2014高考理科数学一轮复习章节过关检测(新课标,人教A版)5-7正弦定理和余弦定理
2014高考数学一轮汇总训练《数列的综合问题-》理-新人教A版
第五节数列的综合问题[备考方向要明了]考什么怎么考能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题.1.以递推为背景，考查数列的通项公式与前n项和公式，如2012年新课标全国T16等．2.等差数列、等比数列综合考查数列的基本计算，如2012年T16，T18等．3.考查数列与函数、不等式、解析几何的综合问题，且以解答题的形式出现，如2012年T19等.[归纳·知识整合]1．数列综合应用题的解题步骤(1)审题——弄清题意，分析涉及哪些数学容，在每个数学容中，各是什么问题．(2)分解——把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”，每个小题或每个“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等．(3)求解——分别求解这些小题或这些“步骤”，从而得到整个问题的解答．具体解题步骤如下框图：2．常见的数列模型(1)等差数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等差数列，利用等差数列有关知识解决问题．(2)等比数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等比数列，利用等比数列有关知识解决问题．(3)递推公式模型：通过读题分析，由题意把所给条件用数列递推式表达出来，然后通过分析递推关系式求解．[探究] 银行储蓄单利公式及复利公式分别是什么模型？提示：单利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和a n＝a(1＋rn)，属于等差数列模型．复利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和a n＝a(1＋r)n，属于等比数列模型．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2的值为( )A．－4 B．－6C．－8 D．－10解析：选B 由题意知：a23＝a1a4.则(a2＋2)2＝(a2－2)(a2＋4)，解得a2＝－6.2．已知log2x，log2y,2成等差数列，则M(x，y)的轨迹的图象为( )解析：选A 由于log2x，log2y,2成等差数列，则有2log2y＝log2x＋2，所以y2＝4x.又y＞0，x＞0，故M的轨迹图象为A.3.在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么x＋y＋z的值为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选C 由题意知，第三列各数成等比数列，故x＝1；第一行第五个数为6，第二行第五个数为3，故z＝34；第一行第四个数为5，第二行第四个数为52，故y＝54，从而x＋y＋z＝3.4．等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，且4a1,2a2，a3成等差数列，则S4＝________.解析：设数列{a n}的公比为q，∵4a2＝4a1＋a3，∴4a1q＝4a1＋a1q2，即q2－4q＋4＝0，解得q＝2.∴S4＝1－241－2＝15.答案：152 41 2x yz5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝23a n －13，若1＜S k ＜9(k ∈N *)，则k 的值为________．解析：由S n ＝23a n －13得当n ≥2时，S n ＝23(S n －S n －1)－13，即S n ＝－2S n －1－1. 令S n ＋p ＝－2(S n －1＋p )得S n ＝－2S n －1－3p ，可知p ＝13.故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋13是以－23为首项，以－2为公比的等比数列．则S n ＋13＝－23×(－2)n －1，即S n ＝－23×(－2)n －1－13.由1＜－23×(－2)k －1－13＜9，k ∈N *得k ＝4.答案：4等差数列、等比数列的综合问题[例1] 在等比数列{a n }(n ∈N *)中，a 1>1，公比q >0，设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0.(1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项a n . [自主解答] (1)证明：∵b n ＝log 2a n ， ∴b n ＋1－b n ＝log 2a n ＋1a n＝log 2q 为常数， ∴数列{b n }为等差数列且公差d ＝log 2q . (2)∵b 1＋b 3＋b 5＝6，∴b 3＝2. ∵a 1>1，∴b 1＝log 2a 1>0. ∵b 1b 3b 5＝0，∴b 5＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝2，b 1＋4d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝－1.∴S n ＝4n ＋n n －12×(－1)＝9n －n 22.∵⎩⎪⎨⎪⎧log 2q ＝－1，log 2a 1＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝16.∴a n ＝25－n(n ∈N *)．在本例(2)的条件下，试比较a n 与S n 的大小． 解：显然a n ＝25－n>0，当n ≥9时，S n ＝n 9－n2≤0，∴n ≥9时，a n >S n .∵a 1＝16，a 2＝8，a 3＝4，a 4＝2，a 5＝1，a 6＝12，a 7＝14，a 8＝18，S 1＝4，S 2＝7，S 3＝9，S 4＝10，S 5＝10，S 6＝9，S 7＝7， S 8＝4，∴当n ＝3，4，5，6，7，8时，a n <S n ； 当n ＝1，2或n ≥9时，a n >S n . ——————————————————— 解答数列综合问题的注意事项(1)要重视审题，善于联系，将等差、等比数列与函数、不等式、方程、应用性问题等联系起来．(2)对于等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列的通项，前n 项和以及等差、等比数列项之间的关系，往往用到转化与化归的思想方法．1．(2013·模拟)已知等差数列{a n }的公差大于零，且a 2，a 4是方程x 2－18x ＋65＝0的两个根；各项均为正数的等比数列{b n }的前n 项和为S n ，且满足b 3＝a 3，S 3＝13.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }满足c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n ≤5，b n ，n >5，求数列{c n }的前n 项和T n .解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q .由x 2－18x ＋65＝0，解得x ＝5或x ＝13. 因为d >0，所以a 2<a 4，则a 2＝5，a 4＝13，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，a 1＋3d ＝13，解得a 1＝1，d ＝4.所以a n ＝1＋4(n －1)＝4n －3.因为⎩⎪⎨⎪⎧b 3＝b 1q 2＝9，b 1＋b 1q ＋b 1q 2＝13，又q >0，解得b 1＝1，q ＝3. 所以b n ＝3n －1.(2)当n ≤5时，T n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝n ＋n n －12×4＝2n 2－n ；当n >5时，T n ＝T 5＋(b 6＋b 7＋b 8＋…b n ) ＝(2×52－5)＋351－3n －51－3＝3n－1532.所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n 2－n ，n ≤5，3n－1532，n >5.数列与函数的综合应用[例2] (2012·高考)设函数f (x )＝x2＋sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{}x n .(1)求数列{}x n 的通项公式；(2)设{}x n 的前n 项和为S n ，求sin S n .[自主解答] (1)令f ′(x )＝12＋cos x ＝0，即cos x ＝－12，解得x ＝2k π±23π(k ∈Z )．由x n 是f (x )的第n 个正极小值点知，x n ＝2n π－23π(n ∈N *)．(2)由(1)可知，S n ＝2π(1＋2＋…＋n )－23n π＝n (n ＋1)π－2n π3，所以sin S n ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤nn ＋1π－2n π3. 因为n (n ＋1)表示两个连续正整数的乘积，n (n ＋1)一定为偶数，所以sin S n＝－sin2nπ3.当n ＝3m －2(m∈N*)时，sin S n＝－sin⎝⎛⎭⎪⎫2mπ－43π＝－32；当n＝3m－1(m∈N*)时，sin S n＝－sin⎝⎛⎭⎪⎫2mπ－23π＝32；当n＝3m(m∈N*)时，sin S n＝－sin 2mπ＝0.综上所述，sin S n＝⎩⎪⎨⎪⎧－32，n＝3m－2m∈N*，32，n＝3m－1m∈N*，0，n＝3m m∈N*.———————————————————解决函数与数列的综合问题应该注意的事项(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化．2．已知函数f(x)＝x2＋x－1，α，β是方程f(x)＝0的两个根(α>β)，f′(x)是f(x)的导数，设a1＝1，a n＋1＝a n－f a nf′a n(n＝1,2，…)．(1)求α，β的值；(2)已知对任意的正整数n，都有a n>α，记b n＝lna n－βa n－α(n＝1,2，…)，求数列{b n}的前n项和S n.解：(1)由方程x2＋x－1＝0解得方程的根为x1＝－1＋52，x2＝－1－52，又∵α，β是方程的两个实根，且α>β，∴α＝－1＋52，β＝－1－52.(2)∵f ′(x )＝2x ＋1，∴a n ＋1＝a n －f a n f ′a n ＝a n －a 2n ＋a n －12a n ＋1＝a 2n ＋12a n ＋1.∵a n >α>β(n ＝1,2,3，…)，且a 1＝1， ∴b 1＝ln 1－β1－α＝ln β2α2＝4ln 5＋12.或b 1＝ln 1－β1－α＝ln1－－1－521－－1＋52＝ln3＋524＝2ln3＋52＝2ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋522＝4ln5＋12b n ＋1＝ln a n ＋1－βa n ＋1－α＝ln a 2n －2βαn －β＋1a 2n －2αa n －α＋1＝lna n －β2－β2－β＋1a n －α2－α2－α＋1＝ln a n －β2a n －α2＝2lna n －βa n －α＝2b n . 即{b n }是以b 1为首项，2为公比的等比数列． 故数列{b n }的前n 项和S n ＝b 11－2n1－2＝(2n－1)·4ln 5＋12＝(2n ＋2－4)ln5＋12. 数列与不等式的综合应用[例3] (2012·高考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1，a 2＋5，a 3成等差数列．(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.[自主解答] (1)当n ＝1时，2a 1＝a 2－4＋1＝a 2－3， ① 当n ＝2时，2(a 1＋a 2)＝a 3－8＋1＝a 3－7， ② 又a 1，a 2＋5，a 3成等差数列， 所以a 1＋a 3＝2(a 2＋5)， ③ 由①②③解得a 1＝1.(2)由题设条件可知n≥2时，2S n＝a n＋1－2n＋1＋1，④2S n－1＝a n－2n＋1.⑤④－⑤得2a n＝a n＋1－a n－2n＋1＋2n，即a n＋1＝3a n＋2n，整理得a n＋1＋2n＋1＝3(a n＋2n)，则{a n＋2n}是以3为首项，3为公比的等比数列．所以a n＋2n＝(a1＋2)·3n－1＝3n，即a n＝3n－2n(n>1)．又a1＝1满足上式，故a n＝3n－2n.(3)证明：∵1a n＝13n－2n＝13n·11－⎝⎛⎭⎪⎫23n≤13n·11－23＝3·13n，∴1a1＋1a2＋…＋1a n≤3⎝⎛⎭⎪⎫13＋132＋…＋13n＝3×13⎝⎛⎭⎪⎫1－13n1－13＝32⎝⎛⎭⎪⎫1－13n<32.———————————————————数列与不等式相结合问题的处理方法解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法，穿根法等．总之这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了．3．等比数列{a n}为递增数列，且a4＝23，a3＋a5＝209，数列b n＝log3a n2(n∈N*)．(1)求数列{b n}的前n项和S n；(2)T n＝b1＋b2＋b22＋…＋b2n－1，求使T n>0成立的最小值n.解：(1)∵{a n}是等比数列，设其公比为q，∴⎩⎪⎨⎪⎧a1q3＝23，a1q2＋a1q4＝209，两式相除得，q 1＋q 2＝310，q ＝3或q ＝13， ∵{a n }为递增数列，∴q ＝3，a 1＝281.∴a n ＝a 1qn －1＝281·3n －1＝2·3n －5， ∴b n ＝log 3a n2＝n －5，数列{b n }的前n 项和S n ＝n －4＋n －52＝12(n 2－9n )． (2)T n ＝b 1＋b 2＋b 22＋…b 2n －1＝(1－5)＋(2－5)＋(22－5)＋…＋(2n －1－5)＝1－2n1－2－5n >0，即2n>5n ＋1.∵24<5×4＋1,25>5×5＋1，∴n min ＝5(只要给出正确结果，不要求严格证明).数列的实际应用[例4] (2012·高考)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元．(1)用d 表示a 1，a 2，并写出a n ＋1与a n 的关系式；(2)若公司希望经过m (m ≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示)．[自主解答] (1)由题意得a 1＝2 000(1＋50%)－d ＝3 000－d ，a 2＝a 1(1＋50%)－d ＝32a 1－d ＝4 500－52d . a n ＋1＝a n (1＋50%)－d ＝32a n －d .(2)由(1)得a n ＝32a n －1－d＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫32a n －2－d －d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322a n －2－32d －d…＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1a 1－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2. 整理得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1(3 000－d )－2d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1(3 000－3d )＋2d . 由题意，a m ＝4 000，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －1(3 000－3d )＋2d ＝4 000.解得d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －2×1 000⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －1＝1 0003m －2m ＋13m －2m. 故该企业每年上缴资金d 的值为1 0003m －2m ＋13m －2m时，经过m (m ≥3)年企业的剩余资金为4 000万元．——————————————————— 解决数列实际应用问题的方法解等差数列、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差数列、等比数列问题，使关系明朗化、标准化，然后用等差数列、等比数列知识求解．这其中体现了把实际问题数学化的能力，即数学建模能力．4．某市2010年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2010年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比较首次大于85%？(参考数据：1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)解：(1)设中低价房面积形成数列{a n }，由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝250，d ＝50，则S n ＝250n ＋n n －12×50＝25n 2＋225n .令25n 2＋225n ≥4 750，即n 2＋9n －190≥0，而n 是正整数，解得n ≥10.故到2019年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米．(2)设新建住房面积形成数列{b n}，由题意可知{b n}是等比数列，其中b1＝400，q＝1.08，则b n＝400×(1.08)n－1.由题意可知a n>0.85b n，有250＋(n－1)×50>400×(1.08)n－1×0.85.当n＝5时，a5<0.85b5，当n＝6时，a6>0.85b6，即满足上述不等式的最小正整数n为6.故到2015年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.1个问题——分期付款问题等比数列中处理分期付款问题的注意事项：(1)准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额及利息(最后一次付款没有利息)．(2)明确各期所付的款以及各期所付款到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和，只有掌握了这一点，才可顺利建立等量关系．3个注意——递推、放缩与函数思想的考查(1)数列与解析几何结合时注意递推．(2)数列与不等式相结合时注意对不等式进行放缩．(3)数列与函数相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性).创新交汇——数列的新定义问题1．数列题目中有时定义一个新数列，然后根据定义的新数列所具备的性质解决有关问题．2．解决新情境、新定义数列问题，首先要根据新情境、新定义进行推理，从而明确考查的是哪些数列知识，然后熟练运用归纳、构造、正难则反、分类与整合等方法进行解题．[典例] (2011·高考)若数列A n：a1，a2，…，a n(n≥2)满足|a k＋1－a k|＝1(k＝1,2，…，n－1)，则称A n为E数列．记S(A n)＝a1＋a2＋…＋a n.(1)写出一个满足a1＝a5＝0，且S(A5)>0的E数列A5；(2)若a1＝12，n＝2 000.证明：E数列A n是递增数列的充要条件是a n＝2 011；(3)对任意给定的整数n(n≥2), 是否存在首项为0的E数列A n，使得S(A n)＝0？如果存在，写出一个满足条件的E数列A n；如果不存在，说明理由．[解] (1)0,1,2,1,0是一个满足条件的E 数列A 5. (答案不唯一，0,1,0,1,0也是一个满足条件的E 数列A 5) (2)必要性：因为E 数列A n 是递增数列， 所以a k ＋1－a k ＝1(k ＝1,2，…，1 999)． 所以A n 是首项为12，公差为1的等差数列． 所以a 2 000＝12＋(2000－1)×1＝2 011. 充分性：由于a 2 000－a 1 999≤1，a 1 999－a 1 998≤1，…a 2－a 1≤1，所以a 2 000－a 1≤1 999，即a 2 000≤a 1＋1 999. 又因为a 1＝12，a 2 000＝2 011， 所以a 2 000＝a 1＋1 999.故a k ＋1－a k ＝1＞0(k ＝1,2，…，1 999)，即A n 是递增数列． 综上，结论得证．(3)令c k ＝a k ＋1－a k (k ＝1,2，…，n －1)，则c k ＝±1. 因为a 2＝a 1＋c 1，a 3＝a 1＋c 1＋c 2，…a n ＝a 1＋c 1＋c 2＋…＋c n －1，所以S (A n )＝na 1＋(n －1)c 1＋(n －2)c 2＋(n －3)c 3＋…＋c n －1＝(n －1)＋(n －2)＋…＋1－[(1－c 1)(n －1)＋(1－c 2)(n －2)＋…＋(1－c n －1)]＝n n －12－[(1－c 1)(n －1)＋(1－c 2)(n －2)＋…＋(1－c n －1)]．因为c k ＝±1，所以1－c k 为偶数(k ＝1，…，n －1)． 所以(1－c 1)(n －1)＋(1－c 2)(n －2)＋…＋(1－c n －1)为偶数， 所以要使S (A n )＝0，必须使n n －12为偶数，即4整除n (n －1)，亦即n ＝4m 或n ＝4m ＋1(m ∈N *)．当n ＝4m (m ∈N *)时，E 数列A n 的项满足a 4k －1＝a 4k －3＝0，a 4k －2＝－1，a 4k ＝1(k ＝1,2，…，m )时，有a 1＝0，S (A n )＝0；当n ＝4m ＋1(m ∈N *)时，E 数列A n 的项满足a 4k －1＝a 4k －3＝0，a 4k －2＝－1，a 4k ＝1(k ＝1,2，…，m )，a 4m ＋1＝0时，有a 1＝0，S (A n )＝0；当n ＝4m ＋2或n ＝4m ＋3(m ∈N *)时，n (n －1)不能被4整除，此时不存在E 数列A n ，使得a1＝0，S(A n)＝0.[名师点评]1．本题具有以下创新点：(1)本题为新定义问题，命题背景新颖．(2)命题方式创新，既有证明题，也有探究性问题，同一个题目中多种方式相结合．2．解决本题要注意以下几个问题：对于此类压轴型新定义数列题，首先要有抢分意识，得一分是一分，多尝试解答，仔细分析，认真翻译；其次，要有运用数学思想方法的意识，如构造、分类等．第(1)问中E数列A5的首尾都是0，则必须先增后减或先减后增，或者摆动；第(2)问条件在后边，因此，前推后是证明条件的必要性，不可颠倒，前推后比较容易，应该先证明；第(3)问和第(1)问相呼应，所以在推理时要善于前后联系，善于发现矛盾，从而找到解决问题的突破口．[变式训练]1．已知数列{a n}：a1，a2，a3，…，a n，如果数列{b n}：b1，b2，b3，…b n满足b1＝a n，b k ＝a k－1＋a k－b k－1，其中k＝2,3，…，n，则称{b n}为{a n}的“衍生数列”．若数列{a n}：a1，a2，a3，a4的“衍生数列”是5，－2,7,2，则{a n}为______；若n为偶数，且{a n}的“衍生数列”是{b n}，则{b n}的“衍生数列”是______．解析：由b1＝a n，b k＝a k－1＋a k－b k－1，k＝2,3，…，n可得，a4＝5,2＝a3＋a4－7，解得a3＝4.又7＝a2＋a3－(－2)，解得a2＝1.由－2＝a1＋a2－5，解得a1＝2，所以数列{a n}为2,1,4,5.由已知，b1＝a1－(a1－a n)，b2＝a1＋a2－b1＝a2＋(a1－a n)，….因为n是偶数，所以b n ＝a n＋(－1)n(a1－a n)＝a1.设{b n}的“衍生数列”为{c n}，则c i＝b i＋(－1)i(b1－b n)＝a i＋(－1)i·(a1－a n)＋(－1)i(b1－b n)＝a i＋(－1)i(a1－a n)＋(－1)i·(a n－a1)＝a i，其中i＝1,2,3，…，n.则{b n}的“衍生数列”是{a n}．答案：2,1,4,5 {a n}2．(2012·高考改编)对于项数为m的有穷数列{a n}，记b k＝max{a1，a2，…，a k}(k＝1,2，…，m)，即b k为a1，a2，…，a k中的最大值，并称数列{b n}是{a n}的控制数列．如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.(1)若各项均为正整数的数列{a n}的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的{a n}；(2)设{b n}是{a n}的控制数列，满足a k＋b m－k＋1＝C(C为常数，k＝1,2，…，m)．求证：b k＝a k(k＝1,2，…，m)．解：(1)数列{a n}为：2,3,4,5,1；2,3,4,5,2；2,3,4,5,3；2,3,4,5,4；2,3,4,5,5.(2)证明：因为b k＝max{a1，a2，…，a k}，b k＋1＝max{a1，a2，…，a k，a k＋1}，所以b k＋1≥b k.因为a k ＋b m －k ＋1＝C ，a k ＋1＋b m －k ＝C ， 所以a k ＋1－a k ＝b m －k ＋1－b m －k ≥0，即a k ＋1≥a k . 因此，b k ＝a k .一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1. 等差数列{a n }中，a 3＋a 11＝8，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6·b 8的值( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16解析：选D ∵{a n }为等差数列，∴a 7＝a 3＋a 112＝4＝b 7.又{b n }为等比数列，∴b 6·b 8＝b 27＝16.2．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }中连续的三项，则数列{b n }的公比为( )A. 2 B ．4 C ．2D.12解析：选C 设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由a 23＝a 1a 7得(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，解得a 1＝2d ，故数列{b n }的公比q ＝a 3a 1＝a 1＋2d a 1＝2a 1a 1＝2.3．(2013·模拟)满足a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，则满足S n >1 025的最小n 值是( )A ．9B ．10C ．11D ．12解析：选C 因为a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)，所以a n ＋1＝2a n ，a n ＝2n －1，S n ＝2n －1，则满足S n >1 025的最小n 值是11.4．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月累积的需求量S n (万件)近似地满足关系式S n ＝n90(21n －n 2－5)(n ＝1,2，…，12)，按此预测，在本年度，需求量超过1.5万件的月份是( )A ．5、6月B ．6、7月C ．7、8月D ．8、9月解析：选C 由S n 解出a n ＝130(－n 2＋15n －9)，再解不等式130(－n 2＋15n －9)>1.5，得6<n <9.5．数列{a n }的通项a n ＝n 2⎝⎛⎭⎪⎫cos 2n π3－sin2n π3，其前n 项和为S n ，则S 30为( )A ．470B ．490C ．495D ．510解析：选A 注意到a n ＝n 2cos 2n π3，且函数y ＝cos 2πx 3的最小正周期是3，因此当n是正整数时，a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝－12n 2－12(n ＋1)2＋(n ＋2)2＝3n ＋72，其中n ＝1,4，7…，S 30＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋…＋(a 28＋a 29＋a 30)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3×1＋72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3×4＋72＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3×28＋72＝3×10×1＋282＋72×10＝470.6．(2013·模拟)在数列{a n }中，对任意n ∈N *，都有a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”．下面对“等差比数列”的判断：①k 不可能为0；②等差数列一定是等差比数列； ③等比数列一定是等差比数列；④通项公式为a n ＝a ·b n＋c (a ≠0，b ≠0,1)的数列一定是等差比数列． 其中正确的判断为( ) A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④解析：选D 若k ＝0时，则a n ＋2－a n ＋1＝0，因为a n ＋2－a n ＋1可能为分母，故无意义，故k 不可能为0，①正确；若等差、等比数列为常数列，则②③错误；由定义知④正确．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2013·模拟)设关于x 的不等式x 2－x <2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．