备战2019年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题30小题不小——比较大小
高考数学比大小压轴总结
高考数学比大小压轴总结
高考数学中，比大小问题一直是考点之一，也是了解和掌握考点的必要内容。
下面总结了一些相关参考内容，供参考：
1. 大小比较法则
（1）两个数相等，它们的大小关系也相等；
（2）两个正数比较大小时，绝对值越大的数越大；
（3）两个负数比较大小时，绝对值越小的数越大；
（4）正数与负数比较大小时，正数大于负数，绝对值越大的负数越小。
2. 倍数比较法则
（1）如果两个数相等，则它们的任何倍数之间比较大小关系也相等；
（2）如果两个数不相等，则它们的任何倍数之间比较大小关系与这两个数相等时的情况是相反的。
3. 分数大小比较法则
（1）同分母分数比较大小时，分子比较大小；
（2）异分母分数比较大小时，通分后分子比较大小。
4. 平均数大小比较法则
（1）若“小于平均数的数的个数”等于“大于平均数的数的个数”，则平均数等于中位数；
（2）若“小于平均数的数的个数”大于“大于平均数的数的个数”，则平均数小于中位数；
（3）若“小于平均数的数的个数”小于“大于平均数的数的个数”，则平均数大于中位数。
5. 三角形大小比较法则
（1）同底边三角形，高长的三角形面积大；
（2）等底边三角形中，底角小的三角形面积大；
（3）两个角大小相等的三角形，长边小的三角形面积大。
总之，掌握比大小问题的方法和技巧，积累相关的常识和知识点，在考试中更易应对各类比大小题目，顺利达成高考考试目标。
备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题04 函数的定义域、值域的求法
专题04 函数的定义域、值域的求法【热点聚焦与扩展】函数的定义域作为函数的要素之一，是研究函数的基础，也是高考的热点.函数的值域也是高考中的一个重要考点,并且值域问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分。
所以在掌握定义域求法的基础上，掌握一些求值域的基本方法，当需要求函数的取值范围时便可抓住解析式的特点,寻找对应的方法从容解决.（一）函数的定义域1。
求函数定义域的主要依据是：①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式其值非负；③对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.2。
①若()y f x =的定义域为(),a b ,则不等式()a g x b <<的解集即为函数()()y f g x =的定义域；②若()()y f g x =的定义域为(),a b ，则函数()g x 在(),a b 上的的值域即为函数()y f x =的定义域．3。
对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题,应依据已知条件准确找出利用哪一段求解。
4.与定义域有关的几类问题第一类是给出函数的解析式,这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；第三类是不给出函数的解析式，而由()f x 的定义域确定函数)]([x g f 的定义域或由)]([x g f 的定义域确定函数()f x 的定义域．第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决．（二）函数的值域1.利用函数的单调性:若)(x f 是],[b a 上的单调增(减)函数,则)(a f ,)(b f 分别是)(x f 在区间],[b a 上取得最小(大）值,最大(小)值。
2。
利用配方法:形如2(0)y ax bx c a =++≠型，用此种方法,注意自变量x 的范围。
3。
利用三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-。
备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题62 几何概型
——————————新学期新成绩新目标新方向——————————专题62 几何概型【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，概率是高考热点之一，以实际问题为背景，考查几何概型的计算以及分析、推理能力.难度控制在中等以下．本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明.1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性．3．几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.4.几何概型常见的类型，可分为三个层次：（1）以几何图形为基础的题目：可直接寻找事件所表示的几何区域和总体的区域，从而求出比例即可得到概率.（2）以数轴，坐标系为基础的题目：可将所求事件转化为数轴上的线段（或坐标平面的可行域），从而可通过计算长度（或面积）的比例求的概率（将问题转化为第（1）类问题）（3）在题目叙述中，判断是否运用几何概型处理，并确定题目中所用变量个数.从而可依据变量个数确定几何模型：通常变量的个数与几何模型的维度相等：一个变量→数轴，两个变量→平面直角坐标系，三个变量→空间直角坐标系.从而将问题转化成为第（2）类问题求解5.与长度有关的几何概型如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，可直接用概率的计算公式求解．6．与角度有关的几何概型当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．7. 求解与面积有关的几何概型的关键点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．8. 求解与体积有关的几何概型的关键点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．【经典例题】例1.【2019年全国卷I理】下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p1，p2，p3，则A. p1=p2B. p1=p3C. p2=p3D. p1=p2+p3【答案】A黑色部分的面积为，其余部分的面积为，所以有，根据面积型几何概型的概率公式，可以得到，故选A.点睛：该题考查的是面积型几何概型的有关问题，题中需要解决的是概率的大小，根据面积型几何概型的概率公式，将比较概率的大小问题转化为比较区域的面积的大小，利用相关图形的面积公式求得结果. 例2.【2017课标1，理】如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14 B ．π8 C ．12D ．π4【答案】B 【解析】【考点】几何概型【名师点睛】对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A . 例3.【2019届江西省临川一中模拟】已知三地在同一水平面内，地在正东方向处，地在地正北方向处，某测绘队员在之间的直线公路上任选一点作为测绘点，用测绘仪进行测绘，地为一磁场，距离其不超过的范围内会对测绘仪等电子仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（ ）A. B. C. D.【答案】A例4.【2019届山东省实验中学二模】《九章算术》勾股章有一“引葭 [jiā] 赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：有一水池一丈见方，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：设水深为x尺，利用勾股定理求出水深，结合葭长13尺，代入几何概型概率计算公式，可得答案．详解：设水深为x尺，则（x+2）2=x2+52，解得x=，即水深尺．又葭长尺，则所求概率为.故选：A．例5.【2019届河南省最后一次模拟】如图,在正六边形内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】D所以,所求的概率为.本题选择D选项.例6.【2019届河北省武邑中学四模】在平面区域内随机取一点，则点在圆内部的概率（）A. B. C. D.【答案】B其中满足的点为阴影部分对应的点，其面积为，不等组对应的平面区域的面积为，故所求概率为，故选B．例7.【2019届安徽省淮南市二模】已知是边长为2的正三角形，在内任取一点，则该点落在内切圆内的概率是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据题意求出△ABC内切圆的面积与三角形的面积比即可．详解：如图所示，△ABC是边长为2的正三角形，则AD=，OD=，∴△ABC内切圆的半径为r=，所求的概率是P=．故答案为：D例8.【2019届安徽省安庆市第一中学热身】在上任取一个个实数，则事件“直线与圆”相交的概率为( )A. B. C. D.【答案】C故选C．例9.【2019届四川省梓潼中学校高考模拟（二）】已知圆柱的底面半径为，高为，若区域表示圆柱及其内部，区域表示圆柱内到下底面的距离大于的点组成的集合，若向区域中随机投一点，则所投的点落入区域中的概率为（）A. B. C. D.【答案】C根据几何概型，得所投入的点落在区域N中的概率为，故选C.例10.【2019届江西师范大学附属中学三模】在区间上任取一个数，则函数在上的最大值是的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：设函数y=x2﹣4x+3，求出x∈[0，4]时y的取值范围，再根据a∈[﹣2，2]讨论a的取值范围，判断f（x）是否能取得最大值3，从而求出对应的概率值．详解：在区间[﹣2，2]上任取一个数a，基本事件空间对应区间的长度是4，由y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，x∈[0，4]，得y∈[﹣1，3]，∴﹣1﹣a≤x2﹣4x+3﹣a≤3﹣a，∴|x2﹣4x+3﹣a|的最大值是|3﹣a|或|﹣1﹣a|，即最大值是|3﹣a|或|1+a|；令|3﹣a|≥|1+a|，得（3﹣a）2≥（1+a）2，解得a≤1；又a∈[﹣2，2]，∴﹣2≤a≤1；故答案为：A点睛：（1）本题主要考查几何概型和函数的最值的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键是通过函数在上的最大值是分析得到a∈[﹣2，1].【精选精练】1．【2019届广东省东莞市考前演练】如图1，风车起源于周，是一种用纸折成的玩具.它用高粱秆，胶泥瓣儿和彩纸扎成，是老北京的象征，百姓称它吉祥轮.风车现已成为北京春节庙会和节俗活动的文化标志物之一.图2是用8个等腰直角三角形组成的风车平面示意图，若在示意图内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由几何概型及概率的计算可知，用黑色部分的面积比总面积，即可求解概率.详解：设白色部分的等腰直角三角形的斜边长为，则直角边的长为，所以所有白色部分的面积为，则黑色部分的等腰直角三角形的腰长为1，所有黑色部分的面积为，由几何概型可得其概率为，故选B.2．【2019届安徽省江南十校冲刺联考（二模）】已知实数，则函数在定义域内单调递减的概率为（）A. B. C. D.【答案】C∴所求概率为．故选．点睛：本题考查几何概型，考查导数与函数的单调性，解题关键是由不等式在恒成立求得参数的取值范围，求取值范围的方法是分离参数法转化为求函数的最值，这可由导数求得也可由基本不等式求得．3．【2019届河南省郑州外国语学校第十五次调研】已知在矩形中，，现在矩形内任意取一点，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：以为圆心，为半径作弧交于，以为圆心，为半径作弧交于，则在两弧区间，求出两弧之间曲边形面积，利用几何概型概率公式可得结果.扇形面积为，两弧之间曲边形面积为，的概率为，故选B.4．【2019届山东省潍坊市三模】三国时期吴国的数学家赵爽曾创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，其中一个直角三角形中较小的锐角满足，现向大正方形内随机投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（）A. B. C. D.【答案】D所以打正方形的面积为，小正方形的面积为，所以满足条件的概率为，故选D.5．【2019届四川省成都市模拟（一）】把一根长为6米的细绳任意做成两段，则稍短的一根细绳的长度大于2米的概率是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据题意确定为几何概型中的长度类型，将长度为6米的绳子分成相等的三段，在中间一段任意位置剪断符合要求，从而找出中间2米处的两个界点，再求出其比值．详解：记“稍短的一根细绳的长度大于2米”为事件，则只能在距离两段超过2米的绳子上剪断，即在中间的2米的绳子上剪断，才使得稍短的一根细绳的长度大于2米，所以由几何概型的公式得到事件发生的概率故选D.6．【2019届安徽省江南十校冲刺联考（二模）】不等式所表示的区域为，函数的图象与轴所围成的区域为.向内随机投一个点，则该点落到内概率为（）A. B. C. D.【答案】A概率为．7．【2019届山东省名校联盟一模】七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形，一块中三角形和两块全等的大三角形），一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若向正方形内随机抛掷2000颗米粒（大小忽略不计），则落在图中阴影部分内米粒数大约为（）A. 750B. 500C. 375D. 250【答案】C6．【2019届山西省运城市康杰中学高考模拟（一）】在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先利用直线和圆的位置关系得到弦长等于该圆内接三角形的边长的直线的位置，再利用几何概型的概率公式进行求解.详解：设圆的半径为，则，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为.故选C.点睛：本题考查几何概型的概率问题，几何概型的几何模型主要是长度、面积与体积，其关键是选择合适的模型，如本题中虽然涉及直线和圆的位置关系，但要注意点在圆的直径上运动，即该概率为线段的长度之比.7．【2019届河南省巩义市市直高中下学期模拟】已知点，在：上随机取一点，则的概率为__________．【答案】8．【2019届宁夏回族自治区银川一中高考前训练】如图，一铜钱的直径为32毫米，穿径（即铜钱内的正方形小孔边长）为8毫米，现向该铜钱内随机地投入一粒米（米的大小忽略不计），则该粒米落在铜钱的正方形小孔内的概率为________．【答案】.【解析】分析：先分别计算圆与正方形面积，再根据几何概型概率公式求结果.详解：因为圆与正方形面积分别为，所以该粒米落在铜钱的正方形小孔内的概率为. 9．【2019届山东省潍坊市青州市三模】已知平面向量，则事件“”的概率为__________．【答案】10．【2019届湖北省华中师范大学第一附属中学5月押题】已知平面区域，现向该区域内任意掷点，则点落在曲线下方的概率为__________．【答案】点睛：（1）本题考查定积分和几何概型的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和数形结合的思想方法. (2)解答本题的关键是求点落在曲线下方的面积.11．【2019届江西省南昌市三模】中国数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆”之说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.意思是“圆内接正多边形的边数无限增多的时候，它的周长的极限是圆的周长，它的面积的极限是圆的面积”.如图，若在圆内任取一点，则此点取自其内接正六边形的概率____．【答案】【解析】分析：根据几何概型的概率公式分别求出正六边形的面积和圆的面积即可详解：设圆心为O，圆的半径为1，则正六边形的面积S=则对应的概率P=，故答案为.12．【2019届山东省威海市二模】在中，在边上任取一点，满足的概率为_______.【答案】.。
备战高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题01利用数轴解决集合运算问题
专题01 利用数轴解决集合运算问题【热点聚焦与扩展】数形结合是解决高中数学问题的常用手段，其优点在于通过图形能够直观的观察到某些结果，与代数的精确性结合，能够快速解决一些较麻烦的问题.在集合的运算中，涉及到单变量的取值范围，数轴就是一个非常好用的工具，本专题以一些题目为例，来介绍如何使用数轴快速的进行集合的交集、并集及补集等运算. 1、集合运算在数轴中的体现：:A B 在数轴上表示为,A B 表示区域的公共部分. :AB 在数轴上表示为,A B 表示区域的总和.:U C A 在数轴上表示为U 中除去A 剩下的部分（要注意边界值能否取到）.2、问题处理时的方法与技巧：（1）涉及到单变量的范围问题，均可考虑利用数轴来进行数形结合，尤其是对于含有参数的问题时，由于数轴左边小于右边，所以能够以此建立含参数的不等关系.（2）在同一数轴上作多个集合表示的区间时，可用不同颜色或不同高度来区分各个集合的区域.（3）涉及到多个集合交并运算时，数轴也是得力的工具，从图上可清楚的看出公共部分和集合包含区域.交集即为公共部分，而并集为覆盖的所有区域.（4）在解决含参数问题时，作图可先从常系数的集合（或表达式）入手，然后根据条件放置参数即可. 3、作图时要注意的问题：（1）在数轴上作图时，若边界点不能取到，则用空心点表示；若边界点能够取到，则用实心点进行表示，这些细节要在数轴上体现出来以便于观察.（2）处理含参数的问题时，要检验参数与边界点重合时是否符合题意.【经典例题】例1【2017课标1，理1】已知集合A={x|x<1}，B={x|31x<}，则（ ）A ．{|0}AB x x =<B ．A B =RC ．{|1}AB x x =>D ．AB =∅【答案】A 【解析】由31x <可得033x <，则0x <，即{|0}B x x =<，所以，结合数轴得{|1}{|0}{|0}A B x x x x x x =<<=<，{|1}{|0}{|1}A B x x x x x x =<<=<，故选A.例2【2018届河北省衡水中学高三上学期七调】 设集合{|2}A x x =<， {}B x x a =，全集U R =，若U A B ⊆ð，则有（ ）A. 0a =B. 2a ≤C. 2a ≥D. 2a < 【答案】C【解析】(){}2,2,U A C B x a =-=≤,结合数轴得2a ≤,故选C.例3【2018届河北省武邑中学高三下学期开学】设常数a R ∈，集合()(){}|120A x x x =--≥， {}|B x x a =≥，若A B R ⋃=，则a 的取值范围为（ ）A. (),1-∞B. (],1-∞C. ()2,+∞D. [)2,+∞ 【答案】B【解析】由题得{|21}A x x x =≥≤或，因为A B R ⋃=，所以通过画数轴分析得到1a ≤，（注意一定要取等），故选B.【名师点睛】：（1）含有参数的问题时，可考虑参数所起到的作用，在本题中参数决定区间的端点； （2）含有参数的问题作图时可先考虑做出常系数集合的图象，再按要求放置含参的集合； （3）注意考虑端点处是否可以重合.例4【2018届河北省衡水中学高三上学期九模】已知集合{}A x x a =<， {}2320B x x x =-+<，若A B B ⋂=，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1a <B. 1a ≤C. 2a >D. 2a ≥【答案】D例5.已知函数()221,02()1,,20xx g x ax f x x x ⎧-≤≤⎪=+=⎨--≤<⎪⎩，对[][]122,2,2,2x x ∀∈-∃∈-，使得()()12g x f x =成立，则实数a 的取值范围是__________ 【答案】【解析】思路：任取[]12,2x ∈-，则()1g x 取到()g x 值域中的每一个元素，依题意，存在2x 使得()()12g x f x =，意味着()g x 值域中的每一个元素都在()f x 的值域中，即()g x 的值域为()f x 的值域的子集，分别求出两个函数值域，再利用子集关系求出a 的范围解：[]20,2x ∈时，()[]20,3f x ∈ [)22,0x ∈-时，()[)24,0f x ∈-()[]24,3f x ∴∈-[)1,0a ∴∈-综上所述：[]1,1a ∈- 答案：[]1,1a ∈-.例6.已知集合{}{}|21,|A x x x B x a x b =><-=≤≤或，若(],2,4A B R A B ==，则ba=________ 【答案】4-【解析】本题主要考察如何根据所给条件，在数轴上标好集合B 的范围.从而确定出,a b 的值， 1,4a b =-=，所以4ba=-. 例7. 已知集合{}{}0)12(,31122<+++-=≤++-=m m x m x x B x x x A ，若A B ≠∅，则实数m 的取值范围为 【答案】53(,)22-【解析】先解出,A B 的解集，A B ⋂≠∅意味着,A B 有公共部分，利用数轴可标注集合B 两端点的位置，进而求出m 的范围22(21)0x m x m m -+++<()()()10x m x m ∴-+-< 1m x m ∴<<+AB ≠∅312m ∴+>-且32m < 53,22m ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭.例8：在R 上定义运算:2xx y y⊗⊗=-，若关于x 的不等式(1)0x x a ⊗+->的解集是{|22,}x x x R -≤≤∈的子集，则实数a 的取值范围是（ ）A ．22a -≤≤B ．12a -≤≤C ．31a -≤<-或11a -<≤D ．31a -≤≤ 【答案】D【解析】首先将(1)0x x a ⊗+->变为传统不等式：()()1001xx x a x a ⊗+->⇒<-+，不等式含有参数a ，考虑根据条件对a 进行分类讨论。
备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题12 函数的极(最)值问题
—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————专题12 函数的极（最）值问题【热点聚焦与扩展】从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于研究函数的单调性、极值与最值、函数的零点等．从题型看，往往有一道选择题或填空题，有一道解答题.其中解答题难度较大，常与不等式、方程等结合考查．在高考导数的综合题中，所给函数往往是一个含参数的函数，且导函数含有参数，在分析函数单调性时面临分类讨论.(一)函数的极值问题 1、函数极值的概念：（1）极大值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x <，就说()0f x 是函数()f x 的一个极大值，记作()0y f x =极大值，其中0x 是极大值点（2）极小值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x >，就说()0f x 是函数()f x 的一个极小值，记作()0y f x =极小值，其中0x 是极小值点，极大值与极小值统称为极值 2、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.请注意以下几点： （1）极值是一个局部概念：由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点3、极值点的作用：（1）极值点为单调区间的分界点 （2）极值点是函数最值点的候选点4、()f x 在0x x =处可导，那么0x x =为()f x 的一个极值点⇒()0'0f x = 说明：①前提条件：()f x 在0x x =处可导②单向箭头：在可导的前提下，极值点⇒导数0=，但是导数0=不能推出0x x =为()f x 的一个极值点，例如：3y x =在()0,0处导数值为0，但0x =不是极值点③上述结论告诉我们，判断极值点可以通过导数来进行，但是极值点的定义与导数无关（例如：y x =在()0,0处不可导，但是0x =为函数的极小值点） 5、求极值点的步骤： （1）筛选： 令()'0fx =求出()'f x 的零点（此时求出的点有可能是极值点）（2）精选：判断函数通过()'f x 的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为极值点，否则不是极值点（3）定性： 通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减→极大值点，先减后增→极小值点 6、在综合题分析一个函数时，可致力于求出函数的单调区间，当求出单调区间时，极值点作为单调区间的分界点也自然体现出来，并且可根据单调性判断是极大值点还是极小指点，换言之，求极值的过程实质就是求函数单调区间的过程.7、对于在定义域中处处可导的函数，极值点是导函数的一些零点，所以涉及到极值点个数或所在区间的问题可转化成导函数的零点问题.但要注意检验零点能否成为极值点. 8、极值点与函数奇偶性的联系：（1）若()f x 为奇函数，则当0x x =是()f x 的极大（极小）值点时，0x x =-为()f x 的极小（极大）值点 （2）若()f x 为偶函数，则当0x x =是()f x 的极大（极小）值点时，0x x =-为()f x 的极大（极小）值点 （二）函数的最值问题 1、函数的最大值与最小值：（1）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≤，那么称0x x =为函数()f x 的一个最大值点，()0f x 称为函数()f x 的最大值（2）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≥，那么称0x x =为函数()f x 的一个最小值点，()0f x 称为函数()f x 的最小值（3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值.例如：()[)ln ,1,4f x x x =∈，由单调性可得()f x 有最小值()10f =，但由于x 取不到4，所以尽管函数值无限接近于ln4,但就是达不到.()f x 没有最大值.） （5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如()sin f x x =，其最大值点为()22x k k Z ππ=+∈，有无穷多个.2．“最值”与“极值”的区别和联系如图为一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x（1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3、结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点.5、利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础7、在比较的过程中也可简化步骤：（1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点 （2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点 8、最值点的作用 （1）关系到函数的值域（2）由最值可构造恒成立的不等式：例如：()ln 1f x x x =-+，可通过导数求出()()min 10f x f ==，由此可得到对于任意的0x >，均有()()min 0f x f x ≥=，即不等式ln 1x x ≤-.【经典例题】例1【2017课标II ，理11】若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e-=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）A.1-B.32e --C.35e -D.1【答案】A【解析】例2【2019届湖北省黄冈、黄石等八市高三3月联考】已知函数（1）当时，求的极值；（2）若有两个不同的极值点，求的取值范围;【答案】（1）极小值（2）故在处有极小值；（2）依题意可得，有两个不同的实根.设，则有两个不同的实根,，若，则，此时为增函数，故至多有1个实根，不符合要求；若，则当时，，当时，，故此时在上单调递增，在上单调递减，的最大值为,故为的极小值点，为的极大值点, 符合要求.综上所述：的取值范围为.（分离变量的方法也可以）点睛：本题考查了函数极值点问题，利用导数知识对其求导，当遇到含有参量的时候可以采用分离参量的方法，也可以带着参量一起运算，分离参量后求出直线与曲线的交点问题即可，本题没有分离参量，进行的对参量的分类讨论，本题有一定难度例3【2019届江苏省淮安市等四市高三上一模】已知函数．⑴当时，求函数的极值；⑵若存在与函数，的图象都相切的直线，求实数的取值范围．【答案】（1）当时，函数取得极小值为，无极大值；（2）【解析】试题分析：（1），通过求导分析，得函数取得极小值为，无极大值；（2），所以，通过求导讨论，得到的取值范围是．试题解析：（1）函数的定义域为当时，，所以所以当时，，当时，，所以函数在区间单调递减，在区间单调递增，所以，代入得：设，则不妨设则当时，，当时，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，代入可得：设，则对恒成立，所以在区间上单调递增，又所以当时，即当时,又当时因此当时，函数必有零点；即当时，必存在使得成立；即存在使得函数上点与函数上点处切线相同．又由得：所以单调递减，因此所以实数的取值范围是．例4【2019届福建省厦门市高三下第一次检查（3月）】已知函数，其中为自然对数的底数.（1）当时，证明：；（2）讨论函数极值点的个数.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.试题解析：（1）依题意，，故原不等式可化为，因为，只要证.记，则.当时，，单调递减；当时，，单调递增.∴，即，原不等式成立.（2）.记（ⅰ）当时，，在上单调递增，，.∴存在唯一，且当时，；当.①若，即时，对任意，此时在上单调递增，无极值点；②若，即时，此时当或时，.即在上单调递增；当时，，即在上单调递减；此时有一个极大值点和一个极小值点；（ⅲ）当时，由（1）可知，对任意，从而，而对任意.∴对任意.此时令，得；令，得.∴在单调递减；在上单调递增；此时有一个极小值点，无极大值点.（ⅳ）当时，由（1）可知，对任意，当且仅当时取等号.此时令，得；令得.点睛：求函数极值的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解方程求出函数定义域内的所有根；（4）列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值；（5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.例5【2017北京，理19】已知函数()e cos xf x x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值． 【答案】(Ⅰ)1y =；（Ⅱ）最大值1；最小值2π-. 【解析】所以函数()f x 在区间π[0,]2上单调递减.因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22f =-. 例6【2019届北京市人大附高三十月月考】已知a 是实数,函数()()2f x x x a =-（Ⅰ）若()13,f '=求a 的值及曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程; （Ⅱ）求()f x 在区间[]0,2上的最小值. 【答案】(1) 0.a = 320.x y --= (2)见解析.【解析】试题分析：（I ）首先根据导数()13f '=求a ，再根据切线方程()()()111y f f x '-=-求切线方程；（Ⅱ）首先求函数的极值点， 1220,3x x a ==，比较23a 与区间端点的大小，从而得到函数的最小值.试题解析：（Ⅰ） ()232f x x ax '=-因为()1323,f a =-=所以0.a = 当0a =时, ()()11,13,f f '==所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为320.x y --= （Ⅱ）由（Ⅰ）可知, ()232f x x ax '=-.令()0,f x '=解得1220,.3ax x == 当20,3a≤即0,a ≤ ()f x 在[]0,2上单调递增,从而()min 00.f f == 当22,3a ≥即3,a ≥ ()f x 在[]0,2上单调递减,从而()min 284.f f a ==-当202,3a <<即03,a << ()f x 在20,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在2,23a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,从而3min 24.327a a f f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 综上所述, 3min0,04{,0 3 2784,3a a f a a a ≤=-<<-≥.例7【2019届北京市城六区高三一模】．已知函数(I)当时，求函数的单调递增区间；(Ⅱ)当时，若函数的最大值为，求的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）.试题解析：（Ⅰ）当时，故令，得故的单调递增区间为（Ⅱ）方法1：令则由，故存在，故当时，；当时，故故，解得故的值为.（Ⅱ）方法2：的最大值为的充要条件为对任意的，且存在，使得，等价于对任意的，且存在，使得，等价于的最大值为.，令，得.故的最大值为，即.例8【2019届北京市清华附中高三十月月考】已知()()320f x ax bx cx a =++≠在1x =±时取得极值,且()11f =-.（Ⅰ）试求常数a , b , c 的值;（Ⅱ）求函数()f x 在[]0,2x ∈上的最大值. 【答案】（1）13,0,22a b c ===-（2）当1x =-时, ()f x 有极大值,当1x =时, ()f x 有极小值.再由()11f =-, 所以1a b c ++=-,③联立①②③解得13,0,22a b c ===-; （Ⅱ）()31322f x x x =-,()()()233311222f x x x x =-=+-',当1x <-或1x >时, ()0f x '>, 当11x -<<时, ()0f x '<,所以,当1x =-时, ()f x 有极大值,当1x =时, ()f x 有极小值. 