2020版高考数学空间点、直线、平面之间的位置关系习题理(含解析)

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2020版高考数学第八章立体几何3第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系题培优练文(含解析)新人教A

42以 EO ∥AB ，OF ∥CD ，且 EO ＝OF ＝ CD ，又 AB ⊥CD ，所以 EO ⊥OF ，∠OEF 为异面直线 EF 与 AB所成的角，由△EOF 为等腰直角三角形，可得∠OEF ＝π ，故选 B.第 3 讲空间点、直线、平面之间的位置关系[基础题组练]1．已知异面直线 a ，b 分别在平面 α ，β 内，且 α ∩β ＝c ，那么直线 c 一定( )A ．与 a ，b 都相交B ．只能与 a ，b 中的一条相交C ．至少与 a ，b 中的一条相交D ．与 a ，b 都平行解析：选 C.若 c 与 a ，b 都不相交，则 c 与 a ，b 都平行，根据公理 4，知 a ∥b ，与 a ，b异面矛盾．2．已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A ．空间四边形C ．菱形B ．矩形D ．正方形解析：选 B.如图所示，易证四边形 EFGH 为平行四边形．因为 E ，F 分别为 AB ，BC 的中点，所以 EF ∥AC . 又 FG ∥BD ，所以∠EFG 或其补角为 AC 与 BD 所成的角．而 AC 与 BD 所成的角为 90°，所以∠EFG ＝90°，故四边形 EFGH 为矩形．3．已知直线 a ，b 分别在两个不同的平面 α ，β 内，则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平面 β 相交”的()A ．充分不必要条件C ．充要条件 B ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选 A.若直线 a ，b 相交，设交点为 P ，则 P ∈a ，P ∈b .又 a ⊂ α ，b ⊂ β ，所以 P ∈α ，P ∈β ，故 α ，β 相交．反之，若α ，β 相交，则 a ，b 可能相交，也可能异面或平行．故“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平面 β 相交”的充分不必要条件．4．(2019·广州市高中综合测试(一))在四面体 ABCD 中，E ，F 分别为 AD ，BC 的中点，AB＝CD ，AB ⊥CD ，则异面直线 EF 与 AB 所成角的大小为()A.C.π 6π 3π B.π D.解析：选 B.取 BD 的中点 O ，连接 OE ，OF ，因为 E ，F 分别为 AD ，BC 的中点，AB ＝CD ，所1245．已知棱长为 a 的正方体 ABCD A ′B ′C ′D ′中，M ，N 分别为 CD ，AD 的中点，则 MN 与A ′C ′的位置关系是________________________________________________________．解析：如图，由题意可知 MN ∥AC .又因为 AC ∥A ′C ′，所以 MN ∥A ′C ′.答案：平行6．给出下列四个命题：①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②若平面α 内的一条直线 a 与平面 β 内的一条直线 b 相交，则 α 与 β 相交；③若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面； ④若三条直线两两相交，则这三条直线共面．其中真命题的序号是________．解析：①正确，因为直线在平面外即直线与平面相交或直线平行于平面，所以最多有一个公共点．②正确，a ，b 有交点，则两平面有公共点，则两平面相交．③正确，两平行直线可确定一个平面，又直线与两平行直线的两交点在这两平行直线上，所以过这两交点的直线也在平面内，即三线共面．④错误，这三条直线可以交于同一点，但不在同一平面内．答案：①②③7.如图，在正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1 中，O 为正方形 ABCD 的中心，H 为直线 B 1D 与平面 ACD 1 的交点．求证：D 1、H 、O 三点共线．证明：如图，连接 BD ，B 1D 1，则 BD ∩AC ＝O ，因为 BB 1 綊 DD 1，所以四边形 BB 1D 1D 为平行四边形，又 H ∈B 1D ，B 1D 平面 BB 1D 1D ，则 H ∈平面 BB 1D 1D ，因为平面 ACD 1∩平面 BB 1D 1D ＝OD 1，所以 H ∈OD 1.即 D 1、H 、O 三点共线．8．在正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1 中， (1)求 AC 与 A 1D 所成角的大小；(2)若 E ，F 分别为 AB ，AD 的中点，求 A 1C 1 与 EF 所成角的大小．解：(1)如图，连接 B 1C ，AB 1，由 ABCD A 1B 1C 1D 1 是正方体，易知 A 1D ∥B 1C ，从而 B 1C 与 AC 所成的角就是 AC 与 A 1D 所成的角．因为 AB 1＝AC ＝B 1C ，32又因为|BC 1|＝|C 1D |＝ 6，所以∠BC 1D ＝.2 解析：取 A ′C ′的中点 M ，连接 EM ，MK ，KF ，EF ，则 EM 綊 CC ′綊 KF ，所以∠B 1CA ＝60°.即 A 1D 与 AC 所成的角为 60°.(2)连接 BD ，在正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1 中，AC ⊥BD ，AC ∥A 1C 1. 因为 E ，F 分别为 AB ，AD 的中点，所以 EF ∥BD ，所以 EF ⊥AC . 所以 EF ⊥A 1C 1.即 A 1C 1 与 EF 所成的角为 90°.[综合题组练]1．如图所示，平面α ∩平面 β ＝l ，A ∈α ，B ∈α ，AB ∩l ＝D ，C ∈β ，C l ，则平面 ABC与平面 β 的交线是()A ．直线 ACC ．直线 CDB ．直线 ABD ．直线 BC解析：选 C.由题意知，D ∈l ，l β ，所以 D ∈β ，又因为 D ∈AB ，所以 D ∈平面 ABC ，所以点 D 在平面 ABC 与平面 β 的交线上．又因为 C ∈平面 ABC ，C ∈β ，所以点 C 在平面 β 与平面 ABC 的交线上，所以平面 ABC ∩平面 β ＝CD .2．在正三棱柱 ABC A 1B 1C 1 中，|AB |＝ 2|BB 1|，则 AB 1 与 BC 1 所成角的大小为()A.C.π 65π 12πB.π D.解析：选 D.将正三棱柱 ABC A 1B 1C 1 补为四棱柱 ABCD A 1B 1C 1D 1，连接 C 1D ，BD ，则 C 1D ∥B 1A ， ∠BC 1D 为所求角或其补角．设|BB 1|＝ 2，则|BC |＝|CD |＝2，∠BCD ＝120°，|BD |＝2 3，π3.(2019·长沙模拟)如图，在三棱柱 ABC A ′B ′C ′中，点 E ，F ，H ，K 分别为 AC ′，CB ′，A ′B ′，B ′C ′的中点，G 为△ABC 的重心．从 K ，H ，G ，B ′四点中取一点作为 P ，使得该棱柱恰有 2 条棱与平面 PEF 平行，则 P 为________．12得四边形 EFKM 为平行四边形，若取点 K 为 P ，则 AA ′∥BB ′∥CC ′∥PF ，故与平面 PEF 平行的棱超过 2 条；因为 HB ′∥MK ，MK ∥EF ，所以 HB ′∥EF ，若取点 H 或 B ′为 P ，则平面 PEF在 △R tEGF 中，由 EG ＝FG ＝ AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线 EF 与与平面 EFB ′A ′为同一平面，与平面 EFB ′A ′平行的棱只有 AB ，不符合题意；连接 BC ′，则 EF ∥A ′B ′∥AB ，若取点 G 为 P ，则 AB ，A ′B ′与平面 PEF 平行．答案：G4．如图，已知圆柱的轴截面 ABB 1A 1 是正方形，C 是圆柱下底面弧 AB 的中点，C 1 是圆柱上底面弧 A 1B 1 的中点，那么异面直线 AC 1 与 BC 所成角的正切值为________．解析：取圆柱下底面弧 AB 的另一中点 D ，连接 C 1D ，AD ，因为 C 是圆柱下底面弧 AB 的中点，所以 AD ∥BC ，所以直线 AC 1 与 AD 所成角等于异面直线 AC 1 与 BC 所成角，因为 C 1 是圆柱上底面弧 A 1B 1 的中点，所以 C 1D ⊥圆柱下底面，所以 C 1D ⊥AD ，因为圆柱的轴截面 ABB 1A 1 是正方形，所以 C 1D ＝ 2AD ，所以直线 AC 1 与 AD 所成角的正切值为 2，所以异面直线 AC 1 与 BC 所成角的正切值为 2. 答案： 25.如图所示，A 是△BCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是 BC ，AD 的中点．(1)求证：直线 EF 与 BD 是异面直线；(2)若 AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求 EF 与 BD 所成的角．解：(1)证明：假设 EF 与 BD 不是异面直线，则 EF 与 BD 共面，从而 DF与 BE 共面，即 AD 与 BC 共面，所以 A ，B ，C ，D 在同一平面内，这与 A 是△BCD 所在平面外的一点相矛盾．故直线 EF 与 BD 是异面直线．(2)取 CD 的中点 G ，连接 EG ，FG ，则 AC ∥FG ，EG ∥BD ，所以相交直线EF 与 EG 所成的角，即为异面直线 EF 与 BD 所成的角．又因为 AC ⊥BD ，则 FG ⊥EG .12BD 所成的角为 45°.6.(综合型)如图，E ，F ，G ，H 分别是空间四边形 ABCD 各边上的点，且 AE ∶EB ＝AH ∶HD ＝m ，CF ∶FB ＝CG ∶GD ＝n .(1)证明：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)m ，n 满足什么条件时，四边形 EFGH 是平行四边形？n ＋1 因为＝EH BD AE ＋EB m ＋1 m ＋1 (3)在(2)的条件下，若 AC ⊥BD ，试证明：EG ＝FH .解：(1)证明：因为 AE ∶EB ＝AH ∶HD ，所以 EH ∥BD . 又 CF ∶FB ＝CG ∶GD ，所以 FG ∥BD .所以 EH ∥FG . 所以 E ，F ，G ，H 四点共面．(2)当 EH ∥FG ，且 EH ＝FG 时，四边形 EFGH 为平行四边形．AE m m＝，所以 EH ＝ BD .n同理可得 FG ＝ BD ，由 EH ＝FG ，得 m ＝n .故当 m ＝n 时，四边形 EFGH 为平行四边形．(3)证明：当 m ＝n 时，AE ∶EB ＝CF ∶FB ，所以 EF ∥AC ，又 EH ∥BD ，所以∠FEH 是 AC 与BD 所成的角(或其补角)，因为 AC ⊥BD ，所以∠FEH ＝90°，从而平行四边形 EFGH 为矩形，所以 EG ＝FH .。

2020版高考数学浙江专用新精准大一轮精讲通用版：第八章第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系含解析

[基础达标]1．已知异面直线a ，b 分别在平面α，β内，且α∩β＝c ，那么直线c 一定( ) A ．与a ，b 都相交B ．只能与a ，b 中的一条相交C ．至少与a ，b 中的一条相交D ．与a ，b 都平行解析：选C.若c 与a ，b 都不相交，则c 与a ，b 都平行，根据公理4，知a ∥b ，与a ，b 异面矛盾．2．如图所示，平面α∩平面β＝l ，A ∈α，B ∈α，AB ∩l ＝D ，C ∈β，C ∉l ，则平面ABC 与平面β的交线是( )A ．直线ACB ．直线ABC ．直线CD D ．直线BC 解析：选C.由题意知，D ∈l ，l ⊂β，所以D ∈β，又因为D ∈AB ，所以D ∈平面ABC ，所以点D 在平面ABC 与平面β的交线上．又因为C ∈平面ABC ，C ∈β，所以点C 在平面β与平面ABC 的交线上，所以平面ABC ∩平面β＝CD .3．已知AB 是平面α的斜线段，A 为斜足．若点P 在平面α内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．一条直线D ．两条平行直线解析：选B.如图，由于AB 的长为定值，且△ABP 的面积也是定值，因此空间中点P 到直线AB 的距离也为定值，从而可以推知点P 在空间的轨迹应是以AB 为旋转轴的圆柱面，又点P 在平面α内，且AB 与平面α不垂直，故点P 的轨迹应是该圆柱面被平面α截出的椭圆．4．(2019·瑞安四校联考)若平面α∥平面β，点A ，C ∈α，B ，D ∈β，则直线AC ∥直线BD 的充要条件是( )A ．AB ∥CD B ．AD ∥CBC ．AB 与CD 相交 D ．A ，B ，C ，D 四点共面解析：选D.因为平面α∥平面β，要使直线AC ∥直线BD ，则直线AC 与BD 是共面直线，即A ，B ，C ，D 四点必须共面．5．如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各棱长(包括底面边长)都是2，E ，F 分别是AB ，A 1C 1的中点，则EF 与侧棱C 1C 所成的角的余弦值是( )A ．55 B ．255C ．12D ．2解析：选B.如图，取AC 中点G ，连接FG ，EG ，则FG ∥C 1C ，FG ＝C 1C ；EG ∥BC ，EG ＝12BC ，故∠EFG 即为EF 与C 1C 所成的角，在Rt △EFG 中，cos ∠EFG ＝FG FE ＝25＝255.6．(2019·台州模拟)如图所示，ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论正确的是( )A ．A ，M ，O 三点共线B ．A ，M ，O ，A 1不共面C ．A ，M ，C ，O 不共面D ．B ，B 1，O ，M 共面解析：选A.连接A 1C 1，AC (图略)，则A 1C 1∥AC ，所以A 1，C 1，A ，C 四点共面，所以A 1C ⊂平面ACC 1A 1. 因为M ∈A 1C ，所以M ∈平面ACC 1A 1. 又M ∈平面AB 1D 1，所以M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上，同理A ，O 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上．所以A ，M ，O 三点共线． 7．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．解析：直线AM 与CC 1是异面直线，直线AM 与BN 也是异面直线，故①②错误．答案：③④ 8．(2019·金丽衢十二校联考) 如图所示，在三棱锥A -BCD 中，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为菱形，当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 是正方形．解析：易知EH ∥BD ∥FG ，且EH＝12BD ＝FG ，同理EF ∥AC ∥HG ，且EF ＝12AC ＝HG ，显然四边形EFGH 为平行四边形．要使平行四边形EFGH 为菱形需满足EF ＝EH ，即AC ＝BD ；要使四边形EFGH 为正方形需满足EF ＝EH 且EF ⊥EH ，即AC ＝BD 且AC ⊥BD .答案：A C ＝BD AC ＝BD 且AC ⊥BD 9．已知三棱锥A -BCD 中，AB ＝CD ，且直线AB 与CD 所成的角为60°，点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，则直线AB 和MN 所成的角为________．解析：如图，取AC 的中点P ，连接PM ，PN ，则PM ∥AB ，且PM ＝12AB ，PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN 为AB 与CD 所成的角(或其补角)，则∠MPN ＝60°或∠MPN＝120°.因为PM ∥AB ，所以∠PMN 是AB 与MN 所成的角(或其补角)． ①若∠MPN ＝60°，因为AB ＝CD ，所以PM ＝PN ，则△PMN 是等边三角形，所以∠PMN ＝60°，即AB 与MN 所成的角为60°.②若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形，所以∠PMN ＝30°，即AB 与MN 所成的角为30°.综上，直线AB 和MN 所成的角为60°或30°. 答案：60°或30°10．如图，已知平面四边形ABCD ，AB ＝BC ＝3，CD ＝1，AD ＝5，∠ADC ＝90°.沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD ′，直线AC 与BD ′所成角的余弦的最大值是__________．解析：作BE ∥AC ，BE ＝AC ，连接D ′E ，则∠D ′BE 为所求的角或其补角，作D ′N ⊥AC 于点N ，设M 为AC 的中点，连接BM ，则BM ⊥AC ，作NF ∥BM 交BE 于F ，连接D ′F ，设∠D ′NF ＝θ，因为D ′N ＝56＝306，BM ＝FN ＝152＝302，所以D ′F 2＝253－5cos θ，因为AC ⊥D ′N ，AC ⊥FN ，所以D ′F ⊥AC ，所以D ′F ⊥BE ，又BF ＝MN ＝63，所以在Rt △D ′FB 中，D ′B 2＝9－5cos θ，所以cos ∠D ′BE＝BF D ′B ＝639－5cos θ≤66，当且仅当θ＝0°时取“＝”．答案：6611. 如图，已知不共面的三条直线a 、b 、c 相交于点P ，A ∈a ，B ∈a ，C ∈b ，D ∈c ，求证：AD 与BC 是异面直线．证明：假设AD 与BC 共面，所确定的平面为α，那么点P 、A 、B 、C 、D 都在平面α内，所以直线a 、b 、c 都在平面α内，与已知条件a 、b 、c 不共面矛盾，假设不成立，所以AD 与BC 是异面直线． 12．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，(1)求AC 与A 1D 所成角的大小；(2)若E ，F 分别为AB ，AD 的中点，求A 1C 1与EF 所成角的大小．解：(1)如图，连接B 1C ，AB 1，由ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体，易知A 1D ∥B 1C ，从而B 1C 与AC所成的角就是AC 与A 1D 所成的角．因为AB 1＝AC ＝B 1C ，所以∠B 1CA ＝60°.即A 1D 与AC 所成的角为60°. (2)连接BD ，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AC ⊥BD ，AC ∥A 1C 1.因为E ，F 分别为AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD ，所以EF ⊥AC .所以EF ⊥A 1C 1. 即A 1C 1与EF 所成的角为90°.[能力提升]1．设A ，B ，C ，D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( ) A ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面B ．若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 C ．若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ＝BC D ．若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ⊥BC解析：选C.A 中，若AC 与BD 共面，则A ，B ，C ，D 四点共面，则AD 与BC 共面；B 中，若AC 与BD 是异面直线，则A ，B ，C ，D 四点不共面，则AD 与BC 是异面直线；C 中，若AB ＝AC ，DB ＝DC ，AD 不一定等于BC ；D 中，若AB ＝AC ，DB ＝DC ，可以证明AD ⊥BC .2．(2019·温州市高考数学模拟)棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，点P ，Q 分别为平面A 1B 1C 1D 1和线段B 1C 上的动点，则△PEQ 周长的最小值为( )A ．2 2B ．10C ．11D ．2 3解析：选B.由题意，△PEQ 周长取得最小值时，P 在B 1C 1上，在平面B 1C 1CB 上，设E 关于B 1C 的对称点为M ，关于B 1C 1的对称点为N ，则EM ＝2，EN ＝2，∠MEN ＝135°，所以MN ＝4＋2－2×2×2×⎝⎛⎭⎫－22＝10.3．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1、CC 1的中点，则在空间中与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交的直线有________条．解析：法一：如图，在EF 上任意取一点M ，直线A 1D 1与M 确定一个平面，这个平面与CD 有且仅有一个交点N ，当M 取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD 有不同的交点N ，而直线MN 与这三条异面直线都有交点，所以在空间中与这三条直线都相交的直线有无数条．法二：在A 1D 1上任取一点P ，过点P 与直线EF 作一个平面α，因为CD 与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q ，连接PQ (图略)，则PQ 与EF 必然相交，即PQ 为所求直线．由点P 的任意性，知有无数条直线与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交．答案：无数4．设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是________．解析：构造四面体ABCD ，使AB ＝a ，CD ＝2，AD ＝AC ＝BC ＝BD ＝1，取CD 的中点E ，则AE ＝BE ＝22，所以22＋22>a ，所以0<a < 2.答案：0<a < 25. 如图所示，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝60°，P A ＝AB ＝AC ＝2，E 是PC的中点．(1)求证：AE 与PB 是异面直线；(2)求异面直线AE 和PB 所成角的余弦值．解：(1)证明：假设AE 与PB 共面，设平面为α. 因为A ∈α，B ∈α，E ∈α，所以平面α即为平面ABE ，所以P ∈平面ABE ，这与P ∉平面ABE 矛盾，所以AE 与PB 是异面直线． (2) 取BC 的中点F ，连接EF 、AF ，则EF ∥PB ，所以∠AEF (或其补角)就是异面直线AE 和PB 所成的角．因为∠BAC ＝60°，P A ＝AB ＝AC ＝2，P A ⊥平面ABC ，所以AF ＝3，AE ＝2，EF ＝2，cos ∠AEF ＝AE 2＋EF 2－AF22·AE ·EF＝2＋2－32×2×2＝14，所以异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为14.6. 如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12F A ，G ，H 分别为F A ，FD 的中点．(1)求证：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？解：(1)证明：由题设知，FG ＝GA ，FH ＝HD ，所以GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，故GH 綊BC .所以四边形BCHG 是平行四边形． (2)C ，D ，F ，E 四点共面．理由如下：由BE 綊12F A ，G 是F A 的中点知，BE 綊GF ，所以EF 綊BG .由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH ，故EC 、FH 共面．又点D 在直线FH 上，所以C ，D ，F ，E 四点共面．。

