三角形的边角之间的关系

07、三角形边角关系

三角形的边角关系知识点1、三角形的基本概念1、定义同一平面内由不在同一直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫做三角形。

注意：①前提：同一平面②三角形一定由三条线段组成，但任意的三条线段不一定能组成三角形。

③三条线段不共线。

2、三角形的边角顶点（1）三角形的边：组成三角形的三条线段，如边AB，AC，BC。

有时边也用它所对角的小写字母表示；边BC对应∠A,记做a；边AC对应∠B，记做b；边AB对应∠C，记做c。

（2）三角形的顶点：相邻两边的公共端点，三个，如点A，B，C；（3）三角形的（内）角：相邻两边的夹角，简称三角形的角，如C,。

∠,A∠B∠（4）三角形的外角：三角形一边的延长线与其邻边的夹角3、三角形的表示：一般用顶点表示三角形：记做“ABC∆”，读作“三角形ABC”。

个三角形，它们分别是_______________________。

为边的三角形是___________________。

中，三条边是____________________,三个角是的对边是_____，AE的对角是___________。

知识点2、三角形的分类按边：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形：三边互不相等三角形一般等腰三角形：底腰不等等腰三角形等边三角形：三边都相等按角：⎧⎪⎨⎪⎩锐角三角形:三个角都是锐角三角形直角三角形：一个角是直角钝角三角形：一个角是钝角知识点3、三角形边角关系1、三角形边的关系①三角形中任何两边的和大于第三边：在△ABC 中：⎪⎩⎪⎨⎧>+>+>+AB BC AC BCAC AB AC BC AB ②三角形中任何两边之差小于第三边：在△ABC 中：⎪⎩⎪⎨⎧<-<-<-AB BC AC BCAC AB AC BC AB ③综合来说：在△ABC 中⎪⎩⎪⎨⎧+<<-+<<-+<<-BC AC AB BC AC ACAB BC AC AB BC AB AC BC AB 2、三角形角的关系①三角形的内角和等于︒180；三角形的外角和等于︒360②在同一个三角形中：大边对大角，大角对大边；等边对等角，等角对等边；中，它的周长是别为知识点四、三角形的特殊线段1、角平分线①定义：三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线，三条角平分线交于一点叫做三角形的内心。

三角形边角关系-第3讲的角与边学

第三讲三角形的角与边一、基础知识本讲重点介绍三角形的边、角不等关系,包括同一个三角形中的边、角不等关系以及不同三角形中的边、角不等关系.1.边与边的关系(1)在同一个三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边（三边满足什么条件时，三角形必然存在？）；(2)勾股定理:即在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方.2.角与角的关系(1)三角形的内角和为180︒；(2)直角三角形中两锐角互余;(3)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；(4)三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和.3.边和角的关系(1)在同一个三角形中,大边对大角,大角对大边;(2)在两个三角形中,如果有两条边对应相等,那么夹角大的所对的边也大;反之也成立,即在两个三角形中,如果有两条边对应相等,那么第三边大,则所对的角也大.4.不等式变形时常用的性质(1)若a>b,c>d,则a+c>b+d;(2)若a>b,c>d,则a-d>b-c;(3)若a>b,c>0,则ac>bc;若a>b,c<0,则ac<bc;(4)若a>b>0,则11 a b <;(5)总量大于任何一个部分量.5.三角形中的不等关系根源:(1)两点之间线段最短;(2)垂线段最短.二、例题第一部分边的问题例1. (★★希望杯训练题)将三边长为a,b,c的三角形记作(a,b,c).写出周长为20,各边长为正整数的所有不同的三角形.例2. (★★★ 2000年希望杯竞赛题）一个三角形的三条边的长分别是a,b,c（a,b,c都是质数），且a+b+c=16，则这个三角形是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.直角三角形或等腰三角形例3. (★★★1998年江苏省竞赛题)在不等边三角形中,如果有一条边长等于另两条边长的平均值,那么最大边上的高与最小边上的高的比值的取值范围是( )A.31 4k<<B.113k<<C.12k<< D.112k<<例4. (★★★1997年北京市竞赛题)等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm 两部分,则这个等腰三角形的底边的长为( )A.17cmB.5cmC.17cm或5cmD.无法确定例5. (★★★)如图3-1,已知P为三角形ABC内一点,求证:1()2AB AC BC PA PB PC AB AC BC++<++<++.例6. (★★★第三十二届美国邀请赛试题)不等边三角形ABC的两条高长度为4和12,若第三条高的长也是整数,试求它的长.例7. (★★★)若三角形ABC 的三边长是a,b,c,且满足:444224442244422,,a b c b c b c a a c c a b a b =+-=+-=+-,则ABC ∆是( )A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形第二部分角的问题例8. (★★)如图3-4,在三角形ABC 中,042A ∠= ,ABC ∠和ACB ∠的三等分线分别交于D,E,求BDC ∠的度数.例9. (★★★1999年重庆市竞赛题)三角形的三个内角分别为,,αβγ,且αβγ≥≥,2αγ=.则β的取值范围是( )A.003645β≤≤B.004560β≤≤C.006090β≤≤D.004572β≤≤例10. (★★★)如图3-7,延长四边形ABCD 对边AD,BC 交于F ；DC,AB 交于E,若AED ∠,AFB ∠平分线交于O,求证:1()2EOF EAF BCD ∠=∠+∠第三部分边角综合24,例11. (★★★ 2000年江苏省竞赛题)在锐角三角形ABC中,AB>BC>AC,且最大内角比最小内角大0 的取值范围是( ).则A例12. (★★★★)如图3-2,在三角形ABC中，AB>AC>BC,P为三角形内任意一点,连结AP并延长交BC于点D.求证:(1)AB+AC>AD+BC;(2)AB+AC>AP+BP+CP.例13. （★★★★）如图，在三角形ABC中，角A=90度，AD垂直于BC，求证：AB+AC<AD+BC例14.（★★★★）如图，在三角形ABC中，AC>AB,在CA上截取CD=AB,E,F分别是BC,AD的中点，连接EF 并延长交BA的延长线于G,求证：AF=AG例15. (★★★★★)设三角形的三个内角度数分别为A,B,C,相应的对边长分别为a,b,c,求证:60 aA bB cCa b c︒++≥++三、练习题1. (★★)设m,n,p均为自然数,满足m n p≤≤,且m+n+p=15,试问以m,n,p为边长的三角形有多少个?2.(★★ 1998年山东省竞赛题) 已知三角形三边的长均为整数,其中某两条边长之差为5,若此三角形周长为奇数,则第三边长的最小值为( )** B.7 C.6 D.43.(★★★)一个三角形的周长为偶数,其中的两条边长分别为4和2003,则满足上述条件的三角形的个数为( )A.1个B.3个C.5个D.7个4.（★ 2002，云南省中考题）两根木棒的长分别是7cm和10cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，若第三根木棒的长是acm，则a的取值范围是( ).5. (★)ABC 的一个内角的大小是040,且A B ∠=∠,那么C ∠的外角的大小是( )A.140︒B.80︒或100︒C.100︒或140︒D.80︒或140︒6. (★★★)如图3-5,在ABC ∆中,90ACB ︒∠=,D,E 为AB 上的两点,若AE=AC,45DCE ︒∠=则图中与BC 等长的线段是( ) A.CD B.BD C.CE D.AE-BE7. (★★★)如图3-6,在ABC ∆中,B ∠的平分线与C ∠的外角平分线相交于D,40D ︒∠=.则A ∠等于( )A.50︒B. 60︒C. 70︒D.80︒8. (★★ 第12届希望杯竞赛题)如图3-9,127.5︒∠=,295︒∠=,338.5︒∠=求4∠的大小.9. (★★★第5届希望杯竞赛题)如图3-8,BE 是ABD ∠的平分线,CF 是ACD ∠的平分线,BE 与CF 交于G,若140BDC ︒∠=,110BGC ︒∠=,求A ∠的度数.10. （★★★★）如图，三角形ABC 中，AB=BC=CA,AE=CD,AD,BE 相交于P,BQ 垂直于AD 于Q ，求证：BP=2PQ课外小故事五枚金币有个叫阿巴格的人生活在内蒙古草原上.有一次，年少的阿巴格和他爸爸在草原上迷了路，阿巴格又累又怕，到最后快走不动了.爸爸就从兜里掏出5枚硬币，把一枚硬币埋在草地里，把其余4枚放在阿巴格的手上，说：“人生有5枚金币，童年、少年、青年、中年、老年各有一枚，你现在才用了一枚，就是埋在草地里的那一枚，你不能把5枚都扔在草原里，你要一点点地用，每一次都用出不同来，这样才不枉人生一世.今天我们一定要走出草原，你将来也一定要走出草原.世界很大，人活着，就要多走些地方，多看看，不要让你的金币没有用就扔掉.”在父亲的鼓励下，那天阿巴格走出了草原.长大后，阿巴格离开了家乡，成了一名优秀的船长.珍惜生命，就能走出挫折的沼泽.。

