固体物理 chapter 3
合集下载
固体物理第三章习题答案
1
4 u n
( ij u )
i j
右边
1
1
4 u n
i(n)
( in u
i(n)
2
2 in
j(n)
nj
u )
2
2 nj
4 u n
( in ( u n u i )
j(n)
nj
nj
(u j u n ) )
T 成正比，说明德拜模型 温的情况下。
3－ 5 设想在一维单原子晶格
中，只激发出一个动量
为
q ( q 0 )的声子，试证明晶体并
不因此而获得物理动量
。
证明：先证下面的式子 1 N
'
： l l l l
' '
e
n
ina ( q l q ' )
l
ll '
1, 0,
略去 项，（因为低温，
1）
d
C
T
m
l
M M
0
a
e
k BT
1
l
M
a
T
0
d
似为无穷大 )
e
k BT
1
(因为低温，频率低的占
主要，所以上限可以近
l
M k T
2 B
a
(e
0
x e
x
2
x 2
1)
2
固体物理第三章3-8
三、德拜模型
模型基本思想：把格波当成弹性波来处理。
E n( ) e k BT 1
设固体介质是各向同性的，由弹性波的色散关系 = vq 可知，三维波矢空间内，弹性波的等频面是个球面，则
§ 3.3 一、简正振动
简正振动 声子
相互作用势能是原子偏离平衡位置位移的函数。
1 A B ' U 0 m n 2 i j rij rij
设N个原子的位移矢量分别为 (u1, u2, u3)， (u3, u4, u5)，…， (U3N-2, U3N-1, u3N)。 则 U = U(u1, u2, …, u3N)
一维简单原子链，波矢q的格波的总动量
N d N it Pq m un imAe eiqna dt n 1 n 1
q
2l Na
Pq imAeit e
n 1
N
i
2nl N
imAeit
e
i
2l N
1 e 0
i 2l i 2l N
标准简谐阵子振动方程
只有频率的模式振动时，解为：
Q A sin t
则：
每一个原子都以相同的频率作 振动，这是最基本的振动方式， 称为格波的简正振动。
ai ui A sin t , mi
i 1,2 , ,3 N .
实际的（原子振动）格波振动如何？
§3.6 晶格振动热容理论 一、热容理论
固体的定容热容
E CV ( )V T
— 固体的平均内能
—— 固体内能包括晶格振动的能量和电子热运动的能量 实验结果：低温下，金属的热容
CV T AT 3
T
固体物理第三章1-2
小振动，U(r)与U(a) 差别不大，在平衡位置泰勒级数展开：
3 1 d 2U 1 d U dU 2 3 U ( r ) U a r a 2 r a 3 r a ...... 2 dr a 6 dr a dr a
A 2 1 2 2 Mm 2 1 2 O 2 Mm
1 2 16 Mm qa 2 2 1 2 ( M m ) ( M m ) sin 2 ( ) 2 1 2 1 2 16 Mm qa 2 2 1 2 ( M m ) ( M m ) sin 2 ( ) 2 1 2
与单原子一维晶格类似：上述方程具有下述格波形式解
2n i q a t 2
u2 n Ae
Ae
i ( qnat )
u2 n1 B' e
2n i q( )a qbt 2
Be
i ( qnat )
U2n / u2n+1表示同一原胞中两种不等价原子的位移
相互作用力：
r = un+1 + a －un
2 1 d 3U dU d U 2 r a r a ...... f ( r ) 2 3 2 dr a dr a dr a
= 0
(d2U/dr2)a =
玻恩—卡门边界条件下平衡位置运动方程组的通解：
un Ae
i ( qnat )
A为振幅，是圆频率，qna是第n个 原子在t＝0时刻的振动相位
固体物理第三章
19
格波 —— 短波极限情况 ( q →
πa)源自aq ω = 2 β / m sin( ) 2
ωmax = 2 β / m
长波极限下 ( q → 0) ，相邻两个原子之间的位相差
q(n + 1)a − qna = qa ⇒ 0
—— 一个波长内包含许多原子，晶格看作是连续介质 短波极限下 q ⇒
π
a
2π λ= = 2a q
2
17
格波 —— 长波极限情况
4β 2 aq ω = sin ( ) m 2
2
aq ω=2 sin( ) m 2
当 q→0
β
qa qa sin( ) ≈ 2 2
ω = a β /m q
ω =VElasticq
—— 一维单原子格波的色散关系与连续 介质中弹性波的色散关系一致
18
相邻原子之间的作用力 f = βδ 长波极限情况
o xij = x o − xio j
(3.1.2)
u ij = u j − u i
xn −1
•0
un −1
•0
u
n
xn xn
•0
un +1
xn +1
x
4
a
5
设两原子间的相互作用势能为 ϕ ( xij ) ，且只考虑二 体相互作用，则总的相互作用能为
1 N U = ∑ ϕ ( xij ) 2 i≠ j
4β 2 aq ω = sin ( ) m 2
2
相邻原子位相差 aq ⇒ 2π + aq
π
4a 2a 相邻原子位相差 aq1 = π / 2 2π 5π 两种波矢的格波中，原子 两种波矢的格波中， = 格波2(Green)波矢 q2 = 的振动完全相同， 4a / 5 2a 的振动完全相同，相邻原 相邻原子的位相差 aq2 = 2π + π / 2 子的位相差 − π < aq ≤ π
