y 和k 的方程：()()x f k y g k =⎧⎪⎨=⎪⎩，即曲线的参数方程，消去参数k 后即可得到轨迹方程。

千题百炼——高中数学100个热点问题(三)第100炼利用同构特点解决问题

合用文档第 100 炼利用同构特点解决问题一、基础知识：1、同构式：是指除了变量不同样，其余地方均同样的表达式2、同构式的应用：（1）在方程中的应用：若是方程f a 0 和 f b 0 表现同构特点，则 a,b 可视为方程f x 0的两个根（ 2）在不等式中的应用：若是不等式的两侧表现同构特点，则可将同样的构造构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系。

可比较大小或解不等式（3）在解析几何中的应用：若是 A x 1, y 1 ,B x 2 , y 2 满足的方程为同构式，则 A,B 为方程所表示曲线上的两点。

特其余，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线 AB 的方程（ 4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特点，即关于a n ,n 与a n 1, n 1 的同构式，进而将同构式设为辅助数列便于求解二、典型例题：x 1 例 1：（ 2015 天津十二校联考）设 x, y R ，满足y1（）552 x sin x1 3，则 x y2 y sin y11A.B.2C.4D. 6思路：本题研究对象并非 x, y ，而是 x 1 , y1，进而可变形为x15 x1 sin x1 125，观察上下式子左边构造同样，进而可将同样的构造y 1 y 1 sin y112视为一个函数，而等式右边两个结果互为相反数，可联想到函数的奇偶性，进而利用函数性质求解5x 1 解：5y 12x sin x1 3 x 15x 1 sin x 1 12 2 y sin y 11y 1 5y1 sin y112设 f tt 5 2t sin t ，可得 ft 为奇函数，由题意可得：f x 11 f y 1f y 1f x 11x 1y 1x y2答案： B例 2：若函数 fxx 1 m 在区间 a,b 上的值域为a ,b b a 1 ，则实数 m 的2 2取值范围是 _____________a 1 maa, f b思路：注意到f x 是增函数，进而获取f ab，即2，发现22b 1 mb2两个式子为 a,b 的同构式，进而将同构式视为一个方程，而 a,b 为该方程的两个根， m 的取值只需要保证方程有两根即可解：f x 为增函数a1 aa mf ab2 , f bb221b m2a, b 为方程 x 1 mx 在 1,上的两个根，即 mx x 1 有两个不同样的根2 2令 tx 1 t 0xt 2 1所以方程变形为：m 1 t21 t1 t2 2t 1 ，结合图像可得：m0,1222答案： m0,12例 3：设 a,b ? R ，则 | “ a > b ”是“ a a > b b ”的（）A. 充分不用要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充要又不用要条件思路：观察 a a > b b 可发现其同构的特点，所以将这种构造设为函数f xx x ，解析f xx xx 2 , xf x a > b ? f ( a )f( )其单调性。

千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第97炼不等式选讲

第97炼不等式选讲一、基础知识：（一）不等式的形式与常见不等式： 1、不等式的基本性质：（1）a b b a >⇔<（2）,a b b c a c >>⇒>（不等式的传递性）注：,a b b c a c ≥≥⇒≥，a c ≥等号成立当且仅当前两个等号同时成立（3）a b a c b c >⇒+>+（4）,0;,0a b c ac bc a b c ac bc >>⇒>><⇒< （5）()02,nna b a b n n N >>⇒>≥∈（6）)02,a b n n N >>>≥∈ 2、绝对值不等式：a b a b a b -≤+≤+ （1）a b a b +≤+等号成立条件当且仅当0ab ≥ （2）a b a b -≤+等号成立条件当且仅当0ab ≤（3）a b b c a c -+-≥-：此性质可用于求含绝对值函数的最小值，其中等号成立当且仅当()()0a b b c --≥ 3、均值不等式（1）涉及的几个平均数： ① 调和平均数：12111n nnH a a a =+++②几何平均数：n G = ③ 代数平均数：12nn a a a A n+++=④ 平方平均数：2nn a Q ++=（2）均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===（3）三项均值不等式：①a b c ++≥ 2223a b c abc ++≥② 33a b c abc ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭③a b c ++≤4、柯西不等式：()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++等号成立条件当且仅当1212nna a ab b b ===或120n b b b ====（1）二元柯西不等式：()()()22222a bc d ac bd ++≥+，等号成立当且仅当ad bc =（2）柯西不等式的几个常用变形 ① 柯西不等式的三角公式：()()()222222121122n n n b b b a b a b a b ++++≥±+±++±② ()222212121212n nn na a a a a ab b b b b b ++++++≥+++()()222212121212nn n n a a a b b b a a a b b b ⎛⎫⇔++++++≥+++ ⎪⎝⎭②式体现的是当各项22212,,,n a a a 系数不同时，其“平方和”与“项的和”之间的不等关系，刚好是均值不等式的一个补充。

千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第83炼-特殊值法解决二项式展开系数问题

第 83 炼特殊值法解决二项式展开系数问题一、基础知识：1、含变量的恒等式：是指无论变量在已知范围内取何值，均可使等式成立。

所以通常可对变量赋予特殊值得到一些特殊的等式或性质2、二项式展开式与原二项式呈恒等关系，所以可通过对变量赋特殊值得到有关系数（或二项式系数）的等式3、常用赋值举例：（1）设ab n C n0an Cn 1a n 1b C n 2a n2b 2L C n ran r br L C n nb n，①令 a b 1 ，可得： 2nC n 0C n 1L C n n②令 a1,b1，可得：0 C n 0C 1nC n 2C n 3Ln1nC；，即：CnCn2nnL C n nC 1nC n 3LCn n 1(C n (假设n 为偶数），再结合①可得：C 0C 2nnLC n nC 1nC n 3 Ln1C n2n 1（2）设fx 2x 1 na 0a 1x a 2x 2Ln a nx n① 令 x 1，则有：a 0 a 1 a 2L a n2 n1 1 nf1，即展开式系数和② 令 x 0，则有： a 0 20n1 n f0，即常数项③ 令 x1 ，设 n 为偶数，则有：a 0 aa 2a 3 La n1 2 1 n f1a 0 a 2 L a n a 1 a 3 L a n 1f1即偶次项系数和与奇次项系数和的差由①③即可求出 a 0a 2 La n 和 a 1 a 3 L a n 1 的值二、典型例题：例 1：已知 3x 1 8 a 02a 1x a 2xL a 8x 8 ，则 a 1 a 3a 5 a 7 的值为 __________思路：观察发现展开式中奇数项对应的 x 指数幂为奇数，所以考虑令 x 1,x 1 ，则偶数项相同，奇数项相反，两式相减即可得到 a 1 a 3 a 5 a 7 的值解：令 x 1 可得： 28 a 0 a 1 L a 8 ①令 x 1 可得：4 a o a 〔 a 2 L a 8答案:求式子特点可令x 2，得到a oa 1 Lan o ,只需再求出a o 即可。

高中数学考前100问(最终版)