解析：由x 2－x <2nx (n ∈N *)， 得0<x <2n ＋1， 因此知a n ＝2n . 故S 100＝1002＋2002＝10 100.答案：10 1008．函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，k 为正整数，a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝________.解析：依题意得，函数y ＝x 2(x >0)的图象在点( a k ，a 2k )处的切线方程是y －a 2k ＝2a k (x－a k )．令y ＝0得x ＝12a k ，即a k ＋1＝12a k ，因此数列{a k }是以16为首项，12为公比的等比数列，所以a k ＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k －1＝25－k，a 1＋a 3＋a 5＝16＋4＋1＝21.答案：219．气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为n ＋4910(n ∈N *)元，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少)，一共使用了________天．解析：由第n 天的维修保养费为n ＋4910(n ∈N *)元，可以得出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少而求得最小值成立时的相应n 的值．由题意知使用n 天的平均耗资为3.2×104＋⎝⎛⎭⎪⎫5＋n ＋4910n 2n＝3.2×104n＋n20＋9920，当且仅当3.2×104n ＝n20时取得最小值，此时n ＝800. 答案：800三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．设同时满足条件：①b n ＋b n ＋22≥b n ＋1；②b n ≤M (n ∈N *，M 是常数)的无穷数列{b n }叫“嘉文”数列．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝aa －1(a n －1)(a 为常数，且a ≠0，a ≠1)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2S na n＋1，若数列{b n }为等比数列，求a 的值，并证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“嘉文”数列．解：(1)因为S 1＝aa －1(a 1－1)＝a 1，所以a 1＝a .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a a －1(a n －a n －1)，整理得a na n －1＝a ，即数列{a n }是以a 为首项，a 为公比的等比数列．所以a n ＝a · a n －1＝a n .(2)由(1)知，b n ＝2×aa －1a n －1a n ＋1＝3a －1a n －2aa －1a n，(*)由数列{b n }是等比数列，则b 22＝b 1·b 3，故⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋2a 2＝3·3a 2＋2a ＋2a 2，解得a ＝13，再将a ＝13代入(*)式得b n ＝3n，故数列{b n }为等比数列，所以a ＝13.由于1b n ＋1b n ＋22＝13n ＋13n ＋22>213n ·13n ＋22＝13n ＋1＝1b n ＋1，满足条件①；由于1b n ＝13n ≤13，故存在M ≥13满足条件②.故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“嘉文”数列．11．已知正项数列{a n }，{b n }满足：a 1＝3，a 2＝6，{b n }是等差数列，且对任意正整数n ，都有b n ，a n ，b n ＋1成等比数列．(1)求数列{b n }的通项公式；(2)设S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n ，试比较2S n 与2－b 2n ＋1a n ＋1的大小．解：(1)∵对任意正整数n ，都有b n ，a n ，b n ＋1成等比数列，且数列{a n }，{b n }均为正项数列，∴a n ＝b n b n ＋1(n ∈N *)．由a 1＝3，a 2＝6得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1b 2＝3，a 2＝b 2b 3＝6，又{b n }为等差数列，即有b 1＋b 3＝2b 2，解得b 1＝2，b 2＝322，∴数列{b n }是首项为2，公差为22的等差数列． ∴数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ＋12(n ∈N *)．(2)由(1)得，对任意n ∈N *，a n ＝b n b n ＋1＝n ＋1n ＋22，从而有1a n＝2n ＋1n ＋2＝2⎝⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2，∴S n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝1－2n ＋2. ∴2S n ＝2－4n ＋2.又2－b 2n ＋1a n ＋1＝2－n ＋2n ＋3，∴2S n －⎝ ⎛⎭⎪⎫2－b 2n ＋1a n ＋1＝n ＋2n ＋3－4n ＋2＝n 2－8n ＋2n ＋3. ∴当n ＝1，n ＝2时，2S n <2－b 2n ＋1a n ＋1；当n ≥3时，2S n >2－b 2n ＋1a n ＋1.12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对一切正整数n ，点P n (n ，S n )都在函数f (x )＝x 2＋2x 的图象上，且过点P n (n ，S n )的切线的斜率为k n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2kn a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ；(3)设Q ＝{x |x ＝k n ，n ∈N *}，R ＝{x |x ＝2a n ，n ∈N *}，等差数列{c n }的任一项c n ∈Q ∩R ，其中c 1是Q ∩R 中的最小数，110<c 10<115，求{c n }的通项公式．解：(1)∵点P n (n ，S n )都在函数f (x )＝x 2＋2x 的图象上， ∴S n ＝n 2＋2n (n ∈N *)．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3满足上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由f (x )＝x 2＋2x 求导可得f ′(x )＝2x ＋2. ∵过点P n (n ，S n )的切线的斜率为k n ， ∴k n ＝2n ＋2.∴b n ＝2k n a n ＝4·(2n ＋1)·4n.∴ T n ＝4×3×41＋4×5×42＋4×7×43＋…＋4×(2n ＋1)×4n.① 由①×4，得4T n ＝4×3×42＋4×5×43＋4×7×44＋…＋4×(2n ＋1)×4n ＋1.②①－②得－3T n ＝4[3×4＋2×(42＋43＋…＋4n )－(2n ＋1)×4n ＋1]＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤3×4＋2×421－4n －11－4－()2n ＋1×4n ＋1， ∴T n ＝6n ＋19·4n ＋2－169.(3)∵Q ＝{x |x ＝2n ＋2，n ∈N *}，R ＝{x |x ＝4n ＋2，n ∈N *}，∴Q ∩R ＝R . 又∵c n ∈Q ∩R ，其中c 1是Q ∩R 中的最小数，∴c 1＝6. ∵{c n }的公差是4的倍数，∴c 10＝4m ＋6(m ∈N *)． 又∵110<c 10<115，∴⎩⎪⎨⎪⎧110<4m ＋6<115，m ∈N *，解得m ＝27.∴c 10＝114. 设等差数列的公差为d ， 则d ＝c 10－c 110－1＝114－69＝12，∴c n＝6＋(n－1)×12＝12n－6.∴{c n}的通项公式为c n＝12n－6.1．已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a(a∈R)．设数列的前n项和为S n，且1a1，1a2，1a4成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式及S n；(2)设A n＝1S1＋1S2＋1S3＋…＋1S n，B n＝1a1＋1a2＋1a22＋…＋1a2n－1.当n≥2时，试比较A n与B n 的大小．解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，由⎝⎛⎭⎪⎫1a22＝1a1·1a4，得(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)．因为d≠0，所以d＝a1＝a.所以a n＝na，S n＝an n＋12.(2)因为1S n＝2a⎝⎛⎭⎪⎫1n－1n＋1，所以A n＝1S1＋1S2＋1S3＋…＋1S n＝2a⎝⎛⎭⎪⎫1－1n＋1.因为a2n－1＝2n－1a，所以B n＝1a1＋1a2＋1a22＋…＋1a2n－1＝1a·1－⎝⎛⎭⎪⎫12n1－12＝2a⎝⎛⎭⎪⎫1－12n.当n≥2时，2n＝C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n>n＋1，即1－1n＋1<1－12n，所以，当a>0时，A n<B n；当a<0时，A n>B n.2．已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位：m2)，其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b(单位：m2)的旧住房．(1)分别写出第1年末和第2年末的实际住房面积的表达式；(2)如果第5年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？(计算时取1.15≈1.6)解：(1)第1年末的住房面积为a ·1110－b ＝1.1a －b (m 2)，第2年末的住房面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·1110－b ·1110－b ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫11102－b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1110＝1.21a －2.1b (m 2)． (2)第3年末的住房面积为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫11102－b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1110·1110－b ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫11103－b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11102(m 2)，第4年末的住房面积为a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫11104－b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11103(m 2)，第5年末的住房面积为a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫11105－b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11103＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11104＝1.15a －1－1.151－1.1b ≈1.6a －6b (m 2)．依题意可知，1.6a －6b ＝1.3a ，解得b ＝a 20，所以每年拆除的旧住房面积为a20 m 2.3．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋1＝kS n ＋2(n ∈N *)，且a 1＝2，a 2＝1. (1)求k 的值和S n 的表达式； (2)是否存在正整数m ，n ，使得S n －m S n ＋1－m <12成立？若存在，求出这样的正整数；若不存在，请说明理由．解：(1)由条件S n ＋1＝kS n ＋2(n ∈N *)，得S 2＝kS 1＋2， 即a 1＋a 2＝ka 1＋2，∵a 1＝2，a 2＝1，∴2＋1＝2k ＋2，得k ＝12.于是，S n ＋1＝12S n ＋2，设S n ＋1＋x ＝12(S n ＋x )，即S n ＋1＝12S n －12x ，令－12x ＝2，得x ＝－4，∴S n ＋1－4＝12(S n －4)，即数列{S n －4}是首项为－2，公比为12的等比数列．∴S n －4＝(－2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，即S n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n (n ∈N *)．(2)由不等式S n －m S n ＋1－m <12，得4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －m 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1－m <12，即2n4－m －42n4－m －2<12.令t ＝2n(4－m )，则不等式变为t －4t －2<12， 解得2<t <6，即2<2n(4－m )<6.假设存在正整数m ，n ，使得上面的不等式成立，由于2n为偶数，4－m 为整数，则只能是2n(4－m )＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧2n＝2，4－m ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧2n＝4，4－m ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝2.于是，存在正整数m ＝2，n ＝1或m ＝3，n ＝2， 使得S n －m S n ＋1－m <12成立．由递推公式求通项的7种方法及破解数列中的4类探索性问题一、由递推公式求通项的7种方法 1．a n ＋1＝a n ＋f (n )型把原递推公式转化为a n ＋1－a n ＝f (n )，再利用累加法(逐差相加法)求解，即a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (n －1)．[例1] 已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝a n ＋1n 2＋n ，求a n .[解] 由条件，知a n ＋1－a n ＝1n 2＋n ＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1，则(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ，所以a n －a 1＝1－1n.因为a 1＝12，所以a n ＝12＋1－1n ＝32－1n .2．a n ＋1＝f (n )a n 型 把原递推公式转化为a n ＋1a n ＝f (n )，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由a 2a 1＝f (1)，a 3a 2＝f (2)，…，a n a n －1＝f (n －1)，累乘可得a na 1＝f (1)f (2)…f (n －1)． [例2] 已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝n n ＋1·a n ，求a n .[解] 由a n ＋1＝n n ＋1·a n ，得a n ＋1a n ＝nn ＋1，故a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝n －1n ×n －2n －1×…×12×23＝23n .即a n ＝23n. 3．a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)型对于此类问题，通常采用换元法进行转化，假设将递推公式改写为a n ＋1＋t ＝p (a n ＋t )，比较系数可知t ＝qp －1，可令a n ＋1＋t ＝b n ＋1换元即可转化为等比数列来解决．[例3] 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，求a n .[解] 设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1－t ＝2(a n －t )，即a n ＋1＝2a n －t ，则t ＝－3.故递推公式为a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)． 令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2. 所以{b n }是以b 1＝4为首项，2为公比的等比数列． 所以b n ＝4×2n －1＝2n ＋1，即a n ＝2n ＋1－3.4．a n ＋1＝pa n ＋q n(其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)型 (1)一般地，要先在递推公式两边同除以qn ＋1，得a n ＋1q n ＋1＝p q ·a n q n ＋1q，引入辅助数列{b n }⎝ ⎛⎭⎪⎫其中b n ＝a n qn ，得b n ＋1＝p q ·b n ＋1q，再用待定系数法解决； (2)也可以在原递推公式两边同除以pn ＋1，得a n ＋1p n ＋1＝a n p n ＋1p ·⎝ ⎛⎭⎪⎫q p n，引入辅助数列{b n }⎝ ⎛⎭⎪⎫其中b n ＝a n p n ，得b n ＋1－b n ＝1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫q pn ，再利用叠加法(逐差相加法)求解． [例4] 已知数列{a n }中，a 1＝56，a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，求a n .[解] 法一：在a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1两边乘以2n ＋1，得2n ＋1·a n ＋1＝23(2n ·a n )＋1.令b n ＝2n·a n ，则b n ＋1＝23b n ＋1，根据待定系数法，得b n ＋1－3＝23(b n －3)．所以数列{b n －3}是以b 1－3＝2×56－3＝－43为首项，以23为公比的等比数列． 所以b n －3＝－43·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，即b n ＝3－2⎝ ⎛⎭⎪⎫23n.于是，a n ＝b n 2n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.法二：在a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1两边乘以3n ＋1，得3n ＋1a n ＋1＝3n a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋1. 令b n ＝3n·a n ，则b n ＋1＝b n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋1.所以b n －b n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ，b n －1－b n －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，…，b 2－b 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322. 将以上各式叠加，得b n －b 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n.又b 1＝3a 1＝3×56＝52＝1＋32，所以b n ＝1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n＝1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋11－32＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋1－2，即b n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋1－2.故a n ＝b n 3n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.5．a n ＋1＝pa n ＋an ＋b (p ≠1，p ≠0，a ≠0)型这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令a n ＋1＋x (n ＋1)＋y ＝p (a n ＋xn ＋y )，与已知递推式比较，解出x ，y ，从而转化为{a n ＋xn ＋y }是公比为p 的等比数列．[例5] 设数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝3a n －1＋2n －1(n ≥2)，求a n . [解] 设递推公式可以转化为a n ＋An ＋B ＝3[a n －1＋A (n －1)＋B ]，化简后与原递推式比较，得⎩⎪⎨⎪⎧2A ＝2，2B －3A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝1.令b n ＝a n ＋n ＋1.(*)则b n ＝3b n －1，又b 1＝6，故b n ＝6·3n －1＝2·3n，代入(*)式，得a n ＝2·3n－n －1. 6．a n ＋1＝pa rn (p >0，a n >0)型这种类型一般是等式两边取对数后转化为a n ＋1＝pa n ＋q 型数列，再利用待定系数法求解．[例6] 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝1a·a 2n (a >0)，求数列{a n }的通项公式．[解] 对a n ＋1＝1a·a 2n 的两边取对数，得lg a n ＋1＝2lg a n ＋lg 1a.令b n ＝lg a n ，则b n ＋1＝2b n ＋lg 1a.由此得b n ＋1＋lg 1a＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＋lg 1a ，记c n ＝b n ＋lg 1a，则c n ＋1＝2c n ，所以数列{c n }是以c 1＝b 1＋lg 1a ＝lg 1a为首项，2为公比的等比数列．所以c n ＝2n －1·lg 1a.所以b n ＝c n －lg 1a ＝2n －1·lg 1a －lg 1a＝lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a2n －1＝lg a 1－2n，即lg a n ＝lg a 1－2n，所以a n ＝a1－2n.7．a n ＋1＝Aa nBa n ＋C(A ，B ，C 为常数)型 对于此类递推数列，可通过两边同时取倒数的方法得出关系式[例7] 已知数列{a n }的首项a 1＝35，a n ＋1＝3a n2a n ＋1，n ＝1,2,3，…，求{a n }的通项公式．[解] ∵a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，∴1a n ＋1＝23＋13a n，∴1a n ＋1－1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1.又1a 1－1＝23， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是以23为首项，13为公比的等比数列，∴1a n －1＝23·13n －1＝23n ， ∴a n ＝3n3n ＋2.二、破解数列中的4类探索性问题 1．条件探索性问题此类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探求，或条件增删需确定，或条件正误需判定，解决此类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件，在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意．[例1] 已知数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝3，其前n 项和S n 满足S n ＋2＋S n ＝2S n ＋1＋1(n ∈N *)；数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＋1＝4b n ＋6(n ∈N *)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝b n ＋2＋(－1)n －1λ·2a n (λ为非零整数，n ∈N *)，试确定λ的值，使得对任意n ∈N *，都有c n ＋1>c n 成立．[解] (1)由已知得S n ＋2－S n ＋1－(S n ＋1－S n )＝1， 所以a n ＋2－a n ＋1＝1(n ≥1)． 又a 2－a 1＝1，所以数列{a n }是以a 1＝2为首项，1为公差的等差数列． 所以a n ＝n ＋1.因为b n ＋1＝4b n ＋6，即b n ＋1＋2＝4(b n ＋2)，又b 1＋2＝a 1＋2＝4， 所以数列{b 2＋2}是以4为公比，4为首项的等比数列． 所以b n ＝4n－2.(2)因为a n ＝n ＋1，b n ＝4n－2， 所以c n ＝4n＋(－1)n －1λ·2n ＋1.要使c n ＋1>c n 成立，需c n ＋1－c n ＝4n ＋1－4n＋(－1)nλ·2n ＋2－(－1)n －1λ·2n ＋1>0恒成立，化简得3·4n －3λ(－1)n －12n ＋1>0恒成立，即(－1)n －1λ<2n －1恒成立，①当n 为奇数时，即λ<2n －1恒成立，当且仅当n ＝1时，2n －1有最小值1，所以λ<1；②当n 为偶数时，即λ>－2n －1恒成立，当且仅当n ＝2时，－2n －1有最大值－2，所以λ>－2，即－2<λ<1.又λ为非零整数，则λ＝－1.综上所述，存在λ＝－1，使得对任意n ∈N *，都有c n ＋1>c n 成立．[点评] 对于数列问题，一般要先求出数列的通项，不是等差数列和等比数列的要转化为等差数列或等比数列．遇到S n 要注意利用S n 与a n 的关系将其转化为a n ，再研究其具体性质．遇到(－1)n型的问题要注意分n 为奇数与偶数两种情况进行讨论，本题易忘掉对n 的奇偶性的讨论而致误．2．结论探索性问题此类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定．解决此类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论，在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论．[例2] 已知各项均为正数的数列{a n }满足：a 2n ＋1＝2a 2n ＋a n a n ＋1，且a 2＋a 4＝2a 3＋4，其中n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列{b n }满足：b n ＝na n2n ＋12n ，是否存在正整数m ，n (1<m <n )，使得b 1，b m ，b n成等比数列？若存在，求出所有的m ，n 的值，若不存在，请说明理由；(3)令c n ＝1＋n a n，记数列{c n }的前n 项积为T n ，其中n ∈N *，试比较T n 与9的大小，并加以证明．[解] (1)因为a 2n ＋1＝2a 2n ＋a n a n ＋1， 即(a n ＋a n ＋1)(2a n －a n ＋1)＝0.又a n >0，所以2a n －a n ＋1＝0，即2a n ＝a n ＋1. 所以数列{a n }是公比为2的等比数列．由a 2＋a 4＝2a 3＋4，得2a 1＋8a 1＝8a 1＋4，解得a 1＝2. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n(n ∈N *)． (2)因为b n ＝na n2n ＋12n＝n2n ＋1， 所以b 1＝13，b m ＝m 2m ＋1，b n ＝n2n ＋1.若b 1，b m ，b n 成等比数列，则⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m ＋12＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2n ＋1，即m 24m 2＋4m ＋1＝n6n ＋3.。
2014届高考江苏专用(理)一轮复习第四章第7讲正弦定理和余弦定理
∴由余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcos C，得 a2＋b2－ab＝4. 1 又∵△ABC 的面积为 3，∴ absin C＝ 3，ab＝4. 2
a2＋b2－ab＝4， 联立方程组 ab＝4，
解得 a＝2，b＝2.