三角形的边角关系

答：12
隨堂練習
（3）已知有一個等腰三角形，其三邊長分別為5、6、x，則 x ＝？
答：5，6
三角形任意兩邊差小於第三邊
c＋a＞b 移項 b－a＜c
a＋b＞c
c－b＜a
b＋c＞a
a－c＜b
A
c
b
B
C a
隨堂練習
（3）已知有長度分別為1、2、3、4、 5、6 的竹籤各一支，試問用這些竹籤可排出幾種不同形狀的三角形？
答：2、3、4；2、4、5；2、5、6； 3、4、5；3、4、6；3、5、6； 4、5、6 共 7 種
隨堂練習
（3）已知有長度分別為1、2、3、4、5、 6、7、8、9、10 的竹籤各一支，試問用這些竹籤可排出幾種不同形狀的三角形？
答：共 50 種
等腰三角形兩底角相等
【已知】等腰△ABC中，AB＝AC
§3-4三角形的邊角關係
重點：三角形邊角間的不等關係（1）三角形任意兩邊和大於第三邊（2）三角形任意兩邊差小於第三邊（3）三角形中若有兩邊不相等，則大邊對大角，
小邊對小角（4）等腰三角形兩底角相等（5）三角形中若有兩邊不相等，則大角對大邊，
小角對小邊（6）樞紐定理
三角形任意兩邊和大於第三邊
A
D
大
小
B 大 C E 小F
隨堂練習
已知△ABC與△DEF中，AB＝DE， AC＝DF （1）若∠A＝∠D，則BC EF
（填＞、＝、＜）（2）若∠A＞∠D，則BC EF
（填＞、＝、＜）答：（1）＝
（2）＞
隨堂練習
直角三角形中，哪一邊最長？為什麼？
答：斜邊因為直角為直角三角形的最大角，所以直角所對的邊（斜邊）為最大邊。