2020高考数学第六章立体几何考点测试42空间点、直线、平面间的位置关系文(含解析)

测试 42空间点、直线、平面间的地点关系高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、解答题，分值为5分或 12分，中等难度考纲研读1．理解空间直线、平面地点关系的定义2．认识能够作为推理依照的公义和定理3．能运用公义、定理和已获取的结论证明一些空间地点关系的简单命题一、基础小题1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的()A．充足非必需条件 B ．必需非充足条件C．充足必需条件 D ．既非充足又非必需条件答案A分析“两条直线为异面直线”? “两条直线无公共点”．“两直线无公共点”? “两直线异面或平行”．应选A．2．以下命题正确的个数为()①经过三点确立一个平面；②梯形能够确立一个平面；③两两订交的三条直线最多能够确立三个平面；④假如两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A．0 B．1 C．2 D．3答案C分析经过不共线的三点能够确立一个平面，∴①不正确；两条平行线能够确立一个平面，∴②正确；两两订交的三条直线能够确立一个或三个平面，∴③正确；命题④中没有说清三个点能否共线，∴④不正确．3．若直线上有两个点在平面外，则()A．直线上起码有一个点在平面内B．直线上有无量多个点在平面内C．直线上全部点都在平面外D．直线上至多有一个点在平面内答案D分析依据题意，两点确立一条直线，那么因为直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只好是直线与平面订交，或许直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内．4．如图，α ∩β＝l，A，B∈ α，C∈ β，且C?l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必经过 ()A．点A B．点BC．点C但可是点M D ．点C和点M答案D分析∵ A， B∈γ， M∈ AB，∴ M∈γ ．又α ∩ β＝l ， M∈ l ，∴ M∈β ．依据公义 3 可知， M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．5．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的地点关系是 ()A．异面或平行 B ．异面或订交C．异面 D ．订交、平行或异面答案D分析异面直线不拥有传达性，能够以长方体为载体加以说明，地点如图 ( 可有三种状况) 所示，故a， c 可能订交、平行或异面．6．以下四个命题中：a， b异面，直线c的①不共面的四点中，此中随意三点不共线；②若点A， B， C， D 共面，点共面，则点 A，B， C，D，E 共面；③若直线 a，b 共面，直线 a，c 共面，则直线A，B，C，E b，c 共面；④挨次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3答案B分析①正确，不然三点共线和第四点必共面；②错误，如图三棱锥，能切合题意但A，B，C，，E 不共面；③错误，从②的几何体知；空间四边形为反例可知，④错误．D7．已知异面直线a， b 分别在平面α ，β 内，且α ∩ β＝c，那么直线 c 必定() A．与a，b都订交B．只好与a， b 中的一条订交C．起码与a， b 中的一条订交D．与a，b都平行答案C分析假如 c 与 a， b 都平行，那么由平行线的传达性知a，b 平行，与异面矛盾．应选C．8．如图，平行六面体ABCD－ A1B1C1D1中既与 AB共面又与 CC1共面的棱有________条．答案5分析依题意，与 AB和 CC1都订交的棱有BC；与 AB订交且与 CC1平行的棱有AA1，BB1；与 AB平行且与 CC1订交的棱有 CD， C1D1．故切合条件的棱有5条．二、高考小题9．(2018 ·全国卷Ⅱ) 在正方体ABCD－ A1 B1C1D1中， E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为()2357A．2 B．2 C．2 D．2答案C分析在正方体 ABCD－ A1B1C1D1中， CD∥AB，所以异面直线AE与 CD所成的角为∠ EAB，设正方体的棱长为2a，则由 E 为棱CC1的中点，可得CE＝a，所以BE＝5a，BE 则 tan ∠EAB＝＝AB5a＝2a52．应选C．10．(2015 ·广东高考) 若空间中n 个不一样的点两两距离都相等，则正整数n 的取值() A．至多等于 3 B ．至多等于4C．等于 5 D ．大于 5答案B分析第一我们知道正三角形的三个极点知足两两距离相等，于是能够清除C ，D ．又注意到正四周体的四个极点也知足两两距离相等，于是清除A ，应选B ．11．(2016 ·山东高考 ) 已知直线 a ， b 分别在两个不一样的平面 α ， β 内，则“直线 a 和直线b 订交”是“平面α 和平面 β 订交”的()A ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要条件答案A分析因为直线 a 和直线 b 订交，所以直线 a 与直线 b 有一个公共点，而直线a ，b 分别在平面 α， β 内，所以平面 α 与 β 必有公共点，进而平面α 与 β 订交；反之，若平面 α 与 β 订交，则直线a 与直线b 可能订交、平行、异面．应选A ．三、模拟小题12．(2018 ·武昌调研 ) 已知直线 l 和平面 α ，不论直线 l 与平面 α 拥有如何的地点关系，在平面 α 内总存在一条直线与直线l ()A ．订交B ．平行C ．垂直D ．异面答案C分析当直线 l 与平面 α 平行时，在平面 α 内起码有一条直线与直线l 垂直，当直线l ? 平面 α 时，在平面 α 内起码有一条直线与直线l 垂直，当直线 l 与平面 α 订交时，在平面 α 内起码有一条直线与直线 l 垂直，所以不论直线 l 与平面 α 拥有如何的地点关系，在平面 α 内总存在一条直线与直线l 垂直．13．(2018 ·福州五校联考 ) 如图，已知在正方体 ABCD － A 1B 1C 1D 1 中，AC ∩ BD ＝F ，DC 1∩ CD 1＝，则直线 EF 是平面 1 与 ( )E ACDA ．平面 BDB 1的交线B ．平面 BDC 1的交线C ．平面 ACB 1的交线D ．平面 ACC 1的交线答案B分析连结 BC 1．因为 E ∈ DC 1， F ∈ BD ，所以 EF ? 平面 BDC 1，故平面ACD 1∩平面 BDC 1＝EF ．应选 B ．14．(2018 ·湖北七市 ( 州) 联考 ) 设直线 m 与平面 α 订交但不垂直，则以下说法中正确的是()A ．在平面 α 内有且只有一条直线与直线 m 垂直B ．过直线 m 有且只有一个平面与平面α 垂直C ．与直线 m 垂直的直线不行能与平面α 平行D ．与直线 m 平行的平面不行能与平面 α 垂直答案 B分析关于 A ，在平面 α 内可能有无数条直线与直线垂直，这些直线是相互平行的，mA 错误；关于B ，因为直线 m 与平面 α 订交但不垂直，所以过直线 m 必有而且也只有一个平面与平面 α 垂直， B 正确；关于 C ，近似于 A ，在平面 α 外可能有无数条直线垂直于直线 m而且平行于平面 α， C 错误；关于 D ，与直线 m 平行且与平面α 垂直的平面有无数个，D错误．应选 B ．15．(2018 ·兰州市高考实战模拟) 已知长方体－ 1 11 1中，1＝＝ 3，＝1，ABCD A B CDAAABAD则异面直线 B C 和 CD 所成角的余弦值为 ()116 6 2 3A ．4B ．3C ．6D ．6答案A分析如图，连结 A D ， A C ，由题易知B C ∥ A D ，∴∠ CDA 是异面直线 B C 与 CD 所成1 1 11 1 1 1 1 1的角，又1＝＝ 3，＝1，∴1＝2，1＝ 6， 11＝ 2，由余弦定理，得cos ∠ 1 1AA ABADA DDCA CCDA2226CD ＋AD －AC11114 ，应选 A ．＝2×1×1＝CD A D16．(2018 ·河北石家庄质检 ) 以下正方体或四周体中，，，，S 分别是所在棱的中P Q R点，这四点不共面的一个图是 ( )答案 D分析( 利用“经过两条平行直线，有且只有一个平面”判断 ) 对选项 A，易判断PR∥SQ，故点P，Q，R， S共面；对选项B，易判断 QR∥ SP，故点 P， Q，R，S 共面；对选项C，易判断 PQ∥SR，故点 P， Q， R， S 共面；而选项D中的 RS， PQ为异面直线，应选D．17．(2018 ·武汉调研 ) 如图为正方体表面的一种睁开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有 ________对．答案3分析体中，明显平面图形的翻折应注意翻折前后相对地点的变化，AB与 CD， EF与 GH， AB与 GH都是异面直线，而则 AB，CD，EF和 GH在原正方AB与 EF订交， CD与 GH订交，CD 与EF平行．故互为异面直线的有3 对．18．(2018 ·山西四校联考) 以下图，在空间四边形A－ BCD中，点 E，H分别是边 AB，CF CG2AD的中点，点 F，G分别是边 BC，CD上的点，且＝＝，则以下说法正确的选项是________．( 填CBCD3写全部正确说法的序号)①EF与 GH平行；② EF与 GH异面；③ EF与 GH的交点 M可能在直线 AC上，也可能不在直线 AC上；④ EF与 GH的交点 M必定在直线 AC上．答案④分析连结 EH，FG(图略)，依题意，可得 EH∥BD，FG∥ BD，故 EH∥FG，所以 E，F，G，12H共面．因为EH＝2BD，FG＝3BD，故 EH≠ FG，所以四边形EFGH是梯形， EF与 GH必订交，设交点为 M．因为点 M在 EF上，故点 M在平面 ACB上．同理，点 M在平面 ACD上，所以点 M 是平面 ACB与平面 ACD的交点，又 AC是这两个平面的交线，所以点 M必定在直线 AC上．一、高考大题1．(2017 ·全国卷Ⅲ) 如图，四周体ABCD中，△ ABC是正三角形， AD＝CD．(1)证明： AC⊥ BD；(2)已知△ ACD是直角三角形， AB＝ BD，若 E为棱 BD上与 D不重合的点，且 AE⊥ EC，求四周体 ABCE与四周体 ACDE的体积比．解 (1) 证明：如图，取AC的中点O，连结DO，BO．因为 AD＝ CD，所以 AC⊥ DO．又因为△ABC是正三角形，所以 AC⊥ BO．进而 AC⊥平面 DOB，故 AC⊥ BD．(2)连结 EO．由 (1) 及题设知∠ADC＝90°，所以DO＝ AO．222在 Rt△AOB中，BO＋AO＝AB．又 AB＝ BD，222222所以 BO＋ DO＝ BO＋AO＝ AB＝ BD，故∠ DOB＝90°．1由题设知△ AEC为直角三角形，所以EO＝2AC．1又△ ABC是正三角形，且AB＝ BD，所以 EO＝2BD．故E 为的中点，进而E到平面的距离为D到平面的距离的1ABCE，四周体BD ABC ABC21的体积为四周体ABCD的体积的2，即四周体 ABCE与四周体 ACDE的体积之比为1∶1．2．(2015 ·四川高考 ) 一个正方体的平面睁开图及该正方体的直观图的表示图以下图．(1)请将字母 F， G， H标志在正方体相应的极点处(不需说明原因)；(2)判断平面 BEG与平面 ACH的地点关系，并证明你的结论；(3)证明：直线 DF⊥平面 BEG．解 (1) 点F，G，H的地点以下图．(2)平面 BEG∥平面 ACH，证明以下：因为 ABCD－ EFGH为正方体，所以BC∥ FG，BC＝ FG，又 FG∥ EH， FG＝ EH，所以 BC∥ EH， BC＝ EH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以 BE∥ CH．又 CH?平面 ACH， BE?平面 ACH，所以BE∥平面ACH．同理BG∥平面ACH．又 BE∩ BG＝ B，所以平面 BEG∥平面 ACH．(3)证明：连结 FH．因为 ABCD－ EFGH为正方体，所以 DH⊥平面 EFGH．因为 EG?平面 EFGH，所以 DH⊥ EG．又 EG⊥ FH， DH∩ FH＝ H，所以 EG⊥平面BFHD．又 DF?平面 BFHD，所以 DF⊥ EG．同理 DF⊥ BG．又 EG∩ BG＝ G，所以 DF⊥平面BEG．二、模拟大题3．(2018 ·河南洛阳月考) 以下图，正方体ABCD－ A1 B1C1D1中， E， F 分别是 AB 和 AA1的中点．求证： (1) E，C，D1，F四点共面；(2)CE， D1F， DA三线共点．证明(1) 以下图，连结CD1， EF，A1B，∵ E，F 分别是 AB和 AA1的中点，1∴ FE∥A1B 且 EF＝2A1B．∵ A1D1綊 BC，∴四边形 A1BCD1是平行四边形，∴ A1B∥ D1C，∴ FE∥ D1C，∴ EF与 CD1可确立一个平面，即 E，C， D1， F 四点共面．1(2) 由 (1) 知EF∥CD1，且EF＝2CD1，∴四边形 CD1FE是梯形，∴直线 CE与 D1F 必订交，设交点为P，则 P∈CE?平面 ABCD，且P∈D1F?平面 A1 ADD1，∴ P∈平面 ABCD且 P∈平面 A1ADD1．又平面 ABCD∩平面 A1ADD1＝ AD，∴ P∈ AD，∴ CE， D1F， DA三线共点．4．(2018 ·河南焦作一模 ) 以下图，平面四边形ADEF所在的平面与梯形ABCD所在的平面垂直， AD⊥ CD，AD⊥ ED，AF∥ DE，AB∥ CD，CD＝2AB＝2AD＝2ED＝ xAF．(1)若四点 F， B， C， E 共面， AB＝ a，求 x 的值；(2)求证：平面 CBE⊥平面 EDB．解 (1) ∵AF∥DE，AB∥DC，AF∩AB＝A，DE∩DC＝D，∴平面 ABF∥平面 DCE．∵四点 F， B， C， E 共面，∴FB∥CE，∴△ ABF与△ DCE相像．2a∵ AB＝a，∴ ED＝ a， CD＝2a， AF＝x，2aAF AB x a由相像比得＝，即＝，所以x＝4．ED CD a2a(2)证明：不如设 AB＝1，则 AD＝AB＝1， CD＝2，在 Rt△BAD中，BD＝2，取CD中点为M，则MD与AB平行且相等，连结BM，可得△BMD 为等腰直角三角形，所以BC＝2，因为222BD＋ BC＝ CD，所以BC⊥ BD，又因为平面四边形ADEF所在的平面与梯形ABCD所在的平面垂直，平面ADEF∩平面ABCD＝ AD， ED⊥ AD，所以ED⊥平面ABCD，所以BC⊥ DE，又因为BD∩ DE＝ D，所以BC⊥平面EDB，因为BC?平面CBE，所以平面CBE⊥平面EDB．5．(2018 ·沈阳质检) 如图，在三棱锥S－ ABC中，平面SAB⊥平面SBC， AB⊥ BC， AS＝AB．过 A 作 AF⊥ SB，垂足为 F，点 E，G分别是棱 SA， SC的中点．求证：(1)平面 EFG∥平面 ABC；(2)BC⊥ SA．证明(1) 因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以 F 是 SB的中点．又因为 E 是 SA的中点，所以 EF∥ AB．因为 EF?平面 ABC， AB?平面 ABC，所以 EF∥平面 ABC．同理 EG∥平面 ABC．又 EF∩ EG＝ E，所以平面 EFG∥平面 ABC．(2)因为平面 SAB⊥平面 SBC，且交线为 SB，又 AF?平面 SAB， AF⊥ SB，所以 AF⊥平面 SBC，因为 BC?平面 SBC，所以 AF⊥ BC．又因为 AB⊥ BC， AF∩ AB＝A， AF，AB?平面 SAB，所以 BC⊥平面 SAB．因为 SA?平面 SAB，所以 BC⊥ SA．6．(2018 ·河南郑州模拟) 如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是边长为2 的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ ABC＝60°的菱形， M为 PC的中点．(1)求证： PC⊥ AD；(2)在棱 PB上能否存在一点 Q，使得 A， Q， M， D四点共面？若存在，指出点 Q的地点并证明；若不存在，请说明原因；(3)求点 D到平面 PAM的距离．解(1) 证明：取AD的中点O，连结OP，OC，AC，因为四边形ABCD是∠ ABC＝60°的菱形，所以∠ ADC＝60°， AD＝ CD，所以△ ACD是正三角形，所以 OC⊥ AD，又△ PAD是正三角形，所以 OP⊥ AD，又 OC∩ OP＝ O，OC?平面 POC， OP?平面 POC，所以 AD⊥平面 POC，又 PC?平面 POC，所以 PC⊥ AD．(2)存在．当点 Q为棱 PB的中点时， A， Q， M， D四点共面．证明以下：取棱PB的中点 Q，连结 QM， QA，因为 M为 PC的中点，所以 QM∥ BC，在菱形 ABCD中， AD∥ BC，所以 QM∥ AD，所以 A， Q， M，D四点共面．(3)点 D到平面 PAM的距离即为点 D到平面 PAC的距离，由 (1) 可知PO⊥AD，因为平面PAD⊥平面ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD＝ AD， PO?平面 PAD，所以 PO⊥平面 ABCD，即 PO为三棱锥 P－ ACD的高，在 Rt△POC中，PO＝OC＝ 3，则PC＝ 6，在△ PAC中， PA＝ AC＝2，PC＝6，2210，所以边 PC上的高 AM＝PA－ PM＝ 2111015△ PAC所以 S＝2PC·AM＝2×6× 2 ＝2，设点 D到平面 PAC的距离为 h，由 V D－PAC＝ V P－ACD，11得3S△PAC· h＝3S△ACD· PO，115132即3×2· h＝3×4×2× 3，解得＝215，所以点D到平面的距离为 2 15．h5PAM5。

2020高考数学(文数)考点测试刷题本41 空间点、直线、平面间的位置关系(含答案解析)

