高中数学 第2章 概率 4 二项分布课后演练提升 北师大版选修2-3
高中数学 第2章 概率 2.4 二项分布学业分层测评 北师
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第2章 概率 2.4 二项分布学业分层测评 北师大版选修2-3(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．一头病猪服用某药品后被治愈的概率是90%，则服用这种药的5头病猪中恰有3头猪被治愈的概率为( )A ．0.93B ．1－(1－0.9)3C ．C 35×0.93×0.12D ．C 35×0.13×0.92【解析】 由独立重复试验恰好发生k 次的概率公式知，该事件的概率为C 35×0.93×(1－0.9)2.【答案】 C2．假设流星穿过大气层落在地面上的概率为14，现有流星数量为5的流星群穿过大气层有2个落在地面上的概率为( )A.116 B.135512 C.45512D.271 024【解析】 此问题相当于一个试验独立重复5次，有2次发生的概率，所以P ＝C 25·⎝ ⎛⎭⎪⎫142·⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝135512. 【答案】 B3．在4次独立重复试验中事件出现的概率相同．若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中出现的概率为( )A.13 B.25 C.56D.34【解析】 设所求概率为p ，则1－(1－p )4＝6581，得p ＝13.【答案】 A4．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫125 B ．C 25×⎝ ⎛⎭⎪⎫125C ．C 35×⎝ ⎛⎭⎪⎫123D ．C 25×C 35×⎝ ⎛⎭⎪⎫125【解析】 如图，由题可知，质点P 必须向右移动2次，向上移动3次才能位于点(2,3)，问题相当于5次独立重复试验向右恰好发生2次的概率．所以概率为P ＝C 25×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125.故选B. 【答案】 B5．若随机变量ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，则P (ξ＝k )最大时，k 的值为( ) A ．1或2 B ．2或3 C ．3或4D ．5【解析】 依题意P (ξ＝k )＝C k5×⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫235－k ，k ＝0,1,2,3,4,5.可以求得P (ξ＝0)＝32243，P (ξ＝1)＝80243，P (ξ＝2)＝80243，P (ξ＝3)＝40243，P (ξ＝4)＝10243，P (ξ＝5)＝1243.故当k ＝2或1时，P (ξ＝k )最大．【答案】 A 二、填空题6．已知汽车在公路上行驶时发生车祸的概率为0.001，如果公路上每天有1 000辆汽车通过，则公路上发生车祸的概率为________；恰好发生一起车祸的概率为________．(已知0.9991 000≈0.367 70,0.999999≈0.368 06，精确到0.000 1)【解析】 设发生车祸的车辆数为X ，则X ～B (1 000，0.001)． (1)记事件A ：“公路上发生车祸”，则P (A )＝1－P (X ＝0)＝1－0.9991 000≈1－0.367 70＝0.632 3.(2)恰好发生一次车祸的概率为P (X ＝1)＝C 11 000×0.001×0.999999≈0.368 06≈0.368 1. 【答案】 0.632 3 0.368 17．在等差数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝－4，现从{a n }的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为______．(用数字作答)【解析】 由已知可求通项公式为a n ＝10－2n (n ＝1,2,3，…)，其中a 1，a 2，a 3，a 4为正数，a 5＝0，a 6，a 7，a 8，a 9，a 10为负数，∴从中取一个数为正数的概率为410＝25，取得负数的概率为12.∴取出的数恰为两个正数和一个负数的概率为C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫252×⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝625.【答案】6258．下列说法正确的是________．(填序号)①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，且X ～B (10,0.6)；②某福彩的中奖概率为p ，某人一次买了8张，中奖张数X 是一个随机变量，且X ～B (8，p )；③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X 是随机变量，且X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫n ，12.【解析】 ①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X 的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．【答案】 ①② 三、解答题9．(2016·滨州高二检测)某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医，方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构．若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区有A ，B ，C 三家社区医院，并且他们的选择相互独立．设4名参加保险人员选择A 社区医院的人数为X ，求X 的分布列．【解】 由已知每位参加保险人员选择A 社区的概率为13，4名人员选择A 社区即4次独立重复试验，即X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，所以P (X ＝k )＝C k4·⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫234－k (k ＝0,1,2,3,4)，所以X 的分布列为三局的队获胜，并且比赛就此结束，现已知甲、乙两队每比赛一局，甲队获胜的概率为35，乙队获胜的概率为25，且每局比赛的胜负是相互独立的．(1)求甲队以3∶2获胜的概率； (2)求乙队获胜的概率．【解】 (1)设甲队以3∶2获胜的概率为P 1，则P 1＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫352·⎝ ⎛⎭⎪⎫252·35＝6483 125. (2)设乙队获胜的概率为P 2，则P 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫252·35·25＋C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫252·⎝ ⎛⎭⎪⎫352·25＝9923 125.能力提升]1．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是( )A ．0.216B ．0.36C ．0.432D ．0.648【解析】 甲获胜有两种情况，一是甲以2∶0获胜，此时p 1＝0.62＝0.36；二是甲以2∶1获胜，此时p 2＝C 12×0.6×0.4×0.6＝0.288，故甲获胜的概率p ＝p 1＋p 2＝0.648.【答案】 D2．(2016·孝感高级期中)掷一枚质地均匀的骰子n 次，设出现k 次点数为1的概率为P n (k )，若n ＝20，则当P n (k )取最大值时，k 为( )A ．3B ．4C ．8D ．10【解析】 掷一枚质地均匀的骰子20次，其中出现点数为1的次数为X ，X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫20，16，P n (k )＝C k 20·⎝ ⎛⎭⎪⎫5620－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫16k. P n k P n k －＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫21k －1. 当1≤k ≤3时，15⎝ ⎛⎭⎪⎫21k －1>1，P n (k )>P n (k －1)．当k ≥4时，15⎝ ⎛⎭⎪⎫21k －1<1，P n (k )<P n (k －1)．因此k ＝3时，P n (k )取最大值．故选A.【答案】 A3．有n 位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p (0<p <1)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为________. 【导学号：62690040】【解析】 所有同学都不通过的概率为(1－p )n，故至少有一位同学通过的概率为1－(1－p )n.【答案】 1－(1－p )n4．