考研数学三经济ch11 各章复习题目及答案

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2011年考研数学三真题及答案

2011年考研数学三真题一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。

下列媒体给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)已知当时，与是等价无穷小，则(A) (B)(C) (D)【答案】C。

【解析】【方法一】(洛必达法则)(洛必达法则)()由此得。

【方法二】由泰勒公式知则故。

【方法三】故综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算高等数学—一元函数微分学—洛必达(L'Hospital)法则(2)已知在处可导，且,则(A) (B)(C) (D)0【答案】B。

【解析】【方法一】加项减项凑处导数定义【方法二】拆项用导数定义由于，由导数定义知所以【方法三】排除法：选择符合条件的具体函数,则而对于,显然选项(A)(C)(D)都是错误的，故应选(B)【方法四】由于在处可导，则综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数和微分的四则运算(3)设是数列，则下列命题正确的是(A)若收敛，则收敛。

(B)若收敛，则收敛。

(C)若收敛，则收敛。

(D)若收敛，则收敛。

【答案】A。

【解析】若收敛，则该级数加括号后得到的级数仍收敛综上所述，本题正确答案是A。

【考点】高等数学—无穷级数—级数的基本性质与收敛的必要条件(4)设,则的大小关系为(A) (B)(C) (D)【答案】B。

【解析】同一区间上定积分的大小比较最常用的思想就是比较被积函数大小，由于当时，又因为为上的单调增函数，所以,故即综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质(5)设为3阶矩阵，将第2列加到第1列得矩阵,再交换的第2行和第3行得单位矩阵，记,,则(A)(B)(C)(D)【答案】D。

【解析】本题是常规的初等变换、初等矩阵的考题矩阵的初等行变换是左乘初等矩阵，矩阵的初等列变换是右乘初等矩阵按题意，从而，从而所以【考点】线性代数—矩阵—矩阵的初等变换，初等矩阵(6)设为矩阵，是非齐次线性方程组的3个线性无关的解，为任意常数，则的通解为(A) (B)(C)(D)【答案】C。

2011年考研数学三真题及解析

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 已知当0x时，3sin sin3f x x x 与kcx 是等价无穷小，则( )(A) k=1, c =4 (B ) k=1,c = 4(C) k=3,c =4(D ) k=3,c =4【答案】(C)【详解】本题涉及到的主要知识点：当0x时，sin x x在本题中，3sin sin 3limkxx xcx3sin sin cos 2cos sin 2limk xxx xx xcx2si n 3c o s 22c o sl i mkxxx x cx213c o s 22c o sl i mk xx x cx22132cos 12cos limk xx xcx221144cos 4sin limlimk k xxx x cxcx34l i m 14,3kx c kcx，故选择(C).(2) 已知函数f x 在x=0处可导，且0f =0，则2332limxx f xf xx = ( )(A) 2f (B)f (C) 0f (D) 0.【答案】(B)【详解】本题涉及到的主要知识点：导数的定义0000()()lim()xf x x f x f x x在本题中，2322333020220limlim x x x f xf xx f xx f f xf x x3300lim20200xf x f f xf f f f xx故应选(B)(3) 设n u 是数列，则下列命题正确的是( )(A)若1n n u 收敛，则2121()nn n u u 收敛(B) 若2121()nn n u u 收敛，则1n n u 收敛(C) 若1n n u 收敛，则2121()nn n u u 收敛(D) 若2121()nn n u u 收敛，则1n n u 收敛【答案】(A)【详解】本题涉及到的主要知识点：级数的基本性质若级数1n n u 收敛，则不改变其项的次序任意加括号，并把每个括号内各项的和数作为一项，这样所得到的新级数仍收敛，而且其和不变.在本题中，由于级数2121()nn n u u 是级数1n n u 经过加括号所构成的，由收敛级数的性质：当1n n u 收敛时，2121()nn n u u 也收敛，故（A ）正确.(4) 设40ln sin Ix dx ，40ln cot Jx dx ，40ln cos K xdx ，则,,I J K 的大小关系是( )(A) IJ K(B) I KJ(C) JIK(D) KJ I【答案】(B)【详解】本题涉及到的主要知识点：如果在区间[,]a b 上，()()f x g x ，则()()b b aaf x dxg x dx ()ab 在本题中，如图所示：因为04x，所以0sin cos 1cot x x x又因ln x 在(0,)是单调递增的函数，所以ln sin ln cos ln cot x xx(0,)4x4440ln sin ln cos ln cot x dx x dx x dx即I KJ .选（B ）.(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第三行得单位矩阵，记1100110001P ，210000101P ，则A = ( )(A)12P P (B)112P P (C)21P P (D)121P P 【答案】(D)【详解】本题涉及到的主要知识点：设A 是一个m n 矩阵，对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.π/4在本题中，由于将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，故100110,1A B 即111,AP B ABP 故由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵，故10000101B E即2,P BE 故122,BP P 因此，1112121,A P P P P 故选(D)(6) 设A 为43矩阵，123,,是非齐次线性方程组Ax的3个线性无关的解，12,k k 为任意常数，则Ax的通解为()(A) 23121()2k (B)23121()2k (C)23121231()()2k k (D)23121231()()2k k 【答案】(C)【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）如果1，2是Ax b 的两个解，则12是0Ax 的解；（2）如n 元线性方程组Axb 有解，设12,,,t是相应齐次方程组0Ax的基础解系，是Ax b 的某个已知解，则11220ttk k k 是Axb 的通解（或全部解），其中12,,,t k k k 为任意常数.在本题中，因为123,,是Ax的3个线性无关的解，那么21，31是0Ax的2个线性无关的解.从而()2n r A ，即3()2()1r A r A 显然()1r A ，因此()1r A 由()312n r A ，知（A ）（B ）均不正确. 又232311222AAA，故231()2是方程组Ax的解.所以应选（C ）.(7) 设1()F x ,2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x 与2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是()(A) 1()f x 2()f x (B) 22()f x 1()F x (C)1()f x 2()F x (D)1()f x 2()F x +2()f x 1()F x 【答案】(D)【详解】本题涉及到的主要知识点：连续型随机变量的概率密度()f x 的性质：()1f x dx 在本题中，由于1()f x 与2()f x 均为连续函数，故它们的分布函数1()F x 与2()F x 也连续.根据概率密度的性质，应有()f x 非负，且()1f x dx .在四个选项中，只有（D ）选项满足1221()()()()f x F x f x F x dx2112()()()()F x dF x F x dF x 121212()()()()()()F x F x F x dF x F x dF x 1故选（D ）.(8) 设总体X 服从参数为(0)的泊松分布，12,,,(2)n X X X n为来自该总体的简单随机样本，则对于统计量111ni i T X n和121111n in i T X X n n，有()(A) 1ET >2ET ,1DT >2DT (B) 1ET >2ET ,1DT <2DT (C)1ET <2ET ,1DT >2DT (D)1ET <2ET ,1DT <2DT 【答案】(D)【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）泊松分布()X P 数学期望EX ，方差DX（2）()E cX cEX ，()E X Y EXEY ，2()D cX c DX ，()D XY DXDY （X 与Y 相互独立）在本题中，由于12,,,n X X X 独立同分布，且0iiEX DX ，1,2,,i n ，从而111111()()nni i i i E T E X E X n E Xnnn，112111111()()11n n ini n ii E T EX X E X E X n nn n11(1)()()1i n n E X E X n n111E XE X nn故12E T E T 又1121((11))ni i D T D n D X D Xn nX nn，12221111()(1)1(1)n in i D T D X X n n nn n12()1D T n nn，故选（D ）.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9) 设0lim 13xtt f x x t，则f x.【答案】313xex【详解】本题涉及到的主要知识点：重要极限公式1l i m (1)xxxe在本题中，3130lim 13lim13x t x tttttf x x tx t 3xx e所以有313xf x ex .(10) 设函数1xyx z y，则1,1dz.【答案】12ln 2dx dy【详解】用对数求导法.两边取对数得ln ln(1)x x zyy，故11[ln(1)]z x x z xyyxy，21[ln(1)]z x x x z yyyxy令1x ，1y ，得(1,1)2ln 21z x ，(1,1)(2ln 21)z y，从而(1,1)12ln 2dz dx dy(11) 曲线tan 4yxye 在点0,0处的切线方程为.【答案】2yx【详解】方程变形为arctan()4y x ye ，方程两边对x 求导得211y yeyy e，在点(0,0)处(0)2y ，从而得到曲线在点(0,0)处的切线方程为2yx .(12) 曲线21yx，直线2x及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为.y21y x【答案】43【详解】本题涉及到的主要知识点：设有连续曲线()yf x ()axb ，则曲线()yf x 与直线x a ，x b 及x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周产生的旋转体的体积2()b xaV f x dx在本题中，222223111141().33Vy dxxdxx x (13) 设二次型123,,Tf x x x x Ax 的秩为1，A 中各行元素之和为3，则f 在正交变换x Qy 下的标准形为.【答案】213y【详解】本题涉及到的主要知识点：任给二次型,1()nij i j ijji i j fa x x a a ，总有正交变换xPy ，使f 化为标准形2221122nnfyyy ，其中12,,,n是f 的矩阵()ij A a 的特征值.在本题中，A 的各行元素之和为3，即1112131112132122232122233132333132333,13113,1313113113a a a a a a a a a a a a A a a a a a a 所以3是A 的一个特征值.再由二次型Tx Ax 的秩为10是A 的2重特征值.因此，正交变换下标准形为：213y.(14) 设二维随机变量,X Y 服从正态分布22,;,;0N，则2E X Y= .【答案】22()【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）如果随机变量X 和Y 的相关系数0XY，则称X 与Y 不相关.（2）若随机变量X 与Y 的联合分布是二维正态分布，则X 与Y 独立的充要条件是X 与Y 不相关.（3）如果随机变量X 与Y 相互独立，则有()E XY EXEY在本题中，由于,X Y 服从正态分布22,;,;0N，说明X ，Y 独立同分布，故X 与2Y 也独立.由期望的性质有22()E XY EX EY ，又EX，2222()EYDYEY ，所以222()()E XY 三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分10分)求极限012sin 1limln 1xx x x x【详解】本题涉及到的主要知识点：当0x时，ln(1)x x在本题中，012sin 1limln 1xx x x x212sin 1lim x xx x2cos 1cos 12sin cos 12sin 212sin lim lim lim 22212sin x x x xx xx x x xxx xcos sin cos 112sin lim lim .22212sin x x x x x xx(16) (本题满分10分)已知函数,f u v 具有连续的二阶偏导数，1,12f 是,f u v 的极值，(,,)z f x y f x y .求21,1zx y【详解】本题涉及到的主要知识点：极值存在的必要条件设(,)zf x y 在点00(,)x y 具有偏导数，且在点00(,)x y 处有极值，则必有00(,)0x f x y ，00(,)0y f x y .在本题中，(,(,))z f xy f x y 121(,(,))(,(,))(,)z f xy f x y f xy f x y f x y x2111221(,(,))(,(,))(,)(,)zf x y f x y f x y f x y f x y f x y x y21222212[(,(,))(,(,))(,)](,(,)),f xy f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y 1,12f 为,f u v 的极值121,11,1f f211212(1,1)2,2(2,2)(1,1)z f f f x y (17) (本题满分10分)求不定积分arcsin ln xxdxx【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）()x t ，1()[()]()()[()]f x dx f t t dt G t C G x C ；（2）udvuvvdu ；（3）[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx . 在本题中，令t x,2xt ,2dxtdt arcsin ln xxdxx2arcsin ln 2tttdt t 22arcsin ln t t dt22222arcsin 22ln 21tt t tdt t tt dttt222(1)2arcsin 2ln 41d t t t t tt t222arcsin 2ln 214t t t ttt C2arcsin 2ln 214x x x x x x C ，其中C 是任意常数.(18) (本题满分10分)证明方程44arctan 303xx恰有两个实根.【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）零点定理设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()f a 与()f b 异号（即()()0f a f b ），那么在开区间(,)a b 内至少有一点，使()0f （2）函数单调性的判定法设函数()yf x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导.①如果在(,)a b 内()0f x ，那么函数()y f x 在[,]a b 上单调增加；②如果在(,)a b 内()0f x ，那么函数()yf x 在[,]a b 上单调减少. 在本题中，令4()4arctan 33f x xx，'24()11f x x当3x 时，'()0f x ，()f x 单调递减；当3x时，'()0f x ，()f x 单调递增.4(3)4a r c t a n (3)(3)303f .当3x 时，()f x 单调递减,,3x,()0f x ；当33x时，()f x 单调递增, 3,3x,()f x 3x是函数()f x 在(,3)上唯一的零点.又因为48(3)4arctan33323033f 且4lim lim 4arctan 3.3xxfxx x由零点定理可知，03,x ，使0f x ,方程44arctan 303xx恰有两个实根.(19)(本题满分10分)设函数()f x 在区间0,1具有连续导数，(0)1f ，且满足'()()ttD D f xy dxdyf t dxdy , (,)0,0(01)tD x y yt x xt t，求()f x 的表达式.【详解】本题涉及到的主要知识点：一阶线性微分方程()()dy P x y Q x dx 的通解()()(())P x dxP x dxyeQ x edx C .在本题中，因为()()t tt xD f xy dxdydxf xy dy ，令x y u ，则()()()()t x t x f x y dyf u duf t f x 0()(()())()()tt t D f xy dxdyf t f x dxtf t f x dx21()()()()2tt D tf t f x dxf t dxdyt f t . 两边对t 求导，得2()()02f t f t t ,解齐次方程得212()(2)dt t C f t Cet 由(0)1f ，得4C . 所以函数表达式为24()(01)(2)f x x x .(20) (本题满分11分)设向量组11,0,1T，20,1,1T，31,3,5T不能由向量组11,1,1T,21,2,3T,33,4,Ta线性表出.(I)求a 的值；(II)将1，2，3用1，2，3线性表出.【详解】本题涉及到的主要知识点：向量组12,,,l b b b 能由向量组12,,,m a a a 线性表示的充分必要条件是121212(,,,)(,,,,,,,)m m l r a a a r a a a b b b (I)因为123101,,01310115，所以123,,线性无关.那么123,,不能由123,,线性表示123,,线性相关，即123113113,,124011501323aaa，所以5a (II)如果方程组112233(1,2,3)jx x x j 都有解，即123,,可由123,,线性表示.对123123,,,,,（）作初等行变换，有123123,,,,,（）=10111301312411513510111301312401422101113013124011021002150104210001102故112324，2122，31235102(21) (本题满分11分)A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且11110001111A (I) 求A 的所有特征值与特征向量;(II) 求矩阵A .【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）(0)A为矩阵A 的特征值，为对应的特征向量（2）对于实对称矩阵，不同特征值的特征向量互相正交.（I ）因()2r A 知0A ，所以0是A 的特征值.又111000111A，110011A ，所以按定义1是A 的特征值，1(1,0,1)T是A 属于1的特征向量；1是A 的特征值，2(1,0,1)T是A 属于1的特征向量.设3123(,,)Tx x x 是A 属于特征值0的特征向量，作为实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量相互正交，因此131323130,0,T T x x x x 解出3(0,1,0)T故矩阵A 的特征值为1,1,0；特征向量依次为123(1,0,1),(1,0,1),(0,1,0)T T Tk k k ，其中123,,k k k 均是不为0的任意常数.(II)由12312(,,)(,,0)A ，有1112123110110001(,,0)(,,)000001000111101A . (22)(本题满分11分)设随机变量X 与Y 的概率分布分别为X 01P 1/32/3Y 10 1P1/31/31/3且22()1P XY .(I) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布；(II) 求ZXY 的概率分布；(III) 求X 与Y 的相关系数XY.【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）协方差cov ,X Y E XY E X E Y（2）相关系数c o v ,()()XYX Y D X D Y (I)设(,)X Y 的概率分布为YX-110 11p 12p 13p 1/3 121p 22p 23p 2/31/31/31/3根据已知条件221P XY，即0,01,11,11P X Y P X YP XY ，可知12211p pp ，从而11130p pp ，12212313p p p ，即(,)X Y 的概率分布为(II) Z XY 的所有可能取值为-1，0，1 .111,13P Z P X Y 111,13P Z P XY101113P ZP Z P ZZ XY 的概率分布为(3) 23EX，0EY ，0EXY ，故(,)0Cov X Y EXY EX EY ，从而0XY.(23)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由0,2x y x y 与0y 所围成的三角形区域.(I) 求X 的概率密度()X f x ；(II) 求条件概率密度|(|)X Y f x y .【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）X 、Y 是连续型随机变量，边缘概率密度为()(,)X f x f x y dy ，()(,)Y f y f x y dx ；（2）在Y y 的条件下X 的条件概率密度(,)()()X Y Y f x y f x y f y ；（3）设G 是平面上的有界区域，其面积为A .若二维随机变量(,)X Y 具有概率密度Z -1 0 1 p1/31/31/3X Y -1 0 1 0 1/3 0 10 1/31/31,(,),(,)0,x y G f x y A 其他则称(,)X Y 在G 上服从均匀分布.(I)(,)X Y 的联合密度为1,(,),(,)0,(,).x y G f x y x y G 当01x 时，0()(,)1xX f x f x y dy dy x ；当12x时，20()(,)12x X f x f x y dydyx ；当0x或2x时，()0X f x .所以, 01,()2, 12,0,X x x f x x x其它.(II)|(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y 当01y时，2()122y Y yf y dx y ；当0y 或1y时，()0Y f y .所以|1,2,01,22(|)0,X Y yxy yy f x y 其他.。