2020高考数学(文数)考点测试刷题本41空间点、直线、平面间的位置关系一、选择题1.已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β=c，那么直线c一定( )A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行2.若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值( )A．至多等于3 B．至多等于4C．等于5 D．大于53.已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.已知直线l和平面α，无论直线l与平面α具有怎样的位置关系，在平面α内总存在一条直线与直线l( )A．相交B．平行 C．垂直D．异面5.如图，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC∩BD=F，DC1∩CD1=E，则直线EF是平面ACD1与( )A．平面BDB1的交线B．平面BDC1的交线C．平面ACB1的交线D．平面ACC1的交线6.设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是( )A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直7.下列正方体或四面体中，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四点不共面的一个图是( )8.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为( )A ．22B ．32C ．52D ．72二、填空题9.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1 cm,过AC 作平行于对角线BD 1的截面,则截面面积为 cm 2.10.如图所示，在空间四边形A －BCD 中，点E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，点F ，G 分别是边BC ，CD 上的点，且CF CB =CG CD =23，则下列说法正确的是________．(填写所有正确说法的序号)①EF 与GH 平行；②EF 与GH 异面；③EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上；④EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上．11.如图，已知圆柱的轴截面ABB 1A 1是正方形，C 是圆柱下底面弧AB 的中点，C 1是圆柱上底面弧A 1B 1的中点，那么异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为________.12.如图，E 是正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱C 1D 1上的一点，且BD 1∥平面B 1CE ，则异面直线BD 1与CE 所成角的余弦值为________．三、解答题13.如图，△ABC中，AC=BC=22AB，四边形ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，G，F分别是EC，BD的中点．(1)求证：GF∥底面ABC；(2)求几何体ADEBC的体积．14.如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，E是PB的中点．(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；(2)若PC=2，求三棱锥CPAB的高．15.如图，四棱锥PABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB.(1)求证：CD⊥AP；(2)若CD⊥PD，求证：CD∥平面PAB.16.如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．(1)证明：AC⊥BD；(2)已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．答案解析1.答案为：C；解析：如果c与a，b都平行，那么由平行线的传递性知a，b平行，与异面矛盾．故选C．2.答案为：B；解析：首先我们知道正三角形的三个顶点满足两两距离相等，于是可以排除C，D．又注意到正四面体的四个顶点也满足两两距离相等，于是排除A，故选B．3.答案为：A；解析：因为直线a和直线b相交，所以直线a与直线b有一个公共点，而直线a，b分别在平面α，β内，所以平面α与β必有公共点，从而平面α与β相交；反之，若平面α与β相交，则直线a与直线b可能相交、平行、异面．故选A．4.答案为：C；解析：当直线l与平面α平行时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直，当直线l⊂平面α时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直，当直线l与平面α相交时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直，所以无论直线l与平面α具有怎样的位置关系，在平面α内总存在一条直线与直线l垂直．5.答案为：B；解析：连接BC1．因为E∈DC1，F∈BD，所以EF⊂平面BDC1，故平面ACD1∩平面BDC1=EF．故选B．6.答案为：B；解析：对于A，在平面α内可能有无数条直线与直线m垂直，这些直线是互相平行的，A错误；对于B，因为直线m与平面α相交但不垂直，所以过直线m必有并且也只有一个平面与平面α垂直，B正确；对于C，类似于A，在平面α外可能有无数条直线垂直于直线m并且平行于平面α，C错误；对于D，与直线m平行且与平面α垂直的平面有无数个，D错误．故选B．7.答案为：D；解析：(利用“经过两条平行直线，有且只有一个平面”判断)对选项A，易判断PR∥SQ，故点P，Q，R，S共面；对选项B，易判断QR∥SP，故点P，Q，R，S共面；对选项C，易判断PQ∥SR，故点P，Q，R，S共面；而选项D中的RS，PQ为异面直线，故选D．8.答案为：C ；解析：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，CD ∥AB ，所以异面直线AE 与CD 所成的角为∠EAB ，设正方体的棱长为2a ，则由E 为棱CC 1的中点，可得CE=a ，所以BE=5a ，则tan ∠EAB=BE AB =5a 2a =52．故选C ．一、填空题9.答案解析如图所示,截面ACE ∥BD 1,平面BDD 1∩平面ACE=EF,其中F 为AC 与BD 的交点,∴E 为DD 1的中点,计算可得AE=CE= cm,AC=cm,则EF ⊥AC,EF= cm,∴S △ACE =××=(cm 2).10.答案为：④；解析：连接EH ，FG(图略)，依题意，可得EH ∥BD ，FG ∥BD ，故EH ∥FG ，所以E ，F ，G ，H 共面．因为EH=12BD ，FG=23BD ，故EH≠FG，所以四边形EFGH 是梯形，EF 与GH 必相交，设交点为M ．因为点M 在EF 上，故点M 在平面ACB 上．同理，点M 在平面ACD 上，所以点M 是平面ACB 与平面ACD 的交点，又AC 是这两个平面的交线，所以点M 一定在直线AC 上．11.答案为：12.答案为：155；解析：不妨设正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为2，连接BC 1，设B 1C∩BC 1=O ，连接EO ，如图所示，在△BC 1D 1中，当点E 为C 1D 1的中点时，BD 1∥OE ，则BD 1∥平面B 1CE ，据此可得∠OEC 为直线BD 1与CE 所成的角．在△OEC 中，边长EC=5，OC=2，OE=3，由余弦定理可得cos ∠OEC=3＋5－223×5=155.即异面直线BD 1与CE 所成角的余弦值为155.二、解答题13.解：(1)证明：如图，取BC 的中点M ，AB 的中点N ，连接GM ，FN ，MN.∵G ，F 分别是EC ，BD 的中点，∴GM ∥BE ，且GM=12BE ， NF ∥DA ，且NF=12DA. 又四边形ABED 为正方形，∴BE ∥AD ，BE=AD ，∴GM ∥NF 且GM=NF.∴四边形MNFG 为平行四边形．∴GF ∥MN ，又MN ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ，∴GF ∥平面ABC.(2)连接CN ，∵AC=BC ，∴CN ⊥AB ，又平面ABED ⊥平面ABC ，CN ⊂平面ABC ，∴CN ⊥平面ABED.易知△ABC 是等腰直角三角形，∴CN=12AB=12， ∵CABED 是四棱锥，∴V CABED =13S 四边形ABED ·CN =13×1×12=16.14.解：(1)证明：因为PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥PC.因为AB=2，AD=CD=1，所以AC=BC=2，所以AC 2＋BC 2=AB 2，故AC ⊥BC.又BC∩PC=C，所以AC ⊥平面PBC.因为AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC.(2)由PC=2，PC ⊥CB ，得S △PBC =12×(2)2=1. 由(1)知，AC 为三棱锥APBC 的高．易知Rt △PCA ≌Rt △PCB ≌Rt △ACB ，则PA=AB=PB=2，于是S △PAB =12×22sin 60°= 3. 设三棱锥CPAB 的高为h ，则13S △PAB ·h=13S △PBC ·AC，13×3h=13×1×2，解得h=63，故三棱锥CPAB 的高等于63.15.证明：(1)因为AD ⊥平面PAB ，AP ⊂平面PAB ，所以AD ⊥AP.又AP ⊥AB ，AB∩AD=A，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以AP ⊥平面ABCD.因为CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥AP.(2)由(1)知CD ⊥AP ，因为CD ⊥PD ，PD∩AP=P，PD ⊂平面PAD ，AP ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD.①因为AD ⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以AB ⊥AD.又AP ⊥AB ，AP∩AD=A，AP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD.②由①②得CD ∥AB ，因为CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD ∥平面PAB.16.解：(1)证明：如图，取AC 的中点O ，连接DO ，BO ．因为AD=CD ，所以AC ⊥DO ．又由于△ABC 是正三角形，所以AC ⊥BO ．从而AC ⊥平面DOB ，故AC ⊥BD ．(2)连接EO ．由(1)及题设知∠ADC=90°，所以DO=AO ．在Rt △AOB 中，BO 2＋AO 2=AB 2．又AB=BD ，所以BO 2＋DO 2=BO 2＋AO 2=AB 2=BD 2，故∠DO B=90°．由题设知△AEC 为直角三角形，所以EO=12AC ．又△ABC 是正三角形，且AB=BD ，所以EO=12BD ．故E 为BD 的中点，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1∶1．。

空间点、直线、平面之间的位置关系高中数学例题课后习题详解

8.4空间点、直线、平面之间的位置关系8.4.1平面练习1.判断下列命题是否正确，正确的画“√”，错误的画“×”.（1）书桌面是平面.（2）平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点.（3）如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合.【答案】（1）×；（2）×；（3）√.【解析】【分析】根据平面性质可知（1）错误，根据公理2知（2）错误，根据公理3可判断（3）正确.【详解】（1）由平面性质知，平面具有无限延展性，所以桌面只是平面一部分，不是平面；（2）根据公理2可知，若两个平面有一个共点，则有过该点的唯一交线，可知有无限个公共点，且在一条直线上，故判断错误；根据公理3，不共线的三个点确定一个平面，因此两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合，正确.【点睛】本题主要考查了平面的基本性质，属于容易题.2.下列命题正确的是（）A.三点确定一个平面B.一条直线和一个点确定一个平面C.梯形可确定一个平面D.圆心和圆上两点确定一个平面【答案】C【解析】【分析】根据公理2对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，三个不在同一条直线上的点，确定一个平面，故A选项错误.对于B选项，直线和直线外一点，确定一个平面，故B选项错误.对于C选项，两条平行直线确定一个平面，梯形有一组对边平行，另一组对边不平行，故梯形可确定一个平面，所以C选项正确.对于D选项，圆的直径不能确定一个平面，所以若圆心和圆上的两点在直径上，则无法确定一个平面.所以D 选项错误.故选：C【点睛】本小题主要考查公理2的理解和运用，属于基础题.3.不共面的四点可以确定几个平面？请画出图形说明你的结论.【答案】4个【解析】【分析】画出空间四边形，可以得到确定的平面个数.【详解】可确定4个平面，如图：由不共线的三个点确定一个平面可知，不共线的四个点可确定平面ABC ,平面ACD ,平面ABD ,平面BCD ，共4个平面.【点睛】本题主要考查了不共线的三个点确定一个平面，属于容易题.4.用符号表示下列语句，并画出相应的图形：（1）点A 在平面α内，点B 在平面α外；（2）直线a 经过平面α外的一点M ；（3）直线a 既在平面α内，又在平面β内.【答案】（1）,A B αα∈∉，如图.（2）,M M a α∉∈，如图.（3）,a a αβ⊂⊂，如图.【解析】【分析】根据点线面的关系，借用集合符号，表示即可.【详解】（1）,A B αα∈∉，如图：（2）,M M a α∉∈，如图：（3）,a a αβ⊂⊂或=a αβI ，如图：【点睛】本题主要考查了空间几何中的符号语言，属于容易题.8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系例1：如图8.4-16，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系.分析：根据图形，先判断直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来.解：在（1）中， l αβ= ，a A α= ，a B β⋂=.在（2）中，l αβ= ，a α⊂，b β⊂，a l P = ，b l P = ，a b P = .例2：如图8.4-17，AB B α⋂=，A αÏ，a α⊂，B a ∉.直线AB 与a 具有怎样的位置关系？为什么？解：直线AB 与a 是异面直线.理由如下.若直线AB 与直线a 不是异面直线，则它们相交或平行.设它们确定的平面为β，则B β∈，a β⊂.由于经过点B 与直线a 有且仅有一个平面α，因此平面α与β重合，从而AB α⊂，进而A α∈，这与A αÏ矛盾.所以直线AB 与a 是异面直线.练习5.如果两条直线a 与b 没有公共点，那么a 与bA.共面B.平行C.异面D.平行或异面【答案】D【解析】【分析】根据空间中直线与直线的位置关系的定义即可判断出直线a 与b 的位置关系.【详解】如果两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，则a 与b 平行或异面.故选：D.【点睛】本题考查空间中两直线位置关系的判断，属于基础题.6.设直线a b ，分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则a 与b （）A.平行B.相交C.是异面直线D.可能相交，也可能是异面直线【答案】D【解析】【分析】按直线的三种位置关系分析．【详解】如图，长方体ABCD A B C D ''''-中，当'A B 所在直线为a ，BC '所在直线为b 时，a 与b 相交；当'A B 所在直线为a ，B C '所在直线为b 时，a 与b 异面.故选：D.【点睛】本题考查空间两条直线间的位置关系，属于基础题．7.如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中，判定直线AB 与AC ，直线AC 与A C ''，直线A B '与AC ，直线A B '与C D '的位置关系.【答案】见解析【解析】【分析】按直接的三种位置关系判断．【详解】解：直线AB 与AC 相交；直线AC 与A C ''平行；直线A B '与AC 异面；直线A B '与C D '异面.【点睛】本题考查空间两条直线间的位置关系，属于基础题．8.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.（1）若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l α.（）（2）若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行.（）（3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.（）（4）若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点.（）【答案】（1）×（2）×（3）×（4）√【解析】【分析】（1）举反例说明；（2）分析三种位置关系的可能性．由线面平行的性质定理得平行线，平面内与这平行相交的直线，与平面外的那条直线异面；（3）把与平行平行的直线平移，观察与平面的位置关系；（4）由线面平行的定义判断．【详解】（1）当直线1与平面α相交时，直线1上也有无数个点不在平面α内；（2）也可能异面；（3）也可能直线在平面内；（4）∵1∥a ，∴l 与α没有公共点，∴l 与α内任意一条直线都没有公共点.答案：（1）×（2）×（3）×（4）√【点睛】本题考查线面平行的定义与性质．掌握线面平行的定义是解题基础．9.已知直线,a b ，平面,αβ，且a α⊂，b β⊂，//αβ．判断直线,a b 的位置关系，并说明理由．【答案】它们是平行直线或异面直线；答案见解析．【解析】【分析】利用反证法，根据两条直线交点的个数，可判断其位置关系；【详解】直线,a b 的位置关系是平行直线或异面直线；理由如下：由//αβ，直线,a b 分别在平面α，β内，可知直线,a b 没有公共点．因为若,a b 有公共点，那么这个点也是平面α，β的公共点，这与是平面α，β平行矛盾．因此直线,a b 不相交，它们是平行直线或异面直线．习题8.4复习巩固10.画出满足下列条件的图形：（1）,,,a b a b A c A ααα⊂⊂⋂=⋂=；（2）,,,//,//l AB CD AB l CD lαβαβ⋂=⊂⊂【答案】见解析【解析】【分析】由题意直接画图即可.【详解】如图【点睛】本题主要考查的是空间图形的画法，直线和平面的位置关系，基本知识的考查，是基础题.11.经过同一条直线上的3个点的平面A.有且只有一个B.有且只有3个C.有无数多个D.不存在【答案】C【解析】【分析】根据平面的性质，直接判定即可得出结果.【详解】经过一条直线可以作无数多个平面.故选：C.【点睛】本题主要考查由线确定平面的数量，熟记基础题型.12.若直线a 不平行于平面α且a α⊄，则下列结论成立的是A.平面α内的所有直线与a 异面B.平面α内不存在与a 平行的直线C.平面α内存在唯一的直线与a 平行D.平面α内的直线与a 都相交【答案】B【解析】【分析】由题意知直线a 与平面α相交，依次判断选项即可.【详解】解:由条件知直线a 与平面α相交，则平面α内的直线与a 可能相交，也可能异面.不可能平行故选:B.【点睛】本题考查判断直线与平面相交，属于基础题.13.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”（1）两两相交且不共点的三条直线确定一个平面.（）（2）四边形可以确定一个平面.（）（3）若a ，b 是两条直线，,αβ是两个平面，且,a b αβ⊂⊂，则a ，b 是异面直线.（）【答案】①.√②.×③.×【解析】【分析】根据空间中的平面公理与推理，以及异面直线的定义，对命题进行判断即可.【详解】对于(1)，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面,如三角形所在的三边确定一个平面，(1)正确；对于(2)，当四边形是空间四边形时不能确定一个平面，(2)错误；对于(3)，若a ，b 是两条直线，,αβ是两个平面，且,a b αβ⊂⊂，则a ，b 是平行、相交、异面直线，(3)错误.【点睛】本题主要考查的是平面公理与推论的应用问题以及异面直线的判定，是基础题.14.填空题（1）如果a 、b 是异面直线，直线c 与a 、b 都相交，那么这三条直线中的两条所确定的平面共有_______个；（2）若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一个平面的位置关系是________；（3）已知两条相交直线a 、b ，且//a 平面α，则b 与α的位置关系是__________．【答案】①.2②.直线平行于平面或直线在平面内③.//b α或b 与α相交【分析】（1）根据两相交直线可确定一个平面可得解；（2）利用图形可判断直线与平面的位置关系；（3）利用图形可判断b 与α的位置关系.【详解】（1）因为a 、b 是异面直线，直线c 与a 、b 都相交，则c 与a 、c 与b 可分别确定一个平面，故这三条直线中的两条所确定的平面共有2个；（2）若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线在这个平面内或这条直线与平面平行，如下图所示：已知//αβ，//a α，则//a β（如图1），a β⊂（如图2）.（3）已知两条相交直线a 、b ，且//a 平面α，如下图所示：如图3所示，可知//b α，如图4所示，b 与α相交.故答案为：（1）2；（2）直线与平面平行或直线在平面内；（3）//b α或b 与α相交.15.正方体各面所在平面将空间分成几部分？【答案】27个部分【分析】根据题意画出图形即可得出答案.【详解】如图，图中画出了正方体最上层把空间分成9个部分，同理中层、下层也分别把空间分成9个部分，因此共将空间分成27个部分.【点睛】本题主要考查的是平面基本性质，正确理解确定平面的几个公理及由题意画出图形且有较强的空间想象能力是解题的关键，是中档题.综合运用16.如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共面吗？请说说你的理由.【答案】共面，理由见解析【解析】【分析】先说明两条平行直线确定一个平面，再证第三条直线在这个平面内即可.【详解】共面.两条平行直线确定唯一的平面，又第三条直线与两条平行直线都相交，第三条直线有两个点在此平面内，则第三条直线也在这个平面内，所以这三条直线共面.【点睛】本题主要考查的线共面的判定，以及学生对平面基本性质的理解和应用，是基础题.17.如图，三条直线两两平行且不共面，每两条直线确定一个平面，一共可以确定几个平面？如果三条直线相交于一点，它们最多可以确定几个平面？【答案】三条直线两两平行且不共面，一共可以确定三个平面；如果三条直线相交于一点，则最多可以确定三个平面.【解析】【分析】这三条直线象三棱柱的三条侧棱根据平面的基本性质可以确定3个平面，得到结果；满足相交于一点的三条直线能够确定一个平面或三个平面，从而得出其最多可以确定几个平面.【详解】①三条直线两两平行，这三条直线象三棱柱的三条侧棱，其中每两条直线可以确定一个平面,则可以确定3个平面；②三条直线两两相交每两条确定一个平面，当这三条直线在同一个平面时则可以确定1个平面；当这三条直线不在同一个平面时，则可以确定3个平面；这三条直线能够确定一个平面或三个平面,最多可以确定3个平面.【点睛】本题考查查平面的基本性质及其应用，考查进行简单的合情推理，本题是一个推论应用问题，是一个基础题.18.已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线.【答案】证明见解析【解析】【分析】推导出P，Q，R都在平面ABC与平面α的交线上，即可证明.【详解】证明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由基本事实3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上.∴P，Q，R三点共线.法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线.拓广探索19.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么在AB，CD，EF，GH这四条线段中，哪些线段所在直线是异面直线？【答案】直线EF和直线HG，直线AB和直线HG，直线AB和直线CD.【解析】【分析】首先将正方体的展开图还原成正方体，由经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线，进行判断.【详解】还原正方体如图，由经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不进过该点的直线是异面直线可得，AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线为：直线EF和直线HG，直线AB和直线HG，直线AB和直线CD.【点睛】本题考查的是异面直线的判定，将正方体的展开图还原成正方体，再利用异面直线的判定定理判断是解题的关键，是基础题.20.在本节，我们学习了平面，了解了它的基本特征以及一些利用点、直线、平面等组成立体图形的基本元素刻画这些特征的方法，类似地，直线有什么基本特征？如何刻画直线的这些基本特征？【答案】答案见解析.【解析】【分析】写出直线的特点：直的，无限延伸，无粗细，不可以测量长度，再指出直线的对称性即可.【详解】直线的基本特征：直线是直的，没有粗细，没有端点，可以向两端无线延展、不可以测量长度；刻画直线的基本特征：直线是轴对称图形，它有无数条对称轴，直线本身以及与它垂直的直线都是它的对称轴.变式练习题21.如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，点G，H分别在边CD，DA上，且满足12CG GD，DH＝2HA.求证：四边形EFGH为梯形．【答案】证明见解析【解析】【分析】利用条件证明,EF HG互相平行，且不相等即可证得四边形为梯形.【详解】证明：因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF12AC = .又21DHHA=，21DGGC=，所以DH DGHA GC=，从而HG23AC=，所以EF∥HG且EF≠HG，故四边形EFGH为梯形．22.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，M，N分别为AD，AB，C1D1，B1C1的中点．求证：A1P∥CN，A1Q∥CM，且∠PA1Q＝∠MCN.【答案】证明见解析【解析】【分析】根据平行四边形的性质及等角定理，即可得到答案；【详解】证明：如图，取A1B1的中点K，连接BK，KM.易知四边形MKBC为平行四边形，所以CM∥BK.因为A1K∥BQ且A1K＝BQ，所以四边形A1KBQ为平行四边形，从而A 1Q ∥BK .由基本事实4有A 1Q ∥CM .同理可证A 1P ∥CN .因为∠PA 1Q 与∠MCN 对应边分别平行，且方向相反，所以∠PA 1Q ＝∠MCN .23.如图，P 是△ABC 所在平面外一点，D ，E 分别是△PAB 和△PBC 的重心．求证：D ，E ，A ，C 四点共面且DE ＝13AC .【答案】证明见解析【解析】【分析】如图，连接PD ，PE 并延长，分别交AB ，BC 于点M ，N ，连接MN ，证明DE ∥MN 且DE ＝23MN ，原题即得证.【详解】证明：如图，连接PD ，PE 并延长，分别交AB ，BC 于点M ，N ，因为D ，E 分别是△PAB ，△PBC 的重心，所以M ，N 分别是AB ，BC 的中点，连接MN ，则MN ∥AC 且MN ＝12AC .在△PMN 中，因为23PD PE PM PN ==，所以DE ∥MN 且DE ＝23MN .所以DE ∥AC 且DE ＝23×12AC ＝13AC .则D ，E ，A ，C 四点共面．24.如图，在四面体ABCD 中，E ，G 分别为BC ，AB 的中点，点F 在CD 上，点H 在AD 上，且有DF ∶FC ＝1∶3，DH ∶HA ＝1∶3.求证：EF ，GH ，BD 交于一点．【答案】证明见解析【解析】【分析】利用基本事实4和基本事实2可证三线共点.【详解】证明连接GE ，HF .因为E ，G 分别为BC ，AB 中点，所以1//2GE AC .因为DF ∶FC ＝1∶3，DH ∶HA ＝1∶3，所以1//3HF AC .从而GE ∥HF 且GE HF ≠，故G ，E ，F ，H 四点共面且四边形EFHG 为梯形，因为EF 与GH 不能平行，设EF ∩GH ＝O ，则O ∈平面ABD ，O ∈平面BCD .而平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，所以EF ，GH ，BD 交于一点．25.在长方体1111ABCD A B C D -中，（1）直线1A B 与直线1D C 的位置关系是___________；（2）直线1A B 与直线1B C 的位置关系是_______________；（3）直线1D D 与直线1D C 的位置关系是______________；（4）直线AB 与直线1B C 的位置关系是______________.【答案】①.平行.②.异面.③.相交.④.异面.【解析】【分析】（1）根据题意得出四边形11A BCD 为平行四边形，即可得出结论；（2）根据异面直线的定义判断即可；（3）直线1D D 与直线1D C 相交于一点，则直线1D D 与直线1D C 的位置关系是相交；（4）根据异面直线的定义判断即可.【详解】（1）在长方体1111ABCD A B C D -中，11//A D BC ，四边形11A BCD 为平行四边形.11//A B D C ∴.（2）直线1A B 与直线1B C 不同在任何一个平面内，所以直线1A B 与直线1B C 的位置关系是异面.（3）直线1D D 与直线1D C 相交于点1D ，所以直线1D D 与直线1D C 的位置关系是相交.（4）直线AB 直线1B C 不同在任何一个平面内，所以直线AB 与直线1B C 的位置关系是异面.故答案为：(1)平行；(2)异面；(3)相交；(4)异面【点睛】本题主要考查了判断直线与直线的位置关系，属于基础题.26.如图所示，G 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 延长线上的一点，E ，F 是棱AB ，BC 的中点，试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线．（1）过点G 及AC .（2）过三点E ，F ，1D .【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）连接GA 交11A D 于点M ，连接GC 交11C D 于点N ；连接MN ，AC ，由图可得交线；（2）根据公理，连接EF 分别交DC 、DA 的延长线于点P ，Q ，连接1D P 交1CC 于点M ，连接1D Q 交1AA 于点N ；连接MF ，NE 由图可得交线.【小问1详解】连接GA 交11A D 于点M ，连接GC 交11C D 于点N ；连接MN ，AC ，则MA ，CN ，MN ，AC 为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示．【小问2详解】连接EF 交DC 的延长线于点P ，交DA 的延长线于点Q ；连接1D P 交1CC 于点M ，连接1D Q 交1AA 于点N ；连接MF ，NE ，则1D M ，MF ，FE ，EN ，1ND 为所求平面与正方体表面的交线．如图②所示．。