“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负．现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的．(1)求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率；(2)若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X ，求X 的分布列．【解】 (1)玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是(石头，石头)，(石头，剪刀)，(石头，布)，(剪刀，石头)，(剪刀，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，(布，剪刀)，(布，布)，共有9个基本事件．玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是(石头，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，共有3个．所以在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率P ＝13.(2)X 的可能取值分别为0,1,2,3，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13， 则P (X ＝0)＝C 03·⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，P (X ＝1)＝C 13·⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49， P (X ＝2)＝C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝29， P (X ＝3)＝C 33·⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127. X 的分布列如下：。
高中数学 第二章 概率测试题 北师大版选修2-3(2021年最新整理)
高中数学第二章概率测试题北师大版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章概率测试题北师大版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第二章 概率（时间：120分钟 满分：150分） 学号：______ 班级：______ 姓名：______ 得分：______ 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.抛掷两颗骰子所得点数之和为X ,那么4 X 表示的随机试验结果是（ ） A .两颗都是4点 B 。
两颗都是2点C .一颗是1点，另一颗是3点D .一颗是1点，另一颗是3点或两颗都是2点2. 已知随机变量X 服从正态分布，X 的取值落在区间（-3,—1)内的概率和落在区间(3,5）内的概率是相等的，那么随机变量X 的均值为（ ）A.—2B.0C.1D.23。
已知电灯泡使用时数在1 000小时以上的概率为0。
2，则3只灯泡在使用1 000小时后最多有1只坏了的概率是( )A ．0。
401B ．0.410C ．0.014D ．0.1044. 位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是错误!，则质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率是（ ） A ．（错误!）3 B ．C 错误!×(错误!)5 C ．C 错误!×(错误!)3 D ．C 错误!C 错误!×(错误!)55. 某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，他第一次失败，第二次成功的概率是（ )A ．错误!B ．1/5C ．4/5D ．错误!6.李先生居住在城镇的A 处，准备开车到单位B 处上班，途中（不绕行)共要经过6个交叉路口，假设每个交叉路口发生堵车事件的概率均为16，则李先生在一次上班途中会遇到堵车次数X 的均值E （X ）=（ ）A. 16B.1C.656()6⨯ D. 616()6⨯ 7。
高中数学 第2章 概率 2 超几何分布课后演练提升 北师大版选修2-3(2021年整理)
版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第2章概率2 超几何分布课后演练提升北师大版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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大版选修2—3一、选择题1．袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从其中任取2个球，则取得的2球颜色不同的概率约为（)A．0。
357 B．0。
536C．0。
464 D．0。
250解析：P＝错误!＝错误!≈0.536.答案：B2．50个乒乓球中,合格品45个，次品5个，从这50个乒乓球中任取3个，出现次品的概率为( ）A．错误!B．错误!C．1－错误!D．错误!解析:可以直接考虑次品1个、2个、3个，也可以用对立事件没有出现次品错误!，∴出现次品的概率：1－错误!.答案：C3．从4个女同学和5个男同学中，任选3人，选到2个女同学和1个男同学的概率p为（)A．错误!B．错误!C．584D．错误!解析：p＝错误!＝错误!.答案:B4．袋中有5个黑球和3个白球，从中任取2个球，则其中至少有1个黑球的概率是（) A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析:记黑球个数为X，P(X≥1)＝P(X＝1）＋P（X＝2)＝错误!＋错误!＝错误!.答案:B二、填空题5．一次口试中，学生要从10道题中随机抽出3道题回答,答对其中两道题就获得及格,某学生会答10道题中的8道题,那么这位学生口试及格的概率是____________.解析：从超几何分布来看，及格的概率P＝错误!＝错误!。
高中数学 第1部分 第二章 §4 二项分布应用创新演练 北师大版选修23
【三维设计】高中数学 第1部分 第二章 §4 二项分布应用创新演练 北师大版选修2-31．小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是( )A.19 B.29 C.13D.49解析：由题意P ＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫131⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49.答案：D2．若X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13，则P (X ＝2)＝( ) A.316 B.4243 C.13243D.80243解析：∵X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13， ∴P (X ＝2)＝C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝80243.答案：D3．某一试验中事件A 发生的概率为p ，则在n 次独立重复试验中A 发生k 次的概率为( )A ．C k n p k(1－p )n －kB ．(1－p )k pn －kC ．(1－p )kD ．C kn (1－p )k pn －k解析：由于P (A )＝p ，则P (A )＝1－p .所以在n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率为C kn (1－p )k p n －k.答案：D4．某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有2次击中目标的概率为( )A.81125B.54125C.36125D.27125解析：至少有2次击中目标包含以下情况： 只有2次击中目标，此时概率为 C 23×0.62×(1－0.6)＝54125，3次都击中目标，此时的概率为C 33×0.63＝27125，∴至少有2次击中目标的概率为54125＋27125＝81125.答案：A5．设X ～B (2，p )，若P (X ≥1)＝59，则p ＝_______解析：∵X ～B (2，p )， ∴P (X ＝k )＝C k 2p k(1－p )2－k，k ＝0,1,2.∴P (X ≥1)＝1－P (X <1) ＝1－P (X ＝0) ＝1－C 02p 0(1－p )2＝1－(1－p )2.由P (X ≥1)＝59，得1－(1－p )2＝59，结合0<p ≤1，得p ＝13.答案：136．下列说法正确的是________．①某同学投篮命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，且X ～B (10,0.6)；②某福彩的中奖概率为p ，某人一次买了8张，中奖张数X 是一个随机变量，且X ～B (8，p )；③从装有5红5白的袋中，有放回的摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X 是随机变量，且X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12.