数三考研真题及答案

数三考研真题及答案数学是考研数学一和数学二中的一门科目，也是许多考生最为关注的科目之一。

为了更好地备考数学，考生们普遍会通过做真题来提高自己的解题能力。

本文将为大家提供一份数学三（数三）考研真题及答案，希望对考生们的备考有所帮助。

一、选择题1. 集合A由m个不同的整数组成，集合B由n个不同的整数组成，A与B有r个公共元素。

则A与B的并集有几个元素？A. m + nB. m + n - rC. m + n + rD. m - n + r答案：B2. 设函数f(x) = x^n，其中n为大于1的正整数。

若f(2+x) = f(2-x)，则x的值为多少？A. 0B. 1C. 2D. -1答案：A二、填空题1. 若f(x) = x^2 + 1，则f(a) + f(-a)的值为________。

答案：22. 设A为一个n阶方阵，若A^2 = A，则称A满足条件________。

答案：幂等矩阵三、解答题1. 解方程组：2x + 4y = 103x - 2y = 7解答：首先，将第二个方程两边同乘以2，得到方程6x - 4y = 14。

然后，将第一个方程和得到的方程相加，得到8x = 24，解得x = 3。

将x的值代入第一个方程，得到3*2 + 4y = 10，解得y = 1。

因此，方程组的解为x = 3，y = 1。

2. 求函数f(x) = e^xln(1 - x)的定义域。

解答：首先，根据指数函数的定义域可知，e^x的定义域为实数集R。

其次，根据对数函数的定义域可知，ln(1 - x)的定义域为(-∞, 1)。

因此，函数f(x) = e^xln(1 - x)的定义域为x < 1。

以上就是数学三（数三）考研真题及答案的部分内容。

希望通过这些题目的练习，考生们能够提高自己的解题能力，为考研数学的顺利通过打下坚实的基础。

祝愿所有的考生都能在考试中取得优异的成绩！。

考研数学三经济ch10各章复习题目及答案

第十章函数方程与不等式证明1 1 a 一.证明不等式 a n1 a n(n1) 2 lna1 1n1 a nn 2.(a>1,n1)证明:令f(x) a x, 在1 n1 ,1 上使用拉格朗日定理nf(1) f(1) f'()( 1 1 )n n 1 n n 1 1 1 a lna 1 a n a n11)n(n1 a na 即 lna所以1n1 a n(n 1)1 1 a a n1a n(n1)2lna 1 1 n1 a nn2.(a>1,n 1)二.若a 0,b0,0<p<1,证明(a b)pa pb p证明: 令f(x)(xb)px pb p显然f(0)=0.当x 0 时, 因为0<p<1f'(x)p(xb)p1px p1所以当x 0时,f(x)单减,所以f(a)f(0)=0. 所以(a b)pa pb p0 即得 (a b)pa pb p三.设函数f(x)在[0,1]上有连续导数,满足0f'(x) 1且f(0)0 .求证 1213(x)dxf(x)dx 0 f 0x 2x3(t)dt,显然F(0)证明:令F(x) =0.因为0 f'(x)1且f(0)0, f(t)dtf0 所以当x>0时f(x)>0.F'(x)xf(t)dt f3(x)2f(x)1=f(x)x2(x) (1) 2f(t)dtfxf2(x),显然(0)=0.令(x)2f(t)dt'(x) 2f(x)2f(x)f'(x)2f(x)(1 f'(x))0所以当x>0时, (x)>0.由(1)知F'(x)0(x>0). 当x>0时F(x) F(0)=0.所以F(1)F(0) =0.立即得到1 213(x)dxf(x)dx f0 0四.求证|a|p|b|p21p(|a||b|)p,(0<p<1).求证:先证当0 x 1,0<p<1时,有21p x p(1 x)p 1令F(x) x p(1 x)pF'(x) px p1p(1 x)p 1 .F'(x) 0得x 1 . F(1)21p，F(1)F(0) 1.2 2所以F(1)21p为最大值，F(1) F(0) 1为最小值.所以当0 x1,0<p<1 时, 2有21p x p(1 x)p 12 令x|a|则1 x|b|.代入上述结论,立即得到|a|,|a||b||b|1p |a|p|b|p12(|a||b|)p(|a||b|)p即(|a||b|)p|a|p|b|p21p(|a||b|)p,(0<p<1).五.求证:若x+y+z=6, 则x2y2z212,(x0,y0,z0). 证明：方法1:2(x2y2z2) 2xy 2yz 2xzx2y2z2(x y z)22xy 2yz2xz36 2(x2y2z2)2所以3(x2y2z2)36, x2y2z212 方法2:解以下条件极值问题s(x,y,z)x2y2z2 :yz 6 条件：x令F(x,y,z, )=x2+y2+z2－(x+y+z－6)F x'2x 0,F y'2y 0,F z'2z 0解得x=y=z=2. 只有一个驻点, 当x=y=z=2 时达到最小值12.所以x2y2z212,(x0,y 0,z0)六.证明:1 若f(x)在[a,b]上是增加的，且在其上f' '(x)0，则(bb f(a) f(b) a)f(a)f(x)dx(ba)2a2若f(x)在[a,b]上是增加的，且在其上(ba)f(b) bf(x)dxaf''(x)0，则(ba) f(a)f(b)2证明：1 方法1:因为f(x)是增加的, 所以对于[a,b]中的一切x,有f(x)>f(a), 所以bf(x)dx f(a)(ba)a令F(x) f(x)f(t)dt(xa)f(a)xa2F'(x) f(x) f(a) f(x)(xa)f'(x) f(x) f(a) (xa)f'(x)2 2 2 2f'()(xa) f'(x)(xa)(a x)1(x 2 2= a)[f'() f'(x)]0(因为f''(x)0)2所以F(x)单增.又因为F(a)=0, 所以F(b)>F(a)=0. 立即可得f(x)dx (ba)f(a)f(b)ba2方法2:将f(x)台劳展开t,x, f(t) f(x) f'(x)(t x) f''()(t x)22!所以f(a) f(x)f'(x)(a x) f''(1)(a x)22!f(b) f(x)f'(x)(b x) f''(2)(b x)22!f(a) f(b) 2f(x) f'(x)(a b) 2xf'(x)f''(1)(a x)2f''( 2)(bx)22! 2!3(f(b) f(a))(b a) 2 b(a b) b上式二边积分得 f(x)dx f'(x)dx a a2 xf'(x)dx b f''(1)(a x)2f''(2)(bx)2dxba a 2! 2!所以bb b(f(b) f(a))(ba)f(x)dx(a b)(f(b)f(a))2xf(x) f(x)dx2 2 a a abf(x)dx af(b) af(a) bf(b) bf(a) 2bf(b) 2af(a)4 a b f(x)dx (b a)(f(a)f(b))4 a2(b a)(f(b) f(a)) b f(x)dx于是 4 aba(f(b) f(a)) b即f(x)dx2 a2 证法同1.注:无论方法 1,2,右边的不等式都不需要 f(x)单增的条件.x 1x 2 x nx 12 x 22x n 2七.证明:1 n nx 1 x 2x nnx 1x 2 x n2 nn 2 nn证明:1方法一:先证 a k b ka k 2b k 2k 1k1 k1n nn n由 (a k xb k )2a k 2x 22 a k b k x b k 2k1k 1 k 1 k1 n2n n得到 akbkak 2bk 2k1k 1 k 1上述不等式中令 a k x k ，b k 1,得到nn 2x k n 1 k 1 x k 2nnk1 n即 x 1x 2x nx 12 x 22x n 2n .n4方法二:令f(x) x2,p1p2p n1n因为f''(x) 2 0所以f(p1x1p n x n)p1f(x1)p n f(x n)即(x1n xn)2 x12nx n2即x1x2x n x12x22x n2n n2 取f(x)=lnx, f''(x) 10.令p1=p2=⋯=pn=1/n. x2所以ln x1n x n1lnx11lnx n ln n x1x n n n立即得到x1x2x n n x1x2x n.n八. 设f''(x)c[a,b], 且f(a) f(b) 0,求证:b (ba)3max|f''(x)|f(x)dx12a a xb证明:方法1 bf''(x)(x a)(x1 1: b)dx2 a 2b= 1(x a)(x b)f'(x) 1 f'(x)(2x 2 2a1 b 1= (2xab)df(x) f(x)(2x2 a 2 b(x a)(x b)df'(x) aa b)dxba1 bb) f(x)2dx2 aab=f(x)dx ab1 ba)(x 1 b所以| f(x)dx|= f''(x)(x b)dx |f''(x)(xa)(xb)|dxa 2 a 2 a1max|f''(x)|(x a)(b x)dx=(b a) 3max|f''(x)|b2axb a12 axb5方法2：t,x, f(t) f(x) f '(x)(t x) f''()(t x)22!所以0=f(a) f(x) f'(x)(a x) f''()(a x)2f''()(a 2!f(x)f'(x)(x a) x)22!b b b f''( ) 2f(x)dx f'(x)(xa)dx a 2! (xa)dx a ab b 1 b=f(x)(xa) f(x)dx )(x a) 2 dx 2 f''(a a a所以 b 1 b)(x a) 2 dxf(x)dx 4 f''( a a于是| b 1b|f''( )|(x a) 2 dx 1 b a)2 dx f(x)dx| 4amax|f''(x)| (x a 4axb a=(ba)3max|f''(x)|12 axb九.若f'(x)在[0,2 ]上连续,且f'(x)0,n(正整数)有 2 2[f(2)f(0)]f(x)sinnxdx 0 n21 证明:f(x)sinnxdx= 0n2 f(x)dcosnx0 = 1 ) 1 2f'(x)cosnxdx(f(2 f(0)) n n 0 2 f(x)sinnxdx f(2) f(0) 1 2 2[f(2)f(0)]所以n n f'(x)dx n0 0十.设在[a,b]上f''(x) 0,a<x1<x2<b,0< <1, 试证: f(x 1)(1 )f(x 2)f[x 1 (1 )x 2] 证明:f(x 1(1 ) x 2)f(x 2)(1)( x 2x 1)f'(1)(1)f(x2)f( x1(1 )x2) (x2x1)f'(2)(2)(1)×－(2)×(1－)得到f( x1(1 )x2) f(x1)(1 )f(x2) (1 )(x2x1)[f'(1) f'(2)] f( x1(1 )x2) (1 )(x2x1)[f'(2) f'(1)] f(x1)(1 )f(x2)6f(x1(1 )x2) (1 )(x2x1)f''()f(x1)(1 )f(x2)因为f ''() 0,所以f(x1)(1 )f(x2) f[x1(1 )x2]7。