(2)由sin C＋sin(B－A)＝sin 2A， 得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sin Acos A， 即2sin Bcos A＝2sin Acos A，
解析
a c a c a a 由 ＝ ， ＝ ，得 ＝ ，即 cos A sin C sin A sin C sin A cos A
π sin A＝cos A，所以 A＝ . 4 π 答案 4
2．(2012· 济南外国语检测)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的 边分别为 a，b，c，若 a＝ 2，b＝2，sin B＋cos B＝ 2， 则角 A 的大小为________．
解
1 (1)由正弦定理得 sin Bcos C＋ sin C＝sin A. 2
而 sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C， 1 故 cos Bsin C＝ sin C. 2 1 在△ABC 中，sin C≠0，故 cos B＝ . 2 π 因为 0<B<π，所以 B＝ . 3
∴cos A· A－sin B)＝0， (sin
∴cos A＝0或sin A－sin B＝0， 当cos A＝0时，∵0＜A＜π，
π ∴A＝ ，△ABC 为直角三角形； 2
当sin A－sin B＝0时，得sin B＝sin A， 由正弦定理得a＝b，即△ABC为等腰三角形． ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
2 (2)将 b＝ 13， a＋c＝4， B＝ π 代入 b2＝a2＋c2－2accos B， 3 得 b2＝(a＋c)2－2ac－2accos B，
2014届高考数学一轮复习 第四章《三角函数》精编配套试题(含解析)理 新人教A版
2014届高考数学（理）一轮复习单元测试第四章三角函数一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求) 1.【某某省某某一中2013届高三第二次高中新课程双基检测理】函数tan(2)y x ϕ=+的最小正周期是A ．2πB ．πC ．2πD ．4π2、（2013某某理）计算：4cos 50°－tan 40°＝( )A. 2B.2＋32C. 3 D ．2 2－1 3、【某某省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理】已知,135)4sin(-=+πx 则x 2sin 的值等于 A.169120 B.169119 C.169120- D.119169- 4、（2013高考某某理）将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的一个可能取值为(A) 34π (B) 4π (C)0 (D) 4π-5、【市丰台区2013届高三上学期期末理】函数2sin()y x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是(A) 2sin(2)4y x π=-(B) 2sin(2)4y x π=+(C) 32sin()8y x π=+ (D) 72sin()216x y π=+6、（2013高考某某)）既是偶函数又在区间(0 )π，上单调递减的函数是( )(A)sin y x = (B)cos y x = (C)sin 2y x = (D)cos 2y x = 7、（2013某某理）在锐角中ABC ∆，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin 3,a B b A =则角等于A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π8、函数()3sin 2cos 2f x x x =+（） A ．在(,)36ππ--单调递减 B ．在(,)63ππ单调递增C ．在(,0)6π-单调递减 D ．()f x 在(0,)6π单调递增 9、【某某省某某四中2013届高三第四次月考理】已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中π0,2A ϕ><）的部分图象如右图所示，为了得到()sin 2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象（ ）（A ）向右平移π6个长度单位（B ）向右平移π12个长度单位 （C ）向左平移π6个长度单位 （D ）向左平移π12个长度单位10、（2013某某理）在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin∠BAC ＝( )A.1010 B.105 C.31010 D.55 11．（2013某某理）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sinB cos A ＝12b ，且a >b ，则∠B ＝( )A.π6B.π3 C.2π3 D.5π612、给出以下4个命题：①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π； ②终边在y 轴上的角的集合是{|,}2k k Z παα=∈；③把函数3sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位得到函数3sin 2y x =的图象；④函数sin 2y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间[0,]π上是减函数． 其中真命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13、（某某某某市2013届高三期末） 在△ABC 中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则cos C =▲． 14、（2013某某理）在△ABC ，∠C =90︒，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM =13，则sin ∠BAC =．15．（2013某某理）若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=，则sin()________x y +=16．设()sin2cos2f x a x b x ＝＋，其中,,0a b R ab ∈≠. 若()6f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x R ∈恒成立，则 ①11012f π⎛⎫=⎪⎝⎭； ②7125f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；③()f x 既不是奇函数也不是偶函数； ④()f x 的单调递增区间是()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； ⑤ 存在经过点(),a b 的直线与函数()f x 的图象不相交．以上结论正确的是__________________（写出所有正确结论的编号）．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分) （2013某某理）已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．18．(本小题满分12分) （2013届某某奉贤区二模）位于A 处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与A 相距海里的B 处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A 北偏东45θ︒+()0450<<θ的C 处，135=AC ．在离观测站A 的正南方某处E ，13132cos -=∠EAC （1）求θcos ； （2）求该船的行驶速度v （海里/小时）；19．(本小题满分12分)（2013年高考某某理）设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦(I)若.a b x =求的值；(II)设函数()(),.f x a b f x =求的最大值20．(本小题满分12分) （2013高考某某卷（理））已知函数()2sin()f x x ω=,其中常数0ω>;(1)若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增,求ω的取值X 围;(2)令2ω=,将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位,再向上平移1个单位,得到函数()y g x =的图像,区间[,]a b (,a b R ∈且a b <)满足:()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的[,]a b 中,求b a -的最小值.21．(本小题满分12分)【某某省某某一中2013届高三1月调研理】（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ， q =（a 2，1），p =（c b -2， C cos ）且q p //．求：（I ）求sin A 的值；（II ）求三角函数式1tan 12cos 2++-CC的取值X 围．22．(本小题满分12分)【某某省某某中学2013届高三第一次调研考试理】（本题12分）某海滨浴场的岸边可以近似的看成直线，位于岸边A 处的救生员发现海中B 处有人求救，救生员没有直接从A 处游向B 处，而是沿岸边自A 跑到距离B 最近的D 处，然后游向B 处.若救生员在岸边的行进速度是6米/秒，在海中的行进速度是2米/秒.（不考虑水流速度等因素）（1）请分析救生员的选择是否正确；（2）在AD 上找一点C ，使救生员从A 到B参考答案： 1、【答案】C【解析】根据正切函数的周期公式可知最小正周期为2T ππω==，选C. 2、C[解析] 原式＝4sin 40°－sin 40°cos 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2cos （40°－30°）－sin 40°cos 40°＝2（cos 40°cos 30°＋sin 40°sin 30°）－sin 40°cos 40°＝3cos 40°cos 40°＝3，故选C.3、【答案】D【解析】因为,135)4sin(-=+πx 所以5cos )13x x +=-，两边平方得125(1sin 2)2169x +=，解得119sin 2169x =-，选D. 4、B 5、【答案】B 【解析】由图象可知52882T πππ=-=，所以函数的周期T π=，又2T ππω==，所以2ω=。
2014高考理科数学一轮复习章节过关检测(新课标,人教A版)质量检测3
质量检测(三)测试内容：三角函数、解三角形平面向量(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2012年孝感第一次统考)点A(sin 2 013°，cos 2 013°)在直角坐标平面上位于() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：由于2 013°＝5×360°＋211°，因此2 013°角终边落在第三象限，于是sin 2 013°<0，cos 2 013°<0，从而A点在第三象限，选C.答案：C2．(2011年高考课标卷)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝()A．－45B．－35C.35 D.45解析：由已知tanθ＝2，则cos 2θ＝cos2θ－sin2θsin2θ＋cos2θ＝1－tan2θtan2θ＋1＝－35.答案：B3．函数y＝2sin(2x－π)cos[2(x＋π)]是()A．周期为π4的奇函数B．周期为π4的偶函数C．周期为π2的奇函数D．周期为π2的偶函数解析：y＝2sin(2x－π)cos[2(x＋π)]＝2·(－sin 2x)·cos 2x＝－22sin 4x，因此周期T＝2π4＝π2，且f(－x)＝－f(x)，函数是奇函数，选C.答案：C4．(2012年浙江)设a，b是两个非零向量．() A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|解析：由|a＋b|＝|a|－|b|两边平方，得a2＋b2＋2a·b＝|a|2＋|b|2－2|a|·|b|，即a·b ＝－|a|·|b|，故a与b方向相反．又|a|≥|b|，则存在实数λ∈[－1,0)，使得b＝λa.故A，B命题不正确，C命题正确，而两向量共线，不一定有|a＋b|＝|a|－|b|，即D命题不正确，故选C.答案：C5．已知向量a＝(sin x，cos x)，向量b＝(1, 3)，则|a＋b|的最大值为() A．1 B. 3C．3 D．9解析：|a＋b|＝(sin x＋1)2＋(cos x＋3)2＝5＋4sin(x＋π3)，所以|a＋b|的最大值为3. 答案：C6．(2012年洛阳统考)若sin(α－π4)cos 2α＝－24，则sin α＋cos α的值为()A．－72B．－12C.12 D.72解析：依题意，得22(sin α－cos α)cos2α－sin2α＝－22sin α＋cos α＝－24，所以sin α＋cosα＝12，选C.答案：C7．在△ABC 中，“AB →·BC →＝0”是“△ABC 为直角三角形”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：由AB →·BC →＝0⇒AB →⊥BC →，故角B 为直角，即△ABC 为直角三角形；反之若三角形为直角三角形，不一定角B 为直角，故“AB →·BC →＝0”是“△ABC 为直角三角形”的充分不必要条件．故选A.答案：A8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且m ＝(3b －c ，cos C )，n ＝(a ，cos A )，m ∥n ，则cos A ＝( )A.22 B ．－22 C.33D ．－33解析：∵m ∥n ，∴(3b －c )cos A ＝a cos C . ∴(3sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C ， 即3sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ， 易知sin B ≠0，∴cos A ＝33. 答案：C9．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1,1)，1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD →|BD →，则四边形ABCD 的面积为( )A. 3 B ．2 3 C. 6D.62解析：由AB →＝DC →＝(1,1)，知四边形ABCD 为平行四边形，且|AB →|＝|CD →|＝ 2. 又BA →|BA →|＋BC →|BC →|＝3BD →|BD →|， 知平行四边形ABCD 为菱形，且C ＝120°， ∴S 四边形ABCD ＝2×2×32＝ 3.故选A. 答案：A10．(2013届江西省百所重点高中阶段诊断)已知函数y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π6的图象与直线y ＝m 有三个交点，且交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)，那么x 1＋2x 2＋x 3等于( )A.5π3B.4π3C.3π4D.3π2解析：可据题意作出函数y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π6的图象，观察图象可知x 1，x 2关于直线x ＝π6对称，x 2，x 3关于直线x ＝23π对称，故x 1＋2x 2＋x 3＝(x 1＋x 2)＋(x 2＋x 3)＝2×π6＋2×23π＝53π.答案：A11．如图，在平面斜坐标系中，∠xOy ＝120°，平面上任意一点P 的斜坐标是这样定义的：“若OP →＝x e 1＋y e 2(其中e 1，e 2分别是与x ，y 轴同方向的单位向量)，则点P 的斜坐标为(x ，y )”．那么，在斜坐标系中，以O 为圆心，2为半径的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2－xy ＝2D ．x 2＋y 2－xy ＝4解析：据题意可知在斜坐标系中圆上的点P (x ，y )满足|OP →|＝|x e 1＋y e 2|＝2，即|x e 1＋y e 2|2＝x 2＋y 2＋2xy e 1·e 2＝x 2＋y 2＋2xy cos 120°＝4，整理可得x 2＋y 2－xy ＝4，即为所求圆的方程．故选D. 答案：D12．(2012～2013学年河北省高三教学质检)函数 f (x )＝2sin(2x ＋π4)，给出下列命题：①函数 f (x )在区间[π2，5π8]上是减函数；②直线x ＝π8是函数 f (x )的图象的一条对称轴；③函数 f (x )的图象可以由函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π4个单位得到．其中正确的是( )A ．①③B ．①②C ．②③D ．①②③解析：∵当π2≤x ≤5π8时，5π4≤2x ＋π4≤3π2， ∴ f (x )在[π2，5π8]上是减函数，故①正确． ②∵f (π8)＝2sin(π4＋π4)＝2，故②正确．③y ＝2sin 2x 向左平移π4个单位得y ＝2sin 2(x ＋π4) ＝2cos 2x ≠ f (x )，故③不正确．故选B. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设向量a ，b 满足：|a |＝1，a ·b ＝32，|a ＋b |＝22，则|b |＝________. 解析：∵|a ＋b |＝22，∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝8. 又∵|a |＝1，a ·b ＝32，∴b 2＝4，|b |＝2. 答案：214．(2011年江苏)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (0)＝________.解析：由图象知A ＝2，T ＝4(712π－π3)＝π，∴ω＝2， 则f (x )＝2sin(2x ＋φ)，由2×π12＋φ＝π2，得 φ＝π3，故f (x )＝2sin(2x ＋π3) ∴f (0)＝2sin π3＝62. 答案：6215．(2012年山东)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP →的坐标为________．解析：如图，由题意知BP ＝OB ＝2，∵圆半径为1， ∴∠BAP ＝2，故∠DAP ＝2－π2， ∴DA ＝AP cos(2－π2)＝sin 2，DP ＝AP sin(2－π2)＝－cos 2. ∴OC ＝2－sin 2，PC ＝1－cos 2. ∴OP →＝(2－sin 2,1－cos 2)． 答案：(2－sin 2,1－cos 2)16．(2012年衡阳六校联考)给出下列命题：①存在实数x ，使得sin x ＋cos x ＝32；②若α，β为第一象限角，且α>β，则tan α>tan β；③函数y ＝sin(π3－2x 5)的最小正周期为5π；④函数y ＝cos(2x 3＋7π2)是奇函数；⑤函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到y ＝sin(2x ＋π4)的图象．其中正确命题的序号是________(把你认为正确的序号都填上)．解析：对于①，因为sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[－2，2]，而32>2，因此不存在实数x ，使得sin x ＋cos x ＝32，故①不正确；对于②，取α＝30°＋360°，β＝30°，则tan α＝tan β，因此②不正确；对于③，函数y ＝sin(π3－2x 5)的最小正周期是T ＝2π25＝5π，因此③正确；对于④，令f (x )＝cos(2x 3＋7π2)，则f (－x )＝cos(－2x 3＋7π2)＝cos(2x 3－7π2)＝－cos(2x 3－7π2＋7π)＝－cos(2x 3＋7π2)＝－f (x )，因此④正确；对于⑤，函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到y ＝sin 2(x ＋π4)＝sin(2x ＋π2)的图象，因此⑤不正确．综上所述，其中正确命题的序号是③④.答案：③④三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(2012年江苏)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC →. (1)求证：tan B ＝3tan A ； (2)若cos C ＝55，求A 的值．解：(1)证明：因为AB →·AC →＝3BA →·BC →，所以AB ·AC ·cos A ＝3BA ·BC ·cos B ，即AC ·cos A ＝3BC ·cos B ，由正弦定理知AC sin B ＝BC sin A ， 从而sin B cos A ＝3sin A cos B ，又因为0<A ＋B <π，所以cos A >0，cos B >0，所以tan B ＝3tan A . (2)因为cos C ＝55，0<C <π， 所以sin C ＝1－cos 2C ＝255，从而tan C ＝2，于是tan[π－(A ＋B )]＝2， 即tan(A ＋B )＝－2，亦即tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－2，由(1)得4tan A1－3tan 2A＝－2，解得tan A ＝1或－13，因为cos A >0，故tan A ＝1，所以A ＝π4.18．(2013年山东滨州联考)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对应边分别为a 、b 、c 已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14(1)求△ABC 的边长． (2)求cos(A －C )的值解：(1)由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－2×1×2×14＝4 ∵c >0，∴c ＝2(2)sin 2C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1516∵0<C <π ∴sin C ＝154 由正弦定理：a sin A ＝csin C ， 即：1sin A ＝2154，解得sin A ＝158，cos 2A ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1582＝4964 在三角形ABC 中，∵a <b ∴A <B ∴A 为锐角，∴cos A ＝78cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin B ＝78×14＋158×154＝111619．(2013届山西大学附属中学高三10月月考)已知A ，B ，C 为锐角△ABC 的三个内角，向量m ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )，n ＝(1＋sin A ，cos A －sin A )，且m ⊥n .(1)求A 的大小；(2)求y ＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2B 取最大值时角B 的大小．解：(1)∵m ⊥n ，∴(2－2sin A )(1＋sin A )＋(cos A ＋sin A )(cos A －sin A )＝0，∴2(1－sin 2 A )＝sin 2A －cos 2A∴2cos 2A ＝1－2cos 2A ∴cos 2A ＝14.∵△ABC 是锐角三角形，∴cos A ＝12 ∴A ＝π3. (2)∵△ABC 是锐角三角形，且A ＝π3，∴π6<B <π2 ∴y ＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2B ＝1－cos2B －12cos 2B ＋32sin 2B ＝32sin 2B －32cos 2B ＋1＝3sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π3＋1 当y 取最大值时，2B －π3＝π2即B ＝512π.20．(2012年山东)已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3A cos x ，A2cos 2x )(A >0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6.(1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在[0，5π24]上的值域．解：(1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A2cos 2x＝A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 因为A >0，由题意知A ＝6. (2)由(1)f (x )＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位后得到y ＝6sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象； 再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3的图象．因此g (x )＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24，所以4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6. 故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域为[－3,6]．21．(2012年辽宁锦州5月模拟)向量a ＝(2,2)，向量b 与向量a 的夹角为3π4，且a ·b ＝－2.(1)求向量b ；(2)若t ＝(1,0)，且b ⊥t ，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A ，2cos 2C 2，其中A 、B 、C 是△ABC 的内角，若△ABC 的内角A 、B 、C 依次成等差数列，试求|b ＋c |的取值范围．解：(1)设b ＝(x ，y )，则a ·b ＝2x ＋2y ＝－2，且|b |＝a ·b |a |cos 3π4＝1＝x 2＋y 2， ∴解得⎩⎨⎧ x ＝－1，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝－1. ∴b ＝(－1,0)或b ＝(0，－1)．(2)∵b ⊥t ，且t ＝(1,0)，∴b ＝(0，－1)． ∵A 、B 、C 依次成等差数列，∴B ＝π3. ∴b ＋c ＝(cos A,2cos 2C2－1)＝(cos A ，cos C )． ∴|b ＋c |2＝cos 2A ＋cos 2C ＝1＋12(cos 2A ＋cos 2C ) ＝1＋12[cos 2A ＋cos(4π3－2A )]＝1＋12(cos 2A －12cos 2A －32sin 2A )＝1＋12cos(2A ＋π3)．∵2A ＋π3∈(π3，5π3)，∴－1≤cos(2A ＋π3)<12， ∴12≤|b ＋c |2<54， ∴22≤|b ＋c |<52.22．(2012年湖北)已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx,23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(12，1)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点(π4，0)，求函数f (x )在区间[0，3π5]上的取值范围．解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin(2ωx －π6)＋λ.由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin(2ωπ－π6)＝±1，所以2ωπ－π6＝kπ＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈(12，1)，k ∈Z ，所以ω＝56.所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点(π4，0)，得f (π4)＝0，即λ＝－2sin(56×π2－π6)＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin(53x －π6)－2，由0≤x≤3π5，有－π6≤53x－π6≤5π6，所以－12≤sin(53x－π6)≤1，得－1－2≤2sin(53x－π6)－2≤2－2，故函数f(x)在[0，3π5]上的取值范围为[－1－2，2－2]．。
2014届高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)3.7正弦定理和余弦定理课件 新人教A版
4
sin
π Bsin4＋C－sin
π Csin4＋B＝
2 2
利用两角和与差的三角函数公式 ―――――――――――――――→ sinB－C＝1
1 (1)S＝ ah(h表示边a上的高)； 2 1 1 1 (2)S＝ bcsin A＝ acsin B ＝ absin C ； 2 2 2
1 (3)S＝ r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)． 2
[小题能否全取]
1．(2012· 广东高考)在△ABC 中，若∠A＝60° ，∠B＝45° ， BC＝3 2，则 AC＝
2 2 2
又∵b＋c＝2 3， ∴b＝2 3－c，代入①式整理得 c2－2 3c＋3＝0，解得 c＝ 3，∴b＝ 等边三角形． 3，于是 a＝b＝c＝ 3，即△ABC 为
依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主
要有如下两种方法： (1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通 过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形 的形状； (2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函 数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系， 从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π 这个结论． [注意] 在上述两种方法的等式变形中，一般两边不 要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
[知识能否忆起]
一、正、余弦定理
正弦定理
a b c 内容 sin A＝sin B＝sin C
余弦定理
2 2 a2＝ b ＋c －2bccos A ；
a2＋c2－2accos B； b＝ 2 a2＋b2－2abcos C． c＝
2
正弦定理 ①a＝ 2Rsin A ，b＝ 2Rsin B ，c ＝ 2Rsin C ； 变 形 形 式
2014届高考人教A版数学(理)一轮复习单元训练数列(二)
