高考理科数学考点四十七直线与圆锥曲线

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高考数学(理科)复习第八单元第48讲直线与圆锥曲线的位置关系

消去 y,得(1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0,
由根与系数的关系可得 x1+x2=1-1+64��22,∴x2=12+-84��22,则
y1+y2=k(x1+2)+k(x2+2)=k(x1+x2)+4k=1+44�� 2 ,∴
(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)直线 l:y=k(x+2)交椭圆于 P,Q 两点,若
�� = ��(�� + 2),
�� 2 4
+ ��2
=
1,
消去 y,利用根与系数的关系求得 x2,y2,
再由点 A 始终在以 PQ 为直径的圆外,得∠PAQ 为锐
点 A 始终在以 PQ 为直径的圆外,求实数 k
第48讲 PART 08
直线与圆锥曲线的位置关系
课前双基巩固│课堂考点探究│课间10分钟│教师备用例题
课前双基巩固
知识聚焦
1.直线与圆锥曲线的位置关系
(1)直线与圆锥曲线的位置关系从几何角度来看有三种:相离时,直线与圆锥曲线没有公共点;相切时,直线与圆锥曲线有一个公共点;相交时,直线与椭圆有两个公共点,
对称轴平行或重合;若圆锥曲线为双曲线,则直线与双曲线的渐近线平行.
课前双基巩固
若 a≠0,则当判别式 Δ>0 时,直线与圆锥曲线相交; 当判别式 Δ=0 时,直线与圆锥曲线相切; 当判别式 Δ<0 时,直线与圆锥曲线相离.
(3)讨论直线与圆锥曲线的位置关系时,还可以利用数形结合的方法解决.

高考数学复习点拨直线与圆锥曲线问题解析

故 DE
(x1 x2) 2 ( y1 y2 )2
2 ( x1 x2) 2 4x1x2 4 5
（或 DE 1 k 2 x1 x2 4 5 ）．
说明：（1）当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求
弦长；（ 2 ）当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式 d
1
4 ，得 a
2．
(4，1) ，
注 :本题同样也可用“点差法”解．
说明：（ 1）求弦中点（轨迹）问题一般解题步骤 :①联立解方程组转化为一元二次方程；
②应用根与系数的关系；③消参数（注意检验）．（ 2）求弦的中点及与中点有关的问题，常
用根与系数的关系；有时采用“点差法” ，可优化解题方法，简化运算．
3．圆锥曲线的弦长问题，考查两点的距离公式，弦长公式，以及分类讨论思想例 3 已知点 A( 3，0) 和 B( 3，0) ，动点 C 到 A， B 两点的距离之差的绝对值为
2，点 C
的轨迹与直线 y x 2 交于 D， E 两点，求线段 DE 的长．
解：设点 C ( x， y) ，则 CA CB 2 ，
线与双曲线渐近线相平行时的情况．抛物线同样也存在这样的问题，应特别引起注意．
2．直线与圆锥曲线的相交弦中点问题，考查运用一元二次方程根与系数的关系，考查
用点差法与中点建立联系的能力
例2
已知倾斜角为
45°的直线
l 过点
A(1，
2) ，若直线
l 与双曲线
x2 C: 2
y2
1(a 0)
a
相交于 E，F 两点，且线段 EF 的中点坐标为 (4，1) ，求 a 的值．
直线与圆锥曲线问题解析

高中数学知识点指导：直线与圆锥曲线

高中数学知识点指导：直线与圆锥曲线
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例题：如果命题坐标满足方程的点都在曲线上不正确，那么以下正确的命题是
(A)曲线上的点的坐标都满足方程 .
(B)坐标满足方程的点有些在上，有些不在上.
(C)坐标满足方程的点都不在曲线上.
(D)一定有不在曲线上的点，其坐标满足方程 .
分析：原命题是错误的，即坐标满足方程的点不一定都在曲线上，易知答案为D.
重难点归纳
1直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法2当直线与圆锥曲线相交时涉及弦长问题，常用韦达定理法设而不求计算弦长(即应用弦长公式);涉及弦长的中点问题，常用点差法设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍
典型题例示范讲解
例1如图，已知某椭圆的焦点是F1(-4，0)、F2(4，0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且
F1B+F2B=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件F2A、F2B、F2C成等差数列
(1)求该弦椭圆的方程;
(2)求弦AC中点的横坐标;
(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围高中数学知识点指导：直线与圆锥曲线就为您介绍完了，的编辑将第一时间为您整理信息，供大家参考!。

2021年高考数学一轮复习第47讲直线与圆锥曲线

共点，例如：与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点．故选 A.]
4．过点(0,1)作直线，使它与抛物线 y2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有________条．
3 [结合图形分析可知，满足题意的直线共有 3 条：直线 x＝0，过点(0,1)且平行于 x
轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线 x＝0). ]
(3)过抛物线 y2＝2px(p>0)焦点的弦中最短弦的弦长是 2p.( )
(4)若抛物线上存在关于直线 l 对称的两点，则 l 与抛物线有两个交点．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
x2 y2 2．(教材改编)直线 y＝k(x－1)＋1 与椭圆＋＝1 的位置关系是( )
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A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
A [直线 y＝k(x－1)＋1 恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．]
3．“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [直线与双曲线相切时，只有一个公共点，但直线与双曲线相交时，也可能有一个公
线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个
公共点：一条与对称轴平行或重合的直线．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线 l 与椭圆 C 相切的充要条件是直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点．( )
-1-
(2)直线 l 与双曲线 C 相切的充要条件是直线 l 与双曲线 C 只有一个公共点．( )

高考数学总复习考点知识与题型专题讲解27---直线与圆锥曲线的位置关系

高考数学总复习考点知识与题型专题讲解直线与圆锥曲线的位置关系【高考展望】1.直线和圆锥曲线的位置关系判定是基础内容，是高考必考内容；2.直线与圆锥曲线相交有两个交点时的弦长公式是考试的重点内容；3.掌握圆锥曲线有关中点弦问题的求解方法；4.关于直线与圆锥曲线的综合问题历来是考试的重点和难点，需要强化练习，形成必要的技巧和技能。

