2019年高考数学课时21垂直关系单元滚动精准测试卷文

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2019年高考数学课时20平行关系单元滚动精准测试卷文

课时20 平行关系模拟训练（分值：60分建议用时：30分钟）1.若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β,则在平面β内且过B点的所有直线中( )A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线C.存在无数条与a平行的直线D.存在唯一与a平行的直线【答案】A.2.平面α∥平面β的一个充分条件是( )A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α【答案】D【解析】A、B、C中α与β都有可能相交．3.下列命题中正确的个数是( )①若直线a不在α内，则a∥α；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；⑤若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；⑥平行于同一平面的两直线可以相交．A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【解析】a ∩α＝A 时，a 不在α内，∴①错；直线l 与α相交时，l 上有无数个点不在α内，故②错；l ∥α时，α内的直线与l 平行或异面，故③错；a ∥b ，b ∥α时，a ∥α或a ⊂α，故④错；l ∥α，则l 与α无公共点，∴l 与α内任何一条直线都无公共点，⑤正确；如图，长方体中，A 1C 1与B 1D 1都与平面ABCD 平行，∴⑥正确．4．设m 、n 、l 是三条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是( ) A ．若m 、n 与l 所成的角相等，则m ∥n B ．若γ与α、β所成的角相等，则α∥β C ．若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n D ．若α∥β，m ⊂α，则m ∥β 【答案】D5．若直线a ⊥b ，且直线a ∥平面α，则直线b 与平面α的位置关系是( ) A ．b ⊂α B ．b ∥α C ．b ⊂α或b ∥αD ．b 与α相交或b ∥α或b ⊂α 【答案】D【解析】由a ⊥b ，a ∥平面α，可知b 与α或平行或相交或b ⊂α. 6．已知m 、n 是不同的直线，α、β是不重合的平面，给出下列命题： ①若m ∥α，则m 平行于平面α内的无数条直线； ②若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n ； ③若m ⊥α，n ⊥β，m ∥n ，则α∥β； ④若α∥β，m ∥α，则m ∥β.其中，真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．【答案】①③【解析】由线面平行定义及性质知①正确．②中若m ⊂α，n ⊂β，α∥β，则m 、n 可能平行，也可能异面，故②错，③中由⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ∥n⇒⎭⎪⎬⎪⎫n ⊥αn ⊥β⇒α∥β知③正确．④中由α∥β，m ∥α可得，m ∥β或m ⊂β，故④错．7．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形的序号)．【答案】①③8．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则当M满足条件________________时，有MN∥平面B1BDD1.【答案】M∈线段FH【解析】当M点满足在线段FH上有MN∥面B1BDD1.【失分点分析】在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.9.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN，求证：MN∥平面AA1B1B.分析一：若能证明MN平行于平面AA1B1B中的一条直线，则依线面平行判定定理，MN∥平面AA1B1B.于是有以下两种添辅助线的方法．【证明】：证法一：如右图，作ME∥BC，交BB1于E；作NF∥AD，交AB于F.连结EF，则EF⊂平面AA1B1B.∴MEFN为平行四边形．∴MN∥EF.分析二：若过MN能作一个平面与平面AA1B1B平行，则由面面平行的性质定理，可得MN与平面AA1B1B 平行．证法三：如图，作MP∥BB1，交BC于点P，连结NP.∵MP∥BB1，∴CMMB1＝CPPB.∵BD＝B1C，DN＝CM，∴B1M＝BN.【规律总结】证明直线l与平面α平行，通常有以下两个途径：(1)通过线线平行来证明，即证明该直线l平行于平面α内的一条直线；(2)通过面面平行来证明，即证明过该直线l的一个平面平行于平面α.10．如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)证明：BD⊥AA1；(2)证明：平面AB1C∥平面DA1C1；(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．【解析】(1)证明：连接BD，∵平面ABCD为菱形，∴BD⊥AC，由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，则BD⊥平面AA1C1C，又A1A⊂平面AA1C1C，故BD⊥AA1.(2)证明：由棱柱ABCD－A1B1C1D1的性质知AB1∥DC1，A1D∥B1C，AB1∩B1C＝B1，A1D∩DC1＝D，由面面平行的判定定理推论知：平面AB1C∥平面DA1C1.(3)存在这样的点P满足题意．∵A 1B 1綊AB 綊DC ，[知识拓展]证明面面平行的方法有：（1）面面平行的定义；（2）面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；（3）利用垂直于同一条直线的两个平面平行；（4）两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；（5）利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化. [新题训练] （分值：10分建议用时：10分钟）11.（5分）已知平面α∥平面β，P 是α、β外一点，过点P 的直线m 与α、β分别交于A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于B 、D 且PA=6,AC=9，PD=8，则BD 的长为 .【答案】52424或【解析】根据题意可出现以下如图两种情况：可求出BD 的长分别为52424或. 12.（5分）如图，在三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，点E 、F 、H 、K 分别为AC ′、CB ′、A ′B 、B ′C ′的中点，G 为△ABC 的重心．从K 、H 、G 、B ′中取一点作为P ，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF 平行，则P 为 ( )A．KB．HC．G D．B′【答案】C。

2019年全国卷Ⅰ文数高考试题文档版(含答案)(精校版)

2019年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅰ卷）文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设3i12iz -=+，则z = A ．2B ．3C ．2D ．12．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A =ðA ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,73．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．B ．C ．D ．4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是 A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm5．函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生7．tan255°= A ．－2－3B ．－2+3C ．2－3D ．2+38．已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π69．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+D ．A =112A+10．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．312．已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020学年高中数学课时跟踪检测十空间向量与垂直关系北师大版选修2-1

