【成才之路】高中数学人教版选修1-1练习：3.1.3导数的几何意义(含答案解析)

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数学选修1-1人教版导学案3.1.3导数的几何意义(可编辑修改word版)

0 导数的几何意义预习目标：导数的几何意义是什么？（预习教材 P 78~ P 80，找出疑惑之处）课前预习学案复习 1：曲线上向上 P (x , y ), P (x + ∆x , y + ∆y ) 的连线称为曲线的割线，斜率 k =∆y =1 1 1 1 1 ∆x复习 2：设函数 y = f (x ) 在 x 0 附近有定义当自变量在 x = x 0 附近改变 ∆x 时，函数值也相应地改变 ∆y = ，如果当 ∆x 时，平均变化率趋近于一个常数l ，则数l 称为函数 f (x ) 在点 x 0 的瞬时变化率.记作：当 ∆x 时， → l上课学案学习目标：通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，知道导数的概念并会运用概念求导数. 学习重难点：导数的几何意义学习过程：学习探究探究任务：导数的几何意义问题 1：当点 P n (x n , f (x n ))(n = 1, 2, 3, 4) ，沿着曲线 f (x ) 趋近于点 P (x 0 , f (x 0 )) 时，割线的变化趋是什么？新知：当割线 P P n 无限地趋近于某一极限位置 PT 我们就把极限位置上的直线 PT ，叫做曲线 C 在点 P 处的切线割线的斜率是： k n =当点 P n 无限趋近于点P 时， k n 无限趋近于切线PT 的斜率. 因此，函数 f (x ) 在 x = x 0 处的导数就是切线PT 的斜率k ，即 k = lim f (x 0 + ∆x ) - f (x 0 ) = f '(x )新知： ∆x →0 ∆x 0 函数 y = f (x ) 在 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y = f (x ) 在 P (x 0 , f (x )) 处切线的斜率.即 k = f '(x ) = lim f (x + ∆x ) - f (x 0 )0 典型例题∆x →0 ∆x 例 1 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 h (t ) = -4.9t 2 + 6.5t + 10 的图象.根据图象,请描述、比较曲线 h (t ) 在t 0 , t 1 , t 2 附近的变化情况.例 2 如图,它表示人体血管中药物浓度c = f (t ) (单位: mg / mL )随时间t (单位: m i n )变化的函数图象.根据图象, 估计t =0.2,0.4,0.6,0.8 时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到 0.1)( , 2) 0有效训练练 1. 求双曲线 y = 1 在点 1 处的切线的斜率,并写出切线方程. x 2练 2. 求 y = x 2 在点 x = 1 处的导数.反思总结函数 y = f (x ) 在 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y = f (x ) 在 P (x 0 , f (x )) 处切线的斜率. 即 k = f '(x ) = lim f (x + ∆x ) - f (x 0 )0 ∆x →0 ∆x 其切线方程为当堂检测 1. 已知曲线 y = 2x 2 上一点,则点 A (2,8) 处的切线斜率为（） A . 4 B . 16 C . 8 D . 22. 曲线 y = 2x 2 + 1 在点 P (-1, 3) 处的切线方程为（） A ． y = -4x - 1 C ． y = 4x - 1 B ． y = -4x - 7D ． y = 4x + 73. f (x ) 在 x = x 可导，则lim f (x 0 + h ) - f (x 0 ) （）0 h →0 hA ．与 x 0 、 h 都有关B ．仅与 x 0 有关而与 h 无关C ．仅与 h 有关而与 x 0 无关D ．与 x 0 、 h 都无关4. 若函数 f (x ) 在 x 0 处的导数存在，则它所对应的曲线在点(x 0 , f (x 0 )) 的切线方程为5. 已知函数 y = f (x ) 在 x = x 0 处的导数为 11，则lim ∆x →0 f (x 0 - ∆x ) - f (x 0 ) = ∆x课后练习与提高1. 如图,试描述函数 f (x ) 在 x = -5, -4, -2, 0,1 附近的变化情况.2. 已知函数 f (x ) 的图象,试画出其导函数 f '(x ) 图象的大致形状.学校：一中学科：数学编写人：由召栋审稿人：张林3.教学目标：通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，知道导数的概念并会运用概念求导数.教学重难点：函数切线的概念，切线的斜率，导数的几何意义教学过程：情景导入：如图,曲线 C 是函数 y =f (x )的图象,P ( x 0,y 0)是曲线 C 上的任意一点,Q (x 0+Δx ,y 0+Δy )为 P 邻近一点,P Q 为 C 的割线,P M //x 轴,Q M //y 轴,β为 P Q 的倾斜角.0 则 : MP x , M Q y , y tan . x ∆y 请问：是割线P Q 的什么? ∆x展示目标：见学案检查预习：见学案合作探究：探究任务：导数的几何意义问题 1：当点 P n (x n , f (x n ))(n = 1, 2, 3, 4) ，沿着曲线 f (x ) 趋近于点 P (x 0 , f (x 0 )) 时，割线的变化趋是什么？新知：当割线 P P n 无限地趋近于某一极限位置 PT 我们就把极限位置上的直线 PT ，叫做曲线 C 在点 P 处的切线割线的斜率是： k n =当点 P n 无限趋近于点P 时， k n 无限趋近于切线PT 的斜率. 因此，函数 f (x ) 在 x = x 0 处的导数就是切线PT 的斜率k ，即 k = lim f (x 0 + ∆x ) - f (x 0 ) = f '(x )新知： ∆x →0 ∆x 0 函数 y = f (x ) 在 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y = f (x ) 在 P (x 0 , f (x )) 处切线的斜率.即 k = f '(x ) = lim f (x + ∆x ) - f (x 0 )0 精讲精练：∆x →0 ∆x 例 1 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 h (t ) = -4.9t 2 + 6.5t + 10 的图象.根据图象,请描述、比较曲( , 2) 0线 h (t ) 在t 0 , t 1 , t 2 附近的变化情况.解:可用曲线 h(t) 在 t0 , t1 , t2 处的切线刻画曲线 h(t) 在上述三个时刻附近的变化情况.(1) 当 t = t 0 时, 曲线 h (t ) 在 t 0 处的切线 l 0 平行于 x 轴.故在 t = t 0 附近曲线比较平坦, 几乎没有升降.(2)当 t = t 1 时, 曲线 h (t ) 在 t 1 处的切线 l 1 的斜率 h ’(t 1) <0 .故在 t = t 1 附近曲线下降,即函数 h (t )在 t = t 1 附近单调递减. (3)当 t = t 2 时, 曲线 h (t ) 在 t 2 处的切线 l 2 的斜率 h ’(t 2) <0 .故在 t = t 2附近曲线下降,即函数 h (t ) 在 t = t 2 附近也单调递减. 从图可以看出，直线 l 1 的倾斜程度小于直线 l 2 的倾斜程度，这说明 h (t ) 曲线在 l 1 附近比在 l 2 附近下降得缓慢。

成才之路高二数学人教A版选修导数的几何意义

＝ lim Δx→0
Δx3＋3x2·Δx＋3x·Δx2 Δx
＝ lim [(Δx)2＋3x2＋3x·Δx] Δx→0
＝3x2，
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∴f′(1)＝3×12＝3，又 f(1)＝13＝1， ∴切线方程为 y－1＝3(x－1)，即 3x－y－2＝0. (2)设切点为 P(x0，x20)，由(1)知切线斜率为 k＝f′(x0)＝3x02，故切线方程为 y－x20＝3x02(x－x0)．又点(1,1)在切线上，将其代入切线方程得 1－x20＝3x20(1－ x0)，即 2x03－3x20＋1＝0，
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[正解] y′＝3x2(解法同上)，设过(1,1)点的切线与 y＝x3
＋1 相切于点 P(x0，x03＋1)，据导数的几何意义，函数在点 P
处的切线的斜率为
k＝3x
2 0
①，过(1,1)点的切线的斜率 k＝
x30＋1－1 x0－1
②，∴3x20＝x0x－30 1，解得 x0＝0 或 x0＝32，所以 k＝0
(1)函数在一点处的导数 f ′(x0)是一个常数，不是变量． (2)函数的导数，是针对某一区间内任意点 x 而言的．函数 f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数 f ′(x0)．根据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，就是函数 f(x)的导函数 f ′(x)．
由已知 x0＋2＝4，∴x0＝2，故选 D.
[答案] D
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设 P0 为曲线 f(x)＝x3＋x－2 上的点，且曲线在 P0 处切线平
行于直线 y＝4x－1，则 P0 点的坐标为( )

人教a版数学【选修1-1】作业：3.1.3导数的几何意义(含答案)

