第二章 可控性与可观性 7

可控性仅与系统本身有关，与输入量无关！ t1=?
（4）定义中规定由非零状态转移到零状态。如果将其变
更为由零状态转移到非零状态，则称这种情况为状态可达 或系统可达。对于线性定常系统，可控性与可达性等价。
(5)对线性定常连续系统：
(t ) Ax(t ) Bu(t ) x
x(0) x0
1 0 1 dx / dt x u 0 1 1 y 1 1x

u



1
x1

y


1
x2

1 0 1 dx / dt x u 0 1 1 y 1 0x

x1


1
u


y

系统的可控性矩阵 ：
M (B AB ... An1B)
n行 nm列，如何确定秩为多少？计算技巧？
（3）PBH判据（Popov-Belevitch-Hautus判据） 线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是对 系统矩阵的所有特征值 si (i 1,2,...n)
rank(si I A B) n
其中n为系数矩阵A的阶次
（4）约当规范型判据
1） 若系统矩阵A的特征值 si (i 1,2,...n) 互异且
s x 0
1
s
2
0 x Bu ... s
n
则线性定常连续系统完全可控的充要条件为矩阵
B
不包含全为0的行。
2）当 系统矩阵A的特征值 si (i 1,2,...n) 有相同的
几点说明：
（1）未限制状态转移的轨迹。可控性只表征系统状态运 动的一个定性特性 。 （2）定义中对控制量的每个分量的大小并未限制，只要 求控制量u是容许控制的，这表明控制量的每个分量应在 时间区间Tf上平方可积：

t
t0
ui dt , t0 , t T f
2
（3）定义是相对于时间区间Tf中的一个取定时刻来定义 的，对于线性时变系统是完全必要的，而对于线性定常 系统，系统的可控性与初始时刻的选取无关。