三角形的边角性质

三角形的边角性质三角形是几何学中最基本的图形之一，具有许多独特的性质和特点。

本文将探讨三角形的边角性质，包括三角形边长之间的关系、内角之和、三角形的分类以及边角不等式等内容。

一、三角形边长之间的关系在任意三角形ABC中，三角形两边之和大于第三边，即AC + BC > AB，AB + BC > AC，AB + AC > BC。

这个不等式被称为三角形的三边不等式。

二、三角形内角之和任意三角形的三个内角之和等于180度。

即∠A + ∠B + ∠C = 180°，其中∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角。

三、三角形的分类根据边长和角度的关系，可以将三角形分为以下几种情况：1. 等边三角形：三条边都相等的三角形。

每个内角都是60度。

2. 等腰三角形：两条边相等的三角形。

有两个内角相等。

3. 直角三角形：一个内角为90度的三角形。

4. 钝角三角形：一个内角大于90度的三角形。

其余两个内角为锐角。

5. 锐角三角形：三个内角都小于90度的三角形。

四、三角形的边角不等式在任意三角形ABC中，以下不等式成立：1. 边边关系不等式：AB < AC + BC，AC < AB + BC，BC < AB + AC。

2. 角角关系不等式：∠A < ∠B + ∠C，∠B < ∠A + ∠C，∠C < ∠A + ∠B。

这些不等式告诉我们，三角形的两边之和大于第三边，且每个内角的度数小于其余两个内角的和。

通过这些边角性质，我们可以解决许多关于三角形的问题。

例如，可以利用三角形的边长关系判断是否可以构成一个三角形；可以利用三角形的内角之和求解未知内角的度数；可以利用边角不等式求解三角形的边长范围等。

总结起来，三角形的边角性质是解决三角形相关问题的基础。

通过了解三角形的边长关系、内角之和、分类以及边角不等式，我们可以更好地理解和应用三角形的性质，提高数学问题的解决能力。

直角三角形的边角关系

直角三角形的边角关系[知识链接]知识讲解:1．直角三角形中的边角关系(1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2 (2)锐角之间的关系：A ＋B ＝90°(3)边角之间的关系：sinA ＝cosB ＝c a ， cosA ＝sinB ＝c btanA ＝cotB ＝b a ， cotA ＝tanB ＝ab锐角三角函数的概念如图，在ABC 中，∠C 为直角，则锐角A 的各三角函数的定义如下：(1)角A 的正弦：锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sinA ＝ca(2)角A 的余弦：锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cosA ＝c b(3)角A 的正切：锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tanA ＝ba(4)角A 的余切：锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即cotA ＝ab2．三角函数的关系(1)同角的三角函数的关系1)平方关系：sinA 2＋cosA 2＝1 2)倒数关系：tanA·cotA ＝13)商的关系：tanA ＝A A cos sin ，cotA ＝AAsin cos(2)互为余角的函数之间的关系 sin(90°－A)＝cosA ， cos(90°－A)＝sinA tan(90°－A)＝cotA ， cot(90°－A)＝tanA 3．一些特殊角的三角函数值0°30°45°60°90°sinα0 1cosα 1 0tanα0 1 -----cotα----- 1 05．锐角α的三角函数值的符号及变化规律.(1)锐角α的三角函数值都是正值(2)若0＜α＜90° 则sinα，tanα随α的增大而增大，cosα，cotα随α的增大而减小.6．解直角三角形(1)直角三角形中的元素：除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角.(2)解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知的元素的过程叫做解直角三角形.7．解直角三角形的应用，解直角三角形的应用，主要是测量两点间的距离，测量物体的高度等，常用到下面几个概念：(1)仰角、俯角视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角(2)坡度．坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度，常用字母i表示，h即i＝l(3)坡角h 坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示，则tanα＝i＝l(4)方位角从某点的指北方向线，按顺时针方向转到目标方向线所成的角.例题选讲：1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知∠A、c, 则a=__________;b=_________.(2)已知∠A、b, 则a=__________;c=_________.(3)已知∠A、a，则b=__________;c=_________.(4)已知a、b，则c=__________.(5)已知a、c，则b=__________.2、在下列直角三角形中，不能解的是（）A 、已知一直角边和所对的角B 、已知两个锐角C 、已知斜边和一个锐角D 、已知两直角边3、如图，在△ABC 中，已知AC=6，∠C=75°，∠B=45°，求△ABC 的面积.4、求证:平行四边形ABCD 的面积S=AB ·BC ·sinB(∠B 为锐角).5、山顶上有一旗杆，在地面上一点A 处测得杆顶B 的俯角α =600，杆底C 的俯角β =450，已知旗杆高BC=20米，求山高CD.课堂练习1、如图：P 是∠α的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4），则sin （900 - α）＝_____________.2、下列说法正确的是( )A 、a 为锐角则 0≤sina ≤1B 、cos30°＋cos30°＝cos60°C 、若tanA ＝cot(90°－B), 则∠A 与∠B 互余D 、若α1，α2为锐角，且α1＜α2则c osα1＞c osα2 3、已知0°＜α＜45° 则s inα，c osα的大小关系为( )A 、s inα＞c osαB 、s inα＜c osαC 、s inα≥c osαD 、s inα≤c osα．4、∠C ＝90° 且tanA ＝31，则cosB 的值为( )A 、1013 B 、310 C 、1010 D 10103 5、直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CD ＝10，∠B ＝90°，∠C ＝30°则AB ＝( )A 、53B 、5C 、25D 2356、一个三角形的一边长为2，这边上的中线长为1，另两边长之和为1＋，则这个三角形的面积为( )A. 1B.23C. D.437、外国船只，除特许外，不得进入我国海洋100海里以内的区域.如图，设A 、B 是我们的观察站，A 和B 之间的距离为160海里，海岸线是过A 、B 的一条直线.一外国船只在P 点，在A 点测得∠BAP=450，同时在B 点测得6BCACDABAB CDABP∠ABP=600，问此时是否要向外国船只发出警告，令其退出我国海域. 本课小结本章的重点是直角三角形中锐角三角函数的定义，特殊锐角的三角函数值，及互余两角的三角函数关系，运用这些知识解直角三角形的实际应用，既是重点也是难点.解直角三角形四类基本问题的方法是：(1)已知斜边和一直角边(如斜边c ，直角边a)：由sinA ＝ca，求A, B ＝90°－A ， b ＝(2)已知斜边和一锐角(如斜边c ，锐角A)； B ＝90°－A ， a ＝c·sinA ， b ＝c·cosA(3)已知一直角边和一锐角(如a ，A)： B ＝90°－A ，b ＝a·cotA ， c ＝Aasin(4)已知两直角边(如a ，b)： c ＝，由tanA ＝ba，求A, B ＝90°－A解直角三角形的思路是：(1)解直角三角形的方法可以概括为“有弦(斜边)用弦(正弦，余弦)，无弦用切(正切，余切)，取原避中”其意指：当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦；既可由已知数据又可由中间数据求解时，取原始数据，忌用中间数据.(2)解含有非基本元素的直角三角形(即直角三角形的中线，高，角平分线，周长，面积等)一般将非基本元素转化为基本元素，或转化为基本元素间的关系式，再通过解方程组求解.解直角三角形在实际应用中的解题步骤如下：(1)审题：要弄清仰角，俯角，坡度，坡角，水平距离，垂直距离，水平等概念的意义，要审清题意.(2)画图并构造要求解的直角三角形，对于非直角三角形的图形可添加适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形(包括正方形).(3)选择合适的边角关系式，使运算尽可能简便，不易出错.(4)按照题中已知数的精确度进行近似计算，并按照题目要求的精确度确定答案及注明单位.。

