一次回归正交设计、二次回归正交设计、二次回归旋转设计
四种回归设计方法的比较
四种回归设计方法比较表试验设计方法一次回归正交二次回归正交二次回归正交旋转二次回归通用旋转特点正交性在p维因素空间内，如果试验方案使所有j个因素的不同水平x ij 满足:);,...,2,1;,...,2,1;,...,2,1(11jtNtxxNjNixNiitijNiij≠=====∑∑==则该方案具有正交性。
则，一次回归正交、二次回归正交，及二次回归正交旋转试验均具有正交性，具有以下特点：1.利用正交试验设计安排试验，运用回归分析方法处理数据；2.减少试验次数，适用于因素水平不太多的多因素试验；3.“均匀分散，整齐可比”；4.由于试验设计的正交性，消除回归系数之间的相关性，使其具有独立性。
注：二次回归正交旋转中，由公式pmmc2)1(42/1-+=计算出m0为整数时，则旋转组合设计是完全正交的；当m0不为整数时，则旋转组合设计是近似正交的。
一次项系数b j与交互项系数b ij具有正交性，但常数项b0与平方项回归系数b jj，以及各平方项回归系数b jj之间均存在相关，因此不具有正交性。
旋转性具有旋转性无具有旋转性（在p维因素空间中，若使用方案使得试验指标预测值ŷ的预测方差仅与试验点到试验中心的距离ρ有关，而与方向无关，因此具有旋转性。
）通用性无具有通用性（各试验点与中心的距离ρ在因子空间编码值区间0< ρ<1范围内，其预测值ŷ的方差基本相等，即具有通用性。
）优点科学地安排实验，用最少的试验次数，获得最全面的试验信息，并对试验结果进行科学分析，从而得到最佳实验条件，迅速建立经验公式，简化计算。
1.中心点试验次数m0有所减少。
2.试验方案具有通用性与旋转性。
消除回归系数之间的相关性，使其具有独立性，剔除回归方程某一变量时，其余变量的回归系数不变。
1.可直接比较各点预测值的好坏，找出预测值相对较优的区域；2.有助于寻找最优生产的过程中排除误差的干扰。
缺点1.只适用于因素水平不太多的多因素试验，且水平数一般不大于3；2.适用性具有局限，一次回归方程经检验可能在区域内部拟合不好。
二次回归正交大概原理
二次回归正交大概原理
二次回归正交法是一种多元统计分析方法，用于处理多个自变量之间可能存在共线性的情况。
该方法通过对原始自变量进行正交变换，将其转化为一组相互正交的新自变量，从而消除了自变量之间的相关性。
具体实现过程如下：
1. 确定需要进行正交变换的自变量集合。
2. 对每一个自变量进行中心化处理，即将每个自变量减去其均值，使得每个自变量的均值为0。
3. 计算出每两个自变量之间的相关系数矩阵。
4. 利用相关系数矩阵进行特征值分解，得到特征值和特征向量。
5. 将特征值按大小排序，选择前r个较大的特征值所对应的特征向量，构成一个r维的正交基。
6. 将原始自变量与选取的特征向量相乘，得到正交后的自变量。
通过正交变换，可以将原始自变量转化为一组相互正交的新自变量，
消除了它们之间的相关性。
这样可以提高模型的稳定性和可解释性，并降低共线性带来的影响。
需要注意的是，正交变换并不改变因变量与自变量之间的关系，只是对自变量进行了重新编码。
因此，在建立回归模型时，可以使用正交后的自变量进行分析，而不会受到原始自变量之间相关性的干扰。
第8章回归正交试验设计
②二次项的中心化 对二次项的每个编码进行中心化处理 ：
(二次项编码)－(二次项编码算术平均值)
z ji
'
z
j
2 i
1 n
n i 1
z
j
2 i
二元二次回归正交组合设计编码表
试验号
z1
1
1
z2
z1 z2
z12
1
1
1
2
1
－1
－1
1
3
－1
1
－1
1
4
－1
－1
1
1
5
1
0
0
1
6
－1
0
0
1
7
0
1
0
0
8
0
－1
0
1.414
1.483
3 1.147 1.353
1.471
1.547
4 1.210 1.414
1.525
1.607
5 1.267 1.471
1.575
1.664
6 1.320 1.525
1.623
1.719
7 1.369 1.575
1.668
1.771
8 1.414 1.623
1.711
1.820
9 1.457 1.668
bkj
i 1 n
(zk z j )i2
i 1
二次项偏回归系数bjj ：
n
(
z
' ji
)
yi
b jj
i 1 n
(
z
' ji
)
2
i 1
⑤回归方程显著性检验
二次回归正交组合、正交旋转试验的程序设计
作者： 佟立伟
作者机构： 沈阳农业大学
出版物刊名： 农业网络信息
页码： 20-23页
主题词： 多元回归;试验研究;二次回归;多因子;正交旋转;中达;变量名;正交组合;上下界;数据分析
摘要：一、前言在许多实际问题中,与某一变量 y 有关系的变量不只一个,而是多个,例如有 P 个变量:x)1,x2,…,xp,研究变量 y 与 x 之间的定量关系问题称为多元回归问题。
长期以来古典回归分析只是被动地处理已有的试验数据,而对试验的安排几乎不提任何要求,也很少研究回归方程的精度。
这不仅盲目地增加了试验次数,而且试验数据也不能充分发挥作用,以致在多因子问题中达不到试验目的。
随着生产的发展和科学试验研究的深入,人们越来越需要以较少的试验建立精度较高的。