例9【2019届北京市首师大附高三十月月考】已知函数()()()322111.32f x x x x a x x a R ⎛⎫=-++--∈ ⎪⎝⎭（Ⅰ）若1x =是()f x 的极小值点,求实数a 的取值范围及函数()f x 的极值; （Ⅱ）当1a ≥时,求函数()f x 在区间[]0,2上的最大值. 【答案】（1）1,a <极小值为()11126f a =-,极大值为()321162f a a a =-+.（2）见解析 【解析】试题分析：（1）根据极小值定义求实数a 的取值范围，根据导函数符号变化规律确定函数极值，（2）根据a 与2大小讨论导函数零点，再列表分析导函数符号变化规律确定函数最大值取法，最后小结结论. 试题解析：解: ()()()()()221111f x x x a x x x a =-++--=--'（Ⅰ）若1x =是()f x 的极小值,则1,a <列表分析如下:所以最大值可能为()11126f a =-或()22;3f = ①当513a ≤<时,最大值为()22;3f =②当523a ≤<时,最大值为()11126f a =-综上所述,当513a ≤<时,最大值为()22;3f =当53a ≥时,最大值为()11126f a =-例10【2019届陕西省榆林市二模】已知函数，.（1）若时，求函数的最小值；（2）若函数既有极大值又有极小值，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】试题分析：（1）代入，得，求导，利用导函数判定函数的单调性，即可求得函数的最小值；（2）现求导数，函数既有极大值又有极小值，等价于有两个零点，可分和两种情况分类讨论，得到函数的单调性和极值，得到函数有极大值和极小值的条件，即可求解实数的取值范围. 试题解析：列表：所以，函数的最小值为.（2），定义域为，.记，，，①当时，，在上单调递增，故在上至多有一个零点，此时，函数在上至多存在一个极小值，不存在极大值，不符题意；②当时，令，可得，列表：若，即，，即，且当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增，函数在处取极小值.由于，且 （事实上，令，，故在上单调递增，所以）.点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、圆等知识联系； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题； (4)考查数形结合思想的应用.【精选精练】1.【2019届安徽省安庆市2019届高三二模】已知函数()()2ln xf x ef e x e'=-（e 是自然对数的底数）， 则f （x ）的极大值为（ ） A. 2e-1 B. 1e -C. 1D. 2ln2【答案】D 【解析】()()()()()22111,ef e ef e f x f e f e x e e e e=-∴=-''''='， ()210,2f x x e x e∴=-=='∴ ()f x 的极大值为()22ln222ln2f e e ∴=-=，选D. 2．【2019届福建省三明市第一中学高三下开学】函数在的最小值是( )A. B. 1 C. 0 D.【答案】B【解析】，令得，或，令得，，所以在，单调递增，在单调递减，，.本题选择B选项.3.【2019届广东省茂名市五大联盟学校高三3月联考】已知函数 (其中，为自然对数的底数)在处取得极大值，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D由，可得f(x）在区间，上单调递增；由，可得f(x)在区间上单调递减，故f(x)在x=1处取得极大值，所以若函数f(x)在x=1处取得极大值，则实数a的取值范围是.本题选择D选项.【名师点睛】反思这类型题型，首先先利用导函数的解析式，判断得出极值点存在并且只有一个并得出极值点的范围.由于极值点与参数有关，因此就需要假设，假设后，再代进行化简消元最终求得参数的取值范围.4.【2019届海南省高三第二次联考】若1x =是函数()()ln x f x e a x =+的极值点，则实数a =__________． 【答案】e -【解析】因为()1ln +x x f x e x e a x='+⋅（），且1x =是函数()()ln x f x e a x =+的极值点，所以()10f e a '=+=，解得a e =-.5．【2019届北京市北京19中高三十月月考】已知函数()y f x =的导函数有且仅有两个零点,其图像如图所示,则函数()y f x =在x =______________处取得极值.【答案】-1【点睛】本题考查函数的极值的判定.本题的易错点是将2看成一个极值点，要注意()00f x '=是可导函数()f x 在0x x =处取得极值的必要不充分条件，而本题中函数()f x 在2x =附近单调递增. 6．【2019届东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高三一模】已知函数，是函数的极值点，给出以下几个命题：①；②；③；④；其中正确的命题是______________.(填出所有正确命题的序号) 【答案】①③【名师点睛】此题主要考查了导数在研究函数的极值、最值、以及单调性等中的应用，主要涉及函数求导的计算公式、法则，还有函数极值点和最值的应用等方面的知识和技能，属于中高档题型，也是常考考点.首先利用导数判断函数的单调性，由函数值大小的比较，来确定其自变量的大小，从而解决问题①②. 7【2019届北京市清华附中高三十月月考】设函数()ln f x x a x =-（其中a R ∈）. （Ⅰ）当1a =时,求函数()f x 在1x =时的切线方程; （Ⅱ）求函数()f x 的极值.【答案】（1）1y =（2）当0a ≤时,函数()f x 无极值,当0a >时,函数()f x 在x a =处取得极小值ln a a a -,无极大值.【解析】试题分析： ()1将1a =代入，算出1x =时的切线方程()2求导，讨论当0a ≤时、当0a >时的极值情况解析：（Ⅰ）定义域为()0,+∞,1a =时, ()ln f x x x =-,()11f x x'=-,()11101f =-=',()11ln11f =-=,所以切线方程为1y =; （Ⅱ）()1a x af x x x'-=-=,定义域为()0,+∞, ①当0a ≤时, ()0f x '>,函数()f x 在()0,+∞上为增函数,此时函数()f x 无极值;②当0a >时,令()0f x '=,解得x a =,当()0,x a ∈时, ()0f x '<,当(),x a ∈+∞时, ()0f x '>,所以函数()f x 在x a =处取得极小值,且极小值为()ln f a a a a =-,无极大值, 综上,当0a ≤时,函数()f x 无极值,当0a >时,函数()f x 在x a =处取得极小值ln a a a -,无极大值.8．【2019届北京市丰台区高三一模】已知函数()()()=e ln 1xf x a x a R -+∈.(Ⅰ)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (Ⅱ)若函数()y f x =在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上有极值，求a 的取值范围．【答案】(1) ()e y a x =-;(2) ⎫⎪⎪⎝⎭.【解析】试题分析：（1）由题意()e x af x x='-，因为()1e f a =-， ()1e f a '=-，利用点斜式方程即可求解切线的方程； （Ⅱ）由()e x af x x='-，分0a ≤和0a >讨论，即可得出函数单调性，求得函数有极值的条件，求得实数a 的取值范围． 试题解析：（Ⅱ）()e x a f x x='-． （ⅰ）当0a ≤时，对于任意1,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，都有()0f x '>，所以函数()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，没有极值，不合题意． （ⅱ）当0a >时，令()e x a g x x =-，则()2e 0x ag x x=+>'．9．【2019届江西省上饶市高三下二模】设函数()22ln x e kf x k x x x=++（k 为常数， 2.71828e =为自然对数的底数）．（1）当0k ≥时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在()0,3内存在三个极值点，求实数k 的取值范围．【答案】(1) ()f x 的单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()2,.+∞（2）322,,322e e e e ⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接求导，再求函数的单调区间. (2)第（2）问，对k 进行分类讨论，求出每一种情况下函数的单调性，再分析函数()f x 在()0,3内存在三个极值点的条件从而得到实数k 的取值范围. 试题解析：(1) 函数()f x 的定义域为()0,+∞.()()()2423222xx x x e kxx e xe k k f x x x x x -+-=-'+=. 由0,0k x ≥>可得0xe kx +>，所以当()0,2x ∈时， ()0f x '<；当()2,x ∈+∞时， ()0f x '>.故()f x 的单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()2,.+∞（2）由（1）知，当0k ≥时，函数()f x 在()0,2内单调递减，在()2,3内单调递增，故()f x 在()0,3内仅存在一个极值点2x =；当0k <时，令0x xe e kx k x +=⇒-=， ()x e g x x =，依题函数y k =-与函数()xe g x x=， ()0,3x ∈的图象有两个横坐标不等于2的交点.()()21x e x g x x ='-，当()0,1x ∈时， ()0g x '<，则()g x 在()0,1上单调递减，当()1,3x ∈时， ()0g x '>，则()g x 在()1,3上单调递增；而()()()231,2,3.23e e g e g g ===和极大值点2x .综上，函数()f x 在()0,3内存在三个极值点时，实数k 的取值范围为322,,322e e e e ⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【名师点睛】本题的难点在第（2）问，主要是对函数xy e kx =+的分析，把它的图像和性质分析清楚了，原命题自然分析清楚了.解答数学问题，要善于抓住主要问题，再突破. 10．【2019届北京市城六区高三一模】已知函数()1e ln x f x a x x ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭，其中a R ∈． （Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线exy =-垂直，求a 的值； （Ⅱ）当()0,ln2a ∈时，证明： ()f x 存在极小值． 【答案】（Ⅰ）0a =．（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ) ()f x 的导函数为()221e ln xf x a x x x ⎛⎫=⋅++'- ⎪⎝⎭． 依题意()()1e 1e f a =⋅+='，解得0a =．(Ⅱ) 由()221e ln x f x a x x x ⎛⎫=⋅++'- ⎪⎝⎭．令()221ln g x a x x x =+-+， ()()223311220x x x g x x x -+-+==>'恒成立，故()g x 在()0,+∞单调递增．因为()0,ln2a ∈， ()110g a =+>， 11ln 022g a ⎛⎫=+<⎪⎝⎭，故存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x =．可得f(x)在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭减，令()221ln g x a x x x=+-+， 则 ()()22331122x x x g x x x-='+-+=． 所以对任意()0,x ∈+∞，有()0g x '>，故()g x 在()0,+∞单调递增．因为()0,ln2a ∈，所以()110g a =+>， 11ln 022g a ⎛⎫=+<⎪⎝⎭， 故存在01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00g x =． ()f x 与()f x '在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上的情况如下：所以()f x 在区间01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在区间()0,1x 上单调递增． 所以()f x 存在极小值()0f x ．11【2019届北京师范大学附中高三下二模】已知函数，其中，为自然对数底数．（1）求函数的单调区间； （2）已知，若函数对任意都成立，求的最大值．【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）．【解析】【试题分析】(1)求导后令导数等于零,求得极值点后写出单调区间.(2)结合(1)求得函数的最小值,由此得到的取值范围.再利用导数求得 的取值范围.【试题解析】 （1）因为，因为，由得，所以当时，，单调递减；当时，单调递增．综上可得，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）因为，由函数对任意都成立，得，因为，所以．所以，设，所以，即的最大值为，此时，．【名师点睛】本小题主要考查函数导数与函数的单调区间,考查利用导数求解不等式的问题.求函数单调区间的基本步骤是:首先求函数的定义域,其次对函数求导,求导后一般需要对导函数进行通分和因式分解,然后求得导函数的零点,即原函数的极值点,结合图象判断函数的单调区间.12．【2019届新疆维吾尔自治区高三二模】已知函数()1xf x e ax =++（a R ∈）.若0x =是()f x 的极值点.（I ）求a ,并求()f x 在[]2,1-上的最小值；（II ）若不等式()'1xkf x xe <+对任意0x >都成立，其中k 为整数， ()'f x 为()f x 的导函数，求k 的最大值.【答案】（I ）1a =-，最下值2；(II ）2.【解析】试题分析：（1）第（1）问，先根据0x =是()f x 的极值点得到1a =-，再利用导数求函数的单调区间，求函数()f x 在[]2,1-上的最小值.(2)第（2）问，先分离参数得到11x x xe k e +<-，再求函数()11x x xe g x e +=-（0x >）的最小值，即得到k 的最大值. 试题解析：（I ）()'xf x e a =+，由0x =是()f x 的极值点，得()'00f =，∴1a =-.易知()f x 在[]2,0-上单调递减，在[]0,1上单调递增， 所有当0x =时， ()f x 在[]2,1-上取得最小值2. （II ）由（I ）知1a =-，此时()'1xf x e =-，∴()()'111x x x kf x xe k e xe <+⇔-<+∵0x >，∴10xe ->，∴11x x xe k e +<-令()11x x xe g x e +=-（0x >），∴()min k g x <()()2'1x x x e e x g x e --=-（0x >）【名师点睛】本题的难点在求出()()2'1x x x e e x g x e --=-（0x >）后，求函数的单调区间不方便，此时需要二次求导.所以需要再构造函数()2xh x e x =--，研究函数h(x)的单调性和值域，从而研究出函数g(x)的性质得解. 当我们一次求导后，如果()'()0x ><不方便解出，一般要考虑二次求导.。
(高考数学第一轮复习)高考必考题型全归纳专题04 比较大小
专题04 比较大小考法一 特殊值型【例1-1】（2022·河南驻马店·高三期中（文））已知0.35a =,50.3b =,0.3log 5c =,则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．c b a >>【答案】A【解析】构造()5x f x =可知()f x 单调递增,()()0.30.3501f f a >===,1a ∴>,造()0.3x g x =可知()g x 单调递减,()()500.3501g b g <==<=,01b ∴<<,构造()0.3log h x x =可知()h x 单调递减,()()0.3log 5510h c h <===,0c ∴<,所以a b c >>.故选:A【例1-2】（2021·全国·统考高考真题）已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是（ ） A ．c b a << B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c << 【答案】C【解析】55881log 2log log log 32a b =<==<=，即a c b <<.故选：C. 【例1-3】（2022·湖北·仙桃市田家炳实验高级中学高三阶段练习）已知152a =，5log 2b =−，121log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C【解析】因为1150222>>,所以12a <<,5551log 2log log 102b =−=<=,即0b <,112211log log 254c =>=,即2>c ,所以c a b >>,故选:C.【例1-4】（2022·河南）已知0.25log 0.5,0.5,a b c ===，则（ ） A ．a b c << B ．b<c<a C ．c b a << D ．a c b <<【答案】D【解析】55log 0.5log 10a =<=，10.2010.50.50.512b =<=<=，102c <==，所以a c b <<． 故选：D.考法二 单调型【例2-1】（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知函数()2ln 3x f x x−=+，2log 3a =，3log 4b =，32c =，则（ ） A ．()()()f a f b f c << B ．()()()f a f c f b << C ．()()()f c f a f b << D ．()()()f c f b f a <<【答案】B 【解析】因为203x x −>+，所以定义域为()3,2−，()()()2ln ln 2ln 33x f x x x x−==−−++； 易知()ln 2y x =−为减函数，()ln 3y x =+为增函数，所以()2ln 3x f x x −=+为减函数.因为223log 3log 2a =>=，所以a c >；又33log 4log 2b c =<==，所以a c b >>，所以()()()f a f c f b <<. 故选：B.【例2-2】（2022·四川）已知函数2()2cos f x x x =+，设()0.52a f =，()20.5b f =，()0.5log 2c f =，则（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】A【解析】2()2cos f x x x =+，定义域为R ，()()()()222cos 2cos f x x x x x f x −=−+−=+=，所以()f x 是偶函数，()22sin f x x x '=−，令()22sin g x x x =−，则()22cos 0g x x '=−≥，所以在R 上()f x '单调递增，()00f '=，即在(0,)+∞上0fx，()f x 单调递增，因为()()0.5log 2(1)1c f f f ==−=，0.52210.5>>，所以()()()0.52210.5f f f >>，即a cb >>，故选：A【例2-3】（2022·江西）函数()e e 2sin x xf x x −=−−.若420a =，5log 10b =，log a c b =，则有（ ）A ．()()()f a f b f c >>B ．()()()f a f c f b >>C ．()()()f b f a f c >>D ．()()()f b f c f a >>【答案】A【解析】因为函数()e e 2sin x x f x x −=−−，所以()e e 2cos x xf x x −−'=+，当0x >时，()22cos 0f x x >'−≥，所以()f x 在()0,∞+上递增，因为4455log 20log 162,1log 10log 252,0log log 1a a a b c b a =>=<=<=<=<=，所以0a b c >>>，所以()()()f a f b f c >>，故选：A考法三 导函数型【例3-1】（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()f x '，满足()()0f x xf x '−>，若()41a f =，()22b f =，()4c f =，则（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．c b a >>【答案】A【解析】因为()f x 满足()()0f x xf x '−<，令()()f xg x x=，则()()()20xf x f x g x x'−'=<，所以()g x 在R 上单调递减，所以()()()124g g g >>，即()()()24124f f f >>，所以()()()41224f f f >>.所以c b a <<.故选：【例3-2】（2022·四川雅安·三模（理））定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，且当0x >时，()2()0xf x f x '+<．则（ ）A ．2(e)(2)4ef f > B ．9(3)(1)>f f C ．4(2)9(3)−<−f f D ．2(e)(3)9e f f −> 【答案】D【解析】令()()2g x x f x =，因为()f x 是偶函数，所以()g x 为偶函数，当0x >时，()()()()()2220g x xf x x f x x f x xf x '''=+=+<⎡⎤⎣⎦，所以()g x 在()0,+∞单调递减，在(),0−∞单调递增，则()()e 2g g <，即()()22e e 22f f <，则2(e)(2)4ef f <，故A 错误； ()()31g g <，即()()931f f <，故B 错误；()()23g g −>−，即4(2)9(3)f f −>−，故C 错误； ()()()e 33g g g >=−，即()()2e e 93f f >−，则2(e)(3)9e f f −>，故D 正确. 故选：D.【例3-3】（2022·贵州）已知奇函数()f x 的导函数为()f x '，且()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上恒有()()sin cos f x f x x x'<成立，则下列不等式成立的（ ） Aππ64f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．ππ36f ⎛⎫⎛⎫−<− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Cππ43⎛⎫⎛⎫−<− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Dππ34f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【解析】构造函数()()sin f x F x x=，由()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上恒有()()sin cos f x f x x x '<成立，即()()()()()()2sin cos sin cos 0,0,(sin )f x x f x x f x x f x x F x F x x −−>'∴>'=∴'在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，又由()()()()()(),sin sin f x f x F x F x F x x x−−−===∴−−为偶函数，ππππππ64,,,ππ646464sin sin 64f f F F f ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭<∴<∴<< ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 错误.偶函数()F x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，()F x ∴在π,02⎛⎫− ⎪⎝⎭上为减函数，ππππππππ36,,,,ππ363636sin sin 36f f F F f ⎛⎫⎛⎫−− ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭−<−∴−>−∴>∴−−>− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ36f ⎛⎫⎛⎫∴−<− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；ππππ43,ππ43sin sin 43f f F F ⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭−<−∴< ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππππ,4343⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−<−−>− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 错误；ππ>34，ππππππ34,,ππ3434sin sin 34f f F F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭∴>∴>> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 错误.故选：B考法四 构造函数ln x x或xln x 类型 【例4-1】（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（文））设22e a =，ln 22b =，ln 33c =，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c<a<bD ．b<c<a【答案】A 【解析】设()ln x f x x=，则()21ln xf x x −'=，令()21ln 0x f x x −'==，则e x =， 所以当()0,e x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当()e,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减； 又()222e e af ==，()4ln 2ln 424b f ===，()ln 333c f ==，又()()()243e f f f >>，所以a b c <<.选：A.【例4-2】（2022·山西吕梁）已知1ln e ,ln a b c −===a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．b a c >> D ．a b c <<【答案】B【解析】12022ln 2022lnln 20222022a ===，11ln e e e e b −===，12021ln 2021lnln 20212021c ===，令ln ()x f x x =，则21ln ()x f x x −'=， 当0e x <<时，()0f x '>，当e x >时，()0f x '<， 所以()f x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，由e 20212022<<，所以(e)(2021)(2022)f f f >>，所以b c a >>.故选：B. 【例4-3】（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知正实数,,a b c ，若ln ln 11ln a b a b c c>=，e b >，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．b a c >>【答案】D 【解析】令()ln xf x x =，则()21ln x f x x −'=，∴当()0,e x ∈时，0f x；当()e,x ∈+∞时，()0f x '<；f x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，()()max 1e ef x f ∴==， 又()10f =，当1x >时，()0f x >恒成立，可得()f x 图象如下图所示，ln ln a ba b>，e b >，1a b ∴<<； ln 11ln ln 0b c b c c c ==−>，ln 0c c ∴<，01c ∴<<；综上所述：b a c >>.故选：D. 【例4-4】（2022·内蒙古·赤峰二中模拟预测（理））已知1ln 23a =+，1ln34b =+，e 2e 1c +=+，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．b a c >>【答案】B【解析】构造函数()1ln 1f x x x =++，其中0x >， 则()()()()2222213111240111x x x f x x x x x x x ⎛⎫++ ⎪++⎝⎭'=−==>+++， 所以，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，因为()1ln 223a f =+=，()1ln 334b f =+=，()e 2111ln e e e 1e1e 1c f +==+=+=+++，因为3e 20>>>，所以，a c b <<. 故选：B.【例4-5】（2023·湖南·模拟预测）设()252ln5e a −=，1eb =，ln44c =，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ） A ．a c b << B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】A【解析】因为222e ln5(2ln 5)5e e 5a −==，1ln e e e b ==，ln 44c = 故构造函数()ln x f x x=，则()21ln xf x x −'=，令()21ln =0xf x x −'=，解得=e x ， 当()0e x ∈，时，0fx，()f x 在()0e ，上单调递增，当()e +x ∈∞，时，()0f x '<，()f x 在()e +∞，上单调递减， 又因为2e 5a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()e b f =，()4c f =所以a b <，c b <．因为()()ln 4ln 24242c f f ====，又2e 2e 5<<， 所以()2e 25f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即c a >，故a c b <<，故选：A ．【例4-6】（2023·全国·模拟预测）已知实数(),,1,e ∈a b c ，且πln ln πa a =，2eln ebb =，10ln c c =⎭，则实数a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．c b a << D ．b c a <<【答案】D【解析】由πln ln πa a =得ln ln ππa a =，由2eln e b b =得22ln ln e eb b = ，由10ln2c c=−⎭得1212ln ln10e10ecc−−=，故构造函数()ln xf xx=，则()21ln xf xx−'=，则当ex>时，()f x单调递减，当0ex<<时，()f x单调递增，当ex=时，()f x取最大值1e，其图象如图所示：分别取122π,e,10ex−=，由于(),,1,e∈a b c，且10101.6e<1.7,,1.7 1.6<∴<，又()2222e 2.7 2.8e7∈∴>，，，故2e<πe<，由于ex>时，()f x单调递减，在0ex<<时，()f x单调递增，结合图象得：<<b c a，故选：D【例4-7】（2022·贵州毕节·三模（理））已知3ln3a=，eb=，2e2c=（e为自然对数的底数），则a，b，c的大小关系为（）A．c a b>>B．c b a>>C．a c b>>D．b c a>>【答案】A【解析】令()lnxf xx=，()0x>，所以()()2ln1lnxf xx−'=，当()0,ex∈时，()0f x'<，函数()f x单调递减当()e,x∈+∞时，0f x，函数()f x单调递增；所以()33ln3a f==，eelneb==，()2222e eelne2c f===，所以c a b>>，故选：A.考法五取对数构造函数【例5-1】（2022·广西·模拟预测（理））已知8766,7,8a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b c a >> B ．c b a >> C ．a c b >> D ．a b c >>【答案】D【解析】令()()14ln f x x x =−,则()14ln 1f x x x'=−+−. 因为ln y x =−在()0,∞+上单调递减，141y x=−在()0,∞+上单调递减， 所以()14ln 1f x x x'=−+−在()0,∞+上单调递减. 而()()14145ln510,6ln610,56f f ''=−+−>=−+−< 所以在()6,+∞上有()0f x '<.所以()()14ln f x x x =−在()6,+∞上单调递减. 所以()()()67 8f f f >>，即8ln67ln76ln8>> 故876678>>.故a b c >>. 故选：D【例5-2】（2023·全国·高三专题练习）已知ln72a =，ln 63b =，ln54c =，则（ ） A ．b c a << B ．a b c <<C ．b a c <<D ．a c b <<【答案】B【分析】对a ，b ，c 取对数，探求它们的结构特征，构造函数()()ln ln 9f x x x =⋅−(24x ≤≤)，借助导数判断单调性即可作答.