【知识升华】知识点一：直线与圆锥曲线的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离三种位置关系。

1．直线Ax+By+C ＝0和椭圆+=22221x y a b的位置关系：将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的一元二次方程，其判别式为Δ.①Δ＞0⇔直线和椭圆相交⇔直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②Δ＝0⇔直线和椭圆相切⇔直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③Δ＜0⇔直线和椭圆相离⇔直线和椭圆无公共点．2．直线Ax+By+C ＝0和双曲线-=22221x y a b的位置关系：将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的方程。

（1）若方程为一元一次方程，则直线和双曲线的的渐近线平行，直线和双曲线有一个交点，但不相切不是切点；（2）若为一元二次方程，则①若Δ＞0，则直线和双曲线相交，有两个交点(或两个公共点)； ②若Δ＝0，则直线和双曲线相切，有一个切点； ③若Δ＜0，则直线和双曲线相离，无公共点.3．直线Ax+By+C ＝0和抛物线y 2＝2px(p ＞0)的位置关系：将直线的方程与抛物线的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 方程。

（1）若方程为一元一次方程，则直线和抛物线的对称轴平行，直线和抛物线有一个交点，但不相切不是切点；（2）若为一元二次方程，则①若Δ＞0，则直线和抛物线相交，有两个交点(或两个公共点)； ②若Δ＝0，则直线和抛物线相切，有一个切点； ③若Δ＜0，则直线和抛物线相离，无公共点. 知识点二：圆锥曲线的弦长1.直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。

高三数学复习直线与圆锥曲线

高三数学复习直线与圆锥曲线● 高考风向标直线的倾斜角和斜率，直线的方程，两直线的位置关系，简单的线性规划．圆的方程，椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程和简单的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系．将解析几何知识和向量知识综合于一题，这是近年高考数学命题的一个新的亮点．● 典型题选讲例１若2,2,22,x y x y x y ≤⎧⎪≤+⎨⎪+≥⎩则的取值X 围是（）.A ． [2，6]B ． [2，5]C ．[3，6]D ．[3，5]讲解由2,2,x y ≤≤得 2 6.x y +≤又2,x y +≥所以当2,0x y ==时，原不等式组成立，从而2 2.x y +≥故应选A ．点评请读者不妨画个图形，可以给出图形解法吗？例２椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF ＝（） A ．23B ．3C ．27D ．4讲解由椭圆的方程可以读出 224,1a b ==，则 23c =. 令1(F ，则点P 的横坐标p x =，代入椭圆方程2214x y +=，解得，点P 的纵坐标12p y =±. 而2F ，于是，在Rt △PF 1F 2中，应用勾股定理，得22221122149712,442PF PF F F PF =+=+==即有.应选C. 点评请读者自己画出图形. 当然，不必画图，图在心中也能解题.例３设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值X 围是（） A ．[－21，21]B ．[－2，2]C ．[－1，1]D ．[－4，4] 讲解易知抛物线28y x =的准线2x =-与x 轴的交点为Q (-2 , 0)，于是，可设过点Q (-2 , 0)的直线l 的方程为(2)y k x =+，联立222228,(48)40.(2),y x k x k x k y k x ⎧=⇒+-+=⎨=+⎩ 其判别式为2242(48)1664640k k k ∆=--=-+≥，可解得 11k -≤≤，应选C. 点评对斜率取特殊值也可巧解；如果画图形，可以看出答案吗？.例４设双曲线222:1(0)x C y a a-=>与直线:1l x y +=相交于两个不同的点A 、B.（１）双曲线C 的离心率e 的取值X 围；（２）直线l 与y 轴的交点为P ，且512PA PB =，求a 的值. 讲解：（１）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得（1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0.①.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率).,2()2,26(226,120.11122+∞≠>∴≠<<+=+= 的取值范围为即离心率且且e e e a a a aa e（２）设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A.125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x =-=-∴=由此得由于x 1+x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，OB 1317,06028912,,.12125.1212172222222222=>=----=--=a a a a x a a x a a x 所以由得消去所以点评本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力．例５某人承揽一项业务：需做文字标牌2个，绘画标牌3个。

高三数学直线与圆锥知识点

高三数学直线与圆锥知识点在高三数学学习中，直线与圆锥是重要的知识点之一。

本文将介绍直线与圆锥的基本概念、性质以及相关的解题方法，帮助同学们更好地掌握这一知识点。

一、直线的基本概念与性质直线是由无数个点构成的，在数学中用于表示两个点之间最短距离的轨迹。

直线的特点是无限延伸，不弯曲，也没有宽度。

直线的方程一般形式为 Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 为常数，A 和 B 不同时为0。

通过直线的方程可以确定直线的斜率和截距等性质。

二、圆锥的基本概念与性质圆锥是由一个圆和与该圆上各点连线恒过一个定点的轨迹形成的立体图形。

该定点称为顶点，圆称为底面圆，连接顶点与底面圆上各点的线段称为母线。

根据顶点与底面圆之间的位置关系，圆锥可以分为直角圆锥、锐角圆锥和钝角圆锥三种类型。

圆锥的体积和表面积是圆锥的重要性质。

圆锥的体积公式为 V = (1/3)πr²h，其中 r 为底面圆的半径，h 为顶点到底面圆的高；圆锥的表面积公式为 S = L + B，其中 L 为母线的长度，B 为底面圆的面积。

三、直线与圆锥的交点及切线问题1. 直线与圆锥的交点直线与圆锥的交点有以下几种情况：(1) 直线与底面圆相交于两点；(2) 直线与底面圆相切于一点；(3) 直线在底面圆之上或之下，与底面圆没有交点。

