四川省雅安市2017-2018学年高二数学上学期第一次月考试题 理
四川省雅安市高二数学月月考试题 理
2015-2016学年度上期天全中学半期考试数学试卷(理科)考试时间：120分钟； 第I 卷（选择题）一．选择题（每题5分，共60分） 1．下列命题中，正确的是（ ）A ．经过两条相交直线，有且只有一个平面．B ．经过一条直线和一点，有且只有一个平面．C ．若平面α与平面β相交，则它们只有有限个公共点．D ．若两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．2．已知三条直线,,m n l ，三个平面,,αβγ。
下面四个命题中，正确的是（ ）A.//αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭ B.//m l l m ββ⎫⇒⊥⎬⊥⎭ C.//////m m n n γγ⎫⇒⎬⎭D.//m m n n γγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭3. 直线1=x 的倾斜角和斜率分别是（ ）．A.45,1︒B. 1, 1C. 90︒，不存在D. 180︒，不存在4．下列结论正确的是( )A ．当0x >且1x ≠时，1lg 2lg x x +≥ B ．当0x >2≥ C ．当2x ≥时，1x x +的最小值为2 D ．当02x <≤时，1x x-无最大值 5．设直线过点(0,)a ,其斜率为1, 且与圆222x y +=相切,则a 的值为 （ ）A.2± C. ± D. 4± 6．已知圆的方程为2220x y x +-=，则圆心坐标为 （ ） A ．()0,1 B ．()0,1- C ．()1,0 D ．()1,0- 7．若直线1ax by +=与圆221x y +=相交，则(,)P a b ( )A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．以上都有可能8. 已知点(,)P x y 在直线250x y ++=上,那么22x y +的最小值为( )A ．59．点(4,2)P -与圆224x y +=上任一点连线的中点的轨迹方程是( )．A ．22(2)(1)1x y -++=B ．22(2)(1)4x y -++=C ．22(4)(2)4x y ++-=D ．22(2)(1)1x y ++-=10．已知圆22C:()(2)4(0)x a y a -+-=>及直线:30l x y -+=，直线l 被圆C 截得的弦长为则a = ( )AB ．2C 1D 111．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为3的正方形，侧棱1AA 长为4，且1AA 与11A B ，11A D 的夹角都是60︒，则1AC 的长等于（ ）．A ．1012．已知直线210kx y k -+-=恒过定点A,点A 也在直线10mx ny ++=上，其中m n 、均为正数，则12m n+的最小值为（ ） A ．2B.4C ． 6D ． 8第II 卷（非选择题）二、填空题（每题5分，共20分）13.长方体棱长分别为3,4,5，则其外接球的表面积是 ___ __________.14．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 的中点，则异面直线BE 与1CD 所成角的余弦值为15. 过点(2,3),P 并且在两轴上的截距相等的直线方程为 ． 16.某几何体的三视图如图1所示,则它的体积为____________17．给出下列命题：①存在实数α，使sin cos 1αα=； ②函数3sin()2y x π=+是偶函数； ③直线8x π=是函数5sin(2)4y x π=+的一条对称轴； ④若,αβ是第一象限的角，且αβ>，则sin sin αβ>. 其中正确命题的序号是__ _____．三、解答题（共70分）17.(本小题满分 10分)已知OAB 的顶点(0,0)O 、(2,0)A 、(3,2)B ，OA 边上的中线所在直线为l . (I)求l 的方程；(II)求点A 关于直线l 的对称点的坐标.AED CBCA 1D E B18．（本小题满分12分）如图，空间四边形ABCD 中，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD AD的中点，且AB AD =,BC CD =．（1）求证：BD //平面EFGH ； （2）求证：四边形EFGH 是矩形．19．已知两直线1:80l mx y n ++=和210l x my +-=：2．试确定,m n 的值，使(1)1l 与2l 相交于点(,1)P m -； (2) 1l ∥2l ；(3) 1l ⊥2l ，且1l 在y 轴上的截距为－1．20．（本小题满分12分）如图1,在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=6,AC=3,D,E 分别是AC,AB 上的点,且DE ∥BC,DE=4,将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置,使A 1C ⊥CD,如图2. (1)求证: 1AC ⊥平面BCDE ; (2)过点E 作截面EFH //平面1ACD ,分别交CB 于F, 1A B 于H,求截面EFH 的面积。
四川省雅安市2018学年高二上学期期末数学试卷理科 含解析
2018-2018学年四川省雅安市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．直线x﹣2y﹣3=0在y轴上的截距是（）A．3 B．C．﹣ D．﹣32．在面积为S的△ABC的边AB含任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是（）A．B．C．D．3．过点（2，1）的直线中，被圆x2+y2﹣2x+4y=0截得的最长弦所在直线的方程是（）A．3x﹣y﹣5=0 B．3x+y﹣7=0 C．x+3y﹣5=0 D．x﹣3y+1=04．将960人随机编号为1，2，…，960，用系统抽样法从中抽取32人作调查，若分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，则应在编号落入的人中抽取的人数为（）A．15 B．10 C．9 D．75．与双曲线2x2﹣y2=3有相同渐近线，且过点P（1，2）的双曲线的方程为（）A．2x2﹣=1 B．﹣x2=1 C．x2﹣=1 D．﹣=16．已知直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m，l2：2x+（5+m）y=8平行，则实数m的值为（）A．﹣7 B．﹣1 C．﹣1或﹣7 D．7．若点P为椭圆C： +=1上的动点，G点满足=2（O是坐标原点），则G的轨迹方程为（）A． +=1 B． +y2=1C． +3y2=1 D．x2+=18．在平面内，一只蚂蚁从点A（﹣2，﹣3）出发，爬到y轴后又爬到圆（x+3）2+（y﹣2）2=2上，则它爬到的最短路程是（）A．5 B．4 C． D．﹣9．设点P（x，y）在椭圆4x2+y2=4上，则x+y的最大值为（）A．3 B．﹣3 C．4 D．10．已知点A（﹣1，1），B（2，﹣2），若直线l：x+my+m=0与线段AB（含端点）相交，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，]∪C．（﹣∞，﹣2]∪11．过双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切线，切点分别为A，B，若∠AOB=120°（O是坐标原点），则双曲线C的离心率为（）A．2 B．3 C．D．12．已知椭圆C： +y2=1的左顶点为A，右顶点为B，点P是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AP，BP与直线y=3分别交于G，H两点，则线段GH的长度的最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x值是．14．若直线l经过坐标原点，且定点A（1，0），B（0，1）到l的距离相等，则直线l的方程为．15．若某市6所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示如图，其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的方差是．16．椭圆+=1的左焦点为F1，对定点M（6，4），若P为椭圆上一点，则|PF1|+|PM|的最大值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）我市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是，样本数据分组为（Ⅰ）求直方图中x的值（Ⅱ）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若全市共有企业1300个，试估计全市有多少企业可以申请政策优惠．18．（12分）已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线x﹣y+4=0的交点P，且垂直于直线x ﹣2y﹣1=0（Ⅰ）求直线l的方程（Ⅱ）直线l与曲线y2+2x=0交于A，B两点，求|AB|19．（12分）调查某高中1000名学生的肥胖情况，得如表：已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏瘦男生的概率为0.15（Ⅰ）求x的值（Ⅱ）若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取100名，问应在肥胖学生中抽多少名？（Ⅲ）已知y≥194，z≥193，求肥胖学生中男生不少于女生的概率．20．（12分）已知圆C关于y轴对称，经过抛物线y2=4x的焦点，且被直线y=x分成两段弧长之比为1：2（Ⅰ）求圆C的方程（Ⅱ）若圆C的圆心在x轴下方，过点P（﹣1，2）作直线l与圆C相切，求直线l的方程．21．（12分）平面内动点P（x，y）与两定点A（﹣2，0），b（2，0）连线的斜率之积等于﹣，若点P的轨迹为曲线E，过点Q（﹣1，0）作斜率不为零的直线CD交曲线E于点C，D（1）求曲线E的方程；（2）求证：AC⊥AD．22．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线x=2与椭圆交于P，Q两点，P点位于第一象限，A，B是椭圆上位于直线x=2两侧的动点．（i）若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；（ii）当点A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．2018-2018学年四川省雅安市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．直线x﹣2y﹣3=0在y轴上的截距是（）A．3 B．C．﹣D．﹣3【考点】直线的截距式方程．【分析】通过x=0求出y的值，即可得到结果．【解答】解：直线x﹣2y﹣3=0，当x=0时，y=﹣，直线2x+y+3=0在y轴上的截距为：﹣3．故选：C．【点评】本题考查直线方程的应用，直线的截距的求法，基础题．2．在面积为S的△ABC的边AB含任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】首先分析题目求在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于等于的概率，可借助于画图求解的方法，然后根据图形分析出基本的事件空间与事件的几何度量是什么．再根据几何关系求解出它们的比例即可．【解答】解：记事件A={△PBC的面积大于等于的概率}，基本事件空间是线段AB的长度，（如图）因为S△PBC≥的，则有；化简记得到：，因为PE平行AD则由三角形的相似性所以，事件A的几何度量为线段AP的长度，因为AP=AB，所以P（A）==．故△PBC的面积大于等于的概率的概率为．故选C．【点评】解决有关几何概型的问题的关键是认清基本事件空间是指面积还是长度或体积，并且熟练记忆有关的概率公式．3．过点（2，1）的直线中，被圆x2+y2﹣2x+4y=0截得的最长弦所在直线的方程是（）A．3x﹣y﹣5=0 B．3x+y﹣7=0 C．x+3y﹣5=0 D．x﹣3y+1=0【考点】直线与圆相交的性质．【分析】确定圆心坐标，可得过（2，1）的直径的斜率，即可求出被圆x2+y2﹣2x+4y=0截得的最长弦所在直线的方程．【解答】解：xx2+y2﹣2x+4y=0的圆心坐标为（1，﹣2）故过（2，1）的直径的斜率为k=3，因此被圆x2+y2﹣2x+4y=0截得的最长弦所在直线的方程是y﹣1=3（x﹣2），即为3x﹣y﹣5=0．故选：A．【点评】本题考查直线与圆相交的性质，考查学生的计算能力，比较基础．4．将960人随机编号为1，2，…，960，用系统抽样法从中抽取32人作调查，若分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，则应在编号落入的人中抽取的人数为（）A．15 B．10 C．9 D．7【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义先确定每组人数为960÷32=30人，即抽到号码的公差d=30，然后根据等差数列的公式即可得到结论．【解答】解：根据系统抽样的定义先确定每组人数为960÷32=30人，即抽到号码的公差d=30， ∵第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9， ∴等差数列的首项为9，则抽到号码数为a n =9+30（n ﹣1）=30n ﹣29， 由450≤30n ﹣29≤750， 得16≤n ≤25，即编号落入区间的人数为10人． 故选：B ．【点评】本题主要考查系统抽样的定义及应用，转化为等差数列是解决本题的关键．5．与双曲线2x 2﹣y 2=3有相同渐近线，且过点P （1，2）的双曲线的方程为（ ）A ．2x 2﹣=1 B ．﹣x 2=1 C ．x 2﹣=1 D ．﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】依题意，设所求的双曲线的方程2x 2﹣y 2=3λ，将点P （1，2）的坐标代入，求得λ即可．【解答】解：依题意，设所求的双曲线的方程2x 2﹣y 2=3λ，将点P （1，2）的坐标代入可得2﹣4=3λ．解得λ=﹣，∴2x 2﹣y 2=﹣2，即﹣x 2=1，故选：B【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查待定系数法的应用，属于中档题．6．已知直线l 1：（3+m ）x+4y=5﹣3m ，l 2：2x+（5+m ）y=8平行，则实数m 的值为（ ）A ．﹣7B ．﹣1C ．﹣1或﹣7D ．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系． 【分析】直接利用两条直线平行的充要条件，求解即可．【解答】解：因为两条直线l 1：（3+m ）x+4y=5﹣3m ，l 2：2x+（5+m ）y=8，l 1与l 2平行．所以，解得m=﹣7．故选：A．【点评】本题考查直线方程的应用，直线的平行条件的应用，考查计算能力．7．若点P为椭圆C： +=1上的动点，G点满足=2（O是坐标原点），则G的轨迹方程为（）A． +=1 B． +y2=1C． +3y2=1 D．x2+=1【考点】椭圆的简单性质．【分析】设P（x0，y0），G（x，y），则=（x﹣x0，y﹣y0），=（﹣x，﹣y），由=2，即可求得，代入椭圆C： +=1，即可求得G的轨迹方程．【解答】解：设P（x0，y0），G（x，y），由=（x﹣x0，y﹣y0），=（﹣x，﹣y），由=2，即，整理得：，由P在椭圆C： +=1，则，故选C．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查向量与圆锥曲线的应用，考查轨迹方程的求法，属于基础题．8．在平面内，一只蚂蚁从点A（﹣2，﹣3）出发，爬到y轴后又爬到圆（x+3）2+（y﹣2）2=2上，则它爬到的最短路程是（）A．5B．4C． D．﹣【考点】点与圆的位置关系．【分析】由已知求出圆心坐标和半径，它爬到的最短路程是过原点到圆心的连线的距离减去半径时，由两点间的距离公式计算即可得答案．【解答】解：由圆（x+3）2+（y﹣2）2=2，得圆心坐标（﹣3，2），半径为，它爬到的最短路程是过原点到圆心的连线的距离减去半径时，最短距离为|AC|﹣r==，故选：D．【点评】本题考查点与圆的位置关系，考查两点间的距离公式的应用，是基础题．9．设点P（x，y）在椭圆4x2+y2=4上，则x+y的最大值为（）A．3 B．﹣3 C．4 D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】将椭圆方程转化成标准方程，利用椭圆的参数方程，根据正弦函数的性质即可求得x+y的最大值．【解答】解：由椭圆4x2+y2=4，得，可设椭圆参数方程为，∴x+y=2sinθ+cosθ=sin（θ+φ），（tanφ=）．由正弦函数的性质可知：x+y的最大值为，故选：D．【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，考查了椭圆参数方程的应用，考查三角函数的最值的求法，是中档题．10．已知点A（﹣1，1），B（2，﹣2），若直线l：x+my+m=0与线段AB（含端点）相交，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，]∪C．（﹣∞，﹣2]∪【考点】直线的斜率．【分析】利用斜率计算公式、斜率与倾斜角的关系及其单调性即可得出．【解答】解：直线l：x+my+m=0经过定点P（0，﹣1），k PA ==﹣2，k PB ==﹣．∵直线l ：x+my+m=0与线段AB （含端点）相交，∴k ≤﹣2，或k ≥﹣．故选：C ．【点评】本题考查了斜率计算公式、斜率与倾斜角的关系及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．过双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一个焦点作圆x 2+y 2=a 2的两条切线，切点分别为A ，B ，若∠AOB=120°（O 是坐标原点），则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．D ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意可先求得∠AOF 利用OF 和OA ，在直角三角形中求得的值，进而可求得双曲线的离心率【解答】解：如图，由题知OA ⊥AF ，OB ⊥BF 且∠AOB=120°， ∴∠AOF=60°，又OA=a ， OF=c ，∴==cos60°=，∴e==2，故选：A【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的过程中采用了数形结合的思想，使问题的解决更直观．12．已知椭圆C： +y2=1的左顶点为A，右顶点为B，点P是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AP，BP与直线y=3分别交于G，H两点，则线段GH的长度的最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知设直线AP的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程由韦达定理定理求得P点坐标，即可求得直线PB的斜率为﹣．将直线PB的方程与y=3联立，即可H点坐标，求得|GH|，利用基本不等式的性质即可求得线段GH的长度的最小值．【解答】解：椭圆C： +y2=1的左顶点为A（﹣2，0），右顶点为B（2，0），直线AP的斜率k显然存在，且k＞0，故可设直线AP的方程为y=k（x+2），设P（x1，y1），从而 G（﹣2，3），由，整理得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0．由韦达定理可知：（﹣2）x1=．则x1=，从而y1=．即P（，），又B（2，0），则直线PB的斜率为﹣．由，得，∴H（﹣12k+2，3）．故|GH|=|﹣2+12k﹣2|=|+12k﹣4|．又k＞0， +12k≥2=12．当且仅当=12k，即k=时等号成立．∴当k=时，线段GH的长度取最小值8．故选：D．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用，基本不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x值是15 ．【考点】循环结构．【分析】由图知，每次进入循环体后，x的值被施加的运算是乘以2加上1，故由此运算规律进行计算，经过4次运算后输出的结果．【解答】解：由图知运算规则是对x=2x+1，故第一次进入循环体后x=2×1+1=3，n=2第二次进入循环体后x=2×3+1=7，n=3第三次进入循环体后x=2×7+1=15，n=4，不满足循环条件，退出循环故答案为：15．【点评】本题主要考查了循环结构，根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题．14．若直线l经过坐标原点，且定点A（1，0），B（0，1）到l的距离相等，则直线l的方程为y=±x ．【考点】点到直线的距离公式．【分析】直线斜率存在，可设直线l的方程为：y=kx，再利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：直线斜率存在，可设直线l的方程为：y=kx，∵定点A（1，0），B（0，1）到l的距离相等，∴=，解得k=±1．∴直线l的方程为：y=±x．故答案为：y=±x．【点评】本题考查了点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．若某市6所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示如图，其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的方差是．【考点】茎叶图；极差、方差与标准差．【分析】根据题意，由茎叶图分析出所给的数据，根据数据先计算出数据的平均数，进而由方差公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，由茎叶图可得所给的数据为：87、91、93、92、90、93，其平均数==91，则其方差s2==，故答案为：．【点评】本题考查茎叶图的应用，涉及数据方差的计算，关键是由茎叶图读出数据．16．椭圆+=1的左焦点为F1，对定点M（6，4），若P为椭圆上一点，则|PF1|+|PM|的最大值为15 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆+=1可得：a2=25，b2=16，c=3．由|PM|+|PF1|=2a+|PM|﹣|PF2|≤2a+|MF2|，当且仅当三点M、F2、P共线时取等号．【解答】解：由椭圆+=1焦点在x轴上，可得：a2=25，b2=16．∴a=5，b=4，c=3．∴F2（3，0），|MF2|=5．∴|PM|+|PF1|=2a+|PM|﹣|PF2|≤2×5+|MF2|=15，当且仅当三点M、F2、P共线时取等号．故答案为：15．【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、最大值问题的转化为三角形的三边关系，属于中档题三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2018秋•雅安期末）我市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是，样本数据分组为（Ⅰ）求直方图中x的值（Ⅱ）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若全市共有企业1300个，试估计全市有多少企业可以申请政策优惠．【考点】频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）根据频率和为1，列出方程求出x的值；（Ⅱ）计算缴税收不少于60万元的企业对应的频率与频数即可．【解答】解：（Ⅰ）根据频率和为1，得；20×（x+0.185+0.0185+0.018+0.018）=1，解得x=0.0125；（Ⅱ）可申请政策优惠企业的频率为20×0.018=0.12，且1300×0.12=156，故全市1300个企业中，估计有156个企业可申请政策优惠．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题目．18．（12分）（2018秋•雅安期末）已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线x﹣y+4=0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0（Ⅰ）求直线l的方程（Ⅱ）直线l与曲线y2+2x=0交于A，B两点，求|AB|【考点】待定系数法求直线方程．【分析】（Ⅰ）求出P的坐标，利用直线l垂直于直线x﹣2y﹣1=0求直线l的方程（Ⅱ）直线l与曲线y2+2x=0交于A，B两点，求出A，B的坐标，即可求|AB|．【解答】解：（Ⅰ）直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线x﹣y+4=0的交点P，可得P（﹣2，2），∵直线l垂直于直线x﹣2y﹣1=0，∴k l=﹣2，∴直线l的方程为2x+y+2=0；（Ⅱ）直线l与曲线y2+2x=0联立，可得y2﹣y﹣2=0，∴y=﹣1或2，∴A（﹣，﹣1），B（﹣2，2）∴|AB|==．【点评】本题考查直线方程，考查直线与直线，直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（12分）（2018秋•雅安期末）调查某高中1000名学生的肥胖情况，得如表：已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏瘦男生的概率为0.15（Ⅰ）求x的值（Ⅱ）若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取100名，问应在肥胖学生中抽多少名？（Ⅲ）已知y≥194，z≥193，求肥胖学生中男生不少于女生的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；简单随机抽样．【分析】（Ⅰ）由题意可知，由此能求出x的值．（Ⅱ）由题意知肥胖学生人数为y+z=400人，设应在肥胖学生中抽取m人，按比例列方程，能求出应在肥胖学生中抽多少名．（Ⅲ）由题意知y+z=400，y≥194，z≥193，利用列举法能求出肥胖学生中男生不少于女生的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，解得x=150（人）．（Ⅱ）由题意知肥胖学生人数为y+z=400（人），设应在肥胖学生中抽取m人，则，解得m=40（人）．∴应在肥胖学生中抽40名．