2020-2021学年高考数学(理)考点：空间点、直线、平面之间的位置关系

考点梳理概念方法微思考真题演练)故选．D 6．（2020•新课标Ⅲ）如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且1111ABCD A B C D -E F 1DD 1BB ，．证明：12DE ED =12BF FB =（1）当时，；AB BC =EF AC ⊥（2）点在平面内．1C AEF【解析】（1）因为是长方体，所以平面，而平面，1111ABCD A B C D -1BB ⊥ABCD AC ⊂ABCD 所以，1AC BB ⊥因为是长方体，且，所以是正方形，所以，又1111ABCD A B C D -AB BC =ABCD AC BD ⊥．1BD BB B = 所以平面，又因为点，分别在棱，上，所以平面，AC ⊥11BB D D E F 1DD 1BB EF ⊂11BB D D 所以．EF AC ⊥（2）取上靠近的三等分点，连接，，．1AA 1A M 1D M 1C F MF 因为点在，且，所以，且，E 1DD 12DE ED =//ED AM ED AM =所以四边形为平行四边形，所以，且，1AED M 1//D M AE 1D M AE =又因为在上，且，所以，且，F 1BB 12BF FB =11//A M FB 11A M FB =所以为平行四边形，11A B FM所以，，即，，11//FM A B 11FM A B =11//FM C D 11FM C D =所以为平行四边形，11C D MF 所以，11//D M C F 所以，所以，，，四点共面．1//AE C F A E F 1C 所以点在平面内．1C AEF7．（2019•新课标Ⅲ）图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中ADEB Rt ABC ∆BFGC ，，．将其沿，折起使得与重合，连结，1AB =2BE BF ==60FBC ∠=︒AB BC BE BF DG 如图2．（1）证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面；A C G D ABC ⊥BCGE （2）求图2中的四边形的面积．ACGD 【解析】（1）证明：由已知可得，，即有，//AD BE //CG BE //AD CG 则，确定一个平面，从而，，，四点共面；AD CG A C G D 由四边形为矩形，可得，ABED AB BE ⊥强化训练1，∴所以的最大值1；sin α故选．A 17．（2020•让胡路区校级三模）在长方体中，，，分别为棱，，1111ABCD A B C D -E F G 1AA 11C D 的中点，，则异面直线与所成角的大小为 1DD 12AB AA AD ==EF BG ()A ．B ．C ．D ．30︒60︒90︒120︒【答案】C【解析】如图，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向D DA DC 1DDx y z 建立空间直角坐标系，D xyz -设，则，0，，，1，，，0，，，2，，1AD =(1E 1)(0F 2)(0G 1)(1B 0)所以，，(1,1,1)EF =- (1,2,1)BG =--，所以，0EF BG = EF BG ⊥ 所以异面直线与所成角的大小为．EF BG 90︒故选．C 18．（2020•东湖区校级三模）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列m n αβ命题：①若，，则；②若，，则；m α⊥//n αm n ⊥//m n n α⊂//m α③若，，，则； ④若，，则．//m α//n β//αβ//m n m β⊥//m ααβ⊥其中所有正确命题的序号是 ()A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④【答案】D【解析】由，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，知：m n αβ对于①，若，，则由线面垂直的性质和线面平行的性质得，故①正确；m α⊥//n αm n ⊥对于，，则与相交、平行或，故错误．D m n ⊥m αm α⊂D 故选．C 22．（2020•镇海区校级模拟）设，是两条异面直线，则下列命题中正确的是 m n ()A ．过且与垂直的平面有且只有一个m n B ．过且与平行的平面有且只有一个m n C ．过空间一点与，都平行的平面有且只有一个P m n D ．过空间一点与，都垂直的平面有且只有一个P m n 【答案】B【解析】对于，设过的平面，若，则，A m βn β⊥n m ⊥若与不垂直，则不存在过的平面与垂直，故不正确；∴m n m βn A 对于，过上一点作的平行直线，则与确定一平面，B m P n l m l α由，，故，故正确；l α⊂n α⊂///n αB 对于，当点与，中一条确定的平面与另一条直线平行时，C P m n 满足条件的平面不存在，故错误；C 对于，过空间一点与，都垂直的平面不存在，故错误．D P m n D 故选．B 23．（2020•黑龙江三模）已知四棱锥所有的棱都相等，过与平行的平面与交S ABCD -BD SC SA 于点，则与所成角的大小是 E BE CD ()A ．B ．C ．D ．30︒45︒60︒90︒【答案】A 【解析】如图所示，设与交于点，连接，AC BD O OE。

高三数学空间点、直线、平面之间的位置关系练习题(含答案)

空间点、直线、平面之间的位置关系建议用时：45分钟一、选择题1．下列命题中，真命题的个数为()①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l.A．1B．2C．3D．4B[根据公理2，可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；在空间，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故③是假命题；根据平面的性质可知④是真命题．综上，真命题的个数为2.] 2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．垂直A[由BC AD，AD A1D1知，BC A1D1，从而四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，又EF⊂平面A1BCD1，EF∩D1C＝F，则A1B与EF相交．] 3．a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是()A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，则a∥cC[对于A，B，D，a与c可能相交、平行或异面，因此A，B，D不正确，根据异面直线所成角的定义知C正确．]4．在空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH相交于点P，那么()A．点P必在直线AC上B．点P必在直线BD上C．点P必在平面DBC内D．点P必在平面ABC外A[如图，因为EF⊂平面ABC，而GH⊂平面ADC，且EF和GH相交于点P，所以点P在两平面的交线上，因为AC是两平面的交线，所以点P必在直线AC上．]5．如图所示，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.15 B.25C.35 D.45D[连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，则A1C1＝2，A1B＝BC1＝5，在△A1BC1中，由余弦定理得cos∠A1BC1＝5＋5－22×5×5＝4 5.]二、填空题6．已知AE是长方体ABCD-EFGH的一条棱，则在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱共有条．4[作出长方体ABCD-EFGH.在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱有：GH、GF、BC、CD.共4条．]7．已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点．若AB＝2，CD ＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成角的度数为．30°[如图，设G为AD的中点，连接GF，GE，则GF，GE分别为△ABD，△ACD的中位线．由此可得GF∥AB，且GF＝12AB＝1，GE∥CD，且GE＝12CD＝2，∴∠FEG或其补角即为EF与CD所成的角．又∵EF⊥AB，GF∥AB，∴EF⊥GF.因此，在Rt△EFG中，GF＝1，GE＝2，sin∠GEF＝GFGE＝12，可得∠GEF＝30°，∴EF与CD所成角的度数为30°.]8．如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC 的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是．②③④[如图，把平面展开图还原成正四面体，知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE与MN垂直，故②③④正确．]三、解答题9．已知空间四边形ABCD(如图所示)，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝13BC，CH＝13DC.求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)三直线FH，EG，AC共点．[证明](1)连接EF，GH，因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF∥BD.又因为CG ＝13BC ，CH ＝13DC ，所以GH ∥BD ，所以EF ∥GH ，所以E ，F ，G ，H 四点共面．(2)易知FH 与直线AC 不平行，但共面，所以设FH ∩AC ＝M ，所以M ∈平面EFHG ，M ∈平面ABC . 又因为平面EFHG ∩平面ABC ＝EG ，所以M ∈EG ，所以FH ，EG ，AC 共点．10．如图所示，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，P A ＝2.求：(1)三棱锥P -ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值． [解] (1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P -ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·P A ＝13×23×2＝43 3.(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE 是异面直线BC 与AD 所成的角(或其补角)．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34.故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.1．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2BB1，则AB1与BC1所成角的大小为()A．30°B．60°C．75°D．90°D[将正三棱柱ABC-A1B1C1补为四棱柱ABCD-A1B1C1D1，连接C1D，BD，则C1D∥B1A，∠BC1D为所求角或其补角．设BB1＝2，则BC＝CD＝2，∠BCD ＝120°，BD＝23，又因为BC1＝C1D＝6，所以∠BC1D＝90°.]2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱CC1，A1D1的中点，则异面直线A1B与MN所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°A[如图，取C1D1的中点P，连接PM，PN，CD1.因为M为棱CC1的中点，P为C1D1的中点，所以PM∥CD1，所以PM∥A1B，则∠PMN是异面直线A1B与MN所成角的平面角．设AB＝2，在△PMN中，PM＝PN＝2，MN＝6，则cos∠PMN＝2＋6－22×2×6＝32，即∠PMN＝30°.故选A.]3.如图所示，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ与CB的延长线交于点M，RQ与DB的延长线交于点N，RP与DC的延长线交于点K.给出以下命题：①直线MN⊂平面PQR；②点K在直线MN上；③M，N，K，A四点共面．其中正确结论的序号为．①②③[由题意知，M∈PQ，N∈RQ，K∈RP，从而点M，N，K∈平面PQR.所以直线MN⊂平面PQR，故①正确．同理可得点M，N，K∈平面BCD.从而点M，N，K在平面PQR与平面BCD的交线上，即点K在直线MN上，故②正确．因为A∉直线MN，从而点M，N，K，A四点共面，故③正确．]4．如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．(1)求四棱锥O-ABCD的体积；(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值．[解](1)由已知可求得正方形ABCD的面积S＝4，所以四棱锥O-ABCD的体积V＝13×4×2＝83.(2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，又M为OA中点，∴ME∥OC，则∠EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角，由已知可得DE＝2，EM＝3，MD＝5，∵(2)2＋(3)2＝(5)2，即DE2＋EM2＝MD2，∴△DEM为直角三角形，且∠DEM＝90°，∴tan∠EMD＝DEEM＝23＝63.∴异面直线OC与MD所成角的正切值为6 3.5．如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠F AB＝90°，BC 12AD，BE12F A，G，H分别为F A，FD的中点．(1)求证：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？[解](1)证明：由题设知，FG＝GA，FH＝HD，所以GH 12AD.又BC 12AD，故GH BC.所以四边形BCHG是平行四边形．(2)C，D，F，E四点共面．理由如下：由BE 12F A，G是F A的中点知，BE GF，所以EF BG.由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC，FH共面．又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面．1．平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD ＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为()A.32 B.22C.33 D.13A[根据平面与平面平行的性质，将m，n所成的角转化为平面CB1D1与平面ABCD的交线及平面CB1D1与平面ABB1A1的交线所成的角．设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1.∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m.又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥m1.∴B1D1∥m.∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，同理可证CD1∥n.因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，故直线B1D1与CD1所成角为60°，其正弦值为3 2.]2．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.15 B.56C.55 D.22C[如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体EFBA-E1F1B1A1.连接B1F，由长方体性质可知，B1F∥AD1，所以∠DB1F为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角．连接DF，由题意，得DF＝12＋(1＋1)2＝5，FB1＝12＋(3)2＝2，DB1＝12＋12＋(3)2＝ 5.在△DFB1中，由余弦定理，得DF2＝FB21＋DB21－2FB1·DB1cos∠DB1F，即5＝4＋5－2×2×5×cos∠DB1F，∴cos∠DB1F＝5 5.]11。

2020年高考数学必刷题《34 空间点、线、面的位置关系》(解析版)