“ .高中数学考前回归教材资料亲爱的高三同学，当您即将迈进考场时，对于以下 100 个问题，您是否有清醒的认识？1．集合中的元素具有无序性和互异性.如集合{a,2}隐含条件 a ≠ 2 ，集合 {x | ( x -1)(x - a) = 0}不能直接化成{1,a }.2.研究集合问题，一定要抓住集合中的代表元素，如:{ x | y = lgx }与{ y | y = lgx }及{ (x, y)| y = l gx }三集合并不表示同一集合；再如：设 A={直线}，B={圆}，问 A ∩B 中元素有几个？能回答是一个，两个或没有吗？”与“A={(x, y)| x + 2y = 3},B={(x, y)|x 2 + y 2 = 2}, A ∩B 中元素有几个？”有无区别？过关题：设集合 M = {x | y = x + 3}，集合 N ＝ {y | y = x 2 + 1, x ∈ M }，则 MN = ___（答： [1, +∞) ）3 .进行集合的交、并、补运算时，不要忘了集合本身和空集的特殊情况，不要忘了借助于数轴和韦恩图进行求解；若 AB= φ ，则说明集合 A 和集合 B 没公共元素，你注意到两种极端情况了吗？ A = φ 或 B = φ ；对于含有 n 个元素的有限集合 M ，其子集、真子集、和非空真子集的个数分别是2n 、 2n - 1 和 2n - 2 ，你知道吗？你会用补集法求解吗？A 是B 的子集 ⇔ A ∪B=B ⇔ A ∩B=A ⇔ A ⊆ B ，你可要注意 A = φ 的情况.过关题：已知集合 A={-1, 2}, B={x| m x + 1 = 0}，若 A ∩B=B ，则所有实数 m 组成的集合为.1答： m = {0,1,- }2已知函数 f ( x ) = 4 x 2 - 2( p - 2) x - 2 p 2 - p + 1 在区间 [-1,1] 上至少存在一个实数 c ，使 f (c) > 0 ，求实数 p 的取值范围.答： (-3, 3 2) ）4 .（1）求不等式（方程）的解集，或求定义域时，你按要求写成集合或区间的形式了吗？（2）你会求分式函数的对称中心吗？过关题：已知函数 f ( x ) = a - x x - a - 1的对称中心是(3, -1)，则不等式 f (x) > 0 的解集是 .答：{x | 2 < x < 3}5 .求一个函数的解析式，你注明了该函数的定义域了吗？6 .四种命题是指原命题、逆命题、否命题和逆否命题，它们之间有哪三种关系？只有互为逆否的命题同真假！复合命题的真值表你记住了吗？命题的否定和否命题不一样，差别在哪呢？充分条件、必要条件和充要条件的概念记住了吗？如何判断？反证法证题的三部曲你还记得吗？假设、推矛、得果原命题: p ⇒ q ;逆命题: q ⇒ p ;否命题: ⌝p ⇒ ⌝q ；逆否命题: ⌝q ⇒ ⌝p ；互为逆否的两个命题是等价的.如：“ sin α ≠ sin β ”是“ α ≠ β ”的条件.（答：充分非必要条件）若 p ⇒ q 且 q ≠ p ;则 p 是 q 的充分非必要条件（或 q 是 p 的必要非充分条件）;| 注意命题 p ⇒ q 的否定与它的否命题的区别:命题 p ⇒ q 的否定是 p ⇒⌝ q ；否命题是 ⌝p ⇒ ⌝q命题“p 或 q ”的否定是“┐P 且┐Q ”，“p 且 q ”的否定是“┐P 或┐Q ”注意：如 “ a, b ∈ Z ，若 a 和 b 都是偶数，则 a + b 是偶数”的否命题是“若 a 和 b 不都是偶数，则 a + b是奇数”；否定是“若 a 和 b 都是偶数，则 a + b 是奇数”7.绝对值的几何意义是什么？不等式ax + b |< c ，| ax + b |> c (c > 0) 的解法掌握了吗？过关题：| x | + | x – 1|<a 的解集非空，则 a 的取值范围是，| x | – | x – 1|<a 恒成立，则 a 的取值范围是.有解，则 a 的取值范围是.答： a > 1 ； a > 1 ； a > -18.如何利用二次函数求最值？注意对 x 2 项的系数进行讨论了吗？若 (a - 2) x 2 + 2(a - 2) x - 1 < 0 恒成立，你对 a - 2 =0 的情况进行讨论了吗？若改为二次不等式 (a - 2) x 2 + 2(a - 2) x - 1 < 0 恒成立，情况又怎么样呢？9. （1）二次函数的三种形式：一般式、交点式、和顶点式，你了解各自的特点吗？（2）二次函数与二次方程及一元二次不等式之间的关系你清楚吗？你能相互转化吗？（ 3）方程有解问题，你会求解吗？处理的方法有几种？过关题：不等式 a x 2 + b x + 2 > 0 的解集为{x | - 1 1< x < } ，则 a + b = .2 3答： -14过关题：方程 2sin 2 x – sinx + a – 1 = 0 有实数解，则 a 的取值范围是.9答： [-2, ]8特别提醒：二次方程 ax 2 + bx + c = 0 的两根即为不等式 ax 2 + bx + c > 0 (< 0) 解集的端点值，也是二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴的交点的横坐标.对二次函数 y = ax 2 + bx + c ，你了解系数 a, b , c 对图象开口方向、在 y 轴上的截距、对称轴等的影响吗？对函数 y = lg( x 2 - 2ax + 1) 若定义域为 R ，则 x 2 - 2ax + 1 的判别式小于零；若值域为 R ，则 x 2 - 2ax + 1 的判别式大于或等于零，你了解其道理吗？例如：y = lg(x 2 + 1)的值域为，y = lg(x 2 – 1) 的值域为，你有点体会吗？答： [0, +∞);( -∞, +∞)10 求函数的单调区间，你考虑函数的定义域了吗？如求函数 y = log (x 2 - 2x -3)的单调增区间？再如已知函数2y = log (x 2 - 2ax -1)在区间 [2,3] 上单调减，你会求 a 的范围吗？答： 0 < a <a34若函数 y = x 2 - 2ax + 2 的单调增区间为[2, +∞)，则 a 的范围是什么？答： a = 2若函数 y = x 2 - 2ax + 2 在 x ∈ [2, +∞)上单调递增，则 a 的范围是什么？答： a ≤ 2两题结果为什么不一样呢？y 11.函数单调性的证明方法是什么？（定义法、导数法）判定和证明是两回事呀！判断方法：图象法、复合函数法等. 还记得函数单调性与奇偶性逆用的例子吗？（⑴ 比较大小；⑵ 解不等式；⑶ 求参数的范围.）如已知 f ( x ) = 5sin x + x 3 ， x ∈ (-1,1)， f (1- a) + f (1- a 2 ) < 0 ，求 a 的范围. 答： (1, 2)求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”；单调区间是区间不能用集合或不等式表示.12.判断函数的奇偶性时，注意到定义域的特点了吗？（定义域关于原点对称这个函数具有奇偶性的必要非充分条件）.1过关题：f (x) = a x 2 + b x + 3 a + b 是偶函数，其定义域为[a – 1, 2a]，则 a = , b =.答： ;0313.常见函数的图象作法你掌握了吗？哪三种图象变换法？（平移、对称、伸缩变换）函数的图象不可能关于 x 轴对称，（为什么？）如：y 2 = 4x 是函数吗？函数图象与x 轴的垂线至多一个公共点，但与轴的垂线的公共点可能没有，也可能任意个；函数图象一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图象；如圆；图象关于 y 轴对称的函数是偶函数，图象关于原点对称的函数是奇函数.指数函数与对数函数关于直线y = x 对称，你知道吗？过关题：函数 y = 2f (x – 1)的图象可以由函数 y = f (x)的图象经过怎样的变换得到？过关题：已知函数 y = f (x) (a ≤x ≤b )，则集合{(x, y)| y = f (x) ,a ≤x ≤b } ∩{(x, y)| x = 0}中，含有元素的个数为（）A. 0 或 1B. 0C. 1D. 无数个答： A14.由函数 y = f ( x ) 图象怎么得到函数 y = f (- x ) 的图象？答：以 y 轴为对称轴翻折由函数 y = f ( x ) 图象怎么得到函数 y = - f ( x ) 的图象？答：以 x 轴为对称轴翻折由函数 y = f ( x ) 图象怎么得到函数 y = - f (- x ) 的图象？答：以 (0,0) 为对称中心翻折由函数 y = f ( x ) 图象怎么得到函数 y = f (| x |) 的图象？答：去左翻右⑴ 曲线 C : f ( x , y) = 0 关于 x 轴的对称的曲线 C 是： . 答： f ( x , - y) = 0 1⑵ 曲线 C : f ( x , y) = 0 关于 y 轴的对称的曲线 C 是：.答： f (- x , y) = 0 2 ⑶ 曲线 C : f ( x , y) = 0 关于直线 y = x 的对称的曲线 C 是： . 