【详解】对a ，b ，c 取对数得：ln ln 2ln 7a =⋅，ln ln3ln 6b =⋅，ln ln 4ln5c =⋅， 令()()ln ln 9f x x x =⋅−(24x ≤≤)，()()ln 9x f x x−'=−()()()9ln 9ln ln 99x x x xx x x x −−−=−−， 令()ln ,1g x x x x =>，()ln 10g x x '=+>，即()ln g x x x =在(1,)+∞上单调递增， 由24x ≤≤得，951x x −≥>>，于是得()()9ln 9ln x x x x −−>，又()90x x −>， 因此，()0f x '>，即()f x 在[]2,4上单调递增，从而得()()()234f f f <<，即ln 2ln 7ln3ln 6ln 4ln5<<，ln ln ln a b c <<，所以a b c <<. 故选：B【例5-3】（2022·全国·高三专题练习）已知 3.9 3.8 3.9 3.83.9, 3.9, 3.8, 3.8a b c d ====，则a b c d ,,,的大小关系为（ ）A ．d c b a <<<B ．d b c a <<<C ．b d c a <<<D ．b c d a <<<【答案】B【分析】构造函数()ln xf x x=，利用导数判断函数的单调性，可得()3.9(3.8)f f <，从而可得 3.8 3.93.9 3.8<，再由 3.8y x =在()0,∞+上单调递增，即可得出选项. 【详解】构造函数()ln xf x x=，则()21ln x f x x −'=，当(),x e ∈+∞时，()0f x '<，故()ln xf x x=在(),x e ∈+∞上单调递减， 所以()3.9(3.8)f f <，所以ln 3.9ln 3.83.9 3.8<，3.8ln3.9 3.9ln3.8<所以 3.8 3.9ln 3.9ln 3.8<，3.8 3.93.9 3.8<，因为 3.8y x =在()0,∞+上单调递增，所以 3.8 3.83.8 3.9<，同理 3.9 3.93.8 3.9<， 所以 3.8 3.8 3.9 3.93.8 3.9 3.8 3.9<<<，故选：B考法六 ()e 1xx −+ln x (x 1)−−构造指对数切线或【例6-1】（2022·江西景德镇）已知0.03e 1a =−，3103b =，ln1.03c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．b a c >>【答案】B【解析】记()()e 1,0xf x x x =−−≥.因为，所以当0x >时，，所以()f x 在()0,+∞上单调递增函数，所以当0x >时，()()00f x f >=，即1x e x −>，所以0.03e 10.03−>.记()()()ln 1,0g x x x x =+−≥.因为，所以()g x 在()0,+∞上单调递减函数，所以当0x >时，()()00g x g <=，即()ln 1x x +<，所以ln1.030.03<.所以a c >. 记()()()ln 1,01xh x x x x=+−≥+. 因为，所以当0x >时，，所以()h x 在()0,+∞上单调递增函数，所以当0x >时，()()00h x h >=，即()ln 11x x x+>+，所以0.033ln1.0310.03103>=+.所以c b >. 综上所述：a c b >>.故选：B【例6-2】（2022·全国·武功县普集高级中学模拟预测（理））设2023ln 2022a =，12022b =，21log 2023c =，则（ ） A ．a c b << B ．c b a << C ．b<c<a D ．c<a<b【答案】D 【解析】令202312022t =>，则ln ,1a t b t ==−， 设()1ln f t t t =−−，则11()1t f t t t−=−='，当1t >时，()0f t '>，所以()f t 在(1,)+∞上单调递增，故()(1)0f t f >=，即b a >； 又因为220231ln0,log 020222023a c =>=<，所以c a <， 综上，c<a<b ． 故选：D ．【例6-3】（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）已知1100a =，99100eb −=，101ln100c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >>【答案】B【解析】设函数()e 1,R x f x x x =−−∈,则()e 1x f x '=−，当0x <时，()0f x '<，()f x 递减；当0x >时，()0f x '>，()f x 递增， 故()(0)0f x f ≥=，即e 1x x ≥+，当0x =时取等号；∵e 1xx ≥+，∴99100991e1100100−>−=，∴b a >， 由以上分析可知e 1x x ≥+，则0x >时，有1e x x −≥成立，当1x =时取等号，， 即ln 1≤−x x ，当1x =时取等号，∴1011011ln 1100100100<−=，∴a c >， 故b a c >>， 故选：B.【例6-4】（2023·湖北·校联考模拟预测）设0.051,ln1.05,e 121a b c ===−，则下列关系正确的是（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】C【解析】记()e 1,(0)x f x x x =−−≥，因为()e 1x f x '=−，当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，则当0x >时，()e 1(0)0x f x x f =−−>=，即1x e x −>，取0.05x =，所以0.05e 10.05−>， 记()ln(1),(0)g x x x x =+−≥，因为1()1011x g x x x=−=−+'<+，所以()g x 在(0,)+∞上单调递减，则当0x >时，()(0)0g x g <=，即ln(1)x x +<，取0.05x =，所以ln1.050.05<，故10.05ln1.05e 1<−，即b c <；记()ln(1)(0)1xh x x x x=+−≥+，因为2211()1(1)(1)x h x x x x ='−=+++，当0x >时，()0h x '>，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，所以当0x >时，()(0)0h x h >=，即ln(1)1xx x+>+，取0.05x =，所以0.0551ln1.0510.0510521>==+，即b a >；所以c b a >>.故选：C.考法七 作差作商构造函数【例7-1】（2023·安徽宿州·统考一模）已知34m =，23m a =−，45m b =−，则（ ） A ．0a b >> B ．0b a >> C ．0a b >> D ．0b a >>【答案】B【解析】由334log 4mm =⇒=，222222223lg 2lg 4lg 3lg 3lg 4lg 3lg 2lg 44lg 3lg 8lg 9lg 82log 3log 40lg 2lg 3lg 2lg 3lg 2lg 34lg 2lg 34lg 2lg 3，222222234lg 3lg 5lg 4lg 4lg 5lg 4lg 3lg 54lg 4lg 15lg 16lg 152log 4log 50lg 3lg 4lg 3lg 4lg 3lg 44lg 3lg 44lg 3lg 4，∴234log 3log 4log 5>>，∴4log 545450m b =−>−=，2log 323230m a =−<−=， ∴0b a >>. 故选：B.【例7-2】（2023·四川乐山·统考一模）已知111sin0.10.09ln 29a b c ===，，，则（ ） A ．c >a >b B ．a >c >b C ．b >c >aD ．a >b >c【答案】A【解析】令2()sin ,[0,1]f x x x x x =−+∈，则()cos 12f x x x '=−+， 设()cos 12,()sin 20g x x x g x x '=−+=−+>恒成立，所以()cos 12g x x x =−+在[0,1]x ∈单调递增，所以()(0)0g x g ≥=， 即()0f x '≥在[0,1]x ∈时恒成立，所以2()sin ,[0,1]f x x x x x =−+∈单调递增， 则(0.1)sin 0.10.10.01(0)0f f =−+>=， 即sin 0.10.09>，故a b >， 令()1()ln 2sin ,0,11xh x x x x+=−∈−， ()21122cos 2cos 111h x x x x x x =+−−+−−'=， 因为2221x >−，2cos 2x <， 所以22()2cos 01h x x x'=−>−在()0,1x ∈恒成立， 所以()h x 在()0,1x ∈单调递增，所以()(0)0h x h >=，所以(0.1)(0)0h h >=，即 1.1ln2sin 0.100.9−>， 即111ln sin 0.129>，所以c a >， 所以c a b >>，故选:A.考法八 其他模型【例8-1】（2022·全国·统考高考真题）已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（ ）A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】A【解析】[方法一]：构造函数因为当π0,,tan 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭故14tan 14c b =>，故1cb >，所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+−∈+∞， ()sin 0f x x x '=−+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，故1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以131cos 0432−>， 所以b a >，所以c b a >>，故选A [方法二]：不等式放缩 因为当π0,,sin 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭，取18x得：2211131cos 12sin 1248832⎛⎫=−>−= ⎪⎝⎭，故b a > 1114sin cos444ϕ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin ϕϕ==当114sin cos 44+=142πϕ+=，及124πϕ=−此时1sin cos4ϕ=1cos sin 4ϕ=故1cos4=11sin 4sin 44<=<，故b c < 所以b a >，所以c b a >>，故选A [方法三]：泰勒展开设0.25x =，则2310.251322a ==−，2410.250.25cos 1424!b =≈−+，241sin10.250.2544sin1143!5!4c ==≈−+，计算得c b a >>，故选A. [方法四]：构造函数 因为14tan 4c b =，因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭，所以11tan 44>,即1c b >，所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+−∈+∞，()sin 0f x x x '=−+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，则1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以131cos 0432−>，所以b a >,所以c b a >>， 故选：A ．[方法五]：【最优解】不等式放缩 因为14tan 4c b =，因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭，所以11tan 44>,即1c b >，所以c b >；因为当π0,,sin 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭，取18x得2211131cos 12sin 1248832⎛⎫=−>−= ⎪⎝⎭，故b a >，所以c b a >>．故选：A ．【例8-2】（2023·新疆·校联考模拟预测）若0.40.6e a =，2ln 4b =−，e 2c =−，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >> D ．c b a >>【答案】B 【解析】由题意，0.40.6e a =，2ln 4b =−，e 2c =−对于a 和b ， ∵()0.40.40.40.6ee 1ln e a ==−，()2ln 421ln 2b =−=−，∴可以构造函数()()1ln f x x x =−，则()0.4e af =，(2)b f =.对()f x 求导，得()ln f x x '=−， 当()1,x ∈+∞时，()0f x '<， ∴()f x 在()1,+∞上单调递减.∵00.40.51e e e 2=<<<，∴()0.4e (2)f f >，即a b >；对于b 和c ，∵4ln 4e 42ln 2e b c −=−−=−−. ∴可以构造函数()2ln e g x x x x =−−， 则()1ln g x x '=−，当()0,e x ∈时，()0g x '>；当()e,x ∈+∞时，()0g x '<， ∴()g x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减， ∴()()max e 0g x g ==， ∴()20g <，∴0b c −<，即c b >； 对于a 和c ，∵()0.410.4e e 2a c −=−−+，∴可以构造函数()()1e e 2xh x x =−−+，则()e x h x x '=−，当()0,1x ∈时，()0h x '<， ∴()h x 在()0,1上单调递减. 又∵()0.50.50.5e e 2h =−+，且0.5e 1.6>，∴()0.50h >， ∴()()0.40.50h h >>， ∴0a c −>，即a c >. ∴a c b >>， 故选：B.【例8-3】（2023·山西临汾·统考一模）已知1ln1.1,,11a b c ===,则（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】D【解析】解:由题知构造()()ln 1f x x =+()0x ≥, 所以()211101x f x x −+'==≤+,故()f x 在[)0,∞+单调递减,所以()()0.100f f <=, 即()ln 1.10<,即()ln 1.1<即a c < 因为11101111ln1.1lnln ln ln 110111111−⎛⎫==−=−=−− ⎪⎝⎭, 构造()()ln 1g x x x =+−,(]1,0x ∈−, 所以()11011xg x x x−'=−=≥++, 即()g x 在(]1,0−上单调递增,所以()10011g g ⎛⎫−<= ⎪⎝⎭,即11ln 101111⎛⎫−+< ⎪⎝⎭,即11ln 11111⎛⎫<−− ⎪⎝⎭,即b a <,综上:b a c <<. 故选:D强化训练1．（2021·天津·统考高考真题）设0.3212log 0.3,log 0.4,0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．c<a<bC ．b<c<aD ．a c b <<【答案】D【解析】22log 0.3log 10<=，<0a ∴，122225log 0.4log 0.4log log 212=−=>=，1b ∴>， 0.3000.40.41<<=，01c ∴<<，a cb ∴<<.故选：D.2．（2023·陕西西安·统考一模）已知函数()2f x x =−，若22log ab c ==，则（ ）A ．()()()f b f c f a <<B ．()()()f a f b f c <<C ．()()()f a f c f b <<D ．()()()f c f b f a <<【答案】A【解析】()2f x x =−在R 上单调递减，在同一坐标系中作2,2log ,,xy y c y x y x ====的图像，如图：所以a c b <<，故()()()f b f c f a <<， 故选：A.3．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知函数()πtan 3xf x =的最小正周期为T ，设sin a T =，cos b T =，8log c T =，则（ ）A ．b<c<aB ．b a c <<C ．c<a<bD ．a b c <<【答案】B【解析】因为函数()πtan 3x f x =的最小正周期为T ，所以π3T ω==， 因为5π3π6<<，所以1sin 0,2a T ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，cos 0b T =<， 又因为89ln 3ln 31log 3log 3ln 8ln 92c ==>==，所以b a c <<.故选：B 4．（2023·陕西西安·统考一模）若lg 0.2a =，3log 2b =，6log 4c =，则关于a 、b 、c 的大小关系，下列说法正确的是（ ） A ．c b a >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．a b c >>【答案】A【解析】lg 0.2lg10a =<=又242222221log 3log 6log 3log 6log 3log log log 102−=−=−=>=即244log 3log 6log 10>>>24110log 3log 6∴<< 即63log 4log 20lg 2>>>所以c b a >>故选：A5．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知0.134log log 3a b c ===，则（ ） A ．b<c<a B ．b a c << C ．c a b << D ．a b c <<【答案】B【解析】00.13311c >=∴>，33313333log log log 11144333log log 3>==>=，即113a <<，4414441log log log 1133444g 4lo b ==<==，因此b a c <<，故选：B6．（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知0.32=a ，20.3b =，2log 3c =，则（ ） A ．b a c << B ．b<c<aC ．a b c <<D ．c b a <<【答案】A【解析】因为00.30.5222<<，所以(a ∈， 因为2000.30.3<<，所以()0,1b ∈，因为222log log 3log 4<<，所以3,22c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则b a c <<．故选：A.7．（2023·福建·统考一模）设 1.3 1.35log 8,2,0.7a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b<c<aD ．c<a<b【答案】D【解析】因为5551log 5log 8log 252=<<=，所以12a <<，因为11.3222>=，所以2b >，又因为 1.3000.70.71<<=，所以01c <<， 所以c<a<b ， 故选：D .8．（2023·甘肃兰州·校考一模）已知()f x 是偶函数，在(－∞，0)上满足()0xf x '>恒成立，则下列不等式成立的是（ ） A ．()34()()5f f f <<−− B ．()()()435f f f <−>− C ．()()()534f f f −<−< D ．()()()453f f f <−<−【答案】A【解析】(),0x ∈−∞时，()0xf x '>即()0f x '<， ∴()f x 在(),0∞−上单调递减，又()f x 为偶函数， ∴()f x 在()0,∞+上单调递增． ∴()()()345f f f <<， ∴()()()345f f f −<<−. 故选：A ．9．（2023·全国·模拟预测）已知(),,1,a b c ∈+∞，且1ln 1e a a −−−=，2ln 2e b b −−−=，4ln 4e c c −−−=，其中e 是自然对数的底数，则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b<c<aD ．c b a <<【答案】A【解析】由题意可得1ln e 1a a −−=+，2ln e 2b b −−=+，4ln e 4c c −−=+，令()e x f x x −=+，则()e 1xf x −'=−+，因为当0x >时0f x，()f x 单调递增，所以()()()124f f f <<，即ln ln ln a a b b c c −<−<−，令()ln g x x x =−，则()11g x x'=−，因为当1x >时，()0g x '>，所以()g x 在()1,+∞上单调递增， 又因为(),,1,a b c ∈+∞且()()()g a g b g c <<， 所以a b c <<， 故选：A10．（2023·湖南长沙·统考一模）已知2log 1.8a =，4log 3.6b =，12c =，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】C【解析】】224log 1.8log 1.8a ==，所以2244441.8log 1.8log 3.6log log 103.6a b −<−===，所以a b <.221log 1.8log 2a c =>==，所以a c >.所以有b a c >>. 故选：C.11．（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）已知0.2log 0.3a =，0.6log 0.2b =，0.22c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >>【答案】D【解析】因为0.20.2log 0.3log 0.21a =<=， ∴1a <，又0.60.6log 0.2log 0.362b =>=， ∴2b >，∵00.20.5<<，0.20.5122c <=<=∴12c <<， ∴b c a >>． 故选：D ．12．（2022·全国·统考高考真题）已知910,1011,89m m m a b ==−=−，则（ ） A ．0a b >> B ．0a b >> C ．0b a >> D ．0b a >>【答案】A【解析】［方法一］：（指对数函数性质）由910m=可得9lg10log 101lg9m ==>，而()222lg9lg11lg99lg9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg10lg11lg9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =−>−=.又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg9lg10lg8lg9>，即8log 9m >， 所以8log 989890m b =−<−=.综上，0a b >>. ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由910m =，可得9log 10(1,1.5)m =∈．根据,a b 的形式构造函数()1(1)m f x x x x =−−> ，则1()1m f x mx −'=−， 令()0f x '=，解得110m x m −= ，由9log 10(1,1.5)m =∈ 知0(0,1)x ∈ .()f x 在 (1,)+∞ 上单调递增，所以(10)(8)f f > ，即 a b > ，又因为9log 10(9)9100f =−= ，所以0a b >> .故选：A.13．（2023·陕西西安·统考一模）已知函数()f x 满足()()22f x f x x +−=−，若22log a b c ==，则（ ）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f b f c f a <<C ．()()()f a f c f b <<D ．()()()f c f b f a <<【答案】B【解析】因为2()()2f x f x x +−=−，所以2()()2f x f x x −+=， 联立2()()22()()2f x f x xf x f x x +−=−⎧⎨−+=⎩，得()2f x x =−，在R 上单调递减，在同一坐标系中作y c =，2x y =，2log y x =，y x =的图象，如图，所以a c b <<，故()()()f b f c f a <<. 故选：B.14．（2023·云南·统考模拟预测）已知实数a 、b 、c 满足ln(ln )ln b a c ==，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．b c a >> D ．a c d >>【答案】C【解析】设()ln f x x x =−，则11()1x f x x x−='−=， 当01x <<时，()0f x '>，则函数()f x 在(0,1)上单调递增， 当1x >时，()0f x '<，则函数()f x 在(1,)+∞上单调递减， 所以max ()(1)10f x f ==−<，所以ln x x <，所以ln a c c =<， 又ln(ln )ln b c =，所以ln c b b =<，所以b c a >>. 故选：C.15．（2023·贵州毕节·统考一模）已知83log 3a =，131log 162b =−，4log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．c a b >> C ．b c a >> D ．b a c >>【答案】A【解析】由题意可得82322log 33log 33log 31log 2a ==⨯=>，31333log 1611log 16log 41122log 3b =−=−⨯=>，40log 31c <=<， 又223lg3lg 4(lg3)lg 2lg 44lg 2lg3lg 2lg3log 3log −−=−=，由于222lg 2lg 4lg 20,lg 40lg 2lg 4,lg 2lg 4()(lg3)2+>>≠∴<=<，， 故234log 03l ,og a b >−∴>， 综合可得a b c >>， 故选：A16．（2023·安徽蚌埠·统考二模）已知15log 2x =，22ln 0x x +=，3233log xx −=，则（ ）A ．123x x x <<B ．213x x x <<C ．132x x x <<D ．231x x x <<【答案】A【解析】1551log 2log 2x =<=，设()ln f x x x =+，因为函数()f x 在()0,∞+上递增（增+增=增），1111ln ln 02222f ⎛⎫=+===< ⎪⎝⎭，()11f =，即()1102f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，由零点存在定理可知2112x <<； 设函数()21log 3xh x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，易知()h x 在()0,∞+上递减（减+减=减），()113h =，()12109h =−<，即()()210h h <，由零点存在定理可知312x <<. 即123112x x x <<<<. 故选：A ．17．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知πsine a =，2e b =，c =e 为自然对数的底数），则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >>C ．c a b >>D ．b a c >>【答案】A【解析】因为πππ3e 2<<，所以ππsin sin e 3a =>=，又5e 2>，24e 5b =<<a b >， 设()ln xf x x=，则()21ln x f x x −'=，由0f x，可得0e x <<，函数()f x 单调递增，由()0f x '<，可得e x >，函数()f x 函数单调递减，所以()()1ee f x f ≤=1e <2e <，即b c >， 所以a b c >>. 故选：A.18．（2023·安徽淮南·统考一模）若75a =，86b ，22e 2e c =+，则实数a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b >> B ．c b a >> C ．b c a >> D ．b a c >>【答案】B【解析】由已知可得，7ln 5log 5ln 7a ==，8ln 6log 6ln8b ==，由22e 2e c=+可得，()22ln e 2c =+，所以()()2222ln e ln e 2ln e 2c ==++. 设()ln ,1ln(2)xf x x x =>+，则()()()()22ln 2ln ,12ln (2)x x x x f x x x x x ++−'=>++，因为1x >，故()21,ln 2ln 0x x x x +>>+>>， 所以()()2ln 2ln 0x x x x ++−>即0f x ，所以()f x 在()1,+∞上为增函数，又()5a f =，()6b f =，()2e cf =，又2e 65>>，所以c b a >>.故选：B.19．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知352,e ,ln5ln 45a b c −===−，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】C【解析】()e 1x f x x =−−'()e 1x f x =−，则()()''0,,()0,,0,()0x f x x f x ∈+∞>∈−∞<，故函数()f x 在(),0∞−单调递减，()0,∞+单调递增，则()(0)0f x f ≥= 则e 10x x −−≥，即e 1x x ≥+ 由e 1xx ≥+，∴352e5−>，故b a > 同理可证ln(1)x x +≤ 又ln(1)x x +≤，∴11ln5ln 4ln 144⎛⎫−=+< ⎪⎝⎭，则b a c >>故选：C.20．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）设0.732a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.723b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()334log log 4c =，则（ ） A ．c b a << B ．a b c << C ．c<a<b D ．a c b <<【答案】A【解析】由指数函数的单调性和值域，32xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递增，故0.713322a ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭>⎭=⎝； 由23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域，且在R 上单调递增可知，0.7122033b ⎛⎫⎛⎫<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭<=； 根据对数函数的单调性，3log y x =在(0,)+∞上单调递增，故33log 4log 31>=，由34log y x =在(0,)+∞上单调递减，故()33344log log 4log 10c =<=.结合上述分析可知：01c b a <<<<.故选：A21．（2023·浙江·统考一模）若正数a ，b ，c 满足1ln 1e −++=+=+b a b a c a） A ．<<b c a B ．b a c << C ．a c b << D ．a b c <<【答案】B【解析】设()1e x f x x −=−，则()1e 1xf x −='−，当1x >时，()0f x '>，()f x 为增函数；当1x <时，()0f x '<，()f x 为减函数；所以()(1)0f x f ≥=，即1e x x −≥； 所以111e e b b b c a a a b a−−+=++>+≥+，即c a >. 设()ln 1g x x x =−+，则1()1g x x'=−， 当1x >时，()0g x '<，()g x 为减函数； 当01x <<时，()0g x '>，()g x 为增函数； 所以()(1)0g x g ≤=，即ln 1≤−x x ；所以ln 11b c a a c a c +=+≤−++=+，即b a ≤. 若b a =，则1a c ==，与c a >矛盾，故b a <． 综上所述，b a c <<. 故选：B ．22（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知a =b =c =。
专题30 小题不小——比较大小-备战2019年高考数学之高三复习大一轮热点聚焦与扩展(原卷版)
