44圆心角、圆周角、弧、弦

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弧、弦、圆心角、圆周角--知识讲解(基础)

弧、弦、圆心角、圆周角--知识讲解（基础）【学习目标】1.了解圆心角、圆周角的概念；2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用．【要点梳理】要点一、弧、弦、圆心角的关系1.圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3.推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.要点二、圆周角1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.4.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。

*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等。

同一条弦所对的圆周角和圆心角的关系

同一条弦所对的圆周角和圆心角的关系圆周角和圆心角是圆内角的两种特殊形式。

在圆上任意取一条弦，弦所对的圆周角和圆心角是由这条弦所夹的圆弧所确定的角度。

我们来了解圆周角的定义。

圆周角是指以一条弦为两边的角，其顶点在圆上。

圆周角所对的圆弧是以这条弦为弦的圆弧。

圆周角的度数等于其所对的圆弧的度数。

接下来，我们来了解圆心角的定义。

圆心角是指以圆心为顶点的角，其两条边分别与圆上的两点相交。

圆心角所对的圆弧是以这个角为圆心角的圆弧。

圆心角的度数等于其所对的圆弧的度数的两倍。

那么，同一条弦所对的圆周角和圆心角之间有何关系呢？我们可以观察到，当弦的长度不变时，弦所对的圆周角和圆心角的度数是相等的。

这是因为，弦所对的圆周角是由弦所夹的圆弧所决定的，而圆心角是以圆心为顶点的角，其两边分别与圆上的两点相交，所以圆心角所对的圆弧也是由这条弦所夹的圆弧所决定的。

因此，当弦的长度不变时，弦所对的圆周角和圆心角的度数是相等的。

我们可以观察到，当弦的长度增大时，弦所对的圆周角和圆心角的度数也会增大。

这是因为，当弦的长度增大时，弦所夹的圆弧的度数也会增大，而圆周角和圆心角的度数与所对的圆弧的度数是相等的。

因此，当弦的长度增大时，弦所对的圆周角和圆心角的度数也会增大。

我们可以观察到，当弦的长度减小时，弦所对的圆周角和圆心角的度数也会减小。

这是因为，当弦的长度减小时，弦所夹的圆弧的度数也会减小，而圆周角和圆心角的度数与所对的圆弧的度数是相等的。

因此，当弦的长度减小时，弦所对的圆周角和圆心角的度数也会减小。

同一条弦所对的圆周角和圆心角之间有如下关系：当弦的长度不变时，弦所对的圆周角和圆心角的度数是相等的；当弦的长度增大时，弦所对的圆周角和圆心角的度数也会增大；当弦的长度减小时，弦所对的圆周角和圆心角的度数也会减小。

这种关系在几何学中具有重要的应用。

在解决与圆相关的问题时，我们常常需要利用这一关系来求解未知角度或长度。

通过理解和应用这一关系，我们可以更好地理解和运用圆周角和圆心角的概念，进而解决与圆相关的各种几何问题。

人教版九年级数学上册24.1.3《弧、弦、圆心角》说课稿

人教版九年级数学上册24.1.3《弧、弦、圆心角》说课稿一. 教材分析人教版九年级数学上册第24章《圆》的第三节“弧、弦、圆心角”是整个章节的重要组成部分。

本节内容主要介绍了弧、弦、圆心角的定义及其相互关系，旨在让学生理解和掌握圆的基本概念和性质，为后续学习圆的周长、面积等知识打下基础。

教材从生活实例出发，引出弧、弦、圆心角的概念，并通过观察、操作、猜想、证明等环节，让学生体会圆的性质。

教材注重培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和动手操作能力，使其能够运用所学知识解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对图形的认识和观察能力有一定的提高。

但是，对于弧、弦、圆心角的定义和相互关系，学生可能还存在一定的模糊认识。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，引导学生从生活实际出发，理解并掌握弧、弦、圆心角的性质。

三. 说教学目标1.知识与技能：理解和掌握弧、弦、圆心角的定义及其相互关系，能够运用所学知识解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、证明等环节，培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和动手操作能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养其积极思考、合作探究的学习态度。

四. 说教学重难点1.教学重点：弧、弦、圆心角的定义及其相互关系。

2.教学难点：圆心角、弧、弦之间的数量关系。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、观察猜想、证明验证的教学方法，引导学生主动探究，提高其思维能力。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型等辅助教学，增强学生的直观感受。

六. 说教学过程1.导入：从生活实例出发，引出弧、弦、圆心角的概念，激发学生的学习兴趣。

2.新课讲解：讲解弧、弦、圆心角的定义，通过观察、操作、猜想、证明等环节，让学生理解并掌握其相互关系。

3.例题讲解：分析并解决典型例题，让学生运用所学知识解决实际问题。

4.课堂练习：布置针对性的练习题，巩固所学知识。

九年级数学圆弧、弦、圆心角间的关系圆周角定理及其推论精选例题和练习..