（Ⅲ）由题意知y+z=400，y≥194，z≥193，满足条件的（y，z）有：（194，218），（195，218），（196，218），（197，218），（198，218），（199，201），（200，200），（201，199），（218，198），（218，197），（218，196），（218，195），（218，194），（218，193），共有14组，设事件A表示“肥胖学生中男生不少于女生”，即y≤z，y≤z包含听基本事件有：（194，218），（195，218），（196，218），（197，218），（198，218），（199，201），（200，200），共有7组，∴肥胖学生中男生不少于女生的概率P（A）=．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．20．（12分）（2018秋•雅安期末）已知圆C关于y轴对称，经过抛物线y2=4x的焦点，且被直线y=x分成两段弧长之比为1：2（Ⅰ）求圆C的方程（Ⅱ）若圆C的圆心在x轴下方，过点P（﹣1，2）作直线l与圆C相切，求直线l的方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）根据题意设出圆的标准方程，圆c关于y轴对称，经过抛物线y2=4x的焦点，被直线y=x分成两段弧长之比为1：2，写出a，r的方程组，解方程组得到圆心和半径；（Ⅱ）圆C的方程为x2+（y+1）2=2．设直线l方程为y﹣2=k（x+1），利用过点P（﹣1，2）作直线l与圆C相切，建立方程，即可求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设圆C的方程为x2+（y﹣a）2=r2∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0）∴1+a2=r2 ①又直线y=x分圆的两段弧长之比为1：2，可知圆心到直线y=x的距离等于半径的；∴②解①、②得a=±1，r2=2∴所求圆的方程为x2+（y±1）2=2；（Ⅱ）圆C的方程为x2+（y+1）2=2．设直线l方程为y﹣2=k（x+1），即kx﹣y+k+2=0，则=，∴k=﹣1或7，∴直线l的方程为x+y﹣1=0或7x﹣y+9=0．【点评】本题考查求圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）（2018秋•雅安期末）平面内动点P（x，y）与两定点A（﹣2，0），b（2，0）连线的斜率之积等于﹣，若点P的轨迹为曲线E，过点Q（﹣1，0）作斜率不为零的直线CD交曲线E于点C，D（1）求曲线E的方程；（2）求证：AC⊥AD．【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）设动点P坐标为（x，y），当x≠±2时，由条件得：=﹣，化简得曲线E的方程；（2）设CD方程与椭圆联立，利用数量积为0，证明AC⊥AD．【解答】（1）解：设动点P坐标为（x，y），当x≠±2时，由条件得：=﹣，化简得+=1，故曲线E的方程为： +=1（x≠±2）．（2）证明：CD斜率不为0，所以可设CD方程为my=x+1，与椭圆联立得：（m2+3）y2﹣2my﹣3=0，设C（x1，y1），D（x2，y2），所以y1+y2=，y1y2=﹣．（x1+2，y1）•（x2+2，y2）=（m2+1）y1y2+m（y1+y2）+1=（m2+1）（﹣）+m•+1=0，所以AC⊥AD．【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．（12分）（2018•临沂二模）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线x=2与椭圆交于P，Q两点，P点位于第一象限，A，B是椭圆上位于直线x=2两侧的动点．（i）若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；（ii）当点A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（I）设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），由条件利用椭圆的性质求得b和a的值，可得椭圆C的方程．（Ⅱ）（i）设AB的方程为y=x+t，代入椭圆C的方程化简，由△＞0，求得t的范围，再利用利用韦达定理可得 x1+x2以及x1+x2的值．再求得P、Q的坐标，根据四边形APBQ的面积S=S△APQ+S△BPQ=•PQ•|x1﹣x2|，计算求得结果．（ii）当∠APQ=∠BPQ时，PA、PB的斜率之和等于零，PA的方程为y﹣1=k（x﹣2），把它代入椭圆C的方程化简求得x2+2=．再把直线PB的方程椭圆C的方程化简求得x2+2 的值，可得 x1+x2以及x1﹣x2的值，从而求得AB的斜率K的值．【解答】解：设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点（0，），∴b=．再根据离心率===，求得a=2，∴椭圆C的方程为+=1．（Ⅱ）（i）设A（ x1，y1），B（ x2，y2），AB的方程为y=x+t，代入椭圆C的方程化简可得 x2+2tx+2t2﹣4=0，由△=4t2﹣4（2t2﹣4）＞0，求得﹣2＜t＜2．利用韦达定理可得 x1+x2=﹣2t，x1 •x2=2t2﹣4．在+=1中，令x=2求得P（2，1），Q（2，﹣1），∴四边形APBQ的面积S=S△APQ+S△BPQ=•PQ•|x1﹣x2|=×2×|x1﹣x2|=|x1﹣x2|===，故当t=0时，四边形APBQ的面积S取得最大值为4．（ii）当∠APQ=∠BPQ时，PA、PB的斜率之和等于零，设PA的斜率为k，则 PB的斜率为﹣k，PA的方程为y﹣1=k（x﹣2），把它代入椭圆C的方程化简可得（1+4k2）x2+8k（1﹣2k）x+4（1﹣2k）2﹣8=0，∴x1+2=．同理可得直线PB的方程为y﹣1=﹣k（x﹣2），x2+2=，∴x1+x2=，x1﹣x2=，∴AB的斜率K=====【点评】本题主要考查求圆锥曲线的标准方程，圆锥曲线的定义、性质的应用，直线和圆锥曲线相交的性质，直线的斜率公式、韦达定理的应用，属于难题．。
四川省雅安中学高二数学上学期第一次月考试题
2018-2019学年上学期第一次月考（10月）高二数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线310x y 的倾斜角为（）A30B60 C120 D 1502．若直线1x y ab过第一、三、四象限，则（）A ．a<0,b<0B ．a<0,b>0C ．a>0,b>0D ．a>0,b<03．下列说法正确的是（）A ．若直线a 与平面α内无数条直线平行，则a ∥αB ．经过两条异面直线中的一条，有一个平面与另一条直线平行C ．平行于同一平面的两条直线平行D ．直线a ，b 共面，直线a ，c 共面，则直线b ，c 共面4．已知点(1,2)A 、(3,1)B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（）A 524y xB 524y xC 52y xD 52y x 5.直线:(2)(1)60l xy，则直线l 恒过定点( )A. (2,2)B. (2,2)C. (2,1)D.(1,2)6．经过点M （2，2）且在两坐标轴上截距相等的直线是（）A ．x+y=4B ．x+y=2或x=yC ．x=2或y=2D ．x+y=4或x=y7．如图，E 为正方体的棱AA 1的中点，则1C E 与平面11ABB A 所成角的正弦值是（）A ．255B ．53C．23D ．258.已知坐标平面内三点P(3，-1),M(6，2),N3,3,直线l 过点P.若直线l 与线段MN 相交，则直线l 的倾斜角的取值范围（）A45,150B 0045,135C.0060,120D0030,609．在正三棱柱111ABCA B C 中，若12,1AB AA ，则点A 到平面1A BC 的距离为（）A34B32C334D310．已知正四棱锥S ABCD 的所有棱长都相等，E 是SB 的中点，则AE ，SD 所成角的正弦值为（）A13B33C63D2311．如图，以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①；②∠BAC=60°；③三棱锥D ﹣ABC 是正三棱锥；④平面ADC 和平面ABC 的垂直．其中正确的是（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④12．如图，∠C=，AC=BC ，M 、N 分别是BC 、AB 的中点，将△BMN 沿直线MN 折起，使二面角B ′﹣MN ﹣B 的大小为，则B'N 与平面ABC 所成角的正切值是（）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知直线12:(3)453,:2(5)8l m x y m l x m y平行，则实数m 的值为____________B ’14..已知点(2,3),(3,2)A B ，设点(,)x y 在线段AB 上（含端点），则11y x 的取值范围是___________15.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是________．16．如图，将菱形ABCD 沿对角线BD 折起，使得C 点至C ′，E点在线段AC ′上，若二面角A ﹣BD ﹣E 与二面角E ﹣BD ﹣C ′的大小分别为15°和30°，则=．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(10分)三角形的三个顶点为3,0,5,6,0,4C B A （1）求BC 边上高所在直线的方程；（2）求BC 边上中线所在直线的方程.18.（本小题满分12分）光线通过点)3,2(A ，在直线01:y x l 上反射，反射光线经过点)1,1(B .(Ⅰ)求点)3,2(A 关于直线l 对称点的坐标；(Ⅱ)求反射光线所在直线的一般式方程．19．(满分12分)在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，SD底面ABCD,SD=2，其中N M 、分别是SC AB 、的中点，P 是SD 上的一个动点．(1)当点P 落在什么位置时，AP ∥平面SMC ，证明你的结论；(2)求三棱锥NMC B的体积．20.(12分)已知直线:120()l kx y k k R .(Ⅰ)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围;(Ⅱ)若直线l 交x 轴负半轴于A ,交y 轴正半轴于B ，求A O B的面积的最小值并求此时直线l 的方程；(III)已知点(1,5)P ,若点P 到直线l 的距离为d ，求d 的最大值并求此时直线l 的方程.21.在三棱锥P ABC中，PC⊥底面ABC，AB BC，D是PB的中点．(1)求证：AB PB；(2)若AB BC PC，求直线AD与底面ABC所成角的正弦值22.如图,四面体ABCD中, ABC是正三角形, ACD是直角三角形,ABD CBD,AB BD.（1）证明:平面ACD平面ABC;（2）过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D AC E的大小。
高二上学期第一次月考数学试题(答案)
高二数学上第一次月考试题一、选择题1.已知两点()()1,3,3,3--BA ，则直线AB 的斜率是( )A ．3B ．3-C ．33D ．33- 2.下列说法中正确的是( )A ．平行于同一直线的两个平面平行B ．垂直于同一直线的两个平面平行C ．平行于同一平面的两条直线平行D ．垂直于同一平面的两个平面平行3.用一个平面去截一个正四棱柱（底面是正方形，侧棱与底面垂直），截法不同，所得截面的形状不一定相同，在各种截法中，边数最多的截面的形状为 （ ） A ．四边形 B ．五边形 C ．六边形 D ．八边形4.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形的形状是( )A ．B ． C. D ．5.圆锥的底面半径为a ，侧面展开图是半圆面，那么此圆锥的侧面积是 （ ） A ．22a π B ．24a π C. 2a π D ．23a π 6.为了得到函数⎪⎭⎫⎝⎛-=32sin πx y 的图像，只需把函数x y 2sin =的图像（ ） A ．向左平移125π个单位长度 B ．向右平移125π个单位长度 C.向左平移3π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度 7.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 广告费用x （万元） 1 2 4 5 销售额y （万元）10263549根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆb 约等于9，据此模型预测广告费用为8万元时，销售额约为（ ）A ．55万元B ．57万元 C. 66万元 D ．75万元8.棱锥的中截面（过棱锥高的中点且与高垂直的截面）将棱锥的侧面分成两部分，这两部分的面积的比为（ ）A ． 4:1B ． 3:1 C. 2:1 D ．1:1 9.若过定点()3,0-P 的直线l 与直线232+-=x y 的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,6ππ B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2,6ππ C.⎪⎭⎫ ⎝⎛2,3ππ D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ10.执行如图所示程序框图，若输出x 值为47，则实数a 等于（ ）A ．2B ．3 C. 4 D ．511.若实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-011405201y x y x y x ，则y x z +=的最大值是（ ）A ．6B ．7 C. 8 D ．912.在体积为15的斜三棱柱111C B A ABC -中，P 是C C 1上的一点，ABC P -的体积为3，则三棱锥111C B A P -的体积为（ ）A ．1B ．23C. 2 D ．3 二、填空题13.如图，点F E ,分别为正方体的面11A ADD ，面11B BCC 的中心，则四边形E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是 ．（要求：把可能的图的序号都填上）14.设向量()()1,2,,1a b m =-=，如果向量2a b +与2a b -平行，则a b ⋅= ．15.某几何体的三视图如下图（单位：cm ）则该几何体的表面积是 2cm ．16.定义在()5,2+-b b 上的奇函数()x f 是减函数，且满足()()01<++a f a f ，则实数a 取值范围是三、解答题17. 已知在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且.2,2cos cos =+-=c a bca B C （1）求角B ；（2）当边长b 取得最小值时，求ABC ∆的面积；18.如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点.求证：（1） //PA 平面BDE ； （2）平面⊥PAC 平面BDE ；19.如图，在三棱锥ABC P -中，平面⊥PBC 平面ABC ，PBC ∆是边长为a 的正三角形，M BAC ACB ,30,9000=∠=∠是BC 的中点.（1）求证：AC PB ⊥； （2）求点M 到平面PCA 的距离.20.如图，已知⊥PA 平面ABCD ，ABCD 为矩形，N M ,分别为PC AB ,的中点.（1）求证：AB MN ⊥；（2）若045=∠PDA ，求证：平面⊥MND 平面PDC .21.已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前五项和205=S ，且731,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n T 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和，且存在*∈N n ，使得01≥-+n n a T λ成立，求实数λ的取值范围.22.在棱长为2正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，F 是棱AD 上的一点,E 是棱1CC 的中点.（1）如图1，若F 是棱AD 的中点，求异面直线OE 和1FD 所成角的余弦值； （2）如图2，若延长EO 与F D 1的延长线相交于点G ，求线段G D 1的长度.试卷答案一、选择题1-5: DBCAA 6-10: DDBBD 11、12：DC二、填空题13.②③ 14.25 15.1413+⎪⎭⎫ ⎝⎛-9,21 三、解答题17.解：（1） 因为b c a B C -=2cos cos ，所以.sin sin sin 2cos cos BC A B C -= 所以()B C A B C cos sin sin 2sin cos -=, 所以()B A C B cos sin 2sin =+, 所以.cos sin 2sin B A A = 在ABC ∆中，0sin ≠A ， 故21cos =B ，又因为()π,0∈B ，所以.3π=B （2）由（1）求解，得3π=B ,所以222222cos b a c ac B a c ac =+-=+- 又2=+c a ，所以()ac ac c a b 34322-=-+=，又因为22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤c a ac ，所以1≤ac ，所以12≥b ，又因为0>b ，故b 的最小值为1，此时.4360sin 11210=⨯⨯⨯=∆ABC S18.证：（1） 连接EO , 在PAC ∆中O 是AC 的中点，E 是PC 的中点 .//AP OE ∴又⊂OE 平面⊄PA BDE ,平面BDE ,//PA ∴平面BDE ,（2）⊥PO 底面ABCD ,.BD PO ⊥∴又BD AC ⊥ ，且O PO AC = ,⊥∴BD 平面.PAC而⊂BD 平面BDE ，∴平面⊥PAC 平面.BDE19.解：（1） PBC ∆ 是边长为a 的正三角形，M 是BC 的中点.BC PM ⊥∴又 平面⊥PBC 平面ABC ，且平面 PBC 平面BC ABC =,⊥∴PM 平面ABC ,⊂AC 平面ABC , .AC PM ⊥∴090=∠ACB ，即BC AC ⊥,又M BC PM = ,⊥∴AC 平面PBC ,⊂PB 平面PBC , PB AC ⊥∴（2）PAC M ACM P V V --=，得a h 43=，即为点M 到平面PAC 的距离. 20.证明：（1） 设E 为PD 的中点，连接AE EN ,,N M , 分别为PC AB ,的中点,DC EN //∴且DC AM DC EN //,21=，且AM EN DC AM //,21∴=且AM EN =, ∴四边形AMNE 为平行四边形，AE MN //∴,⊥PA 平面PA AB ABCD ⊥∴,,又⊥∴⊥AB AD AB , 平面PAD ,又⊂AE 平面.,AE AB PAD ⊥∴.,//AB MN AE MN ⊥∴（2）AD PA PDA =∴=∠,450，则.PD AE ⊥又⊥AB 平面⊥∴CD CD AB PAD ,//,平面PAD .AE CD ⊥∴ 又⊥∴=AE D PD CD , 平面PDC ，⊥∴MN AE MN ,// 平面.PDC又⊂MN 平面∴,MND 平面⊥MND 平面.PDC 21.解：（1） 设数列{}n a 的公差为d ，则()()⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⨯+d a a d a d a 6220245511211，即⎩⎨⎧==+d a d d a 121242， 又因为0≠d ，所以⎩⎨⎧==121d a ， 所以.1+=n a n （2）因为()(),211121111+-+=++=+n n n n a a n n所以()222121211141313121+=+-=+-+++-+-=n n n n n T n , 因为存在*∈N n ，使得01≥--n n a T λ成立，所以存在*∈N n ，使得()()0222≥+-+n n nλ成立，即存在*∈N n ，使()222+≤n nλ成立， 又()1614421,4421222≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+n n n n n n ，（当且仅当2=n 时取等号） 所以.161≤λ 即实数λ的取值范围是.161,⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-22.解：（1） 如图，连接OF ，取11D C 的中点M ，连接.,ME OMM F O ,, 分别为11,,D C AD AC 的中点，CD M D CD OF //,//1∴,且.21,211CD M D CD OF ==M D OF 1//∴且,1M D OF = ∴四边形M OFD 1为平行四边形，.//1OM F D ∴MOE ∠∴为异面直线1FD 与OE 所成的角，在MOE ∆中，易求.,3,2,5222OE ME OM OE ME OM +=∴===.OE ME ⊥∴ .51553cos ==∠∴MOE（2）∈G 平面F D 1，且F D 1在平面11A ADD 内，∈∴G 平面,11A ADD同理∈G 平面11A ACC ，又 平面 11A ADD 平面A A A ACC 111=,∴由公理2知1AA G ∈（如图）CE G A //1 ，且O 为AC 的中点,1==∴CE AG ,。
四川省雅安市数学高二上学期理数10月月考试卷
四川省雅安市数学高二上学期理数10月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共13题；共26分)1. （2分） (2018高一上·阜城月考) 直线经过原点和，则它的倾斜角是（）A . 45°B . 135°C . 45° 或135°D . −45°2. （2分）下列命题中错误的是（）A . 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB . 如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βC . 如果直线a∥平面α，那么a平行于平面α内的无数条直线D . 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β3. （2分）过点P(0,1)且和A(3,3)，B(5，－1)距离相等的直线的方程是（）A . y＝1B . 2x＋y－1＝0C . y＝1或2x＋y－1＝0D . 2x＋y－1＝0或2x＋y＋1＝04. （2分）(2017·长沙模拟) 点P为棱长是的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点M 为B1C1的中点，若满足DP⊥BM，则动点P的轨迹的长度为（）A . πB . 2πC . 4πD .5. （2分） (2017高二上·孝感期末) 抽取以下两个样本：①从二（1）班数学成绩最好的10名学生中选出2人代表班级参加数学竞赛；②从学校1000名高二学生中选出50名代表参加某项社会实践活动．下列说法正确的是（）A . ①、②都适合用简单随机抽样方法B . ①、②都适合用系统抽样方法C . ①适合用简单随机抽样方法，②适合用系统抽样方法D . ①适合用系统抽样方法，②适合用简单随机抽样方法6. （2分）阅读下列程序，并指出当a=3，b=﹣5时的计算结果（）A . a=﹣1，b=4B . a=0.5，b=﹣1.25C . a=3，b=﹣5D . a=﹣0.5，b=1.257. （2分） (2016高二上·包头期中) 利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论，正确的是（）A . ①②B . ①C . ③④D . ①②③④8. （2分）如果4个数x1 ， x2 ， x3 ， x4的方差7，那么3x1+5，3x2+5，3x3+5，3x4+5，这4个数的方差是（）A . 12B . 21C . 26D . 639. （2分）若一个棱锥的各棱长均相等，则该棱锥一定不是（）A . 三棱锥B . 四棱锥C . 五棱锥D . 六棱锥10. （2分） (2018高一上·吉林期末) 与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是（）A .B .C .D .11. （2分）已知三棱锥S﹣ABC的四个顶点均落在球O的表面上，且SA⊥平面ABC，∠ABC=90°，，则球O的体积与表面积的比值为（）A .B .C .D .12. （2分）(2018·绵阳模拟) 若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的斜率的取值范围是（）A .B .C .D .13. （2分）若P是两条异面直线l,m外的任意一点，则下列命题①过点P有且只有一条直线与l,m都平行；②过点P有且只有一条直线与l,m都垂直；③过点P有且只有一条直线与l,m都相交；④过点P有且只有一条直线与l,m都异面。
雅安市高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学