专题30 小题不小----比较大小【热点聚焦与扩展】高考命题中，常常在选择题或填空题中出现一类比较大小的问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序.这类问题的解法往往可以从代数和几何两方面加以探寻，即利用函数的性质及图象解答.本专题以一些典型例题来说明此类问题的方法与技巧. （一）常用技巧和方法1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来： 判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为()0,1和()1,+∞（1）如果底数和真数均在()0,1中，或者均在()1,+∞中，那么对数的值为正数 （2）如果底数和真数一个在()0,1中，一个在()1,+∞中，那么对数的值为负数 例如：30.52log 0.50,log 0.30,log 30<>>等2、要善于利用指对数图象观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，一作图，自明了3、比较大小的两个理念：（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况 例如：1113423,4,5，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同()()()11111143634212121233,44,55===，从而只需比较底数的大小即可（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“-1，0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如2log 3，可知2221log 2log 3log 42=<<=，进而可估计2log 3是一个1点几的数，从而便于比较 4、常用的指对数变换公式：（1）nm m na a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）log log log a a a M N MN += log log log a a aM M N N-=（3）()log log 0,1,0n a a N n N a a N =>≠> （4）换底公式：log log log c a c bb a=进而有两个推论：1log log a b b a =（令c b =） log log m na a n N N m= （二）利用函数单调性比较大小1、函数单调性的作用：()f x 在[],a b 单调递增，则[]()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）2、导数运算法则： （1）()()()()()()()'''f x g x fx g x f x g x =+（2）()()()()()()()'''2f x f xg x f x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3、常见描述单调性的形式 （1）导数形式：()()'0fx f x >⇒单调递增；()()'0f x f x <⇒单调递减（2）定义形式：()()12120f x f x x x ->-或()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦：表示函数值的差与对应自变量的差同号，则说明函数单调递增，若异号则说明函数单调递减 4、技巧与方法：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整（3）在比较大小时，通常可利用函数性质（对称性，周期性）将自变量放入至同一单调区间中进行比较 （三）数形结合比较大小1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过作出草图观察得到诸如“距轴越近，函数值越……”的结论，从而只需比较自变量与坐标轴的距离，即可得到函数值的大小关系（1）若()f x 关于x a =轴对称，且(),a +∞单调增，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越小（2）若()f x 关于x a =轴对称，且(),a +∞单调减，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越大2、函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两个函数的交点.抓住共同的函数作为突破口，将其余函数的图象作在同一坐标系下，观察交点的位置即可判断出自变量的大小.【经典例题】例1.【2017课标1，理11】设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则（ ） A ．2x<3y<5zB ．5z<2x<3yC ．3y<5z<2xD ．3y<2x<5z例2.【2017天津，文理】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）（A ）a b c << （B ）c b a <<（C ）b a c <<（D ）b c a <<例3.已知,,a b c 均为正数，且11222112log ,log ,log 22bcaa b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A. a b c <<B. c b a <<C. c a b <<D. b a c <<例4.【2018届山东、湖北部分重点中学冲刺模拟（三）】已知，,,则的大小关系为（ ） A.B.C.D.例5.【2018年辽宁省部分重点中学协作体高三模拟】函数，若，，，则有（ ）A.B.C.D.例6.【2018届天津市十二校二模】已知定义在上的函数，则三个数，，，则，，之间的大小关系是（ ）A.B.C.D.例7．【2018届华大新高考联盟4月检测】已知为定义在上的偶函数，且，当时，，记，则的大小关系为（ ）A. B. C.D.例8.已知函数()2log 1y x =+，且0a b c >>>，则()()(),,f a f b f c a b c 的大小关系是（ ） A.()()()f a f b f c ab c >>B.()()()f c f b f a c b a>>C.()()()f b f a f c bac>>D.()()()f a f c f b acb>>例9.【2018届内蒙古鄂伦春自治旗二模（420模拟）】已知函数，设，，，则（ ） A.B.C.D.例10.【2018届安徽省六安市第一中学三模】设是函数的导数，且满足，若、、是锐角三角形的三个内角，则（）A. B. C.D.【精选精练】1.【2018届北京市海淀区二模】已知，则( ) A.B.C.D.2．【2018届贵阳第一中学月考卷（七）】实数，，满足且，则下列关系式成立的是（ ） A.B.C.D.3.【2017年高考山东卷】若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是A. ()21log 2a b a a b b +<<+ B. ()21log 2a b a b a b <+<+ C. ()21log 2a b a a b b +<+< D. ()21log 2a ba b a b +<+<4．【2018届广东省中山市第一中学高三第一次统测】实数0.2a b c ===的大小关系正确的是( )A. a c b <<B. a b c <<C. b a c <<D. b c a << 5．【2018届福建省龙岩市4月检查】已知定义在上的偶函数对于上任意两个不相等实数和，都满足，若，则的大小关系为（ ）A.B.C.D.6．【2018届湖北省4月调研】已知 2.2 2.1 2.22.1, 2.2,log 2.1a b c ===，则( )A. c b a <<B. c a b <<C. a b c <<D. a c b << 7．【2018届浙江省嘉兴市4月模拟】已知 ，，，，那么的大小关系是（ ） A.B.C.D.8.【2018年4月8日 每周一测】已知函数()f x 为偶函数，当0x >时， ()4x f x -=，设()3log 0.2a f =， ()0.23b f -=， ()1.13c f =-，则( )A. c a b >>B. a b c >>C. c b a >>D. b a c >>9．【2018届福建省闽侯第一中学高三上学期开学】记 则A,B,C 的大小关系是（ ） A.B.C.D.10．【2018届湖北省荆州中学高三第二次月考】已知()sin 0,,sin ,4a απαα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭()sin cos ,b αα=()cos sin c αα=，则( )A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D. c a b <<11.【2018届天津市9校联考】定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()21xf x =-，设1lna π=， 2ln5b e-=， 0.113c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A. ()()()f a f b f c <<B. ()()()f b f c f a <<C. ()()()f b f a f c <<D. ()()()f c f b f a <<12.【2018届重庆市巴蜀中学月考七】已知ϕ)cos(x+ ϕ)+2cos (x+ ϕ)-12 (|ϕ|<3π),若f(0)=12,a=f(π),b=f(11-12π），c=f （5324π），则（ ） A. a<c<b B. a<b<c C. c<a<b D. c<b<a。
备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题38 数列中的不等问题
专题38 数列中的不等问题【热点聚焦与扩展】关于数列中涉及到的不等问题，通常与数列的最值有关或证明不等式成立或确定参数的范围，对于数列中的最值项问题，往往要依靠数列的单调性，而对于数列不等式的证明问题，往往可以利用“放缩法”，要根据不等式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解.本专题举例说常见数列不等问题的求解方法.（一）数列中的不等关系1、在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关，而要求的数列中的最值项，要依靠数列的单调性，所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点2、如何判断数列的单调性：（1）函数角度：从通项公式入手，将其视为关于n 的函数，然后通过函数的单调性来判断数列的单调性.由于n N *∈ ，所以如果需要用到导数，首先要构造一个与通项公式形式相同，但定义域为()0,+∞ 的函数，得到函数的单调性后再结合n N *∈得到数列的单调性（2）相邻项比较：在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性，通常的手段就是作差（与0比较，从而转化为判断符号问题）或作商（与1比较，但要求是正项数列） 3、用数列的眼光去看待有特征的一列数：在解数列题目时，不要狭隘的认为只有题目中的{}{},n n a b 是数列，实质上只要是有规律的一排数，都可以视为数列，都可以运用数列的知识来进行处理.比如：含n 的表达式就可以看作是一个数列的通项公式；某数列的前n 项和n S 也可看做数列{}12:,,,n n S S S S 等等.4、对于某数列的前n 项和{}12:,,,n n S S S S ，在判断其单调性时可以考虑从解析式出发，用函数的观点解决.也可以考虑相邻项比较.在相邻项比较的过程中可发现：1n n n a S S -=-，所以{}n S 的增减由所加项n a 的符号确定.进而把问题转化成为判断n a 的符号问题. （二）利用放缩法证明不等式1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质：（1）传递性：若,a b b c >>，则a c >（此性质为放缩法的基础，即若要证明a c >，但无法直接证明，则可寻找一个中间量b ，使得a b >，从而将问题转化为只需证明b c >即可 ） （2）若,a b c d >>，则a c b d +>+，此性质可推广到多项求和： 若()()()121,2,,n a f a f a f n >>>，则:()()()1212n a a a f f f n +++>+++（3）若需要用到乘法，则对应性质为：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同 2、放缩的技巧与方法：（1）常见的数列求和方法和通项公式特点： ① 等差数列求和公式：12nn a a S n +=⋅，n a kn m =+（关于n 的一次函数或常值函数） ② 等比数列求和公式：()()1111n n a q S q q -=≠-，n n a k q =⋅（关于n 的指数类函数）③ 错位相减：通项公式为“等差⨯等比”的形式④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢.④ 若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩.从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试. （3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：① 裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）② 等比数列：所面对的问题通常为“n S <常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足()0,1q ∈ ，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，，常数可视为11a q-的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可.（4）与数列中的项相关的不等式问题：3① 此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形② 在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即()1n n a a f n +-<或()1n na f n a +<（累乘时要求不等式两侧均为正数），然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为n a ，另一侧为求和的结果，进而完成证明 3、常见的放缩变形： （1）()()211111n n n n n <<+-，其中2,n n N ≥∈：可称21n 为“进可攻，退可守”，可依照所证不等式不等号的方向进行选择. 注：对于21n，可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相消特征的数列，例如：()()22111111111211n n n n n n ⎛⎫<==- ⎪--+-+⎝⎭，这种放缩的尺度要小于（1）中的式子.此外还可以构造放缩程度更小的，如：()()22211411111412121221214n n n n n n n ⎛⎫<==- ⎪--+-+⎝⎭- （2=，从而有：22=<<<2,n n N *<-≥∈ （3）分子分母同加常数：()()0,0,0,0b b m b b m b a m a b m a a m a a m++>>>>>>>>++ 此结论容易记混，通常在解题时，这种方法作为一种思考的方向，到了具体问题时不妨先构造出形式再验证不等关系. （4）()()()()()()()121222221212122212121nn n n n n n n n n n --=<=------- ()1112,2121n n n n N *-=-≥∈--可推广为：()()()()()()()121111111nn n n n n n n n n n k k k k k k k k k k k k --=<=-------()1112,2,,11n nn k k n N k k *-=-≥≥∈-- 【经典例题】例1.【2018）A. 6B. 7C. 8D. 13 【答案】B.例2. 已知函数是递增的取值范围是( )B.【答案】B【解析】分析：根据题意，首先可得a n 通项公式，这是一个类似与分段函数的通项，结合分段函数的单调详解：根据题意，a n =f （n ）=要使{a n }是递增数列，必有：解得，4＜a＜8．故选：B．例3. 等比数列）A.D. 成立的最大自然数【答案】C【解析】分析：利用等比数列的性质及等比数列的通项公式判断出①正确．利用等比数列的性质及不等式的性质判断出②正确．利用等比数列的性质判断出③错误．利用等比数列的性质判断出④正确，从而得出结论．D正确.5故选C.点睛：熟练掌握等比数列的一些性质可提高解题速度，历年高考对等比数列的性质考查较多，主要是考查“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新．解题时要善于类比并且要能正确区分等差、等比数列的性质，不要把两者的性质搞混．例4.中，，（）A. 97 B. 98 C. 99 D. 100【答案】B，解不等式得到，98.故选B．例5.【2018届福建省宁德市5月检测】记，）【答案】C【解析】分析：根据数列{a n}求解S n，利用不等式的性质求解．详解：由a12a n+1+3S n=3（n∈N*），则2a n+3S n﹣1=3．两式相减，可得2a n+1﹣2a n+3a n=0，∵a1∴a n﹣n．那么S nn．点睛：（1）本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，意在考查了学生对这些基础知识的掌握能力及推理能力与计算能力．（2S n数项都大于1，单调递减，偶数项都小于1，单调递增..例6.7（1（2是一个单调递增数列，求实数.【答案】或【解析】分析：（1）根据可求得数列的通项公式．（2两种情况考虑，分别求出实数是首项为（2时，，．对一切点睛：（1）根据的关系求数列的通项公式时，利用（2）由于数列是特殊的函数，因此可从函数的角度认识数列，解题时要注意数列的函数特征，学会利用函数的方法研究数列的有关性质．例7. 在等比数列{a n}中，a2＝3，a5＝81．(1)求{a n}的通项公式；9(2)设()2311log n n b a =+，数列{}n b 的前n 项和S n ，求证： 2n S <．【答案】(1)a n ＝3n －1．(2)见解析.()()()21111211n b n n n n n n=<=-≥-- 所以数列{}n b 的前n 项和()2222211111111121122334111111111111223341122n S n nnn n n=+++<+++++⨯⨯⨯-⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-<检验当n=1是符合不等式（或指明各项为正越加越大）．点睛：本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“裂项消去法”，此类题目是数列问题中的常见题型，解答本题确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“放缩、裂项”之后求和，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等． 例8.已知数列（1（2（3【答案】(1)见解析.(2)见解析.(3)见解析.2的等比数列．(2)由（1．(3)由（2）可知，11点睛：（1零，这一点要特别注意． （2解，再看结果能否写成统一的形式，否则要写成分段函数的形式． （3）解题时注意数列中放缩的技巧．例9.【2016高考天津理数】已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的,b n n N ∈*是n a 和1n a +的等差中项.(Ⅰ)设22*1,n n n c b b n N +=-∈，求证：{}n c 是等差数列；(Ⅱ)设()22*11,1,nnn n k a d T b n N ===-∈∑，求证：2111.2nk kT d =<∑【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析 【解析】试题分析：（Ⅰ）先根据等比中项定义得：21n n n b a a +=，从而22112112n n n n n n n n c b b a a a a da +++++=-=-=，因此根据等差数列定义可证：()212122n n n n c c d a a d +++-=-=（Ⅱ） 对数列不等式证明一般以算代证先利13用分组求和化简()2211nnn n k T b ==-∑()()()2222221234212n n b b b b b b -=-++-++-+()221d n n =+，再利用裂项相消法求和()222111111111111212121nn n k k k kT d k k d k k d n ===⎛⎫⎛⎫==-=⋅- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑，易得结论.例10. 设数列n（1的通项公式（2n项． 【答案】（1（2【解析】分析：（1式；（21数列的单调性，求解数列的最大项．详解：（1（2点睛：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，以及数列的求和问题，其中解答中正确化简数列的递推关系式，得到数列的通项公式是解答的关键，同时数列的单调性的判定是解答的一个难点，着重考查了分析问题和解答问题的能力．【精选精练】1．【2018年浙江省高考模拟】在等差数列{}n a 中，若981a a <-，且它的前n 项和n S 有最小值，则当0n S >时， n 的最小值为（ ）A. 14B. 15C. 16D. 17 【答案】C【解析】分析：根据题设条件，利用等差数列的性质推导出811520a a a =+<， 891160a a a a +=+>，由此能求出0n S >时， n 的最小值．详解：∵数列{}n a 是等差数列，它的前n 项和n S 有最小值 ∴公差0d >，首项10a <， {}n a 为递增数列15∵981a a <- ∴890a a ⋅<， 890a a +>由等差数列的性质知： 811520a a a =+<， 891160a a a a +=+>. ∵()12n n a a n S +=∴当0n S >时， n 的最小值为16． 故选C.点睛：本题考查等差数列的前n 项和的应用，考查数列的函数特性，是中档题．解答本题的关键是根据80a <， 90a >，确定0n S >时， n 的最小值.2．【2018，则满足）A. 59B. 58C. 57D. 60 【答案】A.，所以，，所以使得所以的最小值为，故选A.点睛：用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论.3( )【答案】C【解析】分析：先根据叠加法求数列通项公式，再利用对勾函数单调性确定函数最值.C.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.4，记数列（）【答案】B则a n=2(n+1),对a1也成立，故a n=2(n+1)，则a n−kn=(2−k)n+2，则数列{a n−kn}为等差数列，故S n⩽S6a6−6k⩾0,a7−7k⩽0；本题选择B选项.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.5.【2018届浙江省绍兴市5，数列【答案】 19 417【解析】分析：由题意结合等比数列的前n项和特征可得r.详解：等比数列前n项和公式具有特征：点睛：本题主要考查数列的单调性，比值法的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．【2018年4月2018n，，_____________.【解析】∵+…+197．在等差数列中，项和，当且仅当取得最大值，则围为___________．【解析】分析：根据题意当且仅当n=8时S n 取得最大值，得到S 7<S 8，S 9<S 8，联立得不等式方程组，求解得d 的取值范围．点睛：该题考查的是有关等差数列的前结果.8.【解析】分析：进而得到时，是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．9．设数列{}n a是公差为d的等差数列，135246105,99a a a a a a++=++=．则na=______；数列{}n a 的前n项和n S取得最大值时，n=______．【答案】241n-+20【解析】分析：将条件转化为等差数列的基本量1,a d，解关于1,a d的方程组可求出1,a d，由等差数列的通项公式即可写出()3921412na n n=--=-.因为公差小于0，所以所有非负项的和最大，令4120na n=-≥，可求得前多少项取正值.进而可得数列{}n a的前n项和n S取得最大值时，n的取值.详解：将135246105,99a a a a a a++=++=．转化为用1,a d表示得1136105{3999a da d+=+=，即11235{333a da d+=+=.解得139{2ad==-，21点睛：（1）求等差数列的通项公式，应先把条件转化成关于1,a d 的方程，解方程组可求1,a d ，再根据通项公式可写出n a .（2）递减的等差数列，前面所有非负项的和最大；递增的等差数列，前面所有非正项的和最小.10.【2018（1（2的前【答案】(1)助于n 的范围求得结果.详解：（1)设等差数列的公差为， 依题意有令，解得，故取．点睛：该题考查的是有关等差数列的有关问题，一是涉及等差数列的通项公式，二是有关裂项相消法求和，在求通项公式的时候注意向首项和公差看齐，求得通项公式，二是利用其和建立相应的不等式，结合n的范围求得结果.11．【2018届新疆维吾尔自治区乌鲁木齐地区5月训练】2的等比数列，，..【答案】（I）.（II100.【解析】分析：（Ⅱ），所以的最小值为100．详解：（I，100.点睛：用裂项法求和的原则及规律(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止．(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．12．如图是由正整数构成的数表，用a ij表示i行第j个数（i，j∈N＋）．此表中a il＝a ii＝i，每行中除首尾两数外，其他各数分别等于其“肩膀”上的两数之和．23（1）写出数表的第六行（从左至右依次列出）．（2）设第n行的第二个数为b n（n≥2），求b n．（3T n n项和，求n的值．【答案】（1）见解析；（2（3）答案见解析.【解析】分析：(1)由题意可得第6行为：6、16、25、25、16、6 ；(2)(3)结合 (2)，则，，，25点睛：本题的核心是考查裂项求和的方法，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．。
专题02 充分条件与必要条件-备战2019年高考数学之高三复习大一轮热点聚焦与扩展(原卷版)
专题02 充分条件与必要条件【热点聚焦与扩展】高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查主要是以小题的形式来考查，由于知识载体丰富，因此题目有一定综合性，属于中、低档题．命题重点主要有三个：一是以函数、方程、三角函数、数列、不等式、立体几何线面关系、平面解析几何等为背景的充分条件和必要条件的判定与探求；二是考查等价转化与化归思想；三是由充分条件和必要条件探求参数的取值范围． 1、定义：（1）对于两个条件,p q ，如果命题“若p 则q ”是真命题，则称条件p 能够推出条件q ，记为p q ⇒， （2）充分条件与必要条件：如果条件,p q 满足p q ⇒，则称条件p 是条件q 的充分条件；称条件q 是条件p 的必要条件2、对于两个条件而言，往往以其中一个条件为主角，考虑另一个条件与它的关系，这种关系既包含充分方面，也包含必要方面。
所以在判断时既要判断“若p 则q ”的真假，也要判断“若q 则p ”真假3、两个条件之间可能的充分必要关系：（1）p 能推出q ，但q 推不出p ，则称p 是q 的充分不必要条件 （2）p 推不出q ，但q 能推出p ，则称p 是q 的必要不充分条件（3）p 能推出q ，且q 能推出p ，记为p q ⇔，则称p 是q 的充要条件，也称,p q 等价 （4）p 推不出q ，且q 推不出p ，则称p 是q 的既不充分也不必要条件 4、如何判断两个条件的充分必要关系(1)定义法：若 ,p q q p ⇒≠> ，则p 是q 的充分而不必要条件；若,p q q p ≠>⇒ ，则p 是q 的必要而不充分条件；若,p q q p ⇒⇒，则p 是q 的充要条件； 若,p q q p ≠>≠> ，则p 是q 的既不充分也不必要条件。
(2)等价法：即利用p q ⇒与q p ⌝⌝⇒；q p ⇒与p q ⌝⌝⇒；p q ⇔与q p ⌝⌝⇔的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3) 充要关系可以从集合的观点理解，即若满足命题p 的集合为M ，满足命题q 的集合为N ，则M 是N 的真子集等价于p 是q 的充分不必要条件，N 是M 的真子集等价于p 是q 的必要不充分条件，M ＝N 等价于p 和q 互为充要条件，M ，N 不存在相互包含关系等价于p 既不是q 的充分条件也不是q 的必要条件. 4、充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验．5、对于充要条件的证明问题，可用直接证法，即分别证明充分性与必要性.此时应注意分清楚哪是条件，哪是结论，充分性即由条件证明结论；而必要性则是由结论成立来证明条件也成立，千万不要张冠李戴；也可用等价法，即进行等价转化，此时应注意的是所得出的必须是前后能互相推出，而不仅仅是“推出”一方面（即由前者可推出后者，但后者不能推出前者）.【经典例题】例1【2017天津，理4】设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 例2【2018届山东省天成大联考高三第二次考试】已知，，，，则是（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件例3【2018届江西省高三监测】已知命题p ： 2230x x +->；命题q ： 01x ax a ->--，且q ⌝的一个必要不充分条件是p ⌝，则a 的取值范围是（ ） A. []3,0- B. ][(),30,-∞-⋃+∞ C. ()3,0- D. ()(),30,-∞-⋃+∞ 例4【2018届东北三省三校高三第二次模拟】设，则使成立的必要不充分条件是（ ）A.B.C.D.例5【2018届河北省保定市高三第一次模拟】已知非向量()(),2,,2a x x b x ==-，则0x <或4x >是向量a 与b 夹角为锐角的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件例6. “b ≤y x b =+与圆221x y +=有公共点”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件例7【2018届天津市十二重点中学高三联考一】设条件p ：函数()()23log 2f x x x =-在(),a +∞上单调递增，条件q ：存在x R ∈使得不等式2121x x a ++-≤成立，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件例8【2018届四川省棠湖中学高三3月月考】“1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“22log log a b >”的A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 例9【2018届北京市西城区156中学高三上学期期中】设，，是两个不同的平面，则“”是“”的（ ）．A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件例10.已知{{}2|5,|A x x B x x ax x a =-≥=-≤-，当“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则a 的取值范围是__________【精选精练】1．【2018届河南省濮阳市高三二模】对于实数，，“”是“方程对应的曲线是椭圆”的（ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2．【2018届河北省衡水中学高三十五模】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，“1009a ， 1010a 是方程43220x x -⋅+=的两根”是“20181009S =”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3．【2018届上海市黄浦区高三4月模拟（二模）】在空间中，“直线 平面”是“直线与平面内无穷多条直线都垂直 ”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件4．【2018届上海市杨浦区高三二模】已知22110a b +≠， 22220a b +≠，则“11220a b a b =”是“直线1111:0l a x b y c ++=与2222:0l a x b y c ++=平行”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要5．【2018届重庆市高三4月二诊】“1cos22α=”是“()6k k Z παπ=+∈”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6．【2018届吉林省四平市高三质量检测】"1"a =是“函数22cos sin y ax ax =-的最小正周期为π”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分且必要条件D. 既不充分也不必要条件7．【2018届北京东城五中2017-2018学年高三上期中】已知向量a 、b 为非零向量，则“0a b ⋅>”是“a 、b 的夹角为锐角”的（ ）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8．【2018届江西省上饶市高三下学期二模】“3a =-”是“直线()1:110l ax a y -++=与直线2:210l x ay --=垂直”的 （ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 9．【2018届山东省聊城市高三一模】设等比数列{}n a 的各项均为正数，其n 前项和为n S ，则“1921202S S S +>”是“数列{}n a 是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件10．【2018届河南省八市学评高三下学期第一次】设等差数列{}n a 的首项1a 大于0，公差为d ,则“0d <”是“{}14na a 为递减数列”的( )A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件11．设命题:p 实数m 使曲线222426120x y x y m m +---++=表示一个圆；命题:q 实数m 使曲线221x y m m a-=-表示双曲线.若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值范围. 12．已知命题p ： {11}A x a x a =-<<+，命题q ： {}2430B x x x =-+≥.（1）若,A B A B R ⋂=∅⋃=，求实数a 的值； （2）若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围.。
备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题12 函数的极(最)值问题