3.1.3导数的几何意义课时目标1.了解导函数的概念；理解导数的几何意义.2.会求导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．1．导数f′(x0)表示函数____________________，反映了________________________________________．2．函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线在该点的切线斜率，相应地，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．3．如果把y＝f(x)看做是物体的运动方程，那么导数f′(x0)表示运动物体在时刻x0的瞬时速度．当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数．这样，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，称它为f(x)的________(简称________)，有时记作y′，即f′(x)＝y′＝________________.一、选择题1．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于()A．2 B．4C．6＋6Δx＋2(Δx)2D．62．如果曲线y＝f(x)在点(2,3)处的切线过点(－1,2)，则有()A．f′(2)<0 B．f′(2)＝0C．f′(2)>0 D．f′(2)不存在3．下面说法正确的是()A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在4．若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，那么() A．h′(a)＝0 B．h′(a)<0C．h′(a)>0 D．h′(a)不确定5．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线()A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴相交但不垂直6．已知函数f(x)的图象如图所示，下列数值的排序正确的是() A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)题号12345 6答案二、填空题7．设f(x)是偶函数，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1，则该曲线在点(－1，f(－1))处的切线的斜率为________．8．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是________．9．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.三、解答题10．试求过点P(1，－3)且与曲线y＝x2相切的直线的斜率．11．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1 (a<0)．若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y ＝6平行，求a的值．能力提升12．已知抛物线f (x )＝ax 2＋bx －7通过点(1,1)，且过此点的切线方程为4x －y －3＝0，求a ，b 的值．13．在曲线E ：y ＝x 2上求出满足下列条件的点P 的坐标． (1)在点P 处与曲线E 相切且平行于直线y ＝4x －5； (2)在点P 处与曲线E 相切且与x 轴成135°的倾斜角．1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即 k ＝0lim x →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值，求函数在一点处的导数，一般先求出函数的导数，再计算这一点处的导数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则切线方程为y －f(x0)＝f′(x0) (x －x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．3．1.3 导数的几何意义答案知识梳理1．f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率函数f (x )在x ＝x 0附近的变化情况3．导函数导数 lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx 作业设计 1．D [∵y ＝2x 3，∴y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0 2(x ＋Δx )3－2x 3Δx ＝lim Δx →02(Δx )3＋6x (Δx )2＋6x 2Δx Δx ＝lim Δx →0[2(Δx )2＋6x Δx ＋6x 2]＝6x 2. ∴y ′|x ＝1＝6.∴点A (1,2)处切线的斜率为6.] 2．C [由题意知切线过(2,3)，(－1,2)，所以k ＝f ′(2)＝2－3－1－2＝－1－3＝13>0.]3．C [f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率．] 4．B [2x ＋y ＋1＝0，得y ＝－2x －1，由导数的几何意义知，h ′(a )＝－2<0.]5．B [曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率为0，切线与x 轴平行或重合．] 6．B [根据导数的几何意义，在x ∈[2,3]时，曲线上x ＝2处切线斜率最大， k ＝f (3)－f (2)3－2＝f (3)－f (2)>f ′(3)．]7．－1解析由偶函数的图象和性质可知应为－1. 8．2x －y ＋4＝0解析由题意知，Δy ＝3(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－3＋4－2＝3Δx 2＋2Δx ，∴y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝2. ∴所求直线的斜率k ＝2.则直线方程为y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0. 9．2解析 ∵点P 在切线上，∴f (5)＝－5＋8＝3，又∵f ′(5)＝k ＝－1， ∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2.10．解设切点坐标为(x 0，y 0)，则有y 0＝x 20.因y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x . ∴k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0.因切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，将点(1，－3)代入，得：－3－x 20＝2x 0－2x 20，∴x 20－2x 0－3＝0，∴x 0＝－1或x 0＝3. 当x 0＝－1时，k ＝－2；当x 0＝3时，k ＝6. ∴所求直线的斜率为－2或6. 11．解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3， ∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx无限趋近于3x 20＋2ax 0－9.即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9. ∴f ′(x 0)＝3⎝⎛⎭⎫x 0＋a 32－9－a 23.当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23.∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， ∴该切线斜率为－12. ∴－9－a 23＝－12.解得a ＝±3.又a <0，∴a ＝－3.12．解 f ′(x ) ＝lim Δx →0a (x ＋Δx )2＋b (x ＋Δx )－7－ax 2－bx ＋7Δx ＝lim Δx →0(a ·Δx ＋2ax ＋b )＝2ax ＋b . 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －7＝12a ＋b ＝4，解得a ＝－4，b ＝12.13．解 f ′(x ) ＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ，设P (x 0，y 0)为所求的点，(1)因为切线与直线y ＝4x －5平行，所以2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4，即P (2,4)． (2)因为切线与x 轴成135°的倾斜角，所以其斜率为－1，即2x 0＝－1，得x 0＝－12，即y 0＝14，即P ⎝⎛⎭⎫－12，14.。

人教新课标A版高二数学《选修1-1》3.1.3 导数的几何意义

1-x03=3x02(1-x0)，即2x03-3x02+1=0，解得x0=1或
x0=- 1 .
2 3 故所求的切线方程为y-1=3(x-1)或y-1= 4
(x-1)，
即3x-y-2=0或3x-4y+1=0.
题目类型二、求切点的坐标
【技法点拨】
求切点坐标的五个步骤
(1)先设切点坐标(x0,y0)； (2)求导函数f′(x)； (3)求切线的斜率f′(x0)； (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0； (5)点(x0,y0)在曲线f(x)上，将(x0,y0)代入求y0得切点坐标.
【典例训练】 1.曲线f(x)=x3+x-2在P0处的切线平行于直线y=4x-1，则点P0的坐标为( ) （A）（1，0）（C）（2，8）（B）（1，0）和（-1，-4）（D）（2，8）和（-1，-4）
这个概念:（1）提供了求曲线上某点切线的斜率的
一种方法；（2）说明了切线斜率的本质——函数在
x=x0处的导数.
2.“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、 “导数”之间的区别与联系（1）区别 ①函数在一点处的导数，就是在该点附近的函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变量. ②函数的导数，是对某一区间内任意点x而言的, 就是函数f(x)的导函数f′(x).
y x
y =tanβ.显然， x 是割线PQ的斜
率.我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,
割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲
线在点P处的切线.设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0
时,割线PQ的斜率称为曲线在点P处ห้องสมุดไป่ตู้切线的斜率.