三角形边角关系-第3讲的角与边

第三讲三角形的角与边一、基础知识本讲重点介绍三角形的边、角不等关系,包括同一个三角形中的边、角不等关系以及不同三角形中的边、角不等关系.1.边与边的关系(1)在同一个三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边（三边满足什么条件时，三角形必然存在？）；(2)勾股定理:即在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方.2.角与角的关系(1)三角形的内角和为180︒；(2)直角三角形中两锐角互余;(3)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；(4)三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和.3.边和角的关系(1)在同一个三角形中,大边对大角,大角对大边;(2)在两个三角形中,如果有两条边对应相等,那么夹角大的所对的边也大;反之也成立,即在两个三角形中,如果有两条边对应相等,那么第三边大,则所对的角也大.4.不等式变形时常用的性质(1)若a>b,c>d,则a+c>b+d;(2)若a>b,c>d,则a-d>b-c;(3)若a>b,c>0,则ac>bc;若a>b,c<0,则ac<bc;(4)若a>b>0,则11 a b <;(5)总量大于任何一个部分量.5.三角形中的不等关系根源:(1)两点之间线段最短;(2)垂线段最短.二、例题第一部分边的问题例1. (★★希望杯训练题)将三边长为a,b,c的三角形记作(a,b,c).写出周长为20,各边长为正整数的所有不同的三角形.【分析与解答】:考点：三角形三边关系；周长等于20的三解形中,最长边小于10,且大于等于203,由于边长是整数,所以最长边可为9,8,7.用穷举法可以得下面8个三角形:(9,9,2)、(9,8,3)、(9,7,4)、 (9,6,5)、(8,8,4)、(8,7,5)、(8,6,6)、(7,7,6).例2. (★★★ 2000年希望杯竞赛题）一个三角形的三条边的长分别是a,b,c （a,b,c 都是质数），且a+b+c=16，则这个三角形是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.直角三角形或等腰三角形【分析与解答】:考点：特殊的质数2；“两边之差小于第三边”；因为a,b,c 均为质数且a+b+c=16,所以a,b,c 中有一数为2,设a=2,则b+c=14,所以||2b c -<.从而有b c -=或1b c -=.当1b c -=时,b,c 均不是整数,不合题意.因此,只有b c -=即a=2,b=c=7,所以三角形是等腰三角形.例3. (★★★1998年江苏省竞赛题)在不等边三角形中,如果有一条边长等于另两条边长的平均值,那么最大边上的高与最小边上的高的比值的取值范围是( )A.314k <<B.113k <<C.12k <<D.112k <<【分析与解答】:考点：在a>b>c 时，三边关系只需要满足a b c -<；题目可以转化为，已知02a b c a c b a b c>>>⎧⎪+⎪=⎨⎪-<⎪⎩，求c a 的范围；由已知条件易得3c a c <<，即113ca<<，选B例4. (★★★1997年北京市竞赛题)等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm两部分,则这个等腰三角形的底边的长为( )A.17cmB.5cmC.17cm 或5cmD.无法确定【分析与解答】:考点：特殊三角形的三边关系；分类讨论；设腰长为a ，底边长为b ，此题可分为两类，112212122a a b a a b ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎪⎩或121211222a a b a a b ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎪⎩，第一类无解；第二类解为145a b =⎧⎨=⎩，故选B.例5. (★★★)如图3-1,已知P 为三角形ABC 内一点, 求证:1()2AB AC BC PA PB PC AB AC BC ++<++<++.【分析与解答】:易证AB<PA+PB,BC<PB+PC,AC<PA+PC 相加除2得:1()2AB AC BC PA PB PC ++<++. 延长BP 交AC 于H.在ABH ∆中BP+PH<AB+AH ①在PHC ∆中,PC<PH+HC ② ①+②得,BP+PH+PC<AB+AH+PH+HC,BP+PH+PC<AB+AC+PH, BP+PC<AB+AC ④同理:BP+AP<BC+AC ⑤AP+PC<AB+BC ⑥ ④+⑤+⑥,得2(BP+AP+PC)<2(AB+AC+BC).∴ BP+AP+PC<AB+AC+BC 即:1()2AB AC BC PA PB PC AB AC BC ++<++<++.例6. (★★★ 第三十二届美国邀请赛试题)不等边三角形ABC 的两条高长度为4和12,若第三条高的长也是整数,试求它的长.【分析与解答】:考点：三边关系，面积的过渡作用；设第三边C 边上高为h,三角形面积为S,高为4,12的两边为a,b,则有111412222a b c h S⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=∴a=24S ,b=212S ,c=2S h 据三角形三边关系定理及推论,得22222412412S S S S S h -<<+,∴11163h <<h 为整数∴ h=4或5.