圆周角定理及其推论一、知识点总结1．圆心角：顶点在圆心的角．注意：圆心角的底数等于它所对弧的度数．2．在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距中，只要有一组量相等，那么另外三组量也分别相等考点一：圆心角，弧，弦的位置关系二、弧、弦、圆心角、弦心距间的关系举例例1 如图，AB 为⊙O 的弦，点C 、D 为弦AB 上两点，且OC=OD ，延长OC 、OD 分别交⊙O 于点E 、F ，试证明弧AE=弧BF ．分析：“弧AE=弧BF”←“∠______=∠______” 把证弧相等转化为证________________．证明：例2 如图，点O 是∠BPD 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于点A 、B 和C 、D ．求证：AB=CD ．分析：把证明弦相等转化为证明_弦心距_相等．例3如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ，连接AC 、 OC 、BC ．(1)求证：∠ACO=∠BCD ．(2)若EB=8cm ，CD=24cm ，求⊙O 的直径．分析： (1)∠ACO=∠______，而∠______=∠______． (2)在Rt ⊿______中，利用勾股定理列方程求例4 已知，如图，在⊿ABC 中，AD ，BD 分别平分∠BAC 和∠ABC ，延长AD 交⊿ABC 的外接圆于E ，连接BE ．求证：BE=DE ．分析：把证BE=DE 转化为证∠____=∠____． CDBF E ONMDCB AOEAO DC DA1.如图1，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（）2.如图2，BE是半径为6的圆D的14圆周，C点是BE上的任意一点，△ABD 是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是（）2、已知AB^、CD^是同圆的两段弧，且AB^=2CD^，则弦AB与2CD之间的关系为（）A、AB=2CDB、AB＜2CDC、AB＞2CDD、不能确定4、下列语句中正确的是（）A、相等的圆心角所对的弧相等B、平分弦的直径垂直于弦C、长度相等的两条弧是等弧D、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴5、在一扇形统计图中，有一扇形的圆心角为60°，则此扇形占整个圆的（）6、有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角对的弧相等；④圆中90°角所对的弦是直径；⑤同圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（）7、如图3，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出下列五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧AE是劣孤DE的2倍；⑤AE=BC．其中正确结论的序号是（）图1图2图38.如图所示，⊙O半径为2，弦，A为弧BD的中点，E为弦AC的中点，且在BD上，则四边形ABCD的面积为9.如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD．（1）P是CAD^上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD=∠COB；（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．3．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半．1.如图1，∠A 是⊙O 的圆周角，且∠A ＝35°,则∠OBC=_____.2.如图2，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB= ．3：如图3，AB 是⊙O 的直径，点C D E ，，都在⊙O 上，若C D E ==∠∠∠，则A B +=∠∠ º． 4：如图4，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，40EOD ∠=，则DCF ∠= ．图2 图14．圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．注：有直径时，常添加辅助线，构造直径所对的圆周角，由此转化为直角三角形的问题．考点2：圆周角定理1、如图，△ABC 中，∠A=60°，BC 为定长，以BC 为直径的⊙O 分别交AB ，AC 于点D ，E ．连接DE ，已知DE=EC ．下列结论：①BC=2DE ；②BD+CE=2DE ．其中一定正确的有（）2.一个圆形人工湖如图所示，弦AB 是湖上的一座桥，已知桥AB 长100m ，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD 为（）3.如图AB 是⊙O 的直径， AC^所对的圆心角为60°， BE^所对的圆心角为20°，且∠AFC=∠BFD ，∠AGD=∠BGE ，则∠FDG 的度数为（）4. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 两点在⊙O 上，若∠C=40°，则∠ABD 的度数为（）1题图 2题 3题4题5：已知：如图，AD•是⊙O•的直径，∠ABC=•30•°，则∠CAD=_______．CBO A O AB C 图3 B C D E O EF C DG O 图46：已知⊙O 中，30C ∠=，2cm AB =，则⊙O 的半径为cm ．7.已知：如图等边ABC △内接于⊙O ，点P 是劣弧BC ⋂上的一点（端点除外），延长BP 至D ，使BD AP =，连结CD ．（1）若AP 过圆心O ，如图①，请你判断PDC △是什么三角形？并说明理由．（2）若AP 不过圆心O ，如图②，PDC △又是什么三角形？为什么？8.如图AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上的一点，若AC=8㎝，AB=10㎝，OD ⊥BC 于点D ，求BD 的长9.如图，在⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点P ，∠CAB=40°，∠APD=65°．（1）求∠B 的大小；（2）已知圆心0到BD 的距离为3，求AD 的长．_D_B _A_O OAA O C PB 图① AOC PB 图②10.11.如图，AB、CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD，已知AD=BD=4，PC=6，那么CD的长是12.如图，已知点C、D在以O为圆心，AB为直径的半圆上，且OC⊥BD 于点M，CF⊥AB于点F交BD于点E，BD=8，CM=2．（1）求⊙O的半径；（2）求证：CE=BE．13.5.圆内接多边形：一个多边形的顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆6.圆内接四边形：圆内接四边形的对角互补如图所示，A、B、C三点在圆O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（）A. 140°B. 110°C. 120°D. 130°7.确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图5所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块B．第②块 C．第③块D．第④块8.三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．这个三角形叫做圆的内接三角形。

