高考数学四海八荒易错集专题排列组合二项式定理理

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高考数学第4讲排列、组合、二项式定理

定义元素中取不同元素中取出m个元素的一个排列
1.排列、组合的定义组合的出m(m≤n) 合成一组，叫做从n个不同元素中取出
定义个元素
m个元素的一个组合
2.排列数、组合数的定义、公式、性质
排列数
组合数
从 n 个不同元素中取出从 n 个不同元素中取出 m(m≤n，m，
定 m(m≤n，m，n∈N*)个元素的 n∈N*)个元素的所有不同组合的个
解析：令 x＝0, 常数项为 16 2. 由二项展开式的通项公式可知 Tr＋1＝Cr9·( 2)9－r·xr r∈N,0≤r≤9，当项的系数为有理数时，9－r 为偶数，可得 r＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是 5. 答案：16 2 5
6．(2019·南昌模拟)设(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则 a1 等于________．
3 36
3
答案：D
2．从 1,2,3，…，10 中选取三个不同的数，使得其中至少有两
个相邻，则不同的选法种数是
()
A．72
B．70
C．66
D．64
解析：1,2,3,4,5,6,7,8,9，10
分类1: 2个数相邻
分类2: 3个数相邻
答案：D
3.如图，某圆形花坛被其内接三角形分成四部分，
现计划在这四部分种植花卉，如果仅有 5 种花卉
则奇数项的二项式系数和为
(
)
A．29
B．210
C．211
D．212
解析：由题意得 C4n＝C6n，由组合数性质得 n＝10，则奇数项的二项式系数和为 2n－1＝29.故选 A.
答案：A
3．已知(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则(a1＋3a3＋5a5＋

高考数学新课标复习资料——排列、组合和二项式定理

2008年高考数学新课标复习资料——排列、组合和二项式定理1.两个原理.（1）分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，既可用来推导排列数、组合数公式，也可用来直接解题。

它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。

只不过利用分类计算原理时，每一种方法都可能独立完成事件；如需连续若干步才能完成的则是分步。

利用分类计数原理，重在分“类”，类与类之间具有独立性和并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性。

比较复杂的问题，常先分类再分步,分类相加，分步相乘. （2）一个模型：影射B A f →:个数若A 有年n 个元素，B 有m 个元素，则从A 到B 能建立nm 个不同的影射①n 件不同物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？（解：nm 种） ②四人去争夺三项冠军，有多少种方法？③从集合A={1，2，3}到集合B={3，4}的映射f 中满足条件f （3）=3的影射个数是多少？ ④求一个正整数的约数的个数（3）含有可重元素．．．．．．的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于!!...!!21k n n n n n=.如：已知数字3、2、2，求其排列个数3!2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1!3!3==n .2.排列数mnA 中1,n m n m ≥≥∈N 、、组合数m n C 中,1,0,n m n m n m ≥≥≥∈、N . (1)排列数公式!(1)(2)(1)()()!mn n A n n n n m m n n m =---+=≤-；!(1)(2)21n n A n n n n ==--⋅。

如（1）1！+2！+3！+…+n ！（*4,n n N ≥∈）的个位数字为（答：3）；（2）满足2886xx A A -<的x ＝（答：8）(2)组合数公式()(1)(1)!()(1)21!!m mn n mm A n n n m n C m n A m m m n m ⋅-⋅⋅-+===≤⋅-⋅⋅⋅-；规定01！=，01n C =.如已知16mn mnm n C C A +++=，求 n ，m 的值（答：m ＝n ＝2）(3)排列数、组合数的性质： ①mn m nn C C -=；②111mm m nn n C C C ---=+；从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.（或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取m 个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有1m n 111m nC C C--=⋅一类是不含红球的选法有mn C ）根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素，所以有C 1-m n ，如果不取这一元素，则需从剩余n 个元素中取出m 个元素，所以共有C mn 种，依分类原理有m n m n m n C C C11+-=+.③11kk nn kC nC --=；111111+++=+k n k n C n C k④1121++++=++++r n r n r r r r rrC C C C C ；⑤!(1)!!n n n n ⋅=+-；⑥11(1)!!(1)!n n n n =-++. (4)常用的证明组合等式方法. ① 裂项求和法. 如：)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n （利用!1)!1(1!1n n n n --=-）n.n!=(n+1)!-n! ② 导数法. ③ 数学归纳法. ④倒序求和法. 1321232-=++++n nn n n n n nC C C C一般地：已知等差数列{a n }的首项a 1，公差为d ，a 1C 0n＋a 2C 1n＋a 3C 2n＋…＋a n ＋1C nn=（2a 1＋nd )·2n -1．⑤ 递推法（即用m n m n m n C C C 11+-=+递推）如：413353433+=+++n n C C C C C .⑥ 构造二项式. 如：n nn n n n C C C C 222120)()()(=+++ 证明：这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中nx 的系数，左边为22110nn n n n n n n n n n n C C C C C C C C ⋅++⋅+⋅+⋅-- ，22120)()()(n n n n C C C +++= 而右边n n C 2=. 更一般地：rnm r n m n r m n r m C C C C C C C +-=+++01103.解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合．如（1）将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种（答：53）；（2）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有种（答：70）；（3）从集合{}1,2,3和{}1,4,5,6中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是___（答：23）；（4）72的正约数（包括1和72）共有个（答：12）；（5）A ∠的一边AB 上有4个点，另一边AC 上有5个点，连同A ∠的顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成_____个三角形（答：90）；（6）用六种不同颜色把右图中A 、B 、C 、D 四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有种不同涂法（答：480）；（7）同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有种（答：9）；（8）f是集合{},,M a b c =到集合{}1,0,1N =-的映射，且()()f a f b +()f c =，则不同的映射共有个（答：7）；（9）满足}4,3,2,1{=C B A 的集合A 、B 、C 共有组（答：47）3.解排列组合问题的方法有：一般先选再排，即先组合再排列，先分再排。