雅安市高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知数列{a n }满足log 3a n +1=log 3a n+1（n ∈N *），且a 2+a 4+a 6=9，则log （a 5+a 7+a 9）的值是（ ）A ．﹣B ．﹣5C ．5D ．2． 下列命题正确的是（ ）A ．已知实数,a b ，则“a b >”是“22a b >”的必要不充分条件B ．“存在0x R ∈，使得2010x -<”的否定是“对任意x R ∈，均有210x ->” C ．函数131()()2xf x x =-的零点在区间11(,)32内D ．设,m n 是两条直线，,αβ是空间中两个平面，若,m n αβ⊂⊂，m n ⊥则αβ⊥ 3． 已知函数f （x ）=x 2﹣2x+3在[0，a]上有最大值3，最小值2，则a 的取值范围（ ）A ．[1，+∞）B ．[0.2}C ．[1，2]D ．（﹣∞，2]4． 已知角θ的终边经过点P （4，m ），且sin θ=，则m 等于（ ）A ．﹣3B ．3C ．D ．±35． 已知长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=1，AA 1=2，E 是侧棱BB 1的中点，则直线AE 与平面A 1ED 1所成角的大小为（ ）A ．60°B ．90°C ．45°D ．以上都不正确 6． 空间直角坐标系中，点A （﹣2，1，3）关于点B （1，﹣1，2）的对称点C 的坐标为（ ） A ．（4，1，1） B ．（﹣1，0，5） C ．（4，﹣3，1）D ．（﹣5，3，4）7． 复数i ﹣1（i 是虚数单位）的虚部是（ ）A ．1B ．﹣1C ．iD ．﹣i8． 如图，△ABC 所在平面上的点P n （n ∈N *）均满足△P n AB 与△P n AC 的面积比为3；1， =﹣（2x n +1）（其中，{x n }是首项为1的正项数列），则x 5等于（ ）A ．65B ．63C ．33D ．319． 487被7除的余数为a （0≤a ＜7），则展开式中x ﹣3的系数为（ ）A ．4320B ．﹣4320C ．20D ．﹣2010．函数f （x ）是以2为周期的偶函数，且当x ∈（0，1）时，f （x ）=x+1，则函数f （x ）在（1，2）上的解析式为（ ）A ．f （x ）=3﹣xB ．f （x ）=x ﹣3C ．f （x ）=1﹣xD ．f （x ）=x+1 11．已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于l 的直线（ ）A ．只有一条，不在平面α内B ．只有一条，在平面α内C ．有两条，不一定都在平面α内D ．有无数条，不一定都在平面α内12．函数()()f x x R Î是周期为4的奇函数，且在02[,]上的解析式为(1),01()sin ,12x x x f x x x ì-＃ï=íp <?ïî，则1741()()46f f +=（ ） A ．716 B ．916 C ．1116 D ．1316【命题意图】本题考查函数的奇偶性和周期性、分段函数等基础知识，意在考查转化和化归思想和基本运算能力．二、填空题13．函数f （x ）=x 3﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的最大值、最小值分别是 ．14．已知i 是虚数单位，且满足i 2=﹣1，a ∈R ，复数z=（a ﹣2i ）（1+i ）在复平面内对应的点为M ，则“a=1”是“点M 在第四象限”的 条件（选填“充分而不必要”“必要而不充分”“充要”“既不充分又不必要”）15．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，且(0,2)x ∈时2()1f x x =+，则(7)f 的值为 ▲ ．16．曲线y=x 2和直线x=0，x=1，y= 所围成的图形的面积为 ．17．抽样调查表明，某校高三学生成绩（总分750分）X 近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P （400＜X ＜450）=0.3，则P （550＜X ＜600）= ．18．已知n S 是数列1{}2n n -的前n 项和，若不等式1|12n n n S λ-+<+｜对一切n N *∈恒成立，则λ的取值范围是___________．【命题意图】本题考查数列求和与不等式恒成立问题，意在考查等价转化能力、逻辑推理能力、运算求解能力．三、解答题19．在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．20．求点A（3，﹣2）关于直线l：2x﹣y﹣1=0的对称点A′的坐标．21．证明：f（x）是周期为4的周期函数；（2）若f（x）=（0＜x≤1），求x∈[﹣5，﹣4]时，函数f（x）的解析式．18．已知函数f（x）=是奇函数．22．在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：BD⊥AE．23．已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）．（Ⅰ）若a=﹣2，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，求正整数k的值．（参考数据：ln2=0.6931，ln3=1.0986）24．设定义在（0，+∞）上的函数f（x）=ax++b（a＞0）（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=，求a，b的值．雅安市高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1． 【答案】B【解析】解：∵数列{a n }满足log 3a n +1=log 3a n+1（n ∈N *），∴a n+1=3a n ＞0，∴数列{a n }是等比数列，公比q=3． 又a 2+a 4+a 6=9， ∴=a 5+a 7+a 9=33×9=35，则log（a 5+a 7+a 9）==﹣5．故选；B ．2． 【答案】C 【解析】考点：1.不等式性质；2.命题的否定；3.异面垂直；4.零点；5.充要条件．【方法点睛】本题主要考查不等式性质，命题的否定，异面垂直，零点，充要条件.充要条件的判定一般有①定义法:先分清条件和结论（分清哪个是条件,哪个是结论），然后找推导关系（判断,p q q p ⇒⇒的真假），最后下结论（根据推导关系及定义下结论）. ②等价转化法:条件和结论带有否定性词语的命题,常转化为其逆否命题来判断.3． 【答案】C【解析】解：f （x ）=x 2﹣2x+3=（x ﹣1）2+2，对称轴为x=1．所以当x=1时，函数的最小值为2． 当x=0时，f （0）=3．由f （x ）=3得x 2﹣2x+3=3，即x 2﹣2x=0，解得x=0或x=2．∴要使函数f （x ）=x 2﹣2x+3在[0，a]上有最大值3，最小值2，则1≤a ≤2．故选C ．【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，利用配方法是解决二次 函数的基本方法．4．【答案】B【解析】解：角θ的终边经过点P（4，m），且sinθ=，可得，（m＞0）解得m=3．故选：B．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义的应用，基本知识的考查．5．【答案】B【解析】解：∵E是BB1的中点且AA1=2，AB=BC=1，∴∠AEA1=90°，又在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，∴A1D1⊥AE，∴AE⊥平面A1ED1，故选B【点评】本题考查线面角的求法，根据直线与平面所成角必须是该直线与其在这个平面内的射影所成的锐角，还有两个特殊角，而立体几何中求角的方法有两种，几何法和向量法，几何法的思路是：作、证、指、求，向量法则是建立适当的坐标系，选取合适的向量，求两个向量的夹角．6．【答案】C【解析】解：设C（x，y，z），∵点A（﹣2，1，3）关于点B（1，﹣1，2）的对称点C，∴，解得x=4，y=﹣3，z=1，∴C（4，﹣3，1）．故选：C．7．【答案】A【解析】解：由复数虚部的定义知，i﹣1的虚部是1，故选A．【点评】该题考查复数的基本概念，属基础题．8．【答案】D【解析】解：由=﹣（2x n+1），得+（2x n+1）=，设，以线段P n A、P n D作出图形如图，则，∴，∴，∵，∴，则，即x n+1=2x n+1，∴x n+1+1=2（x n+1），则{x n+1}构成以2为首项，以2为公比的等比数列，∴x5+1=2•24=32，则x5=31．故选：D．【点评】本题考查了平面向量的三角形法则，考查了数学转化思想方法，训练了利用构造法构造等比数列，考查了计算能力，属难题．9．【答案】B解析：解：487=（49﹣1）7=﹣+…+﹣1，∵487被7除的余数为a（0≤a＜7），∴a=6，∴展开式的通项为T r+1=，令6﹣3r=﹣3，可得r=3，∴展开式中x﹣3的系数为=﹣4320，故选：B．.10．【答案】A【解析】解：∵x∈（0，1）时，f（x）=x+1，f（x）是以2为周期的偶函数，∴x∈（1，2），（x﹣2）∈（﹣1，0），f（x）=f（x﹣2）=f（2﹣x）=2﹣x+1=3﹣x，故选A．11．【答案】B【解析】解：假设过点P且平行于l的直线有两条m与n∴m∥l且n∥l由平行公理4得m∥n这与两条直线m与n相交与点P相矛盾又因为点P在平面内所以点P且平行于l的直线有一条且在平面内所以假设错误．故选B．【点评】反证法一般用于问题的已知比较简单或命题不易证明的命题的证明，此类题目属于难度较高的题型．12．【答案】C二、填空题13．【答案】3，﹣17．【解析】解：由f ′（x ）=3x 2﹣3=0，得x=±1， 当x ＜﹣1时，f ′（x ）＞0， 当﹣1＜x ＜1时，f ′（x ）＜0， 当x ＞1时，f ′（x ）＞0，故f （x ）的极小值、极大值分别为f （﹣1）=3，f （1）=﹣1， 而f （﹣3）=﹣17，f （0）=1，故函数f （x ）=x 3﹣3x+1在[﹣3，0]上的最大值、最小值分别是3、﹣17．14．【答案】 充分不必要【解析】解：∵复数z=（a ﹣2i ）（1+i ）=a+2+（a ﹣2）i ， ∴在复平面内对应的点M 的坐标是（a+2，a ﹣2）， 若点在第四象限则a+2＞0，a ﹣2＜0， ∴﹣2＜a ＜2，∴“a=1”是“点M 在第四象限”的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要．【点评】本题考查条件问题，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查各个象限的点的坐标特点，本题是一个基础题．15．【答案】2- 【解析】1111]试题分析：(4)()T 4f x f x +=⇒=,所以(7)(1)(1) 2.f f f =-=-=- 考点：利用函数性质求值16．【答案】 ．【解析】解：∵曲线y=x 2和直线：x=1的交点为（1，1），和直线y=的一个交点为（，）∴曲线y=x 2和直线x=0，x=1，y= 所围成的图形的面积为S=（）dx+dx=（x﹣x 3）+（x 3﹣x ）=．故答案为：．17．【答案】 0.3 ．【解析】离散型随机变量的期望与方差． 【专题】计算题；概率与统计．【分析】确定正态分布曲线的对称轴为x=500，根据对称性，可得P （550＜ξ＜600）．【解答】解：∵某校高三学生成绩（总分750分）ξ近似服从正态分布，平均成绩为500分，∴正态分布曲线的对称轴为x=500， ∵P （400＜ξ＜450）=0.3， ∴根据对称性，可得P （550＜ξ＜600）=0.3．故答案为：0.3．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，正确运用正态分布曲线的对称性是关键． 18．【答案】31λ-<<【解析】由2211111123(1)2222n n n S n n--=+⨯+⨯++-⋅+，211112222nS =⨯+⨯+…111(1)22n n n n -+-⋅+⋅，两式相减，得2111111212222222n n n n n S n -+=++++-⋅=-，所以1242n n n S -+=-，于是由不等式12|142n λ-+<-｜对一切N n *∈恒成立，得|12λ+<｜，解得31λ-<<． 三、解答题19．【答案】【解析】解：（Ⅰ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人， 所以该考场有10÷0.25=40人，所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为： 40×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=40×0.075=3人；（Ⅱ）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为：×=2.9；（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A ，又恰有两人的两科成绩等级均为A ， 所以还有2人只有一个科目得分为A ，设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A 的同学，则在至少一科成绩等级为A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为：Ω={{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}}，一共有6个基本事件．设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A ”为事件B ，所以事件B 中包含的基本事件有1个，则P（B）=．【点评】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布直方图、平均数及古典概型等内容．20．【答案】【解析】解：设点A（3，﹣2）关于直线l：2x﹣y﹣1=0的对称点A′的坐标为（m，n），则线段A′A的中点B（，），由题意得B在直线l：2x﹣y﹣1=0上，故2×﹣﹣1=0 ①．再由线段A′A和直线l垂直，斜率之积等于﹣1得×=﹣1 ②，解①②做成的方程组可得：m=﹣，n=，故点A′的坐标为（﹣，）．【点评】本题考查求一个点关于直线的对称点的坐标的方法，注意利用垂直及中点在轴上两个条件．21．【答案】【解析】（1）证明：由函数f（x）的图象关于直线x=1对称，有f（x+1）=f（1﹣x），即有f（﹣x）=f（x+2）．又函数f（x）是定义在R上的奇函数，有f（﹣x）=﹣f（x）．故f（x+2）=﹣f（x）．从而f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）．即f（x）是周期为4的周期函数．（2）解：由函数f（x）是定义在R上的奇函数，有f（0）=0．x∈[﹣1，0）时，﹣x∈（0，1]，．故x∈[﹣1，0]时，．x∈[﹣5，﹣4]时，x+4∈[﹣1，0]，．从而，x∈[﹣5，﹣4]时，函数f（x）的解析式为．【点评】本题考查函数奇偶性的性质，函数解析式的求解常用的方法，本题解题的关键是根据函数是一个奇函数对函数式进行整理，本题是一个中档题目．22．【答案】【解析】【分析】（Ⅰ）连接FO，则OF为△BDE的中位线，从而DE∥OF，由此能证明DE∥平面ACF．（Ⅱ）推导出BD⊥AC，EC⊥BD，从而BD⊥平面ACE，由此能证明BD⊥AE．【解答】证明：（Ⅰ）连接FO，∵底面ABCD是正方形，且O为对角线AC和BD交点，∴O为BD的中点，又∵F为BE中点，∴OF为△BDE的中位线，即DE∥OF，又OF⊂平面ACF，DE⊄平面ACF，∴DE∥平面ACF．（Ⅱ）∵底面ABCD为正方形，∴BD⊥AC，∵EC⊥平面ABCD，∴EC⊥BD，∴BD⊥平面ACE，∴BD⊥AE．23．【答案】【解析】解：（I）a=﹣2时，f（x）=xlnx﹣2x，则f′（x）=lnx﹣1．令f′（x）=0得x=e，当0＜x＜e时，f′（x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调递减区间是（0，e），单调递增区间为（e，+∞）．（II）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，则xlnx+ax＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，即k（x﹣1）＜xlnx+ax﹣ax+x恒成立，又x﹣1＞0，则k＜对任意x∈（1，+∞）恒成立，设h（x）=，则h′（x）=．设m（x）=x﹣lnx﹣2，则m′（x）=1﹣，∵x∈（1，+∞），∴m′（x）＞0，则m（x）在（1，+∞）上是增函数．∵m（1）=﹣1＜0，m（2）=﹣ln2＜0，m（3）=1﹣ln3＜0，m（4）=2﹣ln4＞0，∴存在x0∈（3，4），使得m（x0）=0，当x∈（1，x0）时，m（x）＜0，即h′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，m（x）＞0，h′（x）＞0，∴h（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，∴h（x）的最小值h min（x）=h（x0）=．∵m（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，∴lnx0=x0﹣2．∴h（x0）==x0．∴k＜h min（x）=x0．∵3＜x0＜4，∴k≤3．∴k的值为1，2，3．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数的最值，函数恒成立问题，构造函数求出h（x）的最小值是解题关键，属于难题．24．【答案】【解析】解：（Ⅰ）f（x）=ax++b≥2+b=b+2当且仅当ax=1（x=）时，f（x）的最小值为b+2（Ⅱ）由题意，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=，可得：f（1）=，∴a++b=①f'（x）=a﹣，∴f′（1）=a﹣=②由①②得：a=2，b=﹣1。
2017-2018学年四川省雅安中学高三数学上12月月考(理)试题(附答案)
雅安中学2015级高三上学期月考试题数学（理工类）（考试用时：120分 全卷满分：150分 ）第Ι卷（选择题部分，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若i y i i x 1)2(-=+(),x y ∈R ,则y x +=A ．1-B ．1C ．3D ．3-2．设数列{}n a 的前n 项和n S ，若2222312222244123n a a a a n n++++=-…，且0n a ≥，则100S 等于 （ ）A ．5048B ．5050C ．10098D ．10100 3.与圆x 2＋(y －2)2＝2相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有( )A.2条B.3条C.4条D.6条4．小孔家有爷爷、奶奶、姥爷、姥姥、爸爸、妈妈，包括他共7人，一天爸爸从果园里摘了7个大小不同的梨，给家里每人一个，小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿最大的一个，则梨子的不同分法共有（ ）A ．96种B ．120种C ．480种D ．720种5.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18 B.17 C.16D.156. 已知随机变量x 服从正态分布N （3，σ2），且P （x ≤4）=0.84，则P （2＜x ＜4）=（ ） A ．0.84B ．0.68C ．0.32D ．0.167．△ABC 中，a ．b ．c 分别为∠A ．∠B ．∠C 的对边，如果a ．b ．c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为，那么b 等于（ ）A ．B ．C ．D ．8.如图，等腰梯形ABCD 中，4, 2.AB BC CD ===若,E F 分别是,BC AB 上的点，且满足BE AFBC ABλ==，当0AE DF ⋅= 时，则有（ ）A.11,84λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ B.13,48λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．31,82λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ D ．15,28λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭9．已知函数()=+xf x e x ，()ln =+g x x x ，()=h x x 的零点依次为a ，b ，c ，则（ ）A ．<<a b cB ． <<c b aC ．<<c a bD ．<<b a c10.如图所示程序框图输出的结果是720S =，则判断框内应填的条件是（ ）A ．7i >B ．7i ≤C ．9i >D ．9i ≤11．如果定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +≥+，则称()f x 为“H 函数”．给出下列函数：①31y x x =-++；②()32s i nc o s y x x x =--；③1x y e =+；④()()()l n 101xx f x x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，其中“H 函数”的个数有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个12.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为12,F F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形．若110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，则12e e ⋅的取值范围是（ ）A ．10,5⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,53⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
四川省雅安中学2017-2018学年高二上学期第一次月考数
雅安中学2017—2018学年高二（上）10月月考数 学 试 题（文科）命题人：李茂林 审题人：鲜继裕本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将答题卡收回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，每个小题给出的四个选项中，只有唯一个选项符合题目要求，请将正确答案的序号填涂在答题卡上。
）1、圆036422=--++y x y x 的圆心和半径分别为（ ）A.（4，-6）,16 错误！未找到引用源。
B.（2，-3），4C.（-2，3），4 错误！未找到引用源。
D.（2，-3），162、直线34140x y +-=与圆()()22114x y -++=的位置关系是（ ）A ．相交且直线过圆心B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相离3、若直线和直线平行，则的值为（ ）A. 1B. -2C. 1或-2D.4、过点A(1，2)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( )A ．x －2y ＋4＝0B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y ＋3＝0D ．x －2y ＋5＝05、过点（3，﹣4）且在坐标轴上的截距相等的直线方程为（ ）A ．x+y+1=0B ．4x ﹣3y=0C ．x+y+1=0或4x ﹣3y=0D ．4x+3y=0或x+y+1=06、点A (1,3)关于直线y ＝kx ＋b 对称的点是B (－2,1)，则直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距是( )A ．－32B ．54C ．－65D ．567、一条光线从点M （5，3）射出，与x 轴的正方向成α角，遇x 轴后反射，若3tan =α，则反射光线所在的直线方程为（ ）A.123-=x yB.123--=x yC.123+=x yD.123+-=x y8、已知圆心(a ，b )(a <0，b <0)在直线y ＝2x ＋1上的圆，其圆心到x 轴的距离恰好等于圆的半径，在y 轴上截得的弦长为( )A ．(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝9B ．(x ＋3)2＋(y ＋5)2＝25 C ．(x ＋6)2＋73y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2 ＝499 D.23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2＋73y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2 ＝49990y +-=截圆224x y +=所得的劣弧所对圆心角为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒10、直线)3x (k y -=与圆()()22324x y -+-=相交于M,N 两点，若MN ≥k的取值范围是（ ） A.3-≤k B.33≥-≤k k 或 C.3≤k D.33≤≤-k11、已知平面内两点()()1,2,3,1A B 到直线l ，则满足条件的直线l 的条数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 412、已知正三角形ABC 的边长为在平面ABC 中，动点,P M 满足1,AP M =是PC 的中点，则线段BM 的最小值为（ ）A.52 B. 2 C. 1 D. 3第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本题共4个小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡上。
四川省雅安中学高二数学上学期第一次月考试题
