第二章 可控性与可观性 7
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9-8_系统的可控制性与可观测性
1 1 0 1 AB 2 1 1 1
0 1 M B | AB 1 1
所以， rank B | AB 2 因而系统(b)是完全可控的。
返回
例9-8-2
给定离散系统状态方程
1 1 0 n 1 n x n 3 1 0 问该系统能否通过 x(n)的控制作用在有限的时间内
1 t r t 1 0 2 t
讨论给定系统
的可观性。
1 1 C 1 0
1 系统的各参数矩阵为：A 2
1 1 1 1 则 CA 1 0 2 1
C 1 0 N CA 1 1
问这两个系统是否都可控性。 只要观察系统的M矩阵是否满秩 对(a)系统有
1 1 1 1 AB 0 1 0 0
1 1 M B | AB 0 0
所以， rank B | AB 1
因而系统(a)是不完全可控的。 对(b)系统有：
当为A对角阵时，B中的0元素对应不可控因素， 而C中0元素对应不可观现象。 所以：1t可观，不可控
2t可观，又可控 3t不可观，可控
故该系统不完全可控，也不完全可观。
返回
例9-8-4
'1 t 1 1 1 t 0 ' et 2 t 2 1 2 t 1
M=(B|AB|A2B|…|Ak-1B) 这就是连续系统完全可控的充要条件。
满秩
返回
二．系统的可观性定义、判别法
可观性：当系统用状态方程描述，给定控制后，能 在有限的时间间隔内(0<t<t1)根据系统输出惟一地 确定系统的所有起始状态，则系统是完全可观。如 果只能确定部分起始状态，则系统不完全可观。 可观性判别法 1.根据状态方程的参数矩阵判别 设系统的状态方程
0 1 M B | AB 1 1
所以， rank B | AB 2 因而系统(b)是完全可控的。
返回
例9-8-2
给定离散系统状态方程
1 1 0 n 1 n x n 3 1 0 问该系统能否通过 x(n)的控制作用在有限的时间内
1 t r t 1 0 2 t
讨论给定系统
的可观性。
1 1 C 1 0
1 系统的各参数矩阵为：A 2
1 1 1 1 则 CA 1 0 2 1
C 1 0 N CA 1 1
问这两个系统是否都可控性。 只要观察系统的M矩阵是否满秩 对(a)系统有
1 1 1 1 AB 0 1 0 0
1 1 M B | AB 0 0
所以， rank B | AB 1
因而系统(a)是不完全可控的。 对(b)系统有：
当为A对角阵时，B中的0元素对应不可控因素， 而C中0元素对应不可观现象。 所以：1t可观，不可控
2t可观，又可控 3t不可观，可控
故该系统不完全可控，也不完全可观。
返回
例9-8-4
'1 t 1 1 1 t 0 ' et 2 t 2 1 2 t 1
M=(B|AB|A2B|…|Ak-1B) 这就是连续系统完全可控的充要条件。
满秩
返回
二．系统的可观性定义、判别法
可观性：当系统用状态方程描述，给定控制后，能 在有限的时间间隔内(0<t<t1)根据系统输出惟一地 确定系统的所有起始状态，则系统是完全可观。如 果只能确定部分起始状态，则系统不完全可观。 可观性判别法 1.根据状态方程的参数矩阵判别 设系统的状态方程
现代控制理论 2-0
∫
t
0
e − Aτ f (τ )dτ =
e [ x(0) + ∫ e
At 0 At
t
− Aτ
f (τ )dτ ] + ∫ e A( t −τ ) Bu (τ )dτ
t1 − Aτ
当t = t1时，有 x(t1 ) = e [ x(0) + ∫ e
0
f (τ )dτ ] + ∫ e A( t −τ ) Bu (τ )dτ
λ − 1 0 det[λI − A] = det = (λ − 1)(λ + 3) = 0 λ + 3 2 λ1 = 1, λ2 = −3 0 0 rank [λ1 I − AMb] = rank 2 4 − 4 rank [λ2 I − AMb] = rank 0 系统能控。 1 =2 1 0 1 =2 0 1
0
t1
∫
t1
0
e − Aτ f (τ )dτ为一个确定的值，仅仅相当于把系统
原来的初态改变了一确定的常值。所以在讨论系统 的能控性时，不考虑系统存在的确定性干扰。
第二章 系统的可观性和可控性
(三)能控性判据
判据一： 判据一：若系统能控，则能控性矩阵
Qc = [B AB A 2 B ... A n −1 B ] 满秩，即
第二章 系统的可观性和可控性
现代控制理论基础
主讲人: 主讲人:荣军 mail:rj1219 163. 1219@ E-mail:rj1219@
第二章 系统的可观性和可控性
2-1 能能控性及其判据
－、线性定常系统的能观测性及其判据 －、线性定常系统的能观测性及其判据
线性定常系统状态方程为 x = Ax + Bu 其中x、u分别为n、 r维向量，A、B为满足矩阵运算的常值矩阵。若给定系统的 一个初始状态x0和任一状态x1,如果在的有限时刻tf>0,定义在 时间区间[0，tf]的输入u（t）使状态x(0)＝x0转移到x(tf)＝ x1 ，则称系统状态完全是能控的； 如果系统对任意一个初始状态都能控，则称系统是状态完全 能控的，简称系统是状态能控的或系统是能控的。
《自动控制原理》线性系统的可控性与可观测性