数列（二）(时间：40分钟 满分：75分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．在等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( )．A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 2解析 设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则由题意得a 3＝a 1＋2a 2，所以a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，所以q 2－2q －1＝0，解得q ＝1±2.又q ＞0，因此有q ＝1＋2，故a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2(a 7＋a 8)a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2. 答案 C2．设{a n }为各项均是正数的等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，则 ( )．A.a 4S 4＝a 6S 6 B.a 4S 4>a 6S 6C.a 4S 4<a 6S 6D.a 4S 4≤a 6S 6解析 由题意得q >0，当q ＝1时， 有a 4S 4－a 6S 6＝14－16>0，即a 4S 4>a 6S 6； 当q ≠1时，有a 4S 4－a 6S 6＝a 1q 3(1－q )a 1(1－q 4)－a 1q 5(1－q )a 1(1－q 6)＝q 3(1－q )·1－q 2(1－q 4)(1－q 6)＝q 31＋q 2·1－q1－q 6>0，所以a 4S 4>a 6S 6.综上所述，应选B.答案 B3．(2013·广东六校联考)在等差数列{a n }中，a 3＋a 11＝8，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6·b 8的值为( )．A ．2B ．4C ．8D ．16解析 ∵{a n }为等差数列，∴a 7＝a 3＋a 112＝4＝b 7.又{b n }为等比数列，∴b 6·b 8＝b 27＝16.答案 D4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，并且S 10>0，S 11<0，若S n ≤S k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 的取值为( )．A ．5B ．6C ．4D ．7解析 由S 10>0，S 11<0，知a 1>0，d <0，并且a 1＋a 11<0，即a 6<0，又a 5＋a 6>0，所以a 5>0，即数列的前5项都为正数，第5项之后的都为负数，所以S 5最大，则k ＝5，选A. 答案 A5．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2＋a 6＋a 10为一个确定的常数，则下列各数中也可以确定的是( )．A ．S 6B ．S 11C ．S 12D ．S 13解析 若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p .由a 2＋a 6＋a 10＝3a 6为常数，则a 6为常数，∴S 11＝11×(a 1＋a 11)2＝11a 6为常数．答案 B6．等差数列{a n }共有2n ＋1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项等于( )．A ．145B ．203C ．109D ．29解析 因为等差数列共有奇数项，项数为2n ＋1，所以S 奇＝(n ＋1)a 中，S 偶＝na 中，中间项a 中＝S 奇－S 偶＝319－290＝29. 答案 D7．已知数列{a n }的首项a 1＝1，并且对任意n ∈N *都有a n >0.设其前n 项和为S n ，若以(a n ，S n )(n ∈N *)为坐标的点在曲线y ＝12x (x ＋1)上运动，则数列{a n }的通项公式为( )．A ．a n ＝n 2＋1B ．a n ＝n 2C ．a n ＝n ＋1D ．a n ＝n解析 由题意，得S n ＝12a n (a n ＋1)， ∴S n －1＝12a n －1(a n －1＋1)(n ≥2)． 作差，得a n ＝12(a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1)， 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0. ∵a n >0(n ∈N *)，∴a n －a n －1－1＝0， 即a n －a n －1＝1(n ≥2)．∴数列{a n }为首项a 1＝1，公差为1的等差数列． ∴a n ＝n (n ∈N *)． 答案 D8．在等差数列{a n }中，若3a 5＝8a 12>0，S n 是等差数列{a n }的前n 项之和，则S n取得最大值时，n ＝( )．A ．12B ．14C ．16D ．18解析 因为在等差数列中，3a 5＝8a 12，所以5a 5＋56d ＝0，又因为a 5>0，所以a 1>0，d <0且d ＝－576a 1，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝a 1152(157n －5n 2)，当n ＝15.7时，S n 取得最大值，因为n ∈N *，所以S n 取得最大值时n ＝16. 答案 C9．如果函数f (x )对任意a ，b 满足f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2 012)f (2 011)＝( )．A ．4 016B ．1 004C ．2 008D ．2 012解析 由f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，可得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，f (n ＋1)f (n )＝f (1)＝2，所以f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2 012)f (2 011)＝2×1 006＝2 012. 答案 D10．定义运算“*”，对任意a ，b ∈R ，满足①a *b ＝b *a ；②a *0＝a ；(3)(a *b )*c ＝c *(ab )＋(a *c )＋(c *b )．设数列{a n }的通项为a n ＝n *1n *0，则数列{a n }为 ( )．A ．等差数列B ．等比数列C ．递增数列D ．递减数列解析 由题意知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n *1n *0＝0]n ·1n ＋(n *0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0]1n )＝1＋n ＋1n ，显然数列{a n }既不是等差数列也不是等比数列；又函数y ＝x ＋1x 在[1，＋∞)上为增函数，所以数列{a n }为递增数列． 答案 C二、填空题(每小题5分，共25分)11．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则等比数列{a n }的公比为________．解析 设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，由4S 2＝S 1＋3S 3，得4(a 1＋a 1q )＝a 1＋3(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)， 即3q 2－q ＝0，又q ≠0，∴q ＝13. 答案 1312．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －7(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________.解析 由a n ＝2n －7≤0，得n ≤72，即a i ≤0(i ＝1,2,3)，记S n 为数列{a n }的前n 项和，易得S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋n －7n ＝n 2－6n .所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－a 1－a 2－a 3＋a 4＋a 5＋…＋a 15＝－2S 3＋S 15＝－2×(－9)＋135＝153. 答案 153 13．数列a n ＝1n (n ＋1)，其前n 项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为________． 解析 数列的前n 项和为11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝910，∴n ＝9，∴直线方程为10x ＋y ＋9＝0.令x ＝0，得y ＝－9，∴在y 轴上的截距为－9. 答案 －914．在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a n ＋1＝13S n (n ≥1)，则a n ＝________. 解析 ∵3a n ＋1＝S n (n ≥1)，∴3a n ＝S n －1(n ≥2)．两式相减，得3(a n ＋1－a n )＝S n －S n －1＝a n (n ≥2)⇒a n ＋1a n ＝43(n ≥2)⇒n ≥2时，数列{a n }是以43为公比，以a 2为首项的等比数列，∴n ≥2时，a n ＝a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －2. 令n ＝1，由3a n ＋1＝S n ，得3a 2＝a 1，又a 1＝1⇒a 2＝13， ∴a n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －2(n ≥2)，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，n ＝1，13⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －2，n ≥2.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝113⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －2，n ≥215．(2013·南通模拟)在数列{a n }中，若a 2n －a 2n ＋1＝p (n ≥1，n ∈N *，p 为常数)，则称{a n }为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断： ①若{a n }是等方差数列，则{a 2n }是等差数列； ②{(－1)n }是等方差数列；③若{a n }是等方差数列，则{a kn }(k ∈N *，k 为常数)也是等方差数列． 其中真命题的序号为________(将所有真命题的序号填在横线上)．解析 ①正确，因为a 2n －a 2n ＋1＝p ，所以a 2n ＋1－a 2n ＝－p ，于是数列{a 2n }为等差数列．②正确，因为(－1)2n －(－1)2(n ＋1)＝0为常数，于是数列{(－1)n }为等方差数列．③正确，因为a 2kn －a 2kn ＋k ＝(a 2kn －a 2kn ＋1)＋(a 2kn ＋1－a 2kn ＋2)＋(a 2kn ＋2－a 2kn ＋3)＋…＋(a 2kn ＋k －1－a 2kn ＋k )＝kp ，则{a kn }(k ∈N *，k 为常数)也是等方差数列．答案 ①②③。
2014高考数学一轮复习精品试题附详解单元评估检测(六)(人教A版·理)
单元评估检测（六）（第六章） （120分钟 150分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2012•衡阳模拟)全集U ＝R ，且A={x||x-1|>2},B={x|x 2-6x+8<0},则(U ðA)∩B=( )(A)[-1,4) (B)(2,3) (C)(2,3] (D)(-1,4) 2.下列推理是归纳推理的是( )(A)A ，B 为定点，动点P 满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,则P 点的轨迹为椭圆(B)由a 1=1,a n =3n-1,求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式(C)由圆x 2+y 2=r 2的面积πr 2,猜想出椭圆2222x y a b+=1的面积S=πab(D)以上均不正确3．(2012·潮州模拟）已知f(x)=x+1x-2(x<0),则f(x)有( ) （A ）最大值为0 （B ）最小值为0 （C ）最大值为-4 （D ）最小值为-44.(2012•益阳模拟)设f(x)=x232e 1 (x 2)log (x 1) (x 2)⎧-<⎪⎨-≥⎪⎩,则不等式f(x)>2的解集为( )(A)(1,2)∪(3,+∞) (B)(10,+∞)(C)(1,2)∪(10,+∞) (D)(1,2)5.设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则111a b c bca＋，＋，＋ ( ) (A)都不大于－2 (B)都不小于－2 (C)至少有一个不大于－2 (D)至少有一个不小于－26.(2012·西安模拟)设函数()2x 4x 6,x 0f x x 6,x 0⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式f(x)>f(1)的解集 是( )(A)(-3,1)∪(3,+∞) (B)(-3,1)∪(2,+∞) (C)(-1,1)∪(3,+∞) (D)(-∞,-3)∪(1,3)7.不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )8．设z ＝x ＋y ，其中x ，y 满足x 2y 0x y 00y k ≥⎧⎪≤⎨⎪≤≤⎩＋－，若z 的最大值为6，则z 的最小值为( )(A)-2 (B)-3 (C)-4 (D)-5二、填空题 (本大题共7小题，每小题5分，共35分.请把正确答案填在题中横线上)9．已知约束条件x 3y 40x 2y 103x y 80≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩－＋＋－，＋－若目标函数z ＝x ＋ay(a ≥0)恰好在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为 _________.10．某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(1≤t ≤30)的关系大致满足f(t)＝t 2＋10t ＋16，则该商场前t 天平均售出(如前10天的平均售出为()f 10)10的月饼最少为_________. 11．如表为某运动会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷赛前准备1 200元，预订15张下表中球类比赛的门票.若在准备资金允许的范围内和总票数不变的前提下，该球迷想预订上表中三种球类比赛门票，其中篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同，且篮球比赛门票的费用不超过足球比赛门票的费用，求可以预订的足球比赛门票数为_________. 12. (2012•邵阳模拟)设A 1+＝∈N *),则A 与B 的大小关系是_________.13.不等式组x 20y 20x y 10≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩－＋－＋表示的区域为D ，z ＝x ＋y 是定义在D 上的目标函数，则区域D 的面积为_________，z 的最大值为_________． 14.已知a>0,b>0，则11ab++________.15．（预测题）方程f(x)＝x 的根称为f(x)的不动点，若函数f(x)＝x a(x 2)＋有唯一不动点，且x 1＝1 000，*n 1n1x (n N )1f ()x ∈＋＝，则x 2 012＝__________.三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．（12分）已知a>b>c ，且a ＋b ＋c ＝0. 17.（12分）设不等式x 2-2ax+a+2≤0的解集为M ，如果M ⊆［1,4］，求实数a 的取值范围.18.（12分）（2012·南京模拟）某种商品定价为每件60元，不加收附加税时每年大约销售80万件，若政府征收附加税，每销售100元要征税p 元(即税率为p%)，因此每年销售量将减少20p 3万件． (1)将政府每年对该商品征收的总税金y(万元)表示成p 的函数，并指出这个函数的定义域；(2)要使政府在此项经营中每年收取的税金不少于128万元，问税率p%应怎样确定？(3)在所收税金不少于128万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则应如何确定p 值？19．（13分）（2012·潍坊模拟）已知关于x 的不等式(kx-k 2-4)(x-4)>0，其中 k ∈R.（1）当k 变化时，试求不等式的解集A ；（2）对于不等式的解集A ，若满足A ∩Z=B （其中Z 为整数集）. 试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由. 20.（13分）已知二次函数f(x)=x 2+bx+c(b 、c ∈R),不论α、β为何实数，恒有f(sin α)≥0，f(2+cos β)≤0. (1)求证：b+c=-1; (2)求证：c ≥3;(3)若函数f(sin α)的最大值为8，求b 、c 的值. 21.(13分)(易错题)函数()()xf x x 01x=>+,数列{a n }和{b n }满足：a 1=12,a n+1=f(a n ),函数y=f(x)的图象在点(n,f(n))(n ∈N *)处的切线在y 轴上的截距为b n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列n 2n nb {}a a λ-的项中仅5255b a a λ-最小，求λ的取值范围； (3)若函数()xg x ,1x=-令函数h ()()()221x x f x g x ,0x 1,1x -=+<<⎡⎤⎣⎦+数列{x n }满足：x 1=12,0<x n <1且x n+1=h(x n )证明：()()()2221223n 1n 1223n n 1x x x x x x 1.x x x x x x 8++---++⋯+<答案解析1．【解析】选C.由题意可解得A ＝{x|x>3或x<-1},B={x|2<x<4}, ∴(U ðA)∩B=[-1,3]∩(2,4)=(2,3].2.【解析】选B.从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n ，是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理． 3．【解析】选C.∵x<0,∴-x>0, ∴x+1x-2=-［(-x)+1(x)-］-2≤22-=-4, 等号成立的条件是1x ,x-=-即x=-1. 4.【解析】选C.当x<2时，2e x-1>2, ∴e x-1>1=e 0,∴x-1>0, ∴x>1,∴1<x<2.当x ≥2时，log 3(x 2-1)>2, ∴x2-1>9,∴x 2,∴或,∴.综合得x ∈(1,2)∪,+∞),所以选择C.5.【解析】选C.因为111a b c 6b c a≤＋＋＋＋＋－，所以三者不能都大于－2. 6.【解析】选A.由2x 0x 4x 63≥⎧⎨-+>⎩（1）得()()x 0x 1x 30≥⎧⎪⎨-->⎪⎩得0≤x<1或x>3， 由x 0x 63<⎧⎨+>⎩（2）得-3<x<0， 由（1）（2）可得-3<x<1或x>3. 7.【解析】选C.(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0 ⇔x 2y 10x 2y 10x y 30x y 30.≥≤⎧⎧⎨⎨≤≥⎩⎩－＋－＋，或＋－＋－ 结合图形可知选C.8．【解析】选B.如图，x ＋y ＝6过点A(k ，k)，k ＝3，z ＝x ＋y 在点B 处取得最小值，B 点在直线x ＋2y ＝0上，B(－6,3)，∴z min ＝－6＋3＝－3.【方法技巧】解决线性规划问题的步骤： （1）画出可行域； （2）确定目标函数的斜率；（3）画出过原点、斜率与目标函数斜率相同的直线； （4）平移直线，确定满足最优解的点； （5）求满足最优解的点的坐标.9．【解题指南】画出可行域，可知目标函数截距最大时z 最大，可解. 【解析】画出已知约束条件的可行域为△ABC 内部(包括边界)，如图，易知当a ＝0时，不符合题意；当a ＞0时，由目标函数z ＝x ＋ay 得1zy x a a-＝＋，则由题意得－3＝k AC ＜1a－＜0，故a ＞13.综上所述，a ＞13.答案：a ＞1310．【解析】平均销售量()2f t t 10t 1616y t 1018.t t t≥＋＋＝＝＝＋＋ 当且仅当16t t＝，即t ＝4∈［1,30］等号成立， 即平均销售量的最小值为18. 答案：1811．【解析】设预订篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数都是n(n ∈N *)张，则足球比赛门票预订(15－2n)张，由题意得80n 60n 100152n 1 20080n 100152n ≤⎧⎨≤⎩＋＋（－）（－）. 解得：55n 514≤≤，又n ∈N *，可得n ＝5，∴15－2n ＝5. ∴可以预订足球比赛门票5张． 答案：5 12.【解析】n 1A 1n n n≥++⋯+共＝B ==.答案：A ≥B13.【解析】图象的三个顶点分别为(－3，－2)、(2，－2)、(2,3)，所以面积为252，因为目标函数的最值在顶点处取得，把它们分别代入z ＝x ＋y 得，x ＝2，y ＝3时，有z max ＝5. 答案：252514.【解析】因为11a b ++4=≥， 当且仅当11ab=，=即a=b=1时，取“=”. 所以最小值为4. 答案：4 15．【解析】由xx a(x 2)＝＋得ax 2＋(2a －1)x ＝0. 因为f(x)有唯一不动点，所以2a －1＝0，即a ＝12.所以()2xf x .x 2＝＋ 所以n n 1n n12x 11x x .122f x ＋＋＝＝＝＋（） 所以x 2 012＝x 1＋12×2 011＝1 000＋2 0112＝2 005.5. 答案：2 005.516．【证明】<，只需证b 2－ac<3a 2， ∵a ＋b ＋c ＝0，只需证b 2＋a(a ＋b)<3a 2， 只需证2a 2－ab －b 2>0， 只需证(a －b)(2a ＋b)>0， 只需证(a －b)(a －c)>0.因为a>b>c ，所以a －b>0，a －c>0， 所以(a －b)(a －c)>0，显然成立． 故原不等式成立．17.【解题指南】此题需根据Δ<0,Δ>0,Δ=0分类讨论，求出解集M ，验证即可，不要忘记M=Ø的情况.【解析】(1)当Δ=4a 2-4(a+2)<0，即-1<a<2时，M=Ø,满足题意； (2)当Δ=0时，a=-1或a=2.a=-1时M={-1}，不合题意；a=2时M={2}，满足题意；(3)当Δ>0，即a>2或a<-1时，令f(x)=x 2-2ax+a+2，要使M ⊆［1,4］，只需()()1a 4f 13a 0f 4187a 0⎧<<⎪=-≥⎨⎪=-≥⎩得2<a ≤187；综上，-1<a ≤187. 【变式备选】若关于x 的方程4x +a ·2x +a+1=0有实数解，求实数a 的取值范围.【解析】方法一：令t=2x >0，则原方程有实数解⇔t 2+at+a+1=0在（0，+∞)上有实根得()2a 4a 10a 0⎧∆=-+≥⎪⎨-≥⎪⎩ 或()2a 4a 10a 0a 10⎧∆=-+≥⎪-<⎨⎪+<⎩得()2a 4a 10a 0⎧-+≥⎪⎨-≥⎪⎩，得a ≤2-方法二：令t=2x （t>0）,则原方程化为t 2+at+a+1=0,变形得()()()221t (t 1)222a t 1t 12221t t 1t 1t 1+-+=-=-=--+=-++-≤-=-++++［］［］∴a 的取值范围是（-∞,2-.18.【解析】(1)由题意，该商品年销售量为(80－203p)万件，年销售额为60(80－203p)万元，故所求函数为y ＝60(80－203p)·p%.由80－203p>0，且p>0得，定义域为(0,12)． (2)由y ≥128，得60(80－203p)·p%≥128，化简得p 2－12p ＋32≤0，(p －4)(p －8)≤0，解得4≤p ≤8.故当税率在［4%,8%］内时，政府收取税金不少于128万元．(3)当政府收取的税金不少于128万元时，厂家的销售额为p)(4≤p≤8)．g(p)＝60(80－203∴g(p)为减函数，∴［g(p)］max＝g(4)＝3 200(万元)．19．【解析】（1）当k=0时，A=(-∞,4)；当k>0且k≠2时，A=(-∞,4)∪(k+4,+∞)；k当k=2时，A=(-∞,4)∪(4,+∞)；当k<0时，A=(k+4,4).k（2）由（1）知：当k≥0时，集合B中的元素的个数无限；当k<0时，集合B中的元素的个数有限，此时集合B为有限集.≤-4，当且仅当k=-2时取等号，所以当k=-2时，集合B的因为k+4k元素个数最少.此时A=(-4,4)，故集合B={-3,-2,-1,0,1,2,3}.20.【解题指南】本题考查的是不等式的综合应用问题.在解答时：（1）充分利用条件不论α、β为何实数，恒有f(sinα)≥0,f(2+cosβ)≤0.注意分析sinα、2+cosβ的范围，利用夹逼的办法即可获得问题的解答；（2）首先利用（1）的结论对问题进行化简化为只有参数c的函数，再结合条件不论β为何实数，恒有f(2+cosβ)≤0，即可获得问题的解答; （3）首先对函数进行化简配方，然后利用二次函数的性质结合自变量和对称轴的范围即可获得问题的解答.【解析】(1)∵|sinα|≤1且f(sinα)≥0恒成立，可得f(1)≥0.又∵1≤2+cosβ≤3且f(2+cosβ)≤0恒成立，可得f(1)≤0,∴f(1)=0,∴1+b+c=0,∴b+c=-1.(2)∵b+c=-1,∴b=-1-c,∴f(x)=x 2-(1+c)x+c=(x-1)(x-c).又∵1≤2+cos β≤3且f(2+cos β）≤0恒成立， ∴x-c ≤0，即c ≥x 恒成立.∴c ≥3.（3）∵f(sin α)=sin 2α-(1+c)sin α+c=(sin α-1c 2+)2+c-(1c 2+)2, ∵1c 2+≥2 ∴当sin α=-1时，f(sin α)的最大值为1-b+c. 由1-b+c=8与b+c=-1联立，可得b=-4,c=3.即b=-4,c=3.21. 【解析】(1)∵a n+1=f(a n )=n n a 1a +,得n 1n 11111 2.a a a +-==， ∴{n1a }是以2为首项，1为公差的等差数列，故n 1a n 1=+. (2)()()()()2x 1f x x 0,f x ,1x 1x =>∴'=++ ∴y=f(x)在点(n,f(n))处的切线方程为()()2n 1y x n ,n 11n -=-++ 令x=0得()2n 2n b .1n =+()222n 2n n b n n 1(n ).a a 24λλλ∴-=-λ+=--λ- ∵仅当n=5时取得最小值，∴4.5<2λ<5.5.∴λ的取值范围为(9，11).(3)()()()221x h x f x g x 1x -=+⎡⎤⎣⎦+222x x 1x 2x ,0x 1,1x 1x 1x 1x -⎡⎤=+=<<⎢⎥+-++⎣⎦因为x n+1=h(x n ), 所以()n n 1n n n 2n1x x x x 1x ,x 1++-=-+又因0<x n <1,则x n+1>x n . 显然1>x n+1>x n >…x 2>12. ()n n 1n nn 2n 1x x x x 1x x 1++-=-+ n n 1111•,2448222x 12x 1≤<=-++-+ ()()2n 1n n 1n n 1n n n 1n n 1x x x x x x x x x x +++++--∴=- n 1n n n 1n n 111111(x x )()()x x 8x x +++=--<-, ()()()2221223n 1n 1223n n 1x x x x x x x x x x x x ++---∴++⋯+ 1223n n 11111111[()()()]8x x x x x x +<-+-+⋯+- 1n 1n 111111()(2).8x x 8x ++=-=- ∵12<x n+1<1, n 1n 11112,021,x x ++∴<<∴<-<2221223n 1n 1223n n 1(x x )(x x )(x x )x x x x x x ++---∴++⋯+n 1111(2).8x 8+<-<。
2014届高考人教A版数学(理)一轮复习讲义4.6正弦定理和余弦定理
第6讲正弦定理和余弦定理【2014年高考会这样考】1．考查利用正、余弦定理解三角形的问题，常与边之间的和或积、角的大小或三角函数值等综合考查．2．考查正、余弦定理与平面向量、三角形的面积等结合问题．对应学生65考点梳理1．正弦定理和余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则3.三角形中常用的面积公式(1)S＝12ah(h表示边a上的高)．(2)S＝12bc sin A＝12ab sin C＝12ac sin B.(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)．【助学·微博】一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．考点自测1．(2012·湖北改编)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a ＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝()．A．60°B．90°C．120°D．150°解析由已知可得a2＋b2－c2＝－ab，根据余弦定理得：cos C＝a2＋b2－c22ab＝－12.故C＝120°.答案 C2．(2012·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )． A.725 B ．－725 C ．±725 D.2425解析 因为8b ＝5c ，则由C ＝2B 得sin C ＝sin 2B ＝2sin B cos B ，由正弦定理得cos B ＝sin C 2sin B ＝c 2b ＝45，所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725，故选择A. 答案 A3．(2013·三亚模拟)在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状是( )．A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析 由正、余弦定理得2·a 2＋c 2－b 22ac ·a ＝c ，整理得a ＝b ，故△ABC 为等腰三角形． 答案 B4．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3，则∠C 的大小为________． 解析 在△ABC 中，由正弦定理，得3sin π3＝3sin ∠B ， sin ∠B ＝12.∵a >b ，∴∠A >∠B ，∴∠B ＝π6， ∴∠C ＝π－π3－π6＝π2. 答案 π25．(2013·郑州调研)已知圆的半径为4，a ，b ，c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为________．解析 ∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ＝8，∴sin C ＝c8， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝116abc ＝116×162＝ 2. 答案2对应学生66考向一 利用正、余弦定理解三角形【例1】►(1)(2012·北京)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.(2)(2012·重庆)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________. [审题视点] (1)利用余弦定理．(2)利用正弦定理和三角形内角和定理求解．解析 (1)根据余弦定理代入b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，解得b ＝4. (2)由已知条件可得sin A ＝45，sin B ＝1213，而sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝5665，根据正弦定理b sin B ＝c sin C 得c ＝145. 答案 (1)4 (2)145(1)正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用． (2)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．【训练1】 (1)(2011·辽宁)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba ＝( )．A ．2 3B ．2 2 C. 3 D. 2(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．解析 (1)∵a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，由正弦定理可得sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，∴sin B ＝2sin A ，即ba ＝ 2.(2)由题可知，sin B ＋cos B ＝2，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝2，所以B ＝π4，根据正弦定理可知a sin A ＝b sin B ，可得2sin A ＝2sin π4，所以sin A ＝12，又a ＜b ，故A ＝π6.答案 (1)D (2)π6考向二 判断三角形形状【例2】►(2013·临沂一模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C . (1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状．[审题视点] (1)由正弦定理进行角化边，再用余弦定理求cos A ；(2)利用三角形内角和定理用角B 表示角C ，求角B ，从而确定三角形的形状． 解 (1)由2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ，得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.(2)∵A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＋C ＝180°－60°＝120°. 由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3， ∴sin B ＋sin 120°cos B －cos 120°sin B ＝ 3. ∴32sin B ＋32cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1. ∵0°<B <120°，∴30°<B ＋30°<150°.∴B ＋30°＝90°，B ＝60°.∴A ＝B ＝C ＝60°，△ABC 为等边三角形．解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．【训练2】 (1)(2012·上海)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( )．A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定(2)在△ABC 中，a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ，则△ABC 的形状为________．解析 (1)由sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，得a 2＋b 2<c 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c22ab <0，所以∠C 为钝角，即△ABC 为钝角三角形．(2)由a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ，得：a sin A ＝b sin B ，由正弦定理，得a 2＝b 2，∴a ＝b ，故△ABC 为等腰三角形． 答案 (1)A (2)等腰三角形考向三 与三角形面积有关的问题【例3】►(2012·新课标全国)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0. (1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c . [审题视点] (1)由正弦定理进行边化角；(2)由余弦定理和面积公式建立关于b ，c 的方程组，求b ，c . 解 (1)由a cos C ＋ 3a sin C －b －c ＝0，及正弦定理得 sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0.