格波 —— 短波极限情况 ( q →
πa)源自aq ω = 2 β / m sin( ) 2
ωmax = 2 β / m
长波极限下 ( q → 0) ，相邻两个原子之间的位相差
q(n + 1)a − qna = qa ⇒ 0
—— 一个波长内包含许多原子，晶格看作是连续介质 短波极限下 q ⇒
π
a
2π λ= = 2a q
2
17
格波 —— 长波极限情况
4β 2 aq ω = sin ( ) m 2
2
aq ω=2 sin( ) m 2
当 q→0
β
qa qa sin( ) ≈ 2 2
ω = a β /m q
ω =VElasticq
—— 一维单原子格波的色散关系与连续 介质中弹性波的色散关系一致
18
相邻原子之间的作用力 f = βδ 长波极限情况
o xij = x o − xio j
(3.1.2)
u ij = u j − u i
xn −1
•0
un −1
•0
u
n
xn xn
•0
un +1
xn +1
x
4
a
5
设两原子间的相互作用势能为 ϕ ( xij ) ，且只考虑二 体相互作用，则总的相互作用能为
1 N U = ∑ ϕ ( xij ) 2 i≠ j
4β 2 aq ω = sin ( ) m 2
2
相邻原子位相差 aq ⇒ 2π + aq
π
4a 2a 相邻原子位相差 aq1 = π / 2 2π 5π 两种波矢的格波中，原子 两种波矢的格波中， = 格波2(Green)波矢 q2 = 的振动完全相同， 4a / 5 2a 的振动完全相同，相邻原 相邻原子的位相差 aq2 = 2π + π / 2 子的位相差 − π < aq ≤ π
固体物理-第三章
l 1
原 子
上式说明每个坐标gk的振动，都可以分解成3N个简正振动的线 性迭加，Ql新坐标称为简正坐标，所以，我们可以得出结论：N个
的
原子组成晶体的任何一种微振动，可看成3N个简正振动的迭加。
运
动
★简正坐标与原子位移坐标之间的正交变换，
实际上是按付氏展开式把坐标系由位置坐标转
换到状态空间（正格子——倒格子）。
单
体原子集体运动状态的激发单元，它不能脱离固体而单
原
独存在，它并不是一种真实的粒子, 只是一种准粒子；
子
➢声子的作用过程遵从能量守恒和准动量守恒。
晶
➢一种格波即一种振动模式称为一种声子，对于由N个原子
格
组成的一维单原子链，有N个格波，即有N种声子,
3.1 晶体中原子的微振动及其量子化
声子
采用“声子”概念不仅表达简洁、处理问题方便（例晶格与微观粒
3N
动
2 Ak bik Ai 0 k 1, 2,L 3N (9) i 1
方程组（9）又可改写成：
3N
bik 2ik Ai 0 k 1, 2,L 3N (10)
i 1
3.1 晶体中原子的微振动及其量子化
原子的运动方程
3N
bik 2ik Ai 0 k 1, 2,L 3N (10)
3.1 晶体中原子的微振动及其量子化
原子的运动方程
••
gk bik gi 0 k 1, 2,L 3N
(7)
原
gk Ak sin t k 1, 2,L 3N
(8)
子
的 运
（8）式所给出的特解应能够满足方程（7），则将（8）式 代入（7）式，得确定ω与bik之间关系的方程组：
固体物理第三章
导出固体的体积热胀系数 。
[解] 热膨胀是指在不施加力的情况下,体积的变化与温度的关系.
ห้องสมุดไป่ตู้
因此,令格林爱森方程中的P=0, 有
(1)
对于大多数固体来说,体积的变化不大,因此可以将(dU/dV)在静止的
晶格的平衡体积V0点展开
只取到ΔV 的线性项, 则有
将上式写成
并将两边对T求微商,
则有
式中K0为T=0时的体弹性模量, Cv为固体的热容.
其中ωm 为最大频率.代入(1)式可以得到
2、一维双原子链情况 所以
代入(1)式有 六、设三维晶格的光学振动在q＝0附近的长波极限有
求证：频率分布函数为 ω<ω0
ω(q)=ω0-Aq2
及
f(ω)=0
ω>ω0
[证明] 由 有
当ω<ω0 时, 所以
以及
当ω>ω0 时, 根号下为负值,q 不存在, 所以有f(ω)=0 七、写出量子谐振子系统的自由能，证明在经典极限下，自由能为
［答］频率为ωi的格波的平均声子数为 ： 即每一个格波的声子数都与温度有关，因此晶体中的声子数目不守 恒，它随温度的改变而改变。
以德拜模型为例。晶体中的声子数目为
其中
令
则
在极低温度下，θD／T→∞，于是
即在温度极低时，晶体中的声子数目与T3成正比。
4、爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么？而在极低
5、格波与弹性波有何不同？
［答］格波与弹性波相比都具有波的形式,但两者又有不同之处:
(1) 对于一维单原子链格波解为:
弹性波的解为:
在弹性波的解中, x表示空间任意一点,而在格波解中只能取na 格点的
固体物理(第3章)解析
1 3N ( 2V
2 i, j1 i j
)0 i j
—— 含有坐标的交叉项
§3-1 简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
引入简正坐标
—— 原子的坐标和简正坐标通过正交变换联系起来
假设存在线性变换 系统的哈密顿量
拉格朗日函数
T
1 2
3N i 1
Qi 2
V
1 2
3N
Q 2 2
ii
i 1
正则动量
§3-1 简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
系统的哈密顿量