又三角形为不等边三角形∴h=5.例7.(★★★)若三角形ABC 的三边长是a,b,c,且满足:444224442244422,,a b c b c b c a a c c a b a b =+-=+-=+-,则ABC ∆是( )A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形【分析与解答】考点，三边关系之恒等变形；将三个方程叠加得到，222222444a b a c b c a b c ++=++，即222222222()()()0a b b c c a -+-+-=，则a b c ==，选D.第二部分角的问题例8.(★★)如图3-4,在三角形ABC中,042A ∠= ,ABC ∠和ACB ∠的三等分线分别交于D,E,求BDC ∠的度数.【分析与解答】: 考点，三角形内角和；简单，BDC ∠=88︒例9.(★★★1999年重庆市竞赛题)三角形的三个内角分别为,,αβγ,且αβγ≥≥,2αγ=.则β的取值范围是( )A.03645β≤≤ B.04560β≤≤ C.06090β≤≤ D.04572β≤≤ 【分析与解答】:考点：三角形内角和；由αβγ≥≥可得ααγβαγγαγ++≥++≥++,即21802αγαγ︒+≥≥+,又2αγ=,得51804γγ︒≥≥,解之,得3645γ︒︒≤≤,又180αβγ︒++=∴3180βγ︒+=∴1803βγ-=,∴18036453β︒︒-≤≤解这个不等式得4572β︒︒≤≤，选D例10. (★★★)如图3-7,延长四边形ABCD 对边AD,BC 交于F ；DC,AB 交于E,若AED ∠,AFB ∠平分线交于O,求证:1()2EOF EAF BCD ∠=∠+∠【分析与解答】:考点，角的关系；延长FO 交AE 于H 点，22()2()EOF FHE OEA FAE AFH OEA ∠=∠+∠=∠+∠+∠；222EAF BCD FBE OEA FAE FAE AFH OEA FAE ∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠得证.第三部分边角综合例11. (★★★ 2000年江苏省竞赛题)在锐角三角形ABC 中,AB>BC>AC,且最大内角比最小内角大024,则A ∠的取值范围是( ).【分析与解答】:考点：角边对应关系；不等式推倒；易错点：三角形ABC 为“锐角三角形”；因为AB>BC>AC,所以C A B ∠>∠>∠.设B ∠=x,则C ∠=x+24︒,所以180(24)1562A x x x ︒︒︒∠=--+=-,从而有24156215622490x xx x x ︒︒︒︒︒⎧+>-⎪->⎨⎪+<⎩,所以4452,52156268x x ︒︒︒︒<<<-<.例12. (★★★★)如图3-2,在三角形ABC 中，AB>AC>BC,P 为三角形内任意一点,连结AP 并延长交BC 于点D.求证:(1)AB+AC>AD+BC; (2)AB+AC>AP+BP+CP.【分析与证明】:考点：边角对应关系； (1)AB>AC,∴ABD ACD ∠<∠.ADB ACD ∠>∠,∴ADB ABD ∠>∠.∴AB>AD.AC>BC,∴AB+AC>AD+BC.(2)过点P 作EFBC ,交AB,AC 于E,F,则AEF ABC ∠=∠,AFE ACB ∠=∠.由(1)知,AE+AF>AP+EF,BE+EP>BP,CF+FP>CP,∴(AE+BE)+(AF+CF)+(EP+FP)>AP+BP+CP+EF, 即AB+AC>AP+BP+CP.例13. （★★★★）如图，在三角形ABC 中，角A=90度，AD 垂直于BC 求证：AB+AC<AD+BC【分析与证明】：考点，特殊三角形的三边关系，恒等变形；过A 作AC ’垂直于AB 交BC 于C ’ 因为12AD*BC ’=12AB*AC ’，2,2,2AB AC BC += 所以AB^2+2AB*AC ’+AC ’^2=BC ’^2+2BC ’*AD<(BC ’+AD)^2 所以AB+AC ’<AD+BC ’ （1）又因为在三角形ACC ’中，AC-AC ’<CC ’（2）（1）+（2）得AB+AC<AD+(BC ’+CC ’) 即AB+AC<AD+BC例14. （★★★★）如图，在三角形ABC 中，AC>AB,在CA 上截取CD=AB,E,F 分别是BC,AD 的中点，连接EF 并延长交BA 的延长线于G ,求证：AF=AG【分析与证明】：考点，边角综合；取AC 中点N,连EN 所以EN//ABEN=1/2AB 因此角NEF=角G所以FN=FC-NC=1/2(AC+CD)-1/2AC=1/2CD=1/2AB 所以NE=FN 因此AF=AG例15. (★★★★★)设三角形的三个内角度数分别为A,B,C,相应的对边长分别为a,b,c,求证:60aA bB cCa b c ︒++≥++【分析与证明】:考点:边角关系；由"大边对大角"知,当a b ≥时,A ≥B;当a b ≤时,A B ≤所以总有a-b 与A-B 同号,由此得(a-b)(A-B)≥0.同理可得(b-c)⋅(B-C)≥0,(c-a)(C-A)≥0 即aA+bB ≥aB+bA,bB+cC ≥bC+cB,cC+aA≥cA+aC.以上三式相加得2(aA+bB+cC)≥a(B+C)+b(A+C)+c(A+B)=a(180︒-A)+b(180︒-B)+c(180︒-C)=180︒(a+b+c)-(aA+bB+cC)即3(aA+bB+cC)≥180︒(a+b+c).由此,得60aA bB cCa b c ︒++≥++.