哈尔滨市高二上学期期末考试数学(理)试题有答案-精
哈尔滨市高二上学期数学期末考试试卷(I)卷
哈尔滨市高二上学期数学期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共9题；共18分)1. （2分）圆心为点（3,4）且过点（0,0）的圆的方程（）A .B .C .D .2. （2分）直线的倾斜角为（）A .B .C .D .3. （2分）若向量、的坐标满足，，则·等于（）A . 5B . -5C . 7D . -14. （2分）已知直线l方程为2x-5y+10=0,且在轴上的截距为a,在y轴上的截距为b，则|a+b|等于（）A . 3B . 7C . 10D . 55. （2分） (2019高三上·长治月考) 已知实数，，则“ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分）已知x、y满足约束条件，则的最小值为（）A . 17B . -11C . 11D . -177. （2分）已知直线;平面;且,给出下列四个命题：①若,则;②若,则；③若,则;④若，则其中正确的命题是（）A . ①④B . ②④C . ①③④D . ①②④8. （2分） (2018高一下·鹤壁期末) 点到直线的距离为，则的最大值是（）A . 3B . 1C .D .9. （2分） (2017高二上·佳木斯月考) 已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共6分)10. （1分）求以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)的椭圆的标准方程________．11. （1分） (2017高二上·莆田月考) 下列命题：①“四边相等的四边形是正方形”的否命题；②“梯形不是平行四边形”的逆否命题；③“若，则”的逆命题.其中真命题是________.12. （1分）已知x2+y2+x+y+tanθ=0（﹣＜θ＜）表示圆，则θ的取值范围为________13. （1分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个表面的对角线中，与直线A1C异面的有________ 条．14. （1分） (2019高二上·长沙期中) 设是双曲线的两个焦点，是该双曲线上一点，且，则的面积等于________．15. （1分） (2019高二下·上海月考) 已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线的长为________三、解答题 (共4题；共20分)16. （5分） (2016高一下·天全期中) 在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=．（Ⅰ）若△ABC的面积等于，求a，b；（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．17. （5分）(2013·江西理) 如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1，PA= ，连接CE并延长交AD于F（1）求证：AD⊥平面CFG；（2）求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．18. （5分） (2016高二上·鞍山期中) 已知圆C的方程为：x2+y2﹣2mx﹣2y+4m﹣4=0，（m∈R）．（1）试求m的值，使圆C的面积最小；（2）求与满足（1）中条件的圆C相切，且过点（1，﹣2）的直线方程．19. （5分） (2018高一下·衡阳期末) 已知圆与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点 .（1）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）若在以为圆心半径为的圆上存在点，使得(为坐标原点)，求的取值范围；（3）设是圆上的两个动点，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，如果直线与轴分别交于和，问是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由.参考答案一、单选题 (共9题；共18分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、二、填空题 (共6题；共6分)10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共4题；共20分) 16-1、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、。
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨高二上学期期末考试数学质量检测模拟试题1(含解析)
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨高二上册期末考试数学模拟试题一、单选题1．在等差数列{}n a 中，356a a +=，则4a =（）A ．3B ．4C ．5D ．12【正确答案】A【分析】应用等差数列项数相同且下标和相等的性质，有3542a a a +=，即可确定答案.【详解】因为数列{}n a 为等差数列，且3544+=+，所以4345a a a a +=+，又356a a +=，所以43a =，故选：A.2．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且()2cos 6f x xf x π⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．12-B ．12C 6πD 6π+【正确答案】D【分析】将()f x 求导并代入6x π=即可得出6f π⎛⎫' ⎪⎝⎭，即可得到()f x 的具体解析式，再代入6x π=即可得出答案.【详解】()2cos 6f x xf x π⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，()2sin 6f x f x π⎛⎫''∴=- ⎪⎝⎭，令6x π=，则2sin 666f f πππ⎛⎫⎛⎫''=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，162f π⎛⎫'= ⎪⎭∴⎝，则()cos f x x x =+，cos 6666f ππππ⎛⎫=+ ⎪⎭⎝∴故选：D.3．2321777(7)n -+-++-= （）A ．211(7)8n +--B ．21178n --C ．211(7)8n ---D ．22178n ++【正确答案】A【分析】利用等比数列前n 项和公式求解即可.【详解】2321777(7)n -+-++- 表示以1为首项，7-为公比的前21n +项和，所以21212321(7)1(7)1777(7)1(7)8n n n++-----+-++-==-- .故选：A4．已知函数()y xf x '=的图象如图所示（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下面四个图象中，()y f x =的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】C【分析】先利用函数()y xf x '=的图象求得函数()f x 的单调区间，进而得到正确选项.【详解】由题给函数()y xf x '=的图象，可得当1x <-时，()0xf x '<，则()0f x '>，则()f x 单调递增；当10x -<<时，()0xf x '>，则()0f x '<，则()f x 单调递减；当01x <<时，()0xf x '<，则()0f x '<，则()f x 单调递减；当1x >时，()0xf x '>，则()0f x '>，则()f x 单调递增；则()f x 单调递增区间为(),1-∞-，()1,+∞；单调递减区间为()1,1-故仅选项C 符合要求.故选：C 5．函数ln ()x f x x=在(20,e ⎤⎦上的最大值是（）A ．0B ．1eC ．eD ．22e 【正确答案】B【分析】求导得到导函数，根据函数的单调区间得到最值.【详解】ln ()xf x x=，21ln ()x f x x -'=，当()0,e x ∈时，()0f x '>，函数单调递增；当(2e,e x ⎤∈⎦时，()0f x '<，函数单调递减；故()max 1()e ef x f ==.故选：B6．已知1F ，2F 分别椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，P 为椭圆上一点，满足21π2PF F ∠=，线段1PF 交y 轴于点Q ，若2QF =，则椭圆的离心率是（）A ．12B ．2C D 1【正确答案】D【分析】由题意得2PF 垂直于x 轴，2OQ PF ∥，Q 为1PF 的中点，利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，结合椭圆的方程可得22||b PF a=，由勾股定理和离心率公式，计算可得答案．【详解】由题意可得2PF 垂直于x 轴，2OQ PF ∥，因为O 为12F F 的中点，则Q 为1PF 的中点，可得12||2||PF QF ==，由x c =可得22221c y a b +=，则2b y a=±=±，即有22||b PF a =，在直角三角形12PF F 中，可得2221212||||||PF PF F F =+，即有422284b c c a=+，可得22b ac =，即2220c ac a +-=，由ce a=可得，2210e e +-=，解得1e 或1e =(舍去)，故选：D.7．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织七匹三丈（1匹40=尺，一丈10=尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了七匹一丈，问每天增加多少尺布？”若这一个月有29天，记该女子一个月中的第n 天所织布的尺数为n a ，则13292428a a a a a a ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+的值为（）A ．15B ．2829C ．13D ．1514【正确答案】D【分析】根据给定的信息可得数列{}n a 为等差数列，再利用等差数列前n 项和公式及通项的性质求解作答.【详解】依题意，数列{}n a 为递增等差数列，且15a =，所以12913291522824281515151521414142a a a a a a a a a a a a +⨯++⋅⋅⋅+===+++⋅⋅⋅+⨯.故选：D8．对于函数()sin e x f x x x =+-，[0,π]x ∈，下列说法正确的是（）A ．函数()f x 有唯一的极大值点B ．函数()f x 有唯一的极小值点C ．函数()f x 有最大值没有最小值D ．函数()f x 有最小值没有最大值【正确答案】A【分析】构造新函数，并利用导数判断函数()f x 的单调性，进而得到函数()f x 有唯一的极大值点【详解】()sin e x f x x x =+-，[0,π]x ∈，则()cos 1e x f x x '=+-，[0,π]x ∈，令()cos 1e x k x x =+-，[0,π]x ∈，则0()sin e x k x x '--<=，在[0,π]恒成立，则()cos 1e x k x x =+-在[0,π]单调递减，又0(0)cos 01e 10k -==>+，ππ(π)cos π01e e k =+-=<-则存在唯一0[0,π]x ∈，使得000()cos 10e xk x x =+-=，当00x x ≤<时，()0k x >，即()0f x '>，()f x 单调递增；当0πx x <≤时，()0k x <，即()0f x '<，()f x 单调递减则当0x x =时，()f x 取得极大值.则函数()f x 有唯一的极大值点，即有最大值，最小值在区间端点处取得.故选：A 二、多选题9．（多选）已知数列{}n a 的通项公式为2n a n n =+，则下列是该数列中的项的是（）A ．18B ．12C ．25D ．30【正确答案】BD【分析】由于n 为正整数，且n 越大，n a 越大，求得3n a =无整数解，且312a =，420a =，530a =，642a =，判断选项即可.【详解】因为2n a n n =+，所以n 越大，n a 越大．当3n =时，233312a =+=；当4n =时，244420a =+=；当5n =时，255530a =+=；当6n =时，266642a =+=．故选：BD ．10．下列求导运算错误的是（）A ．233()1x x x'+=+B ．21(log )ln 2x x '=C ．(3)3ln x x x '=D ．2(cos )2sin x x x x'=-【正确答案】ACD【分析】利用导数的运算法则进行计算即可判断.【详解】对于A ，233()1x x x'+=-，故选项A 错误；对于B ，21(log )ln 2x x '=，故选项B 正确；对于C ，(3)3ln 3x x '=，故选项C 错误；对于D ，22(cos )2cos sin x x x x x x '=-，故选项D 错误，所以导数运算错误的是：A C D ，故选.A C D11．已知数列{}n a 中，()*1112,N 1n n a a n a +==-∈+，则能使13n a =-的n 可以为（）A ．2021B ．2022C ．2023D ．2024【正确答案】AD【分析】证明数列的周期，然后算第一个周期中等于13-的项.【详解】()*11N 1n n a n a +=-∈+ 211111111111n nn n n n n a a a a a a a ++++∴=-=-=-=-+-++-++又32111111n n nn n n n na a a a a a a a ++=-=-=-=++--+-+{}n a ∴是以3为周期的周期数列.又因为12a =，所以211113a a =-=-+，故13n a =-时()23Z n k k =+∈经检验A D 都符合.故选：AD12．下列不等式成立的是（）A ．sin x x <B ．e e x x ≥C．ln x <D ．1ln xx x-≥【正确答案】BC【分析】对于A ，取0x =进行验证；对于B ，令()e e ,R x f x x x =-∈，利用导数求出()f x 的最小值即可判断；对于C，令()ln 0h x x x =>，利用导数求出()h x 的最大值即可判断；对于D ，令1()ln xg x x x-=-，利用导数得()g x 在(0,)+∞上单调递增，又(1)0g =，从而得当1x ≥时，1ln xx x-≥，即可判断.【详解】解：对于A ，当0x =时，sin 0x =，此时sin x x =，故错误；对于B ，令()e e ,R x f x x x =-∈，则有()e e,x f x '=-令()0f x '=，得1x =，当1x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；所以min ()(1)e e 0f x f ==-=，即()0f x ≥，所以e e 0x x -≥，所以e e x x ≥，故正确；对于C，令()ln 0h x x x =>，则12()2h x x x'=，所以当04x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增；当>4x 时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以2max ()(4)ln 42ln 4ln e 0h x h ==-=-<，所以ln 0x，即ln x ，故正确；对于D ，令11()ln ln 1,0x g x x x x x x-=-=-+>，所以211()0g x x x '=+>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，又(1)0110g =-+=，所以当1x ≥时，()0g x ≥，即1ln xx x-≥，故错误.故选：BC.三、填空题13．若数列{}n a 满足1,,n n n a n n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，则12100a a a ++⋯+=__________．【正确答案】5000【分析】分奇偶项,分别按照等差数列前n 和公式求和，计算求解即可.【详解】因为1,,n n n a n n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数,所以()()12100132419900a a a a a a a a a ++⋯+=++⋯++++⋯+()()()()992011050505009850210022225020050002a a a a ++++=+=+⨯==故答案为:500014．函数()322f x x x ax a =-++有极值，则实数a 的取值范围是______．【正确答案】1(,)3-∞【分析】求出函数的导数()f x '，再利用()f x '存在变号零点求出a 的范围作答.【详解】函数()322f x x x ax a =-++定义域为R ，求导得：2()32f x x x a '=-+，因为函数()f x 有极值，则函数()f x '在R 上存在变号零点，即()0f x '=有两个不等实根，即有方程2320x x a -+=有两个不等实根，于是得4120a ∆=->，解得13a <，所以实数a 的取值范围是1(,)3-∞.故1(,)3-∞15．已知函数()3222f x x ax x a =++-，若对[]1212,1,2,x x x x ∀∈<，都有()()12122f x f x x x -<-成立，则实数a 的最大值为___________．【正确答案】3-【分析】将()()12122f x f x x x -<-变形为()()112222f x x f x x ->-，令()()2g x f x x =-，则函数()g x 在[]1,2上单调递减，即()0g x '≤在[]1,2上恒成立，转化为最值问题即可.【详解】12x x < ，120x x ∴-<，由()()12122f x f x x x -<-得()()()12122f x f x x x ->-，整理得()()112222f x x f x x ->-，令()()2g x f x x =-，则函数()g x 在[]1,2上单调递减，即()322x a g x a x +=-在[]1,2上单调递减，()2203x x x g a '∴=+≤在[]1,2上恒成立，即()032x x a +≤在[]1,2上恒成立，即320x a +≤在[]1,2上恒成立，即23a x ≤-在[]1,2上恒成立，又36x -≥-，26a ∴≤-，3a ∴≤-实数a 的最大值为3-故答案为.3-16．已知椭圆1Γ与双曲线2Γ的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点1F 、2F ，P 是1Γ与2Γ在第一象限的交点，当12π3F PF ∠=时，双曲线2Γ的离心率等于______.【分析】根据P 点是椭圆和双曲线的交点，结合椭圆双曲线的定义表示出1PF ，2PF ，在△12PF F 中结合余弦定理即可列出方程求解．【详解】设椭圆1Γ标准方程为()2211221110x y a b a b +=>>，椭圆离心率为1e ，设双曲线2Γ标准方程为()2222222210,0x y a b a b -=>>，双曲线离心率为2e ，它们的左右焦点为1F 、2F ，由题可知121e e ⋅=，设1PF m =，2PF n =，则122222,2,π42cos ,3m n a m n a c m n mn ⎧⎪+=⎪-=⎨⎪⎪=+-⋅⎩①②③，由①②得，12m a a =+，12n a a =-，代入③整理得，2221243c a a =+，两边同时除以2c 得，2212134e e =+，即222234=+e e ，所以4222430e e -+=，解得221e =(舍去)，或223e =，即2e=故答案为四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(7)2n n n S +=．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【正确答案】(1)3n a n =+(2)416n n T n =+【分析】（1）根据11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩求解即可；（2）由题知1134n b n n =-++，进而根据裂项求和法求解即可.【详解】（1）解：当1n =时，111842a S ⨯===．当2n ≥时，1(1)(6)2n n n S --+=，所以1(7)(1)(6)322n n n n n n n a S S n -+-+=-=-=+，因为1n =也满足，所以通项公式为3n a n =+．（2）解：由（1）得3n a n =+，所以11111(3)(4)34n n n b a a n n n n +===-++++，所以1111111145563444416n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．18．已知数列{}n a 是等比数列，且首项112a =，4116a =(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若21log n n nb a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【正确答案】(1)12n na =(2)()11222n n n n S ++-=-【分析】（1）直接利用等比数列的通项公式计算出公比即可得答案；（2）先通过（1）求出n b ，再利用分组求和法求数列{}n b 的前n 项和【详解】（1）设比数列{}n a 的公比为q ，则334111216a a q q ===，解得12q =12n na ∴=；（2）由（1）可得2=-n nb n()()()()22121222123122nn n n n S n -+∴=+++-++++=-- ，()11222n n n n S ++=--∴19．已知函数()()e ln x f x a x x x=--．(1)当0a =时，求()f x 在()0,∞+上的单调区间；(2)若()f x 在()0,1内有极值，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)单调增区间为()1,+∞，单调减区间为()0,1；(2)()e,+∞．【分析】()1将0a =代入()f x 中，求导后分别令()0f x '<和()0f x ¢>，求出单调区间即可；()2对()f x 求导，根据()f x 在()0,1内有极值，可知()0f x '=在()0,1内存在变号零点，然后将问题转化为()e x k x ax =-与x 轴在()0,1内有交点，再求出a 的取值范围即可解决．【详解】（1）当0a =时，()e x f x x=()0x >，则()()21e x x f x x -'=()0x >，令()0f x '<，得01x <<，故()f x 在()0,1上单调递减；令()0f x ¢>，得1x >，故()f x 在()1,+∞上单调递增，所以()f x 的单调增区间为()1,+∞，单调减区间为()0,1；（2）由()()e ln x f x a x x x =--，得()()()21e x x ax f x x--'=，由()f x 在()0,1内有极值，可知()0f x '=在()0,1内存在变号零点，即方程e 0x ax -=在()0,1内存在解，所以函数()e x k x ax =-与x 轴在()0,1内有交点，()e x k x a '=-，当0a ≤时，()0k x '>，()k x 单调递增，又(0)1k =，则()0k x >在()0,1恒成立，则()k x 与x 轴在()0,1内没有交点，不符合题意；当0a >时，若ln x a >，则()0k x '>，()k x 单调递增，若ln x a <，则()0k x '<，()k x 单调递减，则当ln x a =时，()k x 取得最小值()(ln )1ln k a a a =-，当0e a <<时，()1ln 0a a ->，则()k x 与x 轴没有交点，不符合题意；当e a =时，()(ln )(1)e 1ln e 0k a k ==-=，则()k x 与x 轴有公共点()1,0，则()k x 与x 轴在()0,1内没有交点，不符合题意；当e a >时，101a <<，(1)e 0k a =-<，11()e 10a k a=->，则()k x 与x 轴在()0,1内至少有一个交点，符合题意，综上，a 的取值范围为()e,+∞．方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．20．在数列{}n a 中，*11122,N 33n n a a n +==+∈.(1)证明：{}1n a -是等比数列；(2)若数列{}n b 的前n 项和()2*2,1,N n n n n S n n c b a n =+=-∈，求数列{}n c 的前n 项和n T .【正确答案】(1)证明见解析(2)()11623n n T n -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据已知可得()11113n n a a +-=-，进而可证明{}1n a -为等比，（2）根据,n n S b 的关系可求解*21,N n b n n =+∈，由（1）知1113n n a -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，进而可得()()111213n n n n c b a n -⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，由错位相减法即可求解.【详解】（1）证明：因为11233n n a a +=+，所以()11113n n a a +-=-，又12a =，所以111a -=，所以11113n n a a +-=-.所以{}1n a -是首项为1，公比为13的等比数列.（2）由（1）知1113n n a -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为数列{}n b 的前n 项和22n S n n =+，所以当2n ≥时，121n n n b S S n -=-=+，当1n =时，113b S ==，满足上式，所以*21,N n b n n =+∈.所以()()111213n n n n c b a n -⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭.()01211111357213333n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①由①13⨯，得()123111113572133333n n T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，②①②相减得()()()112121133211111132213214241333333313n n n n n n T n n n --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=++++-+=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦- 所以()11623n n T n -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.21．已知抛物线C ：24y x =，坐标原点为O ，焦点为F ，直线l ：1y kx =+．(1)若l 与C 只有一个公共点，求k 的值；(2)过点F 作斜率为2的直线交抛物线C 于,A B 两点，求OAB 的面积．【正确答案】(1)1或0【分析】（1）将直线方程与抛物线方程联立，由0k =或Δ0=即可得解；（2）由抛物线的标准方程得到焦点坐标，从而得到直线方程，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理及121||||2OAB S OF y y =⋅- 即可得解.【详解】（1）依题意，联立214y kx y x=+⎧⎨=⎩，消去x ，得2114y ky =+，即2440ky y -+=，①当0k =时，显然方程440y -+=只有一个解，满足条件；②当0k ≠时，2(4)440k ∆=--⨯=，解得1k =；综上：当1k =或0k =时直线与抛物线只有一个交点.（2）因为抛物线C ：24y x =，所以焦点(1,0)F ，所以直线方程为()2122y x x =-=-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立2224y x y x=-⎧⎨=⎩，消去x 得2240y y --=，所以122y y +=，124y y =-，所以12||y y -==所以1211||||122OAB S OF y y =⋅-=⨯⨯= 22．已知函数()()2ex f x x x b =--(1)讨论函数()f x 的单调性(2)若()f x 有两个极值点1212,()x x x x >，且()()213,e f x f x ≥，求b 的取值范围【正确答案】(1)当54b ≤-时，函数()f x 在R 上单调递增；当54b >-时，函数()f x在1(,2--∞和1()2-+∞上单调递增，在上单调递减.(2)1[1,)4--【分析】(1)对函数求导，分54b <-和54b ≥-两种情况，讨论导函数的正负，求出单调区间；(2)根据（1）得到121x x +=-，12(1)x x b =-+，且54b >-，构造函数2()e (20)2t t h t t t-=-<<+，求导，利用导数判断函数的单调性进而求出b 的取值范围.【详解】（1）因为函数2()()e x f x x x b =--，则2()[(1)]e x f x x x b '=+-+，令2()(1)g x x x b =+-+，14(1)45b b ∆=++=+，当450b +>，即54b >-时，令()0g x =得：1x =2x =当1x x >或2x x <时，()0g x >，因为e 0x >，所以()0f x '>，函数()f x 单调递增；当12x x x <<时，()0g x <，因为e 0x >，所以()0f x '<，函数()f x 单调递减，当450b +≤，即54b ≤-时()0g x ≥恒成立，因为e 0x >，所以()0f x '≥，函数()f x 单调递增；综上：当54b ≤-时，函数()f x 在R 上单调递增；当54b >-时，函数()f x在(-∞和)+∞上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）知：121x x +=-，12(1)x x b =-+，且54b >-，212121222222222212222111111112()()(1)11e e e ()()(1)11x x x x x x f x x x b x x b x x x x f x x x b x x b x x x x -------++-++===----++-++212121221222121111()12121()12121e e e x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---=+-+-+-=+-+-+-=，令21(0)x x t t -=<，由121x x +=-可得：2111,22t t x x ---==，所以21()2e ()2t f x t f x t-=+，由21()30()e f x f x ≥>可得.20t -<<令2()e (20)2t t h t t t -=-<<+，则22()e 0(2)t t h t t -'=<+，函数()h t 在(2,0)-上单调递减，因为3(1)e h -=，要证21()3()ef x f x ≥，即证()(1)h t h ≥-，所以21t -<≤-，由2121(1)4t b x x --+==-，则231044t --<-≤，所以3(1)04b -<-+≤，解得：114b -≤<-，所以实数b 的取值范围为1[1,)4--。