课时跟踪检测（十）空间向量与垂直关系一、基本能力达标1．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．(1，－1,1) B.⎝⎛⎭⎪⎫1，3，32C.⎝⎛⎭⎪⎫1，－3，32 D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，3，－32解析：选B 若点P 在平面α内，则PA ⊥α，即PA ―→·n ＝0.对于选项A ，PA ―→＝(1,0,1)，则PA ―→·n ＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A ；对于选项B ，PA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4，12，则PA ―→·n＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－4，12·(3,1,2)＝0，故B 正确；同理可排除C 、D.2．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面π的法向量为n ＝(－3,0，－6)，则( ) A ．l ∥π B ．l ⊥π C ．l πD ．l 与π斜交解析：选B a ＝－13n ，∴a ∥n ，∴l ⊥π.3．如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当BF ⊥PE 时，AF ∶FD 等于( )A ．1∶2B ．1∶1C ．3∶1D ．2∶1解析：选B 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，PA ＝a .则B (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，P (0,0，a )．设点F 的坐标为(0，y,0)，则BF ―→＝(－1，y,0)， PE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－a .∵BF ⊥PE ，∴BF ―→·PE ―→＝0，解得y ＝12，则F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0， ∴F 为AD 中点，∴AF ∶FD ＝1∶1.4．已知AB ―→＝(1,5，－2)，BC ―→＝(3,1，z )，若AB ―→⊥BC ―→，BP ―→＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则向量BP ―→＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫337，－157，－3B.⎝⎛⎭⎪⎫407，－157，－3C.⎝⎛⎭⎪⎫407，－2，－3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，407，－3解析：选 A AB ―→·BC ―→＝3＋5－2z ＝0，故z ＝4，由BP ―→·AB ―→＝x －1＋5y ＋6＝0，且BP ―→·BC ―→＝3(x －1)＋y －12＝0，得x ＝407，y ＝－157.BP ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫337，－157，－3. 5．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB ―→＝(2，－1，－4)，AD ―→＝(4,2,0)，AP ―→＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP ―→是平面ABCD 的法向量；④AP ―→∥BD ―→.其中正确的是_______(填序号)．解析：由于AP ―→·AB ―→＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，AP ―→·AD ―→＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以①②③正确．答案：①②③6．在直角坐标系O －xyz 中，已知点P (2cos x ＋1,2cos 2x ＋2,0)和点Q (cos x ，－1,3)，其中x ∈[0，π]，若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________．解析：由OP ⊥OQ ，得OP ―→·OQ ―→＝0.即(2cos x ＋1)·cos x ＋(2cos 2x ＋2)·(－1)＝0. ∴cos x ＝0或cos x ＝12.∵x ∈[0，π]，∴x ＝π2或x ＝π3.答案：π2或π37.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 于点F .(1)证明：PA ∥平面EDB ； (2)证明：PB ⊥平面EFD .证明：如图所示，建立空间直角坐标系，D 是坐标原点，设DC＝a .(1)连接AC ，AC 交BD 于G ，连接EG .依题意得A (a,0,0)，P (0，0，a )，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2.∵底面ABCD 是正方形， ∴G 是此正方形的中心．故点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a2，0，且PA ―→＝()a ，0，－a ，EG ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0，－a 2.∴PA ―→＝2EG ―→，则PA ∥EG . 又EG 平面EDB 且P A ⃘平面EDB . ∴PA ∥平面EDB .(2)依题意得B (a ，a,0)，PB ―→＝(a ，a ，－a )， DE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，故PB ―→·DE ―→＝0＋a 22－a 22＝0.∴PB ⊥DE ，又EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ， ∴PB ⊥平面EFD .8.如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，E ，F 分别为A 1C 1和BC 的中点．求证：(1)平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； (2)C 1F ∥平面ABE .解：如图，以B 为坐标原点，分别以BC ，BA ，BB 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设BC ＝a ，AB ＝b ，BB 1＝c ，则B (0,0,0)，A (0，b,0)，C 1(a,0，c )，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2，c .(1)AB ―→＝(0，－b,0)，AE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，－b 2，c .设平面ABE 的一个法向量为 n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB ―→＝0，n ·AE ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－by ＝0，a 2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2y ＋cz ＝0，令x ＝2，则y ＝0，z ＝－a c，即n ＝⎝⎛⎭⎪⎫2，0，－a c . 又平面B 1BCC 1的一个法向量为n 1＝(0,1,0)． ∵n 1·n ＝2×0＋0×1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a c ×0＝0， ∴平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2) C 1F ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，－c ，且n ·C 1F ―→＝0，∴C 1F ―→∥平面ABE .又∵C 1F ⊄平面ABE ，∴C 1F ∥平面ABE .二、综合能力提升1．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A ．AC B ．BD C ．A 1DD ．A 1A解析：选B 建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1. 则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴CE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，1，AC ―→＝(－1,1,0)，BD ―→＝(－1，－1,0)， A 1D ―→＝(－1,0，－1)，A 1A ―→＝(0,0，－1)．∵CE ―→·BD ―→＝(－1)×12＋(－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋0×1＝0，∴CE ⊥BD . 2.如图所示，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，底面是以∠ABC 为直角的等腰三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点E 在棱AA 1上，要使CE ⊥平面B 1DE ，则AE ＝________.解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则B 1(0,0,3a )，C (0，2a,0)，D ⎝⎛⎭⎪⎫2a 2，2a 2，3a .设E (2a,0，z )(0≤z ≤3a )，则CE ―→＝()2a ，－2a ，z ， B 1E ―→＝(2a,0，z －3a )， B 1D ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2，2a 2，0.又CE ―→·B 1D ―→＝a 2－a 2＋0＝0，故由题意得2a 2＋z 2－3az ＝0，解得z ＝a 或2a .故AE ＝a 或2a . 答案：a 或2a3.如图，在正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点．求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.证明：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系如图，由题意，知D (0,0,0)，A (22，0,0)，C (0,22，0)，B 1(22，22，4)，E (22，2，0)，F (2，22，0)，则B 1E ―→＝(0，－2，－4)， EF ―→＝(－2，2，0)．设平面B 1EF 的法向量为 n ＝(x ，y ，z )．则n ·B 1E ―→＝－2y －4z ＝0，n ·EF ―→＝－2x ＋2y ＝0，得x ＝y ，z ＝－24y ，令y ＝1，得n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，1，－24.又平面BDD 1B 1的一个法向量为AC ―→＝(－22，22，0)，而n ·AC ―→＝1×(－22)＋1×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－24×0＝0，即n ⊥AC ―→，∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.4.如图，在三棱锥P ABC 中，三条侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝3，G 是△PAB 的重心，E ，F 分别为BC ，PB 上的点，且BE ∶EC ＝PF ∶FB ＝1∶2.(1)求证：平面GEF ⊥平面PBC ； (2)求证：EG 与直线PG 和BC 都垂直．证明：(1)如图，以三棱锥的顶点P 为原点，以PA ，PB ，PC 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系P xyz .则A (3,0,0)，B (0,3,0)，C (0,0,3)，E (0,2,1)，F (0,1,0)，G (1,1,0)，P (0，0,0)．于是EF ―→＝(0，－1，－1)，EG ―→＝(1，－1，－1)．设平面GEF 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥EF ―→，n ⊥EG ―→，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，x －y －z ＝0，可取n ＝(0,1，－1)．显然PA ―→＝(3,0,0)是平面PBC 的一个法向量．又n ·PA ―→＝0， ∴n ⊥PA ―→，即平面PBC 的法向量与平面GEF 的法向量垂直， ∴平面GEF ⊥平面PBC .(2)由(1)，知EG ―→＝(1，－1，－1)， PG ―→＝(1,1,0)，BC ―→＝(0，－3,3)，∴EG ―→·PG ―→＝0，EG ―→·BC ―→＝0， ∴EG ⊥PG ，EG ⊥BC ，∴EG 与直线PG 和BC 都垂直．。

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2019年全国卷Ⅰ文科数学一、选择题：1．设3i12iz -=+，则z = A ．2B 3C 2D ．12．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则A ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,73．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．B ．C ．D ．4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512（512≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之51-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm5．函数f (x )=2sin cos x xx x++在[-π，π]的图像大致为 A ．B ．C ．D ．6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生7．tan255°= A ．-23 B ．-3C ．23D ．3a b c <<a c b <<c a b <<b c a <<8．已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a -b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π69．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A + B ．A =12A + C ．A =112A + D ．A =112A+10．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A -b sin B =4c sin C ，cos A =-14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．312．已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=二、填空题：13．曲线2)3(e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为___________． 14．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若13314a S ==，，则S 4=___________． 15．函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________． 16．已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 3，那么P 到平面ABC 的距离为___________．三、解答题：17．（12分）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客40 10女顾客30 20（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++．P（K2≥k）0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.82818．（12分）记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知S9=-a5．（1）若a3=4，求{a n}的通项公式；（2）若a1>0，求使得S n≥a n的n的取值范围．19．（12分）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．20．（12分）已知函数f（x）=2sin x-x cos x-x，f ′（x）为f（x）的导数．（1）证明：f ′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．21.（12分）已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │ =4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │-│MP │为定值？并说明理由．22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x tt y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ++=．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）求C 上的点到l 距离的最小值．23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：（1）222111a b c a b c++≤++；（2）333()()()24a b b c c a +++≥++．2019年全国卷Ⅰ文科数学·参考答案一、选择题1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．C 7．D8．B9．A10．D11．A12．B二、填空题13．y =3x 14．5815．−416三、解答题17．解：（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为400.850=，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．女顾客中对该商场服务满意的比率为300.650=，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．（2）22100(40203010) 4.76250507030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．由于4.762 3.841>，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.18．解：（1）设{}n a 的公差为d ．由95S a =-得140a d +=．由a 3=4得124a d +=．于是18,2a d ==-．因此{}n a 的通项公式为102n a n =-．（2）由（1）得14a d =-，故(9)(5),2n n n n da n d S -=-=. 由10a >知0d <，故n n S a …等价于211100n n -+…，解得1≤n ≤10．所以n 的取值范围是{|110,}n n n ∈N 剟．19．解：（1）连结1,B C ME .因为M ，E 分别为1,BB BC 的中点，所以1 ME B C ∥，且112ME B C =.又因为N 为1A D 的中点，所以112ND A D =. 由题设知11=A B DC ∥，可得11=BC A D ∥，故=ME ND ∥，因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ED ∥.又MN ⊄平面1C DE ，所以MN ∥平面1C DE .（2）过C 作C 1E 的垂线，垂足为H .由已知可得DE BC ⊥，1DE C C ⊥，所以DE ⊥平面1C CE ，故DE ⊥CH. 从而CH ⊥平面1C DE ，故CH 的长即为C 到平面1C DE 的距离，由已知可得CE =1，C 1C =4，所以117C E 1717CH =. 从而点C 到平面1C DE 417.20．解：（1）设()()g x f x '=，则()cos sin 1,()cos g x x x x g x x x '=+-=.当π(0,)2x ∈时，()0g x '>；当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0g x '<，所以()g x 在π(0,)2单调递增，在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.又π(0)0,0,(π)22g g g ⎛⎫=>=-⎪⎝⎭，故()g x 在(0,π)存在唯一零点. 所以()f x '在(0,π)存在唯一零点.（2）由题设知(π)π,(π)0f a f =…，可得a ≤0.由（1）知，()f x '在(0,π)只有一个零点，设为0x ，且当()00,x x ∈时，()0f x '>；当()0,πx x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()00,x 单调递增，在()0,πx 单调递减. 又(0)0,(π)0f f ==，所以，当[0,π]x ∈时，()0f x …. 又当0,[0,π]a x ∈…时，ax ≤0，故()f x ax …. 因此，a 的取值范围是(,0]-∞.21．解：（1）因为M e 过点,A B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线+=0x y 上，且,A B 关于坐标原点O 对称，所以M 在直线y x =上，故可设(, )M a a . 因为M e 与直线x +2=0相切，所以M e 的半径为|2|r a =+.由已知得||=2AO ，又MO AO ⊥u u u u r u u u r ，故可得2224(2)a a +=+，解得=0a 或=4a .故M e 的半径=2r 或=6r .（2）存在定点(1,0)P ，使得||||MA MP -为定值. 理由如下：设(, )M x y ，由已知得M e 的半径为=|+2|,||=2r x AO .由于MO AO ⊥u u u u r u u u r ，故可得2224(2)x y x ++=+，化简得M 的轨迹方程为24y x =.因为曲线2:4C y x =是以点(1,0)P 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线，所以||=+1MP x . 因为||||=||=+2(+1)=1MA MP r MP x x ---，所以存在满足条件的定点P .22．解：（1）因为221111t t --<≤+，且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-.l的直角坐标方程为2110x +=.（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππα-<<）.C 上的点到lπ4cos 11α⎛⎫-+ ⎪=.当2π3α=-时，π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7，故C 上的点到l.23．解：（1）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c++++≥++==++.所以222111a b c a b c++≤++. （2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥ =3(+)(+)(+)a b b c a c3≥⨯⨯⨯=24.所以333()()()24a b b c c a +++++≥.。