第08讲圆心角与圆周角

第08讲圆心角与圆周角（核心考点讲与练）【知识梳理】一．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．二．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．三．相交弦定理（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．几何语言：若弦AB、CD交于点P，则P A•PB＝PC•PD（相交弦定理）（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝P A•PB（相交弦定理推论）．【核心考点精讲】一．圆心角、弧、弦的关系（共4小题）1．（2021•江北区校级开学）在⊙O中，如果＝2．那么弦AB与弦CD之间的关系是（）A．AB＝2CD B．AB＞2CD C．AB＜2CD D．无法确定2．（2020秋•靖江市期中）已知弦AB的长等于⊙O的半径，弦AB所对的圆周角是度．3．（2021•广州模拟）如图，AB，CD为⊙O内两条相交的弦，交点为E，且AB＝CD，求证：AD∥BC．4．（2022春•永嘉县月考）如图，AB是⊙O的直径，点C，E都在⊙O上，OC⊥AB，＝2，DE∥AB 交OC于点D，延长OC至点F，使FC＝OC，连接EF．（1）求证：CD＝OD．（2）若⊙O的直径是4，求EF的长．二．圆周角定理（共5小题）5．（2022•浦江县模拟）已知：如图，OA是⊙O的半径，若∠BAO＝27°，则圆周角∠BDA的度数是（）A．63°B．60°C．58°D．54°6．（2021秋•嘉兴期末）如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，若∠ABC＝70°，则∠BAC的度数为（）A．70°B．60°C．40°D．20°7．（2022•柯桥区一模）如图，在⊙O中，AD是直径，∠ABC＝35°，则∠CAD等于（）A．75°B．65°C．55°D．45°8．（2022•文成县一模）如图，点A，B，C都在⊙O上，∠AOC：∠BOC＝2：5，OA∥BC，则∠ABC＝°．9．（2021秋•嵊州市期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径作⊙O，分别交BC，AC 于点D，E，连结OD，DE．（1）求证：BD＝DC．（2）若∠BAC＝50°，求∠ODE的度数．三．相交弦定理（共2小题）10．（2021秋•东阳市月考）已知四边形ABCD两条对角线相交于点E，AB＝AC＝AD，AE＝3，EC＝1，则BE•DE的值为（）A．6B．7C．12D．1611．（2021秋•余姚市期中）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若AP＝6，BP＝8，CP＝4，则CD长为（）A．16B．24C．12D．不能确定【过关检测】一．选择题（共10小题）1．（2021秋•西城区校级期中）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么所对的圆心角的大小是（）A．60°B．75°C．80°D．90°2．（2022•富阳区一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上一点，连接AD，AG，GD，BC．则下列结论错误的是（）A．∠ADC＝∠AGDB．若∠ADC＝∠GAD，则＝2C．若＝，则△ADG是等腰三角形D．若＝，则△AGF是等腰三角形3．（2022•舟山二模）如图，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，∠ABC＝25°，则弧CD的度数（）A．50°B．25°C．100°D．65°4．（2022•西湖区一模）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，设∠ABC＝α，∠ABD＝β，∠AEC＝γ，则（）A．α+β﹣γ＝90°B．β+γ﹣α＝90°C．α+γ﹣β＝90°D．α+β+γ＝180°5．（1999•山西）如图，⊙O中，弦AB和CD相交于P，CP＝2.5，PD＝6，AB＝8，那么以AP、PB的长为两根的一元二次方程是（）A．x2﹣8x﹣15＝0B．x2﹣8x+15＝0C．x2+8x﹣15＝0D．x2+8x+15＝06．（2022•鹿城区校级二模）如图，△ABC的两顶点A，B在⊙O上，点C在圆外，∠C＝46°，边AC交⊙O于点D，DE∥BC经过圆心交⊙O于点E，则的度数为（）A．44°B．80°C．88°D．92°7．（2022•黄岩区一模）如图，△ABC是等边三角形，点A，点B在数轴上，点A表示数﹣2，点B表示数2，以AB为直径作圆交边AC于点P，以B为圆心，BP为半径作弧交数轴于点Q，则点Q在数轴上表示的数为（）A．B．2C．2﹣2D．2﹣28．（2022•永康市模拟）如图，线段AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠AOC＝60°，点P是线段AB延长线上的一点，连结PC，则∠APC的度数不可能是（）A．30°B．25°C．10°D．5°9．（2022•东坡区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AC＝12，AE＝3，则⊙O的直径长为（）A．10B．13C．15D．1610．（2021秋•杭州期末）如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD，已知AD＝BD＝4，PC＝6，那么CD的长为（）A．6B．7C．8D．9二．填空题（共4小题）11．（2021秋•亭湖区期末）如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是．12．（2014秋•柯城区校级期中）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点E，AE＝2cm，BE＝6cm，DE＝3cm，则CE＝cm；学以致用：点P是直径为10的⊙Q中一点且PQ＝2，过点P作弦HK，则线段PH 与线段PK的积等于．13．（2021秋•定海区期末）一块直角三角板的30°角的顶点A落在圆O上，两边分别交圆O于B、C两点，则弧BC的度数为．14．（2021秋•温州期末）如图，点A在半圆O上，BC是直径，．若AB＝2，则BC的长为．三．解答题（共6小题）15．（2021秋•淳安县期中）如图，在⊙O中，弦AD＝BC，连接AB、CD．求证：AB＝CD．16．（2021秋•上城区期中）如图，AD、BC是⊙O的两条弦，且AB＝CD，求证：AD＝BC．17．（2021秋•长兴县期中）如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在，上，且AB＝CD，M是的中点．求证：MB＝MD．18．（2021秋•诸暨市期末）如图，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，连接CD、BD、AD，CD＝BD．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．（1）求证：CD＝DE；（2）若AC＝6，半径OB＝5，求BD的长．19．（2021秋•滨江区期末）如图，在⊙O中，AB＝CD，弦AB与CD相交于点M．（1）求证：＝．（2）连接AC，AD，若AD是⊙O的直径，求证：∠BAC+2∠BAD＝90°．20．（2001•温州）⊙O的两条弦AB，CD交于点P，已知AP＝4，BP＝6，CP＝3，求CD的长．。