4、高级实验设计—回归的旋转设计(Regressional Rotary Design)
x
i，j =1，2„P；
待定参数
以上为 P 元二次回归旋转设计的旋转性条件。
此外，为了使旋转设计成为可能，还必须使信
息矩阵 A 不退化，为此，必须有不等式：
4 p 2 2 P 2
上式为 P 元二次回归的非退化条件。 已证明，只要使 N 个试验点不在同一个球面上， 就能满足非退化条件。或者说只要使 N 个试验点至少 分布于两个半径不等的球面上，就有可能获得旋转设
P 2 2 ˆ D y P 2 4 PN
4 1 2 P 1 4 P 1 4 1 2 2 4 P 2 4 4
（4.11） 由式（4.11）经研究表明，只有采用恰当的方法 确定 4 ，才能满足通用性的要求。如何确定 4 ？对 4 有什么要求呢？总的来说，它必须使上式中 i处的
ˆ 的 二次旋转组合设计具有同一球面预测值 y
方差相等的优点，但回归统计数的计算较繁琐，
若使它获得正交性就能简化计算手续。
在二次旋转组合计划中，一次项和交互项的 回归系数 bj ，bij 仍保持正交，但 b0 与 bjj 之间，
以及 bii 与 bjj 之间都存在相关，即不具正交性，
它们之间的相关矩分别为：
计方案。
为了获得 P 元二次旋转设计方案，就要求既要
满足非退化条件式，又要满足旋转性条件式。
如何才能满足这两方面的条件呢？这主要借助
于组合设计来实现，因为组合设计中 N 个试验点：
N mc m m0
分布在三个半径不相等的球面上：
mc 个点分布在半径为 P 的球面上； c m 个点分布在半径为 的球面上； m0 个点分布在半径为 0 0 的球面上；
第五章 回归设计[研究材料]
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0
yn
回归参数向量为
，1 随 机误差向量为
p
1
2
n
1
结构矩阵
X
1
x11
x21
x1p x2p
1 xn1 xnp
上述模型可以表示为矩阵形式：
Y ~
X Nn (0, 2In )
9
2．回归系数的最小二乘估计
调研学习
估计回归模型中回归系数的方法是最小二乘法。
记回归系数的最小二乘估计为 B (b0 , b1，, 应, b满p )足 如下正规
方程组：
XXB XY
当 X X存在1 时，最小二乘估计为：
B X X 1 X Y
在求得了最小二乘估计后，可以写出回归方程：
yˆ b0 b1x1 bp x p
10
调研学习
3．对回归方程的显著性检验
对回归方程的显著性检验是指检验如下假设：
当H0为真时，有
F
SR SE
/ /
fR fE
~
F( fR,
fE )
给定的显著性水平 ，拒绝域为 F F1 ( p, n p 1)
11
4．失拟检验
调研学习
当在某些点有重复试验数据，便可以对试验指标 y 的期 望是否是 x1, x2 ,的, 函x p数进行检验，这种检验称为失拟检验， 它检验如下假设：
调研学习
第五章 回归设计
§5.1 回归设计的基本概念 §5.2 Box－Benhken设计 §5.3 二次回归的中心组合设计 §5.4 二次回归正交设计 §5.5 二次回归旋转设计 §5.6 D最优混合设计
1
调研学习
§5.1 回归设计的基本概念
回归设计方法是由英国统计学家G.Box在20世 纪50年代初针对化工生产提出的。
第九章 回归的旋转设计
因此，采用组合设计选取的试验点，完全能够满足非退化条件式(13－ 30) ，即信息矩阵 A 不会退化。此外，采用组合设计，其信息矩阵 A 的 元素中 2 xi x j xi x j 0 x j
m 的球面上； 的球面上； mγ个点分布在半 m0个点分布在半径 0 的球面上；
§1 旋转设计的基本原理
综上所述，为了获得 m 元二次旋转设计方案，就要求既要满足旋转性 条件式 (13－29) ，又要满足非退化条件式 (13－30) 。满足条件式 (13－29)是旋转设计的必要条件，满足非退化条件式 (13－30)是使旋 转性成为可能的充分条件。两者结合起来才能使旋转性设计得以实现。 实际操作上主要借助于组合设计来实现。因为组合设计中 N 个试验点 N ＝ mc+mγ +m0 ，分布在3个半径不相等的球面上。即
5（全实施） 5（1/2全实施） 6（1/2全实施） 6（1/4全实施） 7（1/2全实施） 7（1/4全实施） 8（1/2全实施） 8（1/4全实施） 8（1/8全实施）
16
32 16 32 16 64 32 128 64 32
8
10 10 12 12 14 14 16 16 16
12
17 10 15 8 22 13 33 20 11
§1 旋转设计的基本原理
这里应该解决的是二次回归正交的旋转性问题。下面以试验设计中常用的 三元二次回归方程来讨论这个问题。 在3个变量情况下，二次回归模型为：
y x x x x x
3 3 2 j j 1 j j i j ij i j j 1 ij
x x x
13 23
x x x x
11 21
一次回归正交设计、二次回归正交设计、二次回归旋转设计说明
一次回归正交设计、二次回归正交设计、二次回归旋转设计说
明
一次回归正交设计是一种广泛应用于实验设计中的设计方式，该设计最基本的特点是每一个自变量只考虑一次。