2019年课标Ⅱ卷理数21题，典型题分析

详细解答:
以上典型习题直线与椭圆的位置关系两条直线的位置关系弦长问题三角形的面积以及基本不等式的应用等相关知识
2019年课标Ⅱ卷理数21题，典型题分析
典型试题
分析问题:本题主要考察轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系，两条直线的位置关系，弦长问题，三角形的面积以及基本不等式的应用等相关知识；通过对三角形形状的判断以及面积的最值的求解考察学生的知识迁移能力，运算求解能力及函数思想方法的应用；体现了逻辑推理和数学运算的核心素养。

2019年高考数学(文科)单元滚动精准测试卷课时05函数及其表示-有答案

课时05 函数及其表示模拟训练（分值：60分建议用时：30分钟）1.已知f (x )＝e(x ∈R)，则f (e 2)等于( ) A ．e 2B ．e C. e D ．不确定【答案】B【解析】因为f (x )＝e(x ∈R)，所以f (e 2)= e 2.下列函数中，与y ＝x 相等的函数是( ) A ．y ＝x 2B ．y ＝(x －1)2＋1C ．y ＝x 2xD ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x，x >0，0，x ＝0，－x 2|x |，x <0【答案】D【解析】A 中解析式不同，B 中定义域不同，C 中定义域不同．3.已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ 1x ，－2x x，使函数值为5的x 的值是( )A ．－2B ．2或－52C ．2或－2D ．2或－2或－52【答案】A4.设集合M={x|0≤x ≤2}，N={y|0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有( )A.①②③④B.①②③C.②③D.②【答案】C.【解析】由映射的定义，要求函数在定义域上都有图象，并且一个x 对应着一个y ，据此排除①④，选C. 5.给出四个命题： ①函数是其定义域到值域的映射；②f （x ）=是函数；③函数y=2x （x ∈N）的图象是一条直线；④f （x ）=xx2与g(x)=x 是同一个函数.其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】A6.某地一年内的气温Q (t )(单位：℃)与时间t (月份)之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为10℃.令C (t )表示时间段[0，t ]的平均气温，C (t )与t 之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是( )【答案】A【解析】C (t )表示时间段[0，t ]的平均气温，所以起点和Q (t )气温一样；又已知该年的平均气温为10℃，所以t ＝12时，C (12)＝10℃；t ＝6时，C (6)接近0，再由C (t )在[6,12]上逐渐上升，再慢慢下降至10℃知选A.7．已知a 、b 为实数，集合M ＝{b a，1}，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于 .【答案】1【解析】a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1. 8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－12x x，1x x ＜，若f (a )＝a ，则实数a 的值是__________．【答案】－1或239．下面是一个电子元件在处理数据时的流程图：(1)试确定y 与x 的函数关系式； (2)求f (－3)、f (1)的值； (3)若f (x )＝16，求x 的值.【解析】(1)y ＝(2)f (－3)＝(－3)2＋2＝11；f (1)＝(1＋2)2＝9. (3)若x ≥1，则(x ＋2)2＝16，解得x ＝2或x ＝－6(舍)；若x ＜1，则x 2＋2＝16，解得x ＝14(舍)或x ＝－14. 即x ＝2或x ＝－14.10．某商场饮料促销，规定一次购买一箱在原价48元的基础上打9折，一次购买两箱可打8.5折，一次购买三箱可打8折，一次购买三箱以上均可享受7.5折的优惠．若此饮料只整箱销售且每人每次限购10箱，试用解析法写出顾客购买的箱数x 与每箱所支付的费用y 之间的函数关系，并画出其图象．【分析】：考查函数建模及理解函数与图象的对应关系．【解析】分段求出每箱支付的费用．当x ＝1时，y ＝48×0.9；当x ＝2时，y ＝48×0.85；当x ＝3时，y ＝48×0.8；当3<x ≤10时，x ∈N 时，y ＝48×0.75. 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧48×0.9，x ＝1，48×0.85，x ＝2，48×0.8，x ＝3，48×0.75，3<x ≤10，x ∈N图象如下图所示：[新题训练] （分值：10分建议用时：10分钟）1．（5分）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f (x )的图象恰好通过n (n ∈N *)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．有下列函数：①f(x)＝sin 2x；②g(x)＝x3；③h(x)＝(13)x；④φ(x)＝ln x，其中是一阶整点函数的是____________________________________．【答案】①④12．（5分）设函数f(x)(x∈N)表示x除以2的余数，函数g(x)(x∈N)表示x除以3的余数，则对任意的x∈N，给出以下式子：①f(x)≠g(x)；②g(2x)＝2g(x)；③f(2x)＝0；④f(x)＋f(x＋3)＝1.其中正确的式子编号是________．(写出所有符合要求的式子编号)【答案】③④【解析】当x是6的倍数时，可知f(x)＝g(x)＝0，所以①不正确；容易得到当x＝2时，g(2x)＝g(4)＝1，而2g(x)＝2g(2)＝4，所以g(2x)≠2g(x)，故②错误；当x∈N时，2x一定是偶数，所以f(2x)＝0正确；当x∈N时，x和x＋3中必有一个为奇数、一个为偶数，所以f(x)和f(x＋3)中有一个为0、一个为1，所以f(x)＋f(x＋3)＝1正确．。

2019年高考数学(文科)单元滚动精准测试卷课时31几何概型-有答案

课时31几何概型模拟训练（分值：60分建议用时：30分钟）1．(2018?上海市虹口区质量测试,5分)已点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|<1的概率为( )A.14B.12C.π4D．π【答案】：C【解析】：由题意可知，当动点P位于扇形ABD内时，动点P到定点A的距离|PA|<1，根据几何概型可知，动点P到定点A的距离|PA|<1的概率为S扇形ABDS正方形ABCD＝π4，故选 C.2.(2018?辽宁实验中学月考,5分)如图，A是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为 ( )A.12B.32C.13D.14【答案】：C【解析】：当AA′的长度等于半径长度时，∠AOA′=3，由圆的对称性及几何概型得P=21 3.233．(2018?广东北江中学测试,5分)在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为一边作正方形，则此正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率为( )A.116B.18C.14D.12【答案】：C【解析】：正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间，所以正方形的边长介于 6 cm到9 cm之间．线段AB的长度为12cm，则所求概率为9－612＝144．(2018?陕西西安八校期中联考,5分）在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于12的概率为( )A.14B.12C. 34D.78【答案】：C【解析】：设任取两点所表示的数分别为x，y，则0≤x≤1且0≤y≤1.由题意知|x-y|＜12，所以所求概率为P=5. (2018·聊城东阿实高月考,5分)方程x2＋x＋n＝0(n∈(0,1))有实根的概率为( )A.12B.13C.14D.34【答案】：C【解析】：由Δ＝1－4n≥０得n≤14，又n∈(0,1)，故所求事件的概率为P＝14.6.(2018·湖南十二所联考,5分)已知平面区域U＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向区域U内随机投一点P，则点P落入区域A的概率为________．【答案】：2 9【解析】：依题意可在平面直角坐标系中作出集合U与A所表示的平面区域(如图)，由图可知S U=18，S A=4，则点P落入区域A的概率为29AUSS.7.(2018·广东恩平测试,5分)向面积为9的△ABC内任投一点P，那么△PBC的面积小于3的概率是__________．【答案】：5 9【解析】：如图，由题意，△PBC的面积小于3，则点P应落在梯形BCED内，。

2019新课标ii卷数学21题

2019新课标ii卷数学21题
2019年新课标II卷的数学21题是一道关于数列和不等式的综合题目，具体内容如下：
题目：已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，求证：对于任意
正整数n，都有a_n > 2^n。

证明：首先，我们观察数列的递推关系式a_{n+1}=2a_n+1，可以发现，对于任意正整数n，我们有：
a_{n+1}+1 = 2(a_n+1)
这说明数列{a_n+1}是一个等比数列，其首项为2，公比为2。

因此，
我们可以得到数列{a_n+1}的通项公式：
a_n+1 = 2 * 2^(n-1) = 2^n
接下来，我们对上式进行变形，得到数列{a_n}的通项公式：
a_n = 2^n - 1
现在，我们需要证明对于任意正整数n，都有a_n > 2^n。

