解三角形,这三个公式就够了!

解三角形知识点

《必修五》解三角形知识点归纳一、正弦定理正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C=== 文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 符号语言：2sin sin sin a b cR A B C=== 特点：对称美、和谐美（一）理解定理1、正弦定理：在△ABC 中，2sin sin sin sin sin sin a b c a b cR A B C A B C++====++【在这个式子当中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角，从而知正弦定理的基本作用是进行三角形中的边角互化】2、正弦定理的基本作用：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如角化边sin sin b Aa B=②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a BA b= 3、常用公式及其结论⑴正弦定理包含三个等式sin sin a b A B =，sin sin b c B C =，sin sin a c A C=每一个等式中都包含四个量，可以“知三求一” (2)三内角和为180︒即180A B C ︒++=，222A B C π+=- (3)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边,,;,,.a b c a c b b c a a b c b c a a c b +>+>+>-<-<-< (4)面积公式：2111sin sin sin 2sin sin sin 2224abcS ab C bc A ac B R A B C R===== ⑸三角函数的恒等变形：sin()sin A B C +=，cos()cos A B C +=- ，()tan tan A B C +=-，sincos 22A B C +=，cos sin 22A B C+=，tan tan 22A B C +=，tan tan +tan tan tan tan A B C A B C +=⋅⋅ ⑹C B A c b a sin :sin :sin ::= ⑺角化边: C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2===⑻边化角:RcC Rb B Ra A 2sin 2sin 2sin ===⑼在△ABC 中，①若B b A a cos cos =，则△ABC 是等腰三角形或直角三角形; ②若B a A b cos cos =，则△ABC 是等腰三角形;③若222cos cos +cos 1A B C +=或cos cos cos a A b B c C +=，则△ABC 是直角三角形.⑽在△ABC 中，sin sin sin A B C a b c A B C >>⇔>>⇔>>（二）题型：使用正弦定理解三角形共有三种题型题型1：利用正弦定理公式原型解三角形题型2：利用正弦定理公式的变形(边角互化)解三角形：关于边或角的齐次式可以直接边角互化.例如：222222sin 3sin 2sin 32A B C a b c +=⇒+=题型3：三角形解的个数的讨论方法一：画图看方法二：通过正弦定理解三角形，利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的结果是否符合实际意义，从而确定解的个数.（三）三角形内角平分线定理：△ABC 中，AD 是A ∠的角平分线，则DCBDAC AB = 我们知道，当一个三角形已知任意两角和一边时，根据全等三角形的判定定理可以得知这个三角形就是唯一确定的,也就是可解的.先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理计算另两边.另外，一个三角形的三边之间必须满足：任意两边之和大于第三步且任意两边之差小于第三边.当已知一个三角形的三边时，已知的三条边必须满足上面的条件才能够作出三角形.否则作不出三角形，当然也无法解三角形.从上面的探讨可以得知，已知三角形的三边要解三角形时，必须满足三边关系，解三角形才有意义.当已知三边时，连续利用余弦定理的推论求出较小边的对角，再用三角形内角和求出第三个角. 如果已知三角形的两边及其夹角，那么根据三角形的判定定理我们知道这个三角形是唯一确定的，也就是可解的.我们可以利用余弦定理计算第三边，用余弦定理的推论或正弦定理计算其余两个角. 如果已知任意两边及其中一边的对角如何来解三角形呢？我们先看下面的例题：例题：已知：在△ABC 中，22,25,133,a cm b cm A ︒===解三角形. 解：22,25,133a cm b cm A ︒===∴根据正弦定理，得sin 25sin133sin 0.831122b A B a ︒==≈ 0180B ︒︒<< ∴56.21B ︒≈，或123.79B ︒≈ 180A B C ︒++= ∴9.21C ︒=-或76.79C ︒=-【师】：问题出在哪里呢？【生】：分析已知条件，我们注意到,133a b A ︒<=，是一个钝角，根据三角形的性质应该有A B <,因而B 也是一个钝角.而在一个三角形中是不可能存在两个钝角的.【师】：从上面的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形.如：①已知32,2,60===O b a A ,求B (有一个解);②已知32,2,60===O a b A ,求B (有两个解)二、余弦定理（一）知识与工具：余弦定理：222222222222222222cos 22cos 2cos cos 22cos cos 2b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab ⎧+-=⎪⎧=+-⎪+-⎪⎪=+-⇒=⎨⎨=+-⎪⎪⎩+-⎪=⎪⎩（二）题型:使用余弦定理解三角形共有三种现象的题型题型1:利用余弦定理公式的原型解三角形题型2:利用余弦定理公式的变形(边角互换)解三角形：凡在同一式子中既有角又有边的题，要将所有角转化成边或所有边转化成角，在转化过程中需要构造公式形式。