高三数学一轮复习必备精品：排列、组合、二项式定理

胡文2021年高三数学一轮复习必备精品：排列、组合、二项式定理11．掌握分类计数原理与分步计数原理、并能用它分析和解决一些简单的应用问题．2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．3．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．4．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．排列与组合高考重点考察学生理解问题、综合运用分类计数原理和分步计数原理分析问题和解决问题的能力及分类讨论思想．它是高中数学中从内容到方法都比较独特的一个组成部分，是进一步学习概率论的基础知识．由于这部分内容概念性强，抽象性强，思维方法新颖，同时解题过程中极易犯“重复”或“遗漏”的错误，而且结果数目较大，无法一一检验，因此学生要学好本节有一定的难度．解决该问题的关键是学习时要注意加深对概念的理解，掌握知识的内在联系和区别，严谨而周密地去思考分析问题．二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识，高考重点考查展开式及通项，难度与课本内容相当．另外利用二项式定理及二项式系数的性质解决一些较简单而有趣的小题，在高考中也时有出现．第1课时两个计数原理1．分类计数原理（也称加法原理）：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝种不同的方法．2．分步计数原理（也称乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝种不同的方法．3．解题方法：枚举法、插空法、隔板法．例1. 高三(1)、(2)、(3)班分别有学生48,50,52人(1) 从中选1人当学生代表的方法有多少种？(2) 从每班选1人组成演讲队的方法有多少种？(3) 从这150名学生中选4人参加学代会有多少种方法？(4) 从这150名学生中选4人参加数理化四个课外活动小组，共有多少种方法？解：（1）48＋50＋52＝150种（2）48×50×52＝124800种（3）4150C （4）4150A 变式训练1：在直角坐标x －o －y 平面上，平行直线x=n ，（n=0，1，2，3，4，5），y=n ，（n=0，1，2，3，4，5），组成的图形中，矩形共有（）A 、25个B 、36个C 、100个D 、225个解：在垂直于x 轴的6条直线中任意取2条，在垂直于y 轴的6条直线中任意取2条，这样的4条直线相交便得到一个矩形，所以根据分步记数原理知道：得到的矩形共有22515152626=⨯=⋅C C 个，故选D 。

专题04 排列组合与二项式定理(解析版)--高二数学专题解析

专题04排列组合与二项式定理--高二数学专题解析知识点一：排列1：排列≤)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不（1）定义：一般地,从n个不同元素中取出m(m n同元素中取出m个元素的一个排列.（2）相同排列：两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.2：排列数与排列数公式1：组合（1）定义：一般地：从n个不同的元素中取出m(m n≤)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合.（2）相同组合：只要两个组合的元素相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合.（3）组合与排列的异同≤)个元素”.相同点:组合与排列都是“从n个不同的元素中取出m(m n不同点:组合要求元素“不管元素的顺序合成一组”,而排列要求元素“按照一定的顺序排成一列”因此区分某一问题是组合问题还是排列问题,关键是看选出的元素是否与顺序有关,即交换某两个元素的位置对结果有没有影响,若有影响,则是排列问题，若无影响，则是组合问题.2：组合数与组合数公式（1）组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m n≤)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元3：组合数的性质b一、单选题1．在()5232x x ++的展开式中x 的系数是（）A ．160B ．180C ．240D ．210【答案】C【分析】根据二项式的定义可知有4个因式中取2，1个因式中取3x 项，即可得解.【详解】在()5232x x ++的展开式中，要得到含x 的项，则有4个因式中取2，1个因式中取3x 项，故x 的系数为445C 32240⨯⨯=．故选：C7．高三（一）班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有________种不同的排法．【答案】3600【答案】20【分析】根据题意，先对【详解】对于6盏不同的花灯进行取下，可先对因为取花灯每次只能取一盏，且只能从下往上取，又因为每串花灯先后顺序已经固定，所以除去重复的排列顺序，所以共有663333A20 A A=故答案为：20.13．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(4)6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒．x16．（多选题）若()32+n x（=20．（多选题）有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（）A ．若丙在甲、乙的中间（可不相邻）排队，则不同的排法有20种B ．若五位同学排队甲不在最左端，乙不在最右端，则不同的排法共有78种C ．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且甲、丙不能相邻，则不同的排法有36种D ．若甲、乙、丙、丁、戊五位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每位同学只去一个社区，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有150种【答案】BCD【分析】对于A ：讨论甲、乙之间有几位同学，分析运算即可；对于B ：讨论甲、乙所在位置，分析运算即可；对于C ：先求甲、乙相邻的安排方法，再排除甲、乙相邻且甲、丙相邻的安排方法；对于D ：先将学生安排出去，再排除有小区没有人去的可能.【详解】对于选项A ：可知有三种可能：甲、乙之间只有一位同学，则不同的排法有2323A A 12=种；甲、乙之间有两位同学，则不同的排法有12222222C A A A 16=种；甲、乙之间有三位同学，则不同的排法有2323A A 12=种；不同的排法共有12161240++=种，故A 错误；对于选项B ：可知有四种可能：甲在最右端，乙在最左端，则不同的排法有33A 6=种；甲在最右端，乙不在最左端，则不同的排法有1333C A 18=种；甲不在最右端，乙在最左端，则不同的排法有1333C A 18=种；甲不在最右端，乙不在最左端，则不同的排法有2333A A 36=种；不同的排法共有618183678+++=种，故B 正确；对于选项C ：若甲、乙相邻，则不同的排法有2424A A 48=种；若甲、乙必须相邻且甲、丙相邻，则不同的排法有2323A A 12=种；不同的排法共有481236-=种，故C 正确；对于选项D ：若每位同学只去一个社区，则不同的排法有53243=种；若有小区没有人去，则有两种可能：所有人去了一个小区，则不同的排法有13C 3=种；所有人去了两个小区，则不同的排法有()25132C 2C 90-=种；不同的排法共有()243390150-+=种，故D 正确；故选：BCD.21．将5名学生分到A ，B ，C 三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A 宿舍的不同分法有__________．原理即可得出答案.【详解】首位是1，第二位是0，则后三位可以用剩下的数字全排列，共有33A 6=个，前两位是12，第三位是0，后两位可以用余下的两个数字进行全排列，共有22A 2=种结果.前三位是123，第四位是0，最后一位是4，只有1种结果，∴数字12340前面有6+2+1=9个数字，数字本身就是第十个数字.故答案为：10.27．重新排列1，2，3，4，5，6，7，8．(1)使得偶数在原来的位置上，而奇数不在原来的位置上，有多少种不同排法？(2)使得偶数在奇数的位置上，而奇数在偶数的位置上，有多少种不同的排法？(3)使得偶数在偶数位置上，但都不在原来的位置上；奇数在奇数位置上，但也都不在原来的位置上，有多少种不同的排法？(4)如果要有数在原来的位置上，有多少种不同的排法？(5)如果只有4个数在原来的位置上，有多少种不同的排法？(6)如果至少有4个数在原来的位置上，有多少种不同的排法？(7)偶数在偶数位置上；但恰有两个数不在原来位置上，奇数在奇数位置上，但恰有两个数不在原来位置上，有多少种不同排法？(8)偶数在偶数位置上，且至少有两个数不在原来位置上；奇数在奇数位置上，也至少有两个数不在原来位置上，有多少种不同排法？【答案】(1)9；(2)576；(3)81；(4)25487；(5)630；(6)771；(7)36；(8)225.【分析】（1）利用匹配问题错排公式求解；（2）利用乘法分步原理求解；（3）利用匹配问题求解；（4）用排除法．对8个数进行全排列，再减去没有数在原来的位置上的排法，即得解；（5）利用乘法分步原理求解；（6）用排除法．先对8个数进行全排列，再去掉恰有i 个数在原来位置上的排法()0123i =,,,，即得解；（7）利用匹配问题和分步乘法原理得解；。