高中数学人教A版选修1-1第3章3-1-3导数的几何意义课时测试及解析

高中数学人教A版选修1-1 第三章导数及其应用3.1.3 导数的几何意义课时测试（1）1.曲线y=在点(1,1)处的切线方程为( )A.x-y-2=0B. x+y-2=0C.x+4y-5=0D.x-4y-5=0【解析】选B.f′(1)====-1.故切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.2.下列点中,在曲线y=x2上,且在该点处的切线倾斜角为的是( )A.(0,0)B.(2, 4)C. D.【解析】选D.k===(2x+Δx)=2x.因为倾斜角为,所以斜率为1,所以2x=1,得x=.3.曲线f(x)=x2-2在点处切线的倾斜角为.【解析】f′(-1)==-1,即曲线f(x)=x2-2在点处切线的斜率为-1,故倾斜角为135°.答案:135°4.若曲线y=2x2-4x+p与y=1相切,则p= .【解析】由题意得k===4x-4=0,解得x=1,所以切点为(1, 1),所以2-4+p=1,所以p=3.答案:35.已知曲线y=上两点P(2,-1),Q.(1)求曲线在点P,Q处的切线的斜率.(2)求曲线在P,Q处的切线方程.【解析】将点P(2,-1)代入y=,得t=1,所以y=.y′=====,(1)曲线在点P处的切线斜率为y′|x=2==1;曲线在点Q处的切线斜率为y′|x=1=.(2)曲线在点P处的切线方程为y-(-1)=x-2,即x-y-3=0,曲线在点Q处的切线方程为y-=,即x-4y+3=0.课时测试（2）一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2016·深圳高二检测)曲线y=f(x)=在点(2,-2)处的切线的斜率k为( )A. B. C.1 D.-【解析】选C.k====1.【补偿训练】(2016·重庆高二检测)曲线y=x3-2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A.30° B.45° C.60° D.120°【解析】选B.y′====3x2-2.则当x=1时,切线的斜率k=1.设切线的倾斜角为θ,由tanθ=1,且0≤θ≤180°,得θ=45°.2.(2016·阜阳高二检测)函数y=f(x)的图象在点P(5,f(5))处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)= ( )A. B.1 C.2 D.0【解题指南】根据函数f(x)的图象在点P(5,f(5))处的切线方程求出切线的斜率f′(5)和f(5)是解答关键.【解析】选C.函数f(x)的图象在点P(5,f(5))处的切线y=-x+8的斜率是k=-1,所以f′(5)=-1,又切线过点P(5,f(5)),所以f(5)=-5+8=3,所以f(5)+f′(5)=3-1=2.3.(2016·临沂高二检测)曲线y=x3-3x2+1在点P处的切线平行于直线y=9x-1,则切线方程为( )A.y=9xB.y=9x-26C.y=9x+26D.y=9x+6或y=9x-26【解析】选D.设点P(x0,y0),则===(Δx)2+3x0Δx-3Δx+3-6x0.所以f′(x0)==3-6x0,于是3-6x0=9,解得x0=3或x0=-1,因此,点P的坐标为(3,1)或(-1,-3).又切线斜率为9,所以曲线在点P处的切线方程为y=9(x-3)+1或y=9(x+1)-3,即y=9x-26或y=9x+6.二、填空题(每小题4分,共8分)4.(2016·德州高二检测)已知曲线f(x)=x3在点(2,8)处的切线方程为12x-ay-16=0,则实数a 的值为.【解析】因为f′(2)===12,所以曲线f(x)=x3在点(2,8)处的切线的斜率为12,所以=12,a=1.答案:1【补偿训练】(2016·福州高二检测)已知函数y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则= .【解析】=(a·Δx+2a)=2a=2,所以a=1,又3=a×12+b,所以b=2,即=2.答案:25.(2016·北京东城高二检测)如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f(f(0))= ;= .(用数字作答)【解析】因为函数f(x)的图象过点A(0,4)和(4,2),所以f(f(0))=f(4)=2.又函数f(x)过点A(0,4),B(2,0),则当0≤x≤2时,f(x)=4-2x.所以==f′(1)=-2.答案:2 -2三、解答题6.(10分)(2016·威海高二检测)已知曲线f(x)=x2+1与g(x)=x3+1在x=x0处的切线互相垂直,求x0的值.【解析】因为f′(x)==(2x+Δx)=2x,g′(x)==((Δx)2+3xΔx+3x2)=3x2,所以k1=2x0,k2=3,由k1k2=-1,即6=-1,解得x0=-.【补偿训练】已知曲线y=x3上一点P,如图所示.(1)求曲线在点P处的切线的斜率.(2)求曲线在点P处的切线方程.【解题指南】【解析】(1)因为y=x3,所以y′=====x2,所以y′=22=4,所以曲线y=x3在点P处的切线的斜率为4.(2)曲线y=x3在点P处的切线方程是y-=4(x-2),即12x-3y-16=0.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·重庆高二检测)过曲线y=x3+1上一点(1,2)且与该点处的切线垂直的直线方程是( )A.y=3x-3B.y=x-C.y=-x+D.y=-3x+3【解题指南】先求出曲线在该点处的切线的斜率,再求与此切线垂直的直线的斜率,进而得到直线方程.【解析】选C.曲线上点(1,2)处切线的斜率为==3,所以与切线垂直的直线的斜率为-,所以所求直线的方程是y-2=-(x-1),即y=-x+.【补偿训练】若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则( )A.a=1,b=1B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-1【解析】选A.y′====(Δx+a+2x)=2x+a.又因为点(0,b)处的切线方程为x-y+1=0,所以y′=a=1.将(0,b)代入x-y+1=0得,b=1.所以a=1,b=1.2.(2016·泰安高二检测)设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为,则点P横坐标的取值范围为( )A. B.C. D.【解题指南】根据倾斜角的取值范围可以得到曲线C在点P处切线斜率的取值范围,进而得到点P横坐标的取值范围.【解析】选D.设点P的横坐标为x0,因为y=x2+2x+3,由定义可求其导数y′=2x0+2,利用导数的几何意义得2x0+2=tanα(α为点P处切线的倾斜角),又因为α∈,所以1≤2x0+2,所以x0∈.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·烟台高二检测)若函数f(x)=x-,则它与x轴交点处的切线方程为.【解析】由f(x)=x-=0得x=±1,即与x轴交点坐标为(1,0),(-1,0).因为f′(x)===1+,所以切线的斜率k=1+=2.所以切线的方程为y=2(x-1)或y=2(x+1),即2x-y-2=0或2x-y+2=0.答案:2x-y-2=0或2x-y+2=04.若点P是抛物线y=x2上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为.【解析】由题意可得,当点P到直线y=x-2的距离最小时,点P为抛物线y=x2的一条切线的切点,且该切线平行于直线y=x-2,由导数的几何意义知y′=2x=1,解得x=,所以P,故点P到直线y=x-2的最小距离d==.答案:三、解答题5.(10分)已知曲线C:y=x3.(1)求曲线C在点P(1,1)处的切线方程.(2)试判断(1)中的切线与曲线C是否还有其他公共点.【解析】(1)曲线在点P处的切线斜率为f′(1)==3,故所求切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.(2)由解得或因此,点P处的切线与曲线C除了切点(1,1)之外,还有另一个公共点(-2,-8).课时测试（3）(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.曲线y=x3-3x在点(2,2)的切线斜率是( )A.9B.6C.-3D.-1【解析】选A.Δy=(2+Δx)3-3(2+Δx)-23+6=9Δx+6(Δx)2+(Δx)3,=9+6Δx+(Δx)2,=(9+6Δx+(Δx)2)=9,由导数的几何意义可知,曲线y=x3-3x在点(2,2)处的切线斜率是9.2.曲线f(x)=3x+x2在点(1,f(1))处的切线方程为( )A.y=5x-1B.y=-5x+1C.y=x+1D.y=-x-1【解析】选A.k==5.f(1)=4.由点斜式得y-4=5(x-1),即y=5x-1.3.下面说法正确的是( )A.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线B.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f′(x0)必存在C.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率不存在D.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线,则f′(x0)有可能存在【解析】选C.f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率,当切线垂直于x 轴时,切线的斜率不存在,但存在切线.【补偿训练】曲线y=x3-2在点处切线的倾斜角为( )A.30°B.45°C.135°D.60°【解析】选B.Δy=(-1+Δx)3-2-×(-1)3+2=Δx-(Δx)2+(Δx)3,=1-Δx+(Δx)2,==1,所以曲线y=x3-2在点处切线的斜率是1,倾斜角为45°.4.(2015·武汉高二检测)已知曲线y=在点P(1,4)处的切线与直线l平行且距离为,则直线l的方程为( )A.4x-y+9=0B.4x-y+9=0或4x-y+25=0C.4x+y+9=0或4x+y-25=0D.以上均不对【解析】选C.y′==-4,所以k=-4,所以切线方程为y-4=-4(x-1),即4x+y-8=0,设l:4x+y+c=0(c≠-8),由题意=,所以c=9或-25.5.(2015·丽水高二检测)已知曲线y=x2-2上一点P,则在点P处的切线的倾斜角为( )A.30°B.45°C.135°D.150°【解析】选B.在点P处的切线的斜率k=f′(1)=====1.设切线的倾斜角为α,则tanα=1,又0°≤α≤180°,所以α=45°.二、填空题(每小题5分,共15分)6.若抛物线y=x2与直线2x+y+m=0相切,则m=________.【解析】设切点为P(x0,y0),易知,y′=2x.由得即P(-1,1).又P(-1,1)在直线2x+y+m=0上,故2×(-1)+1+m=0,即m=1.答案:17.曲线y=x2-3x的一条切线的斜率为1,则切点坐标为________.【解析】设f(x)=y=x2-3x,切点坐标为(x0,y0),f′(x0)===2x0-3=1, 故x0=2,y0=-3x0=4-6=-2,故切点坐标为(2,-2).答案:(2,-2)8.(2015·惠州高二检测)如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)=________.【解析】因为点P在切线上,所以f(5)=-5+8=3,又因为f′(5)=k=-1,所以f(5)+f′(5)=3-1=2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.在曲线E:y=x2上求出满足下列条件的点P的坐标.(1)在点P处与曲线E相切的直线平行于直线y=4x-5.(2)在点P处与曲线E相切的直线与x轴成135°的倾斜角.【解析】f′(x)===2x,设P(x0,y0)为所求的点.(1)因为切线与直线y=4x-5平行,所以2x0=4,x0=2,y0=4,即P(2,4).(2)因为切线与x轴成135°的倾斜角,所以其斜率为-1,即2x0=-1,得x0=-,即y0=,即P.10.(2015·天水高二检测)已知曲线C:y=经过点P(2,-1),求(1)曲线在点P处的切线的斜率.(2)曲线在点P处的切线的方程.(3)过点O(0,0)的曲线C的切线方程.【解析】(1)将P(2,-1)代入y=中得t=1,所以y=.所以===,所以=,所以曲线在点P(2,-1)处切线的斜率为k==1.(2)曲线在点P处的切线方程为y+1=x-2,即x-y-3=0.(3)因为点O(0,0)不在曲线C上,设过点O的曲线C的切线与曲线C相切于点M(x0,y0),则切线斜率k==,由于y0=,所以x0=,所以切点M,切线斜率k=4,切线方程为y-2=4,即y=4x.【补偿训练】试求过点P(1,-3)且与曲线y=x2相切的直线的斜率.【解析】设切点坐标为(x0,y0),则有y0=.因为y′=了==2x.所以k=2x0.所以切线方程为y-=2x0(x-x0),将点(1,-3)代入,得:-3-=2x0-2,所以-2x0-3=0,所以x0=-1或x0=3.当x0=-1时,k=-2;当x0=3时,k=6.所以所求直线的斜率为-2或6.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.设f(x)为可导函数且满足=-1,则过曲线y=f(x)上点(1,f(1))处的切线斜率为( )A.2B.-1C.1D.-2【解析】选B.===f′(1)=-1.【补偿训练】(2015·聊城高二检测)设函数f(x)满足=-1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率是( )A.2B.-1C.D.-2【解析】选B.因为==f′(1)=k=-1,所以y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率是-1.2.(2015·贵阳高二检测)已知函数y=f(x)的图象如图,f′(x A)与f′(x B)的大小关系是( )A.0>f′(x A)>f′(x B)B.f′(x A)<f′(x B)<0C.f′(x A)=f′(x B)D.f′(x A)>f′(x B)>0【解析】选B.f′(x A)和f′(x B)分别表示函数图象在点A,B处的切线斜率,故f′(x A)<f′(x B)<0.【补偿训练】已知y=f(x)的图象如图所示,则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是( )A.f′(x A)>f′(x B)B.f′(x A)=f′(x B)C.f′(x A)<f′(x B)D.f′(x A)与f′(x B)大小不能确定【解析】选 A.由y=f(x)的图象可知,k A>k B,根据导数的几何意义有:f′(x A)>f′(x B).二、填空题(每小题5分,共10分)3.函数y=f(x)=在x=1处的切线方程为________.【解析】f(1)==1,f′(1)====-1,则切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.答案:x+y-2=04.(2015·南京高二检测)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数为f′(x),f′(0)>0,对于任意实数x,有f(x)≥0,则的最小值为________.【解题指南】由导数的定义,先求出f′(0)的值,从而求出的表达式,再利用“对于任意实数x,有f(x)≥0”这一条件,借助不等式的知识即可求解.【解析】由导数的定义,得f′(0)====b.又因为对于任意实数x,有f(x)≥0,则所以ac≥,所以c>0.所以=≥≥=2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)5.直线l:y=x+a(a≠0)和曲线C:y=x3-x2+1相切.(1)求切点的坐标.(2)求a的值.【解析】(1)设直线l与曲线C相切于点P(x0,y0)点,则f′(x)===3x2-2x.由题意知,k=1,即3-2x0=1,解得x0=-或x0=1.于是切点的坐标为或(1,1).(2)当切点为时,=-+a,a=;当切点为(1,1)时,1=1+a,a=0(舍去).所以a的值为.【补偿训练】设函数f(x)=x3+ax2-9x-1(a<0).若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,求a的值.【解析】因为Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=(x0+Δx)3+a(x0+Δx)2-9(x0+Δx)-1-(+a-9x0-1)=(3+2ax0-9)Δx+(3x0+a)(Δx)2+(Δx)3,所以=3+2ax0-9+(3x0+a)Δx+(Δx)2.当Δx无限趋近于零时,无限趋近于3+2ax0-9,即f′(x0)=3+2ax0-9,所以f′(x0)=3-9-.当x0=-时,f′(x0)取最小值-9-.因为斜率最小的切线与12x+y=6平行,所以该切线斜率为-12,所以-9-=-12.解得a=±3.又a<0,所以a=-3.6.(2015·厦门高二检测)试求过点M(1,1)且与曲线y=x3+1相切的直线方程.【解析】===3xΔx+3x2+Δx2.=3x2,因此y′=3x2,设过(1,1)点的切线与y=x3+1相切于点P(x0,+1),据导数的几何意义,函数在点P处的切线的斜率为k=3①,过(1,1)点的切线的斜率k=②,所以3=,解得x0=0或x0=,所以k=0或k=,因此y=x3+1过点M(1,1)的切线方程有两个,分别为y-1=(x-1)和y=1,即27x-4y-23=0或y=1.【误区警示】本题易错将点(1,1)当成了曲线y=x3+1上的点.因此在求过某点的切线时,一定要先判断点是否在曲线上,再据不同情况求解.【补偿训练】若抛物线y=4x2上的点P到直线y=4x-5的距离最短,求点P的坐标.【解题指南】抛物线上到直线y=4x-5的距离最短的点,是平移该直线与抛物线相切时的切点.解答本题可先求导函数,再求P点的坐标.【解析】由点P到直线y=4x-5的距离最短知,过点P的切线方程与直线y=4x-5平行.设P(x0,y0),则y′====(8x+4Δx)=8x,由得故所求的P点坐标为.【拓展延伸】求最值问题的两种方法(1)目标函数法:通过设变量构造目标函数,利用函数求最值.(2)数形结合法:根据问题的几何意义,利用图形的特殊位置求最值.。