正则方程
pi
H Qi
正则动量
pi
L Q i
Qi
Qi i2Qi 0, i 1, 2, 3, 3N —— 3N个独立无关的方程 简正坐标方程解 Qi Asin(it )
简正振动 —— 所有原子参与的振动，振动频率相同 振动模 —— 简正坐标代表所有原子共同参与的一个振动
§3-1 简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
只考察某一个振动模
系统能量本征值计算
i
aij mi
Qj
aij mi
Asin( jt )
正则动量算符
系统薛定谔方程
(1
2
3N i 1
pi2
1 2
3N
i2Qi2 ) (Q1, Q3N )
i 1
E (Q1,
Q3N )
§3-1 简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
E
3N
i
i 1
3N i 1
(ni
1 2
)
i
3N
系统本征态函数 (Q1, Q2, Q3,Q3N ) ni (Qi )
固体物理第三章
晶格振动波矢的数目晶格原胞数晶格振动波矢的数目晶格原胞数第一布里渊区内的波矢代表点数目为第一布里渊区内的波矢代表点数目为在波矢空间中每一个可能的在波矢空间中每一个可能的qq所占据的线度为所占据的线度为波矢代表点的密度即为波矢代表点的密度即为单位长度波矢代表点数目单位长度波矢代表点数目二一维复式格子二一维复式格子晶格由质量分别为晶格由质量分别为mm和和mm的两种不同原子构成的一维复式格子晶的两种不同原子构成的一维复式格子晶格常数格常数2a2a相邻同种原子间的距离
2
m
1
2
sin
qa 2
m
1
2
a
q
v q
v
m
1
2
a
q20, (q)0 色散关系的格波称为声频支格波。
编辑版pppt
14
格波的波速
在长波区域，波矢 q
2
0
波速是常数
v q
v
m
1
2
a
un1unun1
某一原子周围若干原子都以相同的振幅和位相振动。
编辑版pppt
15
格波的波速
(2) 波矢 qπ a
对应格波的截止频率
ωm
a
x
2
β m
1
2
un1unun1
相邻原子以相同的振幅作相对振动。
编辑版pppt
16
周期性边界条件（玻恩－卡门边界条件）：
实际情况：N个原子构成的一维晶体，边界上原子受力的情况有别于 体内原子。
近似考虑：N非常大，边界上原子数目极少，在考虑晶体大块性质时 将边界上原子视如体内原子不至于带来误差。
2 O
2(mM)
m
而
coqsa )(0
2
m
1
2
sin
qa 2
m
1
2
a
q
v q
v
m
1
2
a
q20, (q)0 色散关系的格波称为声频支格波。
编辑版pppt
14
格波的波速
在长波区域，波矢 q
2
0
波速是常数
v q
v
m
1
2
a
un1unun1
某一原子周围若干原子都以相同的振幅和位相振动。
编辑版pppt
15
格波的波速
(2) 波矢 qπ a
对应格波的截止频率
ωm
a
x
2
β m
1
2
un1unun1
相邻原子以相同的振幅作相对振动。
编辑版pppt
16
周期性边界条件（玻恩－卡门边界条件）：
实际情况：N个原子构成的一维晶体，边界上原子受力的情况有别于 体内原子。
近似考虑：N非常大，边界上原子数目极少，在考虑晶体大块性质时 将边界上原子视如体内原子不至于带来误差。
2 O
2(mM)
m
而
coqsa )(0
固体物理学第三章总结
K0 V
在声子碰撞的________过程中, 声子的动量发生很 大的变化, 从而破坏了热流的方向。 翻转 固体中声子平均自由程的大小由两种过程决定： 一是______________________________; 另一是____________________________。 声子间的相互碰撞 缺陷对声子的散射
晶格热容量的量子理论 Einstein 模型与 Debye 模型 晶格振动模式密度 Grü neisen 状态方程 热膨胀与非谐效应
晶格热传导 声子的平均自由程
确定晶格振动谱的实验方法 局域振动 高频模、隙模、共振模
非晶固体中的原子振动
模式密度
在一个振动模下
对于确定的 i：第 i 个原子的位移随时间作简谐振动
NaCl 晶体有多少个色散关系？___. 6 在离子晶体中 TO、LO、LA、TA 声子, 哪一种频 率最高？_____. LO
晶格热容的 Einstein 模型假设晶体中所有原子 ____________________振动。 以相同频率 晶格热容的 Debye 模型假设晶格振动的色散关系是 ＿＿＿＿＿． ω= cq
______________________是测定晶格振动谱最重要 的实验方法。 中子非弹性散射
热膨胀是由_________________引起的。 原子间非谐作用 写出晶体热膨胀的格临爱森关系______________。 CV
存在有杂质（或缺陷）的晶体中, 晶格振动可能产 生______________。 局域振动
每个点占据的 q 空间体积
b1 b 2 b3 1 (2 )3 倒格子原胞的体积 N1 N 2 N3 N V
在声子碰撞的________过程中, 声子的动量发生很 大的变化, 从而破坏了热流的方向。 翻转 固体中声子平均自由程的大小由两种过程决定： 一是______________________________; 另一是____________________________。 声子间的相互碰撞 缺陷对声子的散射