2022考研数学三真题及答案解析(数三)

2022年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题及参考答案一、选择题：1~10题，每小题5分，共50分.1、当0→x 时，)()(x x βα、是非零无穷小量，给出以下四个命题 ① 若)(~)(x x βα，则)(~)(22x x βα； ② 若)(~)(22x x βα，则)(~)(x x βα； ③ 若)(~)(x x βα，则))(()()(x o x x αβα=-； ④ 若))(()()(x o x x αβα=-，则)(~)(x x βα. 其中正确的序号是（）A ：①②；B ：①④；C ：①③④；D ：②③④. 答案：C .解析：当0→x 时，若)(~)(x x βα，则1)()(lim 0=→x x x βα，故1)()(lim )()(lim 20220=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=→→x x x x x x βαβα，即)(~)(22x x βα，且011)()()(lim0=-=-→x x x x αβα，故))(()()(x o x x αβα=-.所以①③正确.当0→x 时，)(~)(22x x βα，则1)()(lim 220=→x x x βα，此时1)()(lim 0±=→x x x βα，而1)()(lim 0-=→x x x βα时，)(x α与)(x β不是等价无穷小，故 ②不正确.当0→x 时，若))(()()(x o x x αβα=-，1)()(lim ))(()()(lim )()(lim000==-=→→→x x x o x x x x x x x αααααβα，所以)(~)(x x βα，④正确.综上，C 为选项.2 、已知),2,1()1( =--=n nn a nnn ，则}{n a （） A ：有最大值，有最小值； B ：有最大值，没有最小值； C ：没有最大值，有最小值； D ：没有最大值，没有最小值. 答案：A .解析：1212,1221<-=>=a a ，又1lim =∞→n n a ，故存在0>N ，当N n >时，12a a a n <<，所以}{n a 有最大值和最小值，选项A 正确.3、设函数)(t f 连续，令⎰---=y x dt t f t y x y x F 0)()(),(，则（）A ：2222y F x F y F x F ∂∂=∂∂∂∂=∂∂，； B ：2222y Fx F y F x F ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂，； C ：2222y F x F y F x F ∂∂=∂∂∂∂-=∂∂，； D ：2222yF x F y F x F ∂∂-=∂∂∂∂-=∂∂，. 答案：C .解析：⎰⎰⎰-----=--=y x y x y x dt t tf dt t f y x dt t f t y x y x F 0)()()()()(),(，⎰⎰--=-----+=∂∂y x y x dt t f y x f y x y x f y x dt t f x F 00)()()()()()(，)(22y x f x F -=∂∂，同理⎰⎰---=--+----=∂∂y x y x dt t f y x f y x y x f y x dt t f yF00)()()()()()(，)(22y x f y F -=∂∂，综上2222yF x F y F x F ∂∂=∂∂∂∂-=∂∂，，选项C 正确. 4、已知⎰⎰⎰+=++=+=101031021sin 12,cos 1)1ln(,)cos 1(2dx x xI dx x x I dx x x I ，则（） A ：321I I I <<； B ：312I I I <<； C ：231I I I <<； D ：123I I I <<. 答案：A .解析：⎰⎰⎰+=++=+=1010310212sin 1,cos 1)1ln(,)cos 1(2dx xx I dx x x I dx x xI ，先比较21,I I 的大小，令)1,0()1ln(2)(∈+-=x x xx f ，此时0)0(=f ，此时0)1(211121)(<+-=+-='x x x x f ，即)(x f 单调递减，从而0)0()(=<f x f ，可得)1,0()1ln(2∈+x x x《，从而21I I <.再比较23,I I 的大小，因)1,0(,cos 12sin 1,)1ln(∈+<+<+x x x x x ，则2sin 1cos 1)1ln(x xxx +<++，从而23I I >.综上，可得A 正确.5、设A 为3阶矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ000010001，则A 的特征值为011，，-的充分必要条件是（）A ：存在可逆矩阵Q P ,，使得Q P A Λ=；B ：存在可逆矩阵P ，使得1-Λ=P P A ； C ：存在正交矩阵Q ，使得1-Λ=Q Q A ； D ：存在可逆矩阵P ，使得TP P A Λ=；答案：B解析：3阶A 有011，，-三个不同的特征值，所以A 可以相似对角化，故存在可逆矩阵P ，使得1-Λ=P P A ；若存在可逆矩阵P ，使得1-Λ=P P A ，即A 相似与Λ，而相似矩阵具有相同的特征值，而Λ的特征值为011，，-，故A 的特征值为011，，-.因此选B . 6、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=421,1111122b b b a a A ，则线性方程组b Ax =解的情况为（）A ：无解； B: 有解； C:有无穷多解或无解； D: 有唯一解或无解；答案：D .解析：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→31101110111141211111)|2222b b a a b b a a b A （（1）当1=a 或1=b 时，)|()(b A r A r ≠，方程无解（2）当1≠a 且1≠b 时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+→11130011110111113110111101111)|a b a b a a b b a a b A （（i ）当b a ≠时，3)|()(==b A r A r ，方程有唯一解（ii ）当b a =时，3)|(2)(==b A r A r ，，方程无解；综述：方程有唯一解或无解，选D .7、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=243211,11,11,11λλαλαλαλα，若向量组321,,ααα与421,,ααα等价，则λ的取值范围（）A ：}1,0{ ； B:}2,|{-≠∈λλλR ；C:}2,1,|{-≠-≠∈λλλλR ； D:}1,|{-≠∈λλλR . 答案：C解析：向量组321,,ααα与421,,ααα等价的充要条件是()),,.,,(,,),,(421321421321ααααααααααααr r r ==，而),,,(),,.,,(4321421321αααααααααα，r r =()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→λλλλλλλλλλλλαααα2222431201101101111111111,,,（1）当1=λ时，()1).,,(,,),,(4321421321===ααααααααααr r r ，此时向量组等价（2）当1≠λ时()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++---→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++→24312)1(2001110111111001101110110110111,,,λλλλλλλλλλλαααα（i ）当2-=λ时，3).,,(),,(2),,(4321421321===ααααααααααr r r ，，此时向量组不等价（ii ）当1,2-=-≠λλ时，3).,,(2),,(3),,(4321421321===ααααααααααr r r ，，，此时向量组不等价（iii ）当1,2-≠-≠λλ时，3).,,(),,(),,(4321421321===ααααααααααr r r ，此时向量组等价综上，当1,2-≠-≠λλ时，向量组321,,ααα与421,,ααα等价；选C8、随机变量)4,0(~N X ，随机变量⎪⎭⎫⎝⎛31,3~B Y ，且X 与Y 不相关，则=+-)13(Y X D （）A: 2； B: 4； C: 6； D: 10. 答案：D .解析：由题意知，0),(32)(,4)(===Y X Cov Y D X D ，； 10)(9)()3()13(=+=-=+-Y D X D Y X D Y X D ，故选D .9、设随机变量序列 ,,,21n X X X 独立同分布，且i X 的概率密度为⎩⎨⎧<-=其他11)(x xx f 则当∞→n 时，∑=n i i X n 121依概率收敛于（）A :81； B : 61； C: 31； D: 21. 答案：B .解析：61)1(2)1()()(1211222=-=-==⎰⎰⎰-+∞∞-dx x x dx x x dx x f x X E i ，从而∑∑====⎪⎭⎫ ⎝⎛n i i n i i X E n X n E 121261)(11，由辛钦大数定律可得，∑=n i i X n 121依概率收敛于⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=n i i X n E 121，从而选B .10、设二维随机变量),(Y X 的概率分布若事件}2},{max{==Y X A 与事件}1},{min{==Y X B 相互独立，则=),(Y X Cov （）A ：6.0- ； B: 36.0-； C: 0； D: 48.0. 答案：B .解析：1.0}2,1{)(,2.0)(,1.0)(=====+=Y X P AB P B P b A P ，由B A ,相互独立，故)()()(B P A P AB P =，解得4.0=b ，由分布律的性质得2.0=a ，6.0)(,2.1)(,2.0)(-==-=XY E Y E X E从而36.0)()()(),(-=-=Y E X E XY E Y X Cov ，故选B . 二、填空题：11~16题，每题5分，共30分.11、若=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→xx x e cot 021lim .答案：21e .解析：21tan 21lim21ln cot lim cot 00021lim e eeex e e x xxx x x xx ===⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→→→.12、⎰=++-2024242dx x x x .答案：333ln π-. 解析：原式⎰⎰++-+++=2022024*******dx x x dx x x x ⎰⎰++-++++=20222022)3()1(1642)42(dx x x x x x d 20202|31arctan 36|)42ln(+-++=x x x 333ln π-=.13、已知函数x xe e xf sin sin )(-+=，则=''')2(πf .答案：0.解析：方法一：x xxe xex f sin sin cos cos )(--='，x x e x x e x x x f sin 2sin 2)sin (cos )sin (cos )(-++-='',)cos sin cos 2()sin (cos cos )sin (cos cos )cos sin cos 2()(sin sin 2sin 2sin x x x eex x x e x x x e x x x x f xxxx +-++--+--='''--从而01111)2(=+--='''πf . 方法二：x xe ex f sin sin )(-+=，显然)()(sin sin x f e e x f x x=+=--，故)(x f 为偶函数，且周期π2=T ，于是)(x f '为奇函数，)(x f ''为偶函数，)(x f '''为奇函数，从而0)0(='''f ，而0)0()2(='''='''f f π.14、已知⎩⎨⎧≤≤=其他,010,)(x e x f x ，则=-⎰⎰∞+∞-∞+∞-dy x y f x f dx )()( .答案：2)1(-e .解析：记}10,10|),{(≤-≤≤≤=x y x y x D ，原式⎰⎰⎰⎰-=-=Dx y x Ddxdy e e dxdy x y f x f )()(，2111)1()1(-=-==⎰⎰⎰+-e dy e e dy edx e x x xxy x.15、设A 为3阶矩阵，交换A 的第2行和第3行，再将第2列的1-倍加到第一列，得到矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=001011112B ，则1-A 的迹=-)(1A tr .答案：-1.解析：令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100011001,010********P P ，则B AP P =21 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==--0100011111000110010010111120101000011211BP P A 0)1)(1(1011112=++-=-------=-λλλλλλE A ，解得i i -==-=321,,1λλλ 故1-A 的特征值为i i =-=-=321,,1λλλ，从而1)(1-=-A tr16、设C B A ,,为随机事件，且A 与B 互不相容，A 与C 互不相容，B 与C 相互独立，31)()()(===C P B P A P ，则=)|(C B A C B P .答案：85. 解析：()C B A P C B P C B A C B P )()|(=()98)()())(()()(95)()()()()()()()(=+=-+==-+=-+=C B P A P C B A P C B P A P C B A P C P B P C P B P BC P C P B P C B P从而85)|(=C B A C B P . 三、解答题：17~22小题，共94分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17、（本题满分10分）设函数)(x y 是微分方程x y xy +=+'221满足条件3)1(=y 的解，求曲线)(x y y =的渐近线.解：])2([)(2121C dx ex ex y dxxdxx+⎰+⎰=⎰-])2([C dx e x e x x ++=⎰-]2[C xee xx +=-xCe x -+=2，其中C 为任意常数，又3)1(=y ，得e C =，即xe x x y -+=12)(.22limlim 1=+==-+∞→+∞→xe x x y a xx x ，0lim )2(lim 1==-=-+∞→+∞→xx x e x y b ，故x y 2=为曲线)(x y y =的斜渐近线.18、（本题满分12分）设某产品的产量Q 由资本投入量x 和劳动投入量y 决定，生产函数为612112y x Q =，该产品的销售单价P 与Q 的关系为Q P 5.11160-=，若单位资本投入量和单位蓝洞投入量的价格分别为6和8，求利润最大时的产量.解：利润y x xy y x y x Q Q y x PQ L 862161392086)6.11160(86316121---=---=--=令⎪⎩⎪⎨⎧=--=--='=--=--='--------08)722320(872232006)722320(362166960612132326521612131316121y x xy xy y x L y x y y y x L yx，得驻点)64,256(，此时38464256126=⨯⨯=Q ，在实际问题中由于驻点唯一，故利润L 在384=Q 处取到最大值. 19、（本题满分12分）已知平面区域}20,42|),{(2≤≤-≤≤-=y y x y y x D ，计算⎰⎰+-=Ddxdy y x y x I 222)(. 解：⎰⎰⎰⎰⎰⎰--+-=+-=ππϕϕπρρϕϕϕρρϕϕϕ2cos sin 20220202222)sin (cos )sin (cos )(d d d d dxdy y x y x I D⎰⎰+-=πππϕϕϕϕ2202)cos sin 21(2d d 22)12(2|)sin (2202-=+-=+-=ππππϕϕπ. 20、（本题满分12分）求幂级数∑∞=++-02)12(41)4(n nnn x n 的收敛域及和函数)(x S . 解：1)12(41)4()32(41)4(lim 22211n <++-++-+++∞→nnn n n n x n xn ，解得1||<x ，从而1=R ，收敛区间)1,1(-，当1±=x 时，∑∞=++-0)12(41)4(n nn n 收敛，故收敛域为]1,1[-. 当]1,1[-∈x ，令∑∑∞=∞=+++-=012)12(412)1()(n n n nn n n x x n x S ，令∑∑∞=+∞=≠+-=+-=0120210,12)1(112)1()(n n n n n n x n x x n x x S ，此时∑∑∞=∞=++=-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-02201211)1(12)1(n nn n n n x x n x ，x dx x n x x n n n arctan 1112)1(0202=+=+-⎰∑∞=，故0,arctan 1)(1≠=x x xx S .∑∑∞=+∞=≠+=+=0120220,1241)12(4)(n n n n n n x n x x n x x S ）（，此时2202012444114124x x x n x n n nn n n -=-=='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∑∞=∞=+）（，0,22ln 4412402012≠-+=-=+⎰∑∞=+x x x dx x n x x n n n ）（，故0,22ln 1)(2≠-+=x xx x x S .0=x 时，2)0(=S .综上当]1,1[-∈x ，⎪⎩⎪⎨⎧=-∈-++=0,2]1,0)0,1[,22ln1arctan 1)(x x xx x x x x S （ . 21、（本题满分12分）已知二次型312322213212343),,(x x x x x x x x f +++=，（1）求正交变换Qy x =将),,(321x x x f 化为标准形；（2）证明：2)(min=≠xx x f T x . 解：（1）二次型对应矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=301040103A ，0)2()4(3010401032=---=---=-λλλλλλE A ，解得4,2321===λλλ21=λ对应特征向量满足0)2(=-x E A ，解得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1011ξ432==λλ对应特征向量满足0)4(=-x E A ，解得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0102ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1013ξ321,,ξξξ已经两两正交，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=22022,010,22022321ηηη，故存在正交矩阵),,(321ηηη=Q ，当Qy x =时232221321442),,(y y y y y y f ++=.（2）2322212322232221232221222442)()()(y y y y y y y y y y y y y y f Qy Q y y f x x x f T T T Qy x T ++++=++++==== 当0≠x 时，由Qy x =得0≠y ，当0,0132≠==y y y 时，2322212322222y y y y y ++++的最小值为2，故2)(min=≠xx x f Tx . 22、（本题12分）设n X X X ,,,21 为来自均值为θ的指数分布总体X 的简单随机样本，m Y Y Y ,,,21 为来自均值为θ2的指数分布总体Y 的简单随机样本，且两样本相互独立，其中)0(>θθ是未知参数，利用样本n X X X ,,,21 ，m Y Y Y ,,,21 ，求θ的最大似然估计量θˆ，并求)ˆ(θD . 解：由题知：总体Y X ,的概率密度为,0021)(,0001)(2⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--y y ey f x x ex f y YxX θθθθ令θθθθθθθθθ21211111121211),(),(∑∑=⋅=⋅===--+=-=-==∏∏∏∏mj j ni ij iy x n m m mj y ni x m j j Y ni i Xee e ey f x fLθθθ2ln )(2ln ln 11∑∑==--+--=mj jni i yx n m m L02ln 2121=+++-=∑∑==θθθθmj jni i yx n m d L d 解得⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=∑∑==m j j n i i y x n m 11211ˆθ故θ的最大似然估计量⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=∑∑==m j j n i i Y X n m 11211ˆθ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∑∑∑∑====m j j n i i m j j n i i Y D X D n m Y X n m D D 11211)(41)()(1211)ˆ(θ⎪⎭⎫ ⎝⎛++=)(4)()(12j i Y D m X nD n m 而224)(,)(θθ==j i Y D X D ，从而n m m n n m D +=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++=222244)(1)ˆ(θθθθ。