余弦和公式

余弦和公式余弦和公式是数学领域中一种非常重要的几何学公式，它是一种用来求解三角形中两个角度和另外一条边之间关系的算法。

这个公式也被称为三角恒等式，是三角函数的一部分，它们可以用来分析三角形的形状和大小。

首先，要讨论余弦和公式，我们需要知道什么是正弦、余弦和正切。

正弦（Sin）函数表示的是某一角度的正弦角，余弦（Cos）函数表示的是一个角度的余弦角，而正切（Tan）函数表示的是一个角度的正切角。

以上三个函数都是三角函数，可以被用来求解三角形中两个角度和另外一条边之间的关系。

因此，余弦和公式可以用来求出两个角度和一条边之间的关系，这也就是余弦和公式的定义：余弦和公式：C+A=B其中，C代表余弦角，A代表正弦角，B代表正切角。

这个公式实际上就是把三角形的三角函数关系表示出来。

换句话说，这就是说三角形的边长和角度之间的关系。

接下来来看看如何用余弦和公式来求解三角形的形状和大小。

首先，需要知道三角形的基本信息，包括三条边和三个角度。

如果三条边的长度已经知道，就可以用余弦和公式来求出三个角度的值，而如果三个角度的值已知，就可以用余弦和公式来求出三条边的长度。

其次，余弦和公式也可以用来判断三角形的形状。

比如，如果余弦和公式式子中的余弦角大于90度，就可以判断出这个三角形是钝角三角形；如果余弦和公式式子中的正弦角大于90度，则可以判断出这个三角形为锐角三角形；而如果余弦和公式式子中的正切角大于90度，则可以判断出这个三角形为直角三角形，依次类推。

最后，余弦和公式还可以用来求出三角形的面积。

三角形的面积可以用下式给出：面积=1/2*absin（C）*a*b其中，a和b是两个边的长度，C是这两个边之间的角度。

由于我们可以用余弦和公式来计算出三角形的角度，因此也可以用余弦和公式来求取三角形的面积。

以上就是余弦和公式的概述和应用，它可以用来求解三角形中两个角度和另外一条边之间的关系，也可用来判断三角形的形状和求出三角形的面积。

余弦定理公式大全

余弦定理公式大全余弦定理是解决三角形问题时经常使用的重要公式，可以通过它计算三角形的边长或角度。

它的表达式是：c² = a² + b² - 2ab*cos(C)其中，a、b、c分别代表三角形的边长，C代表夹在边a和边b之间的角度。

1.角度公式：根据余弦定理公式，我们可以解出夹在边a和边b之间的角度C的值：cos(C) = (a² + b² - c²) / 2ab通过这个公式，如果我们已知三角形的三个边长a、b、c，就可以计算出夹在边a和边b之间的角度C的大小。

2.边长公式：根据余弦定理公式，我们可以解出边c的值：c = √(a² + b² - 2ab*cos(C))通过这个公式，如果我们已知三角形的两个边长a、b和夹在边a和边b之间的角度C，就可以计算出边c的长度。

3.面积公式：根据余弦定理公式，我们可以推导出三角形的面积公式：S = 1/2 * a * b * sin(C)其中，S代表三角形的面积。

通过这个公式，如果我们已知三角形的两个边长a、b和夹在边a和边b之间的角度C，就可以计算出三角形的面积。

4.费马定理公式：根据余弦定理公式，我们可以推导出费马点定理公式：AF² + BF² + CF² = 4S² / sqrt(3)其中，AF、BF、CF分别代表三角形的三个顶点到费马点的距离，S代表三角形的面积。