这种设计方法可以通过排列组合的方式得到各种不同的设计方案，使得实验者可以通过设计来达到用最少的实验次数获取尽可能多的信息的目的。
一次回归正交设计在实验设计中被广泛使用，尤其在化学制药、工业生产等领域得到了广泛运用。
二次回归正交设计是一种基于一次回归正交设计的设计方式，这种设计方式可以进一步增加实验信息的获取。
在二次回归正交设计中，依然按照一次正交设计的方式来设计实验，但是在每个单独的自变量上，提高对其的测量次数，使得对这些自变量的测量更加准确。
同时，在某些需要深入探究的因素上，可以通过将这些因素的实验次数进一步提高，来获取相关信息。
二次回归旋转设计是一种在二次回归正交设计的基础上发展而来的设计方式。
在二次回归旋转设计中，实验者可以通过旋转矩阵来达到实验变量间的协方差为0的目的。
这样可以在保证基本信息获取的同时，增加获取高阶信息的可能性。
旋转设计特别适合于需要同时考虑多个变量的实验设计，可以使各个变量之间更加独立，减少不必要的干扰。
总的来说，在实验设计领域中，三种设计方法各自有着各自的优势。
对于需要更精准的信息获取的实验，应该选择更高阶的设计方法，在更基础的实验中则可以选择更为简单的设计方法。
另外，在选择设计方法的过程中，还应该根据实验具体情况灵活选择，使得实验设计更加科学合理。
一次回归正交设计、二次回归正交设计、二次回归旋转设计
一次回归正交设计
某产品的产量与时间、温度、压力和溶液浓度有关。实际生产中，时间控制 在 30~40min，温度控制在 50~600C，压力控制在 2*105~6*105Pa，溶液浓度控制 在 20%~40%，考察 Z1~Z2 的一级交互作用。
因素编码
Zj(xj)
Z1/min
Z2/oC
Z3/*105Pa
Z4/%
下水平 Z（1j -1）
30
50
2
20
上水平 Z2j
40
60
6
40
（+1）
零水平 Z0j（0）
35
55
4
30
变化间距
5
5
2
10
编码公式 X1=（Z1-35） X2=(Z2-55）/5 X3=(Z3-4)/2 X4=(Z4-30)/10
/5
选择 L8（27)正交表
因素 x1,x1,x3,x4 依次安排在第 1、2、4、7 列，交互项安排在第 3 列。
试验号 X0 X1(Z1) X2(Z2) X3(Z3) X4(Z4) X1X2
Yi
1
1
1
1
1
1
1
9.7
2
1
1
1
-1
-1
1
4.6
3
1
1
-1
1
-1
-1
10.0
.
.
4
1
1
-1
-1
1
-1
11.0
5
1
-1
1
1
-1
-1
9.0
6
1
-1
1
-1
1
二次正交旋转组合设计的概念
二次正交旋转组合设计的概念嘿，朋友们！今天咱来唠唠二次正交旋转组合设计这个有意思的玩意儿。
你说这二次正交旋转组合设计啊，就好像是一个神奇的魔法盒子。
咱平常过日子，有时候想做点啥事儿，就跟在黑夜里找路似的，不太确定该咋走。
但有了这个魔法盒子，就好像突然有了盏明灯，能帮咱找到最合适的那条路。
比如说吧，你想研究怎么能让庄稼长得更好。
那这各种因素，像浇水多少啦，施肥多少啦，就跟一群调皮的小孩子，你得好好摆弄他们的位置才能达到最好的效果。
二次正交旋转组合设计就能帮你把这些因素都安排得明明白白的。
它可不是随便瞎弄的哦，那可是有一套严谨的方法呢！就好像是一个厉害的大厨，各种调料放多少，啥时候放，都有讲究。
通过它，你能知道每个因素到底有多重要，它们之间又是怎么相互影响的。
你想想看，要是没有它，咱不就跟没头苍蝇似的乱撞嘛！那得浪费多少时间和精力呀。
有了它，咱就能精准打击，直接奔着最好的结果去。
咱再打个比方，你要装修房子。
那颜色怎么搭配，家具怎么摆放，这都是学问呐！二次正交旋转组合设计就能帮你在众多的选择中找到最适合你的那一种组合。
这多棒啊！能让你的家变得又好看又舒适。
而且哦，它的用处可广啦！不管是农业、工业，还是其他的领域，都能看到它的身影。
它就像是一个万能钥匙，能打开各种难题的大门。
所以啊，可别小瞧了这二次正交旋转组合设计。
它虽然名字听起来有点拗口，但真的是个超级实用的好东西呀！它能让咱的生活变得更有规划，更有效率，也更能达到咱想要的目标。
咱可得好好利用它，让它为咱的生活增添更多的精彩呢！这不就是科技的魅力嘛，能让咱的生活变得越来越好，越来越有趣。
你说是不是呢？。
回归的正交设计
Z0j＝(Z2j + Z1j ) ／2
（13-1）
上水平和零水平之差称为因素Zj的变化间距，以Δj表示，即
Δj ＝ Z2j－ Z0j
Z0j＝(Z2j － Z1j ) ／2
（13-2）
§2 一次回归正交设计及统计分析
（2）对因素Zj的各水平进行编码。
即对Zj的各水平进行线性变换，其计算式为： xij＝(Zij - Z0j ) ／ Δj
正交设计是一种重要的科学试验设计方法，它能够利用较少的试 验次数，获得较佳的试验结果。但是正交设计不能在一定的试验范围内， 根据数据样本，去确定变量之间的相关关系及其相应的回归方程。
传统回归分析，只能被动地去处理由试验所得到的数据，而对试 验的设计安排几乎不提出任何要求。不仅盲目地增加了试验次数，而且 由数据分析出的结果往往不能提供充分的信息，造成在多因素试验的分 析中，由于设计的缺陷而达不到预期的试验目的。