高中数学-排列组合二项式定理知识点

排列组合二项式定理知识点2、排列、组合3、二项式定理内容典型题定义①二项式定理：(a＋b)n＝C 0n a n＋C 1n a n－1b1＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n＝∑=nrrnCa n－rb r（n∈N＋）②二项式展开式第r＋1项通项公式：Tr－1＝C r n a n－r b r其中C r n（r＝0，1，2，…，n）叫做二项式系数.8.二项式8)1(-x的展开式中的第5项是( )A. 70x4B. 70x2C. 56x3D. －5623x9.二项式(x－2)12展开式中第3项的系数是( )A.264B.－264C.66D.－176010.(x－2)8 的展开式中, x6的系数是( )A. 56B. －56C. 28D. 22411.(x2＋)5展开式中的10x是( )A.第2项B.第3项C.第4项D.第5项12.二项式x－1x6的展开式中常数项是( )A. 1B. 6C. 15D. 2013.设(3－x)n＝nnxaxaxaa+⋅⋅⋅+++221,已知naaaa+⋅⋅⋅+++21＝64,则n＝.14.设二项式(3x＋5)10＝188991010axaxaxaxa++⋅⋅⋅+++,则18910aaaaa+-⋅⋅⋅-+-＝.15.二项式2x－1x6的展开式中二项式系数最大的项是.性质①在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等.②如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项的二项式系数相等并且最大.③二项式系数的和为n2，即nC＋1nC＋…＋rnC＋…＋nnC＝n2④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即nC＋2nC＋…＝1nC＋3nC＋…＝12-n。

高中数学排列组合与二项式定理

高中数学排列组合与二项式定理第一篇：高中数学排列组合与二项式定理排列组合与二项式定理1．（西城区）在(2x2-A．－5 1x)的展开式常数项是 6 D．60（）B．15 C．－602．（东城区）8名运动员参加男子100米的决赛.已知运动场有从内到外编号依次为1，2，3，4，5，6，7，8的八条跑道，若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续数字（如：4，5，6），则参加比赛的这8名运动员安排跑道的方式共有（）A．360种 B．4320种 C．720种 D．2160种3．（海淀区）从3名男生和3名女生中，选出2名女生1名男生分别担任语文、数学、英语的课代表，则选派方案共有（）A．18种B．36种C．54种D．72种4．(崇文区)某运动队从5名男运动员和6名女运动员中选出两名男运动员和两名女运动员举行乒乓球混合双打比赛，对阵双方各有一名男运动员和一名女运动员，则不同的选法共有A．50种B．150种C．300种 D．600种（）5．（丰台区）把编号为1、2、3、4的4位运动员排在编号为1、2、3、4的4条跑道中，要求有且只有两位运动员的编号与其所在跑道的编号相同，共有不同的排法种数是()A． 3B．6C．12D．246．（朝阳区）从4位男教师和3位女教师中选出3位教师，派往郊区3所学校支教，每校1人.要求这3位教师中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（）A．210种x6B．186种 7C．180种 D．90种 7．（东城区）已知(x-)展开式的第4项的值等于5，则x= 48．（海淀区）在(ax-1)的展开式中x的系数是240，则正实数a9．（宣武区）设二项式(33x+1x)的展开式的各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S，n若P+S=272，则n=,其展开式中的常数项为.210．(崇文区)若(x+1x2)展开式中只有第四项的系数最大，则，展开式中的第五n项为11．（丰台区）.在(x+1a)的展开式中，含x与x项的系数相等，则a的值是 75412．（朝阳区）若(1－ax)6的展开式中x4的系数是240，则实数a的值是13．（宣武区）现有A、B、C、D、E、F、共6位同学站成一排照像，要求同学A、B相邻，C、D不相邻，这样的排队照像方式有DBCCBC7.-1715x411.53;12.±213.144第二篇：高中数学排列组合与二项式定理知识点总结排列组合与二项式定理知识点１．计数原理知识点①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM(分步)②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM(分类)２．排列（有序）与组合（无序）Anm=n(n－1)(n－2)(n－3)…(n－m+1)=n!/(n-m)!Ann =n!Cnm = n!/(n-m)!m!Cnm= Cnn－mCnm＋Cnm＋1= Cn+1m+1 k•k!=(k+1)!－k!３．排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.捆绑法（集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑）插空法（解决相间问题）间接法和去杂法等等在求解排列与组合应用问题时，应注意：(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题；(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；(4)列出式子计算和作答.经常运用的数学思想是：①分类讨论思想；②转化思想；③对称思想.４．二项式定理知识点：①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an－1b1+ Cn2an－2b2+ Cn3an－3b3+…+ Cnran－rbr+-…+ Cn n－1abn－1+ Cnnbn特别地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn②主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn－m最大二项式系数在中间。

高考第一轮复习——排列组合与二项式定理(理)

年级高三学科数学版本通用版课程标题高考第一轮复习——排列组合与二项式定理编稿老师胡居化一校林卉二校李秀卿审核王百玲一、学习目标：1. 理解排列、组合的有关概念，排列与组合的区别及分步计数原理和分类计数原理的含义。

2. 掌握排列数、组合数的公式及排列与组合的性质，并能进行简单的计算和解决简单的实际问题。

3. 理解二项式定理的内容、其通项公式的概念及其简单的应用。

4. 体会方程的数学思想、等价转化的数学思想、化归与类比的数学思想、分类讨论的数学思想及赋值法、待定系数法等数学思想方法的应用。

二、重点、难点：重点：（1）排列、组合的知识及两个原理的简单应用（2）二项式定理的简单应用难点：利用排列与组合的知识解决实际问题。

三、考点分析：新课标高考对排列、组合及二项式定理的考查以基础知识为主，应重点理解排列、组合及二项式定理的有关概念、简单的运算。

考查的题型以选择、填空题为主，题目难度较小，易得分。

一、两个原理，排列、组合的有关基础知识： 1. 分类计数原理与分步计数原理：（1）分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类方法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N 种不同的方法，即N=n m m m +++ 21.（2）分步计数原理：做一件事情，完成它需要n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N 种不同的方法。

即N=n m m m ⨯⨯⨯ 212. 排列的有关基础知识（1）排列的定义：一般地，从n 个不同的元素中取出m （)n m ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