将状态 x(t0 ) = 0 转移到 x(t f ) =x f 的控制作用，则称状态 x f 是 t0 时刻 可达的。若x f 对所有时刻都是可达的，则称状态x f 为完全可达或 一致可达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻 t0 可达的， 则称该系统是 t0 时刻状态完全可达的，或简称该系统是 t0 时刻可达
可观测性问题: 相应地，如果系统所有状态变量的任意形式 的运动均可由输出完全反映，则称系统是状态可观测的，简称为系 统可观测。反之，则称系统是不完全可观测的，或简称为系统不可 观测。
可控性与可观测性概念，是卡尔曼于20世纪60年代首先提出 来的，是用状态空间描述系统引伸出来的新概念，在现代控制理论 中起着重要的作用。它不仅是研究线性系统控制问题必不可少的重 要概念，而且对于许多最优控制、最优估计和自适应控制问题，也 是常用到的概念之一。
在研究可观测性问题时，输出 y 和输入 u 均假定为已知，只有初始
状态 x0 是未知的。因此，若定义
t
y(t) = y(t) − C(t) (t, )B( )u( )d − D(t)u(t) t0
则式（9-79）可写为
y(t) = C(t)(t,t0 )x0
（9-80）
这表明可观测性即x0 可由 y 完全估计的性能，由于 y 和 x0 可任意取
y = −6x2
这表明状态变量 x1 和 x2 都可通过选择控制量 u 而由始点达到原
点，因而系统完全可控。 如何判别？
但是，输出 y 只能反映状态变量 x2 ，而与状态变量 x1 既无直
接关系也无间接关系，所以系统是不完全可观测的。如何判别？
变化：（1）b1=0 ? （2）a12≠0 ？ (3) a21≠0 ?
值，所
可控制性和可观性
∴系统不可控。
1 1 0 0 1 0 1 0 x 1 0 u x （ 4） 0 1 1 0 1
解： Qc [ B
0 1 AB] 1 0
解：
Qc [ B AB
rankQc 2 n
∴系统可控。
x(t 0 ) 0
，终端状态规定为任意非零有限点，则可达定义表述如下： 对于给定的线性定常系统
Ax Bu x
如果存在一个分段连续的输入u(t) , ，能在[ t0 , tf ]有限时间 间隔内，将系统由零初始状态 x(t0) 转移到任一指定的非零终 端状态 x(tf ) ，则称此系统是状态完全可达的，简称系统是 可达的（能达的）。
0 7 0 0 1 0 5 0 x 4 0u （ 3） x 0 1 0 7 5
解： （1）状态方程为对角标准型，B阵中不含有元素全为零的行，故系统是 可控的。 （2）状态方程为对角标准型，B阵中含有元素全为零的行，故系统是不 可控的。 （3）系统可控。 （4）系统不可控。
1 2 AB] , 0 0
1 0 1 x x （ 2） 0 1 1u
解： Qc [ B
解：
rankQ c 1 n
∴系统不可控
0 1 0 x 1u （ 3） x 1 0
1 1 Qc [ B AB] 1 1 rankQ c 1 n
1 x
u
2 x
1 s 1 s
x1
y
x2
2
2009-08 CAUC--空中交通管理学院 4
§4-1 问题的提出
1 0 1 x u （ 3） x 0 1 1
1 1 0 0 1 0 1 0 x 1 0 u x （ 4） 0 1 1 0 1
解： Qc [ B
0 1 AB] 1 0
解：
Qc [ B AB
rankQc 2 n
∴系统可控。
x(t 0 ) 0
，终端状态规定为任意非零有限点，则可达定义表述如下： 对于给定的线性定常系统
Ax Bu x
如果存在一个分段连续的输入u(t) , ，能在[ t0 , tf ]有限时间 间隔内，将系统由零初始状态 x(t0) 转移到任一指定的非零终 端状态 x(tf ) ，则称此系统是状态完全可达的，简称系统是 可达的（能达的）。
0 7 0 0 1 0 5 0 x 4 0u （ 3） x 0 1 0 7 5
解： （1）状态方程为对角标准型，B阵中不含有元素全为零的行，故系统是 可控的。 （2）状态方程为对角标准型，B阵中含有元素全为零的行，故系统是不 可控的。 （3）系统可控。 （4）系统不可控。
1 2 AB] , 0 0
1 0 1 x x （ 2） 0 1 1u
解： Qc [ B
解：
rankQ c 1 n
∴系统不可控
0 1 0 x 1u （ 3） x 1 0
1 1 Qc [ B AB] 1 1 rankQ c 1 n
1 x
u
2 x
1 s 1 s
x1
y
x2
2
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§4-1 问题的提出
1 0 1 x u （ 3） x 0 1 1
7.3可控性与可观测性分析
At
将e
写为A的有限项的形式，即 e
y(t ) k (t )CAk x(0)
k 0 n 1
At
k (t ) A k
k 0
n 1
因而
或
y(t ) 0 (t )Cx(0) 1 (t )CAx(0)
n1(t )CAn1 x(0)
显然，如果系统是可观测的，那么在 t0 t t1 时间间隔内，给定输出y(t)， 就可由上式唯一地确定出x(0)。 可观性判据（充要条件） 当且仅当n×nm维可观测性矩阵
0 【解】由于可控性矩阵 Q [ B AB ] 1
1 1
秩为2，即 rankQ 2 n
，故该系统是状态可控的。
1
1 1
15
由于输出可控性矩阵 Q' [ CB CAB ] 0
1 R T [ C T AT C T ] 0
这里D=0.