2. 直线与圆锥的切线问题当直线与圆锥相切时，直线与圆锥的切点即为切线与圆锥的交点。

根据切线的性质，可利用直线与圆锥的切点的坐标和圆锥方程求解切线方程。

四、解题方法与技巧解题时，需要熟练掌握直线与圆锥的相关概念和性质，并运用几何知识和代数知识进行分析和推理。

在解决直线与圆锥的交点问题时，可以手工画图，根据几何图形进行分析，并根据题目给出的条件列方程，联立方程求解交点。

而在解决直线与圆锥的切线问题时，可以先求解交点，然后利用切点的坐标和圆锥方程确定切线方程。

此外，还可以利用向量方法、三角函数、相似三角形等解题技巧，根据具体题目的情况选择合适的方法进行求解。

直线与圆锥曲线知识点与题型归纳总结

直线与圆锥曲线知识点与题型归纳总结知识点精讲一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时,通常将直线l 的方程0Ax By c ++= 代入圆锥曲线C 的方程(),0F x y = ,消去y (也可以消去x )得到关系一个变量的一元二次方程,,即()0,0Ax By c F x y ++=⎧⎪⎨=⎪⎩ ,消去y 后得20ax bx c ++=(1)当0a =时,即得到一个一元一次方程,则l 与C 相交,且只有一个交点,此时,若C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线平行;若C 为抛物线,则直线l 与抛物线的对称轴平行(2) 当0a ≠时,0∆> ,直线l 与曲线C 有两个不同的交点; 0∆=,直线l 与曲线C 相切,即有唯一的公共点(切点); 0∆< ,直线l 与曲线C 二、圆锥曲线的弦连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦直线():,0l f x y = ,曲线():F ,0,A,B C x y =为l 与C 的两个不同的交点,坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ,则()()1122,,,A x y B x y 是方程组()(),0,0f x y F x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 的两组解, 方程组消元后化为关于x 或y 的一元二次方程20Ax Bx c ++=(0A ≠) ,判别式24B AC ∆=- ,应有0∆> ,所以12,x x 是方程20Ax Bx c ++=的根,由根与系数关系(韦达定理)求出1212,B Cx x x x A A+=-= , 所以,A B 两点间的距离为12AB x =-==即弦长公式,弦长公式也可以写成关于y 的形式)120AB y y k =-=≠三, 已知弦AB 的中点,研究AB 的斜率和方程(1) AB 是椭圆()22221.0x y a b a b+=>的一条弦,中点()00,M x y ,则AB 的斜率为2020b x a y - ,运用点差法求AB 的斜率;设()()()112212,,A x y B x y x x ≠ ,,A B 都在椭圆上,所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,两式相减得22221212220x x y y a b --+=所以()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=即()()()()22121202212120y y b x x b x x x a y y a y -+=-=--+，故2020AB b x k a y =-（1）运用类似的方法可以推出；若AB 是双曲线()22221.0x y a b a b-=>的弦，中点()00,M x y ，则2020ABb x k a y =；若曲线是抛物线()220y px p => ，则0AB p k y =题型归纳及思路提示题型1 直线与圆锥曲线的位置关系思路提示（1）直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元后得到一元二次方程，其中0∆> ；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到。

精编高三理科数学直线与圆锥曲线位置关系题型与方法

精编高三理科数学直线与圆锥曲线位置关系题型与方法题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22:14x y C m+=始终有交点，求m 的取值范围题型二：弦的垂直平分线问题例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。

例题3、已知椭圆1222=+y x 的左焦点为F ，O 为坐标原点。

（Ⅰ）求过点O 、F ，并且与2x =-相切的圆的方程；（Ⅱ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围。

题型三：动弦过定点的问题例题4、（07山东）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3；最小值为1；（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。

求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。

题型四：过已知曲线上定点的弦的问题例题5、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22221x y a b+= (0)a b >>上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC =，2BC AC =，如图。

(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程；(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线3x =PQ的斜率。

练习：（2009辽宁）已知，椭圆C 以过点A （1，），两个焦点为（－1，0）（1，0）。

（1）求椭圆C 的方程；（2） E ,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值。

直线、圆锥曲线知识点

直线方程与圆方程一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角，取值范围是0°≤α＜180°特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。

（2）直线的斜率 ① 定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k 表示。

即tan k α=。

斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当 [)90,0∈α时，0≥k ；当()180,90∈α时，0<k ；当 90=α时，k 不存在。

②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=注意：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标求斜率得到。

（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x注意：当直线的斜率为0°时， k=0，直线的方程是1y y =。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因直线上每一点的横坐标都等于1x ，所以它的方程是1x x =。

②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b ③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x④截矩式：1x ya b+= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。

⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0）对1-5直线方程形式注意： ○1各式的适用范围 ○2特殊的方程如：平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）；平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线具有共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数）（二）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ；（ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。