专题八立体几何34 空间点、线、面的位置关系1．空间中可以确定一个平面的条件是 A ．三个点 B ．四个点 C ．三角形D ．四边形【答案】C【解析】在A 中，不共线的三个点能确定一个平面，共线的三个点不能确定一个平面，故A 错误；在B 中，不共线的四个点最多能确定四个平面，故B 错误；在C 中，由于三角形的三个顶点不共线，因此三角形能确定一个平面，故C 正确；在D 中，四边形有空间四边形和平面四边形，空间四边形不能确定一个平面，故D 错误. 2．已知异面直线,a b 分别在平面,αβ内，且c αβ=，那么直线c 一定A ．与a b ，都相交B ．只能与a b ，中的一条相交C ．至少与a b ，中的一条相交D ．与a b ，都平行【答案】C【解析】若与，都不相交，则与，都平行. 根据公理4，则，与，异面矛盾. 故直线c 一定至少与a b ，中的一条相交.3．已知，是异面直线，直线平行于直线，那么与 A ．一定是异面直线 B ．一定是相交直线 C ．不可能．．．是相交直线 D ．不可能．．．是平行直线【答案】D【解析】∵直线a 与b 是异面直线，直线c ∥a ，∴直线b 和c 有可能在同一平面上，也有可能不在同一平面上，如果b 和c 在同一平面上，二者的位置关系为相交；如果b 和c 不在同一平面上，二者的位置关系为异面．如果b ∥c ，则a ∥b ，与已知a ，b 是异面直线矛盾，故答案为D. 4．已知直线和平面，若，，则过点且平行于的直线 A ．只有一条，不在平面内 B ．只有一条，且在平面内 C ．有无数条，一定在平面内 D ．有无数条，不一定在平面内【答案】B【解析】假设过点P 且平行于l 的直线有两条m 与n ，则m ∥l 且n ∥l ，由平行公理得m ∥n ，这与两条直线m 与n 相交于点P 相矛盾，故过点且平行于的直线只有一条，又因为点P 在平面内，所以过点P 且平行于l 的直线只有一条且在平面内．故选B.5．如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是A ．直线AA 1B ．直线A 1B 1C ．直线A 1D 1 D ．直线B 1C 1【答案】D【解析】只有11B C 与EF 在同一平面内，是相交的，其他A ，B ，C 选项中的直线与EF 都是异面直线，故选D ．6．如图所示，平面平面，，，，，则平面和平面的交线是A ．直线B ．直线C ．直线D ．直线ABC D E F A 1B 1C 1D 1【答案】D【解析】∵l α⊂，，∴ ，又，∴CD α⊂．又在平面内，∴ 为平面与平面的交线．故选D. 7．设直线l 与平面α平行，直线m 在平面α上，那么 A ．直线l 不平行于直线m B ．直线l 与直线m 异面 C ．直线l 与直线m 没有公共点 D ．直线l 与直线m 不垂直【答案】C【解析】∵直线l 与平面α平行，∴由线面平行的定义可知：直线l 与平面α无公共点，又直线m 在平面α上， ∴直线l 与直线m 没有公共点，故选C ．8．在空间四边形的边，，，上分别取，，，四点，如果，交于一点，则 A ．一定在直线上 B ．一定在直线上C ．一定在直线或上D ．既不在直线上，也不在直线上【答案】B【解析】由题意，，相交于点，则点，且，又平面，平面，则平面，且平面，则点必在平面与平面的交线上，即点一定在直线上．故选．9．空间中A B C D E ，，，，五点不共面，已知A B C D ，，，在同一平面内，B C D E ，，，在同一平面内，那么B C D ，，三点 A ．一定构成三角形 B ．一定共线 C ．不一定共线D ．与AE ，共面【答案】B【解析】设平面ABCD 为α，平面BCDE 为β，且A B C D E ，，，，不共面，则,BC CD αα⊂⊂，,BC CD ββ⊂⊂，则,αβ必相交于直线l ，且,,B l C l D l ∈∈∈，故B C D ，，三点一定共线且位于平面ABCD 与平面BCDE 的交线上. 故选B.10．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为A ．23-B ．53 C ．23D ．255【答案】C【解析】如图，连结BE ，∵在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点， ∴CD AB ∥，∴BAE ∠是异面直线AE 与CD 所成的角（或所成角的补角），设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则2AB =，415BE =+=，AB BE ⊥，则22453AE AB BE =+=+=，∴异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为2cos 3AB BAE AE ∠==. 故异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为23．故选C ．11．平面内有不共线的三点到平面的距离相等且不为零，则与的位置关系为 _____ .【答案】平行或相交【解析】若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行；若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交．故与的位置关系为平行或相交.12．若直线和平面平行,且直线 ,则两直线和的位置关系为 _____ . 【答案】平行或异面【解析】由条件可知直线和没有公共点,故直线和的位置关系为平行或异面.13．若直线l 1与l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是A ．l 与l 1,l 2都不相交B ．l 与l 1,l 2都相交C ．l 至多与l 1,l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1,l 2中的一条相交【答案】D【解析】可用反证法. 假设l 与1l ，2l 都不相交，因为l 与1l 都在平面内，于是1l l ∥，同理2l l ∥，于是12l l ∥，与已知矛盾，故l 至少与1l ，2l 中的一条相交，故选D ．14．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是A ．若，，则B ．若，，则C ．若，，则D ．若，，则【答案】D【解析】对于A ，若，则m ，n 可能相交、平行、异面，A 错；对于B ，若，则、可能相交、平行，B 错；对于C ，若，则、可能相交、平行，C 错；对于D ，若，根据线面垂直的性质定理可得，D 正确. 故选D.15．设,a b 是异面直线，则以下四个命题：①存在分别经过直线,a b 的两个互相垂直的平面；②存在分别经过直线,a b 的两个平行平面；③经过直线a 有且只有一个平面垂直于直线b ；④经过直线a 有且只有一个平面平行于直线b ，其中正确的个数有 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】对于①，可以在两个互相垂直的平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断①正确；对于②，可在两个平行平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断②正确；对于③，当这两条直线不是异面垂直时，不存在这样的平面满足题意，可判断③错误；对于④，假设过直线a有两个平面α、β与直线b平行，则平面α、β相交于直线a，过直线b作一平面γ与平面α、β相交于两条直线m、n，则直线m、n相交于一点，且都与直线b平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，所以假设不成立，所以④正确.故选C．16．我国古代《九章算术》里，记载了一个例子：今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何？”该问题中的羡除是如图所示的五面体，其三个侧面皆为等腰梯形，两个底面为直角三角形，其中尺，尺，尺，间的距离为尺，间的距离为尺，则异面直线与所成角的正弦值为A．9130130B．7130130C．97D．79【答案】B【解析】过点作，如图：根据题意知，所以是异面直线与所成的角，又因为尺，尺，且侧面为等腰梯形，则尺，间的距离为尺，故尺，由勾股定理得尺，所以77130sin 130130FDC ∠==. 故选B.17．在长方体1111ABCD A B C D -中，O 是DB 的中点，直线1A C 交平面1C BD 于点M ，则下列结论正确的是①1C 、M 、O 三点共线； ②1C 、M 、A 、C 四点共面； ③1C 、O 、1B 、B 四点共面；④1D 、D 、O 、M 四点共面．A ．①②③B ．①②③④C ．①②D ．③④【答案】C【解析】∵O AC ∈，AC ⊂平面11ACC A ，∴O ∈平面11ACC A ， ∵O BD ∈，BD ⊂平面1C BD ，∴O ∈平面1C BD ， ∴O 是平面11ACC A 和平面1C BD 的公共点；同理可得，点M 和1C 都是平面11ACC A 和平面1C BD 的公共点，根据公理3可得1C 、M ，O 在平面11ACC A 和平面1C BD 的交线上，因此①正确． ∵11AA BB ∥，11BB CC ∥，∴11AA CC ∥,1AA ，1CC 确定一个平面，又1M A C ∈，1AC ⊂平面11ACC A ，∴M ∈平面11ACC A ，故②正确．根据异面直线的判定定理可得1BB 与1C O 为异面直线，故1C 、O 、1B 、B 四点不共面，故③不正确．根据异面直线的判定定理可得1DD 与MO 为异面直线，故1D 、D 、O 、M 四点不共面，故④不正确．故选C ．18．不在同一条直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且A ∉α，给出以下三个命题：①△ABC 中至少有一条边平行于α；②△ABC 中至多有两边平行于α；③△ABC 中只可能有一条边与α相交.其中真命题是_____________.（填序号）【答案】①【解析】如图，三点A 、B 、C 可能在α的同侧，也可能在α两侧，其中真命题是①.19．如图所示，若,,,G H M N 分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线,GH MN 是异面直线的图形有_____________.（填序号）【答案】②④【解析】①中，GH MN ∥，③中，连接GM ，则GM HN ∥且GM HN ≠，故GH ，MN 必相交，②④符合题意.20．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD 是菱形且23AB BC ==，120ABC ∠=︒，若异面直线1A B 和1AD 所成的角为90︒，则1AA 的长为_____________.【答案】6【解析】如图，连接1CD AC ，.由题意得四棱柱1111ABCD A B C D -中，11∥A D BC ，11A D BC =， ∴四边形11A BCD 是平行四边形，11A B CD ∴∥，1AD C ∴∠（或其补角）为1A B 和1AD 所成的角.∵异面直线1A B 和1AD 所成的角为90︒，190AD C ∴∠=︒.∵四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD 是菱形，1△ACD ∴是等腰直角三角形，122AD AC ∴=.∵底面四边形ABCD 是菱形且23AB BC ==，120ABC ∠=︒，23sin 6026AC ∴=⨯︒⨯=，12322AD AC ==， ()()2222111132236AA AD A D ∴=-=-=.21．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线【答案】B【解析】如图所示，作EO CD ⊥于O ，连接ON ，BD ，易得直线BM ，EN 是三角形EBD 的中线，是相交直线.过M 作MF OD ⊥于F ，连接BF ，平面CDE ⊥平面ABCD ，,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，MFB ∴△与EON △均为直角三角形．设正方形边长为2，易知3,12EO ON EN ===,，35,,722MF BF BM ==∴=，BM EN ∴≠. 故选B ．【名师点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角形.解答本题时，先利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．22．（2018新课标全国Ⅱ理科）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为A ．15B ．56C ．55D ．22【答案】C【解析】用一个与原长方体相同的长方体拼到原长方体的前面，如图，则11B P AD ∥，连接DP ，易求得1=5DB DP =，12B P =，则1DB P ∠是异面直线1AD 与1DB 所成的角，由余弦定理可得222111115455cos 2545DB B P DP DB P DB PB +-+-∠===⋅. 故选C.23．（2017新课标全国Ⅱ理科）已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．32B ．155 C ．105D ．33【答案】C【解析】如图所示，补成直四棱柱1111ABCD A B C D -，则所求角为21111,2,21221cos603,5BC D BC BD C D AB ∠==+-⨯⨯⨯︒===，易得22211C D BD BC =+，因此111210cos 55BC BC D C D ∠===. 故选C ．【名师点睛】平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,]2π，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．24．（2015安徽理科）已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面【答案】D【解析】由A ，若α，β垂直于同一平面，则α，β可以相交、平行，故A 不正确；由B ，若m ，n 平行于同一平面，则m ，n 可以平行、重合、相交、异面，故B 不正确；由C ，若α，β不平行，但α平面内会存在平行于β的直线，如α平面中平行于α，β交线的直线，故C 不正确；由D ，其逆否命题为“若m 与n 垂直于同一平面，则m ，n 平行”是真命题，故D 项正确. 所以选D.25．（2016新课标全国Ⅰ理科）平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α//平面CB 1D 1，αI 平面ABCD =m ，αI 平面ABB 1 A 1=n ，则m ，n 所成角的正弦值为A ．32B ．22C ．33D ．13【答案】A【解析】如图，设平面11CB D 平面ABCD ='m ，平面11CB D 平面11ABB A ='n ，因为α∥平面11CB D ，所以','m m n n ∥∥，则,m n 所成的角等于','m n 所成的角. 过1D 作11D E B C ∥，交AD 的延长线于点E ,连接CE ，则CE 为'm . 连接1A B ，过B 1作111B F A B ∥，交1AA 的延长线于点1F ，则11B F 为'n . 连接BD ，则111,BD CE B F A B ∥∥，则','m n 所成的角即为1,A B BD 所成的角，为60︒，故,m n 所成角的正弦值为32，选A.【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成的角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形、解形求角、得钝求补.26．(2017新课标全国Ⅲ理科) a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60°.其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）【答案】②③【解析】设1AC BC ==.由题意，AB 是以AC 为轴,BC 为底面半径的圆锥的母线，由,AC a AC b ⊥⊥，又AC ⊥圆锥底面，所以在底面内可以过点B ，作BD a ∥，交底面圆C 于点D ，如图所示，连接DE ，则DE ⊥BD ，DE b ∴∥，连接AD ，等腰ABD △中，2AB AD ==,当直线AB 与a 成60°角时，60ABD ∠=，故2BD =，又在Rt BDE △中，2,2BE DE =∴=，过点B 作BF ∥DE ，交圆C于点F ，连接AF ，由圆的对称性可知2BF DE ==,ABF ∴△为等边三角形，60ABF ∴∠=，即AB 与b 成60°角，②正确，①错误.由图可知③正确；很明显，可以满足平面ABC ⊥直线a ，则直线AB 与a 所成角的最大值为90°，④错误.故正确的是②③.【名师点睛】（1）平移直线法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是π0,2⎛⎤⎥⎝⎦，可知当求出的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角.（2）求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围.。

2020版高考数学总复习第九章第55讲空间点、直线、平面之间的位置关系练习理(含解析)新人教A版

第55讲空间点、直线、平面之间的位置关系夯实基础【p126】【学习目标】1．掌握平面的基本性质，在充分理解本讲公理、推论的基础上结合图形理解点、线、面的位置关系．2．掌握点、线、面关系的文字语言、符号语言、图形语言的密切联系及相互转化．3．掌握空间两条直线的位置关系的证明，并能够判定两条直线的异面关系，会求两条异面直线所成的角．【基础检测】1．若a⊂α，b⊂β，α∩β＝c，a∩b＝M，则( )A．M∈c B．M∉c C．M⊂c D．M⊂β【解析】因为a∩b＝M，所以M∈a，M∈b，又a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β，即M是平面α，β的公共点，因为α∩β＝c，所以M∈c.【答案】A2．下列说法错误的是( )A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内B．过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直C．如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直D．如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行【解析】对于D：一个等腰三角形的底边放在桌面上，两个腰与桌面所成的角相等，但两腰所在直线不平行．【答案】D3．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，已知E是棱C1D1的中点，则异面直线B1D1与CE所成角的余弦值是( )A.45B.55C.105D.1010【解析】取B1C1的中点为F，连接EF，CF，∵点E 、F 分别为C 1D 1与B 1C 1的中点，∴EF ∥B 1D 1， ∴∠CEF(或其补角)就是异面直线B 1D 1与CE 所成角．设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，所以在△CEF 中，EF ＝22a ，CF ＝CE ＝52a ，根据余弦定理可得：cos ∠CEF ＝EF 2＋CE 2－CF 22·EF ·CE ＝1010.【答案】D4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AC 1与BB 1所成的角为30°，则AA 1＝( )A .3B ．3C .5D . 6【解析】如图所示，连结AC ，由于BB 1∥CC 1，故∠AC 1C 为直线AC 1与BB 1所成的角，即∠AC 1C ＝30°，在Rt △ACC 1中，CC 1＝AC tan ∠AC 1C ＝2tan 30°＝6，由长方体的几何特征可得AA 1＝CC 1＝ 6. 【答案】D5．以下四个命题中，正确命题的个数是( ) ①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A ，B ，C ，D 共面，点A ，B ，C ，E 共面，则A ，B ，C ，D ，E 共面； ③若直线a ，b 共面，直线a ，c 共面，则直线b ，c 共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面．A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】①显然是正确的，可用反证法证明；②中若A ，B ，C 三点共线，则A ，B ，C ，D ，E 五点不一定共面； ③构造长方体或正方体，如图，显然b ，c 异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面．故正确的个数为1. 【答案】B 【知识要点】 1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内．(2)公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． (3)确定平面的条件：①__不共线的三点__可确定一个平面． ②一条直线和__其外__一点可确定一个平面． ③两条__相交或平行__直线可确定一个平面．(4)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过这个公共点的公共直线．2．空间两直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ 相交；平行Ｗ.异面直线：不同在任何一个平面内.(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a′∥a，b ′∥b ，把a′与b′所成的__锐角(或直角)__叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：__⎝ ⎛⎥⎤0，π2__．3．平行公理平行于同__一条直线的__两条直线互相平行．典例剖析【p 126】考点1 平面的基本性质及应用例1如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．【解析】(1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示．则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA.∴CE，D1F，DA三线共点．【点评】公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据．考点2 空间两条直线的位置关系例2(1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交【解析】若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，∴l1∥l2，这与l1和l2异面矛盾，∴l至少与l1，l2中的一条相交．【答案】D(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是( )A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行【解析】连接B1C，B1D1，则点M是B1C的中点，MN是△B1CD1的中位线，∴MN∥B1D1.∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1，∴MN⊥CC1，MN⊥AC，MN∥BD.又∵A1B1与B1D1相交，∴MN与A1B1不平行，故选D.【答案】D(3)在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)【解析】图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面．所以图②④中GH与MN异面．【答案】②④【点评】空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定．对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．考点3 异面直线所成的角例3(1)如图，三棱锥ABCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是________．【解析】如图所示，连接DN ，取线段DN 的中点K ，连接MK ，CK.∵M 为AD 的中点， ∴MK ∥AN ，∴∠KMC 为异面直线AN ，CM 所成的角． ∵AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2， N 为BC 的中点，由勾股定理求得AN ＝DN ＝CM ＝22， ∴MK ＝ 2.在Rt △CKN 中，CK ＝（2）2＋12＝ 3. 在△CKM 中，由余弦定理，得cos ∠KMC ＝（2）2＋（22）2－（3）22×2×22＝78.【答案】78(2)空间四边形ABCD 中，AB ＝CD 且AB 与CD 所成的角为30°，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 与AB 所成角的大小．【解析】如图，取AC 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG 綊12AB ，FG 綊12CD ，由AB ＝CD 知EG ＝FG ，∴∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角．∵AB与CD所成的角为30°，∴∠EGF＝30°或150°.由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°.故EF与AB所成的角为15°或75°.【点评】(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．(2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线、平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解．方法总结【p127】1．证明点共线、线共点、点或线共面等问题的方法：(1)证明若干点共线，通常证明这些点都是某两个平面的公共点，根据公理3，这些点都在交线上；或选择其两点确定一条直线，然后证明其他点都在这条直线上．(2)证明若干条直线共点与证明若干点共线的方法类似，转化化归为证明“点在直线上”(证明两条直线的交点在第三条直线上)．(3)证明若干元素(点或直线)共面，常用方法是：(法一)根据公理2或推论确定一个平面，然后再证其他元素也在这个平面内；(法二)根据公理2或其推论确定两个平面，然后再证明这两个平面重合．2．求异面直线所成的角，常用平移法，即平移异面直线中的一条(或两条)构造异面直线所成的角，然后通过解三角形求解．注意：(1)当用平移转化法繁琐或无法平移时，可考虑两条异面直线是否垂直；(2)两条异面直线所成的角是锐角或直角．3．证明两直线是异面直线的常用方法是“判定定理”和“反证法”，其中“反证法”最常用．走进高考【p127】1．(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为A.15B.56C.55D.22【解析】法一：如图，补上一相同的长方体CDEF －C 1D 1E 1F 1，连接DE 1，B 1E 1.易知AD 1∥DE 1，则∠B 1DE 1为异面直线AD 1与DB 1所成角．因为在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，所以DE 1＝DE 2＋EE 21＝12＋（3）2＝2，DB 1＝12＋12＋（3）2＝5，B 1E 1＝A 1B 21＋A 1E 21＝12＋22＝5，在△B 1DE 1中，由余弦定理，得cos ∠B 1DE 1＝22＋（5）2－（5）22×2×5＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55. 法二：如图，连接BD 1，交DB 1于O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM ，易知O 为BD 1的中点，所以AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角．因为在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，AD 1＝AD 2＋DD 21＝2，DM ＝AD 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB 2＝52，DB 1＝AB 2＋AD 2＋DD 21＝5，所以OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝52，于是△DMO 中，由余弦定理，得cos ∠MOD ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫5222×1×52＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55.法三：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．由条件可知D(0，0，0)，A(1，0，0)，D 1(0，0，3)，B 1(1，1，3)，所以AD 1→＝(－1，0，3)，DB 1→＝(1，1，3)，则由向量夹角公式，得cos 〈AD 1→，DB 1→〉＝AD 1→·DB 1→|AD 1→|·|DB 1→|＝225＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55.【答案】C考点集训【p 244】A 组题1．下列各图是正方体或正四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是( )【解析】如图所示，A ，B ，C ，D ，E ，F 为相应棱上的中点，则截面ABCDEF 为选项A 和选项B 中的点所在的平面，由三角形中线的性质可知：PQ ∥AB ，SR ∥AB ，则PQ ∥SR ，据此可知选项C 中的P ，Q ，R ，S 四点共面，选项D 中很明显P ，Q ，R 三点共面，点S 不在平面PQR 内．【答案】D2．已知直线a 和平面α，β，α∩β＝l ，a ⊄α，a ⊄β，且a 在α，β内的射影分别为直线b 和c ，则直线b 和c 的位置关系是( )A ．相交或平行B ．相交或异面C ．平行或异面D ．相交、平行或异面【解析】依题意，直线b 和c 的位置关系可能是相交、平行或异面．【答案】D3．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是( )A.32B.1010C.35D.25【解析】过点N 作AM 的平行线交AB 于点E ，则AE ＝3EB ，连接EC ，设AB ＝4，在△NEC 中有EN ＝5，EC ＝17，NC ＝20，由余弦定理得cos ∠ENC ＝EN 2＋NC 2－EC 22·EN ·NC ＝25，∴直线AM 和CN 所成的角的余弦值是25.【答案】D4．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中AB 与CD 的位置关系为( )A ．平行B ．相交成60°角C ．异面成60°角D ．异面且垂直【解析】由图可知还原立体图象为：所以可知AB ，CD 异面，因为CE 平行AB ，所以∠DCE 为所求角，因为三角形CDE 为等边三角形，故∠DCE ＝60°.【答案】C5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则异面直线CP 与BA 1所成角θ的取值范围是( )A ．0<θ<π2B ．0<θ≤π2C ．0≤θ≤π3D ．0<θ≤π3【解析】如图，A 1B ∥CD 1，所以异面直线CP ，BA 1所成的角为∠D 1CP ，当点P 在线段AD 1上运动时，求∠D 1CP 的取值范围，点P 不能与D 1重合，与点A 重合时，∠D 1CP 最大，最大为π3，∠D 1CP 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3，所以异面直线CP ，BA 1所成角的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π3.【答案】D6．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与异面直线AB 和CC 1都可以共面的棱的条数为________．【解析】如图，与异面直线AB 和CC 1都共面的棱共有BC ，DC ，BB 1，AA 1，D 1C 1，共5条．【答案】57．如图，在底面为正方形的四棱锥P －ABCD 中，PA ＝PB ＝PC ＝PD ＝AB ＝2，点E 为棱PA 的中点，则异面直线BE 与PD 所成角的余弦值为________．【解析】取PD 的中点记为F 点，BC 的中点记为G 点，连接FG ，EF ，GD ，因为EF ∥BC ，且EF ＝12BC ，BG ＝12BC ，故得到四边形EFGB 为平行四边形，故∠GFD 或其补角为所求角，根据题干得到，三角形PAB 为等边三角形，BF 为其高线，长度为3，FG ＝3，DG ＝CD 2＋CG2＝5，FD ＝1，根据余弦定理得到cos ∠GFD ＝3＋1－523＝－36，因为异面直线夹角为直角或锐角，故取正值，为36.【答案】368．如图，空间四边形ABCD 中，E ，F ，G 分别在AB ，BC ，CD 上，且满足AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝2∶1，CG ∶GD ＝3∶1，过E ，F ，G 的平面交AD 于点H .(1)求AH ∶HD ；(2)求证：EH ，FG ，BD 三线共点．【解析】(1)∵AE EB ＝CF FB＝2，∴EF ∥AC ， ∴EF ∥平面ACD ，而EF ⊂平面EFGH ，平面EFGH ∩平面ACD ＝GH ， ∴EF ∥GH ，∴AC ∥GH . ∴AH HD ＝CG GD＝3.∴AH ∶HD ＝3∶1.(2)∵EF ∥GH ，且EF AC ＝13，GH AC ＝14，∴EF ≠GH ，∴四边形EFGH 为梯形．令EH ∩FG ＝P ，则P ∈EH ，而EH ⊂平面ABD ，又P∈FG，FG⊂平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD.∴EH，FG，BD三线共点．B组题1．以下四个命题中，①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3【解析】①中显然是正确的；②中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；③构造长方体或正方体(如图)，显然b，c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面，故只有①正确．【答案】B2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．【解析】法一：如图所示．在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点．所以这样的直线有无数条．法二：在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α，因CD与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线．由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交．【答案】无数3．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1，D是CC1的中点，则直线AC1与BD所成角的余弦值为________．【解析】记AC 中点为E ，并连接BE ， ∵D 是CC 1的中点，则DE ∥AC 1，∴直线AC 1与BD 所成角即为DE 与BD 所成角，设CA ＝CB ＝CC 1＝2，∴CD ＝1，BD ＝5，DE ＝2，BE ＝5， ∴cos θ＝5＋2－52·2·5＝1010.【答案】10104．如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝π2，高等于3，点M 1，M 2，N 1，N 2为所在线段的三等分点．(1)求此三棱柱的体积和三棱锥A 1－AM 1N 2的体积； (2)求异面直线A 1N 2，AM 1所成的角的大小．【解析】(1)∵S △ABC ＝12，∴VABC －A 1B 1C 1＝32.又S △AM 1A 1＝32，C 1到平面ABB 1A 1的距离等于1，即N 2到平面ABB 1A 1的距离等于1，∴VA 1－AM 1N 2＝VN 2－AM 1A 1＝13×32＝12，∴三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积等于32，三棱锥A 1－AM 1N 2的体积等于12.(2)取线段AA 1的三等分点P 1，P 2，连P 1M 2，P 1C .∵A 1N 2∥P 1C ，AM 1∥P 1M 2，∴∠M 2P 1C 的大小等于异面直线A 1N 2，AM 1所成的角或其补角的大小．∵P 1M 2＝AM 1＝2，P 1C ＝2，M 2C ＝ 6. ∴cos ∠M 2P 1C ＝2＋2－62×2×2＝－12.∴异面直线A 1N 2，AM 1所成的角的大小等于π3.。