高二数学人教A版选修1-1学案第三章3-13-1-3导数的几何意义Word版含答案

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3.1.3导数的几何意义1.导数的几何意义是什么，如何求切线的斜率？导思2．如何求函数的导函数？1.导数的几何意义(1)切线的定义如图，对于割线PP n，当点P n趋近于点P时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．(2)导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝f′(x0)．(3)本质：是曲线上一点处的切线的斜率．(4)应用：①求切线的方程；②求直线的倾斜角(1)曲线的切线与曲线一定只有一个公共点吗？(2)曲线的切线与导数有什么关系？提示：(1)曲线的切线并不一定与曲线只有一个公共点，可以有多个，甚至可以有无穷多个．(2)①函数f(x)在x＝x0处有导数，则函数f(x)在该点处必有切线，并且导数值就是该切线的斜率．②函数f(x)表示的曲线在点(x0，f(x0))处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，例如f(x)＝3x 在x＝0处有切线，但不可导．2．导函数的概念(1)定义：当x变化时，f′(x)是自变量x的一个函数，称为函数f(x)的导函数(简称导数).(2)记法：f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f（x＋Δx）－f（x）Δx．f′(x)与f′(x0)相同吗？它们之间有何关系？提示：f′(x)与f′(x0)不相同．f′(x)是函数f(x)的导函数，f′(x0)是函数f(x)在x＝x0处的导数值，是函数f′(x)在x＝x0时的函数值．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在x ＝x0处的函数值．(×)(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值．(×)(3)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．(√)(4)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是点(x0，f(x0))与点(0，0)连线的斜率．(×)提示：(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值．(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线倾斜角的正切值.(3)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．(4)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处的切线的斜率，不是点(x 0，f(x 0))与点(0，0)连线的斜率．2．曲线f(x)＝x 3＋2x ＋1在点(0，f(0))处的切线的方程为( )A.y ＝x －1B ．y ＝x ＋1 C.y ＝2x －1 D ．y ＝2x ＋1【解析】选D.因为f′(0)＝lim Δx→0 f （Δx ）－f （0）Δx＝lim Δx→0 （Δx ）3＋2Δx ＋1－1Δx＝lim Δx→0 ((Δx)2＋2)＝2，所以曲线f(x)＝x 3＋2x ＋1在点(0，f(0))处的切线的斜率为2，所以切线方程为y －1＝2(x －0)，即y ＝2x ＋1.3．设f(x)为可导函数，且满足条件x 0lim → f （x ＋1）－f （1）2x ＝5，则曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为( )A.10 B ．3 C ．6 D ．8【解析】选A.因为x 0lim → f （x ＋1）－f （1）2x ＝5，所以x 0lim → f （x ＋1）－f （1）x ＝10，即f′(1)＝x 0lim → f （x ＋1）－f （1）x ＝10，因此曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝10.类型一求曲线的切线方程(数学运算)1．设函数f(x)是定义在R 上周期为2的可导函数，若f(2)＝2，且x 0lim →f （x ＋2）－22x ＝－2，则曲线y ＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是( )A.y ＝－2x ＋2 B ．y ＝－4x ＋2C.y ＝4x ＋2 D ．y ＝－12 x ＋2【解析】选B.因为f(2)＝2由题意，x 0lim → f （x ＋2）－22x ＝12 x 0lim → f （x ＋2）－f （2）x ＝12 f′(2)＝－2，所以f′(2)＝－4，根据导数的几何意义可知，函数在x ＝2处的切线斜率为－4，所以函数在(2，2)处的切线方程为y －2＝－4(x －2)，即y ＝－4x ＋10，因为函数f(x)是定义在R 上周期为2的可导函数，所以曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线向左平移2个单位即可得到(0，f(0))处的切线方程为y ＝－4(x ＋2)＋10，即y ＝－4x ＋2.2．若曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处的切线方程为3x ＋y ＋5＝0，则( )A.f′(x 0)>0 B ．f′(x 0)<0C.f′(x)＝0 D ．f′(x 0)不存在【解析】选B.由切线方程y＝－3x－5及导数的几何意义知f′(x0)＝－3<0.1．求曲线上某点处切线方程的三个步骤2．过曲线外的点P(x1，y1)求曲线的切线方程的步骤(1)设切点为Q(x0，y0).(2)求出函数y＝f(x)在点Q处的导数f′(x0).(3)利用Q在曲线上和f′(x0)＝k PQ，解出x0，y0及f′(x0).(4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).类型二求切点坐标(数学运算)【典例】已知曲线y＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，求切点P的坐标和实数a的值．【思路导引】根据切线方程得到切线斜率为8，解导数方程即可得到结论．【解析】设切点P的坐标为(x0，y0)，切线的斜率为k，由y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→02（x＋Δx）2＋a－（2x2＋a）Δx＝limΔx→0(4x＋2Δx)＝4x，得k＝y′⎪⎪x＝x0＝4x0，根据题意得4x0＝8，x0＝2，分别代入y＝2x2＋a和8x－y－15＝0，得a＝－7，y0＝1，故P(2，1)，a＝－7.求曲线切点坐标的步骤(1)设切点：先设出切点坐标(x0，y0).(2)求斜率：求切线的斜率f′(x0).(3)列方程：由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0.(4)求切点：因点(x0，y0)在曲线上，将(x0，y0)代入曲线方程求y0，得切点坐标．已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是() A.(1，1) B．(－1，1)C.(1，1)或(－1，－1) D．(2，8)或(－2，－8)【解析】选C.因为y＝x3，所以y′＝limΔx→0（x＋Δx）3－x3Δx＝limΔx→0[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.由题意，知切线斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1. 当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1.故点P的坐标是(1，1)或(－1，－1).类型三导数几何意义的应用(数学运算)点在曲线上的切线问题【典例】直线l过点(1，2)且平行于曲线y＝x2＋x－2在(1，0)处的切线，求直线l的方程．【思路导引】先求出曲线在点(1，0)处的切线斜率，从而得直线l的斜率，进而得出l的方程．【解析】y′＝limΔx→0（x＋Δx）2＋（x＋Δx）－2－x2－x＋2Δx＝limΔx→02xΔx＋（Δx）2＋ΔxΔx＝limΔx→0(2x＋Δx＋1)＝2x＋1，所以y′⎪⎪x＝1＝2×1＋1＝3，所以直线l的斜率为3，所以l的方程为：y－2＝3(x－1)，即3x－y－1＝0.本例改为直线l过点(1，2)且与曲线y＝x2＋x－2在(1，0)处的切线垂直，求直线l的方程．【解析】y′＝limΔx→0（x＋Δx）2＋（x＋Δx）－2－x2－x＋2Δx＝limΔx→02xΔx＋（Δx）2＋ΔxΔx＝limΔx→0(2x＋Δx＋1)＝2x＋1，所以y′⎪⎪x ＝1 ＝2×1＋1＝3，所以直线l 的斜率为－13 ，所以l 的方程为：y －2＝－13 (x －1)，即x ＋3y －7＝0.已知点不在曲线上的切线问题【典例】求过点(－1，－2)且与曲线y ＝2x －x 3相切的直线与x 轴、y 轴围成的三角形面积．【思路导引】点(－1，－2)不在曲线上，所以先根据题意确定切点的坐标，再求出切线方程，然后求面积．【解析】y′＝lim Δx→0 2（x ＋Δx ）－（x ＋Δx ）3－2x ＋x 3Δx＝lim Δx→0 [2－3x 2－3xΔx －(Δx)2]＝2－3x 2.设切点坐标为(x 0，2x 0－x 30 )，则切线方程为：y －2x 0＋x 30 ＝(2－3x 20 )(x－x 0)，因为切线过点(－1，－2)，所以－2－2x 0＋x 30 ＝(2－3x 20 )(－1－x 0)，即2x 30 ＋3x 20 ＝0，解得x 0＝0或x 0＝－32 ，所以切点坐标为(0，0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，38 . 当切点为(0，0)时，切线斜率k ＝－2－0－1－0＝2，切线方程为y ＝2x ，与坐标轴构不成三角形．当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，38时，切线斜率为：k ＝38－（－2）－32－（－1）＝－194 ，切线方程为：y ＋2＝－194 (x ＋1)，即19x ＋4y ＋27＝0.在x 轴上的截距为x ＝－2719 ，在y 轴上的截距为y ＝－274 ，所以切线与坐标轴围成的三角形面积为：S ＝12 ×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2719 ×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－274 ＝729152 .利用导数的几何意义处理综合应用题的两种思路(1)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．(2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，切点的坐标是常设的未知量．1．已知曲线f(x)＝x ，g(x)＝1x ，过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f(x)在交点处的切线方程为________．【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝1x ，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，所以两曲线的交点坐标为(1，1).由f(x)＝x ，得f′(1)＝lim Δx→0 1＋Δx －1Δx ＝lim Δx→0 11＋Δx ＋1 ＝12 ，所以y ＝f(x)在点(1，1)处的切线方程为y －1＝12 (x －1)，即x －2y ＋1＝0.答案：x －2y ＋1＝02．已知P(－1，1)，Q(2，4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行且与曲线相切的切线方程．【解析】设切点坐标为M(x 0，y 0)，由f′(x 0)＝lim Δx→0 （x 0＋Δx ）2－x 20 Δx＝2x 0，则切线斜率为2x 0，又直线PQ 的斜率为k PQ ＝4－12＋1＝1，因为切线与直线PQ 平行，所以2x 0＝1，所以x 0＝12 ，所以切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 ，切线斜率为1. 所以切线方程为y －14 ＝x －12 即4x －4y －1＝0.1．已知点P(－1，1)为曲线上的一点，PQ 为曲线的割线，当Δx→0时，若k PQ的极限为－2，则在点P处的切线方程为()A．y＝－2x＋1 B．y＝－2x－1C．y＝－2x＋3 D．y＝－2x－2【解析】选B.由题意可知曲线在点P处的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0.2．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则点P坐标为________．【解析】设点P(x0, 2x2＋4x0)，则f′(x0)＝limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝limΔx→02（Δx）2＋4x0·Δx＋4ΔxΔx＝4x0＋4，令4x0＋4＝16得x0＝3，所以P(3，30).答案：(3，30)3．如图，函数f(x)的图象是折线段f(x)，其中A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则f(f(0))＝________；lim Δx→0f（1＋Δx）－f（1）Δx＝________．(用数字作答)【解析】f(0)＝4，f(4)＝2；由导数的几何意义知limΔx→0f（1＋Δx）－f（1）Δx＝－2.答案：2－24．已知抛物线y＝2x2＋1，抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y －3＝0?【解析】设切点坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2，所以ΔyΔx＝4x0＋2Δx，所以y′|x＝x0＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(4x0＋2Δx)＝4x0.因为抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，所以切线斜率为8，即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2.该点为(2，9).关闭Word文档返回原板块。