因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A ·sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0<A <π，所以－π6<A －π6<5π6，故A ＝π3. (2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4. 而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8.解得b ＝c ＝2.在解决三角形问题中，面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来． 【训练3】 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －2cos Ccos B＝2c －a b . (1)求sin Csin A 的值；(2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S . 解 (1)由正弦定理，则2c －a b ＝2sin C －sin Asin B ，所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B，即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )． 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A . 因此sin Csin A ＝2.(2)由sin Csin A ＝2，得c ＝2a .由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及cos B ＝14，b ＝2，得4＝a 2＋4a 2－4a 2×14.解得a ＝1，从而c ＝2.因为cos B ＝14，且0<B <π，所以sin B ＝154， 因此S＝12ac sinB＝12×1×2×154＝154.对应学生67热点突破11——解三角形与其他知识的交汇问题【命题研究】 通过近三年的高考试题分析，除了考查利用正、余弦定理、面积公式求三角形的边、角、面积之外，常常在解答题中考查解三角形与三角函数、平面向量、数列、不等式等知识交汇，难度中等．【真题探究】► (2012·陕西)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )． A.32 B.22 C.12 D ．－12[教你审题] 一审 由已知等式和余弦定理消去c ； 二审 用a ，b 表示出cos C ； 三审 由基本不等式求最小值．[解法] 由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，又c 2＝12(a 2＋b 2)，得2ab cos C ＝12(a 2＋b 2)，即cos C ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12，所以选C. [答案] C[反思] 本题考查余弦定理和基本不等式，易错点有三：一是余弦定理公式记错；二是不能消去参数c ，无法得出关于a ，b 的代数式；三是基本不等式用错．【试一试】 (2012·湖南)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC ＝( )． A. 3 B.7C ．2 2 D.23解析 设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .AB →·BC →＝1，即ac cos B ＝－1.在△ABC 中，再根据余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，及AB ＝c ＝2，AC ＝b ＝3，可得a 2＝3，即a ＝ 3. 答案 A对应学生261A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )． A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析 由a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，得a 2＝3bc ＋b 2，cb ＝2 3.由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 2－3bc 2bc ＝c 2b －32＝3－32＝32，所以A ＝30°，故选A. 答案 A2.(2012·四川)如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA至E ，使AE ＝1，连结EC 、ED ，则sin ∠CED ＝( )． A.31010 B.1010 C.510D.515解析 依题意得知，CD ＝1，CE ＝CB 2＋EB 2＝5，DE ＝EA 2＋AD 2＝2，cos ∠CED ＝CE 2＋ED 2－CD 22CE ·ED ＝31010，所以sin ∠CED ＝1－cos 2∠CED ＝1010，选B. 答案 B3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝( )． A. 2B. 3C.32D ．2解析 ∵A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，∴B ＝60°. 又a ＝1，b ＝3，∴a sin A ＝bsin B ， ∴sin A ＝a sin Bb ＝32×13＝12，∴A ＝30°，∴C ＝90°.∴S △ABC ＝12×1×3＝32. 答案 C4．(2012·湖南)在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于 ( )． A.32B.332C.3＋62D.3＋394解析 设AB ＝c ，BC 边上的高为h .由余弦定理，得AC 2＝c 2＋BC 2－2BC ·c cos 60°，即7＝c 2＋4－4c cos 60°，即c 2－2c －3＝0，∴c ＝3(负值舍去)． 又h ＝c ·sin 60°＝3×32＝332，故选B. 答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)·tan B＝3ac，则角B的值为________．解析由余弦定理，得a2＋c2－b22ac＝cos B，结合已知等式得cos B·tan B＝32，∴sin B＝32，∴B＝π3或2π3.答案π3或2π36．(2012·福建)已知△ABC的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．解析依题意得，△ABC的三边长分别为a，2a,2a(a>0)，则最大边2a所对的角的余弦值为：a2＋(2a)2－(2a)22a·2a＝－24.答案－2 4三、解答题(共25分)7．(12分)(2012·辽宁)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列．(1)求cos B的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sin A sin C的值．解(1)由已知2B＝A＋C，三角形的内角和定理A＋B＋C＝180°，解得B＝60°，所以cos B＝cos 60°＝1 2.(2)由已知b2＝ac，据正弦定理，得sin2B＝sin A sin C，即sin A sin C＝sin2B＝1－cos2B＝3 4.8．(13分)(2012·浙江)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA＝23，sin B＝5cos C.(1)求tan C的值；(2)若a ＝ 2，求△ABC 的面积．解 (1)因为0＜A ＜π，cos A ＝23，得sin A ＝ 1－cos 2A ＝53. 又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C .所以tan C ＝ 5.(2)由tan C ＝5，得sin C ＝56，cos C ＝16. 于是sin B ＝5cos C ＝56. 由a ＝ 2及正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c ＝ 3.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ac sin B ＝52.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．在△ABC 中，A ＝60°，且最大边长和最小边长是方程x 2－7x ＋11＝0的两个根，则第三边的长为( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析 由A ＝60°，不妨设△ABC 中最大边和最小边分别为b ，c ，故b ＋c ＝7，bc ＝11.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 60°＝(b ＋c )2－3bc ＝72－3×11＝16，∴a ＝4.答案 C2．(2013·豫北六校联考)已知△ABC 的面积为32，AC ＝3，∠ABC ＝π3，则△ABC的周长等于 ( )．A ．3＋ 3B ．3 3C ．2＋ 3 D.332解析 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a 2＋c 2－ac ＝3.又△ABC 的面积为12ac sin π3＝32，即ac ＝2，所以a 2＋c 2＋2ac ＝9，所以a ＋c ＝3，即a ＋c ＋b ＝3＋3，故选A.答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．在Rt △ABC 中，C ＝90°，且A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足a ＋b ＝cx ，则实数x 的取值范围是________．解析 x ＝a ＋b c ＝sin A ＋sin B sin C ＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4.又A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π4<A ＋π4<3π4，∴22<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4≤1，即x ∈(1，2]． 答案 (1，2]4．(2012·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①若ab >c 2，则C <π3②若a ＋b >2c ，则C <π3③若a 3＋b 3＝c 3，则C <π2④若(a ＋b )c <2ab ，则C >π2⑤若(a 2＋b 2)c 2<2a 2b 2，则C >π3解析 ①由ab >c 2，得－c 2>－ab ，由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >2ab －ab 2ab＝12，因为C ∈(0，π)，函数y ＝cos x 在(0，π)上是减函数，所以C <π3，即①正确．②由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 222ab ＝4(a 2＋b 2)－(a ＋b )28ab ＝3(a 2＋b 2)－2ab 8ab ≥4ab 8ab ＝12，所以C <π3，即②正确．③若C是直角或钝角，则a 2＋b 2≤c 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2≤1，而a c ，b c ∈(0,1)，而函数y ＝a x(0<a <1)在R 上是减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 3<⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2≤1与a 3＋b 3＝c 3矛盾，所以假设不成立，所以C <π2，即③正确．④因为(a ＋b )c <2ab ，所以c <2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，即ab >c 2，转化为命题①，故④错误．⑤因为(a 2＋b 2)c 2<2a 2b 2，所以c 2<2a 2b 2a 2＋b 2≤2a 2b 22ab ＝ab ，即ab >c 2，转化为命题①，故⑤错误． 答案 ①②③三、解答题(共25分)5．(12分)(2012·郑州三模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点(a ，b )在直线x (sin A －sin B )＋y sin B ＝c sin C 上．(1)求角C 的值；(2)若a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18，求△ABC 的面积．解 (1)由题意得a (sin A －sin B )＋b sin B ＝c sin C ，由正弦定理，得a (a －b )＋b 2＝c 2，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，结合0<C <π，得C ＝π3.(2)由a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18，得(a －3)2＋(b －3)2＝0，从而得a ＝b ＝3， 所以△ABC 的面积S ＝12×32×sin π3＝934.6．(13分)(2012·江西)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a . (1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝ 2，求△ABC 的面积．(1)证明 由b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a 应用正弦定理，得sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －sin C sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝sin A ， sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin C ＋22cos C －sin C ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin B ＋22cos B ＝22， 整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1，即sin(B －C )＝1.由于0＜B ，C ＜34π，从而B －C ＝π2.(2)解 B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8.由a ＝ 2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝ 2sin 5π8sin π8＝ 2cos π8sin π8＝12.。
2014高考数学一轮汇总训练《正弦定理和余弦定理》理 新人教A版
第七节正弦定理和余弦定理[备考方向要明了][归纳²知识整合]1．正弦定理和余弦定理[探究] 1.在三角形ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”的什么条件？“A ＞B ”是“cos A ＜cos B ”的什么条件？提示：“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”的充要条件，“A ＞B ”是“cos A ＜cos B ”的充要条件．2．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况[探究] 2.如何利用余弦定理判定三角形的形状？(以角A 为例) 提示：∵cos A 与b 2＋c 2－a 2同号，∴当b 2＋c 2－a 2＞0时，角A 为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，角A 为直角，三角形为直角三角形； 当b 2＋c 2－a 2＜0时，角A 为钝角，三角形为钝角三角形．[自测²牛刀小试]1．(教材习题改编)在△ABC 中，若a ＝2，c ＝4，B ＝60°，则b 等于( ) A ．2 3 B ．12 C ．27D ．28解析：选A 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即b 2＝4＋16－8＝12，所以b ＝2 3.2．(教材习题改编)在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于( ) A ．－223B.223 C ．－63D.63解析：选D ∵asin A ＝b sin B ，∴15sin 60°＝10sin B， ∴sin B ＝23³32＝33.又∵a ＞b ，A ＝60°， ∴B ＜60°，∴cos B ＝1－sin 2B ＝63. 3．△ABC 中，a ＝5，b ＝3，sin B ＝22，则符合条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．0个解析：选B ∵a sin B ＝102，∴a sin B <b ＝3<a ＝5， ∴符合条件的三角形有2个．4．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为________．解析：∵cos C ＝13，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12³32³23³223＝4 3.答案：4 35．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .若b ＝2a sin B ，则角A 的大小为________．解析：由正弦定理得sin B ＝2sin A sin B ，∵sin B ≠0， ∴sin A ＝12，∴A ＝30°或A ＝150°.答案：30°或150°[例1] (2012²浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值． [自主解答] (1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理 a sin A ＝bsin B，得sin B ＝3cos B ，所以tan B ＝3，所以B ＝π3.(2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C ，得c ＝2a .由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得9＝a 2＋c 2－ac . 所以a ＝3，c ＝2 3. ———————————————————正、余弦定理的选用原则解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．在解题时，还要根据所给的条件，利用正弦定理或余弦定理合理地实施边和角的相互转化．1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b .(1)求sin Csin A的值；(2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．解：(1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k ，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin Asin B， 所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B，即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )． 又因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A . 因此sin Csin A＝2.(2)由sin C sin A ＝2得c ＝2a .由余弦定理及cos B ＝14得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2³14＝4a 2.所以b ＝2a .又a ＋b ＋c ＝5，从而a ＝1.因此b ＝2.[例2] 在△ABC 中，若(a 2＋b 2)si n(A －B )＝(a 2－b 2)²si n(A ＋B )，试判断△ABC 的形状．[自主解答] ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )， ∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]，∴2sin A cos B ²b 2＝2cos A sin B ²a 2， 即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B .法一：由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴sin 2A cos A sinB ＝sin 2B sin A cos B ，又sin A ²sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B .在△ABC 中，0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π， ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰或直角三角形． 法二：由正弦定理、余弦定理得：a 2b b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， ∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0. 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为等腰或直角三角形．若将条件改为“sin B ＝cos A sin C ”，试判断△ABC 的形状． 解：∵sin B ＝cos A ²sin C ，∴b ＝b 2＋c 2－a 22bc²c ，即b 2＋a 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形．———————————————————1.三角形形状的判断思路判断三角形的形状，就是利用正、余弦定理等进行代换、转化，寻求边与边或角与角之间的数量关系，从而作出正确判断.1边与边的关系主要看是否有等边，是否符合勾股定理等； 2角与角的关系主要是看是否有等角，有无直角或钝角等. 2.判定三角形形状的两种常用途径①通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；②利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断.2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .(1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状． 解：∵2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ， 得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.(2)∵A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＋C ＝180°－60°＝120°.由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3， ∴sin B ＋sin 120°cos B －cos 120°sin B ＝ 3. ∴32sin B ＋32cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1. 又∵0°＜B ＜120°，30°＜B ＋30°＜150°， ∴B ＋30°＝90°，即B ＝60°.∴A ＝B ＝C ＝60°，∴△ABC 为正三角形．[例3] (2012²山东高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C .(1)求证：a ，b ，c 成等比数列；(2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S .[自主解答] (1)证明：在△ABC 中，由于sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C ， 所以sin B ⎝⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin C cos C ＝sin A cos A ²sin C cos C，因此sin B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A sin C ， 所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C . 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C )＝sin B ，因此sin 2B ＝sin A sinC . 由正弦定理得b 2＝ac ， 即a ，b ，c 成等比数列．(2)因为a ＝1，c ＝2，所以b ＝2，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12＋22－22³1³2＝34，因为0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝74， 故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12³1³2³74＝74.———————————————————三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．3．(2012²新课标全国卷)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .解：(1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得 sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0＜A ＜π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.1条规律——三角形中的边角关系在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B .2个原则——选用正弦定理或余弦定理的原则在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．2种途径——判断三角形形状的途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换． 2个防范——解三角形应注意的问题(1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要进行分类讨论．(2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.答题模板——利用正、余弦定理解三角形[典例] (2012²江西高考)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a .(1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．[快速规范审题]第(1)问1．审条件，挖解题信息观察条件：A ＝π4，b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a ――――――――→数式中既有边又有角，应统一sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －sin C sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝sin A .2．审结论，明确解题方向 观察所求结论：求证：B －C ＝π2――――――――――→应求角B －C 的某一个三角函数值sin(B －C )＝1或cos(B －C )＝0. 3．建联系，找解题突破口考虑到所求的结论只含有B ，C ，因此应消掉sin B ²sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －sin C sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝sin A 中的角A =4π借助−−−−→A sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －sin C sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝22――――――――――→利用两角和与差的三角函数公式sin(B －C )＝1―――――――――――→要求角的值，还应确定角的取值范围由0＜B ，C ＜3π4，解得B －C ＝π2. 第(2)问1．审条件，挖解题信息观察条件：a ＝2，A ＝π4，B －C ＝π2―――――――→可求B ，C 的值 B ＝5π8，C ＝π8. 2．审结论，明确解题方向观察所求结论：求△ABC 的面积――――――→应具有两边及其夹角由asin A＝bsin B ＝c sin C ，得b ＝2sin 5π8，c ＝2sin π8.3．建联系，找解题突破口△ABC 的边角都具备―――――→利用面积公式求结论S ＝12bc sin A ＝ 2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝12.[准确规范答题](1)证明：由b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a ，应用正弦定理，得sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －sinC sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝sin A ，sin B ⎝⎛⎭⎪⎫22sin C ＋22cos C －sin C 22sin B ＋22cos B ＝22，⇨(3分)整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1， 即sin(B －C )＝1，⇨(5分) 由于0<B ，C <34π，从而B －C ＝π2.⇨(6分)(2)B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8.⇨(8分)由a ＝2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，⇨(10分)所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝12.⇨(12分)[答题模板速成]解决解三角形问题一般可用以下几步解答：⇒⇒⇒一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2012²上海高考)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．不能确定解析：选A 由正弦定理得a 2＋b 2＜c 2，故cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＜0，所以C 为钝角．2．(2012²广东高考)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3D.32解析：选B 由正弦定理得：BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝3232³22＝2 3.3．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32B.332 C.3＋62D.3＋394解析：选B 由余弦定理得：(7)2＝22＋AB 2－2³2AB ²cos 60°，即AB 2－2AB －3＝0，得AB ＝3，故BC 边上的高是AB sin 60°＝332.4．在△ABC 中 ，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A.32B.22C.12 D ．－12解析：选C 由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，又c 2＝12(a 2＋b 2)，得2ab cos C ＝12(a 2＋b 2)，即cos C ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12.5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725 B ．－725C ．±725D.2425解析：选A 由C ＝2B 得sin C ＝sin 2B ＝2sin B cos B ，由正弦定理及8b ＝5c 得cos B ＝sin C 2 sin B ＝c 2b ＝45，所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝2³⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.6．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于( ) A.32B.34C.32或 3 D.32或34解析：选D 依题意与正弦定理得AB sin C ＝ACsin B，sin C ＝AB ²sin B AC ＝32，C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，A ＝90°，△ABC 的面积等于12AB ²AC ＝32；当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 的面积等于12AB ²AC ²sin A ＝34.