通过这个公式，如果我们已知三角形的面积S，就可以计算出费马点到三个顶点的距离。

总结：余弦定理提供了一种解决三角形问题的强大工具。

通过余弦定理公式，我们可以计算三角形的边长、角度和面积等相关参数。

这些公式的应用范围非常广泛，是解决三角形问题时的基础知识之一、掌握了余弦定理公式，我们就可以快速准确地解决三角形相关的数学问题。

解三角形公式

海伦－秦九韶公式假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：而公式里的p为半周长（周长的一半）：注1："Metrica"(《度量论》）手抄本中用s作为半周长，所以和两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。

cosC = (a^2+b^2-c^2）/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√（1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2）^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2）^2]=1/4*√[（2ab+a^2+b^2-c^2）（2ab-a^2-b^2+c^2）]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一个三角形中是恒量，R是此三角形外接圆的半径）。

变形公式（1）a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC（2）sinA：sinB：sinC=a：b：c（3）asinB=bsinA，asinC=csinA，bsinC=csinB（4）sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R（5）S=1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC余弦定理a^2=b^2+c²-2bcco s Ab^2=a^2+c^2-2ac cos Bc^2=a^2+b^2-2ab cos C注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。

(完整版)高中数学解三角形方法大全

解三角形1．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。

已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形。

以下若无特殊说明，均设ABC ∆的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，则有以下关系成立：（1）边的关系：c b a >+，b c a >+，a c b >+（或满足：两条较短的边长之和大于较长边）（2）角的关系：π=++C B A ，π<<C B A 、、0，π<+<B A 0，ππ<-<-B A ，0sin >A ， C B A sin )sin(=+，C B A cos )cos(-=+，2cos 2sinCB A =+ （3）边角关系：正弦定理、余弦定理以及它们的变形板块一：正弦定理及其应用1．正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ===，其中R 为ABC ∆的外接圆半径2．正弦定理适用于两类解三角形问题：（1）已知三角形的任意两角和一边，先求第三个角，再根据正弦定理求出另外两边；（2）已知三角形的两边与其中一边所对的角，先求另一边所对的角（注意此角有两解、一解、无解【例1】考查正弦定理的应用（1）ABC ∆中，若60=B ，42tan =A ，2=BC ，则=AC _____；（2）ABC ∆中，若30=A ，2=b ，1=a ，则=C ____；（3）ABC ∆中，若45=A ，24=b ，8=a ，则=C ____；（4）ABC ∆中，若A c a sin =，则cba +的最大值为_____。

总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能如图，在ABC ∆中，已知a 、b 、A（1）若A 为钝角或直角，则当b a >时，ABC ∆有唯一解；否则无解。

（2）若A 为锐角，则当A b a sin <时，三角形无解；当A b a sin =时，三角形有唯一解；当b a A b <<sin 时，三角形有两解；当b a ≥时，三角形有唯一解实际上在解这类三角形时，我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。

三角函数及解三角形常用公式

4、余弦定理适用情况：
b2 c2 a2 cos A
2bc
a2 c2 b2 cos B
2ac
a2 b2 c2 cos C
2ab
（1）已知两边及夹角；
（2）已知三边。
5、常用的三角形面积公式
1 （1） SABC 底高；
2
1
1
1
（2） SABC absin C bc sin A ca sin B （两边夹一角）；
2
2
[(2k 1) ,2k ] 单调 (k ,k ) 单调
2
2
递增
递增
递增
单调
3
[2k ,2k ]
2
2
[(2k , (2k 1) ] 单调
递减
递减
对称性
零值点最值点
对称轴：x k
2
对称中心： (k ,0)
x k
x 2k , ymax 1
2 x 2k , ymax 1 2
要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
【函数的平移变换】：
① y f (x) y f (x a)(a 0) 将 y f (x) 图像沿 x 轴向左（右）
平移 a 个单位（左加右减）
② y f (x) y f (x) b(b 0) 将 y f (x) 图像沿 y 轴向上（下）
角的值由 tan b 确定
a
5、三角函数的图像和性质：（其中 k z ）
y sin x
三角函
数
y cos x
y tan x
图像
定义域（-∞，+∞）（-∞，+∞）
x k
2
值域
[-1,1]
[-1,1]