At1
t1
x(0) e
0
n 1
t1
o
或
n 1
A
Bu ( )d
A
将 e A 写为A的有限项的形式 e 式得：
k t1 k 0 0
k ( ) A k，并代入上
k 0
5
x(0) A B a k ( )u ( )d
记
0
定常系统状态可控性的代数判据 t x(0) A B a a k ( )u ( )d k ，则
0 1 det Q det [ 可控的。
传递函数矩阵表达的状态可控性条件
状态可控的条件也可用传递函数或传递矩阵描述。 状态可控性的充要条件是在传递函数或传递函数矩阵中不出现 相约现象。如果发生相约，那么在被约去的模态中，系统不可 控。 【例】 比如下列传递函数：
将e
写为A的有限项的形式，即 e
y(t ) k (t )CAk x(0)
k 0 n 1
At
k (t ) A k
k 0
n 1
因而
或
y(t ) 0 (t )Cx(0) 1 (t )CAx(0)
n1(t )CAn1 x(0)
显然，如果系统是可观测的，那么在 t0 t t1 时间间隔内，给定输出y(t)， 就可由上式唯一地确定出x(0)。 可观性判据（充要条件） 当且仅当n×nm维可观测性矩阵
0 【解】由于可控性矩阵 Q [ B AB ] 1
1 1
秩为2，即 rankQ 2 n
，故该系统是状态可控的。
1
1 1
15
由于输出可控性矩阵 Q' [ CB CAB ] 0
1 R T [ C T AT C T ] 0
这里D=0.
At1
t1
x(0) e
0
n 1
t1
o
或
n 1
A
Bu ( )d
A
将 e A 写为A的有限项的形式 e 式得：
k t1 k 0 0
k ( ) A k，并代入上
k 0
5
x(0) A B a k ( )u ( )d
记
0
定常系统状态可控性的代数判据 t x(0) A B a a k ( )u ( )d k ，则
0 1 det Q det [ 可控的。
传递函数矩阵表达的状态可控性条件
状态可控的条件也可用传递函数或传递矩阵描述。 状态可控性的充要条件是在传递函数或传递函数矩阵中不出现 相约现象。如果发生相约，那么在被约去的模态中，系统不可 控。 【例】 比如下列传递函数：
第二章 可控性与可观性 7
（3）Popov-Belevitch-Hautus判据
线性定常连续系统完全可观测的充分必要条件是 对系统矩阵的所有特征值 si (i 1,2,...n)
C rank n si I A
其中n为系统矩阵A的阶次。
（4）约当规范型判据 1） 系统矩阵A的特征值 si (i 1,2,...n) 互异
BB e
T AT t
d
为非奇异的或是正定的。
（2）秩判据 假设线性时变连续系统的A(t)和B(t) 的每个元素 分别是n-2和n-1次连续可微函数，并记
B1 (t ) B(t )
(t ), i 2,3,...n Bi (t ) A(t ) Bi 1 (t ) B i 1
几点说明：
（1）未限制状态转移的轨迹。可控性只表征系统状态运 动的一个定性特性 。 （2）定义中对控制量的每个分量的大小并未限制，只要 求控制量u是容许控制的，这表明控制量的每个分量应在 时间区间Tf上平方可积：
t
t0
ui dt , t0 , t T f
2
（3）定义是相对于时间区间Tf中的一个取定时刻来定义 的，对于线性时变系统是完全必要的，而对于线性定常 系统，系统的可控性与初始时刻的选取无关。
1 0 1 dx / dt x u 0 1 1 y 1 1x
u
1
x1
y
1
x2
1 0 1 dx / dt x u 0 1 1 y 1 0x
x1
1
u
y
ˆx ˆu x ˆA ˆB
第二章2：可控性
2. 与可控概念相反，只要存在一个非零初态 x(t0) ，无论t1取多大，都不能找到一个容许控制将这 个状态 x(t0)控制到 x(t1)=0，这时称系统在t0是 不可控的。
3. 这里所定义的可控性有时称为到达原点的可控 性。定义2-3所阐述的到达原点的可控性与状态 空间的任何状态转移到另一任意状态是等价的 （见习题2—3）。
rank[M0 (t1 ) M1(t1 ) L Mn - 1(t1 )] = n
则状态方程在t0 时刻可控。 证明：
只要证明存在一个t1>t0，使得
Φ(t0,t )B(t )t [t0,t1]
行线性无关就可以了。而根据定理2-2，若能找到 一个t1>t0，使得
[F (t0,t1)B(t1)
抖F (t0,t)B(t)
证完。
例2—7 讨论如下系统的可控性：
骣 珑 珑 珑 珑 珑 珑 珑 珑 珑 桫xxx&&&213 鼢 鼢 鼢 鼢 鼢 鼢 鼢 鼢 鼢 鼢= 骣 çççççççççç桫00t
1 t 0
0 0 t2
÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷
骣 çççççççç桫xxx213
÷÷÷÷÷÷÷÷÷ +
骣0 1 桫1
u
直接计算得到：
¶t
t = t1
L
n
-
1F (t0,t)B(t ) ¶tn- 1
t
=
t1
]
= F (t0,t1)[M0(t1) M1(t1) L Mn - 1(t1)]
的秩是 n 就可以了。由
rank[M0(t1) M1(t1) L Mn - 1(t1)] = n
有 (t0, )B( )在[t0, t1]上行线性无关。
3. 这里所定义的可控性有时称为到达原点的可控 性。定义2-3所阐述的到达原点的可控性与状态 空间的任何状态转移到另一任意状态是等价的 （见习题2—3）。
rank[M0 (t1 ) M1(t1 ) L Mn - 1(t1 )] = n
则状态方程在t0 时刻可控。 证明：
只要证明存在一个t1>t0，使得
Φ(t0,t )B(t )t [t0,t1]
行线性无关就可以了。而根据定理2-2，若能找到 一个t1>t0，使得
[F (t0,t1)B(t1)
抖F (t0,t)B(t)
证完。
例2—7 讨论如下系统的可控性：
骣 珑 珑 珑 珑 珑 珑 珑 珑 珑 桫xxx&&&213 鼢 鼢 鼢 鼢 鼢 鼢 鼢 鼢 鼢 鼢= 骣 çççççççççç桫00t
1 t 0
0 0 t2
÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷
骣 çççççççç桫xxx213
÷÷÷÷÷÷÷÷÷ +
骣0 1 桫1
u
直接计算得到：
¶t
t = t1
L
n
-
1F (t0,t)B(t ) ¶tn- 1
t
=
t1
]
= F (t0,t1)[M0(t1) M1(t1) L Mn - 1(t1)]
的秩是 n 就可以了。由
rank[M0(t1) M1(t1) L Mn - 1(t1)] = n
有 (t0, )B( )在[t0, t1]上行线性无关。
9-2线性系统的可控性与可观测性
19
1 6 4 1 4 6 1 3 2 3 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0 1 6 4 1 4 1 1 0 4 3 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0 20r1 r4 r2 r4 2
2
5
6 11
16 0.