高考数学直线与圆锥曲线

高考数学直线与圆锥曲线一、知识要点1.关于直线与圆锥曲线的交点问题:一般方法是用解方程组的方法求其交点的坐标.2.判断直线与圆锥曲线交点个数问题:即判断方程组解的个数.3.直线与圆锥曲线位置关系的判定:通法是消去一个未知数若得到的是关于另一未知数的一元二次方程,可用根的判别式∆来判断，注意直线与圆锥曲线相切必有一个公共点，对圆与椭圆来说反之亦对，但对双曲线和抛物线来说直线与其有一公共点，可能是相交的位置关系.4.直线与圆锥曲线相交的弦长计算:(1)连结圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦;(2)易求出弦端点坐标时用距离公式求弦长;(3)一般情况下,解由直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组,得到关于x(或y)的一元二次方程,利用方程组的解与端点坐标的关系,结合韦达定理得到弦长公式:|AB|=]4))[(1(212212x x x x k -++.5.关于相交弦的中点问题:涉及到弦的中点时,常结合韦达定理.6.曲线关于直线对称问题:注意两点关于直线对称的条件:(1)两点连线与该直线垂直;(2)中点在此直线上.二、基础训练1．直线y x b =+与抛物线22y x =，当b ∈ 时，有且只有一个公共点；当b ∈ 时，有两个不同的公共点；当b ∈ 时，无公共点．2．若直线1y kx =+和椭圆22125x y m+=恒有公共点，则实数m 的取值范围为． 3．抛物线2y ax =与直线y kx b =+(0)k ≠交于,A B 两点，且此两点的横坐标分别为1x ，2x ，直线与x 轴的交点的横坐标是3x ，则恒有（）()A 312x x x =+ ()B 121323x x x x x x =+()C 3120x x x ++= ()D 1213230x x x x x x ++=4．椭圆122=+ny mx 与直线1=+y x 交于,M N 两点，MN 的中点为P ，且OP 的斜率为22，则nm 的值为（）（A ）22 （B ）322 （C ）229 （D ）2732 5．已知双曲线22:14y C x -= ，过点(1,1)P 作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有（）()A 1 条 ()B 2条 ()C 3条 ()D 4条三、例题分析例1．过点(1,6)--的直线l 与抛物线24y x =交于,A B 两点，若9(,0)2P ，||||AP BP =，求直线l 的斜率．例2．已知直线l 和圆M ：2220x y x ++=相切于点T ，且与双曲线22:1C x y -=相交于,A B 两点，若T 是AB 的中点，求直线l 的方程．例3.过椭圆2x 2+y 2=2的一个焦点的直线交椭圆于P 、Q 两点,求ΔPOQ 面积的最大值例4（05天津卷）抛物线C 的方程为)0(2<=a ax y ，过抛物线C 上一点P(x 0,y 0)(x 0≠0)作斜率为k 1,k 2的两条直线分别交抛物线C 于A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)两点(P,A,B 三点互不相同)，且满足)10(012-≠≠=+λλλ且k k .（Ⅰ）求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线AB 上一点M ，满足λ=，证明线段PM 的中点在y 轴上；（Ⅲ）当λ=1时，若点P 的坐标为（1，-1），求∠PAB 为钝角时点A 的纵坐标1y 的取值范围.四、作业同步练习 g3.1083直线与圆锥曲线1．以点(1,1)-为中点的抛物线28y x =的弦所在的直线方程为（） ()A 430x y --= ()B 430x y ++=()C 430x y +-= ()D 430x y ++=2．斜率为3的直线交椭圆221259x y +=于,A B 两点，则线段AB 的中点M 的坐标满足方程（） ()A 325y x =()B 325y x =- ()C 253y x = ()D 253y x =- 3．过点(0,1)与抛物线22(0)y px p =>只有一个公共点的直线的条数是（） ()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 3 4（05福建卷）已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A ．324+B ．13-C ．213+D ．13+5.椭圆4x 2+9y 2=36的焦点为F 1,F 2,点P 为其上动点,当∠F 1PF 2为钝角时,点P 的横坐标的取值范围是 .6．已知双曲线2290x y kx y -+--=与直线1y kx =+的两个交点关于y 轴对称，则这两个交点的坐标为7．与直线042=+-y x 的平行的抛物线2x y =的切线方程是8. （05山东卷）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF ∆是直角三角形，则双曲线的离心率___________e =9．已知椭圆的中心在原点，离心率为12 ，一个焦点是F （-m,0）(m 是大于0的常数).(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M. =，求直线l 的斜率.10．一个正三角形的三个顶点都在双曲线221x ay -=的右支上，其中一个顶点是双曲线的右顶点，求实数a 的取值范围．11．已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于,A B 两点．是否存在实数k ，使,A B两点关于直线20x y -=对称？若存在，求出k 值，若不存在，说明理由．12、（05上海）本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分.已知抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F,A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的点,A 到抛物线准线的距离等于5,过A 作AB 垂直于y 轴,垂足为B,OB 的中点为M.(1)求抛物线方程;(2)过M 作MN ⊥FA, 垂足为N,求点N 的坐标;(3)以M 为圆心,MB 为半径作圆M.当K(m,0)是x 轴上一动点时,丫讨论直线AK 与圆M 的位置关系.。

(理科)高二寒假第七讲直线与圆锥曲线

直线与圆锥曲线（一）知识点知识点一、直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0 (或ay2＋by＋c＝0)．(1)当a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点特殊情况：①若E为椭圆，则直线与椭圆的交点情况需要分析：（1）直线平行、垂直的情况（2）判别式②若E为双曲线，则直线与双曲线的交点情况需要分析：（1）直线平行、垂直的情况（2）与渐近线平行（3）判别式③若E为抛物线，则直线与抛物线的交点情况需要分析：（1）直线平行、垂直的情况（2）判别式总结：方法与技巧1．直线与圆锥曲线位置关系的判定综合问题(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线均与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线．(3)过双曲线外不在渐近线上一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．知识点二、弦长公式问题：1.弦长公式：设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：1212AB x y =-=-==.2.弦长公式的延伸：面积问题12ABC S AB d ∆= 其中：AB 为弦长，d 为c 到AB 的距离知识点三：中点弦问题（点差法）思维升华涉及弦的中点与直线的斜率问题，可考虑“点差法”，构造出1212AB y y k x x -=-和12x x +、12y y +，整体代换，求出中点或斜率，体现“设而不求”的思想．注意：中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ>0或说明中点在曲线内部．知识点四：定点定值问题1．求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．例题：题型一直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用例1 (1)若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－153，153 B.⎝⎛⎭⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎫－153，0 D.⎝⎛⎭⎫－153，－1思考：若直线与双曲线只有一个交点，求k 的值已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．思考：把题目的“椭圆C ：x 24＋y 22＝1”改为“双曲线C ：22142x y -=，”题型二直线与圆锥曲线中点弦、弦长问题例2 已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1,0)，过C 1的焦点且垂直长轴的弦长为1.(1)求椭圆C 1的方程；(2)设点P 在抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R )上，C 2在点P 处的切线与C 1交于点M ，N .当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值．跟踪训练2 设椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率为22，长轴长为62，设过右焦点F 倾斜角为θ的直线交椭圆M 于A ，B 两点．(1)求椭圆M 的方程；(2)求证：|AB |＝621＋sin 2θ； (3)设过右焦点F 且与直线AB 垂直的直线交椭圆M 于C ，D ，求|AB |＋|CD |的最小值．题型三圆锥曲线中的定点、定值问题例3 已知点M 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)上一点，F 1，F 2分别为C 的左，右焦点，且|F 1F 2|＝4，∠F 1MF 2＝60°，△F 1MF 2的面积为433. (1)求椭圆C 的方程；(2)设N (0,2)，过点P (－1，－2)作直线l ，交椭圆C 异于N 的A ，B 两点，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1＋k 2为定值．跟踪训练3 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F (1，0)，点O 为坐标原点，A ，B 是曲线C 上异于O 的两点．(1)求曲线C 的方程；(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求证：直线AB 过定点．（二）基础题1．若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( )A ．至多为1B ．2C ．1D ．02．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条3．已知抛物线C 的方程为x 2＝12y ，过A (0，－1)，B (t,3)两点的直线与抛物线C没有公共点，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ C ．(－∞，－22)∪(22，＋∞) D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)4．已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线于A ，B 两点，则||F A |－|FB ||的值为( )A ．4 2B ．8C ．8 2D ．165．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们到直线x ＝－2的距离之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在6．过双曲线x 2－y 22＝1的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若使得|AB |＝λ的直线l 恰有3条，则λ＝________.7．已知焦点为F的抛物线y2＝4x的弦AB的中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为________．8．过椭圆x216＋y24＝1内一点P(3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是____________．9．设F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)的左，右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．(1)求E的离心率；(2)设点P(0，－1)满足|P A|＝|PB|，求E的方程．10.如图所示，等边三角形OAB的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p>0)上．(1)求抛物线E的方程；(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q，求证：以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．11：抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．12．（本小题满分13分）过椭圆221164x y+=内一点M(1，1)的弦AB(1）若点M恰为弦AB的中点，求直线AB的方程；（2）求过点M的弦的中点的轨迹方程。