三角形面积计算公式详解

三角形面积的计算公式有以下几种：
1. 三角形面积=1/2*底*高（三边都可做底）。

2. 三角形面积=1/2absinC=1/2acsinB=1/2bcsinA。

3. 三角形面积=abc/4R(其中R是三角形外接圆半径）。

4. 三角形面积S＝√x*(x-a)*(x-b)*(x-c)（其中＂√＂是大根号，＂x＂为三角形周长的一半，a,b,c为边长）。

1. 第一个公式：S=1/2*底*高，这是最常用的三角形面积计算公式。

它基于将三角形划分为一个矩形和一个三角形，然后使用矩形面积公式和三角形面积公式计算总面积。

该公式适用于任何三角形，只要知道底和高就可以计算面积。

2. 第二个公式：S=1/2absinC=1/2acsinB=1/2bcsinA，这个公式是根据三角形边长和角度来计算面积的。

其中a、b、c是三角形的边长，A、B、C是对应的角度。

这个公式需要知道三角形的三个边长和至少一个角度才能计算面积。

3. 第三个公式：S=abc/4R，这个公式是根据三角形周长和外接圆半径来计算面积的。

其中
a、b、c是三角形的边长，R是三角形外接圆半径。

这个公式需要知道三角形的三个边长和外接圆半径才能计算面积。

4. 第四个公式：S=√x*(x-a)*(x-b)*(x-c)，这个公式是根据三角形周长的一半和三个边长来计算面积的。

其中x为三角形周长的一半，a、b、c为三角形的边长。

这个公式需要知道三角形的三个边长才能计算面积。

这个公式是基于海伦公式（Heron's formula）推导出来的，它适用于任何三角形，包括非直角三角形。

余弦定理公式大全

正弦、余弦定理解斜三角形建构知识结构1．三角形基本公式：（1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,cos2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A + （2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=21casinBS= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2cb a ++, r 为内切圆半径)（3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A 2．正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===外证明：由三角形面积111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===得sin sin sin a b c A B C==画出三角形的外接圆及直径易得：2sin sin sin a b cR A B C===3．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA , 222cos 2b c aA bc+-=；证明：如图ΔABC 中，sin ,cos ,cos CH b A AH b A BH c b A ===-22222222sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A=+=+-=+-当A 、B 是钝角时，类似可证。

正弦、余弦定理可用向量方法证明。

要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题． 4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；有三种情况：bsinA<a<b 时有两解；a=bsinA 或a=b 时有解；a<bsinA 时无解。

5．利用余弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。

解直角三角形的基本类型及解法

解直角三角形的基本类型及解法解直角三角形是初中数学中的重要内容之一，也是后续高中数学和物理学的基础。

解直角三角形的基本类型及解法是学习这一内容的关键。

下面将为大家介绍关于“解直角三角形的基本类型及解法”的相关内容。

一、基本类型1. 已知两边求斜边在直角三角形中，如果已知其中两条边的长度，那么通过勾股定理可以求出第三条边（即斜边）的长度。

勾股定理是一种用勾股定理求斜边的基本方法，即a²+b²=c²。

其中a、b分别为直角三角形的两个直角边，c为斜边的长度。

2. 已知斜边求直角边如果已知斜边和另一条直角边的长度，那么可以使用直角三角形定理来求出另外一条直角边的长度。

这个定理是勾股定理的一个特例，即c²=a²+b²。

其中c为斜边的长度，a、b为直角三角形的两条直角边的长度。

3. 已知三角形内角求其它角的大小在直角三角形中，根据三角形内角的和为180°，其中一个直角角度已知，另外一个角度可以用90°来计算，从而可以求出第三个角度的值。