注：（i ）排列的定义中包括两个基本内容：一是取出元素，二是按一定的顺序排列。

（ii ）当且仅当元素完全相同，排列顺序完全相同的两个排列是同一排列。

高考数学备考复习易错题十二：排列、组合、二项式定理

的摆法有 ________种．
19.（ 2014?山东）若（ ax2+ ） 6 的展开式中 x3 项的系数为 20，则 a2+b2 的最小值为 ________． 20.（ 2014?新课标 II）（ x+a） 10 的展开式中， x7 的系数为 15，则 a=________．
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答案解析部分
A. 30 种
B. 36 种
C. 42 种
D. 48 种
2.(2015 Biblioteka ·北）已知（）的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为
A.
B.
C.
D.
3.某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教（每地 1 人），其中甲和乙不同去，甲和丙只
能同去或同不去，则不同的选派方案共有（
（）
A. 1 或 3
B. 1 或 4
C. 2 或 3
D. 2 或 4
6. 在（ 1+x） 6（1+y） 4 的展开式中，记 xm yn 项的系数为 f（ m ， n），则 f（ 3， 0） +f（ 2， 1） +f（ 1， 2） +f
（ 0， 3） =（）
A. 45
B. 60
C. 120
D. 210
一 .单选题
1.【答案】 C 【考点】排列与组合的综合
【解析】【解答】法一：所有排法减去甲值 14 日或乙值 16 日，再加上甲值 14 日且乙值 16 日的排法，即 C62C42-2*C 51C42+C41C31=42. 法二：分两类 :甲、乙同组，则只能排在 15 日，有 C42=6 种排法；甲、乙不同组，有 C41C31 (A22+1)=36 种排法，故共有 42 种方法。选 C。

高考数学概念方法题型易误点技巧总结—排列、组合和二项式定理

A CB D高考数学概念方法题型易误点技巧总结（十）排列、组合和二项式定理1.排列数m n A 中1,n m n m ≥≥∈N 、、组合数m n C 中,1,0,n m n m n m ≥≥≥∈、N .(1)排列数公式!(1)(2)(1)()()!m n n A n n n n m m n n m =---+=≤- ；!(1)(2)21n n A n n n n ==--⋅ 。

如（1）1！+2！+3！+…+n ！（*4,n n N ≥∈）的个位数字为（答：3）；（2）满足2886x x A A -<的x ＝（答：8）(2)组合数公式()(1)(1)!()(1)21!!m mn nm m A n n n m n C m n A m m m n m ⋅-⋅⋅-+===≤⋅-⋅⋅⋅- ；规定01！=，01n C =. 如已知16m n m n m n C C A +++=，求 n ，m 的值（答：m ＝n ＝2）(3)排列数、组合数的性质：①m n m n nC C -=； ②111m m m n n n C C C ---=+；③11k k n n kC nC --=； ④1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C ； ⑤!(1)!!n n n n ⋅=+-；⑥11(1)!!(1)!n n n n =-++.2.解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合．如（1）将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种（答：53）；（2）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有种（答：70）；（3）从集合{}1,2,3和{}1,4,5,6中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是___（答：23）；（4）72的正约数（包括1和72）共有个（答：12）；（5）A ∠的一边AB 上有4个点，另一边AC 上有5个点，连同A ∠的顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成_____个三角形（答：90）；（6）用六种不同颜色把右图中A 、B 、C 、D 四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有种不同涂法（答：480）；（7）同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有种（答：9）；（8）f 是集合{},,M a b c =到集合{}1,0,1N =-的映射，且()()f a f b +()f c =，则不同的映射共有个（答：7）；（9）满足}4,3,2,1{=C B A 的集合A 、B 、C 共有组（答：47）3.解排列组合问题的方法有：（1）特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。

高考数学专题,排列组合,与二项式定理甄选

高考数学专题,排列组合,与二项式定理2018年高考数学专题复习难点突破名师讲练：排列、组合与二项式定理一、考点突破1. 两个计数原理的掌握与应用；2. 关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性质的掌握；3. 运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题（多为排列与组合的混合问题）4. 利用二项式定理和二项展开式的性质，计算和解决一些简单问题。

二、重难点提示1. 排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置的数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题，排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合问题的基本思维是“先组，后排”。

2. 解排列组合的应用题，要注意四点：（1）仔细审题，判断是组合问题还是排列问题；要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步。

（2）深入分析、严密周详，注意分清是乘．还是加．，既不少也不多，辩证思维，多角度分析，全面考虑，这不仅有助于提高逻辑推理能力，也尽可能地避免出错。

（3）对于附有条件的比较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后应用分类计数原理或分步计数原理来解决。

（4）由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决问题的方案是否完备，有无重复或遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看是否相同。

在对排列组合问题分类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏或重复。

3. 利用通项公式求二项展开式中指定的系数（如常数项、系数最大的项、有理项等）或相关项的系数是二项式定理中最基本的问题，要正确区分“项”、“项的系数”、“项的二项式系数”等概念的异同点。

一、知识脉络图二、知识点拨1. 排列数基本公式：()!(1)(2)(1)!m n n A n n n n m n m =---+=-；组合数基本公式：()(1)(2)(1)!!!!m m n nm m A n n n n m n C A m m n m ---+===-；组合数的性质①,m n m n n C C -=②11m m m n n n C C C -+=+及其应用。

高中数学选考易错题分类解析 12排列、组合、二项式定理易错题含答案

高中数学易错题分类解析姓名：*** 教师：*** 授课时间:*** 课题：易错题分类解析考点12排列、组合、二项式定理►正确运用两个基本原理►排列组合►二项式定理►在等可能性事件的概率中考查排列、组合►利用二项式定理解决三项以上的展开式问题►利用二项式定理证明不等式经典易错题会诊教学反馈教师评价本周作业建议经典易错题会诊预测（十二）考点12排列、组合、二项式定理►正确运用两个基本原理►排列组合►二项式定理►在等可能性事件的概率中考查排列、组合►利用二项式定理解决三项以上的展开式问题►利用二项式定理证明不等式经典易错题会诊命题角度1正确运用两个基本原理1．（典型例题）已知集合A=B={1，2，3，4，5，6，7}，映射f:A→B满足f(1)<f(2)<f(3)<f(4),则这样的映射f的个数为（）A．C47A33B．C47C．77D．C7473[考场错解] ∵f(1)<f(2)<f(3)<f(4)，且f(1)<f(2)<f(3)<f(4)的值为{1，2，3，4，5，6，7}中的某4个，∴这样的映射有C47个，∴选B[专家把脉] C47中的任何一种方法都没有完成组成映射这件事情，因为只找到1、2、3、4的象，而5、6、7的象还没有确定。

