连续交通流模型及数值模拟
第6章 连续交通流模型
)
对于格林希尔治线性模型有：
u n 1 u f (1 j k n 1 j k jam )
如果无法获得u的解析表达式，可以从u-k曲线通过数值方 法获得其数值解。t0+Δt(n+1)时的流率为：
q k u
n j
n n j j
Ch6 连续交通流模型
14
[算例]假设某单车道公路，没有交通产生和离去的 影响，速度—密度关系按照Greenshields线性模型， 求守恒方程的数值解。
0.0004975 0.3 0.0004975 27.8 0.0004975(1 ) 2 2 10 0.035 4.424 105 (veh/m/ln)
Ch6 连续交通流模型 17
(2)根据初始条件（n=0），计算n=1时的密度k11
k 01 k 01 1 0 t k 1 (k j 1 k 01 ) u f [k 01 (1 j ) k 01 (1 j )] j j j j 2 2x k jam k jam
作业6-2：
编制计算机程序，采用数值解法求解上述守恒方 程，并绘制出密度k的图形。
要求：源程序、流程图、结果
Ch6 连续交通流模型
20
Ch6 连续交通流模型
21
x10m
特定时刻，密度的空间分布
特定地点，密度随时间的变化
Ch6 连续交通流模型 22
高级课题：
若边界条件：k(0,t)=t(1+t)/600000；其余条件均
k k um [ln 1] 0 k x t kj
uf e
k km
1 k k [1 ] 0 km x t
高速公路网交通流的分层建模和数值模拟的开题报告
高速公路网交通流的分层建模和数值模拟的开题报告一、研究背景及意义随着我国经济的快速发展以及城市化进程的加快，交通拥堵现象逐渐突出。
高速公路作为快速、安全、便捷的交通工具，是人们日常出行和物流运输的重要方式，其网络也日益成为国家经济发展和社会稳定的重要基础设施之一。
然而，随着车辆数量的不断增加，高速公路的交通流管理和控制变得越来越复杂，高速公路网络的道路交通流混杂和拥堵等问题也随之增加。
因此，高速公路网络交通流的分层建模和数值模拟研究就显得尤为重要。
高速公路交通流模型是指通过对高速公路网络畅通度、车辆速度、车辆流量、交通组织方式等重要因素进行建模，来对高速公路交通流进行描述和预测的数学模型。
高速公路交通流数值模拟是指通过数学、物理等手段对高速公路交通流进行数字化求解，以研究其运行状态、交通流量变化规律等，从而达到优化高速公路网络运行的目的。
因此，研究高速公路网络交通流的分层建模和数值模拟原理及应用技术，对于高速公路网络优化管理和交通拥堵治理工作具有非常重要的意义。
本文将针对这方面的研究进行探讨和分析。
二、研究方法和内容1.分层建模分层建模，即将高速公路网络交通流分为多个不同的层次进行描述，通常包括宏观层、中观层和微观层，并根据交通流特点和监测方式进行划分。
具体包括：（1）宏观层：以区域或者整个高速公路网络为一个整体进行建模，通过统计和实测得到的流量和车速数据进行分析，探讨高速公路网络的整体运行情况。
（2）中观层：以车道/车道组/收费站等为单位进行模拟，研究各个单元之间的交互作用和影响。
（3）微观层：以单个车辆为单位进行模拟，考虑车辆的行驶路线、速度和加速度，更加真实地反映高速公路交通流的运行情况。
2.数值模拟数值模拟是一种通过计算机程序对特定问题进行求解的方法，通过建立高速公路交通流的物理模型，以及定义其运动方程和控制方程，对高速公路网络进行数字化求解，以得到其实际运行状态以及流量、速度等参数的变化规律。
交通流的数学建模、数值模拟及其临界相变行为的研究
交通流的数学建模、数值模拟及其临界相变行为的研究1. 引言1.1 概述交通流作为城市运输系统的重要组成部分，对城市的发展和社会经济的繁荣起着至关重要的作用。
其复杂性和非线性特征使得理解和预测交通流行为成为一项挑战。
随着数学建模和计算机模拟的兴起，研究者们开始应用这些工具来揭示交通流背后的规律以及临界相变现象。
1.2 文章结构本文将从三个方面探讨交通流的数学建模、数值模拟及其临界相变行为研究。
首先，我们将介绍交通流的定义和背景，并概述常见的交通流模型。
然后，我们将详细讨论数学建模中所使用的方法和技术。
接下来，我们将探讨数值模拟在交通流研究中的基本原理，并列举一些常用的数值模拟方法。
最后，我们将介绍临界相变行为的概念，并探讨在交通规划和管理中应用临界相变现象进行案例分析。
1.3 目的本文旨在全面阐述交通流的数学建模、数值模拟以及临界相变行为的研究，以期增进对交通流特性和规律的理解。
通过深入探讨交通流背后的数学模型和计算方法，我们可以更好地预测和管理城市交通流量，从而提高道路利用率、减少交通拥堵，并促进城市可持续发展。
此外，我们还将提出对未来相关研究方向的展望和建议，以鼓励更多学者投身于这一领域的研究。
2. 交通流的数学建模：2.1 定义和背景：交通流是指道路上运动车辆的流动情况。
对于交通管理和规划等领域，了解交通流的行为及其变化规律非常重要。
为了研究交通流并进行预测和优化，数学建模成为一种有效的工具。
2.2 常见的交通流模型：在交通流建模中，常用的模型包括宏观模型、微观模型和混合模型。
- 宏观模型：宏观模型主要关注整个道路网络的平均车速、车辆密度和交通量等整体性质。
常见的宏观模型包括线性波动方程模型和Lighthill-Whitham-Richards（LWR）模型。
- 微观模型：微观模型关注单个车辆的行为。
车辆间相互影响以及驾驶员决策等因素被考虑进来，常见的微观模型有Cellular Automaton (CA) 模型和Car Following (CF) 模型。
连续交通流模型及数值模拟
连续交通流模型及数值模拟[摘要]本文对现有的交通流宏观模型进行了研究，总结了各种模型的思想、优缺点以及适用条件，在此基础上，选取了Payne 模型离散格式进行数值模拟，选取了某段高速公路的交通流作为模拟对象，展现了Payne 模型模拟交通流的可行性。
[关键字] 连续交通流；离散格式；数值模拟0 引言交通流理论研究加深了人们对复杂多体系统远离平衡态时演变规律的认识，促进了统计物理、非线性动力学、应用数学、流体力学、交通工程学等学科的交叉和发展等多学科的交叉渗透和相互发展。
交通流理论研究的对象是离散态物质，是一个复杂的非线性体系，对这类物质运动规律的描述，尚无成熟的理论。
在宏观的连续流模型中，交通流被比拟为连续的流体介质，即将流量、速度和密度等集聚变量视为时间和空间的连续函数。
模型包含时间和空间的状态方程，考虑了车辆的加速度、惯性和可压缩性，能够合理准确描述交通流的动态特性，相比微观模型有更大的优势。
连续流交通流模型通常用密度（k ）、速度（u ）、流量（q ）三个变量来描述[1]。
1 连续交通流模型1.1 LWR 模型1955年，Lighthill&Whitham 提出了第一个交通流的流体力学模型——流体运动学模型[2]，随后P.I.Richards 独立地提出了类似的交通流理论。
LWR 模型用k(x,t)和u(x,t)表示t 时刻位于x 处的交通流密度和平均速度，他们满足流体力学的连续方程：(),k q g x t t x∂∂+=∂∂ （1-1） 此方程反映了车辆数守恒，其中g(x,t)是流量产生率，对没有进出匝道的公路，g(x,t)=0， 对进口匝道，g(x,t)>0，对出口匝道，g(x,t)=0。
k 为交通密度，也称为交通流量；x ，t 分别为空间测度和时间测度。
设u 为空间平均速度，则存在以下关系：q k u =⋅ (1-2)对于平均速度u(x,t)，假设平衡速度——密度关系：()(,)(,)e u x t u k x t = (1-3)以上3个方程构成了完整的一阶连续交通流模型，LWR 模型的优点是简单明了，可以采用流体力学和应用数学中的成熟工具进行分析，而且可以描述诸如交通阻塞形成和消散之类的交通现象，但是，由于该模型的速度是由平衡速度密度关系决定，并且没有考虑加速度和惯性影响，因此不适用于描述本质上处于非平衡态的交通现象，例如车辆上、下匝道的交通、“幽灵式”交通阻塞、交通迟滞、时走时停的交通等。
连续交通流模型
速度动态模型、数值解法。 交通波模型、意义、解析解法、应用。
守恒方程(连续方程)
q k 0 x t q k 0 x t
q k g(x,t) x t
将k、q和x、t 联系，用来确定道路上任意路段的交通流状态
守恒方程的解
• 解析解：必须附加条件才能求解。缺点：条件简化 q=f(k) u=f(k) q=ku q k 0 — 〉
k( du )2 k dk x
按线性关系，为常数
观测车随交通流行驶
的加速度是密度梯度 k
的函数。
x
考虑车速的调整变化总比前方密度的变化滞后—— 连续型速度动态模型
u(x,t ) u[k(x x,t)] 左：对进行泰勒展开 高阶项略去
右：对x进行泰勒展开
u(x,t) du(x,t)
dt
=
u[k(x,t)] du[k(x,t)] k x dk x
,
g
0，已知;
各时段各路段g
n已知
m
；
— 〉k1m
— 〉u f (k);q1m ku
—
〉k
2 m
守恒方程的数值解——应用
• 多车道流体力学模型
q1 x
k1 t
g
Q1
q2 x
k2 t
Q2
q1 x
k1 t
g
Q1
q2 x
k2 t
Q2
k n1 1,m
1 2