因为在直角三角形中，除直角外的另外两个内角一定是锐角或钝角，所以得到的答案只能是其中一个锐角或一个钝角的大小。

二、解法1. 勾股定理解法勾股定理是解直角三角形的基本公式，在题目中如果已知两条边中的任何一条边和直角，则可以使用勾股定理求出第三边的长度。

此方法适用于已知两个边长，求第三条边长的情况。

2. 直角三角形定理解法在已知直角和一条直角边的情况下，可以利用直角三角形定理来确定另外一个边的长度。

在这种情况下，直角三角形定理c²=a²+b²可以用来求解问题。

如果仅知道斜边和其中一个直角边，则可以利用直角三角形定理求解另一个直角边的长度。

3. 正弦定理及余弦定理解法在某些情况下，可能需要求解一个已知的直角三角形内的其它角度，此时可以使用正弦定理或余弦定理。

正弦定理是指sinA/a=sinB/b=sinC/c，其中A、B、C为任意三角形的角度，a、b、c为对应边的长度。

解三角形

a2 b2 c2 cos C
2ab
c2=a2+b2-2abcosC
(1)解三角形常见的四种类型(见优化P69) ①二角和一边;(正弦) ②两边和夹角;(余弦) ③三边;(余弦) ④两边和一对角。(正弦、余弦)
注：前三类的解唯一，第四类三角形不确定，可能有一解、二解、无解，应结合△中
“大边对大角”的性质求解。
C
,
sin
C )
22
2
2
且m 与n的夹角为， ( 1)求C； 3
(2)已知c 7 ,三角形面积S 3 3 ，求a b
2
2例3: 在△ABC中源自已知A，B，C成等差数列， b=1,求证：1<a+c2
；/ 中信2 中信2平台中信2注册；
2
2
2
2
tan A cot B C
2
2
③在△ABC中,c边为最大边，
若c2>a2+b2, 则C为钝角,△ABC为钝角三角形。若c2=a2+b2, 则C为直角,△ABC为直角三角形。若c2<a2+b2, 则C为锐角,△ABC为锐角三角形。
公式应用
a b c 2R sinA sinB sinC
争很快就能结束,人们可以继续挖掘.却不知,战乱时期初现末世端倪,人人自身难保,哪里还顾得上古墓解密？炮弹到处飞,躲哪儿都危险.而且末世时流通の不再是钱币,而是晶核或者各种锋税武器.人人只顾着打猎抢夺晶核,再也没人提起那个宝藏墓穴.当然,不排除有人将埋藏の地点牢记于心,静待和平年代到来重返旧地.古董文物能让后世了解过去の文明,千金难求,实属难得,不管在哪个年代都是弥足珍贵の宝物,也是大发横财扬名立万の捷径.战争突至,世界各地陷入纷乱.大国核战争输赢,

高中数学-必修二6.3解三角形-知识点

1高中数学-必修二6.3解三角形-知识点1、正弦定理：A sin a =B sin b =C sin c =2R （R 是三角形的外接圆半径）。

常见变形：① sinA ：sinB ：sinC= a ：b ：c ；② a=2RsinA ，b=2RsinB ，c=2RsinC ；③sinA=R 2a ，sinB=R 2b ，sinC=R 2c。

★在满足等号两边（或是分子与分母）齐次的情况下，可将正弦值和边相互切换。

比如：若b=a cosC ，则可快速切换为sinB = sinA cosC 。

2、余弦定理：a 2 = b 2 + c 2 +2bc cosA ；b 2 = a 2 + c 2 +2ac cosB ；c 2 = a 2 + b 2 +2ab cosC ；cosA =bc 2a c b 222-+，cosB =ac 2b c a 222-+，cosC =b a 2c b a 222-+。

3、三角形面积公式：S=21absinC = 21bcsinA = 21acsinB .4、解斜三角形时，如果已知条件是 SAS ， ASA ， AAS ， SSS ，则有唯一解；如果已知条件是 SSA ，则可能一解，也可能两解，要根据题目条件去判断。

5、在三角形中，大边对大角，小边对小角，等边对等角。

也就是说，非最长边所对的角，一定是锐角，而最长边所对的角，可能是锐角，可能是直角，可能是钝角。

6、在求角时，我们尽量用cos 而不用sin ，因为cos 在锐角和钝角的情况下，值是不一样的，这样就简化了计算，避免了讨论。

7、在三角形角的计算中，要熟练运用sinA = sin （B+C ），cosA = -cos （B+C ），tanA = -tan （B+C ）。

8、题型：三角形形状的判断。

主要看是否是等腰三角形，等边三角形，直角三角形，等腰直角三角形，锐角三角形，钝角三角形。

9、反正弦：arcsinx(x ∈[-1 ,1 ])表示一个在[-π/2，π/2]范围中且正弦值为x 的角。

韦达定理的第三个公式

韦达定理的第三个公式韦达定理（也称莱卡德公式）是初中数学中一个非常重要的定理，它可以用来求解三角形中的各种关系。

韦达定理有三个公式，分别是第一、第二、第三个公式。

这篇文章将着重介绍韦达定理的第三个公式，即正弦定理。

正弦定理是韦达定理的第三个公式，它的表述如下：在任意一个三角形中，它的任意一条边的对边角的正弦值与对边的长度成正比例关系，即sin A /a = sin B /b = sin C /c其中，a、b、c 分别表示三角形三边的长度，A、B、C 分别表示与对应边相对的角度。