哈尔滨市数学高二上学期理数期末考试试卷(I)卷
哈尔滨市数学高二上学期理数期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·儋州期中) 已知不等式的解集为 ,则不等式的解集为（）A . 或B . 或C .D .2. （2分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8，则曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线方程是（）A . 2x﹣y﹣1=0B . x﹣2y+1=0C . x+y﹣2=0D . 6x+y﹣7=03. （2分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，其一条渐近线方程为y=x ，点P（ ,y0）在该双曲线上，则 =（）A . -12B . -2C . 0D . 44. （2分） (2015高二上·仙游期末) 若平面α与平面β的法向量分别是 =（4，0，﹣2），与 =（1，0，2），则平面α与平面β的位置关系是（）A . 平行B . 垂直C . 相交不垂直D . 无法判定5. （2分） (2019高三上·通州期中) 在 ABC中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c.若，，，则 ABC的面积等于（）A . 或B .C .D .6. （2分）在等差数列中，已知，则该数列前11项和（）A . 58B . 88C . 143D . 1767. （2分） (2018高二下·定远期末) 命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是（）A . ∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1B . ∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1C . ∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1D . ∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－18. （2分） (2019高二上·兴宁期中) 如图，正方体中，两条异面直线与所成的角是（）A .B .C .D .9. （2分）等腰三角形ABC底边两端点坐标分别为B(4，2)、C(－2，0)，则顶点A的轨迹方程是（）A .B .C .D .10. （2分）若实数x,y满足,则z=x+2y的最小值是（）A . 0B .C . 1D . 211. （2分）曲线C1:，曲线C2：， EF是曲线C1的任意一条直径，P是曲线C2上任一点，则的最小值为（）A . 5B . 6C . 7D . 812. （2分） (2015高二下·太平期中) 已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣1在x=2处取得极值，则实数a等于（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一上·青浦期中) 已知a，b∈R，则“a＞1，b＞1”是“a+b＞2”的________条件．14. （1分） (2018高一下·黄冈期末) 已知，则数列的前n项和为 ________.15. （1分）(2018高二上·嘉兴期中) ，动直线过定点，动直线过定点，若直线l与相交于点（异于点），则周长的最大值为________16. （1分） (2017高二下·黄山期末) 设F1 ， F2分别是椭圆的两个焦点，P是第一象限内该椭圆上一点，且，则正数m的值为________．三、解答题 (共6题；共75分)17. （10分） (2015高二上·邯郸期末) △ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知（a+c）2﹣b2=3ac（1）求角B；（2）当b=6，sinC=2sinA时，求△ABC的面积．18. （10分） (2018高二上·宁阳期中) 已知数列满足，．（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式和前项和．19. （15分） (2015高二上·海林期末) 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，点M是PD的中点，作ME⊥PC，交PC于点E．（1）求证：PB∥平面MAC；（2）求证：PC⊥平面AEM；（3）求二面角A﹣PC﹣D的大小．20. （20分） (2019高一上·菏泽期中) 某市有A、B两家羽毛球球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，A俱乐部每块场地每小时收费6元；B俱乐部按月计费，一个月中20小时以内含20小时每块场地收费90元，超过20小时的部分，每块场地每小时2元，某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动，其活动时间不少于12小时，也不超过30小时．（1）设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为元，在B俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为元，试求与的解析式；（2）设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为元，在B俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为元，试求与的解析式；（3）问该企业选择哪家俱乐部比较合算，为什么？（4）问该企业选择哪家俱乐部比较合算，为什么？21. （15分） (2020高二上·淮阴期末) 已知双曲线的方程为，离心率 ,顶点到渐近线的距离为（1）设是双曲线上点， ,两点在双曲线的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围.（2）求双曲线的方程;（3）设是双曲线上点， ,两点在双曲线的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围.22. （5分）(2017·六安模拟) 已知函数f（x）=e1﹣x（﹣a+cosx），a∈R．（Ⅰ）若函数y=f（x）在[0，π]存在单调增区间，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若f（）=0，证明：对于∀x∈[﹣1， ]，总有f（﹣x﹣1）+2f′（x）•cos（﹣x﹣1）＞0．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、答案：略15-1、答案：略16-1、三、解答题 (共6题；共75分) 17-1、答案：略17-2、答案：略18-1、18-2、19-1、答案：略19-2、答案：略19-3、答案：略20-1、答案：略20-2、答案：略20-3、答案：略20-4、答案：略21-1、答案：略21-2、答案：略21-3、答案：略。
哈尔滨市高二上学期期末数学试卷(理科)A卷(测试)
哈尔滨市高二上学期期末数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二下·漯河期末) 设a= xdx，则二项式（ax﹣）5展开式中含x2项的系数是（）A . 80B . 640C . ﹣160D . ﹣402. （2分）已知圆(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心为抛物线y2=4x的焦点,且与直线3x+4y+2=0相切,则该圆的方程为（）A .B .C . (x-1)2+y2=1D . x2+(y-1)2=13. （2分） (2016高二上·黑龙江期中) 一圆形纸片的圆心为O，点Q是圆内异于O点的一个定点，点A是圆周上一动点，把纸片折叠使得点A与点Q重合，然后抹平纸片，折痕CD与OA交于点P，当点A运动时，点P的轨迹为（）A . 椭圆B . 双曲线C . 抛物线D . 圆4. （2分）若直线x=1的倾斜角为α，则α等于（）A . 0°B . 45°C . 90°D . 不存在5. （2分）已知函数f（x）= ，给出下列两个命题：命题p：∃m∈（﹣∞，0），方程f（x）=0有解．命题q：若m= ，则f（f（﹣1））=0那么，下列命题为真命题的是（）A . p∧qB . （￢p）∧qC . p∧（￢q）D . （￢p）∧（￢q）6. （2分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A .B .C .7. （2分）已知，且现给出如下结论：①；②；③；④.其中正确结论的序号为（）A . ①③B . ①④C . ②④D . ②③8. （2分） (2015高二下·周口期中) 曲线y=x2+2x在点（1，3）处的切线方程是（）A . 4x﹣y﹣1=0B . x﹣4y+1=0C . 3x﹣4y+1=0D . 4y﹣3x+1=09. （2分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=AA1=2，则该三棱柱的外接球的表面积为（）A . 4πB . 8πC . 12π10. （2分） (2018高三上·长春期中) 设函数f ′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf ′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是（）A . (－∞，－1)∪(0，1)B . (－1，0)∪(1，＋∞)C . (－∞，－1)∪(－1，0)D . (0，1)∪(1，＋∞)11. （2分）设抛物线的顶点在原点，焦点与椭圆右焦点重合，则此抛物线的方程是（）A . y2=－8xB . y2=－4xC . y2=8xD . y2=4x12. （2分） (2016高三上·焦作期中) 已知棱长都是2的直三棱柱的俯视图是一个正三角形，则该直三棱柱的主视图的面积不可能等于（）A . 4B . 2C .D . 3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）若双曲线的离心率为2，则m的值为________14. （1分） (2017高一上·张掖期末) 设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0，q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0或x2+2x﹣8＞0，且非p是非q的必要不充分条件，则实数a的范围是________．15. （1分） (2015高二上·余杭期末) 在圆x2+y2=5x内，过点有n条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项a1 ，最长弦长为an ，若公差，那么n的取值集合________．16. （1分）已知函数f（x）=x2+k ．任取实数a，b，c∈[﹣1，1]，以f（a），f（b），f（c）为三边长可以构成三角形，则实数k的取值范围为________．三、解答题 (共5题；共40分)17. （10分） (2018高二上·黑龙江期中) 已知，设：实数满足，：实数满足．（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．18. （10分） (2018高二下·晋江期末) 已知平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t 为参数，0≤α＜π且），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．已知直线l与曲线C交于A、B两点，且．（1）求α的大小；（2）过A、B分别作l的垂线与x轴交于M，N两点，求|MN|．19. （5分）(2017·漳州模拟) 已知函数f（x）=（x﹣3）ex+ax，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）当a∈[0，e）时，设函数f（x）在（1，+∞）上的最小值为g（a），求函数g（a）的值域．20. （10分） (2016高三上·武邑期中) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ABC为正三角形，AB⊥AD，AC⊥CD，PC= AC，平面PAC⊥平面ABCD．（1）点E在棱PC上，试确定点E的位置，使得PD⊥平面ABE；（2）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．21. （5分）如图，四边形OQRP为矩形，其中P，Q分别是函数f（x）=sinwx（A＞0，w＞0）图象上的一个最高点和最低点，O为坐标原点，R为图象与x轴的交点．（1）求f（x）的解析式;（2）对于x∈[0，3]，方程f2（x）﹣af（x）+1=0恒有四个不同的实数根，求实数a的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共40分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、第11 页共11 页。
黑龙江省哈尔滨市高二上学期期末数学试卷(理科)
黑龙江省哈尔滨市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2016·海口模拟) 当双曲线：的焦距取得最小值时，其渐近线的斜率为（）A . ±1B .C .D .2. （2分） (2017高二上·广东月考) 函数有且只有一个零点的充分不必要条件是（）A .B .C .D . 或3. （2分）下列不等式在a＜b＜0的条件下不能成立的是（）A . a﹣1＞b﹣1B .C . b2＜a2D .4. （2分） (2020高二上·无锡期末) 设为数列的前项和，满足，则（）A .B .C .D .5. （2分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别是BC1,CD1的中点，则下列判断错误的是（）A . MN与CC1垂直B . MN与AC垂直C . MN与BD平行D . MN与A1B1平行6. （2分）不等式的解集是（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高三上·闽侯期中) 已知函数y=x2的图象在点（x0 ， x02）处的切线为l，若l也与函数y=lnx，x∈（0，1）的图象相切，则x0必满足（）A . 0＜x0＜B . ＜x0＜1C . ＜x0＜D . ＜x08. （2分）记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1 ，Ω2 ，…上时，x+y的最大值分别是M1 ， M2 ，…，则Mn=（）A . 0B .C . 2D . 29. （2分） x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，则的最小值为（）A . 14B . 7C . 18D . 1310. （2分）边长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P在棱DD1上运动，Q在底面ABCD上运动，但PQ为定长b（a＜b＜ a），R为PQ的中点，则动点R的轨迹在正方体内的面积是（）A .B .C .D .11. （2分）(2017·新课标Ⅱ卷理) 甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A . 乙可以知道四人的成绩B . 丁可以知道四人的成绩C . 乙、丁可以知道对方的成绩D . 乙、丁可以知道自己的成绩12. （2分）设函数的导函数为，且，，则下列不等式成立的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）在1和16之间插入n﹣2（n≥3）个实数，使这n个实数构成递增的等比数列，若记这n个实数的积为bn ，则b3+b4+…+bn=________14. （1分）(2016·江苏) 已知实数x ， y满足，则x2+y2的取值范围是________.15. （1分） (2016高一下·宿州期中) 若不等式（m2+4m﹣5）x2﹣4（m﹣1）x+3＞0一切实数x恒成立，则实数m的取值范围是________．16. （1分）(2017·南阳模拟) 一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的负半轴上，则该圆的标准方程为________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2019高一上·上饶期中) 已知函数，其中且．（1）若，求满足的集合．（2）若，求的取值范围．18. （5分） (2018高二上·大连期末) 已知抛物线，焦点到准线的距离为4，过点的直线交抛物线于两点．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）如果点恰是线段的中点，求直线的方程．19. （15分） (2016高三上·闵行期中) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且a1=a（a∈R），an+1= ，n∈N*；（1）若0＜an≤6，求证：0＜an+1≤6；（2）若a=5，求S2016；（3）若a= （m∈N*），求S4m+2的值．20. （10分）如题（19）图，三棱锥中，平面，，分别为线段上的点，且（1）证明：平面.（2）求二面角的余弦值。
黑龙江省哈尔滨市数学高二上学期理数期末考试试卷
黑龙江省哈尔滨市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二上·寻乌期末) 若复数（其中是实数），则复数在复平面内所对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分） (2019高三上·杨浦期中) 已知，则“ ” 是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 非充分非必要条件3. （2分） (2018高二上·寿光月考) 已知点是抛物线上一点，为的焦点，的中点坐标是，则的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 44. （2分）若命题“”为假，且为假，则（）A . “”为假B . q假C . q真D . p假5. （2分） (2019高二上·武威期末) 已知椭圆的两个焦点为F1 ， F2 ，弦AB过点F1 ，则△ABF2的周长为（）．A . 10B . 20C .D .6. （2分）(2019·山西模拟) 已知双曲线过点，其两条渐近线方程为，则的离心率为（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高一下·长春期末) 已知方程（x2﹣mx+2）（x2﹣nx+2）=0的四个根组成一个首项为的等比数列，则|m﹣n|=（）A . 1B .C .D .8. （2分） (2017高二下·高青开学考) 过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（）A . 10B . 9C . 8D . 69. （2分） (2020高二上·杭州期末) 棱长都相等的正三棱柱中，是侧棱上的点（不含端点）.记直线与直线所成的角为，直线与底面所成的角为，二面角的平面角为，则（）A .B .C .D .10. （2分）已知ABP的顶点A,B分别为双曲线的左右焦点，顶点P在双曲线C上，则的值等于（）A .B .C .D .11. （2分）一个无穷数列的前三项是1，2，3，下列不可以作为其通项公式的是（）A . an=nB . an=n3﹣6n2+12n﹣6C . an= n2﹣ n+1D . an=12. （2分） (2017高二下·雅安开学考) 直线y=m（m＞0）与y=|logax|（a＞0且a≠1）的图像交于A，B 两点．分别过点A，B作垂直于x轴的直线交y= （k＞0）的图像于C，D两点，则直线CD的斜率（）A . 与m有关B . 与a有关C . 与k有关D . 等于﹣1二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二上·黄石期中) 长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，高为4，则顶点A1到截面AB1D1的距离为________．14. （1分）(2017·莆田模拟) 已知双曲线C：﹣ =1的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐进线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若2 = ，则双曲线的离心率________．15. （1分） (2018高二上·南阳月考) 在直角坐标系中，已知直线与椭圆：相切，且椭圆的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则△ 的面积为________．16. （1分）(2017·盐城模拟) 设数列{an}的首项a1=1，且满足a2n+1=2a2n﹣1与a2n=a2n﹣1+1，则S20=________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2018高一下·通辽期末) 若数列是公差大于零的等差数列，数列是等比数列，且,.（1）求数列和的通项公式；（2）设数列的前项和为 ,求的最大值.18. （10分） (2015高三上·临川期末) 已知椭圆C：（a＞b＞0），其右焦点F（1，0），离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知直线x﹣y+m=0与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点不在圆x2+y2= 内，求m的取值范围．19. （5分） (2018高二上·莆田月考) 在中，分别为内角所对的边，且满足， .（1）求的大小；（2）若，求的面积.20. （10分）(2017·盘山模拟) 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的多面体中，AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=CD，∠ABC=60°，BC=AF=2AD=4DE=4．（Ⅰ）请在图中作出平面α，使得DE⊂α，且BF∥α，并说明理由；（Ⅱ）求直线EF与平面BCE所成角的正弦值．21. （10分）(2018·成都模拟) 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，， .（1）求证：面面；（2）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求三棱锥的体积.22. （5分）(2018·朝阳模拟) 已知椭圆的离心率为 ,且过点 .（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于两点,直线过坐标原点且与直线的斜率互为相反数.若直线与椭圆交于两点且均不与点重合,设直线与轴所成的锐角为 ,直线与轴所成的锐角为 ,判断与的大小关系并加以证明.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共50分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、。
哈尔滨市高二上学期期末数学试卷(理科)(I)卷
B . p∧（￢q）
C . （￢p）∨q
D . （￢p）∧（￢q）
二、 填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2018高二下·海安月考) 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为________．
14. （1分） (2017高二下·烟台期中) 在实数集R中定义一种运算“*”，对于任意给定的a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：
哈尔滨市高二上学期期末数学试卷（理科）（I）卷
姓名:________班级:________ 成绩:________
一、 选择题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2019高二上·郑州期中) 给出如下四个命题：
①若“ ”为假命题，则 ， 均为假命题；②命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”；③“ ， ”的否定是“ ， ”；④在 中，“ ”是“ ”的充要条件.其中正确的个数是（ ）
⑴对任意a，b∈R，a*b=b*a；
⑵对任意a∈R，a*0=a；
⑶对任意a，b∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（c*b）﹣2c．
关于函数f（x）=（ex）* 的性质，有如下命题：
⑴f（x）为偶函数；
⑵f（x）的x=0处取极小值；
⑶f（x）的单调增区间为（﹣∞，0]；
⑷方程f（x）=4有唯一实根．
其中正确的命题的序号是________．
15. （1分） (2017高二上·安阳开学考) 已知点M（﹣5，0），N（0，5），P为椭圆 + =1上一动点，则S△MNP的最小值为________．
16. （1分） (2016高二下·赣榆期中) 直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=2，AC=4，AA1=2，D为BC的中点．则直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值________．
哈尔滨市32中2020-2021学年度高二数学(理)上学期期末考试卷附答案解析
C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题
7、若 A（-1,0,1），B（1，4，7）在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向量是( )
A．（1,2,3） B．（1,3,2） C．（2,1,3） D．（3,2,1）
8、若抛物线
y2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 px 的焦点与椭圆
x2 6
y2 2
1
的右焦点重合，则
角中较小角的余弦值为_______.