[对症下药] 由映射的定义f(1) f(2) f(3) f(4)的值应为{1，2，3，4，5，6，7}中的某4个，又f(1)<f(2)<f(3)<f(4) ∴f(1) f(2) f(3) f(4)的大小已定，∴1、2、3、4的象的可能为C47，5、6、7三个元素的象每一个都有7种可能，∴有73种可能。

根据分肯计数原理，这样的映射共有C47·73个。

∴选D。

2．（典型例题）8人进行乒乓球单打比赛，水平高的总能胜水平低的，欲选出水平最高的两人，至少需要比赛的场数为__________（用数字作答）[考场错解] 每两人之间比赛一场，需要比赛C28=28场，填28场；或第一轮分成4对进行比赛，负者被淘汰，胜者进入第二轮，需4场比赛；第二轮分成2对进行比赛，胜者为水平最高的两人，需2场比赛。

(整理版)排列组合二项式定理之二――易错篇

排列、组合、二项式定理之二――易错篇排列组合问题中，元素间的异同关系，元素的重复占位等问题错综复杂，“分类〞与“分步〞各环节又相互影响，如果不能审清题意，制定合理、准确的解题方案，就不可防止地出现“重〞或“漏〞的错误。

本文从排列组合易错问题入手进行分析探讨，希望能成为引“玉〞之“砖〞。

一、两个根本原理本节思维误区通常是：“完成一件事〞的任务不明确；分类与分步混淆或分类不准确。

例1、4名同学争夺三个工程的冠军，冠军获得者可能的种数是。

错解：每名同学夺冠有三种可能，故有34种。

错因分析：上解法误认为每个同学夺冠都有三种可能性，犯了分步混淆的错误。

正解：事件是“确定三项冠军有得主〞，可分为三个步骤：即每一项冠军都有4种可能情况，故冠军获得者可能的种数为43。

例2、从100到999的三位数中，含有0的三位数有多少个？错解：将含有0的三位数分为二类：个位数是0的，有9×10=90个；十位数是0的，有9×10=90个。

故共有90＋90=180个。

错因分析：分类应注意“不重不漏〞，上解法中重复计算了个位和十位都是0的情形。

正解：将含有0的三位数分为二类：个位数是0的，有9×10=90个；十位数是0的，有9×10=90个；但个位数是0且十位数也是0的9个重复了，故共有90＋90－9=171个。

二、排列问题本节思维误区通常是：⑴概念模糊；⑵重复或遗漏：①类与类之间不相互独立，即类与类之间有重复局部；②分类不完备，即分类没有包含所有可能情况；③分步设计不合理，缺乏可行性；④出现隐性问题；⑤轻视计算或算法不当。

例3、8个人排成两排，每排4人，有多少种排法？A种，另4 个人排成一排有44A种，两排交换位错解：8个人中取4个人排成一排有48A种，故共有排法48A·44A·22A=80640种。

置有22A包含了8个人中任取4个人的所有可能的排列，当然也包括错因分析：事实上，48A，那么每种排法又重复了一次。

2022届高三数学高考知识点汇编——排列、组合、二项式定理

2022届高考数学知识点汇编（全套）排列、组合、二项式定理一、复习内容1 掌握加法原理及乘法原理，并能运用这两个原理分析和解决一些简单的问题．2 理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题．3 掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题．二、主要内容及典型题例(一)本来的主要内容结构二加法原理与乘法原理这是两个基本原理，它们不仅是推导排列数公式、组合数公式的基础，而且可以直接运用它们去解决某些问题．两个原理的区别是前者与分类有关，与元素的顺序有关；后者与分步有关，与元素的顺序无关；．例１ 1有红、黄、白色旗子各n面（n＞3），取其中一面、二面、三面组成纵列信号，可以有多少不同的信号2 有1元、5元、10元的钞票各一张，取其中一张或几张，能组成多少种不同的币值1 解因为纵列信号有上、下顺序关系，所以是一个排列问题，信号分一面、二面、三面三种情况（三类），各类之间是互斥的，所以用加法原理：①升一面旗，共有3种信号；②升二面旗，要分两步，连续完成每一步，信号方告完成，而每步又是独立的事件，故用乘法原理，因同色旗子可重复使用，故共有3×3种信号；③升三面旗，有3×3×3种信号．所以共有39种信号．2 解法计算币值与顺序无关，所以是一个组合问题，有取一张、二张、三张、四张四种情况，它们彼此是互斥的，用加法原理．因此，不同币值有＝15种评析 1 排列、组合的区别在于顺序性，前者“有序”而后者“无序”；加法原理与乘法原理的区别在于联斥性，前者“斥”——互斥独立事件，后者“联”——相依事件．因而有“顺序”决“问题”，“联斥”定“原理”的说法．2加、乘原理是排列、组合问题的理论依据，在分析问题和指导解题中起着关键作用，运用加法原理的关键在于恰当地分类（分情况），要使所分类别既不遗漏，也不重复；运用乘法原理的关键在于分步，要正确设计分步的程序，使每步之间既互相联系，又彼此独立．（三）排列应用题例２ 4位学生与2位教师并坐合影留念．1教师必须坐在中间；2教师不能坐在两端，但要坐在一起；3教师不能坐在两端，且不能相邻．各有多少种不同的坐法（1）；（2）；（3）144评析 1 “在与不在”、“邻与不邻”是带限制条件的排列应用题的两种重要题型，处理这类问题的基本思路，有“直接”、“间接”之分．2 对“在与不在”问题，优先考虑受限制的特殊元素或特殊位置的思想方法，是解题的基本策略；而处理“邻与不邻”问题，使用捆绑和插空法是十分有效的．3 关于“元素和问题”的认识，是排列、组合概念中的一个重要问题，解题总是从元素或位置出发，要注意即使在同一问题中，把什么看作元素（或位置）并不是一成不变的．例３用0，1，2，3，4，5 六个数字，可以组成多少个没有重复数字的：1首数是奇数的五位偶数2 五位奇数3五位偶数（四）排列、组合的混合问题排列、组合的混合问题，主要指既与组合有关，又与排列有关的应用问题如分配问题例6六本不同的书,按下列条件,各有多少种不同的分法1 分为三堆,每堆2本；2 分为三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本；3 分给甲、乙、丙三人，每人2本；4 分给甲、乙、丙三人，一人得1本，一人拿2本，一人得3本；5 分给甲、乙、丙三人，每人至少得1本评析本例属分配问题，解这类问题的基本思路是先分组，再分配，即先组合、后排列．同时注意在分组时，若出现平均分组（即两组元素个数相同）的情况，则要除以组数（即平均分组的数目）的阶乘．例６ 1分别从4所学校选拔6名报告员，每校至少1人，有多少种不同的选法2 将6名报告员分配到4所学校去做报告，每校至少1人，有多少种不同的分配方法评析两小题看以类似，但第1小题的选取元素为学校；第2小题的选取元素为报告员，解题时要注意区分分组时，组合的对象——即元素是什么．（六）二项式定理内容：1 n b a )( 的展开式、项数、的指数。