解析：①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回的摸球，但随机变量X 的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．答案：①②7．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为35，且各次射击的结果互不影响．该射手射击了5次，求：(1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率； (2)其中恰有3次击中目标的概率．解：(1)该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，是在确定的情况下击中目标3次，也即在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又各次射击的结果互不影响，故所求其概率为P 1＝35×⎝⎛⎭⎪⎫1－35×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35×35＝1083 125；(2)该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标，击中次数X ～B (5，35)，故所求其概率为P (X ＝3)＝C 35×⎝ ⎛⎭⎪⎫353×⎝⎛⎭⎪⎫1－352＝216625. 8．(2012·四川高考)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值；(2)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量X ，求X 的概率分布列及数学期望EX .解：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么1－P (C )＝1－110p ＝4950，解得p ＝15.(2)由题意，P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫1103＝11 000，P (X ＝1)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1102×⎝⎛⎭⎪⎫1－110＝271 000， P (X ＝2)＝C 23×110×⎝⎛⎭⎪⎫1－1102＝2431 000， P (X ＝3)＝C 33×⎝⎛⎭⎪⎫1－1103＝7291 000. 所以，随机变量X 的概率分布列为故随机变量X EX ＝0×11 000＋1×271 000＋2×2431 000＋3×7291 000＝2710.。
高中数学第二章概率4二项分布课后作业含解析北师大版选修2_3
第二章 概率 4 二项分布[A 组 基础巩固]1．若100件产品中有10件次品，从中有放回地抽取5件，其中次品数ξ～B (n ，p )，则( ) A ．n ＝5，p ＝0.1 B ．n ＝10，p ＝0.1 C ．n ＝5，p ＝0.9 D ．n ＝10，p ＝0.9解析：n ＝5，p ＝10100＝0.1.答案：A2．已知小王通过英语听力测试的概率是13，若他连续测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是( )A.19B.29C.13D.49解析：P ＝C 13(13)×(1－13)2＝49. 答案：D3．一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为8081，则此射手每次射击命中的概率为( )A.13B.23C.14D.25 解析：设此射手射击四次命中次数为ξ， ∴ξ～B (4，p )，依题意可知，P (ξ≥1)＝8081.∴1－P (ξ＝0)＝1－C 04(1－p )4＝8081， ∴(1－p )4＝181，p ＝23.答案：B4．设某批电子手表正品率为34，次品率为14，现对该批电子手表进行测试，设第X 次首次测到正品，则P (X ＝3)等于( )A ．C 23⎝⎛⎭⎫142×34B ．C 23⎝⎛⎭⎫342×14C.⎝⎛⎭⎫142×34D.⎝⎛⎭⎫342×14解析：P (X ＝3)是前两次未抽到正品，第三次抽到正品的，则P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫142×34. 答案：C5．一个学生通过某种英语听力测试的概率是12，他连续测试n 次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n 的最小值为( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：由1－C 0n ⎝⎛⎭⎫1－12n ＞0.9， 得⎝⎛⎭⎫12n＜0.1， ∴n ≥4. 答案：C6．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9； ②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1； ③他至少击中目标1次的概率是1－0.14.其中结论正确的是________(写出所有正确结论的序号)．解析：②中概率应为C 34×0.93×0.1.答案：①③7．已知随机变量X ～B (3，34)，则X 的分布列为________．解析：P (X ＝0)＝C 03(14)3＝164， P (X ＝1)＝C 13·(34)·(14)2＝964，P (X ＝2)＝C 23·(34)2·(14)＝2764， P (X ＝3)＝(34)3＝2764.答案：8.下列随机变量X 的分布列不属于二项分布的是________．①某事业单位有500名在职人员，人事部门每年要对他们进行年度考核，每人考核结果为优秀的概率是0.25.假设每人年度考核是相互独立的，X 为考核结果为优秀的人数；②某汽车总站附近有一个加油站，每辆车出汽车总站后再进加油站加油的概率是0.12，且每辆车是否加油是相互独立的，某天出汽车总站有50辆汽车，X 为进加油站加油的汽车数；③某射手射中目标的概率为p ，设每次射击是相互独立的，X 为从开始射击到击中目标所需要的射击次数；④某星期内，每次下载某网站数据后被病毒感染的概率为0.5，X 表示下载n 次数据后电脑被病毒感染的次数．解析：命题①：每人考核结果只有“优秀”“不优秀”两个对立结果，且每人考核结果为优秀是相互独立的，并且概率为常数，所以随机变量X 服从二项分布；命题②：每辆车出汽车总站后，只有进加油站加油和不进加油站加油两个结果，同时每辆车进加油站加油的概率为常数，而且相互独立，所以随机变量X 服从二项分布；命题③：在一次又一次射击中，第一次射中是我们关注的事件A ，随机变量X 表示第一次击中目标时射击的次数，显然随机变量X 不服从二项分布；命题④：同命题①②，可判断随机变量X 服从二项分布．答案：③9．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为35，且各次射击的结果互不影响．该射手射击了5次，求：(1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率； (2)其中恰有3次击中目标的概率；(3)其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率．解析：(1)该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，是在确定的情况下击中目标3次，也即在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又各次射击的结果互不影响，故所求概率为p ＝35×(1－35)×35×(1－35)×35＝1083 125.(2)该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标的概率情况不确定，根据排列组合知识，5次当中选3次，共有C 35种情况，又各次射击的结果互不影响，故所求概率为p ＝C 35×(35)3×(1－35)2＝216625. (3)该射手射击了5次，其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标，应用排列组合知识，将3次连续击中目标看成一个整体，另外两次没有击中目标，产生3个空隙，所以共有C 13种情况，故所求概率为p ＝C 13×(35)3×(1－35)2＝3243 125. 10．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值；(2)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量X ，求X 的概率分布列．解：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么1－P (C )＝1－110P ＝4950，解得p ＝15. (2)由题意，P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫1103＝11 000， P (X ＝1)＝C 13×⎝⎛⎭⎫1102×⎝⎛⎭⎫1－110＝271 000，P (X ＝2)＝C 23×110×⎝⎛⎭⎫1－1102＝2431 000， P (X ＝3)＝C 33×⎝⎛⎭⎫1－1103＝7291 000. 所以，随机变量X 的概率分布列为[B 组 能力提升]1．