三、解答题:（共 34 分）
15、（10 分）已知四棱锥 S-ABCD 的侧棱长为 2 ，底边的边长为 3 ，E 是 SA 的中点，求异面直线 BE 与
SA 所成的角。
16、（8 分）已知正方体 ABCD A1B1C1D1 中，O 为 AC 与 BD 的交点，G 为 CC1 的中点，求证 A1O 平
y2 b2
1a
a2 b2 4
b
0
1
，焦距为 2 ，则 a2
4 5b2
1 ，把 a 2
b2
4
1
代入 a2
4 5b2
1，
则有
1 b2 4
4 5b2
1，整理得 5b4
11b 2
16
0
，故
b2
或 1
b2
16 5
（舎），，
a2
5
故椭圆方程为
x2 5
y2
1
．
（2） F1 2, 0, F2 2, 0 ，设 P x0 , y0 ，则△PF1F2
,
1 2
,
. 15
2
,
1 2
试题分析：详解：（1）根据题设条件列出关于基本量 a,b,c 的方程组，解出 a,b,c 即可．（2）中已知焦点三 角形的面积，但其底边 F1F2 已知，故 P 的纵坐标可求，再利用 P 在椭圆上求出其横坐标即可．
哈尔滨市第九中学2020-2021学年高二上学期期末考试理科数学试题-含答案
哈尔滨市第九中学2020--2021学年度.上学期期末学业阶段性评价考试高二学年数学学科(理)试卷(考试时间:120分钟满分:150分共2页第I 卷(选择题共60分)一､选择题(本大题共12小题,每小题5分,每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.过点M(-4,3)和N(-2,1)的直线方程是A.x -y+3=0B.x+y+1=0C.x -y -1=0D.x+y -3=02.双曲线221169y x -=的虚半轴长是 A.3 B.4 C.6 D.83.直线x+y=0被圆22|6240x y x y +-++=截得的弦长等于A.4B.2 .C .D 4.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河."诗中隐含着一个有趣的数学问题--“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为221,x y +≤若将军从点A(4,-3)处出发,河岸线所在直线方程为x+y=4,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马"的最短总路程为A.8B.7C.6D.55.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F,过点F 的直线与抛物线交于A,B 两点,满足|AB|=6,则线段AB 的中点的横坐标为A.2B.4C.5D.66.直线kx -y+2k+1=0与x+2y -4=0的交点在第四象限,则k 的取值范围为A.(-6,-2) 1.(,0)6B - 11.(,)26C -- 11.(,)62D -- 7.设12,F F 分别为双曲线22134x y -=的左,右焦点,点P 为双曲线上的一点.若12120,F PF ︒∠=则点P 到x 轴的距离为.A .B .C .D 8.已知点A(-2,3)在抛物线C 2:2y px =的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B,记C 的焦点为F,则直线BF 的斜率为1.2A2.3B3.4C4.3D 9.已知点(x,y)满足:221,,0x y x y +=≥,则x+y 的取值范围是.[A B.[-1,1] .C .D10.设双曲线221916x y -=的右顶点为A,右焦点为F,过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△AFB 的面积为32.15A 34.15B 17.5C 19.5D 11.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B,F 为其右焦点,若AF ⊥BF,设∠ABF=α,且[,]64ππα∈则该椭圆的离心率e 的取值范围是.A .1]B .C .D12.如图,,AB ､CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径,E 是母线PB 的中点,已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分,则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于1.2A B.1.C.D 第II 卷(非选择题共90分)二､填空题(本大题共4小题,每小题5分)13.圆222200x y x y ++--=与圆2225x y +=相交所得的公共弦所在直线方程为___.14.若三个点(-2,1),(-2,3),(2,-1)中恰有两个点在双曲线222:1(0)x C y a a-=>上,则双曲线C 的渐近线方程为___. 15.椭圆221123x y +=的焦点分别是12,F F 点P 在椭圆上,如果线段1PF 的中点在y 轴上,那么1||PF 是2||PF 的___倍.16.过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线l 与C 相交于A,B 两点,且A,B 两点在准线上的射影分别为M,N ，,,MFN BFN AFM MFN S S S S λμ∆∆∆==则λμ=___. 三､解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本题满分10分)在①圆经过C(3,4),②圆心在直线x+y -2=0上,③圆截y 轴所得弦长为8且圆心E 的坐标为整数;这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,进行求解.已知圆E 经过点A(-1,2),B(6,3)且___;(1)求圆E 的方程;(2)求以(2,1)为中点的弦所在的直线方程.18.(本题满分12分)已知抛物线C:22(0)y px p =>,焦点为F,准线为1,抛物线C 上一点M 的横坐标为3,且点M 到焦点的距离为4.(1)求抛物线的方程;(2)设过点P(6,0)的直线'l 与抛物线交于A,B 两点,若以AB 为直径的圆过点F,求直线'l 的方程.19.(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=2acosθ(a>0),且曲线C 与直线l 有且仅有一个公共点.(1)求a;(2)设A,B 为曲线C.上的两点,且,3AOB π∠=求|OA|+|OB|的最大值.20.(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为1cos ,sin .x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2:4cos .C ρθ=(1)求曲线2C 的直角坐标方程;(2)若点A(1,0),且1C 和2C 的交点分别为点M,N,求11||||AM AN +的取值范围.21.(本题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点为12(F F 且过点1).2 (1)求椭圆C 的方程;(2)设椭圆的上顶点为B,过点(-2,-1)作直线交椭圆于M,N 两点,记直线MB,NB 的斜率分别为,,MB NB k k 试判断MB NB k k +是否为定值?若为定值,求出该定值;若不是定值,说明理由.22.(本题满分12分)已知点F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点,过点F 的直线l 交椭圆于M,N 两点,当直线l 过C 的下顶点时,l当直线l垂直于C的长轴时,△OMN的面积为3 . 2(1)求椭圆C的标准方程;(2)当|MF|=2|FN|时,求直线l的方程;(3)若直线l上存在点P满足|PM|,|PF|,|PN|成等比数列,且点P在椭圆外,证明:点P在定直线上.。
黑龙江省哈尔滨市第六中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学(理)试题 (解析版)
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨六中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．若p是真命题，q是假命题，则（）A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．￢p是真命题D．￢q是真命题2．已知抛物线准线方程为x＝﹣2，则其标准方程为（）A．x2＝8y B．x2＝﹣8y C．y2＝8x D．y2＝﹣8x3．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是它们所在线段的中点，则满足A1F∥平面BD1E的图形个数为（）A．0B．1C．2D．34．方程表示椭圆的充要条件是（）A．m∈（﹣4，﹣1）B．m∈（﹣4，﹣1）∪（﹣1，2）C．m∈（﹣4，2）D．（﹣1，+∞）5．已知椭圆C：（a＞b＞0）经过点（1，b），且C的离心率为，则C的方程是（）A．B．C．D．6．如图，点M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱CD的中点，则异面直线AM与BC1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．7．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β8．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．9．过双曲线的右焦点F（1，0）作x轴的垂线与双曲线交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±2x D．y＝±2x10．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（）A．B．C．D．11．如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A﹣BCD，使平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中不正确的是（）A．平面ACD⊥平面ABD B．AB⊥CDC．平面ABC⊥平面ACD D．AD⊥平面ABC12．抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A、B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝60°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A．B．C．1D．2二、填空题（共4小题）.13．某四面体的三视图如图所示，三个三角形均为直角三角形，则该四面体的体积是．14．若双曲线的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2＝4所截得的弦长为2，双曲线C的离心率为．15．世界四大历史博物馆之首卢浮宫博物馆始建于1204年，原是法国的王宫，是法国文艺复兴时期最珍贵的建筑物之一，以收藏丰富的古典绘画和雕刻而闻名于世，卢浮宫玻璃金字塔为正四棱锥，且该正四棱锥的高为21米，底面边长为30米，是华人建筑大师贝聿铭设计的．若玻璃金字塔五个顶点恰好在一个球面上，则该球的半径为米．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）①当0＜CQ＜时，S为四边形②当CQ＝时，S为等腰梯形③当CQ＝时，S与C1D1的交点R满足④当时，S为四边形⑤当CQ＝1时，S的面积为三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或解题步骤）17．（10分）已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）＝，圆C的参数方程为（其中θ为参数）．（1）求直线l的直角坐标方程和圆C的普通方程；（2）若椭圆的参数方程为（φ为参数），过圆C的圆心且与直线l垂直的直线l′与椭圆相交于两点A，B，求|CA|•|CB|．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC ＝CB＝．（1）证明：BC1∥平面A1CD；（2）求二面角D﹣A1C﹣E的余弦值．19．（12分）已知F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，M（3，t）是抛物线上一点，且|MF|＝4．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）直线l与抛物线C交于A，B两点，若•＝﹣4（O为坐标原点），则直线l 是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由．20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数），直线l的方程是x+2y﹣1＝0，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线OM：θ＝α（其中0＜α＜π）与圆C交于O、P，射线OQ：θ＝α+与直线l交于点Q，若|OP|•|OQ|＝6，求α的值．21．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为四边形，AC⊥BD，BC＝CD，PB＝PD，平面PAC⊥平面PBD，AC＝2，∠PCA＝，PC＝4．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）若四边形ABCD中，∠BAD＝120°，AB⊥BC，是否在PC上存在一点M，使得直线BM与平面PBD所成的角的正弦值为，若存在，求的值，若不存在，请说明理由．22．（12分）已知椭圆的方程为+＝1（a＞b＞0），其离心率e＝，且短轴的一个端点与两焦点组成的三角形面积为，过椭圆上的点P作y轴的垂线，垂足为Q，点E满足＝，设点E的轨迹为曲线Γ．（1）求曲线Γ的方程；（2）若直线l与曲线Γ相切，且交椭圆于A、B两点，C（﹣1，0），D（1，0），记△ABC的面积为S1，△ABD的面积为S2，求S1S2的最大值．参考答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．若p是真命题，q是假命题，则（）A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．￢p是真命题D．￢q是真命题解：∵p是真命题，q是假命题，∴p∧q是假命题，选项A错误；p∨q是真命题，选项B错误；￢p是假命题，选项C错误；￢q是真命题，选项D正确．故选：D．2．已知抛物线准线方程为x＝﹣2，则其标准方程为（）A．x2＝8y B．x2＝﹣8y C．y2＝8x D．y2＝﹣8x解：根据题意，要求抛物线准线方程为x＝﹣2，设其标准方程为y2＝2px，则有＝﹣2，解可得：p＝4，则抛物线的方程为y2＝8x，故选：C．3．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是它们所在线段的中点，则满足A1F∥平面BD1E的图形个数为（）A．0B．1C．2D．3解：①中，平移A1F至D1F′，可知D1F′与面BD1E只有一个交点D1，则A1F与平面BD1E不平行；②中，由于AF∥DE，而AF⊄平面BDE，DE⊂平面BDE，故A1F∥平面BD1E；③中，平移A1F至D1F′，可知D1F′与面BD1E只有一个交点D1，则A1F与平面BD1E不平行；故选：B．4．方程表示椭圆的充要条件是（）A．m∈（﹣4，﹣1）B．m∈（﹣4，﹣1）∪（﹣1，2）C．m∈（﹣4，2）D．（﹣1，+∞）解：方程表示椭圆的充要条件是，解得：m∈（﹣4，﹣1）∪（﹣1，2）．故选：B．5．已知椭圆C：（a＞b＞0）经过点（1，b），且C的离心率为，则C的方程是（）A．B．C．D．解：由题可知，，解得，∴椭圆的方程为．故选：A．6．如图，点M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱CD的中点，则异面直线AM与BC1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．解：如图，连接AD1，∵AB＝C1D1，AB∥C1D1，∴四边形ABC1D1为平行四边形，则AD1∥BC1，则∠D1AM为异面直线AM与BC1所成角，连接D1M．设正方体的棱长为2，则，．∴cos∠．即异面直线AM与BC1所成角的余弦值是．故选：A．7．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β解：选项A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n异面，故A错误；选项B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；选项C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正确．故选：D．8．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解：设P（m，n），＝（﹣c﹣m，﹣n）•（c﹣m，﹣n）＝m2﹣c2+n2，∴m2+n2＝2c2，n2＝2c2﹣m2①．把P（m，n）代入椭圆得b2m2+a2n2＝a2b2②，把①代入②得m2＝≥0，∴a2b2≤2a2c2，b2≤2c2，a2﹣c2≤2c2，∴≥．又m2≤a2，∴≤a2，∴≤0，故a2﹣2c2≥0，∴≤．综上，≤≤，故选：C．9．过双曲线的右焦点F（1，0）作x轴的垂线与双曲线交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±2x D．y＝±2x解：由右焦点F（1，0），∴﹣＝1，∴y＝±b，∴|AB|＝2b，∵△AOB的面积为，∴×2b×1＝，且a2+b2＝1，解得a＝，b＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，即y＝±2x，故选：B．10．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（）A．B．C．D．解：如图，连接BD1，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由AD＝AA1＝1，AB＝2，得，，则＝，设点E到平面ACD1的距离为h，则B到平面ACD1的距离为2h，由，得，解得h＝．故选：C．11．如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A﹣BCD，使平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中不正确的是（）A．平面ACD⊥平面ABD B．AB⊥CDC．平面ABC⊥平面ACD D．AD⊥平面ABC解：对于A，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BD⊥CD，∴CD⊥平面ABD，∴平面ACD⊥平面ABD，即A正确；对于B，CD⊥平面ABD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥CD，即B正确；对于C，∵AB⊥AD，AB⊥CD，AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD，即C正确；对于D，若AD⊥平面ABC，则AD⊥AC，与CD⊥AD矛盾，故选：D．12．抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A、B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝60°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A．B．C．1D．2解：设|AF|＝a，|BF|＝b，由抛物线定义，得AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|在梯形ABPQ中，∴2|MN|＝|AQ|+|BP|＝a+b．由余弦定理得，|AB|2＝a2+b2﹣2ab cos60°＝a2+b2﹣ab配方得，|AB|2＝（a+b）2﹣3ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣（a+b）2＝（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．∴≤1，即的最大值为1．故选：C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．某四面体的三视图如图所示，三个三角形均为直角三角形，则该四面体的体积是8．解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥；如图所示：所以：．故答案为：8．14．若双曲线的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2＝4所截得的弦长为2，双曲线C的离心率为2．解：双曲线的一条渐近线方程设为bx﹣ay＝0，圆（x﹣2）2+y2＝4的圆心为（2，0），半径r＝2，可得圆心到渐近线的距离为d＝，则2＝2，化为3a2＝b2＝c2﹣a2，即4a2＝c2，e＝，解得e＝2．故答案为：2．15．世界四大历史博物馆之首卢浮宫博物馆始建于1204年，原是法国的王宫，是法国文艺复兴时期最珍贵的建筑物之一，以收藏丰富的古典绘画和雕刻而闻名于世，卢浮宫玻璃金字塔为正四棱锥，且该正四棱锥的高为21米，底面边长为30米，是华人建筑大师贝聿铭设计的．若玻璃金字塔五个顶点恰好在一个球面上，则该球的半径为米．解：如图所示，设球半径为R，底面中心为O'且球心为O，∵正四棱锥P﹣ABCD中AB＝30，PO′＝21，∴AO'＝AB＝15，OO'＝PO'﹣PO＝21﹣R．∵在Rt△AOO'中，AO2＝AO'2+OO'2，∴R2＝（15）2+（21﹣R）2，解之得R＝，故答案为：．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是①②③⑤（写出所有正确命题的编号）①当0＜CQ＜时，S为四边形②当CQ＝时，S为等腰梯形③当CQ＝时，S与C1D1的交点R满足④当时，S为四边形⑤当CQ＝1时，S的面积为解：如图当CQ＝时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP＝QD1＝＝，故可得截面APQD1为等腰梯形，故②正确；由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ，即可得截面为四边形APQM，故①正确；③当CQ＝时，如图，延长DD1至N，使D1N＝，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R＝C1Q：D1N＝1：2，故可得C1R＝，故③正确；④由③可知当＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故④错误；⑤当CQ＝1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1＝AF，可知截面为APC1F为菱形，故其面积为AC1•PF＝＝，故⑤正确．故答案为：①②③⑤．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或解题步骤）17．（10分）已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）＝，圆C的参数方程为（其中θ为参数）．（1）求直线l的直角坐标方程和圆C的普通方程；（2）若椭圆的参数方程为（φ为参数），过圆C的圆心且与直线l垂直的直线l′与椭圆相交于两点A，B，求|CA|•|CB|．解：（1）直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）＝，根据转换为直角坐标方程为x+y﹣1＝0．圆C的参数方程为（其中θ为参数）转换为直角坐标方程为x2+（y+2）2＝4．（2）椭圆的参数方程为（φ为参数），转换为直角坐标方程为，把直线的方程转换为参数方程为（t为参数），代入，得到，所以|CA||CB|＝|．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC ＝CB＝．（1）证明：BC1∥平面A1CD；（2）求二面角D﹣A1C﹣E的余弦值．解：（1）证明：连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点，又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF，∵DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD；（2）由AA1＝AC＝CB＝，可得AB＝2，则AC2+BC2＝AB2，即AC⊥BC，又∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴以点C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面A1CD的一个法向量为，则，计算可取；同理可得平面A1CE的一个法向量，∴，∴二面角D﹣A1C﹣E的余弦值为．19．（12分）已知F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，M（3，t）是抛物线上一点，且|MF|＝4．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）直线l与抛物线C交于A，B两点，若•＝﹣4（O为坐标原点），则直线l 是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由．解：（Ⅰ）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（，0），准线方程为x＝﹣，则|MF|＝3+＝4，解得p＝2，则抛物线的方程为y2＝4x；（Ⅱ）设直线l的方程为x＝ny+t，与抛物线y2＝4x联立，可得y2﹣4ny﹣4t＝0，设A（，y1），B（，y2），则y1y2＝﹣4t，由•＝+y1y2＝﹣4t＝﹣4，解得t＝2，则直线l的方程为x＝ny+2，直线l恒过定点（2，0）．20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数），直线l的方程是x+2y﹣1＝0，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线OM：θ＝α（其中0＜α＜π）与圆C交于O、P，射线OQ：θ＝α+与直线l交于点Q，若|OP|•|OQ|＝6，求α的值．解：（Ⅰ）∵直线l的方程是x+2y﹣1＝0，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴直线l的极坐标方程为ρcosθ+2ρsinθ﹣1＝0，即．∵曲线C的参数方程为（φ为参数），∴圆C的直角坐标方程为（x﹣3）2+y2＝9，∴圆C的极坐标方程为ρ＝6cosθ．（Ⅱ）由题意得|OP|＝6cosα，|OQ|＝＝，则＝6，解得tanα＝1，又∵0＜α＜π，∴α＝．21．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为四边形，AC⊥BD，BC＝CD，PB＝PD，平面PAC⊥平面PBD，AC＝2，∠PCA＝，PC＝4．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）若四边形ABCD中，∠BAD＝120°，AB⊥BC，是否在PC上存在一点M，使得直线BM与平面PBD所成的角的正弦值为，若存在，求的值，若不存在，请说明理由．解：（1）证明：设AC∩BD＝O，连接PO∵BC＝CD，AC⊥BD，∴O为BD中点，∵PB＝PD，∴PO⊥BD，∵平面PAC⊥平面PBD，平面PAC∩平面PBD＝PO，∴BD⊥平面PAC，∵PA⊂平面PAC，∴PA⊥BD，在△PCA中，由余弦定理得PA2＝PC2+AC2﹣2PC•AC•cos30°，即PA2＝16+12﹣2×＝4，∴PA2+AC2＝PC2，∴PA⊥AC，∵BD∩AC＝O，BD⊂平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PA⊥平面ABCD．（2）以A为原点，AB为x轴，在平面ABCD中过A作AB的垂线为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），P（0，0，2），B（，0，0），C（，3，0），D（﹣，，0），＝（，0，﹣2），＝（﹣，，﹣2），设PC上存在一点M，使得直线BM与平面PBD所成的角的正弦值为，且＝λ，则，设M（a，b，c），则（a，b，c﹣2）＝λ（﹣a，3﹣b，﹣c），∴a＝，b＝，c＝，∴M（，，），＝（，，），设平面PBD法向量为＝（x，y，z），则，取x＝2，得＝（2，2，），∵直线BM与平面PBD所成的角的正弦值为，∴|cos＜＞|＝＝，解得λ＝1，∴PC上存在一点M，使得直线BM与平面PBD所成的角的正弦值为，且＝1．22．（12分）已知椭圆的方程为+＝1（a＞b＞0），其离心率e＝，且短轴的一个端点与两焦点组成的三角形面积为，过椭圆上的点P作y轴的垂线，垂足为Q，点E满足＝，设点E的轨迹为曲线Γ．（1）求曲线Γ的方程；（2）若直线l与曲线Γ相切，且交椭圆于A、B两点，C（﹣1，0），D（1，0），记△ABC的面积为S1，△ABD的面积为S2，求S1S2的最大值．解：（1）由题意得，解得，∴椭圆方程为+y2＝1，设E（x，y），P（x0，y0），Q（0，y0），∵，∴x0＝2x，y0＝y，把P（x0，y0）代入椭圆方程得：x2+y2＝1，∴点E的轨迹曲线Γ的方程为：x2+y2＝1；（2）由题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y＝kx+m，∵l与圆相切，∴，得m2＝1+k2；由消去y得，（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0由△＞0得k≠0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝，，∴＝＝＝，∴S1S2＝＝＝＝＝＝≤（当且仅当k＝时取等号），综上，S1S2的最大值为．。
黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学校2021-2022学年高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
哈工大附中2021~2022学年度第一学期期末考试试题高二理科数学一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知复数，则的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法运算化简，再由共轭复数的定义即可得，进而可得虚部.【详解】，所以，的虚部为，故选：C.2. 已知直线和直线互相平行，则等于（ ）A. 2 B. C. D. 0【答案】C 【解析】【分析】根据题意可得，即可求出.【详解】显然时，两直线不平行，不符合，则，解得.经检验满足题意故选：C.3. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则下列命题正确的是（ ）① 若 ，则 ②若，则 ③若，则 ④若，则13i1iz +=-z 122-1-z z ()()()()13i 1i 13i 24i12i 1i 1i 1i 2z +++-+====-+--+12i z =--z 2-10x ay +-=410ax y ++=a 2-2±1141a a -=≠0a =1141a a -=≠2a =±,m n ,αβ,m n αβ⊂⊂//,//m n βα//αβm β⊥αβ⊥//αβ//,//m n βααβ⊥,m n βα⊥⊥A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】C 【解析】【分析】① 面面平行需要满足面内两条相交直线分别平行另外一个平面;②面内的一条直线垂直另外一个平面，则线面垂直;③面面平行，面内的直线平行另外一个平面； ④面面垂直面内的直线垂直于两个平面的交线，则线面垂直.【详解】① 面面平行需要满足面内两条相交直线分别平行另外一个平面, 不在同一平内，有可能平行，所以不正确;②面内的一条直线垂直另外一个平面，则线面垂直，所以命题正确;③面面平行，面内的直线平行另外一个平面，所以命题正确； ④面面垂直面内的直线垂直于两个平面的交线，则线面垂直，没出与交线垂直，所以命题不正确.故选：C.4. 已知双曲线：（的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据双曲线的离心率得到，然后由，得，即为所求的渐近线方程，进而可得结果．【详解】∵双曲线的离心率，∴．又由，得，即双曲线（）的渐近线方程为，∴双曲线的渐近线方程为．故选：A,m n C 22221x y a b-=0,0a b >>C 2y x =±y =12y x =±y x=±2b a =22220x y a b-=b y x a =±c e a ===2ba=22220x y a b-=b y x a =±22221x y a b-=0,0a b >>b y x a =±2y x =±5. 已知函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是（ ）A.B.C. D. 【答案】B 【解析】【分析】根据导数的几何意义，求出切线方程，求出切线和横截距a 和纵截距b，面积为．【详解】由题意可得，所以，则所求切线方程为．令，得；令，得．故所求三角形的面积为．故选：B6. 若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（ ）A. B. 椭圆的焦距为C. 若椭圆的焦点在轴上，则 D. 若椭圆的焦点在轴上，则【答案】C 【解析】【分析】利用椭圆方程与椭圆位置特征逐项分析、计算即可判断作答.【详解】因方程表示椭圆，则有，，且，即，A 错误；2()e (1)x f x x =++()y f x =(0,(0))f 12231212ab ()()()02e 21xf f x x '＝，＝＋＋()03f '＝32y x ＝＋0x ＝2y ＝0y ＝23x -＝1222233⨯⨯＝22191x y k k +=--C ()1,9k ∈C C x ()1,5k ∈C x ()5,9k ∈90k ->10k ->91k k -≠-()()1,55,9k ∈焦点在轴上时，，解得，D 错误，C 正确；焦点在轴上时，则，焦点在轴上时，，B错误. 故选：C7. 已知抛物线的焦点为F ，准线为，过点F与抛物线C 交于点M （M 在x 轴的上方），过M 作于点N ，连接交抛物线C于点Q ，则（ ）A.B.C. 3D. 2【答案】D 【解析】【分析】设出直线，与抛物线联立，可求出点坐标，在利用抛物线的定义可得，再利用抛物线的对称性求出，则可求.【详解】如图：相关交点如图所示，由抛物线，得 ，则，与抛物线联立得，即，解得x 910k k ->->()1,5k ∈x ()291102c k k k =---=-y ()219210c k k k =---=-2:2(0)C y px p =>l l 'MN l ⊥NF ||||=NQ QF MF M 2M pMN NF MF x ∴===+FQ ||||NQ QF 2:2(0)C y px p =>(,0)2pF :)2p MF y x =-22y px =22122030x px p -+=()()6230x p x p --=3,26M A p p x x ==,60MN l MFx ︒⊥∠=， 又则为等边三角形，，由抛物线的对称性可得，故选：D.8. 若点P 是曲线上任意一点，则点P 到直线的最小距离为（ ）A. 0B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】由导数的几何意义求得曲线上与直线平行的切线方程的切线坐标，求出切点到直线的距离即为所求最小距离．【详解】点是曲线上的任意一点，设，令，解得1或（舍去），，∴曲线上与直线平行的切线的切点为，点到直线的最小距离故选：D.二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的（ ）60NMF ︒=∴∠MN MF=NMF V 22M pMN NF MF x p ∴===+=60OFA NFO ︒=∠=∠ 6Q A p x x ==24,,6233p p p p QF NQ NF QF ∴=+=∴=-=||2||NQ QF ∴=2ln y x x =-1y x =-121y x =- P 2ln y x x =-()1,,2(0)P x y y x x x∴=->'121y x x'=-=x =12x =-1x ∴=1y x =-()1,1P P 1y x =-min d ()y f x =A. 为函数的单调递增区间B. 为函数的单调递减区间C. 函数在处取得极小值D. 函数在处取得极大值【答案】ABC 【解析】【分析】利用导数和函数的单调性之间的关系，以及函数在某点取得极值的条件，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数的导函数的图象可知：当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；所以函数f （x ）单调递减区间为：，，递增区间为，，且函数在和取得极小值，在取得极大值.故选：ABC.10. 已知曲线：，则（ ）A. 时，则的焦点是，B. 当时，则的渐近线方程为C. 当表示双曲线时，则的取值范围为D. 存在，使表示圆()1,3-()y f x =()3,5()y f x =()y f x =5x =()y f x =0x =()y f x =1x <-()0f x '<()f x 13x -<<()0f x '>()f x 35x <<()0f x '<()f x 5x >()0f x '>()f x (),1-∞-(3,5)(1,3)-(5,)+∞()f x 1x =-5x =3x =C 22142x y m m+=-+2m =C (1F (20,F 6m =C 2y x =±C m 2m <-m C【答案】ABD 【解析】【分析】AB 选项，代入的值，分别得出是什么类型的曲线，进而作出判断；C 选项，要想使曲线表示双曲线要满足；D 选项，求出曲线表示圆时m 的值.【详解】当时，曲线：，是焦点在y 轴上的椭圆，且，所以交点坐标为，，A 正确；当时，曲线：，是焦点在在y 轴上的双曲线，则的渐近线为，B 正确；当表示双曲线时，要满足：，解得：或，C 错误；当，即时，，表示圆，D 正确故选：ABD11. 已知圆和圆相交于､两点，下列说法正确的为（ ）A. 两圆有两条公切线 B. 直线的方程为C. 线段的长为D. 圆上点，圆上点，的最大值为【答案】ABD 【解析】【分析】由给定条件判断圆O 与圆M 的位置关系，再逐项分析、推理、计算即可作答.【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，，，于是得圆O 与圆M 相交，圆O 与圆M 有两条公切线，A 正确；由得：，则直线的方程为，B 正确；圆心O 到直线：的距离，则，C 不正确；m C ()()420m m -+<C 2m =C 22124x y +=2422c =-=(1F(20,F6m =C 22182-=y x C2yx =±C ()()420m m-+<4m>2m <-42m m -=+1m =223x y +=22:4O x y +=22:4240M x y x y +-+=+A B AB 24y x =+AB 65O E M F EF 3+22:4O x y +=(0,0)O 12r =22:(2)(1)1M x y ++-=(2,1)M -21r =||OM ==1212||r r OM r r -<<+222244240x y x y x y ⎧+=⎨++-+=⎩4280x y -+=AB 24y x =+AB 240x y -+=d ==||AB ===，当且仅当点E ，O ，M ，F 四点共线时取“=”，如图，因此，当点E ，F 分别是直线OM 与圆O 交点，与圆M 交点时，，D 正确.故选：ABD12. 已知椭圆：上有一点，､分别为左､右焦点，，的面积为，则下列选项正确的是（ ）A. 若，则；B. 若，则满足题意的点有四个；C. 椭圆内接矩形周长的最大值为20；D. 若为钝角三角形，则；【答案】BCD 【解析】【分析】由题可得，，结合选项利用面积公式可得可判断ABD ，设椭圆内接矩形的一个顶点为，利用辅助角公式可得周长的范围可判断C.【详解】∵椭圆：，∴，∴，设，则，，若，则，所以不存在，故A错误；12||||||||||||||3EF EO OF EO OM MF r OM r ≤+≤++=++=+E 'F 'max ||3EF =C 221169x y +=P 1F 2F 12F PF θ∠=12PF F △S S 9=90θ=︒3S =P C 12PF F △S ⎛∈ ⎝4,3a b ==c =11(,)P x y 1y C (4cos ,3sin )(02πααα<<C 221169x y +=4,3a b ==c =12128,PF PF F F +==11(,)P x y 12112S F F y =⋅⋅13y ≤S 9=13y =>12PF F △若，则，可得，故满足题意的点有四个，故B正确；设椭圆内接矩形的一个顶点为，则椭圆内接矩形周长为其中，由得，∴椭圆内接矩形周长的范围为，即，故C 正确；由上知不可能为钝角，由对称性不妨设是钝角，先考虑临界情况，当为直角时，易得，此时当为钝角三角形时，，所以，故D 正确.故选：BCD三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 椭圆：的离心率为_____﹒【解析】【分析】根据椭圆的几何性质求解即可﹒【详解】∵椭圆为，∴，∴﹒﹒14. 已知两点和则以为直径的圆的标准方程是__________.3S =11y y ==1x =P C (4cos ,3sin )(0)2πααα<<C 4(4cos 3sin )20sin(),αααϕ+=+43sin ,cos 55ϕϕ==02πα<<(,)2παϕϕϕ+∈+C (20sin(),20sin ]22ππϕ+(12,20]θ12PF F ∠12PF F ∠194y =12112S F F y =⋅⋅=12PF F △194y <S ⎛∈ ⎝C 22132y x +=22132y x +=1a c ===c e a ==()4,9A ()6,3B AB【答案】【解析】【分析】根据的中点是圆心，是半径，即可写出圆的标准方程.【详解】因为和，故可得中点为，又，则所求圆的标准方程是：.故答案为：.15. 已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，若点满足，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据抛物线的解析式，得出焦点坐标，且由题意可知，进而根据向量的坐标运算求出，再根据向量的数量积求得，从而可求出的取值范围.【详解】解：由题可知，抛物线的焦点坐标，且，由于是抛物线上一点，则，，，，且，解得：，所以的取值范围是.故答案为：.()()225610x x -+-=AB 2AB ()4,9A ()6,3B AB ()5,6AB ==()()225610x x -+-=()()225610x x -+-=()00,M x y 24y x =F ()1,0P -0MF MP ⋅< 0x )2⎡-⎣()1,0F ()200040y x x =≥()()00001,,1,MF x y MP x y →→=--=---200410MF MP x x →→⋅=+-<0x 24y x =()1,0F()1,0P -()00,M x y 24y x =()200040y xx =≥()()00001,,1,MF x y MP x y →→∴=--=---()()2222000000011141MF MP x x y x y x x →→∴⋅=---+=+-=+-0MF MP →→⋅< 200410x x ∴+-<00x ≥002x ≤<-0x )2⎡-⎣)2⎡-⎣16. 已知函数，若，且恒成立，则实数a 的取值范围为_________．【答案】【解析】【分析】由题意得到，由，得到，所以，构造函数，利用导数求出的最小值即可.【详解】由题可知当时，函数单调递增，，当时，，设，则必有，所以，所以，所以，设，则，则时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，所以的最小值为.所以恒成立，即，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查利用导数解决双变量问题，将一个变量由另一个变量表示，构造新的函数即可求解，注意变量的范围，考查学生分析转化能力，属于中档题.四､解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，说明过程或演算步骤）17. 在中，角所对的边分别为.（1）求角；（2）若，的面积为，求.1ln ,1(){11,122x x f x x x +≥=+<12x x ≠()()12122,2f x f x x x a +=+-≥12ln 2a ≤-121x x <<12()()2f x f x +=1212ln x x =-122212ln x x x x +=-+()12ln (1)g x x x x =-+>()g x 1≥x ()f x min ()(1)1f x f ==1x <()1f x <12x x <121x x <<1212121113()1(ln ln 2222)2f x f x x x x x +=+++=++=1212ln x x =-122212ln x x x x +=-+()12ln (1)g x x x x =-+>22()1x g x x x+'-=-=12x <<()0g x '<()g x 2x >()0g x '>()g x min ()(2)g x g ==12ln2232ln2-+=-12x x +32ln2-122x x a +-≥122a x x ≤+-12ln 2a ≤-12ln 2a ≤-ABC V ,,A B C ,,abc cos sin C c B =C 2b =ABC V c【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1），进而得在求解即可得答案；（2）由面积公式得，进而根据题意得，，再根据余弦定理求解即可.【小问1详解】，，因为，，即因为，所以.小问2详解】解：因为的面积为，，所以，即，因为，所以，所以，解得.所以.18. 1.已知圆：，其中．（1）如果圆与圆外切，求的值；（2）如果直线与圆相交所得的弦长为的值．【答案】（1）20 （2）8【解析】【分析】（1）两圆外切，则两圆的圆心距等于两圆半径之和，列出方程，进行求解；（2）先用点到直线距离公式，求出圆的圆心到直线的距离，再用垂径定理列出方程，求出的值.【3C π=c =cos sin sin B C C B =tan C =8ab =2b =4a =cos sin C c B =cos sin sin B C C B =()0,,sin 0B B π∈≠sin C C =tan C =()0,C π∈3C π=ABC V 3C π=1sin 2S ab C ===8ab =2b =4a =2222201cos 2162a b c c C ab +--===c =c =C 22(3)(4)36x y m -+-=-m ∈R C 221x y +=m 30x y +-=C m C 30x y +-=m【小问1详解】圆的圆心为，若圆与圆外切，故两圆的圆心距等于两圆半径之和，【小问2详解】圆的圆心到直线的距离为，由垂径定理得：，解得：19. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．（1）根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）（2）采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中至少有1人每天阅读时间位于的概率．【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）由频率之和为1求参数a ，再根据直方图求均值.C ()3,4C 221x y +=1=+20m =C 30x y +-=d 222d =-8m =x [)50,60[)60,70[)80,90[)80,9074710（2）由分层抽样的比例可得抽取的5人中，和分别为：1人，2人，2人，再应用列举法求古典概型的概率即可.【小问1详解】根据频率分布直方图得：∴，根据频率分布直方图得：，【小问2详解】由，和的频率之比为：1∶2∶2，故抽取的5人中，和分别为：1人，2人，2人，记的1人为，的2人为，，的2人为，故随机抽取2人共有，，，，，，，，，10种，其中至少有1人每天阅读时间位于的包含7种，故概率．20. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点，为的中点.（1）求证：平面平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析[)50,60[)60,70[)80,90()0.0050.0120.045101a +++⨯=0.02a =()550.01650.02750.045850.02950.00510x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯74=[)50,60[)60,70[)80,90[)50,60[)60,70[)80,90[)50,60a [)60,70b c [)80,90A B(),a b (),a c (),a A (),a B (),b c (),b A (),b B (),c A (),c B (),A B [)80,90710P =P ABCD -ABCD PA ⊥,60ABCD ABC ∠= E BC F PC AEF ⊥PAD 2PA AB ==AEF CEF（2）【解析】【分析】（1）通过证明和得平面，再利用面面垂直判定定理求解；（2）建立空间直角坐标系求两个平面的法向量代入二面角公式求解.【小问1详解】因为底面是菱形，，所以△为等边三角形，所以平分，所以，所以，又因为平面，所以，且，所以平面，又平面，所以平面平面；【小问2详解】据题意，建立空间直角坐标系如图所示：因为，所以，设平面一个法向量为，平面一个法向量为，因为，则，即，取，则，，所以，又因为，则，即，取，则，所以，所以AE AD ⊥PA AE ⊥AE ⊥PAD ABCD 60ABC ∠=︒ABC AE BAC ∠()6018060902EAD ︒∠=︒-︒-=︒AE AD ⊥PA ⊥ABCD PA AE ⊥PA AD A ⋂=AE ⊥PAD AE ⊂AEF AEF ⊥PAD 2PA AB ==())())0,0,0,,0,0,2,,A EP C1,12⎫⎪⎪⎭F AEF ()1111,,n x y z = EFC ()2222,,n x y z =)1,,12AE AF ⎫==⎪⎪⎭，01100AE n AF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩1111020y z =++=12y =10x =11z =-()10,2,1n =-()10,1,,,12EC EF ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭0 2200EC n EF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 22220102y x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩22x =220,y z ==(2n =u u r121212cos ,n n n n n n ⋅<>===⋅由图形知，二面角为钝角，故二面角夹角的余弦值为21. 已知椭圆的中心是坐标原点，左右焦点分别为，设是椭圆上一点，满足轴，，椭圆（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆左焦点且不与轴重合的直线与椭圆相交于两点，求内切圆半径的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用是椭圆上一点，满足轴，．列出方程组，求出，即可得到椭圆方程．（2）由（1）可知，设直线为，，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，即可得到，从而得到，再根据，即可得到，再利用基本不等式求出最值即可；【小问1详解】()2222:10x y C a b a b+=>>O 12,F F P C 2PF x ⊥212PF =C C C 1F x l ,A B 2ABF V 2214x y +=12P C 2PF x ⊥21||2PF =a b 28ABF C =V l x my =-()11,A x y ()22,B x y 12y y -2121212ABF S F F y y =⋅-V 2182ABF S R =⨯⨯V R =解：由题意是椭圆上一点，满足轴，所以，解得所以．【小问2详解】解：由（1）可知，，设直线为，消去得，设，，则，所以所以，令内切圆的半径为，则，即，令，则，当且仅当，，即时等号成立，所以当时，取得最大值；22. 已知函数，.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）当函数有两个极值点，，且.证明：P C 2PF x ⊥21||2PF =222212c a b a c a b⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩2214x y +=()1F 222112248ABF C AB AF BF AF BF AF BF a =++=+++==V l x my =-2214x my x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩x ()22410m y +--=()11,A x y ()22,B x y 12y y +=12214y y m -=+12y y -===2121212ABFS F F y y =⋅-=V R 2182ABF S R =⨯⨯V R =t =12R ==≤=3t t =t =m =m =R 12()21ln 2f x x ax x =-+-a R ∈1a =()f x 1x =()f x ()f x 1x 2x 12x x <()()124213ln 2f x f x -≤+【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义进行求解即可；（2）根据一元二次方程根判别式，结合导数的性质进行分类讨论求解即可；（3）根据极值定义，给合（2）的结论，构造新函数，再利用导数的性质， 新函数的单调性进行证明即可.【小问1详解】当时，.∴.，..∴在处的切线方程.小问2详解】的定义域.；①当时，即，，此时在单调递减；②当时，即或，（i ）当时，∴在，单调递减，在单调递增.（ii ）当时，的的【2230x y +-=1a =()21ln 2f x x x x =-+-()11f x x x'=-+-()'11f =-()111221f =-+=()()11122302y x x y -=--⇒+-=()f x 1x =2230x y +-=()f x ()0,∞+()211x ax f x x a x x-+'=-+-=-240a -≤22a -≤≤()0f x '≤()f x ()0,∞+240a ->2a >2a <-2a >()f x ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭()f x 2a <-∴单调递减；综上所述，当时，在单调递减；当时，在，单调递减，在单调递增.【小问3详解】由（2）知，当时，有两个极值点，，且满足：，由题意知，.∴令.则.在单调递增，在单调递减.∴.即.在()f x ()0,∞+2a ≤()f x ()0,∞+2a >()fx ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭()fx 2a >()f x 1x 2x 12121x x ax x +=⎧⎨⋅=⎩1201x x <<<()()221211122211424ln 2ln 22f x f x x ax x x ax x ⎛⎫⎛⎫-=-+---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111222244ln 22ln x ax x x ax x =-+-+-+()()221112122122244ln 22ln x x x x x x x x x x =-++-+-++2222226ln 2x x x =-++()()2226ln 21g x x x x x=-++>()3462g x x x x'=--+=()g x ()+∞()2max 213ln 2g x g==-++=+()()124213ln 2f x f x -≤+。
哈尔滨高二(上)期末数学试卷(理科)含答案解析.doc