(k1n,m1
kn 1,m1
)
t 2x
准确表示。 驾驶员总是根据前方密度来调 整车速。 理论上证明：
驾驶员总是根据前方密度来调整车速——理论分析
0110第五章连续交通流模型
(ku) k [kf (k)] k
xt xtFra bibliotekf (k) k k df k k 0 x dk x t
第一节 守恒方程
[ f (k ) k df ] k k 0 dk x t
f(k)为任意函数，可用格林希尔治速度—密度线性模型
u u f (1 k / k j )
代入上式可以得到：
进一步进行时间离散化，可以得到：
ui
(
j
1)
ui
(
j)
T
[u(ki
(
j)
ui
(
j))]
T i
ui
(
j )[ui1 (
j)
ui
(
j)]
T i
ki1( j) k( ki ( j)
j)
实用的速度动态模型
道路交通流空间平均速 度的动态变化
第二节 动态模型
●上述模型对于车道数目单一，出入匝道无太大进出流量冲击的公路，能够 较精确描述各种不同交通状况以及相互间的转变过程、常发性与偶发性 交通拥挤现象的出现及消除过程。
上式左侧对τ，右侧对△x进行泰勒级数展开，并略去高阶项得到：
u(x,t) du(x,t) u[k(x,t)] du[k(x,t)] k x
dt
dk x
第二节 动态模型
Δx的取值为： x s 1 k
令：
du
dk
同时：
du u u u dt t x
代入前面公式，可得：
u(x,t) du(x,t)
ΔN： ΔN =N2-N1 有如下公式：
N1 / t q1
N 2 / t q2
N / t q
第一节 守恒方程
如果Δx足够短，使得该路段内的密度k保持一致，那么密度增量Δk可表示为：
交通流的建模与仿真研究
交通流的建模与仿真研究第一章交通流建模交通流建模是交通学研究的基础，通过建立交通流的数学模型，可以更好地研究交通流的运动规律以及道路网络的拥堵情况。
目前常用的交通流建模方法主要有两种：微观模型和宏观模型。
1. 微观模型微观模型通常采用车辆为研究对象，将道路上的车辆视为一个个个体，考虑它们之间的相互作用以及各种限制条件下的运动规律。
微观模型可分为单车模型和多车模型，其中单车模型通常采用常微分方程进行建模，而多车模型常采用离散事件仿真技术进行求解。
2. 宏观模型宏观模型则将道路视为一个系统，通过对整个道路的交通流进行统计分析得出道路网络的交通状况。
常用的宏观模型包括LWR模型、GS模型以及CTM模型等。
其中，LWR模型采用偏微分方程描述交通流的演化，GS模型则将浓度-流速曲线作为模型的基础，CTM模型则是通过对交通流进行分段，进行连续的数学描述。
第二章交通流仿真技术交通流仿真技术是研究交通流行为和路网拥堵情况的重要手段，是对交通流建模的一种实践应用。
现有的交通流仿真技术包括离散事件仿真技术、连续仿真技术以及混合仿真技术。
1. 离散事件仿真技术离散事件仿真技术是一种基于事件的仿真技术，仿真过程中不断触发事件，通过实时修改模型的状态进行仿真。
离散事件仿真技术具有高精度的特点，能够准确模拟各种交通流场景，是现在广泛使用的仿真技术之一。
2. 连续仿真技术连续仿真技术将道路分段，建立数学模型来描述每一段道路上的交通流行为。
这种仿真技术通常使用微分方程或代数方程作为基础，仿真速度较快，但是相对于离散事件仿真技术，其仿真精度略低。
3. 混合仿真技术混合仿真技术结合离散事件和连续仿真技术的优点，通过将道路段和拓扑结构等进行细致的划分，在仿真过程中采用不同的仿真技术进行仿真模拟，从而提高仿真结果的准确性和仿真速度。
第三章交通流仿真软件目前的交通流仿真软件主要分为两类：商业软件和开源软件。
不同的交通仿真软件注重的问题和功能不同，通常被广泛应用于城市规划、交通管理以及交通流行为研究等领域。
高速公路交通流模型研究与仿真
高速公路交通流模型研究与仿真高速公路交通流模型研究与仿真是交通规划和运输管理领域的重要研究课题。
通过建立准确可信的交通流模型，可以帮助交通管理部门优化高速公路的道路设计和运营策略，提高交通效率和安全性。
本文将介绍高速公路交通流模型的研究方法和仿真技术，以及其在交通规划和管理中的实际应用。
一、高速公路交通流模型的研究方法1. 宏观交通流模型：宏观交通流模型是对道路网络中车辆总体的流动规律进行描述和分析的模型。
常用的宏观交通流模型包括流量-密度关系模型、速度-密度关系模型和流量-速度关系模型。
这些模型可用于预测高速公路上车辆的行驶速度、流量和拥堵情况等，并为规划者提供决策依据。
2. 微观交通流模型：微观交通流模型是对单个车辆在道路上行驶过程进行建模和仿真的模型。
通过建立交通流动力学模型、车辆跟踪模型和交通控制模型等，可以对车辆的行为和交通流的演化进行细致的研究。
微观交通流模型可用于评估高速公路的通行能力、拥堵时的交通行为和事故发生的概率等。
3. 混合交通流模型：混合交通流模型是宏观和微观交通流模型的综合应用，旨在提高模型的准确性和逼真度。
通过将宏观模型与微观模型相结合，可以在考虑交通流整体特征的同时，对车辆的个体行为进行精确建模。
混合交通流模型的研究方法主要包括基于数学模型的分析方法和基于仿真模型的实验方法。
二、高速公路交通流模型的仿真技术1. 计算机模拟：计算机模拟是一种基于数学模型和计算机算法的仿真技术，可以对交通流的行为进行动态模拟和分析。
通过编写交通流仿真软件，可以模拟车辆的行驶过程、交通信号的控制和交通事件的发生等。
计算机模拟技术可以为规划者提供交通流量预测、道路设计和交通管制等方面的参考依据。
2. 仿真实验：仿真实验是通过搭建真实物理模型或虚拟数字模型进行交通流场景模拟的技术。
通过模拟车辆、道路和交通环境等要素，可以观察和分析高速公路交通流的行为和特征。
仿真实验可以根据实际需要进行多次重复，探索不同的交通管理策略和交通流控制方法，以优化高速公路的运行效率。
高速公路交通流数学模型与仿真
高速公路交通流数学模型与仿真随着经济的发展和交通工具的普及，高速公路已经成为人们生活中不可或缺的一部分。
然而，高速公路交通流量大，车辆密度高，道路状况复杂，给驾驶员和交通管理者带来了巨大挑战。
因此，制定高效的交通管理方案和实现高效的交通控制就显得尤为重要。
本文将探讨高速公路交通流数学模型和仿真技术，以帮助我们更好地理解交通流动；同时，也有助于提高交通管理效率和道路安全水平。
1.高速公路交通流数学模型高速公路交通流模型被用于描述车辆在道路上的行驶情况。
它可以分为微观模型和宏观模型，对于交通管理和实际操作都具有重要意义。
微观模型是一种更接近车辆行驶行为的模型。
它通常运用确定性微观模型和随机性微观模型描述单个车辆的行驶过程。
确定性微观模型通常与微观交通仿真技术联系在一起，以显示道路上车辆的交互和行驶。
因此，基于微观模型的仿真技术能够更好地反映实际的交通状况。
宏观模型则是使用一个封闭的方程描述整个道路段的交通状况。
通常，它采用交通量，速度和密度三要素描述交通流动。
宏观模型适用于拥有大量车辆的高速公路，它可以提供一些全局的交通信息，从而为治理道路上的交通拥堵提供有用的参考。
2.仿真技术在交通流模型中的应用交通仿真模型是一种计算机模型，可以模拟真实道路上的车辆行驶行为。
仿真技术可以根据交通流模型的要素以及历史数据来模拟车辆的行驶过程，从而实时计算出实际道路上的交通情况，并提供预警和建议。
仿真技术可以应用于智能交通管理、交通预测、事故预警、系统优化等多个领域，在实际应用中具有广泛的用途。
此外，随着人工智能技术的迅速发展，一些新的交通管理模式已经出现，应用于仿真模型，比如，智能控制，智能导航，智能控速等，这些技术的发展，将改变未来交通的管理方式，提高城市交通的效率和安全性。
3.高速公路交通流数学模型和仿真技术的应用高速公路交通流数学模型和仿真技术的应用，是为了提高高速公路的交通流动效率和安全性。
它是一个多要素的关键技术，可以为交通管理者提供交通流程控制的可视化和实时控制、智能预测、故障诊断、决策、应急等服务。
7--交通波模型-2012
解：根据质量守恒定律： 流入量-流出量= Δ x内车辆数的变化
根据密度定义k＝ N/ L，间距 Δx 内的密度变化 Δk应为： Δk ＝（ N1-N2）/ Δx = -ΔN/ Δx
由流量定义，有：
q=N/ T=N/ Δ t 因此，流量变化Δ q= ΔN/Δ t, 带入上式，有：
ΔN= ΔqΔt= - ΔxΔk => Δq/Δx+Δk/Δt =0 两边取无穷小，变为
A段的车流速度为v1，密度为k1； B段的车流速
度为v2，密度为k2；分界线S的移动速度为W，
如图2所示。
S
W
在时间t内横穿S分界 线的车辆数N为：
V1，k1
V2，k2
x
A
B
N k1v1 W t k2v2 W t 图7.6 两种密度的车流运行状况
化简得：
W v1k1 v2k2 k1 k2
q ku
如果g(x,t) ＝0，u=f(k),这样我们可以把守恒方程 化为如下形式：
f
(k)
k
df dk
k x
k t
0
f(k) 可以是任一函数，如果采用格林希尔治速度— 密度线性模型，式（7-4）就变为：
u f
2u f
k k
k
j
x
k t
0
式中：u f — —自由流速度； k j — —阻塞密度。
根据宏观交通流模型：
Q kv
S W
V1，k1
V2，k2
x
得波速公式：