答： f ( y , x) = 0 3⑷ 曲线 C : f ( x , y) = 0 关于直线 y = - x 对称的曲线 C 是：.答： f (- y , - x ) = 04⑸ 曲线 C : f ( x , y) = 0 关于直线 y = x + m 的对称的曲线 C 是：.答： f ( y - m , x + m ) = 0 5⑹ 曲线 C : f ( x , y) = 0 关于直线 y = -x + m 的对称的曲线 C 是：.答： f (m - y , m - x) = 06⑺ 曲线 C : f ( x , y) = 0 关于直线 x = m 对称的曲线 C 是： .答： f (2m - x, y) = 0 7⑻ 曲线 C : f ( x , y) = 0 关于直线 y = m 对称的曲线 C 是： .答： f ( x ,2 m - y) = 08 ⑼ 曲线 C : f ( x , y) = 0 关于原点的对称的曲线 C 是：.答： f (- x , - y) = 09过关题： f (x) = log x 关于直线 y = x 的对称函数（反函数）.答： y = 2x或 [ b 的单调区间吗？（该函数在 (-∞,-. y指数式、对数式：a n = n a m ，a - n = 1 ，a 0 = 1 ，log 1 = 0 ，log a = 1 ，lg 2 + lg5 = 1 ，log x = ln x ，215.函数 y = x + kx(k > 0) 的图象及单调区间掌握了吗？如何利用它求函数的最值？与利用基本不等式求最值的联系是什么？若 k ＜0 呢？你知道函数bab b,+∞) 上单调递增；在 (0, ] 或 [- ,0) 上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！a a a求函数的最值，一般要指出取得最值时相应的自变量的值.16.(1)切记：研究函数性质注意一定在该函数的定义域内进行！一般是先求定义域，后化简，再研究性质]过关题： y = log1 (-x2+ 2x )的单调递增区间是________(答：（1,2）).2已知函数 f (x) = log 3 x + 2, x ∈[1, 9]，则函数 g (x) = [f (x)] 2 + f (x 2)的最大值为 . 答：13求解中你注意到函数 g (x)的定义域吗？(2)抽象函数在填空题中，你会用特殊函数去验证吗？（即找函数原型）过关题 12：已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为 T ，则 f (-（答：0）几类常见的抽象函数：①正比例函数型： f ( x ) = kx(k ≠ 0) --------------- f ( x ± y ) = f ( x ) ± f ( y ) ；T2) = __x ②幂函数型： f ( x ) = x 2 -------------- f ( x y) = f ( x ) f ( y) ， f ( ) =y f ( x ) f ( y)；③指数函数型： f ( x ) = a x ---------- f ( x + y) = f ( x ) f ( y) ， f ( x - y) =f ( x ) f ( y)；x ④对数函数型： f ( x ) = log x --- f ( x y) = f ( x ) + f ( y) ， f ( ) = f ( x ) - f ( y) ；a⑤三角函数型： f ( x ) = tan x ----- f ( x + y) = f ( x ) + f ( y) 1 - f ( x ) f ( y).17．解对数函数问题时注意到真数与底数的限制条件了吗？指数、对数函数的图象特征与性质明确了吗？对指数函数 y = a x ，底数 a 与 1 的接近程度确定了其图象与直线 y = 1 接近程度；对数函数 y = log x 呢？你 a还记得对数恒等式（a log a N = N ）和换底公式吗？知道： n m log N = log aa m N n吗？mmm a a eana b = N ⇔ log N = b (a > 0, a ≠ 1, N > 0) ， a log a N = N .a如 ( )log 28的值为________(答： 1 2 - β + 2k π ,( k ∈ Z )sin x > ； ⎨2 由三角函数线，我们很容易得到函数 y = sin x ， y = cos x 和 y = tan x 的⎪ tan θ ≥ 1函数 y =2sin(π15︒,75[ 2 ) 时，x, sinx, tanx 的大小关系如何？cos ϕ = ⎨ ⎩ϕ 1 2 64 )18.你还记得什么叫终边相同的角？若角α 与 β 的终边相同，则α = β + 2k π ,( k ∈ Z )若角 α 与 β 的终边共线，则：α = β + k π ,( k ∈ Z )若角 α 与 β 的终边关于 x 轴对称，则：α = -β + 2k π ,( k ∈ Z )若角 α 与 β 的终边关于 y 轴对称，则：α = π - β + 2k π ,( k ∈ Z )若角 α 与 β 的终边关于原点对称，则：α = β + (2 k + 1)π ,( k ∈ Z )若角 α 与 β 的终边关于直线 y = x 对称，则：α =π各象限三角函数值的符号：一全正，二正弦，三两切，四余弦； ︒ 角的正弦、余弦、正切值还记得吗？ 19.什么叫正弦线、余弦线、正切线？借助于三角函数线解三角不等式或不等式组的步骤还清楚吗？如：⎧ 3 2 ⎪cos θ < 2 ⎩单调区间；三角函数（正弦、余弦、正切）图象的草图能迅速画出吗？能写出它们的单调区间、对称中心、对称轴及其取得最值时的 x 值的集合吗？（别忘了 k ∈ Z ）ππ– 2x)的单调递增区间是- + k π ,+ k π]( k ∈ Z ) 吗？你知道错误的原因吗？663y = tan x 图象的对称中心是点 ( k π 2,0) ，而不是点 (k π ,0) (k ∈ Z ) 你可不能搞错了！你会用单位圆比较sinx 与 cosx 的大小吗？当x ∈ (0, π过关题:函数 y = tan x 与函数 y = sin x 图象在 x ∈[-2π,2π]上的交点的个数有个？答： 520 ．三角函数中，两角 α、β 的和、差公式及其逆用、变形用都掌握了吗？倍角公式、降次公式呢？⎧⎪ a sin x + b cos x = a 2 + b 2 sin(x + ϕ ) 中 ϕ 角是如何确定的？（可由 ⎪ ⎪ s in ϕ =⎪ aa 2 +b 2ba 2 +b 2确定，也可由tan= b a及 a , b 的符号来确定）公式的作用太多了，有此体会吗？重要公式： sin 2α = 1- cos2α ； cos 2α = 1 + cos2α ．；nat α = ± 1-osc α = nis α = 1-osc α ;222 1+osc α 1+osc α nis α1± sin θ = (cos ± sin )2 = cos ± sin12 ,k π + 2 ， α + βα + β = 2 ⋅ α + β (αβ ) (αβ )2-等），（答： y = - 3A.π函数 y = sin ⎛ 5π- 2 x ⎪ 的奇偶性是______（答：偶函数）y A 、 “ θ θ θ θ2 2 2 2等，你还记住哪些变形公式？特殊角三角函数值你记清楚了吗？如：函数 f ( x ) = 5 s in x cos x - 5 3 c os 2x +53( x ∈ R ) 的单调递增区间为___________（答：2[ k π - π5π 12]( k ∈ Z ) ）巧变角：如 α = (α + β ) - β = (α - β ) + β ， 2α = (α + β ) + (α - β ) ， 2α = (β + α) - (β -α) ，2=- -2如（1）已知 tan(α + β ) = 25π 1 π 3， tan( β - ) = ，那么 tan(α + ) 的值是_____（答：）；4 4 4 22（2）已知 α , β 为锐角， sin α = x,cos β = y ， cos(α + β ) = -4 3 1 - x 2 + x( < x < 1) ）5 5 53 5，则 y 与 x 的函数关系为______（3）若 x =π6是函数 y = a sinx – b cosx 的一条对称轴，则函数 y = b sinx – a cosx 的一条对称轴是ππ B.C.D. π （）答： B63221.会用五点法画 = A s in( ωx + ϕ ) 的草图吗？哪五点？会根据图象求参数 ω、ϕ 的值吗？什么是振幅、初相、相位、频率？答： A,ϕ, wx + ϕ, | ω |2π22.同角三角函数的三个基本关系，你记住了吗？三角函数诱导公式的本质是：奇变偶不变，符号看象限”⎫ ⎝ 2 ⎭23.正弦定理、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？会用它们解斜三角形吗？如何实现边角互化？（用：面积公式，正弦定理，余弦定理，大角对大边等实现转化），三角形解的个数题型你熟悉吗（一解、两解、无解）？