23
454页例9-12：已知线性定常系统状态方程为
0 0 x 0 0 1 0 0 1 0 0 0 5 0 0 1 0 x 0 1 0 2 1 0 u 1 0
判断系统的可控性。 解：根据状态方程可写出
3
9.2.1． 可控性定义
1．状态可控
考虑n维线性时变系统的状态方程
x A(t ) x B(t )u
x(t0 ) x0
t Tt
如果对取定初始时刻 t 0 Tt 的一个非零初始状态 x(t0) =x0，存在一个时刻 t1 Tt , t1 t 0 和一个无约 束的容许控制u(t)， t [t 0 , t1 ] ，使状态由x(t0)=x0转 移到t1时的x(t1)=0 ，则称此x0是在时刻t0可控的.
25
2）当 s 3 5 时，有
rank sI A B =rank 5 0 0 0 1 1 5 1 0 4 0 0 1 0 2 0 0 1 0 4 1 0
A 2A I
2
A AA 2 A A 2(2 A I ) A 3A 2I
3 2 2
A AA 3A 2 A 3(2 A I ) 2 A 4 A 3I
3 2
根据数学归纳法有
A kA (k 1) I
k
所以：
A
1 6 4 1 4 6 1 3 2 3 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0 1 6 4 1 4 1 1 0 4 3 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0 20r1 r4 r2 r4 2
2
5
6 11
16 0.
23
454页例9-12：已知线性定常系统状态方程为
0 0 x 0 0 1 0 0 1 0 0 0 5 0 0 1 0 x 0 1 0 2 1 0 u 1 0
判断系统的可控性。 解：根据状态方程可写出
3
9.2.1． 可控性定义
1．状态可控
考虑n维线性时变系统的状态方程
x A(t ) x B(t )u
x(t0 ) x0
t Tt
如果对取定初始时刻 t 0 Tt 的一个非零初始状态 x(t0) =x0，存在一个时刻 t1 Tt , t1 t 0 和一个无约 束的容许控制u(t)， t [t 0 , t1 ] ，使状态由x(t0)=x0转 移到t1时的x(t1)=0 ，则称此x0是在时刻t0可控的.
25
2）当 s 3 5 时，有
rank sI A B =rank 5 0 0 0 1 1 5 1 0 4 0 0 1 0 2 0 0 1 0 4 1 0
A 2A I
2
A AA 2 A A 2(2 A I ) A 3A 2I
3 2 2
A AA 3A 2 A 3(2 A I ) 2 A 4 A 3I
3 2
根据数学归纳法有
A kA (k 1) I
k
所以：
A
第2章线性系统的可控性与可观测性
例 下图所示两个网络，
C1
x2C2
x1
u
R1
R2
R3
R1
C1
x1
u
R2
C2
x2 y
网络（a）
网络（b）
当R1＝R2，C1＝C2时，且初始状态x1(t0)=x2(t0)，u只能使x1(t)≡x2(t)，而不 能将x1(t)与 x2(t)分别转移到不同的数值，这表明此电路不完全可控，简称 称为电路不可控。
例 右图所示桥式电路，选取电感电流iL和电容端电压uC作为状态变量，
u为网络输入，输出量y=uc。
① 当电桥处于非平衡状态，即
L
iL
R1R4≠R2R3时， u将控制两个状态变量的变化，且可通
i1
R1
i2
R2
uc
过选择u，使任意初态转移到任意终态， AC u 因而是可控的。
i3
i4
R3
R4
由于量测到输出量即uc，且uc与iL有确
由于y= x1 =x2，故可观测。
2.1 可控性
考虑线性时变系统的状态方程
x(t) A(t)x(t) B(t)u(t), t Tt
(2 100 )
其中x为n维状态向量；u为p维输入向量；Tt为时间定义区间；A（t）和B（t） 分别为n×n和n×p矩阵。现对状态可控和不可控分别定义如下：
状态可控 对于式(2－100)所示线性时变系统，如果对取定初始时刻
可控性、可观测性概念，是卡尔曼于20世纪60年代首先提出的，是用 状态空间描述系统而引伸出来的新概念。
可控性、可观测性是研究线性系统控制问题必不可少的重要概念，而 且在许多最优控制、最优估计和自适应控制问题中，也常用到这一概念。
设计原则知识：设计原则——可控性
设计原则知识：设计原则——可控性设计原则：可控性设计原则是指在设计产品或系统时应该遵循的一些基本原则，可以帮助设计师更好地完成设计任务，使得产品或系统更加符合人类的需求和使用习惯，从而带来更好的用户体验。
可控性是其中一个被广泛运用的重要设计原则，它强调的是产品或系统应该给用户提供足够的控制权，让用户能够自主地掌控和调整系统的功能和属性。
什么是可控性？可控性是一个相对的概念，它指的是一个系统或产品给用户提供了多大程度的控制权。
简单地说，可控性是用户感受到的一个产品或系统的可操作性和可适应性。
一个高度可控的系统或产品，应该是用户友好的，提供足够的控制选项，让用户能够自主地操作和调整。
在这样的系统中，用户可以根据自己的需求和习惯进行操作和个性化设置，而不必受制于系统的限制和约束。
可控性的重要性高度可控的系统和产品，能够给用户带来更好的使用体验和满意度，因为用户可以自定义、自主地定制和调整系统的功能和属性。
有了足够的控制权，用户可以更方便、更高效地完成自己的任务，减少因为系统不够灵活而产生的不必要的麻烦。
