2.1.1椭圆及其标准方程(2)

y2 x2 + 2 = 1 (a > b > 0 ) 2 a b
F(±c，0) ( ，
F(0，±c) (0， ) (0
c2=a2-b2
共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上， 注: 共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上， 中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和 右边是1. 左边是平方和， 中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是 不同点：焦点在 轴的椭圆 项分母较大. 不同点：焦点在x轴的椭圆 x 项分母较大 2 焦点在y轴的椭圆 y 项分母较大. 焦点在 轴的椭圆 项分母较大
x
2
16 12 点；则椭圆方程为 ________________________.
+
y
2
= 1
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书本42页习题 书本 页习题2.1A组1,2题 页习题 组 题 1、如果点 （x，y）在运动过程中，总满足关系式 、如果点M（ ， ）在运动过程中，
所以a 所以a = 10
x2 y2 + =1 10 6
还有别的方法吗？ 还有别的方法吗？
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解法2: 因为椭圆的焦点在x轴上 轴上， 解法 解：因为椭圆的焦点在 轴上，所以设它的标准方程为 x2 y 2 + 2 = 1(a > b > 0) 2 a b
2
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例1、填空： 、填空：
x2 y2 5 = 1 ，则a=_____， (1)已知椭圆的方程为： + 已知椭圆的方程为： 已知椭圆的方程为 ， 25 16 4 3 、 b=_______，c=_______，焦点坐标为：____________ ， ，焦点坐标为： (3,0)、(-3,0) 焦距等于______;椭圆上的点到两焦点距离之和为 焦距等于 6 椭圆上的点到两焦点距离之和为 10 ____________.
(2)在椭圆中 a 在椭圆中, 在椭圆中 则椭圆方程为 + b = 10, c = 2 5 ,则椭圆方程为
x2 y2 x2 y2 ∴ + = 1或 + =1 16 36 36 16 ____________________.
(3)椭圆两个焦点分别是F 2,0)、 (2,0),且过 且过P(2,3) (3)椭圆两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过P(2,3) 椭圆两个焦点分别是
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“嫦娥二号”于2010年10月1日 18时59分57秒在西昌卫星发射 中心发射升空，并获得了圆满 成功。
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2
− cx = a
(x − c)2 + y
2
两边再平方， 两边再平方，得
a 4 − 2 a 2 cx + c 2 x 2 = a 2 x 2 − 2 a 2 cx + a 2 c 2 + a 2 y 2
整理得 ( a 2 − c 2 ) x 2 + a 2 y 2 = a 2 ( a 2 − c 2 ) 两边除以 a2 (a2 − c2 ) 得
x2 y2 + 2 = 1( a > b > 0 ). 2 a b
M F1
o
F2 x
(x +c)2 + y2 + (x −c)2 + y2 = 2a
y
F2
M
思考：如果焦点在 轴上 轴上， 思考：如果焦点在y轴上，椭圆的方程 会是什么？ 会是什么？
o
x
y x + 2 =1(a > b > 0) 2 a b
| MF |= ( x + c) + y , | MF2 |= ( x − c) + y 1
2 2 2 2
建系 0
M
F1
F2
x
| MF 1 | + | MF 2 | = 2 a
列式
得方程 ( x + c)2 + y 2 + ( x − c)2 + y 2 = 2a
含有两个根号的式子，怎样化简呢？ 含有两个根号的式子，怎样化简呢？ 化简
2
2
F1
(y +c)2 + x2 + (y −c)2 + x2 = 2a
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定 义
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0) y y
M F 2
M
图 形
F 1
o
F2 x
o
F 1
x
方 程 焦 点 a,b,c之间的关系
x2 y 2 + 2 = 1 (a > b > 0) 2 a b
x 2 + ( y + 3) 2 + x 2 + ( y − 3) 2 = 10
的轨迹是什么曲线？ 点M的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程。 的轨迹是什么曲线 为什么？写出它的方程。 2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程： 、写出适合下列条件的椭圆的标准方程： 轴上， （1）焦点在 轴上，焦距等于 ，并且经过点P (3,−2 6 ) ； ）焦点在x轴上 焦距等于4， ），（0， ）， ），a=5； （2）焦点分别为（0，- 4），（ ，4）， ）焦点分别为（ ， ），（ ； （3）a+c=10，a-c=4。 ） ， 。 课外延伸：人造卫星和彗星的运行轨迹都和椭圆有关， 课外延伸：人造卫星和彗星的运行轨迹都和椭圆有关，通过上 网或到图书馆查阅有关彗星的资料并试着回答： 网或到图书馆查阅有关彗星的资料并试着回答：为什么有的彗 星经过若干年后能够再次光临地球， 星经过若干年后能够再次光临地球，而有的彗星却和地球只有 一面之缘呢？ 一面之缘呢？
M
| MF1 | + | MF2 |= 常数
常数 >| F1 F2 |
F1
F2
M
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根据椭圆的形状，如何建立直角坐标系， ♦ 根据椭圆的形状，如何建立直角坐标系，如何求 椭圆的方程呢？ 椭圆的方程呢？
y y y F1
O O O
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椭圆两焦点的坐标分别是（ ， ）、（ ）、（2， ）， 例2.椭圆两焦点的坐标分别是（-2，0）、（ ，0）， 椭圆两焦点的坐标分别是
5 3 且椭圆经过点P 求椭圆的标准方程。 且椭圆经过点 ( ,− ) ,求椭圆的标准方程。 求椭圆的标准方程 2 2 因为椭圆的焦点在x轴上 所以可设它的方程为： 轴上， 解：因为椭圆的焦点在 轴上，所以可设它的方程为：
x2 y 2 + =1 10 6
形
方程
程
不 同 点
标准方程 图形 焦点坐标
x2 y2 + = 1(a > b > 0) a2 b2 y
y2 x2 + 2 = 1(a > b > 0) 2 a b
y
o
F1(-c,0) F2(c,0)
x
o
F1(0,-c)
F2 .
x F2(0,c)
共 同 点
a b c
|F1F2|
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归纳：椭圆的定义： 归纳：椭圆的定义：
平面内与两定点F 平面内与两定点 1、F2的距离之和等于常数 大于|F （大于 1F2|）的点的轨迹叫椭圆 ）的点的轨迹叫椭圆. 叫做椭圆的焦点， 定点F 定点 1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离 叫做椭圆的焦距. 叫做椭圆的焦距 M
由已知条件可知c=2 由已知条件可知 所以a 所以 2—b2=c2=4，所以 2=a2—4，代入椭圆标准方程得 ，所以b ，
x2 y2 + 2 =1 2 a a −4
5 3 又因为椭圆经过点（ ，- ） 2 2
5 2 3 2 （ ） （- ） 解得 a = 10 ∴ 22 + 2 2 = 1 a a −4 所以b2 = a 2 − c 2 = 10 − 4 = 6，因此，所求椭圆的标准方程为
(2)已知 2，b=3，焦点在 轴上的椭圆方程为 已知a=4， 已知 ，焦点在y轴上的椭圆方程为 2
x y + =1 9 16 __________________;
(3)两个焦点的坐标分别是 两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0)，椭圆上一点 两个焦点的坐标分别是 ，椭圆上一点P 2 2
x y + =1 到两焦点距离和等于10。则椭圆方程为___________ 到两焦点距离和等于 。则椭圆方程为 25 9
x2 y2 + 2 = 1. 2 2 a a −c
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四、吗？ 观察思考：你能从图中找出 a, c, a2 − c2 表示的线段吗？ 请你在图中标出。 请你在图中标出。 y