2015-2016学年河北省衡水市冀州中学高二(下)期中数学试卷与解析(理科)(b卷)

2015-2016学年河北省衡水市冀州中学高二（下）期中数学试卷（理科）（B卷）一、选择题：（本大题共15个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1≤x≤0}C．{x|1≤x≤2}D．{x|0≤x≤1} 2．（5分）设复数w=（）2，其中a为实数，若w的实部为2，则w的虚部为（）A．﹣ B．﹣ C．D．3．（5分）如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）A．y=x+f（x）B．y=xf（x）C．y=x2+f（x）D．y=x2f（x）4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，向量=（﹣1，2），=（2，m），若O，A，B三点能构成三角形，则（）A．m=﹣4 B．m≠﹣4 C．m≠1 D．m∈R5．（5分）已知函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）图象过点（0，），则f （x）图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入x=3，则输出k的值为（）A．6 B．8 C．10 D．127．（5分）已知三棱锥S﹣ABC，满足SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA=SB=SC，若该三棱锥外接球的半径为，Q是外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为（）A．3 B．2 C．D．8．（5分）已知满足的实数x、y所表示的平面区域为M、若函数y=k（x+1）+1的图象经过区域M，则实数k的取值范围是（）A．[3，5]B．[﹣1，1]C．[﹣1，3]D．9．（5分）已知p：“直线l的倾斜角”；q：“直线l的斜率k＞1”，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）已知双曲线与椭圆的焦点重合，它们的离心率之和为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B． C． D．11．（5分）f（x）是定义在（0，+∞）上单调函数，且对∀x∈（0，+∞），都有f（f（x）﹣lnx）=e+1，则方程f（x）﹣f′（x）=e的实数解所在的区间是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，e） D．（e，3）12．（5分）设平面向量、满足||=2、||=1，=0，点P满足，其中m≥0，n≥0，则点P所表示的轨迹长度为（）A．B．C．D．二、填空题：（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若，则=．14．（5分）在报名的5名男生和4名女生中，选取5人参加志愿者服务，要求男生、女生都有，则不同的选取方法的种数为（结果用数值表示）15．（5分）已知点Q（﹣2，0）及抛物线x2=﹣4y上一动点P（x，y），则|y|+|PQ|的最小值是．16．（5分）已知数列{a n}满足a n=（2n﹣1）2n，其前n项和S n=．三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）f（x）=在区间上的值域．18．（12分）连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i次得到的点数为a i，若存在正整数k，使a1+a2+…+a k=6，则称k为你的幸运数字．（1）求你的幸运数字为3的概率；（2）若k=1，则你的得分为5分；若k=2，则你的得分为3分；若k=3，则你的得分为1分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字则记0分，求得分X的分布列和数学期望．19．（12分）如图，已知四棱锥的侧棱PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是直角梯形，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=CD=2，点M在侧棱上．（1）求证：BC⊥平面BDP；（2）若侧棱PC与底面ABCD所成角的正切值为，点M为侧棱PC的中点，求异面直线BM与PA所成角的余弦值．20．（12分）已知椭圆M：：+=1（a＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），左右顶点分别为A，B．经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长；（Ⅲ）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值．21．（12分）已知函数，g（x）=xlnx﹣a（x﹣1）．（Ⅰ）求函数f（x）在点（4，f（4））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥0恒成立，求实数a的取值的集合M；（Ⅲ）当a∈M时，讨论函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调性．