已知甲、乙两人投篮命中的概率分别为p 、q ，他们各投两次，若p ＝12，且甲比乙投中次数多的概率恰好等于736，则q 的值为( )A.45B.34C.23D.12解析：C 12(12)2C 02(1－q )2＋C 22(12)2(1－q 2)＝736， 解得q ＝23.答案：C2．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列{a n }，a n ＝{ －1，第n 次摸到红球，1，第n 次摸到白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( )A ．C 57×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫235 B ．C 27×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫135 C ．C 57×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫135 D ．C 27×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫232 解析：由S 7＝3知，在7次摸球中有2次摸到红球，5次摸到白球，而每次摸到红球的概率为23，摸到白球的概率为13，则S 7＝3的概率为C 27×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫135，故选B. 答案：B3．设随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (3，p )，若P (X ≥1)＝716，则P (Y ＝2)＝________. 解析：716＝P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－(1－p )2，即(1－p )2＝916，p ＝14.故P (Y ＝2)＝C 23(14)2(34)1＝964. 答案：9644．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用X 表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求随机变量X 的分布列．解析：可视一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，相当于做了5次独立重复试验，故X ～B (5，13)，即有P (X ＝k )＝C k 5(13)k (23)5－k，k ＝0,1,2,3,4,5. 从而X 的分布列为：X 0 1 2 3 4 5 P322438024380243402431024312435.如图是高尔顿板的改造装置示意图，小球从入口处自由下落，已知在下落过程中，小球遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12.(1)求小球落入A 袋的概率P (A )；(2)在入口处依次放入4个小球，设落入A 袋中的小球个数为ξ，求ξ的分布列． 解析：(1)记“小球落入A 袋中”为事件A ，记“小球落入B 袋中”为事件B ，则事件A 的对立事件为B ，而小球落入B 袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故P (B )＝(12)4＋(12)4＝18，从而P (A )＝1－P (B )＝78； (2)ξ可能的取值为0,1,2,3,4. P (ξ＝0)＝C 04(78)0·(18)4＝14 096.P (ξ＝1)＝C 14(78)1·(18)3＝71 024； P (ξ＝2)＝C 24(78)2·(18)2＝1472 048； P (ξ＝3)＝C 34(78)3·(18)1＝3431 024； P (ξ＝4)＝C 44(78)4·(18)0＝2 4014 096. 所以ξ的分布列为：。
高中数学 第二章 概率 4 二项分布学案 北师大版选修2-3(2021年最新整理)
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§4 二项分布离散型随机变量概率模型之一二项分布进行n 次试验,如果满足以下条件：（1)每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”;（2）每次试验“成功”的概率均为p ，“失败”的概率均为1－p ；（3)各次试验是相互独立的．用X 表示这n 次试验中成功的次数,则P (X ＝k )＝C 错误!p k （1－p ）n －k （k ＝0，1，2,…，n ）．若一个随机变量X 的分布列如上所述，称X 服从参数为n ，p 的二项分布，简记为X ～B （n ，p )．预习交流下列随机变量服从二项分布吗?如果服从,其参数各为多少？（1)100件产品有3件不合格品，每次取一件，有放回地抽取三次，取得不合格品的件数；(2)一个箱子内有三个红球，两个白球，从中依次取2个球,取得白球的个数．提示:(1)服从二项分布,n ＝3,p ＝错误!.（2)不服从二项分布,因为每次取得白球的概率不相同．一、服从二项分布的概率计算某气象站天气预报的准确率为80％，计算（1)5次预报中恰有2次准确的概率；（2）5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第三次预报准确的概率．思路分析：5次预报可看作是做了5次试验，并且它们是彼此独立，而且结果只有两种（准确，不准确)，所以预报准确的次数服从参数为5,0。
高中数学 第2章 概率 2.4 二项分布学案 北师大版选修2-3(2021年整理)
§4二项分布1．掌握独立重复试验的概念及意义,理解事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式．(重点)2．理解n次独立重复试验的模型，并能用于解一些简单的实际问题．（难点）3．了解二项分布与超几何分布的关系．（易混点）[基础·初探]教材整理二项分布阅读教材P48~P50，完成下列问题．1．n次独立重复试验进行n次试验，如果满足以下条件：(1)每次试验只有两个相互________的结果，可以分别称为“________"和“________”；(2)每次试验“成功”的概率均为p,“失败”的概率均为错误!；（3）各次试验是相互独立的，则这n次试验称为n次独立重复试验．【答案】(1)对立成功失败(2）1－p2．二项分布（1）若用随机变量X表示n次独立重复试验的次数，则P（X＝k）＝________(k＝0,1,2，…，n)．(2)若一个随机变量X的分布列如（1)所述，则称X服从参数为n,p的二项分布，简记为X~________。
【答案】（1)C错误!p k(1－p）n－k(2）B(n，p）1．独立重复试验满足的条件是________．（填序号）①每次试验之间是相互独立的；②每次试验只有发生和不发生两种情况；③每次试验中发生的机会是均等的;④每次试验发生的事件是互斥的．【解析】由n次独立重复试验的定义知①②③正确．【答案】①②③2．一枚硬币连掷三次，只有一次出现正面的概率为________．【解析】抛掷一枚硬币出现正面的概率为错误!，由于每次试验的结果不受影响,故由独立重复试验可知,所求概率为P＝C错误!错误!错误!2＝错误!.【答案】错误![质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们"探讨交流:疑问1:解惑:疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)：（1)5次预报中恰有2次准确的概率;(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．【精彩点拨】由于5次预报是相互独立的,且结果只有两种（即准确或不准确），符合独立重复试验．【自主解答】（1)记预报一次准确为事件A，则P(A）＝0.8.5次预报相当于5次独立重复试验,2次准确的概率为P＝C错误!×0。
高中数学第二章概率二项分布学案含解析北师大版选修2_3
新人教A 版选修1_2高中数学学案含解析：§4 二项分布知识点 二项分布[填一填]进行n 次试验，如果满足以下条件：(1)每次试验只有两个相互独立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”； (2)每次试验“成功”的概率均为p ，“失败”的概率均为1－p ； (3)各次试验是相互独立的．用X 表示这n 次试验中成功的次数，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )．若一个随机变量X 的分布列如上所述，称X 服从参数为n ，p 的二项分布，简记为X ～B (n ，p )．[答一答]下列随机变量服从二项分布吗？如果服从，其参数各为多少？(1)100件产品有3件不合格品，每次取一件，有放回地抽取三次，取得不合格品的件数； (2)一个箱子内有三个红球，两个白球，从中依次取2个球，取得白球的个数． 提示：(1)服从二项分布，n ＝3，p ＝3100.(2)不服从二项分布，因为每次取得白球的概率不相同．1．对n 次独立重复试验的理解 (1)独立重复试验满足的条件第一：每次试验是在同样条件下进行的； 第二：每次试验中的事件是相互独立的；第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．