晶格热容量的量子理论 Einstein 模型与 Debye 模型 晶格振动模式密度 Grü neisen 状态方程 热膨胀与非谐效应
晶格热传导 声子的平均自由程
确定晶格振动谱的实验方法 局域振动 高频模、隙模、共振模
非晶固体中的原子振动
模式密度
在一个振动模下
对于确定的 i：第 i 个原子的位移随时间作简谐振动
NaCl 晶体有多少个色散关系？___. 6 在离子晶体中 TO、LO、LA、TA 声子, 哪一种频 率最高？_____. LO
晶格热容的 Einstein 模型假设晶体中所有原子 ____________________振动。 以相同频率 晶格热容的 Debye 模型假设晶格振动的色散关系是 ＿＿＿＿＿． ω= cq
______________________是测定晶格振动谱最重要 的实验方法。 中子非弹性散射
热膨胀是由_________________引起的。 原子间非谐作用 写出晶体热膨胀的格临爱森关系______________。 CV
存在有杂质（或缺陷）的晶体中, 晶格振动可能产 生______________。 局域振动
每个点占据的 q 空间体积
b1 b 2 b3 1 (2 )3 倒格子原胞的体积 N1 N 2 N3 N V
固体物理 CHAPTER 3 2011
x n Ae
所以
e
' x n Ae i q 'nat x n
ห้องสมุดไป่ตู้
可见当 q-q’=2s/a, s为任意整数，两者对同一原子所引起的 振动完全相同。对应某一确定的振动状态(xn) ，可以有无限多 个波矢q, 它们间都相差2s/a的整数倍。所以，为了保证xn的 单值性，把一维布喇菲格子的q值限制在 (-/a, /a),
2
(9)
若A，B有异于零的解，则其系数行列式必须等于零，即
2 n 2 2 cos qa 2 cos qa 2 M
2
0
由此可以解得
2
m M m M 2mM cos2qa mM
2 2
1 2
(10)
与q之间存在着两种不同的色散关系，即对一维复式格子，可 以存在两种独立的格波。(一维简单晶格，只能存在一种格波) 这两种不同的格波各有自己的色散关系: 1 2 2 2 2 1 m M m M 2mM cos2qa mM (11) 1 2 2 2 2 2 m M m M 2mM cos2qa mM
a
q
a
所以
N N l 2 2
由此可知，l只能取N个不同的值，因而q也只能取N个不同的 值。这里N是原胞的数目。
一维复式格子的q也只能取N个不同的值。波矢q的数目，等于原 胞的数目。 在波矢空间，一维双原子复式格子的每一个可能的q 所占据的 线度为 /Na，这里，对应于每个q 值有两个不同的角频率，一个 是光学波角频率，另一个是声学波角频率。因此对于一维双原子 的复式格子，角频率数为2N。
固体物理答案第3章定稿版
固体物理答案第3章 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】3．1 已知一维单原子链，其中第j 个格波，在第n 个格点引起的位移nj μ为：sin()nj j j j j a t naq μωδ=++j δ为任意相位因子。
并已知在较高温度下每个格波的平均能量为B k T 。
具体计算每个原子的平方平均位移。
解：（１）根据2011sin ()2T j j j t naq dt T ωδ⎰++= 其中2jT πω=为振动周期，所以22221sin ()2nj j j j jj a t naq a μωδ=++= （２）第j 个格波的平均动能 （３）经典的简谐运动有： 每个格波的平均动能＝平均势能＝12格波平均能量＝12B k T 振幅222B j j k T a Nm ω=， 所以 22212B nj j jk T a Nm μω==。
而每个原子的平方平均位移为：222221()2B n nj nj j j j j j jk T a Nm μμμω====∑∑∑∑ 。
３．２讨论N 个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a ），其２N 个格波的解。
当m M =时与一维单原子链一一对应。
解：（１）一维双原子链： 22q aaππ-≤<声学波：12222411sin ()m M mM aq mM m M ωβ-⎧⎫⎡⎤+⎪⎪=--⎨⎬⎢⎥+⎣⎦⎪⎪⎩⎭当m M =时，有2224(1cos )sin 2aqaq m m ββω-=-= 。
光学波：12222411sin ()m M mM aq mM m M ωβ+⎧⎫⎡⎤+⎪⎪=+-⎨⎬⎢⎥+⎣⎦⎪⎪⎩⎭当m M =时，有2224(1cos )cos 2aqaq m m ββω+=+= 。
（２）一维双原子链在m M =时的解 22224sin 2422cos 2aq m q aq aam βωππβω-+⎧=⎪⎪-≤<⎨⎪=⎪⎩与一维单原子链的解 224sin 2aqq m aaβππω=-≤<是一一对应的。
固体物理(第3章)讲解
2
—— 每一个原子运动方程类似 —— 方程的数目和原子数相同
§ 3-2简谐近似和简正坐标 一维单原子链 —— —— 晶格振动与晶体的热学性质 § 3-1 晶格振动与晶体的热学性质
方程解和振动频率 设方程组的解 naq — 第n个原子振动相位因子
得到 应用三角公式
4 2 aq sin ( ) m 2
—— 常数
—— 平衡条件
§ 3-2简谐近似和简正坐标 一维单原子链 —— —— 晶格振动与晶体的热学性质 § 3-1 晶格振动与晶体的热学性质