(完整word版)高中数学排列组合题型总结与易错点提示

排列组合复习巩固1.分类计数原理(加法原理）完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有1m种不同的方法，在第2类办法中有2m种不同的方法，…,在第n类办法中有mn不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理)完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有1m种不同的方法，做第2步有2m种不同的方法,…，做第n步有n m种不同的3。

分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事.分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件．一.特殊元素和特殊位置优先策略例1。

由0,1，2,3，4，5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置。

先排末位共有13C443然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A=练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法?二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法。

解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理可得共有522522480A A A=种不同的排法练习题：某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为20三。

不相邻问题插空策略例3。

一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种？解：分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A不同的方法，由分步计数原理，节目的不同顺序共有5456A A种练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为30四.定序问题倍缩空位插入策略例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A（空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有47A 种方法。

2021届高考数学二轮复习专题八排列组合二项式定理梳理纠错预测学案理

排列组合、二项式定理1．排列组合的考查主要以实际生活为背景，以选择题或填空题的形式出现，在解答题中，通常还会与概率结合进行考查，难度中等．2．二项式定理主要以选择题或者填空题的形式进行考查,常考的内容为,求展开式中特定项的系数,或者已知特定项的系数求参数，以及运用赋值法求特定项系数和的问题．1．排列、组合的定义排列的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列组合的定义合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合2考点清单命题趋势专题8××排列组合、二项式定理)(n m -+)!)(!n m m -+=1+C n m−1=C 正确理解组合数的性质（1）Cnm=C nn−m ：从n 个不同元素中取出m 个元素的方法数等于取出剩余n −m 个元素的方法数．（2)Cnm +C n m−1=C n+1m ：从n +1个不同元素中取出m 个元素可分以下两种情况：①不含特殊元素A 有C nm种方法；②含特殊元素A 有C nm−1种方法． 3．二项式定理（1）二项式定理：(a +b)n=C n 0a n +C n 1a n−1b +⋯+C n k a n−k b k +⋯+C n n b n(n ∈N ∗)❶；（2)通项公式：Tk+1=C n k a n−k bk,它表示第k +1项；(3）二项式系数：二项展开式中各项的系数为C n，C n1，⋯，C nn ❷．4．二项式系数的性质（1）①项数为n +1．②各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n ． ③字母a 按降幂排列,从第一项开始,次数由n 逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起,次数由零逐项增1直到n ．(2）二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指C n，C n1，…，C nn ,它只与各项的项数有关，而与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a ,b 的值有关．如(a +bx)n的二项展开式中，第k +1项的二项式系数是C nk ，而该项的系数是Cn k an−k b k．当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的．一、选择题．1．在621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 3的系数为（）A ．−15B ．15C ．−20D ．20【答案】C经典训练题（70分钟）【解析】由二项式定理得621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项()621231661(1)rrrr rr r T C xC xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令12−3r =3,得r =3，所以T4=C 63x 3(−1)3=−20x 3，所以x 3的系数为−20，故选C ．【点评】二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析．2．在621x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭的展开式中,除常数项外，其余各项系数的和为（） A ．63 B ．517-C ．217-D ．177-【答案】B【解析】常数项是()()()32246332221166465222111581C x C x C C x C x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+⋅⋅-+⋅⋅-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令x =1求各项系数和，(1+2−1)6=64，则除常数项外，其余各项系数的和为64−581=−517，故选B ．【点评】本题主要考查了二项式定理及其通项公式的应用． 3．为了落实“精准扶贫”工作，县政府分派5名干部到3个贫困村开展工作，每个贫困村至少安排一名干部,则分配方案的种数有() A ．540 B ．240 C ．150 D ．120【答案】C【解析】根据题意分派到3个贫困村得人数为3，1，1或2，2，1，当分派到3个贫困村得人数为3，1，1时,有C 53A 33=60种；当分派到3个贫困村得人数为2，2，1时,有223533902C C A =种，所以共有60+90=150种，故选C ．【点评】本题考查了两个计数原理和简单的排列组合问题，属于基础题．4．高三毕业时，甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排合影留念，其中戊站在正中间，则甲不与戊相邻，乙与戊相邻的站法种数为() A ．4 B ．8 C ．16 D ．24【答案】B【解析】由题可知，戊站在正中间，位置确定，则只需排其余四人即可，则甲不与戊相邻,乙与戊相邻的站法有C21×C 21×A 22=8（种)，故选B ．【点评】本题主要考查了分布分类计数原理，属于基础题． 5．甲、乙、丙、丁四人分别去云南、张家界、北京三个地方旅游，每个地方至少有一人去,且甲、乙两人不能同去一个地方，则不同分法的种数(） A ．18 B ．24 C ．30 D ．36【答案】C【解析】先计算4人中有两名分在一个地方的种数,可从4个中选2个，和其余的2个看作3个元素的全排列共有C 42A 33种，再排除甲乙被分在同一地方的情况共有A 33种，所以不同的安排方法种数是C 42A33−A 33=36−6=30，故选C ．【点评】本题考查了排列组合的综合运用，考查了学生综合分析，转化与划归的能力，属于中档题．6．2020年我国实现全面建设成小康社会的目标之年，也是全面打赢脱贫攻坚战之年．某乡镇为了了解本镇脱贫攻坚情况，现派出甲、乙、丙3个调研组到A 、B 、C 、D 、E 等5个村去,每个村一个调研组,每个调研组至多去两个村，则甲调研组到A 村去的派法有（） A ．48种 B ．42种 C ．