第八章 回归的正交设计
本章内容：
§1 回归正交试验设计简介 §2 一次回归正交设计及统计分析 §3 二次回归正交组合设计及其统计分析
本章学习目的与要求：
1.了解回归正交设计的基本概念 2.掌握一次回归正交设计的基本方法 3.掌握二次回归正交设计的基本方法
§1 回归正交试验设计简介
§1 回归正交试验设计简介
§2 一次回归正交设计及统计分析
（3）选择适合的2水平正交表进行设计。
在应用2水平正交表进行回归设计时，需以“－1”代换 表中的“2”，以“＋1”代换表中的“1”，并增加“0”水平。 这种变换的目的是为了适应对因素水平进行编码的需要，代 换后正交表中的“＋1”和“－1”不仅表示因素水平的不同状 态，而且表示因素水平数量变化的大小。原正交表经过上述 代换，其交互作用列可以直接从表中相应几列对应元素相乘 而得到。因此原正交表的交互作用列表也就不用了，这一点 较原正交表使用更为方便。
三元二次正交回归旋转通用设计
三元二次正交回归旋转通用设计在统计学和机器学习领域中，回归分析是一种重要的建模方法，用于探究自变量与因变量之间的关系。
而正交回归是一种特殊的回归方法，它可以解决自变量之间共线性的问题，提高模型的稳定性和可解释性。
本文将介绍三元二次正交回归旋转通用设计方法，以及其在实际应用中的意义和优势。
一、三元二次正交回归在传统的回归分析中，如果自变量之间存在较强的相关性，会导致模型的方差变大，降低模型的预测能力。
而正交回归通过将自变量进行正交化处理，消除它们之间的相关性，从而提高模型的稳定性。
在三元二次正交回归中，通常会将自变量进行二次展开，以更好地捕捉自变量之间的非线性关系。
二、回归旋转回归旋转是一种将原始自变量进行旋转变换的技术，旨在提高模型的解释能力和预测准确性。
通过回归旋转，可以将原始的自变量空间转换为一个新的正交空间，从而使模型更容易解释和理解。
在三元二次正交回归中，回归旋转可以进一步优化模型的设计，提高模型的拟合效果和泛化能力。
三、通用设计三元二次正交回归旋转通用设计是一种灵活而有效的建模方法，适用于各种类型的数据分析和预测问题。
通过将正交回归和回归旋转相结合，可以充分挖掘数据中隐藏的非线性关系，提高模型的拟合效果和预测准确性。
同时，通用设计的特点使得模型具有较强的适应能力，可以应用于不同领域和不同类型的数据集。
四、应用意义三元二次正交回归旋转通用设计在实际应用中具有重要的意义和应用价值。
首先，它可以帮助研究人员更好地理解数据中的复杂关系，揭示隐藏在数据背后的规律和模式。
其次，通过建立高效稳健的模型，可以为决策者提供可靠的决策支持，帮助他们更好地制定策略和规划。
最后，三元二次正交回归旋转通用设计还可以为学术研究和工程实践提供有力的工具和方法，推动科学技术的发展和创新。
三元二次正交回归旋转通用设计是一种强大而灵活的建模方法，具有广泛的应用前景和深远的意义。
通过合理运用这一方法，可以更好地理解和利用数据，为决策和创新提供有力支持，推动社会经济的持续发展。
第四节 二次回归正交设计
第四节二次回归正交设计在应用一次回归正交设计时，如果经过假设检验，发现一次回归方程不合适，就需要用二次或更高次回归方程描述。
通常情况下，使用二次回归一般即可满足要求。
一、二次回归正交试验的组合设计方法二次回归设计就是采用二次多项式作为回归方程。
当变量数为P 时，二次回归模型的一般形式为(3-3-18) 在二次回归模型中，共有q个待估计参数因此，要建立有p个变量的二次回归方程，试验次数应大于q。
而且为了估计未知参数,每个变量所取得的水平不应小于3。
在三水平上做p个变量的全因素试验，试验次数为3p。
当p=4时，三水平的全因素试验次数数量是81次，比p=4时的二次回归系数要多4倍以上，以致剩余度过大。
为了有效地减少不必要的试验次数，提出一种组合设计法。
这种方法是在因素空间中选择几类具有不同特点的点，把它们适当组合成为一个试验计划，此计划应尽量减少试验次数，并且有正交性。
以p=2为例，在有两个变量x1,x2场合下，组合设计由以下9个试验点组成（见表3-3-13）：表3-3-13这9个试验点在平面图上的位置如图3-3-2所示。
图3-3-2当p=3，即有三个变量时，组合设计由15个试验点组成，见表2-14。
这15个试验点在空间的位置，如图3-3-3所示。
表3-3-14一般地，p个变量的组合设计由下列三类试验点组成：第一类点为二水平（-1和1）全因素试验的试验点，这类试验点共有2p个，如果采用1/2或1/4 实施法，则为2p-1或2p-2个试验点。
第二类点为分布在p个坐标轴上的星号点，这类试验点共有2p个，它们与中心点的距离为，称为星号臂。
是待定系数，可根据不同的要求确定值。
第三类试验点为中心点，即各变量都取零水平的试验点。
在中心点上的试验可以只做一次，也可以重复做若干次。
若以N0表示第一类试验点个数，以m0表示第三类试验点个数，则p个变量的组合设计试验点数N为：N=N0+2p+m0用组合设计安排的试验计划有一系列优点：首先，它的试验点比三水平的全因素试验少得多，但仍保持足够的剩余度。
第七章回归设计
记随机变量的观察向量为
β0 β1 β = M β p
y1 y Y = 2 M y n
未知参数向量为
不可观察的随机误差向量为
