第4讲事件的独立性

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事件的独立性名词解释

事件的独立性名词解释事件的独立性是指一个事件在其发生的过程中并不受到其他事件的影响，具有自身的特定性和独立性质。

它是一个广泛应用于各领域的概念，包括科学、社会学、法律以及人类行为研究等。

在科学领域，事件的独立性是指一个实验或观察所研究的事件与其他变量或因素之间的关系是相互独立的。

在设计实验时，科学家通常会采取措施来保证实验的独立性，例如随机分组、避免再次测试等。

通过保持事件的独立性，科学家可以更准确地分析事件之间的关系，推断出因果或相关性的结论。

在社会学中，独立性是一个重要的概念，用于研究个体、群体或社会的现象，如社会心理、文化传播和社会动态等。

社会学家通过分析事件的独立性来了解不同因素对个体或群体行为产生的影响。

例如，他们可能通过研究某一社交媒体平台上用户的行为来分析用户间的互动模式和社交网络结构。

通过研究事件的独立性，社会学家可以更好地理解社会现象的本质，形成相关的理论。

在法律领域，事件的独立性是一个基本原则，涉及到证据的可信性和判断的公正性。

法官和陪审团必须评估每一个事件的独立性，以确定是否有足够的证据来支持诉讼的结果。

在庭审中，法律专业人士会根据相关法律和证据，评估事件的独立性，并作出公正的判断。

同时，法律也保护事件的独立性，确保每个事件都能得到适当的审理，而不受其他事件的干扰和影响。

在人类行为研究方面，事件的独立性被广泛应用于心理学和行为经济学等领域。

人类行为通常会受到各种因素的影响，例如情绪状态、社会环境和个人观念等。

通过研究事件的独立性，研究人员可以更好地理解人类行为的内在机制，探讨人们在不同情境下做出的决策和选择。

总之，事件的独立性是一个重要的概念，它在科学、社会学、法律和人类行为研究等领域都有着广泛的应用。

研究事件的独立性有助于我们深入了解各个领域中的现象和关系，为我们的决策和判断提供理论基础和依据。

通过保持事件的独立性，我们能够更加准确地理解和解释世界的运作方式，推动人类社会的进步和发展。

第四讲(事件的独立性)

—— 不能忽视小概率事件, 小概率事件迟早要发生小概率事件
若P(A) 0.01 , 则称A为小概率事件.
例7 设每门炮射击一飞机的命中率为 0.6 , 现有若干门炮同时独立地对飞机进行一次射击，问需要多少门
P ( A1 A2 „ An ) 1 P ( A1 ) P ( A2 ) „ P ( An )
=1- p1 … pn
例6 设每个人的血清中含肝炎病毒的概率为0.4%, 求来自不同地区的100个人的血清混合液中含有肝炎病毒的概率解设这100 个人的血清混合液中含有肝炎病毒为事件 A, 第 i 个人的血清中含有肝炎病毒为事件 Ai i =1,2,…,100 则 A Ai
定义
设 A , B 为两事件，若
P( AB) P( A) P( B)
则称事件 A 与事件 B 相互独立
例2 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}
问事件A、B是否独立？解：由于 P(A)=4/52=1/13, P(B)=26/52=1/2 P(AB)=2/52=1/26 可见, P(AB)=P(A)P(B)
P( A2 A1 ) 3 / 8 ,
P( A2 A1 ) P( A2 ) P( A2 A1 )
事件 A1 发生与否对 A2 发生的概率没有影响可视为事件A2关于A1 是独立的。
P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A1 ) P( A2 ) (3 / 8)
说明事件A、B独立.
前面我们是根据两事件独立的定义作出结论的，也可以通过计算条件概率去做:
从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的} 则由于 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13

北师大版高中数学必修第一册第七章 4-《事件的独立性》课件PPT

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甲、乙、丙三人都回答错误的概率为P( · · )=P()·P()·P()=(1− 4)×(1− 3)×(1− 8)= 96.
因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题”是对
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立事件,所以,所求事件概率为() =1− 96 = 96.
反思感悟
与相互独立事件有关的概率问题求解策略
明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发
生”“不都发生”等词语的意义.
四、方程思想在概率中的应用
例4
甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工
1
1
的零件不是一等品的概率为4,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为12,
不可能同时发生,即事件A与B是互斥的,所以所求概率为 = (A)+(B)= (A)P()+()()
=0.8×(1−0.8)+(1−0.8)×0.8=0.32.
3.袋中装有红、黄、蓝3种颜色的球各1个,从中每次任取1个,有放回地抽取3次,则3次全是红球的概率为( D )
A.
1
回答问题正确与否是相互独立的.
(1)求乙答对这道题的概率;
(2)求甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题的概率.
解 (1)记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件, , ,
设乙答对这道题的概率() = ,
由于每人回答问题正确与否是相互独立的,因此, , 是相互独立事件.
由题意,并根据相互独立事件同时发生的概率公式,
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, , .由题设得 () = 12 ,即 ()(1−()) = 12 ,②由①③,得() =1− 8 (),

04事件的相互独立性(教案)