(2)独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题，但在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以近似地看作此类型，因此独立重复试验在实际问题中应用广泛．2．n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率和某指定的k 次发生的区别 在n 次试验的总结果中，有些试验结果是A ，有些试验结果是A －，所以总结果是几个A 同几个A －的一种搭配，要求总结果中事件A 恰好发生k 次，就是k 个A 同(n －k )个A －的一种搭配，搭配种数为C k n .其次，每一种搭配发生的概率都是p k (1－p )n －k ，所以有P (X ＝k )＝C k n p k(1－p )n －k ，而后者的概率为P ＝p k (1－p )n －k .3．二项分布(1)二项分布实际上只是对n 次独立重复试验从概率分布的角度作了进一步的阐述，是概率论中最重要的几种分布之一．(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是对立性，即一次试验中只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”，二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次．(3)由二项分布的定义，若X ～B (n ，p )，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k (k ＝0,1,2，…，n )．这里各个符号的意义要弄清．(4)由于在n 次独立重复试验中某个事件恰好发生k 次的概率P (X ＝k )＝C k n p k q n －k 恰好是二项展开式(q ＋p )n ＝C 0n p 0q n ＋C 1n p 1q n －1＋…＋C k n p k q n －k ＋…＋C n np n q 0中的第k ＋1项(这里k 可取0,1,2，…，n 中的各个值)，所以称这样的随机变量X 服从二项分布．题型一 独立重复试验的概率的求法[例1] 某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5(相互独立)． (1)求至少3人同时上网的概率； (2)至少几人同时上网的概率小于0.3?[思路探究] 由于每个员工上网的概率都是0.5且相互独立，故6个员工上网即相当于进行6次独立重复试验．[解] 某单位6个员工每人上网的概率为0.5，作为对立事件，每个人不上网的概率也是0.5.在6个人需上网的条件下，“r 个人同时上网”这个事件(记为A r )的概率为P (A r )＝C r 60.5r (1－0.5)6－r ＝164C r 6(r ＝0,1，…，6)． (1)方法一：至少3人同时上网的概率为P ＝P (A 3＋A 4＋A 5＋A 6)＝P (A 3)＋P (A 4)＋P (A 5)＋P (A 6)＝164(C 36＋C 46＋C 56＋C 66)＝164(20＋15＋6＋1)＝2132.方法二：至少3人同时上网的概率为P ＝1－P (A 0＋A 1＋A 2)＝1－164(C 06＋C 16＋C 26)＝1－164(1＋6＋15)＝2132. (2)记“至少r 个人同时上网”这个事件为B r . P (B 6)＝P (A 6)＝164<0.3，P (B 5)＝P (A 5＋A 6)＝P (A 5)＋P (A 6)＝164(C 56＋C 66)＝764<0.3， P (B 4)＝P (A 4＋A 5＋A 6)＝P (A 4)＋P (A 5)＋P (A 6)＝164(C 46＋C 56＋C 66)＝1132>0.3. 所以至少5人同时上网的概率小于0.3.规律方法 独立重复试验是相互独立事件的特例(概率公式也是如此)，如同对立事件是互斥事件的特例一样，只是有“恰好”字样的问题用独立重复试验的概率公式计算更简单，如同有“至少”或“至多”字样的问题用对立事件的概率公式计算更简单一样．某射手每次射击击中目标的概率是0.8，且每次射击互不影响，求这名射手在10次射击中：(1)仅第8次击中目标的概率；(2)恰有8次击中目标的概率．解：由于每次射击只有两个结果：击中与不击中，击中目标的概率都是0.8，且各次射击是互不影响的，因此射击10次可视为10次独立重复试验．(1)10次射击中，只有第8次击中目标，其概率为P＝0.8×(1－0.8)9＝0.000 000 409 6.(2)10次射击中恰有8次击中目标即10次独立重复试验恰好发生8次，其概率为P(X＝8)＝C810×0.88×(1－0.8)10－8＝0.301 989 888.题型二服从二项分布的事件的概率[例2]在人寿保险事业中，很重视某一年龄段的投保人的死亡率．假如每个投保人能活到70岁的概率为0.6，试问3个投保人中：(1)全部活到70岁的概率；(2)有2个活到70岁的概率；(3)有1个活到70岁的概率．[思路探究]每人能否活到70岁是相互独立的，利用二项分布公式可求．[解]设3个投保人中活到70岁的人数为X，则X～B(3,0.6)，故P(X＝k)＝C k30.6k·(1－0.6)3－k(k＝0,1,2,3)．(1)P(X＝3)＝C33·0.63·(1－0.6)0＝0.216；即全部活到70岁的概率为0.216.(2)P(X＝2)＝C23·0.62·(1－0.6)＝0.432.即有2个活到70岁的概率为0.432.(3)P(X＝1)＝C13·0.6·(1－0.6)2＝0.288.即有1个活到70岁的概率为0.288.规律方法要判断n次试验中A发生的次数X是否服从二项分布，关键是看试验是否为独立重复试验，独立重复试验的特点为：(1)每次试验是在相同的条件下进行的；(2)每次试验的结果不会受其他试验的影响，即每次试验是相互独立的；(3)基本事件的概率可知，且每次试验保持不变；(4)每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生．甲每次投资获利的概率是p＝0.8，若他进行的6次相互独立的投资，计算：(1)有5次获利的概率；(2)6次都获利的概率．(保留两位有效数字)解：用X 表示甲在6次投资中获利的次数，则X 服从二项分布B (6,0.8)，因此(1)P (X ＝5)＝C 560.85(1－0.8)≈0.39，他5次获利的概率约等于0.39.(2)P (X ＝6)＝C 660.86≈0.26.他6次都获利的概率约等于0.26. 题型三 二项分布的分布列[例3] 某射手每次射击击中目标的概率是0.8，现在连续射击4次，求击中目标的次数X 的概率分布列．[思路探究] 本题是一个独立重复试验问题，其击中目标的次数X 的概率分布列服从二项分布，可直接由二项分布得出．[解] 在重复射击中，击中目标的次数X 服从二项分布，X ～B (n ，p )． 由已知，n ＝4，p ＝0.8，P (X ＝k )＝C k 4·0.8k ×(0.2)4－k ，k ＝0,1,2,3,4. ∴P (X ＝0)＝C 04×0.80×(0.2)4＝0.001 6， P (X ＝1)＝C 14×0.81×(0.2)3＝0.025 6， P (X ＝2)＝C 24×0.82×(0.2)2＝0.153 6， P (X ＝3)＝C 34×0.83×(0.2)1＝0.409 6， P (X ＝4)＝C 44×0.84×(0.2)0＝0.409 6.∴X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P0.001 60.025 60.153 60.409 60.409 6规律方法 (1)独立重复试验问题，随机变量X 的分布服从二项分布，即X ～B (n ，p )，这里n 是独立重复试验的次数，p 是每次试验中某事件发生的概率．(2)满足二项分布常见的实例有：①反复抛掷一枚均匀硬币；②已知次品率的抽样；③有放回的抽样；④射手射击目标命中率已知的若干次射击．某辆载有5位乘客的公共汽车在到达终点前还有3个停靠点(包括终点站)．若车上每位乘客在所剩的每一个停靠点下车的概率均为13，用ξ表示这5位乘客中在下一个停靠点下车的人数，求随机变量ξ的分布列．解：记“乘客在下一个停靠点下车”为事件A ，则由题设可得P (A )＝13，5位乘客在停靠点下车相当于做了5次独立重复试验，所以ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，故ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k 5(13)k (23)5－k(k ＝0,1,2,3,4,5)．即ξ＝k 0 1 2 3 4 5 P (ξ＝k ) 32243802438024340243102431243题型四 二项分布的应用[例4] 9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5.若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．(1)求甲坑不需要补种的概率；(2)求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率； (3)求有坑需要补种的概率．(精确到0.001)[思路探究] (1)每粒种子是否发芽是相互独立的，甲坑不需要补种的概率可考虑其对立事件．(2)三个坑可认为是三次独立试验，利用其概率公式计算．[解] (1)因为单个坑内的3粒种子都不发芽的概率为(1－0.5)3＝18，所以甲坑不需要补种的概率为1－18＝78＝0.875.