1 x11 1 x 21 X = M M 1 x n1 L x1 p L x2 p O M L x np
H 0 j：β j = 0，H 1 j：β j ≠ 0
此种检验应对j=1,2,…, p逐一进行。 逐一进行。 此种检验应对 逐一进行 常用的检验方法是t检验或等价的F检验，F检验统计量为： 常用的检验方法是t检验或等价的F检验， 检验统计量为：
ˆ σ2 −1 +1个对角元 个对角元。 其中 c jj是 ( X ′X ) 中的第j+1个对角元。 2 记分子为 S j ，即 S j = b j / c jj ，它是因子 x j的偏回归平方和 分母是模型中 σ 2 的无偏估计。 的无偏估计。 ˆ ˆ 的标准误， σ = S E / f E ， c jj σ 也称为 b j 的标准误，即其标准差的估 计。 Fj = t 2 = j b 2 / c jj j
y = f ( z1 , z 2 , L , z p ) + ε
这里f ( z1 , z 2 ,L , z p ) 是 z1 , z 2 ,L , z p 的一个函数，常称为响应函 的一个函数， 其图形也称为响应曲面； 数，其图形也称为响应曲面； 是随机误差，通常假定它服从均值为 ， ε 是随机误差，通常假定它服从均值为0，方差为 σ 2 的 正态分布。 正态分布。 在上述假定下， f 在上述假定下， ( z1 , z 2 ,L , z p )可以看作为在给定z1 , z 2 , L , z p 后 指标的均值， 指标的均值，即
一次回归正交设计、二次回归正交设计、二次回归旋转设计说明
一次回归正交设计某产品的产量与时间、温度、压力和溶液浓度有关。
实际生产中，时间控制在30~40min，温度控制在50~600C，压力控制在2*105~6*105Pa，溶液浓度控制在20%~40%，考察Z1~Z2的一级交互作用。
因素编码Z j(x j) Z1/min Z2/o C Z3/*105Pa Z4/%下水平Z1j（-1）30 50 2 20上水平Z2j（+1）40 60 6 40零水平Z0j（0）35 55 4 30变化间距 5 5 2 10编码公式X1=（Z1-35）/5 X2=(Z2-55）/5X3=(Z3-4)/2 X4=(Z4-30)/1选择L8（27)正交表因素x1,x1,x3,x4依次安排在第1、2、4、7列，交互项安排在第3列。
试验号X0 X1(Z1) X2(Z2) X3(Z3) X4(Z4) X1X2 Yi1 1 1 1 1 1 1 9.72 1 1 1 -1 -1 1 4.63 1 1 -1 1 -1 -1 10.04 1 1 -1 -1 1 -1 11.05 1 -1 1 1 -1 -1 9.06 1 -1 1 -1 1 -1 10.07 1 -1 -1 1 1 1 7.38 1 -1 -1 -1 -1 1 2.49 1 0 0 0 0 0 7.910 1 0 0 0 0 0 8.111 1 0 0 0 0 0 7.4 Bj=∑xjy 87.4 6.6 2.6 8.0 12.0 -16.0aj=∑xj2 11 8 8 8 8 8bj = Bj7.945 0.825 0.325 1.000 1.500 -2.00/aj393 5.445 0.845 8.000 18.000 32.000Qj =Bj2 /aj可建立如下的回归方程。
Y=7.945+0.825x1+0.325x2+x3+1.5x4-2x1x2显著性检验：1、回归系数检验回归关系的方差分析表变异来源SS平方和Df自由度MS均方F显著水平x1 5.4451 5.44576.250.01 x20.84510.84511.830.05 x38.00018.000112.040.01 x4 18.000118.000252.100.01 x1x2 32.000132.000448.180.01 回归64.29 5 12.858180.080.01 剩余0.357 5 0.0714失拟0.097 3 0.0323 0.25 <1 误差e 0.2620.13总和64.64710经F检验不显著的因素或交互作用直接从回归方程中剔掉，不必再重新进行回归分析。
二次回归正交设计000
1201111p p ppj j kj k j jj jj k j k j y b b X b X X b X -===+==+++∑∑∑∑三、二次回归正交设计二次回归正交设计是一种具有正交、回归、均匀和较好饱和程度的一种试验设计方法，其特点是能以较少的试验获得较大量的信息，并可得出试验目标与各试验因素之间的一次效应、一次交互效应和二次项之间的关系，能够满足一般非线性问题的要求，从而使统计分析的结果更加完善。
同时利用该方法还可根据求出的回归方程，寻求最正确的工艺条件或搭配方案，使试验设计到达最优化。
当用一次回归正交设计描述某一实际问题得到的回归方程经检验为不显著时，就需考虑用二次或更高次的回归方程来描述。
〔一〕二次回归数学模型假设影响试验目标的因素〔自变量〕有p 个，那么所求的二次回归方程的一般形式为其中：〔1〕j X 、k j X X 、2j X 分别是一次项、一次交互作用项与二次项的编码因素；〔2〕0,,,j kj jj b b b b 分别是与之相对应的回归系数，显然，回归系数的个数q 为12112221112(1)(2)2p p p p p p q C C C C C Cp p +=+++=++==++根据编码空间的试验设计方案和试验结果，即可求得回归系数，且试验的次数就不能小于q ；同时，每个变量至少要取3个水平。