因此，△ABC 的面积等于32或34.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2012²福建高考)已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．解析：依题意得，△ABC 的三边长分别为a ，2a,2a (a ＞0)，则最大边2a 所对的角的余弦值为a 2＋2a 2－2a 22a ²2a ＝－24. 答案：－248．(2013²佛山模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________.解析：由题意知sin A ＝45，sin B ＝1213，则sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝5665，所以c ＝b sin C sin B ＝145. 答案：1459．在△ABC 中，D 为边BC 的中点，AB ＝2，AC ＝1，∠BAD ＝30°，则AD 的长度为________． 解析：延长AD 到M ，使得DM ＝AD ，连接BM 、MC ，则四边形ABMC 是平行四边形．在△ABM 中，由余弦定理得BM 2＝AB 2＋AM 2－2AB ²AM ²cos∠BAM ，即12＝22＋AM 2－2²2²AM ²cos30°，解得AM ＝3，所以AD ＝32. 答案：32三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos(A －C )＋cos B ＝1，a ＝2c ，求C .解：由B ＝π－(A ＋C )，得cos B ＝－cos(A ＋C )．于是cos(A －C )＋cos B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )＝2sin A sin C ， 由已知得sin A sin C ＝12.①由a ＝2c 及正弦定理得sin A ＝2sin C ．② 由①②得sin 2C ＝14，于是sin C ＝－12(舍去)，或sin C ＝12.又a ＝2c ，所以C ＝π6.11．(2012²江苏高考)在△ABC 中，已知AB ²AC ＝3BA ²BC.(1)求证：tan B ＝3tan A ； (2)若cos C ＝55，求A 的值． 解：(1)因为AB ²AC ＝3BA ²BC，所以AB ²AC ²cos A ＝3BA ²BC ²cos B ，即AC ²cos A ＝3BC ²cos B ，由正弦定理知ACsin B＝BCsin A， 从而sin B cos A ＝3sin A cos B ，又因为0＜A ＋B ＜π，所以cos A ＞0，cos B ＞0， 所以tan B ＝3tan A . (2)因为cos C ＝55，0＜C ＜π， 所以sin C ＝1－cos 2C ＝255， 从而tan C ＝2，于是tan[π－(A ＋B )]＝2，即tan(A ＋B )＝－2，亦即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－2.由(1)得4tan A 1－3tan A ＝－2，解得tan A ＝1或－13，因为cos A ＞0，故tan A ＝1，所以A ＝π4.12．(2012²浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C . (1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)因为0＜A ＜π，cos A ＝23，得sin A ＝1－cos 2A ＝53.又5cos C ＝sin B ＝sin (A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C . 所以tan C ＝ 5.(2)由tan C ＝5，得sin C ＝56，cos C ＝16.于是sin B ＝5cos C ＝56.由a ＝2及正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝ 3.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ac sin B ＝52.1．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43 B ．8－4 3 C ．1D.23解析：选A 由(a ＋b )2－c 2＝4， 得a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝4.①由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝2ab cos 60°＝ab ，②将②代入①得ab ＋2ab ＝4，即ab ＝43.2．若△ABC 的内角A ，B ，C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝( ) A.154 B.34 C.31516D.1116解析：选D 依题意，结合正弦定理得6a ＝4b ＝3c ，设3c ＝12k (k ＞0)，则有a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝2k 2＋4k 2－3k 22³2k ³4k＝1116. 3．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B ²sin C ，则A 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，πC.⎝⎛⎦⎥⎤0，π3 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π解析：选C 由已知及正弦定理，有a 2≤b 2＋c 2－bc .而由余弦定理可知，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，于是b 2＋c 2－2bc cos A ≤b 2＋c 2－bc ，可得cos A ≥12.注意到在△ABC 中，0＜A ＜π，故A ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π3.4．已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a 、b 、c ，且2cos 2A2＋cos A＝0.(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解：(1)由2cos 2A2＋cos A ＝0，得1＋cos A ＋cos A ＝0，即cos A ＝－12，∵0<A <π，∴A ＝2π3.(2)由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，A ＝2π3， 则a 2＝(b ＋c )2－bc ，又a ＝23，b ＋c ＝4， 有12＝42－bc ，则bc ＝4，1 2bc sin A＝ 3.故S△ABC＝。
2014高考理科数学一轮复习章节过关检测(新课标,人教A版)7-2等差数列及其前n项和
课时作业(三十三)一、选择题1．(2012年山西大同市高三学情调研)设数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝( )A ．14B ．21C ．28D ．35解析：由a 3＋a 4＋a 5＝12得a 4＝4，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝7(a 1＋a 7)2＝7a 4＝28.答案：C2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18－a 5，则S 8等于 ( ) A ．18 B ．36 C ．54D ．72解析：由a 4＝18－a 5，得a 4＋a 5＝18. 所以S 8＝8(a 1＋a 8)2＝4(a 4＋a 5)＝4×18＝72.答案：D3．(2011年全国卷大纲版)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2，由S k ＋2－S k ＝(k ＋2)2－k 2＝4k ＋4＝24，得k ＝5.答案：D4．(2012年浙江)设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是( )A．若d<0，则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项，则d<0C．若数列{S n}是递增数列，则对任意n∈N*，均有S n>0D．若对任意n∈N*，均有S n>0，则数列{S n}是递增数列解析：若{S n}为递增数列，∴当n≥2时，S n－S n－1＝a n>0，即n≥2时，a n 均为正数，而a1是正数、负数或是零均有可能，故对任意n∈N*，不一定S n始终大于0.答案：C5．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若S1＝1，S4S2＝4，则S6S4的值为A.94 B.32C.54D．4解析：设数列{a n}的公差为d.依题意得S4＝4×1＋4×32d＝4＋6d，S2＝2＋d，且S4＝4S2，即4＋6d＝4(2＋d)，d＝2，S6＝6×1＋6×52d＝36，S4＝16，S6S4＝3616＝94，选A.答案：A6．已知在等差数列{a n}中，对任意n∈N*，都有a n>a n＋1，且a2，a8是方程x2－12x＋m＝0的两根，且前15项的和S15＝m，则数列{a n}的公差是() A．－2或－3 B．2或3C．－2 D．－3解析：2a5＝a2＋a8＝12，得a5＝6，由S15＝m得a8＝m15.又因为a8是方程x2－12x＋m＝0的根，解之得m＝0，或m＝－45，则a8＝0或－3. 由3d＝a8－a5得d＝－2或－3.答案：A二、填空题7．(2011年湖南)设S n 是等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和，且a 1＝1，a 4＝7，则S 5＝________.解析：∵a 1＝1，a 4＝1＋3d ＝7，∴d ＝2， ∴S 5＝5a 1＋5×42d ＝5＋10×2＝25. 答案：258．(2012年福建泉州质检)定义运算|a c b d |＝ad －bc ，函数f (x )＝|x －1－x2x ＋3|图象的顶点是(m ，n )，且k ，m ，n ，r 成等差数列，则k ＋r ＝________.解析：f (x )＝(x －1)(x ＋3)＋2x ＝x 2＋4x －3，顶点是(－2，－7)，因为k ，m ，n ，r 成等差数列，所以k ＋r ＝m ＋n ＝－9.答案：－99．(2013届江西省百所重点高中阶段性诊断)已知分别以d 1和d 2为公差的等差数列{a n }和{b n }满足a 1＝18，b 14＝36，a k ＝b k ＝0，且数列a 1，a 2，…，a k ，b k＋1，b k ＋2，…，b 14，…(k <14)的前n 项和S n 满足S 14＝2S k ，则a n ＋b n ＝__________. 解析：由S 14＝2S k ，得S k ＝S 14－S k ， ∵a k ＝b k ＝0，S k ＝S 14－S k －1 ∴18＋02×k ＝36＋02×(14－k ＋1)，则9k ＝18×(15－k )，得k ＝10，d 1＝0－189＝－2，d 2＝36－014－10＝9，则a n ＝－2n ＋20，b n ＝9n －90，即有a n ＋b n ＝7n －70.答案：7n －70 三、解答题10．(2012年山东临沂二模节选)在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)．(1)求证：数列{1a n}是等差数列；(2)求数列{a n }的通项．解：(1)证明：因为3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)， 整理得1a n －1a n －1＝3(n ≥2)．所以数列{1a n}是以1为首项，3为公差的等差数列．(2)由(1)可得1a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，所以a n ＝13n －2.11．(1)在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 有最大值，并求出它的最大值．(2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －25，求数列{|a n |}的前n 项和． 解：(1)由a 1＝20，S 10＝S 15，解得公差d ＝－53. ∵S 10＝S 15，∴S 15－S 10＝a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∵a 11＋a 15＝a 12＋a 14＝2a 13，∴a 13＝0， 又∵a 1>0，∴a 1、a 2、…、a 11、a 12均为正数，而a 14及以后各项均为负数． ∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，为S 12＝S 13＝130. (2)∵a n ＝4n －25，a n ＋1＝4(n ＋1)－25， ∴a n ＋1－a n ＝4＝d ，又a 1＝4×1－25＝－21.所以数列{a n }是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列， 令⎩⎨⎧a n ＝4n －25<0， ①a n ＋1＝4(n ＋1)－25≥0， ② 由①得n <614；由②得n ≥514，所以n ＝6.即数列{|a n |}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列，而|a 7|＝a 7＝4×7－24＝3. 设{|a n |}的前n 项和为T n ，则T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧21n ＋n (n －1)2×(－4)(n ≤6)66＋3(n －6)＋(n －6)(n －7)2×4(n ≥7)＝⎩⎨⎧－2n 2＋23n (n ≤6)，2n 2－23n ＋132 (n ≥7).12．(2012年江苏泰州高三第一学期期末考试)已知数列{a n }，对于任意n ≥2，在a n －1与a n 之间插入n 个数，构成的新数列{b n }成等差数列，并记在a n －1与a n 之间插入的这n 个数均值为C n －1.(1)若a n ＝n 2＋3n －82，求C 1，C 2，C 3；(2)在(1)的条件下是否存在常数λ，使{C n ＋1－λC n }是等差数列？如果存在，求出满足条件的λ，如果不存在，请说明理由；(3)求出所有的满足条件的数列{a n }．解：(1)由题意a 1＝－2，a 2＝1，a 3＝5，a 4＝10， ∴在a 1与a 2之间插入－1,0，C 1＝－12. 在a 2与a 3之间插入2,3,4，C 2＝3. 在a 3与a 4之间插入6,7,8,9，C 3＝152.(2)在a n －1与a n 之间插入n 个数构成等差数列，d ＝a n －a n －1n ＋1＝1， ∴C n －1＝n (a n －1＋a n )2n ＝a n －1＋a n 2＝n 2＋2n －92.假设存在λ使得{C n ＋1－λC n }是等差数列．∵(C n ＋1－λC n )－(C n －λC n －1)＝C n ＋1－C n －λ(C n －C n －1) ＝2n ＋52－λ·2n ＋32＝(1－λ)n ＋52－32λ＝常数，∴λ＝1时，{C n ＋1－λC n }是等差数列．(3)由题意满足条件的数列{a n }应满足a n －a n －1n ＋1＝a n ＋1－a nn ＋2，∴a n ＋1－a n a n －a n －1＝n ＋2n ＋1， ∴a n ＋1－a n a n －a n －1·a n －a n －1a n －1－a n －2·…·a 4－a 3a 3－a 2·a 3－a 2a 2－a 1 ＝n ＋2n ＋1·n ＋1n ·…·54·43＝n ＋23. ∴a n ＋1－a n ＝13(a 2－a 1)·(n ＋2)，∴a n －a n －1＝13(a 2－a 1)·(n ＋1)， …a 3－a 2＝13(a 2－a 1)×4， a 2－a 1＝13(a 2－a 1)×3，∴a n －a 1＝13(a 2－a 1)·(n －1)(3＋n ＋1)2(n ≥2)，∴a n ＝16(a 2－a 1)(n －1)(n ＋4)＋a 1(n ≥2)，又∵n ＝1时也满足条件，∴形如a n ＝a (n －1)(n ＋4)＋b (a ，b ∈R)的数列均满足条件． [热点预测]13．(1)(2012年安徽江南十校第一次联考)已知函数f (x )＝cos x ，x ∈(0,2π)有两个不同的零点x 1，x 2，且方程f (x )＝m 有两个不同的实根x 3，x 4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m ＝( )A.12 B ．－12 C.32D ．－32(2)(2012年山东滨州一模)把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设a ij (i ，j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如a 63＝18，若a ij ＝2 012，则i ＋j ＝( )A.75 C ．77D ．78解析：(1)若m >0，则公差d ＝3π2－π2＝π， 显然不成立，所以m <0， 则公差d ＝3π2－π23＝π3.所以m ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝－32，故选D.(2)观察此三角形数表可得到以下信息：(1)奇数行中都是奇数，偶数行中都是偶数；(2)第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，依此类推，第2n 行有2n 个数；(3)单看偶数行，第2行、第4行共有6个数，而第4行最后一个数为12＝6×2，第2行、第4行、第6行共有12个数，而第6行最后一个数为24＝12×2，依此类推，前2n (n ∈N *)行(包括第2n 行)共有2＋4＋6＋…＋2n ＝(2＋2n )n 2＝n 2＋n 个偶数，第2n 行的最后一个数为2n 2＋2n ，当n ＝32时，2n 2＋2n ＝2 112，故2 012应在第64行，又2 112－2 0122＝50，所以2 012应在第64行从左往右数第64－50＝14个数，所以i ＋j ＝64＋14＝78.选D.答案：(1)D (2)D。
2014高考理科数学一轮复习章节过关检测(新课标,人教A版)质量检测8
质量检测(八)测试内容：算法初步、复数、推理与证明(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．复数11＋2i(i 是虚数单位)的实部是 ( )A.15 B ．－25 C.25D ．－15解析：复数11＋2i ＝1－2i (1＋2i )(1－2i )＝1－2i 5＝15－25i ，∴这个复数的实部是15. 答案：A2．(2012年黑龙江哈尔滨六中一模)设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i 为纯虚数，则实数a 为( )A ．－12B ．－2 C.12 D ．2解析：1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2－a ＋(2a ＋1)i 5＝2－a 5＋2a ＋15i ，a 为实数，由此复数为纯虚数，可得⎩⎪⎨⎪⎧2－a5＝0，2a ＋15≠0，解得a ＝2.答案：D3．(2012年四川成都七中一模)若复数z 满足z1＋i＝2i ，则在复平面上复数z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：由z1＋i＝2i ，得z ＝2i(1＋i)＝2i ＋2i 2＝－2＋2i ， ∴z 对应的点位于复平面上的第二象限． 答案：B4．(2012年北京海淀4月模拟)执行如图所示的程序框图，输出的k 值是( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：开始将n ＝5代进框图，5为奇数，∴代入n ＝3n ＋1，得n ＝16，此时k ＝1.此后n 为偶数，则代入n ＝n 2中，因输出时的n ＝1,1＝1624，k ＝k ＋1，∴当n ＝1时，k ＝1＋1＋1＋1＋1＝5，故选B.答案：B5．(2012年河南郑州三模)某算法的程序框图如图所示，则输出的S 的值为A.2 0112 012B.2 0124 025C.2 0134 024D.2 0134 025解析：本题主要考查程序框图及裂项相消法求和，体现了算法思想与数列求和问题的交汇．由算法流程图可知，循环体共执行了2 012次．输出结果为 S ＝11×3＋13×5＋…＋1(2×2 012－1)(2×2 012＋1)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14 023－14 025＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14 025＝2 0124 025，选B. 答案：B6．(2012年浙江杭州3月模拟)已知函数f (x )＝ax 3＋12x 2在x ＝－1处取得极大值，记g (x )＝1f ′(x ).程序框图如图所示，若输出的结果S >2 0112 012，则判断框中可以填入的关于n的判断条件是()A．n≤2 011? B．n≤2 012?C．n>2 011? D．n>2 012?解析：由题意得f′(x)＝3ax2＋x，由f′(－1)＝0得a＝13，∴f′(x)＝x2＋x，即g(x)＝1x2＋x＝1x(x＋1)＝1x－1x＋1.由程序框图可知S＝0＋g(1)＋g(2)＋…＋g(n)＝0＋1－12＋12－13＋…＋1n－1 n＋1＝1－1n＋1>2 0112 012得n>2 011.故选B.答案：B7．如果下面的程序执行后输出的结果是11 880，那么在程序UNTIL后面的条件应为()A．i<10 B．i<＝10C．i<＝9 D．i<9解析：由于12×11×10×9＝11 880，所以执行循环的条件应是i≥9，循环直到i<9时停止，因此选D.答案：D8．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖的块数是() A．4n B．4n＋1C．4n＋2 D．4n－1解析：第1～3个图案中白色地面砖的块数依次是6,10,14，由此猜测白色地面砖的块数构成以6为首项，4为公差的等差数列，故第n个图案中有白色地面砖6＋4(n－1)＝4n＋2(块)．答案：C9．在数列{a n }中，若存在非零整数T ，使得a m ＋T ＝a m 对于任意的正整数m 均成立，那么称数列{a n }为周期数列，其中T 叫做数列{a n }的周期．若数列{x n }满足x n ＋1＝|x n －x n －1|(n ≥2，n ∈N )，且x 1＝1，x 2＝a (a ≤1，a ≠0)，当数列{x n }的正周期最小时，该数列的前2 012项的和是( )A ．671B ．670C ．1 341D ．1 342解析：x 1＝1，x 2＝a ，x 3＝|a －1|＝1－a ， x 4＝|1－a －a |＝|1－2a |， 依题意知周期为3，∴|1－2a |＝1，得a ＝1，a ＝0(舍去)． ∴x 1＝1，x 2＝1，x 3＝0，从而S 2 012＝1 342. 答案：D10．用数学归纳法证明：“(n ＋1)·(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1×3×…·(2n －1)”，则n ＝k ＋1与n ＝k 时相比左端需增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋1解析：当n ＝k 时等式的左端为：(k ＋1)·(k ＋2)·…·(k ＋k ) 当n ＝k ＋1时，等式的左端为：(k ＋1＋1)·(k ＋1＋2)·…·(k ＋k )·(2k ＋1)·(k ＋1＋k ＋1) ＝(k ＋1)·(k ＋2)·…·(k ＋k )·(2k ＋1)·(2k ＋2)k ＋1＝(k ＋1)·(k ＋2)·…·(k ＋k )·2(2k ＋1)因此从“k 到k ＋1”左端需增乘的代数式为2(2k ＋1)，故选B. 答案：B11．定义在R 上的函数 f (x )满足 f (－x )＝－ f (x ＋2)，当x >1时， f (x )单调递增，如果x 1＋x 2>2且(x 1－1)(x 2－1)<0，则 f (x 1)＋ f (x 2)的值 ( )A ．恒小于0B ．恒大于0C ．可能为0D ．可正可负解析：由 f (－x )＝－ f (x ＋2)知函数y ＝ f (x )关于点(1,0)对称，因此由x >1时 f (x )单调递增可知当x <1时函数 f (x )单调递增．由(x 1－1)(x 2－1)<0知x 1－1，x 2－1异号，不妨设x 1>1， 则x 2<1.∵x 1＋x 2>2，∴x 1>2－x 2.由x 2<1知2－x 2>1，故x 1>2－x 2>1. ∴ f (x 1)> f (2－x 2)．∵ f (2－x 2)＝－ f (x 2)．∴ f (x 1)>－ f (x 2)， 即 f (x 1)＋ f (x 2)>0. 答案：B12．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质： (ⅰ)1]( )A ．nB ．n ＋1C ．n －1D ．n 2解析：由(n ＋1)*1＝n *1＋1，得n *1＝(n －1)*1＋1＝(n －2)*1＋2＝…＝1] 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2012年山东日照一模)在复数集C 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎨⎧1＋x ，x ∈R ，(1－i )x ，x ∉R ，则f (1＋i)等于________． 解析：∵1＋i ∉R ，∴f (1＋i)＝(1－i)(1＋i)＝2. 答案：214．(2012年江苏)下图是一个算法流程图，则输出的k 的值是________．解析：∵k 2－5k ＋4>0，∴k >4或k <1，则当k ＝5时，循环终止， ∴k ＝5. 答案：515．设直角三角形的两直角边的长分别为a ，b ，斜边长为c ，斜边上的高为h ，则有a ＋b <c ＋h 成立，某同学通过类比得到如下四个结论：①a 2＋b 2>c 2＋h 2；②a 3＋b 3<c 3＋h 3；③a 4＋b 4<c 4＋h 4；④a 5＋b 5>c 5＋h 5.其中正确结论的序号是________；进一步类比得到的一般结论是：______. 解析：可以证明②③正确，观察②a 3＋b 3<c 3＋h 3，③a 4＋b 4<c 4＋h 4可得：a n ＋b n <c n ＋h n (n ∈N *)．答案：②③ a n ＋b n <c n ＋h n (n ∈N *)16．设n ≥2，n ∈N ，(2x ＋12)n －(3x ＋13)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，将|a k |(0≤k ≤n )的最小值记为T n ，则T 2＝0，T 3＝123－133，T 4＝0，T 5＝125－135，…，T n ，…其中T n ＝________.解析：由归纳推理得T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n ≥2且n 为偶数12n －13n ，n ≥2且n 为奇数.答案：T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n ≥2且n 为偶数12n －13n ，n ≥2且n 为奇数三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．计算：(1)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 2 2 013＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 2 2 013. 解：(1)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i 2＋i ＝i (2－i )5＝15＋25i.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 2 2 013＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 2 2 013＝1(2)2 013[(1＋i)2 012·(1＋i)＋(1－i)2 012·(1－i)] ＝1(2)2 013[(2i)1 006·(1＋i)＋(－2i)1 006·(1－i)] ＝12[i 2·(1＋i)＋(－i)2·(1－i)]＝－ 2.18．先阅读框图，再解答有关问题：(1)当输入的n 分别为1,2,3时，a 各是多少？ (2)当输入已知量n 时，①输出a 的结果是什么？试证明之； ②输出S 的结果是什么？写出求S 的过程． 解：(1)当n ＝1时，a ＝13； 当n ＝2时，a ＝115； 当n ＝3时，a ＝135.(2)①法一：记输入n 时，①中输出结果为a n ，②中输出结果为S n ，则a 1＝13，a n ＝2n －32n ＋1a n －1(n ≥2)，所以a n a n －1＝2n －32n ＋1(n ≥2)．所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2…a 2a 1·a 1＝2n －32n ＋1·2n －52n －1·2n －72n －3…15·13＝12n ＋1·12n －1＝14n 2－1. 法二：猜想a n ＝14n 2－1.证明：(ⅰ)当n ＝1时，结论成立． (ⅱ)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *), 即a k ＝14k 2－1， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2(k ＋1)－32(k ＋1)＋1a k ＝2k －12k ＋3·14k 2－1＝1(2k ＋3)(2k ＋1)＝14(k ＋1)2－1，所以当n ＝k ＋1时，结论成立．故对n ∈N *，都有a n ＝14n 2－1成立．即输出a 的结果为14n 2－1. ②因为a n ＝14n 2－1＝1(2n ＋1)(2n －1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， 所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 即输出S 的结果为n2n ＋1. 19．(2012年江西盟校二联)将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵： a 11 a 12 a 13 … a 1n a 21 a 22 a 23 … a 2n a 31 a 32 a 33 … a 3n … … … … … a n 1 a n 2 a n 3 … a nn已知a 11＝2，a 13＝a 61＋1，该数列第1列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列，其中m 为正实数．(1)求第i 行第j 列的数a ij ； (2)求这n 2个数的和．解：(1)由a 11＝2，a 13＝a 61＋1，得2m 2＝2＋5m ＋1， 解得m ＝3或m ＝－12(舍去)，a ij ＝a i 1·3j －1＝[2＋(i －1)×3]3j －1＝(3i －1)·3j －1.(2)S ＝(a 11＋a 12＋…＋a 1n )＋(a 21＋a 22＋…＋a 2n )＋…＋(a n 1＋a n 2＋…＋a nn )＝a 11(1－3n )1－3＋a 21(1－3n )1－3＋…＋a n 1(1－3n )1－3＝12(3n －1)·(2＋3n －1)n 2＝14n (3n ＋1)(3n －1)．20．(2013年河北省衡水二模)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，PD ⊥平面ABCD ，AD ＝1，AB ＝3，BC ＝4.(1)求证：BD ⊥PC ；(2)求直线AB 与平面PDC 所成的角；(3)设点E 在棱PC 上，PE →＝λPC →，若DE ∥平面P AB ，求λ的值． 解：(1)证明：过D 作DF ∥AB 交BC 于F ，则DF ＝3，FC ＝3，由DF ⊥FC 得DC ＝23，则BC 2＝DB 2＋DC 2，∴BD ⊥DC ，∵PD ⊥面ABCD ，∴BD ⊥PD ，而PD ∩CD ＝D ， ∴BD ⊥面PDC .∵PC 在面PDC 内，∴BD ⊥PC . (2)∵PD ⊥平面ABCD∴平面PDC ⊥平面ABCD .过点F 作FG ⊥CD 交CD 于G ，∵DF ∥AB ，∴AB 与面PDC 所成的角即DF 与面PDC 所成的角，即∠FDG 为直线AB 与平面PDC 所成的角．在Rt △DFC 中，∠DFC ＝90°，DF ＝3，CF ＝3，∴tan ∠FDG ＝3，∴∠FDG ＝60°.即直线AB 与平面PDC 所成角为60°.(3)连接EF ，∵DF ∥AB ，∴DF ∥平面P AB . 又∵DE ∥平面P AB ，∴平面DEF ∥平面P AB ，∴EF ∥PB . 又∵AD ＝1，BC ＝4，BF ＝1， ∴PE PC ＝BF BC ＝14，∴PE→＝14PC →，即λ＝14.21．(2012年天津)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)若直线AP 与BP 的斜率之积为－12，求椭圆的离心率； (2)若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |> 3. 解：(1)设点P 的坐标为(x 0，y 0)． 由题意，有x 20a 2＋y 20b 2＝1.① 由A (－a,0)，B (a,0)，得k AP ＝y 0x 0＋a ，k BP ＝y 0x 0－a. 由k AP ·k BP ＝－12，可得x 20＝a 2－2y 20，代入①并整理得(a 2－2b 2)y 20＝0.由于y 0≠0，故a 2＝2b 2.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22.(2)证明：证法一：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b2＝1.消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.②由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0.而x 0≠0，于是x 0＝－2a1＋k 2，代入②，整理得 (1＋k 2)2＝4k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋4.由a >b >0，故(1＋k 2)2>4k 2＋4，即k 2＋1>4，因此k 2>3，所以|k |> 3.证法二：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，有x 20a 2＋k 2x 20b 2＝1.因为a >b >0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a 2<1，即(1＋k 2)x 20<a 2.③由|AP |＝|OA |，A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k 2.代入③，得(1＋k 2)·4a 2(1＋k 2)2<a 2，解得k 2>3，所以|k |> 3. 22．给出下面的数表序列：其中表n (n ＝1,2,3，…，2n －1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．(1)写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n (n ≥3)(不要求证明)；(2)每个数表中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12，…，记此数列为{b n }．求和：b 3b 1b 2＋b 4b 2b 3＋…＋b n ＋2b n b n ＋1(n ∈N *)． 解：(1)表4为1 3 5 74 8 1212 2032它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n (n ≥3)，即表n (n ≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列．(2)表n 的第1行是1,3,5，…，2n －1，其平均数是1＋3＋5＋…＋(2n －1)n＝n .由(1)知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列(从而它的第k 行中的数的平均数是n ·2k －1)，于是，表n 中最后一行的惟一一个数为b n ＝n ·2n －1.因此b k ＋2b k b k ＋1＝(k ＋2)2k ＋1k ·2k －1·(k ＋1)·2k＝k ＋2k (k ＋1)·2k －2＝2(k ＋1)－k k (k ＋1)·2k －2 ＝1k ·2k －3－1(k ＋1)·2k －2(k ＝1,2,3，…，n )， 故b 3b 1b 2＋b 4b 2b 3＋…＋b n ＋2b n b n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11×2－2－12×2－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2－1－13×20＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ×2n －3－1(n ＋1)×2n －2＝11×2－2－1(n ＋1)×2n －2＝4－1(n ＋1)×2n －2.。