2017-2018学年黑龙江省哈尔滨高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．（5分）下列选项叙述错误的是（）A．命题“若x≠l，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”B．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题C．若命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则¬p：∃x∈R，x2+x+1=0D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件2．（5分）口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（）A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0.73．（5分）已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题为真命题的是（）A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥m C．若l∥m，m⊂α，则l∥αD．若l⊥α，α⊥β，m⊂β，则l∥m4．（5分）有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（）A．B．C．D．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的值S=16，则输入自然数n的最小值应等于（）A．7 B．8 C．9 D．106．（5分）福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02…33的33个球组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表（如下）第1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为（）A．23 B．20 C．06 D．177．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=18．（5分）为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是（）A．＞，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B．＞，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C．＜，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D．＜，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛9．（5分）如图，A1B1C1﹣ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．11．（5分）三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，且AB=BC=CA=2，平面PAB⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为（）A．4 B．3 C．4 D．312．（5分）F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，A是其右顶点，过F2作x轴的垂线与双曲线的一个交点为P，G是△PF1F2的重心，若•=0，则双曲线的离心率是（）A．2 B．C．3 D．二、填空题13．（3分）某校选修“营养与卫生”课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法从这70名学生中抽取一个样本，已知在高二年级的学生中抽取了8名，则在该校高一年级的学生中应抽取的人数为．14．（3分）双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2=4x 的焦点重合，则mn 的值为 ． 15．（3分）若双曲线x 2﹣=1（b ＞0）的一条渐近线与圆x 2+（y ﹣2）2=1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是 ．16．（3分）△ABC 中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°，它所在平面外一点P 到△ABC 三个顶点的距离是14，那么点P 到平面ABC 的距离是： ．三、解答题17．某公司的管理者通过公司近年来科研费用支出x （百万元）与公司所获得利润y （百万元）的散点图发现，y 与x 之间具有线性相关关系，具体数据如表所示：（1）求y 关于x 的回归直线方程；（2）若该公司的科研投入从2011年开始连续10年每一年都比上一年增加10万元，预测2017年该公司可获得的利润约为多少万元？（注：线性回归直线方程系数公式==，=．）18．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PC，AC，BC两两垂直，BC=PC=1，AC=2，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点．（1）证明：平面GEF∥平面PCB；（2）求直线PF与平面PAB所成角的正弦值．20．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线kl的极坐标方程为cosθ）=3．（1）求C的极坐标方程；（2）射线OM：θ=θ1（θ＜θ1）与圆C的交点为O，P，与直线Ll的交点为Q，求|OP|•|OQ|的范围．21．如图所示三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，AC⊥CD．（Ⅰ）若AA1=AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；（Ⅱ）若A1D与BB1所成角的余弦值为，求二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值．22．已知椭圆C的中心在原点，焦点F在x轴上，离心率，点在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若斜率为k（k≠0）的直线n交椭圆C与A、B两点，且k OA、k、k OB成等差数列，点M（1，1），求S的最大值．△ABM2017-2018学年黑龙江省哈尔滨高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．（5分）下列选项叙述错误的是（）A．命题“若x≠l，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”B．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题C．若命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则¬p：∃x∈R，x2+x+1=0D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件【解答】解：A原命题为“若p则q，“，则它的逆否命题为“若﹣p则﹣q“．故正确；B当p，q中至少有一个为真命题时，则p∨q为真命题．故错误．C正确．D 由x2一3x+2＞0解得x＜1或x＞2显然x＞2⇒x＜1或x＞2但x＜1或x＞2不能得到x＞2故“x＞2”是“x2一3x+2＞0”的充分不必要条件，故正确．故选B2．（5分）口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（）A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0.7【解答】解：∵口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是1﹣0.42﹣0.28=0.3，故选C．3．（5分）已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题为真命题的是（）A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥m C．若l∥m，m⊂α，则l∥αD．若l⊥α，α⊥β，m⊂β，则l∥m【解答】解：若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则当m与n相交时，l⊥α，故A错误；若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥β，所以l⊥m，故B正确；若l∥m，m⊂α，则l∥α或l⊂α，故C错误；若l⊥α，α⊥β，m⊂β，则l与m相交、平行或异面，故D错误．故选：B．4．（5分）有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（）A．B．C．D．【解答】解：要使中奖率增加，则对应的面积最大即可，则根据几何概型的概率公式可得，A．概率P=，B．概率P=，C概率P=，D．概率P=，则概率最大的为，故选：A．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的值S=16，则输入自然数n的最小值应等于（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：由程序框图知：第一次循环S=1×2=2，i=2+2=4，k=1+1=2；第二次循环S=×2×4=4，i=4+2=6，k=2+1=3；第三次循环S=×4×6=8，i=6+2=8，k=3+1=4．第四次循环S=×8×8=16，i=8+2=10，k=4+1=5．∵输出的值S=16，∴跳出循环的i值为10，∴判断框的条件i＜n，其中8＜n≤10，∴自然数n的最小值为9．故选：C．6．（5分）福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02…33的33个球组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表（如下）第1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为（）A．23 B．20 C．06 D．17【解答】解：根据随机数的定义，1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字43开始，依次为17，23，20，17，24，06，则第6个红色球的编号为06，故选：C．7．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1．故选：A．8．（5分）为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是（）A．＞，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B．＞，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C．＜，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D．＜，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛【解答】解：由茎叶图知，甲的平均数是=82，乙的平均数是=87∴乙的平均数大于甲的平均数，从茎叶图可以看出乙的成绩比较稳定，故选D．9．（5分）如图，A1B1C1﹣ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．【解答】解：取BC的中点D，连接D1F1，F1D∴D1B∥DF1∴∠DF1A就是BD1与AF1所成角设BC=CA=CC1=2，则AD=，AF1=，DF1=在△DF1A中，cos∠DF1A=，故选A10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，半个圆锥的体积为××π×1×=；四棱锥的体积为×2×2×=；故这个几何体的体积V=；故选D．11．（5分）三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，且AB=BC=CA=2，平面PAB⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为（）A．4 B．3 C．4 D．3【解答】解：根据题意：半径为2的球面上，且AB=BC=CA=2，△ABC为截面为大圆上三角形，设圆形为O，AB的中点为N，ON═=1∵平面PAB⊥平面ABC，∴三棱锥P﹣ABC的体积的最大值时，PN⊥AB，PN⊥平面ABC，PN==，∴三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为×（2）2×=3，故选：B12．（5分）F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，A是其右顶点，过F2作x轴的垂线与双曲线的一个交点为P，G是△PF1F2的重心，若•=0，则双曲线的离心率是（）A．2 B．C．3 D．【解答】解：由题意可得F1（﹣c，0），F2（c，0），A（a，0）．把x=c代入双曲线方程可得y=±，故一个交点为P（c，），由三角形的重心坐标公式可得G（，）．若•=0，则GA⊥F1F2，∴G、A 的横坐标相同，∴=a，∴=3，故选：C．二、填空题13．（3分）某校选修“营养与卫生”课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法从这70名学生中抽取一个样本，已知在高二年级的学生中抽取了8名，则在该校高一年级的学生中应抽取的人数为6．【解答】解：∵高一年级有30名，高二年级有40名，∴高一年级的学生中应抽取的人数为x，则满足，即x=6．故答案为：6．14．（3分）双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则mn的值为．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为（1，0），则双曲线的焦距为2，而双曲线的离心率为2，则a=，则有解得m=，n=∴mn=故答案为：．15．（3分）若双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是（1，2] ．【解答】解：圆x2+（y﹣2）2=1的圆心（0，2），半径r=1．∵双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个交点，∴≥1，化为b2≤3．∴e2=1+b2≤4，∵e＞1，∴1＜e≤2，∴该双曲线的离心率的取值范围是（1，2]．故答案为：（1，2]．16．（3分）△ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°，它所在平面外一点P到△ABC 三个顶点的距离是14，那么点P到平面ABC的距离是：7．【解答】解析：记P在平面ABC上的射影为O，∵PA=PB=PC∴OA=OB=OC，即O是△ABC的外心，只需求出OA（△ABC的外接圆的半径），记为R，在△ABC中由余弦定理知：BC=21，在由正弦定理知：2R==14，∴OA=7，得：PO=7．故答案为：7．三、解答题17．某公司的管理者通过公司近年来科研费用支出x（百万元）与公司所获得利润y（百万元）的散点图发现，y与x之间具有线性相关关系，具体数据如表所示：（1）求y关于x的回归直线方程；（2）若该公司的科研投入从2011年开始连续10年每一年都比上一年增加10万元，预测2017年该公司可获得的利润约为多少万元？（注：线性回归直线方程系数公式==，=．）【解答】解：（1）根据表中数据，计算可得=×（1.6+1.7+1.8+1.9+2.0）=1.8，=×（1+1.5+2+2.5+3）=2，又=16.3，x i y i=18.5；b==5；a=﹣b=2﹣5×1.8=﹣7，故所求的回归直线方程为=5x﹣7；（2）由题可知到2017年时科研投入为x=2.3（百万元），故可预测该公司所获得的利润为=5×2.3﹣7=4.5（百万元）；答：可预测2017年该公司获得的利润为450万元．18．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是=230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得a=224，∴月平均用电量的中位数为224；（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10，月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100=5，∴抽取比例为=，∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户．19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PC，AC，BC两两垂直，BC=PC=1，AC=2，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点．（1）证明：平面GEF∥平面PCB；（2）求直线PF与平面PAB所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵E，F，G分别是AB，AC，AP的中点，∴EF∥BC，又BC⊂平面PBC，EF⊄平面PBC，∴EF∥平面PBC，同理可得：GF∥平面PBC，又EF⊂平面GEF，GF⊂平面GEF，GF∩EF=F，∴平面GEF∥平面PBC．（2）以C为坐标原点，以CA，CB，CP为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则P（0，0，1），A（2，0，0），B（0，1，0），F（1，0，0），∴=（2，0，﹣1），=（﹣2，1，0），=（1，0，﹣1），设平面PAB的法向量=（x，y，z），1，2，2），则，∴，令x=1可得=（1，2，2）．∴cos＜，＞===﹣．设PF与面PAB所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=．∴PF与面PAB所成角的正弦值为．20．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线kl的极坐标方程为cosθ）=3．（1）求C的极坐标方程；（2）射线OM：θ=θ1（θ＜θ1）与圆C的交点为O，P，与直线Ll的交点为Q，求|OP|•|OQ|的范围．【解答】（1）圆C的参数方程为（φ参数），转化为圆C的普通方程是（x﹣1）2+y2=1，又x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以圆C的极坐标方程是：ρ=2cosθ．，θ1），则有，（2）设P（ρ设Q（ρ2，θ2），且直线l的方程是cosθ）=3．则有，所以|OP||OQ|=ρ1•ρ2==，由于：，则：tanθ1＞0，所以0＜|OP||OQ|＜6．21．如图所示三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，AC⊥CD．（Ⅰ）若AA1=AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；（Ⅱ）若A1D与BB1所成角的余弦值为，求二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）若AA1=AC，则四边形ACC1A1为正方形，则AC1⊥A1C，∵AD=2CD，AC⊥CD，∴△ACD为直角三角形，则AC⊥CD，∵AA1⊥平面ABC，∴CD⊥平面ACC1A1，则CD⊥A1C，∵A1C∩CD=C，∴AC1⊥平面A1B1CD；解：（Ⅱ）∵AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，AC⊥CD．∴建立以C为坐标原点，CD，CB，CC1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，如图，设CD=1，则AD=2，AC=，∵A1D与BB1所成角的余弦值为，∴=，又，解得A1D=，∴AA1=，则C（0，0，0），D（1，0，0），A（0，，0），C1（0，0，），A1（1，2，），=（0，﹣2，﹣），=（﹣1，﹣2，﹣），=（﹣1，﹣2，0），设平面A1DC的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（，，﹣2），设平面A1DC1的法向量=（a，b，c），则，取a=2，得=（2，﹣，﹣4），设二面角C﹣A1D﹣C1的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值为．22．已知椭圆C的中心在原点，焦点F在x轴上，离心率，点在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若斜率为k（k≠0）的直线n交椭圆C与A、B两点，且k OA、k、k OB成等的最大值．差数列，点M（1，1），求S△ABM【解答】解：（1）设椭圆方程为（a＞b＞0），则∵椭圆离心率，点在椭圆C上，∴，解得a=2，b=1，∴椭圆方程为；（2）设直线n的方程为y=kx+m，A（x1，y1），（x2，y2），则∵k OA、k、k OB成等差数列，∴m（x1+x2）=0，∴m=0，∴直线n的方程为y=kx代入椭圆方程得（1+4k2）x2=4，∴|AB|=．∵M到y=kx的距离为d=∴S=•=∴S2=，∴（S2）′=，∴k，（S2）′＞0，﹣＜k＜1，（S2）′＜0，k＞1，（S2）′＞0，∴k=﹣时，S取得最大值．。
黑龙江省哈尔滨高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．抛物线24y x =的焦点坐标为（ ）A ．（1,0） B ．（2,0） C ．（10,8） D ．（10,16） 2.将两颗骰子各掷一次，设事件A =“两个点数都是偶数”，则概率()P A 等于（ ） A.12 B. 34 C. 16 D. 143．已知点12F F ，为椭圆221925x y +=的两个焦点,过1F 的直线交椭圆于A B ，两点,且8AB =,则22AF BF +=（ ）A ．20B ．18C ．12D ．10 4．在极坐标系中，圆cos()3πρ=θ+的圆心的极坐标为（ ） A ．1(,)23π- B ． 1(,)23π C ．(1,)3π- D ． (1,)3π5．某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工抽取人数为( )A ．9B ．18C ．27D ．366．设集合{}2=540A x x x -+<{}B=1x x a -<，则“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件7．已知Ｐ是抛物线24x y =上的一个动点，则点Ｐ到直线1:4370l x y --=和2:20l y +=的距离之和的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．设A 为圆()2211x y -+=上的动点，PA 是圆的切线，且=1PA ，则点P 的轨迹方程是（ ）A ．()2212x y -+= B ．()2214x y -+= C ．22y x = D ．22y x =-9．已知圆222)(1)3C x y -++=：（,从点(1,3)P --发出的光线，经x 轴反射后恰好经过圆心C ，则入射光线的斜率为（ ） A. 4-3 B. 2-3C. 43D. 2310.从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为x x 甲，乙，中位数分别为m m 甲，乙，则（ ）A ．x x <甲乙，m m >甲乙B ．x x <甲乙，m m <甲乙C ．x x >甲乙，m m >甲乙D ．x x >甲乙，m m <甲乙11.学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，频率抽取了n 个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[)10,50()单位：元，其中支出在[的同学有67人，其频率分布直方图如图所示， 则n 的值为（ ）A ．100B ．120 C．130 D ．39012．从6名同学中选派4人分别参加数学、物理、化学、生物四科知识竞赛，若其中甲、乙两名同学不能参加生物竞赛，则选派方案共有（ ）种A ．336B ．408C ．240D ．264二．填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．在三棱锥P ABC -中，三条侧棱两两垂直，且侧棱长都是1，则点P 到平面ABC 的距离为 ．14．从区间[]1,0内任取两个数，则这两个数的和小于54的概率为________________. 15．5a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为-32，则该展开式中系数最大的项为________________.16．设A 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>在第一象限内的点，F 为其右焦点，点A 关于原点O 的对称点为,B 若,AF BF ⊥设,ABF α∠=且,,126ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则双曲线离心率的取值范围是 ． 三．解答题（本大题共6小题，总分70分）17.（本题满分10分）在新年联欢晚会上，游戏获胜者甲和乙各有一次抽奖机会，共有10个奖品，其中一等奖6个，二等奖4个，甲、乙二人依次各抽一次. （1）甲抽到一等奖且乙抽到二等奖的概率是多少？ （2）甲、乙二人中至少有一人抽到一等奖的概率是多少？18．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为：325425x t y t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t为参数)，它与曲线1)2(:22=--x y C 交于A ，B 两点． （1） 求AB 的长；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛43,22π，求点P 到线段AB 中点M 的距离．19. （本题满分12分）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ,13PA AD AB ===，,F 是PD 的中点，E 是线段AB 上的点.（1）当E 是AB 的中点时，求证：//AF 平面PEC .（2）当:21AE BE =:时,求二面角E PC D --的余弦值.20.（本题满分12分）抛物线C ：)0(22>=p px y 的焦点为F ，抛物线C 上点M 的横坐标为2，且.3=MF （1）求抛物线C 的方程；（2）过焦点F 作两条相互垂直的直线，分别与抛物线C 交于M 、N 和P 、Q 四点，求四边形MPNQ 面积的最小值.21．（本题满分12分）已知在长方体1111ABCD A BC D -中，11AD AA ==，2AB =，点Ｅ在棱AB 上移动．（1）求证：11D E A D ⊥；（2）在棱ＡＢ上是否存在点Ｅ使得1AD 与平面1D EC 成的角为6π？若存在，求出AE 的长，若不存在，说明理由．22．（本题满分12分）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F，离心率为2，过点1F 且垂直于x:l y kx m =+与椭圆交于不同的A ，B 两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）若在椭圆C 上存在点Q 满足：OA OB OQ +=λ（O 为坐标原点）．求实数λ的取值范围．ＡＢＣＤＥ1A1B1C1D一、选择题二、填空题1314、5815、3405x16、⎤⎦三、解答题17、（1）415（2）131518、（1（2）30719、（1）略（220、（1）2y=4x（2）3221、（1）略（222、（1）2212xy+=（2）-22λ<<。
黑龙江省哈尔滨市高二上学期期末考试数学(理)模拟试题(含答案)