24.你对三角变换中的几种常见变换清楚吗？（1）角的变换:和差、倍角公式、异角化同角、单复角互化；（2）名的变换：见切化弦；, 且 < α < ，则 cos α -sin α的值为.答： -过关题: sin α = 5 ,sin β = , 且α ,β为锐角, 则 α + β =.答：y = sin x −左−或−平−−|Φ|→ y = sin( x + Φ) −横−坐−伸−到−原来−的−倍→ y = sin(ω x + Φ)1 ω− 右移 y = sin x −横−坐−伸−到−原来−的−倍→ y = sin ωx −左−或−平−−|→ y = sin(ωx + Φ)1 Φω−−−−− 原来的− → y = A s in(ωx + Φ) −−−平−−→ y = A s in(ωx + Φ) + b 2 ]（3）次的变换：降幂公式；π π（4）形的变换：通分、去根式、1 的代换1 = sin 2 α + cos 2 α = tan =sin =cos0）等，这些统称为 1 的代换.4 225.在已知三角函数中求一个角时，你（1）注意考虑两方面了吗？（先判定角的范围，再求出某一个三角函数值）（2）注意考虑到函数的单调性吗？过关题： sin α cos α = 1 π π8 4 23210π 5 10426.形如 y = Asin(ωx + ϕ) +b ，y = A t an(ωx + ϕ) 的最小正周期会求吗？有关周期函数的结论还记得多少？周期函数对定义域有什么要求吗？求三角函数周期的几种方法你记得吗？怎么证明函数为周期函数？27、 y = Asin(ωx + ϕ) +b 与 y =sinx 变换关系:φ正左移负右移；b 正上移负下移;标缩标缩右移 | ω标缩下移28.在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖出正余弦的有界性了吗？过关题：已知 s in α cos β = 12 1 1 ，求 sin β cos α 的变化范围.答： [- , ]2 2提示：整体换元，令 s in β cos α = t ，然后与 sin α cos β 相加、相减，求交集.29.请记住(sin α ± cos α )与 sin α cos α 之间的关系.5过关题：求函数 y = sin2x + sinx + cosx 的值域.答： [- , 2 + 1]430 常见角的范围①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次是(0,②直线的倾斜角、与的夹角的取值范围依次是[0, π ) ， [0,π31 以下几个结论你记住了吗？π π] ， [0, ] ， [0, π ] ； 2 2⎩y=2sinθB=b+c⑷面积公式：S=1a⑴如果函数f(x)的图象关于直线x=a对称，那么函数f(x)满足关系式为，且函数f(x)若为奇函数，则函数f(x)的周期为.答：f(a+x)=f(a-x),4|a|⑵如果函数f(x)满足关于点（a,b）中心对称，那么函数f(x)满足关系式为；答：f(a+x)+f(a-x)=2b⑶如果函数f(x)的图象既关于直线x=a成轴对称，又关于点(b,c)成中心对称，那么f(x)是周期函数，周期是T=4|a-b|.（4）f(x+a)=f(b-x)，则f(x)的图象关于x=a+b2对称.过关题：已知函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且满足g(x)=f(x–1)，则f(2006)+f(2007)+f(2008) =.答：0132.你还记得弧度制下的弧长公式和扇形面积公式吗？l=|α|r,S=lr若α是角度，公式又是什么形式2呢？过关题:已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积.（答：2cm2），⎧x=2cosθ曲线⎨π（θ为参数,且-π≤θ≤-）的长度为.答：34π333.三角形中的三角函数的几个结论你还记得吗？A B+C⑴内角和定理：三角形三内角和为π,sinA=sin(+C),cosA=-cos(B+C),s in=cos()22⑵正弦定理：a b c===2R（R为三角形外接圆的半径）, sin A sinB sinC注意：已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解⑶余弦定理：a222-2bc cos A，cos A=定三角形的类型.b2+c2-a2(b+c)2-a2=-1等，常选用余弦定理鉴2bc2bc1abcah=ab sin C=224R，内切圆半径r=2S∆ABC a+b+c（5）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，大角对大边，大边对大角，你注意到了吗？sinA>sinB⇔A>B，你会证明吗？（6）已知a,b,A时三角形解的个数的判定：bCh a其中h=bsinA,⑴A为锐角时：①a<h时，无解；②a=h时，一解（直角）；③h<a<b时，两解（一锐角，一钝角）；④a≥b时，一解（一锐角）.⑵A为直角或钝角时：①a≤b时，无解；②a>b时，则b36.倒数法则还记得吗？（指ab>0,a>b⇒1）(x>③正数x,y满足x+2y=1，则1+的最小值为______（答：3+22）；（7）三角形为锐角三角形满足什么条件？34．常见的三角换元法：已知x2+y2=a2，可设x=a cosθ,y=a sinθ；已知x2+y2≤1，可设x=r cosθ,y=r sinθ(0≤r≤1)；已知x2y2+a2b2=1，可设x=a cosθ,y=b sinθ；35.重要不等式的指哪几个不等式？若a,b>0，（1）a2+b2≥a+b≥ab≥2（当且仅当a=b时取等号）；221+1a b（2）a、b、c∈R，a2+b2+c2≥ab+bc+ca（当且仅当a=b=c时，取等号）；（3）若a>b>0,m>0，b+m<a a+m（糖水的浓度问题）.111<，常用如下形式：a>b>0⇒0<<，a b a b11a<b<0⇒0>>）用此求值域的注意点是什么？a b如求函数y=12x-11的值域，求函数y=2x-1的值域呢？37.不等式证明的基本方法都掌握了吗？（比较法、分析法、综合法及放缩法（a2+b2≥(a+b)22≥2|ab|）等号成立的条件是什么？基本变形：①a+b≥；(a+b2)2≥；38利用重要不等式求函数的最值时，是否注意到一正，二定，三相等？如：①函数y=4x-91)的最小值2-4x2.（答：8）②若若x+2y=1，则2x+4y的最小值是______（答：22）；1x y39.二元函数求最值的三种方法掌握了吗？方法一：转化为一元问题，用消元或换元的方法；方法二：利用基本不等式；方法三：数形结合法，距离型、截距型、斜率型）过关题：若正数a,b满足a b=a+b+3,则a+b的取值范围是.（答：[6,+∞)）40不等式的大小比较，你会用特殊值比较吗？a + b， .“ x - 1 - . 答： ( 2, 3)过关题：已知 a > b > 0，且 a b = 1，设 c = 2, P = log a, N = log b , M = log ab ，c cc则 A. P < M < NB. M < P < NC. N < P < MD. P < N < M ( )答： A41 不等式解集的规范格式是什么？（一般要写成区间或集合的形式）另外“序轴标根法”解不等式的注意事项是什么？将不等式整理成一边为零的形式，将非零的那边因式分解，要求每个因式中未知量 x 的最高次数项的系数均为正值，求各因式的零点，画轴，穿线，注意零点的重数，在写解集时还得考虑解集中是否包含零点如:解不等式 ( x + 3)( x - 1)3 ( x + 2)2 ≥ 0 .（答：{x | x ≥ 1或x ≤ -3 或 x = -2} ）；42.解分式不等式f ( x )g ( x )> a(a ≠ 0) 应注意什么问题？（在不能肯定分母正负的情况下，一般不能去分母而是移项通分）43.解含参数不等式怎样讨论？注意解完之后要写上：综上，原不等式的解集是…”解不等式ax 2 ax - 1> x(a ∈ R)（综上，当 a = 0 时，原不等式的解集是{x | x < 0} ；当 a > 0 时，原不等式的解集是{x | x > 1 a或 x < 0} ；当 a < 0 时，原不等式的解集是{x | 1 a< x < 0 } ）过关题：解关于 x 的不等式：ax + 1> 1 ，（| a |≠1） x + 1答： a > 1,{x | x > 0或x < -1}； a =1,∅； 0 < a < 1,{x | -1 < x < 0}44.含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一般是根据定义分类讨论、平方转化或换元转化）45.解对数不等式应注意什么问题？（化成同底，利用单调性，底数和真数都大于零）过关题：解关于 x 的不等式： log ( x 2- x - 2) > log1 1 421246.会用不等式 || a | - | b ||≤| a ± b |≤| a | + | b | 证一些简单问题吗？取等号需满足什么条件的？