由于a_n =
2^n - 1，我们只需证明2^n - 1 > 2^n - 2^n = 0，这显然是成立的，因为2^n是正数。

因此，对于任意正整数n，a_n > 2^n - 1 成立，即a_n > 2^n。

综上所述，我们证明了对于任意正整数n，都有a_n > 2^n。

2019届高考数学人教A版一轮复习单元质检九含解析精品

单元质检九解析几何(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2017浙江,2)椭圆=1的离心率是()A. B. C. D.2.到直线3x-4y+1=0的距离为3,且与此直线平行的直线方程是()A.3x-4y+4=0B.3x-4y+4=0或3x-4y-2=0C.3x-4y+16=0D.3x-4y+16=0或3x-4y-14=03.与圆x2+(y-2)2=1相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有()A.2条B.3条C.4条D.6条4.抛物线y2=8x的焦点到双曲线=1的渐近线的距离为()A.1B.C. D.5.已知椭圆=1(a>b>0)与双曲线=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是()A.B.C.D.6.过点A(0,3),被圆(x-1)2+y2=4截得的弦长为2的直线方程是()A.y=-x+3B.x=0或y=-x+3C.x=0或y=x+3D.x=07.若直线x-y+2=0与圆C:(x-3)2+(y-3)2=4相交于A,B,则的值为()A.-1B.0C.1D.108.将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则()A.对任意的a,b,e1>e2B.当a>b时,e1>e2;当a<b时,e1<e2C.对任意的a,b,e1<e2D.当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e29.设双曲线=1的两条渐近线与直线x=分别交于A,B两点,F为该双曲线的右焦点.若60°<∠AFB<90°,则该双曲线的离心率的取值范围是()A.(1,)B.(,2)C.(1,2)D.(,+∞)10.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线-y2=1的左顶点为A,若双曲线一条渐近线与直线AM平行,则实数a=()A. B. C.3 D.911.已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于两点A,B(A,B异于原点),抛物线的焦点为F.若双曲线的离心率为2,|AF|=7,则p=()A.3B.6C.12D.4212.已知椭圆E:=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B 两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是() A. B.C. D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2017北京,文12)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则的最大值为.14.(2017山东,文15)在平面直角坐标系xOy中,双曲线=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.15.(2017天津,文12)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A,若∠F AC=120°,则圆的方程为.16.若关于x,y的方程=1所表示的曲线C,给出下列四个命题:①若C为椭圆,则1<t<4;②若C为双曲线,则t>4或t<1;③曲线C不可能是圆;④若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则1<t<.其中正确的命题是.(把所有正确命题的序号都填在横线上)三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.18.(12分)已知圆心在x轴上的圆C过点(0,0)和(-1,1),圆D的方程为(x-4)2+y2=4.(1)求圆C的方程;(2)由圆D上的动点P向圆C作两条切线分别交y轴于A,B两点,求|AB|的取值范围.19.(12分)已知A,B是抛物线W:y=x2上的两个点,点A的坐标为(1,1),直线AB的斜率为k(k>0).设抛物线W的焦点在直线AB的下方.(1)求k的取值范围;(2)设C为W上一点,且AB⊥AC,过B,C两点分别作W的切线,记两切线的交点为D,判断四边形ABDC是否为梯形,并说明理由.20.(12分)已知椭圆C1:=1(a>b>0)与椭圆C2:+y2=1有相同的离心率,经过椭圆C2的左顶点作直线l,与椭圆C2相交于P,Q两点,与椭圆C1相交于A,B两点.(1)若直线y=-x经过线段PQ的中点M,求直线l的方程:(2)若存在直线l,使得,求b的取值范围.21.(12分)已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0).(1)若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2,求双曲线的方程;(2)以原点O为圆心,c为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为A,过A作圆的切线,斜率为-,求双曲线的离心率.22.(12分)(2017天津,文20)已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),△EF A的面积为.(1)求椭圆的离心率;(2)设点Q在线段AE上,|FQ|=c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PM∥QN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.①求直线FP的斜率;②求椭圆的方程.答案：1.B解析:e=,故选B.2.D解析:设所求直线方程为3x-4y+m=0,由=3,解得m=16或m=-14.即所求直线方程为3x-4y+16=0或3x-4y-14=0.3.C解析:过原点与圆x2+(y-2)2=1相切的直线有2条;斜率为-1且与圆x2+(y-2)2=1相切的直线也有2条,且此两条切线不过原点,由此可得与圆x2+(y-2)2=1相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有4条.4.A解析:抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),其到双曲线=1的渐近线x±y=0的距离d==1.5.D解析:由题意可知2n2=2m2+c2,又m2+n2=c2,所以m=.因为c是a,m的等比中项,所以c2=am,代入m=,解得e=.6.B解析:当弦所在的直线斜率不存在时,即弦所在直线方程为x=0;此时被圆(x-1)2+y2=4截得的弦长为2.当弦所在的直线斜率存在时,设弦所在直线l的方程为y=kx+3,即kx-y+3=0.因为弦长为2,圆的半径为2,所以弦心距为=1.由点到直线距离公式得=1,解得k=-.综上所述,所求直线方程为x=0或y=-x+3.7.B解析:依题意,圆心C(3,3)到直线x-y+2=0的距离为,从而易得cos∠ACB=,即∠ACB=45°,所以∠ACB=90°,所以=0,故选B.8.D解析:由条件知=1+=1+,当a>b时,,则,所以e1<e2.当a<b时,,则,所以e1>e2.所以,当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2.9.B解析:双曲线=1的两条渐近线方程为y=±x,当x=时,y=±,所以不妨令A,B.因为60°<∠AFB<90°,所以<k FB<1,即<1,即<1.所以<1,即1<e2-1<3,故<e<2.10.A解析:由题意可知,抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-4,则p=8,所以点M(1,4).因为双曲线-y2=1的左顶点为A(-,0),所以直线AM的斜率为.由题意得,解得a=.11.B解析:因为双曲线的离心率为2,所以e2==4,即b2=3a2,所以双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±x,代入y2=2px(p>0),得x=p或x=0,故x A=x B=p.又因为|AF|=x A+p+=7,所以p=6.12.A解析:如图,取椭圆的左焦点F1,连接AF1,BF1.由椭圆的对称性知四边形AF1BF是平行四边形,则|AF|+|BF|=|AF1|+|AF|=2a=4.故a=2.不妨设M(0,b),则,即b≥1.所以e=.因为0<e<1,所以0<e≤.故选A.13.6解析:(方法一)设P(cos α,sin α),α∈R,则=(2,0),=(cos α+2,sin α),=2cos α+4.当α=2kπ,k∈Z时,2cos α+4取得最大值,最大值为6.故的最大值为6.(方法二)设P(x,y),x2+y2=1,-1≤x≤1,=(2,0),=(x+2,y),=2x+4,故的最大值为6.14.y=±x解析:抛物线x2=2py的焦点F,准线方程为y=-.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1++y2+=y1+y2+p=4|OF|=4·=2p.所以y1+y2=p.联立双曲线与抛物线方程得消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.所以y1+y2==p,所以.所以该双曲线的渐近线方程为y=±x.15.(x+1)2+(y-)2=1解析:∵抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,由题意可设圆C的方程为(x+1)2+(y-b)2=1(b>0),则C(-1,b),A(0,b).∵∠F AC=120°,∴k AF=tan 120°=-,直线AF的方程为y=-x+.∵点A在直线AF上,∴b=.则圆的方程为(x+1)2+(y-)2=1.16.②解析:若C为椭圆,则有4-t>0,t-1>0,且4-t≠t-1,解得1<t<4,且t≠,所以①不正确;若C为双曲线,则有(4-t)(t-1)<0,解得t>4或t<1,所以②正确;若t=时,该曲线表示圆,所以③不正确;若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则4-t>t-1>0,解得1<t<,所以④错误.17.解:(1)由得圆心C(3,2).又因为圆C的半径为1,所以圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=1.显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为y=kx+3,即kx-y+3=0,则=1,所以|3k+1|=,即2k(4k+3)=0.所以k=0或k=-.所以所求圆C的切线方程为y=3或y=-x+3,即y=3或3x+4y-12=0.(2)由圆C的圆心在直线l:y=2x-4上,可设圆心C为(a,2a-4),则圆C的方程为(x-a)2+[y-(2a-4)]2=1.又因为|MA|=2|MO|,所以设M(x,y),则=2,整理得x2+(y+1)2=4.设方程x2+(y+1)2=4表示的是圆D,所以点M既在圆C上又在圆D上,即圆C和圆D有交点,所以2-1≤≤2+1,解得a的取值范围为.18.解:(1)过两点(0,0)和(-1,1)的直线的斜率为-1,则线段AB的垂直平分线方程为y-=1×,整理得y=x+1.取y=0,得x=-1.所以圆C的圆心坐标为(-1,0),半径为1,所以圆C的方程为(x+1)2+y2=1.(2)设P(x0,y0),A(0,a),B(0,b),则直线P A方程为,整理得(y0-a)x-x0y+ax0=0.因为直线P A与圆C相切,可得=1,化简得(x0+2)a2-2y0a-x0=0.同理可得PB方程(x0+2)b2-2y0b-x0=0,所以a,b为方程(x0+2)x2-2y0x-x0=0的两根,所以|AB|=|a-b|===2,令t=x0+2∈[4,8],则|AB|=2,求得|AB|min=,|AB|max=.|AB|的取值范围是.19.解:(1)抛物线y=x2的焦点为.由题意,得直线AB的方程为y-1=k(x-1),令x=0,得y=1-k,即直线AB与y轴相交于点(0,1-k).因为抛物线W的焦点在直线AB的下方,所以1-k>,解得k<.因为k>0,所以0<k<.即k的取值范围是.(2)结论:四边形ABDC不可能为梯形.理由如下:假设四边形ABDC为梯形.由题意,设B(x1,),C(x2,),D(x3,y3),联立方程消去y,得x2-kx+k-1=0,由根与系数的关系,得1+x1=k,所以x1=k-1.同理,得x2=--1.对函数y=x2求导,得y'=2x,所以抛物线y=x2在点B处的切线BD的斜率为2x1=2k-2,抛物线y=x2在点C处的切线CD的斜率为2x2=--2.由四边形ABDC为梯形,得AB∥CD或AC∥BD.若AB∥CD,则k=--2,即k2+2k+2=0,因为方程k2+2k+2=0无解,所以AB与CD不平行.若AC∥BD,则-=2k-2,即2k2-2k+1=0,因为方程2k2-2k+1=0无解,所以AC与BD不平行.所以四边形ABDC不是梯形,与假设矛盾.因此四边形ABDC不可能为梯形.20.解:(1)设P(-2,0),Q(x,y),则线段PQ的中点M为,则=0,即x+y=2.联立解得所以直线l的方程为y=0或y-0=(x+2),化为x-4y+2=0.(2)由题意,得椭圆C2:+y2=1的离心率e=.设2c是椭圆C1:=1(a>b>0)的焦距,则.由a2=b2+c2,可得a=2b,c=b,椭圆C1的方程可化为x2+4y2=4b2.设直线l的方程为y=k(x+2),P(x3,y3),Q(x4,y4),A(x1,y1),B(x2,y2).联立消去y,得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0,所以x3+x4=,x3x4=,|PQ|=.联立消去y得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4b2=0,所以x1+x2=,x1x2=,|AB|==.因为,所以||=3||,即3×.所以b2=1+∈(1,9],即b∈(1,3].所以b的取值范围是(1,3].21.解:(1)双曲线=1的渐近线方程为y=±x,由双曲线的一条渐近线方程为y=x,可得=1,解得a=b.因为c==2,所以a=b=.由此可得双曲线方程为=1.(2)设A的坐标为(m,n),可得直线AO的斜率满足k=,即m=n.①因为以点O为圆心,c为半径的圆的方程为x2+y2=c2,所以将①代入圆的方程,得3n2+n2=c2,解得n=c,m=c.将点A代入双曲线方程,得=1,化简得c2b2-c2a2=a2b2.又因为c2=a2+b2,所以上式化简整理得c4-2c2a2+a4=0.两边都除以a4,整理得3e4-8e2+4=0,解得e2=或e2=2.因为双曲线的离心率e>1,所以该双曲线的离心率e=(负值舍去).22.解:(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得(c+a)c=.又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.又因为0<e<1,解得e=.所以,椭圆的离心率为.(2)①依题意,设直线FP的方程为x=my-c(m>0),则直线FP的斜率为.由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为=1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=,y=,即点Q的坐标为.由已知|FQ|=c,有,整理得3m2-4m=0,所以m=,即直线FP的斜率为.②由a=2c,可得b=c,故椭圆方程可以表示为=1.由①得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0,解得x=-(舍去)或x=c.因此可得点P,进而可得|FP|=,所以|PQ|=|FP|-|FQ|==c.由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.因为QN⊥FP,所以|QN|=|FQ|·tan∠QFN=,所以△FQN的面积为|FQ||QN|=,同理△FPM的面积等于,由四边形PQNM的面积为3c,得=3c,整理得c2=2c,又由c>0,得c=2.所以,椭圆的方程为=1.。