专题12 函数的极（最）值问题【热点聚焦与扩展】从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于研究函数的单调性、极值与最值、函数的零点等．从题型看，往往有一道选择题或填空题，有一道解答题.其中解答题难度较大，常与不等式、方程等结合考查．在高考导数的综合题中，所给函数往往是一个含参数的函数，且导函数含有参数，在分析函数单调性时面临分类讨论.(一)函数的极值问题 1、函数极值的概念：（1）极大值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x <，就说()0f x 是函数()f x 的一个极大值，记作()0y f x =极大值，其中0x 是极大值点（2）极小值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x >，就说()0f x 是函数()f x 的一个极小值，记作()0y f x =极小值，其中0x 是极小值点，极大值与极小值统称为极值2、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.请注意以下几点： （1）极值是一个局部概念：由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点3、极值点的作用：（1）极值点为单调区间的分界点 （2）极值点是函数最值点的候选点4、()f x 在0x x =处可导，那么0x x =为()f x 的一个极值点⇒()0'0f x = 说明：①前提条件：()f x 在0x x =处可导②单向箭头：在可导的前提下，极值点⇒导数0=，但是导数0=不能推出0x x =为()f x 的一个极值点，例如：3y x =在()0,0处导数值为0，但0x =不是极值点③上述结论告诉我们，判断极值点可以通过导数来进行，但是极值点的定义与导数无关（例如：y x =在()0,0处不可导，但是0x =为函数的极小值点） 5、求极值点的步骤： （1）筛选： 令()'0fx =求出()'f x 的零点（此时求出的点有可能是极值点）（2）精选：判断函数通过()'f x 的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为极值点，否则不是极值点（3）定性： 通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减→极大值点，先减后增→极小值点 6、在综合题分析一个函数时，可致力于求出函数的单调区间，当求出单调区间时，极值点作为单调区间的分界点也自然体现出来，并且可根据单调性判断是极大值点还是极小指点，换言之，求极值的过程实质就是求函数单调区间的过程.7、对于在定义域中处处可导的函数，极值点是导函数的一些零点，所以涉及到极值点个数或所在区间的问题可转化成导函数的零点问题.但要注意检验零点能否成为极值点. 8、极值点与函数奇偶性的联系：（1）若()f x 为奇函数，则当0x x =是()f x 的极大（极小）值点时，0x x =-为()f x 的极小（极大）值点 （2）若()f x 为偶函数，则当0x x =是()f x 的极大（极小）值点时，0x x =-为()f x 的极大（极小）值点 （二）函数的最值问题 1、函数的最大值与最小值：（1）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≤，那么称0x x =为函数()f x 的一个最大值点，()0f x 称为函数()f x 的最大值（2）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≥，那么称0x x =为函数()f x 的一个最小值点，()0f x 称为函数()f x 的最小值（3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值.例如：()[)ln ,1,4f x x x =∈，由单调性可得()f x 有最小值()10f =，但由于x 取不到4，所以尽管函数值无限接近于ln4,但就是达不到.()f x 没有最大值.） （5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如()sin f x x =，其最大值点为()22x k k Z ππ=+∈，有无穷多个.2．“最值”与“极值”的区别和联系如图为一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x（1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3、结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点.5、利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础7、在比较的过程中也可简化步骤：（1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点 （2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点 8、最值点的作用 （1）关系到函数的值域（2）由最值可构造恒成立的不等式：例如：()ln 1f x x x =-+，可通过导数求出()()min 10f x f ==，由此可得到对于任意的0x >，均有()()min 0f x f x ≥=，即不等式ln 1x x ≤-.【经典例题】例1【2017课标II ，理11】若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e-=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）A.1-B.32e -- C.35e - D.1 【答案】A 【解析】例2【2019届湖北省黄冈、黄石等八市高三3月联考】已知函数（1）当时，求的极值；（2）若有两个不同的极值点，求的取值范围;【答案】（1）极小值（2）故在处有极小值；（2）依题意可得，有两个不同的实根.设，则有两个不同的实根,，若，则，此时为增函数，故至多有1个实根，不符合要求；若，则当时，，当时，，故此时在上单调递增，在上单调递减，的最大值为,故为的极小值点，为的极大值点, 符合要求.综上所述：的取值范围为.（分离变量的方法也可以）点睛：本题考查了函数极值点问题，利用导数知识对其求导，当遇到含有参量的时候可以采用分离参量的方法，也可以带着参量一起运算，分离参量后求出直线与曲线的交点问题即可，本题没有分离参量，进行的对参量的分类讨论，本题有一定难度例3【2019届江苏省淮安市等四市高三上一模】已知函数．⑴当时，求函数的极值；⑵若存在与函数，的图象都相切的直线，求实数的取值范围．【答案】（1）当时，函数取得极小值为，无极大值；（2）【解析】试题分析：（1），通过求导分析，得函数取得极小值为，无极大值；（2），所以，通过求导讨论，得到的取值范围是．试题解析：（1）函数的定义域为当时，，所以所以当时，，当时，，所以函数在区间单调递减，在区间单调递增，所以，代入得：设，则不妨设则当时，，当时，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，代入可得：设，则对恒成立，所以在区间上单调递增，又所以当时，即当时,又当时因此当时，函数必有零点；即当时，必存在使得成立；即存在使得函数上点与函数上点处切线相同．又由得：所以单调递减，因此所以实数的取值范围是．例4【2019届福建省厦门市高三下第一次检查（3月）】已知函数，其中为自然对数的底数.（1）当时，证明：；（2）讨论函数极值点的个数.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.试题解析：（1）依题意，，故原不等式可化为，因为，只要证.记，则.当时，，单调递减；当时，，单调递增.∴，即，原不等式成立.（2）.记（ⅰ）当时，，在上单调递增，，.∴存在唯一，且当时，；当.①若，即时，对任意，此时在上单调递增，无极值点；②若，即时，此时当或时，.即在上单调递增；当时，，即在上单调递减；此时有一个极大值点和一个极小值点；（ⅲ）当时，由（1）可知，对任意，从而，而对任意.∴对任意.此时令，得；令，得.∴在单调递减；在上单调递增；此时有一个极小值点，无极大值点.（ⅳ）当时，由（1）可知，对任意，当且仅当时取等号.此时令，得；令得.点睛：求函数极值的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解方程求出函数定义域内的所有根；（4）列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值；（5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.例5【2017北京，理19】已知函数()e cos xf x x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值． 【答案】(Ⅰ)1y =；（Ⅱ）最大值1；最小值2π-. 【解析】所以函数()f x 在区间π[0,]2上单调递减.因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22f =-. 例6【2019届北京市人大附高三十月月考】已知a 是实数,函数()()2f x x x a =-（Ⅰ）若()13,f '=求a 的值及曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程; （Ⅱ）求()f x 在区间[]0,2上的最小值. 【答案】(1) 0.a = 320.x y --= (2)见解析.【解析】试题分析：（I ）首先根据导数()13f '=求a ，再根据切线方程()()()111y f f x '-=-求切线方程；（Ⅱ）首先求函数的极值点， 1220,3x x a ==，比较23a 与区间端点的大小，从而得到函数的最小值. 试题解析：（Ⅰ） ()232f x x ax '=- 因为()1323,f a =-=所以0.a = 当0a =时, ()()11,13,f f '==所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为320.x y --=（Ⅱ）由（Ⅰ）可知, ()232f x x ax '=-.令()0,f x '=解得1220,.3a x x == 当20,3a≤即0,a ≤ ()f x 在[]0,2上单调递增,从而()min 00.f f == 当22,3a ≥即3,a ≥ ()f x 在[]0,2上单调递减,从而()min 284.f f a ==-当202,3a <<即03,a << ()f x 在20,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在2,23a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,从而3min24.327a a f f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭综上所述, 3min0,04{,0 3 2784,3a a f a a a ≤=-<<-≥.例7【2019届北京市城六区高三一模】．已知函数(I)当时，求函数的单调递增区间；(Ⅱ)当时，若函数的最大值为，求的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）.试题解析：（Ⅰ）当时，故令，得故的单调递增区间为（Ⅱ）方法1：令则由，故存在，故当时，；当时，故故，解得故的值为.（Ⅱ）方法2：的最大值为的充要条件为对任意的，且存在，使得，等价于对任意的，且存在，使得，等价于的最大值为.，令，得.故的最大值为，即.例8【2019届北京市清华附中高三十月月考】已知()()320f x ax bx cx a =++≠在1x =±时取得极值,且()11f =-.（Ⅰ）试求常数a , b , c 的值;（Ⅱ）求函数()f x 在[]0,2x ∈上的最大值. 【答案】（1）13,0,22a b c ===-（2）当1x =-时, ()f x 有极大值,当1x =时, ()f x 有极小值.再由()11f =-, 所以1a b c ++=-,③联立①②③解得13,0,22a b c ===-; （Ⅱ）()31322f x x x =-,()()()233311222f x x x x =-=+-',当1x <-或1x >时, ()0f x '>, 当11x -<<时, ()0f x '<,所以,当1x =-时, ()f x 有极大值,当1x =时, ()f x 有极小值. 例9【2019届北京市首师大附高三十月月考】已知函数()()()322111.32f x x x x a x x a R ⎛⎫=-++--∈ ⎪⎝⎭（Ⅰ）若1x =是()f x 的极小值点,求实数a 的取值范围及函数()f x 的极值; （Ⅱ）当1a ≥时,求函数()f x 在区间[]0,2上的最大值. 【答案】（1）1,a <极小值为()11126f a =-,极大值为()321162f a a a =-+.（2）见解析 【解析】试题分析：（1）根据极小值定义求实数a 的取值范围，根据导函数符号变化规律确定函数极值，（2）根据a 与2大小讨论导函数零点，再列表分析导函数符号变化规律确定函数最大值取法，最后小结结论. 试题解析：解: ()()()()()221111f x x x a x x x a =-++--=--'（Ⅰ）若1x =是()f x 的极小值,则1,a <列表分析如下:所以最大值可能为()11126f a =-或()22;3f = ①当513a ≤<时,最大值为()22;3f =②当523a ≤<时,最大值为()11126f a =-综上所述,当513a ≤<时,最大值为()22;3f =当53a ≥时,最大值为()11126f a =-例10【2019届陕西省榆林市二模】已知函数，.（1）若时，求函数的最小值；（2）若函数既有极大值又有极小值，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）代入，得，求导，利用导函数判定函数的单调性，即可求得函数的最小值；（2）现求导数，函数既有极大值又有极小值，等价于有两个零点，可分和两种情况分类讨论，得到函数的单调性和极值，得到函数有极大值和极小值的条件，即可求解实数的取值范围.试题解析：列表：所以，函数的最小值为.（2），定义域为，.记，，，①当时，，在上单调递增，故在上至多有一个零点，此时，函数在上至多存在一个极小值，不存在极大值，不符题意；②当时，令，可得，列表：若，即，，即，且当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增，函数在处取极小值.由于，且（事实上，令，，故在上单调递增，所以）.点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、圆等知识联系； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题； (4)考查数形结合思想的应用.【精选精练】1.【2019届安徽省安庆市2019届高三二模】已知函数()()2ln xf x ef e x e'=-（e 是自然对数的底数）， 则f （x ）的极大值为（ ） A. 2e-1 B. 1e -C. 1D. 2ln2【答案】D 【解析】()()()()()22111,ef e ef e f x f e f e x e e e e=-∴=-''''='， ()210,2f x x e x e∴=-=='∴ ()f x 的极大值为()22ln222ln2f e e ∴=-=，选D. 2．【2019届福建省三明市第一中学高三下开学】函数在的最小值是( )A. B. 1 C. 0 D.【答案】B 【解析】，令得，或，令得，，所以在，单调递增，在单调递减，，.本题选择B 选项.3.【2019届广东省茂名市五大联盟学校高三3月联考】已知函数 (其中，为自然对数的底数)在处取得极大值，则实数的取值范围是（ ） A. B.C.D.【答案】D由，可得f(x ）在区间，上单调递增；由，可得f(x)在区间上单调递减，故f(x)在x=1处取得极大值，所以若函数f(x)在x=1处取得极大值，则实数a 的取值范围是.本题选择D 选项.【名师点睛】反思这类型题型，首先先利用导函数的解析式，判断得出极值点存在并且只有一个并得出极值点的范围.由于极值点与参数有关，因此就需要假设，假设后，再代进行化简消元最终求得参数的取值范围. 4.【2019届海南省高三第二次联考】若1x =是函数()()ln x f x e a x =+的极值点，则实数a =__________． 【答案】e -【解析】因为()1ln +x x f x e x e a x='+⋅（），且1x =是函数()()ln x f x e a x =+的极值点，所以()10f e a '=+=，解得a e =-.5．【2019届北京市北京19中高三十月月考】已知函数()y f x =的导函数有且仅有两个零点,其图像如图所示,则函数()y f x =在x =______________处取得极值.【答案】-1【点睛】本题考查函数的极值的判定.本题的易错点是将2看成一个极值点，要注意()00f x '=是可导函数()f x 在0x x =处取得极值的必要不充分条件，而本题中函数()f x 在2x =附近单调递增. 6．【2019届东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高三一模】已知函数，是函数的极值点，给出以下几个命题：①；②；③；④；其中正确的命题是______________.(填出所有正确命题的序号) 【答案】①③【名师点睛】此题主要考查了导数在研究函数的极值、最值、以及单调性等中的应用，主要涉及函数求导的计算公式、法则，还有函数极值点和最值的应用等方面的知识和技能，属于中高档题型，也是常考考点.首先利用导数判断函数的单调性，由函数值大小的比较，来确定其自变量的大小，从而解决问题①②. 7【2019届北京市清华附中高三十月月考】设函数()ln f x x a x =-（其中a R ∈）. （Ⅰ）当1a =时,求函数()f x 在1x =时的切线方程; （Ⅱ）求函数()f x 的极值.【答案】（1）1y =（2）当0a ≤时,函数()f x 无极值,当0a >时,函数()f x 在x a =处取得极小值ln a a a -,无极大值.【解析】试题分析： ()1将1a =代入，算出1x =时的切线方程()2求导，讨论当0a ≤时、当0a >时的极值情况解析：（Ⅰ）定义域为()0,+∞,1a =时, ()ln f x x x =-,()11f x x'=-,()11101f =-=',()11ln11f =-=,所以切线方程为1y =; （Ⅱ）()1a x af x x x'-=-=,定义域为()0,+∞, ①当0a ≤时, ()0f x '>,函数()f x 在()0,+∞上为增函数,此时函数()f x 无极值; ②当0a >时,令()0f x '=,解得x a =,当()0,x a ∈时, ()0f x '<,当(),x a ∈+∞时, ()0f x '>,所以函数()f x 在x a =处取得极小值,且极小值为()ln f a a a a =-,无极大值, 综上,当0a ≤时,函数()f x 无极值,当0a >时,函数()f x 在x a =处取得极小值ln a a a -,无极大值.8．【2019届北京市丰台区高三一模】已知函数()()()=e ln 1xf x a x a R -+∈.(Ⅰ)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (Ⅱ)若函数()y f x =在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上有极值，求a 的取值范围．【答案】(1) ()e y a x =-;(2) ⎫⎪⎪⎝⎭.【解析】试题分析：（1）由题意()e x af x x='-，因为()1e f a =-， ()1e f a '=-，利用点斜式方程即可求解切线的方程； （Ⅱ）由()e x af x x='-，分0a ≤和0a >讨论，即可得出函数单调性，求得函数有极值的条件，求得实数a 的取值范围． 试题解析：（Ⅱ）()e x a f x x='-． （ⅰ）当0a ≤时，对于任意1,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，都有()0f x '>， 所以函数()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，没有极值，不合题意． （ⅱ）当0a >时，令()e x a g x x =-，则()2e 0x ag x x=+>'．9．【2019届江西省上饶市高三下二模】设函数()22ln x e kf x k x x x=++（k 为常数， 2.71828e =为自然对数的底数）．（1）当0k ≥时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在()0,3内存在三个极值点，求实数k 的取值范围．【答案】(1) ()f x 的单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()2,.+∞（2）322,,322e e e e ⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接求导，再求函数的单调区间. (2)第（2）问，对k 进行分类讨论，求出每一种情况下函数的单调性，再分析函数()f x 在()0,3内存在三个极值点的条件从而得到实数k 的取值范围. 试题解析：(1) 函数()f x 的定义域为()0,+∞.()()()2423222xx x x e kxx e xe k k f x x x x x-+-=-'+=. 由0,0k x ≥>可得0x e kx +>，所以当()0,2x ∈时， ()0f x '<；当()2,x ∈+∞时， ()0f x '>. 故()f x 的单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()2,.+∞（2）由（1）知，当0k ≥时，函数()f x 在()0,2内单调递减，在()2,3内单调递增，故()f x 在()0,3内仅存在一个极值点2x =；当0k <时，令0x xe e kx k x +=⇒-=， ()x e g x x =，依题函数y k =-与函数()xe g x x=， ()0,3x ∈的图象有两个横坐标不等于2的交点.()()21x e x g x x='-，当()0,1x ∈时， ()0g x '<，则()g x 在()0,1上单调递减，当()1,3x ∈时， ()0g x '>，则()g x 在()1,3上单调递增；而()()()231,2,3.23e e g e g g ===和极大值点2x .综上，函数()f x 在()0,3内存在三个极值点时，实数k 的取值范围为322,,322e e e e ⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【名师点睛】本题的难点在第（2）问，主要是对函数xy e kx =+的分析，把它的图像和性质分析清楚了，原命题自然分析清楚了.解答数学问题，要善于抓住主要问题，再突破. 10．【2019届北京市城六区高三一模】已知函数()1e ln xf x a x x ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭，其中a R ∈． （Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线exy =-垂直，求a 的值； （Ⅱ）当()0,ln2a ∈时，证明： ()f x 存在极小值． 【答案】（Ⅰ）0a =．（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ) ()f x 的导函数为()221e ln xf x a x x x ⎛⎫=⋅++'- ⎪⎝⎭． 依题意()()1e 1e f a =⋅+='，解得0a =．(Ⅱ) 由()221e ln x f x a x x x ⎛⎫=⋅++'- ⎪⎝⎭．令()221ln g x a x x x =+-+， ()()223311220x x x g x x x -+-+==>'恒成立，故()g x 在()0,+∞单调递增．因为()0,ln2a ∈， ()110g a =+>， 11ln 022g a ⎛⎫=+<⎪⎝⎭，故存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x =．可得f(x)在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭减，令()221ln g x a x x x =+-+， 则 ()()22331122x x x g x x x-='+-+=． 所以对任意()0,x ∈+∞，有()0g x '>，故()g x 在()0,+∞单调递增． 因为()0,ln2a ∈，所以()110g a =+>， 11ln 022g a ⎛⎫=+<⎪⎝⎭， 故存在01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00g x =． ()f x 与()f x '在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上的情况如下：所以()f x 在区间01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在区间()0,1x 上单调递增． 所以()f x 存在极小值()0f x ．11【2019届北京师范大学附中高三下二模】已知函数，其中，为自然对数底数．（1）求函数的单调区间； （2）已知，若函数对任意都成立，求的最大值．【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）．【解析】【试题分析】(1)求导后令导数等于零,求得极值点后写出单调区间.(2)结合(1)求得函数的最小值,由此得到的取值范围.再利用导数求得 的取值范围.【试题解析】 （1）因为，因为，由得，所以当时，，单调递减；当时，单调递增．综上可得，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）因为，由函数对任意都成立，得，因为，所以．所以，设，所以，即的最大值为，此时，．【名师点睛】本小题主要考查函数导数与函数的单调区间,考查利用导数求解不等式的问题.求函数单调区间的基本步骤是:首先求函数的定义域,其次对函数求导,求导后一般需要对导函数进行通分和因式分解,然后求得导函数的零点,即原函数的极值点,结合图象判断函数的单调区间.12．【2019届新疆维吾尔自治区高三二模】已知函数()1xf x e ax =++（a R ∈）.若0x =是()f x 的极值点.（I ）求a ,并求()f x 在[]2,1-上的最小值；（II ）若不等式()'1xkf x xe <+对任意0x >都成立，其中k 为整数， ()'f x 为()f x 的导函数，求k 的最大值.【答案】（I ）1a =-，最下值2；(II ）2.【解析】试题分析：（1）第（1）问，先根据0x =是()f x 的极值点得到1a =-，再利用导数求函数的单调区间，求函数()f x 在[]2,1-上的最小值.(2)第（2）问，先分离参数得到11x x xe k e +<-，再求函数()11x x xe g x e +=-（0x >）的最小值，即得到k 的最大值. 试题解析：（I ）()'xf x e a =+，由0x =是()f x 的极值点，得()'00f =，∴1a =-.易知()f x 在[]2,0-上单调递减，在[]0,1上单调递增， 所有当0x =时， ()f x 在[]2,1-上取得最小值2. （II ）由（I ）知1a =-，此时()'1xf x e =-，∴()()'111x x x kf x xe k e xe <+⇔-<+∵0x >，∴10xe ->，∴11x x xe k e +<-令()11x x xe g x e +=-（0x >），∴()min k g x <()()2'1x x x e e x g x e --=-（0x >）【名师点睛】本题的难点在求出()()2'1x x x e e x g x e --=-（0x >）后，求函数的单调区间不方便，此时需要二次求导.所以需要再构造函数()2xh x e x =--，研究函数h(x)的单调性和值域，从而研究出函数g(x)的性质得解. 当我们一次求导后，如果()'()0x ><不方便解出，一般要考虑二次求导.。
备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题32 均值不等式常见应用
学 习 资 料 专 题专题32 均值不等式常见应用【热点聚焦与扩展】高考命题中对基本不等式的考查比较灵活，可以说无处不在，重点考查应用基本不等式确定最大值和最小值问题、证明不等式成立、解答恒成立问题，命题形式以选择、填空为主，有时以应用题的形式出现．有时与三角函数、数列、解析几何等相结合，考查考生应用数学知识的灵活性.本专题重点说明应用基本不等式解题的常见类型. 1、基本不等式的几个变形：（1）),0a b a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况（2）22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况（3）222a b ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈2、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量. （3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突） ② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围.3、常见求最值的题目类型 （1）构造乘积与和为定值的情况 （2）已知1ax by +=（a 为常数），求m nx y+的最值， 此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解.（3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解： 例如：已知0,0,24x y x y xy >>++=，求2x y +的最小值解：()22211222228x y x y xy x y ++⎛⎫=⋅⋅≤= ⎪⎝⎭所以()()2224248x y x y xy x y +++=⇒++≥即()()2282320x y x y +++-≥，可解得24x y +≥-，即()min 24x y += 注：此类问题还可以通过消元求解：42241xx y xy y x -++=⇒=+，在代入到所求表达式求出最值即可，但要注意0y >的范围由x 承担，所以()0,2x ∈ 4、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >=（1）调和平均数：12111n nnH a a a =+++（2）几何平均数：n G =（3）代数平均数：12nn a a a A n+++=（4）平方平均数：n Q =5、均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===特别的，当2n=时，22G A ≤⇒2a b+≤即基本不等式 【经典例题】例1.【2019届辽宁省辽南协作校高三一模】若lg lg 0a b +=且a b ≠，则21a b+的取值范围为（ ）A. )⎡+∞⎣B. ()+∞ C. )()3,⎡⋃+∞⎣D. )()3,⎡⋃+∞⎣【答案】A【解析】∵lg lg 0a b +=且a b ≠ ∴lg 0ab =，即1ab =.∴212ab b a a b ⎛⎫+⋅=+≥= ⎪⎝⎭2a b ==.∴21a b+的取值范围为)⎡+∞⎣ 故选A.例2.【2019届云南省曲靖市第一中学4月监测卷（七）】若直线平分圆，则的最小值为（ ）A.B. 2C.D.【答案】C则（当且仅当，即时取等号）.故选C ．例3.【2019届北京师范大学附中二模】已知，，并且，，成等差数列，则的最小值为（ ）A. 16B. 9C. 5D. 4 【答案】A【解析】∵，，成等差数列， ∴.∴，当且仅当且，即时等号成立.选A.例4.【2017天津，理12】若,a b ∈R ， 0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________.【答案】4【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（1）22,,2a b R a b ab ∈+≥ ，当且仅当a b =时取等号；（2）,a b R +∈ ，a b +≥ ，当且仅当a b =时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值. 例5.已知非零向量，，满足，，则的最大值为_______.【答案】【解析】分析：详解：因为，所以的最大值为.例6.【2019届广东省模拟（二）】已知，，展开式的常数项为，则的最小值为__________． 【答案】【解析】分析：由题意在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于零，求得的值，可得展开式的常数项，再根据展开式的常数项为，确定出，再利用基本不等式求得的最小值. 详解：展开式的通项公式为，令，得，从而求的，整理得，而，故答案是.例7．【2019届百校联盟高三TOP20四月联考】已知的内角的对边分别为，若，则的最小值为__________．【答案】，即所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为故答案为：例8.【2019届北京市北京19中十月月考】已知正数,x y 满足22,x y +=则18y x+的最小值为_________. 【答案】9【点睛】本题考查基本不等式的应用.利用基本不等式求带有限制条件的不等式的最值问题时，要合理配凑，如本题中将18y x+等价变形为182482x y x yy x y x+++=+，再利用基本不等式的条件（一正、二定、三相等）进行求解.例9.【2019届四川省成都市石室中学二诊】已知四面体ABCD的所有棱长都为,O是该四面体内一点,且点O到平面ABC、平面ACD、平面ABD、平面BCD的距离分别为,x,和y,则+的最小值是___.【答案】；【解析】该几何体为正四面体,体积为.各个面的面积为,所以四面体的体积又可以表示为,化简得,故.【点睛】本小题主要考查正四面体体积的计算,考查利用分割法求几何体的体积,考查了方程的思想,考查了利用基本不等式求解和的最小值的方法.首先根据题目的已知条件判断出四面体为正四面体,由于正四面体的棱长给出,所以可以计算出正四面体的体积,根据等体积法求得的一个等式,再利用基本不等式求得最小值.例10.【2019届湖南省株洲市统一检测二】已知数列的前项和为，且满足，数列满足，则数列中第__________项最小．【答案】4【解析】分析：由题可得到数列为等差数列，首项为1，公差为1．可得数列满足利用累加求和方法即可得出．可得，利用不等式的性质即可得出．时也成立．则数列中第4项最小．即答案为4.【精选精练】1．已知二次函数的值域为，则的最小值为( )A. 1B. 3C. 4D. 5【答案】B故选：B．2．【2019届陕西省咸阳市三模】已知圆的半径为1，，，，为该圆上四个点，且，则面积的最大值为（）A. 1B.C.D.【答案】A【解析】分析：利用向量关系，判断四边形的形状，然后求解三角形的面积的最大值即可．详解：如图所示，由知，ABDC为平行四边形，又A，B，C，D 四点共圆，∴ABDC 为矩形，即BC 为圆的直径，所以当AD是圆的直径时，面积的最大.∴当AB=AC 时，△ABC 的面积取得最大值为.故答案为：A点睛：本题主要考查向量的平行四边形法则和基本不等式等基础知识.看到，联想到平行四边形法则，是解题的一个关键.平面向量里高考的高频考点有向量的加法法则、减法法则、平行四边形法则、基底法和坐标法等，要做到心中有数.3．设A、B分别为双曲线（a>0，b>0）的左、右顶点，P是双曲线上不同于A、B的一点，直线AP、BP的斜率分别为m、n，则当取最小值时，双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.4．【2019届河北省衡水金卷一模】已知点分别在正方形的边上运动，且，设，，若，则的最大值为（）A. 2B. 4C.D.【答案】C【解析】,又因为,,当且仅当x=y 时取等号,,即的最大值为,故选C.5．【2019届贵州省贵阳第一中学月考卷（七）】实数，，满足且，则下列关系式成立的是（ ） A. B.C.D.【答案】A 【解析】∵∴由∴∴综上，可得.故选A ．6．【2019届浙江省嘉兴市4月模拟】已知（），则的最小值为（ ）A.B. 9C.D.【答案】B7．【2019届山东省天成大联考第二次】若，且，则的最小值为（ ）A. 2B.C. 4D. 【答案】B 【解析】，当且仅当时等号成立，又，即，当且仅当时等号成立，的最小值为，故选B.8．在ABC 中,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,且2a c b +=,则角B 的取值范围是A. π0,6⎛⎤ ⎥⎝⎦ B. ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D点睛：本题考查了余弦定理和基本不等式的性质、三角函数的图象与性质等知识点的综合应用，解答中利用题设条件和余弦定理、基本不等式求得1cos 2B ≥，再利用三角函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．9．【2019届山西省一模】若点为圆上的一个动点，点，为两个定点，则的最大值为（ ） A. B. C. D.【答案】B【解析】∵∠APB=90°，∴由不等式可得∴故选：B10．【2019届安徽省宣城市第二次调研】已知函数()2sin f x x x =-，若正实数,a b 满足()()210f a f b +-=，则14a b+的最小值是__________．【答案】9+【解析】因为()()()2cos 0,2sin f x x f x x x f x =->-=-+=-'，所以函数()f x 为单调递增奇函数，因此由()()210f a f b +-=，得()()()211212,21,f a f b f b a b a b =--=-∴=-+=因此14a b + ()14242999b a a b a b a b ⎛⎫=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭，当且仅当b =时取等号. 11．已知直线恒过定点A ，则A 点的坐标为_______；若点A 在直线（，）上，则的最小值为_______.【答案】 （2,1）12.【2019年天津市十二校二模】已知，二次三项式对于一切实数恒成立，又，使成立，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】分析：对于一切实数恒成立，可得；再由，使成立，可得，所以可得，可化为，平方后换元，利用基本不等式可得结果.令，则（当时，等号成立），所以，的最小值为，故的最小值为，故答案为.。