图7.6 两种密度的车流运行状况
W Q1 Q2 k1 k2
波速公式推导方法二（P160 自学）
三、停车波和起动波
1.模型的变化
交通流的动力学模型与数值模拟
第3卷第4期 上海大学学报(自然科学版) V o l.3,N o.4 1997年8月 JOU RNAL O F SHAN GHA IUN I V ER S IT Y(NA TU RAL SC IEN CE) A ug.1997・专题综述・交通流的动力学模型与数值模拟Ξ冯苏苇(上海市应用数学和力学研究所)提 要 随着经济的持续增长,交通问题已成为困扰我国城市发展的瓶颈之一.为了更好地进行城市交通规划与控制,亟待发展一种有效描述国内低速混合交通流动的数学力学模型.本文对国内外交通流理论中动力学研究的发展概况做一综述,详细介绍各流派理论和研究方法.关键词 交通流;动力学研究;运动学模型;动力学模型;动力论模型中图法分类号 TB1260 引 言交通流理论是一门运用物理学和数学工具描述交通特性的科学.与之相关的第一篇论文可追溯到1933年,K inzer首次提出并论述了Po isson分布应用于交通的可能性.早期的交通流研究主要是概率论方法.二战之后的经济复苏和工业发展,推动了交通流理论在50年代的飞跃.这个时期交通流研究除了车辆跟驰理论和排队理论外,最引人注目的是L igh th ill和W h itham(1955年)在名著《论动力波》中提出的交通波理论.七十年代也是交通流理论大发展的时期,以车辆跟驰思想为立足点的交通流动力学模型开始崭露头角,为交通流动力学研究揭开了崭新的一页,其中以1971年Payne提出的动力学模型及应用程序FR EFLO最为有名.目前,交通流理论研究呈现出百家争鸣的局面,细观上为阻塞疏导、交通分配,宏观上为交通控制和规划、交通的动力分析提供理论依据.由于交通现象中集体特征夹杂着个体行为而表现出的随机性和复杂性,加之研究者出发点、兴趣点以及立足点的不一致,使得交通流建模中,至今还没有一种统一的理论,能证明它优越于别的方法.交通流的动力分析模型,可以分为运动学模型、动力学模型和动力论模型.运动学模型是以交通波理论为代表的单方程模型;动力学模型不但考虑了车辆连续的守恒定律,同时考虑了车流加速度和惯性的影响,是双方程模型;动力论模型则将分子运动与Ξ收稿日期:1996210215 上海市科委和上海市教委资助课题 冯苏苇,女,1969年生,博士生;上海大学上海市应用数学和力学研究所,上海市延长路149号(200072)车流中大量个体车辆做比拟,引入Bo ltz m ann 方程来描述交通流的动力特性.此外,还有交通流的随机模型、网络模型等.进入90年代后,交通研究的新思路、新方法和新策略不断涌现,其主要思想体现为:用由交通特性衍生出的离散模型描述离散问题.动力学模型倾向于在离散的格点上建立方程,朝着实时化、随机化和网络化的方向发展;元胞自动机模型对宏观和微观交通的模拟亦十分引人注目.王明祺(1995年)从交通流的动力分析和交叉口延滞模型两大方面评价了交通流理论的研究进展和现状.本文对交通流理论中动力学研究的发展概况作一综述,详细介绍各流派的理论和方法.1 交通流基本关系描述交通流状态的三个最基本的参量是速度、密度和流量,其中前两者是独立的,流量定义为速度和密度的乘积.人们从直观出发,发现当车数稀少时,车辆可以畅行,随着车数增加,行驶速度受到限制而下降,当车辆密度超过某一个临界值时,交通阻塞发生了.这种车少速高、车多速低的关系,是初期交通流模型研究的主要对象,人们试图通过对大量观测结果的整理和分析,找出速度、密度和流量三者之间的两两关系.当然这种关系是解析的,也是静态的和经验的.在速度2密度关系中,典型的有Green sh ields 线性模型、Greenberg 对数模型、广义单段式速2密模型以及后来的多段式速2密模型.这种交通流模型及研究方法,直到今天,无论是交通流动力学研究,还是交通的控制和规划,仍被广泛应用.但也存在着一些问题,如速2密关系曲线近坐标两轴的值是靠延拓得到的,实测数据散布在曲线两侧,使得至今还没有一套完整的曲线能准确描述交通现象的复杂规律.车辆流动的物理特性以及经验公式描述的不完备,启发人们转向运用微分方程来处理交通问题.2 运动学(交通波)模型L igh th ill 和W h itham (1955年)在其名篇《论动力波》(O n K inetic W ave )中,描述了适用于公路上交通流动的一维波运动学理论.L igh th ill 和W h itham 推导了交通分布中状态量的变化沿公路的传播规律,论证了交通激波的存在、特性及其在交通分析中的应用.不久,R ichards (1956年)独立地提出了类似的交通流理论.这种描述交通流的一阶连续介质模型,被称为LW R 理论(LW R T heo ry ).它可以简述为:当所考虑的公路段中没有净流量流入时,则交通流量q 对空间x 的变化与车流密度k 对时间t 的变化可用车辆守恒律来联系5q 5x +5k 5t =0(1)此外,流量和密度在时空中所有点上可由一个连续的分段可微的状态方程描述q =S (k ,x ,t )(2)在L igh th ill 和W h itham (1955年)的文中详尽分析了状态方程与时间t 无关的情况.求解LW R 理论的传统方法是特征线法.特征线是这样一种曲线,它由初始条件已知的时空点上出发,如果任意点上对密度k (x ,t )的扰动(初始扰动或其他)不在曲线上,那么沿曲线的交通流密度是不变的.从其定义可知特征线不能相交,如果相遇就中止于该点,该处产生了“激波”.・444・ 上海大学学报(自然科学版) 第3卷为了找到特征线,将守恒律的q 用S (k ,x ,t )代替5k 5t +5k 5x 5S 5k =-5S 5x(3)因为左端项是k 在(x ,t )平面上沿方向(1,S k )的方向导数,特征线的斜率(也定义为波速W ave 2sp eed )为d x d t =S k (4)且密度沿特征线的增长率为d k d t =-S x (5)对于状态量均匀的公路,特征线是等密度和等流量的直线;对于状态量不均匀的公路,S k 和S x 是密度、空间和时间的函数.因此,特征线通过求解上述常微分方程组来找到.交通波理论提出后,一直到80年代都没有较大的进展,人们更关注于它的求解方法.B ick 和N ew ell (1960年)运用特征线法求解了两车道公路上双向交通流的一阶系统.L uke (1972年)针对某一类运动波问题提出了一个简化求解的最小化原则.N ew ell (1993年)再次独立地发现了这个最小化原则,并表明它可运用于一个函数A (x ,t ),其导数分别为q (x ,t )和-k (x ,t ),对于状态方程是三角形或梯形的特例,可采用手解或计算机求解,该法简单准确.在数值方法方面,M ichalopou lo s (1980年,1984年)运用有限差分法对间断交通流的激波解法做了探讨.L eo (1992年)运用M u r m an 格式求解了一阶连续模型.A n so rge (1990年)在LW R 模型中引入熵的概念,指出使用满足熵条件解的数值方法的必要性,并将TVD 格式用于求解LW R 方程.D aganzo (1994年)提出了一种有限差分法,称为单元传递模型(Cell T ran s m issi on M odel ),即使当解含有向任何方向传播的波或激波,它也可在每一个格点上近似于偏微分方程.这个方法已经推广到一般的交通网络中(D agnzo ,1995年).LW R 理论只含有一个连续方程,且有解析解,无论是采用特征线解法,还是数值方法,都简单方便.但对于真实的交通运作,这个解却缺少现实意义.因此,从60年代起,研究者纷图1 车辆跟驰模型纷转向非平衡状态下描述交通流加速度变化的双方程模型.3 动力学模型交通流的动力学模型含有两个方程:一个描述车辆连续性,另一个描述交通流的加速度和惯性影响.动力学模型最早是从车辆跟驰思想出发,P i pes (1953年)提出假设:车队中每辆车须和前车保持一定的跟随距离以免碰撞.这样,在一列行驶着的n 辆车的车队中,前后跟随的两辆车k 和k +1的运动相对距离可写为x k -x k +1=L +h k =1,2,3,…,n -1其中L 为第k 车的车长,h 为两车的车间空距.一般而言,两辆车的相互作用是单向的,即前车对后车有影响,而后车对前车无影响.前・544・第4期 冯苏苇等:交通流的动力学模型与数值模拟车速度的改变(加速或减速),后车为了避免碰撞,即要保持一个最小的车间空距,就要调整其速度.经过一个反应时间T 之后,有h =T x αk +1代入上式并两边对时间微分后,可得x βk +1=1T (x αk +x αk +1)(6)当前车速度大于后车时,后车加速,而前车速小于后车时,后车减速,这就是基本的车辆跟驰模型.车辆跟驰模型给出了最基本的车流加速度表达式.随后,P i pes (1969年)提出了交通流加速度的一般表达式为d u d t =5u 5t +u 5u 5x =-k d ue d k 25k 5x (7)式中u e (k )是对应着密度k 的车流的平衡速度.交通流的动力学模型认为,某一密度下的车流,经过一定的时间后,会达到一个平衡速度.