高三数学直线与圆锥曲线的位置

【例2】已知直线 l : y tan(x 2) 交椭圆
x 2 9 y 2 9 于A、B两点，若为 l的倾斜角，且 AB 的长不小于短轴的长，求的取值范围。
【例3】已知抛物线 y 2 x 与直线 y k ( x 1)
相交于A、B两点
(1)求证：OA OB
(2)当 OAB的面积等于 10 时，求 k 的值。
4
2/3，e，4/3成等比数列.
(1)求椭圆方程；
(2)是否存在直线 l，使 l 与椭圆交于不同的两点M、
N，且线段MN恰被直线x=
1 平分。若存在，求 2
l 的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。
[思维点拔] 倾斜角的范围，实际上是求斜率的范围。
三、课堂小结
(1)解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，对消元后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别式，有时借助于图形的几何性质更为方便。
土堆似的脸和纯黑色弯月造型的眉毛，配着粉红色荷叶样的鼻子。有着暗灰色火锅似的眼睛，和亮橙色鳄鱼一般的耳朵，一张暗灰色领章一般的嘴唇，怪叫时露出紫红色骷髅造型的牙齿，变态的紫葡萄色鲜笋一样的舌头很是恐怖，淡白色积木一样的下巴非常离奇。这巨鬼有着特像腰带造型的肩胛和极似铁链样的翅膀，这巨鬼矮小的水白色螃蟹一样的胸脯闪着冷光，犹如海星样的屁股更让人猜想。这巨鬼有着很像火腿一般的腿和锅底色铁饼造型的爪子……胖胖的白象牙色金钩一样的九条尾巴极为怪异，淡橙色镜子造型的锄头滢鳞肚子有种野蛮的霸气。水白色瓜秧样的脚趾甲更为绝奇。这个巨鬼喘息时有种粉红色绳头一样的气味，乱叫时会发出土灰色熊猫似的声音。这个巨鬼头上米黄色野象样的犄角真的十分罕见，脖子上美如谷穗样的铃铛似乎有点风趣但又有些神气！蘑菇王子和知知爵士见情况突变，急忙变成了一个巨大的药瓶象肝仙！这个巨大的药瓶象肝仙，身长二百多米，体重八十多万吨。最奇的是这个怪物长着十分奇妙的象肝！这巨仙有着鲜红色悬胆似的身躯和深红色细小乌贼般的皮毛，头上是橙白色陀螺一样的鬃毛，长着墨蓝色胶卷似的匕首蛇筋额头，前半身是淡红色茄子似的怪鳞，后半身是怪异的羽毛。这巨仙长着暗黄色胶卷模样的脑袋和墨绿色鸭蛋似的脖子，有着鹅黄色南瓜样的脸和嫩黄色粉条模样的眉毛，配着葱绿色瓦刀一样的鼻子。有着银橙色臂章样的眼睛，和海蓝色菜板似的耳朵，一张银橙色油渍似的嘴唇，怪叫时露出浅绿色地灯模样的牙齿，变态的淡红色汤勺般的舌头很是恐怖，深红色牙签般的下巴非常离奇。这巨仙有着很像廊柱模样的肩胛和酷似螃蟹一样的翅膀，这巨仙变异的纯红色磨盘般的胸脯闪着冷光，特像粉条一样的屁股更让人猜想。这巨仙有着活像螺栓似的腿和春绿色冰块模样的爪子……轻飘的橙白色奶酪般的五条尾巴极为怪异，天蓝色橘子模样的画册水梦肚子有种野蛮的霸气。纯红色鼓锤一样的脚趾甲更为绝奇。这个巨仙喘息时有种葱绿色车灯般的气味，乱叫时会发出亮黄色老鹰样的声音。这个巨仙头上暗橙色镜子一样的犄角真的十分罕见，脖子上犹如扫帚一样的铃铛的确绝对的酷野但又带着几分离奇！这时那伙校霸组成的巨大长椅狠肠鬼忽然怪吼一声！只见长椅狠肠鬼转动美如谷穗样的铃铛，一嚎，一道深蓝色的奇影酷酷地从单薄的水白色瓜秧样的脚趾甲里面抖出！瞬间在巨长椅狠肠鬼周身形成一片淡绿色的光云！紧接着巨大的长椅狠肠鬼最后长椅狠肠鬼颤动特像腰带造型的肩胛一声怪吼！只见从天边涌来一片一望无边的人权恶浪……只见一望无边的人权轰鸣翻

2020版高考数学(理科)复习课件第48讲直线与圆锥曲线的位置关系

3 则 Δ=2 -4×4×(1-a)>0,得 a> .设 4 1 1-�� A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=- ,x1x2= ,∴ 2 4
2
|AB|= 1 + �� 2 · |x1-x2|= 1 + �� 2 · (��1 + ��2 ) -4��1 ��2 = 2·
焦点分别为 F1,F2,B 为椭圆上的任意一点, 且 3|BF1|,|F1F2|, 3|BF2|成等差数列. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)直线 l:y=k(x+2)交椭圆于 P,Q 两点,若点 A 始终在以 PQ 为直径的圆外,求实数 k 的取值范围.
课堂考点探究
变式题 (1)[2018· 西安调研] 已
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点 A(0,1)的椭圆
的左、右焦点分别为 F1,F2,B 为椭圆上的任意一点,且 3|BF1|,|F1F2|, 3|BF2|成等差数列. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)直线 l:y=k(x+2)交椭圆于 P,Q 两点, 若点 A 始终在以 PQ 为直径的圆外, 求实数 k 的取值范围.
(4)若抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的两点 A,B,则直线 l 与抛物线 C 的方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式 Δ>0. ( )
课前双基巩固
2.[教材改编] 直线 y=kx-2 交抛物线 y =8x 于 A,B 两
2
点,若 AB 中点的横坐标为 2,则 k=
[答案]
2
.
�� 2 = 8��, [解析] 易知 k≠0,由得 �� = ��-2, k x -4(k+2)x+4=0,则