数3--11真题答案

2011年考研数学(三)试卷答案速查一、选择题（1）C （2）B （3）A （4）B （5）D （6）C （7）D （8）D 二、填空题（9）3e (13)x x + （10）(12ln 2)(d d )x y +− （11）2y x =− （12）4π3（13）213y （14）22()μμσ+ 三、解答题（15）12−. （16）11112(1,1)(1,1)(1,1)f f f '''''++. （17）x C ++. （18）略.（19）24(),01(2)f x x x =−.（20）（Ⅰ）5=a .（Ⅱ）112324=+−βααα，2122=+βαα，31235102=+−βααα.（21）（Ⅰ）1112223331231101,0,1,0,0,1,0110p k p k p k k k k λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=−=====≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（Ⅱ）001000100⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A .（22）（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）0ρ=XY .（23）（Ⅰ）, 01,()2, 12,0, X x x f x x x <<⎧⎪=−<⎨⎪⎩其他.（Ⅱ）|1, 0<2,22(|)0, X Y y x y yf x y ⎧<<−⎪−=⎨⎪⎩其他.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）参考答案一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．（1）【答案】C ．【解答】由泰勒展开定理33sin ()3!x x x o x =−+，33(3)sin 33()3!x x x o x =−+.所以，333339()3sin sin 33(3)()4()22x x f x x x x x o x x o x =−=−−−+=+.当0x →时，3()4f x x ，所以选择C.（2）【答案】B ．【解答】2330()2()lim x x f x f x x →−22330()(0)2()2(0)lim x x f x x f f x f x →−−+= 330()(0)()(0)lim 2x f x f f x f x x →⎡⎤−−=−⎢⎥⎣⎦(0)2(0)(0)f f f '''=−=−. 故应选B. （3）【答案】A ．【解答】根据收敛级数性质：收敛级数任意添加括号仍收敛，故A 正确. （4）【答案】B ．【解答】当π04x <<时,有0sin cos 1cot x x x <<<<,所以ln sin ln cos ln cot x x x <<，由定积分的性质可知应选B ．（5）【答案】D ．【解答】易知100110,001⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A B 100001010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B =E.即12,=AP B P B =E ,所以 1112121−−−A =P P =P P ,选答案D ．（6）【答案】C ．【解答】由于123,,ηηη是=Ax β的三个线性无关的解，所以3121,ηηηη−−是Ax =0的两个线性无关的解，即Ax =0的基础解系中至少有2个线性无关的解，所以可排除A ，B 选项. 又因为232ηη−是Ax =0的解，不是=Ax β的解，故排除D 选项，因此选C.（7）【答案】D . 【解答】122112[()()()()]d ()()1f x F x f x F x x F x F x +∞+∞−∞−∞+==⎰，故选答案D .（8）【答案】D ．【解答】因为()()111111((,))λ===⋅⋅===∑∑n ni i i i X E E T E E n n X X n n()112111111()()11−−==⎛⎫=+=+ ⎪−−⎝⎭∑∑n n i n in i i E T E X X E X E X n n n n 111(1)()()11i n n E X E X n n n λ⎛⎫=⋅−+=+ ⎪−⎝⎭ 所以()()12E T E T <又因为，()()1121((11))λ===⋅⋅==∑n i i D T D n D X D X n n X n n()11221121111()()1(1)()−−==+⋅+−−==∑∑n n i n i n i i X X D X D n n D n D X n T222211(1)1()()(1111)λλλ=⋅−⋅+⋅⎛⎫=+=+ ⎪−−⎝−⎭n D X D X n n n n n n由于当2n ≥时，21111n n n<+− ，所以()()12D T D T <，故选D.二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（9）【答案】()3e13xx +.【解答】因为()()()31300lim 13lim 13x t xtttt t f x x t x t ⋅→→⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦3e x x =⋅,所以有()()3e 13xf x x '=+.（10）【答案】()()12ln 2d d x y +−. 【解答】当1y =时，ln(1)(1)exx x z x +=+=，则11(1)(ln(1))2ln 211xx x x x z x x x=='=+⋅++=++当1x =时，1ln(1)11(1)ey y yz y+=+=，则21112111()ln(1)1111(1)12ln 2yy y y y y y yz yy==⋅−⋅−+⋅+'=+⋅=−−.则 ()1,1d (12ln 2)d (12ln 2)d z x y =+−+或()()d 12ln 2d d z x y =+−. （11）【答案】2y x =−.【解答】πtan e 4yx y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭的两端对x 求导，有()2πsec 1e 4y x y y y ⎛⎫''++⋅+= ⎪⎝⎭,将0,0x y ==代入上式，有()211πcos 4y y ''+=解得 ()0,02y '=−,故切线方程为2y x =−. （12）【答案】4π3. 【解答】()2222114πd π1d π.3V y x x x ==−=⎰⎰（13）【答案】213y .【解答】由()1r =A 知零特征值的重数为2. 又因为A 中各行元素之和为3,所以1113111A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即3是它的特征值.（14）【答案】22()μμσ+.【解答】因为(,)X Y 服从二维正态分布22(,;,;0)N μμσσ，不相关，所以,X Y 相互独立，故22222()()()E XY EXEY EX E Y DY μμσ==+=+.三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．解：()01lim ln 1x x x x →−−+201lim x x x →−=20x →= 2220002(sin )sin 1cos 1111lim lim lim 0222222x x x x x x x x x x x x →→→−−−−==−=−=−=−. （16）（本题满分10分）解：因为[(),(,)]z f x y f x y =+，所以121[(),(,)][(),(,)](,)zf x y f x y f x y f x y f x y x∂'''=+++⋅∂， ()()()()211122,,(,)zf x y f x y f x y f x y f x y x y∂'''''=+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∂∂ ()()()(){}112222(,),,(,)f x y f x y f x y f x y f x y f x y ''''''++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()212,,f x y f x y f x y '''+++⋅⎡⎤⎣⎦又()1,12=f 为(),f u v 的极值，所以()()121,11,10''==f f .所以，()()()211212112,22,21,1.x y zf f f x y==∂'''''=+⋅∂∂（17）（本题满分10分）解：令t =2x t =,d 2d x t t =x 2arcsin ln 2d t t t t t +=⋅⎰()22arcsin ln d t t t =+⎰2222arcsin 22ln 2d tt t t t t t t t=⋅−+⋅−⋅⎰222arcsin 2ln 4t t t t t=⋅+⋅+22arcsin 2ln 4t t t t t C=⋅+⋅++x C =++−+.证：令4π()4arctan 3f x x x =−+24()11f x x '=−+. 由()0f x '=得x =(0f =，所以x =.当x <时，()0f x >且单调递减；当x <<时，()0f x >且单调递增；所以，在区间(−∞上只有一个实根x =又当x >()f x单调递减，且8π03f =−>， ()4πlim lim 4arctan .3x x f x x x →+∞→+∞⎛=−+=−∞ ⎝所以，由零点定理可知，存在唯一一点)0x ∈+∞，使()00f x =,所以方程4π4arctan 03x x −+=恰有两实根.（19）（本题满分11分）解：因为()d d d ()d tt t xD f x y x y x f x y y −''+=+⎰⎰⎰⎰，令x y u +=，则()d ()d ()()t xtx f x y y f u u f t f x −''+==−⎰⎰()d d (()())d ()()d tttD f x y x y f t f x x tf t f x x '+=−=−⎰⎰⎰⎰所以201()()d ()d d ()2ttD tf t f x x f t x y t f t −==⎰⎰⎰.两边对t 求导，得 2()()02'+=−f t f t t ,解方程得2d 12()e (2)t t C f t C t −−⎰==− 由(0)1f =，得4C =. 所以函数表达式为24(),01(2)f x x x =−.（20）（本题满分11分）解:（Ⅰ）由于123,,ααα不能由123,,βββ线性表示，则对于123123(,,,,,)βββααα进行初等行变换：123123(,,,,,)βββααα= 11310112401313115a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭113101011112023014a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−⎝⎭113101011112005210a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−−⎝⎭. 当5a =时，1231231(,,)2(,,,)3r r =≠=ββββββα,此时，1α不能由123,,βββ线性表示，故5a =.（Ⅱ）对123123(,,,,,)αααβββ进行初等行变换:123123(,,,,,)=αααβββ101113013124115135⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124014022⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭1002150104210001102⎛⎫⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭. 故112324=+−βααα，2122=+βαα，31235102=+−βααα.（21）（本题满分11分）解:（Ⅰ）设()()TT121,0,1,1,0,1=−=αα，则()()1212,,=−ααααA ，即1122,=−=ααααA A ，从而A 有特征值121,1λλ=−=，对应的特征向量分别为()1110k k ≠α，()2220k k ≠α. 由于()2A =R ,所以30λ=.由于A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设30λ=对应的特征向量为()T3123,,x x x =α，则T 13T230,0.⎧=⎨=⎩αααα即13130,0.x x x x −=⎧⎨+=⎩ 解此方程组，得()T30,1,0=α,故30λ=对应的特征向量为()3330k k ≠α.故A 的所有特征值为1231,1,0λλλ=−==，对应的特征向量分别为()1110k k ≠α，()2220k k ≠α和()3330k k ≠α.（Ⅱ）由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：))()T T T3121231231,0,1,1,0,1,0,1,0==−====αααβββααα. 令()123,,=βββQ ，则T110−⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ΛQ AQ ， T =A Q QΛ022012200110220010022⎛⎫−⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪−⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪− ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭022022000022010022⎛⎫−⎛⎫ ⎪− ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭001000100⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭.（22）（本题满分11分）解：（Ⅰ）因为{}221P XY ==，所以有{}{}222210P X Y P X Y ≠=−==,即{}{}{}0,10,11,00P X Y P X Y P X Y ==−=======. 利用边缘概率和联合概率的关系得到{}{}{}{}10,000,10,13P X Y P X P X Y P X Y ====−==−−===；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y ==−==−−==−=；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y ====−===.即(),X Y 的概率分布为（Ⅱ）Z 的所有可能取值为1,0,1−,{}{}111,13P Z P X Y =−==−=−=，{}{}111,13P Z P X Y =====，{}{}{}101113P Z P Z P Z ==−=−=−=.所以，Z XY =的概率分布为（Ⅲ） covXY XY E XY E X E Y ρ−⋅==由（I ）中(),X Y 的联合分布可知()()1111010333E XY E Z ==−⋅+⋅+⋅=，()1111010333E Y =−⋅+⋅+⋅=，()()()0E XY E X E Y −⋅=，所以cov 0XY XY E XY E X E Y ρ−⋅===.（23）（本题满分11分）解：（Ⅰ）由条件可知曲线所围成的面积1G S =，所以(,)X Y 的联合概率密度为1,(),(,)0,x,y G f x y ∈⎧=⎨⎩其他.当01x <<时，0()(,)d 1d xX f x f x y y y x +∞−∞===⎰⎰，当12x <时，20()(,)d 1d 2xX f x f x y y y x +∞−−∞===−⎰⎰，X 的边缘概率密度为, 01,()2, 12,0, X x x f x x x <<⎧⎪=−<⎨⎪⎩其它.（Ⅱ）当01y <<时，Y 的边缘概率密度为2()(,)d 1d 22y Y yf y f x y x x y +∞−−∞===−⎰⎰.当01y <<时，|(|)X Y f x y 有意义，|1, 2,(,)22(|)()0, X Y Y y x y f x y y f x y f y ⎧<<−⎪−==⎨⎪⎩其他.。