根据这一思想,Payne (1971年)构造了平均速度u 与密度k 的关系u (x ,t +T )=u e (k (x +∃x ,t ))左右分别对T 和∃x 作展开后,得d u d t =5u 5t +u 5u 5x =-1T (u -u e (k ))-ΤkT 5k5x (8a )右端第一项为调节项(或松弛项),描述车流速度向平衡速度的调整,第二项为期望项,Τ为期望指数,反映驾驶员对前方交通状态改变的反应过程,T 仍为车辆跟驰理论中的反应时间(也称延滞时间).同样地,车流满足连续方程5k 5t +5q 5x=s (x ,t )(8b )式中s (x ,t )为流量产生率,对于入口匝道,s (x ,t )>0,出口匝道s (x ,t )<0,无进出匝道s (x ,t )=0.上述两式构成了完整的Payne 模型,Payne (1979年)将其离散化,编制了著名的FR E 2FLO 程序.这是第一个交通流动力学模型编制的计算机程序,也是第一次将交通流动力学模型运用于工程实践,但在实际运用中出现了一些问题.Payne (1979年)发现在高密度情况下,模型可能会遇到稳定性问题,其密度过高而不现实,可通过对k 和q 值加上约束来解决这一问题.R ath i (1987年)等人指出,该模型从车流速度到平衡速度的调节过程过于缓慢.后人在Payne 模型的基础上,不断加入新的内容.Papageo rgi ou (1983年,1989年,1990年)考虑了进出匝道流量对主干道交通流的影响d u d t =-1T (u -ue (k ))-ΤkT 5k 5x -∆us k(9)式中s 为进出匝道的流率,∆为参数,0≤∆≤1.Pap ageo rgi ou (1989年)还讨论了非线性、静态或动力学的三种流量与密度表达式.K ühne (1984年)引进交通流的粘性影响・644・ 上海大学学报(自然科学版) 第3卷d u d t =-1T (u -ue (k ))-c 205k 5x +Τ52u 5x 2(10a )式中c 0为等效音速,与车流跟驰的弹性有关,Τ为粘性系数.临界密度为k c =-c 05u e (k ) 5k (10b )当k <k c 时,交通状态是稳定的,当k ≥k c 时,交通则完全瘫痪.该模型可用于超拥挤状态的交通分析.M ichalopou lo s (1984年,1993年)等人在高阶模型中加入摩擦项和道路几何形状变化带来的影响d u d t =ΥT (u f (x )-u )-G -Τk Β5k 5x (11a )第一项是调节项,Υ为一标记,当上游到本路段的自由流速度有变化时为1,否则为0.T 为随密度k 变化的延滞时间T =t 01+rkk jam -rk (11b )式中t 0>0,且0<r <1为常数.方程中第二项是摩擦项G =Λk Εs(11c )描述匝道车流对主道车流的影响.第三项是期望项.方程中的参数由参数辨识过程确定.M ichalopou lo s (1985年)利用有限差分法编制成了计算程序KRONO S .吴正(1994年)针对中国大部分城市以低速混合交通为主的情况,将一维管道流动的动量方程引入交通流模型5(kA )t +5(kuA )x =05(kuA )5t +5(ku 2A )5x +A 5P 5x+ΣΞ=0(12a )并引入交通流压力比拟P =ck n (n ≥1)(12b )其中A 为车道数,ΣΞ为车流经过单位面积时所受的阻力,c 、n 为交通状态参数,调整其值就可使模型适于不同的交通情况.吴正(1991年)建立了相应的实测方法.Ro ss (1988年)认为交通流是一种不能压缩到某一临界密度(即阻塞密度值)之下的可压流体.他指出上述以Payne 为代表的交通流模型由于依赖于速度2密度的平衡关系u e (k ),在求解速度时造成了自锁,且密度过高.进而他提出了一个不依赖于速密平衡关系的极为简单的高阶连续介质模型d u d t =5u 5t +u 5u 5x =-u -u f T k <k jam 5q 5x=0 k =k jam (13a )约束条件为u ≤c k(13b )其中u f 为畅行速度,k jam 为阻塞密度,c 为道路的通行能力.・744・第4期 冯苏苇等:交通流的动力学模型与数值模拟高阶模型是一族含两个偏微分方程的方程组,没有解析解,依靠数值手段求解.N ew ell (1989年)针对Ro ss 的评价指出,对偏微分方程作不恰当的数值化是造成自锁的原因.Leo图2 两车道路段(1992年)认为对于交通流高阶模型构造有限差分格式,必须满足三个条件:(1)能正确捕获弱解,即当∃x ,∃t →0时,能满足跳跃条件,使得激波出现且以正确速度传播;(2)能捕获物理相关解,即满足熵条件;(3)能捕获激波阵面,而不至于过度抹平.满足上述三个条件的有A n so rge (1990年)的二阶TVD 格式,满足前两个条件的一阶迎风格式可参见O sher (1982年),H uang (1981年)和M u r m an (1974年)…….图3 参数辨识过程计算流程为了使高阶模型能够刻画真实的交通现象,符合实际的交通流动情况,高阶模型中一般含有数个待定常数,如畅行速度、阻塞密度、反应时间、期望指数等效音速、摩擦系数等.这些常数的大小变化反映了交通的不同状态和特性,依靠一个与实测数据相关的参数辨识过程来确定.C rem er (1981年)概括了交通流模型的参数辨识思想.图2是所考察路段,在路头、尾及路段中各布置三台传感器采集实时数据,设状态矢量X T =[k 1Τ1…k n Τn ],输入矢量U T =[q 0w 0q n w n ],输出矢量Y T =[q j w j ],其中w j 为第j 段上时间nT 至(n +1)T 的车辆调和平均速度,Τj 为时间段nT 的平均速度,未知参数矢量ΒT =[Τf ,k m ax …].设U δ(n ),Yδ(n ),n =1,…,N 是一系列由传感器测得的真实流动数据.按时间离散化后的差分方程可写为X (n +1)=f [X (n ),U (n ),Β]Y (n )=g [X (n ),Β](14)找到一组Β,使得判据I (Β)=∑Nn =1[Y 1(n )-Y δ(n )]T Q [Y (n )-Yδ(n )](15)最小.Q 是一个2×2的正矩阵Q =Χ001其中Χ是权因子Χ=Ρ2w Ρ2qΡ2w ,Ρ2q 为实测变量中确定性方程无法描述的随机分量的变差.计算流程如图3.・844・ 上海大学学报(自然科学版) 第3卷4 动力论模型交通在低密度的情况下是个别车辆的流动,在高密度时则以车队形式流动,这一事实启示了交通与分子运动论描述的气体相似.P rigogine (1971年)引入速度分布函数f (x ,u ,t ),它满足一定区域的连续性方程d f d t =5f t +u 5f x=0(16) P rigogine 的分子运动方程描述了多车道交通的三种主要特征:逐次近似过程或加速过程,表示驾驶员试图达到想要的速度;相互影响过程或减速过程,它引起快慢车之间的冲突;以及调整过程,它围绕平均速度减少方差:d f d t =5f 5t +u 5f 5x=5f 5t 逐次近似+5f 5t 相互影响+5f 5t 调整=-(f -f 0) T +(1-P )k (u -u θ)f +Κ(1-P )k [∆(u -u θ)-f ](17)f 0(x ,u ,t )d x d t 表示在(t ,d x )内速度在u 与u +d u 之间的车辆数,当分布f 不同于f 0时,就要随时间常数T 向f 0逐次接近.P 为超车的概率,Κ为参数,∆为关于(u -u θ)的∆函数.Ph illi p s (1978年)从对Bo ltz m ann 方程取矩的运动方程出发,将车辆的相互作用类比于气体动力论中分子的相互作用,推导出下列动量方程d u d t =Κ(k )[u -ue (k )]-1k 5P 5k 5k 5x(18)式中P =P (k ,u )称为交通压力,为密度与交通速度分布的方差之积.该模型有严格的理论基础,能考虑多车道公路上的超车因素和车道改变因素,但要确定压力函数以及其中的各参数却非常复杂.P rigogine 和Ph illi p s 提出各自的动力论模型之后的很长一段时间,动力论模型对交通流的模拟没有大的进展.最近,N elson (1995年)指出,动力论在空间和与时间相关的速度上生成了车辆的统计分布,在一定意义上,这种理论在个别车辆状态(位置和速度)的描述理论(如车辆跟驰模型)和以统计分布作平均的宏观模型之间起媒介作用,因而运用动力论手段建立交通流模型更适当,而且更有用.5 元胞自动机模型交通问题中的研究对象,如车辆和人,都是不连续的,车流运动有很大的随机性和不确定性.元胞自动机(Cellu lar A u tom ata )在模拟各种自然现象方面的应用非常广泛,启发人们用它来模拟交通问题.B iham (1992年)等人首次运用元胞自动机模型在二维点阵上模拟了城市交通,被称为BM L 模型.其思想是,在一个N ×N 方阵上,每个格点可有三种状态:没有车辆,有一辆由南向北行驶的车辆,或有一辆由东向西行驶的车辆.开始随机地设置车辆分布,然后按一定的规则运转系统:在每一步上,只允许某个方向的车辆运动,以此模拟交通灯对交通系统的控制;在运行中,如果车辆前面的格点被其他车辆占据,那么只能在原格点上等候,不能向前运动,这一规划反映本向或对向的交通干扰.BM L 模型揭示,当模拟系统・944・第4期 冯苏苇等:交通流的动力学模型与数值模拟中车辆密度超过一个临界值时,系统就会发生堵塞以至瘫痪,称为运动相到阻塞相的相变.