2． 2．2事件的相互独立性教学目标：知识与技能：理解两个事件相互独立的概念。

过程与方法：能进行一些与事件独立有关的概率的计算。

情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。

教学重点：独立事件同时发生的概率教学难点：有关独立事件发生的概率计算授课类型：新授课课时安排：4课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入： 1 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率m n 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ．3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 5基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A ）称为一个基本事件6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n ，这种事件叫等可能性事件 7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()P A n = 8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥 11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=⇒=-12．互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么12()n P A A A +++＝12()()()n P A P A P A +++探究:(1)甲、乙两人各掷一枚硬币，都是正面朝上的概率是多少？事件A ：甲掷一枚硬币，正面朝上；事件B ：乙掷一枚硬币，正面朝上(2)甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？事件A ：从甲坛子里摸出1个球，得到白球；事件B ：从乙坛子里摸出1个球，得到白球问题(1)、(2)中事件A 、B 是否互斥？（不互斥）可以同时发生吗？（可以）问题(1)、(2)中事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率有无影响？（无影响）思考:三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取,事件A 为“第一名同学没有抽到中奖奖券”, 事件B 为“最后一名同学抽到中奖奖券”. 事件A 的发生会影响事件B 发生的概率吗?显然，有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，即事件A 的发生不会影响事件B 发生的概率．于是P （B| A ）=P(B ）,P （AB ）=P( A ) P ( B |A ）=P （A ）P(B).二、讲解新课：1．相互独立事件的定义：设A, B 为两个事件，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件A 与事件B 相互独立（mutually independent ) .事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立2．相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅问题2中，“从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球”是一个事件，它的发生，就是事件A ，B 同时发生，记作A B ⋅．（简称积事件）从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果于是从这两个坛子里分别摸出1个球，共有54⨯种等可能的结果同时摸出白球的结果有32⨯种所以从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率323()5410P A B ⨯⋅==⨯．另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率3()5P A =，从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率2()4P B =．显然()()()P A B P A P B ⋅=⋅．这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积如果事件12,,,n A A A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即 1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅．3．对于事件A 与B 及它们的和事件与积事件有下面的关系： ()()()(B A P B P A P B A P ⋅-+=+三、讲解范例：例 1.某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0 . 05 ，求两次抽奖中以下事件的概率：(1)都抽到某一指定号码；(2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码．解： (1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A, “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB ．由于两次抽奖结果互不影响，因此A 与B 相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05×0.05 = 0.0025. (2 ) “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用（A B ）U （A B ）表示．由于事件A B 与A B 互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为P (A B ）十P （A B ）=P （A ）P （B ）+ P （A ）P （B )= 0. 05×(1-0.05 ) + (1-0.05 ) ×0.05 = 0. 095.( 3 ) “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用（AB ) U ( A B ）U （A B ）表示．由于事件 AB , A B 和A B 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为 P ( AB ) + P （A B ）+ P （A B ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5.例2.甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：（1）2人都射中目标的概率；（2）2人中恰有1人射中目标的概率；（3）2人至少有1人射中目标的概率；（4）2人至多有1人射中目标的概率？解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A ，“乙射击1次，击中目标”为事件B ，则A 与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B 为相互独立事件，（1）2人都射中的概率为：()()()0.80.90.72P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=， ∴2人都射中目标的概率是0.72．（2）“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事件A B ⋅发生），另一种是甲未击中、乙击中（事件A B ⋅发生）根据题意，事件A B ⋅与A B ⋅互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：()()()()()()P A B P A B P A P B P A P B ⋅+⋅=⋅+⋅0.8(10.9)(10.8)0.90.080.180.26=⨯-+-⨯=+=∴2人中恰有1人射中目标的概率是0.26．（3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为()[()()]0.720.260.98P P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅=+=．（法2）：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件，2个都未击中目标的概率是()()()(10.8)(10.9)0.02P A B P A P B ⋅=⋅=--=， ∴“两人至少有1人击中目标”的概率为1()10.020.98P P A B =-⋅=-=．（4）（法1）：“至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”，故所求概率为：()()()P P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅()()()()()()P A P B P A P B P A P B =⋅+⋅+⋅0.020.080.180.28=++=．（法2）：“至多有1人击中目标”的对立事件是“2人都击中目标”，故所求概率为1()1()()10.72P P A B P A P B =-⋅=-⋅=-=例 3.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率解：分别记这段时间内开关A J ，B J ，C J 能够闭合为事件A ，B ，C ．由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是()()()()P A B C P A P B P C ⋅⋅=⋅⋅[][][]1()1()1()P A P B P C =--- (10.7)(10.7)(10.7)0.027=---=∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，，从而使线路能正常工作的概率是1()10.0270.973P A B C -⋅⋅=-=．答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973．变式题1：如图添加第四个开关D J 与其它三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率（1()()0.9730.70.6811P A B C P D ⎡⎤-⋅⋅⋅=⨯=⎣⎦）变式题2：如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率方法一：()()()()()P A B C P A B C P A B C P A B C P A B C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅()()()()()()()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅0.847=方法二：分析要使这段时间内线路正常工作只要排除CJ 开且A J 与B J 至少有1个开的情况 []21()1()10.3(10.7)0.847P C P A B --⋅=-⨯-=例 4.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．（1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；（2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？分析:因为敌机被击中的就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率解:（1）设敌机被第k 门高炮击中的事件为K A (k=1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为12345A A A A A ⋅⋅⋅⋅．∵事件1A ，2A ，3A ，4A ，5A 相互独立，∴敌机未被击中的概率为12345()P A A A A A ⋅⋅⋅⋅=12345()()()()()P A P A P A P A P A ⋅⋅⋅⋅5(10.2)=-=)54( ∴敌机未被击中的概率为5)54(．（2）至少需要布置n 门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿（1）可得：敌机被击中的概率为1-n)54(∴令41()0.95n -≥，∴41()510n ≤ 两边取常用对数，得113lg 2n ≥≈- ∵+∈N n ，∴n = ∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机点评：上面例1和例2的解法，都是解应用题的逆向思考方法采用这种方法在解决带有词语“至多”、“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便四、课堂练习：1．在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是( )()A 320 ()B 15 ()C 25 ()D 9202．从甲口袋内摸出1个白球的概率是13，从乙口袋内摸出1个白球的概率是12，从两个口袋内各摸出1个球，那么56等于（） ()A 2个球都是白球的概率 ()B 2个球都不是白球的概率()C 2个球不都是白球的概率 ()D 2个球中恰好有1个是白球的概率3．电灯泡使用时间在1000小时以上概率为0.2，则3个灯泡在使用1000小时后坏了1个的概率是（）()A 0.128 ()B 0.096 ()C 0.104 ()D 0.3844．某道路的A 、B 、C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是（）()A 35192 ()B 25192 ()C 35576 ()D 651925．（1）将一个硬币连掷5次，5次都出现正面的概率是；（2）甲、乙两个气象台同时作天气预报，如果它们预报准确的概率分别是0.8与0.7，那么在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是．6．棉籽的发芽率为0.9，发育为壮苗的概率为0.6，（1）每穴播两粒，此穴缺苗的概率为；此穴无壮苗的概率为．（2）每穴播三粒，此穴有苗的概率为；此穴有壮苗的概率为．7．一个工人负责看管4台机床，如果在1小时内这些机床不需要人去照顾的概率第1台是0.79，第2台是0.79，第3台是0.80，第4台是0.81，且各台机床是否需要照顾相互之间没有影响，计算在这个小时内这4台机床都不需要人去照顾的概率.8．制造一种零件，甲机床的废品率是0.04，乙机床的废品率是0.05．从它们制造的产品中各任抽1件，其中恰有1件废品的概率是多少？9．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，问取得的球是同色的概率是多少？答案：1. C 2. C 3. B 4. A 5.(1)132 (2) 0.56 6.(1) 0.01 , 0.16 (2) 0.999,0.9367. P=220.790.810.404⨯≈8. P=0.040.950.960.050.086⨯+⨯≈9. 提示：86461121212122P =⋅+⋅= 五、小结：两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的个事件发生的概率的积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的六、课后作业：课本58页练习1、2、3第60页习题2. 2A组4. B组1七、板书设计（略）八、教学反思：1. 理解两个事件相互独立的概念。