人教新课标版数学高二选修1-1导学案 3.1.3 导数的几何意义

3.1.3导数的几何意义（结合配套课件、作业使用，效果更佳）【学习目标】1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程．重点：根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程难点：正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程【检查预习】预习课本，完成导学案“自主学习”部分，准备上课回答.【自主学习】知识点一导数的几何意义如图，P n的坐标为(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4，…)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线．思考1割线PP n的斜率k n是多少？思考2当点P n无限趋近于点P时，割线PP n的斜率k n与切线PT的斜率k有什么关系？(1)切线的定义：设PP n是曲线y＝f(x)的割线，当P n趋近于点P时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线y＝f(x)的切线．(2)导数f′(x0)的几何意义：导数f′(x0)表示曲线y＝f(x)在点处的切线的斜率k，即k＝f＝li mΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为知识点二导函数对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)便是一个关于x的函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称为导数), 即f′(x)＝y′＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.【合作探究】类型一求切线方程例1已知曲线y＝x2，(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程．跟踪训练1求函数y＝x3－3x2＋x的图象上过原点的切线方程．类型二求切点坐标例2已知抛物线y＝2x2＋1分别满足下列条件，求出切点的坐标．(1)切线的倾斜角为45°；(2)切线平行于直线4x－y－2＝0；(3)切线垂直于直线x＋8y－3＝0.跟踪训练2已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点坐标．类型三导数几何意义的应用例3(1)已知函数f(x)在区间[0,3]上的图象如图所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝f(2)－f(1)，则k1，k2，k3之间的大小关系为________．(请用“>”连接)(2)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处的切线倾斜角为α，则α的取值范围为________．跟踪训练3 (1)若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( )(2)曲线y ＝1x和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是________．【学生展示】探究点一、二【教师点评】探究点三及【学生展示】出现的问题【当堂检测】1．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－12.已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB )B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D．不能确定3．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.4．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为________．【小结作业】小结：作业：对应限时练。

高中数学人教版选修1-1习题：第三章31-313导数的几何意义.doc

第三章导数及其应用3. 1变化率与导数3. 1.3导数的几何意义-------------- 高效演练知能提升-----------------A级基础巩固一、选择题1.下列说法正确的是（）A.曲线的切线和曲线有且只有一个公共点B.过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点C.若f Ub）不存在，则曲线y=f（x）在点（師，/*（必））处无切线D.若y=f（,x）在点（必，f（x））处有切线，则f （師）不一定存在解析：曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他的公共点，故A、B错误；f （必）不存在，曲线 U在点（必，HR）的切线的斜率不存在，但切线可能存在，此时切线方程为H故C错误，D正确.答案：D2.曲线y=/U）在点g, Axo））处的切线方程为2x—y+l=0f贝!］（）A・f U）>0 B. f U） <0C. f（Ao） =0 D・f g）不存在解析：因为函数y=Ax）在尸必处的导数就是曲线y=/U）在尸必处的切线的斜率，又切线2x-y+l = 0的斜率为2,所以f U） =2>0.答案：A3.若曲线f（x） = ax在点（1, 2）处的切线与直线2x—y—6=0平行，则日等于（）A. 1解析: 因为尸lim2aA ( △ x) 2 lim-=(2a+a A JV) =2a,a=l.所以2a=2t所以A.y=x—2—2处的切线方程是（）舒=L° x (身Ax)=占即/ =占所以尸一+在点(£' 一2)处的切线斜率为k=y' \x =|=4.所以切线方程是『+2=4卜》，即 y=4x —4. 答案：C 5.曲线y=f{x)=x 在点P 处切线的斜率为当Q3时点戶的坐标为()A. (—2, —8)B. ( — 1, —1)或(1, 1)C. (2, 8)D- f -? T解析：设点P 的坐标为(必，jb),limL O [( A T )2+3J ^+3^O • Ax] =3AO .因为k=3,所以3处=3,所以師=1或必=—1, 所以丹=1或jo= —1.所以点P 的坐标为(一1, 一1)或(1, 1). 答案：B 二、填空题6. 已知函数y=f{x)在点(2, 1)处的切线与直线3x —y —2 = 0平行，贝lj / |,=2等于解析：因为直线3x —厂2 = 0的斜率为3,所以由导数的几何意义可知/ |^2=3. 答案：3 7. 曲线f{x) __________________________________ 的平行于直线x —y+l = O 的切线方程为・lim 討+")2_討解析：f (%)=厂0 = --------------- --- --------- =x .因为直线X —y+l=O 的斜率为1,所以x =1,所以/(l)=|xi=|,切点为(1,》・故切线方程为y-|=l • U—1),即T-y —1=0. 答案：x —y —*=0解析：先求尸一丄的导数：△尸1 _____ & X A y ______ 1 ____ x x (jr+ A x) ' A x x {x+ A jr)lim则k=f lim (闪))=L Of (/+△%) —f (顷)A xlim=JT-^O5+ △ x) £8. 已知函数y=f{x)的图象在点ML /(!))处的切线方程是y=|x+2,则f(l)+f (1)1 1 R解析：由导数的几何意义，得尸(1)=刁又切点在切线上，故Al)=-Xl + 2=-,所以 f(l)+f (1)=3.答案：3 三、解答题9. 在抛物线尸#上哪一点处的切线平行于直线4x —y+l = 0?哪一点处的切线垂直于这条直线？lim (卄“)2_, lim解：y' = 旷*0 --------- ---- ------- = JT -^O (2X + A =2X 设抛物线上点Pg 必)处的切线平行于直线4x —y+l=O, /则' 二―％=2厕=4,解得師=2・所以必=处=4,即尸(2, 4)・设抛物线上点03, p)处的切线垂直于直线4x —y+l=O, /1 V T y 11则 ....... >=2^i = —-,解得 Xx = —~.所以口=彳=古，即故抛物线尸，在点Q, 4)处的切线平行于直线4x —y+l=O,在点(一右，韵处的切线垂直于直线4x —y+l=O.10. 已知曲线尸士上两点P(2, -1), (一1, £)・ (1) 求曲线在点P, 4处的切线的斜率； (2) 求曲线在点只0处的切线方程. 解：将(2, —1)代入尸士，得方=1,所以尸七lim=1 \—X' x _______________________ [1— ( A ] (1—x) Alim=1 =(l_x)'（1）曲线在点戶处的切线斜率为|尸2=（1匕）2=1；曲线在点0处的切线斜率为y' L⑵曲线在点F 处的切线方程为厂（一 l ）=x-2,即x —厂3 = 0,曲线在点0处的切线方程为 y-|=|［x-（-l ）］,即 x-4y+3=0.B 级能力提升1.已知直线尸心+1与曲线y=x+ax+b 相切于点（1, 3）,则方的值为（）A. 3B. —3 C ・ 5 D. —5解析：点（1, 3）既在直线上，又在曲线上.由于y‘ = ［氏（卄“）乐（卄严+A （八取+0） =3,+a,所以y ，将(1, 3)代入 y=kx+\,得&=2,所以 a= —1,又点(1, 3)在曲线 y=x+ax+b ±,故 1 +a+b=3f 又由a= —1,可得方=3.答案:A曲线/U ）=坠点（3, 3）处的切线的倾斜角等于 ________9（3）=--=-l,又因为直线的倾斜角范围是［0。

数学人教B版选修1-1课后训练 3-1-3 导数的几何意义含

课后训练1．如果质点A 按照规律s ＝3t 2运动，则t ＝3时的瞬时速度为( )A ．6B ．18C ．54D ．812．函数y ＝x 在x ＝2处的导数为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－23．已知函数y ＝f (x )，那么下列说法错误的是( )A ．Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)是函数值的增量B ．00f x x f x y x x(+∆)-()∆=∆∆叫做函数在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率 C ．f (x )在x 0处的导数记为y ′D ．f (x )在x 0处的导数记为f ′(x 0)4．已知曲线y ＝x 2在点P 处的切线与直线y ＝2x ＋1平行，则点P 的坐标为( )A ．(1,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4,2)5．曲线y ＝x 2在点1124⎛⎫ ⎪⎝⎭，处切线的倾斜角为( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π26．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 等于__________． 7．已知函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数为2，则000lim x f x x f x x ∆→(-∆)-()∆等于__________． 8．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 2上，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为__________．9．已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上横坐标为1的点处的切线的方程；(2)在第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？10．求经过点P (1,0)与曲线1y x=相切的直线的方程．参考答案1. 答案：B Δs ＝3(3＋Δt )2－3×32＝18Δt －3(Δt )2，s t∆∆＝18＋3Δt ，当Δt →0时，s t∆∆→18. 2. 答案：A Δy ＝(2＋Δx )－2＝Δx ，y x ∆∆＝1，当Δx →0时，y x∆∆→1. 3. 答案：C4. 答案：A5. 答案：B6. 答案：27. 答案：－28. 答案：(－2,4)9. 答案：分析：先求出函数y ＝f (x )在x ＝1处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由点斜式写出切线方程．解：(1)将x ＝1代入曲线方程得y ＝1，故切点为(1,1)． ∵3300lim lim x x y x x x y'x x∆→∆→∆(+∆)-==∆∆ ＝223033lim x x x x x x x∆→∆+(∆)+(∆)∆ ＝0lim x ∆→[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2]＝3x 2， ∴y ′|x ＝1＝3.∴所求切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)由3x －y －2＝0和y ＝x 3联立解得x ＝1或x ＝－2，故切线与曲线C 的公共点为(1,1)或(－2，－8)．∴除切点外，它们还有其他的公共点．10. 答案：分析：所给点P (1,0)不在曲线上，此时可设切点的坐标为(x 0，y 0)．先求出切点处的导数即斜率，然后用点斜式写出方程．解：设此切线过曲线上的点001,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝000011x x x x x x x ∆-=-+∆(+∆)， ∴001y x x x x ∆=-∆(+∆).∴切线斜率为2001lim x y x x ∆→∆=-∆. 又此切线过点(1,0)和001,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其斜率应满足2000111x x x =-(-)，解得012x =，故切点为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，该点处的切线斜率为－4. 故切线方程为1242y x ⎛⎫-=--⎪⎝⎭，即y ＝－4x ＋4.。