哈尔滨市XX 中学2019-2020学年度上学期期末模拟考试高二理科数学试卷考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色的签字笔书写, 字迹清楚； （3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校 学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则=n （ ） A ．100 B ．150 C ．200 D ．2502．如图所示，将图（1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图（2）中的几何体，则该几何体的侧视图为（ ）3． 设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，点F 到渐近线的距离等于a 2，则该双曲线的离心率等于（ ）A ．2B ．3C ．5D ．3 4．已知两条直线b a ,，两个平面βα,，下面四个命题中不正确的是（ ） A ．,//,a b a b ααββ⊥⊂⇒⊥ B ．//,//,a b a b αβαβ⊥⇒⊥ C ．//,,m m αβαβ⊥⇒⊥ D ．//,////a b a b αα⇒ 5．下列命题中，说法正确的是（ ） A ．命题“,0R x ∈∃使得2010x x ++<”的否定是：“,R x ∈∀均有012>++x x ”B.命题“若12=x ，则1=x ”的否命题为“若12=x ，则1≠x ”C ．若q p ∧为真命题，则q p ∨也为真命题a=0i=1WHILE i<=5 a=(a+i) MOD 5 i=i+1 WEND PRINT a ENDD ．“210<<x ”是“0)21(>-x x ”的必要不充分条件 6．已知椭圆193622=+y x 及点)2,4(P ，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( ) A.21 B.21- C.2 D.2- 7．甲、乙两位同学在高二5次月考的数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别 是21,x x ，则下列正确的是（ ） A ．21x x <，甲比乙成绩稳定 B ．21x x >，乙比甲成绩稳定C ．21x x >，甲比乙成绩稳定D ．21x x <，乙比甲成绩稳定 8．某程序框图如图所示，若输出的57=S ，则判断框内为( ) A ．?4>k B ．?5>k C ．?6>k D ．?7>k 9．某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的表面积是（ ）A ．17BC D ．610．如下程序运行后输出的结果为( ) A. 50 B. 5 C. 25 D. 011． 过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A ，若以C 的右焦点为圆心，4为半径的圆经过O A ,两点(O 为坐标原点),则双曲线C 的方程为（ ）A ．112422=-y x B ．19722=-y x C ．18822=-y x D ．141222=-y x 12．直三棱柱111C B A ABC -中，侧棱长为，2,1==BC AC 90=∠ACB ,D 是11B A 的中点，F 是1BB 上的动点,1AB ,DF 交于点E ,要使1AB ⊥平面DF C 1，则线段F B 1的长为( )A ．21 B ．1 C ．23 D ．2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置 13．执行下面的程序框图，输出S 的值为14．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[]30,5.17，样本数据分组为[)20,5.17，[)5.22,20,[)255.22，，[)5.27,25，[)30,5.27.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于5.22小时的人数是15． 三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面,ABC PA PC AB ===4,30AC BAC =∠=， 若三棱锥P ABC -的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_________.16．如图，已知抛物线x y 42=的焦点为F ，直线l 过F 且依次交抛物线及圆41)1(22=+-y x 于 点,,,A B C D 四点，则||4||9CD AB +的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．（本小题满分10分）直线l 的参数方程为315(415x t t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数)与曲线22:1C y x -=交于,A B 两点.（1）求||AB 的长； （2）求AB 中点M 的坐标．18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AD ==，60BAD ∠=,E 、F 分别为BC 、PA 的中点.（1）求证：ED ⊥平面PAD ；（2）求三棱锥P DEF -的体积.19．（本小题满分12分）已知曲线)(sin 1cos :1为参数ααα⎩⎨⎧+==y x C ，)(sin cos 4:2为参数θθθ⎩⎨⎧==y x C（1）化21,C C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；20. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ， 90ADC ∠=︒，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是PC 的中点，2PA PD ==，112BC AD ==，CD . （1）求异面直线AP 与BM 所成角的余弦值； （2）求二面角Q BM C --的余弦值.21. （本小题满分12分）在梯形ABCD 中,BC ∥DA ,,2BE DA EA EB BC ⊥===，1DE =,将四 边形DEBC 沿BE 折起,使平面DEBC 垂直平面ABE ,如图2,连结,AD AC .（1）若F 为AB 中点,求证:EF ∥平面ADC ；（2）在线段AC 上是否存在点M ,使得BM 与平面ADC 所成角的正弦值为322,若有，试确定点 M 的位置，若没有，请说明理由.22. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为21，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于不同的,A B 两点，且,22ab k k OB OA -=⋅求证：AOB ∆的面积为定值.高二理科数学答案一、选择题：ABCDC BDABD AA 二、填空题：237,181402π，， 三、简答题： 17.解：2243(1)(1)155t t +--+=即2770250t t +-= (2)（1）12||||7AB t t =-== ........6 （2）1252M t t t +==- ，31(5)45M x =-+⨯-=- ，41(5)35M y =+⨯-=- ， 故(4,3)M -- ......10 18.解：（1）证明2,1,60,,CD CE DCB DE DE BC DE AD ==∠=︒∴=⊥∴⊥，PD ⊥平面ABCD ， PD AD ∴⊥DE PAD ∴⊥平面 (6)（2）解：133P DEF PDF V S DE -∆=⨯⨯=....12 19.解：（1）221:(1)1C x y +-= 是圆，222:116x C y += ，是椭圆 (5)（2）12C C 和的极坐标方程分别为2sin ρθ=和2222cos sin 116ρθρθ+=射线的极坐标方程为6πθ=，则2sin16P πρ==，222cos 1196sin 16664Q ππρ=+=则||||p Q OP OQ ρρ== 20.平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，90ADC ∠=︒PQ ∴⊥底面ABCD ， CD PAD ⊥平面AD ∥BC ，,BC QD BQ =∴∥CD (2)以Q 为原点，射线,,QA QB QP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，...1 （1；........7 （2）4- .........12 21.．证明:(Ⅰ)取AC 中点N ,连接,FN DN FE ，,∵ ,F N 分别是,AB AC 的中点,FN ∴∥BC 且12FN BC =又DE ∥BC 且11,2DE BC ==FN ∴∥DE 且,FN DE =∴四边形FNDE 为平行四边形EF ∴∥ND ,又EF ⊄平面,ACD DN ⊂平面,ACD EF ∴∥平面ADC (4)(Ⅱ)平面DEBC ⊥平面ABE 且交于,,BE AE EB ⊥AE ∴⊥平面,DECB AE DE ∴⊥由已知,,DE EB AE EB ⊥⊥,分别以,,EA EB ED 所在直线 为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系则(0,0,0),(0,0,1),E D (2,0,0),(0,2,0),(022)A B C ，，(2,0,1),(2,2,2)AD AC ∴=-=-设平面ADC 的一个法向量为(,,)n x y z =,则02022200n AD x z x y z n AC ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-++=⋅=⎩⎪⎩令1x =,则可得(1,1,2)n =- (7)BM 与平面ADC 所成角的正弦值,所以|cos ,|BM n <>= 设000(,,)M x y z ,由AM AC λ=得000(2,,)(2,2,2),(22,2,2),x y z M λλλλ-=-∴-(22,22,2)BM λλλ∴=--,|cos ,|||||||BM nBM n BM n ⋅∴<>=3==,整理得2121650λλ-+=, 解得12λ=或56λ=,所以M点位于AC的中点或位于靠近C的六等分点上 (12)22.（Ⅰ）解：由题意得3,4262122222==⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+-=-==babbacac∴椭圆的方程为13422=+yx (4)（Ⅱ）设)(1,1yxA，)(2,2yxB则A,B的坐标满足⎪⎩⎪⎨⎧+==+mkxyyx13422消去y化简得()0124843222=-+++mkmxxk∴221438kkmxx+-=+，222143124kmxx+-=，0>∆得03422>+-mk2212122121)())((mxxkmxxkmkxmkxyy+++=++==2222222243123)438(43124kkmmkkmkmkmk+-=++-++-。
黑龙江省哈尔滨市数学高二上学期理数期末考试试卷
黑龙江省哈尔滨市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二上·武汉期中) 过双曲线的右焦点F，作渐近线的垂线与双曲线左右两支都相交，则双曲线离心率的取值范围为（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二下·辽宁期末) “ ”是“函数在区间内单调递减”的（）A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充要条件D . 既不充分也必要条件3. （2分） (2016高一下·龙岩期中) 有30袋长富牛奶，编号为1至30，若从中抽取6袋进行检验，则用系统抽样确定所抽的编号为（）A . 3，6，9，12，15，18B . 4，8，12，16，20，24C . 2，7，12，17，22，27D . 6，10，14，18，22，264. （2分）椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则椭圆的离心率（）A .B .C .D .5. （2分）将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，则7个剩余分数的方差为（）A .B .C . 36D .6. （2分） (2018高一下·葫芦岛期末) 葫芦岛市交通局为了解机动车驾驶员对交通法规的知晓情况，对渤海、丰乐、安宁、天正四个社区做分层抽样调查.其中渤海社区有驾驶员96人.若在渤海、丰乐、安宁、天正四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则丰乐、安宁、天正三个社区驾驶员人数是多少（）A . 101B . 808C . 712D . 897. （2分） (2018高二上·武汉期末) 已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则m=（）A . 8B . 9C . -3D . 168. （2分） (2016高二上·黄石期中) 抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为（）A .B . 1C . 2D . 49. （2分）在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大依次构成等比数列{an}，已知a2=2a1 ，且样本容量为300，则对应小长方形面积最小的一组的频数为（）A . 20B . 40C . 30D . 无法确定10. （2分）已知动点M的坐标满足，则动点M的轨迹方程是（）A . 椭圆B . 双曲线C . 抛物线D . 以上都不对11. （2分）下列命题错误的是（）A . 对于命题，使得x2+x+1<0，则为:，均有B . 命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若，则”C . 若为假命题，则p,q均为假命题D . “x>2”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件12. （2分）椭圆的一条弦被平分,那么这条弦所在的直线方程是（）A . x-2y=0B . 2x+y-10=0C . 2x-y-2=0D . x+2y-8=0二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）若点A（3，1）在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最大值为________．14. （1分）(2014·浙江理) 在某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是________．15. （1分） (2018高二下·通许期末) 已知随机变量服从正态分布，且，则 ________.16. （1分）(2017·鄂尔多斯模拟) 过抛物线C：y2=8x的焦点F作直线与C交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，则| |=________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分）(2018·河北模拟) 在平面直角坐标系中，已知圆的参数方程为（为参数，）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程是 .（1）若直线与圆有公共点，试求实数的取值范围；（2）当时，过点且与直线平行的直线交圆于两点，求的值.18. （5分） (2016高二上·大连期中) 已知命题p：“ =1是焦点在x轴上的椭圆的标准方程”，命题q：“不等式组所表示的区域是三角形”．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．19. （10分） (2016高一上·荔湾期中) 已知函数 f(x)=x2+2ax-2 ，x∈[−5,5] ．（1）当 a=−1 时，求函数 f(x) 的最大值与最小值．（2）求实数的取值范围，使得在区间上是单调函数．20. （15分） (2015高二上·海林期末) 2014年“五一节”期间，高速公路车辆较多，交警部门通过路面监控装置抽样调查某一山区路段汽车行驶速度，采用的方法是：按到达监控点先后顺序，每隔50辆抽取一辆，总共抽取120辆，分别记下其行车速度，将行车速度（km/h）分成七段[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95）后得到如图所示的频率分布直方图，据图解答下列问题：（1）求a的值，并说明交警部门采用的是什么抽样方法？（2）求这120辆车行驶速度的众数和中位数的估计值（精确到0.1）；（3）若该路段的车速达到或超过90km/h即视为超速行驶，试根据样本估计该路段车辆超速行驶的概率．21. （15分） (2019高三上·铁岭月考) 如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，∥ ，，且，，是棱的中点．（1）求证：∥平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（3）设点是线段上的动点，与平面所成的角为，求的最大值．22. （10分） (2018高二上·湛江月考) 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且椭圆的短轴恰好是圆的一条直径.（1）求椭圆的方程（2）设分别是椭圆的左，右顶点，点是椭圆上不同于的任意点，是否存在直线，使直线交直线于点，且满足，若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。
黑龙江省哈尔滨市高二上学期期末数学试卷(理科)
黑龙江省哈尔滨市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）抛物线的焦点为F，点p(x,y)为该抛物线上的动点，又点A(-1,0)则的最小值是（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高三上·莆田期中) 命题“∀n∈N，f（n）∈N且f（n）＞n”的否定形式是（）A . ∀n∈N，f（n）∉N且f（n）≤nB . ∀n∈N，f（n）∉N且f（n）＞nC . ∃n0∈N，f（n0）∉N或f（n0）≤n0D . ∃n0∈N，f（n0）∉N且f（n0）＞n03. （2分）如图，正四面体ABCD中，E是BC的中点，那么（）A .B .C .D . 与不能比较大小4. （2分） (2016高二上·孝感期中) 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么互斥而不对立的两个事件是（）A . 至少有1名男生和至少有1名女生B . 恰有1名男生和恰有2名男生C . 至少有1名男生和都是女生D . 至多有1名男生和都是女生5. （2分）(2017·诸城模拟) 甲、乙两名运动员的5次测试成绩如图所示，设s1 ， s2分别表示甲、乙两名运动员成绩的标准差，、分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有（）A . ，s1＜s2B . ，s1＜s2C . ，s1＞s2D . ，s1＞s26. （2分）已知直线l过点P（1，0，﹣1），平行于向量=(2,1,1)，平面α过直线l与点M（1，2，3），则平面α的法向量不可能是（）A . （1，﹣4，2）B . (,-1,)C . (-,1,-)D . （0，﹣1，1）7. （2分）根据如图框图，当输入x为6时，输出的y=（）A . 1B . 2C . 5D . 108. （2分）命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的否命题是（）A . “若一个数不是负数，则它的平方不是正数”B . “若一个数的平方是正数，则它是负数”C . “若一个数是负数，则它的平方不是正数”D . “若一个数的平方不是正数，则它不是负数”9. （2分） (2018高二上·潍坊月考) 若实数m是和20的等比中项，则圆锥曲线的离心率为A .B .C . 或D . 或10. （2分）(2019·浙江模拟) 已知α，β是两个相交平面，其中l⊂α，则（）A . β内一定能找到与l平行的直线B . β内一定能找到与l垂直的直线C . 若β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行D . 若β内有无数条直线与l垂直，则β与α垂直二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2018高三上·云南期末) 设F是抛物线C1：的焦点，点A是抛物线与双曲线C2：的一条渐近线的一个公共点，且轴，则双曲线的离心率为________．12. （1分）(2019·大连模拟) 某超市有三类食品,其中果蔬类、奶制品类及肉制品类分别有20种、15种和10种, 现采用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本进行安全检测，若果蔬类抽取4种，则为________．13. （1分） (2017高二下·黄山期末) 已知x，y取值如表，画散点图分析可知y与x线性相关，且求得回归方程为，则m的值为________．x01356y12m3﹣m 3.89.214. （1分） (2016高一下·兰州期中) “丁香”和“小花”是好朋友，她们相约本周末去爬歌乐山，并约定周日早上8：00至8：30之间（假定她们在这一时间段内任一时刻等可能的到达）在歌乐山健身步道起点处会合，若“丁香”先到，则她最多等待“小花”15分钟．若“小花”先到，则她最多等待“丁香”10分钟，若在等待时间内对方到达，则她俩就一起快乐地爬山，否则超过等待时间后她们均不再等候对方而孤独爬山，则“丁香”和“小花”快乐地一起爬歌乐山的概率是________（用数字作答）15. （1分）已知A点在x轴上，B点在y轴上，且满足|AB|=3，若，则点C的轨迹方程是________．三、解答题 (共6题；共45分)16. （5分）已知p：， q：x2﹣（a2+1）x+a2＜0，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．17. （5分）(2017·衡水模拟) 某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8.0米（四舍五入，精确到0.1米）以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6小组的频数是7．（Ⅰ）求进入决赛的人数；（Ⅱ）若从该校学生（人数很多）中随机抽取两名，记X表示两人中进入决赛的人数，求X的分布列及数学期望；（Ⅲ）经过多次测试后发现，甲成绩均匀分布在8～10米之间，乙成绩均匀分布在9.5～10.5米之间，现甲，乙各跳一次，求甲比乙远的概率．18. （10分） (2020高一下·内蒙古期中) 某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0，1，2，3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球，记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖.（1）求中三等奖的概率；（2）求中奖的概率.19. （5分）已知抛物线y2=4x的交点为椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点，且椭圆的长轴长为4，左右顶点分别为A，B，经过椭圆左焦点的直线l与椭圆交于C，D（异于A，B）两点．求椭圆标准方程.20. （10分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面 ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点，证明：（1）AE⊥CD（2）PD⊥平面ABE．21. （10分） (2017高二上·邢台期末) 已知F1（﹣c，0）、F2（c，0）分别是椭圆G：的左、右焦点，点M是椭圆上一点，且MF2⊥F1F2 ， |MF1|﹣|MF2|= a．（1）求椭圆G的方程；（2）若斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2），求△PAB 的面积．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共45分) 16-1、17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、。
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市中学高二上学期期末数学（理试题（解析版
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1．某兴趣小组有男生20人，女生10人，从中抽取一个容量为5的样本，恰好抽到2名男生和3名女生，则 ①该抽样可能是系统抽样； ②该抽样可能是随机抽样： ③该抽样一定不是分层抽样； ④本次抽样中每个人被抽到的概率都是15． 其中说法正确的为（ ） A ．①②③ B ．②③C ．②③④D ．③④【答案】A【解析】①该抽样可以是系统抽样；②因为总体个数不多，容易对每个个体进行编号，因此该抽样可能是简单的随机抽样；③若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样，且分层抽样的比例相同，该抽样不可能是分层抽样；④分别求出男生和女生的概率，故可判断出真假. 【详解】①总体容量为30，样本容量为5，第一步对30个个体进行编号，如男生1～20，女生21～30；第二步确定分段间隔3065k ==；第三步在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号(10)l l ≤；第四步将编号为6(04)l k k +≤≤依次抽取，即可获得整个样本．故该抽样可以是系统抽样．因此①正确．②因为总体个数不多，可以对每个个体进行编号，因此该抽样可能是简单的随机抽样，故②正确；③若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样，且分层抽样的比例相同，但兴趣小组有男生20人，女生10人，抽取2男3女，抽的比例不同，故③正确；④该抽样男生被抽到的概率212010=；女生被抽到的概率310=，故前者小于后者．因此④不正确． 故选：A ． 【点睛】本题考查了随机抽样及概率，正确理解它们是解决问题的关键．2．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率；先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1、2、3表示没有击中目标， 4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数，根据以下数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（ ）7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 A ．0.4 B ．0.45 C ．0.5 D ．0.55【答案】A【解析】根据20组随机数，计算出至少击中3次的次数，由此估计出该射击运动员射击4次至少击中3次的概率. 【详解】在20组数据中，至少击中3次的为7527、9857、8636、6947、4698、8045、9597、7424，共8次，故该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为80.420=. 故选：A 【点睛】本小题主要考查随机数法求事件的概率，属于基础题.3．从7名男生和5名女生中选4人参加夏令营，规定男、女同学至少各有1人参加，则选法总数应为（ ） A ．1127510C C C B ．1127510C C AC ．4441275C C C --D ．112112756464()C C C C C C ++【答案】C【解析】先计算出任选4人的方法数，然后减去其中全部为男生或全部为女生的方法数，由此选出正确选项. 【详解】任选4人的方法数为412C ，减去其中全部为男生或全部为女生的方法数4475C C +，故选法总数应为4441275C C C --.故选：C 【点睛】本小题主要考查组合数的计算，属于基础题. 4．下列说法错误的是（ ）A ．若直线a ∥平面α，直线b ∥平面β，则直线a 不一定平行于直线bB ．若平面α不垂直于平面β，则α内一定不存在直线垂直于平面βC ．若平面α⊥平面β，则α内一定不存在直线平行于平面βD ．若平面α⊥平面ν，平面β⊥平面ν，l αβ=，则l 一定垂直于平面ν【答案】C【解析】结合空间线线、线面和面面位置关系，对四个选项逐一分析，由此得出说法错误的选项. 【详解】若直线a ∥平面α，直线b ∥平面α，则a 与b 平行、相交或异面，则直线a 不一定平行于直线b ，故A 中说法正确；若α内存在直线垂直于平面β，则根据面面垂直的判定定理得αβ⊥，这与平面α不垂直于平面β矛盾，故若平面α不垂直于平面β，则α内一定不存在直线垂直于平面β，故B 中说法正确；若平面α⊥平面β，则当α内的直线与两平面的交线平行时，该直线与平面β平行，故C 中说法错误；若平面α⊥平面v ，平面β⊥平面v ，l αβ=，则根据面面垂直的性质得l 一定垂直于平面v ，故D 中说法正确.综上所述，本小题选C. 【点睛】本小题主要考查空间线线、线面和面面位置关系的判断，属于基础题.5．已知展开式中第5项与第9项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） A ．142 B ．132C ．122D ．112【答案】D【解析】以展开式中第5项与第9项的二项式系数，列方程，解方程求得n 的值，进而求得奇数项的二项式系数和. 【详解】依题意，展开式中第5项与第9项的二项式系数相等，所以48n n C C =，解得12n =，故奇数项的二项式系数和为112. 故选：D 【点睛】本小题主要考查二项式展开式的二项式系数，考查奇数项的二项式系数和，属于基础题. 6．已知圆锥的表面积为9π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ）A ．1BC ．2D【答案】B【解析】设出圆锥的底面半径，根据圆锥的表面积列方程，解方程求得圆锥的底面半径. 【详解】设圆锥的底面半径为r ，由于圆锥侧面展开图是一个半圆，故其母线长为2π2πrr =，所以圆锥的表面积为()221ππ29π2r r +=，解得r =故选：B 【点睛】本小题主要考查圆锥表面积有关计算，属于基础题.7．已知抛物线2:C y x =的焦点为F ，()00,A x y 是C 上一点，若09||8AF x =，则0x 等于（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【答案】B【解析】根据抛物线的定义列方程，由此求得0x 的值. 【详解】抛物线2:C y x =，焦点为1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线为14x =-，由于09||8AF x =，根据抛物线的定义有009||82p AF x x ==+，所以00,4282x px p ===. 故选：B 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义和几何性质，属于基础题.8．已知双曲线一条渐近线方程为34y x =，则双曲线方程可以是（ ） A ．22134y x -=B ．22134x y -= C ．221169y x -=D ．221169x y -= 【答案】D【解析】分别求得四个选项中双曲线的渐近线，由此得出正确选项. 【详解】对于A 选项，双曲线的渐近线方程为3y x =±，不符合题意； 对于B 选项，双曲线的渐近线方程为23y x =±，不符合题意； 对于C 选项，双曲线的渐近线方程为43y x =±，不符合题意； 对于D 选项，双曲线的渐近线方程为34y x ，符合题意； 故选：D 【点睛】本小题主要考查双曲线渐近线，属于基础题.9．设随机变量2~(1,)X N σ，其正态分布密度曲线如图所示，且(13)0.9544P X -<≤=，那么向正方形OABC 中随机投掷40000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（ ）（附：若随机变量2~(1,)X N σ，则(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=(P X μσ-<)0.6826μσ≤+=)A ．26348B ．28112C ．24152D ．30156【答案】A【解析】根据(13)0.9544P X -<≤=求得σ的值，由此求得(01)0.3413P X <≤=，进而求得落入阴影部分的点的个数的估计值 【详解】由(13)0.9544(1212)P X P X -<≤==-<≤+，所以2σ=，所以(P X μσ-<)0.6826μσ≤+=，即(02)0.6826P X <≤=，所以(01)0.3413P X <≤=.