这与交通工程的研究结果是一致的.许多理论工作者在BM L 模型的基础上,做了大量的工作,每年都有元胞自动机模拟宏观和微观交通问题的论文发表.N agatan i (1993年)研究了由于交通事故造成的阻塞对二维系统相变的影响.顾国庆(1995年)采用二维非均匀点阵的元胞自动机模型,指出车辆抛锚、道路中断、收费站、立交桥、道路等级差异等多种因素对交通系统的宏观性质有相当复杂的影响.Chung (1995年)在研究了交通灯失灵对系统的影响时发现,当车辆密度较低时,无交通灯能加速全局交通,但车辆相变密度随着坏灯浓度的增加而降低.在元胞自动机模拟微观交通方面,N agatan i (1993年)利用一维确定论的元胞自动机模型模拟了车辆改变车道的效应.Cuesta 等(1993年)引入转向指数,研究了能够改变车辆运动方向的元胞自动机模型.F reund 等(1995年)则在元胞自动机模型中加入了实际的交通规则,在微观上模拟了十字路口的交通运行情况.元胞自动机模型对交通系统的模拟实践了一种用离散化模型描述离散化问题的思想,避免了流动比拟下,确定论方程的严格假设以及求解离散化对真实信息的损失.如何将元胞自动机模型与交通实际结合起来,还需要做进一步的工作.6 其它模型针对交通现象的随机性、车辆流动的离散性等特点,最近一些学者提出了随机模型和离散模型,并试图将单一公路上的车流模型推广至具有广泛应用价值的交通网络上.W eits (1992年)将随机理论引入到交通流建模中.一般地,稳态的高密度多车道高速公路(无进出匝道)的交通流宏观模型包含双方程5k 5t =-5(kv )5x 5v 5t =f k ,v ,5k 5x ,5v 5x,…(19)其中f 是非线性函数,构造f 使模型具有平衡解k =k 0,v =v 0,k 0和v 0是常数.在平衡点(k 0,v 0)附近将方程线性化(称为稳定假设),再引入稳定假设未考虑的随机扰动,有5R 5t =k 52R 5x2-C 05R 5x +Ρd B (t )d t (20a )其中R 是k 对k 0的偏差,即R =k -k 0,K 和C 0为与k 0有关的正常数,B (t ,x )为扰动过程,Ρ为其系数.假定B (t ,x )为一稳定的高斯过程,根据随机理论,R (t ,x )可由其协方差函数r (∃,Z )确定Χ(∃,Z )=A ∫∞11L 2exp (-Β ∃ L 2)co s 2ΠL Z -C 0∃sd L (20b )其中A =Ρ2s (4Π2K ),Β=4Π2K s 2.s 为干扰的最大范围,∃=t -s ,Z =x -y ,(t ,x )和(s ,y )分别为时空平面上的两点.H illiges (1995年)介绍了一种宏观的现象学模型(Phenom eno logicalM odel ),用来实时模拟具有多个源汇的公路大系统.模型构造于离散的单元上,每个单元代表着长度为∃x 的公路路段,公路上车流的动力行为由第i 个单元上车辆数N (i ,t )以及平均速度v (i ,t )变化・054・ 上海大学学报(自然科学版) 第3卷的平衡方程描述d N (i ,t )d t =∃x 5k (i ,t )5t =k (i -1,t )v (i ,t )-k (i ,t )v (i +1,t )5v (i ,t )5t =1Σ[v k (i ,t )-v (i ,t )]+Ε[v (i -1,t )v (i ,t )-v (i ,t )v (i +1,t )](21a )这里N (i ,t )=∃x k (i ,t ),Ε=12∃x,Σ为延滞时间,v k (i ,t )由每个单元独立确定.交通流研究对象与流体的颗粒不同之处,在于驾驶员表现出一个期望行为,这样对于相邻的单元,引入一个特殊的非流体力学假设:j k (i →i +1,t )=k (i ,t )v (i +1,t )j v (i →i +1,t )=Εv (i ,t )v (i +1,t )(21b )即i 单元中的驾驶员不会对本单元的车辆速度产生反应,而只对前方i +1单元的车速起反应.H illiges 将上述思想推广至一般网络中,得到交通流的网络模型.7 结 语国外成熟的交通流理论,是建立在车辆相互紧随、车辆间不能相互超越的假定上,适合于行车条件极佳的高速公路或公路干道情况.不论是交通流的运动学理论,还是动力学和动力论理论,都是从宏观角度采用连续介质模型来描述交通状态,在方程中包含了时间和空间变量,兼顾了交通流的流动特性.实际的交通并不是真正的连续流体介质,个体车辆的相互作用、驾驶员的反应、判断的随机性等因素对交通流的运动特性都有很大的影响.因此,在连续模型的基础上,还原交通流离散化、随机化的流动特点,使交通流模型能更好地描述交通的真实流动,是今后交通流动力学研究的主旨.目前,交通问题已成为困扰我国大中城市发展的瓶颈之一.与国外交通情况不同的是,国内交通由于大多数情况下是机动车与非机动车的混合运行,呈现车速偏低的状态.城市交通控制和规划需要一种或多或少精确描述交通流动的数学模型,因此进一步工作可结合我国国情,在参考国外研究结果的基础上,研究一种适合国内城市低速混合流态的数学模型以及进行相应的数值模拟.参 考 文 献1 A nso rge R .T ranspn R es ,1990,24B ∶133-1432 B ick J H ,N ew ell G F .Q A pp M ath ,1960,18(2)∶191-2043 B iham O ,M iddleton A A ,L evine O .Phys R ev ,1992,A 46∶6124-61274 Chung K H ,H ui P M ,Gu G Q .Physical R ev E ,1995,51(1)∶772-7745 C rem er M ,Papageo rgi ou M .A utom atica ,1981,17∶837-8436 Cuesta J A ,et al .Phys R ev ,1993,E 48∶4175-41787 D aganzo C F .T ranspn R es ,1994,28B ∶269-2878 D aganzo C F .T ranspn R es ,1995,29B ∶79-939 D aganzo C F .T ranspn R es ,1995,29B ∶261-276・154・第4期 冯苏苇等:交通流的动力学模型与数值模拟10 F reund J ,Po schel T .Phyca A 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ttleneck s to ob struct the developm en t of civil cities .In the cases of civil traffic w here veh icles run at low speed and together w ith b icycles ,an effective m athem atical and m echan ical m odel is u rgen tly needed fo r traffic con tro lling and p rogramm ing .T h is paper gives a su rvey of the p rogress on traffic dynam ics in and ou tside the coun try and in troduces vari ou s k inds of traffic dynam ical theo ryand m ethodo logy in detail.Key words :traffic flow ;dynam ical study ;k inetic w ave m odels ;dynam ical m odels ;k inetic m odels ・354・第4期 冯苏苇等:交通流的动力学模型与数值模拟。
高速公路交通流模型的数学建模与仿真
高速公路交通流模型的数学建模与仿真高速公路已经成为我们日常生活中一个不可或缺的交通工具，而高速公路上的车流量也越来越大，如何对高速公路的交通流量进行建模与仿真，是一个非常有意义和挑战性的研究领域。
本文将从数学建模、数学仿真等方面探讨高速公路交通流模型的研究进展。
一、高速公路交通流的数学建模1. 宏观模型宏观模型是基于对高速公路上车辆集合行驶过程的描述，以统计分析的方法进行预测和控制的模型。
这种模型忽略车辆之间的距离和时间间隔，仅从车流量、平均车速、车道数量、最大速度、通行能力等角度来考虑。
其中最经典的宏观模型是Lighthill-Whitham-Richards（LWR）模型，它采用的基本假设是车辆集合的压力会导致交通流的压缩，进而影响车辆密度和流量。
LWR模型以一维连续守恒方程为基础，不仅可以得到高速公路交通流的通行能力和瓶颈位置，还可以有效地预测车辆密度、速度和流量等交通指标。
2. 微观模型微观模型是基于车辆之间的互动，通过对每辆车的行驶过程进行描述来得到高速公路交通流特性的模型。
这种模型通常使用数学形式来描述每辆车的动力学方程，以模拟车辆在高速公路上的运动轨迹。