正弦定理的使用方法正弦定理很容易使用，只要知道两个角和它们对应的两条边的长度，就可以求出第三条边的长度，或者求出角的大小。

在下面的例子中，我们将演示如何使用正弦定理来求解三角形中的各种关系。

例子1：求三角形中某个角的大小已知三角形 ABC，其中 AB = 5，AC = 8，BC = 7。

求角 A 的大小。

解：根据正弦定理，有sin A /5 = sin B /7 = sin C /8sin A = sin(180° - B - C) = sin(B + C) = sin B cos C + cos B sin C = (7/8) sin C +(4/8) cos C因为根据勾股定理，有cos C = (AB² + AC² - BC²) / (2ABAC) =(5² + 8² - 7²) / (2×5×8) = 47 / 80所以sin A = (7/8) sin C + (4/8) cos C = (7/8)sin(acos(47/80)) + (4/8) cos(acos(47/80)) =0.6277因此，角 A 的大小为arcsin(0.6277) = 39.81°（保留两位小数）。

例子2：求三角形中某个角对应的边的长度已知三角形 ABC，其中 AB = 8，AC = 10，角 A 的大小为60°。

解三角形公式汇总

解三角形公式汇总一、正弦定理公式正弦定理：推论1：（边化角）推论2：（角化边）题型（1）已知sinB求B:一题多解型判断依据：大角对大边，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

（2）asin B＝2b:方法：边化角，推论1，a：b=sinA：sinB（3）3sin A＝5sinB或sinA:sinB:sinC=1:2:3方法：角化边，推论2,sinA：sinB=a：b二、余弦定理公式余弦定理：（已知两边及夹角，求第三边）推论1：（已知三边，求角）推论2：（三边的平方关系）a2＋b2－c2=2abcosCb2＋c2－a2=2bccosAa2＋c2－b2=2accosB题型（1）已知a，b，角C,求c方法：已知两边及夹角，求第三边，余弦定理c2=a2＋b2-2abcosC （2）已知a：b：c=1:2：，求cosB方法：已知三边求角，余弦定理推论1，（3）已知，求cosA方法：已知三边平方关系，余弦定理推论2，b2＋c2－a2=2bccosA三、求三角形面积公式：题型1：已知a，b，c，A 求△ABC的面积．方法：带公式题型2：已知A，a，b＋c，求△ABC的面积．方法：四、判断三角形形状题型：cos cos sin+=，判断三角形形状b Cc B a A方法1：角化边公式：sinA:sinB:sinC=a:b:c 或结论：方法2：边化角公式：a:b:c = sinA:sinB:sinC将原式转化为sinBcosC＋sinCcosB=sin2A，用三角恒等变换公式求解。

注：三角形内常见角度转化：五、解三角形应用举例仰角：俯角：坡度：。

解三角函数

解：由 a b
得
sin A sin B
∵ 在 ABC 中 a b
∴ B 为锐角或钝角
B 60或120
3 a2
60
C
a
b
BA
（1）在 ABC 中，一定成立的等式是（） C
A. asin A bsinB C. asin B bsin A
B. acos A bcos B D. acos B bcos A
已知条件
应用定理
一般解法
三边(如a，b， c)
余弦定理
由余弦定理求出角A、B；再利用A＋B＋C＝180°，求出角C. 在有解时只有一解
两边和其中一边的对角(如a
，b，A)
正弦定理余弦定理
由正弦定理求出角B；由A＋B＋ C＝180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c. 可有两解，一解或无解
二、余弦定理
c2=a2＋b2－2abcosC;
cosA＝
b2＋c2－a2 2bc
b2=c2＋a2－2cacosB; a2=b2＋c2－2bccosA;
cosB＝
c2＋a2－b2 2ca
; ;
cosC＝
a2＋b2－c2 2ab
.
余弦定理可解以下两种类型的三角形：
（1）已知三边；
（2）已知两边及夹角.
和差化积公式
sin sin 2 sin( ) cos( )
22
22
sin sin 2 cos( ) sin( )
22
22
cos cos 2 cos( ) cos( )
22
22
cos
cos
2
sin(
) sin(
)
22