三、练习题1. (★★)设m,n,p 均为自然数,满足m n p ≤≤,且m+n+p=15,试问以m,n,p 为边长的三角形有多少个? 【分析与解答】:考点：三角形三边关系；提示,∴m+n+p=15,据三角形三边关系定理,可知p<m+n,即p+p<m+n+p,∴2p<15,p<152m n p ≤≤,∴153p ≥∴151532p ≤<p 为自然数∴p=5,6,7.若p=7,当n=7时,m=1;当n=6时,m=2;当n=5时,m=3;当n=4时,m=4;若p=6,当n=6时,m=3;当n=5时,m=4;若p=5,则m=n=5综上所述,以m,n,p 为三边长的三角形共有7个.2. (★★ 1998年山东省竞赛题) 已知三角形三边的长均为整数,其中某两条边长之差为5,若此三角形周长为奇数,则第三边长的最小值为( ) A.8 B.7 C.6 D.4 【分析与解答】:考点，三边关系；设a-b=5,由已知可得a+b+c 为奇数,所以c 为偶数,且c>a-b,所以c 的最小值为6.3. (★★★)一个三角形的周长为偶数,其中的两条边长分别为4和2003,则满足上述条件的三角形的个数为( )A.1个B.3个C.5个D.7个【分析与解答】:考点：三边关系，b c a b c -<<+；根据三角形三边关系定理,可求出三角形的第三边的取值范围是:大于1999而小于2007,再依其周长为偶数,可知第三边应为2000,2001,2002,2003,2004,2005,2006,这七个数中选出,而周长为偶数,已知一边长为偶数,一边长为奇数,由此可知,可第三边边长应为奇数.所以第三边边长为2001,或2003或2005.选B4. （★ 2002，云南省中考题）两根木棒的长分别是7cm 和10cm ，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，若第三根木棒的长是acm ，则a 的取值范围是( ). 【分析与解答】：3<a<17提示：根据三角形三边关系定理，可得10-7<a<10+7，解之即得.5. (★)ABC 的一个内角的大小是040,且A B ∠=∠,那么C ∠的外角的大小是( )A.140︒B.80︒或100︒C.100︒或140︒D.80︒或140︒【分析与解答】：简单，选D6. (★★★)如图3-5,在ABC ∆中,90ACB ︒∠=,D,E 为AB 上的两点,若AE=AC,45DCE ︒∠=则图中与BC 等长的线段是( )A.CDB.BDC.CED.AE-BE【分析与解答】:考点，角度变换；因为245︒∠=,AE=AC,所以523453︒∠=∠+∠=+∠.又因为4∠是ADC ∆的外角,5∠是BEC ∆的外角,所以:,15(453)(90)345445A B B A A ︒︒︒︒=∠+∠∠=∠-∠=+∠--∠=∠+∠-=∠-,由此得4145︒∠=∠+=BCD ∠,所以BC=BD.7. (★★★)如图3-6,在ABC ∆中,B ∠的平分线与C ∠的外角平分线相交于D,40D ︒∠=.则A ∠等于( D )A.50︒B. 60︒C. 70︒D.80︒【分析与解答】:考点，角度关系；依题意有21ABC ∠=∠,22ACE ∠=∠∴2(21)ACE ABC ∠-∠=∠-∠,根据三角形内角和定理的推论,有ACE ABC A ∠-∠=∠,21D ∠-∠=∠,所以:2A D∠=∠40D ︒∠=80A ︒∠=.8. (★★ 第12届希望杯竞赛题)如图3-9,127.5︒∠=,295︒∠=,338.5︒∠=求4∠的大小.【分析与解答】:4∠=19︒.23ADC ∠=∠+∠,14180ADC ︒∠+∠+∠= ∴2314180︒∠+∠+∠+∠=∴9538.527.54180︒︒︒︒+++∠= ∴419︒∠=9. (★★★第5届希望杯竞赛题)如图3-8,BE 是ABD ∠的平分线,CF 是ACD ∠的平分线,BE 与CF 交于G,若140BDC ︒∠=,110BGC ︒∠=,求A ∠的度数.【分析与解答】:延长BD 交AC 于H,则BDC HCD DHC ∠=∠+∠DHC A ABH ∠=∠+∠∴BDC A ABH HCD ∠=∠+∠+∠①,BGC GEC ECG GEC A ABE ∠=∠+∠∠=∠+∠∴BGC A ABE ECG ∠=∠+∠+∠ ∴2222BGC A ABE ECG ∠=∠+∠+∠即22BGC A ABH ACD ∠=∠+∠+∠②由②-①得2BGC BDC A ∠-∠=∠∴211014080A ︒︒︒∠=⨯-=10. （★★★★）如图，三角形ABC 中，AB=BC=CA,AE=CD,AD,BE 相交于P,BQ 垂直于AD 于Q ，求证：BP=2PQ【分析与证明】：考点，三角形其他；三角形ADC逆时针旋转120度即得三角形ABP所以AD于BE成120度角那么角BPQ=60度，角PBQ=30度，由BQ垂直于AD所以BP=2PQ课外小故事五枚金币有个叫阿巴格的人生活在内蒙古草原上.有一次，年少的阿巴格和他爸爸在草原上迷了路，阿巴格又累又怕，到最后快走不动了.爸爸就从兜里掏出5枚硬币，把一枚硬币埋在草地里，把其余4枚放在阿巴格的手上，说：“人生有5枚金币，童年、少年、青年、中年、老年各有一枚，你现在才用了一枚，就是埋在草地里的那一枚，你不能把5枚都扔在草原里，你要一点点地用，每一次都用出不同来，这样才不枉人生一世.今天我们一定要走出草原，你将来也一定要走出草原.世界很大，人活着，就要多走些地方，多看看，不要让你的金币没有用就扔掉.”在父亲的鼓励下，那天阿巴格走出了草原.长大后，阿巴格离开了家乡，成了一名优秀的船长.珍惜生命，就能走出挫折的沼泽.。