专题30 小题不小——比较大小-备战2019年高考数学之高三复习大一轮热点聚焦与扩展(解析版)
专题30 小题不小----比较大小【热点聚焦与扩展】高考命题中，常常在选择题或填空题中出现一类比较大小的问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序.这类问题的解法往往可以从代数和几何两方面加以探寻，即利用函数的性质及图象解答.本专题以一些典型例题来说明此类问题的方法与技巧. （一）常用技巧和方法1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来： 判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为()0,1和()1,+∞（1）如果底数和真数均在()0,1中，或者均在()1,+∞中，那么对数的值为正数 （2）如果底数和真数一个在()0,1中，一个在()1,+∞中，那么对数的值为负数 例如：30.52log 0.50,log 0.30,log 30<>>等2、要善于利用指对数图象观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，一作图，自明了3、比较大小的两个理念：（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况 例如：1113423,4,5，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同()()()11111143634212121233,44,55===，从而只需比较底数的大小即可 学#科￥网（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“-1，0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如2log 3，可知2221log 2log 3log 42=<<=，进而可估计2log 3是一个1点几的数，从而便于比较 4、常用的指对数变换公式：（1）nm m na a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）log log log a a a M N MN += log log log a a aM M N N-=（3）()log log 0,1,0n a a N n N a a N =>≠> （4）换底公式：log log log c a c bb a=进而有两个推论：1log log a b b a=（令c b =） log log m na a n N N m =（二）利用函数单调性比较大小1、函数单调性的作用：()f x 在[],a b 单调递增，则[]()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）2、导数运算法则： （1）()()()()()()()'''f x g x fx g x f x g x =+（2）()()()()()()()'''2f x f xg x f x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3、常见描述单调性的形式 （1）导数形式：()()'0fx f x >⇒单调递增；()()'0f x f x <⇒单调递减（2）定义形式：()()12120f x f x x x ->-或()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦：表示函数值的差与对应自变量的差同号，则说明函数单调递增，若异号则说明函数单调递减 4、技巧与方法：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整（3）在比较大小时，通常可利用函数性质（对称性，周期性）将自变量放入至同一单调区间中进行比较 （三）数形结合比较大小1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过作出草图观察得到诸如“距轴越近，函数值越……”的结论，从而只需比较自变量与坐标轴的距离，即可得到函数值的大小关系（1）若()f x 关于x a =轴对称，且(),a +∞单调增，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越小（2）若()f x 关于x a =轴对称，且(),a +∞单调减，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越大2、函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两个函数的交点.抓住共同的函数作为突破口，将其余函数的图象作在同一坐标系下，观察交点的位置即可判断出自变量的大小.【经典例题】例1.【2017课标1，理11】设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则（ ） A ．2x<3y<5z B ．5z<2x<3y C ．3y<5z<2x D ．3y<2x<5z【答案】D【名师点睛】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，在用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式和0与1的对数表示.例2.【2017天津，文理】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）（A ）a b c << （B ）c b a << （C ）b a c <<（D ）b c a <<【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以在0x >时，()0f x >， 从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以即0.8202log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，所以b a c <<，故选C ．【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.例3.已知,,a b c 均为正数，且11222112log ,log ,log 22b ca abc ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A. a b c <<B. c b a <<C. c a b <<D. b a c << 【答案】A【名师点睛】本题也可用数形结合的方式比较大小，观察发现前两个等式右侧为12log y x =的形式，而第三个等式也可变形为2121log log 2cc c ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，从而可以考虑视,,a b c 分别为两个函数的交点.先作出12log y x =图象，再在这个坐标系中作出112,,22xxxy y y ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，比较交点的位置即可.例4.【2018届山东、湖北部分重点中学冲刺模拟（三）】已知，,,则的大小关系为（ ） A. B.C.D.【答案】D【解析】分析：借助于中间值1和0，利用各实数的范围可比较大小.学#科&网详解：，,，∴，故选D.点睛：比较大小常用的方法有： （1）作差法（作商法）； （2）利用函数单调性比较大小； （3）借助中间变量比较大小.例5.【2018年辽宁省部分重点中学协作体高三模拟】函数，若，，，则有（ ）A. B.C.D.【答案】D【解析】分析：首先分离常数得出，可判断出在上单调递减，且时，，时，，从而判断出，再根据在上减函数，判断出的大小关系，从而最后得出大小关系.且，，在上单调递减，，即 ，故选D.点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用例6.【2018届天津市十二校二模】已知定义在上的函数，则三个数，，，则，，之间的大小关系是（ ）A. B.C.D.【答案】C由指数函数的性质可得,由可得,所以， 根据函数的单调性可得，故选C.例7．【2018届华大新高考联盟4月检测】已知为定义在 上的偶函数，且，当时，，记，则的大小关系为（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】分析：根据的周期性和单调性进行判断．学#科%网详解：当时，，则在上是增函数，故选D ．例8.已知函数()2log 1y x =+，且0a b c >>>，则()()(),,f a f b f c a b c 的大小关系是（ ） A.()()()f a f b f c ab c >>B.()()()f c f b f a c b a>>C.()()()f b f a f c bac>>D.()()()f a f c f b acb>>【答案】B【解析】思路：本题具备同构特点()()2log 1f x x y xx+==，但导数()()2'2log 11ln 2xx x y x -++=难于分析()f x 单调性，故无法比较()()(),,f a f b f c a b c 的大小.换一个角度，可发现()f x 的图象可作，且()f x x具备几何含义，即()()00f x f x xx -=-，即()(),x f x 与原点连线的斜率.所以作出()f x 的图象，可观察到图象上的点横坐标越大，与原点连线的斜率越小，所以由0a b c >>>可得：()()()f c f b f a cba>>答案：B例9.【2018届内蒙古鄂伦春自治旗二模（420模拟）】已知函数，设，，，则（ ） A.B.C.D.【解析】∵∴∴∵当时，；当时，∴当时，，；当时；.∴故选D.例10.【2018届安徽省六安市第一中学三模】设是函数的导数，且满足，若、、是锐角三角形的三个内角，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】设则其导数又由满足，则有则函数在上为增函数，若是锐角三角形，则有即即有或【点睛】本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，解题的关键是构造函数h （x ）并分析其单调性．【精选精练】1.【2018届北京市海淀区二模】已知，则( ) A.B.C.D.【答案】D 【解析】分析：取，利用排除法，逐一排除即可的结果. 详解：因为时，,,,所以可排除选项，故选D.学￥科@网点睛：特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前 项和公式问题等等. 2．【2018届贵阳第一中学月考卷（七）】实数，，满足且，则下列关系式成立的是（ ） A. B.C.D.【答案】A 故选A ．3.【2017年高考山东卷】若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是A. ()21log 2a b a a b b +<<+B. ()21log 2a b a b a b <+<+ C. ()21log 2a b a a b b +<+< D. ()21log 2a ba b a b +<+<【答案】B【解析】因为0a b >>，且1ab = ()12112log a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+ ，所以选B.4．【2018届广东省中山市第一中学高三第一次统测】实数0.2a b c ===的大小关系正确的是( )A. a c b <<B. a b c <<C. b a c <<D. b c a <<【解析】根据指数函数和对数函数的性质，知0<， 01＜，1>，即01a <<，0b <， 1c >，∴b a c <<，故选C.5．【2018届福建省龙岩市4月检查】已知定义在上的偶函数对于上任意两个不相等实数和，都满足，若，则的大小关系为（ ）A. B.C.D.【答案】D点睛：本题考查了函数值的比较大小，结合函数的奇偶性和函数的单调性进行合理转化是解答的关键，注重考查了学生分析维问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.6．【2018届湖北省4月调研】已知 2.2 2.1 2.22.1, 2.2,log 2.1a b c ===，则( ) A. c b a << B. c a b << C. a b c << D. a c b << 【答案】B【解析】分析：设()ln x f x x =，得()21l n xf x x-'=，利用导数研究其单调性可得,a b 的大小关系，又由1c <，即可得出结论. 详解：设()ln (0)x f x x x =>，则()21ln x f x x -'=， 可得函数()f x 在()0,e 内单调递增，所以()()2.1 2.2f f <，即ln2.1ln2.22.1 2.2<， 可化为 2.22.12.12.2<，即1a b <<，又 2.2log 2.11c =<，所以c a b <<，故选B.点睛：本题考查了指数函数与对数函数基本性质的应用，利用导数研究函数的单调性，利用函数单调性比较大小是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题. 7．【2018届浙江省嘉兴市4月模拟】已知 ，，，，那么的大小关系是（ ） A. B.C.D.【答案】A【解析】此题可采用特值法，∵，故可取，此时，，，即成立，故选A.8.【2018年4月8日 每周一测】已知函数()f x 为偶函数，当0x >时， ()4x f x -=，设()3log 0.2a f =， ()0.23b f -=， ()1.13c f =-，则( )A. c a b >>B. a b c >>C. c b a >>D. b a c >> 【答案】A【解析】分析：先判断出()f x 在()0,+∞上为增函数，由奇偶性可得()1.13c f =- ()1.13f =()()33log 0.2log 0.2,a f f ==-根据对数函数与指数函数的性质得到3log 0.2-、0.23-、 1.13的范围，可比较其大小，利用单调性可得结果.由单调性可得()()()1.10.233log 0.23f f b f -->>=，c a b ∴>>，故选A.9．【2018届福建省闽侯第一中学高三上学期开学】记 则A,B,C 的大小关系是（ ）学！科网 A. B.C.D.【答案】B 【解析】，即A>C ，，即B<C ，综合知A>C>B. 本题选择B 选项.10．【2018届湖北省荆州中学高三第二次月考】已知()sin 0,,sin ,4a απαα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭ ()sin cos ,b αα=()cos sin c αα=，则( )A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D. c a b <<【答案】D【解析】令0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 0sin 2α<<， cos sin αα>，令()()sin x f x α=在R 上单调递减，所以()sin sin αα>()cos sin αα,即a>c,又因为()sin g x x α=，在（0,1）上单调递增，所以()()sin sin sin cos αααα<,即a<b,所以c a b <<，选D.11.【2018届天津市9校联考】定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，当[]0,1x ∈时， ()21x f x =-，设1ln a π=， 2ln 5b e -=， 0.113c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A. ()()()f a f b f c <<B. ()()()f b f c f a <<C. ()()()f b f a f c <<D. ()()()f c f b f a <<【答案】A又1ln π2>=，且()21x f x =-在[]0,1上单调递增， ∴()1ln π 2f f ⎛⎫>⎪⎝⎭，即()() f a f b < 故选：A点睛：点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值0,1的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．12.【2018届重庆市巴蜀中学月考七】已知ϕ)cos(x+ ϕ)+2cos (x+ ϕ)-12 (|ϕ|<3π),若f(0)= 12,a=f(π),b=f(11-12π），c=f （5324π），则（ ）A. a<c<bB. a<b<cC. c<a<bD. c<b<a【答案】B【解析】 ()()()12212222cos x f x x ϕϕ++=++- ()()122222x cos x ϕϕ=+++ 226sin x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． 由题意得()10262f sin πϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭53532242464b f sin πππ⎛⎫⎛⎫==⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴a b c <<．选B ．。
专题63 事件的关系与概率运算-备战2019年高考数学之高三复习大一轮热点聚焦与扩展(原卷版)
专题63 事件的关系与概率运算【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，概率是高考热点之一，以实际问题为背景，考查概率的计算以及分析、推理能力.难度控制在中等以下．本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明.1、事件的分类与概率：（1）必然事件：一定会发生的事件，用Ω表示，必然事件发生的概率为100%（2）不可能事件：一定不会发生的事件，用∅表示，不可能事件发生的概率为0%（3）随机事件：可能发生也可能不发生的事件，用字母,,A B C 进行表示，随机事件的概率[]0,1P ∈2、事件的交并运算：（1）交事件：若事件C 发生当且仅当事件A 与事件B 同时发生，则称事件C 为事件A 与事件B 的交事件，记为A B ，简记为AB多个事件的交事件：12n A A A ：事件12,,,n A A A 同时发生（2）并事件：若事件C 发生当且仅当事件A 与事件B 中至少一个发生（即A 发生或B 发生），则称事件C 为事件A 与事件B 的并事件，记为A B 多个事件的并事件：12n A A A ：事件12,,,n A A A 中至少一个发生3、互斥事件与概率的加法公式：（1）互斥事件：若事件A 与事件B 的交事件A B 为不可能事件，则称,A B 互斥，即事件A 与事件B 不可能同时发生.例如：投掷一枚均匀的骰子，设事件“出现1点”为事件A ，“出现3点”为事件B ，则两者不可能同时发生，所以A 与B 互斥（2）若一项试验有n 个基本事件：12,,,n A A A ，则每做一次实验只能产生其中一个基本事件，所以12,,,n A A A 之间均不可能同时发生，从而12,,,n A A A 两两互斥（3）概率的加法公式（用于计算并事件）：若,A B 互斥，则有例如在上面的例子中，事件A B 为“出现1点或出现3点”由均匀的骰子可得()()16P A P B ==，所以根据加法公式可得：()()()13P A B P A P B =+= （4）对立事件：若事件A 与事件B 的交事件A B 为不可能事件，并事件A B 为必然事件，则称事件B为事件A 的对立事件，记为B A =，也是我们常说的事件的“对立面”，对立事件概率公式：()()1P A P A =-，关于对立事件有几点说明：① 公式的证明：因为,A A 对立，所以A A =∅，即,A A 互斥，而A A =Ω，所以()()()()P P A A P A P A Ω==+，因为()1P Ω=，从而()()1P A P A =- ② 此公式也提供了求概率的一种思路：即如果直接求事件A 的概率所讨论的情况较多时，可以考虑先求其对立事件的概率，再利用公式求解③ 对立事件的相互性：事件B 为事件A 的对立事件，同时事件A 也为事件B 的对立事件④ 对立与互斥的关系：对立关系要比互斥关系的“标准”更高一层.由对立事件的定义可知：,A B 对立，则,A B 一定互斥；反过来，如果,A B 互斥，则不一定,A B 对立（因为可能A B 不是必然事件） 4、独立事件与概率的乘法公式：（1）独立事件：如果事件A （或B ）发生与否不影响事件B （或A ）发生的概率，则称事件A 与事件B 相互独立.例如投掷两枚骰子，设“第一个骰子的点数是1”为事件A ，“第二个骰子的点数是2”为事件B ，因为两个骰子的点数不会相互影响，所以,A B 独立（2）若,A B 独立，则A 与B ，B 与A ，A 与B 也相互独立（3）概率的乘法公式：若事件,A B 独立，则,A B 同时发生的概率()()()P AB P A P B =⋅ ，比如在上面那个例子中，()()11,66P A P B ==，设“第一个骰子点数为1，且第二个骰子点数为2”为事件C ，则()()()()136P C P AB P A P B ==⋅=. （4）独立重复试验：一项试验，只有两个结果.设其中一个结果为事件A （则另一个结果为A ），已知事件A 发生的概率为p ，将该试验重复进行n 次（每次试验结果互不影响），则在n 次中事件A 恰好发生k 次的概率为()1n k k k n P C p p -=-① 公式的说明：以“连续投掷3次硬币，每次正面向上的概率为13”为例，设i A 为“第i 次正面向上”，由均匀的硬币可知()12i P A =，设B 为“恰好2次正面向上”，则有：()()()()123123123P B P A A A P A A A P A A A =++ 而()()()21231231231122P A A A P A A A P A A A ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭② k n C 的意义：是指在n 次试验中事件A 在哪k 次发生的情况总数，例如在上面的例子中“3次投掷硬币，两次正面向上”，其中23C 代表了符合条件的不同情况总数共3种5、条件概率及其乘法公式：（1）条件概率：（2）乘法公式：设事件,A B ，则,A B 同时发生的概率()()()|P AB P A P B A =⋅（3）计算条件概率的两种方法：（以计算()|P B A 为例）① 计算出事件A 发生的概率()P A 和,A B 同时发生的概率()P AB ，再利用()()()|P AB P B A P A =即可计算② 按照条件概率的意义：即B 在A 条件下的概率为事件A 发生后，事件B 发生的概率.所以以事件A 发生后的事实为基础，直接计算事件B 发生的概率6、两种乘法公式的联系： 独立事件的交事件概率：()()()P AB P A P B =⋅含条件概率的交事件概率：()()()|P AB P A P B A =⋅通过公式不难看出，交事件的概率计算与乘法相关，且事件,A B 通常存在顺承的关系，即一个事件发生在另一事件之后.所以通过公式可得出这样的结论：交事件概率可通过乘法进行计算，如果两个事件相互独立，则直接作概率的乘法，如果两个事件相互影响，则根据题意分出事件发生的先后，用先发生事件的概率乘以事件发生后第二个事件的概率（即条件概率）【经典例题】例1.【2018年全国卷Ⅲ文】若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为A. 0.3B. 0.4C. 0.6D. 0.7例2.【2016年高考北京理数】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多例3.【2016高考天津文数】甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是21，甲获胜的概率是31，则甲不输的概率为（ ）（A ）65 （B ）52 （C ）61 （D ）31 例4. 从1,2,3,4,5这5个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中，是对立事件的是（ ）A. ①B. ②④C. ③D. ①③例5.甲乙两人进行跳绳比赛，规定：若甲赢一局，比赛结束，甲胜出；若乙赢两局，比赛结束，乙胜出.已知每一局甲，乙两人获胜的概率分别为23,55，则甲胜出的概率为（ ） A. 1625 B. 1825 C. 1925 D. 2125 例6. 如图，元件()1,2,3,4i A i =通过电流的概率均为0.9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在,M N 之间通过的概率是（ ）A. 0.729B. 0.8829C. 0.864D. 0.9891例7. 事件,,A B C 互斥事件，若()()()111,,688P A B P B C P A B C ⋅=⋅=⋅⋅=，则()P B =_____． 例8. 甲袋中有5只白球，7只红球；乙袋中由4只白球，2只红球，从两个袋子中任取一袋，然后从所取到的袋子中任取一球，则取到白球的概率是_______例9. 已知6张彩票中只有一张有奖，甲，乙先后抽取彩票且不放回，求在已知甲未中奖的情况下，乙中奖的概率.例10. 若甲、乙二人进行乒乓球比赛，已知每一局甲胜的概率为0.4，乙胜的概率为0.6，比赛时可以用三局两胜和五局三胜制，问在哪种比赛制度下，甲获胜的可能性较大.（写出计算过程）【精选精练】1．【2018届福建省百校临考冲刺】现有大小形状完全相同的4个小球，其中红球有2个，白球与蓝球各1个，将这4个小球排成一排，则中间2个小球不都是红球的概率为（ ） A. B. C. D.2.【2018届华大新高考联盟4月检测】为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在中国传统节日:春节，元宵节，清明节，端午节，中秋节五个节日中随机选取3个节日来讲解其文化内涵，那么春节被选中的概率是( )A. 0.3B. 0.4C. 0.6D. 0.73.已知某同学在高二期末考试中，A和B两道选择题同时答对的概率为23，在A题答对的情况下，B题也答对的概率为89，则A题答对的概率为()A. 14B.12C.34D.794．甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道自我检测题，甲及格的概率为45，乙及格的概率为25，丙及格的概率为23，则三人至少有一个及格的概率为（）A. 125B.1675C.2425D.59755.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是( )A. A⊆DB. B∩D＝∅C. A∪C＝DD. A∪C＝B∪D6．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则( )A. A⊆BB. A=BC. A+B表示向上的点数是1或2或3D. AB表示向上的点数是1或2或37．牡丹花会期间，记者在王城公园随机采访6名外国游客，其中有2名游客来过洛阳，从这6人中任选2人进行采访，则这2人中至少有1人来过洛阳的概率是（）A. B. C. D.8．【2018届四川省梓潼中学校高考模拟（二）】已知圆柱的底面半径为，高为，若区域表示圆柱及其内部，区域表示圆柱内到下底面的距离大于的点组成的集合，若向区域中随机投一点，则所投的点落入区域中的概率为（）A. B. C. D.9．【2018届江西省重点中学协作体第二次联考】已知一袋中有标有号码、、的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当三种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取次卡片时停止的概率为（）A. B. C. D.10．向上抛掷一颗骰子1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则( )A. A与B是互斥而非对立事件B. A与B是对立事件C. B与C是互斥而非对立事件D. B与C是对立事件11. 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮，假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率是_________12. 从1,2,3,,15中，甲，乙两人各任取一数（不重复），已知甲取到的是5的倍数，则甲数大于乙数的概率是_______。
备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题64 统计初步