2019学年高中一轮复习理数：四十七直线与圆锥曲线含解析

c＝ 2， c 6 解：(1)由题意可知＝， a 3 a2＝b2＋c2， x2 y2 故椭圆 C 的方程为＋＝1. 6 2 (2)由题意可知直线 l 的斜率存在．设其方程为 y＝k(x－2)，点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x3，y3)，N(－x3， x2 y2 ＋＝1，－y3)，由 6 2 y＝kx－2 得(1＋3k2)x2－12k2x＋ 12k2－6＝0，所以 x1＋ x2＝ 12k2 ，则 y1＋ y2＝ k(x1＋ x2－4)＝ 1＋3k2 解得 a＝ 6，b＝ 2.
5．已知倾斜角为 60°的直线 l 通过抛物线 x2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于 A，B 两点，则弦 AB 的长为 ________．解析：直线 l 的方程为 y＝ 3x＋1，由＝14，∴|AB|＝y1＋y2＋p＝14＋2＝16. 答案：16 x2 y2 6．设双曲线 2－ 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与抛物线 y＝x2＋1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 a b ________． b y＝ x， x2 y2 b a 解析：双曲线 2－ 2＝1 的一条渐近线为 y＝ x，由方程组 a b a y＝x2＋1， b a2＋b2 b c 解，所以Δ＝ a 2－4＝0，＝2，所以 e＝＝＝ a a a 答案： 5 ―→ ―→ 7．已知抛物线 C：y2＝8x 与点 M(－2,2)，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点．若 MA · MB ＝0，则 k＝________. 解析：如图所示，设 F 为焦点，易知 F(2，0)，取 AB 的中点 P，过 ―→ ―→ 的垂线，垂足分别为 G ， H，连接 MF ， MP ，由 MA · MB ＝ 0，知 MA 1 1 1 |AB|＝ (|AF|＋|BF|)＝ (|AG|＋|BH|)，所以 MP 为直角梯形 BHGA 的中 2 2 2 AG∥BH，由|MP|＝|AP|，得∠GAM＝∠AMP＝∠MAP，又|AG|＝|AF|， 1 以△AMG≌△AMF，所以∠AFM＝∠AGM＝90°，则 MF⊥AB，所以 k＝－＝2. kMF 答案：2 [大题常考题点——稳解全解] x2 y2 6 1．已知椭圆 C： 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的两个焦点分别为 F1(－2，0)，F2(2,0)，离心率为 .过点 F2 的直线 l(斜率 a b 3 不为 0)与椭圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 D，O 为坐标原点，直线 OD 交椭圆于 M，N 两点． (1)求椭圆 C 的方程； (2)当四边形 MF1NF2 为矩形时，求直线 l 的方程． A ， B 分别作准线 ⊥ MB ，则 |MP| ＝位线，所以 MP ∥ AM 为公共边，所 b 1＋ a 2＝ 5. b 消去 y，得 x2－ x＋1＝0 有唯一 a y＝ 3x＋1， x2＝4y，得 y2－14y＋1＝0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1＋y2