(2)3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率为 C 13×(78)1·(18)2≈0.041. (3)方法一：因为3个坑都不需要补种的概率为(78)3，所以有坑需要补种的概率为1－(78)3≈0.330.方法二：3个坑中恰有1坑需要补种的概率为C 13(18)1(78)2≈0.287. 恰有2坑需要补种的概率为C 23(18)2(78)1≈0.041， 3个坑都需要补种的概率为C 33(18)3(78)0≈0.002. 所以有坑需要补种的概率为0.287＋0.041＋0.002＝0.330.规律方法 本题解题的关键是求出单坑不需要补种的概率，然后利用二项分布的概率求解(2)(3)问．事实上第(1)问是后两问的台阶．另外，考虑对立事件的概率可以简化运算．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响．(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；(3)假设某人连续2次未击中目标，则终止其射击．问：乙恰好射击5次后，被终止射击的概率是多少？解：(1)记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事件A 1.由题意，射击4次，相当于做4次独立重复试验．故P (A 1)＝1－P (A 1)＝1－(23)4＝6581，所以甲连续射击4次，至少有一次未击中目标的概率为6581.(2)记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击4次，恰有3次击中目标”为事件B 2，则P (A 2)＝C 24×(23)2×(1－23)4－2＝827； P (B 2)＝C 34×(34)3×(1－34)4－3＝2764. 由于甲、乙射击相互独立，故P (A 2B 2)＝P (A 2)P (B 2)＝827×2764＝18.所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为18.(3)记“乙恰好射击5次后被终止射击”为事件A 3，“乙第i 次射击未击中”为事件D i (i ＝1,2,3,4,5)，则A 3＝D 5D 4·D 3(D2D 1∪D 2D 1∪D 2D 1)，且P (D i )＝14.由于各事件相互独立，故P (A 3)＝P (D 5)P (D 4)P (D 3) P (D2D 1∪D 2D 1∪D 2D 1)＝14×14×34×(1－14×14)＝451 024.所以乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为451 024.——规范解答系列——概率问题的解题规范格式： ①设事件A ＝“…”，B ＝“…”； ②列式计算； ③作答．[例5] 某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响．(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率； (3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记X 为射手射击3次后的总的分数，求X 的分布列．[解] (1)设X 为射手在5次射击中击中目标的次数，则X ～B (5，23)．在5次射击中，恰有2次击中目标的概率为P (X ＝2)＝C 25×(23)2×(1－23)3＝40243. (2)设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i ＝1,2,3,4,5)；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A ，则P (A )＝P (A 1A 2A 3A 4A 5)＋P (A 1A 2A 3A 4A 5)＋P (A1A 2A 3A 4A 5)＝(23)3×(13)2＋13×(23)3×13＋(13)2×(23)3＝881.(3)由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2,3,6， P (X ＝0)＝P (A1A2A 3)＝(13)3＝127；P (X ＝1)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A1A 2A 3)＝23×(13)2＋13×23×13＋(13)2×23＝29.P (X ＝2)＝P (A 1A 2A 3)＝23×13×23＝427，P (X ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝(23)2×13＋13×(23)2＝827，P (X ＝6)＝P (A 1A 2A 3)＝(23)3＝827，所以X 的分布列为：X 0 1 2 3 6 P12729427827827某中学在运动会期间举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的．已知小明每次投篮投中的概率都是13.(1)求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率； (2)求小明在4次投篮后的总得分X 的分布列．解：(1)设小明第i 次投篮投中为事件A i ，则小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率为P ＝P (A 1)·P (A 2)·P (A 3)＝23×23×13＝427.(2)由题意知X 的可能取值为0,2,4,6,8，则P (X ＝0)＝(23)4＝1681；P (X ＝2)＝C 14×(13)×(23)3＝3281；P (X ＝4)＝C 24×(13)2×(23)2＝827；P (X ＝6)＝C 34×(13)3×(23)＝881；P (X ＝8)＝(13)4＝181. 所以X 的分布列为：X 0 2 4 6 8 P168132818278811811．打靶时，某人每打一发中靶的概率为0.8，则他打100发子弹有4发中靶的概率为( A )A ．C 41000.84×0.296 B ．0.84 C ．0.84×0.296D ．0.24×0.296解析：已知中靶的概率为0.8，故打100发子弹有4发中靶的概率为C 41000.84×0.296.2．一袋中有5个白球、3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P (X ＝12)等于( D )A ．C 1012⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭⎫582B ．C 912⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭⎫582 C ．C 911⎝⎛⎭⎫589⎝⎛⎭⎫382 D ．C 911⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭⎫582 解析：由题意可得，取得红球的概率为38.P (X ＝12)说明前11次取球中，有9次取得红球、2次取得白球，且第12次取得红球，故P (X ＝12)＝C 911⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭⎫58238＝C 911⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭⎫582，故选D. 3．每次试验成功的概率为p (0<p <1)，重复进行10次试验，其中前7次都未成功，后3次都成功的概率为( C )A ．C 310p 3(1－p )7 B ．C 310p 7(1－p )3C ．p 3(1－p )7D ．p 7(1－p )3解析：成功的概率为p ，则不成功的概率为1－p ，前7次都未成功概率为(1－p )7，后3次成功概率为p 3，故C 正确．4．设在一次试验中事件A 出现的概率为p ，在n 次独立重复试验中事件A 出现k 次的概率为p k ，则( B )A ．p 1＋p 2＋…＋p n ＝1B ．p 0＋p 1＋p 2＋…＋p n ＝1C ．p 0＋p 1＋p 2＋…＋p n －1＝0D ．p 1＋p 2＋…＋p n －1＝1解析：由题意可知X ～B (n ，p )，由分布列的性质可知∑k ＝0np k ＝1.5．若X ～B ⎝⎛⎭⎫5，12，则P (X ≥4)＝3,16. 解析：P (X ＝4)＝C 45·⎝⎛⎭⎫124⎝⎛⎭⎫1－12＝532， P (X ＝5)＝C 55⎝⎛⎭⎫125＝132， P (X ≥4)＝P (X ＝4)＋P (X ＝5)＝532＋132＝316.6．某种植物的种子发芽率是0.7,4颗种子中恰有3颗发芽的概率是0.411_6.解析：C 34×0.73×(1－0.7)＝4×0.73×0.3＝1.2×0.73＝0.411 6.7．在每道单项选择题给出的4个备选答案中，只有一个是正确的．若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案，求这4道题中：(1)恰有两道题答对的概率； (2)至少答对一道题的概率．解：视“选择每道题的答案”为一次试验，则这是4次独立重复试验，且每次试验中“选择正确”这一事件发生的概率为14.由二项分布的概率公式得 (1)恰有两道题答对的概率为P (X ＝2)＝C 24⎝⎛⎭⎫142×⎝⎛⎭⎫342＝27128. (2)方法一：至少有一道题答对的概率为1－P (X ＝0)＝1－C 04⎝⎛⎭⎫140⎝⎛⎭⎫344＝1－81256＝175256. 方法二：至少有一道题答对的概率为C 14⎝⎛⎭⎫141⎝⎛⎭⎫343＋C 24⎝⎛⎭⎫142⎝⎛⎭⎫342＋C 34⎝⎛⎭⎫143⎝⎛⎭⎫341＋C 44⎝⎛⎭⎫144⎝⎛⎭⎫340＝108256＋54256＋12256＋1256＝175256.。