四川省雅安中学2016-2017学年高二数学上学期第一次月考试题第I 卷（选择题）一、选择题（每题5分） 1．直线x=1的倾斜角是（ ） A ．0 B ．C ．D ．不存在2．在空间直角坐标系中，点M 的坐标是(4,7,6)，则点M 关于y 轴的对称点坐标为（ ） A ．(4,0,6) B ．(4,7,6)-- C ．(4,0,6)-- D ．(4,7,0)- 3．下列说法的正确的是A ．经过定点()P x y 000，的直线都可以用方程()y y k x x -=-00表示 B ．经过定点()b A ，0的直线都可以用方程y kx b =+表示 C ．不经过原点的直线都可以用方程x a yb+=1表示 D ．经过任意两个不同的点()()222111y x P y x P ，、，的直线都可以用方程()()()()y y x x x x y y --=--121121来表示4．圆221:2880C x y x y +++-=与圆222:4480C x y x y +-+-=的位置关系是（）A ．相交B ．外切C ．内切D ．相离5．圆5)2(22=++y x 关于原点)0,0(O 对称的圆的方程为（ ） A ．5)2()2(22=-++y x B ．5)2(22=-+y x C ．5)2(22=+-y x D ．5)2(22=++y x6．已知直线l 1：ax ﹣y+2a=0，l 2：（2a ﹣1）x+ay+a=0互相垂直，则a 的值是（ ）A ．0B ．1C ．0或1D ．0或﹣17．阅读右面的流程图，若输入的a 、b 、c 分别是21、32、75，则输出的a 、b 、c 分别是( )A ．75、21、32B ．21、32、75C ．32、21、75D ．75、32、218．已知两点A （3，2）和B （﹣1，4）到直线mx+y+3=0距离相等，则m 值为（ ） A ．B ．C ．D ．9．若两平行直线1l ：02=+-m y x )0(>m 与2l ：062=-+ny x 之间的距离是5，则=+n m （ ）A ．0B ．1C ．2-D ．1-10．若圆()()()222510x y r r -+-=>上有且仅有两点到直线4320x y ++=的距离等于1, 则实数r 的取值范围为（ ）A ．[]4,6B ．()4,6C ．[]5,7D ．()5,7 11．如图所示，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．．6 C ．．12．若直线ax ﹣by+2=0（a ＞0，b ＞0）被圆x 2+y 2+2x ﹣4y+1=0截得的弦长为4，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．+D ．+2二、填空题（每题5分）13．如果对任何实数k ，直线（3＋k ）x ＋（1-2k ）y ＋1＋5k=0都过一个定点A ，那么点A 的坐标是 ．14．方程220x y x y m +-++=表示一个圆，则m 的取值范围是______.15．已知两圆的方程分别为2240x y x +-=和2240x y y +-=，则这两圆公共弦的长等于__________.16．定义点00(,)P x y 到直线22:0(0)l Ax By C A B ++=+≠的有向距离为d =.已知点12,P P 到直线l 的有向距离分别是12,d d ，给出以下命题： ①若120d d -=，则直线12PP 与直线l 平行； ②若120d d +=，则直线12PP 与直线l 平行；③若120d d +=，则直线12PP 与直线l 垂直；④若120d d ⋅<，则直线12PP 与直线l 相交；其中正确命题的序号是 .三、解答题（17题10分，18-22题每题12分）17．函数⎪⎩⎪⎨⎧<+=>+-=0,30,00,1x x x x x y 写出求该函数值的算法及程序框图.18．求满足下列条件的直线方程（1）过点(1,3)P -且平行于直线032=+-y x （2）点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程19．如图，在△ABC 中，BC 边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0,∠A 的平分线所在的直线方程为y=0, 若点B 的坐标为（1，2），求（1）点A 和点C 的坐标；（2）求△ABC 的面积20．（本小题满分12分）直线l 的方程为（a ＋1）x ＋y ＋2－a ＝0（a∈R）． （1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值； （2）若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．21．已知圆C ：222430x y x y ++-+=．（1）若不经过坐标原点的直线l 与圆C 相切，且直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程； （2）设点P 在圆C 上，求点P 到直线50x y --=距离的最大值与最小值．22已知以点C 为圆心的圆经过点(1,0)A -和(3,4)B ，且圆心在直线0153=-+y x 上. （1）求圆C 的方程；（2）设点P 在圆C 上，求PAB ∆的面积的最大值.参考答案1．C 【解析】试题分析：由于直线x=1与x 轴垂直，即可得出直线的倾斜角． 解：∵直线x=1与x 轴垂直，因此倾斜角是．故选：C ．考点：直线的倾斜角． 2．B 【解析】试题分析：：∵在空间直角坐标系中，点M （x ，y ，z ）关于y 轴的对称点的坐标为：（-x ，y ，-z ）， ∴点M （4，7，6）关于y 轴的对称点的坐标为：Q （-4，7，-6）． 考点：空间点的坐标 3．D 【解析】试题分析：A 项错误，直线()y y k x x -=-00只能表示过点()P x y 000，且斜率存在的直线；B 项错误，直线y kx b =+只能表示过点()b A ，0斜率存在的直线；C 项错误，直线x a yb+=1只能表示在两轴上截距都存在且不为零的直线；D 项正确，故选D 考点：直线方程 4．D 【解析】试题分析：由题是给两圆标准方程为：()()()()222212:1425,:2216C x y C x y +++=-++=，显然两圆相离，故选D. 考点：圆与圆的位置关系 5．C 【解析】试题分析：圆5)2(22=++y x 的圆心为)0,2(-关于原点)0,0(O 的对称点为)0,2(，圆5)2(22=++y x 关于原点)0,0(O 对称的圆的方程为5)2(22=+-y x ，选C.考点：对称问题. 6．C 【解析】试题分析：利用直线垂直的性质求解．解：∵直线l 1：ax ﹣y+2a=0，l 2：（2a ﹣1）x+ay+a=0互相垂直， ∴a （2a ﹣1）﹣a=0， 解得a=0或a=1． 故选：C ．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系． 7．A 【解析】 8．B 【解析】试题分析：由两点A （3，2）和B （﹣1，4）到直线mx+y+3=0距离相等，知，由此能求出m ．解：∵两点A （3，2）和B （﹣1，4）到直线mx+y+3=0距离相等， ∴，解得m=，或m=﹣6． 故选B ．考点：点到直线的距离公式． 9．C 【解析】试题分析：因为12//l l ，则122n-=，解得4n =-，即直线2l ：230x y --=，所以两直线之间的距离为d ==，解得2m =，所以=+n m 2-，故选C ．考点：两条直线的位置关系；两平行线之间的距离． 10．B试题分析：圆心到直线的距离为：4531255d ⨯+⨯+==，当4r =时，有且只有一点到直线4320x y ++=的距离等于1，随着r 的增大，当6r =时，有三个点到直线4320x y ++=的距离等于1，所以46r <<，选B ． 考点：直线与圆的位置关系． 11．A【解析】由题意知点P 关于直线AB 的对称点为D(4,2)，关于y 轴的对称点为C(－2,0)，则光线所经过的路程为|CD|＝A ．12．C 【解析】试题分析：圆即（x+1）2+（y ﹣2）2=4，表示以M （﹣1，2）为圆心，以2为半径的圆，由题意可得圆心在直线ax ﹣by+2=0上，得到a+2b=2，故=+++1，利用基本不等式求得式子的最小值．解：圆x 2+y 2+2x ﹣4y+1=0 即 （x+1）2+（y ﹣2）2=4，表示以M （﹣1，2）为圆心，以2为半径的圆， 由题意可得 圆心在直线ax ﹣by+2=0（a ＞0，b ＞0）上，故﹣1a ﹣2b+2=0，即 a+2b=2，∴=+=+++1≥+2=，当且仅当 时，等号成立，故选 C ．考点：直线与圆相交的性质；基本不等式． 13．()1,2- 【解析】方法一：一般取任意两个k 值，解二元一次方程就可以了.但是取合适的k 值会使计算简化，一般使一个未知数的系数为0.取3k =-，方程就是7140y -+=，2y =； 取0.5k =，方程就是3.5 3.50x +=，1x =-； 所以A 点的坐标是1,2-（）； 将A 点坐标代入方程得：()()3212150k k k -++-++=，所以直线恒经过A 点； 方法二：是将k 当做未知数，将方程写成()25310x y k x y -++++=， 对于任意k 值，等式成立，所以25=0x y -+，31=0x y ++； 解得12x =-=，y ， 所以A 点的坐标是1,2-（）. 故答案为：()1,2-. 考点：直线过定点问题. 14．1(,)2-∞ 【解析】试题分析：由题意得，使得方程220x y x y m +-++=表示一个圆，则22224(1)140D E F m +-=-+->，解得12m <． 考点：圆的一般方程．15．【解析】试题分析：这两个圆的圆心分别为(2,0),(0,2)，半径都是2，两圆方程相减可得0x y -=，这是公共弦所在直线方程，d ==l ==考点：两圆的位置关系．【名师点睛】1．两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到． 2．处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形．16．④【解析】特别地：当120d d ==时，命题①②③均不正确，当120d d ⋅<时，12,P P 在直线的异侧，故命题④正确 17． 解:算法如下： S1 输入x ；S2 如果x ＞0，则使y=-x+1，并转到S4，否则执行S3； S3 如果x=0,则使y=0,否则y=x+3； S4 输出y. 程序框图如图：【解析】该函数是分段函数，当x 取不同范围内的值时，函数表达式不同，因此当给出一个自变量x 的值时，必须先判断x 的范围，然后确定利用哪一段的解析式求对应的函数值.因为解析式分了三段，所以判断框需要两个，即进行两次判断. 18．（1）072=+-y x ；（2）0524=--y x . 【解析】试题分析：（1）根据两直线平行斜率相等，可将直线设为02=+-c y x ，再将点代入求解c ，得到直线方程；（2）先求线段AB 的中点坐标，再求直线AB 的斜率，根据两直线垂直，若存在斜率，且斜率不等于0，则斜率乘积为-1，得到直线的斜率，根据中点和斜率求解直线方程. 试题解析：（1）设直线方程为02=+-c y x ，把)3,1(-P 代入直线方程得7=c所以直线方程为072=+-y x（2）），（），，（点1321B A 的中点坐标是（2，1.5），直线AB 的斜率是2131121-=--=k 所以所求直线方程为)2(25.1-=-x y ，整理得0524=--y x 考点：直线方程 （Ⅱ）△ABC 的面积．19．（Ⅰ）A （－1，0）， C （5，－6）（Ⅱ）12 【解析】试题分析：（Ⅰ）先求出A 点的坐标，求出AB 的斜率，得到直线AC 的方程，从而求出B 点的坐标；（Ⅱ）求出|BC|的长，再求出A 到BC 的距离，从而求出三角形的面积即可试题解析：（1）解：由⎩⎨⎧==+-.0,012y y x 得顶点A （－1，0）．又AB 的斜率 k AB =)1(102---=1．∵ x 轴是∠A 的平分线，故AC 的斜率为－1，AC 所在直线的方程为y=－（x ＋1） ① 已知BC 上的高所在直线的方程为x －2y ＋1=0，故BC 的斜率为－2， BC 所在的直线方程为y －2=－2（x －1） ② 解①，②得顶点C 的坐标为（5，－6）．（2）BC ==又直线BC 的方程是240x y +-=A 到直线的距离d ==所以△ABC 的面积111222BC d =⋅=⨯= 考点：1．点到直线的距离公式；2．待定系数法求直线方程 20．（1） 0或2 （2） 1a ≤- 【解析】试题分析：（1）直线中令0x =求得在y 轴上的截距，令0y =求得在x 轴上的截距，截距相等即可建立关于a 的方程，从而得到a 的值；（2）当直线不过第二象限需满足斜率为非负数且在y 轴上的截距小于等于零，依次得到a 的不等式，求解其范围试题解析：（1）当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，当然相等∴a＝2，方程即3x ＋y ＝0；若a≠2，则21a a -+＝a －2，即a ＋1＝1 ∴a＝0 即方程为x ＋y ＋2＝0，∴a 的值为0或2．（2）∵过原点时，y ＝－3x 经过第二象限不合题意，∴直线不过原点，故1020a a +=⎧⎨-<⎩（8分）或20120a a a -⎧>⎪+⎨⎪-<⎩ ∴1a ≤-．（12分）考点：1．直线的截距；2．直线方程21．（1）10x y ++=或30x y +-=；（2）【解析】试题分析：（1）圆C 的方程可化为22(1)(2)2x y ++-= ⇒圆心的坐标为(1,2)-，再设直线l 的方程为 0x y m ++=⇒=⇒1m =或3m =-⇒ l 的方程为10x y ++=或30x y +-=；（2）由圆心(1,2)-到直线50x y --==⇒P到已知直线距离的最大值与最小值依次分别为试题解析：（1）圆C 的方程可化为22(1)(2)2x y ++-=，即圆心的坐标为(1,2)-因为直线l 在两坐标轴上的截距相等且不经过坐标原点，所以可设直线l 的方程为 0x y m ++=；于=1m =或3m =-，因此直线l 的方程为10x y ++=或30x y +-=（2）因为圆心(1,2)-到直线50x y --==所以点P 到直线50x y --=距离的最大值与最小值依次分别为考点：1、圆的标准方程；2、点到直线的距离；3、直线与圆的位置关系.【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、点到直线的距离和直线与圆的位置关系，涉及方程思想和化归思想，综合性较强，属于中等难题. 第一小题先将圆C 的方程化为标准方程，求出圆心和半径，再利用点到直线的距离公式求得1m =或3m =-，进而求出直线方程；第二小题由圆心(1,2)-到直线50x y --==P 到已知直线距离的最大值与最小值．22．（1）40)6()3(22=-++y x ；（2）16+【解析】试题分析：（1）根据题意，得出圆心C 为AB 的垂直平分线和直线0153=-+y x 的交点，进而求解圆心坐标和半径，即可得出圆C 的方程；（2）由（1）中得出AB ，圆心到AB 的距离为d ，得出P 到AB 距离的最大值，得到PAB ∆的面积的最大值.试题解析：（1）依题意所求圆的圆心C 为AB 的垂直平分线和直线0153=-+y x 的交点， AB 中点为)2,1(斜率为1，AB ∴垂直平分线方程为)1(2-=-x y ，即3+-=x y ． 联立⎩⎨⎧=++-=1533y x x y 解得⎩⎨⎧=-=63y x 即圆心)6,3(-，半径1026422=+=r ， ∴所求圆方程为40)6()3(22=-++y x ．（2）244422=+=AB ，圆心到AB 的距离为24=d ，P 到AB 距离的最大值为10224+=+r d ，所以PAB ∆面积的最大值为5816)10224(2421+=+⨯⨯ 考点：圆的标准方程；圆的最值问题．【方法点晴】本题主要考查了圆的标准方程的求解、与圆有关的最值问题，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、两点间的距离公式、三角形的面积公式和点与圆的最值问题等知识点的考查，其中把三角形面积的最值转化为圆的最值是解答的关键，着重考查了学生的转化与化归思想和方程思想，属于中档试题．。
2017-2018学年四川省雅安市高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年四川省雅安市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）某单位有职工52人，现将所有职工随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号，32号，45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是（）A．19B．20C．18D．212．（5分）双曲线＝1的渐近线方程是（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 3．（5分）点（1，1，1）关于z轴的对称点为（）A．（﹣1，﹣1，1）B．（1，﹣1，﹣1）C．（﹣1，1，﹣1）D．（﹣1，﹣1，﹣1）4．（5分）如图是某次比赛上七位评委为某选手打出的分数的茎叶图，若去掉一个最高分和最低分，则所剩数据的平均数为（）A．84B．85C．86D．875．（5分）小吴一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小吴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（）A．1%B．2%C．3%D．5%6．（5分）阅读如图所示程序框图，运行相应的程序，输出s的值等于（）A．﹣3B．﹣10C．0D．﹣27．（5分）已知圆（x+2）2+y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N（2，0），线段AN 的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线8．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣9．（5分）在半径为2的圆内的一条直径上任取一点，过这个点作垂直该直径的弦，则弦长超过圆内接正三角形边长的概率是（）A．B．C．D．10．（5分）点A是抛物线C1：y2＝2px（p＞0），与双曲线C2：（a＞0，b＞0）的一条渐近线的一个交点，若点A到抛物线C1的焦点的距离为P，则双曲线C2的离心率等于（）A．B．C．D．11．（5分）已知直线l1：4x﹣3y+6＝0和直线l2：x＝﹣1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．B．2C．D．312．（5分）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88，若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的数字特征（众数、中位数、平均数、方差）对应相同的是．14．（5分）已知袋中装有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概为．15．（5分）不论k为何实数，直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）＝0恒通过一个定点，这个定点的坐标是．16．（5分）已知A（1，2），B（﹣1，2），动点P 满足，若双曲线＝1（a ＞0，b＞0）的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知圆C与直线l：4x﹣3y+6＝0相切于点A（3，6），且经过点B（5，2），求圆C的方程．18．（12分）已知抛物线C：y2＝4x与直线y＝2x﹣4交于A，B两点．（1）求弦AB的长度；（2）若点P在抛物线C上，且△ABP的面积为12，求点P的坐标．19．（12分）已知集合Z＝{（x，y）|x∈[0，2]，y∈[﹣1，1]}．（1）若x，y∈Z，求x+y≥0的概率；（2）若x，y∈R，求x+y≥0的概率．20．（12分）某市电视台为了提高收视率而举办有奖问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n人，回答问题统计结果及频率分布直方图如图表所示．（1）分别求出a，b，x，y的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．21．（12分）已知椭圆E：的左、右焦点分别为F1、F2，离心率，P为椭圆E上的任意一点（不含长轴端点），且△PF1F2面积的最大值为1．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）已知直x﹣y+m＝0与椭圆E交于不同的两点A，B，且线AB的中点不在圆内，求m的取值范围．22．（12分）已知动圆M过定点P（0，m）（m＞0），且与定直线l1：y＝﹣m相切，动圆圆心M的轨迹方程为C，直线l2过点P交曲线C于A，B两点．（1）若l2交x轴于点S，求+的取值范围；（2）若l2的倾斜角为30°，在l1上是否存在点E使△ABE为正三角形？若能，求点E 的坐标；若不能，说明理由．2017-2018学年四川省雅安市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：设样本中还有一个职工的编号是x号，则用系统抽样抽出的四个职工的号码从小到大排列：6号、x号、32号、45号，它们构成等差数列，∴6+45＝x+32，x＝6+45﹣32＝19因此，另一学生编号为19．故选：A．2．【解答】解：双曲线的渐近线方程是，即．故选：C．3．【解答】解：点（1，1，1）关于z轴则竖坐标不变，横坐标和纵坐标相反，即对称点的坐标为（﹣1，﹣1，1）．故选：A．4．【解答】解：由已知的茎叶图可得七位评委为某参赛选手打出的分数为：79，84，84，86，84，87，93，去掉一个最高分93和一个最低分79后，所剩数据的平均数＝＝85．故选：B．5．【解答】解：由图1所示，食品开支占总开支的30%，由图2所示，鸡蛋开支占食品开支的＝，∴鸡蛋开支占总开支的百分比为30%×＝3%．故选：C．6．【解答】解：由程序框图得，程序第一次运行k＝0+1＝1＜4，执行s＝2×1﹣1＝1；第二次运行k＝1+1＝2＜4，执行s＝2×1﹣2＝0；第三次运行k＝2+1＝3＜4，执行s＝2×0﹣3＝﹣3；第四次运行k＝3+1＝4，不满足条件k＜4，程序运行终止，输出s＝﹣3．故选：A．7．【解答】解：∵|P A|＝|PN|，∴|PM|+|PN|＝|PM|+|P A|＝|MA|＝6＞|MN|．故动点P的轨迹是椭圆．故选：B．8．【解答】解：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），故可设反射光线所在直线的方程为：y+3＝k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3＝0．∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）2＝1相切，∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d＝＝1，化为24k2+50k+24＝0，∴k＝或﹣．故选：D．9．【解答】解：如图示：圆的半径为2，设圆心为O，AB为圆的一条直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为M，若CD为圆内接正三角形的一条边，则O到CD的距离为1，设EF为与CD平行且到圆心O距离为1的弦，交直径AB于点N，所以当过AB上的点且垂直于AB的弦的长度超过CD时，该点在线段MN上移动，所以所求概率P＝，故选：C．10．【解答】解：取双曲线的其中一条渐近线：y＝x，联立⇒；故A（，）．∵点A到抛物线C1的准线的距离为p，∴+＝p；∴＝．∴双曲线C2的离心率e＝＝＝．故选：A．11．【解答】解：设抛物线上的一点P的坐标为（a2，2a），则P到直线l2：x＝﹣1的距离d2＝a2+1；P到直线l1：4x﹣3y+6＝0的距离d1＝则d1+d2＝a2+1＝当a＝时，P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2故选：B．12．【解答】解：设P（m，n），＝（﹣c﹣m，﹣n）•（c﹣m，﹣n）＝m2﹣c2+n2，∴m2+n2＝2c2，n2＝2c2﹣m2①．把P（m，n）代入椭圆得b2m2+a2n2＝a2b2②，把①代入②得m2＝≥0，∴a2b2≤2a2c2，b2≤2c2，a2﹣c2≤2c2，∴≥．又m2≤a2，∴≤a2，∴≤0，故a2﹣2c2≥0，∴≤．综上，≤≤，故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：B样本数据是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的数字特征（众数、中位数、平均数、方差）对应相同的是方差．故答案为：方差．14．【解答】解：设5个球中白球有x个，则黑球有5﹣x个．则由题意可得1﹣＝，解得x＝3．故得到的都是白球得概率等于＝，故答案为．15．【解答】解：直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）＝0即k（2x﹣y﹣1）+（﹣x﹣3y+11）＝0，根据k的任意性可得，解得，∴不论k取什么实数时，直线（2k﹣1）x+（k+3）y﹣（k﹣11）＝0都经过一个定点（2，3）．故答案为：（2，3）．16．【解答】解：设P（x，y），由于点A（1，2）、B（﹣1，2），动点P满足，则（x﹣1，y﹣2）•（x+1）（y﹣2）＝0，即（x﹣1）（x+1）+（y﹣2）2＝0，即有x2+（y﹣2）2＝1，设双曲线﹣＝1的一条渐近线为y＝x，由于这条渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则d＝＞1，即有3a2＞b2，由于b2＝c2﹣a2，则c2＜4a2，即c＜2a，则e＝＜2，由于e＞1，则有1＜e＜2．故答案为：（1，2）．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：设圆的圆心为C（a，b），半径为r，则圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2．∵直线l：4x﹣3y+6＝0相切于点A（3，6），∴点A（3，6）在圆上，且AC⊥l，可得（3﹣a）2+（6﹣b）2＝r2，①由直线l的斜率为，可得＝﹣1，②又∵点B（5，2）在圆上，可得（5﹣a）2+（2﹣b）2＝r2，③∴联立①②③，解得a＝5、b＝、r＝．因此所求圆的方程为（x﹣5）2+（y﹣）2＝．18．【解答】解：（1）∵抛物线C：y2＝4x与直线y＝2x﹣4交于A，B两点．把y＝2x﹣4代入抛物线C：y2＝4x，得y2﹣2y﹣8＝0，解得y1＝﹣2，y2＝4，∴A（1，﹣2），B（4，4），∴弦AB的长度|AB|＝＝3．（2）设P（，y），点P到直线AB的距离d＝，∵△ABP的面积为12，∴S△ABP＝＝＝12，解得|y2﹣2y﹣8|＝16，解得y＝﹣4或y＝6．∴P（4，﹣4）或P（9，6）．19．【解答】解：（1）设“x+y≥0，x，y∈Z”为事件A，x，y∈Z，x∈[0，2]，即x＝0，1，2；y∈[﹣1，1]，即y＝﹣1，0，1．则基本事件有：（0，﹣1），（0，0），（0，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1），（2，﹣1），（2，0），（2，1）共9个．其中满足“x+y≥0”的基本事件有8个，∴P（A）＝．故x，y∈Z，x+y≥0的概率为．（2）设“x+y≥0，x，y∈R”为事件B，∵x∈[0，2]，y∈[﹣1，1]，则基本事件为如图四边形ABCD区域，事件B包括的区域为其中的阴影部分．基本事件如图四边形ABCD区域S＝4，事件B包括的区域如阴影部分S′＝S﹣＝∴P（B）＝＝．20．【解答】解：（1）第1组人数5÷0.5＝10，所以n＝10÷0.1＝100；第2组人数100×0.2＝20，所以a＝20×0.9＝18；第3组人数100×0.3＝30，所以x＝27÷30＝0.9；第4组人数100×0.25＝25，所以b＝25×0.36＝9；第5组人数100×0.15＝15，所以y＝3÷15＝0.2．（2）第2，3，4组回答正确的人的比为18：27：9＝2：3：1，所以第2，3，4组每组应依次抽取2人，3人，1人．（3）记抽取的6人中，第2组的记为a1，a2，第3组的记为b1，b2，b3，第4组的记为c，则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），（b1，b2），（b1，b3），（b1，c），（b2，b3），（b2，c），（b3，c），其中第2组至少有1人的情况有9种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），故所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为p＝．21．【解答】解：（Ⅰ）由，得，又a2＝b2+c2，且，联立解得：，c＝1．∴椭圆的标准方程为；（Ⅱ）联立，消去y整理得：3x2+4mx+2m2﹣2＝0．则△＝16m2﹣12（2m2﹣2）＝8（﹣m2+3）＞0，解得．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，即AB的中点为（）．又AB的中点不在圆内，∴，解得：m≤﹣1或m≥1．综上可知，或1．22．【解答】解：（1）依题意，曲线C是以点P为焦点，直线l1为准线的抛物线，所以曲线C的方程为x2＝4my，设l2方程为y＝kx+m，代入x2＝4my由消去y得x2﹣4mkx﹣4m2＝0设A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2＝4mk，x1x2＝﹣4m2，则+＝+＞2＝2＝2所以+的取值范围是（2，+∞）（2）解法一：由（1）知l2方程为y＝x+m代入x2＝4my，消去y得：x2﹣mx﹣4m2＝0，x1＝﹣m，x2＝2m，A（﹣m，），B（2m，3m），假设存在点E（x0，﹣m），使△ABE为正三角形，则|BE|＝|AB|且|AE|＝|AB|，∴|AB|＝y1+y2+2m＝m，即（﹣m﹣x0）2+（+m）2＝（m）2，（2m﹣x0）2+（3m+m）2＝（m）2，相减可得x0＝m，若E（m，﹣m），则AE|＝m≠AB（不符，舍去）因此，直线l上不存在点E，使得△ABE是正三角形．解法二：设AB的中点为G，则（m，m）由EG⊥AB，联立EG方程y﹣m＝﹣（x﹣m）与l1：y＝﹣m方程求得E（m，﹣m），由|EG|＝|AB|得m＝0，矛盾因此，直线l上不存在点E，使得△ABE是正三角形．。