考研数学三试题讲解及答案

考研数学三试题讲解及答案模拟试题：考研数学三一、选择题（每题3分，共30分）1. 设函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f'(x) > 0，则f(x)在该区间内是：A. 单调递增B. 单调递减C. 常数函数D. 无单调性2. 假设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么P(X=k)等于：A. λ^k * e^(-λ) / k!B. λ^k * e^(-λ) * k!C. e^(-λ) * λ^k / k!D. e^(-λ) * k * λ^k3. 对于连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)的下列性质中，错误的是：A. f(x) ≥ 0B. ∫[-∞, +∞] f(x) dx = 1C. P(a < X ≤ b) = ∫[a, b] f(x) dxD. E(X) = ∫[-∞, +∞] x * f(x) dx4. 设矩阵A为n阶可逆矩阵，且B=2A，则矩阵B的行列式|B|等于：A. |A|B. 2 * |A|C. 4 * |A|D. 2^n * |A|5. 设曲线C1: y = x^2 和曲线C2: y = 1/x 在它们交点处的切线方程分别为l1和l2，若l1与l2关于y轴对称，则交点的横坐标为：A. 1B. -1C. 2D. -26. 已知函数F(x) = ∫[a, x] f(t) dt，其中f(x)为连续函数，则F(x)是：A. 单调递增函数B. 单调递减函数C. 常数函数D. 既不是单调递增也不是单调递减函数7. 设数列{an}满足an+1 = 1/3an + 2/3，证明数列{an}是单调递增数列，需要使用：A. 作差法B. 作商法C. 定义法D. 放缩法8. 对于函数y = ln(cos x)，在区间(0, π/2)内：A. 单调递增B. 单调递减C. 先递增后递减D. 先递减后递增9. 设f(x)在区间[a, b]上连续，如果对于任意的x∈[a, b]，都有f(x) ≥ 1/x，则：A. f(x)在[a, b]上一定存在零点B. f(x)在[a, b]上一定存在最大值C. f(x)在[a, b]上一定存在最小值D. f(x)在[a, b]上不一定存在最小值10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，当x > 1时，f(x)的最小值是：A. -2B. 0C. 2D. 3答案：1. A2. C3. B4. D5. A6. D7. A8. B9. C10. A二、填空题（每题4分，共20分）11. 设函数f(x) = x^2 - 4x + 6，当x ∈ [1, +∞)时，f(x)的最大值是________。

考研数3试题及答案

考研数3试题及答案试题：一、选择题（每题3分，共36分）1. 下列函数中，满足条件f(-x) + f(x) = 0的函数是（）。

A. y = x^2B. y = |x|C. y = sin(x)D. y = cos(x)2. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么P(X=k)等于（）。

A. λ^k / k!B. e^(-λ) * λ^k / k!C. (λ^k / k!) * e^(-λ)D. k * e^(-λ) * λ^(k-1)3. 以下哪个选项是利用导数定义的极限形式（）。

A. lim (x->0) [sin(x)/x]B. lim (x->0) [tan(x)/x]C. lim (x->0) [1 - cos(x)]/x^2D. lim (x->0) [x/sinx]4. 设函数f(x)在点x=a处可导，那么f'(a)等于（）。

A. lim (h->0) [f(a+h) - f(a)]/hB. lim (h->0) [f(a) - f(a-h)]/hC. lim (h->0) [f(a+h) - f(a-h)]/2hD. lim (h->0) [f(a+2h) - f(a)]/2h5-10. （略，类似结构的选择题）二、填空题（每题4分，共20分）11. 若函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5在x=1处取得极小值，则f'(1)等于_________。

12. 设等比数列的首项a1=2，公比q=3，那么该数列的第5项a5等于_________。

13. 曲线y = x^3 - 6x^2 + 12x上点P(2,8)的切线斜率k等于_________。

14. 一个工厂有5台机器，其中3台机器运行正常，2台机器出现故障，那么从这5台机器中随机抽取2台，恰好抽到1台正常和1台故障机器的概率为_________。

15. 从1到100的整数中随机抽取一个数，这个数是3的倍数的概率为_________。

历年考研数学三真题及答案解析

历年考研数学三真题及答案解析2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线221x xyx+=-渐近线的条数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3（2）设函数2()(1)(2)x x nxf x e e e n=--…（-），其中n为正整数，则(0)f'=（）（A）1(1)(1)!n n---（B）(1)(1)!n n--（C）1(1)!n n--（D）(1)!n n-（3）设函数()f t连续，则二次积分22202cos()d f r rdrπθθ⎰⎰=（）（A）222() dx x y dy+⎰（B）222() dx f x y dy+⎰（C）2221() dx x y dy+⎰⎰（D）2221() dx x y dy+⎰⎰（4）已知级数11(1)inα∞=-∑绝对收敛，21(1)ninα∞-=-∑条件收敛，则α范围为（）（A）0<α12≤（B）12< α≤1（C）1<α≤32（D）32<α<2（5）设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中1234c c c c ，，，为任意常数，则下列向量组线性相关的是（）（A ）123ααα，，（B ）124ααα，，（C ）134ααα，，（D ）234ααα，，（6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且P-1AP=112⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 123=P ααα（，，），1223=Q αααα（+，，）则1=Q AQ -（）（A ）121⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（B ）112⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（D ）221⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （7）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则+P X Y ≤22｛1｝（）（A ）14（B ）12（C ）8π（D ）4π（8）设1234X X X X ，，，为来自总体N σσ>2（1，）（0）的简单随机样本，则统计量1234|+-2|X X X X -的分布（）（A ）N （0，1）（B ）(1)t（C ）2(1)χ （D ）(1,1)F二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）1cos sin 4lim(tan )x xx x π-→（22）（本题满分10分）已知随机变量X,Y 以及XY 的分布律如下表所示：求（1）P(X=2Y); （2）cov(,)XY X Y Y -ρ与.（23）（本题满分10分）设随机变量X和Y相互独立，且均服从参数为1的指数分布，min(,),=max(,).V X Y U X Y =求（1）随机变量V 的概率密度；（2）()E U V +.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案

(5) 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第二列加到第一列得矩阵 B ，再交换 B 的第二行与第三行得
⎛1 0 0⎞
⎛1 0 0⎞
单位矩阵，记
P1
=
⎜ ⎜
1
1
0
⎟ ⎟
，
P2
=
⎜ ⎜
0
0
1
⎟ ⎟
，则
A
=
(
)
⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠
⎜⎝ 0 1 0 ⎟⎠
(A) P1P2
(B) P1 −1P2
(C) P2P1
两个线性无关的解，即 Ax = 0 的基础解系中至少有 2 个线性无关的解，所以可排除 A，B
选项.
又因为 Aη2 −η3 = 0 ，所以 η2 −η3 是 Ax = 0 的解，不是 Ax = β 的解，故排除 D 选项，
2
2
因此选 C.
事实上，由于η1,η2 ,η3 是 Ax = β 的三个线性无关的解，所以η3 −η1,η2 −η1 是 Ax = 0 的
两个线性无关的解，即 Ax = 0 的基础解系中至少有 2 个线性无关的解，亦即 3 − r( A) ≥ 2 ，
故 r( A) ≤ 1.由于 A ≠ 0 ，所以 r( A) ≥ 1，故 r( A) = 1.这样， Ax = 0 的基础解系中正好有 2
个线性无关的解，由此知η3 −η1,η2 −η1 是 Ax = 0 的一个基础解系.
数学(三)试题第 5页 (共 4 页)
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(11)
曲线
tan
⎛ ⎜
⎝x+来自y+π 4
⎞ ⎟ ⎠
=
e
y
在点
(
0,0

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案详解

【详解一】 lim
x →0
1 + 2sin x − x − 1 1 + 2sin x − x − 1 = lim x →0 x ln(1 + x) x2
cos x − 1 + 2sin x cos x − 1 + 2sin x = lim x →0 x →0 2x 2 x 1 + 2sin x 1 cos x 1 )=− = lim(− sin x − 2 x →0 2 1 + 2sin x = lim
(B)
+ k2 (η 2 − η1 ) ; 2 η − η3 (D) 2 + k1 (η3 − η1 ) + k2 (η 2 − η1 ) . 2
η 2 − η3
η3 − η1，η 2 − η1 为 AX = 0 的基础解系.非齐次线性方程组解的线性组合若系数和为 1 是非
齐次线性方程组解，从而
η 2 + η3
2 2 2
.
【答案】 μ ( μ + σ )
2 2
【详解】由题知 X 与 Y 的相关系数 ρ XY = 0 ，即 X 与 Y 不相关.在二维正态分布条件下，X 与 Y 不相关与 X 与 Y 独立等价，所以 X 与 Y 独立，则有
EX = EY = μ , DX = DY = σ 2 EY 2 = DY + ( EY ) = μ 2 + σ 2
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【详解二】 lim
x →0
1 + 2sin x − x − 1 1 + 2sin x − ( x + 1) 2 = lim x →0 2 x ln(1 + x) x 1 + 2sin x − x − 1