同时，微观模型也通常考虑车辆之间的相互作用、交通信号等因素对车辆行驶的影响。
著名的微观模型有保持距离模型（IDM）、汽车运动模型（MOT）和车间距模型（GMC）等。
二、高速公路交通流的数学仿真数学仿真技术基于对数学模型的计算机处理，以可视化的方式模拟高速公路交通流的特性。
常见的数学仿真技术包括：蒙特卡罗方法、离散事件仿真、连续仿真等。
1. 蒙特卡罗方法蒙特卡罗方法是一种统计计算方法，它基于随机数生成来模拟随机事件的过程。
在高速公路交通流的仿真中，蒙特卡罗方法可以通过生成大量的随机车辆行驶数据，模拟高速公路上车辆的进出、车速等行驶特性。
2. 离散事件仿真离散事件仿真是一种基于事件驱动的仿真技术，它考虑车辆在运动过程中遇到各种事件，例如车辆的加速、减速、变道、超车等。
高速公路交通流模型与仿真分析
高速公路交通流模型与仿真分析随着城市化进程的加速，高速公路已成为我国城市交通中的重要组成部分。
高速公路的建设不断推进，然而，高速公路的交通流量呈现出逐年增加的趋势。
出现拥堵的情况也越来越普遍，这不仅影响了人们的出行体验，也阻碍了经济社会发展。
然而，如何有效地解决高速公路拥堵问题，提高公路的通行效率，成为当下急需解决的重要问题。
本文就高速公路交通流模型与仿真分析展开讨论。
一、高速公路交通流模型高速公路交通流模型分为宏观和微观两种。
其中，宏观交通流模型是在道路交通流整体上进行研究，其基本单位是时间和空间，并且重点在于平均交通流量和交通流密度。
而微观交通流模型则是在个体车辆水平上考虑交通流的运行，其基本单位是车辆，并且重点在于交通流的运行规律、车流的组成和单车驾驶行为。
1.宏观交通流模型宏观交通流模型通常采用基于宏观观测的描述方法。
比较常见的三种方法分别是流量-密度-速度模型、流量-速度-交通状况模型和流量-密度-互动模型。
①流量-密度-速度模型流量-密度-速度模型也被称为Lighthill-Whitham-Richards模型，其主要思想是研究交通流密度、流量和速度之间的关系，通过分析每个车道的平均速度，来描述交通流量-密度-速度之间的关系，由此得到理论交通流模型。
这种模型有助于对高速公路拥堵的发生、影响因素以及拥堵的影响范围进行研究。
②流量-速度-交通状况模型流量-速度-交通状况模型是一种基于驾驶员行为的描述模型，通过建立速度、流量和交通状况的关系，分析道路通行能力和交通流量的变化特征，从而预测拥堵发生的可能性。
该模型主要应用于研究交通流的行为和特征。
③流量-密度-互动模型流量-密度-互动模型是一种模拟交通流时，考虑了车辆与车辆之间互相作用所产生的影响的模型，该模型建立了车辆密度对交通流的影响。
通过考虑各方面因素之间的互动作用，可以更好地模拟实际的高速公路交通流，从而得出仿真结果。
2.微观交通流模型微观交通流模型通常采用基于车辆行为的描述方法。
第五章 交通流模型
k1j
1 2
(k
0 j 1
k
0 j 1
)
t 2x
uf
[k
0 j 1
(1
k0 j1
k jam
)
k 0j1(1
k0 j1
k jam
)]
j 0时，
k01
1 2
k10
t 2x
uf
k10 (1
k10 k jam
)
0.0004975 0.3 27.8 0.0004975(1 0.0004975)
连续交通流模型
13
Q1 [(k2 k1) (k20 k10 )]
Q2 [(k1 k2 ) (k10 k20 )]
其中：α为敏感系数，单位：s-1； ki0是第i车道的平衡密度（反映了容纳
车辆的能力）。 由于系统封闭，流量守恒，Q1+Q2=0
连续交通流模型
14
2. 模型改进
①敏感系数可变，随两车道之间密度的不同而不同
1 2
(k2n, j1
k2n,
j 1 )
t 2x
(G2n,
j 1
G2n,
j 1 )
t 2
(Q2n, j1
Q2n, j1),
j 1,2,...,J
式中：
Qn 1, j
ns 1, j
[(k2n,js
k1n,
s j
)
(k20
k10 )]
Qn 2, j
[(k ns ns 2, j 1, j
k ns 2, j
离散： k0j=jΔx(L-jΔx )/40000000,j=0,1,2,….,200
注意：当 j＜0，取j=0
k n1 j
高速公路交通流建模与仿真分析研究
高速公路交通流建模与仿真分析研究随着城市化进程的不断加快，高速交通对于现代社会的发展具有重要的意义。
高速公路作为主要的交通枢纽之一，其交通流状况对于提高交通效率、解决交通拥堵问题以及保障行车安全等方面非常重要。
因此，对高速公路交通流进行建模与仿真分析研究具有重要的理论和实践意义。
一、高速公路交通流的建模与仿真方法1. 宏观模型：宏观模型主要关注整个高速公路网络的交通流状况。
它以整个交通流为对象，通常通过流量-速度-密度关系来描述交通流的行为。
常用的宏观模型有LWR（Lighthill-Whitham-Richards）模型、CTM（Cell Transmission Model）模型等。
这些模型可以反映高速公路的交通流运行特征以及堵塞传播等现象。
2. 微观模型：微观模型更关注个体车辆的运行行为。
它通过模拟单个车辆的运动来研究整个交通流的演化过程。
常用的微观模型包括车辆追踪模型（如Vissim、Paramics）、流动车辆模型等。
这些模型可以提供更详细的车辆运行信息，对交通流的细节行为进行分析。
3. 混合模型：混合模型是宏观模型与微观模型相结合的方法。
它综合考虑了整体交通流和个体车辆的行为，并对交通流的动态变化进行建模和仿真。
混合模型可以兼顾宏观和微观的优点，更好地反映高速公路交通流的运行状态。
二、高速公路交通流建模与仿真分析的应用1. 交通流预测与优化：通过建立合适的交通流模型，可以对高速公路交通流进行预测和优化。
通过分析交通流的变化趋势，可以预测交通拥堵的产生，并采取合适的措施来调整交通流，提高交通效率。
2. 交通安全评估：交通流建模与仿真分析可以帮助评估高速公路的交通安全状况。
通过模拟交通流的行为，可以识别潜在的安全风险，并采取相应的措施来提高高速公路的交通安全性。
3. 收费策略制定：交通流建模与仿真分析可以为高速公路的收费策略制定提供依据。
通过模拟不同的收费方案，可以评估不同方案对交通流的影响，从而制定出更合理的收费策略。
高速公路交通流动模型模拟研究
高速公路交通流动模型模拟研究高速公路是现代交通运输的重要组成部分，其交通流量的变化与管理直接关系到出行效率和安全。
针对高速公路交通流量的研究，交通流模型模拟成为了一种重要的研究方法。
本文将从交通流动模型、数据采集和仿真模拟三个方面探讨高速公路交通流动模型模拟研究。
一、交通流动模型交通流动模型是交通领域中最为重要的一个分支，其通过描述高速公路上的车辆之间相互作用、车辆运动行为、环境因素等方面来模拟交通流量。
交通流动模型广义上包括微观模型和宏观模型两个层次，其中微观模型可模拟单个车辆在高速公路上的行驶过程，宏观模型则着重于整体交通流量分析。
高速公路交通流量的研究通常采用微观模型，利用道路交通地图、车辆信息和动态路况等数据进行建模。
在交通流模型的建立过程中，需要根据实际情况选择对应的模型进行建模。
目前常用的交通模型有离散事件模型、基于细胞自动机的流体模型和轨迹模型等。
离散事件模型适用于高精度的交通模拟，通过离散化时间和道路，在使用车辆信息模拟整个交通流程中，具有较高的精度和可扩展性。
基于细胞自动机的流体模型则较为适合研究交通流水平分布情况，可以描述车流的密度、速度、流量等关键参数，提供了详细的交通流动信息。
轨迹模型则实现了高精度的轨迹模拟，并能够较全面地展现车辆的运动行为，但是其仿真过程耗费计算资源较大。
二、数据采集在交通模型建立过程中，数据采集是必不可少的一步。
数据源通常包括高速公路车道控制管理系统、卫星导航系统、交通监测系统、移动互联网等。
其中，高速公路路况监测系统具有较高的数据准确性和实时性，可以获取车流流量、车道占用率、交通事故、道路畅通等数据。
卫星导航系统则能够获取车速、位置信息，以及车辆行驶轨迹等数据。
此外，移动互联网也成为了交通数据采集的重要来源。
以共享单车为例，通过共享单车的移动信息，可以获得更为精确的车流信息，并透过数据分析分析出车辆停靠分布规律，以及路线规划等信息。
三、仿真模拟仿真模拟是交通模型研究的最终成果，其可以通过对数据采集和模型构建的模拟，模拟真实的交通流量情况。
高速公路交通流动数学模型的建立与仿真研究
高速公路交通流动数学模型的建立与仿真研究一、引言随着现代城市交通的快速发展，高速公路成为最重要的城市交通方式之一。
然而，高速公路交通流动的效率与安全性一直是研究者们关注的焦点。
为了更好地了解高速公路交通流动的特性，并制定相应的交通管理策略，建立正确可靠的数学模型是必不可少的。
二、高速公路交通流动模型（一）宏观模型宏观模型是从整体上描述交通流动的模型。
典型的宏观模型有麦克斯韦尔模型和拉格朗日模型。
麦克斯韦尔模型基于流体动力学理论建立，将交通流动视为连续的物质流动，利用质量守恒方程和动量守恒方程来描述高速公路交通流动的变化规律。
而拉格朗日模型则是通过描述每个车辆的运动轨迹，来研究交通流动的影响因素和规律。
（二）微观模型微观模型是针对个体车辆行为进行建模和仿真的模型。
常见的微观模型有细胞自动机模型、离散事件模型和微观仿真模型等。