2019-2020学年高中数学课时跟踪检测十垂直关系的性质北师大版必修

教课资料范本2019-2020学年高中数学课时追踪检测十垂直关系的性质北师大版必修编辑： __________________时间： __________________课时追踪检测（十）垂直关系的性质一、基本能力达标1．在圆柱的一个底面上任取一点( 该点不在底面圆周上 ) 、过该点作另一个底面的垂线、则这条垂线与圆柱的母线所在直线的地点关系是()A．订交B．平行C．异面D．订交或平行分析：选B因为这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面、因此它们平行．2．平面α⊥平面β、直线 a∥α、则()A． a⊥βB． a∥βC． a与β订交 D ．以上都有可能分析：选D因为a∥α、平面α ⊥平面β、因此直线 a与β垂直、订交、平行都有可能．应选 D.3．已知三个平面α、β、γ、若β ⊥γ、且α与γ订交但不垂直、则( )A．存在 aα、 a⊥γ B．存在 aα、a∥γC．随意bβ、 b⊥ γ．随意 bβ、b∥γD分析：选B 因为三个平面α 、β、γ、若β⊥γ 、且α与β订交但不垂直、则可知存在 aα、a∥γ、选 B.4．已知平面α、β和直线 m、l 、则以下命题中正确的选项是() A．若α⊥β、α∩ β＝m、l ⊥m、则 l ⊥βB．若α∩β＝m、lα、l ⊥m、则 l ⊥βC．若α⊥β、lα、则 l ⊥ βD．若α⊥β、α∩βm l αl ml⊥β＝、、⊥ 、则分析：选D选项 A缺乏了条件： lα；选项B缺乏了条件：α⊥β ；选项C缺乏了条件：α∩β＝m、l ⊥m；选项 D具备了面面垂直的性质定理的条件．5.如图、点 P为四边形 ABCD外一点、平面 PAD⊥平面 ABCD、PA＝PD、E为AD的中点、则以下结论不必定建立的是()A． PE⊥ACB． PE⊥BCC．平面 PBE⊥平面 ABCDD．平面 PBE⊥平面 PAD分析：选D因为PA＝PD、E为AD的中点、因此 PE⊥AD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD、平面 PAD∩平面 ABCD＝AD、因此 PE⊥平面 ABCD、因此 PE⊥ AC、PE⊥BC、因此 A、B建立．又 PE平面PBE、因此平面 PBE⊥平面 ABCD、因此 C建立．若平面 PBE⊥平面 PAD、则 AD⊥平面 PBE、必有 AD⊥BE、此关系不必定建立、应选D.6.如图、平面 ABC⊥平面 ABD、∠ ACB＝90°、 CA＝CB、△ABD是正三角形、 O为AB中点、则图中直角三角形的个数为 ________．分析：∵ CA＝CB、O为AB的中点、∴ CO⊥AB.又平面 ABC⊥平面 ABD、交线为 AB、∴CO⊥平面 ABD.∵OD 平面 ABD、∴ CO⊥OD、∴△ COD为直角三角形．因此图中的直角三角形有△AOC、△ COB、△ ABC、△ AOD、△ BOD、△COD共6个．答案：67.如图、直二面角α- l - β、点 A∈α、 AC⊥l 、C为垂足、B∈ β、BD⊥l 、D为垂足、若 AB＝2、 AC＝BD＝1、则CD的长为 ________．分析：如图、连结 BC、∵二角面 α- l - β为直二面角、AC α、且 AC ⊥ l 、∴ AC ⊥β .又 BC β 、∴ AC ⊥BC 、22 2∴ BC ＝ AB － AC ＝、3 BD CD 又 ⊥ 、∴ CD ＝ BC2－BD2＝ 2.答案： 28．已知 m 、n 是直线、 α、β 、γ是平面、给出以下说法：①若 α⊥ β、α ∩β＝m 、n ⊥m 、则 n ⊥ α或n ⊥β ；②若 α∥ β、α ∩γ＝m 、β ∩γ＝ n 、则 m ∥n ；③若 m 不垂直于 α、则 m 不行能垂直于 α 内的无数条直线；④若 α∩ β＝m 、n ∥m 且n? α、 n? β、则 n ∥ α且n ∥β.此中正确的说法序号是 ________(注：把你以为正确的说法的序号都填上) ．分析：①错、垂直于交线、不必定垂直平面；②对；③错、凡是平面内垂直于 m 的射影的直线、 m 都与它们垂直；④对．答案：②④9.如图、 PA⊥平面 ABD、PC⊥平面 BCD、 E、 F分别为 BC、CF CECD上的点、且 EF⊥AC. 求证：＝.DC BC证明：∵ PA⊥平面 ABD、PC⊥平面 BCD、∴PA⊥BD、PC⊥ BD、PC⊥ EF.又 PA∩PC＝P、∴ BD⊥平面 PAC.又 EF⊥AC、PC∩ AC＝C、∴ EF⊥平面PAC、∴ EF∥BD、CF CE∴＝.DC BC10．如图、正方形 ABCD和四边形 ACEF所在的平面相互垂直、 CE⊥AC、EF∥AC、AB＝2、 CE＝EF＝1.(1)求证： AF∥平面 BDE；(2)求证： CF⊥平面 BDE.证明： (1) 设 AC与BD交于点 G.1因为 EF∥ AC、且 EF＝1、 AG＝2AC＝1.因此四边形 AGEF为平行四边形．因此 AF∥ EG.因为 EG 平面 BDE、 AF?平面 BDE、因此 AF∥平面 BDE.(2) 连结 FG.因为 EF∥ CG、EF＝CG＝1、且 CE＝1、因此四边形 CEFG为菱形、因此 CF⊥ EG.因为四边形 ABCD为正方形、因此 BD⊥ AC.又因为平面 ACEF⊥平面 ABCD、CE⊥AC、且平面 ACEF∩平面 ABCD＝ AC、因此 CE⊥平面 ABCD、因此 CE⊥ BD.又 AC∩CE＝C、因此 BD⊥平面ACEF、因此 CF⊥ BD.又 BD∩EG＝G、因此 CF⊥平面 BDE.二、综合能力提高1．已知 l 、m、n是三条不一样的直线、α是一平面．以下命题中正确的个数为()①若 l ∥m、m∥n、l ⊥α、则 n⊥ α；②若 l ∥m、m⊥α、 n⊥α、则 l ∥n；③若l∥αl mm α.、⊥、则⊥A．1B．2C．3D．0分析：选B 关于①、因为 l ∥m、m∥n、因此 l ∥n、又 l ⊥α、因此 n⊥α、即①正确；关于②、因为 m⊥α、 n⊥α、因此 m∥n、又 l ∥m、因此 l ∥ n、即②正确；关于③、因为 l ∥α、 l ⊥ m、因此 m∥α或mα或m⊥ α或m与α斜交、即③错误．m nα、β、γ是三个不一样的平面、2．设、是两条不一样的直线、给出以下命题：①若α⊥ γ、β ⊥γ、则α∥β ；②若α⊥β、m⊥β、m? α、则 m∥α；③若α⊥ β、m∥α、则 m⊥β.此中正确命题的个数为()A．0B．1C．2D．3分析：选B①中、α、β可能平行、也可能订交、不正确；②中、α⊥β、m⊥β、 m? α时、只可能有 m∥α、正确；③中、m与β的地点关系可能是 m∥β或m β或 m与β订交、不正确．综上、可知正确命题的个数为 1、应选 B.3．以下图、三棱锥 P- ABC的底面在平面α上、且 AC⊥PC、平面 PAC⊥平面 PBC、点 P、A、B是定点、则动点 C运动形成的图形是()A．一条线段B．一条直线C．一个圆D．一个圆、但要去掉两个点分析：选D∵平面PAC⊥平面PBC、AC⊥PC、AC平面PAC、且平面 PAC∩平面 PBC＝PC、∴ AC⊥平面 PBC.又∵ BC平面PBC、∴ AC⊥BC、∴∠ ACB＝90°、∴动点 C运动形成的图形是以 AB为直径的圆、除掉 A和B两点、应选 D.4．在三棱锥 P- ABC中、平面 PAC⊥平面 ABC、∠ PCA＝90°、△ABC是边长为 4的正三角形、 PC＝4、 M是AB边上的一动点、则PM的最小值为()A．2 3B．2 7C．4 3D．4 7分析：选B如图、连结CM、则由题意PC⊥平面ABC、可得PC⊥CM、因此 PM＝＋、PC2 CM2要求 PM的最小值只要求出 CM的最小值即可、在△ ABC中、3当CM⊥ AB时CM有最小值、此时有 CM＝4×2＝2 3、因此 PM的最小值为27.5.如图、若边长为 4和3与边长为 4和2的两个矩形所在的平面相互垂直、则cos α∶cos β＝________.分析：由题意、两个矩形的对角线长分别为5,2 5、因此 cos α＝525＋4＝525、 cos β＝、因此 cos α∶ cos β＝ 5∶ 2.2929答案：5∶26．如图、平行四边形 ABCD中、 AB⊥ BD、沿 BD将△ ABD折起、使平面 ABD⊥平面 BCD、连结 AC、则在四周体 ABCD的四个面中、相互垂直的平面的对数为________．分析：因为平面 ABD⊥平面 BCD、平面 ABD∩平面 BCD＝ BD、AB⊥ BD、因此 AB⊥平面 BCD.因此平面 ABC⊥平面 BCD.在折起前、因为 AB⊥ BD、AB∥CD、因此 CD⊥BD. 又因为平面 ABD⊥平面 BCD、因此 CD⊥平面 ABD、因此平面 ACD⊥平面 ABD、共 3对．7. (20xx ·全国卷Ⅲ ) 图1是由矩形 ADEB、Rt△ABC和菱形 BFGC构成的一个平面图形、此中AB＝1、 BE＝BF＝2、∠FBC＝60°. 将其沿 AB、BC折起使得 BE与BF重合、连结 DG、如图 2.(1)证明：图 2中的 A、C、 G、 D四点共面、且平面 ABC⊥平面 BCGE；(2)求图 2中的四边形 ACGD的面积．解： (1) 证明：由已知得 AD∥ BE、CG∥BE、因此 AD∥ CG、因此 AD、 CG确立一个平面、进而 A、C、G、D四点共面．由已知得 AB⊥BE、AB⊥BC、且 BE∩BC＝ B、因此 AB⊥平面 BCGE.又因为 AB? 平面 ABC、因此平面 ABC⊥平面 BCGE.(2)取 CG的中点 M、连结 EM、DM.因为 AB∥ DE、AB⊥平面 BCGE、因此 DE⊥平面 BCGE、因此 DE⊥ CG.因为四边形 BCGE是菱形、且∠ EBC＝60°、因此 EM⊥ CG、又 DE∩EM＝E、因此 CG⊥平面 DEM.因此 DM⊥ CG.在Rt△ DEM中、 DE＝1、 EM＝3、故 DM＝2.因此四边形 ACGD的面积为 4.研究应用题8.以下图、在斜三棱柱A1B1C1- ABC中、底面是等腰三角形、AB＝AC、D是BC的中点、侧面 BB1C1C⊥底面 ABC.(1) 求证： AD⊥CC1；(2)过侧面 BB1C1C的对角线 BC1的平面交侧棱于点 M、若 AM＝MA1、求证：截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C；(3)若截面 MBC1⊥平面 BB1C1C、则 AM＝MA1吗？请表达你的判断原因．解： (1) 证明：∵ AB＝AC、D是BC的中点、∴AD⊥BC.∵底面 ABC⊥平面 BB1C1C、底面 ABC∩平面 BB1C1C＝BC、∴AD⊥平面 BB1 C1C.又 CC1平面 BB1C1C、∴AD⊥CC1.(2)证明：延伸 B1A1与BM交于点 N、连结 C1N.∵AM＝MA1、∴NA1＝A1B1.∵A1C1＝A1N＝A1B1、∴C1N⊥B1C1、∴C1N⊥侧面 BB1C1C.∴截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C.(3)结论正确．证明以下：过 M作 ME⊥BC1于点 E、连结 DE. ∵截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C、∴ME⊥侧面 BB1 C1C.又 AD⊥侧面 BB1 C1C、∴ME∥AD、∴ M、E、D、A四点共面．∵ MA∥侧面 BB1 C1C、∴AM∥DE.∴四边形 AMED是平行四边形、又 AM∥CC1、∴ DE∥CC1.1∵BD＝CD、∴ DE＝ CC1、21 1∴AM＝ CC1＝ AA1.2 2∴AM＝MA1.。