所以落入阴影部分的点的个数的估计值为()4000010.341326348⨯-=.故选：A 【点睛】本小题主要考查正态分布计算，考查几何概型，属于基础题. 10．()()622321x x x ---的展开式中，含3x 项的系数为（ ）A ．348B ．88C ．232-D ．612-【答案】A【解析】根据乘法分配律以及二项式展开式，计算出含3x 项的系数. 【详解】()()662112x x -=-，所以含3x 项的系数为()()()()()12312366622232C C C -+-⋅-+-⋅-121202420348=--+⨯=.故选：A 【点睛】本小题主要考查二项式展开式指定项的系数，属于基础题.11．已知四面体ABCD 外接球的球心O 恰好在AD 上，等腰直角三角形ABC 的斜边AC 为2，DC = ）A ．254πB ．8πC ．12πD ．16π【答案】D【解析】根据已知条件求得球的直径AD 的长，进而求得球的半径，从而求得球的表面积. 【详解】由于四面体ABCD 外接球的球心O 恰好在AD 上，所以AD 是球O 的直径，所以三角形ACD 为直角三角形，所以4AD ==，所以球的半径为2，表面积为24π216π⋅=.故选：D【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的计算，属于基础题.12．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A =“4个人去的景点彼此互不相同”，事件B =“小赵独自去一个景点”，则(|)P A B =（ ） A ．59B ．49C ．13D ．29【答案】D【解析】分析：这是求小赵独自去一个景点的前提下，4 个人去的景点不相同的概率，求出相应基本事件的个数，即可得出结论．详解：小赵独自去一个景点，则有3个景点可选，其余3人只能在小赵剩下的3个景点中选择，可能性为33327⨯⨯= 种所以小赵独自去一个景点的可能性为427108⨯=种 因为4 个人去的景点不相同的可能性为432124⨯⨯⨯= 种，所以242|.1089PA B ==（） ． 故选：D ．点睛：本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键．二、填空题13．设随机变量X 服从二项分布，且期望()3E X =，其中13p =，则方差()3+5D X =______．【答案】18【解析】根据()E X 和p 的值求得n ，由此求得DX ，进而求得()3+5D X . 【详解】由于()13,93E X n p n n =⋅===，所以()1219233DX np p =-=⋅⋅=，所以()23+539218D X DX ==⋅=.故答案为：18 【点睛】本小题主要考查二项分布期望和方差的有关计算，考查方差的运算公式，属于基础题. 14．某几何体的三视图如下图所示，此几何体的体积为______．【答案】8【解析】根据三视图还原为原图，根据原图的空间结构，计算出几何体的体积. 【详解】根据三视图可知，该几何体的原图如下图组合体11A BCC B -为四棱锥，故其体积为1221222238332ABC S BB ∆⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=. 故答案为：8【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查锥体体积计算，属于基础题.15．已知点P是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的一点， F 1，F 2分别为椭圆的左.右焦点，已知∠F1PF 2=60°，且|PF 1|=3|PF 2|，则椭圆的离心率为______． 【答案】7 【解析】利用余弦定理和椭圆的定义列方程，化简后求得椭圆的离心率. 【详解】由213PF PF =，结合椭圆的定义和余弦定理有：()121222212123222cos 60PF PFPF PF ac PF PF PF PF ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=+-⋅⋅⎪⎩，化简得2277,164c c e a a ===. 故答案为：74【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查余弦定理，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.16．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，12AA =，2AB BC ==，90ABC ∠=︒，外接球的球心为O ，点E 是侧棱1BB 上的一个动点．有下列判断：①直线AC 与直线1C E 是异面直线；②1A E 一定不垂直于1AC ； ③三棱锥1E AAO -的体积为定值；④1AE EC +的最小值为23．其中正确的序号是______．【答案】①③④【解析】对四个判断逐一分析，由此确定正确判断的序号. 【详解】对于①，由于平面外一条直线与平面相交于一点，则此直线与平面内不过交点的直线互为异面直线，所以①正确.对于②，过1A 作11A E AB ⊥，交1BB 于E .由于1,BC AB BC AA ⊥⊥，所以BC ⊥平面11ABB A ，而11//BC B C ，所以11B C ⊥平面11ABB A .所以111B C A E ⊥，所以1A E ⊥平面11AB C ，所以11A E AC ⊥，所以②错误.对于③，由于1,,BC BA BB 两两垂直，所以三棱柱的外接球直径为1A C （或1AC ），也即球心在1AC 与1A C 的交点处.由于11//BB AA ,所以1//BB 平面1AA O ，所以动点E 到平面1AA O 的距离为定值，而三角形1AA O 面积为定值，所以三棱锥1E AAO -的体积为定值，所以③正确.对于④，将两个半平面11BB A A 与11BB C C 展开成矩形（平面图形）,则1AE EC +的最小值为2211111223AC AA AC =+==.故④正确.故答案为：①③④ 【点睛】本小题主要考查空间点线面位置关系，考查锥体体积计算，考查空间距离和的最小值的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.三、解答题17．40名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下：（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）根据频率分布直方图求出样本数据的中位数 （保留小数点后两位数字）和众数； （3）从成绩在[)50,70的学生中任选3人，求这3人的成绩都在[)60,70中的概率． 【答案】（1）0.005a =；（2）77.14，75；（3）16【解析】（1）根据频率之和为1列方程，解方程求得a 的值. （2）根据率分布直方图求中位数和众数的方法，求得中位数和众数. （3）利用古典概型概率计算方法，计算出所求的概率. 【详解】（1）依题意()23762101a a a a a ++++⨯=，解得0.005a =. （2）最高的小长方形的中点为75，故众数的估计值为75.由于()2310500.25a a a +⨯==，()23710700.6a a a a ++⨯==，设中位数为70x +，则0.2570.5a x +⋅=，解得7.14x ≈，故中位数为7077.14x +=.（3）[)50,70的人数为()40231010a a ⨯+⨯=人，[)50,60与[)60,70人数的比例为2:32:3a a =，即[)50,60中有4人，[)60,70中有6人，从中任选3人，这3人的成绩都在[)60,70中的概率为363102011206C C ==. 【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图计算参数的值，考查根据频率分布直方图计算中位数和众数，考查古典概型的概率计算，属于基础题.18．某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是34，甲、丙二人都没有击中目标的概率是112，乙、丙二人都击中目标的概率是13．甲乙丙是否击中目标相互独立．（1）求乙、丙二人各自击中目标的概率；（2）设甲、乙、丙三人中击中目标的人数为X ，求X 的分布列和数学期望． 【答案】（1）12,23 （2）分布列见解析， 23()12E X = 【解析】（1）根据已知条件列方程组，由此求得乙、丙二人各自击中目标的概率. （2）根据相互独立事件概率计算方法，计算出X 的分布列和数学期望. 【详解】（1）依题意设甲、乙、丙各自击中目标的概率为123,,P P P ，所以()132334311141213P P P P ⎧=⎪⎪⎪⎛⎫-⋅-=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⋅=⎪⎩，解得2312,23P P ==. （2）X 的可能取值为0,1,2,3.()1111042324P X ==⨯⨯=；()3111111121423423423P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯3121244++=;()3113121123621124234234232424P X ++==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==;()312134234P X ==⨯⨯=.故X 的分布列为数学期望为11111222446230123244244242412EX +=⨯+⨯+⨯+⨯===. 【点睛】本小题主要考查相互独立事件的概率计算，考查随机变量分布列和数学期望的求法，属于基础题.19．在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，2BC DC ==，90BCD ∠=︒，,E F 分别AC AD ，上的动点，且EF //平面BCD ，二面角B CD A --为60︒．（1）求证：EF ⊥平面ABC ；（2）若BE AC ⊥，求直线BF 与平面ACD 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（227【解析】（1）通过证明CD ⊥平面ABC ，且//EF CD ，由此证得EF ⊥平面ABC . （2）证得EFB ∠是直线BF 与平面ACD 所成角，解直角三角形求得直线BF 与平面ACD 所成角的正弦值.【详解】（1）由于AB ⊥平面BCD ，所以AB CD ⊥，由于,CD BC BC AB B ⊥⋂=，所以CD ⊥平面ABC ，由于//EF 平面BCD ，EF ⊂平面ACD ，平面ACD 平面BCD CD =，所以//EF CD ，所以EF ⊥平面ABC .（2）由（1）可知EF BE ⊥，而,BE AC AC EF E ⊥⋂=，所以BE ⊥平面ACD ，所以EFB ∠是直线BF 与平面ACD 所成角.由（1）知：,CD AC CD BC ⊥⊥，由面面角的概念可知60ACB ∠=，所以在Rt ABC ∆中，2,4,3BC AC AB ===由面积法得1122AC BE BC AB ⋅⋅=⋅⋅，所以2233BC AB BE AC ⋅⋅===所以22431CE BC BE =-=-=，3AE AC CE =-=，所以33,42AE EF EF AC CD ===.，在Rt BEF ∆中，22921342BF BE EF =+=+=.所以327sin 7212BEEFB BF∠===. 【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查线面角正弦值的求法，考查线面平行的性质定理，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20．某网站用“100分制”调查一社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取10名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）；若幸福度不低于95分，则称该人的幸福度为“极幸福”．（1）从这10人中随机选取3人，记X 表示抽到“极幸福”的人数，求X 的分布列及数学期望；（2）以这10人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的数学期望和方差． 【答案】（1）分布列见解析，6()5E X =（2）618(),()525E D ξξ==【解析】（1）利用超几何分布计算出X 的分布列和数学期望. （2）利用二项分布的知识计算出ξ的数学期望和方差. 【详解】（1）由茎叶图可知，10个人中，极幸福的人有4个.X 的可能取值为0,1,2,3，由超几何分布概率计算公式得，X 的分布列为：X123P034631016C C C = 124631012C C C = 2146310310C C C = 3046310130C C C =所以1131601236210305EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）由于()3,0.4B ξ，所以()630.4 1.25E ξ=⨯==，()()1830.410.40.7225D ξ=⨯⨯-==.【点睛】本小题主要考查超几何分布、二项分布有关的概念和运算，属于中档题.21．在平面四边形ACPE 中（图1），D 为AC 的中点，4,2AD DC PD AE ====，且,AE AC PD AC ⊥⊥，现将此平面四边形沿PD 折起，使得二面角A PD C --为直二面角，得到一个多面体，B 为平面ADC 内一点，且ABCD 为正方形（图2），,,F G H 分别为PB EB PC ，，的中点．（1）求证：平面FGH //平面ADPE ；（2）在线段PC 上是否存在一点M ，使得平面FGM 与平面PEB 所成二面角的余弦30PM 的长，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，且2PM =【解析】（1）利用面面平行的判定定理，证明平面FGH //平面ADPE .（2）建立空间直角坐标系，设出M 点坐标，利用平面FGM 与平面PEB 所成二面角30列方程，解方程求得M 的坐标，由此判断符合题意的M 点存在，以及求得PM 的长. 【详解】（1）由于,,F G H 分别为PB EB PC ，，的中点，所以////,//FH BC AD GF PE ，而直线FH 与直线FG 相交，直线PE 与直线AD 相交，由面面平行的判定定理得平面FGH //平面ADPE .（2）因为二面角A PD C --为直二面角，又,PD AD PD CD ⊥⊥，所以AD CD ⊥，由此建立如图所示的空间直角坐标系.()()()0,0,4,4,0,2,4,4,0P E B ，()2,2,2F ，()4,2,1G ，则()()4,0,2,4,4,4PE PB =-=-，设平面PEB 的法向量为()1111,,n x y z =，则11111114204440n PE x z n PB x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取11x =得()11,1,2n =.设()0,,4M m m -，则()()2,0,1,2,2,2FG FM m m =-=---，设平面FGM 的法向量为()2222,,n x y z =，则()()2222222202220n FG x z n FM x m y m z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+-+-=⎪⎩，取21x =得2221,,22m n m -⎛⎫= ⎪-⎝⎭.由平面FGM 与平面PEB 所成二面角的余弦值为306得12212221430222652m n n m n n m m -++⋅-==⋅-⎛⎫⋅+ ⎪-⎝⎭，解得1m =，所以()0,1,3M ，22112PM =+=.所以存在点M ，使得平面FGM 与平面PEB 所成二面角的余弦值为306，且2PM =【点睛】本小题主要考查面面平行的证明，考查根据二面角的余弦值求线段长，考查空间向量法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.22．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>6，一个焦点在直线2y x =上，若直线l 与椭圆交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为1k ，直线OQ 的斜率为2k ．（1）求该椭圆的方程． （2）若1213k k =-，试问OPQ ∆的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）2213x y +=；（2）是，32【解析】（1）根据焦点坐标和离心率，求得,a b 的值，进而求得椭圆离心率.（2）计算出,,sin OP OQ POQ ∠，由此列出OPQ ∆的面积的表达式，化简求得结果. 【详解】（1）依题意可知，椭圆焦点在x轴上，直线y x =+x轴的交点为()，故c =由于椭圆离心率为3c a a ====所以1b ==.所以椭圆方程为2213x y +=.（2OP 的斜率为1k ，直线OQ 的斜率为2k ，且1213k k =-，不妨设10k >，对应的倾斜角为α，20k <，对应的倾斜角为β.直线OP 的方程为1y k x =，由12213y k xx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得2221221133,1313P P k x y k k ==++，所以OP =同理可求得OQ =.πPOQ βα∠=-+，所以()()tan tan πtan POQ βααβ∠=-+=-()121212312k k k k k k -==-+.所以33sin k k k k POQ --∠==.所以2in 1s OPQ S O POQ P OQ ∆=⋅⋅∠⋅312k k -=92=92==. 【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆中三角形面积的计算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.。
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨高二上学期期末考试数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨高二上册期末考试数学模拟试题一、单选题1．直线0x y -=绕原点逆时针旋转90°后所对应的直线斜率为（）A ．-1B．3-C．3D ．1【正确答案】A【分析】根据给定条件，求出对应直线的倾斜角即可计算作答.【详解】因直线y x =的斜率为1，倾斜角为45°，则直线0x y -=绕原点逆时针旋转90°后所对应直线的倾斜角为135°，所以对应的直线斜率为tan1351︒=-.故选：A2．已知数列{}n a 为等差数列，410a =，23319a a +=，则5a =（）A ．9B ．11C ．13D ．15【正确答案】C【分析】利用等差数列的通项公式列方程组求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则4123131034519a a d a a a d =+=⎧⎨+=+=⎩，解得13,1d a ==，则514313a =+⨯=故选：C3．设双曲线的方程为22221x y a b-=，过点(),0a ，()0,b 的直线的倾斜角为150°，则双曲线的离心率是（）ABCD【正确答案】A【分析】由斜率公式得出b a =222c a b =+以及离心率公式求解即可.【详解】由题意得0tan150tan 3003b b k a a -==-=︒=-︒=--，即b a =222c a b =+，所以22222413c b e a a ==+=，又1e >，故3e =．故选：A ．4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且451S a a =-，则{}n a 的公比q 为（）A ．2B ．1-C ．2或1-D ．1或2-【正确答案】C【分析】首先根据等比数列以及题目所给条件，判断1q ≠，然后利用等比数列求和公式化简变形即可求解.【详解】因为451S a a =-，若1q =，则15140a a a =-=，不符合题意.则451S a a =-，可得()4141111a q a q a q-=--，因为10a ≠，则有44111q q q-=--，则1q =-或者2q =.故选：C5．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，则抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（）A ．3716B ．115C ．2D ．74【正确答案】C【分析】由=1x -是抛物线24y x =的准线，推导出点P 到直线1:4360l x y -+=的距离和到直线2:1l x =-的距离之和的最小值即为点P 到直线1:4360l x y -+=的距离和点P 到焦点的距离之和，利用几何法求最值．【详解】1x =- 是抛物线24y x =的准线，P ∴到=1x -的距离等于PF .过P 作1PQ l ⊥于Q ，则P 到直线1l 和直线2l 的距离之和为PF PQ+ 抛物线24y x =的焦点(1,0)F ∴过F 作11Q F l ⊥于1Q ，和抛物线的交点就是1P ，∴111PF PQ PF PQ +≤+（当且仅当F 、P 、Q 三点共线时等号成立）∴点P 到直线1:4360l x y -+=的距离和到直线2:1l x =-的距离之和的最小值就是(1,0)F 到直线4360x y -+=距离，∴最小值1FQ 4062169-+==+．故选：C ．6．在数列{}n a 中，112a =，111n n a a -=-2n ≥N n +∈，则2023a =（）A ．12B ．1C ．1-D ．2【正确答案】A【分析】利用数列的递推公式求出数列{}n a 的前4项，推导出{}n a 为周期数列，从而得到2023a 的值【详解】2111121a a =-=-=-，3211112a a =-=+=，431111122a a =-=-=，可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，202336741112a a a ⨯+∴===，故选：A 7．设函数()21ln 2f x ax x =+在()1,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．[)1-+∞，B ．()1∞-+，C ．[)0+∞，D ．()0+∞，【正确答案】C【分析】函数()f x 在()1,+∞上单调递增等价于()0f x '≥在()1,+∞上恒成立，参变分离，进一步讨论最值即可.【详解】由题意()10f x ax x '=+≥在()1,+∞上恒成立，即21a x≥-，又21y x =-在()1,+∞单增，210x ∴-<，则0a ≥．故选：C ．8．若函数2()e 3x f x k x =-+有三个零点，则k 的取值范围为（）A ．360,e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．362e,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(2e,0)-D ．36,e ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】运用分离变量法将k 与x 分开，将零点问题转化为两个函数的图像有三个交点的问题，数形结合容易得到答案.【详解】由()0f x =，得23e x x k -=，设23(1)(3)(),()e ex xx x x g x g x -+-='-=，令()0g x '=，解得121,3x x =-=，当13x -<<时，()0g x '>，当1x <-或3x >时，()0g x '<，且36(1)2e,(3)e g g -=-=，其图象如图所示：若使得函数()f x 有3个零点，则360e k <<.故选：A.二、多选题9．下列说法中正确的有（）A ．ππsin cos 44'⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．已知函数()f x 在R 上可导，且()11f '=，则()()121lim2∆→+∆-=∆x f x f xC ．一质点A 沿直线运动，位移y （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的关系为()21y t t =+，则该质点在2s =t 时的瞬时速度是4m /s D ．若()()y f x g x =⋅，则()()y f x g x '='⋅'【正确答案】BC【分析】A 选项，常数的导数为0；B 选项，由导函数定义求出()()()01121lim21x f x f xf ∆→+∆-'∆==，从而得到答案；C 选项，求导，代入求出()2242y '=⨯=，得到答案；D 选项，利用求导公式判断出D 错误.【详解】A 选项，0s πin =4''⎛⎫= ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；B 选项，由导函数定义可知()()()()()00121121l 1im l 1im 1212x x f f x f f x f x x∆→∆→+∆-+∆+'-==-∆=∆，故()()121lim2∆→+∆-=∆x f x f x，B 正确；C 选项，()2y t t '=，故()2242y '=⨯=，故该质点在2s =t 时的瞬时速度是4m /s ，C 正确；D 选项，若()()y f x g x =⋅，则()()()()y f x g x f x g x '''=⋅+⋅，D 错误.故选：BC10．已知圆22410x y x +--=，则下列说法正确的有（）A ．关于点(2,0)对称B ．关于直线0y =对称C ．关于直线320x y +-=对称D ．关于直线20x y -+=对称【正确答案】ABC【分析】求得圆心，结合对称性确定正确答案.【详解】圆22410x y x +--=即()2225x y -+=，所以圆心为()2,0，A 选项，()2,0为圆心，所以圆关于点(2,0)对称，A 正确.直线0y =，直线320x y +-=过圆心()2,0，所以圆关于直线0y =、直线320x y +-=对称，BC 选项正确.直线20x y -+=不过圆心()2,0，所以D 选项错误.故选：ABC11．数列{}n a 前n 项的和为n S ，则下列说法正确的是（）A ．若211n a n =-+，则数列{}n a 前5项的和最大B ．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若4815S S =，则816522S S =C．已知55a c =+=-，则使得,,a b c 成等比数列的充要条件为1b =D ．若{}n a 为等差数列，且10110a <，101110120a a +>，则当0n S <时，n 的最大值为2022【正确答案】AB【分析】对A ，可以采用临界法得到和的最大值；对B ，运用等差数列的和的性质易判断；对C ，等比中项的个数一般是2个；对D ，可以采用基本量法计算即可.【详解】A ：由通项公式知：数列是严格递减数列，又1234560...a a a a a a >>>>>>>所以数列{}n a 前5项的和最大，A 对；B ：在等差数列{}n a 中，4841281612,,,S S S S S S S ---成等差，48481,5,5S S S S =∴=又84412841241242()8412S S S S S S S S S S -=+-⇒=-⇒=，12884161241641642()14822S S S S S S S S S S S -=-+-⇒=-⇒=8165,22S S ∴=B 对；C ：,,a b c成等比数列，2,1,b ac b ∴=∴==±所以不是充要条件，C 错；D ：{}n a 为等差数列,10110a <，10111012101110120,0a a a a +>∴<<1202210111012202220222022022a a a aS ++∴=⨯=⨯>，所以D 错，故选：AB12．《文心雕龙》中说“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意思是自然界的事物都是成双成对的．已知动点P 与定点()3,0F 的距离和它到定直线l ：253x =的距离的比是常数35．若某条直线上存在这样的点P ，则称该直线为“成双直线”．则下列结论正确的是（）A ．动点P 的轨迹方程为221167x y +=B ．动点P 的轨迹与圆C ：()2234x y -+=没有公共点C ．直线1l ：45100x y +-=为成双直线D ．若直线y kx =与点P 的轨迹相交于A ，B 两点，点M 为点P 的轨迹上不同于A ，B 的一点，且直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，则121625k k ⋅=-【正确答案】CD【分析】根据题意先求出动点P 的轨迹方程为椭圆，再借助判别式判断直线1l 、圆C 与椭圆的位置关系即可；选项D 直接计算12k k ⋅的值．