新教材高中数学第七章概率4事件的独立性课件北师大版

解：A＝{第一颗骰子出现 1，3，5 点}， B＝{第二颗骰子出现 2，4，6 点}． ∴P(A)＝12 ，P(B)＝12 ，P(AB)＝3× 363 ＝14 ， ∴P(AB)＝P(A)P(B)，∴事件 A，B 相互独立．
相互独立事件概率的计算
[例 2] (链接教科书第 212 页例 1)甲、乙、丙 3 位大学生同时应聘某个用人单
2．(变条件，变设问)若条件“3
人能被选中的概率分别为2
5
，34
，13
”变为“甲、
乙两人只有一人被选中的概率为2110 ，两人都被选中的概率为130 ，丙被选中的
概率为13 ”，求恰好有 2 人被选中的概率．
解：设甲被选中的概率为 P(A)，乙被选中的概率为 P(B)，
则 P(A)(1－P(B))＋P(B)(1－P(A))＝2110 ，
的概率 P1＝1－14 ×1－1－12×1－13 ＝56 ，B 至 C 畅通的概率 P2＝1－15 ×16 ＝
29 30
，所以电路畅通的概率 P＝P1P2＝56
×2390
＝2396
.
[答案] A
求解相互独立事件实际问题的思路 (1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示； (2)厘清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立．或者是相互独立)，列出关系式； (3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算； (4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．
不同赛制的可靠性探究乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，先得 11 分的一方为胜方，10 分平后，先多得 2 分的一方为胜方；一场比赛应采用奇数局，如三局两胜制、五局三胜制等；一场比赛应连续进行，但在局与局之间，任何一方运动员都有权要求不超过 1 分钟的休息时间．某校要通过选拔赛选取一名同学参加市级乒乓球单打比赛，选拔赛采取淘汰制，败者直接出局．现有两种赛制方案：三局两胜制和五局三胜制．