2019年高考试题——数学文(新课标Ⅰ卷)Word版解析版

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设3i12iz -=+，则z =A. 2B.C.D. 1【答案】C 【解析】【分析】先由复数的除法运算（分母实数化），求得z ，再求z ．【详解】因为312iz i -=+，所以(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-，所以z ==，故选C ．【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．2.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则C U B A I A. {}1,6 B. {}1,7C. {}6,7D. {}1,6,7【答案】C 【解析】【分析】先求U A ð，再求U B A ⋂ð．【详解】由已知得{}1,6,7U C A =，所以U B C A ⋂={6,7}，故选C ．【点睛】本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案．3.已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. b c a <<【答案】B 【解析】【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c 【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是51-（51-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190cm【答案】B【解析】【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．【详解】设人体脖子下端至肚脐的长为x cm ，肚脐至腿根的长为y cm ，则2626511052x x y +-==+，得42.07, 5.15x cm y cm ≈≈．又其腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm ．故选B ．【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．5.函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A.B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．【详解】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f πππππ++==>2()01f πππ=>-+．故选D ．【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．6.某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A. 8号学生 B. 200号学生C. 616号学生D. 815号学生【答案】C 【解析】【分析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案．【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n=+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意；若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ．【点睛】本题主要考查系统抽样.7.tan255°= A. －2B. －C. 2【答案】D 【解析】【分析】本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．【详解】详解：000000tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)=+==+=0001tan 45tan 3021tan 45tan 30+==+- 【点睛】三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．8.已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为A. π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B【解析】【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b-⊥得出向量,a b的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为()a b b-⊥，所以2()a b b a b b-⋅=⋅-=0，所以2a b b⋅=，所以cosθ=22||12||2a b ba b b⋅==⋅，所以a与b的夹角为3π，故选B．【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．9.如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A. A=12A+B. A=12A+ C. A=112A+D. A=112A+【答案】A【解析】【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择．【详解】执行第1次，1,122A k ==≤是，因为第一次应该计算1122+=12A +，1k k =+=2，循环，执行第2次，22k =≤，是，因为第二次应该计算112122++=12A +，1k k =+=3，循环，执行第3次，22k =≤，否，输出，故循环体为12A A=+，故选A ．【点睛】秒杀速解认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为12A A=+．10.双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为A. 2sin40°B. 2cos40°C.1sin50︒D.1cos50︒【答案】D 【解析】【分析】由双曲线渐近线定义可得tan130,tan 50b b a a -=︒∴=︒，再利用c e a == 【详解】由已知可得tan130,tan 50b ba a-=︒∴=︒， 1cos50c e a ∴======︒，故选D ．【点睛】对于双曲线：()222210,0x y a b a b -=>>，有c e a ==对于椭圆()222210x y a b a b +=>>，有c e a ==11.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc =A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】A 【解析】【分析】利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 【详解】详解：由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得22222141313cos ,,,464224242b c a c c c b A bc bc b c +---==∴=-∴=∴=⨯=，故选A ．【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．12.已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A. 2212x y +=B. 22132x y +=C. 22143x y +=D. 22154x y +=【答案】B 【解析】【分析】由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，得12AF n =，在1AF B △中求得11cos 3F AB ∠=，再在12AF F △中，由余弦定理得n =，从而可求解. 【详解】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得n = 22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =．2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019全国1卷高考数学文科含部分答案word版

2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设312iz i-=+，则z = A ．2 B ．3 C ．2 D ．12．已知集合{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}2,3,4,5A =，{}2,3,6,7B =，则U B C A = A ．{}1,6 B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,73．已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（510.6182-≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-。

若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是 A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm5．函数()2sin cos x xf x x x +=+在[],ππ-的图象大致为6．某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测试，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生7．tan 255︒= A ．23--B ．23-+C ．23-D ．23+8．已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为（） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π9．右图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．12A A =+ B ．12A A=+ C ．112A A =+D ．112A A=+10．双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的一条渐近线的倾斜角为130︒，则C 的离心率为A ．2sin 40︒B ．2cos40︒C ．1sin 50︒D ．1cos50︒11．△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin a A b B c C -=，1cos 4A =-，则b c= A ．6B ．5C ．4D ．312．已知椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点，若222AF F B =，1AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年全国统一高考数学试卷(文)(新课标Ⅰ)(解析版)