另外，高度可控的系统和产品，也有助于提高用户的参与度和黏性，使得用户更加喜欢和依赖这样的产品。
同时，可控性也是一个有价值的设计考虑因素，它可以让设计师在设计初期就注重用户的需求和习惯。
通过提供丰富的控制选项，设计师可以更好地了解用户的需求和行为，为用户量身定制出最符合其需求的产品或系统，从而提高设计的准确性和有效性。
如何实现可控性？实现可控性需要从设计、开发、测试到上线等各个环节都要充分考虑到用户体验，以下几个方面是设计师和产品经理可以注意的：1.简单易用的界面设计和交互设计界面设计和交互设计直接关系到用户对于系统的感受和掌控感。
简易清晰的界面设计和流畅自然的交互设计，将大大提升用户使用系统的舒适感和满意度。
2.明示与隐示控制在设计产品或系统时，既要提供足够的可见控制选项，也要给用户留下操作和设置的隐式通道。
现代控制理论-4-线性系统的能控性和能观测性-第7讲
能控性的定义
能控性是指对于一个线性系统，如果 存在一个控制输入，使得系统状态能 够在有限的时间内从任意初始状态转 移到任意目标状态，则称该系统为能 控的。
能控性的判断依据是系统的能控性矩 阵，如果该矩阵满秩，则系统能控。
能观测性的定义
能观测性是指对于一个线性系统，如果存在一个观测器，能够通过系统的输出测量并估计出系统的所有状态，则称该系统为 能观测的。
传递函数判据
对于线性时不变系统，如果传递 函数的零点和极点个数满足一定 条件，则系统能观测；否则系统 不能观测。
03
能控性和能观测性的应用
在控制系统设计中的应用
系统性能分析
通过分析系统的能控性和能观测性，可以评估系统的稳定 性和动态性能，从而优化系统设计。
控制器设计
在控制器设计中，需要考虑系统的能控性和能观测性，以 确保控制器能够有效地控制系统的状态并观测系统的状态。
初始状态和目标状态
系统初始和目标状态的定义，以及它们对最优控 制策略的影响。
最优控制问题的求解方法
动态规划
将最优控制问题分解为一系列子问题， 通过求解子问题的最优解逐步逼近原问
题的最优解。
极大值原理
通过求解极值条件来找到最优控制输 入，适用于具有特定性能指标的最优
控制问题。
线性二次调节器
通过最小化状态和控制输入的二次范 数来求解最优控制问题，适用于线性 二次最优控制问题。
现代控制理论-4-线性系统 的能控性和能观测性-第7讲
目录
• 线性系统的能控性和能观测性的 定义
• 能控性和能观测性的判定方法 • 能控性和能观测性的应用 • 线性系统的状态反馈和状态观测
器设计
目录
• 线性系统的最优控制问题 • 现代控制理论的发展趋势和前沿
线性系统的可控性和可观性
线性系统的可控性和可观性摘要：线性系统的可控性和可控性是线性系统最基本的概念。
本文从这个基本概念着手，介绍了线性系统的可控标准形和可观标准形，并且对系统可控性和可观性的判据做了详细的介绍。
本文的研究有利于对线性系统可控性和可观性的知识体系有一个比较好的了解，对进一步学习现代控制理论提供一个扎实的基础，同时通过对相关知识的归纳总结，为以后的学习研究提供了一个好的方法。
通过对其中大量高等数学的学习与应用，可以提高应用高等数学解决相关问题的意识与能力。
关键词:线性系统；可控性；可观性Linear system controllability and observabilityHou Shibo Liu Yingrui Wang linlin Lin HuanAbstact: Controllability of linear systems and control is the most basic concepts of linear systems. This paper started from this basic concept, introduced the form of linear system controllability and observability of the standard normal form, and the system controllability and observability criterion for a detailed description. This study is beneficial to the linear system controllability and observability of knowledge have a better understanding of the further study of modern control theory provides a solid foundation, through summarized the relevant knowledge for the future of learning Study provides a good method. Through which a large number of learning and application of advanced mathematics, applied mathematics can improve awareness of the problem solving and capacity-related.Key words: Linear system ；Controllable ；Observability0 引言在控制工程中，有两个问题经常引起设计者的关心。