知识点概率与统计中的事件独立性

知识点概率与统计中的事件独立性知识点：概率与统计中的事件独立性事件独立性是概率与统计中的一个重要概念，指的是两个或多个事件之间的发生与否互不影响、相互独立的性质。

在实际问题中，对事件独立性的判断和运用是非常常见的。

一、事件独立性的定义和性质在概率与统计中，如果两个事件A和B满足以下条件，即当事件A 发生与否并不影响事件B的概率时，称事件A与B是独立事件。

具体而言，事件A与B的独立性可表述为：P(A∩B) = P(A) × P(B)其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率。

根据事件独立性的定义，可以得出以下性质：1. 事件A与自身是独立的，即P(A∩A) = P(A) × P(A)，即事件A发生与否不影响事件A本身的概率。

2. 如果事件A与事件B独立，那么事件A的补事件与事件B也是独立的，即P(A'∩B) = P(A') × P(B)。

3. 如果事件A与事件B独立，那么事件A与事件B的补事件也独立，即P(A∩B') = P(A) × P(B')。

二、事件独立性的判断在实际问题中，如何判断两个事件是否独立是一个重要的问题。

通常可以通过以下两种方式进行判断。

1. 通过已知概率判断：如果已知事件A和事件B的概率，可以通过计算P(A∩B)和P(A) × P(B)来判断两者是否相等。

如果相等，则事件A与事件B是独立的；如果不相等，则事件A与事件B不是独立的。

2. 通过条件概率判断：根据条件概率的定义，如果已知事件A和事件B的条件概率P(A|B)和P(B|A)，可以通过比较P(A|B)和P(A)以及P(B|A)和P(B)的大小关系来判断事件A与事件B的独立性。

如果条件概率与边际概率相等，则事件A与事件B是独立的；如果条件概率与边际概率不相等，则事件A与事件B不是独立的。

事件的独立性课件

(2)事件 A 与事件 C 是互斥的，因此事件 A 与 C 不是相互独立事件．
• 『规律总结』两个事件是否相互独立的判断
• (1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．
• (2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件．
P(A)P(B) P( A )P( B )
• 典例 3 (西安高二检测)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．
• (1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
• (2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列．
[解析] (1)设事件 A 表示：观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手．观众甲选中 3 号歌手的概率为23，观众乙未选中 3 号歌手的概率为 1－35．所以 P(A)＝23×(1－35)＝145．因此，观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率为145．
[解析] 用 A，B，C 分别表示这三列火车正点到达的事件，则 P(A)＝0.8， P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以 P( A )＝0.2，P( B )＝0.3，P( C )＝0.1．
(1)由题意得 A，B，C 之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为 P1 ＝P( A BC)＋P(A B C)＋P(AB C )＝P( A )P(B)P(C)＋P(A)P( B )P(C)＋P(A)P(B)P( C )

第十章第四节事件的独立性、条件概率与全概率公式

6．(全概率公式应用致误)在 A，B，C 三地爆发了流感，这三个地区分别有 6%，5%，4%的人患了流感．设这三个地区人口数的比为 3∶1∶1，现从这三个地区中任选一人，这个人患流感的概率是__________．
答案：52070 解析：由全概率公式可得，现从这三个地区中任选一人，这个人患流感的概率为 6%×3＋31＋1 ＋5%×3＋11＋1 ＋4%×3＋11＋1 ＝52070 .
2．事件 A 与事件 B 相互独立性
若事件 A 与事件 B 相互独立，则事件 A 的发生不会影响事件 B 发生的概率，
即有
P(B|A) ＝ P(B). 反之，若
P(B|A) ＝ P(B) 成立，则
P(AB)
＝ P(A)
P（AB） P（A）
＝
P(A)P(B|A)＝P(A)P(B).
3．n 个事件的相互独立
答案：25 解析：设事件 A 为“解题成功”，即甲乙两个小组至少有一个小组解题成功，
其概率为 P(A)＝1－1－23 ·1－12 ＝56 ，
事件 B 为“乙小组解题失败”，则 P(AB)＝23 ×1－12 ＝13 ，所以在解题成功的条件下，乙小组解题失败的概率为
1 P(B|A)＝PP（（AAB））＝35 ＝25 .
5．天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是 0.2，乙地降雨概率是 0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为________．
答案：0.38 解析：设甲地降雨为事件 A，乙地降雨为事件 B，则两地恰有一地降雨为 A－B ∪－A B，
所以 P(A－B ∪－A B)＝P(A－B )＋P(－A B)＝ P(A)P(－B )＋P(－A )P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.