2011【考研数三】真题及解析

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．) (1) 已知当0x →时，()3sin sin 3f x x x =-与k cx 是等价无穷小，则( ) (A) 1,4k c ==. (B) 1,4k c ==-. (C) 3,4k c ==. (D) 3,4k c ==-.(2) 已知函数()f x 在0x =处可导，且(0)0f =，则()()2332limx x f x f x x→-=( )(A) -2()0f '. (B) -()0f '. (C) ()0f '. (D) 0. (3) 设{}n u 是数列，则下列命题正确的是( ) (A) 若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=+∑收敛. (B) 若2121()n n n u u ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛.(C) 若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=-∑收敛. (D) 若2121()n n n u u ∞-=-∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛.(4) 设40ln sin I x dx π=⎰，4ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是( )(A) I J K <<． (B) I K J <<． (C) J I K <<． (D) K J I <<．(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A =( ) (A) 12P P ． (B) 112P P -． (C) 21P P ． (D) 121P P -．(6) 设A 为43⨯矩阵，123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，12,k k 为任意常数，则Ax β=的通解为( )(A)23121()2k ηηηη++-．(B)23121()2k -+-ηηηη． (C) 23121231()()2k k ++-+-ηηηηηη．(D) 23121231()()2k k -+-+-ηηηηηη．(7) 设1()F x ，2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x ，2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是( )(A) 12()()f x f x ． (B) 212()()f x F x ．(C) 12()()f x F x ． (D) 1221()()()()f x F x f x F x +． (8) 设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，12,,,(2)n X X X n ≥为来自总体X 的简单随机样本，则对应的统计量111,n i i T X n ==∑ 121111n i n i T X X n n-==+-∑( ) (A) 12()()E T E T >，12()()D T D T >． (B) 12()()E T E T >，12()()D T D T >． (C) 12()()E T E T <，12()()D T D T <． (D) 12()()E T E T <，12()()D T D T <．二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上．) (9) 设()()0lim 13xtt f x x t →=+，则()f x '= .(10) 设函数1x yx z y ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()1,1=dz .(11) 曲线tan 4yx y e π⎛⎫++= ⎪⎝⎭在点()0,0处的切线方程为 . (12) 曲线21y x =-，直线2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为 .(13) 设二次型()123,,T f x x x x Ax =的秩为1，A 的各行元素之和为3，则f 在正交变换x Q y =下的标准形为．(14) 设二维随机变量(),X Y 服从正态分布()22,;,;0N μμσσ，则()2E XY = ．三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)(15) (本题满分10分) 求极限()12sin 1limln 1x x x x x →+--+．(16) (本题满分10分) 已知函数(),fu v 具有连续的二阶偏导数，()1,12f =是(),f u v 的极值，(),,=+⎡⎤⎣⎦z f x y f x y ，求()21,1zx y∂∂∂.(17) (本题满分10分) 求arcsin ln x xdx x+⎰. (18) (本题满分10分) 证明44arctan 303x x π-+-=恰有2实根. (19) (本题满分10分)设函数()f x 在[]0,1有连续导数，(0)1f =，且()()ttD D f x y dxdy ft dxdy '+=⎰⎰⎰⎰, {}(,)0,0(01)=≤≤-≤≤<≤t D x y y t x x t t ，求()f x 的表达式.(20) (本题满分11分)设向量组123(1,0,1),(0,1,1),(1,3,5)T T T ααα===，不能由向量组1(1,1,1)Tβ=，2(1,2,3)T β=，3(3,4,)T a β=线性表示．(I) 求a 的值；(II) 将123,,βββ由123,,ααα线性表示． (21) (本题满分11分)A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为2，即()2r A =，且111100001111A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．(I) 求A 的特征值与特征向量；(II) 求矩阵A ．(22) (本题满分11分)设随机变量X 与Y 的概率分布分别为X 0 1P 1/3 2/3Y 1- 01 P1/3 1/3 1/3且{}221P X Y ==．(Ｉ)求二维随机变量(,)X Y 的概率分布； (II)求Z XY =的概率分布； (III)求X 与Y 的相关系数XY ρ． (23) (本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由0,2x y x y -=+=与0y =所围成的区域．(I)求边缘概率密度()X f x ； (II)求条件密度函数|(|)X Y f x y ．2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．)【解析】因为03sin sin 3limk x x x cx →-03sin sin cos 2cos sin 2lim k x x x x x xcx→--= ()20sin 3cos 22cos limkx x x x cx →--=2103cos 22cos lim k x x xcx -→--= ()22132cos 12cos limk x x xcx -→---=22110044cos 4sin lim lim k k x x x x cx cx --→→-== 304lim1k x cx -→==．所以4,3c k ==，故答案选(C). (2)【答案】(B)．【解析】()()2332limx x f x f x x→-()()()()22330220limx x f x x f f x f x→--+=()()()()33000lim 2x f x f f x f x x →⎡⎤--⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦()()()0200f f f '''=-=-．故答案选(B).(3)【答案】(A).【解析】方法1：数项级数的性质：收敛级数任意添加括号后仍收敛，故(A)正确. 方法2：排除法，举反例．选项(B)取(1)nn u =-，这时21211()0n n n n uu ∞∞-==+=∑∑收敛，但11(1)n n n n u ∞∞===-∑∑发散，故选项(B)错误；选项(C)取1(1)n n u n --=，这时111(1)n n n n u n -∞∞==-=∑∑收敛，但212111()n n n n u u n ∞∞-==-=∑∑发散，故选项(C)错误；选项(D)取1n u =，这时21211()0n n n n uu ∞∞-==-=∑∑收敛，但111n n n u ∞∞===∑∑发散，故选项(D)错误．故正确答案为(A).【解析】因为04x π<<时， 0sin cos 1cot x x x <<<<，又因ln x 是单调递增的函数，所以lnsin lncos lncot x x x <<．故正确答案为(B)． (5)【答案】 (D)．【解析】由于将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，故100110001A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，即1AP B =，11A BP-=．由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵，故100001010B E ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，即2,P B E =故122B P P -==．因此，121A P P -=，故选(D)．(6)【答案】(C)．【解析】由于123,,ηηη是Ax β=的3个线性无关的解，所以3121,ηηηη--是0Ax =的两个线性无关的解，即0Ax =的基础解系中至少有2个线性无关的解，所以可排除(A)、(B)选项．又因为2302A ηη-=，所以232ηη-是0Ax =的解，不是Ax β=的解，故排除(D)选项，因此选(C)．事实上，由于123,,ηηη是Ax β=的三个线性无关的解，所以2131,--ηηηη是0Ax =的两个线性无关的解，即0Ax =的基础解系中至少有2个线性无关的解，亦即3()2r A -≥，故()1r A ≤．由于A O ≠，所以()1r A ≥，故()1r A =．这样，0Ax =的基础解系中正好有2个线性无关的解，由此知2131,--ηηηη是0Ax =的一个基础解系．因为123,,ηηη是Ax β=的解，所以23,A A ηβηβ==，因此232A ηηβ+=，所以232ηη+是Ax β=的一个特解．由非齐次线性方程组解的结构，可知Ax β=的通解为23121231()()2k k ++-+-ηηηηηη．(7)【答案】(D)．【解析】选项(D)1122()()()()f x F x f x F x dx +∞-∞⎡⎤+⎣⎦⎰2211()()()()F x dF x F x dF x +∞-∞⎡⎤=+⎣⎦⎰21()()d F x F x +∞-∞⎡⎤=⎣⎦⎰12()()|F x F x +∞-∞=1=．所以1221()()f F x f F x +为概率密度. (8)【答案】(D)．【解析】因为12,,,()nX X X P λ，所以()i E X λ=，()i D X λ=，从而有()()()1111()11()n ni i i i X E X E T n n n nE E X E X λ===⋅⋅====∑∑()112111111()()11--==⎛⎫=+=+ ⎪--⎝⎭∑∑n n i n in i i E T E X X E X E X n n n n()()111λ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭E X E X n n ．因为111n<+，所以()()12<E T E T ．又因为 ()()1121((11))λ===⋅⋅==∑n i i D T D n D X D X n n X n n．()11221121111()()1(1)()--==+⋅+--==∑∑n n i n i n i i X X D X D n n D n D X n T2211(111)()1D X D X n n n n λ=⋅+⋅-⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭ ．由于当2≥n 时，21111<+-n n n，所以()()12D T D T <．二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上．) (9)【答案】()313xex +.【解析】因为()()()31300lim 13lim 13x t xtttt t f x x t x t ⋅→→⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦3x x e =⋅，所以，()()313'=+xf x ex .(10)【答案】()()12ln 2dx dy +-.【解析】ln(1)(1)xxxy y yx z e y+=+=,11(1)ln(1)1x ydz x x x y x dx y y y y y ⎡⎤⎢⎥=+++⋅⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦,22(1)ln(1)1xy x dz x x x x y x dy y y y y y ⎡⎤-⎢⎥=+-++⋅⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦，所以，(1,1)2ln 21dz dx =+，(1,1)12ln 2dzdx =--，从而 ()()()1,112ln 212ln 2dz dx dy =+-+或()()()1,112ln 2dz dx dy =+-.(11)【答案】2y x =-.【解析】方程tan 4yx y e π⎛⎫++= ⎪⎝⎭的两端对x 求导，有 ()2sec 14y x y y e y π⎛⎫''++⋅+= ⎪⎝⎭，将0,0x y ==代入上式，有()211cos4y y π''+=，解得()0,02y '=-，故切线方程为：2y x =-.(12) 【答案】43π. 【解析】如图２所示：221V y dx π=⎰()2211x dx π=-⎰43π=．xy21y x =-图２(13)【答案】213y ．【解析】因为A 的各行元素之和为3，所以1113111A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故3为矩阵A 的特征值．由()1r A =知矩阵A 有两个特征值为零，从而1233,0===λλλ．由于二次型在正交变换下标准形前面的系数即为二次型所对应矩阵的特征值，所以二次型在正交变换下的标准形为213y ．(14)【答案】()22μμσ+．【解析】根据题意，二维随机变量(),X Y 服从()22,;,;0N μμσσ．因为0xy ρ=，所以由二维正态分布的性质知随机变量,X Y 独立，所以2,X Y ．从而有()()()()()()22222E XY E X E Y D Y E Y μμμσ⎡⎤==+=+⎣⎦．三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)(15) (本题满分10分)【解析】()2012sin 112sin 1limlim ln 1x x x x x x x x x →→+--+--=+ 012cos 1212sin lim 2x x x x→⋅-+= 0cos 12sin lim212sin x x xx x→-+=+000cos 12sin lim2cos sin 12sin lim2cos lim212sin 1.2x x x x x xxx x xx →→→-+=--+==-+=- (16) (本题满分10分) 【解析】121[(),(,)][(),(,)](,)zf x y f x y f x y f x y f x y x∂'''=+++⋅∂ ()()()()()()()(){}()()()211122212221212,1,(,),,(,)(,),,zf x y f x y x yf x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y ∂''=++⋅⎡⎤⎣⎦∂∂'''+++⋅⎡⎤⎣⎦''''''++++++⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦'''+++⋅⎡⎤⎣⎦由于()1,12f =为(),f u v 的极值，故()()121,11,10f f ''==，所以，()()()2112122,22,21,1.zf f f x y∂'''''=+⋅∂∂ (17) (本题满分10分) 【解析】令t x =，则2x t =,2dx tdt =，所以arcsin ln x xdx x+⎰2arcsin ln 2t t tdt t +=⋅⎰()22arcsin ln t t dt =+⎰ 22222arcsin 22ln 21t tt t dt t t t dt tt =⋅-+⋅-⋅-⎰⎰ 222(1)2arcsin 2ln 41d t t t t t t t -=⋅++⋅--⎰222arcsin 212ln 4t t t t t t C =⋅+-+⋅-+2arcsin 2ln 214.x x x x x x C =++--+(18) (本题满分10分)【解析】设4()4arctan 33f x x x π=-+-，则 224(3)(3)()111x x f x x x -+'=-=++，令()0f x '=，解得驻点123,3x x ==-.所以，当3x <-时，()0f x '<，故()f x 单调递减；当33x -<<时，()0f x '>，故()f x 单调递增；当3x >时，()0f x '<，故()f x 单调递减.又当(,3)(3,3)x ∈-∞--时()0f x >，且(3)0f -=，故(,3)x ∈-∞时只有一个零点；又8(3)2303f π=->，()4lim lim 4arctan 303x x f x x x π→+∞→+∞⎛⎫=-+-=-∞< ⎪⎝⎭，由零点定理可知，存在()03,x ∈+∞，使()00f x =；所以，方程44arctan 303x x π-+-=恰有两实根. (19) (本题满分10分) 【解析】21()()2tD f t dxdy t f t =⎰⎰，000()()(()())()()ttt xD t tf x y dxdy dx f x y dyf t f x dx tf t f x dx-''+=+=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰由题设有 201()()()2ttf t f x dx t f t -=⎰，上式两端求导，整理得(2)()2()t f t f t '-=，为变量可分离微分方程，解得2()(2)Cf t t =-，带入(0)1f =，得4C =. 所以，24(),01(2)f x x x =≤≤-. (20) (本题满分11分)【解析】(I)由于123,,ααα不能由123,,βββ线性表示，对123123(,,,,,)βββααα进行初等行变换：123123113101(,,,,,)12401313115a ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭βββααα113101011112023014a ⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭113101011112005210a ⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪--⎝⎭．当5a =时，1231231(,,)2(,,,)3r r ββββββα=≠=，此时，1α不能由123,,βββ线性表示，故123,,ααα不能由123,,βββ线性表示．(II)对123123(,,,,,)αααβββ进行初等行变换：123123101113(,,,,,)013124115135⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αααβββ101113013124014022⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪--⎝⎭ 1002150104210001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪--⎝⎭，故112324βααα=+-，2122βαα=+，31235102βααα=+-．(21) (本题满分11分)【解析】(I)由于111100001111A -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，设()()121,0,1,1,0,1T T αα=-=，则()()1212,,A αααα=-，即1122,A A αααα=-=，而120,0αα≠≠，知A 的特征值为121,1λλ=-=，对应的特征向量分别为()1110k k α≠，()2220k k α≠．由于()2r A =，故0A =，所以30λ=．由于A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设30λ=对应的特征向量为()3123,,Tx x x α=，则13230,0,T T⎧=⎨=⎩αααα即13130,0x x x x -=⎧⎨+=⎩．解此方程组，得()30,1,0Tα=，故30λ=对应的特征向量为()3330k k α≠．(II) 由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：()()()312123123111,0,1,1,0,1,0,1,022T T Tαααβββααα==-====．令()123,,Q βββ=，则110TQ AQ -⎛⎫⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭， TA Q Q =Λ22022220122220011022022010022⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭22022220001222200000002210022010022⎛⎫-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭．【解析】(I)因为{}221P X Y ==，所以{}{}222210≠=-==P X Y P X Y ．即 {}{}{}0,10,11,00P X Y P X Y P X Y ==-=======．利用边缘概率和联合概率的关系得到{}{}{}{}10,000,10,13P X Y P X P X Y P X Y ====-==--===；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y ==-==--==-=；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y ====-===．即(),X Y 的概率分布为(II)Z 的所有可能取值为1,0,1-．{}{}111,13P Z P X Y =-===-=．{}{}111,13P Z P X Y =====．{}{}{}101113P Z P Z P Z ==-=-=-=．Z XY =的概率分布为(III)因为()()()()()()()()XY Cov XY E XY E X E Y D X D Y D X D Y ρ-⋅==，其中()()1111010333E XY E Z ==-⋅+⋅+⋅=，()1111010333E Y =-⋅+⋅+⋅=．所以()()()0-⋅=E XY E X E Y ，即X ，Y 的相关系数0ρ=XY ．Z -1 0 1 P 1/31/31/3XY-1 0 1 0 1/3 0 10 1/31/3【解析】二维连续型随机变量(,)X Y 的概率密度为1,01,2,(,)0,.y y x y f x y <<<<-⎧=⎨⎩其它(Ｉ)当01x <<时，0()(,)1xX f x f x y dy dy x +∞-∞===⎰⎰．当12x ≤<时，20()(,)12x X f x f x y dy dy x +∞--∞===-⎰⎰．X 的边缘概率密度为, 01,()2, 12,0, X x x f x x x <<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其它.(II)当01y <<时，Y 的边缘概率密度为2()(,)122yY yf y f x y dx dx y +∞--∞===-⎰⎰．当01y <<时，|(|)X Y f x y 有意义，条件概率密度|1, 2,(,)22(|)()0, X Y Y y x y f x y y f x y f y ⎧<<-⎪-==⎨⎪⎩其它.。