状态空间系统响应、可控性与可观性
y x3 [0
0
1
]
x
2
x 3
9.2.2 基于系统方块图建立状态空间表达式 基于系统方块图建立状态空间表达式方法的基本思想
是: 首先将系统的各个环节分解为积分、惯性和比例环节的 基本形式，并选取积分环节和惯性环节的输出为系统状态， 然后根据系统各环节的实际连接关系，从输出端开始，写 出各环节的状态关系，最后整理写出系统的状态空间表达 式。
1 LC
u1
y Cx2
这说明同一个系统状态变量的选取是不唯一的，所得 出的状态空间描述也不唯一。但两个状态之间可以通过非 奇异的线性变换实现互相转换。令
z(t)uu22,x(t)iu2
则
z(t)u u2 2uC i21 0 1/0Ciu2T(xt)
其中矩阵
1 T 0
0 1/ C
，为一非奇异矩阵。
2
1
x3
x3
K1 T1s
1
(u
K
4 x1)
x
1
K3 T3
x2
x
2
1 T2
x2
K2 T2
x3
x
3
K1 u T1
K1K 4 T1
x1
1 T1
x3
y=x1
所以，方块图9-5(a)对应的状态空间描述为
x1
0
x
2
0
x3
K1K
4
K3 T3 1 T2
0
0
K2
T2 1
x1
A0m k 1m ,B0m 1,C[10],d0
【例9-6】 已知图9-3所示电路的输入量为电流i， 现指定电容C1和C2上的电压uC1、uC2为输出量， L1、L2、 C1和C2为已知的独立变量。试建立此电路网络的状态空间 表达式。
线性时不变系统可控性和可观测性的几何判别准则
t0
n 1
t1
x0 (利用（1 48）） AkB pk (t0 t )u (t )dt
k 0
t0
t1
p0(t0 t )u (t )dt
t0
x0
[B
ABL
An
1B]
t1
p1 (t 0
t0
t
)u (t
)d t
M
t1
pn 1(t0 t )u (t )dt
t0
t1
注意到对给定的t0和t1, pi (t0 t )u (t )dt 是常向量，故
首先，0是可控状态。进而，令x（0 0） A | B
x0 Im W(t0,t1)
z 0,使得 x0 W(t0,t1)z。
令 u (t ) BT e AT (t0t )z ,则对任意t1 t0，有
t1
x (t1) e A(t1t0 )[x 0 e A(t0t )Bu (t )dt ] 0
令 t t0 xT AjB 0, j 0,1,2,L ,n 1 xT [B ABL An 1B] 0
x A | B ker W(t0,t1) A | B (1)
2). 证明KerW(t0,t1) A | B 因 x A | B xT [B ABL An1B] 0
BT x BT (AT x ) L BT ((AT )n 1x ) 0 (AT ) j x属于BT的核空间 对于任意t [t0,t1],BT e AT (t0t )x 0 (1 48) e A(t0t )BBT e AT (t0t )x 0。
x&= Ax + Bu y = Cx + Du
（2－31）
一、可控状态与可控子空间
定义2－9 对于系统（2－1），如果在t0时刻对取
n 1
t1
x0 (利用（1 48）） AkB pk (t0 t )u (t )dt
k 0
t0
t1
p0(t0 t )u (t )dt
t0
x0
[B
ABL
An
1B]
t1
p1 (t 0
t0
t
)u (t
)d t
M
t1
pn 1(t0 t )u (t )dt
t0
t1
注意到对给定的t0和t1, pi (t0 t )u (t )dt 是常向量，故
首先，0是可控状态。进而，令x（0 0） A | B
x0 Im W(t0,t1)
z 0,使得 x0 W(t0,t1)z。
令 u (t ) BT e AT (t0t )z ,则对任意t1 t0，有
t1
x (t1) e A(t1t0 )[x 0 e A(t0t )Bu (t )dt ] 0
令 t t0 xT AjB 0, j 0,1,2,L ,n 1 xT [B ABL An 1B] 0
x A | B ker W(t0,t1) A | B (1)
2). 证明KerW(t0,t1) A | B 因 x A | B xT [B ABL An1B] 0
BT x BT (AT x ) L BT ((AT )n 1x ) 0 (AT ) j x属于BT的核空间 对于任意t [t0,t1],BT e AT (t0t )x 0 (1 48) e A(t0t )BBT e AT (t0t )x 0。
x&= Ax + Bu y = Cx + Du
（2－31）
一、可控状态与可控子空间
定义2－9 对于系统（2－1），如果在t0时刻对取
92线性连续系统的可控性和可观测性
如果矩阵A(t)和B(t)以及向量u(t)的每个元素都是t 的分段连续函数,则状态方程存在唯一解。
u(t)为分段连续的条件,在工程上是很容易满足的。
3. 线性定常连续系统的状态可控性判据
线性定常连续系统(A,B) x(t) Ax(t) Bu(t)
状态可控性判据有许多不同形式,包括 格拉姆矩阵判据 秩判据 模态判据
因此代入
n1
eAt k (t) Ak k 0
x(0) t1 eA Bu( )d 0
得：
x(0)
t1 0
n1
k ( ) Ak Bu( )d
n1
Ak B