专题64 统计初步【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，统计是高考热点之一，往往以实际问题为背景，考查统计相关概念的计算，考查识图用图能力、数据处理能力以及分析问题解决问题的能力.小题、大题均有独立考查，大题也易于和概率一同考查.难度控制在中等以下．本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明.（一）随机抽样：1、抽签法：把总体中的N 个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n 次，就得到容量为n 的样本2、系统抽样：也称为等间隔抽样，大致分为以下几个步骤：（1）先将总体的N 个个体编号（2）确定分段间隔k ，设样本容量为n ，若N n 为整数，则N k n= （3）在第一段中用简单随机抽样确定第一个个体编号l ，则后面每段所确定的个体编号与前一段确定的个体编号差距为k ，例如：第2段所确定的个体编号为l k +，第m 段所确定的个体编号为()1l m k +-，直至完成样本注：（1）若N n不是整数，则先用简单随机抽样剔除若干个个体，使得剩下的个体数能被n 整除，再进行系统抽样.例如501名学生所抽取的样本容量为10，则先随机抽去1个，剩下的500个个体参加系统抽样（2）利用系统抽样所抽出的个体编号排成等差数列，其公差为k3、分层抽样：也称为按比例抽样，是指在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本.分层抽样后样本中各层的比例与总体中各个层次的比例相等，这条结论会经常用到（二）频率分布直方图：1、频数与频率（1）频数：指一组数据中个别数据重复出现的次数或一组数据在某个确定的范围内出现的数据的个数. （2）频率：是频数与数据组中所含数据的个数的比，即频率=频数/总数（3）各试验结果的频率之和等于12、频率分布直方图：若要统计每个小组数据在样本容量所占比例大小，则可通过频率分布表（表格形式）和频率分布直方图（图像形式）直观的列出（1）极差：一组数据中最大值与最小值的差（2）组距：将一组数据平均分成若干组（通常5-12组），则组内数据的极差称为组距，所以有组距=极差/组数（3）统计每组的频数，计算出每组的频率，便可根据频率作出频率分布直方图（4）在频率分布直方图中：横轴按组距分段，纵轴为“频率/组距”（5）频率分布直方图的特点：②因为各试验结果的频率之和等于1，所以可得在频率分布直方图中，各个矩形的面积和为1（三）茎叶图：通常可用于统计和比较两组数据，其中茎是指中间的一列数，通常体现数据中除了末位数前面的其他数位，叶通常代表每个数据的末位数.并按末位数之前的数位进行分类排列，相同的数据需在茎叶图中体现多次（四）统计数据中的数字特征：1、众数：一组数据中出现次数最多的数值，叫做众数2、中位数：将一组数据从小到大排列，位于中间位置的数称为中位数，其中若数据的总数为奇数个，则为中间的数；若数据的总数为偶数个，则为中间两个数的平均值. ,,n x ，则有：n x ++ ,,n x ，其平均数为(n x x ++-越小，说明数据越集中 5、标准差：也代表数据分布的分散程度，为方差的算术平方根【经典例题】例1.【2019年理新课标I 卷】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A详解：设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；故选A.例2.【2019年江苏卷】已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．【答案】90【解析】分析：先由茎叶图得数据，再根据平均数公式求平均数.详解：由茎叶图可知，5位裁判打出的分数分别为，故平均数为.点睛：的平均数为.例3.【2019年全国卷Ⅲ文】某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．【答案】分层抽样例4.【2017课标1，文2】为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数【答案】B【解析】试题分析：刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差，故选B例5.【2017山东，文8】如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）.若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x和y的值分别为A. 3，5B. 5，5C. 3，7D. 5，7【答案】A【解析】例6.【2017课标3，文3】某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A例7.【2017江苏，3】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取件.【答案】18例8. 某校从参加高三年级期末考试的学生中随机抽取100名学生，将其数学成绩分成五段：[)[)[)[)130,150，它的频率分布直方图如图所示，则该批学生中成绩不低50,70,70,90,90,110,110,130，[]于90分的人数是_____．【答案】65例9.【2017北京，文17】某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30），[30,40），┄，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．【答案】（Ⅰ）0.4；（Ⅱ）5人；（Ⅲ）3 2 .【解析】试题分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图，表示分数大于等于70的概率，就求后两个矩形的面积；（Ⅱ）根据公式频数等于100⨯频率求解；（Ⅲ）首先计算分数大于等于70分的总人数，根据样本中分数不小于70的男女生人数相等再计算所有的男生人数，100-男生人数就是女生人数.试题解析：（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.020.04)100.6+⨯=，所以样本中分数小于70的频率为10.60.4-=.所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.（Ⅱ）根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.010.020.040.02)100.9+++⨯=，分数在区间[40,50)内的人数为1001000.955-⨯-=.所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为5 40020100⨯=.例10. 【2019年新课标I卷文】某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）【答案】(1)直方图见解析.(2) 0.48．(3).结果.详解：（1）该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为．估计使用节水龙头后，一年可节省水．点睛：该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有频率分布直方图的绘制、利用频率分布直方图计算变量落在相应区间上的概率、利用频率分布直方图求平均数，在解题的过程中，需要认真审题，细心运算，仔细求解，就可以得出正确结果.【精选精练】1．【2019届河南省南阳市第一中学第二十次考】对于一组数据，如果将它们改变为，则下列结论正确的是（）A. 平均数不变，方差变B. 平均数与方差均发生变化C. 平均数与方差均不变D. 平均数变，方差保持不变【答案】D【解析】分析：先根据平均数的公式变化前后的平均数，再根据方差公式进行计算变化前后的方差，从而可得结果.点睛：本题考查了平均数和方差的公式，平均数是所有数据的和除以数据的个数，，方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数. 2．【2019届湖北省黄冈中学5月三模】下图是某企业产值在2008年~2017年的年增量（即当年产值比前一年产值增加的量）统计图（单位：万元），下列说法正确的是（）A. 2009年产值比2008年产值少B. 从2011年到2015年，产值年增量逐年减少C. 产值年增量的增量最大的是2017年D. 2016年的产值年增长率可能比2012年的产值年增长率低【答案】D【解析】分析：读懂题意，理解“年增量”量的含义，逐一分析选项中的说法，即可的结果.详解：对，2009年产值比2008年产值多万元，故错误；对，从2011年到2015年，产值年增量逐年增加，故错误；对，产值年增量的增量最大的不是2017年，故错误；对，因为增长率等于增长量除以上一年产值,由于上一年产值不确定，所以2016年的产值年增长率可能比2012年的产值年增长率低，对，故选D.3．某校高二（16）班共有50人，如图是该班在四校联考中数学成绩的频率分布直方图，则成绩在内的学生人数为( )A. 36B. 25C. 22D. 11【答案】B点睛：本题主要考查了用样本估计总体，独立性检验的应用，其中对于用样本估计总体主要注意以下两个方面：1、用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法.分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观；2、频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1.4．【2019届山东省肥城市适应性训练】某学校高一学生有720人，现从高一、高二、高三这三个年级学生中采用分层抽样方法，抽取180人进行英语水平测试，已知抽取高一学生人数是抽取高二学生人数和高三学生人数的等差中项，且高二年级抽取65人，则该校高三年级学生人数是__________．【答案】660【解析】分析：求出高三年级抽取的人数，再根据比例关系求出高三学生人数．详解：根据题意，设高三年级抽取x人，则高一抽取（180-x-65）人，2（180-x-65）=x+65，x=55；高一学生有720人，则高三学生有720×故答案为：660．5．【2019届江苏省苏州市测试（三）】从某小区抽取100 户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50 度到350 度之间，频率分布直方图如图所示．则在这些用户中，用电量落在区间内的户数为__________.【答案】22点睛：明确频率分布直方图的意义，即图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率，所有小矩形的面积和为1.6．某中学采用系统抽样方法，从该校高二年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从这16个数中取的数是35，则在第1小组中随机抽到的数是________．【答案】【解析】分析：根据系统抽样的定义进行求解即可．详解：由题意，样本间隔为，因为在这16个数字中取到的数字为，设从第一小组中随机抽取的数字为，则，解得．7．已知总体的各个体的值从小到大为：，且总体的中位数为4.若要使该总体的方差最小，则___________．【答案】所以数据的平均数为，所以数据的方差为，当时，最小，此时，所以．点睛：本题主要考查了统计知识的综合应用，其中解答中熟记统计数据中的中位数、平均数、方差的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．8．【2019届江苏省南京师大附中高考考前模拟】某公司生产甲、乙、丙三种不同型号的轿车，产量分别为1400辆、5600辆、2000辆．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取45辆进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取______件．【答案】10【解析】分析：根据题意求出抽样比例，再计算应从丙种型号的产品中抽取的样本数据．详解：抽样比例是，故应从丙种型号的产品中抽取故答案为：10．9．【广东省东莞市2019年全国卷考前冲刺】已知样本方差，则样本的方差为_______.【答案】810．【2019届四川省梓潼中学校高考模拟（二）】“日行一万步，健康你一生”的养生观念已经深入人心，由于研究性学习的需要，某大学生收集了手机“微信运动”团队中特定甲、乙两个班级名成员一天行走的步数，然后采用分层抽样的方法按照，，，分层抽取了名成员的步数，并绘制了如下尚不完整的茎叶图（单位：千步）；已知甲、乙两班行走步数的平均值都是千步.（1）求，的值；（2）若估计该团队中一天行走步数少于千步的人数比处于千步的人数少人，求的值.【答案】(1); .(2).【解析】分析：（1）由甲班的平均值为和乙班的平均值为，利用数据平均数的计算公式，即可求解相应的的值.（2）由该团队中一天行走步数少于千步的人数比处于千步的人数少人，里程方程即可求解. 详解：（1）因为甲班的平均值为，同理，因为乙班的平均值为，所以，解得.点睛：本题主要考查了统计知识的综合应用，其中解答中涉及到茎叶图数据的读取，平均数的计算公式等知识点的运用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.11．【2019届宁夏回族自治区银川一中考前训练】某班级体育课举行了一次“投篮比赛”活动，为了了解本次投篮比赛学生总体情况，从中抽取了甲乙两个小组样本分数的茎叶图如图所示．（1）分别求甲乙两个小组成绩的平均数与方差；（2）分析比较甲乙两个小组的成绩；（3）从甲组高于70分的同学中，任意抽取2名同学，求恰好有一名同学的得分在[80,90）的概率．【答案】（1）,;,.（2）甲乙两个小组成绩相当; 乙组成绩比甲组成绩更稳定．（3）.．．记甲乙成绩的的方差分别为，，则．．（2）因为，所以甲乙两个小组成绩相当；因为，所以乙组成绩比甲组成绩更稳定．（3）由茎叶图知，甲组高于70分的同学共4名，有2名在[70,80），记为，，有2名在[80,90）记为，．任取两名同学的基本事件有6个：（,），（,），（,），（,），（,），（,）．恰好有一名同学的得分在[80,90）的基本事件数共4个：（,），（,），（,），（,）．所以恰好有一名同学的得分在[80,90）的概率为．12．某校600名文科学生参加了4月25日的三调考试，学校为了了解高三文科学生的数学、外语情况，利用随机数表法从抽取100名学生的成绩进行统计分析，将学生编号为000，001，002， (599)12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 7655 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 30 16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76（1）若从第6行第7列的数开始右读，请你一次写出最先抽出的5个人的编号（上面是摘自随机数表的第4行到第7行）；（2）抽出的100名学生的数学、外语成绩如下表：若数学成绩优秀率为35%，求m ，n 的值；（3）在外语成绩为良的学生中，已知m ≥12，n ≥10，求数学成绩优比良的人数少的概率． 【答案】(1) 最先抽出的5人的编号依次为：544,354,378,520,384． (2) .(3) .【解析】分析：（1）根据简单的随机抽样的定义，即可得到结论； （2）根据数学成绩优秀率是，构造关于的方程，解方程可得值，进而根据抽取样本容量为，可(3)由题意m+n=35，且m≥12，n≥10，∴满足条件的（m，n）有：（12，23），（13，22），（14，21），（15，20），（16，19），（17，18），（18，17），（19，16），（20，15），（21，14），（22，13），（23，12），（24，11），（25，10），共14种，且每种出现都是等可能的，记“数学成绩优比良的人数少”为事件M，则事件M包含的基本事件有：（12，23），（13，22），（14，21），（15，20），（16，19），（17，18），共6种，．。
高三数学知识点比大小
高三数学知识点比大小在高三数学学习中，比大小是一个重要的知识点。
它不仅能够帮助我们判断数值大小的关系，还能够拓展我们的思维方式和解决问题的能力。
在这篇文章中，我将会从不同的角度来探讨高三数学知识点比大小的重要性和应用。
首先，比大小可以通过比较数值的大小来判断其在数轴上的位置。
通过比较数值的大小，我们能够准确地表示出一个数在数轴上的位置，进而理解数轴的基本概念。
例如，当我们比较两个数a 和b的大小时，如果a>b，那么a在数轴上的位置就会比b更靠右。
通过这种方式，我们可以直观地理解数值在数轴上的排列规律。
其次，比大小也是进行初等代数运算的基础。
在高三数学学习中，我们需要进行各种复杂的代数运算，而比大小是其中一个非常重要的过程。
当我们进行代数运算时，通常需要通过比较不同项的大小来进行整理和化简。
比大小帮助我们确定哪些项是较大的，哪些项是较小的，从而方便我们进行合并和简化等运算，提高运算的效率。
另外，比大小还与数列和级数的求和有着密切的关系。
在数列中，我们常常需要判断其中的项的大小顺序，从而便于求解数列的极限、递推式等。
在级数中，对于收敛级数和发散级数的判断也离不开比大小。
通过比较数项级数的通项，我们可以推导出级数的收敛性，从而对于级数求和问题提供了重要的思路。
除此之外，比大小还可以应用到实际生活的许多领域中。
例如商业中的价格比较、物体的大小比较、时间的前后关系等等。
通过比较物体的大小，我们可以判断出其与现实世界的关系。
同时，在经济学中，也经常运用到比大小的概念来帮助分析市场需求、竞争情况等。
综上所述，高三数学知识点比大小在数学学习中扮演着重要的角色。
通过比较数值的大小，我们能够准确地判断数值在数轴上的位置，帮助进行代数运算，推导数列和级数等。
此外，比大小还与实际生活息息相关，可以应用到商业、物体大小比较等领域。
因此，我们应该重视并且深入理解比大小的概念，才能够更好地应用它解决实际问题。
通过灵活运用比大小的方法，我们能够更加准确地推理和判断，提高数学解题的水平。
备战2019年高考数学黄金30题——考题3 幂指对大小比较
备战2019年高考数学黄金30题考题3 幂指对大小比较（2017·新课标Ⅰ，理11）设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则（ ）A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z 【命题维度分析】【考点】指数与对数的互化，对数的运算，两个式子比较大小的方法：比差法和比商法. 【核心素养】本题考查逻辑推理、运算能力、数据分析等数学素养.【数学能力】本题考查了推理论证能力、运算求解能力、转化与化归等数学能力【命题分析】本题考查指数与对数的互化，对数的运算，两个式子比较大小的方法：比差法和比商法. 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用，这是考试大纲的要求，本题正是对这一部分的体现.该题题设背景简单易懂、课本内容要求的重组与深化改编题，来源课本又高于课本，重点考查了指数与对数的互化与对数的运算性质，主要难点在对数的运算.【解题维度分析】【解题思路】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.【【解析】】方法1：令235x y zk ===（1k >），则2log x k =，3log y k =，5log z k =，所以22lg lg3lg913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <， 所以325y x z <<，故选D.方法2：令2351x y zk ===>，求得2log x k =，3log y k =，5log z k =，则122222log logx k k ==，133333log log y k k ==，155555log log z k k ==，由于1k >，只用比较底数122，133，155的大小即可， 因为116632(2)8(3)9=<=，11101052(2)32(5)25=<=， 所以111532523<<， 所以325y x z <<，故选D.方法3：2351log log 212351log log 31log log 5m x y z m m x m m y m z m ⎧==⎪⎪⎪⎪===>⇒==⎨⎪⎪==⎪⎪⎩求得1112352131512,3,5log 2log 3log 5log 2log 3log 5m m m m m m x y z ======， 分别对分母乘以30可得11151063230log 2log 2,30log 3log 3,30log 5m m m m m ==，故可得10156101561log 3log 2log 5325325m m m m y x z >⎧⇒>>⇒<<⎨>>⎩，选D 。
备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题39 数列与数学归纳法
—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————专题39 数列与数学归纳法【热点聚焦与扩展】数学归纳法是一种重要的数学方法，其应用主要体现在证明等式、证明不等式、证明整除性问题、归纳猜想证明等．本专题主要举例说明利用数学归纳法证明数列问题.1、数学归纳法适用的范围：关于正整数n 的命题（例如数列，不等式，整除问题等），则可以考虑使用数学归纳法进行证明2、第一数学归纳法：通过假设n k =成立，再结合其它条件去证1n k =+成立即可.证明的步骤如下： （1）归纳验证：验证0n n =（0n 是满足条件的最小整数）时，命题成立（2）归纳假设：假设()0,n k k n n N =≥∈成立，证明当1n k =+时，命题也成立 （3）归纳结论：得到结论：0,n n n N ≥∈时，命题均成立 3、第一归纳法要注意的地方：（1）数学归纳法所证命题不一定从1n =开始成立，可从任意一个正整数0n 开始，此时归纳验证从0n n =开始（2）归纳假设中，要注意0k n ≥，保证递推的连续性（3）归纳假设中的n k =，命题成立，是证明1n k =+命题成立的重要条件.在证明的过程中要注意寻找1n k =+与n k =的联系4、第二数学归纳法：在第一数学归纳法中有一个细节，就是在假设n k =命题成立时，可用的条件只有n k =，而不能默认其它n k ≤的时依然成立.第二数学归纳法是对第一归纳法的补充，将归纳假设扩充为假设n k ≤，命题均成立，然后证明1n k =+命题成立.可使用的条件要比第一归纳法多，证明的步骤如下： （1）归纳验证：验证0n n =（0n 是满足条件的最小整数）时，命题成立（2）归纳假设：假设()0,n k k n n N ≤≥∈成立，证明当1n k =+时，命题也成立 （3）归纳结论：得到结论：0,n n n N ≥∈时，命题均成立.5.注意点：对于归纳猜想证明类问题，有三个易错点.一是归纳结论不正确；二是应用数学归纳法，确认n 的初始值n 0不准确；三是在第二步证明中，忽视应用归纳假设.【经典例题】例1.【2019届重庆市第一中学5月月考】已知为正项数列的前项和，，记数列的前项和为，则的最小值为______.【答案】【解析】分析：由题意首先求得，然后利用题意结合函数的性质确定最小值即可.详解：由题意结合，以下用数学归纳法进行证明：当时，结论是成立的，假设当时，数列的通项公式为：，则，由题意可知：，结合假设有：，解得：，综上可得数列的通项公式是正确的.据此可知：，，利用等差数列前n项和公式可得：，则，结合对勾函数的性质可知，当或时，取得最小值，当时，当时，由于，据此可知的最小值为.点睛：本题的关键在于合理利用归纳推理得到数列的通项公式.归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．例2. 设S n为数列{a n}的前n项和，满足S n＝2a n－2 (n∈N*)（1）求的值，并由此猜想数列{a n}的通项公式a n；（2）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．【答案】（1）；（2）见解析.当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×a4－2，∴a4＝16.由此猜想：(n∈N*)．(2)证明：①当n＝1时，a1＝2，猜想成立．②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，猜想成立，即，那么n＝k＋1时，a k＋1＝S k＋1－S k＝2a k＋1－2a k∴a k＋1=2a k，这表明n＝k＋1时，猜想成立，由①②知猜想成立．点睛：数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.例3．已知数列满足：，.（Ⅰ）试求数列，，的值；（Ⅱ）请猜想的通项公式，并运用数学归纳法证明之.【答案】（Ⅰ），，.（Ⅱ），证明见解析.由此猜想.下面用数学归纳法证明之：当时，，结论成立；假设时，结论成立，即有，则对于时，∴当时，结论成立.综上，可得对，成立点睛：运用数学归纳法证明数学问题的步骤及其需要注意的问题：1、第一步：归纳奠基（即验证时成立）；第二步：归纳递推（即假设时成立，验证时成立）；3、两个条件缺一不可，在验证时成立时一定要用到归纳假设时的结论，最后得到的形式应与前面的完全一致.例4.【2019届浙江省温州市高三9月一模】已知数列中，，（）．（1）求证：；（2）求证：是等差数列；（3）设，记数列的前项和为，求证：．【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）利用数学归纳法可证明；（2）化简，由可得是等差数列；（3）由（2）可得，从而可得，先证明，利用放缩法及等比数列求和公式可证结论.（2）由，得，所以，即，即，所以，数列是等差数列．（3）由（2）知，，∴，因此，当时，，即时，，所以时，，显然，只需证明，即可．当时，．例5.已知函数()()2ln ,10bf x ax x f x=--= （1）若函数()f x 在1x =处切线斜率为0，'21111n n a f n a n +⎛⎫=-+ ⎪-+⎝⎭，已知14a =，求证：22n a n ≥+ （2）在（1）的条件下，求证：1211121115n a a a +++<+++ 【答案】见解析下面用数学归纳法证明：22n a n ≥+ 当1n =时，1422a n =≥+成立 假设()n k k N*=∈成立，则1n k =+时()121k k k a a a k +=-+ 22k a k ≥+ ()()1222145212k a k k k +∴≥+⋅+=+>++ 1n k ∴=+时，不等式成立,22n n N a n *∴∀∈≥+（2）()212121n n n n n a a na a a n +=-+=-+由（1）可知22n a n ≥+ 121n n a a +∴≥+()11111121121n n n n a a a a ++∴+≥+⇒≤⋅++ 2112111111111212121n n n n a a a a ---∴≤⋅≤⋅≤≤⋅---+ 1211111111111122nn a a a a ⎡⎤⎛⎫∴+++<+++⎢⎥ ⎪++++⎝⎭⎢⎥⎣⎦1112121211152512n na ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=⋅<-<⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦- 例6．【浙江省绍兴市2019届5月调测】已知数列中.（1）证明：；（2）设数列的前项和为，证明：．【答案】（1）见解析；（2）见解析详解：（1）数学归纳法：①当时，，，显然有.②假设当，结论成立，即，那么，，即，综上所述成立.（2）由（1）知：，，即，；点睛：解决数列与函数、不等式的综合问题的关键是从题设中提炼出数列的基本条件，综合函数与不等式的知识求解；数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点．例7．【福建省南平市2019届5月检查】己知函数.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数的最小值为-1，，数列满足，，记，表示不超过的最大整数．证明：．【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）见解析.详解：（Ⅰ）函数的定义域为.1、当时，，即在上为增函数；2、当时，令得，即在上为增函数；同理可得在上为减函数.（Ⅱ）有最小值为-1，由（Ⅰ）知函数的最小值点为，即，则，令，当时，，故在上是减函数所以当时∵，∴.（未证明，直接得出不扣分）则.由得，从而.∵，∴.猜想当时，.下面用数学归纳法证明猜想正确.1、当时，猜想正确.2、假设时，猜想正确.即时，.当时，有，由（Ⅰ）知是上的增函数，则，即，例8.已知函数，在原点处切线的斜率为，数列满足为常数且，．（1）求的解析式；（2）计算，并由此猜想出数列的通项公式；（3）用数学归纳法证明你的猜想．【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析．（2），则，，，由此猜想数列的通项公式应为．（3）①当时，猜想显然成立，②假设时，猜想成立，即，则当时，，即当时，猜想成立．由①②知，对一切正整数都成立．例9.已知数列是等差数列，.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的通项 (其中且)记是数列的前项和，试比较与的大小，并证明你的结论.【答案】（1）；（2）当时，,当时，，证明见解析.详解：(1) 设数列{b n}的公差为d,由题意得,∴b n=3n－2 .(2)证明：由b n=3n－2知S n=log a(1+1)+log a(1+)+…+log a(1+)=log a ［(1+1)(1+)…(1+ )］而log a b n+1=log a,于是，比较S n 与log a b n+1 的大小比较(1+1)(1+)…(1+)与的大小取n=1，有(1+1)=取n=2，有(1+1)(1+推测 (1+1)(1+) (1))＞(*)①当n=1时，已验证(*)式成立②假设n=k(k ≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+)…(1+)＞则当n=k+1时，,即当n=k+1时，(*)式成立由①②知，(*)式对任意正整数n 都成立 于是，当a ＞1时，S n ＞log a b n+1 ,当 0＜a ＜1时，S n ＜log a b n+1 .例10.【2019年浙江省高考模拟】已知数列{}n x 满足： 111,1n n x x x +==. 证明：当*n N ∈时， （1）10n n x x +<<； （2）11323n n n n x x x x ++-<； （3）122233n n n x --⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析由数列的递推式，以及（2）的结论可得1113110323n n x x +⎛⎫-≥-> ⎪⎝⎭，根据等比数列的通项公式即可证明232n n x -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，再结合已知可得11312n n n x x x ++=≤，即可证明不等式成立. 详解：（1）数学归纳法证明： 0n x > 当1n =时， 110x =>成立假设n k =时0k x >，成立，那么1n k =+时，假设10k x +≤，则110k k x x +=≤，矛盾 所以10k x +>，故0n x >得证所以111n n n x x x ++=>，故10n n x x +<< （2）由11n n x x +=得1196n n n n x x x x ++-+ (2111646n n n x x x +++=++-设()(2646(0)f x x x x x =++->则 ()'24f x x =251492248⎫=+-⎪⎭（3）由（2）得1113110323n n x x +⎛⎫-≥-> ⎪⎝⎭，则113n x -≥ 1211133322n n x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以232n n x -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭()1102x x ≤≥，1112n x +≤，所以11312n n n x x x ++=≤，故123n n x x +≥ 所以123n n x -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以122233n n n x --⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【精选精练】1．用数学归纳法证明“”时，由时等式成立推证时，左边应增加的项为__________ .【答案】点睛：项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律.2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为______________．【答案】【解析】试题分析：由题意得：“金鱼”图需要火柴棒的根数依次构成一个等差数列，首项为8，公差为6，因此第n项为 x+kw3．已知数列中，且.（1）求，，；（2）根据（1）的结果猜想出的一个通项公式，并用数学归纳法进行证明；（3）若，且，求.【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）.（2）由此猜想.下面用数学归纳法加以证明：①当时，由（1）知成立；②假设，结论成立，即成立.则当时，有，即即时，结论也成立；由①②可知，的通项公式为.（3）由（2）知，. 4．已知数列的前项和为，且满足，.（1）计算，，，根据计算结果，猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明你猜想的结论.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】分析：（1）计算，，，根据计算结果，猜想. （2）用数学归纳法证明猜想的结论.由此猜想，（2）下面用数学归纳法证明，①当时，显然成立，②假设当时猜想成立，即，由题意得，∴，∴，∴当时猜想也成立，由①和②，可知猜想成立，即.点睛：（1）在利用数学归纳法证明数学问题时，一定要注意利用前面的时的假设，否则就是伪数学归纳法，是错误的.（2）看到或，要注意联想到项和公式解题.5．已知数列满足，.（1）计算，，，根据计算结果，猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明你猜想的结论.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.由此猜想；（2）下面用数学归纳法证明，①当时，显然成立，②假设当时猜想成立，即，由题意得，∴当时猜想也成立；由①和②，可知猜想成立，即.6．已知数列满足且.（1）计算、、的值，由此猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法对你的结论进行证明．【答案】（1），；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由,，将代入上式计算出、、的值，根据共同规律猜想即可；（2）对于，用数学归纳法证明即可.①当时，证即当时，结论也成立，由①②得，数列的通项公式为.7．在数列中，，，，，．（）计算，，的值．（）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．【答案】（1），，；（2），证明见解析.（）由（）可猜想：，证明：当时，，等式成立，假设时，等式成立，即，则当时，，即当时，等式也成立，综上所述，对任意自然数，．8．已知数列数列{a n }的通项公式an ＝(－1)n(2n －1)(n ∈N *)，S n 为其前n 项和． (1)求S 1，S 2，S 3，S 4的值；(2)猜想S n 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论． 【答案】(1)S 1＝－1，S 2＝2，S 3＝－3，S 4＝4；(2)答案见解析. 【解析】试题分析：(Ⅰ)根据()()121nn a n =--，代入1,2,3,4n =计算，可求1234,,,S S S S 的值；(Ⅱ)由(Ⅰ)猜想n S 的表达式，再根据数学归纳法的证题步骤进行证明，检验1n =时等式成立，假设n k =时命题成立，证明1n k =+时命题也成立即可.试题解析：(1)依题意可得S 1＝－1，S 2＝－1＋3＝2，S 3＝－1＋3－5＝－3，S 4＝－1＋3－5＋7＝4； (2)猜想：Sn ＝(－1)n·n.证明：①当n ＝1时，猜想显然成立；②假设当n ＝k 时，猜想成立，即Sk ＝(－1)k·k，那么当n ＝k ＋1时，Sk ＋1＝(－1)k·k＋ak ＋1＝(－1)k·k＋(－1)k ＋1(2k ＋1)＝(－1)k ＋1·(k＋1)．即n ＝k ＋1时，猜想也成立． 故由①和②可知，猜想成立.【方法点睛】本题考查归纳推理以及数学归纳法的应用，属于中档题.由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现十分有用,观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一.