浙江工商大学微积分概念题第三章导数与微分
经济管理类微积分龚德恩第二版参考答案 第三章导数与微分
（２） 已知 y ＝ f （３）
a ＋ x
２
x
４ ２
，则 y ′ ＝
f （ θn ） ＝
（５） 设 y ＝f （ x ） ＝x 在点 （１，１ ） 处的切线与 x 轴的交点为 （ θn ，０ ） ， 则 nｌｉｍ
n
１ （４） 曲线 y ＝ ２ 在点 （ － １，１） 的切线方程为 x ；
ｄ （ ａｒｃｓｉｎ x ） ＝ ｄ （ ａｒｃｃｏｓ x ）
１６．求下列各数的近似值 ： （１） ２ 解
１． ００１
（３） ｓｉｎ ２９° ；
； （２） ｌｎ１． ００２； （４）
３
７６ ．
（２ ｌｎ ２） Δ x． （１） 令 f （ x ） ＝ ２ ，ｄ f ＝
x x
取 x０ ＝ １，Δ x－ ０． ００１，则 ２
１． ００ １ １ １
≈ f （１） ＋ ｄf ｜ x ０ ＝１ ， Δ x ＝０ ． ０ ０１ ＝ ２＋ ０． ００２ × ｌｎ２≈２． ００１３８６（ ｌｎ２≈０． ６９３１） ． ｌｎ （１． ００２） ≈ f（１） ＋ ｄf
边际收益为
于是 ，边际利润为
１８．已知某产品的需求函数和总成本函数分别为 ： 其中 x 为销售量 ，P 为价格 ． 解 利润函数为
１ １０ ． L′ （ x） ＝ ［ R （ x） － C（ x） ］ ′ ＝ R′ （ x） － C′ （ x） ＝ ２ － （x ＋ ２） x p＝ １０００ － ２ x ，C （ x ） ＝ ５０００ ＋ ２０ x
２ ２
∴y ′ （ x） ＝ ｌｉｍ Δ x ０
→
＝ （x ＋ Δ x） － x ＋ ３Δ x＝ （２ x ＋ ３＋ Δ x） Δ x Δ y ＝ｌｉｍ （２ x ＋ ３＋ Δ x） ＝ ２x ＋ ３． Δ x Δx → ０
导数与微分练习题及解析
导数与微分练习题及解析在微积分学中，导数和微分是最基本的概念之一。
它们可以帮助我们研究函数的变化率和性质，广泛应用于物理、经济、工程等各个领域。
为了帮助你更好地理解导数和微分的概念，以下是一些练习题及其解析。
练习题1：求函数f(x) = x^2 + 3x + 2在x = 2处的导数和切线方程。
解析：首先，我们求函数f(x)的导数。
使用求导法则，对于多项式函数来说，可以将每一项的指数与系数相乘，并将指数减一，得到函数的导数。
f'(x) = 2x + 3接下来，我们计算x = 2处的导数值。
f'(2) = 2(2) + 3 = 7切线方程的一般形式为y = mx + b，其中m代表斜率，b代表截距。
根据导数的定义，导数即为切线的斜率。
所以切线的斜率为m = 7。
将切点的坐标代入切线方程，我们可以得到b的值。
2 = 7(2) + b2 = 14 + bb = -12最终的切线方程为y = 7x - 12。
练习题2：求函数f(x) = e^x * sin(x)的导数。
解析：考虑到函数f(x) = e^x * sin(x)是两个函数的乘积，我们可以使用乘积法则来求导。
乘积法则的公式为：(uv)' = u'v + uv'对于e^x和sin(x)两个函数，它们的导数分别为e^x和cos(x)。
根据乘积法则，我们可以将这两个导数与原函数进行组合，得到最终的导数为：f'(x) = (e^x * cos(x)) + (e^x * sin(x))练习题3：求函数f(x) = ln(x^2 + 1)的导数和微分。
解析：首先，我们求函数f(x)的导数。
根据链式法则，可以分别计算外函数和内函数的导数。
设内函数为u = x^2 + 1，则内函数的导数为du/dx = 2x。
外函数为f(u) = ln(u)，则外函数的导数为df/du = 1/u。
根据链式法则，函数f(x)的导数为：f'(x) = df/du * du/dx= (1/u) * (2x)= 2x / (x^2 + 1)接下来，我们计算函数f(x)的微分。
第三章 导数与微分 习题及答案
第三章 导数与微分同步练习 一、填空 1、若[]1cos 1)0()(lim=--→xf x f x x ，则)0(f '= 。
2、设)100()3)(2)(1()(----=x x x x x x f ，则)0(f '= 。
3、若)(x e f y -=，且x x x f ln )(='，则1=x dxdy = 。
4、若)()(x f x f =-，且3)1(=-'f ，则)1(f '= 。
5、设某商品的需求函数是Q=10-0.2p ，则当价格p=10时，降价10%，需求量将 。
6、设某商品的需求函数为：Q=100-2p ，则当Q=50时，其边际收益为 。
7、已知x x y ln =，则)10(y = 。
8、已知2arcsin )(),2323(x x f x x f y ='+-=，则：0=x dxdy = 。
9、设1111ln22++-+=x x y ，则y '= 。
10、设方程y y x =确定y 是x 的函数，则dy = 。
11、已知()xke x f ='，其中k 为常数，求()x f 的反函数的二阶导数=22dyxd 。
