第三节：随机事件的独立性

B
AB A
1
1
1 1 若 P ( A) = , P ( B ) = , 2 2
则 P ( AB ) = P ( A) P ( B ).
由此可见两事件相互独立但两事件不互斥. 由此可见两事件相互独立但两事件不互斥 两事件 两事件相互独立 两事件相互独立相互独立但两事件不互斥 两事件互斥 互斥. 两事件互斥
(2) 若事件 与B相互独立 则以下三对事件 若事件A与 相互独立 相互独立, 也相互独立. 也相互独立
A与B； ② A 与 B； 与 ③ A与B.
①
注 称此为二事件的独立性 关于逆运算封闭. 关于逆运算封闭
证 ① QA = AΩ = A(B + B) = AB+ AB
∴ P( A) = P( AB) + P( AB) P( AB) = P( A) − P( AB)
又∵ A与B相互独立 与 相互独立
∴ P( AB) = P( A) − P( AB)
= P( A) − P( A)P(B) = P( A)[1 − P(B)] = P( A)P(B)
③ QAB = AU B (对偶律 对偶律 )
∴ P( AB) = P( AU B)
= 1 − P( AU B)
= 1 − P( AU B)
2. n 重贝努利 重贝努利 努利(Bernoulli)试验 试验
次重复试验具有下列特点 特点： 若n 次重复试验具有下列特点： 1) 每次试验的可能结果只有两个 或 A, 每次试验的可能结果只有两个A 且 P( A) = p, P( A) = 1 − p ( 在各次试验中 是常数，保持不变） 在各次试验中p是常数 保持不变） 是常数， 2) 各次试验的结果相互独立， 各次试验的结果相互独立， 则称这n次重复试验为 重贝努里试验，简称为 则称这 次重复试验为n重贝努里试验， 次重复试验为 重贝努里试验 贝努里概型. 贝努里概型
P( A U A2 U…U An )= 1− P( A )P( A )…P( An ) 1 2 1
=1- p1 … pn -
事件的独立性在可靠性理论中的应用： 事件的独立性在可靠性理论中的应用： 可靠性理论中的应用 一个元件的可靠性：该元件正常工作的概率 一个元件的可靠性：该元件正常工作的概率. 一个系统的可靠性： 一个系统的可靠性：由元件组成的系统正常 工作的概率. 工作的概率
实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面. 实例 抛一枚硬币观察得到正面或反面 若将 就是n重伯努利试验 硬币抛 n 次,就是 重伯努利试验 就是 重伯努利试验. 实例2 抛一颗骰子n次 观察是否 实例 抛一颗骰子 次,观察是否 “出现 1 点”, 就 是 n重伯努利试验 重伯努利试验. 重伯努利试验
= 1 −[P( A) + P(B) − P( AB)]
= 1 −[P( A) + P(B) − P( A)P(B)] = [1 − P( A)] − P(B)[1 − P( A)] = [1 − P( A)]⋅[1 − P(B)]
= P( A)P(B).
乙两人同时向敌人炮击 已知甲击中 同时向敌人炮击 例1 甲, 乙两人同时向敌人炮击,已知甲击中 敌机的概率为0.6, 乙击中敌机的概率为 敌机的概率为 0.5, 求敌机被击中的概率 求敌机被击中的概率. 解 设 A={ 甲击中敌机 } B={ 乙击中敌机 } C={敌机被击中 } 敌机被击中 依题设, 则 C = AU B. 依题设 P( A) = 0.6, P(B) = 0.5 ∴ A与B不互斥 与 不互斥 ( P(A)+P(B)=1.1>1≥P(A+B) )
2. 三事件相互独立的概念
定义
设 A,B , C 是三个事件 , 如果满足等式
P ( AB ) = P ( A) P ( B ), P ( BC ) = P ( B ) P (C ), P ( AC ) = P ( A) P (C ), P ( ABC ) = P ( A) P ( B ) P (C ), 则称事件 A, B , C 相互独立 .
且
k=0
∑Pn(k) = 1.