dv 1 d v v (a ) v (a ) ( )a ( 2 )a 2 High items dr 2 dr
简谐近似 —— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项
2 1 2 2 任意一个简正坐标 [ 2 i Qi ] (Qi ) i (Qi ) 2 2 Qi
1 能量本征值 i ( ni ) i 2
本征态函数
—— 谐振子方程
n (Qi )
i
i
exp(
2
2
) H ni ( )
— 厄密多项式
§3-1 简谐近似和简正坐标 ——
格波 波矢的取值和布里渊区 相邻原子相位差 格波1的波矢
—— 原子的振动状态相同
相邻原子相位差
§ 3-2简谐近似和简正坐标 一维单原子链 —— —— 晶格振动与晶体的热学性质 § 3-1 晶格振动与晶体的热学性质
格波 格波2的波矢
aq1 / 2
相邻原子的位相差
—— 两种波矢q1和q2的格波中，原子的振动完全相同
原子位移宗量
N个原子的位移矢量 —— 体系的势能函数在平衡位置按泰勒级数展开
—— 每一个原子运动方程类似 —— 方程的数目和原子数相同
§ 3-2简谐近似和简正坐标 一维单原子链 —— —— 晶格振动与晶体的热学性质 § 3-1 晶格振动与晶体的热学性质
方程解和振动频率 设方程组的解 naq — 第n个原子振动相位因子
得到 应用三角公式
4 2 aq sin ( ) m 2
—— 常数
—— 平衡条件
§ 3-2简谐近似和简正坐标 一维单原子链 —— —— 晶格振动与晶体的热学性质 § 3-1 晶格振动与晶体的热学性质
dv 1 d v v (a ) v (a ) ( )a ( 2 )a 2 High items dr 2 dr
简谐近似 —— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项
2 1 2 2 任意一个简正坐标 [ 2 i Qi ] (Qi ) i (Qi ) 2 2 Qi
1 能量本征值 i ( ni ) i 2
本征态函数
—— 谐振子方程
n (Qi )
i
i
exp(
2
2
) H ni ( )
— 厄密多项式
§3-1 简谐近似和简正坐标 ——
格波 波矢的取值和布里渊区 相邻原子相位差 格波1的波矢
—— 原子的振动状态相同
相邻原子相位差
§ 3-2简谐近似和简正坐标 一维单原子链 —— —— 晶格振动与晶体的热学性质 § 3-1 晶格振动与晶体的热学性质
格波 格波2的波矢
aq1 / 2
相邻原子的位相差
—— 两种波矢q1和q2的格波中，原子的振动完全相同
原子位移宗量
N个原子的位移矢量 —— 体系的势能函数在平衡位置按泰勒级数展开
固体物理第三章 晶体衍射
Chapter 3晶 体 衍 射§3.1 倒格子 Reciprocal lattice倒格子的概念及其应用在固体物理学中是十分重要的。
在前面，我们在坐标空间里讨论晶体结构的周期性，由此引入了坐标空间的布拉菲格子概念。
实际上，晶体结构的周期性，也可以在波矢空间里进行描述。
如果前者称为正格子，后者就称为这个正格子的倒格子。
这样以来，描述一种晶体结构的周期性可以利用两种类型的格子：一种是正格子，它是晶体结构在坐标空间的数学表现形式；一种是倒格子，它是晶体结构在波矢空间的数学表现形式。
由坐标空间变换到波矢空间，对处理周期性结构中的波动过程、X 射线衍射等问题是非常方便的。
3.1.1波矢空间前面我们研究晶体结构的周期性，无论是采用直角坐标系还是晶胞坐标系，都是在坐标空间里进行的。
格点的位置或某点的位置都是用位矢→l R 或→r 来表示，其量值单位是“米”。
晶体结构的周期性在坐标空间里的数学形式用布拉菲格子来表示，如果把坐标空间称为“实空间”或“正空间”，那么坐标空间里的布拉菲格子就可以称为正格子。
在固体物理学的研究中，还需要另外一种空间形式。
例如，在晶体的X 射线衍射过程中，晶体作为衍射光栅，X 射线通过晶体在照相底片形成一些斑点。
这些斑点和晶体中的晶面族有着一一对应的关系。
对这些斑点的分布情况进行分析，就可以了解作为衍射光栅的那个晶体的结构情况。
从衍射斑点并不能直接看出晶体的结构，需要进行傅里叶变换，这里就需要引入波矢空间的概念。
另外，计算固体的能带结构和电子状态也要用到波矢空间。
（李商隐：庄生晓梦迷蝴蝶。
《庄子·齐物论》说，庄子曾梦化为蝴蝶，醒后弄不清楚是自己变成蝴蝶了，还是蝴蝶变成庄周了。
庄周先生在两个空间－－真实空间和梦幻空间－－里转化。
蝴蝶成为庄周先生在梦幻空间里的化身。
） 波矢空间又称状态空间，在波矢空间中同样可以建立直角坐标系，三个方向的单位矢量分别记为→x k 、→y k 、→z k 。
固体物理学课件第三章
10
3.1 一维单原子链的晶格振动
将：
un1 Aei[t(n1)aq] un1 Aei[t(n1)aq] un Aei[tnaq]
代入到运动方程：
m
d 2un dt 2
(un1 un1 2un )
消去共同因子，得到：
m 2 (eiap eiaq 2)
《固体物理学》 微电子与固体电子学院
14
3.1 一维单原子链的晶格振动
格波的波长： 2
q
格波的波矢：q 2 n
n 代表沿格波传播方向的单位
矢量。
格波的相速度：v p
q
不同原子间的位相差：
n’aq-naq = (n’-n)aq
《固体物理学》 微电子与固体电子学院
15
3.1 一维单原子链的晶格振动
a
2
f
U
U R
a
2U R2
a
第一项与振动无关，为常数项，第二项中因为平衡位置处，