47.不等式恒成立问题有哪几种处理方式？（特别注意一次函数型和二次函数型，还有恒成立理论）过关题：对任意的 a ∈[-1, 1]，函数 f (x) = x 2 + (a – 4) x + 4 – 2a 的值总大于 0，则 x 的取值范围是.答： (-∞,1) (3, +∞)过关题：当 P(m, n )为圆 x 2 + ( y – 1) 2 = 1 上任意一点时，不等式 m + n + c ≥0 恒成立，则 c 的取值范围是.答： [ 2 - 1,+∞)48.等差、等比数列的重要性质你记得吗？证明方法是什么？}{公式法（利用等差、等比数列的通项公式或利用a=⎨直接写出所求数列的通项公式）S-S n≥2⎩nna2+(2n-1)=n2，（等差数列中的重要性质：若，则；等差数列的通项公式：a=kn+b型前n项和：S=An2+Bn型n n等比数列中的重要性质：若，则用等比数列求前n项和时一定要注意公比q是否为1？（过关题：求和：S=x+2x2+3x3++nx n要注意什么？n时，；时，）49.等差数列、等比数列的重要性质：an+1-an-1=d(a为常数)的数列有什么性质？若{a}为等差数列，n则{a2n-1，ka +b }也是等差数列，它们的公差是什么？n50.数列通项公式的常见求法：观察法（通过观察数列前几项与项数之间的关系归纳出第项a与项数n之间的关系）n⎧S n=11nn-1叠加法（适用于递推关系为an+1-a=f(n)型）n连乘法（适用于递推关系为an+1=f(n)型）an构造新数列法（如递推关系n+1=pa+q;an n+1=pa+b(b为等差数列或等比数列)型）n n n51.数列求和的常用方法：公式法：⑴等差数列的求和公式（两种形式），⑵等比数列的求和公式⑶1+2++n=n(n+1)，1+3+5+1+3+5++(2n+1)=(n+1)2；12+22+32+1+n2=n(n+1)(2n+1)6分组求和法：在直接运用公式求和有困难时常，将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和（如：通项中含(-1)n因式，周期数列等等）倒序相加法：在数列求和中，如果和式到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，那么常可考虑选用倒序相加法，（等差数列求和公式）错位相减法：（“差比数列”的求和）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和，常用裂项形式有：⑴1111111 =-⑵=(-)n(n+1)n n+1n(n+k)k n n+k⑶11111<=(-)k2k2-12k-1k+11111111-=<<=-k k+1(k+1)k2k(-1)k-1kk kn (n + 1)(n + 2) 2 n (n + 1) (n + 1)(n + 2)(n + 1)!n ! (n + 1)!裂项法求和：如求和：1 + 1 1 + 2 1 + 2 + 3 +① a n+1-a n =…… ⎨= 0如 a n = -2n 2+29n-3 ⎪< 0n +1 = ⎨= 1 (a n >0) 如 a n = ⎪< 1 ⎩ 求通项常法: （1）可利用公式: a = ⎨ ⎩S n - S n -1 n ≥ 22 22 22n n 14, n = 1n + 1 + n (n ≥ 2) ，则 a =________（答：a = n + 1 - 2 + 1） a n ＝ an －1 an －2 a⑷⑹ 2( n + 1 - n ) < 1 n< 2( n - n - 1) ⑺ a = S - S n nn -1 (n ≥ 2)⑻ C m -1 + C m = C m ⇒ C m = C m - C m -1 （理科）nnn +1nn +1n分组法求数列的和：如 a n =2n+3n 、错位相减法求和：如 a n =(2n-1)2n 、1 + + 11 +2 +3 + + n =（答：2nn + 1）、倒序相加法求和：如①求证： C 0 + 3C 1 + 5C 2 +nnn+ (2 n + 1)C n = (n + 1) 2n ；（理科）nx 2 1 1 1 7②已知 f ( x ) = ，则 f (1)+ f (2) + f (3) + f (4) + f ( ) + f ( ) + f ( ) ＝___（答：）1 + x2 234 2求数列{a n }的最大、最小项的方法（函数思想）：⎧> 0⎪ ⎩②a ⎪ an ⎧> 19 n (n + 1)10 n③ a n =f(n) 研究函数 f(n)的增减性如 a n =nn 2 + 156⎧S n = 1 1 n如：数列{a } 满足 n1 1 a +a + 1+ 1a= 2n + 5 ，求 a （答： a =n n{2n +1, n ≥ 2 ）（2）先猜后证（3）递推式为 an ＋1＝ a ＋f(n) (采用累加法)； a nn ＋1 ＝ a ×f(n) (采用累积法)；n如已知数列{a } 满足 a = 1 ，a - a n1nn -1 =1nn（4）构造法形如 a = kann -1+ b 、 a = kann -1+ b n （k , b 为常数）的递推数列如已知 a = 1,a = 3a1nn -1+ 2 ，求 a （答： a = 2 3n -1 - 1 ）；n n（5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决，适当注意以下 2 个公式的合理运用a n ＝（a n －a n-1）+(a n-1－a n-2)+……＋（a 2－a 1）＋a 1 ；aa a n ⋅ n －1 2a 11（ a ≠ 0）i+ 13n - 24 + 1 1 , 数列{a n }的前 n 项和为 Sn , 点 P n (a n , - a答：（1） a = 4n - 3 4n - 3 2 4n - 3 4n - 3 + 4n + 1 = >，求数列通项时注意到 n ≥ 2 了吗？一般情况是： a= ⎨ ⎩S - S 常用定理:①线面平行 b ⊂ α ⎬ ⇒ a //α ; ⎬ ⇒ a //α ; a ⊥ β ⎬ ⇒ a //α a ⊄ α⎪⎭ a ⊄ α ⎪⎭ ②线线平行: a ⊂ β ⎬ ⇒ a //b ; ⎬ ⇒ a // b ; α ⋂γ = a ⎪ ⇒ a //b ; a // b ⎫ ⇒ c // bα ⋂ β = b ⎭β ⋂γ = b ⎭③面面平行: a ⋂ b = O ⎬ ⇒ α // β ; ⎬ ⇒ α // β ; ⎬ ⇒ α // γa // β ,b // β ⎪⎭④线线垂直: a ⊥ α⎫⎬ ⇒ a ⊥ b ;所成角 90；a ⊂ α ⎪ (三垂线);逆定理?b ⊂ α ⎭α // β ⎫ α // β ;; α//β ⎫⎬ ⇒a ⊥ β ; a // b ⎫⎬ ⇒ b ⊥ αa ⋂b = O ⎬ ⇒l ⊥α α ⋂β = l ⎬ ⇒ a ⊥ β l ⊥ a,l ⊥ b ⎪⎭ a ⊂α, a ⊥ l ⎪⎭⑥面面垂直：二面角 900; a ⊂ β ⎫ a // β ⎫（6）倒数法形如 a =nan -1的递推数列都可以用倒数法求通项.ka + bn -1如①已知 a = 1,a =1n②已知数列满足 a =1， a1n -1- a = a an n n -1，求 a （答： a = n n 1 n 2），已知函数 f (x) = -x 2 a n +1)(n ∈N*)在曲线 y = f (x)上, 且 a 1 =1, a n > 0.(1)求数列{a n }的通项公式; (2)求证: S n >2n4n + 1 + 1 (n ∈N*);(3)若数列{b n }的前 n 项和为 T n , 且满足 Tn +12 n= Tnan +12+ 16n 2 - 8n - 3 , 试确定 b 1 的值, 使得数列{b n }是等差数列.n1 12 2（2）提示： a = （3） b = 1n 1 由 a = S - Sn n n -1n ⎧ S1 n n -1 n = 1 n ≥ 252.立体几何中平行、垂直关系证明思路明确了吗？各种平行、垂直转换的条件是什么？①空间两直线:平行、相交、异面;判定异面直线用定义或反证法②直线与平面: a ∥α 、a ∩α =A (a ⊄ α ) 、a ⊂ α③平面与平面:α ∥β 、α ∩β =a线//线 ⇔ 线//面 ⇔ 面//面，线⊥线 ⇔ 线⊥面 ⇔ 面⊥面.a //b ⎫ α ⊥ β⎫⎪ ⎪a ⊂ β ⎭a //α⎫ ⎫⎪ a ⊥ α⎫ ⎬ ⎬ ⎪ b ⊥ α ⎭ ⎪ a // c ⎭a ⊂ α,b ⊂ α ⎫⎪a ⊥ α ⎫ α // β ⎫ a ⊥ β ⎭ γ // β ⎭PO ⊥ α ⎫⎬ ⇒ a ⊥ P Aa ⊥ AO ⎪⎭⑤线面垂直: a ⊂α,b ⊂α⎫ α⊥β ⎫⎪ ⎪ a ⊥α⎭ a ⊥ α⎭⎬⇒ α ⊥ β ; ⎬⇒ α ⊥ β a ⊥ α ⎭ a ⊥α ⎭两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角的平面角的取值范围依次是： (0, π ] 、 [0, ] 、， 53.异面直线所成的角如何求？（异面问题相交化，即转化到同一平面上去求解）范围是什么？