如果因素水平多，那么需做的试验次数就增多，必如：假设考虑4个因素，每个因素3个水平，那么各种搭配组合的试验都要做的话，那么需做34=81次试验，而待确定的回归系数有C24+2=15个，如此多的试验与待定参数在实际中是难以实现的，如果设计得不合理，那么试验次数与待定参数就会更多，因而很有必要对试验进行设计，有很多设计可用于二次回归数学模型，而二次回归正交设计那么是一种非常有效的处理方法.2. 二次回归正交组合设计〔1〕组合设计所谓组合设计就是在一次回归设计的组合点〔各试验点〕的根底上，再增加一些特定的试验点，把它们组合起来形成试验方案。
第十讲(2) 旋转D最优设计
ˆ b0 b j x j bij xi x j y
j 1 i j
p
p
是否存在试验点个数为m=(p+1)(p+2)/2的饱和D—最优 计划？已证明，对p7不存在饱和Ｄ—最优计划。 当p=2,3时，饱和D—最优计划列于下表，同时还列 出了p=2时的7点和8点非饱和D—最优计划。
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试验计划及试验结果
试验号 x1(N) x2 (P) 1 -1 (0) -1 (0) 2 1 (32) -1 (0) 3 -1 (0) 1 (16) 4 -0.1315 (13.9) -0.1315 (6.93) 5 1 (32) 0.3945 (11.13) 6 0.3945 (22.32) 1 (16)
6
第九章 回归的D—最优设计
§9.1 D—最优设计的基本概念
正交设计减少了试验次数，使分析简化。旋转设计 使同一球面上预测值的方差相等，排除了部分误差干 扰。如何比较试验计划的好坏？能否建立一定意义下 的最优试验计划？从五十年代起人们先后提出了很多 比较试验设计好坏的标准，如G—优良性，E—优良性 和D—优良性等，仅介绍D—最优设计。 Ｄ—最优设计是从对模型参数 的估计好坏评价的。
15.50 17.54 17.18 Y= 18.30 17.68 18.70
回归系数 b=(XX)-1XY=(18.473, 0.624, 0.444, -0.396, -1.423, -0.086
ˆ 18.473 0.624x1 0.444x2 0.396x1x2 1.423x 0.086x y
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§9.3 最优设计的统计分析
本节讨论在因子空间-1≤xj≤1, j=1,2,…,p上的二次饱和 Ｄ—最优设计(如p=2,3)及较优设计(如p=4,5等)的统计 分析。因此，试验设计的方法与编码同一次回归正交 设计。当然，试验后的设计（结构）矩阵不同。另外， 由于最优设计一般不具有正交性，所以，回归系数的 计算应采用一般多元线性回归（第二章）的方法。应 注意的是，这里回归系数的个数是k=C2p+2，而不是p+1。 下面通过具体实例，说明设计与分析方法。
三元二次正交回归旋转通用设计
三元二次正交回归旋转通用设计创作说明在工程领域，每个设计必须经过多次修正来优化其性能。
而三元二次正交回归旋转通用设计便是一种方法，可有效减少这些周期，提高工程效率。
本文将从三元二次正交、正交回归设计、正交设计旋转、通用设计四个方面详细地介绍该方法。
一、三元二次正交三元二次正交是指当设计需要涉及三个变量时，采用三元二次正交设计方法来减少试验次数。
首先将每个变量设为正交系列，进行阶段试验。
然后根据结果分析、确定关键的变量和因素组合，再进行二次设计试验。
二、正交回归设计正交回归设计是一种常用的试验设计方法。
首先将所研究的变量进行正交分组，然后设计正交表，并根据表中的结果确定主要的变量和因素组合。
接着利用回归方法，对组合进行分析和优化。
三、正交设计旋转正交设计旋转是正交试验设计的一种应用，可以对正交表的后续设计进行优化。
在这种方法中，先采用和正交表相同的原始设计方案，然后对因素进行旋转。
旋转后，可以得到一组新的因素组合，也就是新的试验设计方案。
如此重复，直到得出最好的设计方案为止。
四、通用设计在实际工程应用中，可能涉及到多个设计平台。
由于每个平台需要的设计方案都不相同，因此需要一种通用设计方法。
通用设计方法建立在正交设计和正交设计旋转的基础之上。
利用正交试验设计中的随机因素、响应曲面和偏差方案，可以创建一种通用的实验计划，以应用于不同的平台和工程项目。
综上所述，三元二次正交回归旋转通用设计方法是一种高效的工程设计方法，可大幅缩短设计周期、提高工程效率。
对于需要应用多个平台的工程项目来说，这种设计方法更是一种不可少的工具。
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一次回归正交设计某产品的产量与时间、温度、压力和溶液浓度有关。
实际生产中，时间控制在30~40min，温度控制在50~600C，压力控制在2*105~6*105Pa，溶液浓度控制在20%~40%，考察Z1~Z2的一级交互作用。