势能为极小值，互作用力为零。
《固体物理学》 微电子与固体电子学院
4
3.1 一维单原子链的晶格振动
引入弹性系数
2U R 2
(un1 un1 2un )
《固体物理学》 微电子与固体电子学院
5
3.1 一维单原子链的晶格振动
最近邻近似下一维单原子振动可 简化为质量为m的小球被用弹性系
数为的弹簧连起来的弹性链。处
理微小振动一般都采取这种简谐 近似。在有些物理问题需要考虑 高阶项的效应，称为非简谐效应。
固体物理学第三章
退化为一标量，这是立方对称的结果。 在X点：
x 2
m
y
2
2 E k 2 y
m
z
2
2 E 2 kz
2 1 2 cos kz a 2a J1
在能带底和能带顶电子的有效质量是各向同性的，
k , 0, 0 a
m 2 0, 2a J 1
分量形式：
dv d 1 E 1 3 dk a dt dt k 1 dt k
E k
x，y，z 原因：在三维情形，沿k空间的不同方向一般有不同的色散关系， 电子的有效质量比较复杂，表现为一个二级张量。
2 E k x k y 2 E 2 k y 2 E k z k y
2 E k x k z Fx 2 E Fy k y k z Fz 2 E k z2
牛顿定律：
1 a F m
响应写成类似于经典牛顿定律的形式。这时，有效质量
在电子运动中所起的作用就类似于粒子质量的作用。这 就是电子的有效质量m*为何与电子的真实质量m可以有
很大差别的物理原因。
有效质量m*既可以小于m，也可以大于m，甚至还
可以为负值。这都取决于晶格力的大小与方向，即周期 场对电子运动的影响。这种影响主要通过在布里渊区边 界附近发生Bragg反射，而在电子与晶格之间交换动量 这种形式反映出来的。 在能带底：电子的能量取极小值，
在周期场中电子的有效质量m*与k有关 在能带底：
d 2E E(k)取极小值， 0 2 dk
在能带顶：
m*>0；
d 2E 0 E(k)取极大值， 2 dk
m*<0
x 2
m
y
2
2 E k 2 y
m
z
2
2 E 2 kz
2 1 2 cos kz a 2a J1
在能带底和能带顶电子的有效质量是各向同性的，
k , 0, 0 a
m 2 0, 2a J 1
分量形式：
dv d 1 E 1 3 dk a dt dt k 1 dt k
E k
x，y，z 原因：在三维情形，沿k空间的不同方向一般有不同的色散关系， 电子的有效质量比较复杂，表现为一个二级张量。
2 E k x k y 2 E 2 k y 2 E k z k y
2 E k x k z Fx 2 E Fy k y k z Fz 2 E k z2
牛顿定律：
1 a F m
响应写成类似于经典牛顿定律的形式。这时，有效质量
在电子运动中所起的作用就类似于粒子质量的作用。这 就是电子的有效质量m*为何与电子的真实质量m可以有
很大差别的物理原因。
有效质量m*既可以小于m，也可以大于m，甚至还
可以为负值。这都取决于晶格力的大小与方向，即周期 场对电子运动的影响。这种影响主要通过在布里渊区边 界附近发生Bragg反射，而在电子与晶格之间交换动量 这种形式反映出来的。 在能带底：电子的能量取极小值，
在周期场中电子的有效质量m*与k有关 在能带底：
d 2E E(k)取极小值， 0 2 dk
在能带顶：
m*>0；
d 2E 0 E(k)取极大值， 2 dk
m*<0
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
同理，n号B类原子的运动方程为 F nA
2
F（n+1)A
d m 2 u nB 1 u nB u( n1) A 2unB unA dt
3、试探解
unA A1e unB A2 e
i ( qna t ) i q ( na d ) t
M m
二、三维晶格振动 1、关于波矢q 2 q m （1）一维
Na
m q b N
m = 0 , ±1 , ±2 ,..……
一个 m 值对应一个q 点，波矢取分离值，均匀分布相邻 q 点
2 “距离”为 Na
Na 2
q 空间中波矢q 的密度 =
第一布里渊内 q
2 a N 点的取值数= 2 Na 2
4 qa 4 a sin q vp q m 2 m 2
ω 长声学 波近似为经典弹性波， v p q ，晶体 具有线性色散关系 可以看成连续介质。 q 长声学波波速：v 4 a p m 2
ωm
a
a
七、格波数
格波：晶体中所有原子以相同的频率和振幅
在平衡位置附近作简谐振动，原子的
2 1 1 2
2
0
m 1 2
2
(1 e
iqa 2
(1 e
iqa
2 )e
iqd
m 1 2
2 )e
iqd
0
2
1 2
m
1 2 2 1 2 2 1 2 cos qa m
1
2
2 光学支 o
第 n号A原子,由虎克定律
nA
1
2
FnB 2 u nA u nB
F（ n-1)B
FnB
F( n 1) B 1 u nA un 1B
n号A原子的运动方程
d m 2 unA 2 u nA u nB 1unA u( n 1) B dt
，则产生周期性重复。
五波恩—卡曼(Born-Karman)周期性边界条件
（讨论 q 的取值）
以上运动方程适合于体内的原子，而没 有考虑边界原子 波恩—卡曼周期性边界条件：假设原子组 成无限长的原子 链，首尾相连。
N 1 2
. n+1 n
有
un un N
试探解代入上式
Ae
i qna t
ω ~ q 关系图
ω
3 a
2 a
. .
. .
a
a
2 a
3 a
.