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC（Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年河北省衡水市冀州中学高二（下）期中数学试卷（理科）（B卷）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共15个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1≤x≤0}C．{x|1≤x≤2}D．{x|0≤x≤1}【解答】解：B={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，则A∩B={x|0≤x≤1}，故选：D．2．（5分）设复数w=（）2，其中a为实数，若w的实部为2，则w的虚部为（）A．﹣ B．﹣ C．D．【解答】解：∵==．a为实数，∴复数w=（）2=﹣+=a+，∵w的实部为2，∴a=2则w的虚部为=﹣．故选：A．3．（5分）如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）A．y=x+f（x）B．y=xf（x）C．y=x2+f（x）D．y=x2f（x）【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．对于A，g（﹣x）=﹣x+f（﹣x）=﹣x﹣f（x）=﹣g（x），∴y=x+f（x）是奇函数．对于B，g（﹣x）=﹣xf（﹣x）=xf（x）=g（x），∴y=xf（x）是偶函数．对于C，g（﹣x）=（﹣x）2+f（﹣x）=x2﹣f（x），∴y=x2+f（x）为非奇非偶函数，对于D，g（﹣x）=（﹣x）2f（﹣x）=﹣x2f（x）=﹣g（x），∴y=x2f（x）是奇函数．故选：B．4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，向量=（﹣1，2），=（2，m），若O，A，B三点能构成三角形，则（）A．m=﹣4 B．m≠﹣4 C．m≠1 D．m∈R【解答】解：∵O，A，B三点能构成三角形，∴，不共线，∴4+m≠0，解得m=﹣4．故选：B．5．（5分）已知函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）图象过点（0，），则f （x）图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象过点（0，），∴=2sinφ，由（|φ|＜），可得：φ=，∴f（x）=2sin（2x+），∴由五点作图法令2x+=0，可解得：x=﹣，则f（x）的图象的一个对称中心是（﹣，0）．故选：B．6．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入x=3，则输出k的值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：模拟执行程序，可得x=3，k=0x=9，k=2不满足条件x＞100，x=21，k=4不满足条件x＞100，x=45，k=6不满足条件x＞100，x=93，k=8不满足条件x＞100，x=189，k=10满足条件x＞100，退出循环，输出k的值为10．故选：C．7．（5分）已知三棱锥S﹣ABC，满足SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA=SB=SC，若该三棱锥外接球的半径为，Q是外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为（）A．3 B．2 C．D．【解答】解：∵三棱锥S﹣ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA=SB=SC，∴三棱锥的外接球即为以SA，SB，SC为长宽高的正方体的外接球，∵该三棱锥外接球的半径为，∴正方体的体对角线长为2，∴球心到平面ABC的距离为×=∴点Q到平面ABC的距离的最大值为+=．故选：D．8．（5分）已知满足的实数x、y所表示的平面区域为M、若函数y=k （x+1）+1的图象经过区域M，则实数k的取值范围是（）A．[3，5]B．[﹣1，1]C．[﹣1，3]D．【解答】解：作出可行域，如图．因为函数y=k（x+1）+1的图象是过点A（﹣1，1），且斜率为k的直线l，由图知，当直线l过点M（0，2）时，k取最大值1，当直线l过点NB（1，0）时，k取最小值，故．故选：D．9．（5分）已知p：“直线l的倾斜角”；q：“直线l的斜率k＞1”，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：p：“直线l的倾斜角”，则直线l的斜率k=tanα＞1或k＜0；又q：“直线l的斜率k＞1”，则p是q的必要不充分条件．故选：B．10．（5分）已知双曲线与椭圆的焦点重合，它们的离心率之和为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B． C． D．【解答】解：椭圆，焦点为（4，0），（﹣4，0），离心率e=，∴双曲线离心率为﹣=2，设双曲线中c=4，可得a=2，可得b=2，故双曲线的渐近线方程为：y=．故选：D．11．（5分）f（x）是定义在（0，+∞）上单调函数，且对∀x∈（0，+∞），都有f（f（x）﹣lnx）=e+1，则方程f（x）﹣f′（x）=e的实数解所在的区间是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，e） D．（e，3）【解答】解：∵f（x）是定义在（0，+∞）上单调函数，且对∀x∈（0，+∞），都有f（f（x）﹣lnx）=e+1，∴设f（x）﹣lnx=t，则f（t）=e+1，即f（x）=lnx+t，令x=t，则f（t）=lnt+t=e+1，则t=e，即f（x）=lnx+e，函数的导数f′（x）=，则由f（x）﹣f′（x）=e得lnx+e﹣=e，即lnx﹣=0，设h（x）=lnx﹣，则h（1）=ln1﹣1=﹣1＜0，h（e）=lne﹣=1﹣＞0，∴函数h（x）在（1，e）上存在一个零点，即方程f（x）﹣f′（x）=e的实数解所在的区间是（1，e），故选：C．