数学三角形解题技巧

数学三角形解题技巧数学中的三角形是一个非常重要的几何形状，解题技巧对于解决三角形相关问题非常重要。

下面将介绍一些常用的数学三角形解题技巧。

1.利用三角形的性质三角形有许多基本性质，比如：内角和等于180度，外角等于与之相邻的内角的和等等。

利用这些性质可以进行简单的数学计算和推理。

2.利用三角形的相似性如果两个三角形的对应角度相等，则它们是相似的。

利用相似三角形的性质，可以求解相似三角形中未知的边长和角度。

3.利用勾股定理勾股定理是解决三角形问题时非常常用的一个定理。

如果一个三角形的两个边长已知，并且需要求解第三边长，可以利用勾股定理来计算。

4.利用三角形的高、中线、角平分线三角形的高、中线和角平分线都是三角形重要的元素，可以帮助我们求解三角形的面积、边长和角度。

利用这些线段的性质，可以得到已知条件和未知条件之间的关系，进而求解未知量。

5.利用三角函数三角函数是解决三角形相关问题的重要工具。

通过利用正弦、余弦和正切等三角函数的定义和性质，可以求解三角形中的各种问题，特别是在涉及到角度的运算时非常有用。

6.利用三角形的面积公式三角形的面积公式是解决三角形面积问题的基础。

根据三角形的底和高、两个边和夹角、边和高等条件，可以利用三角形面积公式计算出三角形的面积。

7.利用综合性质求解有时候，解决一个三角形问题需要结合多个条件和性质进行综合分析。

这就需要我们将各种已知信息整合起来，利用已知的条件和性质，通过推理和计算找出未知的答案。

以上是关于数学三角形解题的一些常用技巧，希望对你有所帮助。

当然，数学解题的过程中，灵活运用各种数学工具和思维方式也是非常重要的。

只有不断练习和思考，才能提高自己的解题能力。

解三角形常见题型及技巧

解三角形常见题型及技巧1．正弦定理 a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R 其中2R 为△ABC 外接圆直径。

变式1：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 。

变式2：sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R= 变式3：a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 。

变式4：R CB A cb a C Ac a C B c b B A b a A a 2sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin =++++=++=++=++= 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。

（边换角后）sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A 。

变式1：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab。

变式2：a 2＝（b ＋c ）2－2b c （1+cos A ）（题目已知b ＋c ，bc 或可求时常用） 3．解三角形（知道三个元素，且含有边）(1)已知三边a ，b ，c 或两边a ，b 及夹角C 都用余弦定理(2)已知两边a ，b 及一边对角A,一般先用正弦定理，求sin B ，sin B ＝b sin Aa 。

(3)已知一边a 及两角A ，B (或B ，C )用正弦定理(已知两角，第三角就可以求）。

4．三角形常用面积公式(1)S ＝12a ·h (2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ＝abc 4R (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)5.在△ABC 中，常有以下结论： 1．∠A ＋∠B ＋∠C ＝π。

解三角形公式汇总

解三角形公式汇总一、正弦定理公式正弦定理：推论1：（边化角）推论2：（角化边）题型（1）已知sinB求B:一题多解型判断依据：大角对大边，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