因素编码Z j (xj) Z1/min Z2/o C Z3/*105Pa Z4/%下水平Z1j（-1）30 50 2 20上水平Z2j（+1）40 60 6 40零水平Z0j（0）35 55 4 30 变化间距 5 5 2 10编码公式X1=（Z1-35）/5 X2=(Z2-55）/5 X3=(Z3-4)/2 X4=(Z4-30)/10选择L8（27)正交表因素x1,x1,x3,x4依次安排在第1、2、4、7列，交互项安排在第3列。
试验号X0 X1(Z1) X2(Z2) X3(Z3) X4(Z4) X1X2 Yi1 1 1 1 1 1 1 9.72 1 1 1 -1 -1 1 4.63 1 1 -1 1 -1 -1 10.04 1 1 -1 -1 1 -1 11.05 1 -1 1 1 -1 -1 9.06 1 -1 1 -1 1 -1 10.07 1 -1 -1 1 1 1 7.38 1 -1 -1 -1 -1 1 2.49 1 0 0 0 0 0 7.910 1 0 0 0 0 0 8.111 1 0 0 0 0 0 7.4 Bj=∑xjy87.4 6.6 2.6 8.0 12.0 -16.0aj=∑xj211 8 8 8 8 8bj = Bj/aj7.945 0.825 0.325 1.000 1.500 -2.00Qj = Bj2/aj393 5.445 0.845 8.000 18.000 32.000可建立如下的回归方程。
Y=7.945+0.825x1+0.325x2+x3+1.5x4-2x1x2显著性检验：1、回归系数检验回归关系的方差分析表变异来源SS 平方和 Df 自由度 MS 均方 F 显著水平x 1 5.445 1 5.445 76.25 0.01x 2 0.845 1 0.845 11.83 0.05x 3 8.000 1 8.000 112.04 0.01x4 18.000 1 18.000 252.10 0.01x1x2 32.000 1 32.000 448.18 0.01回归 64.29 5 12.858 180.08 0.01 剩余 0.357 5 0.0714 失拟0.09730.03230.25<1误差e 0.26 2 0.13总和 64.647 10经F 检验不显著的因素或交互作用直接从回归方程中剔掉，不必再重新进行回归分析。
2、回归方程的检验 进行此项检验时，通常对F 值小于等于1的项不进行检验，直接从回归方程中剔除，对经检验而α>0.25的项，根据实际需要决定是否剔除。
3、失拟检验Lf Lf Lf Lf e e e MS SS df F MS SS df ==由回归系数的检验，回归方程的检验，失拟检验可以得出，产量 y 与各因素之间的总回归关系达到显著，回归方程拟合效果较好。
回归方程的变换将各因素的编码公式代入，得Y=-162.05+4.57z1+2.87z2+0.50z3+0.15z4-0.08z1z2二次回归正交设计某食品加香试验，3个因素，即 Z1(香精用量)、 Z2(着香时间) 、 Z2(着香温度)(1) 确定γ值、 mc 及 m0 。
根据本试验目的和要求，确定 mc＝ 2 m ＝ 2 3＝ 8 ， m0 ＝1 ，查表得γ＝1.215。
(2)确定因素的上、下水平，变化间距以及对因子进行编码(γ代表上限和下限-晶）编码Z1/(mL／kg物料)Z2 / h Z3/ ℃+γ182448+ 116.9422.645.70121635- 17.069.424.3-γ6822Δi 4.94 6.610.7计算各因素的零水平：Z01 ＝(18＋6)/2＝12 (mL/kg)Z02 ＝(24＋8)/2＝16 (h)Z03 ＝(48＋22)/2＝35 (℃)计算各因素的变化间距：Δ01 ＝(18-12)/1.215＝4.94 (mL/kg)Δ02 ＝(24-16)/1.215＝6.6 (h)Δ03 ＝(48-35)/1.215＝10.7 (℃)(3)列出试验设计及试验方案试验号试验设计实施方案x0x1x2香精用量／(mL／kg)着香时间／h着香温度/ ℃111116.9422.645.7 211-116.9422.624.331-1116.949.445.7 41-1-116.949.424.3 5-1117.0622.645.7 6-11-17.0622.624.3 7-1-117.069.445.7 8-1-1-17.069.424.3 9 1.215 0018 1635 10-1.215 00 6 1635 110 1.2150122435 120-1.215012835 1300 1.215121648 1400-1.215121622 150********试验结果的统计分析建立回归方程试验号 0x1x 2x 3x 21x x 31x x 32x x 1x ' 2x ' 3x ' 结果（y ） 1 11 1 1 1 1 1 0.27 0.27 0.27 2.322 1 1 1 -1 1 -1 -1 0.27 0.27 0.27 1.253 1 1 -1 1 -1 1 -1 0.27 0.27 0.27 1.934 1 1 -1 -1 -1 -1 1 0.27 0.27 0.27 2.135 1 -1 1 1 -1 -1 1 0.27 0.27 0.27 5.856 1 -1 1 -1 -1 1 -1 0.27 0.27 0.27 0.17 7 1 -1 -1 1 1 -1 -1 0.27 0.27 0.27 0.808 1 -1 -1 -1 1 1 1 0.27 0.27 0.27 0.569 1 1.215 0 0 0 0 0 0.746 -0.73 -0.73 1.60 10 1 -1.215 0 0 0 0 0 0.746 -0.73 -0.73 0.56 11 1 0 1.215 0 0 0 0 -0.73 0.746 -0.73 5.54 12 1 0 -1.215 0 0 0 0 -0.73 0.746 -0.73 3.89 13 1 0 0 1.215 0 0 0 -0.73 -0.73 0.746 3.57 14 1 0 0 -1.215 0 0 0 -0.73 -0.73 0.746 2.52 151 0 0 0 0 0 0 -0.73 -0.73 -0.73 5.80∑=2j j x a15 10.9525 10.9525 10.9525 8 8 84.36074.36074.3607∑2y＝51.8443∑=y x j j β37.37 2.6336 7.2948 9.1858 -6.27-6.175.59-10.2019 0.5286 -4.3721y SS ＝58.7432j j j a B b = 0b0.2405 0.6660 0.8387 -0.7838 -0.7713 0.6988 -2.3395 0.1212-1.0093R SS ＝55.2032j j j a B Q 2=0.6333 4.8586 7.7040 4.9141 4.7586 3.9060 23.8676 0.0641 4.4422r SS ＝3.5401231213222231234.90910.24050.66600.83870.78380.77130.6988 2.33950.1212 1.0093y x x x x x x x x x x x x =+++--+-+-()2011137.3710.9525 2.33950.1212 1.0093 4.90911515maj jj j b y x b N N ==-∙=--+-=∑∑∑回归关系的显著性测验。
变异来源平方和(SS)自由度(df)均方(MS)F显著程度x10.6332710.63327＜1nsx2 4.858561 4.85856 6.8624*0.05(6.61) x37.7040017.7040010.8814*0.05(6.61) x1x2 4.914101 4.9141010.3994*0.05(6.61) x1x3 4.758611 4.75861 6.9409*0.05(6.61) x2x3 3.906011 3.90601 5.51700.10(4.06) x1223.86763123.8676333.7116**0.01(16.30) x220.0640710.06407＜1nsx32 4.442201 4.44220 6.27430.10(4.06)回归55.203209 6.133698.6635*0.05(4.77)剩余 3.5399850.70799总变异58.7431714方差分析表明，总回归达到显著水平，说明本食品的加香试验与所选因素之间存在显著的回归关系，试验设计方案是正确的，选用二次正交回归组合设计也是恰当的。
除 x1 和 x22 以外，其余各项因子基本达到显著或极显著，说明香料用量、着香时间、着香温度与这一食品的加香有显著或极显著关系。
本试验设计的因素、水平选择是成功的。
在这种回归正交试验中，第一次方差分析往往因为误差（剩余）自由度偏小而影响了检验的精确度。
并且由于回归正交试验计划具有的正交性，保证了试验因素的列与列之间没有互作（即没有相关性）存在，因此我们可以将未达到0.25以上显著水平的因素（或者互作）剔除，将其平方和和自由度并入误差（剩余）项，进行第二次方差分析，以提高检验的精确度。
第二次方差分析结果见下表：变异来源平方和(SS)自由度(df)均方(MS)F显著程度x2 4.858561 4.858568.0263*0.05（5.59）x37.7040017.7040012.7269**0.01（12.20）x 1x 2 4.91410 1 4.91410 8.1180* 0.05 x 1x 3 4.75861 1 4.75861 7.8612*0.05（5.59） x 2x 3 3.90601 1 3.90601 6.4527* 0.05（5.59） x 1223.86763 1 23.8676339.4290** 0.01（12.20） x 324.44220 1 4.442207.3385* 0.05（5.59） 回归 54.24265 7 7.7489512.8012** 0.01（6.99）剩余 4.23732 7 0.60533总变异58.4799714第二次方差分析表明，总回归及各项因素均达到显著或极显著水平，说明这一食品加香与试验因素之间存在极显著的回归关系，其优化的回归方程为：本试验由于 m0＝1，故不能进行失拟检验，这是试验的一个缺陷。