q
2、对色散关系的讨论
为了使 ω 是q 的单值函数，将q 限制在第一布里渊区 第一布里渊区内
a
q
a
q=0 q=±
a
ω=0 ωmax =
4 m
当q在 0 ~±
当│q│≥
a
a
，ω 由 0 ~ ω m ，ω m为截止频率
2 aq v 0 q M m
线性色散关系
4 Mm 2 qa 同理： 1 1 2 Mm 2M m 2 M m Mm 2 M m Mm q 0 ，与q基本无关。
2
1
m
2
1 2 1 2 2 2 1 2 cos qa m
1 2
声学支 2 A
1
m
2
1 2 2 1 2 2 1 2 cos qa m
1 2
4、色散关系及其讨论 ω
2
1 2
m
1 2 1 22 2 1 2 cos qa m
Fn-1
第n个
Fn+1
第 n 个原子受到 第 n-1 个原子的 作用力
Fn1 un un1
第 n 个原子的运动方程
Fn Fn1 Fn1
牛顿第二定律 F m a
第 n 个原子的运动方程
d un m 2 un1 un1 2un dt
如果晶体由 N 个原子组成，可建立N个方程组
2 a 2 Na
N
（N=初 基元胞数=原子数）
3.2 一维双原子链晶格的振动
一、一维双原子链晶格的振动
m m
d
a
A
B
β
1
β
2
第n号
平衡 位置 O t 时刻 X
(n-1)a na (n-1)a+d
na+d
(n+1)a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
u (n-1) B
unA unB
u (n+1) A
一维复式晶格有 N 个初基元胞，每个初基元胞内 有一个A 类原子和一个B 类原子，质量均为m 。 1 、物理模型：原子间近似于弹簧连接，弹性 系数β2 >β1；原子做简谐振动； 只考虑最近邻作用。
光学支
A2 1 A1
A2 A1 元胞内A、B原子反向运动 A2 A1
声学支
元胞内A、B原子同向运动
q = 0 时有 长光学支 A2 A1
元胞内A、B原子反向运动
长声学支 A2 A1
元胞内A、B原子同向运动
长声学波
长光学波
7、短波极限 q
a
cos qa
1 2
1 2
q
2a
,
1 2 M m 4 Mm 2 声学支 1 1 Mm M m 2 M m M m 2 1 Mm M m M 2 2 光学支 m
一组（m 、m2、m3）确定一个波矢 q点， 波矢 q 分离值、均匀分布。
qy qx
一个 q 点占“体积”为平行六面体体积
n=0 o n-1
a
n
n+1
n+2
x
t 时刻
un-1
un
un+1
选n=0原子的平衡位置为原点 o
t 时刻，第n-1、n、n+1原子离开平衡位置 的位移为u 、u 、u ，由虎克定律 F = -β △ u
n-1 n n+1
第 n 个原子受到 第 n+1 个原子的作用力
Fn1 un un1
（3）讨论其长波极限。
a M
a m
原子间力常数均为β
a
M
a
m 初基元胞
空间点阵
(1) a 2ai ,
b i a
第一布区范围：
2a
q
2a
( 2) q 0
2 声学支 0
光学支
2
M m
Mm
2 M m 1 1 0 Mm
运动状态在晶体中以波的形式转播，
这种简谐波称为格波。
格波数：一组( ωi，qi )对应一个格波，一维单 原子晶格有N个格波。
ωm
q q2
1
一维单原子晶格有 q 一支格波——包含N个格波
N个原子组成的一维单原子链
第一布区
2 Na
a
q
a
a
o
a
2 相邻 q 点距离 Na
第一布区内，波矢 q 可取值数
第三章 晶格振动
晶体内原子在平衡位置附近微小振动，温 度增加，振动剧烈，近似为弹簧的振动。 3.1 一维单原子晶格的振动
一、物理模型
质量为 m 的原子，在平衡位置附近作简谐 振动；只考虑最近邻作用; 原子间近似于弹簧 连接，弹簧弹性系数为β。
d U ( 2 )平 衡 位 置 dr
2
二、运动方程
4、色散关系及其讨论 把unA、unB代入以上两个运动方程 关于 A1A2的两个方程 A1、A2非零解，系数行列 式为0
e
1
色散关系ω(q) 2 iqa iqd m 1 2 A1 1e 2 e A2 0
iqa
2
e
iqd
A m A
1
2
ωO ωA
a
当
q=0
ωA = 0 ωo = 2 1 2
m
o
a
q
当
q=
a
A
2 1 m
o
2 2 m
5、波矢 q 的取值、格波支数
利用波恩—卡曼边界条件，波矢q的取值
2 q m Na
m = 0 , ±1 , ±2 , ……
波矢的可取值数 = 初基元胞数 N
ω
ωO ωA o
2a
2a
q
( 3) q 0, sin qa qa
1 2 M m 4 Mm 2 2 qa 1 1 2 Mm M m 1 x 2 x 0, 1 x 1 2 M m 4 Mm 2 2 2 2 2 1 1 qa a q 2 Mm 2 M m M m
2、运动方程
建立坐标系，n=0号原子的平衡位置设为 原点O t 时刻 第 n号 A原子离开平衡位置的位移unA 第 n号 B原子离开平衡位置的位移unB 第n-1号 B原子离开平衡位置的位移u (n-1) B
第n+1号 A原子离开平衡位置的位移u (n+1) A
同理，n号B类原子的运动方程为 F nA
2
F（n+1)A
d m 2 u nB 1 u nB u( n1) A 2unB unA dt
3、试探解
unA A1e unB A2 e
i ( qna t ) i q ( na d ) t
M m
二、三维晶格振动 1、关于波矢q 2 q m （1）一维
Na
m q b N
m = 0 , ±1 , ±2 ,..……
一个 m 值对应一个q 点，波矢取分离值，均匀分布相邻 q 点
2 “距离”为 Na
Na 2
q 空间中波矢q 的密度 =
第一布里渊内 q
2 a N 点的取值数= 2 Na 2
4 qa 4 a sin q vp q m 2 m 2
ω 长声学 波近似为经典弹性波， v p q ，晶体 具有线性色散关系 可以看成连续介质。 q 长声学波波速：v 4 a p m 2
ωm
a
a
七、格波数
格波：晶体中所有原子以相同的频率和振幅
在平衡位置附近作简谐振动，原子的
2 1 1 2
2
0
m 1 2
2
(1 e
iqa 2
(1 e
iqa
2 )e
iqd
m 1 2
2 )e
iqd
0
2
1 2
m
1 2 2 1 2 2 1 2 cos qa m
1
2
2 光学支 o
第 n号A原子,由虎克定律
nA
1
2
FnB 2 u nA u nB
F（ n-1)B
FnB
F( n 1) B 1 u nA un 1B
n号A原子的运动方程
d m 2 unA 2 u nA u nB 1unA u( n 1) B dt
，则产生周期性重复。
五波恩—卡曼(Born-Karman)周期性边界条件
（讨论 q 的取值）
以上运动方程适合于体内的原子，而没 有考虑边界原子 波恩—卡曼周期性边界条件：假设原子组 成无限长的原子 链，首尾相连。
N 1 2
. n+1 n
有
un un N
试探解代入上式
Ae
i qna t
ω ~ q 关系图
ω
3 a
2 a
. .