高中数学选修1-1课时作业14：3.1.3 导数的几何意义

3.1.3 导数的几何意义基础过关1．下列说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在[[解析]] k ＝f ′(x 0)，所以f ′(x 0)不存在只说明曲线在该点处的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x ＝x 0.[[答案]] C2．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( ) A ．(0，0)B ．(2，4) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，116 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 [[解析]] ∵y ′＝0lim x ∆→（x ＋Δx ）2－x 2Δx ＝0lim x ∆→(2x ＋Δx )＝2x ， ∴令2x ＝tan π4＝1，得x ＝12.∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，所求点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14. [[答案]] D3．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )A ．1 B.12 C ．－12 D ．－1[[解析]] ∵y ′＝0lim x ∆→a （1＋Δx ）2－a ×12Δx ＝0lim x ∆→(2a ＋a Δx )＝2a ， ∴可令2a ＝2，∴a ＝1.[[答案]] A4．设y ＝f (x )为可导函数，且满足条件0lim x →f （1）－f （1－x ）2x ＝－2，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是________．[[解析]] 由0lim x →f （1）－f （1－x ）2x ＝－2，∴12f ′(1)＝－2，f ′(1)＝－4. [[答案]] －45．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________．[[解析]] 由在M 点处的切线方程y ＝12x ＋2，得f (1)＝12×1＋2＝52，f ′(1)＝12.∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.[[答案]] 36．已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83，求： (1)点P 处的切线的斜率；(2)点P 处的切线方程．解 (1)由y ＝13x 3，得y ′＝0lim x ∆→Δy Δx ＝0lim x ∆→13（x ＋Δx ）3－13x 3Δx ＝130lim x ∆→3x 2Δx ＋3x （Δx ）2＋（Δx ）3Δx ＝130lim x ∆→[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2]＝x 2， y ′|x =2＝22＝4.所以点P 处的切线的斜率等于4.(2)在点P 处的切线方程为y －83＝4(x －2)，即12x －3y －16＝0.7．曲线y ＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴、直线x ＝a 所围成的三角形的面积为16，求a 的值．解 ∵y ＝x 3，∴y ′＝0lim x ∆→（x ＋Δx ）3－x 3Δx ＝3x 2， ∴y ′|x =a ＝3a 2，∴曲线y ＝x 3在点(a ，a 3)处的切线方程为y －a 3＝3a 2(x －a )，即y ＝3a 2x －2a 3.令x ＝a ，则y ＝a 3；令y ＝0，则x ＝23a .∴S ＝12×13|a |×|a 3|＝16|a |4，∴16|a |4＝16，∴|a 4|＝1，∴a ＝±1.能力提升8.已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB )B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定[[解析]] 由导数的几何意义，f ′(x A )，f ′(x B )分别是切线在点A ，B 处切线的斜率，由图象可知f ′(x A )<f ′(x B )．[[答案]] B9．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线的倾斜角的取值范围为[0，π4]，则点P 横坐标的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 B ．[－1，0] C ．[0，1] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 [[解析]] 设P 点的横坐标为m ，先求出函数y ＝x 2＋2x ＋3在此处的导数．Δy Δx ＝（m ＋Δx ）2＋2（m ＋Δx ）＋3－m 2－2m －3Δx＝2m Δx ＋2Δx ＋（Δx ）2Δx＝2m ＋2＋Δx ，当Δx →0时，Δy Δx →2m ＋2.∴f ′(m )＝2m ＋2.由于倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4， ∴0≤2m ＋2≤1⇒－1≤m ≤－12.[[答案]] A10．若曲线y ＝2x 2－4x ＋m 与直线y ＝1相切，则m ＝________________.[[解析]] 设切点坐标为(x 0，1)，则f ′(x 0)＝lim x ∆→ 2（x 0＋Δx ）2－4（x 0＋Δx ）－2x 20＋4x 0Δx ＝4x 0－4＝0， ∴x 0＝1，即切点坐标为(1，1)．∴2－4＋m ＝1，即m ＝3.[[答案]] 311．曲线f (x )＝12x 2的平行于直线x －y ＋1＝0的切线方程为________________．[[解析]] f ′(x )＝0lim x ∆→12（x ＋Δx ）2－12x2Δx ＝x . 因为直线x －y ＋1＝0的斜率为1，所以x ＝1.所以f (1)＝12×12＝12，切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12. 故切线方程为y －12＝1·(x －1)，即2x －2y －1＝0.[[答案]] 2x －2y －1＝012．在抛物线y ＝x 2上，哪一点处的切线平行于直线4x －y ＋1＝0？哪一点处的切线垂直于这条直线？解 y ′＝0lim x ∆→（x ＋Δx ）2－x 2Δx ＝0lim x ∆→(2x ＋Δx )＝2x . 设抛物线上点P (x 0，y 0)处的切线平行于直线4x －y ＋1＝0，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝4，解得x 0＝2.所以y 0＝x 20＝4，即P (2，4)．设抛物线上点Q (x 1，y 1)处的切线垂直于直线4x －y ＋1＝0，则y ′|x ＝x 1＝2x 1＝－14，解得x 1＝－18.所以y 1＝x 21＝164，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，164. 故抛物线y ＝x 2在点(2，4)处的切线平行于直线4x －y ＋1＝0，在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，164处的切线垂直于直线4x －y ＋1＝0. 13．(选做题)设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，∴Δy Δx ＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2.lim x ∆→ΔyΔx ＝3x 20＋2ax 0－9，即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9.∴f ′(x 0)＝3(x 0＋a 3)2－9－a 23.当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23.∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12.解得a ＝±3.又a <0，∴a ＝－3.。

2018版高中数学人教版A版选修1-1学案：3.1.3 导数的几何意义

3.1.3　导数的几何意义[学习目标]　1.了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系.2.理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义.3.会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义.知识点一　导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率.也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0).相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0).知识点二　函数的导函数当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，则当x 变化时，f ′(x )是x 的一个函数，称f ′(x )是f (x )的导函数(简称导数).f ′(x )也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝.lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx 题型一　已知过曲线上一点求切线方程例1　若曲线y ＝x 3＋3ax 在某点处的切线方程为y ＝3x ＋1，求a 的值.解　∵y ＝x 3＋3ax .∴y ′＝lim Δx →0(x ＋Δx )3＋3a (x ＋Δx )－x 3－3ax Δx ＝lim Δx →03x 2Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3＋3a Δx Δx＝[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2＋3a ]＝3x 2＋3a .lim Δx →0设曲线与直线相切的切点为P (x 0，y 0)，结合已知条件，得Error!解得Error!∴a ＝1－.322反思与感悟　一般地，设曲线C 是函数y ＝f (x )的图象，P (x 0，y 0)是曲线C 上的定点，由导数的几何意义知k ＝＝，继而由点与斜率可得点斜式方程，化lim Δx →0Δy Δx lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 简得切线方程.跟踪训练1　求过曲线y ＝在点处的切线方程.1x (2，12)解　因为＝＝lim Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx lim Δx →012＋Δx －12Δx ＝－.所以这条曲线在点处的切线斜率为－，由直线的点斜式方程可得lim Δx →0－12(2＋Δx )14(2，12)14切线方程为y －＝－(x －2)，即x ＋4y －4＝0.1214题型二　求过曲线外一点的切线方程例2　已知曲线y ＝2x 2－7，求曲线过点P (3,9)的切线方程.解　y ′＝lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0[2(x ＋Δx )2－7]－(2x 2－7)Δx＝ (4x ＋2Δx )＝4x .lim Δx →0由于点P (3,9)不在曲线上.设所求切线的切点为A (x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝4x 0，故所求的切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0).将P (3,9)及y 0＝2x －7代入上式，20得9－(2x －7)＝4x 0(3－x 0).20解得x 0＝2或x 0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25).从而所求切线方程为8x －y －15＝0或16x －y －39＝0.反思与感悟　若题中所给点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.跟踪训练2　求过点A (2,0)且与曲线y ＝相切的直线方程.1x 解　易知点(2,0)不在曲线上，故设切点为P (x 0，y 0)，由y ′|x ＝x 0＝＝－，0x x =lim Δx →01x 0＋Δx －1x 0Δx 1x 20得所求直线方程为y －y 0＝－(x －x 0).1x 20由点(2,0)在直线上，得x y 0＝2－x 0，再由P (x 0，y 0)在曲线上，得x 0y 0＝1，联立可解得20x 0＝1，y 0＝1，所求直线方程为x ＋y －2＝0.题型三　求切点坐标例3　在曲线y ＝x 2上过哪一点的切线，(1)平行于直线y ＝4x －5；(2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0；(3)与x 轴成135°的倾斜角.解　f ′(x )＝＝＝2x ，设P (x 0，y 0)是满足条件的点.lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx (1)因为切线与直线y ＝4x －5平行，所以2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4，即P (2,4)是满足条件的点.(2)因为切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，所以2x 0·＝－1，得x 0＝－，y 0＝，133294即P 是满足条件的点.(－32，94)(3)因为切线与x 轴成135°的倾斜角，所以其斜率为－1，即2x 0＝－1，得x 0＝－，y 0＝，1214即P 是满足条件的点.(－12，14)反思与感悟　解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，直线互相平行或垂直等.跟踪训练3　已知抛物线y ＝2x 2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0?(2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0?解　设点的坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x －1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2.20∴＝4x 0＋2Δx .ΔyΔx 当Δx 无限趋近于零时，无限趋近于4x 0.ΔyΔx 即f ′(x 0)＝4x 0.(1)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0，∴斜率为4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1，该点为(1,3).(2)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直，∴斜率为8，即f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2，该点为(2,9).计算切线与坐标轴围成的图形的面积求关于曲线的切线与坐标轴围成的图形的面积问题常见的题型有三类：(1)曲线的一条切线与两坐标轴围成的图形的面积.此类问题比较简单，只要求出切线方程与两坐标轴的交点，即可计算.(2)求通过曲线外一点引曲线的两条切线，两切线与坐标轴围成的图形的面积.解决这类问题的关键仍然是求出两条切线的方程与坐标轴的交点坐标.(3)求两曲线交点处的两条切线与坐标轴围成的图形的面积.其解题步骤为：①求两曲线的交点坐标；②求交点处两条切线的切线方程；③求两切线与坐标轴的交点坐标；④依据数形结合的思想计算图形的面积.例4　已知曲线y ＝和y ＝x 2.求两曲线交点处的两条切线与y 轴所围成的三角形的面积.1x 解　由Error!解得Error!即两曲线的交点坐标为(1,1).曲线y ＝在点(1,1)处的切线的斜率为1xk 1＝f ′(1)＝＝＝－1，lim Δx →011＋Δx －1Δx lim Δx →0－11＋Δx 所以曲线y ＝在点(1,1)处的切线方程为y ＝－x ＋2.1x 同理，曲线y ＝x 2在点(1,1)处的切线的斜率为k 2＝＝ (2＋Δx )＝2，lim Δx →0(1＋Δx )2－12Δx lim Δx →0故曲线y ＝x 2在点(1,1)处的切线方程为y ＝2x －1.如图所示，两切线分别与y 轴交于点(0,2)和(0，－1)，其与y 轴所围成的三角形的面积为S ＝×3×1＝.12321.已知曲线y ＝f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为( )A.4B.16C.8D.2答案　C解析　f ′(2)＝lim Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝＝ (8＋2Δx )＝8，即斜率k ＝8.lim Δx →02(2＋Δx )2－8Δx lim Δx →02.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A.a ＝1，b ＝1B.a ＝－1，b ＝1C.a ＝1，b ＝－1D.a ＝－1，b ＝－1答案　A解析　由题意，知k ＝y ′|x ＝0＝＝1，∴a ＝1.lim Δx →0(0＋Δx )2＋a (0＋Δx )＋b －b Δx 又(0，b )在切线上，∴b ＝1，故选A.3.已知曲线y ＝x 2－2上一点P ，则过点P 的切线的倾斜角为( )12(1，－32)A.30°B.45°C.135°D.165°答案　B解析　∵y ＝x 2－2，12∴y ′＝lim Δx →012(x ＋Δx )2－2－(12x 2－2)Δx ＝＝＝x .lim Δx →012(Δx )2＋x ·Δx Δx lim Δx →0(x ＋12Δx )∴y ′|x ＝1＝1.∴点P 处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.(1，－32)4.已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为________.答案　(3,30)解析　设点P (x 0,2x ＋4x 0)，20则f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝＝4x 0＋4，lim Δx →02(Δx )2＋4x 0·Δx ＋4Δx Δx 令4x 0＋4＝16得x 0＝3，∴P (3,30).5.曲线y ＝2x 2＋1在点P (－1,3)处的切线方程为________________.答案　4x ＋y ＋1＝0解析　Δy ＝2(Δx －1)2＋1－2×(－1)2－1＝2(Δx )2－4Δx ，＝2Δx －4，ΔyΔx ＝ (2Δx －4)＝－4，lim Δx →0Δy Δx lim Δx →0由导数几何意义知，曲线y ＝2x 2＋1在点(－1,3)处的切线的斜率为－4，切线方程为y ＝－4x －1，即4x ＋y ＋1＝0.1.导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →0＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 2.“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值.3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.。