四川省雅安中学2017-2018学年高三上学期9月月考数学(理)试题 Word版含解析
2017-2018学年四川省雅安中学高三（上）9月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}2．若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．23．设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1 B．2 C．3 D．54．已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21 B．42 C．63 D．845．设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．126．已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x=2 D．x=﹣27．执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4 B．5 C．6 D．78．过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A．2 B．8 C．4D．109．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144π D．256π10．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C． D．11．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．12．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=．14．若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．15．（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=．16．已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时f（x）=2﹣x给出结论如下：①任意m∈Z，有f（2m）=0；②函数f（x）的值域为[0，+∞）；③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2k，2k﹣1）．其中所有正确结论的序号是三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2014•郑州模拟）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值，并判断当tan（A﹣B）取最大值时△ABC的形状．18．（12分）（2013•烟台一模）如图，某学校组织500名学生体检，按身高（单位：cm）分组：第1组[155，160），第2组[160，165），第3组[165，170），第4组[170，175），第5组[175，180]，得到的频率分布直方图．（1）下表是身高的频数分布表，求正整数m，n的值；（2）现在要从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，第1，2，3组应抽取的人数分别是多少？（3）在（2）的前提下，从这6人中随机抽取2人，求至少有1人在第3组的概率．区间〔155，160〕〔160，165〕〔165，170〕〔170，175〕〔175，180〕人数50 50 m 150 n19．（12分）（2014•黑龙江）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．20．（12分）（2010•湖北）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．21．（12分）（2010•广陵区校级模拟）已知y=f（x）=xlnx．（1）求函数y=f（x）的图象在x=e处的切线方程；（2）设实数a＞0，求函数在[a，2a]上的最大值．（3）证明对一切x∈（0，+∞），都有成立．22．（10分）（2013•普陀区二模）已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log a（x+1），，记F（x）=2f（x）+g（x）（1）求函数F（x）的定义域D及其零点；（2）若关于x的方程F（x）﹣m=0在区间[0，1）内有解，求实数m的取值范围．2015-2016学年四川省雅安中学高三（上）9月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．解答：解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1，2}，故选：D．点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2考点：复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：首先将坐标展开，然后利用复数相等解之．解答：解：因为（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，所以4a+（a2﹣4）i=﹣4i，4a=0，并且a2﹣4=﹣4，所以a=0；故选：B．点评：本题考查了复数的运算以及复数相等的条件，熟记运算法则以及复数相等的条件是关键．3．设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1 B．2 C．3 D．5考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：将等式进行平方，相加即可得到结论．解答：解：∵|+|=，|﹣|=，∴分别平方得+2•+=10，﹣2•+=6，两式相减得4•=10﹣6=4，即•=1，故选：A．点评：本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．4．已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21 B．42 C．63 D．84考点：等比数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．解答：解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴，∴q4+q2+1=7，∴q4+q2﹣6=0，∴q2=2，∴a3+a5+a7==3×（2+4+8）=42．故选：B点评：本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题．5．设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．12考点：函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．解答：解：函数f（x）=，即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==12×=6，则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．故选C．点评：本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．6．已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x=2 D．x=﹣2考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先假设A，B的坐标，根据A，B满足抛物线方程将其代入得到两个关系式，再将两个关系式相减根据直线的斜率和线段AB的中点的纵坐标的值可求出p的值，进而得到准线方程．解答：解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），则有y12=2px1，y22=2px2，两式相减得：（y1﹣y2）（y1+y2）=2p（x1﹣x2），又因为直线的斜率为1，所以=1，所以有y1+y2=2p，又线段AB的中点的纵坐标为2，即y1+y2=4，所以p=2，所以抛物线的准线方程为x=﹣=﹣1．故选B．点评：本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识．7．执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4 B．5 C．6 D．7考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据条件，依次运行程序，即可得到结论．解答：解：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D．点评：本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．8．过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A．2 B．8 C．4D．10考点：两点间的距离公式．专题：计算题；直线与圆．分析：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标，求出D，E，F，令x=0，即可得出结论．解答：解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，∴D=﹣2，E=4，F=﹣20，∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，令x=0，可得y2+4y﹣20=0，∴y=﹣2±2，∴|MN|=4．故选：C．点评：本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键．9．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144π D．256π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．解答：解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，故选C．点评：本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．10．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C． D．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值．解答：解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC 的中点为O，连结ON，，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，∵BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===，在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO===．故选：C．点评：本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用．11．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设M在双曲线﹣=1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．解答：解：设M在双曲线﹣=1的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，则M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得，﹣=1，可得a=b，c==a，即有e==．故选：D．点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得M的坐标是解题的关键．12．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）考点：函数的单调性与导数的关系．专题：创新题型；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．解答：解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．故选：A．点评：本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=．考点：平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：利用向量平行即共线的条件，得到向量λ+与+2之间的关系，利用向量相等解答．解答：解：因为向量，不平行，向量λ+与+2平行，所以λ+=μ（+2），所以，解得；故答案为：．点评：本题考查了向量关系的充要条件：如果两个非0向量共线，那么存在唯一的参数λ，使得14．若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．解答：解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，由得D（1，），所以z=x+y的最大值为1+；故答案为：．点评：本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．15．（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=3．考点：二项式定理的应用．专题：计算题；二项式定理．分析：给展开式中的x分别赋值1，﹣1，可得两个等式，两式相减，再除以2得到答案．解答：解：设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，令x=1，则a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1），①令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣…﹣a5=f（﹣1）=0．②①﹣②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），所以2×32=16（a+1），所以a=3．故答案为：3．点评：本题考查解决展开式的系数和问题时，一般先设出展开式，再用赋值法代入特殊值，相加或相减．16．已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时f（x）=2﹣x给出结论如下：①任意m∈Z，有f（2m）=0；②函数f（x）的值域为[0，+∞）；③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2k，2k﹣1）．其中所有正确结论的序号是①②④考点：抽象函数及其应用；函数的周期性．专题：综合题；压轴题．分析：依据题中条件注意研究每个选项的正确性，连续利用题中第（1）个条件得到①正确；连续利用题中第（2）个条件得到②正确；利用反证法及2x变化如下：2，4，8，16，32，判断③错误；据①②③的正确性可得④是正确的．解答：解：①f（2m）=f（2•2m﹣1）=2f（2m﹣1）=…=2m﹣1f（2），正确；②取x∈（2m，2m+1），则∈（1，2]；f（）=2﹣，从而f（x）=2f（）=…=2m f（）=2m+1﹣x，其中，m=0，1，2，…从而f（x）∈[0，+∞），正确；③f（2n+1）=2n+1﹣2n﹣1，假设存在n使f（2n+1）=9，即存在x1，x2，﹣=10，又，2x变化如下：2，4，8，16，32，显然不存在，所以该错误；④根据前面的分析容易知道该选项正确；综合有正确的序号是①②④．点评：本题通过抽象函数，考查了函数的周期性，单调性，以及学生的综合分析能力，难度不大．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2014•郑州模拟）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值，并判断当tan（A﹣B）取最大值时△ABC的形状．考点：三角形的形状判断；基本不等式；两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式展开可求（2）利用换元，结合基本不等式可求最大值取得的条件，从而可判断三角形的形状．解答：解：（1）由可得2sinAcosB﹣2sinBcosA=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB⇒sinAcosB=3sinBcosA⇒=3（4分）（2）设tanB=t，则tanA=3t且t＞0tan（A﹣B）=（10分）此时，故，△ABC为直角三角形（12分）点评：本题主要考查了正弦定理、两角和的正弦公、两角差的正切公式在解三角形中的应用，基本不等式在求解函数最值中的应用18．（12分）（2013•烟台一模）如图，某学校组织500名学生体检，按身高（单位：cm）分组：第1组[155，160），第2组[160，165），第3组[165，170），第4组[170，175），第5组[175，180]，得到的频率分布直方图．（1）下表是身高的频数分布表，求正整数m，n的值；（2）现在要从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，第1，2，3组应抽取的人数分别是多少？（3）在（2）的前提下，从这6人中随机抽取2人，求至少有1人在第3组的概率．区间〔155，160〕〔160，165〕〔165，170〕〔170，175〕〔175，180〕人数50 50 m 150 n考点：频率分布直方图；分层抽样方法；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）根据频率分布直方图的高=，频率=，计算即可；（2）根据分层抽样方法，按频数比例计算即可；（3）根据古典概型的计算方法，先求所以可能的事件数，再求复合条件的可能事件数，然后求解即可．解答：解：（1）由频率分布直方图，m=0.08×5×500=200，n=0.02×5×500=50．（2）∵第1、2、3组共有50+50+200=300人，根据分层抽样的方法，第1组应抽6×=1人；第2组应抽6×=1人；第3组应抽6×=4人．（3）设第1组的同学为A；第2组的同学为B；第3组的同学为①、②、③、④，则从六位同学中抽两位同学共有：（A，B），（A，①），（A，②），（A，③），（A，④），（B，①），（B，②），（B，③），（B，④），（①，②），（①，③），（①，④），（②，③），（②，④），（③，④）15种可能，其中2人都不在第3组的有：（A，B）共1种可能，∴至少有一人在第3组的概率为1﹣=．点评：本题考查频率分布直方图、分层抽样方法及古典概型的概率计算．19．（12分）（2014•黑龙江）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．考点：二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积．解答：（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，（2分）EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）（Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥平面AMD，∵二面角D﹣AE﹣C为60°，∴∠CMD=60°，∵AP=1，AD=，∠ADP=30°，∴PD=2，E为PD的中点．AE=1，∴DM=，CD==．三棱锥E﹣ACD的体积为：==．点评：本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角等指数的应用，考查逻辑思维能力，是中档题．20．（12分）（2010•湖北）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．考点：抛物线的应用．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设P（x，y）是曲线C上任意一点，然后根据等量关系列方程整理即可．（Ⅱ）首先由于过点M（m，0）的直线与开口向右的抛物线有两个交点A、B，则设该直线的方程为x=ty+m（包括无斜率的直线）；然后与抛物线方程联立方程组，进而通过消元转化为一元二次方程；再根据韦达定理及向量的数量积公式，实现•＜0的等价转化；最后通过m、t的不等式求出m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）设P（x，y）是曲线C上任意一点，那么点P（x，y）满足：化简得y2=4x（x＞0）．（Ⅱ）设过点M（m，0）（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．设l的方程为x=ty+m，由得y2﹣4ty﹣4m=0，△=16（t2+m）＞0，于是①又．⇔（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=x1x2﹣（x1+x2）+1+y1y2＜0②又，于是不等式②等价于③由①式，不等式③等价于m2﹣6m+1＜4t2④对任意实数t，4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2﹣6m+1＜0，解得．由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有，且m的取值范围．点评：本题综合考查向量知识、直线与抛物线的相交问题及代数运算能力．21．（12分）（2010•广陵区校级模拟）已知y=f（x）=xlnx．（1）求函数y=f（x）的图象在x=e处的切线方程；（2）设实数a＞0，求函数在[a，2a]上的最大值．（3）证明对一切x∈（0，+∞），都有成立．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；证明题；综合题．分析：（1）欲求在点（1，1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．（2）欲求函数在[a，2a]上的最大值，只须利用导数研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值即可．（3）原问题等价于证明，下面只要证明左边函数的最小值比右边函数的最大值还大即可，由（2）可得左边函数的最小值，利用导数求出右边函数的最大值，最后比较这两个值的大小即得．解答：解：（1）∵f（x）定义域为（0，+∞）f'（x）=lnx+1∵f（e）=e又∵k=f/（e）=2∴函数y=f（x）的在x=e处的切线方程为：y=2（x﹣e）+e，即y=2x﹣e（2）令F′（x）=0得当，F′（x）＜0，F（x）单调递减，当，F′（x）＞0，F（x）单调递增．∴F（x）在[a，2a]上的最大值F max（x）=max{F（a），F（2a）}∵∴当时，F（a）﹣F（2a）≥0，F max（x）=F（a）=lna当时，F（a）﹣F（2a）＜0，F min（x）=F（2a）=2ln2a（3）问题等价于证明，由（2）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是，当且仅当时取得．设，则，易得，当且仅当x=1时取到，从而对一切x∈（0，+∞），都有成立．点评：本小题主要考查函数恒成立问题、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数求闭区间上函数的最值等基础知识，考查运算求解能力和分类讨论思想．属于中档题．22．（10分）（2013•普陀区二模）已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log a（x+1），，记F（x）=2f（x）+g（x）（1）求函数F（x）的定义域D及其零点；（2）若关于x的方程F（x）﹣m=0在区间[0，1）内有解，求实数m的取值范围．考点：函数的零点与方程根的关系；根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：（1）可得F（x）的解析式，由可得定义域，令F（x）=0，由对数函数的性质可解得x的值，注意验证即可；（2）方程可化为，设1﹣x=t∈（0，1]，构造函数，可得单调性和最值，进而可得吗的范围．解答：解：（1）F（x）=2f（x）+g（x）=（a＞0且a≠1）由，可解得﹣1＜x＜1，所以函数F（x）的定义域为（﹣1，1）令F（x）=0，则…（*）方程变为，即（x+1）2=1﹣x，即x2+3x=0解得x1=0，x2=﹣3，经检验x=﹣3是（*）的增根，所以方程（*）的解为x=0即函数F（x）的零点为0．（2）方程可化为=，故，设1﹣x=t∈（0，1]函数在区间（0，1]上是减函数当t=1时，此时x=0，y min=5，所以a m≥1①若a＞1，由a m≥1可解得m≥0，②若0＜a＜1，由a m≥1可解得m≤0，故当a＞1时，实数m的取值范围为：m≥0，当0＜a＜1时，实数m的取值范围为：m≤0点评：本题考查函数的零点与方程的跟的关系，属中档题．。
【高二】四川雅安市2017-2018学年高二《数学》上学期期中试题理及答案