2019年全国统一高考数学试卷（文）（新课标Ⅰ）一、选择题 1. 设x =3−i 1+2i，则|x|=( )A.2B.√3C.√2D.1【答案】 C【考点】复数的模【解析】此题暂无解析【解答】解：x =3−i1+2i =(3−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=15−75i ，所以|x|=√(15)2+(−75)2=√2，故选C .2. 已知集合U ={1,2,3,4,5,6,7},A ={2,3,4,5},B ={2,3,6,7}.则B ∩∁U A =（） A.{1,6} B.{1,7} C.{6,7} D.{1,6,7} 【答案】 C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：∁U A ={1,6,7}，所以B ∩∁U A ={6,7}，故选C .3. 已知a =log 20.2，b =20.2，c =0.20.3，则( )A.a <b <cB.a <c <bC.c <a <bD.b <c <a 【答案】 B【考点】指数式、对数式的综合比较【解析】此题暂无解析【解答】解：由已知得：a =log 20.2<log 21=0；b =20.2>20=1；c =0.20.3<0.20=1且0<c <1；∴ a <c <b ，故选B .4. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐到足底的长度之比是√5−12（√5−12=0.618，称之为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此。

此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚挤的长度之比也是√5−12.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是( )A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm【答案】 B【考点】黄金分割法—0.618法【解析】此题暂无解析【解答】解：记其咽喉至肚挤的长度为xcm ，依题，有：26x=√5−12，则：x =√5−1≈42.07，记其身高为y ，则y =26+x +105=131+x ≈173.08，故选B .5. 函数f(x)=sinx+x cosx+x 2的[−π,π]图像大致为( )A.B.C.D.【答案】D【考点】函数图象的作法【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ f(−x)=sin(−x)+(−x)cos(−x)+(−x)=−sinx+xcosx+x=−f(x)，∴ f(x)为奇函数，可排除A，而f(π)=π−1+π2>0，∴可排除B和C.故选D.6. 某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2,…,1000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体制测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是( )A.8号学生B.200号学生C.616号学生D.815号学生【答案】C【考点】系统抽样方法【解析】此题暂无解析【解答】解：由已知将1000名学生分成100组，每组10名学生，用系统抽样46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{a n}，公差d=10，所以a n= 6+10(n−1)=10n−4(n∈N∗)，若8=10n −4，则n =65，不符合题意；若200=10n −4，则n =20.4，不合题意；若616=10n −4，则n =62，符合题意；若815=10n −4，则n =81.9不合题意. 故选C .7. tan255∘=（）. A.−2−√3 B.−2+√3 C.2−√3 D.2+√3 【答案】 D【考点】两角和与差的正切公式三角函数的恒等变换及化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：tan255∘=tan (180∘+75∘) =tan75∘=tan (45∘+30∘) =tan45∘+tan30∘1−tan45∘tan30∘ =1+√331−√33 =2+√3. 故选D .8. 已知非零向量a →,b →满足|a →|=2|b →|，且(a →−b →)⊥b →，则a →与b →的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】 B【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系数量积表示两个向量的夹角平面向量数量积的运算【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ (a →−b →)⊥b →，|a →|=2|b →|，∴ (a →−b →)⋅b →=a →⋅b →−b →2 =|a →||b →|cos <a →,b →>−|b →|2=(2cos <a →,b →>−1)|b →|2=0，而：|b →|≠0，∴ 2cos <a →,b →>−1=0，由：<a →,b →>∈[0,π]知：<a →,b →>=π3.故选B .9. 下图是求12+12+12的程序框图，图中空白框中应填入( )A.A =12+A B.A =2+1A C.A =11+2A D.A =1+12A【答案】 A【考点】程序框图【解析】此题暂无解析【解答】解：空白框填12+A 时，当k =1, A =12+12,当k =2,A =12+12+12,满足题意. 故选A .10. 双曲线C:x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线的倾斜角为130∘，则C 的离心率为（）. A.2sin40∘ B.2cos40∘C.1sin50∘D.1cos50∘【答案】 D【考点】双曲线的渐近线双曲线的离心率直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得tan130∘=−ba ，则tan50∘=ba ，即sin 250∘cos 250∘=b 2a 2=c 2−a 2a 2=e 2−1,1cos 250∘=e 2,e =1cos50∘.故选D .11. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知asinA −bsinB =4csinC,cosA =−14，则bc =（）A.6B.5C.4D.3【答案】 A【考点】余弦定理正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：由正弦定理知a 2−b 2=4c 2，则b 2+c 2−a 2=−3c 2=2bccosA ，即−3c 2=2bc (−14)，解得:bc =6. 故选A .12. 已知椭圆C的焦点为F1(−1,0),F2(1,0)，过F2的直线与C交于A,B两点，若|AF2|= 2|F2B|，|AB|=|BF1|，则C的方程为( )A.x22+y2=1 B.x23+y22=1C.x24+y23=1 D.x25+y24=1【答案】B【考点】直线与椭圆的位置关系椭圆的定义和性质余弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：由定义|AF1|+|BF1|+|AB|=4a，|BF2|+|BF1|=2a，|AF2|=2|F2B|及|AB|=|BF1|，得|AF1|=|AF2|=a，|BF1|=3a2，|BF2|=a2，由∠AF2F1+∠BF2F1=π，得cos∠AF2F1+cos∠BF2F1=0，(2c)2+(a2)2−(32a)22×2c×a2+(2c)2+a2−a22×2c×a=0，解得a2=3, b2=2.故选B.二、填空题13. 曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为________.【答案】y=3x【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】解：∵点(0,0)在曲线上，∴(0,0)是切点，求导得：y′=3(2x+1)e x+3(x2+x)e x=3e x(x2+3x+1),∴切线斜率k=y′|x=0=3，又∵切线过切点(0,0)，∴切线方程为y=3x.故答案为：y=3x.14. 记S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，S3=34,则S4=________. 【答案】58【考点】等比数列的前n项和【解析】此题暂无解析【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，则S3=a1+a1q+a1q2=34,因为a1=1，解得q=−12,S4=34+a1q3=34−18=58.故答案为：58.15. 函数f(x)=sin(2x+3π2)−3cosx的最小值为________. 【答案】−4【考点】二次函数的应用二倍角的余弦公式两角和与差的正弦公式二次函数在闭区间上的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：f(x)=sin(2x+3π2)−3cosx=sin2xcos 3π2+sin3π2cos2x−3cosx=−(cos2x+3cosx)=−2cos2x−3cosx+1,设cosx=m,m∈[−1,1]，则f(x)=−2m2−3m+1，由二次函数图象可知，当m=1时f(x)min=−4.故答案为：−4.16. 已知∠ACB=90∘，P为平面ABC外的一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为√3，那么P到平面ABC的距离为________.【答案】√2【考点】点、线、面间的距离计算直线与平面垂直的判定【解析】此题暂无解析【解答】解：设PE⊥BC，PF⊥AC，PO⊥平面ABC，如图连接EO,FO, CO.因为PO⊥平面ABC，所以PO⊥FO，PO⊥EO.又因为PF=PE,所以FO=EO.因为CE⊥PE,CE⊥PO，所以CE⊥平面POE.因为OE在平面POE上,所以CE⊥OE，同理CF⊥OF.所以CO为∠ACB的角平分线因为∠ACB=90∘所以∠OCE=45∘=∠EOC因为PC=2,PE=√3,所以CE=√22−3=1=OE，所以OC=√1+1=√2.在△POC中PO⊥OC，PC=2.所以PO=√22−2=√2.故答案为：√2.三、解答题17. 某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表；(1)分别估算男、女顾客对该商场服务满意的概率？(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)【答案】=0.8，解：(1)由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为4050因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.=0.6，女顾客中对该商场服务满意的比率为3050因此女顾客对该商场服务的概率的估计值为0.6.≈4.762.(2)K2=100×(40×20−30×10)250×50×70×30由于4.762>3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. 【考点】独立性检验用样本的频率分布估计总体分布【解析】此题暂无解析【解答】=0.8，解：(1)由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为4050因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.=0.6，女顾客中对该商场服务满意的比率为3050因此女顾客对该商场服务的概率的估计值为0.6.(2)K2=100×(40×20−30×10)2≈4.762.50×50×70×30由于4.762>3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.18. 记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知S9=−a5.(1)若a3=4，求{a n}的通项公式；(2)若a1>0，求使得S n>a n的n的取值范围.【答案】解：(1)设{a n}的公差为d,由S9=−a5得a1+4d=0.由a3=4得a1+2d=4,于是a1=8,d=−2.