[初中教育][初三数学]圆心角和圆周角

小班辅导教案知识点一圆心角定理1.概念填空：（1）把圆绕旋转任意一个角度，所得的图形都和原图形重合.圆是中心对称图形，就是它的对称中心.（2）顶点在的角叫做圆心角.（3）圆心角定理：在同圆会等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的也相等.（4）我们把1°圆心角所对的弧叫做，则n°的圆心角所对的弧就是 .2.把一个圆分成相等的6段弧，每段弧所对的圆心角的度数是 >3.如图，MN为⊙○的弦，∠M=50°，则圆心角∠MON等于（）A.50°B.55°C.65°D.80°̂= .4.如图，在⊙○中，∠AOB=∠COD，则AC= ，AĈ的度数5.如图，两个同心圆的圆心为O，大圆半径OA,OB分别交小圆于A′,B′两点，如果AB̂的度数是60°，那么A′B′为（）A.60°B.大于60°C.小于60°D.不能确定题型一利用圆心角定理证明角（弧）度、线段间的等量关系例1：如图，O为等腰三角形ABC的底边AB上的中点，以AB为直径的半圆分别交AC,BC于点D,E，连结OD,OE.求证：（1）∠AOE=∠BOD；̂=BÊ.（2）AD巩固练习1：如图，在⊙○中，弦AB=CD.求证：AC=BD.题型二利用圆心角定理计算弧的度数̂的度数为40°，例2：如图，AB,DF是⊙○的两条直径，C是⊙○的直径AB上一点，过点C作弦DE，使CD=CO.若AD̂的度数.求BE巩固练习2：如图，以Rt△ABC的直角顶点为圆心，以BA为半径的圆分别交AC于点D，交BC于点E.若∠C=31°，̂的度数.求AD知识点二圆心角定理的逆定理1.在同圆或等圆中，如果、、、中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等.2.下列命题中，真命题是（）A.相等的圆心角所对的弧相等B.相等的弦所对的弧相等C.度数相等的弧是等弧D.在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等3.在⊙○中，弦AB=2cm，圆心角∠AOB=60°，则⊙○的直径为 cm.4.已知AB,CD是⊙○的两条弦，且AB=CD,OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F.若OE=3，则OF= .̂=BĈ.若AB=3,则CD= .5.如图，在⊙○中，AD题型一：利用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系进行相关证明例1：如图，⊙○的弦AB,CD相交于点P，PO平分∠APD.求证：AB=CD.̂=BD̂.求巩固练习1：如图所示，⊙○的两条弦AB,CD互相垂直且相交于点P,OE⊥AB,OF⊥CD，垂足分别为E,F,AC证：四边形OEPF是正方形.例2：如图，P为⊙○的直径EF延长线上一点，PA交⊙○于点B，A,PC交⊙○于点D,C,∠1=∠2.求证：PB=PD.巩固练习2：如图，P为⊙○外一点，∠APC的两边分别交⊙○于点A,B和点C,D.如果PA=PC,求证：AB=CD.知识点三圆周角定理及其推论1.顶点在圆上，的角，叫做圆周角.2.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的度数的一半.圆周角定理的推论1：半径（或直径）所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是 .3.如图，A,C,B是⊙○上三点，若∠AOC=40°，则∠ABC的度数是 .4.已知一条弧的度数为80°，则这条弧所对的圆心角和圆周角分别是和 .5.在⊙○中，一条6cm长的弦所对的圆周角为90°，则⊙○的直径是 cm.6.已知Rt△ABC的两直角边的长分别为6cm和8cm，则它的外接圆的半径为 cm.题型一与圆周角定理有关的计算例1：如图，A,B,C,D四个点均在⊙○上，∠AOD=70°，AO//DC，求∠B的度数.巩固练习1：如图，A,B,C是⊙○上三点，AB=2,∠ACB=30°，求⊙○的半径.题型二利用圆周角定理的推理1进行计算与证明例2：如图AB,AC是⊙○的两条弦，且AB=AC.延长CA到点D，使AD=AC，连结DB并延长，交⊙○于点E.求证：CE是⊙○的直径.巩固练习2：如图，△ABC是⊙○的内接三角形，AD是⊙○的直径.若∠ABC=50°，求∠CAD的度数.知识点四圆周角定理的推理21.圆周角定理的推理2：在同圆或等圆中，所对的圆周角相等；的圆周角所对的弧也相等.2.如图，点A,B,C,D在⊙○上，若∠BDC=30°，则∠BAC= .3.如图，∠DBC=20°，∠APB=80°，则∠D= .4.若⊙○的弦AB所对的弧的度数是180°，则AB必是⊙○.5.如图，AB是⊙○的直径，∠CAB=60°，则∠D= .题型一：利用圆周角定理及其推论进行计算例1：如图，已知在⊙○中，直径AB=10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙○于点D，求BC,AD,BD的长.巩固练习1：如图，点A,B,C,D都在⊙○上，AD是⊙○的直径，且AD=6cm.若∠ABC=∠CAD，求弦AC的长.题型二：利用圆周角定理及其推论进行证明例2：如图，已知在△ABC中，∠BAC与∠ABC的平分线AE,BE交于点E，延长AE交△ABC的外接圆于点D，连结BD,CD,CE且∠BDA=60°.（1）求证：△BDE是等边三角形；（2）若∠BDC=120°，猜想四边形BDCE是怎样的四边形？并证明你的猜想.巩固练习2：如图，过圆内一点P作弦AB和CD，且AP=CP.求证：PB=PD.1.如图，点O 是两个同心圆的圆心，大圆半径OA,OB 交小圆于点C,D ，下列结论中正确的个数有（）①∠OCD=∠OAB ；②AB=CD;③AB̂=CD ̂. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个2.如图，BE 是半径为6的⊙D 的14圆周，C 点是BÊ上的任意一点，△ABD 是等边三角形，则四边形ABCD 的周长P 的取值范围是（）A.12<P ≤18B. 18<P ≤24C. 18<P ≤18+6√2D. 12<P ≤12+6√23.已知AB 是⊙○的直径，AC,AD 是弦，且AB=2，AC=√2，AD=1，则圆周角∠CAD 的度数是（）A.45°和60°B.60°C.105°D.15°或105°4.如图，AB 是⊙○的直径，点C 在⊙○上，弦BD 平分∠ABC ，则下列结论错误的是（）A.AD=DCB.AD̂=DC ̂ C.∠ADB=∠ACB D.∠DAB=∠CBA5.如图，已知AB 是⊙○的直径，PA=PB ，∠P=60°，则CD̂所对的圆心角等于度.6.如图，AB,CD 是⊙○的两条互相垂直的弦，圆心角∠AOC=130°，AD,CB 的延长线相交于点P ，则∠P 的度数为 .7.如图，∠A 的两边交⊙○于点B,C,D,E ，若BD̂:BC ̂:CE ̂:DE ̂=1:3:4:4，则∠A 的度数为 .8.如图为⊙○的部分图形，OA,OB 是⊙○的两条互相垂直的半径，M 是弦AB 的中点，过点M 作MC//OA ，交AB̂于点C.求证：AC ̂=13AB ̂.9.已知：如图，A 点是半圆上一个三等分点，B 点是AN̂的中点，P 是直径MN 上一动点，⊙○的半径为1，则AP+BP 的最小值为多少？1.若⊙○内的一条弦与直径相交成30°的角，并把直径分成2cm 和6cm 两端，则这条弦的弦心距为（）A.1cmB. 2cmC. 3cmD. 4cm2.如图，用四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A,B,O是小正方形的顶点，⊙○的半径为1，P是⊙○上的一点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB的度数为（）A.30°B.45°C.60°D.15°或105°3.如图，MN是半圆O的直径，点A是MN延长线上一点，AP交半圆于点Q,P.若∠A=20°，∠PMQ=40°，则∠MQP等于（）A.30°B.35°C.40°D.50°4.如图，AB为⊙○的一固定直径，它把⊙○分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙○于点P，当点C在上半圆（不包括A,B两点）上移动时，点P（）A.到CD的距离保持不变B.位置不变̂ D.随C点移动而移动C.等分BD（第4题）（第5题）（第7题）5.如图，已知A,B,C三点在⊙○上，AC⊥BO于点D，∠B=55°，则∠BOC的度数是 .6.圆内的一条弦把圆分成5:1两部分，如果圆的半径是2cm，那么这条弦的长是 cm.7.如图，CD是半圆的直径，点O是圆心，点A在CD的延长线上，点E在半圆上，EA与半圆相交于点B.若AB=OC,̂的度数为 .∠DAE=15°，则DE8.如图，在⊙○中，AB是直角，CD是弦，AB⊥CD.̂上一点（不与C,D重合）.求证：∠CPD=∠COB.（1）P是CAD̂上（不与C,D重合）时，∠C P′D与∠COD有什么数量关系？请证明你的结论.（2）点P′在CD9.如图，AB ̂是⊙○的14圆周，半径OA ⊥OB ，C,D 是AB ̂的三等分点，AB 分别交OC,OD 于点E,F.求证：AE=BF=CD.。