三角形的边角关系.

三角形的三边关系1．三角形的概念不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形．①三角形有三条边，三个内角，三个顶点.②组成三角形的线段叫做三角形的边;③相邻两边所组成的角叫做三角形的内角简称角;④相邻两边的公共端点是三角形的顶点，⑤三角形ABC 用符号表示为△ ABC ，⑥三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C的小写字母 c 表示，AC 可用b表示，BC 可用 a 表示.1:三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接2:三角形是一个封闭的图形；3:△ ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的△没有意义例例 1 图中三角形的个数是( )A．8 B．9 C．10 D．112．三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边; 三角形的任意两边之差小于第三边.1：三边关系的依据是：两点之间线段是短2:判断三条线段能否构成三角形的方法：只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，便可构成三角形; 若不满足，则不能构成三角形.3:三角形第三边的取值范围是: 两边之差<第三边<两边之和例1 ：已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，能组成三角形的是( )A．1，2，3 B．2，5，8 C．3，4，5 D．4，5，10例2：下列各组条件中，不能组成三角形的是( )A. a+1、a+2、a+3 (a>3)B. 3cm、8cm、10 cmC. 三条线段之比为1:2:3D. 3a、5a、2a+1 (a>1)例3．△ ABC的三边长分别为4、9、x,⑴ 求x 的取值范围；⑵ 求△ ABC 周长的取值范围；⑶ 当x 为偶数时，求x ；⑷ 当△ ABC 的周长为偶数时，求x ；⑸ 若△ ABC 为等腰三角形，求x ．课堂练习1．已知长度为2cm,3cm,4cm,5cm 的四条线段，能组成多少个不等边三角形？2．已知等腰三角形的周长是14 cm ，底边与腰的比为 3 : 2 ，求各边的长.3．在ABC中，AB 9,BC 2，并且AC 为奇数，那么ABC的周长是多少？4．如图， D 是ABC内任意一点，BD 延长线与AC 交于 E 点，连结DC.求证：AB AC BD DC .3．三角形的高、中线、角平分线(1 ) 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部；直角三角形有两条高是直角边，另一条在内部；钝角三角形有两条高在三角形外，另一条在内部。

三角形中边与角之间的关系

三角形中边与角之间的关系
等腰三角形的边角关系：等腰三角形的两个底角相等.（等边对等角）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.（等角对等边）在一个三角形中，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？
A A
B ∵AB=AC
C
B
C
∴∠B=∠C(等边对等角) ∵∠ B=∠C ∴AB=AC（等角对等边）
C
本题还可以延长小边来证吗？
已知：△ABC中，AB＞AC 求证：∠ACB＞ ∠B E
在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等，大边所对的角较大。
A
∵AB>AC ∴∠C>∠B(大边对大角)
B
C
已知：△ABC中， ∠B<∠C 求证： AB＞AC
在△ABC中，如果∠B<∠C ，那么我们可以将△ABC折叠，使点B落在C上， ∠B落在∠C 内部，则， BD=CD 而AD+CD>AC B 所以AD+BD>AC 即AB>AC D
A
E
C
已知：△ABC中， ∠ B<∠C 求证： AB＞AC
在△ABC中，如果∠ B<∠C ，那么在∠C 内部可以作∠BCD＝ ∠ B. 因为∠BCD＝ ∠ B，所以BD=CD 而AD+CD>AC 所以AD+BD>AC B 即AB>AC D
A
C
在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等，大角所对的边较大。
如果AB>AC，那么∠B与∠C 大小如何？如果∠C>∠B，那么AB与AC 大小如何？
已知：△ABC中，AB＞AC

三角形的边角之间的关系

（1）三角形三内角和等于180°（在球面上，三角形内角之和大于180°）；（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边.（6）三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线.（7）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.（8）三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等.（9）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。

（10）三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。

（11）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的1/2。

（12）三角形的一边与另一边延长线的夹角叫做三角形的外角。

注意: ①三角形的内心、重心都在三角形的内部. ②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。

③直角三角形垂心、外心在三角形的边上。

（直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边中点。

）④锐角三角形垂心、外心在三角形内部。

三角形相关定理重心定理三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．上述交点叫做三角形的重心.外心定理三角形的三边的垂直平分线交于一点．这点叫做三角形的外心.垂心定理三角形的三条高交于一点．这点叫做三角形的垂心.内心定理三角形的三内角平分线交于一点．这点叫做三角形的内心.旁心定理三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点．这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心．三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．它们都是三角形的重要相关点．中位线定理三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．三边关系定理三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．勾股定理在Rt三角形ABC中，A≤90度，则AB·AB+AC·AC=BC·BC梅涅劳斯定理梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。