n
(k = 0,1,2,L, n; q = 1 − p)
3.性质 性质
必然事件Ω 及不可能事件∅与任何事件A (1) 必然事件Ω 及不可能事件∅与任何事件 相互独立. 相互独立 证 ∵ ΩA=A, P(Ω)=1 Ω ∴ P(ΩA) = P(A)=1• P(A)= P(Ω) P(A) Ω Ω 独立. 即 Ω与A独立 独立 ∵ ∅A=∅, P(∅)=0 ∅ ∅ ∴ P(∅A) = P(∅)=0= P(∅) P(A) ∅ ∅ ∅ 独立. 即 ∅与A独立 独立
说明
⇔ P( AB) = P( A)P(B)
相互独立,是指事件 事件 A 与 B 相互独立 是指事件 A 的 发生的概率无关. 发生与事件 B 发生的概率无关
2º 独立与互斥的关系 这是两个不同的概念. 这是两个不同的概念
独立是事 互斥是事 件间的概 件间本身 率属性 的关系
两事件相互独立 P( AB) = P( A)P(B) 二者之间没 有必然联系 两事件互斥 AB = ∅ 例如
§随机事件的独立性
一：两个事件的独立性
由条件概率， 由条件概率，知
P( AB) P( A B) = P( B) (B 一般地， 一般地， P( A B) ≠ P( A)
这意味着：事件 的发生对事件 的发生对事件A发生的概率 这意味着：事件B的发生对事件 发生的概率 有影响. 然而，在有些情形下又会出现： 有影响 然而，在有些情形下又会出现：
P( A B) = P( A)
1.引例 盒中有 5个球 ( 3绿 2红 ), 每次取出一个 ,
有放回地取两次 .记 A = 第一次抽取 , 取到绿球 , B = 第二次抽取 , 取到绿球 , 3 P ( B A) = = P (B ) 5
则有
它表示 A 的发生并不影响 B 发生的可能性大小 .
若 P ( A) > 0，则
定义
= 2n − 1 − n 个式子.
设 A1，A2 ，… ，An为n 个事件，
若对于任意k(1≤k≤n), 及 1≤i 1< i 2< ··· < i k≤n 若对于任意
有 P( Ai1 Ai2 LAik ) = P( Ai1 )P( Ai2 )LP( Aik )
L . 则称A ，A2， An相互独立 1
又如： 又如：
1 1 若 P ( A) = , P ( B ) = (如图) 2 2
则 P ( AB ) = 0,
1 P ( A) P ( B ) = , 4
B A
故 P ( AB ) ≠ P ( A) P ( B )
由此可见两事件互斥但不独立 由此可见两事件互斥但不独立. 两事件互斥 两事件互斥 两事件互斥 两事件相互独立 两事件相互独立. 相互独立
P ( B A) = P ( B )
P ( AB ) = P ( A) P ( B )
2. 定义
设 A, B 是两事件 , 如果满足等式 P ( AB ) = P ( A ) P ( B )
则称事件 A, B 相互独立 , 简称 A, B 独立 .
注. 1º 若 P( A) > 0, 则
P( B A) = P( B)
同时射击 射击， 由于 甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影 响乙击中敌机的可能性， 独立, 响乙击中敌机的可能性，所以 A与B独立 与 独立 进而 A 与 B独立 .
Q C = AU B= AB
∴ P(C) = 1− P(C )
= 1 − P( A)P(B) = 1 −[1 − P( A)][1 − P(B)] = 1 − (1 − 0.6)(1 − 0.5)
也相互独立
即 n个独立事件至少有一个发生的概率等于 个独立事件至少有一个发生的概率等于 1减去各自对立事件概率的乘积 减去各自对立事件概率的乘积. 减去各自对立事件概率的乘积
若设n个独立事件 A , A ,…, A 发生的概率 若设 个独立事件 1 2 n , 分别为 p1,L pn, 则“ A , A ,…, A 至少有一个发生”的概率为 1 2 n 至少有一个发生” P(A1∪…∪An) =1- (1-p1 ) …(1-pn ) ∪ 类似可以得出： 类似可以得出： “ A , A ,…, A 至少有一个不发生”的概率为 1 2 n至少有一个不发生”
三：独立试验序列
1. 定义 (独立试验序列 独立试验序列) 独立试验序列
是一列随机试验,E 设{Ei }(i=1,2,…)是一列随机试验 i的样本空 是一列随机试验 间为Ω 设 中的任一事件,A 间为Ωi ,设Ak 是Ek 中的任一事件 k ⊂Ωk , 若Ak出 现的概率都不依赖于其它各次试验Ei (i≠k)的结果 的概率都不依赖于其它各次试验 的结果, 的结果 则称{E 相互独立的随机试验序列 简称独立试 试验序列,简称 则称 i } 是相互独立 试验序列 简称独立试 序列. 验序列
= 0.8
二： 多个事件的独立性
1. 三事件两两相互独立的概念 三事件两两 两两相互独立的概念 定义 设 A, B , C 是三个事件 , 如果满足等式
P ( AB ) = P ( A) P ( B ), P ( BC ) = P ( B ) P (C ), P ( AC ) = P ( A) P (C ), 则称事件 A, B , C 两两相互独立 .
可以证明： 特殊地， 可以证明： 特殊地，
当 P( A) > 0, P(B) > 0时，有
A与B 独立 ⇒ A与B 相容 不互斥 与 与 相容( 不互斥) 或 A与B 互斥 ⇒ A与B 不独立 与 与 证 若A与B 独立 则 P( AB) = P( A)P(B) 与 独立,
Q P( A) > 0, P(B) > 0