弧、弦、圆心角、圆周角—知识讲解

弧、弦、圆心角、圆周角一知识讲解(提高)责编：常春芳【学习目标】1・了解圆心角、圆周角的槪念；2.理解圆周角泄理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；3.掌握在同圆或等圆中，三组疑：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用.【要点梳理】知识点一、弧、弦、圆心角的关系1•圆心角定义如图所示，ZAOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角.2.定理；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.3推论：在同圆或等圆中，如果两条孤相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等.要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征.(2)注意泄理中不能忽视"同圆或等圆”这一前提.知识点二、圆周角1.圆周角定义：像图中ZAEB、ZADB、ZACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.3.圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上：②角的两边都和圆相交.（2）圆周角左理成立的前提条件是在同圆或等圆中.4. 圆内接四边形：（1）泄义：圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形.（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）.5. 弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何疑之间是相互关联的，即它们中间只要有一组疑相等，（例如圆心角相等），那么其它各组量也分别相等（即相对应的弦、弦心距以及弦所对的呱也分别相等）.*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.【典型例题】证法一：如图①，••• AB=CD, ••• AB = CD.:.AB-BD = CD-BD,即 AD = BC.:.AD=BC ・证法二：如图②，连OA 、OB 、OC 、0D,V AB=CD, :. ZAOB = ZCOD ・••• ZAOB 一 ZDOB = ZCOD- ZDOB, 即ZAOD= ZBOC, ••• AD=BC ・【点评】在同圆或等圆中，证两弦相等时常用的方法是找这两弦所对的弧相等或所对的圆心角相等，而图中没有已知的等弧和等圆心角，必须借助已知的等弦进行推理.本题主要是考査弧、弦、圆心角之间的关系，要证AD = BC,只需证AD = BC 或iiEZAOD=ZBOC 即可.举一反三：【变式】如图所示，已知AB 是00的直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM 丄AB, DN 丄AB.求证：AC = BD ・类型一、圆心角.弧.弦之间的关系及应用【答案与解析】【答案】证法一：如上图所示，连OC 、0D,贝lj OC=OD,••• OA=OB> 且OM =-O\. ON = -OB 9 2 2••• OM=ON,而 CM 丄AB, DN 丄AB,••• RtACOM^RtADON,••• ZCOM=ZDON ・.・.AC = BD.证法二：如下图，连AC 、BD. OC 、OD ・ ••• M 是AO 的中点，且CM 丄AB,••• AC=OC,同理BD=OD,又0C=OD ・••• AC = BD,••• AC = BD ・类型二、圆周角定理及应用（2隔南京二模）如图，g OB 是。

圆周角几何语言

圆周角几何语言圆周角是几何学中的一个重要概念，它是指圆心所对的圆弧所对应的角。

在本文中，我们将从不同的角度来探讨圆周角的性质和应用。

一、圆周角的定义与性质在平面几何中，圆周角是指圆心所对的圆弧所对应的角。

圆周角的大小可以用弧度或度数来表示。

弧度是一个无量纲的量，以弧长与半径的比值来衡量角的大小。

度数是一个量纲为角度的量，以圆周的360等分来衡量角的大小。

圆周角的性质有以下几点：1. 圆周角的度数和弧度数相等。

例如，一个圆周角的度数为60°，则它的弧度数也为60。

2. 圆周角的大小与所对应的圆弧的长度成正比。

即圆周角越大，所对应的圆弧也越长。

3. 对于同一个圆，圆周角相等的两个弧所对应的圆心角也相等。

二、圆周角的应用圆周角在几何学中有许多应用，下面我们将介绍其中的一些应用。

1. 弧长的计算：已知圆的半径和圆周角的弧度数，可以通过圆周角的弧度数与半径的乘积来计算弧长。

2. 扇形面积的计算：已知圆的半径和圆周角的弧度数，可以通过圆周角的弧度数与半径的平方的乘积的一半来计算扇形的面积。

3. 圆心角的计算：已知圆周角所对应的圆弧长度和圆的半径，可以通过圆周角的弧长与半径的比值来计算圆心角的弧度数。

4. 弧度与角度的转换：可以通过将角度除以180再乘以π来将角度转换为弧度，或者通过将弧度除以π再乘以180来将弧度转换为角度。

5. 弧度的性质应用：弧度是无量纲的，因此在计算中更为方便。

许多几何问题可以通过使用弧度来简化计算。

三、圆周角的相关定理在几何学中，还有一些与圆周角相关的重要定理。

下面我们将介绍其中的一些定理。

1. 圆周角的和定理：如果两个圆周角的顶点和一个边相同，那么这两个圆周角的和等于另一个圆周角。

2. 切线与弦的定理：如果一条切线与一条弦相交，那么所对的圆周角等于这条弦所对的圆心角。

3. 弧与弦的定理：如果一条弧与一条弦相交，那么所对的圆周角等于这条弦所对的圆心角的一半。

四、圆周角的应用举例下面我们通过一些实际问题来应用圆周角的知识。

圆周角与圆心角、弧的关系

(教案)圆周角与圆心角、弧的关系一、知识讲解：1．圆周角与圆心角的的概念：顶点在圆上，同时两边都和圆相交的角叫做圆周角。

2．在同圆或等圆中，假如两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。

3．一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。

4．直径所对的圆周角是90度，90度的圆周角所对的弦是直径。

5．圆的内接四边形对角之和是180度。

6．弧的度数确实是圆心角的度数。

解题思路：1．已知圆周角，能够利用圆周角求出圆心角2．已知圆心角，能够利用圆心角求出圆周角3．已知直径和弧度，能够求出圆周角与圆心角1.圆周角与圆心角的定义顶点在圆上，同时两边都和圆相交的角叫做圆周角。