12．（5分）设平面向量、满足||=2、||=1，=0，点P满足，其中m≥0，n≥0，则点P所表示的轨迹长度为（）A．B．C．D．【解答】解：；∴；∴分别以OA，OB为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（2，0），B（0，1）；∴；∴，设P（x，y），；∴；∴x2+y2=2，（x≥0，y≥0）；∴P点的轨迹表示以原点为圆心，半径为的圆在第一象限的部分；∴点P所表示的轨迹长度为．故选：D．二、填空题：（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若，则=．【解答】解：，则=cos（2α+）=2cos2（α+）﹣1=2×﹣1=，故答案为：．14．（5分）在报名的5名男生和4名女生中，选取5人参加志愿者服务，要求男生、女生都有，则不同的选取方法的种数为125（结果用数值表示）【解答】解：根据题意，报名的5名男生和4名女生，共9名学生，在9名中选取5人，参加志愿者服务，有C95=126种；其中只有男生C55=1种情况；则男、女生都有的选取方式的种数为126﹣1=125种；故答案为：125．15．（5分）已知点Q（﹣2，0）及抛物线x2=﹣4y上一动点P（x，y），则|y|+|PQ|的最小值是2．【解答】解：如图，抛物线焦点F（0，﹣1），抛物线的准线方程为y=1，设P点到准线距离为d，则：|y|+|PQ|最小时，d+|PQ|最小，d=|PF|；即|PF|+|PQ|最小；由图看出，|PF|+|PQ|的最小值为|QF|=；∴d+|PQ|的最小值为3；∴|y|+|PQ|的最小值为2．故答案为：2．16．（5分）已知数列{a n}满足a n=（2n﹣1）2n，其前n项和S n=6+（2n﹣3）•2n+1．【解答】解：S n=1×2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）×2n，①∴2S n=1×22+3×23+5×24+…+（2n﹣3）×2n+（2n﹣1）×2n+1，②①﹣②得：﹣S n=2+23+24+25+…+2n+1﹣（2n﹣1）×2n+1=2+﹣（2n﹣1）×2n+1=﹣6﹣（2n﹣3）×2n+1．∴．故答案为：6+（2n﹣3）•2n+1．三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）f（x）=在区间上的值域．【解答】解：（Ⅰ）由（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab，得：a2+b2﹣c2=ab，∴，∴在△ABC中，；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，∴===，∵，∴，∴，∴，∴函数f（x）的值域为．18．（12分）连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i次得到的点数为a i，若存在正整数k，使a1+a2+…+a k=6，则称k为你的幸运数字．（1）求你的幸运数字为3的概率；（2）若k=1，则你的得分为5分；若k=2，则你的得分为3分；若k=3，则你的得分为1分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字则记0分，求得分X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）设“连续抛掷k次骰的和为6”为事件A，则它包含事件A1，A2，A3，其中，A1：三次恰好均为2；A2：三次恰好1，2，3各一次；A3：三次中有两次均为1，一次为4，A1，A2，A3为互斥事件，∴你的幸运数字为3的概率：P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=+=．（2）由已知得X的可能取值为5，3，1，0，P（X=5）=，P（X=3）==，P（X=1）=+=，P（X=0）=1﹣=，∴X的分布列为：EX==．19．（12分）如图，已知四棱锥的侧棱PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是直角梯形，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=CD=2，点M在侧棱上．（1）求证：BC⊥平面BDP；（2）若侧棱PC与底面ABCD所成角的正切值为，点M为侧棱PC的中点，求异面直线BM与PA所成角的余弦值．【解答】（1）证明：由已知可算得，∴BD2+BC2=16=DC2，故BD⊥BC，又PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，故PD⊥BC，又BD∩PD=D，所以BC⊥平面BDP；…6分（2）解：如图，取PD中点为N，并连结AN，MN，BM∥AN，则∠PAN即异面直线BM与PA所成角；又PA⊥底面ABCD，∴∠PCD即为PC与底面ABCD所成角，即，∴，即，又，，则在△PAN中，，即异面直线BM与PA所成角的余弦值为．…12分．20．（12分）已知椭圆M：：+=1（a＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），左右顶点分别为A，B．经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长；（Ⅲ）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值．