2011考研数三真题及解析

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．) (1) 已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与k cx 是等价无穷小，则( ) (A) 1,4k c ==. (B) 1,4k c ==-. (C) 3,4k c ==. (D) 3,4k c ==-.(2) 已知函数()f x 在0x =处可导，且(0)0f =，则()()2332limx x f x f x x →-=( )(A) -2()0f '. (B) -()0f '. (C) ()0f '. (D) 0. (3) 设{}n u 是数列，则下列命题正确的是( ) (A) 若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=+∑收敛. (B) 若2121()n n n u u ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛.(C) 若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=-∑收敛. (D) 若2121()n n n u u ∞-=-∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛.(4) 设4ln sin I x dx π=⎰，40ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是( )(A) I J K <<． (B) I K J <<． (C) J I K <<． (D) K J I <<．(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A =( ) (A) 12PP ． (B) 112P P -． (C) 21P P ． (D) 121P P -．(6) 设A 为43⨯矩阵，123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，12,k k 为任意常数，则Ax β=的通解为( )(A)23121()2k ηηηη++-．(B)23121()2k -+-ηηηη． (C) 23121231()()2k k ++-+-ηηηηηη．(D) 23121231()()2k k -+-+-ηηηηηη．(7) 设1()F x ，2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x ，2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是( )(A) 12()()f x f x ． (B) 212()()f x F x ．(C) 12()()f x F x ． (D) 1221()()()()f x F x f x F x +．(8) 设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，12,,,(2)n X X X n ≥ 为来自总体X 的简单随机样本，则对应的统计量111,n i i T X n ==∑ 121111n i n i T X X n n -==+-∑( )(A) 12()()E T E T >，12()()D T D T >． (B) 12()()E T E T >，12()()D T D T >． (C) 12()()E T E T <，12()()D T D T <． (D) 12()()E T E T <，12()()D T D T <．二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上．) (9) 设()()0lim 13x tt f x x t →=+，则()f x '= .(10) 设函数1x yx z y ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()1,1=dz .(11) 曲线tan 4yx y e π⎛⎫++= ⎪⎝⎭在点()0,0处的切线方程为 . (12)曲线y =2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为 .(13) 设二次型()123,,Tf x x x x Ax =的秩为1，A 的各行元素之和为3，则f 在正交变换x Q y =下的标准形为．(14) 设二维随机变量(),X Y 服从正态分布()22,;,;0N μμσσ，则()2E X Y = ．三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)(15) (本题满分10分)求极限0x →．(16) (本题满分10分) 已知函数(),fu v 具有连续的二阶偏导数，()1,12f =是(),f u v 的极值，(),,=+⎡⎤⎣⎦z f x y f x y ，求()21,1zx y∂∂∂.(17) (本题满分10分)求. (18) (本题满分10分)证明44arctan 03x x π-+=恰有2实根. (19) (本题满分10分)设函数()f x 在[]0,1有连续导数，(0)1f =，且()()ttD D f x y dxdy ft dxdy '+=⎰⎰⎰⎰, {}(,)0,0(01)=≤≤-≤≤<≤t D x y y t x x t t ，求()f x 的表达式.(20) (本题满分11分)设向量组123(1,0,1),(0,1,1),(1,3,5)T T T ααα===，不能由向量组1(1,1,1)Tβ=，2(1,2,3)T β=，3(3,4,)T a β=线性表示．(I) 求a 的值；(II) 将123,,βββ由123,,ααα线性表示． (21) (本题满分11分)A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为2，即()2r A =，且111100001111A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．(I) 求A 的特征值与特征向量；(II) 求矩阵A ．(22) (本题满分11分)设随机变量X 与Y 的概率分布分别为且{}221P X Y ==．(Ｉ)求二维随机变量(,)X Y 的概率分布； (II)求Z XY =的概率分布； (III)求X 与Y 的相关系数XY ρ． (23) (本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由0,2x y x y -=+=与0y =所围成的区域．(I)求边缘概率密度()X f x ； (II)求条件密度函数|(|)X Y f x y ．2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．) (1)【答案】(C)．【解析】因为03sin sin3limk x x x cx →-03sin sin cos 2cos sin 2limk x x x x x xcx →--= ()20sin 3cos 22cos limkx x x x cx →--=2103cos 22cos lim k x x xcx -→--= ()22132cos 12cos limk x x xcx -→---=22110044cos 4sin lim limk k x x x xcx cx --→→-== 304lim1k x cx -→==．所以4,3c k ==，故答案选(C). (2)【答案】(B)．【解析】()()2332limx x f x f x x →-()()()()22330220limx x f x x f f x f x→--+=()()()()33000lim 2x f x f f x f x x →⎡⎤--⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦()()()0200f f f '''=-=-．故答案选(B).(3)【答案】(A).【解析】方法1：数项级数的性质：收敛级数任意添加括号后仍收敛，故(A)正确. 方法2：排除法，举反例．选项(B)取(1)nn u =-，这时21211()0n n n n uu ∞∞-==+=∑∑收敛，但11(1)n n n n u ∞∞===-∑∑发散，故选项(B)错误；选项(C)取1(1)n n u n --=，这时111(1)n n n n u n -∞∞==-=∑∑收敛，但212111()n n n n u u n∞∞-==-=∑∑发散，故选项(C)错误；选项(D)取1n u =，这时21211()0n n n n uu ∞∞-==-=∑∑收敛，但111n n n u ∞∞===∑∑发散，故选项(D)错误．故正确答案为(A).(4)【答案】(B)．【解析】因为04x π<<时， 0sin cos 1cot x x x <<<<，又因ln x 是单调递增的函数，所以lnsin lncos lncot x x x <<．故正确答案为(B)． (5)【答案】 (D)．【解析】由于将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，故100110001A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，即1AP B =，11A BP -=．由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵，故100001010B E ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，即2,P B E =故122B P P -==．因此，121A P P -=，故选(D)．(6)【答案】(C)．【解析】由于123,,ηηη是Ax β=的3个线性无关的解，所以3121,ηηηη--是0Ax =的两个线性无关的解，即0Ax =的基础解系中至少有2个线性无关的解，所以可排除(A)、(B)选项．又因为2302A ηη-=，所以232ηη-是0Ax =的解，不是Ax β=的解，故排除(D)选项，因此选(C)．事实上，由于123,,ηηη是Ax β=的三个线性无关的解，所以2131,--ηηηη是0Ax =的两个线性无关的解，即0Ax =的基础解系中至少有2个线性无关的解，亦即3()2r A -≥，故()1r A ≤．由于A O ≠，所以()1r A ≥，故()1r A =．这样，0Ax =的基础解系中正好有2个线性无关的解，由此知2131,--ηηηη是0Ax =的一个基础解系．Born to win因为123,,ηηη是Ax β=的解，所以23,A A ηβηβ==，因此232A ηηβ+=，所以232ηη+是Ax β=的一个特解．由非齐次线性方程组解的结构，可知Ax β=的通解为23121231()()2k k ++-+-ηηηηηη．(7)【答案】(D)．【解析】选项(D)1122()()()()f x F x f x F x dx +∞-∞⎡⎤+⎣⎦⎰2211()()()()F x dF x F x dF x +∞-∞⎡⎤=+⎣⎦⎰21()()d F x F x +∞-∞⎡⎤=⎣⎦⎰12()()|F x F x +∞-∞=1=．所以1221()()f F x f F x +为概率密度. (8)【答案】(D)．【解析】因为12,,,()n X X X P λ ，所以()i E X λ=，()i D X λ=，从而有()()()1111()11()n ni i i i X E X E T n n n nE E X E X λ===⋅⋅====∑∑()112111111()()11--==⎛⎫=+=+ ⎪--⎝⎭∑∑n n i n i n i i E T E X X E X E X n n n n()()111λ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭E X E X n n ．因为111n<+，所以()()12<E T E T ．又因为 ()()1121((11))λ===⋅⋅==∑n i i D T D n D X D X n n X n n．()11221121111()()1(1)()--==+⋅+--==∑∑n n i n i n i i X X D X D n n D n D X n T2211(111)()1D X D X n n n n λ=⋅+⋅-⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭ ．由于当2≥n 时，21111<+-n n n，所以()()12D T D T <．二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上．) (9)【答案】()313xex +.【解析】因为()()()31300lim 13lim 13x t xtttt t f x x t x t ⋅→→⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦3x x e =⋅，所以，()()313'=+xf x e x .(10)【答案】()()12ln 2dx dy +-.【解析】ln(1)(1)xxxy y yx z e y+=+=,11(1)ln(1)1x ydz x x x y x dx y y y y y ⎡⎤⎢⎥=+++⋅⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦,22(1)ln(1)1xy x dz x x x x y x dy y y y y y ⎡⎤-⎢⎥=+-++⋅⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦，所以，(1,1)2ln 21dz dx =+，(1,1)12ln 2dzdx =--，从而 ()()()1,112ln 212ln 2dzdx dy =+-+或()()()1,112ln 2dzdx dy =+-.(11)【答案】2y x =-.【解析】方程tan 4yx y e π⎛⎫++= ⎪⎝⎭的两端对x 求导，有 ()2sec 14y x y y e y π⎛⎫''++⋅+= ⎪⎝⎭，将0,0x y ==代入上式，有()211cos4y y π''+=，解得()0,02y '=-，故切线方程为：2y x =-.(12) 【答案】43π. 【解析】如图２所示：221V y dx π=⎰()2211x dx π=-⎰43π=．(13)【答案】213y ．【解析】因为A 的各行元素之和为3，所以1113111A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故3为矩阵A 的特征值．由()1r A =知矩阵A 有两个特征值为零，从而1233,0===λλλ．由于二次型在正交变换下标准形前面的系数即为二次型所对应矩阵的特征值，所以二次型在正交变换下的标准形为213y ．(14)【答案】()22μμσ+．【解析】根据题意，二维随机变量(),X Y 服从()22,;,;0N μμσσ．因为0xy ρ=，所以由二维正态分布的性质知随机变量,X Y 独立，所以2,X Y ．从而有()()()()()()22222E XY E X E Y D Y E Y μμμσ⎡⎤==+=+⎣⎦．三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)(15) (本题满分10分)【解析】00x x →→=0x →=x →=0001.2x x x →→→===-=-(16) (本题满分10分) 【解析】121[(),(,)][(),(,)](,)zf x y f x y f x y f x y f x y x∂'''=+++⋅∂ ()()()()()()()(){}()()()211122212221212,1,(,),,(,)(,),,zf x y f x y x yf x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y ∂''=++⋅⎡⎤⎣⎦∂∂'''+++⋅⎡⎤⎣⎦''''''++++++⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦'''+++⋅⎡⎤⎣⎦由于()1,12f =为(),f u v 的极值，故()()121,11,10f f ''==，所以，()()()2112122,22,21,1.zf f f x y∂'''''=+⋅∂∂(17) (本题满分10分)【解析】令t =，则2x t =,2dx tdt =，所以2arcsin ln 2t t tdt t +=⋅⎰()22arcsin ln t t dt =+⎰2222arcsin 22ln 2t t t t t t dt t =⋅-+⋅-⋅⎰ 222arcsin 2ln 4t t t t t =⋅++⋅-22arcsin 2ln 4t t t t t C =⋅+⋅-+.x C =+(18) (本题满分10分)【解析】设4()4arctan 3f x x x π=-+-则 24()11f x x '=-=+令()0f x '=，解得驻点12x x ==所以，当x <()0f x '<，故()f x 单调递减；当x <<()0f x '>，故()f x 单调递增；当x >()0f x '<，故()f x 单调递减.又当(,(x ∈-∞ 时()0f x >，且(0f =，故(x ∈-∞时只有一个零点；又803f π=->，()4lim lim 4arctan 03x x f x x x π→+∞→+∞⎛=-+-=-∞< ⎝，由零点定理可知，存在)0x ∈+∞，使()00f x =；所以，方程44arctan 03x x π-+-=恰有两实根. (19) (本题满分10分) 【解析】21()()2tD f t dxdy t f t =⎰⎰，000()()(()())()()tt t xD t tf x y dxdy dx f x y dyf t f x dx tf t f x dx-''+=+=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰由题设有 201()()()2ttf t f x dx t f t -=⎰，上式两端求导，整理得(2)()2()t f t f t '-=，为变量可分离微分方程，解得2()(2)Cf t t =-，带入(0)1f =，得4C =. 所以，24(),01(2)f x x x =≤≤-.(20) (本题满分11分)【解析】(I)由于123,,ααα不能由123,,βββ线性表示，对123123(,,,,,)βββααα进行初等行变换：123123113101(,,,,,)12401313115a ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭βββααα113101011112023014a ⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭113101011112005210a ⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪--⎝⎭．当5a =时，1231231(,,)2(,,,)3r r ββββββα=≠=，此时，1α不能由123,,βββ线性表示，故123,,ααα不能由123,,βββ线性表示．(II)对123123(,,,,,)αααβββ进行初等行变换：123123101113(,,,,,)013124115135⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αααβββ101113013124014022⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪--⎝⎭ 1002150104210001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪--⎝⎭，故112324βααα=+-，2122βαα=+，31235102βααα=+-．(21) (本题满分11分)【解析】(I)由于111100001111A -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，设()()121,0,1,1,0,1T T αα=-=，则()()1212,,A αααα=-，即1122,A A αααα=-=，而120,0αα≠≠，知A 的特征值为121,1λλ=-=，对应的特征向量分别为()1110k k α≠，()2220k k α≠．由于()2r A =，故0A =，所以30λ=．由于A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设30λ=对应的特征向量为()3123,,Tx x x α=，则13230,0,T T⎧=⎨=⎩αααα即13130,0x x x x -=⎧⎨+=⎩．解此方程组，得()30,1,0Tα=，故30λ=对应的特征向量为()3330k k α≠．(II) 由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：))()3121231231,0,1,1,0,1,0,1,0T T Tαααβββααα==-====．令()123,,Q βββ=，则110TQ AQ -⎛⎫⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭，T A Q Q =Λ2210011001022⎛-⎛⎫⎪⎪-⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪ ⎪- ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭220012200000002210001022⎛-⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭．(22) (本题满分11分)【解析】(I)因为{}221P X Y==，所以{}{}222210≠=-==P X Y P X Y．即{}{}{}0,10,11,00P X Y P X Y P X Y==-=======．利用边缘概率和联合概率的关系得到{}{}{}{}1 0,000,10,13P X Y P X P X Y P X Y====-==--===；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y==-==--==-=；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y====-===．即,X Y的概率分布为(II)Z的所有可能取值为1,0,1-．Born to win{}{}111,13P Z P X Y =-===-=．{}{}111,13P Z P X Y =====．{}{}{}101113P Z P Z P Z ==-=-=-=． Z XY =的概率分布为(III)因为XY Cov XY E XY E X E Y ρ-⋅==，其中()()1111010333E XY E Z ==-⋅+⋅+⋅=，()1111010333E Y =-⋅+⋅+⋅=．所以()()()0-⋅=E XY E X E Y ，即X ，Y 的相关系数0ρ=XY ．(23) (本题满分11分)【解析】二维连续型随机变量(,)X Y 的概率密度为1,01,2,(,)0,.y y x y f x y <<<<-⎧=⎨⎩其它(Ｉ)当01x <<时，0()(,)1xX f x f x y dy dy x +∞-∞===⎰⎰．当12x ≤<时，20()(,)12x X f x f x y dy dy x +∞--∞===-⎰⎰．X 的边缘概率密度为, 01,()2, 12,0, X x x f x x x <<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其它.(II)当01y <<时，Y 的边缘概率密度为2()(,)122yY yf y f x y dx dx y +∞--∞===-⎰⎰．当01y <<时，|(|)X Y f x y 有意义，条件概率密度|1, 2,(,)22(|)()0, X Y Y y x y f x y y f x y f y ⎧<<-⎪-==⎨⎪⎩其它.。