概率论与数理统计-第3章-第4讲-随机变量的独立性

1, (x, y) G
f (x, y) 0,
其它.
1
2x
02 随机变量的独立性
例题设二维离散型随机变量 X， Y 的联合分布律为
应用
Y X
1
1
1 6
2
3
1
1
9
18
2
1 3
试确定常数，使得随机变量 X 与Y 相互独立．
02
随机变量的独立性由表，可得随机变量 X 与Y 的边缘分布律为
P{XY Y 0} P{( X 1)Y 0}
P{X 1 0,Y 0} P{X 1 0,Y 0}
P(X ) P(X ) 1
2
P{X 1}P{Y 0} P{X 1}P{Y 0} 1111 1
22 22 2
第4讲随机变量的独立性
本节我们学习了二维随机变量的独立性, 后续会推广到更多维. 随机变量的独立性在概率论和数理统计中会发挥重要的作用.
用分布函数表示, 即设 X,Y 是两个随机变量, 若对任意的x, y, 有 F ( x, y) FX (x)FY ( y)
则称 X, Y 相互独立 .
它表明, 两个随机变量相互独立时, 联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 .
01 两个随机变量独立的定义
离散型
X与Y 独立
对一切 i , j 有
01 两个随机变量独立的定义两个随机变量独立的定义
设 X,Y是两个随机变量, 若对任意的x,y ,有 P ( X x,Y y) P( X x)P(Y y)
则称X,Y相互独立 .
如何判断
两事件A, B独立的定义是：若 P(AB)=P(A)P(B)则称事件A, B独立 .
01 两个随机变量独立的定义

第四节事件的独立性和独立试验

n P(C) 1 P(C) 1 P( A1A2 An ) 1 P( A1)P( A2) P( An ) 1 (1 p)n. (2)Bn {n次实验中A至少成功一次}，Ak {第k次实验成功}，则Bn A1 A2 An，P( Ak ) p，且A1, A2 , , An 相互独立
(3)、各次试验相互独立：若以Ci(i=1,2,…n)表示第i次试验出现的事件，即Ci=A（成功）或Ā （失败），则
P(C1C2 Cn ) P(C1)P(C2)P(Cn )
3、独立性的用法 “独立性”是许多概率模型和统计模型的
前提条件．在许多情形下，“具备独立性”是对某些模型的要求或假设．这种要求或假设，是人们根据试验的主观或客观条件，根据有关理论、实践知识或直观提出的．如果确信独立性存在，则利用独立性进行概率的计算：事件同时出现的概率等于各事件概率的乘积．在类似的情形下，一般并不需要由独立性的定义来验证独立性是否成立．假如直观上或理论上无法确认独立性是否存在，则需要根据试验结果利用统计检验的方法来判断独立性是否存在，然而本书将不涉及有关方法 .
二、独立事件的性质
1、相互独立和两两独立若n个事件A1,…,An相互独立，则它们
之中任意m m(2 m n) ,个事件也相互独立．若n个事件A1,…,An
或事件列A1,…,An独立，则必两两独立；逆命题不成立： A1,…,An两两独立，但未必相互独立．
2、对立事件的独立性若二事件A和B独立，则将两个或其中任何一个事件换成其对立事件，所得两个事件仍然独立，即若二
例1.34 假设每次试验成功的概率为p(0<p<1)，试求
(1)次独立重复试验至少有一次成功的概率n ；
(2) 独立重复试验直到至少有一次成功为止，所需要试解：验的次数n．

4时间的独立性

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（2）由于AB =Φ，所以 P ( AB ) = P ( ) = 0 由已知条件知： P ( A ) P ( B ) 0 。若A 与 B独立，则有
0 = P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) 0
矛盾。这表明，事件 A 与 B 不相互独立．
此例说明：在A和B的概率都不等于零情况下，互不相容与相互独立不能同时成立。事件的互不相容与事件的相互独立的区别：（1）所反映的对象不同：互不相容所反映的是两个事件本身之间的关系，而相互独立所反映的是两个事件的概率间的关系（２）当A和B的概率都不等于零情况下，互不相容与相互独立不能同时成立
P ( A1 A2 An ) = 1 P ( A1 A2 An )
= 1 P ( A1 A2 An ) = 1 P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An )
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例4 如果构成系统的每个元件的可靠性均为r，0<r<1.且各元件能否正常工作是相互独立的，试求下列系统的可靠性：
§1.5 条件概率及概率乘法公式(继)
四、事件的独立性
一、独立性的定义：一般说来：某个事件的无条件概率与条件概率是不相等的但是在某些情况下也相等。例 1 袋中有 a 只黑球，b 只白球．按有放回方式，每次从中取出一球，令： A ={ 第一次取出白球 }， B ={ 第二次取出白球 }，显然有： P (B ) = P B A
n

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例 5 设有电路如图，其中 1, 2, 3, 4 为继电器接点。设各继电器接点闭合与否相互独立，且每一个继电器接点闭合的概率均为 p。求 L至 R 为通路的概率。解：设事件 Ai ( i=1,2,3,4 ) 为“第 i 个继电器接点闭合”, L 至 R 为通路这一事件可表示为：