注意圆周角定义的两个差不多特点：(1)顶点在圆上；(2)两边都和圆相交。

二、教学内容【1】圆心角：顶点在圆心的角。

利用两个错误的图形来强调圆周角定义的两个差不多特点：练习：判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由．【2】明白得圆周角定理的证明一条弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角度数的一半。

已知：⊙O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC，求证：∠BAC= 1/2∠BOC.分析：通过图形的演示指导学生进一步去查找圆心O与∠BAC的关系本题有三种情形：（1）圆心O在∠BAC的一边上 O（2）圆心O在∠BAC的内部（3）圆心O在∠BAC的外部 B D C●假如圆心O在∠BAC的边AB上,只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明●假如圆心O在∠BAC的内部或外部,那么只要作出直径AD,将那个角转化为上述情形的两个角的和或差即可证明:圆心O在∠BAC的一条边上 AOA=OC==>∠C=∠BAC∠BOC=∠BAC+∠C O==>∠BAC=1/2∠BOC. B C【3】圆周角与圆心角的关系（1）．在同圆或等圆中，假如两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。

圆心角、圆周角、弦、弧的关系

1圆的基本性质考点一、圆的相关概念（1）圆的定义圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。

（2）圆的几何表示以点O 为圆心的圆记作“⊙O ”，读作“圆O ”考点二、弦、弧等与圆有关的定义（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

（如图中的AC ）（2）直径：经过圆心的弦叫做直径。

（如图中的AB ）直径等于半径的2倍。

（3）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（4）弧、优弧、劣弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示，以A ，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”。

大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）考点三、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理及其推论可概括为：过圆心直径平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧考点四、圆的对称性（1）圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

（2）圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

2考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理（1）圆心角：顶点在圆心，角的两边和圆相交的角叫做圆心角。

（2）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。

（3）弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

新人教版九年级上学期数学圆弦、弧、圆心角、圆周角习题课

【解答】(1)∵∠ABC＝70°，∴∠AOC＝2∠ABC＝2×70°＝140°，故选 A.
(2)如图，作 OE⊥AB 于 E，则 OE 平分 AB，即 AE＝BE.
∵∠AOB＝120°，∴∠AOE＝60°，∴AE＝OA·sin60°＝ 3.
∴AB＝2AE＝2 3，故选 B.
(3)当两条平行弦在圆心同侧时，AB、CD 之间的距离为 7 cm，当两条平行弦在圆心异侧
2020/12/19
A P
. O
C
B
D
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2.已知AB为⊙O的直径,半径OC⊥AB,E为OB上一点, 弦AD⊥CE交OC于点F,猜想OE与OF的数量关系,并说明你的理由.
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3.已知AB是⊙O的直径,M、N分别是AO和BO的中点， CM⊥AB，DN⊥AB，则弧AC和弧BD有什么关系？为什么？
本题考查了垂径定理及圆周角定理，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定理的内容
根据垂径定理可判断A、B，根据圆周角定理可判断D，继而可得出答案．
2、（2013•苏州）如图，AB是半圆的直径，点D是AC的中点，
∠ABC=50°，则∠DAB等于（）
C
A 55° B 60 ° C 65° D 70°
(1)你的结论用文字表述为(不准出现字母和数学符号) _______________________________________
__________________; (2)证明你的结论.
圆外角的度数等于它所夹的两段弧----大弧与小弧的度数差的一半.
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(1)(2010·重庆)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，若∠ABC＝70°，则∠AOC 的

垂径定理-弦-弧-圆心角-圆周角-

圆的对称性，圆周角1. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。

2. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。

3. 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。

推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.圆周角和圆心角的关系:1. 圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.2. 圆周角定理；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等；推论2: 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；1、如图，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，•错误的是（A 、CE=DEB 、BC BD = C 、∠BAC=∠BAD D 、AC >AD2、如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM的长为3，则弦AB 的长是（A 、4 B 、6 C 、7 D 、83、某居民小区一处圆形下水管道破裂，维修人员准备更换一段新管道，如图所示，污水水面宽度为60cm ，水面到管道顶部距离为10cm，则修理人员应准备_________cm 内径的管道（内径指内部直径）． 4、如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD ，点O 是CD 的圆心，•其中CD=600m ，E 为CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m ，求这段弯路的半径．5、如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD 长．6、如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 为弦，D 是AC 的中点，6BC cm =，求OD 的长.7. 已知：AB 交圆O 于C 、D ，且AC ＝BD.你认为OA ＝OB 吗？为什么？第4题CE O A D B 8. 等腰三角形ABC 中，B 、C 为定点，且AC=AB ，D 为BC 中点，以BC 为直径作圆D 。

圆心角定理

圆心角定理(弧、弦、圆心角关系定理)基本内容：1、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

2、在同圆或等圆中，如果两条弧相等，则它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。

3、在同圆或等圆中，如果两条弦相等，则它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。

在理解时要注意：⑴前提：在同圆或等圆中；⑵条件与结论：在①两条弧相等；②两条弦相等；③两个圆心角相等中，只要有一个成立，则有另外两个成立。

基本概念理解：1．在同圆或等圆中，若的长度＝的长度，则下列说法正确的个数是（）①的度数等于；②所对的圆心角等于所对的圆心角；③和是等弧；④所对的弦心距等于所对的弦心距。