（2）asin B＝2b:方法：边化角，推论1，a：b=sinA：sinB（3）3sin A＝5sinB或sinA:sinB:sinC=1:2:3方法：角化边，推论2,sinA：sinB=a：b二、余弦定理公式余弦定理：（已知两边及夹角，求第三边）推论1：（已知三边，求角）推论2：（三边的平方关系）a2＋b2－c2=2abcosCb2＋c2－a2=2bccosAa2＋c2－b2=2accosB题型（1）已知a，b，角C,求c方法：已知两边及夹角，求第三边，余弦定理c2=a2＋b2-2abcosC （2）已知a：b：c=1:2：，求cosB方法：已知三边求角，余弦定理推论1，（3）已知，求cosA方法：已知三边平方关系，余弦定理推论2，b2＋c2－a2=2bccosA三、求三角形面积公式：题型1：已知a，b，c，A 求△ABC的面积．方法：带公式题型2：已知A，a，b＋c，求△ABC的面积．方法：四、判断三角形形状题型：cos cos sin+=，判断三角形形状b Cc B a A方法1：角化边公式：sinA:sinB:sinC=a:b:c 或结论：方法2：边化角公式：a:b:c = sinA:sinB:sinC将原式转化为sinBcosC＋sinCcosB=sin2A，用三角恒等变换公式求解。

注：三角形内常见角度转化：五、解三角形应用举例仰角：俯角：坡度：大家都来到荷塘，挖莲藕抓鱼虾，捉泥鳅捡螃蟹，人声鼎沸，笑语欢声，相互谈说着要如何弄出一顿顿可口的美味。

光是莲藕的吃法就有很多：熬汤炖肉八宝酿、清炒生吃蜜饯糖，还可以磨成藕粉，加入砂糖或蜂蜜，在温水里一泡，就是一杯清凉清甜的解暑饮料。

用鲜莲叶来熬粥，蒸饭蒸鸡，或蒸其它肉类味道都是极鲜美的，做出来的食物均带着一股淡淡的莲叶清香。

解三角形

例9. 在ABC中， O为坐标原点， A(1, cos ), B(sin ,1), (0, ], 2 则当为多少时 OAB的面积最大值？ Y
B(sin ,1)

解： S OBC SOCMD ( S OAC S OBD S ABM )
D(0,1)
M
1 1 X SOCED 1 S OAC cos S OBD sin 2 2 C(1,0) O 1 1 S ABM (1 cos )(1 sin ) S ABM （ - sin cos sin cos） 1 2 2 1 1 S OAC S OBD S ABM sin cos 2 2 1 1 1 S OBC (1 sin cos ) (1 sin2 ) 2 2 2 1 当时 S OBC 达到最大，最大值为 2 2
在三角形中，已知a、b和A时解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形 a>b 关 a<bsin a=bsin bsinA<a< A A b 或系 a=b 式一个解两个解一个解解无解个数
a<b a>b 或 a=b 一无解个解
例4.根据下列条件，判定三角形解的情况.
（）a 2 2 , b 2 3 , A 45 ; 1 （2）a 11, b 22, A 30 ;
法三：由三角形的面积 1 1 S ah 5 2 3 5 3 2 2
1 又S bc si n A 2 21 si n A 2 21 si n A 5 3 2 5 7 5 7 si n A A arcsi n 14 14
求三角形的边
例7. 在ABC中，已知 a 3 , b 2 , B 45 , 求边 c.

余弦定理公式大全

（2）求y的最小值.
解：（1）∵y=cotA+
=cotA+
=cotA+
=cotA+cotB+cotC，
∴任意交换两个角的位置，y的值不变化.
（2）∵cos（B－C）≤1，
∴y≥cotA+ = +2tan = （cot +3tan ）≥ = .
故当A=B=C= 时，ymin= .
评述：本题的第（1）问是一道结论开放型题，y的表达式的表面不对称性显示了问题的有趣之处.第（2）问实际上是一道常见题：在△ABC中，求证：cotA+cotB+cotC≥ .
（2）设AB=3，求AB边上的高.
剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以（1）为铺垫，解决（2）.
（1）证明：∵sin（A+B）= ，sin（A－B）= ，
∴
=2.
∴tanA=2tanB.
（2）解：＜A+B＜π，∴sin（A+B）= .
∴tan（A+B）=－，
即 =－ .将tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B－4tanB－1=0，解得tanB= （负值舍去）.得tanB= ，∴tanA=2tanB=2+ .
3.由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC＞0，A、B、C都为锐角.答案：C
5.2; 6.若c最大，由cosC＞0.得c＜ .又c＞b－a=1，∴1＜c＜ .
【解答题】
7.（2004春北京）在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及的值.
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）；3.利用余弦定理，可以解决以下两类问题：

解三角形,这三个公式就够了!

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