高考数学复习考点题型与解题方法专题讲解46---直线与圆锥曲线

高考数学复习考点题型与解题方法专题讲解专题46 直线与圆锥曲线【考纲要求】1. 会解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的问题. 2．了解方程与曲线的对应关系和求曲线方程的基本方法.3．理解数形结合、用代数方法处理几何问题的思想.了解圆锥曲线的简单应用.【知识清单】知识点1．直线和圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎨⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．知识点2．“弦”的问题1.弦长公式设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋1k2·|y1－y2|＝1＋1k2·y1＋y22－4y1y2.2．处理中点弦问题常用的求解方法(1)．点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y 2，y1－y2x1－x2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．(2)．根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．注意：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．【考点梳理】考点一：直线和圆锥曲线的位置关系【典例1】（2020·全国高考真题（理））已知F为双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为______________.【答案】2【解析】联立22222221x cx y a b a b c =⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2b BF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223b c a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =, 因此，双曲线C 的离心率为2. 故答案为：2．【典例2】（2020·全国高考真题（文））已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<的离心率为4，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．【答案】（1）221612525x y +=；（2）52.【解析】（1）222:1(05)25x y C m m +=<< ∴5a =，b m =，根据离心率c e a ====，解得54m =或54m =-(舍)， ∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=；（2）不妨设P ,Q 在x 轴上方点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图||||BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=︒，又90PBM QBN ∠+∠=︒，90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=， ∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y +=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-，①当P 点为(3,1)时，故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△，∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图(5,0)A -,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d ===，根据两点间距离公式可得：AQ ==，∴APQ 面积为：1522⨯=；②当P 点为(3,1)-时，故5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△，∴||||8MB NQ ==，可得：Q 点为(6,8)，画出图象，如图(5,0)A-,(6,8)Q，可求得直线AQ的直线方程为：811400x y-+=，根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为：d===，根据两点间距离公式可得：AQ==，∴APQ面积为：1522=，综上所述，APQ面积为：52.【典例3】（2020·全国高考真题（文））已知椭圆C1：22221x ya b+=(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴重直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=43|AB|．（1）求C1的离心率；（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．【答案】（1）12；（2）1C：2211612x y+=，2C：28y x=.【解析】（1）因为椭圆1C 的右焦点坐标为：(c,0)F ,所以抛物线2C 的方程为24y cx =，其中c =不妨设,A C 在第一象限，因为椭圆1C 的方程为：22221x y a b+=，所以当x c =时，有222221c y b y a b a +=⇒=±，因此,A B 的纵坐标分别为2b a ，2ba-；又因为抛物线2C 的方程为24y cx =，所以当x c =时，有242y c c y c =⋅⇒=±，所以,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⋅=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c +=，所以1C 的四个顶点坐标分别为(2,0)c ，(2,0)c -，)，(0,)，2C 的准线为x c =-.由已知得312c c c c +++=，即2c =.所以1C 的标准方程为2211612x y +=，2C 的标准方程为28y x =. 【规律方法】直线与圆锥曲线位置关系的判定方法及关注点(1)判定方法：直线与圆锥曲线方程联立，消去y (或x )后当得到关于x (或y )的一元二次方程时，设其判别式为Δ， ①Δ＞0⇔直线与圆锥曲线相交； ②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切； ③Δ＜0⇔直线与圆锥曲线相离．(2)关注点：①联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零．②判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式Δ起着关键性的作用，第一：可以限定所给参数的范围；第二：可以取舍某些解以免产生增根；第三：若Δ的表达式非常复杂，则可以采用列而不求，最后验证的策略．提醒：过椭圆内一点的直线均与椭圆相交．【变式探究】1. （2020·浙江高三月考）如图，已知抛物线21:4C y x =和圆222:(1)1C x y -+=，直线l 经过1C 的焦点F ，自上而下依次交1C 和2C 于A ，B ，C ，D 四点，则AB CD ⋅的值为A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C 【解析】因为抛物线21:4C y x =的焦点为(1,0)F ，又直线l 经过1C 的焦点F ，设直线:(1)l y k x =-，由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则121=x x由题意可得：1111=-=+-=AB AF BF x x ，同理2=CD x ，所以12cos01︒⋅=⋅⋅==AB CD AB CD x x .故选C2.（2020·四川遂宁�高二期末（文））已知椭圆2222:1(0)x y T a b a b+=>>长半轴为2，且过点M (0，1).若过点M 引两条互相垂直的两直线12l l 、，若P 为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为12d d 、）A ．2B ．C ．5D ．163【答案】B【解析】由题意可得21a b ==，,则椭圆的方程为2214x y +=，设(),P x y（1）若直线12,l l 中有一条直线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率为0. 设直线1l 的方程为0x =，则直线2l 的方程为1y =由(),P x y 在椭圆2214x y +=上，则2244x y =-所以()2222221211+15323533d d x y y y y ⎛⎫=+-=--=-+++ ⎪⎝⎭，11y -≤≤故当13y =-时，2212+d d 有最大值163（2）当直线12,l l 的斜率都存在，且不为0,时设直线1l 的方程为1y kx =+，即10kx y -+=则直线2l 的方程为11y x k=-+，即0x ky k +-=所以12d d ==所以()()2222221221+211kx y x ky k d d x y y k-+++-==+-++2224421532y y y y y =-+-+=--由（13.故选：B3. （2019·全国高考真题（理））已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若3AP PB =，求|AB |．【答案】（1）12870x y --=；（2）413. 【解析】（1）设直线l 方程为：3y =x m 2+，()11,A x y ，()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知：12342AF BF x x +=++= 1252x x ∴+= 联立2323y x m y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：()229121240x m x m +-+= 则()2212121440m m ∆=--> 12m ∴<121212592m x x -∴+=-=，解得：78m =-∴直线l 的方程为：3728y x =-，即：12870x y --= （2）设(),0P t ，则可设直线l 方程为：23x y t =+ 联立2233x y t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2230y y t --=则4120t ∆=+> 13t ∴>-122y y ∴+=，123y y t =-3AP PB = 123y y ∴=- 21y ∴=-，13y = 123y y ∴=-则AB ===【总结提升】1.研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数．对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解．2.直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．3.直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．4.直线和圆锥曲线的位置关系利用代数方法判断，其中直线和双曲线的位置关系，还可以通过比较直线的斜率和渐近线斜率来判断.考点二：弦长问题和中点弦问题【典例4】（2020·岳麓�湖南师大附中高三三模（文））已知椭圆222:1(02)4x y C b b+=<<,作倾斜角为34π的直线交椭圆C 于,A B 两点,线段AB 的中点为,M O 为坐标原点OM 与MA 的夹角为θ,且|tan |3θ=，则b =( )A ．1 B． CD【答案】B 【解析】分析：设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，利用“点差法”可得2004y b x =，设直线OM 的倾斜角为α，则4πθα=+或3tan 1,tan 41tan παθαθα+=-=±-，又200tan 4y b x α==，由2214314b b +=-，从而可得结果.详解：设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，则22112222221414x y b x y b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得()()()()12121212204x x x x y y y y b -+-++=， 00122121,04x y y y x x b -=-∴-=-，即2004y b x =，设直线OM 的倾斜角为α，则4πθα=+或3tan 1,tan 41tan παθαθα+=-=±-，又200tan 4y b x α==，由2214314b b +=-，解得22b =，即b = B.