事件的独立性

P( B) P( Ai B) 1 P( Ai B) 1 1 p1 p2
n
n
n
i 1
i 1
第一章小结
本章包括六个概念:
（随机试验、样本空间、事件、概率、条件概率、独立性）四个公式:
（加法公式、乘法公式、全概率公式、
贝叶斯公式）
和一个概型:（古典概型）
例1 商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？
则称事件A、B、C相互独立。
注:两两独立未必相互独立!
例:从分别标有1,2,3,4四个数字的4张卡片中随机抽取一张,以事件A表示“取到1或2号卡片”;事件B表示“取到1或3号卡片”;事件C表示“取到1或4号卡片”.则事件A,B,C两两独立但不相互独立.
1 事实上， P A） P B） P C）（（（ 2 1 P AB） P BC） P AC）（（（ 4 1 P ABC）（ 4
例．如图，1、2、3、4、5表示继电器触点,假设每个触点闭合的概率为p,且各继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率。
n架轰炸机独立地飞往目标投弹.已知
每架飞机能够飞到目标上空的概率为p1,在
目标上空投弹,命中目标的概率为p2. 求目
标被命中的概率.
解:设Ai--第i架飞机命中目标,i=1,…,n; B--目标被命中.
二.填空
1. 已知P(A)＝0.7，P(A-B)＝0.3，则 P AB 2. 设两个独立事件A和B都不发生的概率为1/9,A发生而B不发生的概率与B发生而A不发生的概率相等, 则P(A)=. 3.已知A与B相互独立，且互不相容则 min(P(A),P(B))= 4.设A,B是两个随机事件,且 0 P( A) 1, P( B) 0 , P( B | A) P( B | A) ,则必有

事件的独立性与非独立性

事件的独立性与非独立性事件的独立性和非独立性是概率论和统计学中的基本概念，用于描述事件之间是否相互影响或相关。

在本文中，我们将探讨事件的独立性和非独立性的含义、特征以及其在实际问题中的应用。

一、事件的独立性事件的独立性是指两个或多个事件在发生上相互独立，即一个事件的发生不会对其他事件的发生产生影响。

数学上，事件A和事件B是独立事件，当且仅当它们满足以下条件：P(A ∩ B) = P(A) × P(B)其中，P(A ∩ B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