北师大高中数学选修23作业：第2章 概率4 含解析
第二章 §4A 级 基础巩固一、选择题1．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．则他恰好击中目标3次的概率为( C )A ．0.93×0.1B ．0.93C ．C 34×0.93×0.1D ．1－0.13[解析] 由独立重复试验公式可知选C ．2．口袋中有5只白色乒乓球，5只黄色乒乓球，从中任取5次，每次取1只后又放回，则5次中恰有3次取到白球的概率是( D )A ．12B ．35C ．C 35C 510D ．C 35·0.55 [解析] 本题是独立重复试验，任意取球5次，取得白球3次的概率为C 350.53(1－0.5)5－3＝C 350.55.3．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是( B )A ．16625B ．96625C ．192625D ．256625[解析] P ＝C 24⎝⎛⎭⎫452⎝⎛⎭⎫152＝96625. 4．某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P (ξ＝3)＝( C )A ．C 23⎝⎛⎭⎫142×34 B ．C 23⎝⎛⎭⎫342×14 C ．⎝⎛⎭⎫142×34D ．⎝⎛⎭⎫342×145．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( A )A ．[0.4,1)B ．(0,0.4]C ．[0.6,1)D ．(0,0.6][解析] 由条件知P (ξ＝1)≤P (ξ＝2)，∴C 14p (1－p )3≤C 24p 2(1－p )2，∴2(1－p )≤3p ，∴p ≥0.4，又0≤p <1，∴0.4≤p <1.6．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是( D )A ．0.216B ．0.36C ．0.432D ．0.648[解析] 甲获胜有两种情况，一是甲以20获胜，此时p 1＝0.62＝0.36；二是甲以21获胜，此时p 2＝C 12·0.6×0.4×0.6＝0.288，故甲获胜的概率p ＝p 1＋p 2＝0.648. 二、填空题7．下列例子中随机变量ξ服从二项分布的有__①③__.①随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n 次中出现点数是3的倍数的次数； ②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ；③有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n 次抽取中出现次品的件数(M <N )；④有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n 次抽取中出现次品的件数．[解析] 对于①，设事件A 为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”，P (A )＝13.而在n次独立重复试验中事件A 恰好发生了k 次(k ＝0、1、2……n )的概率P (ξ＝k )＝C k n ×⎝⎛⎭⎫13k ×⎝⎛⎭⎫23n －k，符合二项分布的定义，即有ξ～B (n ，13)．对于②，ξ的取值是1、2、3……P (ξ＝k )＝0.9×0.1k －1(k ＝1、2、3……n )，显然不符合二项分布的定义，因此ξ不服从二项分布．③和④的区别是：③是“有放回”抽取，而④是“无放回”抽取，显然④中n 次试验是不独立的，因此ξ不服从二项分布，对于③有ξ～B ⎝⎛⎭⎫n ，M N . 故应填①③.8．有n 位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p (0<p <1)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为__1－(1－p )n __.[解析] 所有同学都不通过的概率为(1－p )n ，故至少有一位同学通过的概率为1－(1－p )n . 9．如果X ～B (20，p )，当p ＝12且P (X ＝k )取得最大值时，k ＝__10__.[解析] 当p ＝12时，P (X ＝k )＝C k 20⎝⎛⎭⎫12k ·⎝⎛⎭⎫1220－k ＝⎝⎛⎭⎫1220·C k20，显然当k ＝10时，P (X ＝k )取得最大值． 三、解答题10．(2019·大连高二检测)某工厂为了检查一条流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取40件产品，测量这些产品的重量(单位：克)，整理后得到如下的频率分布直方图(其中重量的分组区间分别为(490,495]，(495,500]，(500,505]，(505,510]，(510,515])．(1)若从这40件产品中任取2件，设X 为重量超过505克的产品数量，求随机变量X 的分布列；(2)若将该样本分布近似看作总体分布，现从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率．[解析] (1)根据频率分布直方图可知，重量超过505克的产品数量为[(0.01＋0.05)×5]×40＝12，由题意得随机变量X 的所有可能取值为0,1,2， P (X ＝0)＝C 228C 240＝63130，P (X ＝1)＝C 128C 112C 240＝2865，P (X ＝2)＝C 212C 240＝11130.∴随机变量X 的分布列为：X 0 1 2 P63130286511130(2)由题意得该流水线上产品的重量超过505克的概率为0.3，设Y 为从该流水线上任取5件产品重量超过505克的产品数量，则Y ～B (5,0.3)，故所求概率为P (Y ＝2)＝C 25×0.32×0.73＝0.308 7. B 级 素养提升一、选择题1．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是( B )A ．(12)5B ．C 25(12)5C ．C 35(12)3D ．C 25C 35(12)5[解析] 由于质点每次移动一个单位，移动的方向向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P 必须向右移动二次，向上移动三次，故其概率为C 35(12)3(12)2＝C 35(12)5＝C 25(12)5. 2．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率为95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是( A )A ．0.665B ．0.56C ．0.24D ．0.285[解析] 设A ＝“从市场上买到一个灯泡是甲厂生产的”，B ＝“从市场上买到一个灯泡是合格品”，则A 、B 相互独立，则事件AB ＝“从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡”．∵P (A )＝0.7，P (B |A )＝0.95，∴P (AB )＝P (A )·P (B |A )＝0.7×0.95＝0.665. 二、填空题3．设随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，若P (X ≥1)＝59，则P (Y ≥2)的值为__1127__.[解析] 由条件知，P (X ＝0)＝1－P (X ≥1)＝49＝C 02P 0(1－P )2，∴P ＝13， ∴P (Y ≥2)＝1－P (Y ＝0)－P (Y ＝1)＝1－C 04P 0(1－P )4－C 14P (1－P )3＝1－1681－3281＝1127.4．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为__35__.[解析] 设篮球运动员罚球的命中率为P ，则由条件得P (ξ＝2)＝1－1625＝925，∴C 22·P 2＝925，∴P ＝35.三、解答题5．某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用．设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为0.5，复审能通过的概率为0.3，各专家评审的结果相互独立．(1)求某应聘人员被录用的概率；(2)若4人应聘，设X 为被录用的人数，试求随机变量X 的分布列．[解析] 设“两位专家都同意通过”为事件A ，“只有一位专家同意通过”为事件B ，“通过复审”为事件C ．(1)设“某应聘人员被录用”为事件D ，则D ＝A ＋BC ， ∵P (A )＝12×12＝14，P (B )＝2×12×(1－12)＝12，P (C )＝310，∴P (D )＝P (A ＋BC )＝P (A )＋P (B )P (C )＝25.(2)根据题意，X ＝0,1,2,3,4， ∵P (X ＝0)＝C 04×(35)4＝81625， P (X ＝1)＝C 14×25×(35)3＝216625， P (X ＝2)＝C 24×(25)2×(35)2＝216625， P (X ＝3)＝C 34×(25)3×35＝96625， P (X ＝4)＝C 44×(25)4×(35)0＝16625. ∴X 的分布列为：6．