过关题：在正方体 ABCD – A 1B 1C 1D 1 中，点 P 在线段 A 1C 1 上运动，异面直线 BP 与 AD 1 所成的角为θ ，则角θ 的取值范围是 .π22[0, π ] .(3)在用向量法求异面直线所成的角、线面角、二面角的平面角时，应注意什么问题？“作、证、算”三个步骤可一个都不能少啊！（理科）求空间角①异面直线所成角θ 的求法：π（1）范围： θ ∈ (0, ] ；2（2）求法：平移以及补形法、向量法.如（1）正四棱锥 P - ABCD 的所有棱长相等， E 是 PC 的中点，那么异面直线 BE 与 P A 所成的角的余弦值等于____（答：3 3）；（2）在正方体 AC 1 中，M 是侧棱 DD 1 的中点，O 是底面 ABCD 的中心，P 是棱 A 1B 1 上的一点，则OP 与 AM 所成的角的大小为____（答：90°）；②直线和平面所成的角：（1）范围 [0,π2] ；（2）斜线与平面中所有直线所成角中最小的角.：（3）求法：作垂线找射影或求点线距离（向量法）；如（理）（1）在正三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 中，已知 AB=1，D 在棱 BB 1 上，BD=1，则 AD 与平面 AA 1C 1C所成的角正弦为______（答：64）；（2）正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，E 、F 分别是 AB 、C 1D 1 的中点，则棱 A 1B 1 与截面 A 1ECF 所成的角的余弦值是______（答：3 3）；如（1）正方形 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，二面角 B-A 1C-A 的大小为________（答： 60 ）；（2）正四棱柱 ABCD —A 1B 1C 1D 1 中对角线 BD 1＝8 BD 1与侧面 B 1BCC 1 所成的为 30°，则二面角 C 1—BD 1—B 1的正弦为______（答：6 3）；（3）从点 P 出发引三条射线 PA 、PB 、PC ，每两条的夹角都是 60°，则二面角 B-P A-C 的余弦值是______（答： 13）；54.（1）有关长方体的性质和结论，你记得吗？过关题：平面α 、 β 、 γ 两两互相垂直，直线 l 与平面 α 、 β 所成的角分别为 30o 、45o ，则直线 l 与平面 γ 所成的角为 .答： 30︒; r = ; R = aa | ! （2）有关正四面体的性质和结论，你记得吗？正方体中有一个正四面体的模型，你知道吗？你能灵活运用吗？侧棱与底面所成的角的余弦值为；侧面与底面所成的二面角的余弦值为；正四面体的内切球半径 r 与外接球的半径 R 之比为，它们与正四面体的高 h 之间的关系分别为、 .答：3 ; 1 ; 1 h 3h 3 3 34 4（3）正三棱锥、正四棱锥的性质，你记得吗？它们的特征直角三角形，你会应用吗？（4）求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、等体积法、换点法）（5）求多面体体积的常规方法有哪些？（直接法、等体积法、割补法）55.球的表面积、柱、锥、球的表面积会求吗？体积公式都记得吗？过关题：一个四面体的所有棱长都是 2 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为. 答： 3π56．平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体间联系三棱锥中:侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等) ⇔ 顶点在底面射影为底面外心;侧棱两两垂直(两对对棱垂直) ⇔ 顶点在底面射影为底面垂心 ;斜高相等(侧面与底面所成相等 ) ⇔ 顶点在底面射影为底面内心 ;正棱锥各侧面与底面所成角相等为θ ,则 S 侧 cos θ =S 底;正三角形四心?内切外接圆半径?;57.向量运算的几何形式和坐标形式，请注意：向量运算中向量的起点、终点及其坐标的特征⑴ 几个概念：零向量、单位向量、与同方向的单位向量，平行向量，相等向量，相反向量，以及一个向量在另一向量上的投影（在 b 方向上的投影是 a | cos θ =a ⋅b , θ为向量a 与 b 的夹角）一定要记住 | b |过关题：在直角坐标平面上，向量 OA = (4,1) 与 OB = (2, -3) 在直线 l 上的射影长度相等，则 l 的斜率为. 答： -12⑵ 0 和 0 是有区别的了， 0 的模是 0，它不是没有方向，而是方向不确定；0 可以看成与任意向量平行，但与任意向量都不垂直.⑶ 若 a = 0 ，则 a ⋅ b = 0 ，但是由 a ⋅ b = 0 ，不能得到 a = 0 或 b = 0 ，你知道理由吗？还有： a = c 时， a ⋅ b = c ⋅ b 成立，但是由 a ⋅ b = c ⋅ b 不能得到 a = c ，即消去律不成立.58.向量中的重要结论记住了吗？如：在三角形 ABC 中，点 D 为边 AB 的中点，则 CD =12(CA + CB) ；已知直线 AB 外一点 O ，点 C 在直线 AB 上的充要条件为 O C = tOA + (1- t )OB .（三点共线）59 你会用向量法证明垂直、平行和共线及判断三角形的形状吗？60.向量运算的有关性质你记住了吗？数乘向量，向量的内积，向量的平行，向量的垂直，向量夹角的求法，两向量的夹角为锐角等价于其数量积大于零吗？（不等价）向量定义、向量模、零向量、单位向量、相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量. a 的相反向量是－ a .)、共线向量、相等向量②当 a ， b 同向时， a • b ＝ a b ，特别地， a 2= a • a = a , a = ③ | a • b |≤| a || b |.如已知 a = (λ,2λ)，b = (3λ ,2) ，如果 a 与 b 的夹角为锐角，则 λ 的取值范围是b b 或 λ > 0且 λ ≠ ）； b 1 2如（1）平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A(3,1) , B(-1,3) ,若点 C 满足 OC = λ OA + λ OB ,（2）在 ∆ABC 中，① PG = 1 ( P A + PB + PC ) ⇔ G 为 ∆ABC 的重心，特别地 P A + PB + PC = 0 ⇔ P 为e e , →a e e 注意:不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）61、加、减法的平行四边形与三角形法则: AB + B C = A C ; AB - AC =CB ; a - b ≤ a ± b ≤ a + b62、向量数量积的性质：设两个非零向量 a ， b ，其夹角为θ ，则：① a ⊥ b ⇔ a • b = 0 ；2 a 2 ；当 a 与 b 反向时， a • b ＝－ a b ；当θ 为锐角时， a • b ＞0，且 a 、不同向， a ⋅ b > 0 是θ 为锐角的充要条件；当θ 为钝角时， a • b ＜0，且 a 、不反向， a ⋅ b < 0 是θ 为钝角的充要条件；→ →→ →______（答： λ < -4133④向量 b 在 a 方向上的投影︱︱cos θ ＝a ⋅ ba⑤ →和 →是平面一组基底则该平面任一向量 = λ →+ λ →( λ , λ 唯一)121 12 212特别： OP ＝ λ OA + λ OB 则 λ + λ = 1 是三点 P 、A 、B 共线的充要条件，向量基本定理是什么？12−−→ −−→ −−→12其中 λ , λ ∈ R 且 λ + λ = 1,则点 C 的轨迹是___（答：直线 AB ）1 2123∆ABC 的重心；② P A ⋅ PB = PB ⋅ PC = PC ⋅ P A ⇔ P 为 ∆ABC 的垂心；③向量 λ ( AB + AC )(λ ≠ 0) 所在直线过 ∆ABC 的内心(是 ∠BAC 的角平分线所在直线)；| AB | | AC |如：（1）若 O 是 △ABC 所在平面内一点，且满足 OB - OC = OB + OC - 2OA ，则 ABC 的形状为____（答：直角三角形）；（2）若 D 为 ∆ABC 的边 BC 的中点，∆ABC 所在平面内有一点 P ，满足 P A + BP + CP = 0 ，设 | AP | | PD |= λ ，则 λ 的值为___（答：2）；（3）若点 O 是 △ABC 的外心，且 OA + OB + CO = 0 ，则 △ABC 的内角 C 为__（答：120 ）；63.任何直线都有倾斜角，但只有倾斜角不等于直角的直线才有斜率，直线的斜率公式、点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式记住了吗？直线的倾斜角的范围是什么？有关直线的倾斜角及范围，你会求吗？。