四川省雅安市2017-2018学年高二数学上学期期中试题 理本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将答题卷和机读卡一并收回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1. 双曲线2214x y -=的焦点坐标为A ．()B ．(0,C ．()D ．(0,2. 已知抛物线22y px =)0(>p 上点()1,M m 到其焦点的距离为3，则该抛物线的准线方程为 A ．4=xB ．2=xC ．1-=xD ．2-=x3. 执行（图一）所示程序后输出的结果是：A ． -1B ．0C ．1D ．24.执行（图二）所示框图，若输出S 的值为1112， 则判断框内应填入的是：（图一） （图二）A ．8?i ≤B.6?i ≤ C ．8?i ≥ D ．6?i ≥5. 若椭圆2231x ky += 的一个焦点的坐标是()0,1,则其离心率等于A ．2B ．12C D 6. 已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22670x y x +--=相切,则p 的值为 A ．12B.1 C ．2 D ．47.不论k 为何值，直线y=kx+1与焦点在x 轴上的椭圆72x +my 2=1恒有公共点，则实数m 的取值范围是: A ．(0，1)B ．(0，7)C ．［1，7)D ．(1，7］8. 若直线l 1：kx －y －3＝0和l 2：x ＋(2k ＋3)y －2＝0互相垂直，则k 等于A ． -3 B ．-2C ．-1或-21D ．1或21 9.若关于x 的方程m x x +=-24有两个不同实根，则实数m 的取值范围是 A ． (222，)B. [222，)C ． (2222-，)D ． (2-22-，]10. 椭圆16822=+y x 上存在n 个不同的点n P P P ,,,21⋅⋅⋅，椭圆的右焦点为F ，若数列F}{P n 是公差大于51的等差数列，则n 的最大值是 A ． 13B ．14C ．15D ．1611.直线l 经过点)3,2(P ，且与两坐标轴的正半轴交于B A 、两点，则OAB ∆（O 为坐标原点）面积的最小值为 A ．225B ．25C ．12D ． 2412.如图，已知梯形ABCD 中，CD AB 2=，E 在线段AC 上，且满足EC AE λ=，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点．当4332≤≤λ时，双曲线离心率e 的取值范围是： A ． [107，] B ． (107，)C ． (21，]D ． [62，]第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．斜率为1的直线l 被圆x 2+y 2=４x 截得的弦长为4，则l 的方程为 ．14．执行如图所示的框图,输出值x =______. 15．已知(){}(){},(3)34,7(5)80x y m x y m x y x m y ++=-+--==Φ ，则直线()3m x y ++34m =+与坐标轴围成的三角形面积是16．已知椭圆C ：141222=+y x ，设直线:()l y x m m =+∈R 与椭圆C 交于不同两点A 、B ，且AB =0(,2)P x 满足=PA PB ，则0x =______________.三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）直线l 经过点)3,2-(A 且与直线0l ：032=-+y x 平行，求直线l 的方程； （2）已知直线m 的方程为)(013)1(R a a ay x a ∈=--++，求坐标原点O 到m 的距离的最大值.18．（12分）1F 、2F 分别为等轴双曲线C 的左、右焦点，且2F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为1，（1）求双曲线C 的标准方程；（2）P 是双曲线C 上一点，若0PF PF 21=⋅，求21F PF ∆的面积.19．（12分）已知圆C 圆心在直线03=-y x 上，且经过点)3-,2(A ，)0,1-(B ， （1）求圆C 的标准方程； （2）若点),(y x P 在圆C 上，求22--x y 的取值范围.20．（12分）已知动点),(y x P 到点)0,1(F 的距离比到直线3-=x 的距离小2， （1）求动点),(y x P 的轨迹方程；（2）若直线l 过点)0)(0,(>m m M 且与P 的轨迹交于B A 、两点,则是否存在常数m 使得5=⋅恒成立？若存在，求出常数m ,不存在,说明理由.21．（12分）已知椭圆C 与曲线1322=-y x 有相同的焦点，且过直线06=-+y x 上一点M . （1）当椭圆C 长轴最短时，求其标准方程；（2）过点)2,1(P 的直线与（1）中椭圆C 交于A 、B 两点，若P 恰好是AB 的中点，求直线AB 的方程.22.（12分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 上的任一点到焦点的距离最大值为3，离心率为21， （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若,P Q 为曲线C 上两点， O 为坐标原点，直线,OP OQ 的斜率分别为12,k k 且1234k k =-，求直线PQ 被圆22:3O x y +=截得弦长的最大值及此时直线PQ 的方程.雅安中学2017—2018学年上期高2016级期中考试 数学试题（理科）参考答案 一、选择题 题号 1 23456789101112 答案 C DBBDCCABCCA二、填空题13、 2-=x y ； 14、 12； 15、 2 ； 16、-1或-3； . 三、解答题17.（1）042=-+y x ………………………………………………4分 （2）求得直线m 恒过定点)2,1(B ，…………………………………8分 故原点O 到直线m 的距离5||=≤OB d ，∴O 到直线m 的距离的最大值为5………………………………10分18.（1）双曲线C 的标准方程为：122=-y x ……………………………4分 （2）121=∆F PF S ……………………………………………………………12分 19、（1）圆C 的标准方程为：9)3()1(22=+++y x ………………………6分. （2）22--x y 的取值范围：),158[+∞………………………………………12分. 20、(1) ),(y x P 的轨迹方程：,42x y =……………………………………4分. （2）设直线l 方程为：m ky x +=，代入 ),(y x P 的轨迹方程有：0442=--m ky y ，其0>∆，设 ),(),,(2211y x B y x A 则222212121444my y x x my y =⋅=-=……………………………………………………8分 由5=⋅OB OA 知5422121=-=+m m y y x x5=∴m （舍去负值）…………………………………………………………12分21、 （1）设椭圆方程为)0(12222>>=+b a b y a x 求得其焦点为：)0,2(),0,2(21F F -，求得)0,2(2F 关于06=-+y x 的对称点)4,6('2F54||||||||||2'21'2121=≥+=+=F F MF MF MF MF a∴椭圆C 长轴最短时52=a ，方程为1162022=+y x ……………………………………6分 （2）01252=-+y x ………………………………………………………………………12分22、（1）椭圆C 的方程为：22143x y += ………………………………………………2分 （2）设()11P x y ，， ()22Q x y ，，直线PQ 与圆O ： 223x y +=的交点为M N ，． ①当直线PQ x ⊥轴时， ()11Q x y -，，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-⋅=134432121111121y x x y x y k k得11{2x y ==±11{2x y ==± 此时可求得2MN ==． ……………………………………………4分②当直线PQ 与x 轴不垂直时，设直线PQ 的方程为y kx m =+，联立22{143y kx m x y =++=，，消y 得()2224384120k x kmx m +++-=， ()()()222222644434124843k m k m k m ∆=-+-=-+，122843km x x k -+=+， 212241243m x x k -=+，………………………………………………6分 所以()()()22222121212122241284343m kmy y kx m kx m k x x km x x m k km m k k --=++=+++=++++22231243m k k -=+，由1212123··4y y k k x x ==-得22222222312312343412412443m k m k k m m k --+==---+， 22322m k =+， 此时2348202k ⎛⎫∆=+> ⎪⎝⎭． 圆O ： 223x y +=的圆心到直线PQ的距离为d =，……………………8分所以MN =得()2222222231221222||43434341111k k m MN k k k k ⎛⎫⎡⎤++- ⎪⎢⎥⎛⎫=-=-=-=+ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以当0k m ==，时，MN 综合①②知，直线PQ 被圆O ： 223x y +=此时，直线PQ 的方程为y =…………………………………………………12分。
2017-2018学年四川省雅安中学高二上学期第一次月考理科数学(详细答案版)
2017-2018学年四川省雅安中学高二上学期第一次月考数学一、选择题：共12题1．圆的圆心和半径分别为A.(4,-6),16B.(2,-3),4C.(-2,3),4D.(2,-3),16【答案】C【解析】本题主要考查圆的标准方程.,则圆心与半径分别为(-2,3),42．直线与圆的位置关系是A.相交且直线过圆心B.相切C.相交但直线不过圆心D.相离【答案】D【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系.因为圆心(1,-1)到直线的距离d=,所以直线与圆的位置关系是相离.3．若直线和直线平行,则的值为A.1B.-2C.1或-2D.【答案】A【解析】本题主要考查两条直线的位置关系.因为和直线平行,所以,求解可得m=1.4．过点A(1,2)且垂直于直线2x＋y-5＝0的直线方程为A.x-2y＋4＝0B.2x＋y-7＝0C.x-2y＋3＝0D.x-2y＋5＝0【答案】C【解析】本题主要考查两条直线的位置关系.因为所求直线与直线2x＋y-5＝0垂直，所以设直线方程为x-2y+t＝0，且过点A(1,2)，所以t=3，则直线方程为x-2y＋3＝05．点A(1,3)关于直线y＝kx＋b对称的点是B(-2,1),则直线y＝kx＋b在x轴上的截距是A.-B.C.-D.【答案】D【解析】本题主要考查两条直线的位置关系、直线方程.因为点A(1,3)关于直线y＝kx＋b 对称的点是B(-2,1),所以,则,且A,B的中点在直线上，所以,则b=，令y=0可得x=6．一条光线从点M(5,3)射出,与轴的正方向成角,遇轴后反射,若,则反射光线所在的直线方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查对称性、直线方程.由题意可知，反射光线所在直线的斜率为，且经过点，所以反射光线所在直线方程为7．已知圆心(a,b)(a<0,b<0)在直线y＝2x＋1上的圆,其圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径,在y轴上截得的弦长为2,则圆的方程为A.(x＋2)2＋(y＋3)2＝9B.(x＋3)2＋(y＋5)2＝25C.(x＋6)2＋2＝D.2＋2＝【答案】A【解析】本题主要考查圆的方程.由题意可知，圆心在第三象限，且半径为，则,b=2a+1,所以, 则圆的方程为(x＋2)2＋(y＋3)2＝98．直线=截圆=所得的劣弧所对圆心角为A.30B.45C.60D.90【答案】C【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系.圆心到直线的距离为d=，则直线被圆截得的弦长为2，又圆的半径为2，所以直线被圆截得的劣弧所对圆心角为609．方程=表示的曲线为A.一条直线和一个圆B.一条线段与半圆C.一条射线与一段劣弧D.一条线段与一段劣弧【答案】D【解析】本题主要考查曲线与方程.由可得，即,所以方程表示的曲线为一段劣弧与一条线段.10．直线=与圆=相交于M,N两点,若,则k的取值范围是A. B.C. D.【答案】B【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆的性质.当时，圆心到直线的距离为1，即,所以11．已知平面内两点到直线的距离分别,则满足条件的直线的条数为A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】本题主要考查点到直线的距离公式.因为|AB|=,所以不存在两点在直线的两侧，因此A,B两点在直线l的同一侧，当直线l垂直AB时，点A到l的点距离为，则点B到直线的距离为，故满足条件的直线的条数为１.12．已知正三角形的边长为,在平面中,动点满足=是的中点,则线段的最小值为A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查圆的方程、平面向量的坐标表示与模,考查了数形结合思想. 如图所示，建立直角坐标系.B（0，0），C(，0)．A(，3),因为满足=是的中点,所以点P的轨迹方程为：(x−)2+(y−3)2=1，所以令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π），则M(+cosθ，+sinθ)，所以,所以线段的最小值为.二、填空题：共3题13．过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m＝________.【答案】1【解析】本题主要考查直线的斜率公式.由题意可得,则m=1.14．在平面直角坐标系中,圆C的方程为=,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则的最大值是________.【答案】【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆的标准方程. 圆C的方程为,圆心为(4,0),半径为1，由题意可知，当圆心C到直线的距离为2时，直线上存在一个点满足题意，则,求解可得,因此k的最大值是.15．已知动点满足,为坐标原点,则的最大值为 .【答案】【解析】本题主要考查圆的方程，考查了数形结合思想.由曲线方程可得曲线关于x轴、y轴、原点都是对称，故只需考虑第一象限内的情况即可，如图：在第一象限内（含坐标轴），曲线方程为x2+y2-x-y=0，即 (x−)2+(y−)2=，表示以C（，）为圆心，半径等于的圆的一部分．由于|CO|=，∴|OP|的最大值为|CO|+|CP|=+=.三、解答题：共6题16．(1)已知直线l经过两条直线2x+3y﹣14=0和x+2y﹣8=0的交点,且与直线2x﹣2y﹣5=0平行,求直线l的一般式方程;(2)已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍,且经过点P(3,0),求椭圆的标准方程.【答案】(1)解2x+3y﹣14=0和x+2y﹣8=0组成的方程组可得交点坐标为(4,2),由题意，设直线l的方程为x﹣y+t=0，则4﹣2+t=0，则t=—2，所以直线l的方程为x﹣y﹣2=0(2)由题意，设椭圆的短轴长为2b，则长轴长为6b，当椭圆的焦点在x轴上时，b=1，椭圆方程为；当椭圆的焦点在y轴上时，b=3，椭圆方程为.所以椭圆的方程为【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系、椭圆的标准方程与性质.（1）求出两条直线的交点坐标，根据两条直线平行，设直线方程为4﹣2+t=0，求出t即可；（2）椭圆的焦点在x轴与y轴两种情况讨论即可.17．(1)过点向圆作切线,求切线的方程;(2)点在圆上,点在直线上,求的最小值. 【答案】(1)当直线的斜率不存在时，直线x=2与圆相切；当直线的斜率存在时，设直线方程为,因为直线与圆相切，所以,则,直线方程为.所以满足题意的圆的切线方程为或;(2)将圆的方程化为标准方程,则圆心(-2,3),半径为1.当PQ垂直于直线，且过圆心时，可以取得最小值，圆心到直线的距离d=,所以的最小值为3.【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系.（1）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，利用点到直线的距离公式求解；（2）求出圆心到直线的距离d，则的最小值为d-r.18．已知圆M过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心M在x＋y-2＝0上.(1)求圆M的方程;(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点,PA′,PB′是圆M的两条切线,A′,B′为切点,求四边形PA′MB′面积的最小值.【答案】(1)设圆M的方程为(x-a)2＋(y-b)2＝r2(r>0),根据题意解得a＝b＝1,r＝2.故所求圆M的方程为(x-1)2＋(y-1)2＝4.(2)由题知,四边形PA′MB′的面积为S＝S△PA′M＋S△PB′M＝|A′M||PA′|＋|B′M||PB′|.又|A′M|＝|B′M|＝2,|PA′|＝|PB′|,所以S＝2|PA′|.而|PA′|＝.即S＝2.因此要求S的最小值,只需求|PM|的最小值即可,即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P,使得|PM|的值最小,所以|PM|min＝=,所以四边形PA′MB′面积的最小值为S＝2＝＝【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、圆的性质.（1）由圆的性质可知，圆心在弦的垂直平分线上，易求圆心与半径，则结论易得；（2）易知四边形PA′MB′的面积等于两个全等△PA′M与△PB′M的面积之和，可得四边形的面积为S＝2|PA′|，根据切线与圆的关系可得|PA′|＝，则当取得最小值时，四边形的面积取得最小值.19．已知曲线的方程为:为常数).(1)判断曲线的形状;(2)设直线与曲线交于不同的两点,且,求曲线的方程. 【答案】(1)将曲线的方程化为:,可知曲线是以点为圆心,以为半径的圆;(2)原点坐标满足方程,所以圆过坐标原点,又圆心在的垂直平分线上,故,当时,圆心坐标为,圆的半径为,圆心到直线的距离,直线与圆相离,不合题意舍去;当时,符合条件,这时曲线的方程为=.【解析】本题主要考查圆的标准方程与性质、直线与圆的位置关系.（1）由已知方程化简可得,可得结论；（2）由圆的性质可知圆心在的垂直平分线上,求出a的值，再验证结论.20．已知曲线(1)若,过点的直线交曲线于两点,且,求直线的方程;(2)若曲线表示圆,且直线与圆交于两点,是否存在实数,使得以为直径的圆过原点,若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1) 当时, 曲线C是以为圆心,2为半径的圆,若直线的斜率不存在,显然不符,故可直线为:,即.由题意知,圆心到直线的距离等于,即:解得或.故方程或(即).(2)由曲线C表示圆=,即,所以圆心C(1,2),半径=,则必有.假设存在实数使得以为直径的圆过原点,则,设,则,由得,即,又,故,从而=======,故存在实数使得以为直径的圆过原点,.【解析】本题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系，考查了方程思想与计算能力.（1）设直线方程，由圆的性质求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式求出直线的斜率，则可得直线方程；（2）假设存在实数使得以为直径的圆过原点,则,联立直线与圆的方程，利用根与系数的关系式，由求解可得结论.21．如图,在平面直角坐标系中,圆交x轴于点A,B(点A在x轴的负半轴上),点M为圆O上一动点,MA,MB分别交直线于P,Q两点.(1)求P,Q两点纵坐标的乘积;(2)若点C的坐标为,连接MC交圆O于另一点N.①试判断点C与以PQ为直径的圆的位置关系,并说明理由;②记MA,NA的斜率分别为,试探究是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.【答案】(1)由题意,得,,设,直线AM的方程为,令,则,,同理,===.(2)①,由(1)知=,=,==,即,点C在圆内.②设,,当直线MN的斜率不存在时,, 此时=,当直线MN的斜率存在时,设直线MN的方程为=,代入圆方程=,整理得=,==,又==,==.【解析】本题主要考查直线的斜率与方程、直线与圆的位置关系，考查了计算能力.（1）设,分别求出直线AM,BM的方程，求出点P,Q的纵坐标，再结合圆的方程，即可得出结论；（2）①由(1)知=,=,利用平面向量的数量积判断的夹角，则可得结论；②当直线MN的斜率不存在时易得结论；当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为=,联立圆的方程，利用根与系数的关系式，结合直线的斜率公式化简，则结论易得.。
2017-2018学年四川省雅安中学高二(上)第一次月考数学试卷(理科)
2017-2018学年四川省雅安中学高二（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，每个小题给出的四个选项中，只有唯一个选项符合题目要求，请将正确答案的序号填涂在答题卡上．）1．（5分）圆x2+y2+4x﹣6y﹣3=0的圆心和半径分别为（）A．（4，﹣6），r=16B．（2，﹣3），r=4C．（﹣2，3），r=4D．（2，﹣3），r=162．（5分）直线3x+4y﹣14=0与圆（x﹣1）2+（y+1）2=4的位置关系是（）A．相交且直线过圆心B．相切C．相交但直线不过圆心D．相离3．（5分）若直线x+（1+m）y﹣2=0和直线mx+2y+8=0平行，则m的值为（）A．1B．﹣2C．1或﹣2D．﹣4．（5分）过点A（1，2）且垂直于直线2x+y﹣5=0的直线方程为（）A．x﹣2y+4=0B．2x+y﹣7=0C．x﹣2y+3=0D．x﹣2y+5=0 5．（5分）点A（1，3）关于直线y=kx+b对称的点是B（﹣2，1），则直线y=kx+b 在x轴上的截距是（）A．﹣B．C．﹣D．6．（5分）一束光线从点M（5，3）射出，与x轴正方向成α角，遇x轴后反射，若tanα=3，则反射光线所在的直线方程为（）A．y=3x﹣12B．y=﹣3x﹣12C．y=3x+12D．y=﹣3x+12 7．（5分）已知圆心（a，b）（a＜0，b＜0）在直线y=2x+1上的圆，若其圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径，在y轴上截得的弦长为，则圆的方程为（）A．（x+2）2+（y+3）2=9B．（x+3）2+（y+5）2=25C．D．8．（5分）直线截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．（5分）方程（x﹣）=0表示的曲线为（）A．一条直线和一个圆B．一条射线与半圆C．一条射线与一段劣弧D．一条线段与一段劣弧10．（5分）直线y=kx﹣3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（）A．[﹣，0]B．（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）11．（5分）已知平面内两点A（1，2），B（3，1）到直线l的距离分别，+，则满足条件的直线l的条数为（）A．1B．2C．3D．412．（5分）已知正△ABC的边长为2，在平面ABC中，动点P，M满足AP=1，M是PC的中点，则线段BM的最小值为（）A．B．2C．+1D．3二、填空题：（本题共4个小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡上．）13．（5分）过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为．14．（5分）若关于x的方程x+b=3﹣只有一个解，则实数b的取值范围是．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．16．（5分）已知动点P（x，y）满足x2+y2﹣|x|﹣|y|=0，O为坐标原点，则的最大值为．三、解答题：（本题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤．）17．（10分）（1）已知直线l经过两条直线2x+3y﹣14=0和x+2y﹣8=0的交点，且与直线2x﹣2y﹣5=0平行．求直线l的一般式方程；（2）已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且经过点P（3，0），求椭圆的标准方程．18．（12分）（1）过点P（2，4）向圆O：x2+y2=4作切线，求切线的方程；（2）点P在圆x2+y2+4x﹣6y+12=0上，点Q在直线4x+3y=21上，求|PQ|的最小值．19．（12分）已知圆M过两点A（1，﹣1），B（﹣1，1），且圆心M在x+y﹣2=0上．（1）求圆M的标准方程；（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A、B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．20．（12分）已知曲线C的方程为：ax2+ay2﹣2a2x﹣4y=0（a≠0，a为常数）．（Ⅰ）判断曲线C的形状；（Ⅱ）设直线l：y=﹣2x+4与曲线C交于不同的两点M、N，且|OM|=|ON|，求曲线C的方程．21．（12分）已知曲线C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）若m=1，过点（﹣2，3）的直线l交曲线C于M，N两点，且|MN|=2，求直线l的方程；（2）若曲线C表示圆，且直线x﹣y﹣1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数m，使得以AB为直径的圆过原点，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=4交x轴于点A，B（点A 在x轴的负半轴上），点M为圆O上一动点，MA，MB分别交直线x=4于P，Q两点．（1）求P，Q两点纵坐标的乘积；（2）若点C的坐标为（1，0），连接MC交圆O于另一点N：①试判断点C与以PQ为直径的圆的位置关系，并说明理由；②记MA，NA的斜率分别为k1，k2，试探究k1k2是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．2017-2018学年四川省雅安中学高二（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，每个小题给出的四个选项中，只有唯一个选项符合题目要求，请将正确答案的序号填涂在答题卡上．）1．（5分）圆x2+y2+4x﹣6y﹣3=0的圆心和半径分别为（）A．（4，﹣6），r=16B．（2，﹣3），r=4C．（﹣2，3），r=4D．（2，﹣3），r=16【分析】将圆的方程配方成标准形式，结合圆心和半径的公式，即可得到本题答案．【解答】解：将圆x2+y2+4x﹣6y﹣3=0的方程化成标准形式，得（x+2）2+（y﹣3）2=16∴圆x2+y2+4x﹣6y﹣3=0的圆心为C（﹣2，3），半径r=4故选：C．【点评】本题给出圆的一般式方程，求圆的圆心和半径，着重考查了圆的一般方程、标准方程及其互化等知识，属于基础题．2．（5分）直线3x+4y﹣14=0与圆（x﹣1）2+（y+1）2=4的位置关系是（）A．相交且直线过圆心B．相切C．相交但直线不过圆心D．相离【分析】由圆的方程找出圆心坐标和半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，利用d与r比较大小，即可得到直线与圆的位置关系．【解答】解：由圆的方程，得到圆心坐标为（1，﹣1），半径r=2，因为圆心到直线3x+4y﹣14=0的距离d==3＞2=r，所以直线与圆的位置关系是相离．故选：D．