初中数学三角形边角关系的公式

初中数学三角形边角关系的公式三角形是初中数学中的重要内容之一，在理解三角形相关概念和性质的基础上，学生需要学习三角形的边角关系公式。

本文将详细介绍初中数学中常见的三角形边角关系公式，并给出其证明过程。

一、三角形的性质回顾在学习三角形的边角关系公式之前，我们先来回顾一些与三角形相关的基本概念和性质。

1.三角形的定义：三个线段组成的图形叫做三角形。

三个线段叫做三角形的边，两个边之间的夹角叫做三角形的角。

2.三角形的顶点：三角形的三个角的顶点分别叫做三角形的顶点。

3.三角形的边：三角形的三个边分别叫做三角形的边。

三角形的边与角之间有以下对应关系：a)顶点为A的边对应于以A为顶点的角；b)顶点为B的边对应于以B为顶点的角；c)顶点为C的边对应于以C为顶点的角。

4.三角形的内角和：三角形的三个内角的度数和等于180°。

5.三角形的外角：一个三角形的任一内角的补角叫做这个三角形的外角。

当我们掌握了这些基本概念和性质后，就可以更好地理解和应用三角形边角关系公式了。

二、三角形的边角关系公式1.三角形内角和公式三角形的内角和等于180°，即：∠A+∠B+∠C=180°证明：我们可以通过以下步骤来证明这个公式：a)在三角形ABC的一条边AB上取一点D；b)在BC的同侧再取一点E；c)连接DE；d)三角形ABD和三角形DCE都是直角三角形；e)∠ABD+∠DCE=180°，即90°+90°=180°；f)由于∠CAC'+∠ABB'=90°，∠A+∠B+∠C=∠ABD+∠DCE=∠CAD+∠ABB'=180°。

所以，三角形的内角和公式成立。

2.三角形的外角和公式一个三角形的三个外角的度数和等于360°，即：∠A'+∠B'+∠C'=360°证明：我们可以通过以下步骤来证明这个公式：a)作满足∠A'=∠A的直线；b)由于∠AB'A'+∠ABB'=180°，所以∠ABB'是三角形ABB'的内角；c)∠ABB'在三角形ABB'内外角度数和中只占一个角；d)∠CAC'也在三角形ABC的内外角度数中占一个角；e)∠ABB'+∠A+∠CAC'=∠AB'C'；f)∠A'+∠B'+∠C'=∠AB'C'=∠ABB'+∠A+∠CAC'=180°+180°=360°。

三角形的边角性质

三角形的边角性质甲内容提要三角形边角性质主要的有：1. 边与边的关系是：任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边，反过来要使三条线段能组成一个三角形，必须任意两条线段的和都大于第三条线段，即最长边必须小于其他两边和。

用式子表示如下：a,b,c 是△ABC 的边长b a c b a b a c a c b c b a +<-⇔⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>+>+>+⇔＜推广到任意多边形：任意一边都小于其他各边的和2. 角与角的关系是：三角形三个内角和等于180 ；任意一个外角等于和它不相邻的两个内角和。

推广到任意多边形：四边形内角和=2×180 ，五边形内角和=3×180六边形内角和=4×180 n 边形内角和=(n －2) 1803. 边与角的关系① 在一个三角形中，等边对等角，等角对等边；大边对大角，大角对大边。

② 在直角三角形中，△ABC 中∠C=Rt ∠222c b a =+⇔(勾股定理及逆定理) △ABC 中⇔⎭⎬⎫=∠∠=∠ 30A Rt C a ：b ：c=1：3：2 △ABC 中⇔⎭⎬⎫=∠∠=∠ 45A Rt C a ：b ：c=1：1：2 乙例题例1.要使三条线段3a －1,4a+1,12－a 能组成一个三角形求a 的取值范围。

(1988年泉州市初二数学双基赛题)解：根据三角形任意两边和大于第三边，得不等式组 ⎪⎩⎪⎨⎧+>-+-->-++->++-141312131214121413a a a a a a a a a 解得⎪⎩⎪⎨⎧<->>51135.1a a ∴1.5<a<5答当1.5<a<5时，三条线段3a －1,4a+1,12－a 能组成一个三角形例2.如图A B C DAB=x ，AC=y, AD=z 若以AB 和CD 分别绕着点B 和点C 旋转，使点A 和D 重合组成三角形，下列不等式哪些必须满足？① x<2z , ②y<x+2z , ③y<2z 解由已知AB=x, BC=y －x, CD=z －x 要使AB ，BC ，CD 组成三角形，必须满足下列不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧>-+-->-+->-+x y z x y x y y z x y z x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧>>+>x z y z x z y 2222∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+<>222z x z x y z y 答y<x+2z 和y<2z 必须满足。

直角三角形边角关系知识点

直角三角形边角关系知识点
1.两个锐角的和为90度：
在直角三角形中，除了一个直角为90度外，另外两个锐角的和也是90度。

这是因为三角形的内角和为180度，所以剩余的两个角相加等于180度减去直角的度数，即90度。

2.勾股定理：
勾股定理是直角三角形边角关系中的一个重要定理，它表示直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

具体表达式为：a²+b²=c²
其中，a和b是直角三角形的两条直角边的长度，c是直角三角形的斜边长度。

勾股定理可以用来求解直角三角形中的边长，或者验证一个三边长组成的三角形是否为直角三角形。

3.边角关系的应用：
-求解未知边长：通过已知两边的长度，可以利用勾股定理求解第三条边的长度。

例如，已知直角三角形的一个锐角为30度，斜边的长度为10，求解另外两条边的长度。

-应用于测量：直角三角形的边角关系在测量中广泛应用，尤其是在实际工程测量中。

通过利用已知边长和角度，可以计算出其他未知边长和角度，以帮助进行准确的测量。

-平面几何证明定理：直角三角形的边角关系也可以用于证明平面几
何中的一些定理。

例如，利用勾股定理可以证明勾股数列的性质，或者证
明两条线段垂直等。

总结：
直角三角形的边角关系是直角三角形中两个锐角的和为90度，以及
勾股定理成立。

这些边角关系在数学中有广泛的应用，包括求解未知边长、测量、定理证明等。

熟练掌握直角三角形的边角关系，对于解决相关几何
问题非常重要。