【解答】解：（I）因为F（﹣1，0）为椭圆的焦点，所以c=1，又b2=3，所以a2=4，所以椭圆方程为=1；（Ⅱ）因为直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率为1，所以直线方程为y=x+1，和椭圆方程联立得到，消掉y，得到7x2+8x﹣8=0，所以△=288，x1+x2=，x1x2=﹣，所以|CD|=|x1﹣x2|=×=；（Ⅲ）当直线l无斜率时，直线方程为x=﹣1，此时D（﹣1，），C（﹣1，﹣），△ABD，△ABC面积相等，|S1﹣S2|=0，当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），设C（x1，y1），D（x2，y2），和椭圆方程联立得到，消掉y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，显然△＞0，方程有根，且x1+x2=﹣，x1x2=，此时|S1﹣S2|=2||y1|﹣|y2||=2|y1+y2|=2|k（x2+1）+k（x1+1）|=2|k（x2+x1）+2k|==≤==，（k=时等号成立）所以|S 1﹣S2|的最大值为．21．（12分）已知函数，g（x）=xlnx﹣a（x﹣1）．（Ⅰ）求函数f（x）在点（4，f（4））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥0恒成立，求实数a的取值的集合M；（Ⅲ）当a∈M时，讨论函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调性．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴f'（4）=e2，又∵f（4）=e2，∴函数f（x）在点（4，f（4））的切线方程为y﹣e2=e2（x﹣4），即y=e2x﹣3e2；…（3分）（Ⅱ）由g（1）=0及题设可知，对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥g（1）恒成立，∴函数g（x）=xlnx﹣a（x﹣1）必在x=1处取得极小值，即g'（1）=0，…（4分）∵g'（x）=lnx+1﹣a，∴g'（1）=1﹣a=0，即a=1，…（5分）当a=1时，g'（x）=lnx，∴x∈（0，1），g'（x）＜0；x∈（1，+∞），g'（x）＞0，∴g（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，则g（x）min=g（1）=0…（6分）∴对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥g（1）=0恒成立，符合题意，即a=1，∴M={1}；…（7分）（Ⅲ）由（Ⅱ）a=1，∴函数，其定义域为（0，+∞），求得，…（8分）令m（x）=h'（x），为区间（0，+∞）上的增函数，…（9分）设x0为函数m'（x）的零点，即，则，∵当0＜x＜x 0时，m'（x）＜0；当x＞x0时，m'（x）＞0，∴函数m（x）=h'（x）在区间（0，x0）上为减函数，在区间（x0，+∞）上为增函数，∴，∴函数h（x）在区间（0，+∞）上为增函数．…（12分）[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC（Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接DE，∵ACED是圆内接四边形，∴∠BDE=∠BCA，又∠DBE=∠CBA，∴△DBE∽△CBA，即有，又∵AB=2AC，∴BE=2DE，∵CD是∠ACB的平分线，∴AD=DE，∴BE=2AD；…（5分）（Ⅱ）解：由条件知AB=2AC=6，设AD=t，则BE=2t，BC=2t+6，根据割线定理得BD•BA=BE•BC，即（6﹣t）×6=2t•（2t+6），即2t2+9t﹣18=0，解得或﹣6（舍去），则．…（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程．【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为θ=，所以直线斜率为1，直线l：y=x；曲线C的参数方程为．消去参数θ，可得曲线…（4分）（2）设点M（x0，y0）及过点M的直线为由直线l与曲线C相交可得：，即：，x2+2y2=6表示一椭圆…（8分）取y=x+m代入得：3x2+4mx+2m2﹣2=0由△≥0得故点M的轨迹是椭圆x2+2y2=6夹在平行直线之间的两段弧…（10分）[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x 1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由||x﹣1|+2|＜5，得﹣5＜|x﹣1|+2＜5∴﹣7＜|x﹣1|＜3，得不等式的解为﹣2＜x＜4…（5分）（2）因为任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，所以{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，又f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|≥|（2x﹣a）﹣（2x+3）|=|a+3|，g（x）=|x﹣1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得a≥﹣1或a≤﹣5，所以实数a的取值范围为a≥﹣1或a≤﹣5．…（10分）。