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，要求学生熟练掌握直线与圆位置关系的判别方法，以及灵活运用点到直线的距离公式．直线与圆位置关系的判别方法为：（其中d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）当0≤d＜r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d＞r时，直线与圆相离．3．（5分）若直线x+（1+m）y﹣2=0和直线mx+2y+8=0平行，则m的值为（）A．1B．﹣2C．1或﹣2D．﹣【分析】由直线平行可得1×2﹣（1+m）m=0，解方程可得．结论【解答】解：∵直线x+（1+m）y=2﹣m和直线mx+2y+8=0平行，∴1×2﹣（1+m）m=0，解得m=1或﹣2，经检验都符合题意．故选：C．【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．4．（5分）过点A（1，2）且垂直于直线2x+y﹣5=0的直线方程为（）A．x﹣2y+4=0B．2x+y﹣7=0C．x﹣2y+3=0D．x﹣2y+5=0【分析】根据两条直线垂直的性质求得所求的直线的斜率等于，用点斜式求得所求直线的方程．【解答】解：∵直线2x+y﹣5=0的斜率等于﹣2，故所求的直线的斜率等于，故过点A（1，2）且垂直于直线2x+y﹣5=0的直线方程为y﹣2=（x﹣1），即x ﹣2y+3=0，故选：C．【点评】本题主要考查两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属于基础题．5．（5分）点A（1，3）关于直线y=kx+b对称的点是B（﹣2，1），则直线y=kx+b 在x轴上的截距是（）A．﹣B．C．﹣D．【分析】点关于直线对称，可以根据对称点的坐标，利用两点连线的斜率与直线垂直．然后两点中点在直线上．联立两个一元两次方程即可求解出直线方程，最后令y=0求出在x轴上的截距．【解答】解：由题意知，解得k=﹣，b=，∴直线方程为y=﹣x+，其在x轴上的截距为﹣×（﹣）=．故选：D．【点评】本小题主要考查与直线关于点、直线对称的直线方程、直线的截距、方程组的解法等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．6．（5分）一束光线从点M（5，3）射出，与x轴正方向成α角，遇x轴后反射，若tanα=3，则反射光线所在的直线方程为（）A．y=3x﹣12B．y=﹣3x﹣12C．y=3x+12D．y=﹣3x+12【分析】利用点M（5，3）关于x轴的对称点M′（5，﹣3）在反射光线上，再根据入射光线x轴正方向成α角，tanα=3，得到反射光线所在的直线方程的斜率k=tan（π﹣α），由点斜式写出反射光线所在的直线方程，【解答】解：∵tanα=3，∴k=tan（π﹣α）=﹣3，∵点M（5，3）关于x轴的对称点M′（5，﹣3）在反射光线上，设反射光线所在的直线方程y=﹣3x+b，∴﹣3=﹣3×5+b，解得b=12，故反射光线所在的直线方程y=﹣3x+12，故选：D．【点评】本题考查求一个点关于直线的对称点坐标的方法，用两点式求直线的方程，反射定律的应用．考查计算能力．7．（5分）已知圆心（a，b）（a＜0，b＜0）在直线y=2x+1上的圆，若其圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径，在y轴上截得的弦长为，则圆的方程为（）A．（x+2）2+（y+3）2=9B．（x+3）2+（y+5）2=25C．D．【分析】根据题意画出图形，过M作MA垂直于x轴，MB垂直于y轴，连接MC，由垂径定理得到B为CD中点，由|CD|求出|BC|，由圆与x轴垂直得到圆与x轴相切，所以MA和MC为圆M的半径，在直角三角形MBC中，由|MB|=|a|，|MC|=|MA|=|b|及|BC|，利用勾股定理列出关于a与b的方程，再把M的坐标代入到直线y=2x+1中，又得到关于a与b的另一个方程，联立两方程即可求出a与b的值，从而确定出圆心M的坐标，及圆的半径，根据圆心坐标和半径写出圆的方程即可．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：过M作MA⊥x轴，MB⊥y轴，连接MC，由垂径定理得到B为CD中点，又|CD|=2，∴|CB|=，由题意可知圆的半径|MA|=|MC|=|b|，|MB|=|a|，在直角三角形BC中，根据勾股定理得：b2=a2+（）2，①又把圆心（a，b）代入y=2x+1中，得b=2a+1，②联立①②，解得：a=﹣2，b=﹣3，所以圆心坐标为（﹣2，﹣3），半径r=|﹣3|=3，则所求圆的方程为：（x+2）2+（y+3）2=9．故选：A．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，垂径定理及勾股定理．根据圆心到x 轴的距离恰好等于圆的半径得到所求的圆与x轴相切，进而求出圆的半径为|b|是解本题的关键，同时运用了数形结合的思想解决数学问题，培养了学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．8．（5分）直线截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心C到已知直线的距离d，由垂径定理及勾股定理求出直线被圆截得的弦长，由弦长等于圆的半径得到三角形ABC为等边三角形，即可得到直线被圆截得的劣弧所对的圆心角为60°．【解答】解：过O作OC⊥AB，垂足为点C，由圆的方程x2+y2=4，得到圆心O的坐标为（0，0），半径r=2，∵圆心到直线x+y﹣2=0的距离d=|OC|==，∴直线被圆截得的弦|AB|=2=2，∴△AOB为等边三角形，即∠AOB=60°，∴直线被圆截的劣弧所对的圆心角为60°．故选：C．【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，以及等边三角形的判定与性质，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，再由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．9．（5分）方程（x﹣）=0表示的曲线为（）A．一条直线和一个圆B．一条射线与半圆C．一条射线与一段劣弧D．一条线段与一段劣弧【分析】根据（x﹣）=0，可得x=或=0，从而可得结论．【解答】解：∵（x﹣）=0，∴x=或=0（﹣2≤y≤4），∴x2+（y﹣1）2=9（x≥0）或x=y（﹣2≤y≤4）．故选：D．【点评】本题考查曲线与方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10．（5分）直线y=kx﹣3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（）A．[﹣，0]B．（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）【分析】由弦长公式得，当圆心到直线的距离等于1时，弦长等于2，故当弦长大于或等于2时，圆心到直线的距离小于或等于1，解此不等式求出k 的取值范围．【解答】解：设圆心（3，2）到直线y=kx+3的距离为d，由弦长公式得，MN=2≥2，故d≤1，即≤1，化简得8k（k+）≤0，∴﹣≤k≤0，故选：A．【点评】本题主要考查点到直线的距离公式，以及弦长公式的应用，属于中档题．11．（5分）已知平面内两点A（1，2），B（3，1）到直线l的距离分别，+，则满足条件的直线l的条数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】由点A（1，2），B（3，1），易得AB=，以点A为圆心，半径为的圆，与以点B为圆心，半径为的圆相内切，即可得出．【解答】解：由点A（1，2），B（3，1），易得AB=，以点A为圆心，半径为的圆，与以点B为圆心，半径为的圆相内切，则这两个圆共有的切线有1条（即1条外公切线）．∴满足条件的直线l的条数为1．故选：A．【点评】本题考查了两个圆的位置关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）已知正△ABC的边长为2，在平面ABC中，动点P，M满足AP=1，M是PC的中点，则线段BM的最小值为（）A．B．2C．+1D．3【分析】首先建立直角坐标系，进一步把：x2+（y﹣3）2=1，转化为：（θ为参数），利用M是PC的中点，求出M的坐标，在利用两点间的距离公式求出函数的三角关系式，再利用三角函数关系式的恒等变换，变形成正弦型函数，最后求出最小值．【解答】解：在平面ABC中，以BC线段为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，正△ABC的边长为2，在平面ABC中，动点P，M满足AP=1，则：B（﹣，0），C（，0），A（0，3），设P（x，y），由于|AP|=1，则：x2+（y﹣3）2=1，转化为：（θ为参数），M是PC的中点，则：M（，），|BM|=，=，当sin（）=﹣1时，最小值为．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：直角坐标方程和参数方程的转化，中点坐标公式的应用，两点间距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，属于中档题型．二、填空题：（本题共4个小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡上．）13．（5分）过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为1．【分析】首先分析题意，直线过（﹣2，m）和Q（m，4）两点，故写出过两个点的直线斜率，令其等于1．解出m的值即可．【解答】解：过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线斜率为1∴解得：m=1故答案为：1【点评】本题考查斜率的计算公式，按照两个点求斜率的公式，求出参数即可．属于基础题．14．（5分）若关于x的方程x+b=3﹣只有一个解，则实数b的取值范围是（﹣1，3]∪{1﹣2} ．【分析】由题意可得半圆（x﹣2）2+y2=4（y≥0）与直线y=﹣x+3﹣b只有1个交点，数形结合求得实数b的取值范围．【解答】解：关于x的方程x+b=3﹣只有一个解，则函数y=（0≤x≤4），即（x﹣2）2+y2=4（y≥0），表示以C（2，0）为圆心、半径等于2的半圆，且此半圆与直线y=﹣x+3﹣b只有1个交点，如图：当直线y=﹣x+3﹣b经过点A、B时，3﹣b=4，b=﹣1；当直线y=﹣x+3﹣b经过原点O时，b=3；当直线y=﹣x+3﹣b与半圆相切时，由圆心C到直线y=﹣x+3﹣b的距离等于半径可得=2，求得b=1﹣2，或b=1+2（不满足3﹣b＞4，故舍去），结合图象可得，﹣1＜b≤3或；故答案为：（﹣1，3]∪{1﹣2}．【点评】本题主要考查方程根的存在性以及个数判断，直线和圆的位置关系的应用，属于中档题．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．【分析】由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C 是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．16．（5分）已知动点P（x，y）满足x2+y2﹣|x|﹣|y|=0，O为坐标原点，则的最大值为．【分析】由曲线的方程可得曲线关于x轴、y轴、原点都是对称的，故只需考虑第一象限内的情况即可，数形结合求得OP的最大值和最小值，即|PO|的取值范围．【解答】解：由曲线的方程x2+y2﹣|x|﹣|y|=0，可得曲线关于x轴、y轴、原点都是对称的，故只需考虑第一象限内的情况即可，如图：在第一象限内（含坐标轴），曲线方程为x2+y2﹣x﹣y=0，转化为：，表示以C（，）为圆心，半径等于的圆的一部分．由于|CO|=，∴|OP|的最大值为|CO|+|CP|=+=；故答案为：【点评】本题主要考查圆的标准方程，体现了转化、数形结合的数学思想，三、解答题：（本题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤．）17．（10分）（1）已知直线l经过两条直线2x+3y﹣14=0和x+2y﹣8=0的交点，且与直线2x﹣2y﹣5=0平行．求直线l的一般式方程；（2）已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且经过点P（3，0），求椭圆的标准方程．【分析】（1）求得两条直线的交点，根据直线平行求得直线l的斜率，利用点斜式即可求得直线l的一般式方程；（2）分类讨论，根据椭圆的性质，即可求得椭圆的方程．【解答】解：（1），解得：，由直线2x﹣2y﹣5=0的斜率k=1，则直线l的斜率为1，则直线l的方程y﹣2=x﹣4，整理得x﹣y﹣2=0，∴直线l的一般式方程x﹣y﹣2=0；（2）假设椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为：（a＞b＞0），由a=3b，由经过点P（3，0），则a=3，则b=1∴椭圆的方程为：；假设椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的方程为：（a＞b＞0），由a=3b，由经过点P（3，0），则b=3，∴a=9，∴椭圆的标准方程为：，∴椭圆的标准方程为：或．【点评】本题考查直线的一般方程，椭圆的标准方程及性质，考查分类讨论思想，属于基础题．18．（12分）（1）过点P（2，4）向圆O：x2+y2=4作切线，求切线的方程；（2）点P在圆x2+y2+4x﹣6y+12=0上，点Q在直线4x+3y=21上，求|PQ|的最小值．【分析】（1）利用分类讨论思想对直线的方程进行分类①斜率不存在②斜率存在两种情况，最后求的结果．（2）利用点到直线的距离公式求出结果，进一步求出最小值．【解答】解：（1）过点P（2，4）向圆O：x2+y2=4作切线，①当斜率不存在时，直线x=2与圆相切．②当斜率存在时，设直线的方程为：y﹣4=k（x﹣2），利用圆心（0，0）到y﹣4=k（x﹣2）的距离为2，即：，解得：k=．所求的直线的方程为：3x ﹣4y +10=0；综上所述直线的方程为：x=2或3x ﹣4y +10=0．（2）圆x 2+y 2+4x ﹣6y +12=0的方程可转化为：（x +2）2+（y ﹣3）2=1， 则：圆心（﹣2，3）到直线4x +3y=21的距离为：d=，点|PQ |的最小值为：4﹣1=3．【点评】本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，主要培养学生分类讨论思想的能力．19．（12分）已知圆M 过两点A （1，﹣1），B （﹣1，1），且圆心M 在x +y ﹣2=0上．（1）求圆M 的标准方程；（2）设P 是直线3x +4y +8=0上的动点，PA 、PB 是圆M 的两条切线，A 、B 为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．【分析】（1）待定系数法求解圆的方程即可；（2）由题意得到面积的表达式，据此求解面积的最值即可．【解答】解 （1）设圆M 的方程为：（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2=r 2（r ＞0），解得：a=b=1，r=2，故所求圆M 的方程为：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=4．（2）由题知，四边形PAMB 的面积为S=S △PAM +S △PBM =|AM ||PA |+|BM ||PB |． 又|AM |=|BM |=2，|PA |=|PB |，所以S=2|PA |，而，即，因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可，即在直线3x +4y +8=0上找一点P ，使得|PM |的值最小，所以|PM|min==3，所以四边形PAMB面积的最小值为．【点评】本题考查了圆的方程的求解，直线与圆的位置关系等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．20．（12分）已知曲线C的方程为：ax2+ay2﹣2a2x﹣4y=0（a≠0，a为常数）．（Ⅰ）判断曲线C的形状；（Ⅱ）设直线l：y=﹣2x+4与曲线C交于不同的两点M、N，且|OM|=|ON|，求曲线C的方程．【分析】（Ⅰ）配方，将曲线C的方程化为：，进而可得答案；（Ⅱ）圆C过坐标原点，若|OM|=|ON|，则圆心在MN的垂直平分线上，进而得到答案；【解答】解：（Ⅰ）将曲线C的方程化为：，可知曲线C是以点为圆心，以为半径的圆；（Ⅱ）∵原点坐标满足方程，所以圆C过坐标原点，又|OM|=|ON|，∴圆心在MN的垂直平分线上，故∴，∴a=±2，当a=﹣2时，圆心坐标为（﹣2，﹣1），圆的半径为，圆心到直线l：y=﹣2x+4的距离，直线l与圆C相离，不合题意舍去；当a=2时，符合条件，这时曲线C的方程为x2+y2﹣4x﹣2y=0．【点评】本题考查的知识点是圆的一般方程，直线与圆的位置关系，难度中档．21．（12分）已知曲线C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）若m=1，过点（﹣2，3）的直线l交曲线C于M，N两点，且|MN|=2，求直线l的方程；（2）若曲线C表示圆，且直线x﹣y﹣1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数m，使得以AB为直径的圆过原点，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据题意，分析可得当m=1时，曲线C是以C（1，2）为圆心，2为半径的圆，进而设直线l为：y﹣3=k（x+2），由点到直线的距离公式分析可得，解可得k的值，代入直线方程即可得答案；（2）首先分析曲线C表示圆时m的取值范围，再假设存在实数m使得以AB为直径的圆过原点，设出A、B的坐标，若以AB为直径的圆过原点，必有OA ⊥OB，由此分析可得x1x2+y1y2=0，联立直线与圆的方程，由根与系数的关系分析，解可得m的值，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，当m=1时，曲线C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0，即（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，是以C（1，2）为圆心，2为半径的圆，若直线l的斜率不存在，显然不符合题意，故可设直线l为：y﹣3=k（x+2），即kx﹣y+2k+3=0．由题意知，圆心C（1，2）到直线l的距离等于，即：解得k=0或．故的方程y=3或（即3x+4y﹣6=0）．（2）由曲线C表示圆x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，即（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，所以圆心C（1，2），半径，则必有m＜5．假设存在实数m使得以AB为直径的圆过原点，则OA⊥OB，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=0，由得2x2﹣8x+5+m=0，∴△=64﹣8（m+5）=24﹣8m＞0，即m＜3，又m＜5，故m＜3，从而∴∴∴m=﹣2＜3，故存在实数m使得以AB为直径的圆过原点，m=﹣2．【点评】本题考查直线与圆的方程的综合应用，涉及直线与圆的位置关系问题时需要分析直线的斜率是否存在．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=4交x轴于点A，B（点A 在x轴的负半轴上），点M为圆O上一动点，MA，MB分别交直线x=4于P，Q两点．（1）求P，Q两点纵坐标的乘积；（2）若点C的坐标为（1，0），连接MC交圆O于另一点N：①试判断点C与以PQ为直径的圆的位置关系，并说明理由；②记MA，NA的斜率分别为k1，k2，试探究k1k2是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）求出直线AM的方程，求出，，然后求解P，Q两点纵坐标的乘积；（2）通过，判断点C在圆内，设M（x1，y1），N（x2，y2），当直线MN的斜率不存在时，，，求出直线的斜率，当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=k（x﹣1），代入圆方程x2+y2=4，利用韦达定理化简求解k1k2的值．【解答】解：（1）由题意，解得A（﹣2，0），B（2，0），设M（x0，y0），∴直线AM的方程为，令x=4，则，∴，同理，∴…（5分）（2）①∵C（1，0），由（1）知，，∴，即，∴点C在圆内…（10分）②设M（x1，y1），N（x2，y2），当直线MN的斜率不存在时，，，此时；当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=k（x﹣1），代入圆方程x2+y2=4，整理得（1+k2）x2﹣2k2x+k2﹣4=0，∴，，又，∴…（16分）【点评】本题考查直线与圆的方程的综合应用，直线与圆的位置关系，考查计算能力．。
雅安中学2017届高三上学期月考数学理科试卷
雅安中学2017高三上学期12月月考理科数学试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}24120A x x x =--<，{}2B x x =>，则A B = （ ） A ．3 62⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．3 22⎛⎫⎪⎝⎭， C ．()1 6， D ．()1 2， 2.若复数()421aiz a R i-=∈-的实部为1，则z 的虚部为（ ） A ．1 B ．3 C ．1- D ．3-3.已知向量()2 m =a ，，()1 2=-b ，，若()222m ⋅-=+a a b b ，则实数m 等于（ ） A ．12 B ．52 C．．544.若47972cos cos sin sin cos cos 51551523x x πππππ⎛⎫-=++ ⎪⎝⎭，则sin 2x 等于（ ） A ．13 B ．13- C.112 D ．112-5.执行如图所示的程序框图，若94a =，则输出S 的值为（ ）A ．10B ．12 C.14 D ．166.若实数 x y ，满足条件1022010x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则543z x y =-+的最大值为（ ） A ．158-B ．54- C.12- D ．1- 7.“()22143m x dx ≤-⎰”是“函数()122x x mf x +=+的值不小于4”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件8.甲、乙、丙三位同学将独立参加英语听力测试，根据平时训练的经验，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为P 、23、35，若三人中有人达标但没有全部达标的概率为23，则P 等于（ ） A ．23 B ．34 C.45 D ．569.已知函数()()12cos cos 3f x x x ϕ=++是偶函数，其中0 2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则下列关于函数()()cos 2g x x ϕ=-的正确描述是（ ）A ．()g x 在区间 123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最小值为1- B ．()g x 的图象可由函数()f x 的图象先向上平移2个单位，再向右平移3π个单位得到 C.()g x 的图象可由函数()f x 的图象向左平移3π个单位得到 D ．()g x 的图象可由函数()f x 的图象向右平移3π个单位得到10.已知函数() 2 011 1x f x x -<<⎧=⎨≥⎩，，，则不等式()2134log log 41log 15x x f x ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．1 13⎛⎫⎪⎝⎭， B ．[]1 4， C.1( 4]3， D ．[1 )+∞，11.设双曲线()2222:10 0x y C a b a b-=>>，的左焦点为() 0F c -，，点M 、N 在双曲线C 上，O 是坐标原点，若四边形OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2 C.．12.已知函数()()26 3 x e exf x x xg x ex+=---=，，实数m ，n 满足0m n <<，若[]1 x m n ∀∈，，()20 x ∃∈+∞，，使得()()12f x g x =成立，则n m -的最大值为（ ）A ．4B ． C. D ．第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.51x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为 ．14.若抛物线()220y px p =>上的点()00 22p x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，到其焦点的距离为52，则p = ． 15.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3534a a =+，若510S <，则2a 的取值范围是 ．16.在ABC △中，内角 A B C ，，所对的边分别为 a b c ，，，已知22sin cos sin cos 4sin c A A a C C B +=，cos B =D 是AC 上一点，且23BCD S =△，则ADAC= ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()1*63n n S a n N +=+∈. （1）求a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）若()()2311log n n n b an a a +=-⋅，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18.（本小题满分12分）在ABC △中，角 A B C ，，所对的边分别为 a b c ，，，且232cos cos a c bA B-=.（1）若b B =，求a ；（2）若a =ABC △b c +. 19.（本小题满分12分）为推行“新课堂”教学法，某地理老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”.（1）由以上统计数据填写下面22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？附：()()()()()()2 n ad bc K n a b c d a c b d a b c d -==+++++++，临界值表：（2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核，在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X ，求X 的分布列及数学期望. 