2014高考数学一轮复习精品试题附详解单元评估检测(一)(人教A版·理)
单元评估检测(一)(第一章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2012·郑州模拟)集合∈R}，B={y|y=x2-1,x∈R}，则A∩B=( )Ø(C){z|-1≤z≤z2.设全集U={1,2,3,4,5}，集合A={1,a-2,5},ðU A={2,4}，则a的值为( )(A)3 (B)4 (C)5 (D)63.已知全集U=R,则正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}关系的Venn图是( )4.“若a∉A，则b∈B”的否定是( )(A)若a∉A，则b∉B (B)若a∈A，则b∉B(C)若b∈B，则a∉A (D)若b∉B，则a∈A5.(易错题)集合A={y∈R|y=2x}，B={-1,0,1}，则下列结论正确的是( )(A)A∩B={0,1} (B)A∪B=(0,+∞)(C)(ðR A)∪B=(-∞,0) (D)(ðR A)∩B={-1,0}6.(2012·长沙模拟)下列说法中，正确的是( )(A)命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题(B)命题“∃x0∈R，2x-x0＞0”的否定是：“∀x∈R，x2-x≤0”(C)命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题(D)已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件7.(2012·大连模拟)下列四个命题中的真命题为( )(A)∃x0∈R，使得sinx0-cosx0=-1.5(B)∀x∈R，总有x2-2x-3≥0(C)∀x∈R，∃y∈R，y2＜x(D)∃x0∈R，∀y∈R，y·x0=y8.(2012·宿州模拟)已知命题p:∃x0∈R，有2x=-1;命题q:∀x∈(0,π)，有2x＞sinx.则下列命题是真命题的是( )(A)p∧q (B)p∨(⌝q)(C)p∧(⌝q) (D)(⌝p)∧q二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分.请把正确答案填在题中横线上)9.已知全集U=R，集合M={x||x|＜2},P={x|x＞a}，并且MðU P，那么a的取值范围是_________.10.(2012·株洲模拟)设条件p:a>0;条件q:a2+a≥0,那么p是q的______条件.11.已知a＞0，设p:存在a∈R，使y=a x是R上的单调递减函数； q:存在a∈R，使函数g(x)=lg(2ax2+2x+1)的值域为R，如果“p∧q”为假，“p∨q”为真，则a的取值范围是_______.12.命题“∃x0∈R，使得2x+2x0+5=0”的否定是____________________.13.(2012·合肥模拟)设集合U={1,3a+5,a2+1},A={1,a+1}，且ðU A={5}，则a=________.14.原命题：“设a,b,c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有________个.15.(易错题)已知p:-4＜x-a＜4，q:(x-2)(3-x)＞0,若⌝p是⌝q的充分条件，则实数a的取值范围是_________.三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(2012·汕头模拟)已知集合A={x|2-a≤x≤2+a}，B={x|x2-5x+4≥0},(1)当a=3时，求A∩B，A∪(ðU B);(2)若A∩B=Ø，求实数a的取值范围.17.(12分)(2012·天水模拟)设A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}，其中x∈R，如果A∩B=B,求实数a的取值范围.18.(12分)设p:函数y=log a(x+1)(a＞0且a≠1)在(0,+∞)上单调递减; q:曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点.如果p∧q为假，p∨q为真，求实数a的取值范围.19.(13分)已知p:-2≤x≤10，q:x2－2x+1－m2≤0(m＞0).若⌝p是⌝q 的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.20.(13分)求证：方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m＜1.321.(13分)已知p:x1和x2是方程x2-mx-2=0的两个实根，不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数m∈［-1,1］恒成立；q:不等式ax2+2x-1>0有解，若p为真，q为假，求a的取值范围.答案解析1.【解析】选C.由3-x2≥0得x≤x}.∴∵x2-1≥-1,∴B={y|y≥-1}.∴A∩B={z|-1≤z2.【解析】选C.∵ðU A={2,4},∴A={1,3,5},∴a-2=3,∴a=5.3.【解析】选B.由N={x|x2+x=0}，得N={-1,0}，则N M.故选B.4.【解析】选B.“若a∉A，则b∈B”的否定为“若a∈A，则b∉B”.5.【解析】选D.因为A={y∈R|y=2x}={y|y>0}，ðR A={y|y≤0}，∴(ðR A)∩B={-1,0}.6.【解析】选B.由特称命题的否定是全称命题知选项B正确.7.【解析】选D.当x0=1时，对∀y∈R，y·x0=y恒成立，故选D.8.【解析】选D.∵当x∈R时，x2≥0,∴命题p是假命题,令f(x)=x-sinx,则f′(x)=1-cosx＞0,π)上是增函数,∴f(x)在(0，2∴f(x)＞f(0)=0,即x＞sinx,故命题q是真命题.∴(⌝p)∧q是真命题.9.【解题指南】首先化简集合M，然后利用数轴求出a的取值范围. 【解析】∵M={x||x|＜2}={x|-2＜x＜2}，ðU P={x|x≤a},∴MðU P⇔M(-∞,a］⇔a≥2,如数轴所示：答案：{a|a≥2}10.【解析】a2+a≥0⇒a(a+1)≥0,可得a≥0或a≤-1,故p是q的充分不必要条件.答案：充分不必要,11.【解析】由题意知p:0＜a＜1，q:0＜a≤12因为“p∧q”为假，“p∨q”为真，所以p、q一真一假.＜a＜1，当p真q假时，得12＜a＜1.当p假q真时，a的值不存在，综上知12答案：(1,1)212.【解析】特称命题的否定是全称命题，其否定为“∀x∈R，都有x2+2x+5≠0”.答案：∀x∈R，都有x2+2x+5≠013.【解析】由ðU A={5}知5∈U且5∉A，若3a+5=5，则a=0，不合题意.若a2+1=5，则a=2或a=-2,当a=2时，A={1,3}，不合题意.当a=-2时,A={1,-1}，符合题意，故a=-2.答案：-214.【解析】∵“若ac2＞bc2，则a＞b”是真命题,∴逆否命题是真命题.又逆命题“若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”是假命题， ∴原命题的否命题也是假命题. 答案：115.【解析】p:-4＜x-a ＜4⇔a-4＜x ＜a+4, q:(x-2)(3-x)＞0⇔2＜x ＜3,又⌝p 是⌝q 的充分条件，即⌝p ⇒⌝q, 等价于q ⇒p, 所以a 42a 43-≤⎧⎨+≥⎩，解得-1≤a ≤6. 答案：［-1,6］【误区警示】解答本题时易弄错p 、q 的关系，导致答案错误，求解时，也可先求出⌝p 、⌝q ，再根据其关系求a 的取值范围. 16.【解析】(1)当a=3时，A={x|-1≤x ≤5}, B={x|x 2-5x+4≥0}={x|x ≤1或x ≥4}，ðU B={x|1＜x ＜4},A ∩B={x|-1≤x ≤1或4≤x ≤5}, A ∪(ðU B)={x|-1≤x ≤5}.(2)当a ＜0时，A=Ø，显然A ∩B=Ø,合乎题意. 当a ≥0时，A ≠Ø，A={x|2-a ≤x ≤2+a}, B={x|x 2-5x+4≥0}={x|x ≤1或x ≥4}. 由A ∩B=Ø，得2a 12a 4-⎧⎨+⎩＞＜，解得0≤a ＜1. 故实数a 的取值范围是(-∞,1).17.【解析】A={0,-4},又A ∩B=B,所以B ⊆A. (1)B=Ø时，Δ=4(a+1)2-4(a 2-1)＜0,得a ＜-1; (2)B={0}或B={-4}时,把x=0代入x 2+2(a+1)x+a 2-1=0中得a=±1, 把x=-4代入x 2+2(a+1)x+a 2-1=0, 得a=1或7，又因为Δ=0,得a=-1; (3)B={0,-4}时，Δ=a+1＞0,()22a 14a 10⎧-+=-⎪⎨-=⎪⎩,解得a=1. 综上所述实数a=1或a ≤-1.18.【解析】∵函数y=log a (x+1)在(0,+∞)上单调递减,∴0＜a ＜1，即 p:0＜a ＜1,∵曲线y=x 2+(2a-3)x+1与x 轴交于不同的两点, ∴Δ＞0，即(2a-3)2-4＞0，解得a ＜12或a ＞52. 即q:a ＜12或a ＞52. ∵p ∧q 为假，p ∨q 为真, ∴p 真q 假或p 假q 真,即0a 115a 22⎧⎪⎨≤≤⎪⎩＜＜或⎧⎪⎨⎪⎩a＞115 a＜或a＞22.解得12≤a＜1或a＞52.19.【解析】∵p:－2≤x≤10,∴⌝p：A={x|x＞10或x＜－2}.由q:x2－2x+1－m2≤0(m>0),解得1－m≤x≤1+m(m＞0)，∴⌝q：B={x|x＞1+m或x＜1－m}(m＞0).由⌝p是⌝q的必要而不充分条件可知：B A.∴m01m21m10>⎧⎪-≤-⎨⎪+⎩＞或m01m21m10⎧⎪--⎨⎪+≥⎩＞＜，解得m≥9.∴满足条件的m的取值范围为m≥9.【方法技巧】条件、结论为否定形式的命题的求解策略处理此类问题一般有两种策略：一是直接求出条件与结论，再根据它们的关系求解.二是先写出命题的逆否命题，再根据它们的关系求解.如果p是q的充分不必要条件，那么⌝p是⌝q的必要不充分条件；同理，如果p是q的必要不充分条件，那么⌝p是⌝q的充分不必要条件，如果p是q的充要条件，那么⌝p是⌝q的充要条件.20.【证明】(1)充分性:∵0＜m＜13,∴方程mx2-2x+3=0的判别式Δ=4-12m＞0，且3m＞0,∴方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实根.(2)必要性:若方程mx 2-2x+3=0有两个同号且不相等的实根,则有12412m 03x x 0m∆=-⎧⎪⎨=⎪⎩＞＞.∴0＜m ＜13. 综合(1)(2)可知，方程mx 2-2x+3=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是 0＜m ＜13.21.【解题指南】根据已知先得出p 真时a 的范围，再通过讨论a 得到q 真时a 的范围，最后根据p 真q 假，得a 的取值范围. 【解析】∵x 1,x 2是方程x 2-mx-2=0的两个实根， ∴x 1+x 2=m ，x 1·x 2=-2,∴|x 1-x 2=, ∴当m ∈［-1,1］时，|x 1-x 2|max =3,由不等式a 2-5a-3≥|x 1-x 2|对任意实数m ∈［-1,1］恒成立, 可得：a 2-5a-3≥3,∴a ≥6或a ≤-1,① 若不等式ax 2+2x-1>0有解，则 当a>0时，显然有解， 当a=0时，ax 2+2x-1>0有解， 当a<0时，∵ax 2+2x-1>0有解， ∴Δ=4+4a>0,∴-1<a<0,所以不等式ax 2+2x-1>0有解时a>-1. ∴q 假时a 的范围为a ≤-1 ②由①②可得a的取值范围为a≤-1.。
2014高考数学一轮复习4.7正弦定理、余弦定理及其实际应用配套训练理新人教A版
第7讲正弦定理、余弦定理及其实际应用基础巩固1.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东40°方向上,灯塔B在观察站C的南偏东60°方向上,则灯塔A在灯塔B的( )A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东10°D.南偏西10°【答案】B【解析】由已知∠ACB=180°-40°-60°=80°,又∵AC=BC,∴∠A=∠ABC=50°,60°-50°=10°.故灯塔A位于灯塔B的北偏西10°.2.已知圆的半径为4,a,b,c为该圆的内接三角形的三边,若abc=16,则内接三角形的面积为( )A.2B.8C. D.【答案】C【解析】∵===2R=8,∴sin C=.∴S△ABC=absin C=abc=×16=.3.已知A,B两地的距离为10 km,B, C两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°,则A,C两地的距离为( )A.10 kmB.kmC.10kmD.10km【答案】D【解析】利用余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos 120°=102+202-2×10×20×=700,故AC=10(km).4.下列判断中正确的是( )A.△ABC中,a=7,b=14,A=30°,有两解B.△ABC中,a=30,b=25,A=150°,有一解C.△ABC中,a=6,b=9,A=45°,有两解D.△ABC中,b=9,c=10,B=60°,无解【答案】B【解析】A:∵a=bsin A,∴有一解;B:∵A>90°,a>b,∴有一解;C:∵a<bsin A,∴无解;D:∵c>b>csin B,∴有两解.5.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c2=2a2+2b2+ab,则△ABC是( )A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形【答案】A【解析】∵2c2=2a2+2b2+ab,∴a2+b2-c2=-ab.∴cos C==-<0.则△ABC是钝角三角形.故选A.6.已知△ABC三内角A,B,C所对的三边长分别为a,b,c,且面积S△ABC=(b2+c2-a2),则角A等于( )A.45°B.30°C.120°D.15°【答案】A【解析】由S△ABC=(b2+c2-a2)=bcsin A,得sin A==cos A,故A=45°.7.如图,在地震灾区的搜救现场,一条搜救狗从A处沿正北方向行进x m到达B处发现一个生命迹象,然后向右转105°,行进10 m到达C处发现另一生命迹象,这时它向右转135°后继续前行回到出发点,那么x= .【答案】【解析】由题知,∠CBA=75°,∠BCA=45°,从而∠BAC=180°-75°-45°=60°.∵=,∴x=.8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若(b-c)cos A=acos C,则cos A= . 【答案】【解析】由(b-c)cos A=acos C,得(b-c)·=a·,即=,由余弦定理,得cos A=.9.(2012·福建卷,13)已知△ABC的三边长成公比为的等比数列,则其最大角的余弦值为.【答案】-【解析】设△ABC的最小边长为a(m>0),则其余两边长为a,2a,故最大角的余弦值是cos θ===-.10.(2012·安徽卷,16)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,且有2sin Bcos A=sin Acos C+cos Asin C.(1)求角A的大小;(2)若b=2,c=1,D为BC的中点,求AD的长.【解】(1)(方法一)由题设知,2sin Bcos A=sin(A+C)=sin B,因为sin B≠0,所以cos A=.由于0<A<π,故A=.(方法二)由题设可知,2b·=a·+c·,于是b2+c2-a2=bc,所以cos A==.由于0<A<π,故A=.(2)(方法一)因为==(++2·)==,所以||=,从而AD=.(方法二)因为a2=b2+c2-2bccos A=4+1-2×2×1×=3,所以a2+c2=b2,B=.因为BD=,AB=1,所以AD==.11.(2013届·广东茂名月考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边长分别是a,b,c.(1)若c=2,C=,且△ABC的面积为,求a,b的值;(2)若sin C+sin(B-A)=sin 2A,试判断△ABC的形状.【解】(1)∵c=2,C=,∴由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C得a2+b2-ab=4.又∵△ABC的面积为,∴absin C=,ab=4.联立方程组解得a=2,b=2.(2)由sin C+sin(B-A)=sin 2A,得sin(A+B)+sin(B-A)=2sin Acos A,即2sin Bcos A=2sin Acos A,cos A·(sin A-sin B)=0,从而cos A=0或sin A-sin B=0,当cos A=0时,∵0<A<π,∴A=,△ABC为直角三角形;当sin A-sin B=0时,得sin B=sin A,由正弦定理得a=b,即△ABC为等腰三角形.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.12.(2012·甘肃兰州模拟)某单位在抗雪救灾中,需要在A,B两地之间架设高压电线,测量人员在相距 6 km的C,D两地测得∠ACD=45°,∠ADC=75°,∠BDC=15°,∠BCD=30°(如图,其中A,B,C,D在同一平面上),假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因,实际所需电线长度大约应该是A,B之间距离的1.2倍,问施工单位至少应该准备多长的电线?【解】在△ACD中,∠ACD=45°,CD=6,∠ADC=75°,所以∠CAD=60°.因为=,所以AD===2.在△BCD中,∠BCD=30°,CD=6,∠BDC=15°,所以∠CBD=135°.因为=,所以BD===3.又因为在△ABD中,∠BDA=∠BDC+∠ADC=90°,所以△ABD是直角三角形.所以AB===.所以电线长度至少为l=1.2×AB=(km).答:施工单位至少应该准备长度为km的电线.拓展延伸13.(2012·浙江卷,18)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cos A=,sin B=cos C.(1)求tan C的值;(2)若a=,求△ABC的面积.【解】(1)因为0<A<π,cos A=,得sin A==,又cos C=sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=cos C+sin C.所以tan C=.(2)由tan C=,得sin C=,cos C=.于是sin B=cos C=.由a=及正弦定理=,得c=.设△ABC的面积为S,则S=acsin B=.。
2014届高考理科数学第一轮复习测试题7
(时间：40分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共40分)1．(2011·广东广雅中学5月模拟)如图所示，PB ，PD 是半径为5的圆的两条割线，PB ，PD 分别与圆交于点A 、C ，已知P A ＝4，AB ＝2，PC ＝3，则该圆圆心到弦CD 的距离为________．解析 由题意得，P A ·PB ＝PC ·PD ，即4×(4＋2)＝3×(3＋CD )，解得CD ＝5，∴该圆圆心到弦CD 的距离为52－⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝532.答案5322．如图所示，A ，B 是两圆的交点，AC 是小圆的直径，D ，E 分别是CA ，CB 的延长线与大圆的交点，已知AC ＝4，BE ＝10，且BC ＝AD ，则AB ＝________.解析 设BC ＝AD ＝x ，由割线定理，得CA ·CD ＝CB ·CE ，即4(4＋x )＝x (x ＋10)，解得x ＝2，因为AC 是小圆的直径，所以AB ＝AC 2－BC 2＝2 3. 答案 2 33．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠C ＝72°，⊙O 过A 、B 两点且与BC 相切于点B ，与AC 交于点D ，连接BD ，若BC ＝5－1，则AC ＝________.解析 由题易知，∠C ＝∠ABC ＝72°， ∠A ＝∠DBC ＝36°，所以△BCD ∽△ACB ，又易知BD ＝AD ＝BC ，所以BC 2＝CD ·AC ＝(AC －BC )·AC ，解得AC ＝2. 答案 24．如图，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3 cm,4 cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于D ，则BDDA ＝________.解析 ∵∠C ＝90°，AC 为圆的直径， ∴BC 为圆的切线，AB 为圆的割线，∴BC 2＝BD ·AB ，即16＝BD ·5，解得BD ＝165， ∴DA ＝BA －BD ＝5－165＝95，∴BD DA ＝169. 答案 1695．如图所示，圆O 的直径AB ＝6，C 为圆周上一点，BC ＝3，过C 作圆的切线l ，则点A 到直线l 的距离AD 为________．解析 过A 作AD ⊥l 于D ，由AB 是圆O 直径，∴∠ACB ＝90°， 由l 是圆的切线，∴∠ABC ＝∠ACD ，∴△ADC ∽△ACB ，∴AD AC ＝AC AB ，∴AD ＝AC 2AB ＝AB 2－BC 2AB ＝92.答案926．如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P ，若PBP A ＝12，PC PD ＝13，则BCAD 的值为________．解析 ∵∠P ＝∠P ，∠PCB ＝∠P AD ，∴△PCB ∽△P AD ，∴PB PD ＝PC P A ＝BCDA ， ∵PB P A ＝12，PC PD ＝13，∴BC AD ＝66. 答案 667．如图所示，已知AB 是圆O 的直径，AD ＝DE ，AB ＝10，BD ＝8，则sin ∠BCE ＝________.解析 连接BE ，则在△ABD 和△BCE 中，∠ADB ＝∠BEC ＝90°， 且∠ABD ＝∠CBE ，所以∠DAB ＝∠ECB ， 故sin ∠BCE ＝sin ∠DAB ＝BD AB ＝45. 答案 458．如图，⊙O 与⊙P 相交于A 、B 两点，圆心P 在⊙O 上，⊙O 的弦BC 切⊙P 于点B ，CP 及其延长线交⊙P 于D 、E 两点，过点E 作EF ⊥CE ，交CB 的延长线于点F .若CD ＝2，CB ＝22，则由四点B 、P 、E 、F 所确定圆的直径为________．解析 连接PB .∵BC 切⊙P 于点B ，∴PB ⊥BC .又∵EF ⊥CE ，且∠PCB ＝∠FCE ，∴Rt △CBP ∽Rt △CEF ，∴∠EPB ＋∠EFB ＝180°，∴四点B ，P ，E ，F 共圆，又∵EF ⊥CE ，PB ⊥BC ，∴四点B 、P 、E 、F 所确定圆的直径就是PF .∵BC 切⊙P 于点B ，且CD ＝2，CB ＝22，∴由切割线定理得CB 2＝CD ·CE ，∴CE ＝4，DE ＝2，∴BP ＝1.又∵Rt △CBP ∽Rt △CEF ，∴EF BP ＝CECB ，得EF ＝ 2.连接PF ，则在Rt △FEP 中，PF ＝PE 2＋EF 2＝3，即由四点B ，P ，E ，F 确定圆的直径为 3. 答案3二、解答题(共20分)9．(10分)如图，△ABC 是直角三角形，∠ABC ＝90°.以AB 为直径的圆O 交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点．连结OD 交圆O 于点M .(1)求证：O 、B 、D 、E 四点共圆； (2)求证：2DE 2＝DM ·AC ＋DM ·AB . 证明 (1)如图，连结OE 、BE ， 则BE ⊥EC又∵D 是BC 的中点， ∴DE ＝BD .又∵OE ＝OB ，OD ＝OD ，∴△ODE ≌△ODB ， ∴∠OBD ＝∠OED ＝90°. ∴D ，E ，O ，B 四点共圆． (2)延长DO 交圆O 于点H . 由(1)知DE 为圆O 的切线，∴DE 2＝DM ·DH ＝DM ·(DO ＋OH )＝DM ·DO ＋DM ·OH ， ∴DE 2＝DM ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC ＋DM ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB ， ∴2DE 2＝DM ·AC ＋DM ·AB .10．(10分)(2011·银川模拟)如图，点A 是以线段BC 为直径的⊙O 上一点，AD ⊥BC 于点D ，过点B 作⊙O 的切线，与CA 的延长线相交于点E ，点G 是AD 的中点，连接CG 并延长与BE 相交于点F ，连接并延长AF 与CB 的延长线相交于点P .(1)求证：BF＝EF；(2)求证：P A是⊙O的切线．证明(1)∵BE是⊙O的切线，∴EB⊥BC.又∵AD⊥BC，∴AD∥BE.可以得知△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，∴BFDG＝CFCG，EFAG＝CFCG，∴BFDG＝EFAG，又∵G是AD的中点，∴DG＝AG，∴BF＝EF.(2)如图，连接AO，AB.∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.在Rt△BAE中，由(1)得知F是斜边BE的中点，∴AF＝FB＝EF.∴∠FBA＝∠F AB.又∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO.∵BE是⊙O的切线，∴∠EBO＝90°.∴∠EBO＝∠FBA＋∠ABO＝∠F AB＋∠BAO＝∠F AO＝90°，∴P A是⊙O的切线．。
【新课标人教A版】2014届高考数学(理)总复习限时规范训练：3.7 正弦定理和余弦定理
第三章 第7讲(时间：45分钟 分值：100分)一、选择题1. [2013·安徽淮南]在△ABC 中，∠A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则∠C ＝( )A. π4或3π4 B. 3π4C. π4 D. π6答案：C解析：由正弦定理得BC sin A ＝AB sin C ，则sin C ＝AB sin ABC＝6sin π33＝22，又BC >AB ，所以∠A >∠C ，所以∠C ＝π4，选C.2. [2011·四川高考]在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( ) A. (0，π6]B. [π6，π) C. (0，π3]D. [π3，π)答案：C解析：由正弦定理得，a 2≤b 2＋c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2≥bc ， 由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥bc 2bc ＝12.又∵0<A <π，∴0<A ≤π3.故选C.3. [2013·广西模拟]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ac ＝3，且a ＝3b sin A ，则△ABC 的面积等于( )A. 12 B. 32 C. 1 D. 34 答案：A解析：∵a ＝3b sin A ，∴由正弦定理得sin A ＝3sin B sin A ，∴sin B ＝13.∵ac ＝3，∴△ABC的面积S ＝12ac sin B ＝12×3×13＝12，故选A.4. [2013·成都冲刺]在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且b 2＝a 2－ac ＋c 2，C －A ＝90°，则cos A cos C ＝( )A. 14 B.24 C. －14D. －24答案：C解析：依题意得a 2＋c 2－b 2＝ac ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12.又0°<B <180°，所以B ＝60°，C ＋A ＝120°.又C －A ＝90°，所以C ＝90°＋A ，A ＝15°，cos A cos C ＝cos A cos(90°＋A )＝－12sin2A＝－12sin30°＝－14，选C.5. [2013·皖南八校联考]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＋c ＝4，∠B ＝30°，则c ＝( )A.135B. 125C. 3D. 134答案：A解析：在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋(c ＋b )(c －b )2ac ，∵a ＝3，b ＋c ＝4，∠B ＝30°，∴3＋4(c －b )23c＝32，即3＋ 4(c －b )＝3c,3＋c ＝4b ，结合b ＋c ＝4解得c ＝135.∴选A.6. [2012·天津高考]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725B. －725C. ±725D. 2425答案：A解析：∵sin C ＝sin2B ＝2sin B cos B ， ∴cos B ＝sin C 2sin B ＝c 2b ＝45，∴cos C ＝cos2B ＝2cos 2B －1＝725，选A 项．二、填空题7. 在△ABC 中，∠B ＝π6，AC ＝1，AB ＝3，则BC 的长度为________．答案：1或2解析：由余弦定理得：AC 2＝AB 2＋BC 2－2×AB ×BC ×cos ∠ABC ⇒1＝3＋BC 2－2×3×BC ×32，解得BC ＝1或BC ＝2. 8. [2012·重庆高考]设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B＝513，b ＝3，则c ＝________. 答案：145解析：因为cos A ＝35，cos B ＝513，所以sin A ＝45，sin B ＝1213，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B＋cos A sin B＝45×513＋35×1213＝5665， 由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得c ＝b sin Csin B ＝3×56651213＝145.9. [2013·沈阳质检]在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝________.答案：30°解析：根据正弦定理及sin C ＝23sin B 得c ＝23b ， ∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 2－(a 2－b 2)2bc ＝c 2－3bc 2bc ＝32，∵0°<A <180°，∴A ＝30°. 三、解答题10. [2012·大纲全国高考]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos(A －C )＋cos B ＝1，a ＝2c ，求C .解：∵B ＝π－(A ＋C )，∴cos B ＝cos[π－(A ＋C )]＝－cos(A ＋C )，∴1＝cos(A －C )＋cos B ＝cos A cos C ＋sin A sin C －cos A cos C ＋sin A sin C ＝2sin A sin C ，∴sin A sin C ＝12.由正弦定理a sin A ＝c sin C＝2R ， 得a ＝2R sin A ，c ＝2R sin C ， ∵a ＝2c ，∴sin A ＝2sin C ， ∴2sin 2C ＝12，即sin 2C ＝14，解得sin C ＝12或sin C ＝－12(舍去)，∴C ＝π6.11. [2012·江西高考]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π4，b sin(π4＋C )－c sin(π4＋B )＝a .(1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)证明：由b sin(π4＋C )－c sin(π4＋B )＝a ，应用正弦定理，得sin B sin(π4＋C )－sin C sin(π4＋B )＝sin A ，sin B (22sin C ＋22cos C )－sin C (22sin B ＋22cos B )＝22， 整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1， 即sin(B －C )＝1， 由于0<B <3π4，0<C <3π4，从而B －C ＝π2.(2)B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8，由a ＝2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝12.12. [2012·江苏高考]在△ABC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC →. (1)求证：tan B ＝3tan A ； (2)若cos C ＝55，求A 的值． 解：(1)证明：由AB →·AC →＝3BA →·BC →得| AB →|·| AC →|cos A ＝3| BA →|·| BC →|cos B ， 即为cb cos A ＝3ca cos B ，b cos A ＝3a cos B ， 由正弦定理得sin B cos A ＝3sin A cos B ， 两边同除cos A cos B 得tan B ＝3tan A . (2)因cos C ＝55，所以C 为锐角， 所以tan C ＝2，由(1)tan B ＝3tan A ，且A ＋B ＋C ＝π， 得tan[π－(A ＋C )]＝3tan A ，即－tan(A ＋C )＝3tan A ⇒－tan A ＋tan C1－tan A tan C ＝3tan A ，即tan A ＋22tan A －1＝3tan A ，所以tan A ＝1或tan A ＝－13.因tan B ＝3tan A ，由内角和为π知两角均为锐角，故tan A ＝－13应舍去．所以tan A ＝1，所以A ＝π4.。