通过不完全归纳法发现的规律，用数学归纳法加以证明才能应用. 9．设0t >， ()txf x t x=+，令11a =， ()1n n a f a +=， n N +∈. （1）写出2a ， 3a ， 4a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的结论.【答案】(1)a 1＝1，a 2＝1t t +，a 3＝222t t t +；a 4＝3323t t t +，猜想a n ＝()1121n n n t t n t ---+- （n ∈N +）；(2)证明见解析.试题解析： （1）∵a 1＝1， ∴a 2＝f （a 1）＝f （1）＝1tt +， a 3＝f （a 2）＝222t t t +；a 4＝f （a 3）＝3323t t t+， 猜想a n ＝()1121n n n t t n t ---+- （n ∈N +）；（2）证明：①易知，n ＝1时，猜想正确.②假设n ＝k 时猜想正确，即a k ＝()1121k k k t t k t---+-，则a k ＋1＝f （a k ）＝kk t a t a ⋅+=()()11211121=1k k k k k k k k k t t t k t t t t kt t t k t -------⋅+-+++-.这说明n ＝k ＋1时猜想正确.由①②知，对于任何n ∈N +，都有a n ＝()1121n n n t t n t ---+-.点睛：数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．10.【2017浙江，22】已知数列{x n }满足：x 1=1，x n =x n+1+ln(1+x n+1)（*∈N n ）． 证明：当*∈N n 时， （Ⅰ）0＜x n+1＜x n ； （Ⅱ）2x n+1− x n ≤12n n x x +； （Ⅲ）112n +≤x n ≤212n +．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析． 【解析】（Ⅱ）由111)1ln(+++>++=n n n n x x x x 得2111111422(2)ln(1)n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++【名师点睛】本题主要考查数列的概念、递推关系与单调性等基础知识，不等式及其应用，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，属于难题．本题主要应用：（1）数学归纳法证明不等式；（2）构造函数2()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥，利用函数的单调性证明不等式；（3）由递推关系证明． 11．【2019届浙江省名校协作体高三上学期联考】已知无穷数列{}n a 的首项112a =， *1111,2n n n a n N a a +⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）证明： 01n a <<； （Ⅱ） 记()211n n nn n a a b a a ++-=， n T 为数列{}n b 的前n 项和，证明：对任意正整数n ， 310n T <. 【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析.【解析】试题分析; （I ）运用数学归纳法推理论证， （Ⅱ）由已知12211n n n a a a +=>+，即1n n a a +>，可得数列{}n a 为递增数列. 又1111112n n n n n a a a a a +⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭ 112n n a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知1n n a a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为递减数列，试题解析：（Ⅰ）证明：①当1n =时显然成立； ②假设当n k = ()*k N ∈时不等式成立，即01k a <<， 那么当1n k =+时，11112k k k a a a +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ > 1·12=，所以101k a +<<， 即1n k =+时不等式也成立.综合①②可知， 01n a <<对任意*n N ∈成立. （Ⅱ）12211n n n a a a +=>+，即1n n a a +>，所以数列{}n a 为递增数列. 又1111112n n n n n a a a a a +⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭ 112n n a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知1n n a a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为递减数列， 所以111n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭也为递减数列， 所以当2n ≥时， 111n n a a +- 22112a a ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭154245⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 940=所以当2n ≥时， ()211n n nn n a a b a a ++-== ()()11111940n n n n nn a a a a a a +++⎛⎫--<- ⎪⎝⎭当1n =时， 11934010n T T b ===<，成立； 当2n ≥时， 12n n T b b b =+++ < ()()()32431994040n n a a a a a a +⎡⎤+-+-++-⎣⎦()12994040n a a +=+- ()2999942731140404040510010a ⎛⎫<+-=+-=< ⎪⎝⎭ 综上，对任意正整数n ， 310n T <12．已知，.（1）若，求的值；（2）若，求的值；（3）若是展开式中所有无理项的二项式系数和，数列是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明:.【答案】（1）. （2）165.（3）见解析.所以.（3）因为，所以要得无理项，必为奇数，所以，要证明，只要证明，用数学归纳法证明如下：（Ⅰ）当时，左边=右边，当时，，∴时，不等式成立.综合（Ⅰ）（Ⅱ）可知对一切均成立.∴不等式成立 .点睛：本题主要考查二项式定理的应用、初等函数求导公式以及数学归纳法证明不等式，属于难题.利用数学归纳法证明结论的步骤是:(1)验证时结论成立；（2）假设时结论正确，证明时结论正确（证明过程一定要用假设结论）；（3）得出结论.。
数学高考比大小题技巧
数学高考比大小题技巧数学高考中的比大小题是考察学生对数值和大小关系的掌握程度的重要题型。
掌握了一些技巧，能够在短时间内快速准确地解决这类题目，对于提高数学成绩起到很大的帮助作用。
首先，要注意数字的大小关系。
比较两个数的大小时，可以先观察它们的个位数、十位数等位数上的数字，如果有明显的差异，就可以直接判断大小。
例如，比较23和45，由于4大于2，所以45大于23。
此外，当两个数的十位数相同时，再观察个位数，依此类推。
其次，要注意整数和小数的比较。
一般来说，整数大于小数。
但是，对于小数来说，要注意小数点后的位数，位数多的小数通常比位数少的小数大。
如果两个小数的位数相同，可以逐位进行比较，直到找到大小关系。
另外，要注意正负数的比较。
对于两个正数来说，大的数肯定比小的数大。
对于两个负数来说，绝对值大的数反而比绝对值小的数小。
而对于正负数的比较，一般采用绝对值来比较，然后根据正负号来决定大小。
此外，还可以利用数轴来辅助比较。
将待比较的数在数轴上标出，然后通过观察它们的位置关系来判断大小。
比如，将-5和3在数轴上标出，可以看出-5在3的左边，所以-5小于3。
最后，要善于利用数学知识进行推理。
有时候，通过运用基本的数学公式或性质，可以推导出待比较数的大小关系。
例如，比较两个分数大小时，可以将它们的分子和分母进行运算，然后比较结果。
总之，数学高考中的比大小题虽然简单，但是在短时间内准确解答需要一些技巧。
通过掌握数字的大小关系、整数和小数的比较、正负数的比较、数轴的运用以及利用数学知识进行推理等技巧，就能够在考试中迅速解答这类题目，提高数学成绩。
2019年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题30小题不小——比较大小
则说明函数单调递增，若异号则说明函数单调递减
4、技巧与方法：
（ 1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点
. 所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析
. 在草稿纸上
列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么
. 两者对接通常可以确定入手点
（ 2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数
5．【 2018 届福建省龙岩市 4 月检查】 已知定义在 上的偶函数
对于
上任意两个不相等实数 和 ，
都满足
，若
，则
的大小关系为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】 D
点睛：本题考查了函数值的比较大小，结合函数的奇偶性和函数的单调性进行合理转化是解答的关键，注重考查
了学生分析维问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力
，设
，
，
A.
B.
【答案】 D
【解析】∵
∴
∴
∵当 ∴当
时， 时，
当
时
，则（
）
C.
D.
；当
时，
；
，
；
.
∴
故选 D.
例 10. 【 2018 届安徽省六安市第一中学三模】设
是函数
的导数，且满足
，若
、 、 是锐角三角形
的三个内角，则（）
A.
B.
C.
D.
【答案】 D 【解析】设
则其导数
又由
满足
则有
，
则函数
方程、求解析式、求通项、求前
项和公式问题等等 .
2．【 2018 届贵阳第一中学月考卷（七） 】实数 ， ， 满足
专题75 不等式选讲-备战2019年高考数学之高三复习大一轮热点聚焦与扩展(原卷版)
专题75 不等式选讲【热点聚焦与扩展】不等式选讲是高考选考内容之一，在知识上往往与绝对值分段函数结合，考查数学式子变形能力、运算求解能力、数形结合思想、逻辑推理能力等. 将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．题目难度不大，但需要学生能够快速熟练的解决问题.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明. （一）不等式的形式与常见不等式： 1、不等式的基本性质： （1）a b b a >⇔<（2）,a b b c a c >>⇒>（不等式的传递性）注：,a b b c a c ≥≥⇒≥，a c ≥等号成立当且仅当前两个等号同时成立 （3）a b a c b c >⇒+>+（4）,0;,0a b c ac bc a b c ac bc >>⇒>><⇒< （5）()02,nna b a b n n N >>⇒>≥∈（6）)02,a b n n N >>⇒>≥∈2、绝对值不等式：a b a b a b -≤+≤+ （1）a b a b +≤+等号成立条件当且仅当0ab ≥ （2）a b a b -≤+等号成立条件当且仅当0ab ≤（3）a b b c a c -+-≥-：此性质可用于求含绝对值函数的最小值，其中等号成立当且仅当()()0a b b c --≥3、均值不等式（1）涉及的几个平均数： ① 调和平均数：12111n nnH a a a =+++②几何平均数：n G=③ 代数平均数：12nn a a a A n+++=④平方平均数：n Q=（2）均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===（3）三项均值不等式：①a b c ++≥2223a b c abc ++≥② 33a b c abc ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭③a b c ++≤4、柯西不等式：()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++等号成立条件当且仅当1212nna a ab b b ===或120n b b b ====（1）二元柯西不等式：()()()22222a bc d ac bd ++≥+，等号成立当且仅当ad bc =（2）柯西不等式的几个常用变形 ① 柯西不等式的三角公式：()()()222222121122n n n b b b a b a b a b ++++≥±+±++±②()222212121212n nn na a a a a ab b b b b b ++++++≥+++()()222212121212nn n n a a a b b b a a a b b b ⎛⎫⇔++++++≥+++ ⎪⎝⎭②式体现的是当各项22212,,,na a a 系数不同时，其“平方和”与“项的和”之间的不等关系，刚好是均值不等式的一个补充.③ ()21212121122n n n n na a a a aab b b a b a b a b ++++++≥+++ 5、排序不等式：设1212,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数，12,,,n c c c 是12,,,n b b b 的任一排列，则有：121111221122n n n n n n n a b a b a b a c a c a c a b a b a b -+++≤+++≤+++即“反序和≤乱序和≤顺序和” （二）不等式选讲的考察内容：1、利用不等式的变形与常见不等式证明不等式成立2、利用常见不等式（均值不等式，柯西不等式）求表达式的最值，要注意求最值的思路与利用基本不等式求最值的思路相似，即“寻找合适的模型→将式子向定值放缩（消元）→验证等号成立条件”3、解不等式----含有绝对值不等式的解法：（1）定义法.利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式，体现了分类讨论的思想； （3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如|f(x)|<|g(x)|）；（4）图象法或数形结合法. 利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．【经典例题】例1.【2018年江苏卷】若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求的最小值．例2.【2017课标II 】已知330,0,2a b a b >>+=.证明： （1）55()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤.例3.【2018年新课标I 卷】已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求的取值范围.例4.【2018年全国卷Ⅲ】设函数． （1）画出的图像； （2）当，，求的最小值．例5.【2018年全国卷II】设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围.例6.【2018届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学三模】已知函数.(I)若.解不等式(Ⅱ)若不等式对任意的实数恒成立，求的取值范围例7.【2018届山东、湖北部分重点中学模拟（二）】设.（Ⅰ）当时，求的最小值；（Ⅱ）若为奇函数，且，当时，.若有无数多个零点，作出图象并根据图象写出的值（不要求证明）.例8.【陕西省咸阳市2018年高考5月】已知函数．（1）解不等式；（2）设函数的最小值为，且，求的范围．例9．【2018届山东省潍坊市青州市三模】已知函数.（1）求的解集；（2）设函数，若对成立，求实数的取值范围例10.【2018届福建省三明市第一中学适应性练习（一）】已知函数.（1）若，求不等式的解集；（2）若的解集为，求的取值范围.【精选精练】1．【2017江苏，21】已知,,,a b c d 为实数，且22224,16,a b c d +=+=证明8.ac bd +≤ 2．【2018年辽宁省葫芦岛市二模】已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集非空，求的取值范围.3．【2018届江西省临川一中高三模拟】 已知函数 (Ⅰ）若求函数的最小值；(Ⅱ）如果关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围.4．【2018届山东省肥城市高三适应性训练】已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求的取值范围.5．【2018届四川省双流中学考前二模】已知函数，的解集为.(1)求实数的值； (2)若关于的不等式对恒成立，求实数的取值范围.6．【2018届江苏省盐城中学全仿真】已知，且.(I)试利用基本不等式求的最小值； (Ⅱ)若实数满足，求证：.7．【2018届河北省石家庄二中三模】已知函数（1）求不等式的解集； （2）若对于恒成立，求的取值范围.8．【2018届吉林省吉大附中四模】已知函数.(I)当时，解不等式；(Ⅱ)若关于的不等式的解集为，求证: .9．【2018届河北省衡水中学三轮复习七】已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若函数的图像与轴没有交点，求实数的取值范围.10．【2018届湖南省长沙市长郡中学高考模拟卷（二）】已知函数，关于的不等式的解集记为.（1）求；（2）已知，，求证：.11．【2018届安徽省淮南市二模】已知函数(1)解不等式.(2)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.12.【2018届河南省南阳市第一中学第十八次考】已知函数，. （1）当时，求不等式的解集；（2），，求的取值范围.。
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专题30 小题不小----比较大小【热点聚焦与扩展】高考命题中，常常在选择题或填空题中出现一类比较大小的问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序.这类问题的解法往往可以从代数和几何两方面加以探寻，即利用函数的性质及图象解答.本专题以一些典型例题来说明此类问题的方法与技巧. （一）常用技巧和方法1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来： 判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为()0,1和()1,+∞（1）如果底数和真数均在()0,1中，或者均在()1,+∞中，那么对数的值为正数 （2）如果底数和真数一个在()0,1中，一个在()1,+∞中，那么对数的值为负数 例如：30.52log 0.50,log 0.30,log 30<>>等2、要善于利用指对数图象观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，一作图，自明了3、比较大小的两个理念：（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况 例如：1113423,4,5，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同()()()11111143634212121233,44,55===，从而只需比较底数的大小即可（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“-1，0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如2log 3，可知2221log 2log 3log 42=<<=，进而可估计2log 3是一个1点几的数，从而便于比较 4、常用的指对数变换公式：（1）nm mn a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）log log log a a a M N MN += log log log a a a M M N N-= （3）()log log 0,1,0na a N n N a a N =>≠>（4）换底公式：log log log c a c bb a=进而有两个推论：1log log a b b a=（令c b =） log log m na a n N N m =（二）利用函数单调性比较大小1、函数单调性的作用：()f x 在[],a b 单调递增，则[]()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁） 2、导数运算法则： （1）()()()()()()()'''f x g x fx g x f x g x =+（2）()()()()()()()'''2f x f xg x f x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3、常见描述单调性的形式 （1）导数形式：()()'0fx f x >⇒单调递增；()()'0f x f x <⇒单调递减（2）定义形式：()()12120f x f x x x ->-或()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦：表示函数值的差与对应自变量的差同号，则说明函数单调递增，若异号则说明函数单调递减 4、技巧与方法：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整（3）在比较大小时，通常可利用函数性质（对称性，周期性）将自变量放入至同一单调区间中进行比较 （三）数形结合比较大小1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过作出草图观察得到诸如“距轴越近，函数值越……”的结论，从而只需比较自变量与坐标轴的距离，即可得到函数值的大小关系（1）若()f x 关于x a =轴对称，且(),a +∞单调增，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越小（2）若()f x 关于x a =轴对称，且(),a +∞单调减，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越大2、函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两个函数的交点.抓住共同的函数作为突破口，将其余函数的图象作在同一坐标系下，观察交点的位置即可判断出自变量的大小.【经典例题】例1.【2017课标1，理11】设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则（ ） A ．2x<3y<5zB ．5z<2x<3yC ．3y<5z<2xD ．3y<2x<5z【答案】D【名师点睛】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，在用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式和0与1的对数表示. 例2.【2017天津，文理】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） （A ）a b c << （B ）c b a <<（C ）b a c <<（D ）b c a <<【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以在0x >时，()0f x >， 从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以即0.8202log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，所以b a c <<，故选C ．【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.例3.已知,,a b c 均为正数，且11222112log ,log ,log 22b ca abc ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A. a b c <<B. c b a <<C. c a b <<D. b a c << 【答案】A【名师点睛】本题也可用数形结合的方式比较大小，观察发现前两个等式右侧为12log y x =的形式，而第三个等式也可变形为2121log log 2cc c ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，从而可以考虑视,,a b c 分别为两个函数的交点.先作出12log y x =图象，再在这个坐标系中作出112,,22xxx y y y ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，比较交点的位置即可.例4.【2018届山东、湖北部分重点中学冲刺模拟（三）】已知，,,则的大小关系为（ ） A. B.C.D.【答案】D【解析】分析：借助于中间值1和0，利用各实数的范围可比较大小. 详解：，,，∴，故选D.点睛：比较大小常用的方法有： （1）作差法（作商法）； （2）利用函数单调性比较大小； （3）借助中间变量比较大小.例5.【2018年辽宁省部分重点中学协作体高三模拟】函数，若，，，则有（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：首先分离常数得出，可判断出在上单调递减，且时，，时，，从而判断出，再根据在上减函数，判断出的大小关系，从而最后得出大小关系.且，，在上单调递减，，即，故选D.点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用例6.【2018届天津市十二校二模】已知定义在上的函数，则三个数，，，则，，之间的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C由指数函数的性质可得,由可得,所以，根据函数的单调性可得，故选C.例7．【2018届华大新高考联盟4月检测】已知为定义在上的偶函数，且，当时，，记，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：根据的周期性和单调性进行判断．详解：当时，，则在上是增函数，故选D ．例8.已知函数()2log 1y x =+，且0a b c >>>，则()()(),,f a f b f c a b c 的大小关系是（ ） A.()()()f a f b f c ab c >>B.()()()f c f b f a c b a>>C.()()()f b f a f c bac>>D.()()()f a f c f b acb>>【答案】B【解析】思路：本题具备同构特点()()2log 1f x x y xx+==，但导数()()2'2log 11ln 2xx x y x -++=难于分析()f x 单调性，故无法比较()()(),,f a f b f c a b c 的大小.换一个角度，可发现()f x 的图象可作，且()f x x具备几何含义，即()()00f x f x xx -=-，即()(),x f x 与原点连线的斜率.所以作出()f x 的图象，可观察到图象上的点横坐标越大，与原点连线的斜率越小，所以由0a b c >>>可得：()()()f c f b f a cba>>答案：B例9.【2018届内蒙古鄂伦春自治旗二模（420模拟）】已知函数，设，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵∴∴∵当时，；当时，∴当时，，；当时；.∴故选D.例10.【2018届安徽省六安市第一中学三模】设是函数的导数，且满足，若、、是锐角三角形的三个内角，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】设则其导数又由满足，则有则函数在上为增函数，若是锐角三角形，则有即即有或故选：D．【点睛】本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，解题的关键是构造函数h（x）并分析其单调性．【精选精练】1.【2018届北京市海淀区二模】已知，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：取，利用排除法，逐一排除即可的结果.详解：因为时， , , ,所以可排除选项，故选D.点睛：特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前 项和公式问题等等. 2．【2018届贵阳第一中学月考卷（七）】实数，，满足且，则下列关系式成立的是（ ） A. B.C.D.【答案】A故选A ．3.【2017年高考山东卷】若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是【答案】B【解析】因为0a b >>，且1ab =，所以，所以选B.4．【2018届广东省中山市第一中学高三第一次统测】实数0.2a b c ===的大小关系正确的是( )A. a c b <<B. a b c <<C. b a c <<D. b c a << 【答案】D【解析】根据指数函数和对数函数的性质，知0<， 01＜，1>，即01a <<， 0b <，1c >，∴b a c <<，故选C.5．【2018届福建省龙岩市4月检查】已知定义在上的偶函数对于上任意两个不相等实数和，都满足，若，则的大小关系为（ ）A. B. C. D.【答案】D点睛：本题考查了函数值的比较大小，结合函数的奇偶性和函数的单调性进行合理转化是解答的关键，注重考查了学生分析维问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.6．【2018届湖北省4月调研】已知 2.2 2.1 2.22.1, 2.2,log 2.1a b c ===，则( ) A. c b a << B. c a b << C. a b c << D. a c b << 【答案】B，利用导数研究其单调性可得,a b 的大小关系，又由1c <，即可得出结论.可得函数()f x 在()0,e 内单调递增，所以()()2.1 2.2f f <，即 可化为 2.22.12.12.2<，即1a b <<，又 2.2log 2.11c =<，所以c a b <<，故选B.点睛：本题考查了指数函数与对数函数基本性质的应用，利用导数研究函数的单调性，利用函数单调性比较大小是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题.7．【2018届浙江省嘉兴市4月模拟】已知 ，，，，那么的大小关系是（ ） A. B.C.D.【答案】A【解析】此题可采用特值法，∵，故可取，此时，，，即成立，故选A.8.【2018年4月8日 每周一测】已知函数()f x 为偶函数，当0x >时，设()3l o g 0.2a f =，()0.23b f -=， ()1.13c f =-，则( )A. c a b >>B. a b c >>C. c b a >>D. b a c >> 【答案】A【解析】分析：先判断出()f x 在()0,+∞上为增函数，由奇偶性可得()1.13c f =- ()1.13f =()()33log 0.2log 0.2,a f f ==-根据对数函数与指数函数的性质得到3log 0.2-、0.23-、 1.13的范围，可比较其大小，利用单调性可得结果.由单调性可得()()()1.10.233log 0.23f f b f -->>=，c a b ∴>>，故选A.9．【2018届福建省闽侯第一中学高三上学期开学】记 则A,B,C 的大小关系是（ ） A. B.C.D.【答案】B 【解析】，即A>C ，，即B<C ，综合知A>C>B. 本题选择B 选项.10．【2018 ()sin cos ,b αα=()cos sin c αα=，则( )A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D. c a b << 【答案】Dcos sin αα>，令()()sin x f x α=在R 上单调递减，所以()sin sin αα>()cos sin αα,即a>c,又因为()sin g x xα=，在（0,1）上单调递增，所以()()sin sin sin cos αααα<,即a<b,所以c a b <<，选D.11.【2018届天津市9校联考】定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()21xf x =-，设 ）A. ()()()f a f b f c <<B. ()()()f b f c f a <<C. ()()()f b f a f c <<D. ()()()f c f b f a << 【答案】A，且()21xf x =-在[]0,1上单调递增， ，即()()f a f b < 故选：A点睛：点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值0,1的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．12.【2018届重庆市巴蜀中学月考七】已知ϕ)cos(x+ ϕ)+2cos (x+ ϕ)-12 (|ϕ|<3π),若f(0)=12,a=f(π),b=f(11-12π），c=f （5324π），则（ ）A. a<c<bB. a<b<cC. c<a<bD. c<b<a 【答案】B【解析】 ()()()12212222cos x f x sin x ϕϕ++=++- ()()122222x cos x ϕϕ=+++ 226sin x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．由题意得()10262f sin πϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭5353224246b f sin πππ⎛⎫⎛⎫==⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴a b c <<．选B ．。