高中数学人教A版选修1-1课件：3.1.3《导数的几何意义》

答案：（1） 1 ；（2）6． 2x
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17
【例 3】求曲线 y x2 在点 A(2, 4) 处的切线方程．
分析：本题关键是求切线斜率， k f (2) ，有两种思路：
一是直接求 k f (2) lim f (2 x) f (2) ；
x0
x
二是先求 f (x) lim f (x x) f (x) ，再令 x 2 求得 k f (2) ．
[错因]求曲线在点 P 处的切线与求过点 P 的切线有区别．在点 P 处的切线，点 P 必为切点；求过点 P 的切线，点 P 未必是切点．应注意概念的区别，其求法也有所不同．
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[正解] 法一： y lim y lim (x x)2 x2 2x .
x x0
在t

t
附近也
2
单调递减.
从图3.1 3可见,直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜
程度, 这说明曲线ht 在t1附近比在t2附近下降得缓慢.
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14
根据导数的几何意义:
当某点处导数大于零时，说明在这点的附近曲线是上升的，即函数在这点附近是单调递增；
当某点处导数小于零时，说明在这点的附近曲线是下降的，即函数在这点附近是单调递减．
记作： f (x) 或 y ，即： f (x) y lim f (x x) f (x) ．
x0
x
注：函数 f (x) 在 x0 处的导数 f (x0 ) 就是函数 f (x) 的导（函）
数 f (x) 在 x0 处的函数值．
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12
h
l0 l1
O

【成才之路】高中数学 3.1.3导数的几何意义练习新人教A版选修1-1

3.1.3导数的几何意义一、选择题1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是( ) A ．在点x 0处的斜率B ．在点(x 0，f (x 0))处的切线与x 轴所夹的锐角的正切值C ．曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率D ．点(x 0，f (x 0))与点(0,0)连线的斜率 [答案] C[解析] 由导数的几何意义可知函数y ＝f (x )在x ＝x 0的导数f ′(x 0)，即为曲线在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．2．曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(1,1)，(－1，－1) C ．(2,8) D ．(－12，－18)[答案] B [解析] ∵y ＝x 3，∴y ′＝lim Δx →0 x ＋Δx 3－x 3Δx ＝lim Δx →0 Δx 3＋3x ·Δx 2＋3x 2·ΔxΔx＝lim Δx →0 (Δx 2＋3x ·Δx ＋3x 2)＝3x 2. 令3x 2＝3，得x ＝±1，∴点P 的坐标为(1,1)，(－1，－1)．3．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝－2x ＋2[答案] A [解析] ∵f ′(x )＝lim Δx →0Δx ＋x3－Δx ＋x ＋1－x 3＋2x －1Δx＝lim Δx →0 Δx 3＋3x ·Δx 2＋3x 2·Δx －2Δx Δx ＝lim Δx →0 (Δx 2＋3x ·Δx ＋3x 2－2) ＝3x 2－2，∴f ′(1)＝3－2＝1，∴切线的方程为y ＝x －1.4．已知曲线f (x )＝12x 2＋2x 的一条切线斜率是4，则切点的横坐标为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[答案] D[解析] Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝12(x ＋Δx )2＋2(x ＋Δx )－12x 2－2x ＝x ·Δx ＋12(Δx )2＋2Δx ，∴Δy Δx ＝x ＋12Δx ＋2， ∴f ′(x )＝lim Δx →0ΔyΔx＝x ＋2. 设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝x 0＋2. 由已知x 0＋2＝4，∴x 0＝2，故选D ．5．曲线y ＝13x 3－2在点(－1，－73)处切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．60°[答案] B[解析] Δy ＝13(－1＋Δx )3－13×(－1)3＝Δx －Δx 2＋13Δx 3，Δy Δx ＝1－Δx ＋13Δx 2，lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (1－Δx ＋13Δx 2)＝1， ∴曲线y ＝13x 3－2在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－73处切线的斜率是1，倾斜角为45°.6．设f (x )为可导函数且满足lim x →0f－f －2x2x＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2[答案] B [解析] lim x →0 f－f－2x2x ＝lim x →0 f－2x －f－2x＝lim －2x →0f [1＋－2x－f －2x＝f ′(1)＝－1.二、填空题7．已知函数f (x )＝x 3＋2，则f ′(2)＝________. [答案] 12[解析] f ′(2)＝lim Δx →0 ＋Δx3＋2－23－2Δx＝lim Δx →0＋Δx －＋Δx 2＋＋Δx＋22]Δx＝lim Δx →0[4＋4Δx ＋(Δx )2＋4＋2Δx ＋4] ＝lim Δx →0[12＋6Δx ＋(Δx )2]＝12. 8．设函数y ＝f (x )，f ′(x 0)>0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的倾斜角的范围是________.[答案] (0，π2)[解析] 由于f ′(x 0)>0，说明y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率大于0，故倾斜角为锐角．9．若抛物线y ＝x 2与直线2x ＋y ＋m ＝0相切，则m ＝________. [答案] 1[解析] 设切点为P (x 0，y 0)，易知，y ′|x ＝x 0＝2x 0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝－2y 0＝x 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1y 0＝1，即P (－1,1)，又P (－1,1)在直线2x ＋y ＋m ＝0上，故2×(－1)＋1＋m ＝0，即m ＝1. 三、解答题10．直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1相切． (1)求切点的坐标； (2)求a 的值．[解析] (1)设直线l 与曲线C 相切于P (x 0，y 0)点．f ′(x )＝lim Δx →0 f x ＋Δx －f xΔx＝lim Δx →0x ＋Δx3－x ＋Δx 2＋1－x 3－x 2＋Δx＝3x 2－2x .由题意知，k ＝1，即3x 20－2x 0＝1，解得x 0＝－13或x 0＝1.于是切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2327或(1,1)．(2)当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2327时，2327＝－13＋a ，a ＝3227；当切点为(1,1)时，1＝1＋a ，a ＝0(舍去)． ∴a 的值为3227，切点坐标为(－13，2327)．一、选择题1．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B ．12 C ．－12D ．－1[答案] A[解析] ∵y ′|x ＝1＝lim Δx →1 a＋Δx 2－a ×12Δx＝lim Δx →0 2a Δx ＋a Δx 2Δx＝lim Δx →0 (2a ＋a Δx )＝2a ， ∴2a ＝2，∴a ＝1.2. 已知函数y ＝f (x )的图象如图，f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．0>f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )<0C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．f ′(x A )>f ′(x B )>0[答案] B[解析] f ′(x A )和f ′(x B )分别表示函数图象在点A ，B 处的切线斜率，故f ′(x A )<f ′(x B )<0.3．已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则a b为( ) A ．23B ．－23C ．13D ．－13[答案] D[解析] 由导数的定义可得y ′＝3x 2，∴y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝3，由条件知，3×a b ＝－1，∴a b ＝－13.4．设P 0为曲线f (x )＝x 3＋x －2上的点，且曲线在P 0处切线平行于直线y ＝4x －1，则P 0点的坐标为( )A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)或(－1，－4)D ．(2,8)或(－1，－4)[答案] C [解析]f ′(x )＝lim Δx →0x ＋Δx3＋x ＋Δx －2－x 3＋x －Δx＝lim Δx →0x 2＋Δx ＋3x Δx2＋Δx3Δx＝3x 2＋1.由于曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，所以f (x )在P 0处的导数值等于4，设P 0(x 0，y 0)，有f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4.解得x 0＝±1，这时P 0点的坐标为(1,0)或(－1，－4)．二、填空题5．函数y ＝f (x )的图象在点P (5，f (5))处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.[答案] 2[解析] 由条件知，f (5)＝－5＋8＝3，f ′(5)＝－1， ∴f (5)＋f ′(5)＝2.6．曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴、x ＝2所围成的三角形的面积为________. [答案] 83[解析] y ′＝lim Δx →0 x ＋Δx 3－x 3Δx＝3x 2，所以k ＝y ′|x ＝1＝3×1＝3，所以在点(1,1)处的切线方程为y ＝3x －2，它与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，与x ＝2的交点为(2,4)，所以S ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－23×4＝83.三、解答题7．已知曲线y ＝x 2，求过点P (2,1)的切线方程．[分析] 点P (2,1)不在曲线y ＝x 2上，所以点P 不是切点，应先求出切点坐标，再求切线方程．[解析] 设切点为Q (x 0，y 0)， ∵y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x ， ∴斜率k ＝2x 0＝y 0－1x 0－2＝x 20－1x 0－2，解得x 0＝2＋3或x 0＝2－3， ∴切线方程为y －1＝2x 0(x －2)，即2(2＋3)x －y －7－43＝0，或2(2－3)x －y －7＋43＝0. 8．已知曲线C ：y ＝1t －x经过点P (2，－1)，求 (1)曲线在点P 处的切线的斜率． (2)曲线在点P 处的切线的方程． (3)过点O (0,0)的曲线C 的切线方程． [解析] (1)将P (2，－1)代入y ＝1t －x中得t ＝1， ∴y ＝11－x .∴Δy Δx＝f x ＋Δx －f x Δx ＝11－x ＋Δx －11－xΔx＝1－x －Δx－x，∴lim Δx →0 Δy Δx＝1－x2，∴曲线在点P 处切线的斜率为k ＝y ′|x ＝2＝1－2＝1.(2)曲线在点P 处的切线方程为y ＋1＝1×(x －2)，即x －y －3＝0.(3)∵点O (0,0)不在曲线C 上，设过点O 的曲线C 的切线与曲线C 相切于点M (x 0，y 0)，则切线斜率k ＝y 0x 0＝1－x 02，由于y 0＝11－x 0，∴x 0＝12，∴切点M (12，2)，切线斜率k ＝4，切线方程为y －2＝4(x －12)，即y＝4x.。