20.（本小题满分12分）已知右焦点为() 0F c ，的椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>过点31 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，，且椭圆M 关于直线x c =对称的图形过坐标原点.（1）求椭圆M 的方程；（2）过点()4 0，且不垂直于y 轴的直线与椭圆M 交于P ，Q 两点，点Q 关于x 轴的对称点为E ，证明：直线PE 与x 轴的交点为F . 21.（本小题满分12分）已知函数()()()322ln f x a x a x a R =--+-∈.（1）若函数()y f x =在区间()1 3，上单调，求a 的取值范围； （2）若函数()()g x f x x =-在10 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，上无零点，求a 的最小值. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，圆C 的极坐标方程是2sin a ρθ=，直线l 的参数方程是3545x t a y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.（1）若2a =，M 为直线l 与x 轴的交点，N 是圆C 上一动点，求MN 的最大值； （2）若直线l 被圆C 截得的弦长为a 的值.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()1f x x =+.（1）解不等式()2f x x <； （2）若()28f x x a+->对任意x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围.数学参考答案（理科）一、选择题1.C ∵{}26A x x =-<<，{}1B x x =>，∴{}16A B x x =<< .2.B ∵()()()2122z ai i a a i =-+=++-的实部为1，∴1a =-，则虚部为3. 3.D ∵()20 4a b m -=+，，()222a a b b m ⋅-=+，∴2245m m m +=+，解得54m =. 4.A 由已知得12cossin 2323x π=-+，解得1sin 23x =. 5.B 0 2; 2 3; 6 4;12 5S i S i S i S i ========，，，，，结束，即输出S 的值为12. 6.C 根据约束条件画出可行域，则当 1 2x y ==，时，43x y +取最大值10，则z 取最大值12-. 7.A ()()2232114343m x dx x x ≤-=-=-⎰，()f x ≥若()f x 的值不小于4，则4，解得2m ≤-，故选A.8.B 3人中有人达标但没有全部达标，其对立事件为“3人都达标或全部没有达标”，则()231221135353P P ⨯+⨯-=-，解得34P =. 9.C ∵0 2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴330 2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∵()f x 为偶函数，∴33πϕπϕ==⇒，则()()cos2cos 2f x x x π=-=-，()cos 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则将函数()f x 的图象向左平移3π个单位可得函数()g x 的图象，故选C.10.C 原不等式3214log 11log log 415x x x +≥⎧⎪⇔⎛⎫⎨--≤ ⎪⎪⎝⎭⎩或32140log 11log 2log 415x x x <+<⎧⎪⎛⎫⎨+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得14x ≤≤或113x <<， ∴原不等式的解集为1( 4]3，.11.D 设()00 M x y ，，∵四边形OFMN 为平行四边形，∴02cx =-，∵四边形OFMN，∴0y c，即0y =，∴ 2c M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入双曲线方程得2214e -=，∵1e >，∴e =12.A ()()21'1'x x e x e g x ex ex -⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则当01x <<时，()'0g x <；当1x >时，()'0g x >，∴()()min 12g x g ==.()()2366f x x =-++≤，作函数()y f x =的图象如图所示，当()2f x =时，方程两根分别为5-和1-，则n m -的最大值为()154---=.二、填空题13.20-，由通项公式得常数项为()23351C 20⨯-⨯=-.14.1，由题意024px =且0522p x +=，消去0x 得2540p p -+=，解得1p =或4p =（舍去）. 15.() 2-∞，，设公差为d ，由3634a a =+得223344a d a d +=++，即224d a =-，则由510S <得()()()152425556810222a a a a a ++-==<，解得22a <.16.59，由22sin cos sin cos 4sin c A sA a C C B +=得22222222422b c a a b c a c ac b bc ab+-++⋅+⋅=，化简得4ac =.由cos B =3sin 4B =，∴13sin 22ABC S ac B ==△，∵49BCD ABC S CD AC S ==△△，∴59AD AC =.三、解答题17.解：（1）∵163n n S a +=+，∴当1n =时，11669S a a ==+，………………………………1分 当2n ≥时，()16623n n n n a S S -=-=⋅，…………………… …………2分 即13n n a -=，…………………………………………………………3分∵{}n a 是等比数列，∴11a =-，则96a +=，得3a =-，……………………4分 ∴数列{}n a 的通项公式为()1*3n n a n N -=∈.………………………………5分（2）由（1）得()()()()2311log 3231n n n b an a a n n +=-⋅=-+，……………………7分∴()()1211111114473231n n T b b b n n =+++=+++⨯⨯-+………………………………9分 111111134473231n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭………………………………………11分31nn =+.……………………………………………………12分 18.解：（1）由正弦定理得：2322sin 3sin 2sin cos cos cos cos a c b A C BA B A B--==⇒，………… …………1分 即2sin cos 3sin cos 2sin cos A B C A B A =-，……………………………………………………2分∴1sin 2bc A =，得3bc =，…………………………………………………………7分∵a 22463b c bc +-=，…………………………………………9分∴()21063b c bc +-=，即()216b c +=，……………………………………11分 ∵0 0b c >>，，∴4b c +=.…………………………………………………………12分 19.解：（1）………………………………………………………………………………………………2分 根据22⨯列联表中的数据，得2K 的观测值为()240941611 5.227 5.024********k ⨯-⨯=>⨯⨯⨯≈，∴能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.………………5分 （2）由表可知在8人中成绩不优良的人数为158340⨯=，则X 的可能取值为0 1 2 3，，，.…………6分 ()31131533091C P X C ===；()2111431544191C C P X C ===；…………………………………………………………8分()12114315662455C C P X C ===；()3431543455C P X C ===.…………………………………………………………10分 ∴X 的分布列为：………………………………………………………………………………………………11分∴()334466436401239191455455455E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.……………………………………12分 20.（1）解：∵椭圆M 过点31 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴221914a b +=，①………………………………1分 ∵椭圆M 关于直线x c =对称的图形过坐标原点，∴2a c =，………………………………2分∵222a b c =+，∴2234b a =，②…………………………………………………………3分由①②得24a =，23b =，……………………………………………………4分∴椭圆M 的方程为22143x y +=.………………………………………………5分（2）证明：易知直线PQ 的斜率必存在，设直线PQ 的方程为()()40y k x k =-≠，代入22143x y +=得()2222343264120k x k x k +-+-=，由()()()22223243464120k k k ∆=--+->得，11 22k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，.…………………………7分 设()()1122 P x y Q x y ，，，，()22 E x y -，，则21223234k x x k +=+，2122641234k x x k -=+，……………………………………8分 则直线PE 的方程为()121112y y y y x x x x +-=--，令0y =得：()()()122112122111121212448x k x x k x x x x y x y x y x y y y y k x x ⋅-+⋅--+=-⋅+==+++- ()22221212212641232242434341328834k k x x x x k k k x x k -⋅-⋅⋅-+++===+--+，∴直线PE 过定点()1 0，，又M 的右焦点为()1 0，，∴直线PE 与x 轴的交点为F .…………12分 21.解：（1）()()322'3a x f x a x x--=--=，………………………………1分 当3a ≥时，有()'0f x <，即函数()f x 在区间()1 3，上单调递减；……………………2分 当3a <时，令()'0f x =，得23x a=-，若函数()y f x =在区间()1 3，上单调，则213a≤-或233a ≥-，解得1a ≤或733a ≤<；………………………………4分综上，a 的取值范围是7( 1][ )3-∞+∞ ，，………………………………5分（2）因为当0x →时，()g x +∞→，所以()()()212ln 0g x a x x =---<在区间10 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，上恒成立不可能， …………………………………………………………………………6分故要使函数()g x 在10 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，上无零点，只要对任意的10 2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，()0g x >恒成立， 即对10 2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，2ln 21x a x >--恒成立， 令()2ln 12 0 12x l x x x ⎛⎫=-∈ ⎪-⎝⎭，，， 则()()()()222212ln 2ln 2'11x x x x x l x x x --+-=-=--，………………………………8分 再令()212ln 2 0 2m x x x x ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭，，， 则()()222122'0x m x x x x --=-+=<，故()m x 在10 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为减函数，于是()122ln 202m x m ⎛⎫>=-> ⎪⎝⎭，………………10分 从而，()'0l x >，于是()l x 在10 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为增函数，所以()124ln 22l x l ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭， 故要使2ln 21nxa x >--恒成立，只要[24ln 2 )a ∈-+∞，， 综上，若函数()g x 在10 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，上无零点，则a 的最小值为24ln2-.……………………12分 22.解：（1）由24sin ρρθ=得圆C 可化为2240x y y +-=，…………………………1份 将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，得()423y x =--，…………………………2分 令0y =，得2x =，即点M 的 坐标为()2 0，，…………………………………………3分 又圆C 的圆心坐标为()0 2，，半径2r =，则MC =分 所以MN的最大值为2MC r +=.………………………………………………5分 （2）因为圆()222:C x y a a +-=，直线:4340l x y a +-=，………………………………6分 所以圆心C 到直线l 的距离3455a a a d -==，…………………………………………7分所以=分 解得52a =±.…………………………………………………………10分23.解：（1）由()2f x x <，得12x x +<，则212x x x -<+<，……………………………………………………2分 即1212x x x x+<⎧⎨+>-⎩，………………………………………………3分 解得1x >，∴不等式()2f x x <的解集为()1 +∞，.…………………………5分 （2）∵()111f x x a x x a x x a a +-=++-≥+-+=+，………………7分 又()3282f x x a+->=对任意x R ∈恒成立，即()3f x x a +->对任意x R ∈恒成立，……8分∴13a +>，解得4a <-或2a >，∴实数a 的取值范围是()() 4 2 -∞+∞ ，，.………………………………10分。
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四川省雅安市2017-2018学年高二数学上学期第一次月考试题 理 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将答题卡收回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，每个小题给出的四个选项中，只有唯一个选项符合题目要求，请将正确答案的序号填涂在答题卡上。
）1、圆036422=--++y x y x 的圆心和半径分别为（ ）A.（4，-6）,16B.（2，-3），4C.（-2，3），4D.（2，-3），162、直线34140x y +-=与圆()()22114x y -++=的位置关系是（ ）A ．相交且直线过圆心B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相离3、若直线和直线平行，则的值为（ ）A. 1B. -2C. 1或-2D.4、过点A(1，2)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( )A ．x －2y ＋4＝0B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y ＋3＝0D ．x －2y ＋5＝05、点A (1,3)关于直线y ＝kx ＋b 对称的点是B (－2,1)，则直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距是( )A ．－32B ．54C ．－65D ．56 6、一条光线从点M （5，3）射出，与x 轴的正方向成α角，遇x 轴后反射，若3tan =α，则反射光线所在的直线方程为（ ）A.123-=x yB.123--=x yC.123+=x yD.123+-=x y7、已知圆心(a ，b )(a <0，b <0)在直线y ＝2x ＋1上的圆，其圆心到x 轴的距离恰好等于圆的半径，在y 轴上截得的弦长为( )A ．(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝9B ．(x ＋3)2＋(y ＋5)2＝25 C ．(x ＋6)2＋73y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2 ＝499 D.23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2＋73y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2 ＝49980y +-=截圆224x y +=所得的劣弧所对圆心角为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒9、方程(0x 表示的曲线为（ ） A ．一条直线和一个圆 B ．一条线段与半圆C ．一条射线与一段劣弧D ．一条线段与一段劣弧10、直线)3x (k y -=与圆()()22324x y -+-=相交于M,N 两点，若MN ≥k 的取值范围是（ ） A.3-≤k B.33≥-≤k k 或 C.3≤k D. 33≤≤-k11、已知平面内两点()()1,2,3,1A B 到直线l ，则满足条件的直线l 的条数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 412、已知正三角形ABC 的边长为在平面ABC 中，动点,P M 满足1,AP M =是PC 的中点，则线段BM 的最小值为（ ）A.52B. 21 D. 3第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本题共4个小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡上。
）13、过点M(－2，m)，N(m ，4)的直线的斜率等于1，则m ＝________．14、若关于的方程只有一个解，则实数的取值范围是__________．15、在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为015822=+-+x y x ，若直线2-=kx y 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________.16、已知动点),(y x P 满足022=--+y x y x ，O 为坐标原点，则22y x +的最大值为 .三、解答题：（本题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤。
）17、（本小题满分10分）（1）已知直线l 经过两条直线2x+3y ﹣14=0和x+2y ﹣8=0的交点，且与直线2x ﹣2y ﹣5=0平行．求直线l 的一般式方程；（2）已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且经过点P （3，0），求椭圆的标准方程.18、（本小题满分12分）（1）过点(2,4)P 向圆22:4O x y +=作切线，求切线的方程；（2）点P 在圆2246120x y x y ++-+=上，点Q 在直线4321x y +=上，求||PQ 的最小值.19、（本小题满分12分）已知圆M 过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上．(1) 求圆M 的方程；(2) 设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA′，PB′是圆M 的两条切线，A′，B′为切点，求四边形PA′MB′面积的最小值．20、（本小题满分12分）已知曲线C 的方程为：222240ax ay a x y +--=（0a ≠，a 为常数）. （Ⅰ）判断曲线C 的形状；（Ⅱ）设直线:24l y x =-+与曲线C 交于不同的两点M 、N ，且OM ON =，求曲线C 的方程.21、（本小题满分12分）已知曲线22:240C x y x y m +--+=（1）若1m =，过点()2,3-的直线l 交曲线C 于,M N 两点，且MN =l 的方程；（2）若曲线C 表示圆，且直线10x y --=与圆C 交于,A B 两点，是否存在实数m ，使得以AB 为直径的圆过原点，若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明理由.22、（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆22:4O x y +=交x 轴于点,A B （点A 在x 轴的负半轴上），点M 为圆O 上一动点，,MA MB 分别交直线4x =于,P Q 两点。
（1）求,P Q 两点纵坐标的乘积；（2）若点C 的坐标为(1,0)，连接MC 交圆O 于另一点N ．①试判断点C 与以PQ 为直径的圆的位置关系，并说明理由；②记,MA NA 的斜率分别为12,k k ，试探究12k k 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．参考答案一、选择题CDACD DACDB AA二、填空题13、1 14、或15、34 16、2三、解答题17、（1）、x ﹣y ﹣2=0（2）2222119819x y x y +=+=或18、（1）2x =或34100x y -+=；（2）||PQ 的最小值为3.19、试题解析：(1) 设圆M 的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2(r>0)，根据题意解得a ＝b ＝1，r ＝2.故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.(2) 由题知，四边形PA′MB′的面积为S ＝S △PA′M ＋S △PB′M ＝|A′M||PA′|＋|B′M||PB′|. 又|A′M|＝|B′M|＝2，|PA′|＝|PB′|，所以S ＝2|PA′|.而|PA′|＝.即S ＝2.因此要求S 的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM|的值最小，所以|PM|min ＝，所以四边形PA′MB′面积的最小值为S ＝2＝2＝5220、试题解析：（Ⅰ）将曲线C 的方程化为：()22222242420x y ax y x a y a a a a ⎛⎫+--=⇒-+-=+ ⎪⎝⎭， 可知曲线C 是以点2,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭为半径的圆； （Ⅱ）原点坐标满足方程，所以圆C 过坐标原点， 又OM ON =，∴圆心2,C a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭在MN 的垂直平分线上，故12OC k = 22a a ∴=，2a ∴=±， 当2a =-时，圆心坐标为()2,1--，圆的半径为，圆心到直线:24l y x =-+的距离d ==>，直线l 与圆C 相离，不合题意舍去;当2a =时，符合条件，这时曲线C 的方程为22420x y x y +--=.21、解(1) 当1m =时, 曲线C 是以()1,2C 为圆心,2为半径的圆,若直线l 的斜率不存在,显然不符，故可直线l 为: ()32y k x -=+，即230kx y k -++=．由题意知，圆心()1,2C 到直线l1=，即1=解得0k =或34k =-.故的方程3y =或3342y x =-+ (即3460x y +-=) (2)由曲线C 表示圆22240x y x y m +--+=，即()()22125x y m -+-=-，所以圆心C（1,2），半径r =5m <.假设存在实数m 使得以AB 为直径的圆过原点，则OA OB ⊥，设()()1122,,,A x y B x y ，则12120x x y y +=，由22240{ 10x y x y m x y +--+=--=得22850x x m -++= ()64852480m m ∴∆=-+=->，即3m <，又5m <，故3m <,从而121254,2m x x x x ++== ()()()1212121251111322m m y y x x x x x x +-∴=--=-++=-=1212512022m m x x y y m +-∴+=+=+= 23m ∴=-<, 故存在实数m 使得以AB 为直径的圆过原点， 2m =-．22、试题解析：（1）由题意，得(2,0)A -，(2,0)B ，设00(,)M x y ， ∴直线AM 的方程为00(2)2y y x x =++，令4x =，则0062y y x =+，∴006(4,)2y P x +， 同理002(4,)2y Q x -，∴20002000621212224P Q y y y y y x x x =⋅==-+--。
（2）①(1,0)C ，由（1）知006(3,)2y CP x =+，002(3,)2y CQ x =-， ∴0000629322y y CP CQ x x ⋅=+⋅=-+-，即2PCQ π∠>，∴点C 在圆内。
②设11(,)M x y ，22(,)N x y ，当直线MN的斜率不存在时，(1M，(1,N ，此时1213k k =-， 当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)y k x =-， 代入圆方程224x y +=，整理得2222(1)240k x k x k +-+-=， ∴212221k x x k +=+，212241k x x k-=+，又212121212121212(1)(2)(2)2()4y y k x x x x k k x x x x x x --+==+++++， ∴22222122222421111443411k k k k k k k k k k k--+++==--++++。