【详解】解：设(),P x y ，35=，化简得2212516x y +=，故A 错；联立()22221251634x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩消y 得()2216316425x x -+-=，整理得23501750x x -+=，()250431750∆=--⨯⨯>，故动点P 的轨迹与圆C ：()2234x y -+=有两个公共点，故B 错；联立221251645100x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩消去y 得2820750x x --=，()22048750'∆=-+⨯⨯>，故直线1l 上存在这样的点P ，所以直线1l ：45100x y +-=为成双直线，故C 对；联立2212516x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩消y 整理得()221625400k x+=，解得12x x ==，故1122y kx y kx ====不妨设,,A B ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭，设()00,M x y ，故220012516x y +=，则1020121020,y y y y k k x x x x --==--，1020121020y y y y k k x x x x --∴⋅=⋅--()()21212002121200y y y y y y x x x x x x -++=-++22022240016254001625k y k x k -++=-++，将2200161625y x =-代入上式，220212202400161616162525400251625k x k k k x k-+-+⋅==--++，故D 对．故选：CD ．本题D 的结论应当记住，也即2122b k k a⋅=-．当a b =时，121k k ×=-，此时动点P 的轨迹为圆，而这个结论是显然的，可以帮助我们记忆上述结论．三、填空题13．已知椭圆的方程为2244x y +=，则该椭圆的长轴长为______．【正确答案】4【分析】椭圆方程化为标准方程后可得长半轴长a ，从而得长轴长．【详解】由题意椭圆标准方程是2214x y +=，所以2a =，长轴长为24a =．故4.14．已知函数()()ln 1xf x a x =++，()04f '=，则=a ______．【正确答案】3e 【分析】求出导函数后解方程可得．【详解】由已知1()ln 1xf x a a x '=++，(0)ln 14f a '=+=，3e a =．故3e ．15．已知函数()sin f x x x =+，若2(1)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是___________.【正确答案】11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】先由函数奇偶性的判断得到()f x 是奇函数，再由导数得到()f x 在R 上单调递增，从而利用()f x 的奇偶性与单调性即可解得不等式得到a 的取值范围.【详解】因为()sin f x x x =+，所以()f x 的定义域为R ，显然关于原点对称，又()()()sin sin ()f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以()f x 是奇函数，又()1cos 0f x x '=+≥，所以()f x 在R 上单调递增，所以由2(1)(2)0f a f a -+≤得2(2)(1)f a f a ≤--，则2(2)(1)f a f a ≤-，所以221a a ≤-，即2210a a +-≤，解得112a -≤≤，即11,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故答案为.11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦16．将正奇数排列如下表，其中第i 行第j 个数表示(),ij a i j *∈N ，例如329a =，若2023ij a =，则i j +=______．【正确答案】67【分析】找到每行最后一个数的规律，写出通项公式，确定2023位于第45行，再确定其所在的列数，从而求出答案.【详解】每行最后一个数的排列为1,5,11,19,29，第n 行最后一个数的通项公式为()11n a n n =+-，其中444445119792023a =⨯-=<，454546120692023a =⨯-=>，所以2023位于第45行，且()20231979222-÷=，所以2023位于第45行，第22列，所以45,22,452267i j i j ==+=+=.故67四、解答题17．已知等比数列{}n a 为递增数列，满足2324a a +=，14108a a ⋅=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b 满足23log 2nn a b =，求11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和nT 【正确答案】(1)()1*23N n n a n -=⨯∈(2)()*N 21n nT n n =∈+【分析】（1）设出公比，利用等比数列的性质列出方程组，求出公比和首项，得到答案；（2）求出21n b n =-，利用裂项相消法求和.【详解】（1）设{}n a 公比为q ，∵数列{}n a 为等比数列，∴1423108a a a a ⋅=⋅=，又∵2324a a +=∴23618a a =⎧⎨=⎩或23186a a =⎧⎨=⎩，∵数列{}n a 为递增数列，∴23618a a =⎧⎨=⎩，∴3q =，12a =∴()1*23N n n a n -=⨯∈（2）2123323log log 2122n n n a b n -⨯===-∴()()111111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- -+-+⎝⎭∴()*11212111111111N 233522121n n T n n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++=-=∈ ⎪ ⎪++⎝⎝⎭--+⎭ ．18．已知函数()321313f x x x x =--+．(1)求函数()f x 的极值及相应的x 的值；(2)过点()0,1做曲线()f x 的切线，求切线方程．【正确答案】(1)=1x -时，()f x 有极大值83，3x =时，()f x 有极小值－8(2)310x y +-=或15440x y +-=【分析】(1)利用导数讨论函数的单调性和极值；(2)利用导数的几何意义求切线方程即可求解.【详解】（1）定义域为()2,23f x x x =-'-R ，令()0f x '=，解得=1x -或3x =x (),1-∞-－1()1,3-3()3,+∞()f x '+0－+()f x 单调递增83单调递减－8单调递增∴=1x -时，()f x 有极大值83，3x =时，()f x 有极小值－8．（2）设切点为()()00,x f x ，斜率为()2000 23k f x x x ==--'，∴切线方程为()()()2000023y f x x x x x -=--⋅-，又∵过点()0,1∴()()3220000001131233x x x x x x ⎛⎫---+=--⋅- ⎪⎝⎭∴32002 03x x -=∴00x =或032x =∴切点为()0,1或337,28⎛⎫- ⎪⎝⎭，切线方程为310x y +-=或15440x y +-=19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为长方形，2AB =，4=AD ，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PAD 是正三角形，M 是PD 的中点，N 是AB 的中点．(1)求证：//MN 平面PBC ；(2)求二面角A PB C --的正弦值．【正确答案】(1)证明见及解析【分析】（1）取PC 中点为E ，连结,BE ME ，证明MNBE 为平行四边形，得MN EB ∥，再由线面平行的判定定理得证；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．【详解】（1）证明：取PC 中点为E ，连结,BE ME ，∵M 是PD 的中点，E 是PC 中点，∴ME CD ∥，12ME CD =，∵N 是AB 的中点，底面ABCD 为长方形，∴BN CD ∥，12BN CD =，∴BN ME ∥，BN ME =，∴MNBE 为平行四边形，∴MN EB ∥，又∵MN ⊄平面PBC ，BE ⊂平面PBC ，∴//MN 平面PBC ；（2）过A 在平面PAD 内作l AD ⊥，侧面PAD ⊥底面ABCD ，交线为AD ，∴l ⊥面ABCD ，∵AB AD ⊥，以A 为坐标原点，以AB ，AD ，l 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,4,0D ，()2,4,0C ，(0,2,23P ，有()2,0,0AB = ，(2,2,3PB =-- ，()0,4,0BC =，设平面PAB 的法向量为()111,,n x y z = ，则00n AB n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111202230x x y z =⎧⎪⎨--=⎪⎩，∴11103x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，令11z =，所以()0,3,1;n = 设平面PBC 的法向量为()222,,m x y z =，同理00m BC m PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得：2222402230y x y z =⎧⎪⎨--=⎪⎩，∴2223y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，令21z =，则()3,0,1m = ，设二面角A PB C --的平面角为α，∴1cos ,4n m n m n m ⋅==⋅，所以1cos 4α=，∴15sin α=，所以二面角A PB C --的正弦值为154．20．已知数列{}n a 中，117a =，()*12530N n n n a a n +--⨯=∈，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足()*53N n n n b a n =-⨯∈．(1)求证：数列{}n b 为等比数列，并求{}n a 通项公式；(2)若对于*N n ∀∈，24n n b S λ≤+恒成立，求实数λ的取值范围．【正确答案】(1)证明见解析，()*253N n n n a n =+⨯∈(2)(],5λ∞∈-【分析】（1）由已知式凑配出()1153253n n n n a a ++-⨯=-⨯，从而得出{}n b 的递推关系，根据等比数列定义得证；（2）不等式变形为211222222n n n nλ+++≤=+，证明数列12{2}2n n ++是递增数列，从而易得其最小项，得出参数范围．【详解】（1）证明：∵()*12530N n n n a a n +--⨯=∈，∴1253nn n a a +=+⨯，∴1115325353n n n n n a a +++-⨯=+⨯-⨯，即()1153253n n n n a a ++-⨯=-⨯，∵()*53N n n n b a n =-⨯∈，∴12n n b b +=，∵117a =，∴1115320b a =-⨯=≠，∴12n nb b +=，∴数列{}n b 为等比数列，首项为2，公比为2，∴()*2N n n b n =∈，∵53nn n b a =-⨯∴()*253N n n n a n =+⨯∈；（2）∵()*2N nn b n =∈，∴()22122122212nn n S +-==--，∵24n n b S λ≤+，∴212422n n λ+⋅≤+-，∴211222222n n n nλ+++≤=+，设1222n n n c +=+，则()211*112212220N 222n n n n n n nn c c n +++++⎛⎫-=+-+=->∈ ⎪⎝⎭，∴1n n c c +>，∴{}n c 为递增数列，∴()21min 215n c c ==+=∴5λ≤，∴(],5λ∞∈-．21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，焦距为，且经过点P ⎭．(1)求椭圆C 的方程；(2)设1A ，2A 是椭圆C 的左、右顶点，Q 为直线6x =上的动点，直线1AQ ，2A Q 分别交椭圆于M ，N 两点，求四边形12A MA N 面积的最大值．【正确答案】(1)2219x y +=(2)【分析】（1）由焦距得c 及焦点坐标，由椭圆定义求得2a ，得出a 值，再计算出b 后可得椭圆方程；（2）设()6,Q t ，由对称性不妨设0t >，()11,M x y ，()22,N x y ，由直线方程与椭圆方程联立可用t 表示12,y y ，然后由()1212121212132A MA A NA S S S A A yy y y =+=+=-!!，代入后由函数单调性得最值．【详解】（1）∵2c =，∴c =()1F -，()2F ，∵经过点P ⎭，∴1262PF PF a +==，∴3a =．所以椭圆C 的方程为2219x y +=．（2）∵椭圆及直线6x =关于x 轴对称，不妨设()6,Q t ，(0)t >，()11,M x y ，()22,N x y ，()13,0A -，()23,0A ，则直线()1:39t QA y x =+，直线()2:33tQA y x =-，由()223999t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，消去x 得229610y y t t ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得1269ty t =+，同理由()223399t y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得2221ty t -=+，则四边形12A MA N 的面积为()1212121212132A MA A NA S S S A A yy y y =+=+=-!!()2224236232491109t t t tt t t t +=+=++++()()()()222222222231124242434343433t t t tttttt t t t +===++++++++，设23t u t +=(3u t t =+≥，当且仅当3tt =,即t =时等号成立)，4()f u u u =+，224(2)(2)()1u u f u u u +-'=-=，u ≥()0f u '>，()fu 是增函数，所以u =4y u u =+，S最大为t .方法点睛：圆锥曲线中面积最值的求解方法：由动点（或动直线等）设出参变量（如t ），设圆锥曲线上交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，并用参变量t 表示出交点的坐标，通过观察用交点坐标表示出相应面积，从而把面积表示为参变量的函数，再利用函数知识或基本不等式等知识求得最值．22．已知函数()2e 1=++xf x ax ．(1)当2a =-时，求()f x 的单调性；(2)()2220f x ax ax --->对0x >恒成立，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)()f x 在(),0∞-单调递减，在()0,∞+单调递增(2)(],2-∞【分析】（1）求出导函数()f x '，由()0f x '>得增区间，由()0f x '<得减区间；（2）引入新函数令()22e 1(0)x g x ax ax x =--->，且()00g =，求出导数()g x '，对()g x '进一步求导分类讨论确定()g x '的单调性，从而得()g x '的正负，确定()g x 的单调性后得出结论．【详解】（1）()2e 21xf x x =-+，定义域为R ，()()222e 22e 1x x f x =-=-'令()0f x ¢>，解得0x >，令()0f x '<，解得0x <∴()f x 在(),0∞-单调递减，在()0,∞+单调递增．（2）∵()2220f x ax ax --->，∴22e 10x ax ax --->，令()22e 1(0)x g x ax ax x =--->，且()00g =，()22e 2x g x ax a '=--，①当0a ≤时，对任意的0x >，()()22e 210xg x a x =-+>'，函数()g x 在区间()0,∞+上为增函数，此时，()()00g x g >=，符合题意；②当0a >时，设()()22e 2xh x g x ax a==--'()24e 2x h x a ='-，令()0h x '>，得2e2xa >，∴1ln 22a x >令()0h x '<，得2e2xa<，∴1ln22a x <∴()h x 即()g x '在1,ln 22a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1ln ,22a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，（i ）当1ln 022a≤时，即当02a <≤时，则函数()g x '在区间()0,∞+上为增函数，此时()()020g x g a ''>=-≥，则函数()g x 在区间()0,∞+上为增函数．此时，()()00g x g >=，符合题意；（ii ）当1ln 022a >时，即当2a >时，则函数()g x '在区间10,ln 22a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在区间1ln ,22a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，所以min 1()ln ln 0222a a g x g a ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭''，又()020g a '=-<，所以10,ln 22a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0g x '<，函数()g x 在区间10,ln 22a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当10,ln 22a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()00g x g <=，不符合题意．综上所述，实数a 的取值范围是(],2-∞．方法点睛：不等式恒成立问题的解决方法：（1）分离参数法，转化为求新函数的最值，从而得参数范围；（2）直接引入新函数，求出新函数的最值，由最值满足的不等关系得参数范围；（3）引入新函数，由于新函数的临界值（象本题(0)0g =），因此利用导数确定函数的单调性，只要函数满足单调性即可得出结论，从而转化为研究新函数的导函数的单调性与正负，利用分类讨论思想求解．。
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哈尔滨市第六中学2016-2017学年度上学期期末考试高二理科数学试卷考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色的签字笔书写, 字迹清楚； （3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则=n （ ） A ．100 B ．150 C ．200 D ．2502．如图所示，将图（1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图（2）中的几何体，则该几何体的侧视图为（ ）3．设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，点F 到渐近线的距离等于a 2，则该双曲线的离心率等于（ ）A ．2B ．3C ．5D ．3 4．已知两条直线b a ,，两个平面βα,，下面四个命题中不正确的是（ ） A ．,//,a b a b ααββ⊥⊂⇒⊥ B ．//,//,a b a b αβαβ⊥⇒⊥ C ．//,,m m αβαβ⊥⇒⊥ D ．//,////a b a b αα⇒ 5．下列命题中，说法正确的是（ ）a=0i=1WHILE i<=5 a=(a+i) MOD 5 i=i+1 WEND PRINT a ENDA ．命题“,0R x ∈∃使得20010x x ++<”的否定是：“,R x ∈∀均有012>++x x ” B.命题“若12=x ，则1=x ”的否命题为“若12=x ，则1≠x ” C ．若q p ∧为真命题，则q p ∨也为真命题 D ．“210<<x ”是“0)21(>-x x ”的必要不充分条件 6．已知椭圆193622=+y x 及点)2,4(P ，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( ) A.21 B.21- C.2 D.2- 7．甲、乙两位同学在高二5次月考的数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是21,x x ，则下列正确的是（ ） A ．21x x <，甲比乙成绩稳定 B ．21x x >，乙比甲成绩稳定C ．21x x >，甲比乙成绩稳定D ．21x x <，乙比甲成绩稳定 8．某程序框图如图所示，若输出的57=S ，则判断框内为( ) A ．?4>k B ．?5>k C ．?6>k D ．?7>k 9．某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的表面积是（ ）A ．17 BC ．610．如下程序运行后输出的结果为( ) A. 50 B. 5 C. 25 D. 011．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A ，若以C 的右焦点为圆心，4为半径的圆经过O A ,两点(O 为坐标原点),则双曲线C 的方程为（ ）A ．112422=-y x B ．19722=-y x C ．18822=-y x D ．141222=-y x 12．直三棱柱111C B A ABC -中，侧棱长为，2,1==BC AC 90=∠ACB ,D 是11B A 的中点，F 是1BB 上的动点,1AB ,DF 交于点E ,要使1AB ⊥平面DF C 1，则线段F B 1的长为( )A ．21B ．1C ．23 D ．2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置 13．执行下面的程序框图，输出S 的值为14．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[]30,5.17，样本数据分组为[)20,5.17，[)5.22,20,[)255.22，，[)5.27,25，[)30,5.27.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于5.22小时的人数是15．三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面,ABC PA PC AB ===4,30AC BAC =∠=， 若三棱锥P ABC -的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_________.16．如图，已知抛物线x y 42=的焦点为F ，直线l 过F 且依次交抛物线及圆41)1(22=+-y x 于 点,,,A B C D 四点，则||4||9CD AB +的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．（本小题满分10分）直线l 的参数方程为315(415x t ty t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数)与曲线22:1C y x -=交于,A B 两点.（1）求||AB 的长； （2）求AB 中点M 的坐标．18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AD ==，60BAD ∠=,E 、F 分别为BC 、PA 的中点.（1）求证：ED ⊥平面PAD ； （2）求三棱锥P DEF -的体积.19．（本小题满分12分）已知曲线)(sin 1cos :1为参数ααα⎩⎨⎧+==y x C ，)(sin cos 4:2为参数θθθ⎩⎨⎧==y x C（1）化21,C C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ， 90ADC ∠=︒，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是PC 的中点，2PA PD ==，112BC AD ==，CD . （1）求异面直线AP 与BM 所成角的余弦值； （2）求二面角Q BM C --的余弦值.21.（本小题满分12分）在梯形ABCD 中,BC ∥DA ,,2BE DA EA EB BC ⊥===，1DE =,将四 边形DEBC 沿BE 折起,使平面DEBC 垂直平面ABE ,如图2,连结,AD AC . （1）若F 为AB 中点,求证EF ∥平面ADC ；（2）在线段AC 上是否存在点M ,使得BM 与平面ADC 所成角的正弦值为322,若有，试确定点M 的位置，若没有，请说明理由.22.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为21，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+相切. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于不同的,A B 两点，且,22ab k k OB OA -=⋅求证：AOB ∆的面积为定值.高二理科数学答案一、选择题：ABCDC BDABD AA 二、填空题：237,181402π，， 三、简答题： 17.解：2243(1)(1)155t t +--+=即2770250t t +-= (2)（1）12||||AB t t =-==（2）1252M t t t +==- ，31(5)45M x =-+⨯-=- ，41(5)35M y =+⨯-=- ， 故(4,3)M -- ......10 18.解：（1）证明2,1,60,,CD CE DCB DE DE BC DE AD ==∠=︒∴=⊥∴⊥，PD ⊥平面ABCD ， PD AD ∴⊥ DE PAD ∴⊥平面 (6)（2）解：13P DEF PDF V S DE -∆=⨯⨯= (12)19.解：（1）221:(1)1C x y +-= 是圆，222:116x C y += ，是椭圆.....5 （2）12C C 和的极坐标方程分别为2sin ρθ=和2222cos sin 116ρθρθ+=射线的极坐标方程为6πθ=，则2sin16P πρ==，222cos 1196sin 16664Q ππρ=+=则||||p Q OP OQ ρρ==20.平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，90ADC ∠=︒PQ ∴⊥底面ABCD ， CD PAD ⊥平面AD ∥BC ，,BC QD BQ =∴∥CD (2)以Q 为原点，射线,,QA QB QP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，...1 （1；........7 （2） .........12 21.．证明(Ⅰ)取AC 中点N ,连接,FN DN FE ，, ∵ ,F N 分别是,AB AC 的中点,FN ∴∥BC 且12FN BC =又DE ∥BC 且11,2DE BC ==FN ∴∥DE 且,FN DE =∴四边形FNDE 为平行四边形EF ∴∥ND ,又EF ⊄平面,ACD DN ⊂平面,ACD EF ∴∥平面ADC (4)(Ⅱ)平面DEBC ⊥平面ABE 且交于,,BE AE EB ⊥AE ∴⊥平面,DECB AE DE ∴⊥由已知,,DE EB AE EB ⊥⊥,分别以,,EA EB ED 所在直线 为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系则(0,0,0),(0,0,1),E D (2,0,0),(0,2,0),(022)A B C ，，(2,0,1),(2,2,2)AD AC ∴=-=-设平面ADC 的一个法向量为(,,)n x y z =,则02022200n AD x z x y z n AC ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-++=⋅=⎩⎪⎩令1x =,则可得(1,1,2)n =- (7)BM 与平面ADC 所成角的正弦值为3,所以|cos ,|3BM n <>= 设000(,,)M x y z ,由AM AC λ=得000(2,,)(2,2,2),(22,2,2),x y z M λλλλ-=-∴-(22,22,2)BM λλλ∴=--,|cos ,|||||||BM nBM n BM n ⋅∴<>=3==,整理得2121650λλ-+=, 解得12λ=或56λ=, 所以M 点位于AC 的中点或位于靠近C 的六等分点上 (12)22.（Ⅰ）解：由题意得3,426002122222==⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+-=-==b a b b a c a c ∴椭圆的方程为13422=+y x .......4 （Ⅱ）设)(1,1y x A ，)(2,2y x B 则A,B 的坐标满足⎪⎩⎪⎨⎧+==+mkx y y x 13422消去y 化简得()0124843222=-+++m kmx x k∴221438k km x x +-=+，222143124k m x x +-= ，0>∆得03422>+-m k 2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++==2222222243123)438(43124kk m m k km km k m k +-=++-++-。