千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第76炼存在性问题

第76炼圆锥曲线中的存在性问题一、基础知识1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。

再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替（1）点：坐标()00,x y（2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量）（3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧：（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。

（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。

（3）核心变量的求法：①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。

二、典型例题：例1：已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为3，过右焦点F 的直线l 与C 相交于,A B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为2。

（1）求,a b 的值（2）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 旋转到某一位置时，有OP OA OB =+成立？若存在，求出所有的P 的坐标和l 的方程，若不存在，说明理由解：（1）::3c e a b c a ==⇒=则,a b ==，依题意可得：(),0F c ，当l 的斜率为1时:0l y x c x y c =-⇒--=2O l d -∴==解得：1c =a b ∴== 椭圆方程为：22132x y +=（2）设()00,P x y ，()()1122,,,A x y B x y 当l 斜率存在时，设():1l y k x =-OP OA OB =+ 012012x x x y y y =+⎧∴⎨=+⎩联立直线与椭圆方程：()221236y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 可得：()2222316x k x +-=，整理可得：()2222326360kx k x k +-+-=2122632k x x k ∴+=+ ()312122264223232k ky y k x x k k k k +=+-=-=-++22264,3232k k P k k ⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭因为P 在椭圆上22222642363232k k k k ⎛⎫⎛⎫∴⋅+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()2242222272486322432632k k k k k k ∴+=+⇒+=+()2224632k k k ∴=+⇒=当k =):1l y x =-，3,2P ⎛ ⎝⎭当k =):1l y x =-，322P ⎛⎫⎪⎝⎭当斜率不存在时，可知:1l x =，1,,1,33A B ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，则()2,0P 不在椭圆上∴综上所述：):1l y x =-，3,2P ⎛ ⎝⎭或):1l y x =-，32P ⎛ ⎝⎭ 例2：过椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的右焦点2F 的直线交椭圆于,A B 两点，1F 为其左焦点，已知1AF B 的周长为8，椭圆的离心率为2（1）求椭圆Γ的方程（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点,P Q ，且O P O Q ⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由解：（1）由1AF B 的周长可得：482a a =⇒=c e c a ∴==⇒= 2221b a c ∴=-= 椭圆22:14x y Γ+= （2）假设满足条件的圆为222x y r +=，依题意，若切线与椭圆相交，则圆应含在椭圆内01r ∴<<若直线PQ 斜率存在，设:PQ y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x yPQ 与圆相切 ()2221O l d r m r k -∴==⇐=+0OP OQ OP OQ ⊥⇒⋅= 即12120x x y y +=联立方程：2244y kx m x y =+⎧⇒⎨+=⎩()222148440k x kmx m +++-=2121222844,4141km m x x x x k k -∴+=-=++()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m ∴=++=+++ ()()22121212121x x y y k x x km x x m ∴+=++++()2222244814141m km k km m k k -⎛⎫=⋅++⋅-+ ⎪++⎝⎭22254441m k k --=+ 225440m k ∴--=对任意的,m k 均成立将()2221m r k =+代入可得：()()22251410r k k +-+=()()225410r k ∴-+= 245r ∴=∴存在符合条件的圆，其方程为：2245x y +=当PQ 斜率不存在时，可知切线PQ 为x =若:PQ x =,5555P Q ⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭0OP OQ ∴⋅= :PQ x ∴=若:PQ x = 综上所述，圆的方程为：2245x y +=例3：已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，短轴两个端点为,A B ，且四边形12F AF B 是边长为2的正方形（1）求椭圆的方程（2）若,C D 分别是椭圆长轴的左，右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连接CM ，交椭圆于点P ，证明OM OP ⋅是定值（3）在（2）的条件下，试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线,DP MQ 的交点。

高中数学考前百问扫描高三数学基础知识基本技能基本思想基本题型提醒试题

考前百问扫描表1213212222n n n k n k a a a a a a a a n n n n ---+++++====22Ax By A B+=妙在不要管焦点在什么轴上〕0),1(,0)你会自动地使用圆锥曲线的两个定义解题吗？出现焦点弦就意味着什么？双曲线的虚有什么几何意义？〔说出两个、你知道求轨迹方程有那些方法吗？分别适用于何种情况下？适用条件n是平面αPA n。

n怎样用向量法求三种角？两个半平面的法向量的夹角大小就是二面角的大小吗？怎样求三棱锥的内切球与外切球半径？〔等体积法〕、不一共面的任意四点可以确定一个球面吗AB BC CD DE EF++++AB BC CD DE EF FA+++++ =、假如把上述内容拓展到空间里面，那么相应的会有什么变化？请逐一答复！、你会用基向量法解题吗？在用这个工具解题时，比方求间隔，程序是什么？〔设三个i、j、k，把有关向量用i、j、k表示，再平方，再展开〕；假如是求异面直线的AB BA+=对吗？APAP PBPBλλ=⇒=对吗？向量AB与BC的夹角是∠吗？零向量平行于任何非零向量吗？零向量垂直于任何非零向量吗？、两个计数原理的根本异同在哪里？、你会可靠地运用组合原理求出指定项吗？、你知道解排列组合问题的破题窍门是什么吗？〔问自己，怎样才算完成了这件事？〕,AB CD 满足2AB CD ，那么、你有逆向思维的习惯吗？你想爽，不想郁闷，就得学会这个。

举几个例子说明。

你会走迷宫吗？逆向思维使你百战百胜，从出口开场向入口逆行就行。

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千锤百炼-高考数学100个热点问题——第88炼含有条件概率的随机变量问题

第88炼含有条件概率的随机变量问题一、基础知识：1、条件概率：事件B 在事件A 已经发生的情况下，发生的概率称为B 在A 条件下的条件概率，记为|B A2、条件概率的计算方法：（1）按照条件概率的计算公式：()()()|P AB P B A P A =（2）考虑事件A 发生后，题目产生了如何的变化，并写出事件B 在这种情况下的概率例如：5张奖券中有一张有奖，甲，乙，丙三人先后抽取，且抽完后不放回，已知甲没有中奖，则乙中奖的概率：按照（1）的方法：设事件A 为“甲没中奖”，事件B 为“乙中奖”，则所求事件为|B A ，按照公式，分别计算()(),P AB P A ，利用古典概型可得：()25415P AB A ==，()45P A =，所以()()()1|4P AB P B A P A ==按照（2）的方法：考虑甲已经抽完了，且没有中奖，此时还有4张奖券，1张有奖。

那么轮到乙抽时，乙抽中的概率即为143、含条件概率的乘法公式：设事件,A B ，则,A B 同时发生的概率()()()|P AB P A P B A =⋅ ，此时()|P B A 通常用方案（2）进行计算4、处理此类问题要注意以下几点：（1）要分析好几个事件间的先后顺序，以及先发生的事件对后面事件的概率产生如何的影响（即后面的事件算的是条件概率）（2）根据随机变量的不同取值，事件发生的过程会有所不同，要注意区别（3）若随机变量取到某个值时，情况较为复杂，不利于正面分析，则可以考虑先求出其它取值时的概率，然后用间接法解决。

二、典型例题：例1：袋中有大小相同的三个球，编号分别为1,2,3，从袋中每次取出一个球，若取到的球的编号为2，则把该球编号记下再把编号数改为1后放回袋中继续取球；若取到的球的编号为奇数，则取球停止，取球停止后用X 表示“所有被取球的编号之和” （1）求X 的分布列（2）求X 的数学期望及方差思路：（1）依题意可知如果取球取出的是1,3，则取球停止，此时X 的值为1或3；当取球取出的是2号球时，按照规则要改为1号球放进去重取，再取时只能取到1或3，所有编号之和X 的值为3,5，所以可知X 可取的值为1,3,5，当1X =时，意味着直接取到了1号球（概率为13）；当3X =时，分为两种情况，一种为直接取到3（概率为13），另一种为取到了2（概率为13），改完数字后再取到1（概率为23）；当5X =时，为取到了2（概率为13），改完数字后再取到3（概率为13），从而可计算出概率。