人教新课标版数学高二数学选修1-1练习3-1-3导数的几何意义

技能演练1.设f (x )＝1x ，则lim x →af (x )－f (a )x －a 等于( ) A ．－1a B.2aC ．－1a 2 D.1a 2解析 lim x →a f (x )－f (a )x －a ＝lim x →a 1x －1a x －a＝ lim x →a a －x(x －a )·xa ＝－lim x →a1ax ＝－1a 2. 答案 C2．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( ) A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)解析由导数的定义，知y ′＝2x ，∴tan π4＝1，y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，∴x 0＝12，则y 0＝14，故选D.答案 D3．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( )A ．1B.12 C ．－12D ．－1解析由导数的定义知y ′＝2ax ，∴f ′(1)＝2a ＝2.∴a ＝1.答案 A4．若曲线y ＝h (x )在点P (a ，h (a ))处切线方程为2x ＋y ＋1＝0，则( )A ．h ′(a )<0B ．h ′(a )>0C ．h ′(a )＝0D ．h ′(a )的符号不定答案 A5．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t之间的函数关系为s ＝18t 2，则当t ＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为( )A. 2B. 1C.12D.14 答案 C6．函数f (x )＝－2x 2＋3在点(0,3)处的导数是________．答案 07．如图是函数f (x )及f (x )在点P 处切线的图像，则f (2)＋f ′(2)＝________.解析从图中可知，切线的方程为x 4＋y 4.5＝1，∴切线的斜率为－98，∴f ′(2)＝－98.当x ＝2时，代入方程得y ＝94，f (2)＝94，∴f (2)＋f ′(2)＝94－98＝98.答案 988．设曲线y ＝x 2在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为________．解析由导数的定义可知y ′＝2x ，设P (x 0，y 0)，∴y ′|x ＝x 0＝2x 0＝3，∴x 0＝32.∴y 0＝x 20＝94，∴P 的坐标为(32，94)．答案 (32，94)9．已知曲线y ＝2x 2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程．解因为f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝4，所以过点(1,2)的切线的斜率为4.设过点(1,2)且与过该点的切线垂直的直线的斜率为k ，则4k＝－1，k ＝－14.所以所求的直线方程为y －2＝－14(x －1)，即x ＋4y －9＝0.10．求双曲线y ＝1x 在点(12，2)处的切线的斜率，并写出切线方程．解 ∵y ＝1x ，∴k ＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →01x ＋Δx －1x Δx＝lim Δx →0 －1x 2＋xΔx ＝－1x 2. ∴当x ＝12时，k ＝－4，∴切线斜率为k ＝－4.切线方程为y －2＝－4(x －12)，即4x ＋y －4＝0.。

人教版-高中数学选修1-1-第三章 3.1.3 导数的几何意义

3
P
∴ y′ | x=2 = 22 = 4.
x
-2 -1
处的切线的斜率等于4. 即点P处的切线的斜率等于处的切线的斜率等于
O -1 -2
1
2
(2)在点处的切线方程是在点P处的切线方程是在点处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0. 即
什么是导函数?
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到当在处求导数的过程可以看到,当由函数是一个确定的数.那么那么,当变化时便是x 变化时,便是时,f'(x0) 是一个确定的数那么当x变化时便是的一个函数,我们叫它为我们叫它为f(x)的导函数即: 的导函数.即的一个函数我们叫它为的导函数
下面来看导数的几何意义:
如图,曲线是函数如图曲线C是函数曲线是函数y=f(x) 是曲线C上的的图象,P(x0,y0)是曲线上的的图象是曲线任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy) 任意一点 Δ Δ 邻近一点,PQ为C的割线的割线, 为P邻近一点邻近一点为的割线 PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的轴轴为的倾斜角. 倾斜角则: MP = x, MQ = y, y = tanβ . x
y 请问: 是割线PQ的什么? x
y y=f(x) Q
Δy P O
β
Δx
M x
斜率!
请看当点Q沿着曲线逐渐向点接近时割线PQ绕着请看当点沿着曲线逐渐向点P接近时割线绕着沿着曲线逐渐向点接近时,割线逐渐转动的情况. 点P逐渐转动的情况逐渐转动的情况 y
y=f(x) Q
割线 T 切线
思考一下,导数可以用下式表示吗? f (x) f (x0 ) f ′(x0 ) = lim x→x0 x x0

高中数学选修1-1课时作业3：3.1.3 导数的几何意义

3.1.3 导数的几何意义一、选择题1．下列各点中，在曲线y ＝x 2上，且在此点处的切线倾斜角为π4的是( ) A ．(0,0) B ．(2,4)C.⎝⎛⎭⎫14，116 D.⎝⎛⎭⎫12，142．过点(－1,0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其切线方程为( )A ．2x ＋y ＋2＝0B ．3x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋1＝0或3x ＋y ＋3＝0D ．x ＋y ＋1＝03.已知函数y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB )B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定4．若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( )二、填空题5．曲线y ＝x 2－3x 在点P 处的切线平行于x 轴，则点P 的坐标为________．6．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.三、解答题7．若曲线y ＝x 2－1的一条切线平行于直线y ＝4x －3.求这条切线的方程．8．求证：函数y ＝x ＋1x图象上的各点处的切线斜率小于1.9．已知曲线y ＝x 2＋1，则是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．[[答案]]1．[[解析]] k ＝limΔx →0Δy Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x ，∵倾斜角为π4，∴斜率为1. ∴2x ＝1，x ＝12，故选D. [[答案]] D2．[[解析]] 设切点坐标为(x 0，y 0)，f ′(x 0)＝lim Δx →0(x 0＋Δx )2＋(x 0＋Δx )＋1－(x 20＋x 0＋1)Δx＝lim Δx →0((2x 0＋1)＋Δx )＝2x 0＋1，所以x 20＋x 0＋1x 0＋1＝2x 0＋1，解得x 0＝0或x 0＝－2，所以k ＝1或k ＝－3，所以切线方程为y ＝x ＋1或y ＝－3(x ＋1)，即x －y ＋1＝0或3x ＋y ＋3＝0.[[答案]] C3. [[解析]] 由图象知函数在A 点处的切线倾斜角大于在B 点处的切线倾斜角，故f ′(x A )>f ′(x B )．[[答案]] A4．[[解析]] 依题意，y ＝f ′(x )在[a ，b ]上是增函数，则在函数f (x )的图象上，各点的切线的斜率随着x 的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A 满足，故选A.[[答案]] A5．[[解析]] 根据题意可设切点为P (x 0，y 0)，因为Δy ＝(x ＋Δx )2－3(x ＋Δx )－(x 2－3x )＝2x Δx ＋(Δx )2－3Δx ，Δy Δx＝2x ＋Δx －3，所以f ′(x )＝limΔx →0Δy Δx ＝lim Δx →0(2x ＋Δx －3)＝2x －3. 由f ′(x 0)＝0，即2x 0－3＝0，得x 0＝32，代入曲线方程得y 0＝－94，所以P ⎝⎛⎭⎫32，－94 [[答案]] ⎝⎛⎭⎫32，－94 6．[[解析]] 由导数的几何意义得f ′(1)＝12，由切线方程得f (1)＝12×1＋2＝52，所以f (1)＋f ′(1)＝3.[[答案]] 37．若曲线y ＝x 2－1的一条切线平行于直线y ＝4x －3.求这条切线的方程．[[解析]] f ′(x )＝limΔx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－1－(x 2－1)Δx＝lim Δx →02x Δx ＋(Δx )2Δx＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .设切点坐标为(x 0，y 0)，则由题意知，f ′(x 0)＝4，即2x 0＝4，∴x 0＝2.代入曲线方程得y 0＝3.故该切线过点(2,3)且斜率为4.所以这条切线的方程为y －3＝4(x －2)，即4x －y －5＝0.8．求证：函数y ＝x ＋1x图象上的各点处的切线斜率小于1. 证明： ∵y ＝limΔx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎫x ＋Δx ＋1x ＋Δx －⎝⎛⎭⎫x ＋1x Δx＝x 2－1x 2＝1－1x2<1， ∴y ＝x ＋1x图象上的各点处的切线斜率小于1. 9．已知曲线y ＝x 2＋1，则是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．[[解析]] 由Δy Δx ＝(x ＋Δx )2＋1－(x 2＋1)Δx＝2x ＋Δx . 得y ′＝limΔx →0Δy Δx ＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x . 设切点为P (x 0，y 0)，则切线的斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0，由点斜式可得所求切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)．又因为切线过(1，a )，y 0＝x 20＋1，所以a －(x 20＋1)＝2x 0(1－x 0)，即x 20－2x 0＋a －1＝0.因为切线有两条，所以Δ＝(－2)2－4(a －1)>0，解得a <2.故存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线，a 的取值范围是{a |a <2}．。

2019-2020学年高二数学人教A版选修1-1训练：3.1.3 导数的几何意义 Word版含解析

答案:B
6.曲线 y=x2-2x+2 在点(2,2)处的切线方程为 .
解析:∵Δy=(2+Δx)2-2(2+Δx)+2-(22-2×2+2)=2Δx+(Δx)2,
∴ΔΔ�� = 2 + Δ��.
∴y'|x=2 = lim (2 + Δ��) = 2.
Δ��→0
.②
又抛物线过点 Q,∴4a+2b+c=-1.③
由①②③得 a=3,b=-11,c=9.
1
10.若函数 f(x)=x ‒ ��,求曲线��(��)与��轴交点处的切线的方程.
解:由
f(x)=x
‒
1 ��
=
0,得x=±1,
即与 x 轴交点坐标为(1,0)或(-1,0).
解析:由在点
M
处的切线方程
y
=
1
2��
+
2,得f(1)
=
1 2
×
1
+
2
=
5
2,��'(1)
=
1
2,则f(1)+f'(1)
51
= 2 + 2 = 3.
答案:3
8.已知两条曲线 y=x2-1 与 y=1-x3在点 x0处的切线平行,则 x0= .
解析:由 y=x2-1,得 y'|�� = ��0 = 2��0,
解:∵抛物线过点 P,∴a+b+c=1.①
又 y' =
a(x + ��x)2 + ��(�� + ��x) - ax2 - ��