t1 0
k
(
)u(
)d
k 0
k 0
令：
t1 0
k
(
)u(
满秩,
Qc=[B AB … An-1B]
rankQc=rank[B AB … An-1B]=n
证明 在证明可控性判据之前,下面首先证明线性定常系统状 态完全可控等价于下述方程对任意的初始状态x(0)有控制 输入u(t)的解。
x(0) t1 eA Bu( )d 0
证明如下:
x(t0)
能在有限时间[t0,t1]内把系统状 态从初始状态x(t0)控制到原点,即x(t1)=0,
则称t0时刻的状态x(t0)可控;
若对t0时刻的状态空间中的所有状态都可控,则称系统 在t0时刻状态完全可控;简称为系统可控。
对上述状态可控性的定义有如下讨论:
1. 控制时间[t0,t1]是系统状态由初始状态转移到原点所需的 有限时间。
系统可控性指的是控制作用对被控系统的状态和输出 进行控制的可能性。
u(t)为分段连续的条件,在工程上是很容易满足的。
3. 线性定常连续系统的状态可控性判据
线性定常连续系统(A,B) x(t) Ax(t) Bu(t)
状态可控性判据有许多不同形式,包括 格拉姆矩阵判据 秩判据 模态判据
因此代入
n1
eAt k (t) Ak k 0
x(0) t1 eA Bu( )d 0
得：
x(0)
t1 0
n1
k ( ) Ak Bu( )d
n1
Ak B
t1 0
k
(
)u(
)d
k 0
k 0
令：
t1 0
k
(
)u(
满秩,
Qc=[B AB … An-1B]
rankQc=rank[B AB … An-1B]=n
证明 在证明可控性判据之前,下面首先证明线性定常系统状 态完全可控等价于下述方程对任意的初始状态x(0)有控制 输入u(t)的解。
x(0) t1 eA Bu( )d 0
证明如下:
x(t0)
能在有限时间[t0,t1]内把系统状 态从初始状态x(t0)控制到原点,即x(t1)=0,
则称t0时刻的状态x(t0)可控;
若对t0时刻的状态空间中的所有状态都可控,则称系统 在t0时刻状态完全可控;简称为系统可控。
对上述状态可控性的定义有如下讨论:
1. 控制时间[t0,t1]是系统状态由初始状态转移到原点所需的 有限时间。
系统可控性指的是控制作用对被控系统的状态和输出 进行控制的可能性。
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u
1
x1
y
2.6.2 可控性定义及其判据
2.6.2.1可控性定义：
线性时变连续系统的状态方程为：
(t ) A(t )x(t ) B(t )u(t ) x
t Tf
状态可控性：
Tf 对于线性时变连续系统，如果对取定初始时刻 t0 的 一个非零初始状态 x(t0 ) x0 ， 存在一个时刻 t1 t0 ， t1 T f 和一个无约束的容许控制 u(t ), t t0 , t1
Wct (t1 , t0 ) (t1 , ) B( )BT ( )T (t1 , )d
t0 t1
为非奇异的或是正定的。
线性定常连续系统Gram矩阵判据：
线性定常连续系统 完全可控的充要条件为：
存在时刻 t1 0 使如下定义的Gram矩阵
Wc (t1 ,0) e
t0 t1 At
系统的可控性矩阵 ：
M (B AB ... An1B)
n行 nm列，如何确定秩为多少？计算技巧？
（3）PBH判据（Popov-Belevitch-Hautus判据） 线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是对 系统矩阵的所有特征值 si (i 1,2,...n)
rank(si I A B) n
1 0 1 dx / dt x u 0 1 1 y 1 1x
u
1
x1
y
1
x2
1 0 1 dx / dt x u 0 1 1 y 1 0x
x1
1
u
y
t0 t1
为非奇异的或是正定的。
其中：T ( , t0 ) 为状态转移矩阵。
线性定常连续系统Gram矩阵判据：
线性定常连续系统 完全可观测的充要条件为，
存在时刻 t1 0 使如下定义的Gram矩阵
Wo (t1 ,0) e C T e At d
AT t 0 t1
为非奇异的或是正定的。
t0
若系统在 则系统在
t 0 时刻是完全可控的，
t0 [0, ) 上完全可控。
t0 [0, )
2.6.2.2 可控性判据
分析：
可控性仅与状态方程中的系统矩阵和控制 矩阵有关！ （1）Gram矩阵判据（判别原理？） 线性时变连续系统在 t 0 时刻可控的充要条件为： 存在某个有限时刻 t1 t0 使得Gram矩阵
则称系统在时间区间 t0 , t1 是不完全可观测的
简称系统不可观测。
2.6.3.2 可观测性判据
（1）Gram矩阵判据（判别原理？） 线性时变连续系统在 t 0 时刻可观测的充要条件为： 存在某个有限时刻 t1 t0 使得Gram矩阵
Wot (t1 , t0 ) T ( , t0 )C T ( )C( )( , t0 )d
sq
c11 c12 ... c1n c c ... c 22 2n ˆ 21 C ... ... ... cm1 cm 2 ... cmn
ˆ 中对应于A的相同特征值部分，其第一列元 (a) C 素不全为零；
ˆ 中对应于A的互异特征值部分，没有元素全 (b) C 为零的列。
（1） 输入状态间的问题：
输入是否使状态发生希望的变化？
可控性问题