2014届高考数学一轮复习 第3章《三角函数、解三角形》(第4课时)知识过关检测 理 新人教A版
2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第3章《三角函数、解三角形》（第4课时）（新人教A 版）一、选择题1．(教材习题改编)下列各式的值为14的是( )A ．2cos 2π12－1B ．1－2sin 275°C.2tan22.5°1－tan 222.5°D ．sin15°cos 15° 解析：选D.2cos2π12－1＝cos π6＝32；1－2sin 275°＝cos150°＝－32；2tan22.5°1－tan 222.5°＝tan45°＝1；sin15°cos15°＝12sin30°＝14.2．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( )A ．－53 B ．－19C.19D.53解析：选B.cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin 2α)＝2sin 2α－1＝2³49－1＝－19.3．(2011²高考辽宁卷)设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13，则s in2θ＝( )A ．－79B ．－19C.19D.79解析：选A.sin2θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2θ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ－1＝2³⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.4．(2012²高考山东卷)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin2θ＝378，则sin θ＝( ) A.35 B.45 C.74D.34解析：选D.因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以cos2θ≤0，所以cos2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，所以sin θ＝34，选D.5．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ2的值为( )A.35B.45 C ．±35 D ．±45解析：选C.∵θ为第二象限角， ∴θ2为第一、三象限角．∴cos θ2的值有两个． 由sin(π－θ)＝2425，可知sin θ＝2425，∴cos θ＝－725.∴2cos 2θ2＝1825.∴c os θ2＝±35.二、填空题6．(预测题)已知sin α＝35且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝ ________.解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝35， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3 ＝35³12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45³32＝3－4310. 答案：3－43107．(2013²烟台质检)已知6sin x ＋2cos x ＝1m，则m 的取值范围是________．解析：6sin x ＋2cos x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.∴－22≤1m ≤22，解得m ≤－24或m ≥24.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－24∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫24，＋∞ 8．若cos2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α＝________. 解析：cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos α－sin αcos α＋sin α22sin α－cos α＝－22， 则cos α＋sin α＝12.答案：12三、解答题9．已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋cos2x .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值； (2)设α∈(0，π)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝22，求sin α的值．解：(1)∵f (x )＝sin2x ＋c os2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin π2＋cos π2＝1. (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝sin α＋cos α＝22. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝±32. sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4 ＝12³22－⎝ ⎛⎭⎪⎫±32³22＝2∓64. ∵α∈(0，π)，∴sin α＞0.故sin α＝2＋64. 10．已知函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.(1)求f (x )的最大值和最小值；(2)若不等式|f (x )－m |＜2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos2x ＝1＋sin2x －3cos2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 又∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴π6≤2x －π3≤2π3， ∴12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，即2≤1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤3. ∴f (x )max ＝3，f (x )min ＝2.(2)∵|f (x )－m |＜2⇔f (x )－2＜m ＜f (x )＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤x ≤π2.∴m ＞f (x )max －2且m ＜f (x )min ＋2， ∴1＜m ＜4，即m 的取值范围是(1,4)．一、选择题1．(2012²高考江西卷)若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan2α＝( )A ．－34 B.34C ．－43 D.43解析：选B.∵sin α＋cos αsin α－cos α＝12，∴2sin α＋2cos α＝sin α－cos α，整理得sin α＝－3cos α，即sin αcos α＝－3＝tan α，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝34.故选B. 2．若cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝－34，则sin2x 的值为( )A.24 B ．－18C ．－24D.18解析：选D.sin2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1＝2³⎝ ⎛⎭⎪⎫－342－1＝18. 二、填空题3．设α是第二象限的角，tan α＝－43，且sin α2＜cos α2，则cos α2＝________.解析：∵α是第二象限的角， ∴α2可能在第一或第三象限后半段， 又sin α2＜cos α2.∴α2为第三象限的角．∴cos α2＜0. ∵tan α＝－43，∴cos α＝－35，∴cos α2＝－1＋cos α2＝－55. 答案：－554．在△ABC 中，已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝35，则cos2A 的值为________．解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝cos π4cos A －sin π4s in A ＝22(cos A －sin A )＝35， ∴cos A －sin A ＝325＞0.①∴0＜A ＜π4，∴0＜2A ＜π2.由①两边平方得1－sin2A ＝1825，∴sin2A ＝725.∴cos2A ＝1－sin 22A ＝2425.答案：2425三、解答题5．(2011²高考天津卷)已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， (1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos2α，求α的大小．解：(1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，所以x ≠π8＋k π2，k ∈Z .所以f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠π8＋k π2，k ∈Z }，f (x )的最小正周期为π2.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos2α得tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos2α， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)， 整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α－sin α)(cos α＋sin α)，因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0，因此(cos α－sin α)2＝12，即sin2α＝12，因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，所以α＝π12.。
2014届高考数学人教A版(理)一轮复习限时规范训练第四篇第6讲正弦定理和余弦定理
第6讲 正弦定理和余弦定理A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝ ( )．A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析 由a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，得a 2＝3bc ＋b 2，cb ＝2 3.由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 2－3bc 2bc ＝c 2b －32＝3－32＝32，所以A ＝30°，故选A. 答案 A2.(2012·四川)如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA至E ，使AE ＝1，连结EC 、ED ，则sin ∠CED ＝( )． A.31010 B.1010 C.510D.515解析 依题意得知，CD ＝1，CE ＝CB 2＋EB 2＝5，DE ＝EA 2＋AD 2＝2，cos ∠CED ＝CE 2＋ED 2－CD 22CE ·ED ＝31010，所以sin ∠CED ＝1－cos 2∠CED ＝1010，选B. 答案 B3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝( )．A. 2B. 3C.32D ．2解析 ∵A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，∴B ＝60°.又a ＝1，b ＝3，∴a sin A ＝bsin B ， ∴sin A ＝a sin Bb ＝32×13＝12，∴A ＝30°，∴C ＝90°.∴S △ABC ＝12×1×3＝32. 答案 C4．(2012·湖南)在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于 ( )． A.32B.332C.3＋62D.3＋394解析 设AB ＝c ，BC 边上的高为h .由余弦定理，得AC 2＝c 2＋BC 2－2BC ·c cos 60°，即7＝c 2＋4－4c cos 60°，即c 2－2c －3＝0，∴c ＝3(负值舍去)． 又h ＝c ·sin 60°＝3×32＝332，故选B. 答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋c 2－b 2)·tan B ＝3ac ，则角B 的值为________．解析 由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac ＝cos B ，结合已知等式得 cos B ·tan B ＝32，∴sin B ＝32，∴B ＝π3或2π3. 答案 π3或2π36．(2012·福建)已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．解析 依题意得，△ABC 的三边长分别为a ，2a,2a (a >0)，则最大边2a 所对的角的余弦值为：a 2＋(2a )2－(2a )22a ·2a ＝－24.答案 －24三、解答题(共25分)7．(12分)(2012·辽宁)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列．(1)求cos B的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sin A sin C的值．解(1)由已知2B＝A＋C，三角形的内角和定理A＋B＋C＝180°，解得B＝60°，所以cos B＝cos 60°＝1 2.(2)由已知b2＝ac，据正弦定理，得sin2B＝sin A sin C，即sin A sin C＝sin2B＝1－cos2B＝3 4.8．(13分)(2012·浙江)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA＝23，sin B＝5cos C.(1)求tan C的值；(2)若a＝2，求△ABC的面积．解(1)因为0＜A＜π，cos A＝2 3，得sin A＝1－cos2A＝5 3.又5cos C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝53cos C＋23sin C.所以tan C＝ 5.(2)由tan C＝5，得sin C＝56，cos C＝16.于是sin B＝5cos C＝5 6 .由a＝2及正弦定理asin A＝csin C，得c＝ 3.设△ABC的面积为S，则S＝12ac sin B＝52.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．在△ABC 中，A ＝60°，且最大边长和最小边长是方程x 2－7x ＋11＝0的两个根，则第三边的长为( )．A ．2B ．3C ．4D ．5解析 由A ＝60°，不妨设△ABC 中最大边和最小边分别为b ，c ，故b ＋c ＝7，bc ＝11.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 60°＝(b ＋c )2－3bc ＝72－3×11＝16，∴a ＝4. 答案 C2．(2013·豫北六校联考)已知△ABC 的面积为32，AC ＝3，∠ABC ＝π3，则△ABC 的周长等于( )．A ．3＋ 3B ．3 3C ．2＋ 3D.332解析 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a 2＋c 2－ac ＝3.又△ABC 的面积为12ac sin π3＝32，即ac ＝2，所以a 2＋c 2＋2ac ＝9，所以a ＋c ＝3，即a ＋c ＋b ＝3＋3，故选A. 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．在Rt △ABC 中，C ＝90°，且A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足a ＋b ＝cx ，则实数x 的取值范围是________．解析 x ＝a ＋b c ＝sin A ＋sin B sin C ＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4.又A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π4<A＋π4<3π4，∴22<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4≤1，即x ∈(1，2]． 答案 (1，2]4．(2012·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①若ab >c 2，则C <π3②若a ＋b >2c ，则C <π3 ③若a 3＋b 3＝c 3，则C <π2 ④若(a ＋b )c <2ab ，则C >π2 ⑤若(a 2＋b 2)c 2<2a 2b 2，则C >π3解析 ①由ab >c 2，得－c 2>－ab ，由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >2ab －ab2ab ＝12，因为C ∈(0，π)，函数y ＝cos x 在(0，π)上是减函数，所以C <π3，即①正确．②由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 222ab ＝4(a 2＋b 2)－(a ＋b )28ab＝3(a 2＋b 2)－2ab 8ab ≥4ab 8ab ＝12，所以C <π3，即②正确．③若C 是直角或钝角，则a2＋b 2≤c 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2≤1，而a c ，b c ∈(0,1)，而函数y ＝a x (0<a <1)在R 上是减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 3<⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2≤1与a 3＋b 3＝c 3矛盾，所以假设不成立，所以C <π2，即③正确．④因为(a ＋b )c <2ab ，所以c <2ab a ＋b ≤2ab 2ab ＝ab ，即ab >c 2，转化为命题①，故④错误．⑤因为(a 2＋b 2)c 2<2a 2b 2，所以c 2<2a 2b 2a 2＋b 2≤2a 2b 22ab＝ab ，即ab >c 2，转化为命题①，故⑤错误． 答案 ①②③ 三、解答题(共25分)5．(12分)(2012·郑州三模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点(a ，b )在直线x (sin A －sin B )＋y sin B ＝c sin C 上． (1)求角C 的值；(2)若a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18，求△ABC 的面积． 解 (1)由题意得a (sin A －sin B )＋b sin B ＝c sin C ，由正弦定理，得a (a －b )＋b 2＝c 2， 即a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12， 结合0<C <π，得C ＝π3.(2)由a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18，得(a －3)2＋(b －3)2＝0， 从而得a ＝b ＝3，所以△ABC 的面积S ＝12×32×sin π3＝934.6．(13分)(2012·江西)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a .(1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝ 2，求△ABC 的面积．(1)证明 由b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a 应用正弦定理，得sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －sinC sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝sin A ，sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin C ＋22cos C －sin C ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin B ＋22cos B ＝22，整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1，即sin(B －C )＝1. 由于0＜B ，C ＜34π，从而B －C ＝π2.(2)解 B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8. 由a ＝ 2， A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8， 所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝ 2sin 5π8sin π8 ＝ 2cos π8sin π8＝12.。
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课时作业(二十七)
一、选择题
1．(2012年上海)在△ABC中，若sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC的形状是
() A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．不能确定
解析：∵sin2A＋sin2B<sin2C，由正弦定理可得a2＋b2<c2，所以cos C<0，得角C为钝角，故选C.
答案：C
2．(2011年辽宁)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin
A sin B＋b cos2A＝2a，则b
a＝()
A．2 3 B．2 2
C. 3
D. 2
解析：a sin A sin B＋b cos2A＝2a
由正弦定理，sin A sin A sin B＋sin B cos2A＝2sin A. sin B(sin2A＋cos2A)＝2sin A
sin B＝2sin A．∴b
a＝
sin B
sin A＝ 2.
答案：D
3．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若角A、B、C 依次成等差数列，且a＝1，b＝3，则S
△ABC
等于()
A. 2
B. 3
C.
3
2D．2
解析：由角A、B、C依次成等差数列，得A＋C＝2B，解得B＝π3.
由余弦定理得(3)2＝1＋c2－2c cos π
3，解得c＝2.
于是，S
△ABC ＝
1
2ac sin B＝
1
2×1×2sin
π
3＝
3
2.
答案：C
4．在△ABC中，若∠A＝60°，b＝1，S△ABC＝3，则
a＋b＋c
sin A＋sin B＋sin C
的
值为()
A.263
3 B.
239
3
C.39
3 D.
133
3
解析：∵S
△ABC ＝3，即
1
2bc sin A＝3，∴c＝4.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A＝13，∴a＝13，
∴
a＋b＋c
sin A＋sin B＋sin C
＝
a
sin A＝
213
3
＝
239
3.
答案：B
5．(2012年河北正定中学高三第2次月考)若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则a＋b的最小值为()
A.4
3B．8－4 3
C.23
3 D.
43
3
解析：由余弦定理可得
c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab又c2＝(a＋b)2－4，∴3ab ＝4
所以有ab＝4
3≤⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
a＋b
2
2，解得a＋b≥
43
3.
答案：D
6．(2012年江西南昌模拟)△ABC中，AB＝3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC 的面积等于()
A.
3
2 B.
3
4
C.
3
2或3 D.
3
2或
3
4
解析：
1
sin 30°＝
3
sin C，∴sin C＝
3
2.
∵0°<C <180°，∴C ＝60°或120°.
(1)当C ＝60°时，A ＝90°，∴BC ＝2，此时，S △ABC ＝32； (2)当C ＝120°时，A ＝30°， S △ABC ＝12×3×1×sin 30°＝34. 答案：D 二、填空题
7．(2012年北京)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.
解析：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2a cos B 得b 2＝22＋(7－b )2－2×2×(7－b )×(－1
4)，整理得15b ＝60，即b ＝4.
答案：4
8．(2011年福建)如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________．
解析：在△ABC 中，cos C ＝1
2BC AC ＝3
2 ∴C ＝30°，由AD
sin C ＝AC
sin ∠ADC
∴AD ＝
AC sin ∠ADC ·sin C ＝222
·1
2＝ 2.
答案： 2
9．(2011年安徽)已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．
解析：设三边长为a ，a ＋4，a ＋8，则120°角所对边长为a ＋8，由余弦定理得(a ＋8)2＝a 2＋(a ＋4)2－2a ·(a ＋4)·cos 120°化简得：a 2－2a －24＝0，解得：a ＝6或a ＝－4(舍去)．∴三角形面积S ＝12a ·(a ＋4)·sin 120°＝15 3.
答案：15 3 三、解答题
10．(2012年辽宁)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .角A ，B ，C 成等差数列．
(1)求cos B 的值；
(2)边a ，b ，c 成等比数列，求sin A sin C 的值．
解：(1)由已知2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°，解得B ＝60°，所以cos B ＝1
2. (2)法一：由已知b 2＝ac ，及cos B ＝12， 根据正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C ， 所以sin A sin C ＝1－cos 2B ＝3
4.
法二：由已知b 2
＝ac ，及cos B ＝1
2，根据余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－ac 2ac
，解
得a ＝c ，所以A ＝C ＝B ＝60°，故sin A sin C ＝3
4.
11．(2011年江西)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin C ＋cos C ＝1－sin C 2.
(1)求sin C 的值；
(2)若a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8，求边c 的值． 解：由已知得sin C ＋sin C
2＝1－cos C ，即 sin C 2(2cos C 2＋1)＝2sin 2C 2
由sin C 2≠0得2cos C 2＋1＝2sin C 2，即sin C 2－cos C 2＝12 两边平方得：sin C ＝34
(2)由sin C 2－cos C 2＝12>0得π4<C 2<π
2， 即π2<C <π，则由sin C ＝34得cos C ＝－74
由a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8得：(a －2)2＋(b －2)2＝0，则a ＝2，b ＝2 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8＋27，所以c ＝7＋1.
12．(2012年江西)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A
＝π4，b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋B ＝a .
(1)求证：B －C ＝π2；
(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．
解：(1)证明：由b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a ，应用正弦定理，得sin B ·sin ⎝ ⎛⎭⎪
⎫
π4＋C －sin C sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4＋B ＝sin A ，
sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin C ＋22cos C －sin C ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin B ＋2
2cos B ＝22，
整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1， 即sin(B －C )＝1，
由于0<B ，C <34π，从而B －C ＝π
2. (2)B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π
8. 由a ＝2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π
8， c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，
所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2·sin 5π8·sin π8＝2cos π8sin π8＝1
2. [热点预测]
13．(2013届河北衡水月考)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(cos 2A
2，cos 2A )，n ＝(4，－1)，且m·n ＝72.
(1)求角A 的值；
(2)若a ＝3，试判断bc 取得最大时△ABC 的形状．
解：(1)由已知得，m·n ＝4cos 2A
2－cos 2A ＝4·1＋cos A 2－(2cos 2A －1)＝－2cos 2A ＋2cos A ＋3＝72，解得cos A ＝12，
∵0<A <π，∴A ＝π
3；
(2)由余弦定理可得(3)2＝b2＋c2－2bc cos π3
＝b2＋c2－bc.
∵b2＋c2≥2bc，∴3≥2bc－bc，即bc≤3，当且仅当b＝c＝3时，bc取得最大值，此时a＝b＝c＝3，故△ABC为等边三角形．。