细胞自动机模型通过将高速公路划分成一个个细胞，每个细胞对应一个车辆，根据个体车辆的运动规则模拟整个交通流动过程。
离散事件模型则通过建立事件列表，描述各种事件之间的触发机制，并根据事件触发的先后顺序模拟交通流动的变化。
微观仿真模型是利用计算机模拟技术，将实际交通场景进行模拟，以获取高速公路交通流动的相关数据。
三、数学模型的参数设置在建立高速公路交通流动数学模型时，合理的参数设置是保证模型仿真效果的关键。
常见的参数包括车辆密度、车速、车辆间距、车辆加速度和交通信号灯的配时等。
通过对实际交通数据的观测和采集，可以对这些参数进行估计和测算，并结合交通工程学的原理，进行合理调整。
四、仿真研究与分析（一）车辆流量对交通流动的影响通过调整车辆流量参数，在数学模型中进行仿真研究，可以观察到车辆流量对交通流动的影响。
研究发现，车辆流量的增加会导致交通流动的拥堵现象，降低交通效率。
（二）车速对交通流动的影响车速是影响高速公路交通流动的重要因素之一。
通过改变车速参数，进行仿真研究，可以发现车速对交通流量、车辆行驶时间和交通事故发生率等有着直接的影响。
连续混合车辆路段交通流数学建模
连续混合车辆路段交通流数学建模在现代交通运输中，连续混合车辆路段交通流是一个十分重要的问题。
这类路段交通流复杂，包括不同类型的车辆，如汽车、卡车、摩托车等。
如何对这种交通流进行有效地数学建模，并对流量、速度、密度等进行预测与评估，是当前交通领域研究的重要课题。
1. 连续混合车辆路段交通流概述连续混合车辆路段交通流是指路段上同时存在不同类型、不同速度、不同密度的车辆，且车辆之间相互影响，交通流动态复杂。
在这种交通流中，车辆速度的变化直接影响路段的通行能力，从而影响车辆的行驶时间和行驶效率。
如何对这种复杂的交通流进行数学建模，成为交通研究领域的重要议题。
2. 连续混合车辆路段交通流的数学建模对于连续混合车辆路段交通流的数学建模，一般采用宏观模型和微观模型两种方法。
宏观模型是指用宏观的平均值来描述交通流状态，一般包括三个基本量：密度、速度和流量。
这种模型适用于交通流密度较高，交通流比较均匀的情况。
微观模型是指对道路上每辆车的运动状态进行建模，一般采用单车运动模型和多车模型两种方法。
这种模型适用于交通流密度较低、交通流比较不均匀的情况。
3. 连续混合车辆路段交通流数学建模的方法在对连续混合车辆路段交通流进行数学建模时，除了宏观模型和微观模型两种方法外，还有一些特殊的方法。
例如，基于半马尔可夫过程的模型可以预测交通流未来时间段内的状态，而基于人工神经网络的模型可以适应数据非线性、稀疏和不确定的特点，从而提高交通流预测的准确度。
此外，还可以采用数据驱动的方法，即利用历史交通流数据，通过机器学习和数据挖掘等方法，建立模型以预测未来交通流量、速度和密度等参数。
4. 连续混合车辆路段交通流的应用对于连续混合车辆路段交通流的预测和评估，可以在交通规划、交通控制、交通管理等方面得到广泛应用。
例如，在交通管理方面，可以通过交通预测和调度系统，对交通流量进行实时监测和预测，并对道路交通进行调度和安排，以提高道路的通行能力和安全性。
第5章 连续交通流模型
论的本质，阐述该理论如何应用于模型和现实生活环境的
分析中。对于经过三十年来的演变的高阶模型，一直没有
被充分的涉及到；因而，本章将对高阶模型进行详细的介
绍。
5.1.1 守恒方程
守恒方程很容易通 过设有两个交通计数 站的单向连续路段导 出（两个计数点分别 设在上游和下游）， 如图5.1所示。两点间 的距离为，在间距内 没有出口和进口(即两 站之间没有交通流的 产生或离去)。
yE L1' L1 kau f c / k j k ju f g / 4 k j ka
tE c
在车流未饱和的周期里，车队消散的最短时间 ：
gmin
yc
/ tc
h ka
2
tc
/
h ka
2
这是解决初始排队长度所需要的最小时间。在这样的周 期里，最终排队长度 L1' 与初始队长 L1 无关，由下式给出：
连续交通流的模型的主要的优点为在守恒方程中考虑了 可压缩性，交通流量假设为密度的函数。车队进入高密度 区域，连续模型显示车队的可压缩性；相反的，当车队进 入低密度区域，我们可以观察到排队的消散或消失现象。
图5.4 一个饱和周期内两个信号交叉口间交通波的传播
j
kj
ka
t
tc
l1k j
uf
k j ka
设y 表示排队长度 。
yc L X C k jl1 / k j ka
对于曲线CMD
：
yCMD
u f
1
h ka tc 2
hka
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连续交通流模型及数值模拟[摘要]本文对现有的交通流宏观模型进行了研究，总结了各种模型的思想、优缺点以及适用条件，在此基础上，选取了Payne 模型离散格式进行数值模拟，选取了某段高速公路的交通流作为模拟对象，展现了Payne 模型模拟交通流的可行性。
[关键字] 连续交通流；离散格式；数值模拟0 引言交通流理论研究加深了人们对复杂多体系统远离平衡态时演变规律的认识，促进了统计物理、非线性动力学、应用数学、流体力学、交通工程学等学科的交叉和发展等多学科的交叉渗透和相互发展。
交通流理论研究的对象是离散态物质，是一个复杂的非线性体系，对这类物质运动规律的描述，尚无成熟的理论。
在宏观的连续流模型中，交通流被比拟为连续的流体介质，即将流量、速度和密度等集聚变量视为时间和空间的连续函数。
模型包含时间和空间的状态方程，考虑了车辆的加速度、惯性和可压缩性，能够合理准确描述交通流的动态特性，相比微观模型有更大的优势。
连续流交通流模型通常用密度（k ）、速度（u ）、流量（q ）三个变量来描述[1]。
1 连续交通流模型1.1 LWR 模型1955年，Lighthill&Whitham 提出了第一个交通流的流体力学模型——流体运动学模型[2]，随后P.I.Richards 独立地提出了类似的交通流理论。
LWR 模型用k(x,t)和u(x,t)表示t 时刻位于x 处的交通流密度和平均速度，他们满足流体力学的连续方程：(),k q g x t t x∂∂+=∂∂ （1-1） 此方程反映了车辆数守恒，其中g(x,t)是流量产生率，对没有进出匝道的公路，g(x,t)=0， 对进口匝道，g(x,t)>0，对出口匝道，g(x,t)=0。
k 为交通密度，也称为交通流量；x ，t 分别为空间测度和时间测度。
设u 为空间平均速度，则存在以下关系：q k u =⋅ (1-2)对于平均速度u(x,t)，假设平衡速度——密度关系：()(,)(,)e u x t u k x t = (1-3)以上3个方程构成了完整的一阶连续交通流模型，LWR 模型的优点是简单明了，可以采用流体力学和应用数学中的成熟工具进行分析，而且可以描述诸如交通阻塞形成和消散之类的交通现象，但是，由于该模型的速度是由平衡速度密度关系决定，并且没有考虑加速度和惯性影响，因此不适用于描述本质上处于非平衡态的交通现象，例如车辆上、下匝道的交通、“幽灵式”交通阻塞、交通迟滞、时走时停的交通等。
于是，后来的学者们引进了高阶连续介质模型，考虑了加速度和惯性影响，将动量方程代替方程(1-3)。
1.2 Payne 模型Pipes 于1953年提出交通流加速度的一般表达式：2du u u du ku k dt t x dt x∂∂∂⎛⎫=+=-⋅ ⎪∂∂∂⎝⎭ （1-4）1971年，Payne 根据LWR 模型的思想，假设交通流速度是动态变化的，在引用连续性方程时，引进运动方程，导出高阶连续模型[3]。
Payne 从车辆跟驰理论的概念提出平均速度u 与密度k 存在以下关系：()(),,r e u x t T u k x x t +=+∆⎡⎤⎣⎦ （1-5）并取0.5/x k ∆=，r T ——车辆跟驰理论在的延滞时间，对上式分别作关于r T 和x ∆的Taylor 展开，得到：() e r ru k udu u u k u dt t x kT x T γ-∂∂∂=+=-+∂∂∂ （1-6） 上式中，-0. 50eu kγ∂=>∂：预期指数，将平衡速度()e u k 简写成e u 。
从而建立了由如下三个方程构成的Payne 模型： ()e r ru k uu u k u t x kT x T γ-∂∂∂+=-+∂∂∂ （1-6） (),k qg x t t x∂∂+=∂∂ （1-7） q k u =⋅ （1-2）式(1—6)的右边第一项为期望项，反映驾驶员对前方交通状态改变的反应过程；第二项式弛豫项，描述车流速度在r T 时间内向平衡速度的调整，最优速度函数和其他参数通过道路实测和参数辨识确定。
1979年，Payne 编制了著名的FREFLO 软件，有史以来第一次将交通流仿真模型应用于工程实践。
但Payne 模型并未充分考虑整个弛豫过程，而只是将其定为一个常数的弛豫时间，即使处于平衡状态时，弛豫时间变为零，在实际应用中，出现了一些问题。
Rathi 等人指出，使用Payne 模型，车流速度到平衡态速度的调节过程过于缓慢。
Ross 也发现，当道路拓扑特性和交通量在短时间内突变时，由于车流速度调整到平衡速度过程缓慢，无法捕捉到实际交通流动态特性。
Castillo 等对Payne 模型进行了线性稳定性分析，发现车辆总是在稳定的范围内行驶，这与实际不符。