独立事件的关键特征是事件之间的无关性。

例如，抛掷一枚硬币，正面朝上和反面朝上是两个独立的事件。

硬币落地时，正反两面的结果相互独立，无论之前的结果如何。

在实际问题中，事件的独立性有着广泛的应用。

例如，在概率计算中，我们经常通过事件的独立性来计算复杂事件的概率。

此外，在统计学中，事件的独立性也是很多统计方法的基础假设之一。

二、事件的非独立性与独立事件相对应，非独立事件指的是两个或多个事件在发生上相互有关联或影响。

在数学上，事件A和事件B是非独立事件，当且仅当它们不满足独立性的条件，即：P(A ∩ B) ≠ P(A) × P(B)非独立事件的特征是事件之间存在相关性。

例如，抽取一张扑克牌，第一次抽到一张红心牌，第二次再抽到红心牌的概率就会受到第一次抽到红心牌的结果影响。

在实际问题中，事件的非独立性也有着重要的应用。

例如，在风险管理和金融领域，我们经常需要考虑事件之间的相关性，以提前识别风险并采取相应的措施。

三、事件独立性和非独立性的意义事件的独立性和非独立性对于概率计算和统计推断具有重要的意义。

通过了解事件之间的关系，我们可以更准确地估计事件发生的概率，做出相应的决策。

当事件是独立的时候，我们可以简单地将不同事件发生的概率相乘，得到复杂事件的概率。

这在概率计算中非常有用，可以大大减少计算的复杂度。

事件的独立性学案

§4 事件的独立性一、学习目标1.结合具体试验理解相互独立事件的含义，会对事件的独立性进行判断.2.掌握相互独立事件的性质及概率公式，会求相互独立事件同时发生的概率.3.能综合运用互斥事件的概率加法公式及相互独立事件的乘法公式解题．二、课堂探究探究一试验5E ：连续抛一枚均匀的骰子两次，观察每次抛出的点数中，设事件A 表示“第一次出现1点”，事件B 表示“第二次出现1点”（1）写出试验的样本空间，并计算事件A 、B 的概率（2）事件A 的发生与否对事件B 发生的概率是否有影响？为什么？（3）在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率是多少？在事件A 不发生的条件下，事件B 发生的概率又是多少？（4）事件AB 的含义是什么？探究()()()AB P B P A P ,,的关系探究二在试验13E “袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球”，用A 表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”记为B ，（1）写出试验13E 的样本空间，分别计算事件A ，事件B 发生的概率（2）事件A 的发生与否对事件B 发生的概率是否有影响？为什么？（3）事件AB 的含义是什么？探究()()()AB P B P A P ,,的关系将探究结果写入下表抽象概括：1.相互独立事件的定义事件A (或B )是否发生对事件B (或A )发生的概率___________，这样的两个事件叫作相互独立事件2.两个相互独立事件同时发生的概率公式 P (AB )＝________________________三、相互独立事件的有关应用例1 相互独立事件的判断(多选)下列事件中，A ，B 是相互独立事件的是( )A ．一枚硬币掷两次，A ＝“第一次为正面”，B ＝“第二次为反面”B ．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，A ＝“第一次摸到白球”，B ＝“第二次摸到白球”C ．掷一枚骰子，A ＝“出现点数为奇数”，B ＝“出现点数为3或4”D ．掷一枚骰子，A ＝“出现点数为奇数”，B ＝“出现点数为偶数”小结：（1）判断两个事件是否独立的方法：在探究二中我们已知事件A 、事件B 相互独立，那么事件A 与-B ，———与与B A B A ,是否也相互独立例2求相互独立事件同时发生的概率甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，求：(1)两个人都译出密码的概率； (2)两个人都译不出密码的概率； (3)恰有1个人译出密码的概率．（4）求至多1个人译出密码的概率（5）求至少1个人译出密码的概率变式训练2甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设击中的概率依次为0.4，0.5，0.8.若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有2人击中，则飞机被击落的概率为0.6，若有三人击中，则此飞机一定被击落，求此飞机被击落的概率为_____________四、随堂演练1．若A 与B 是相互独立事件，则下面不是相互独立事件的是( ) A ．A 与A B ．A 与B C.A 与B D.A 与B 2．若P (AB )＝18，P (A )＝14，P (B )＝12，则事件A 与B 的关系是( )A ．事件A 与B 互斥 B ．事件A 与B 对立C ．事件A 与B 相互独立D ．事件A 与B 既互斥又独立3．某人提出一个问题，甲先答，答对的概率为0.4，如果甲答错，由乙答，答对的概率为0.5，则问题由乙答对的概率为( ) A ．0.2 B ．0.8 C ．0.4 D ．0.34．甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.9.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为________．5．某天上午，李明要参加“青年文明号”活动．为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己．假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________.。

第4讲(事件的独立性与独立重复试验)

C CC P ( B0 ) , P( B1 ) 3 , C C100 3 C C C4 P ( B2 ) , P( B3 ) 3 . C C100 因三次测试相互独立，故 P(A|B0)=0.993， P(A|B1)=0.992(1-0.95), P(A|B2)=0.99(1-0.95)2, P(A|B3)= (1-0.95)3. 由全概率公式, 得
由乘法公式知，当事件A与B独立时，有
P(AB)= P(A) P(B|A) = P(A) P(B).
用 P(AB)=P(A) P(B) 刻画独立性，比用 P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B) 更好.
◎
不受 P(B)>0 或 P(A)>0 的制约；反映了事件A与 B的对等性.
◎
设为Pn (k ),
则Pn (k ) C p (1 p)
k n k
n k
, k 0,1,2,, n.
在独立重复试验中，小概率事件必然发生——小概率原理.
例4（小概率原理）设随机试验中事件 A 发生的概率为（ 0 ） ,
证明：不论多么小，当我们不断地重复做该试验时， A迟早发生的概率为1.
成立，则称 n个事件A1, A2, …，An 相互独立. 若从n个事件A1, A2, …，An中任取k(k≥2)个事件都有事件积的概率等于概率的乘积, 称 A1, A2, …，An相互独立.
多个相互独立事件具有如下性质： ◎ 若事件A1, A2, …, An相互独立，则其中任意 k 个事件 Ai , Ai , Ai 也相互独立；
1 2 k
◎ 若事件A1, A2, …, An相互独立，则B1, B2, …, Bn也相互独立，其中 Bi 或为Ai ，或为Āi ， i=1, 2, …, n .