要使状态发生某种变化，输入＝？ 最优控制问题
（2） 输出状态间的问题：
状态可否从输出得到？
可观测性问题
如何从输出得到？ 最优估计问题
可控性、可观性为现代控制理论的基础，是现代 控制理论应用的前提条件！ 什么是可控性？可观测性？如何判断？
ˆx ˆu x ˆA ˆB
其中，设有q-l个相同特征值 s1 有l个相同特征值 其余为互异特征值
sq
s1 0 ˆ A
1 s1
0 1 ... 1 s1 sq 1 sq 0 1 ... 1 0 sq sq 1 sq 2 0
如果存在某个时刻 t1 t0
使得 rankNt (t1 ) n
则该线性时变系统在t0时刻完全可观测。
线性定常连续系统秩判据： 线性定常连续系统完全可观测的充要条件为：
C CA n rankN rank ... n 1 CA
其中n为系统矩阵A的阶次 N 称为系统的可观测矩阵（几行几列？）。
（2）秩判据 假设线性时变连续系统的A(t)和B(t) 的每个元素 分别是n-2和n-1次连续可微函数，并记
C1 (t ) C (t )
(t ),i 2,3,... Ci (t ) Ci 1 (t ) A(t ) C i 1
令
C1 (t ) C (t ) N t (t ) 2 ... C ( t ) n
几点说明：
（1）未限制状态转移的轨迹。可控性只表征系统状态运 动的一个定性特性 。 （2）定义中对控制量的每个分量的大小并未限制，只要 求控制量u是容许控制的，这表明控制量的每个分量应在 时间区间Tf上平方可积：
t
t0
ui dt , t0 , t T f
2
（3）定义是相对于时间区间Tf中的一个取定时刻来定义 的，对于线性时变系统是完全必要的，而对于线性定常 系统，系统的可控性与初始时刻的选取无关。
2.6.4 对偶原理
可控性： 系统输入对系统状态的有效控制能力
可观性： 系统输出对系统状态的确切反映能力
问题：
状态可控？系统可控？
状态不可控？系统不可控？ 状态可观测？ 系统可测观？ 状态不可观测？ 系统不可观测？
分析如下4个系统的可控性和可观测性：
1 0 1 dx / dt x u 0 1 1 1 0 1 y 1 1x dx / dt x u 0 1 1 1 0 0 y 1 0x dx / dt x u 0 1 1 1 1 1 dx / dt x u y 1 1x 0 1 0 y 1 0x
BB e
T AT t
d
为非奇异的或是正定的。
（2）秩判据 假设线性时变连续系统的A(t)和B(t) 的每个元素 分别是n-2和n-1次连续可微函数，并记
B1 (t ) B(t )
(t ), i 2,3,...n Bi (t ) A(t ) Bi 1 (t ) B i 1
1
x2
1 0 0 dx / dt x u 0 1 1 y 1 1x
x1
1
y
u
1
x2
1 1 1 dx / dt x u 0 1 0 y 1 0x
x2
1
2.6 可控性与可观性
2.6.1 概述
经典控制论中：
系统用传递函数描述；
注重输入-输出间的直接关系;
SISO、低阶，输出可控制亦可测量；
可控性与可观性不是问题!
现代控制论中：
系统复杂：MIMO，高阶，时变，非线性等 系统模型：状态方程＋输出方程 由于 所以 输出状态，状态输入 要得到理想的输出，首先要控制好状态 使输出随状态发生变化
（3）Popov-Belevitch-Hautus判据
线性定常连续系统完全可观测的充分必要条件是 对系统矩阵的所有特征值 si (i 1,2,...n)
C rank n si I A
其中n为系统矩阵A的阶次。
（4）约当规范型判据 1） 系统矩阵A的特征值 si (i 1,2,...n) 互异
系统输出完全可控的充分必要条件是：
M y (CB
CAB
...CAn1B D)
的秩等于输出向量的维数，即
rankMy m
2.6.3 可观测性定义及其判据
2.6.3.1 可观测性定义： 设线性时变连续系统的状态方程和输出方程为：
A(t )x B(t )u(t ) x y (t ) C(t )x D(t )u(t )
A(t), B(t), C(t) ,D(t) :
n n n r m n
t Tf
x(t0 ) x0
m r
系统可观测性：
对于线性时变连续系统，如果对取定初始时刻 t0 Tf 存在一个时刻 t1 Tf 可以根据 t t0 , t1 系统的输出y唯一确定状态向量的初值
x0
则称系统在时间区间 t0 , t1 是完全可观测的
其中n为系数矩阵A的阶次
（4）约当规范型判据
1） 若系统矩阵A的特征值 si (i 1,2,...n) 互异且
s x 0
1
s
2
0 x Bu ... s
n
则线性定常连续系统完全可控的充要条件为矩阵
B
不包含全为0的行。
2）当 系统矩阵A的特征值 si (i 1,2,...n) 有相同的
0 ... sn
q-l
l
则系统可控的充要条件是：
ˆ 中与每个约当 ˆ 的相同特征值部分，B (a) 对应于A 块最后一行相对应的 ˆ 互异特征值部分， (b)对应于 A B 的行。
小结（可控性判别要素）： （1）状态化成零； （2）仅与状态方程有关； （3）不是求出一个 u(t1) ，而是判断其存在否！
可控性仅与系统本身有关，与输入量无关！ t1=?
（4）定义中规定由非零状态转移到零状态。如果将其变
更为由零状态转移到非零状态，则称这种情况为状态可达 或系统可达。对于线性定常系统，可控性与可达性等价。