Payne 本人也发现在高密度情况下，模型可能会遇到稳定性问题，车流密度可能出现大大偏离实际的高密度问题。
后来的研究者在payne 模型的基础上，不断加入新的项，构成了各自的模型。
1.3 Kuhne 模型1984年，R.D.Khune 引入交通流的粘性影响，基于Navier-Stokes 方程建立如下方程：()()2202e r u u k u u k uu c t x T k x xν-∂∂∂∂+=--+∂∂∂∂ （1-8）式中: 0c 为直接与车辆跟驰的弹性有关的声速；ν为粘性系数。
线性稳定性分析表明，当k 时交通状态是稳定的。
而()e c u k k c k∂=-∂ （1-9） 式中：c k 称为临界密度。
当k 超过c k 时交通完全瘫痪。
该模型可用于超拥挤状态的交通分析但仍需确定平衡状态下的速度——密度关系，因而并未根本解决Payne 模型中的致命问题。
1.4 吴正模型我国学者吴正针对我国低速混合交通提出了～维管流模型，引用了交通压力、交通指数等新概念，并通过数值模拟分析了交通堵塞的形成和疏导过程，与实测相符[4]。
一维管道内物质流的基本方程如下：()()0kA kuA t x ∂∂+=∂∂ （1-10） ()()20w PkuA ku A A t x xτ∂∂∂+++=∂∂∂ （1-11）其中变量k ——车流密度，即单位长度路段上的车辆数；A ——路段宽度或车道数；u ——车 流速度； w τ——车流经过单位面积路面时所受阻力；P ——交通压力。
提出了交通流压力比拟的基本假定：np ck =（1n ≥） （1-12）其中C 和n 是两个可调参数，改变它们的取值就能使模型适用于不同的交通情况。
n 称为交通状态指数。
吴正模型可以较好地模拟实际交通过程，包括局部地方发生严重交通堵塞后的疏散过程。
东明等人在吴正的运动方程中考虑正比于速度的阻尼项的作用，数值模拟分析了地面交通对高架路交通的影响。
2 交通流离散模型数值模拟2. 1 交通流计算模型笔者采用的交通流计算模型是Payne 型模型 其运动微分方程为：() e r r u k uu u k u t x kT x T γ-∂∂∂+=-+∂∂∂ （2-1） (),k q g x t t x∂∂+=∂∂ （2-2） q k u =⋅ （2-3）2. 2 模型的离散格式采用Euler 积分对Payne 运动微分方程进行离散，得到Payne 模型的离散方程：()n 1,,i1n n n on n n off ni i i i i i ni it kk q s q s l x +-∆=++--∆ （2-4） ()n 111i1n n n n nn n n n ni i i i i ii i e i nn n i r i i u u k k uu t u u u k x T k x γ+-+⎡⎤⎛⎫--=+∆-⋅--+⎢⎥ ⎪∆∆⎝⎭⎣⎦ （2-5）111n n n i i i q k u +++=⋅ （2-6）式中：n=1,2,3,……,为时间步；i=1,2,3,……,为空间节点位置；i l 为第i 段道路长度；,onoffs s为进出匝道的流率。
本文采用的时间步长t ∆、空间步长x ∆随时间序列和空间节点位置两者的变化而变化的变步长。
令0.5/n n i i x k ∆= （2-7）12nn i ix t u ∆∆= （2-8）其中1f u mu =（01m <<）为畅行速度。
3 算例及计算结果分析以广深高速公路某时段的实测交通数据为样本进行数值模拟。
计算时边界条件均采用自由流边界条件：0k x ∂=∂，0u x∂=∂ （3-1） 算例的计算路段长度L= 6 km 设计速度 f u =120km/h 阻塞密度j k = 200pcu/ ( km •车道)最大波速选自广深高速公路2车道的实测数据回归值 1u =f mu =100km/h 。
计算中，将路段L 等距分成12个区段 即i l = 0.5 km ， L= 12i l ，模拟100步时间步，初值条件如表3-1所列。
表3-1 变步长计算初值条件经过100步迭代计算后密度和速度的计算结果如图3-1、图3-2 所示，部分结果如表3-2所示。
.52.54.50.0 6.012.118.1图3-1 变步长密度关系图.535.50.0 7.014.1图3-2 变步长速度关系图表3-2 100步迭代部分结果本文首先对现有的交通流宏观模型进行了研究，总结了各种模型的思想、优缺点以及适用条件，在此基础上，选取了Payne 模型离散格式进行数值模拟，选取了某段高速公路的交通流作为模拟对象，展现了Payne 模型模拟交通流的可行性。
参考文献：[1]李进平,张乐文.交通流的流体动力学模型研究,武汉理工大学学报(交通科学与工程版)，Vo1.26.No.6.,Dec ．2002：748—751[2] 王明祺.交通流理论的研究进展.力学进展.1995(3):343-356[3] Payne,H.J.,Models of freeway traffic and control,in ”Mthematical Methods of Public Systems ”(ed.By Bekey,G.A.)[c].1971,1(1): 51-61[4] 吴正.低速混合型城市交通的流体力学模型.力学学报,Vol.2.No.6.Mar., 1994:149—157附程序代码：Dim k(17, 101), u(17, 101), q(17, 101), l(17), t(17, 101), x(17, 101), y(1 To 16, 1 To 101) As Double Dim ue(1 To 16, 1 To 101), j(17, 101), c(17, 101), a, i, n, kj, r, tz(17, 101), uf As Doublek(1, 1) = 17.9u(1, 1) = 87.7q(1, 1) = 1570k(2, 1) = 18.4u(2, 1) = 86.8q(2, 1) = 1600k(3, 1) = 18.4u(3, 1) = 87.6q(3, 1) = 1612k(4, 1) = 18.2u(4, 1) = 87.6q(4, 1) = 1594k(5, 1) = 18.1u(5, 1) = 87.7q(5, 1) = 1587k(6, 1) = 52.1u(6, 1) = 44.9q(6, 1) = 2339k(7, 1) = 51.8u(7, 1) = 45.1q(7, 1) = 2336k(8, 1) = 51.7u(8, 1) = 45.2q(8, 1) = 2337k(9, 1) = 18.6u(9, 1) = 87.6q(9, 1) = 1629k(10, 1) = 18.1u(10, 1) = 87.7q(10, 1) = 1640k(11, 1) = 17.8u(11, 1) = 87.7q(11, 1) = 1561k(12, 1) = 18.1u(12, 1) = 87.7q(12, 1) = 1587kj = 200uf = 120a = 0.001r = 0.5For n = 1 To 100For i = 1 To 12tz(i, 1) = 0l(i) = 0.5If i = 6 Thenj(i, n) = 750Else: j(i, n) = 0End IfIf i = 9 Thenc(i, n) = 700Elsec(i, n) = 0End Ifu(0, n) = u(1, n)k(0, n) = k(1, n)q(0, n) = k(0, n) * u(0, n)x(i, n) = 1 / (2 * k(i, n))t(i, n) = 0.5 * x(i, n) / 100y(i, n) = Round(a * (1 + r * (kj - k(i, n)) / kj), 4)ue(i, n) = Round(uf * (1 - k(i, n) / kj), 2)k(i, n + 1) = Round(k(i, n) + t(i, n) * (q(i - 1, n) + j(i, n) - q(i, n) - c(i, n)) / (l(i) * x(i, n)), 2)u(i, n + 1) = Round(u(i, n) + t(i, n) * ((-1) * u(i, n) * (u(i, n) - u(i - 1, n)) / x(i, n) - (u(i, n) - ue(i, n) + 0.5 * uf / kj * (k(i + 1, n) - k(i, n)) / (k(i, n) * x(i, n))) / y(i, n)), 2)q(i, n + 1) = Round(k(i, n + 1) * u(i, n + 1))tz(i, n + 1) = tz(i, n) + t(i, n) * 3600Next iNext nOpen App.Path & "\1.txt" For Output As #1For i = 1 To 12For n = 1 To 100Print #1, tz(i, n); " "; i * 0.5; " "; k(i, n); " "; u(i, n); " "; q(i, n)Next nNext iClose #1MsgBox ("ok")。