2020版高考数学新增分大一轮新高考第八章 8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 Word版含解析

§空间点、直线、平面之间的位置关系最新考纲.借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义.了解可以作为推理依据的公理和定理.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．．四个公理公理：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．．直线与直线的位置关系()位置关系的分类()异面直线所成的角①定义：设，是两条异面直线，经过空间任一点作直线′∥，′∥，把′与′所成的锐角(或直角)叫做异面直线与所成的角(或夹角)．②范围：.．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．概念方法微思考．分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？提示不一定．因为异面直线不同在任何一个平面内．分别在两个不同平面内的两条直线可能平行或相交．．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角一定相等吗？提示不一定．如果这两个角开口方向一致，则它们相等，若反向则互补．题组一思考辨析．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)()如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝.(√) ()两个平面α，β有一个公共点，就说α，β相交于过点的任意一条直线．(×)()如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(×)()经过两条相交直线，有且只有一个平面．(√)()没有公共点的两条直线是异面直线．(×)()若，是两条直线，α，β是两个平面，且⊂α，⊂β，则，是异面直线．(×)题组二教材改编．如图所示，在正方体—中，，分别是，的中点，则异面直线与所成角的大小为()．°．°。

高中数学必修二2.1空间点、直线、平面之间的位置关系课堂练习及详细答案解析

2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平面知识梳理1 平面含义：平面是无限延展的2 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为【公理 1 作用】判断直线是否在平面内.（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A、B、C三点不共线=> 有且只有一个平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。

公理 2 作】确定一个平面的依据。

3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：P∈α∩β => α∩β =L，且P∈L【公理3作用】判定两个平面是否相交的依据知能训练一．选择题1．已知m，n 分别是两条不重合的直线，a，①若m⊥α，n∥b，且α⊥β，则m∥n；③若m∥α，n∥b，且α∥β，则m⊥n；其中真命题的序号是（）2．在下列命题中，不是公理的是（）A．平行于同一个平面的两个平面平行B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线3．l1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．1 ⊥ l 2，l 2 ⊥ l 3?l 1 ∥ l 3B．1 ⊥ l 2，l 2 ∥l3?l 1⊥ l 3C．1∥ l 2∥l 3? l1，l 2 ，l 3 共面D．l1，l2，l3共点? l1，l2，l 3共面A．①②B．③④C．①④D．②③b 分别垂直于两不重合平面②若m∥a，n∥ b，且α④若m⊥α，n ⊥b，且4．下面四个说法中，正确的个数为（）（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合（2）两条直线可以确定一个平面（3）若M∈α，M∈β，α∩β =l ，则M∈l（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内．A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 5．已知空间三条直线l 、m、n．若l 与m异面，且l 与n 异面，则（）A．m 与n 异面B．m与n 相交C．m 与n 平行D．m与n 异面、相交、平行均有可能6．若m、n 为两条不重合的直线，α、β 为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m、n 都平行于平面α，则m、n 一定不是相交直线B．若m、n 都垂直于平面α，则m、n 一定是平行直线C．已知α、β互相垂直，m、n 互相垂直，若m⊥α，n ⊥βD．m、n 在平面α内的射影互相垂直，则m、n 互相垂直7．已知平面α，β，γ，直线m，l ，点A，有下面四个命题，其中正确的命题是（）A．若l ? α，m∩α =A，则l 与m 必为异面直线B ．若l ∥α，l ∥m，则m∥αC ．若l ? α，m?β，l ∥β，m∥α，则α∥βD ．若α⊥γ，γ∩α=m，γ∩β =l ，l⊥m，则l ⊥α8．已知α，β 为互不重合的平面，m，n 为互不重合的直线，给出下列四个命题：①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；②若m? α，n? α，m∥β，n∥β，，则α∥β；③若α⊥β，α∩β =m，n? α，n⊥m，则n⊥β；④若m⊥α，α⊥β，m∥ n，则n∥β．其中所有正确命题的序号是（）A．①③B．②④C．①④D．③④二．填空题9．（文）平面上三条直线x+2y-1=0 ，x+1=0，x+ky=0 ，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的所有取值为．（将你认为所有正确的序号都填上）①0 ② 1/2 ③1 ④2 ⑤ 3．10．空间中有7 个点，其中有 3 个点在同一直线上，此外再无任何三点共线，由这7个点最多可确定个平面．三．解答题1．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥ CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证：E，F，G，H四点必定共线．2．四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F 在CD上，H在AD上，且有DF：FC=2：3．DH：HA=2 ：3．（1）证明：点G、E、F、H四点共面；（2）证明：EF、GH、BD交于一点．2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。

2020年高考数学精练：7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系

(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．若直线a与b是异面直线，b与c也是异面直线，则直线a与c()A．平行B．异面C．相交D．都有可能解析：可借助于正方体模型加以说明，a与c可能相交、平行或异面，故选D.答案：D2．(2011·宁波模拟)已知直线l、m，平面α、β，则下列命题中假命题是()A．若α∥β，l⊂α，则l∥βB．若α∥β，l⊥α，则l⊥βC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β解析：对于选项C，直线l与m可能构成异面直线，故选C.答案：C3．(2010·湖北高考)用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中真命题的序号是()A．①②B．②③C．①④D．③④解析：由平行公理4知①正确；由直线与平面垂直的性质定理可知④正确；结合正方体模型知②、③错误，故选C.答案：C4．(2011·龙岩模拟)设α、β是两个不同的平面，l、m是两条不重合的直线，下列命题中正确的是()A．若l∥α，α∩β＝m，则l∥mB．若l∥m，m⊂α，则l∥αC．若l∥α，m∥β，且α∥β，则l∥mD．若l⊥α，m⊥β且α⊥β，则l⊥m解析：若m⊥β，α⊥β，则m⊂α或m∥α，又l⊥α.所以l⊥m，D正确．答案：D5．正四棱锥S－ABCD的侧棱长为2，底面边长为3，E为SA的中点，则异面直线BE 和SC所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：设AC中点为O，则OE∥SC，连接BO，则∠BEO(或其补角)即为异面直线BE和SC所成的角，EO＝12SC＝22，BO＝12BD＝62，△SAB中，cos A＝12ABSA＝322＝64＝AB2＋AE2－BE22AB·AE，∴BE＝ 2.△BEO中，cos∠BEO＝12，∴∠BEO＝60°.答案：C6．(2011·汕头模拟)平面α外有两条直线m和n，如果m和n在平面α内的射影分别是直线m1和直线n1，给出下列四个命题：①m1⊥n1⇒m⊥n；②m⊥n⇒m1⊥n1；③m1与n1相交⇒m与n相交或重合；④m1与n1平行⇒m与n平行或重合．其中不正确的命题个数是() A．1 B．2C．3 D．4解析：如图，在正方体中，AD1，AB1，B1C在底面上的射影分别是A1D1，A1B1，B1C1.由A1D1⊥A1B1，而AD1不垂直AB1，故①不正确；又因为AD1⊥B1C，而A1D1∥B1C1，故②也不正确；若m1与n1相交，则m与n还可以异面，③不正确；若m1与n1平行，m与n可以异面，④不正确．答案：D二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，使三条直线共面的充分条件有________．解析：①中两直线相交确定平面，则第三条直线在这个平面内．②中可能有直线和平面平行．③中直线最多可确定3个平面．④同①.答案：①④8．(2011·临沂模拟)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．解析：由已知：①错．因为AM与CC1为异面直线；②错，因为若AM∥BN，则取DD1中点G，连结AG，由AG∥BN可得：AM∥AG，这与AM与AG相交矛盾．③、④正确．答案：③④9．在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝BC，则直线PC与AB所成角的大小是________.解析：分别取PA，AC，CB的中点F，D，E，连接FD，DE，EF，AE，则∠FDE是直线PC与AB所成角或其补角．设PA＝AC＝BC＝2a，在△FDE中，易求得FD＝2a，DE＝2a，FE＝6a，根据余弦定理，得cos∠FDE＝2a2＋2a2－6a22×2a×2a＝－12，所以∠FDE＝120°.所以PC与AB所成角的大小是60°.答案：60°三、解答题10．如图所示，已知E、F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1和棱CC1的中点．试判断四边形EBFD1的形状．解：如图取BB1的中点M，连接A1M、MF.∵M、F分别是BB1、CC1的中点，∴MF綊B1C1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有A1D1綊B1C1，∴MF綊A1D1，∴四边形A1MFD1是平行四边形，∴A1M綊D1F.又E、M分别是AA1、BB1的中点，∴A1E綊BM，∴四边形A1EBM为平行四边形，∴EB綊A1M.故EB綊D1F.∴四边形EBFD1是平行四边形．又Rt△EAB≌Rt△FCB，∴BE＝BF，故四边形EBFD1为菱形．11．如图，已知：E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、BC、CC1、C1D1的中点，证明：FE、HG、DC三线共点．证明：连结C1B，由题意知HC1綊EB，∴四边形HC1BE是平行四边形，∴HE∥C1B.又C1G＝GC＝CF＝BF，故GF綊12C1B，∴GF∥HE，且GF≠HE，∴HG与EF相交．设交点为K，则K∈HG，HG⊂面D1C1CD，∴K∈面D1C1CD.∵K∈EF，EF⊂面ABCD，∴K∈面ABCD.∵面D1C1CD∩面ABCD＝DC，∴K∈DC，∴FE、HG、DC三线共点．12．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E为AB的中点．(1)求证：AC⊥平面BDD1.(2)求异面直线BD1与CE所成角的余弦值；(3)求点B到平面A1EC的距离．解：(1)证明：由已知有D1D⊥平面ABCD，得AC⊥D1D，又由ABCD 是正方形，得AC⊥BD，∵D1D与BD相交于D，∴AC⊥平面BDD1.(2)延长DC至G，使CG＝EB，连结BG、D1G，∵CG綊EB，∴四边形EBGC是平行四边形．∴BG∥EC.∴∠D1BG就是异面直线BD1与CE所成的角．在△D 1BG 中，D 1B ＝23，BG ＝5，D 1G ＝22＋32＝13. ∴cos ∠D 1BG＝D 1B 2＋BG 2－D 1G 22D 1B ·BG＝12＋5－132×23×5 ＝1515，故异面直线BD 1与CE 所成角的余弦值是1515. (3)∵△A 1AE ≌△CBE ， ∴A 1E ＝CE ＝ 5. 又∵A 1C ＝23，∴点E 到A 1C 的距离 d ＝5－3＝ 2.∴S 1A EC ＝12A 1C ·d ＝6，S 1A EB ＝12EB ·A 1A ＝1. 又由V B －1A EC ＝V C －1A EB ，设点B 到平面A 1EC 的距离为h ，则13S 1A EC ·h ＝13S 1A EB ·CB ，∴6·h ＝2，h ＝63. ∴点B 到平面A 1EC 的距离为63.。