2023年全国硕士研究生招生考试《数学三》真题及答案解析【完整版】

2023年全国硕士研究生招生考试《数学三》真题及答案解析【完整版】一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1．已知函数f （x ，y ）＝ln （y ＋|xsiny|），则（）。

A ．()0,1fx ∂∂不存在，()0,1f y ∂∂存在B ．()0,1fx ∂∂存在，()0,1f y ∂∂不存在C ．()0,1fx ∂∂，()0,1f y ∂∂均存在D ．()0,1fx ∂∂，()0,1f y∂∂均不存在【答案】A【解析】f （0，1）＝0，由偏导数的定义()()()()0000,1ln 1sin1,10,1lim lim sin1lim x x x x x f x f fx x xx →→→+-∂===∂，因为0lim 1x x x+→=，0lim 1x x x-→=-，所以()0,1fx ∂∂不存在， ()()()1110,10,0,1ln 1lim lim lim 1111y y y f y f f y y y y y y →→→-∂-====∂---，所以()0,1f y∂∂存在.2．函数()()01cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的原函数为（）。

A ．())()ln ,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪+->⎩B ．())()ln 1,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪+->⎩C ．())()ln ,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪++>⎩D ．())()ln 1,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩【答案】D【解析】当x ≤0时，()(1d ln f x x x C ==+⎰当x ＞0时，()()()()()2d 1cos d 1dsin 1sin sin d 1sin cos f x x x x xx x x x x x x x x C =+=+=+-=+++⎰⎰⎰⎰原函数在（－∞，＋∞）内连续，则在x ＝0处(110lim ln x x C C -→++=，()220lim 1sin cos 1x x x x C C +→+++=+ 所以C 1＝1＋C 2，令C 2＝C ，则C 1＝1＋C ，故())()ln 1,0d 1sin cos ,0x C x f x x x x x C x ⎧++≤⎪=⎨⎪+++>⎩⎰，综合选项，令C ＝0，则f （x ）的一个原函数为())()ln 1,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩.3．已知微分方程式y ′′＋ay ′＋by ＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则（）。

数学三考研试题及答案

数学三考研试题及答案一、选择题1. 设X1, X2, ..., Xn为n个独立同分布的随机变量，均服从参数为λ的指数分布，且Y=min{X1, X2, ..., Xn}。

则Y的概率密度函数是：A. f(y)=ne^(−λy)(λy)^(n−1)/ (n−1)!B. f(y)=ne^(−λy)(−λy)^(n−1)/ (n−1)!C. f(y)=ne^(−λy)(λy)^n/ (n−1)!D. f(y)=ne^(−λy)(−λy)^n/ (n−1)!答案：A2. 若一个n维随机向量X服从多元正态分布，均值向量为μ，协方差矩阵为Σ，记作X～N(μ,Σ)，则对任意非零n维向量a，aab的数学期望为：A. μB. 0C. 1D. Σ答案：B3. 设随机变量X为服从参数为λ的指数分布，他的概率密度函数为f(x)，则概率P(X>a)为：A. ∫f(x)dx, 从a到∞B. ∫f(x)dx, 从0到aC. ∫f(x)dx, 从−∞到aD. ∫f(x)dx, 从−∞到0答案：A4. 设A为n×n实对称矩阵，则：A. A与A的转置A^T一定有相同的特征值B. A与A的转置A^T一定有相同的特征多项式C. A与-A的值域相同D. A与-A有相同的特征值答案：A5. 若f(x)是连续随机变量X的概率密度函数，且f(x)在R上恒大于零，则：A. P(X∈[a,b])=∫[a,b]f(x)dxB. P(X∈[a,b])=∫[a,b]f(x)dx，其中[a,b]为实数轴上的一个固定区间C. P(X=x)=0，其中x为随机变量X的取值D. P(X=a)=∫af(x)dx，其中a为固定实数答案：B二、填空题1. 若随机变量X服从正态分布N(1,4)，则P(1<X≤2)的近似值为_____答案：0.13592. 设样本容量为n的二项分布B(n,p)的方差为4，且期望值为2，则n的数值为_____答案：13. 设事件A、B相互独立，且P(A)=0.6，P(B)=0.4，那么P(AUB)的数值为_____答案：0.764. 若事件A与事件B相互独立，且P(A)=0.2，P(B)=0.3，那么P(AB)的数值为_____答案：0.065. 设随机变量X的概率密度函数为f(x)，则∫f(x)dx的值为_____答案：1三、计算题1. 设随机变量X服从参数为1的指数分布，求P(X>2)的概率值。

金融考研数学三试题及答案

金融考研数学三试题及答案金融考研数学三模拟试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，在x=0处不可导的是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = sin(x)D. y = e^x2. 假设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么P(X=k)等于（）A. λ^k * e^(-λ) / k!B. λ^k * e^(-λ)C. e^(-λ) * k!D. k * λ^k * e^(-λ) / k!3. 在连续复利的情况下，如果年利率为10%，那么1年后100元的投资将增长到（）A. 110元B. 111元C. e元D. 100元4. 以下哪个矩阵是可逆的？（）A. [1 2; 3 4]B. [2 0; 0 2]C. [1 0; 0 1]D. [0 1; -1 0]5. 如果一个级数∑an收敛，那么它的子部分和序列必定是（）A. 有界B. 单调递增C. 单调递减D. 无界6. 以下哪个选项是二阶偏导数的充分条件？（）A. 函数f(x, y)在点(x0, y0)处可微B. 函数f(x, y)在点(x0, y0)处连续C. 函数f(x, y)在点(x0, y0)处一阶可导D. 函数f(x, y)在点(x0, y0)处二阶可导7. 在标准正态分布下，随机变量Z的取值在（-1, 1）之间的概率是（）A. 0.6827B. 0.8413C. 0.9192D. 0.97728. 假设某投资项目的未来现金流如下：第一年1000元，第二年2000元，第三年3000元。

如果折现率为10%，那么这个项目的净现值（NPV）是（）A. 2000元B. 3000元C. 5000元D. 6000元9. 以下哪个选项是二叉树的遍历算法？（）A. 深度优先搜索B. 广度优先搜索C. 欧拉路径D. 哈密顿回路10. 如果一个随机变量X服从标准正态分布，那么E(X^2)等于（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、解答题（共70分）11. （10分）证明极限lim (x->0) [sin(x)/x] = 1，并说明x->0时的左右极限是否相等。

2011年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解【圣才出品】

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2011 年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解
一、选择题（1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有
一个选项符合题目要求。）
1．已知当 x→0 时，函数 f（x）＝3sinx－sin3x 与 cxk 是等价无穷小，则（）。
从而 k＝3，ck（k－1）（k－2）＝24；即 k＝3，c＝4。
2．设函数 f（x）在 x＝0 处可导，且 f（0）＝0，则 lim x2 f (x) 2 f (x3 ) （）。
x0
x3
A．－2f′（0）
B．－f′（0）
C．f′（0）
D．0
【答案】B
【考点】极限的计算
【
解
析
】
lim
x0
x2
f
(
x) 2 x3
f
(
x
) lim x x0
f (x) x
f (0)3 2 f (0) 2 f (x x3
)
2
f (x) f (0)
f (x3) f (0)
lim x0
x
2 lim x0
x3
f (0) 2 f (0) f (0)
故选 B 项。
3．设{un}是数列，则下列命题正确的是（）。
∞，＋∞）上积分为 1 的条件，故选 D。
8．设总体 X 服从参数为 λ（λ＞0）的泊松分布，X1，X2，…，Xn（n≥2）为来自该总
体的简单随机样本，则对于统计量
T1
1 n
n i 1
Xi
T2
1 n 1
n1 i 1
C．f1（x）F2（x）

考研数学三测试题及答案

考研数学三测试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 设函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \)，则 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的导数为：A. 1B. -1C. 0D. 不存在答案：B2. 以下哪个选项是 \( e^x \) 的原函数？A. \( e^x \)B. \( \ln(x) \)C. \( \frac{1}{x} \)D. \( x^2 \)答案：A3. 求极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值是：A. 0B. 1C. \( \frac{\pi}{2} \)D. \( \infty \)答案：B4. 设 \( A \) 是一个 \( 3 \times 3 \) 的矩阵，且 \( \det(A) =2 \)，则 \( \det(2A) \) 等于：A. 4B. 8C. 16D. 32答案：B5. 以下哪个选项是 \( \int x^2 dx \) 的积分结果？A. \( \frac{x^3}{3} \)B. \( \frac{x^2}{2} \)C. \( x^3 \)D. \( 2x^2 \)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 若 \( \int_{0}^{1} f(x) dx = 2 \)，则 \( \int_{0}^{2} f(x) dx \) 等于 _______。

答案：42. 设 \( a \) 和 \( b \) 是方程 \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) 的两个根，则 \( a + b \) 等于 _______。

答案：53. 函数 \( y = x^3 - 3x \) 的极值点为 _______。

答案：\( \pm 1 \)4. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 3 \)，则 \( f(0) \) 等于 _______。