36种 D ．30种【答案】D【解析】甲只去1村,则方法为C 42C 22，甲去2个村调查，则方法数有C 41C 32A 22,∴总方法数为C 42C 22+C 41C 32A 22=30，故选D ．【点评】本题考查排列组合的应用，解题关键是确定完成事件的过程方法，根据完成事件的方法选择分类计数原理和分步计数原理．7．如图所示的五个区域中，中心区E 域是一幅图画,现要求在其．余四个区域中涂色．．．．．．．．，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同,则不同的涂色方法种数为(）A ．56B ．72C ．64D ．84【答案】D【解析】分两种情况：(1)A 、C 不同色(注意：B 、D 可同色、也可不同色，D 只要不与A 、C 同色，所以D 可以从剩余的2中颜色中任意取一色)：有432248⨯⨯⨯=种；（2）A 、C 同色(注意：B 、D 可同色、也可不同色,D 只要不与A 、C 同色，所以D 可以从剩余的3中颜色中任意取一色)：有431336⨯⨯⨯=种，共有84种，故答案为D ．【点评】（1）本题主要考查排列组合的综合问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力．（2）排列组合常用方法有一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法．8．2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年,举国同庆．将2，0，1，9，10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为（） A ．72 B ．84 C ．96 D ．120【答案】B【解析】先选择一个非0数排在首位，剩余数全排列，共有C 41⋅A 44=96种，其中1和0排在一起形成10和原来的10有重复，考虑1和0相邻时，且1在0的左边,和剩余数字共有424=！种排法，其中一半是重复的，故此时有12种重复．故共有96−12=84种，故选B ．【点评】本题考查了排列组合的综合应用，意在考查学生的计算能力和应用能力．9．《九章算术》中有一分鹿问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿．欲以爵次分之,问各得几何．”在这个问题中，大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代五个不同爵次的官员，现皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成两组（一组2人，一组3人）,派去两地执行公务,则大夫、不更恰好在同一组的概率为（) A ．15 B ．25 C ．35 D ．110【答案】B【解析】皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成两组(一组2人,一组3人）,派去两地执行公务，基本事件总数n =C 52C 33A 22=20，大夫、不更恰好在同一组包含的基本事件个数m = C 22C 33A22+ C 22C 31C 22A 22=8,所以大夫、不更恰好在同一组的概率为82205mp n ===，故选B ．【点评】本题考查了概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．（多选）已知()22nax a⎫<⎪⎭的展开式中第3项的二项式系数为45，且展开式中各项系数和为1024，则下列说法正确的是（） A ．1a =B ．展开式中偶数项的二项式系数和为512C ．展开式中第6项的系数最大D ．展开式中的常数项为45【答案】BCD【解析】由题意，()21452nn n C-==，所以n =10（负值舍去), 又展开式中各项系数之和为1024，所以(1−a )10=1024，所以a =−1，故A 错误；偶数项的二项式系数和为10112102451222⨯=⨯=,故B 正确；102x⎫+⎪⎭展开式的二项式系数与对应项的系数相同，所以展开式中第6项的系数最大，故C 正确；102x⎫+⎪⎭的展开式的通项()1510522211010r r rrr r TC xx C x---+=⋅=,令5502r -=，解得r =2，所以常数项为21045C =，故D 正确，故选BCD ．【点评】本题主要考查了二项式基本定理及其通项，属于基础题．二、填空题．11．记,,,,,a b c d e f 为1，2，3，4，5，6的任意一个排列,则(a +b )(c +d )(e +f )为偶数的排列的个数共有________．【答案】432【解析】根据题意,a ，b ，c ，d ，e ，f 为1,2，3,4，5，6的任意一个排列, 则共有A66=720个排列，若()()()a b c d e f +++为偶数的对立事件为“()()()a b c d e f +++为奇数”,(a +b)、()c d +、()e f +全部为奇数，有634221288⨯⨯⨯⨯⨯=，故()()()a b c d e f +++为偶数的排列的个数共有720288432-=，故答案为432．【点评】本题考查排列、组合的应用,涉及分步计数原理的应用，考查分析解决问题的能力，属于中档题．12．现有10个不同的产品,其中4个次品，6个正品．现每次取其中一个进行测试，直到4个次品全测完为止,若最后一个次品恰好在第五次测试时被发现,则该情况出现的概率是_______．【答案】2105【解析】现有10个不同的产品，其中4个次品，6个正品．现每次取其中一个进行测试，直到4个次品全测完为止，最后一个次品恰好在第五次测试时被发现，基本事件总数510n A =，最后一个次品恰好在第五次测试时被发现包含的基本事件为：优先考虑第五次（位置）测试．这五次测试必有一次是测试正品，有16C 种，4只次品必有一只排在第五次测试，有14C 种,那么其余3只次品和一只正品将在第1至第4次测试中实现，有44A 种．于是根据分步计数原理有114644C C A 种．∴最后一个次品恰好在第五次测试时被发现的概率p 1146445102105C C A A ==，故答案为2105．【点评】本题考查概率的求法，涉及到古典概型、排列组合等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力,是中档题． 13．现有排成一排的7个不同的盒子,将红、黄、蓝、白颜色的4个小球全部放入这7个盒子中，若每个盒子最多放一个小球,则恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共有_______种．（结果用数字表示）【答案】336【解析】先不考虑红球与黄球不相邻,则4个小球有A 44种排法，再安排空盒，有C 52A 22种方法；再考虑红球与黄球相邻,则4个小球有A 33A 22种排法，再安排空盒,有C 42A 22种方法，因此所求放法种数为22322252344242336CA A A A A C -=．【点评】本题考查排列组合应用，考查综合分析与求解能力,属中档题．14．在二项式6______;各项系数的最小值为______．(结果均用数值表示) 【答案】15，−20【解析】因为二项式6，所以()125661661rrrr rr r TC C x--+⎛==- ⎝, 当r =2时，则T3=15√x3，含√x 3的项的系数为15；当r =3时，则12420Tx-=-，此时系数最小，最小值为−20,故答案为15，−20．【点评】本题考查二项式定理展开式的系数问题，是基础题．一、填空题．1．12本相同的资料书分配给三个班级，要求每班至少一本且至多六本，则不同的分配方法共有_____种．【答案】25【解析】先分组，再排序，12本书分三个班级,且每班至少一本且至多六本，可能有1、5、6；2、4、6；2、5、5;3、3、6;3、4、5；4、4、4共6中情况，当一个班分1本，一个班分5本,一个班分6本，不同的方法有336A =种；当一个班分2本,一个班分4本,一个班分6本,不同的方法有336A =种；当一个班分2本，一个班分5本，一个班分5本，不同的方法有33223A A =种；当一个班分3本，一个班分3本，一个班分6本，不同的方法有33223A A =种；当一个班分3本,一个班分4本，一个班分5本，不同的方法有336A =种；当一个班分4本，一个班分4本,一个班分4本，不同的方法有33331A A =种；所以一共有6+6+3+3+6+1=25,故答案为25．高频易错题【点评】本题考查了排列组合，此种情况解题的关键是先分组,再排序，属于中档题．一、选择题．1．()62121ay x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中x−2y3项的系数为160，则a =（）A ．2B ．4C ．2-D ．