2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：43空间点、直线、平面之间的位置关系版含解析

课时作业43空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1．在以下命题中,不是公理的是(A)A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析：选项A是面面平行的性质定理,是由公理推证出来的,而公理是不需要证明的．2．假设空间三条直线a,b,c满足a⊥b,b∥c,那么直线a与c(D)A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．一定垂直解析：两条平行线中一条与第三条直线垂直,另一条直线也与第三条直线垂直．应选D.3．空间四边形两对角线的长分别为6和8 ,所成的角为45° ,连接各边中点所得四边形的面积是(A)A．6 2 B．12C．12 2 D．24 2解析：如图,空间四边形ABCD ,对角线AC＝6 ,BD＝8 ,易证四边形EFGH为平行四边形,∠EFG或∠FGH为AC与BD所成的角,大小为45° ,故S四边形EFGH＝3×4×sin45°＝6 2.应选A.4．(2021·南宁市摸底联考)在如下列图的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中 ,E ,F 分别是棱B 1B ,AD 的中点 ,异面直线BF 与D 1E 所成角的余弦值为( D )A.147B.57C.105D.255解析：如图 ,过点E 作EM ∥AB ,过M 点作MN ∥AD ,取MN 的中点G ,连接NE ,D 1G ,所以平面EMN ∥平面ABCD ,易知EG ∥BF ,所以异面直线BF 与D 1E 的夹角为∠D 1EG ,不妨设正方体的棱长为2 ,那么GE ＝5 ,D 1G ＝2 ,D 1E ＝3 ,在△D 1EG 中 ,cos ∠D 1EG ＝D 1E 2＋GE 2－D 1G 22D 1E ·GE＝255 ,应选D.5．异面直线a ,b 分别在平面α ,β内 ,且α∩β＝c ,那么直线c 一定( C )A ．与a ,b 都相交B ．只能与a ,b 中的一条相交C ．至||少与a ,b 中的一条相交D ．与a ,b 都平行解析：如果c与a、b都平行,那么由平行线的传递性知a、b平行,与异面矛盾．应选C.6．到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为(C)A．1 B．4C．7 D．8解析：当空间四点不共面时,那么四点构成一个三棱锥．①当平面一侧有一点,另一侧有三点时,如图1.令截面与四棱锥的四个面之一平行,第四个顶点到这个截面的距离与其相对的面到此截面的距离相等,这样的平面有4个；②当平面一侧有两点,另一侧有两点时,如图2 ,当平面过AB ,BD ,CD ,AC的中点时,满足条件．因为三棱锥的相对棱有三对,那么此时满足条件的平面有3个．所以满足条件的平面共有7个,应选C.二、填空题7．三条直线可以确定三个平面,这三条直线的公共点个数是0或1.解析：因三条直线可以确定三个平面,所以这三条直线有两种情况：一是两两相交,有1个交点；二是互相平行,没有交点．8．(2021·武汉调研)在正四面体ABCD中,M ,N分别是BC和DA的中点,那么异面直线MN和CD所成角的余弦值为2 2.解析：取AC 的中点E ,连接NE ,ME ,由E ,N 分别为AC ,AD 的中点 ,知NE ∥CD ,故MN 与CD 所成的角即MN 与NE 的夹角 ,即∠MNE .设正四面体的棱长为2 ,可得NE ＝1 ,ME ＝1 ,MN ＝ 2 ,故cos ∠MNE ＝NE 2＋MN 2－ME 22NE ·MN＝22. 9.如下列图 ,在空间四边形ABCD 中 ,点E ,H 分别是边AB ,AD的中点 ,点F ,G 分别是边BC ,CD 上的点 ,且CF CB ＝CG CD ＝23 ,那么以下说法正确的选项是④.(填写所有正确说法的序号)①EF 与GH 平行；②EF 与GH 异面；③EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上 ,也可能不在直线AC 上； ④EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上．解析：连接EH ,FG (图略) ,依题意 ,可得EH ∥BD ,FG ∥BD ,故EH ∥FG ,所以E ,F ,G ,H 共面．因为EH ＝12BD ,FG ＝23BD ,故EH ≠FG ,所以EFGH 是梯形 ,EF 与GH 必相交 ,设交点为M .因为点M 在EF 上 ,故点M 在平面ACB 上．同理 ,点M 在平面ACD 上 ,∴点M 是平面ACB 与平面ACD 的交点 ,又AC 是这两个平面的交线 ,所以点M 一定在直线AC 上．三、解答题10.如下列图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1 ,B1C1的中点．问：(1)AM与CN是否是异面直线?说明理由；(2)D1B与CC1是否是异面直线?说明理由．解：(1)AM与CN不是异面直线．理由如下：如图,连接MN ,A1C1 ,AC.因为M ,N分别是A1B1 ,B1C1的中点,所以MN∥A1C1.又因为A1A綊C1C ,所以四边形A1ACC1为平行四边形,所以A1C1∥AC ,所以MN∥AC ,所以A ,M ,N ,C在同一平面内,故AM和CN不是异面直线．(2)D1B与CC1是异面直线．理由如下：因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,所以B ,C ,C1 ,D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线,那么存在平面α,使D1B⊂平面α ,CC1⊂平面α ,所以D1 ,B ,C ,C1∈α ,这与B ,C ,C 1 ,D 1不共面矛盾．所以假设不成立 ,即D 1B 与CC 1是异面直线．11．如图 ,在三棱锥P -ABC 中 ,P A ⊥底面ABC ,D 是PC 的中点．∠BAC ＝π2 ,AB ＝2 ,AC ＝2 3 ,P A ＝2.求：(1)三棱锥P -ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．解：(1)S △ABC ＝12×2×23＝2 3 ,三棱锥P -ABC 的体积为V ＝13S△ABC ·P A ＝13×23×2＝433.(2)如图 ,取PB 的中点E ,连接DE ,AE ,那么ED ∥BC ,所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中 ,DE ＝2 ,AE ＝ 2 ,AD ＝2 ,cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34.故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.12．如图是三棱锥D -ABC 的三视图 ,点O 在三个视图中都是所在边的中点 ,那么异面直线DO 和AB 所成角的余弦值等于( A )A.33 B.12C. 3D.2 2解析：由三视图及题意得如下列图的直观图,从A出发的三条线段AB ,AC ,AD两两垂直且AB＝AC＝2 ,AD＝1 ,O是BC中点,取AC 中点E ,连接DE ,DO ,OE ,那么OE＝1 ,又可知AE＝1 ,由于OE∥AB ,故∠DOE即为所求两异面直线所成的角或其补角．在直角三角形DAE 中,DE＝ 2 ,由于O是BC的中点,在直角三角形ABC中可以求得AO＝ 2 ,在直角三角形DAO中可以求得DO＝ 3.在三角形DOE中,由余弦定理得cos∠DOE＝1＋3－22×1×3＝33,故所求异面直线DO与AB所成角的余弦值为33.13．正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段B1D1上的一个动点,那么以下结论中正确的选项是①②③(填序号)．①AC⊥BE；②B1E∥平面ABCD；③三棱锥E-ABC的体积为定值；④直线B1E⊥直线BC1.解析：因AC⊥平面BDD1B1,故①正确；因B1D1∥平面ABCD,故②正确；记正方体的体积为V ,那么V E-ABC＝16V ,为定值,故③正确；B1E与BC1不垂直,故④错误．14.如下列图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是边长为2的正三角形,侧棱A1A⊥底面ABC ,点E ,F分别是棱CC1 ,BB1上的点,点M 是线段AC上的动点,EC＝2FB＝2.(1)当点M在何位置时,BM∥平面AEF?(2)假设BM∥平面AEF ,判断BM与EF的位置关系,说明理由；并求BM与EF所成的角的余弦值．解：(1)解法1：如下列图,取AE的中点O,连接OF,过点O作OM⊥AC于点M.因为侧棱A1A⊥底面ABC ,所以侧面A1ACC1⊥底面ABC.又因为EC＝2FB＝2 ,所以OM∥EC∥FB且OM＝12EC＝FB ,所以四边形OMBF为矩形,BM∥OF.因为OF⊂平面AEF ,BM⊄平面AEF ,故BM∥平面AEF ,此时点M为AC的中点．解法2：如下列图,取EC的中点P ,AC的中点Q ,连接PQ ,PB ,BQ.因为EC＝2FB＝2 ,所以PE綊BF ,所以PQ∥AE ,PB∥EF ,所以PQ∥平面AFE ,PB∥平面AEF ,因为PB∩PQ＝P ,PB⊂平面PBQ ,PQ⊂平面PBQ ,所以平面PBQ ∥平面AEF.又因为BQ⊂平面PBQ ,所以BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M ,此时点M为AC的中点．(2)由(1)知,BM与EF异面,∠OFE(或∠MBP)就是异面直线BM 与EF所成的角或其补角．易求AF＝EF＝ 5 ,MB＝OF＝ 3 ,OF⊥AE,所以cos∠OFE＝OF EF ＝35＝155,所以BM与EF所成的角的余弦值为155.尖子生小题库 - -供重点班学生使用普通班学生慎用15．平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1 ,α∩平面ABCD＝m ,α∩平面ABB1A1＝n ,那么m ,n所成角的正弦值为(A)A.32 B.22C.33 D.13解析：如下列图,设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1 ,因为α∥平面CB1D1 ,所以m1∥m ,又平面ABCD∥平面A1B1C1D1 ,且平面B1D1C∩平面A1B1C1D1＝B1D1 ,所以B1D1∥m1 ,故B1D1∥m.因为平面ABB1A1∥平面DCC1D1 ,且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1 ,同理可证CD1∥n.故m ,n所成角即直线B1D1与CD1所成角,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,△CB1D1是正三角形,故直线B1D1与CD1所成角为60° ,其正弦值为32.16．(2021·成都诊断性检测)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,P为A1D1的中点,AD＝2 ,AA1＝ 3 ,点Q是正方形ABCD所在平面内的一个动点,且QC＝2QP ,那么线段BQ的长度的最||大值为6.解析：以D为坐标原点,分别以DA ,DC ,DD1所在直线为x轴、公众号：惟微小筑y轴、z轴,建立空间直角坐标系,那么P(1,0 ,3) ,C(0,2,0) ,B(2,2,0) ,Q(x ,y,0) ,因为QC＝2QP ,所以x2＋(y－2)2＝2(x－1)2＋y2＋3⇒(x－2)2＋(y＋2)2＝4 ,所以(y＋2)2＝4－(x－2)2≤4⇒|y＋2|≤2⇒－4≤y≤0 ,BQ＝(x－2)2＋(y－2)2＝4－(y＋2)2＋(y－2)2＝4－8y,根据－4≤y≤0可得4≤4－8y≤36 ,所以2≤BQ≤6 ,故线段BQ的长度的最||大值为6.。

2020高考数学课后作业9-3空间点、直线、平面之间的位置关系新人教A版

2020高考数学人教A版课后作业：9-3空间点、直线、平面之间的位置关系1. （文）（2020 •福州二检）给出下列四个命题：①没有公共点的两条直线平行；②互相垂直的两条直线是相交直线；③既不平行也不相交的直线是异面直线；④不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2C．3 D．4[ 答案] B[解析]没有公共点的两条直线平行或异面，故命题①错；互相垂直的两条直线相交或异面，故命题②错；既不平行也不相交的直线是异面直线，不同在任一平面内的两条直线是异面直线，命题③、④正确，故选 B.（理）（2020 •浙江文，4）若直线I不平行于平面a,且l? a,则（）A. a内的所有直线与I异面B．a 内不存在与l 平行的直线C. a 内存在唯一的直线与I 平行D. a 内的直线与I 都相交[ 答案] B[解析]由题意知不妨设直线I A a= M对A过M点的a内的直线与I不异面，A错误；对B,假设存在与I平行的直线m则由m// I得I //a ,这与I A a = M矛盾，故B正确；C显然错误；对D, a内存在与I 异面的直线，故D错误.综上知选 B.2. （2020 •深圳市调研）已知E、F、G H是空间内四个点，条件甲：E、F、G H四点不共面，条件乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[ 答案] A[解析]点E、F、G H四点不共面可以推出直线EF和GH^相交；但由直线EF和GH^ 相交不一定能推出E、F、G H四点不共面，例如：EF和GH平行，这也是直线EF和GH不相交的一种情况，但E、F、G H四点共面.故甲是乙成立的充分不必要条件.3. （文）（2020 •威海质检）已知直线I、m平面a ,且a,则I // m是I //a的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件［答案］D［解析］由I // m可知I //a或l ? a,所以“ I // m”’不是“ I //a "的充分条件，I //a 且m? a,则直线I // m或直线I与m异面，所以“ I // m也不是“ I //a ”的必要条件，故选 D.（理）（2020 •淄博一中）已知直线I丄平面a，直线n?平面卩，则a/卩是I丄m的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件［答案］A［解析］若a//®,则由I丄a知I丄卩，又m?卩，可得I丄m若a与卩相交（如下图），设a n ®=n当mil n时，由I丄a可得I丄m而此时a与卩不平行.于是a/®是I丄m的充分不必要条件.故选A.4. （2020 •济宁一模）已知空间中有三条线段AB BC和CD且/ ABC=Z BCD那么直线AB与CD的位置关系是（）A. AB// CDB. AB与CD异面C. AB与CD相交D. AB// CD或AB与CD异面或AB与CD相交［答案］D［解析］若三条线段共面，如果AB BC CD勾成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线，故选D.5 .平行六面体ABC B A i B i C iD中，既与AB共面也与CC共面的棱的条数为（）A. 3B. 4C. 5D. 6［答案］C［解析］AA 、BB ,共 5 条.6 .在空间四边形 ABCD 勺边AB BG CD DA 上分别取 E F 、G H 四点，若 EF 与GH 交于点M［答案］A［解析］点P 在平面ABC 内，又在平面 ADC 内，故必在交线 AC 上.7. （2020 •金华模拟）在图中，G H 、M N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则使图③中，连接 MG GMT HN 因此GH 与 MN 共面; 图④中，G M N 共面，但H?平面GMN因此GH 与 MN 异面.CC 共面的棱为 BC CD 、DCA .M —定在 AC 上B . M —定在 BD 卜C. M 可能在AC 上也可能在BD 上D. M 不在AC 上，也不在BD 上直线GH MN 是异面直线的图形有.（填上所有正确答案的序号）图②中, 因此直线图①中，直线 GH/ MNG H N 三点在三棱柱的侧面上,MGW这个侧G 二 M ?平面 GHNGH 与 MN 异面; 如上图，平行六面体///④所以图②、④中GH与MN异面.8.如下图，平面ABEFL平面ABCD四边形ABEF与ABCDTE是直角梯形，/ BAD=Z FAB=90°, BC 綊1A D, BE 綊2F A G H 分别为FA 、FD 的中点.(1)证明：四边形 BCH (是平行四边形; (2) CD F 、E 四点是否共面？为什么？⑶设AB= BE 证明：平面 ADEL 平面CDE［解析］解法一：由题设知， FA 、AB AD 两两互相垂直.如图，以A 为坐标原点, AB 为x 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系A — xyz .(1)设 AB= a , BC= b , BE= c ,则由题设得 A (0 , 0,0) , B ( a, 0,0) , C ( a , b, 0) , D (0,2日 a,0, c ) , G (0,0 , c ), H(0, b , c ), F (0,0,2 c ).—f所以，GH= (0 , b, 0), BC= (0 , b,0),于是GH= BC 又点G 不在直线BC 上 , 所以四边形BCHG1平行四边形.⑵CD F 、E 四点共面.理由如下：由题设知，F (0,0,2 c ),所以f f f fEF = ( — a, 0 , c ), CH= ( — a, 0 , c ), EF = CH 又C ?EF, H € FD,故C D F 、E 四点共面.射线b,0),⑶由AB= BE 得c = a,所以CH= ( —a, 0, a), AE= (a, 0, a)又AD= (0,2 b,0)，因此CH- AE= 0, CH- AD= 0即CHL AE CHL AD,又AR AE= A,所以CHL平面ADE故由CH?平面CDFE得平面AD L平面CDE［点评］如果所给问题中存在两两垂直的直线交于一点，容易将各点的坐标表示出来时，可用向量法求解•如果其所讨论关系不涉及求角，求距离或所求角、距离比较容易找(作)出时，可不用向量法求解•本题解答如下：1解法二：⑴由题设知，FG= GA FH= HD所以GH綊q AD1又BC綊q AD故GH綊BC所以四边形BCHG1平行四边形.⑵CD F、E四点共面•理由如下：1由BE綊q AF, G是FA的中点知，BE綊GF,所以EF// BG由(1)知BG// CH所以EF / CH故EC FH共面.又点D直线FH上,所以CD F、E四点共面.⑶连结EG由AB= BE, BE綊AG及/ BAG= 90°知ABEG1正方形，故BGL EA由题设知，FA AD AB两两垂直，故ADL平面FABE因此EA是ED在平面FABE内的射影，二BGL ED又E8 EA= E ,所以BGL平面ADE由(1)知，CH// BG所以CHL平面ADE由⑵知F€平面CDE故CH?平面CDE得平面ADEL平面CDE能力拓展提高1. （2020 •北京市西城区模拟）正方体ABC D ABCD中，与对角线AG异面的棱有（）A. 3条B. 4条C. 6条D. 8条［答案］Cr［解析］在正方体ABC B ABCD中，与对角线AC有公共点A的和有公共点C的各有3 条，其余6条所在正方体的面与AC均相交，且交点不在这些棱上，由异面直线判定定理知，这6条与AC都异面，故选C.2 .（文）（2020 •四川文，6）l i,l2,丨3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A. 丨1丄丨 2 ,丨2丄丨3? l 1 II l 3B. l 1 丄l 2 , l 2 II l 3? l 1 丄l 3C. l 1 I l 2 II l 3? l 1 , l 2 , l 3共面D. l 1 , l 2 , l 3共点？丨1,丨2,丨3共面［答案］B［解析］举反例，由教室内共点的三条墙角线可知A、D是错误的；由三棱柱的三条侧棱可知C是错误的.故选 B.（理）（2020 •浙江省嘉兴市高三教学测试）如图，在正方「体ABCD- ABCD中，M N分别是BC, CD的中点，则下列判断错误的是（）A. MNW CC垂直B. MN与AC垂直C. MNW BD平行D. MNW AB 平行［答案］D［解析］由于CD与AB平行，MNW CD是异面直线，所以MN与AB是异面直线，故选项D错误.［点评］取 CG 中点 P ,贝U MP// BC , NP// CD , •/ CC 丄 BC , CG 丄 CD ,「.CC 丄MP CC 丄NP,1 1 •••CC 丄平面MNP 「. CC 丄MN ••• A 正确；取CD 中点Q BC 中点R 贝U NC 綊q DD, MF 綊q CC, •••CC 綊 DD, ••• NQ 綊 MR • M / QR •/ QR/BD ACL BD • AC 丄 MN • B 正确；•/ MIN/QR QR/ BD •- MIN/ BD •- C 正确.3 .已知a 、b 、c 是相异直线，a 、卩、丫是相异平面，下列命题中正确的是（）A. a 与b 异面，b 与c 异面？ a 与c 异面B. a 与b 相交，b 与c 相交？a 与c 相交C.a//® ,卩〃丫？ a/丫D. a ? a , b ? ® , a 与卩相交？ a 与b 相交［答案］C［解析］如下图（1）,正方体 ABC B ABCD 中，a 、b 、c 是三条棱所在直线满足 a 与b 异面，b 与c 异面，但a n c =代故A 错；同样在图（2）的正方体中，满足 a 与b 相交，b 与c 相交，但a 与c 不相交，故B 错；如图 ⑶，a n 3= c , a // c ,则a 与b 不相交，故D 错.(1)(2)(3)异面直线BA 与AC 所成的角等于（）A . 30°B . 45° C. 60° D. 90°［答案］C［解析］将原来的直三棱柱补成一个正方体 ABD （- ABDC ,• AC //BD ,•••/ ABD 即为异面直线 BA 与AC 所成的角. • △ ABD 为正三角形, • / ABD = 60°.［点评］异面直线所成的角是重点考查的一个内容，难点在于寻找异面直线的平行线，4. (2020 •全国卷I 文,6）直三棱柱 ABC-ABC 中，若/ BAC = 90° , A* AC = AA ,贝 U本题巧妙地构造一个正方体，借助于正方体的特点，很容易找出异面直线所成的角.5.（2020 •南京模拟）如图，直三棱柱ABC- ABC 中，AB= 1, BC= 2 , AC= .5 , AA = 3 , M为线段BB 上的一动点，则当 AW MC 最小时，△ AMC 勺面积为 __________［解析］如下图，在正方体 AC 中，I Q€ AQ ,.・.Q€平面 ACCA 又Q€ ［答案］,：3［解析］将三棱柱的侧面 AABB 和BBCC 以BB 为折痕展平到一个平面a 内AC 与BB 相交，则交点即为 M 点，易求 BM= 1 ,••• AM= ,2 MC = 2 '2,又在棱柱中，AC = 14,AM 2+ MC 2 — AC 2 2+ 8- 14 1•- cos / AM" = ----------- =一二，2AM- MC 2X 羽X 2羽 2•••/ AMC 120°,1• S A AMC = ^AM- MC ・ sin / AMC，在平面 a =1X .''2X2'2 X ~23= 36•如下图，已知正方体 ABC — ABCD 中，E 、F 分别为 DC 、BC 的中点,AG A EF = Q,若AQ 交平面BDEF 于点R 试确定点 R 的位置.AC A BD = P,BDEF即卩Q是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点.同理，P也是平面ACCA与平面BDEF的公共点.•••平面A1GCA O平面BDE= PQ 又ACH平面BDE= R,. R€ AC,••• R€ 平面ACCA 又R€ 平面BDEF 二R€ PQ ••• R是A C与PQ的交点.7.(文)正方体ABCB ABGD的棱长为1.求：(1) AB与BC所成的角；⑵AB与BD的距离.［解析］(1) ••• AB// CD •/ BCD为AB和BC所成的角,•/ DCL平面BBCC,•DCL BC,于是/ BCD= 90°,•AB与B i C所成的角为90°.⑵••• AB// CD AB?平面BDC DC?平面B i DC•AB//平面B i DC从而AB与BD的距离即为AB与平面B i DC的距离，连接BC交BC于0点，易知BOL B i C, BOL CD •- BOL平面BDC•B0的长为B到平面B i DC的距离，••• Bd#AB与BiD的距离为乎.(理)(2020 •湖南文)如下图所示，在长方体ABCD- ABCD中，AB= AD= 1, AA= 2, M是棱CG 的中点.(1) 求异面直线AM和CD所成的角的正切值；(2) 证明：平面ABM L平面A i B i M I［解析］方法1: (1)如图，因为CD// BA,所以「/MAB为异面直线AM与GD所成的角. 因为AB L 平面BCCB i，所以/ ABM= 90°,而A B i = 1, B i M= ；'BC 2+ MC2= ：2，故BM 厂tan / MAB = AB = 2 即异面直线AM和CD所成的角的正切值为羽.(2)由AB丄平面BCCB, BM?平面平面BCGB，得A1B1L BM ①由(1)知，BM= 2,又BM=P BC+ CM=d BB= 2,所以BM+ BM= B1B2,从而BM L BM ②又AB n BM= B,.・.BML平面ABM 而BM?平面ABM因此平面ABM_平面ABMf f方法2：以A为原点，AB AD, AA的方向分别作为x、y、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0) , B(1,0,0) , A (0,0,2) , B(1,0,2) , C(1,1,2) , D(0,1,2),M1,1,1).⑴AM= (1,1 , - 1) , CD = (—1,0,0),cos〈AM CD〉= - 1 =-半.^3X1 3设异面直线AM与CD所成角为a，贝U cos a =-^3,3•- tan a = :2即异面直线AM和CD所成的角的正切值是沱.(2) A B = ( 1 ,0,0) , BM= (0,1 , 1 ) , BM= (0,1，—1),A1B1 • BM= 0, BM" BM= 0,f f f f• A1B1L BM BM L BM 即BM L A1B1, BM L BM>又B MA A1B = B1, ••• BML平面ABM 而BM?平面ABM备选题库因此ABML平面ABM1 •将正方体纸盒展开如图所示，直线AB, CD在原正方体中的位置关系是（）A .平行C.相交成60°角［答案］D2. （09 •江西）如图，在四面体ABC ［中，若截面PQM 是正方形，则在下列命题中，错误的为（）A . ACL BDB . AC//截面 PQMNC. AC= BDD. 异面直线PM 与BD 所成的角为45［答案］CB QC c60°角［解析］•/ MN PQ ••• MN平面ABC, MN AC同理BD// QM•/ MN_ QM •- ACL BD •- A 正确；•/ AC//MN•AC//面PQMN 故 B 对；•/ BD//QM •- PM与BD所成角即为/ PMQ•PM与BD成45° 角,故D对.选 C.3. (2020 •山西太原调研)已知平面a和不重合的两条直线m n，下列选项正确的是( )A. 如果m? a , n? a , m n是异面直线，那么n//aB. 如果m? a , n与a相交，那么m n是异面直线C. 如果m? a , n //a , m n共面，那么m// nD. 如果ml a , n丄m那么n//a［答案］C［解析］如图(1)可知A错；如图⑵可知B错；如图⑶，m l a ,门是a内的任意直线，都有n L m故D错.t n //a ,• n与a无公共点，••• n? a ,• n与m无公共点，又m n共面，• m// n,故选C.⑴(2) ⑶a⑴(2) ⑶。