1
x2
1 0 0 dx / dt x u 0 1 1 y 1 1x
x1



1
y
u



1
x2

1 1 1 dx / dt x u 0 1 0 y 1 0x
x2

1
t0 t1
为非奇异的或是正定的。
其中：T ( , t0 ) 为状态转移矩阵。
线性定常连续系统Gram矩阵判据：
线性定常连续系统 完全可观测的充要条件为，
存在时刻 t1 0 使如下定义的Gram矩阵
Wo (t1 ,0) e C T e At d
AT t 0 t1
为非奇异的或是正定的。
t0
若系统在 则系统在
t 0 时刻是完全可控的，
t0 [0, ) 上完全可控。
t0 [0, )
2.6.2.2 可控性判据
分析：
可控性仅与状态方程中的系统矩阵和控制 矩阵有关！ （1）Gram矩阵判据（判别原理？） 线性时变连续系统在 t 0 时刻可控的充要条件为： 存在某个有限时刻 t1 t0 使得Gram矩阵
A(t), B(t), C(t) ,D(t) :
n n n r m n
t Tf
x(t0 ) x0
m r
系统可观测性：
对于线性时变连续系统，如果对取定初始时刻 t0 Tf 存在一个时刻 t1 Tf 可以根据 t t0 , t1 系统的输出y唯一确定状态向量的初值
x0
则称系统在时间区间 t0 , t1 是完全可观测的
使状态由 x(t0 ) x0 转移到 t1 时的 x(t1 ) 0
则称此 x0 在 t 0 是可控的。
系统可控性：
对于线性时变连续系统，如果所有状态在 t 0 (t0 T f ) 都是可控的，则称系统在 t 0 时刻是完全可控的，也称系统在 t0 是可控的。 系统不可控： 对于线性时变连续系统，取定初始时刻 t 0 (t0 Tf ) 如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻 t 0 是不可控的，则称系统在 t 0 时刻是不完全可控的， 也称系统不可控。
0 ... sn
q-l
l
则系统可控的充要条件是：
ˆ 中与每个约当 ˆ 的相同特征值部分，B (a) 对应于A 块最后一行相对应的一行元素不全为零；
ˆ 中没有元素全为零 ˆ 互异特征值部分， (b)对应于 A B 的行。
小结（可控性判别要素）： （1）状态化成零； （2）仅与状态方程有关； （3）不是求出一个 u(t1) ，而是判断其存在否！
2.6 可控性与可观性
2.6.1 概述
经典控制论中：
系统用传递函数描述；
注重输入-输出间的直接关系;
SISO、低阶，输出可控制亦可测量；
可控性与可观性不是问题!
现代控制论中：
系统复杂：MIMO，高阶，时变，非线性等 系统模型：状态方程＋输出方程 由于 所以 输出状态，状态输入 要得到理想的输出，首先要控制好状态 使输出随状态发生变化
简称系统可观测。
可观性反映可否通过y(t) 确定x(t)问题
可观测＝可测量？ 研究表明，系统可观性与输入无关！ 如何确定?
系统不可观测： 对于线性时变连续系统，如果对取定初始时刻 t0 Tf 存在一个时刻 t1 Tf 对于所有 t t0 , t1
系统的输出y不能唯一确定状态向量的初值 xi (t0 )
s s x 0 y Cx
1
2
0 x Bu ... s
n
线性定常连续系统完全可观测的充分必要条件为矩 阵 C 不包含全为0的列。
2） 系统矩阵A的特征值 si (i 1,2,...n) 有相同的
ˆx y C
其中，设有q-l个相同特征值 s1 有l个相同特征值 其余为互异特征值
系统输出完全可控的充分必要条件是：
M y (CB
CAB
...CAn1B D)
的秩等于输出向量的维数，即
rankMy m
2.6.3 可观测性定义及其判据
2.6.3.1 可观测性定义： 设线性时变连续系统的状态方程和输出方程为：
A(t )x B(t )u(t ) x y (t ) C(t )x D(t )u(t )
（1） 输入状态间的问题：
输入是否使状态发生希望的变化？
可控性问题
要使状态发生某种变化，输入＝？ 最优控制问题
（2） 输出状态间的问题：
状态可否从输出得到？
可观测性问题
如何从输出得到？ 最优估计问题
可控性、可观性为现代控制理论的基础，是现代 控制理论应用的前提条件！ 什么是可控性？可观测性？如何判断？
（2）秩判据 假设线性时变连续系统的A(t)和B(t) 的每个元素 分别是n-2和n-1次连续可微函数，并记
C1 (t ) C (t )
(t ),i 2,3,... Ci (t ) Ci 1 (t ) A(t ) C i 1
令
C1 (t ) C (t ) N t (t ) 2 ... C ( t ) n
ˆx ˆu x ˆA ˆB
其中，设有q-l个相同特征值 s1 有l个相同特征值 其余为互异特征值
sq
s1 0 ˆ A
1 s1
0 1 ... 1 s1 sq 1 sq 0 1 ... 1 0 sq sq 1 sq 2 0
则称系统在时间区间 t0 , t1 是不完全可观测的
简称系统不可观测。
2.6.3.2 可观测性判据
（1）Gram矩阵判据（判别原理？） 线性时变连续系统在 t 0 时刻可观测的充要条件为： 存在某个有限时刻 t1 t0 使得Gram矩阵
Wot (t1 , t0 ) T ( , t0 )C T ( )C( )( , t0 )d
2.6.2.3 输出可控性及其判据 定义 ： 若在有限时间间隔 [t0 , t1 ] 内，存在无约束分段连续 函数u(t)，能使任意初始输出y(t0)转移到任意最终 输出y(t1),则称此系统是输出完全可控。
判据：
线性定常连续系统的状态方程表达式为：
Ax Bu(t ) x y (t ) C x Du(t )
可控性： 系统输入对系统状态的有效控制能力
可观性： 系统输出对系统状态的确切反映能力
问题：
状态可控？系统可控？
状态不可控？系统不可控？ 状态可观测？ 系统可测观？ 状态不可观测？ 系统不可观测？
分析如下4个系统的可控性和可观测性：
1 0 1 dx / dt x u 0 1 1 1 0 1 y 1 1x dx / dt x u 0 1 1 1 0 0 y 1 0x dx / dt x u 0 1 1 1 1 1 dx / dt x u y 1 1x 0 1 0 y 1 0x
sq
c11 c12 ... c1n c c ... c 22 2n ˆ 21 C ... ... ... cm1 cm 2 ... cmn
ˆ 中对应于A的相同特征值部分，其第一列元 (a) C 素不全为零；
ˆ 中对应于A的互异特征值部分，没有元素全 (b) C 为零的列。
令
M t (t ) ( B1 (t )
B2 (t )
...Bn (t ))
如果存在某个时刻 t1 t0
使得 rankMt (t1 ) n
则该线性时变系统在t0时刻完全可控。
线性定常连续系统秩判据
线性定常连续系统完全可控的充要条件为：
rank( B AB ... An1B) n
其中n为系数矩阵A的阶次
如果存在某个时刻 t1 t0
使得 rankNt (t1 ) n
则该线性时变系统在t0时刻完全可观测。
线性定常连续系统秩判据： 线性定常连续系统完全可观测的充要条件为：
C CA n rankN rank ... n 1 CA
其中n为系统矩阵A的阶次 N 称为系统的可观测矩阵（几行几列？）。
2.6.4 对偶原理
（3）Popov-Belevitch-Hautus判据
线性定常连续系统完全可观测的充分必要条件是 对系统矩阵的所有特征值 si (i 1,2,...n)
C rank n si I A
其中n为系统矩阵A的阶次。
（4）约当规范型判据 1） 系统矩阵A的特征值 si (i 1,2,...n) 互异
u

1

x1
y

2.6.2 可控性定义及其判据
2.6.2.1可控性定义：
线性时变连续系统的状态方程为：
(t ) A(t )x(t ) B(t )u(t ) x
t Tf
状态可控性：
Tf 对于线性时变连续系统，如果对取定初始时刻 t0 的 一个非零初始状态 x(t0 ) x0 ， 存在一个时刻 t1 t0 ， t1 T f 和一个无约束的容许控制 u(t ), t t0 , t1
Wct (t1 , t0 ) (t1 , ) B( )BT ( )T (t1 , )d
t0 t1
为非奇异的或是正定的。
线性定常连续系统Gram矩阵判据：
线性定常连续系统 完全可控的充要条件为：
存在时刻 t1 0 使如下定义的Gram矩阵
Wc (t1 ,0) e
t0 t1 At
BB e
T AT t
d
为非奇异的或是正定的。
（2）秩判据 假设线性时变连续系统的A(t)和B(t) 的每个元素 分别是Leabharlann Baidu-2和n-1次连续可微函数，并记
B1 (t ) B(t )
(t ), i 2,3,...n Bi (t ) A(t ) Bi 1 (t ) B i 1