−2√2【答案】C【解析】二项式(1+ay )6展开式的通项为Tr+1=C 6r ×16−r (ay )r =C 6r a r yr ，令r =3可得二项式(1+ay )6展开式中3y 的系数为C 63a 3，∴()62121ay x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中x−2y3的系数为(−1)C 63a3=160,可得a3=−8,解得a =−2，故选C ．【点评】本题主要考查了二项式定理及其通项，属于基础题．2．已知随机变量X 服从二项分布1,2B a ⎛⎫⎪⎝⎭,其期望E (X )=2，当124x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时,目标函数z =x −y 的最小值为b ，则(a +bx )5的展开式中各项系数之和为（) A ．1 B ．25C ．35D ．54【答案】B【解析】根据二项分布期望的定义，可知()122E X a =⨯=，得a =4, 画出不等式组124x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩表示的区域，如图中阴影部分所示，精准预测题其中A (2，2)，B (1，2)，C (1，3)，平移直线z =x −y ，当直线经过点C (1，3)时,z 取最小值,即b =z min,于是(a +bx )5=(4−2x )5，令x =1，可得展开式的各项系数之和为25，故选B ．【点评】本题把二项式定理与线性划结合以及二项分布考查，属于中档题．3．某人连续投篮6次，其中3次命中，3次未命中，则他第1次、第2次两次均未命中的概率是（） A ．12 B ．310 C ．14 D ．15【答案】D【解析】由题可得基本事件总数n =C 63C33=20，第1次、第2次两次均未命中包含的基本事件个数m =C 22C 41C33=4，所以他第1次、第2次两次均未命中的概率是41205mP n ===，故选D ．【点评】本题考查计数原理及排列组合的应用,解题的关键是正确求出基本事件个数．4．某校高一开设4门选修课，有4名同学选修,每人只选1门，恰有2门课程没有同学选修，则不同的选课方案有（） A ．96种B ．84种C ．78种D ．16种【答案】B【解析】先确定选的两门246C，再确定学生选42−2=14，所以不同的选课方案有6×14=84，故选B ．【点评】本题主要考了分步分类计数原理,属于基础题．5．甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上,若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是（） A ．90 B ．120 C ．210 D ．216【答案】C【解析】因为甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，且每级台阶最多站2人，所以分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一个台阶上，共有：C 63A33=120种站法;第二类，有2人站在同一台阶上,剩余1人独自站在一个台阶上,共有：C 32C 62A22=90种站法；所以每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置的不同的站法总数是120+90=210，故选C ．【点评】本题主要考查排列组合的应用以及分类计数原理的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题．6．2020年5月22日，国务院总理李克强在发布的2020年国务院政府工作报告中提出，2020年要优先稳就业保民生，坚决打赢脱贫攻坚战,努力实现全面建成小康社会目标任务．为响应党中央号召,某单位决定再加派五名工作人员甲、乙、丙、丁、戊去所负责的A ,B ，C ，D 四个村小组帮助指导贫困户脱贫，每个村小组至少派一人，为工作方便,甲不去A 小组,乙去B 小组,则不同的安排方法有(） A ．24 B ．42 C ．120 D ．240【答案】B【解析】当甲、乙在同一小组时，即都在B 小组时，则不同的安排方法有:333216A=⨯⨯=；当甲、乙不在同一小组时,根据题意可以分成C 52−1=9组，乙所在的小组去B 小组，甲有2种方法，剩下的两人有2种方法，因此有不同的安排方法有：92236⨯⨯=,因此符合题意的不同的安排方法有6+36=42种方法,故选B ．【点评】本题考查了排列组合的应用，考查了数学分析问题能力,属于中档题．二、填空题．7．()3231x x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为________．【答案】−3【解析】()()()3332231311x x x xx⎛⎫-+=+-+ ⎪⎝⎭,展开式中常数项为03121332311363CC x x⋅⋅-⋅⋅⋅=-=-,故答案为−3．【点评】（1)二项式定理的核心是通项公式,求解此类问题可以分两步完成:第一步根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数,且n r ≥，如常数项指数为零、有理项指数为整数等）;第二步是根据所求的指数,再求所求解的项． (2）求两个多项式的积的特定项,可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解． 8．数列{a n}中，a1=1，an+1=2a n +1(n ∈N ∗）,则012345515253545556C a C a C a C a C a C a +++++=________．【答案】454 【解析】因为a n+1+1=2a n +2=2(a n +1)，所以{a n+1}以2为首项，2为公比的等比数列，所以a n+1=2×2n−1=2n ，所以an=2n −1，则C 50a 1+C 51a 2+C 52a 3+C 53a 4+C 54a 5+C 55a 6()01223344556012345555555555555222222C C C C C C C C C C C C =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-+++++，又C50×2+C 51×22+C 52×23+C 53×24+C 54×25+C 55×26=2×(C 50×20+C 51×21+C 52×22+C 53×23+C 54×24+C 55×25)=2×(1+2)5=486,C 50+C 51+C 52+C 53+C 54+C 55=25=32，所以原式=486−32=454,故答案为454．【点评】本题的关键是求出数列通项公式后,结合二项式定理对所求式子进行合理变形，减少计算量．9．某地为提高社区居民身体素质和保健意识，从5名医生和2名护士共7名医务工作者中选出队长1人、副队长1人普通医务工作者2人组成4人医疗服务队轮流到社区为居民进行医疗保健服务，要求医疗服务队中至少有1名护士，则共有______种不同的选法．(用数字作答）【答案】360【解析】分两类:①只有1名护士,共有:C 21C 53A 42=240种选法；②有2名护士，共有：C 52A42=120种，故共有240120360+=种选法，故答案为360．【点评】此题考查排列组合的应用,分类讨论方法，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．10．如图,在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3中的一个．（i ）当每条边上的三个数字之和为4时，不同的填法有______种；(ii ）当同一条边上的三个数字都不同时,不同的填法有_______种．【答案】4,6【解析】（i ）每条边上的三个数字之和为4,填法如图1，共4种；（ii ）同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法如图2,共6种．故答案为4，6．【点评】本题考查了简单的排列组合问题，关键是分步和分类，属于基础题．11．如图,用四种不同的颜色给三棱柱ABC −A ′B ′C ′的六个顶点涂色,要求每个点涂一种颜色．若每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有________种；若每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有________种．【答案】576,264【解析】(1）由题得每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同,则不同的涂色方法共有A 43A43=576．(2）若B ′，A ′，A ，C 用四种颜色,则有A 44=24；若B ′,A ′,A ,C 用三种颜色，则有A43×2×2+A 43×2×2=192；若B ′,A ′，A ，C 用两种颜色，则有A 42×2×2=48,所以共有24+192+48=264种．故答案为①576；②264．【点评】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．。