2020届高考数学(理)一轮必刷题专题41 空间点、直线、平面之间的位置关系(解析版)

考点41 空间点、直线、平面之间的位置关系1．（山东省日照市2019届高三5月校际联合考试数学理）已知,m n 是两条不同直线，,αβ是两个不同平面，给出四个命题： ①若m αβ=，n α⊂，n m ⊥，则αβ⊥；②若,m m αβ⊥⊥，则αβ；③若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥；④若,,m n m n αβ，则αβ.其中正确的命题是（）A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④【答案】B 【解析】①若m αβ=，n α⊂，n m ⊥，如图，则α与β不一定垂直，故①为假命题；②若,m m αβ⊥⊥，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，则αβ；故②为真命题；③若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥，故③为真命题；④若,,m n m n αβ，如图，则α与β可能相交，故④为假命题．故选：B ．2．（四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学理）设,a b 是空间两条直线，则“,a b 不平行”是“,a b 是异面直线”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】由,a b 是异面直线⇒,a b 不平行．反之若直线,a b 不平行，也可能相交．所以“,a b 不平行”是“,a b 是异面直线”的必要不充分条件．故选：B ．3．（安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测）如图，边长为1的菱形ABCD 中，60DAB ︒∠= ，沿BD 将ABD ∆ 翻折，得到三棱锥A BCD - ，则当三棱锥A BCD -体积最大时，异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为（）A ．58B ．23C ．1316D ．14【答案】D【解析】当三棱锥A BCD -体积最大时，平面ADB ^平面BDC ，边长为1的菱形ABCD 中，60DAB ︒∠=BD 1\=取DB 中点O ，连接AO,OC ，则AO ⊥平面BDC ，OC ^平面ADB ，以O 为原点，分别OB,OC,OA 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系则11D ,0,0,A 0,0,,B ,0,0222骣骣骣琪琪琪-琪琪琪桫桫桫，C 0,,02骣琪琪桫131,0,,,2222AD BC 骣骣琪琪=--=-琪琪桫桫设异面直线AD 与BC 所成角为θ1||14cos 114||||AD BC AD BC q ×\===´×即异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为14故选D．4．（山东省泰安市教科研中心2019届高三考前密卷数学理）如图所示，边长为a的空间四边形ABCD中，∠BCD＝90°，平面ABD⊥平面BCD，则异面直线AD与BC所成角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】由题意得BC＝CD＝a，∠BCD＝90°，∴BD，∴∠BAD＝90°，取BD中点O，连结AO，CO，∵AB＝BC＝CD＝DA＝a，∴AO⊥BD，CO⊥BD，且AO＝BO＝OD＝OC＝，2又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊥BD，∴AO⊥平面BCD，延长CO至点E，使CO＝OE，连结ED，EA，EB，则四边形BCDE为正方形，即有BC∥DE，∴∠ADE（或其补角）即为异面直线AD与BC所成角，由题意得AE＝a，ED＝a，∴△AED为正三角形，∴∠ADE＝60°，∴异面直线AD与BC所成角的大小为60°．故选：C．5．（安徽省1号卷A10联盟2019届高考最后一卷数学理）已知,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（） A ．若//,//m n αα，则//m n B ．若,αγβγ⊥⊥，则//αβC ．若//,//m n αα，且,m n ββ⊂⊂，则//αβD ．若,m n αβ⊥⊥，且αβ⊥，则m n ⊥ 【答案】D 【解析】若//m α，//n α，则//m n 或m 与n 异面或m 与n 相交，故选项A 错误；若αγ⊥，βγ⊥，则α与β可能相交，故选项B 错误；若直线,m n 不相交，则平面,αβ不一定平行，故选项C 错误；αβ⊥Q ，m α⊥ //m β∴或m β⊂，又n β⊥ m n ∴⊥，故选项D 正确.本题正确选项：D6．（江西省吉安市2019届高三下学期第一次模拟考试数学理）如图，长为4，宽为2的矩形纸片ABCD 中，E 为边AB 的中点，将A ∠沿直线DE 翻转1A DE △（1A ∉平面ABCD ），若M 为线段1A C 的中点，则在ADE 翻转过程中，下列说法错误的是（）A ．//MB 平面1A DEB ．异面直线BM 与1A E 所成角是定值C ．三棱锥1A ADE -体积的最大值是3D ．一定存在某个位置，使1DE A C ⊥ 【答案】D 【解析】由题意，对于A ，延长CB ，DE 交于H ，连接1A H ，由E 为AB 的中点，可得B 为CH 的中点，又M 为1A C 的中点，可得1BM //A H ，BM ⊄平面1A DE ，1A H ⊂平面1A DE ，则BM//平面1A DE ，∴A 正确；对于B ，AB 2AD 4==，过E 作EG //BM ，G ∈平面1A DC ，则1A EG ∠是异面直线BM 与1A E 所成的角或所成角的补角，且11A EG EA H ∠∠=，在1EA H 中，1EA 2=，EH DE ==则1A H =，则1EA H ∠为定值，即1A EG ∠为定值，∴B 正确；对于C ，设O 为DE 的中点，连接OA ，由直角三角形斜边的中线长为斜边的一半，可得平面1A DE ⊥平面ADE 时，三棱锥1A ADE -的体积最大，最大体积为2Δug 1111V S A 02332=⋅=⨯⨯=，∴C 正确；对于D ，连接1A O ，可得1DE A O ⊥，若DE MO ⊥，即有DE ⊥平面1A MO ，即有1DE A C ⊥，由1A C 在平面ABCD 中的射影为AC ，可得AC 与DE 垂直，但AC 与DE 不垂直，则不存在某个位置，使DE MO ⊥，∴D 错误；故选：D ．7．（新疆乌鲁木齐市2019届高三第二次诊断性测试数学理）如图，是棱长为1的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，以下结论正确的是（）A ．点A 到EFB ．三棱锥C DMN -的体积是16C ．EF 与平面CDN 所成的角是45︒D ．EF 与MN 所成的角是60︒ 【答案】D 【解析】解：根据正方体的平面展开图，画出它的立体图形如图所示，对于A ，连接ND ，与EF 交于O 点，连接AO ，则AO 的长即点A 到EF 的距离，AO 2，故A 错误；对于B ，三棱锥C DMN -的体积是33２１１，故B 错误；对于C ，F 点到平面CDN的距离为3，∴EF 与平面CDN3，故C 错误；对于D ，EF 与MN 所成的角即MC 与MN 所成的角，显然是60°，故D 正确，故选：D8．（新疆乌鲁木齐市2019届高三第二次诊断性测试数学理）设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A ．若αβ⊥，m β⊥，则//m α B ．若//m α，n m ⊥，则n α⊥C ．若//m α，//n α，m β⊂，n β⊂，则//αβD ．若//m β，m α⊂，n αβ=，则//m n【答案】D 【解析】若αβ⊥，m β⊥，则有可能m 在面α内，故A 错误；若//m α，n m ⊥，n 有可能在面α内，故B 错误；若一平面内两相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行，故C 错误．若//m β，m α⊂，n αβ=，则由直线与平面平行的性质知//m n ，故D 正确．故选D.9．（湖北省武汉市2019年高考数学理）已知两个平面相互垂直，下列命题 ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线 ③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】由题意，对于①，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故①错误；对于②，设平面α∩平面β=m ，n ⊂α，l ⊂β，∵平面α⊥平面β， ∴当l ⊥m 时，必有l ⊥α，而n ⊂α， ∴l ⊥n ，而在平面β内与l 平行的直线有无数条，这些直线均与n 垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即②正确；对于③，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不垂直于另一个平面，故③错误；对于④，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面，这是面面垂直的性质定理，故④正确；故选：B ．10．（辽宁省辽阳市2019届高三下学期一模数学理）如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱AB 和A 1D 1的中点分别为E ，F ，AB ＝6，AD ＝8，AA 1＝7，则异面直线EF 与AA 1所成角的正切值为（）A ．57B ．75C D【解析】取A 1B 1中点G ，连接EG ，FG ，EG ⊥FG ，因为EG ∥AA 1，所以异面直线EF 与AA 1所成角为∠FEG 或其补角，在△EFG 中，FG ＝5，EG ＝7，所以tan ∠FEG 57=，故选：A ．11．（广东省湛江市2019年普通高考测试二理）已知,,αβγ是三个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，给出下列命题：①若//,m n αα⊂，则//m n ；②若,//m m n αβ⋂=，且,n n αβ⊄⊄，则//,//n n αβ； ③若,,//n m αβαβ⊥⊂，则m n ⊥； ④ ,,,m n αγβγαβγ⊥⊥⋂=⊂，则m n ⊥. 其中真命题的个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】对①若//,m n αα⊂，则//m n 或m,n 异面，故错误；对②，由线面平行的判定定理知：若,//m m n αβ⋂=，且,n n αβ⊄⊄，则//,//n n αβ，正确对③，若,//n ααβ⊥，则,m m ββ⊥⊂，则m n ⊥，正确对④，设α,?,a b γβγ==在面γ内任取点O,作OA a,⊥ OB b,⊥由,αγβγ⊥⊥，得OA ,α⊥ OB ,β⊥故OA ,m ⊥ OB ,m ⊥则m γ⊥，又n m n γ⊂⊥，则，正确综上真命题的个数是3个12．（甘肃省兰州市2019届高三实战模拟考试二诊数学（理）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，AD =1AA 11A B 与1AC 所成角的余弦值为（）A ．14B C D ．13【答案】C 【解析】因为长方体1111ABCD A B C D -所以11A B AB ∥，所以1BAC ∠即为异面直线11A B 与1AC 所成角。

2020版高考数学第七章立体几何第三节空间点、直线、平面之间的位置关系学案理(含解析)新人教A版

第三节空间点、直线、平面之间的位置关系2019考纲考题考情1．平面的基本性质如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面如果两个不重合的平面有一个公共点，过该点的公共直线(2)平行公理：公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行——空间平行线的传递性。

(3)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

(4)异面直线所成的角：①定义：设a 、b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)。

②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2。

3．直线与平面的位置关系内相平1．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。

2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线。

3．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角。

一、走进教材1．(必修2P 43练习T 1改编)下列命题中正确的是( ) A ．过三点确定一个平面 B ．四边形是平面图形C ．三条直线两两相交则确定一个平面D ．两个相交平面把空间分成四个区域解析对于A ，过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面，故A 错误；对于B ，四边形也可能是空间四边形，不一定是平面图形，故B 错误；对于C ，三条直线两两相交，可以确定一个平面或三个平面，故C 错误；对于D ，平面是无限延展的，两个相交平面把空间分成四个区域，故D 正确。

答案 D2．(必修2P 49练习题)若直线a 不平行于平面α，且a ⊄α，则下列结论成立的是( ) A ．α内的所有直线与a 异面 B ．α内不存在与a 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与a 平行 D ．α内的直线与a 都相交解析若直线a 不平行于平面α，且a ⊄α，则线面相交，A 选项不正确，α内存在直线与a 相交；B 选项正确，α内的直线与直线a 的位置关系是相交或者异面，不可能平行；C 选项不正确，因为α内的直线与直线a 的位置关系是相交或者异面，不可能平行；D 选项不正确，α内只有过直线a 与平面的交点的直线与a 相交。

2020年高考文科数学空间点、直线、平面之间的位置关系专项练习题含解析

课时规范练A组基础对点练1．在空间中，可以确定一个平面的条件是()A．两两相交的三条直线B．三条直线，其中的一条与另外两条分别相交C．三个点D．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点解析：两两相交的三条直线，它们可能相交于同一点，也可能不相交于同一点，当三条直线相交于同一点时，这三条直线可能不在同一个平面内，A错；条件中另外两条直线可能共面，也可能不共面，当另外两条直线不共面时，三条直线不能确定一个平面，B错；空间三个点可能不在同一条直线上，也可能在同一条直线上．当三个点在同一条直线上时，经过这三个点的平面有无数个，C错；因为三条直线两两相交于不同的点，所以三个交点不在同一条直线上，由公理2知，这三条直线可以确定一个平面，D正确．选D.答案：D2．下列说法错误的是()A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内B．过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直C．如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直D．如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行解析：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内，A正确，排除A；过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直，B正确，排除B；如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直，C 正确，排除C；如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线不一定平行，D错误，选D.答案：D3．下列命题中，真命题的个数为()①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l.A．1B．2C．3 D．4解析：根据公理2，可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；在空间中，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故③是假命题；根据平面的性质可知④是真命题．综上，真命题的个数为2.答案：B4．在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与直线A1B1、EF、BC都相交的直线()A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条解析：在EF上任意取一点M，直线A1B1与M确定一个平面，这个平面与BC有且仅有1个交点N，当M的位置不同时确定不同的平面，从而与BC有不同的交点N，而直线MN与A1B1、EF、BC分别有交点P、M、N，如图，故有无数条直线与直线A1B1、EF、BC都相交．答案：D5．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．答案：A6．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b，又aα，bβ，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．答案：A7．在四面体ABCD中，若AB＝CD＝3，AC＝BD＝2，AD ＝BC＝5，则直线AB与CD所成角的余弦值为()A．－13B．－14C.14 D.13答案：D8．设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a平面α，b平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；aα，bβ，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错．答案：①9.如图，已知圆柱的轴截面ABB 1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．解析：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD，因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝2AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为 2.答案： 210．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱有________条．解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行的棱有AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条．答案：511.如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠F AB＝90°，BC解析：(1)证明：由题设知，FG＝GA，FH＝HD，B组能力提升练12．(2019·湘东五校联考)已知直线m，l，平α，β，且m⊥α，lβ，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β.其中正确的命题是()A．①④B．③④C．①②D．①③解析：对于①，若α∥β，m⊥α，lβ，则m⊥l，故①正确，排除B.对于④，若m∥l，m⊥α，则l⊥α，又lβ，所以α⊥β，故④正确．选A.答案：A13.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为()A.12B．－12C.32D．－32答案：A14．α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题正确的是()A．若α∩β＝m，nα，m⊥n，则α⊥βB．若α⊥β，α∩β＝m，α∩γ＝n，则m⊥nC．若m不垂直于平面α，则m不可能垂直于平面α内的无数条直线D．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β解析：对于选项A，直线n是否垂直于平面β未知，所以平面α不一定垂直于平面β，选项A错误；对于选项B，由条件只能推出直线m与n共面，不能推出m⊥n，选项B错误；对于选项C，命题“若m不垂直于平面α，则m不可能垂直于平面α内的无数条直线”的逆否命题是“若直线m垂直于平面α内的无数条直线，则m垂直平面α”，这不符合线面垂直的判定定理，选项C错误；对于选项D，因为n⊥β，m∥n，所以m⊥β，又m⊥α，所以α∥β，选项D正确．选D.答案：D15.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为P A，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面P AD.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：将展开图还原为几何体(如图)，因为E，F分别为P A，PD的中点，所以EF∥AD∥BC，即直线BE与CF共面，①错；因为B平面P AD，E∈平面P AD，E AF，所以BE与AF是异面直线，②正确；因为EF∥AD∥BC，EF平面PBC，BC平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正确；平面P AD与平面BCE不一定垂直，④错．故选B.答案：B16．若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，给出下列结论：①四面体ABCD每组对棱相互垂直；②四面体ABCD每个面的面积相等；③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°；④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)解析：对于①，如图1，AE，CF分别为BD边上的高，由三角形全等可知DE＝BF，当且仅当AD＝AB，CD＝BC时，E，F重合，此时AC⊥BD，所以当四面体ABCD为正四面体时，每组对棱相互垂直，故①错误；对于②，因为AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，所以四面体四个面全等，所以四面体ABCD每个面的面积相等，故②正确；对于③，当四面体为正四面体时，同一个顶点出发的任意两条棱的夹角均为60°，此时四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于180°，故③错误；对于④，如图2，G，H，I，J为各边中点，因为AC＝BD，所以四边形GHIJ为菱形，GI，HJ相互垂直平分，其他同理可得，所以连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分，故④正确；对于⑤，从A点出发的三条棱为AB，AC，AD，因为AC ＝BD，所以AB，AC，AD可以构成三角形，同理可得其他，所以从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长，故⑤正确．综上所述，正确的结论为②④⑤.答案：②④⑤17.如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．解析：(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所成平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD是异面直线．(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．又因为AC⊥BD，则FG⊥EG.在Rt△EGF中，由EG＝FG＝12AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.。