【典例5】（2019·安徽高三月考（理））已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AOB ∆的面积为2，则线段AB 的长是（）A.9B.4C.92D.8【答案】C 【解析】当直线AB 垂直于x 轴时，()122122AOB S ∆=⨯+⨯=，不符合题设；当直线AB 不垂直于x 轴时，设AB 方程为()1(0)y k x k =≠-，即kx y k 0--=.点()0,0到直线AB距离d =.联立()21,4,y k x y x ⎧=-⎨=⎩得()2222240k x k x k -++=，设11(,),A x y 2)2(,)B x y ,则由韦达定理得,2122(24)k x x k -++=,21221k x x k==, 所以由弦长公式得,AB ==224(1)k k +=, 因为AOB ∆的面积为2,所以2214422k k +⨯=，所以28k =，所以92AB =.故选C.【典例6】（2019·全国高考真题（理））已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B . （1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE的面积.【答案】(1)见详解；(2) 3或【解析】(1)证明：设1(,)2D t -,11(,)A x y ,则21112y x =.又因为212y x =，所以'y x =.则切线DA 的斜率为1x ，故1111()2y x x t +=-，整理得112210tx y -+=. 设22(,)B x y ，同理得112210tx y -+=.11(,)A x y ,22(,)B x y 都满足直线方程2210tx y -+=.于是直线2210tx y -+=过点,A B ，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB 方程为2210tx y -+=.即2(21)0tx y +-+=，当20,210x y =-+=时等式恒成立.所以直线AB 恒过定点1(0,)2. （2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+.由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=，于是2121212122,1,()121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+212|||2(1)AB x x t =-==+.设12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离，则12d d ==.因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+. 设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行，所以()220t t t +-=，解得0t =或1t =±.当0t =时，3S =；当1t =±时2S = 因此，四边形ADBE 的面积为3或【典例7】（2018·浙江学军中学高考模拟）F 是抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过,,M F O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为34. （1）求抛物线C 的方程；（2）若点M，直线1:4l x my =+与抛物线C 有两个不同的交点,,A B l 与圆Q 有两个不同的交点,D E ，求当122m ≤≤ 时，22AB DE +的最小值.【答案】(1) 22x y =.(2)132. 【解析】（1）F 抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设()2000,(0),,2x M x x Q a b p ⎛⎫> ⎪⎝⎭由题意可知4p b =，则点Q 到抛物线C 的准线的距离为3324244p p p b p +=+== 解得1p =，于是抛物线C 的方程为22x y =.（2）∵(M ∴OM垂直平分线方程为1222y x ⎫-=--⎪⎝⎭∴1,4Q r ⎛= ⎝⎭由2214y xx my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得22410y my --=，设()()1122,,,A x y B x y ∵21680m ∆=+>，∴121212,2y y m y y +==-()()222142AB m m =++又∵Q 到l的距离8d =<∴()()()222222227252725251432843218181m m m DE m m m ⎛⎫ ⎪=-=--=+ ⎪+++⎝⎭∴()()()22222251142481AB DE m m m +=+++++令211,22t m m =+≤≤，则5,54t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴2222514284AB DE t t t +=-++令()2251542,,5844g t t t t t ⎡⎤=-++∈⎢⎥⎣⎦，则 ()2255'82'6084g t t g t ⎛⎫=-+≥=> ⎪⎝⎭∴54t =时()min 132g t =. 【规律方法】1．处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下：2．解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意“如果点A ，B 关于直线l 对称，则l 垂直于直线AB 且A ，B 的中点在直线l 上”的应用． 3.求解弦长的四种方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．(2)联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解．(3)联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系得到(x 1－x 2)2或(y 1－y 2)2，代入两点间的距离公式． (4)当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．提醒：利用弦长公式求弦长要注意斜率k 不存在的情形，若k 不存在，可直接求交点坐标再求弦长．涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用．【变式探究】1.（2019·河北高考模拟（文））已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l 交椭圆于,A B 两点，且AB 的中点为11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，则椭圆的离心率为（）A ．2B ．12C ．14D ．2【答案】A 【解析】设A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），又AB 的中点为11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，则121221x x y y +=+=，，又因为A 、B 在椭圆上所以22221122222211x y x y a b a b+=+=，两式相减，得：2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=--+ ∵12121212b1c 2AB FP OM y y y y k k k x x x x ，-+===-==-+, ∴22b 2c b a =，，∴22a bc =，平方可得()42224a a c c =-, ∴22c a =12,c a 2=，故选A.2.（2019·广西高二期末）已知椭圆22:14x M y +=，直线l 与椭圆M 相交于,A B 两点，点1(1,)2D 是弦AB 的中点，则直线l 的方程为__________．【答案】220x y +-= 【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，因为直线l 与椭圆M 相交于,A B 两点，所以有221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得：2222211244x x y y -=-整理得121212121k 4AB y y x x x x y y -+==-⨯-+，因为点11,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭是弦AB 的中点，所以121221x x y y +=+=，，所以1k 2AB =-，所以直线l 的方程为()11y 122x -=--，整理得220x y +-= 故答案为220x y +-=3.给定双曲线2212y x -=．过21A （，）的直线与双曲线交于两点1P 及2P ，求线段12PP 的中点P 的轨迹方程．【答案】22240x y x y --+=【解析】设()()111222,,,P x y P x y ，代入方程得222212121,122y y x x -=-= 两式相减得：()()()()12121212102x x x x y y y y +--+-= 又设中点P(x y)，将12122,2x x x y y y +=+=代入，当12x x ≠时得12122202y y y x x x --⋅=- 又121212y y y k x x x --==--代入得22240x y x y --+=当弦12P P 斜率不存在时，其中点20P （，）的坐标也满足上述方程因此所求轨迹方程是 22240x y x y --+=4. （2019·浙江温州中学高三月考）已知点()00,A x y 在抛物线24y x =上，,P Q 是直线2y x =+上的两个不同的点，且线段,AP AQ 的中点都在抛物线上.（Ⅰ）求0y 的取值范围；（Ⅱ）若APQ 的面积等于0y 的值.【答案】（Ⅰ）04y >或00y <；（Ⅱ）02y =±.【解析】（Ⅰ）设(,2)P a a +，(,2)Q b b +，200(,)4y A y ，则AP 的中点20042(,)82y a y a M +++，代入24y x =得：22000(42)440a y a y y ---++=同理可得：22000(42)440b y b y y ---++=所以，,a b 是方程22000(42)440x y x y y ---++=的两个根22000(42)4(44)y y y ∴∆=---++2008320y y =->解得：04y >或00y <（Ⅱ）点A 到PQ的距离200|2|y y d -+=2= 由韦达定理可知：042a b y +=-，20044ab y y =-++则|||PQ a b =-==1||2APQ S PQ d ∆∴==212⋅=t =，则有：38240t t +-=，即：2(2)(212)0t t t -++=，解得2t =，即200440y y --=，解得：02y =±【特别提醒】1.中点坐标公式一个作用是可以利用“设而不求”技巧解题，其二是可以将未知点坐标和已知点坐标联系起来；涉及求范围问题，注意方程不等式思想的运用．2.涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．抛物线弦的中点坐标和方程的两根之和的密切联系是解决中点弦问题的关键，方程的思想也是解析几何的核心思想.。

高中数学解析几何(直线和圆、圆锥曲线)知识点总结(非常全)

相交 ⇔
k1 ≠ k2
A1 ≠ B1 A2 B2
垂直 ⇔
k1 ⋅ k2 = −1
A1 A2 + B1B2 = 0
2
设两直线的方程分别为：
l1 l2
: :
y y
= =
k1x + b1 k2 x + b2
或
l1 l2
: :
A1x + B1 y + C1 = 0 A2 x + B2 y + C2 = 0
高中数学解析几何
第一部分:直线一、直线的倾斜角与斜率 1.倾斜角α (1)定义：直线 l 向上的方向与 x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。
(2)范围： 0° ≤ α < 180°
2.斜率：直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.
k = tanα
（1）.倾斜角为 90° 的直线没有斜率。（2）.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于 x 轴时，
线方程： y = kx + b ；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为： y = kx
注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。
3.两点式：若已知直线经过 (x1, y1 ) 和 (x2 , y2 ) 两点，且（ x1 ≠ x2 , y1 ≠ y2 则直线的方程：
6(选修
4-4)参数式
x y
= =
x0 y0
+ +
at bt
（
t
参数）其中方向向量为
(a, b)
，
单位向量
a ,
a2 + b2
b a2 +