A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，在两半径不同的同心圆中，︒=''∠=∠60B O A AOB ，则（）A ．B ．C ．的度数=的度数D ．的长度=的长度3．下列语句中，正确的有（）（1）相等的圆心角所对的弧相等；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）长度相等的两条弧是等弧；（4）经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个4．已知弦AB 把圆周分成1:5的两部分，这弦AB 所对应的圆心角的度数为． 5．在⊙O 中，的度数240°，则的长是圆周的份．概念的延伸及其基本应用：1．在同圆或等圆中，如果圆心角BOA ∠等于另一圆心角COD ∠的2倍，则下列式子中能成立的是（）2．在同圆或等圆中，如果，则AB 与CD 的关系是（）A ．CD AB 2> B ．CD AB 2=C ．CD AB 2< D ．CD AB =（2题图）3．在⊙O 中，圆心角︒=∠90AOB ，点O 到弦AB 的距离为4，则⊙O 的直径的长为（）A ．24B ．28C ．24D ．164．在⊙O 中，两弦CD AB <，OM ，ON 分别为这两条弦的弦心距，则OM ，ON 的关系是（）A ．ON OM >B ．ON OM =C ．ON OM <D ．无法确定 5．已知：⊙O 的半径为4cm ，弦AB 所对的劣弧为圆的31，则弦AB 的长为 cm ，AB 的弦心距为 cm ．6．如图，在⊙O 中，AB ∥CD ，的度数为45°，则∠COD 的度数为．典型例题精析：例题1、如图，已知：在⊙O 中，OA ⊥OB ，∠A=35°，求和的度数.解：连结OC ，在Rt △AOB 中，∠A=35° ∴∠B=55°，又∵OC=OB ， ∴∠COB=180°-2∠B=70°，∴的度数为70°，∠COD=90°-∠COB=90°-70°=20°，∴的度数为20°.说明：连结OC ，通过求圆心角的度数求解。

圆的确定,圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系

儒洋教育学科教师辅导讲义6、多边形与圆如果一个圆经过一个多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形，提示：1、与圆的确定有关的两个图形一定要学生重点理解。

2、补充两个知识点：线段垂直平分线的性质和角平分线的性质3、和学生一起重点分析课本例题1和2，理解题目考察的细节和解题方法。

二、例题分析：1、以线段AB为弦的圆的圆心的轨迹是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

cm。

2、已知扇形的圆心角为120°，半径为2cm，则扇形的弧长是cm，扇形的面积是23、点和圆的位置关系有三种：点在圆，点在圆，点在圆；例1：已知圆的半径r等于5厘米，点到圆心的距离为d，（1）当d=2厘米时，有d r，点在圆（2）当d=7厘米时，有d r，点在圆（3）当d=5厘米时，有d r，点在圆4、下列四边形：①平行四边形，②菱形；③矩形；④正方形。

其中四个顶点一定能在同一个圆上的有（）A、①②③④B、②③④C、②③D、③④5、（07上海中考）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块 B．第②块C．第③块 D．第④块6、三角形的外接圆的圆心是（），A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点7、直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm，则其外接圆半径长为。

（三）巩固练习1、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条的直线；圆是中心对称图形，对称中心为．2、三角形的外接圆的圆心——三角形的外心——三角形的交点；三角形的内切圆的圆心——三角形的内心——三角形的交点；3、三角形的外心一定在该三角形上的三角形（）（A）锐角三角形（B）钝角三角形（C）直角三角形（D）等腰三角形，第7题（第2题） 7、如图，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，则弦CE=_______8、如图，OE ⊥AB 、OF ⊥CD ，如果OE=OF ，那么_______（只需写一个正确的结论）B A CEDOF（第8题）（第11题）9、已知，如图所示，点O 是∠EPF 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于点A 、Ｂ和C 、D 。

【初中数学】初中数学知识点：圆心角,圆周角,弧和弦

【初中数学】初中数学知识点：圆心角，圆周角，弧和弦圆的定义:在同一平面上，到固定点的距离等于固定长度的一组点称为圆。

这个固定点叫做圆心。

圆的长度是圆的周长。

弧：圆上任意两点之间的部分称为弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示以a，b为端点的弧记作“，读“弧AB”或“弧AB”。

优弧：大于半圆的弧（多用三个字母表示）；下弧：比半圆小的弧（通常用两个字母表示）圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

圆弧、弦、弦中心距与圆心角的关系定理：在同一圆或等圆中，等中心角的圆弧相等，等中心角的弦相等，等中心角弦的弦中心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

中心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。

圆周角：顶点位于圆上且两侧与圆相交的角度称为圆周角。

圆周角的顶点在圆上，它的两边为圆的两条弦。

中心角特征识别：①顶点是圆心；② 两边都与圆周相交。

计算公式:① L（弧长）=n/180XπR（n为圆心角的度数，下同）；②s(扇形面积)=n/360xπr二；③ 扇形中心角n=（180L）/（πR）（度）。

④k=2rsin(n/2)k=弦长；n=弦所对的圆心角，以度计。

中心角定理：圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

理解：（定义）（1）等弧对等圆心角（2）将圆心顶点的圆周角分成360个部分时，每个部分的中心角为1°（3）因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧．（4）圆的中心角的度数等于它们相对的弧的度数推论：如果每组（2）中的两个和弦具有相同的中心，那么如果每组（2）中的两个和弦具有相同的中心，则其他两个和弦对应于相同的圆与圆周角关系:在同一圆或等圆中，同一圆弧或弦的圆周角等于中心角的一半。

定理证明：分三种情况讨论，始终做直径cod，利用等腰三角形等腰底角相等，外角等于两内角之和来证明。

第九讲(圆心角、弧、弦、圆周角)

第九讲：弧、弦、圆心角、圆周角一、基本知识:1、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分垂径定理推论：平分弦（）的直径垂直于弦，并且平分2、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的，所对的 ____. 圆心角定理推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一对量相等，那么都相等。

注解：在由“弦相等，得出弧相等”或由“弦心距相等，得出弧相等”时，这里的“弧相等”是指对应的劣弧与劣弧相等，优弧与优弧相等。

3、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角定理推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是______圆周角定理推论2：在同圆或等圆中，所对的圆周角相等； _______ 的也相等 4、圆内接四边形的对角之和为。