高中数学知识点题库 100必然事件、不可能事件、随机事件

1．命题甲：事件A与B是互斥事件；命题乙：事件A¯+B¯是必然事件，则命题乙是命题甲的（）A、充分非必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、非充分也非必要条件答案：B解析：命题甲：事件A与B是互斥事件，则事件A与B不能同时发生，即A与B只能发生一件，则A¯与B¯也只能发生一件所以事件A¯+B¯是必然事件，所以命题甲可以推出命题乙．命题乙：事件A¯+B¯是必然事件，即事件A¯与B¯可能同时发生，则事件则事件A与B 也能同时发生，则事件A与B不是互斥事件，所以命题乙不能推出命题甲．所以命题乙是命题甲的必要不充分条件．题干评注：必然事件、不可能事件、随机事件问题评注：在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件。

2．从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的是（）A、3个都是正品B、至少有1个是次品C、3个都是次品D、至少有1个是正品答案：D解析：任意抽取3个一定会发生的事：最少含有一个正品题干评注：必然事件、不可能事件、随机事件问题评注：在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件。

3．以下结论错误的有（）①如果一件事发生的机会只有十万分之一，那么它就不可能发生；②如果一件事发生的机会达到99.5%，那么它就必然发生；③如果一件事不是不可能发生的，那么它就必然发生；④如果一件事不是必然发生的，那么它就不可能发生．A、1个B、2个C、3个D、4个答案：C解析：①如果一件事发生的机会只有十万分之一，那么它是一个小概率事件，它就不可能发生，故①正确．②如果一件事发生的机会达到99.5%，那么它有可能发生，也有可能不发生，故②不正确，③如果一件事不是不可能发生的，那么它是一个随机事件，可能发生也可能不发生，故③不正确，④如果一件事不是必然发生的，那么它是一个随机事件，可能发生也可能不发生．故④不正确．总上可知有3个结论是错误的．题干评注：必然事件、不可能事件、随机事件问题评注：在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件。

高中数学概率专题

随机事件的概率一知识点1．随机事件的概念在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。

〔1〕随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；〔2〕必然事件：在一定条件下必然要发生的事件；〔3〕不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。

2．随机事件的概率事件A 的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A 发生的频率nm 总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率,记作P 〔A 〕。

由定义可知0≤P 〔A 〕≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。

3 概率与频率的关系概率是固定的，频率是不固定的，随着试验次数的增加，频率接近于概率。

4．事件间的关系〔1〕互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；〔2〕对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做对立事件；〔3〕包含：事件A 发生时事件B 一定发生，称事件A 包含于事件B 〔或事件B 包含事件A 〕；5．事件间的运算〔1〕并事件〔和事件〕假设某事件的发生是事件A 发生或事件B 发生，那么此事件称为事件A 与事件B 的并事件。

注：当A 和B 互斥时，事件A +B 的概率满足加法公式：P 〔A +B 〕=P 〔A 〕+P 〔B 〕〔A 、B 互斥〕；且有P 〔A +A 〕=P 〔A 〕+P 〔A 〕=1。

〔2〕交事件〔积事件〕假设某事件的发生是事件A 发生和事件B 同时发生，那么此事件称为事件A 与事件B 的交事件。

6.互斥事件与对立事件的区别与联系:互斥事件是指事件A 与事件B 在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：〔1〕事件A 发生且事件B 不发生；〔2〕事件A 不发生且事件B 发生；〔3〕事件A 与事件B 同时不发生. 对立事件是指事件A 与事件B 有且仅有一个发生，其包括两种情形；〔1〕事件A 发生且B 不发生；〔2〕事件B 发生事件A 不发生.对立事件是互斥事件的特殊情形。

二题型讲解题型一：随机事件概率1．下面事件：①在标准大气压下，水加热到800C 时会沸腾；②掷一枚硬币，出现反面；③实数的绝对值不小于零。

千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第92炼算法——程序框图

第2题第92炼算法——程序框图算法与程序框图在高考中常以小题出现，难度不大，主要考察循环结构。

在处理这类问题时关键在于计算的准确。

一、基础知识：读框图时，要抓住“看头，审尾，记过程”这三点1、看头：观察框图中变量的个数，以及赋予的初始值2、审尾：强调细致的“审查”循环结束时，变量所取到的最后一个值，这也是易错点3、记过程：为了保证计算的准确，在读取框图的过程中，可详细记录循环体中每经过一个步骤，变量取值的变化情况，以便于在跳出循环时能快速准确得到输出变量的值二、典型例题：例1：执行下图所示的程序框图，若输入2x =，则输出y 的值为 .思路：通过框图的判断语句可知y 关于x 的函数为：2321,01,012,1x x y x x x x x -<⎧⎪=+≤<⎨⎪+≥⎩，所以当2x =时，322212y =+⋅=答案：12例2：阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6思路：循环的流程如下：① 1,2i a ==② 2,5i a ==③ 3,16i a ==④ 4,65i a ==循环终止，所以4i =答案：B例3：某程序框图如图所示，若输出的57S =，则判断框内为（）A. 4?k >B. 5?k >C. 6?k >D. 7?k>思路：循环的流程如下：① 2,4k S ==② 3,11k S ==③ 4,26k S ==④ 5,57k S ==所以应该在此时终止，所以填入4?k >答案：A例4：执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（）A. 120B. 720C. 1440D. 5040思路：循环的流程如下：① 1p =② 2,2k p ==③ 3,6k p ==④ 4,24k p ==⑤ 5,120k p ==⑥ 6,720k p ==答案：B例5：右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是______思路：循环的流程如下：① 1123S =+=② 22,327n S ==+=③ 33,7215n S ==+=第4题④ 44,15231n S ==+=⑤ 55,31263n S ==+=循环结束，所以63S =答案：63S =例6：执行如图所示的程序框图，若输出i 的值为2，则输入x 的最大值是( )A ．5B ．6C ．22D ．33思路：因为输出的2i =，说明只经过了一次循环。

千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第83炼特殊值法解决二项式展开系数问题精编版

第83炼特殊值法解决二项式展开系数问题一、基础知识：1、含变量的恒等式：是指无论变量在已知范围内取何值，均可使等式成立。

所以通常可对变量赋予特殊值得到一些特殊的等式或性质2、二项式展开式与原二项式呈恒等关系，所以可通过对变量赋特殊值得到有关系数（或二项式系数）的等式3、常用赋值举例：（1）设()011222nnn n r n r rn nn n n n n a b C a C ab C a b C a b C b ---+=++++++，①令1a b ==，可得：012n nn n n C C C =+++②令1,1a b ==-，可得： ()012301nnn n n nnC C C C C =-+-+-，即： 02131n n n n n n n n C C C C C C -+++=+++（假设n 为偶数），再结合①可得： 0213112n n n n n n n n n C C C C C C --+++=+++=（2）设()()201221nn n f x x a a x a x a x =+=++++① 令1x =，则有：()()0122111nn a a a a f ++++=⨯+=，即展开式系数和② 令0x =，则有：()()02010na f =⨯+=，即常数项 ③ 令1x =-，设n 为偶数，则有：()()01231211nn a a a a a f -+-++=-⨯+=-()()()021311n n a a a a a a f -⇒+++-+++=-，即偶次项系数和与奇次项系数和的差由①③即可求出()02n a a a +++和()131n a a a -+++的值二、典型例题：例1：已知()828012831x a a x a x a x -=++++，则1357a a a a +++的值为________思路：观察发现展开式中奇数项对应的x 指数幂为奇数，所以考虑令1,1x x ==-，则偶数项相同，奇数项相反，两式相减即可得到1357a a a a +++的值解：令1x =可得：80182a a a =+++ ①令1x =-可得：801284a a a a =-+-+ ②①-②可得：()881357242a a a a -=+++()8813571242a a a a ∴+++=- 答案：()881242- 例2：已知()()()()()921120121112111xx aax a x a x +-=+-+-++-，则121a a a +++的值为（） A. 0 B. 2 C. 255 D. 2- 思路：本题虽然恒等式左侧复杂，但仍然可通过对x 赋予特殊值得到系数的关系式，观察所求式子特点可令2x =，得到01110a a a +++=，只需再求出0a 即可。

千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第86炼 事件的关系与概率运算 Word版含解析

千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第70炼 求点的轨迹方程

千题百炼——高中数学100个热点问题(三)第100炼利用同构特点解决问题

千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第97炼 不等式选讲