事件的独立性教案

事件的独立性教案教案标题：培养学生独立思考能力——事件的独立性教案教学目标：1. 帮助学生理解事件的独立性概念。

2. 培养学生独立思考和解决问题的能力。

3. 提升学生的批判性思维和分析能力。

教学内容：1. 介绍事件的独立性概念。

2. 探讨事件的独立性对个人和社会的重要性。

3. 引导学生学会独立思考和解决问题的方法。

教学步骤：引入活动：1. 创设情境，例如：让学生回忆一次他们独自完成的重要任务或解决的问题，并分享经验。

导入概念：2. 介绍事件的独立性概念，并提供简单的定义和例子。

- 事件的独立性是指能够独立思考、做出决策和解决问题的能力。

- 例如，一个学生独自完成一项作业，不依赖他人的帮助和指导。

探讨事件的独立性的重要性：3. 引导学生讨论事件的独立性对个人和社会的重要性。

- 个人层面：独立思考和解决问题能够培养学生的自信心和自主性，提高个人学习和生活的能力。

- 社会层面：独立思考和解决问题能够培养社会的创新力和发展潜力，推动社会进步。

培养学生独立思考和解决问题的能力：4. 提供学生独立思考和解决问题的方法和技巧。

- 鼓励学生提出问题，并自己寻找答案。

- 引导学生进行逻辑思考和分析，帮助他们找到解决问题的最佳途径。

- 培养学生的批判性思维，让他们能够评估信息的可靠性和真实性。

练习与巩固：5. 提供一些与事件的独立性相关的案例，让学生进行讨论和分析。

- 例如，让学生分析一个学生独自完成的科学实验，探讨他们在实验设计和结果分析中的独立性。

- 鼓励学生提出自己的观点和解决问题的方法，并与同学进行讨论和交流。

作业：6. 布置作业，要求学生选择一个与他们生活相关的问题，并独立思考和解决该问题，并在下节课上分享经验和成果。

扩展活动：7. 鼓励学生参与实践活动，例如学生社团、志愿者活动等，培养他们的团队合作和独立思考能力。

评估：8. 观察学生在讨论和分析中的参与度和表现。

9. 评估学生在作业中独立思考和解决问题的能力。

概率论之随机事件的独立性

的概率相等，都是 pk (1 p)nk ，故由概率的有限可
加性有 Pn (k) Cnk pk qnk , q 1 p, k 0,1, 2, , n
§4随机事件的独立性
随机事件及其概率
考研（2007，4 分）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p （ 0 p 1 ），则此人第 4 次射击时恰好第二次命中目标的概率为（ C ）. （A） 3 p(1 p)2 ；（B） 6 p(1 p)2 ；
随机事件及其概率
定理若事件 A, B 相互独立，则事件 A 与 B ，A 与
B ， A 与 B 也独立.
证明只证 A 与 B 独立 P( AB) P( A) P( AB)
P(A) P(A)P(B)
P( A)[1 P(B)] P( A)P(B)
§4随机事件的独立性
实际问题
P( A) 1 p ，
则称试验 E 为伯努利（Bernoulli）试验．称 n 重独立重复贝努利试验为 n 重伯努利试验．
§4随机事件的独立性
随机事件及其概率
定理（伯努利定理）在 n 重伯努利试验中，若每次
试验中事件 A 发生的概率为 p(0 p 1) ，则在这 n 次
试验中事件 A 恰好出现 k(0 k n) 次的概率为
则称事件 A1, A2 ,, An 相互独立（Independence each
other）.
§4随机事件的独立性
随机事件及其概率
当 n 个事件 A1, A2 , , An 相互独立时
P( A1 A2 An ) P(A1)P(A2 ) P(An )
P( A1 A2
1 P(A1 A2
An )

概率论4-独立性

P( A) p,
P( A) 1 p,
不同的p可用来描述不同的Bernoulli试验.
由n个(次)相同的、独立的Bernoulli试验组成的试验，称为n重Bernoulli试验。如: ① 检查7个产品, 合格情况; ② 打靶10次, 脱靶情况;
③ 诞生100个婴儿, 性别情况.
设Bn,k = “n重Bernoulli试验中A恰好发生k次”,
3 5 5 5 5
1 5 1 k C5 2 k 0 2 1 2
5
思考: 若采用只要有一方获胜三局则终止比赛,
情况如何? 证 : 设 Ak表示“经过 k局比赛 ,甲获胜”事件, 则 “甲获胜” = A3∪A4∪A5 并且
1 P( A3) C 2
§1.4 独立性
1.4.1 事件的独立性
两个事件之间的独立性是指一个事件的发生不
影响另一个事件的发生.
注: 两个事件独立不是指这两个事件互不相容.
定义1 若事件A与B满足 P(AB) = P(A)P(B), 则称A
与B相互独立，简称A与B独立.
例1.4.1 在有三个孩子的家庭中, 假定新生婴儿是男或是女是等可能的 . 设 A表示“有男孩也有女孩”事件, B表示“至多只有一个女孩”事件, 则由古典定义知, 而
对于n个试验E1, E2, …, En, 假如E1的任一结果、
E2的任一结果、…、En的任一结果都是相互独
立的，则称试验E1, E2, …, En相互独立。
假如这n个试验还是相同的，则称其为n重独立
重复试验。
1.4.3 n重 Bernoulli 试验定义只有两个结果(成功与失败,记为A与 A )的试验称一个产品, 看是否合格. 注: 在一次Bernoulli试验中, 设成功的概率为p, 即:

概率论与数理统计-基于R 第一章第四节事件的独立性

2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
定理1.3：若两事件A、B独立，则
A与B, A与B, A与B也相互独立.
证明：由已知A P(A-B) =P(A-AB)= P(A)- P(AB)
=P(A)- P(A)P (B) =P(A)[1- P (B)] =P(A) P (B).
(1)此密码能被译出的概率为
P( A B) P( A) P(B) P( AB) 0.55.
(2)密码恰好被一个人译出的概率为
P(AB AB) P(AB) P(AB)
P( A)P(B) P( A)P(B) 0.45.
二、多个事件的独立性
定义1.9对于三个事件A、B、C，若
课堂练习
1. 设A、B为互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,
下面四个结论中，正确的是：
1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0
2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
2. 设A、B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0,
下面四个结论中，正确的是：
1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0
n
n
P( A) 1 P Ak k1
1
k 1
P ( Ak )
1 (0.99)n
(2) P( A) 0.5 0.99n 0.5
n lg 2 2 lg 99
684.16.
例：有4个独立元件构成的系统(如图)，设每个元件能正常运行的概率为p，求系统正常运行的
由此可见两事件相互独立，但两事件不互斥.
14
若 P( A) 1 , P(B) 1