二、例题讲解 1、圆心角定理(1)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，且AB=AC=13,BC=24，求⊙O 的半径为．⑵ 下列说法正确的是（）A ．相等的圆心角所对的弧相等 B.等弧所对的圆心角相等 C ．相等的弦所对的圆心到弦的距离相等 D.圆心到弦的距离相等,则弦相等⑶ 如图AB 是⊙O 的直径，弧AD=弧AC ，求证：∠BOD= ∠ BOC（4）如图，⊙O 的两条弦AB 、CD 相交于P ，M 、N 分别是 AB 、CD 的中点，PM ＝PN ，求证：AB ＝CD2、圆周角定理⑴ 求圆中的角x 的度数？⑵ 如图，AB 是⊙O 的直径，∠ A =80°，∠ABC =______.B⑶ 如图，D 是弧AC 的中点，与∠ABD 相等的角是________________.⑷ 如图，已知AB 为⊙O 的直径， C 为⊙O 外一点， BC 交⊙O 于 AC 交⊙O 于D ，∠DOE =60°，求∠ C 的度数.三、练习1．如图所示，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，∠ACB 的角平分线CD 交⊙O 于D ，则∠ABD ＝_____________度。

人教版九年级数学上《弧、弦、圆心角》知识全解

《弧、弦、圆心角》知识全解
课标要求
理解弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；理解圆心角、弧、弦之间关系定理.
知识结构
本小节从圆的旋转不变性出发，推出了弧、弦、圆心角之间的相等关系.通过本小节的学习要掌握圆的旋转不变性，掌握圆心角的概念及弧、弦、圆心角之间的相等关系，产能运用这些关系解决有关圆的证明、计算问题.弧、弦、圆心角之间的相等关系是论证同圆中等圆中弧相等、角相等、线段相等的主要依据，这个关系是本节的重要内容.
内容解析
本节先探索一个圆心角旋转后，有哪些等量关系.要首先明确圆是中心对称图形，即圆绕其圆心旋转180°后与原来的图形重合，进而指出圆绕其中心旋转任意角度都能与原来的图形重合，这样就把圆与一般的中心对称图形区别开来.学习时首先明确圆心角、圆心角所对的弧、圆心角所对的弦的概念.对于弦相等，可用全等三角形的性质，但不能证明弧相等，可用定义，证明两弧重合.
重点难点
重点是弧、弦、圆心角之间的相等关系以及运用定理进行证明.
教法导引
抓住圆旋转任意角度都与原图形重合，制作一个教具，用实物的旋转来证明定理.
学法建议
结合图形，理解定理，用心体会圆的旋转过程，体会知识的发生过程.。

弧、弦、圆心角教案

弧、弦、圆心角教案教学目标：1. 理解弧、弦、圆心角的定义及它们之间的关系。

2. 学会使用圆规和量角器测量弧、弦、圆心角的大小。

3. 能够应用弧、弦、圆心角的知识解决实际问题。

教学重点：1. 弧、弦、圆心角的定义及它们之间的关系。

2. 测量弧、弦、圆心角的方法。

教学难点：1. 弧、弦、圆心角之间的关系的理解与应用。

教学准备：1. 圆规、量角器、直尺、橡皮擦。

2. 白色board笔、彩色粉笔。

3. PPT课件。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用PPT课件展示一些生活中的弧、弦、圆心角的图片，引导学生观察并思考它们之间的关系。

2. 学生分享观察结果，教师总结并板书：弧、弦、圆心角的定义及它们之间的关系。

二、新课讲解（15分钟）1. 讲解弧、弦、圆心角的定义，引导学生通过观察图形加深理解。

2. 演示如何使用圆规和量角器测量弧、弦、圆心角的大小，并讲解测量方法。

3. 举例说明弧、弦、圆心角在实际问题中的应用。

三、课堂练习（10分钟）1. 学生自主完成PPT课件中的练习题，巩固所学知识。

2. 教师选取部分学生的作业进行点评，指出优点和不足。

四、拓展与应用（10分钟）1. 学生分组讨论，思考如何利用弧、弦、圆心角的知识解决实际问题。

2. 各小组汇报讨论成果，教师点评并给予鼓励。

五、总结与反思（5分钟）1. 教师引导学生总结本节课所学内容，巩固知识点。

2. 学生分享学习心得，提出疑问。

3. 教师解答学生疑问，给予鼓励和建议。

教学反思：本节课通过展示生活中的弧、弦、圆心角图片，引导学生观察和思考，激发学生的学习兴趣。

在讲解过程中，注重让学生通过观察图形加深对弧、弦、圆心角的理解。

课堂练习环节，学生能够自主完成练习题，巩固所学知识。

在拓展与应用环节，学生分组讨论，积极参与，充分发挥了团队合作精神。

总体来说，本节课达到了预期的教学目标。

但在今后的教学中，还需注意加强对弧、弦、圆心角之间关系的讲解，提高学生的理解能力。

“圆”来如此——圆周角定理

“圆”来如此——圆周角定理【圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系】圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两个圆周角、两条弧或两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等（知其1即知其3）这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．【注意】同弧所对圆周角相等，在三角形全等、相似方面，有着极为广泛的应用！【垂径定理】垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．【知2求3】“过圆心的直线”、“垂直于弦”、“平分弦（非直径）”、“平分弦所对的优弧”、“平分弦所对的劣弧”中的任意两个成立，则另外三个都成立．【四点共圆】•3点确定一个圆•4点可以共圆•5点也可以共圆•几何题，一定要寻找特殊图形、特殊变换、特殊关系！【点与圆】圆外1点与圆的距离关系，做与圆心的连线即可。

寻找特殊关系学会转化【切线判定】【定义法】和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；【距离法】和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；【定理法】经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．注意：定理的题设是①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可；【总结】通常情况下，要证明切线，就需要连接切点与半径。

在证明垂直关系即可。

【圆与圆】·连心线是对称轴．·两圆相切时，切点一定在对称轴上．·如果两圆⊙O_1、⊙O_2相交于A、B两点，那么O_1O_2垂直平分AB．·如果两个半径不相等的圆O_1、圆O_2相离，那么内公切线交点、外公切线交点都在直线O_1O_2上，并且直线O_1O_2平分两圆外公切线所夹的角和两圆内公切线所夹的角．·如果两条外公切线分别切圆O_1于A、B两点、切圆O_2于C、D两点，那么两条外公切线长相等，且AB、CD都被O_1O_2垂直平分．。