因此{a n}的通项公式为a n=10−2n.(2)由(1)得a1=−4d，故a n=(n−5)d,S n=n(n−9)d2.由a1>0知d<0，故S n≥a n等价于n2−11n+10≤0，解得1≤n≤10.所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N∗}.【考点】数列与不等式的综合等差数列的前n项和等差数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)设{a n}的公差为d,由S9=−a5得a1+4d=0.由a3=4得a1+2d=4,于是a1=8,d=−2.因此{a n}的通项公式为a n=10−2n.(2)由(1)得a1=−4d，故a n=(n−5)d,S n=n(n−9)d2.由a1>0知d<0，故S n≥a n等价于n2−11n+10≤0，解得1≤n≤10.所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N∗}.19. 如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD= 60∘,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.(1)证明：MN//平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离.【答案】解：(1)连接B1C,ME.因为M,E分别为BB1，BC的中点，所以ME//B1C，且ME=12B1C.又因为N为A1D的中点，所以ND=12A1D.由题设知A1B1平面且相等DC，可得B1C平行且相等A1D，故ME平行且相等ND，因此四边形MNDE为平行四边形，MN//ED.又MN平面C1DE，所以MN//平面C1DE.(2)过C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得DE⊥BC,DE⊥C1C，所以DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH.从而CH⊥平面C1DE，故CH的长即为C到平面C1DE的距离，由已知可得CE=1, C1C=4，所以C1E=√17，故CH=4√1717.从而点C到平面C1DE的距离为4√1717.【考点】两条直线垂直的判定直线与平面垂直的性质直线与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)连接B1C,ME.因为M,E分别为BB1，BC的中点，所以ME//B1C，且ME=12B1C.又因为N为A1D的中点，所以ND=12A1D.由题设知A1B1平面且相等DC，可得B1C平行且相等A1D，故ME平行且相等ND，因此四边形MNDE为平行四边形，MN//ED.又MN平面C1DE，所以MN//平面C1DE.(2)过C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得DE⊥BC,DE⊥C1C，所以DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH.从而CH⊥平面C1DE，故CH的长即为C到平面C1DE的距离，由已知可得CE=1, C1C=4，所以C1E=√17，故CH=4√1717.从而点C到平面C1DE的距离为4√1717.20. 已知函数f(x)=2sinx−xcosx−x，f′(x)是f(x)的导数.(1)证明：f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点；(2)若x∈[0,π]时，f(x)≥ax，求a的取值范围.【答案】(1)证明：设g(x)=f′(x)，则g(x)=cosx+xsinx−1，g′(x)=xcosx，当x∈(0,π2)时，g′(x)>0；当x∈(π2,π)时，g′(x)<0，所以g(x)在(0,π2)单调递增，在(π2,π)单调递减.又g(0)=0，g(π2)>0，g(π)=−2，故g(x)在(0,π)存在唯一零点.所以f′(x)在(0,π)存在唯一零点.(2)解：由题设知f(π)≥aπ，f(π)=0，可得a≤0. 由(1)知，f′(x)在(0,π)只有一个零点，设为x0，且当x∈(0,x0)时，f′(x)>0；当x∈(x0,π)时，f′(x)<0，所以f(x)在(0,x0)单调递增，在(x0,π)单调递减.又f(0)=0,f(π)=0，所以当x∈[0,π]时，f(x)≥0.又当a≤0，x∈[0,π]时，ax≤0，故f(x)≥aπ.因此，a的取值范围是(−∞,0].【考点】利用导数研究不等式恒成立问题由函数零点求参数的取值范围利用导数研究函数的单调性函数的零点【解析】此题暂无解析【解答】(1)证明：设g(x)=f′(x)，则g(x)=cosx+xsinx−1，g′(x)=xcosx，当x∈(0,π2)时，g′(x)>0；当x∈(π2,π)时，g′(x)<0，所以g(x)在(0,π2)单调递增，在(π2,π)单调递减.又g(0)=0，g(π2)>0，g(π)=−2，故g(x)在(0,π)存在唯一零点.所以f′(x)在(0,π)存在唯一零点.(2)解：由题设知f(π)≥aπ，f(π)=0，可得a≤0.由(1)知，f′(x)在(0,π)只有一个零点，设为x0，且当x∈(0,x0)时，f′(x)>0；当x∈(x0,π)时，f′(x)<0，所以f(x)在(0,x0)单调递增，在(x0,π)单调递减.又f(0)=0,f(π)=0，所以当x∈[0,π]时，f(x)≥0.又当a≤0，x∈[0,π]时，ax≤0，故f(x)≥aπ.因此，a的取值范围是(−∞,0].21. 已知点A,B关于坐标原点O对称，|AB|=4，⊙M过点A,B且与直线x+2=0相切.(1)若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|−|MP|为定值？并说明理由.【答案】解：(1)因为⊙M过点A,B，所以圆心M在AB的垂直平分线上，由已知A在直线x+y=0，且A,B关于原点O对称，所以M在直线y=x上，故可设M(a,a)因为⊙M与直线x+2=0相切，所以⊙M的半径为r=|a+2|，由已知得|AO|=2，又MO→⊥AO→，故可得2a2+4=(a+2)2，解得a=0或a=4，故⊙M的半径为r=2或r=6.(2)存在定点P(1,0)，使得|MA|−|MP|为定值.理由如下：设M(x,y)，由已知得⊙M半径为r=|x+2|,AO=2.由于MO→⊥AO→，故可得x2+y2+4=(x+2)2，化简得M 的轨迹方程为y 2=4x ，因为曲线C:y 2=4x 是以点P(1,0)为焦点，以直线x =−1为准线的抛物线. 所以|MP|=x +1.因为|MA|−|MP|=r −|MP|=x +2−(x +1)=1,所以存在满足条件的定点P .【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题抛物线的标准方程直线与圆的位置关系圆的切线方程轨迹方程【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)因为⊙M 过点A,B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上，由已知A 在直线x +y =0，且A,B 关于原点O 对称，所以M 在直线y =x 上，故可设M(a,a)因为⊙M 与直线x +2=0相切，所以⊙M 的半径为r =|a +2|，由已知得|AO|=2，又MO →⊥AO →，故可得2a 2+4=(a +2)2，解得a =0或a =4，故⊙M 的半径为r =2或r =6.(2)存在定点P(1,0)，使得|MA|−|MP|为定值.理由如下：设M(x,y)，由已知得⊙M 半径为r =|x +2|,AO =2.由于MO →⊥AO →，故可得x 2+y 2+4=(x +2)2，化简得M 的轨迹方程为y 2=4x ，因为曲线C:y 2=4x 是以点P(1,0)为焦点，以直线x =−1为准线的抛物线. 所以|MP|=x +1.因为|MA|−|MP|=r −|MP|=x +2−(x +1)=1,所以存在满足条件的定点P .22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =1−t 21+t 2,y =4t 1+t 2（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcosθ+√3ρsinθ+11=0.(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)求C 上的点到l 距离的最小值.【答案】解：(1)∵ 直线l 的极坐标方程为2ρcosθ+√3ρsinθ+11=0 由{x =ρcosθ,y =ρsinθ,可得直线l 的直角坐标方程为2x +√3y +11=0,∵ 曲线C 的参数方程为{x =1−t 21+t 2,y =4t 1+t 2,(t 为参数) ∴ x 2=(1−t 2)2(1+t 2)2, y 2=16t 2(1+t 2)2， ∴ x 2+y 24=(1−t 2)2(1+t 2)2+4t 2(1+t 2)2=(1+t 2)2(1+t 2)2=1, ∴ 曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 24=1.(2)∵ 曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 24=1∴ 可设曲线C 上任意一点P(cosα, 2sinα)(0≤α<2π), ∴ 点P 到直线l 的距离d =√3sinα√4+3=|4sin(α+π6)+11|7.∵ 0≤α<2π,∴ 当sin(α+π6)=−1时，d 取得最小值.∴ 曲线C 上的点到l 距离的最小值d min =√7=√7.【考点】两角和与差的正弦公式椭圆的参数方程直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵ 直线l 的极坐标方程为2ρcosθ+√3ρsinθ+11=0 由{x =ρcosθ,y =ρsinθ,可得直线l 的直角坐标方程为2x +√3y +11=0,∵ 曲线C 的参数方程为{x =1−t 21+t 2,y =4t 1+t ,(t 为参数) ∴ x 2=(1−t 2)2(1+t 2)2, y 2=16t 2(1+t 2)2，∴ x 2+y 24=(1−t 2)2(1+t 2)2+4t 2(1+t 2)2=(1+t 2)2(1+t 2)2=1,∴ 曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 24=1.(2)∵ 曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 24=1∴ 可设曲线C 上任意一点P(cosα, 2sinα)(0≤α<2π), ∴ 点P 到直线l 的距离d =|2cosα+2√3sinα+11|√4+3 =|4sin(α+π6)+11|√7.∵ 0≤α<2π,∴ 当sin(α+π6)=−1时，d 取得最小值.∴ 曲线C 上的点到l 距离的最小值d min =√7=√7.23. 已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1.证明：(1)1a +1b +1c ≤a 2+b 2+c 2;(2)(a +b)3+(b +c)3+(c +a)3≥24.【答案】解:(1)∵ a,b,c 为正数，且满足abc =1，∴ 1a +1b +1c =(1a +1b +1c)⋅abc =bc +ac +ab=12(2bc +2ac +2ab) ≤1(b 2+c 2+a 2+c 2+a 2+b 2) =12(2a 2+2b 2+2c 2) =a 2+b 2+c 2.当且仅当a =b =c =1时，等号成立.(2)由基本不等式得：(a +b)3+(b +c)3+(c +a)3≥(2√ab)3+(2√bc)3+(2√ca)3 ≥3√(2√ab)3⋅(2√bc)3⋅(2√ca)33=24.当且仅当a =b =c =1时，等号成立.【考点】不等式的证明基本不等式【解析】此题暂无解析【解答】解:(1)∵ a,b,c 为正数，且满足abc =1，∴ 1a +1b +1c =(1a +1b +1c)⋅abc =bc +ac +ab=12(2bc +2ac +2ab) ≤12(b 2+c 2+a 2+c 2+a 2+b 2) =12(2a 2+2b 2+2c 2) =a 2+b 2+c 2.当且仅当a =b =c =1时，等号成立.(2)由基本不等式得：(a +b)3+(b +c)3+(c +a)3≥(2√ab)3+(2√bc)3+(2√ca)3 ≥3√(2√ab)3⋅(2√bc)3⋅(2√ca)33=24.当且仅当a =b =c =1时，等号成立.。