. .
a
a
2 a
3 a
.
q
2、对色散关系的讨论
为了使 ω 是q 的单值函数，将q 限制在第一布里渊区 第一布里渊区内
a
q
a
q=0 q=±
a
ω=0 ωmax =
4 m
当q在 0 ~±
当│q│≥
a
a
，ω 由 0 ~ ω m ，ω m为截止频率
2 aq v 0 q M m
线性色散关系
4 Mm 2 qa 同理： 1 1 2 Mm 2M m 2 M m Mm 2 M m Mm q 0 ，与q基本无关。
2
1
m
2
1 2 1 2 2 2 1 2 cos qa m
1 2
声学支 2 A
1
m
2
1 2 2 1 2 2 1 2 cos qa m
1 2
4、色散关系及其讨论 ω
2
1 2
m
1 2 1 22 2 1 2 cos qa m
Fn-1
第n个
Fn+1
第 n 个原子受到 第 n-1 个原子的 作用力
Fn1 un un1
第 n 个原子的运动方程
Fn Fn1 Fn1
牛顿第二定律 F m a
第 n 个原子的运动方程
d un m 2 un1 un1 2un dt
如果晶体由 N 个原子组成，可建立N个方程组
2 a 2 Na
N
（N=初 基元胞数=原子数）
3.2 一维双原子链晶格的振动
一、一维双原子链晶格的振动
m m
d
a
A
B
β
1
β
2
第n号
平衡 位置 O t 时刻 X
(n-1)a na (n-1)a+d
na+d
(n+1)a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
u (n-1) B
unA unB
u (n+1) A
一维复式晶格有 N 个初基元胞，每个初基元胞内 有一个A 类原子和一个B 类原子，质量均为m 。 1 、物理模型：原子间近似于弹簧连接，弹性 系数β2 >β1；原子做简谐振动； 只考虑最近邻作用。
光学支
A2 1 A1
A2 A1 元胞内A、B原子反向运动 A2 A1
声学支
元胞内A、B原子同向运动
q = 0 时有 长光学支 A2 A1
元胞内A、B原子反向运动
长声学支 A2 A1
元胞内A、B原子同向运动
长声学波
长光学波
7、短波极限 q
a
cos qa
1 2
1 2
q
2a
,
1 2 M m 4 Mm 2 声学支 1 1 Mm M m 2 M m M m 2 1 Mm M m M 2 2 光学支 m
一组（m 、m2、m3）确定一个波矢 q点， 波矢 q 分离值、均匀分布。
qy qx
一个 q 点占“体积”为平行六面体体积
n=0 o n-1
a
n
n+1
n+2
x
t 时刻
un-1
un
un+1
选n=0原子的平衡位置为原点 o
t 时刻，第n-1、n、n+1原子离开平衡位置 的位移为u 、u 、u ，由虎克定律 F = -β △ u
n-1 n n+1
第 n 个原子受到 第 n+1 个原子的作用力
Fn1 un un1
（3）讨论其长波极限。
a M
a m
原子间力常数均为β
a
M
a
m 初基元胞
空间点阵
(1) a 2ai ,
b i a
第一布区范围：
2a
q
2a
( 2) q 0
2 声学支 0
光学支
2
M m
Mm
2 M m 1 1 0 Mm
运动状态在晶体中以波的形式转播，
这种简谐波称为格波。
格波数：一组( ωi，qi )对应一个格波，一维单 原子晶格有N个格波。
ωm
q q2
1
一维单原子晶格有 q 一支格波——包含N个格波
N个原子组成的一维单原子链
第一布区
2 Na
a
q
a
a
o
a
2 相邻 q 点距离 Na
第一布区内，波矢 q 可取值数
第三章 晶格振动
晶体内原子在平衡位置附近微小振动，温 度增加，振动剧烈，近似为弹簧的振动。 3.1 一维单原子晶格的振动
一、物理模型
质量为 m 的原子，在平衡位置附近作简谐 振动；只考虑最近邻作用; 原子间近似于弹簧 连接，弹簧弹性系数为β。
d U ( 2 )平 衡 位 置 dr
2
二、运动方程
4、色散关系及其讨论 把unA、unB代入以上两个运动方程 关于 A1A2的两个方程 A1、A2非零解，系数行列 式为0
e
1
色散关系ω(q) 2 iqa iqd m 1 2 A1 1e 2 e A2 0
iqa
2
e
iqd
A m A
1
2
ωO ωA
a
当
q=0
ωA = 0 ωo = 2 1 2
m
o
a
q
当
q=
a
A
2 1 m
o
2 2 m
5、波矢 q 的取值、格波支数
利用波恩—卡曼边界条件，波矢q的取值
2 q m Na
m = 0 , ±1 , ±2 , ……
波矢的可取值数 = 初基元胞数 N
ω
ωO ωA o
2a
2a
q
( 3) q 0, sin qa qa
1 2 M m 4 Mm 2 2 qa 1 1 2 Mm M m 1 x 2 x 0, 1 x 1 2 M m 4 Mm 2 2 2 2 2 1 1 qa a q 2 Mm 2 M m M m
2、运动方程
建立坐标系，n=0号原子的平衡位置设为 原点O t 时刻 第 n号 A原子离开平衡位置的位移unA 第 n号 B原子离开平衡位置的位移unB 第n-1号 B原子离开平衡位置的位移u (n-1) B
第n+1号 A原子离开平衡位置的位移u (n+1) A