用放缩法证明与数列和有关的不等式

用放缩法证明与数列和有关的不等式
一．先求和后放缩
例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求：
（1）数列{}n a 的通项公式； （2）设1
1+=n n n
a a
b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2
1<n B
解：（1）由已知得2)1(4+=n n a S ，2≥n 时，211)1(4+=--n n a S ， 作差得：1212224----+=n n n n n a a a a a ，
∴0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又∵{}n a 为正数数列 ∴21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ，
得11=a ∴12-=n a n （2）)1
21
121(21)12)(12(111+--=+-==
+n n n n a a b n n n ， ∴2
1
)12(2121)121121513
13
11(2
1<+-=+---+-=n n n B n
注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前n 项和能直接求和或者通过恒等变形可后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列{}n a 满足条件
()n f a a n n =-+1）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来
求和．
二．先放缩再求和
1．放缩后成等差数列，再求和
例2．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且
22n n n a a S +=.
(1) 求证：2214
n n n a a S ++<
；
(2) 求证：
<⋅⋅⋅
解：（1）在条件中，令1=n ，得1112122a S a a ==+，
1011=∴>a a ，
又由条件n n n S a a 22=+有11212+++=+n n n S a a ，上述两式相减，注意到
n n n S S a -=++11得
0)1)((11=--+++n n n n a a a a 001>+∴>+n n n a a a ∴11n n a a +-=
∴n n a n =-⨯+=)1(11，(1)2
n n n S +=
∴4
2)1(212)1(2
1
222++=
++∙<+=n n n a a n n n n S
（2）∵1)1(+<+<n n n n
∴2
1
2)1(2+<
+<
n n n n ∴
2)
1(23222121+++⨯+⨯=++n n S S S n 2
12322++++<n
2
12
2312-=
+=+n S n n ；
2
2
2)1(2222121n n S n n n S S S =+=+
++>
++
2．放缩后成等比数列，再求和 例3．等比数列{a n }中，1
1
2
a
=-
，前n 项的和为A n ，且A 7，
A 9，A 8成等差数列．设n
n
n a a b -=12
，数列{b n }前n 项的和为B n ，
证明：B n ＜13
．
解：∵9789A A a a -=+，899A A a -=-，899a a a +=-， ∴公比981
2
a q a ==-．
∴n n
a )2
1
(-=． n
n n n
n n b 231
)2(41)2
1(141
⋅≤
--=
--=
．
∴n n b b b B ++=2131)211(312
11)
211(213123123123122<-=--⋅=⋅++⋅+⋅≤n n ．
3．放缩后为可求和（易求和）数列，再求和
例4．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()2
1(1 =+
=+n a n
a n n
n ．求证： 1
121
3-++-
≥>n n n n a a 证明：∵n n
n a n
a )21(1+
=+， ∴1+n a 与n a 同号， 又∵011>=a ，∴0>n a ， 即021>=
-+n n
n
n a n
a a ，即n n a a >+1． ∴数列{}n a 为递增数列， ∴11=≥a a n ，即n
n n n n n
a n a a 221≥=
-+，累加得：1
2121
222
1
--+
++
≥-n n n a a ． 令122
1
2221--+++=
n n
n S ， ∴n
n
n S 21
22212
132-+
++=
，两式相减得： n n n n S 2
1
2121212121132--++++=- ， ∴1212-+-
=n n
n S ，∴1
2
1
3-+-≥n n n a ， 故得112
13-++-≥>n n n n a a ．
4．放缩后为裂项相消，再求和
例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1，P 2，…，P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列1，2，3，，)1(，，)1( -+n n n
的逆序数为a n ，
如排列2，1的逆序数11=a ，排列4，3，2，1的逆序数63=a ． （1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式； （2）令n
n n n n a a a a b 1
1+++=
，证明32221+<++<n b b b n n ，n =1,2,…. 解（1）由已知得15,1054==a a ，2
)
1(12)1(+=
+++-+=n n n n a n . （2）∵ ,2,1,22
222211==+⋅+>+++=+=
++n n
n n n n n n n a a a a b n n n n n ， ∴n b b b n 221>+++ . 又∵ ,2,1,2
22222=+-+=+++=
n n n n n n n b n
， ∴)]2
1
1()4121()3111[(2221+-++-+-+=+++n n n b b b n
=322
2
1232+<+-+-+n n n n . 综上， ,2,1,32221=+<++<n n b b b n n .
注：常用放缩的结论： （1）)2(111)1(11)1(11112≥--=-<<+=+-
k k k k k k k k k k
（2）)2)(11
1(
21
211
2)1
11(
2≥--=-+<
<++=
+-
k k k k k k k k k k
在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键，一般要看证明的结果是什么形式．如例２要证明的结论
2
232n n +、
2
2)1(+n n 为等差数列求和结果的类型，则把通项放缩为等差数
列，再求和即可；如例3要证明的结论31
)2
11(3
1<-
n
为等比数列求和结果的类型，则把通项放缩为等比数列，再求和即可；如例4要证明的结论12
13-+-n n 为差比数列求和结果的类型，则
把通项放缩为差比数列，再求和即可；如例5要证明的结论
2
2
1232+-
+-
+n n n 为裂项相消求和结果的类型，则把通项放缩为相邻两项或相隔一项的差，再求和即可．
先确定能不能直接求和，若不能直接求和则要考虑把通项朝什么方向进行放缩．。