“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负．现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的．(1)求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率；(2)若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X ，求X 的分布列．[解析] (1)玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是(石头，石头)，(石头，剪刀)，(石头，布)，(剪刀，石头)，(剪刀，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，(布，剪刀)，(布，布)，共9个基本事件．玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是(石头，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，共有3个．所以在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率P ＝13.(2)由题意知：X ＝0,1,2,3. ∵P (X ＝0)＝C 03·(23)3＝827， P (X ＝1)＝C 13·(13)1·(23)2＝49， P (X ＝2)＝C 23·(13)2·(23)1＝29， P (X ＝3)＝C 33·(13)3＝127. ∴X 的分布列如下：C 级 能力拔高(2019·吉林高二检测)清明节小长假期间，某公园推出飞镖和摸球两种游戏，甲参加掷飞镖游戏，已知甲投中红色靶区的概率为12，投中蓝色靶区的概率为14，不能中靶概率为14；该游戏规定，投中红色靶区记2分，投中蓝色靶区记1分，未投中标靶记0分；乙参加摸球游戏，该游戏规定，在一个盒中装有大小相同的10个球，其中6个红球和4个黄球，从中一次摸出3个球，一个红球记1分，黄球不记分．(1)求乙恰得1分的概率；(2)求甲在4次投掷飞镖中恰有三次投中红色靶区的概率； (3)求甲两次投掷后得分ξ的分布列．[解析] (1)设“乙恰得1分”为事件A ，则P (A )＝C 24C 16C 310＝310.(2)因每次投掷飞镖为相互独立事件，故在4次投掷中，恰有3次投中红色靶区的概率P 4(3)＝C 34(12)3(1－12)＝14. (3)两次投掷后得分ξ的取值为0、1、2、3、4， 且P (ξ＝0)＝14×14＝116；P (ξ＝1)＝C 12×14×14＝18； P (ξ＝2)＝C 12×12×14＋14×14＝516； P (ξ＝3)＝C 12×12×14＝14； P (ξ＝4)＝12×12＝14，∴ξ的分布列为：。
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2016-2017学年高中数学 第2章 概率 4 二项分布课后演练提升 北
师大版选修2-3
一、选择题
1．某一试验中事件A 发生的概率为p ，则在n 次这样的试验中，A 发生k 次的概率为( )
A ．1－p k
B ．(1－p )k p
n －k
C ．(1－p )k
D ．C k
n (1－p )k p
n －k
解析： A 发生的概率为p ，则A 发生的概率为1－p ，n 次试验中A 发生k 次的概率为C k
n (1－p )k p
n －k
.
答案： D
2．某产品使用寿命超过5000小时的为一级品，现已知某一大批产品中的一级品率为0.2，从中任抽5件，其中恰有2件一级品的概率是( )
A ．0.2048
B ．0.1024
C ．0.3072
D ．0.2084
解析： X ～B (5,0.2)， ∴P ＝C 2
50.22
(1－0.2)3
＝0.2048. 答案： A
3．某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人恰有2次击中目标的概率为( )
A ．81125
B ．54125
C ．36125
D ．27125
解析： 恰有两次击中目标的概率是C 23·0.62
(1－0.6)＝ 54125.
答案： B
4．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是1
2，则质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率
为( )
A ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫125 B ．C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125
C ．C 35⎝ ⎛⎭
⎪⎫123
D ．C 25C 35⎝ ⎛⎭
⎪
⎫125
解析： 质点每次只能向上或向右移动，且概率均为1
2
，所以移动5次可看成做了5次
独立重复试验．质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率为C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝C 25⎝ ⎛⎭
⎪⎫125
.
答案： B 二、填空题
5．袋子里装有5张卡片，用1,2,3,4,5编号，从中抽取3次，每次抽出一张且抽后放回，则3次中恰有2次抽得奇数编号的卡片的概率为______________.
解析： 奇数卡片被抽取的概率为3
5，
∴所求概率P ＝C 2
30.62
(1－0.6)＝0.432. 答案： 0.432
6．将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为____________.
解析： 正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次，5次或6次，所求概率P ＝C 46⎝ ⎛⎭⎪⎫ 126＋C 56⎝ ⎛⎭⎪⎫ 126＋C 66⎝ ⎛⎭
⎪⎫ 126
＝ 1132.
答案： 11
32
三、解答题
7．判断下列随机变量X 是否服从二项分布？
(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，X 为正面向上的次数；
(2)某人射击，击中目标的概率是0.8，射击n 次，X 为击中目标的次数；
(3)口袋中装有5个白球、3个红球、2个黑球，依次从中抽取5个球，X 为抽出白球的个数．
解析： (1)由于试验的条件不同(质地不同)，因此X 不服从二项分布． (2)某人射击且击中目标的概率是稳定的，因此X 服从二项分布．
(3)每次抽取，试验的结果有三种不同颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此X 不服从二项分布．
8．某中学学生心理咨询中心服务电话接通率为3
4，某班3名同学商定明天分别就同一问
题询问该服务中心，且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X 的分布列．
解析： 由题意知，用X 表示成功的人数，则X 服从n ＝3，p ＝3
4
的二项分布，
于是有P (X ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫34k
×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－343－k ，k ＝0,1,2,3.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 P
164
964
2764
2764
尖子生题库
☆☆☆
9．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为3
5，且各次射击的结果互不影
响．
(1)求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率(用数字作答)； (2)求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率(用数字作答)； (3)设随机变量X 表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求X 的分布列． 解析： (1)记“射手射击1次，击中目标”为事件A ，则在3次射击中至少有两次连续击中目标的概率
P 1＝P (AA A )＋P (A AA )＋P (AAA )
＝35×35×25＋25×35×35＋35×35×35＝63125
. (2)射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率
P 2＝C 23×⎝ ⎛⎭
⎪⎫35
2
×25×35＝
162
625
.
(3)由题设，“X ＝k ”的概率为
P (X ＝k )＝C 2k －1×⎝ ⎛⎭⎪⎫
352×⎝ ⎛⎭
⎪⎫25
k －3
×35
＝C 2k －1×⎝ ⎛⎭⎪⎫25k －3×⎝ ⎛⎭
⎪⎫353(k ∈N *
，且k ≥3)．
所以，X 的分布列为：
X 3 4 … k
… P
27
125
162625
…
C 2k －1⎝ ⎛⎭⎪⎫25k －3⎝ ⎛⎭
⎪⎫353 …
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