二、选择1、设f 可微，则=---→1)1()2(lim1x f x f x （ ）A 、)1(-'-x fB 、)1(-'fC 、)1(f '-D 、)2(f ' 2、若2)(0-='x f ，则=--→)()2(lim000x f x x f xx （ ）A 、41 B 、41- C 、1 D 、-1 3、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001arctan )(x x xx x f ，则)(x f 在0=x 处（ ）A 、不连续B 、极限不存在 Ｃ、连续且可导 Ｄ、连续但不可导 ４、下列函数在[]1,1-上可微的有（ ） Ａ、x x y sin 32+= Ｂ、x x y sin =Ｃ、21x x y +=Ｄ、x x y cos += ５、设)(x f 为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(=（ ） Ａ、在0=x 处极限不存在 Ｂ、有跳跃间断点0=x Ｃ、在0=x 处右极限不存在 Ｄ、有可去间断点0=x６、设函数)(),(21x y x y 的弹性分别为)0(,≠b b a ，则函数)()(21x y x y y =的弹性为（ ） Ａ、b a - Ｂ、b aＣ、2112y by ay - Ｄ、以上都不对 ７、已知)(x f e y =，则y ''＝（ ）Ａ、)(x f e Ｂ、)]()([)(x f x f e x f ''+' Ｃ、)()(x f e x f '' Ｄ、)}()]({[2)(x f x f e x f ''+'８、设函数⎩⎨⎧≤+>+=11)ln()(2x bx x x a x f 在1=x 处可导。
微积分第三章导数与微分
y
y
y
0
x0
x
0
x0
x
0
x0
x
（1）曲线 f ( x) 在点
（2） 曲线 f ( x) 在点
（3）曲线 f ( x) 在点
x0
x0 处
x0 处有
处是尖点
间断
垂直切线
calculus
作业
先看书 再做练习
P89:T8； P106：T1(1)；T2；T5.
x 作业讲评 P88.5(2) y sin x
x
1 lim[(1 ) ] x x
x x x
1 x lim u ( x) lim (1 ) e 0 x x x
x 1 lim v( x) lim lim 0 x x x x x
原式 e 1
P89.6. (5).解法1： lim (1 1 ) x x
x
1 lim (1 ) x x
lim
1 1 2 x ( )
1 x2
lim e
x
x
1 x2
calculus
ln(1 1 ) x
e
x
lim
1 x2
ln(1
1 ) x
e x
即
f ( x) 在 x0 处可导,
y f ( x0 ) lim 存在 x 0 x lim y lim y x
x 0
x 0
y lim lim x 0 x 0 x x 0 所以,函数 y f ( x) 在 x0 处连续.
x
问题：连续是否一定可导？
二、导数的定义
calculus
定义1：设函数y f ( x)在点x0处的某邻域内有定义， 如果函数的改变量y f ( x0 x) f ( x0 )与自变量 的改变量x的比值当x 0的极限
经济数学基础 微积分 第三章习题解答
尖点, 无切线, 不可导
无定义, 不可导
0
x
无确定切线, 不可导
0
x
尖点, 无切线, 不可导
8.讨论下列函数在x 0处的连续性与可导性；若可导，
求出f (0)：
1 x
(1) f ( x) 1 x
x0 x0
解 lim f ( x) 1 lim f ( x) 1
x0
x0
所以函数在x 0连续.
3
y 1 (0 6x2 ) 6 x2
16.求下列函数的导数
(1) y
ex ex
ex ex
(e x ) e x ( x) e x
y
(e x
ex
)(e x
ex (e x
) (e x ex )2
e x )(e x
ex
)
(e x e x )2 (e x e x )2
(e x ex )2
y 10( x )9 ( x ) 1 x 1 x
10(
1
x
x
)9
1 x x (1 x)2
10x9 (1 x)11
(6) y ln ln ln x 设y ln u,u ln v,v ln x
y (lnu) (lnv) (ln x) 1 1 1 uv x
1 1 1
1
lnln x ln x x x ln x ln ln x
(3) y
1 1 x2
(1
x2
1
)2
y
1
(1
x2
)
3 2
(1
x
2
)
2
x(1
x
2
)
3 2
1
(1
《经济数学--微积分》第三章-导数与微分练习题1
第三章 导数与微分一、判断题1. 若函数)(x f 在0x 点可导，则00()[()]f x f x ''=；（ ）2. 若)(x f 在0x 处可导，则 )(lim 0x f x x → 一定存在；（ ）3. 函数 x x x f =)( 是定义区间上的可导函数；（ ）4. 函数 x x f =)( 在其定义域内可导；（ ）5. 若 )(x f 在 [,]a b 上连续，则 )(x f 在 (,)a b 内一定可导；（ ）6. 若 ()f x 在 0x 点不可导，则 ()f x 在 0x 不连续；（ ）7. 函数 22,1()ln ,014x x f x x x ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩ 在 1x = 点可导；（ ）8. ()(),()f x f x y e y e f x ''''==已知则；（ ）9. 若 (),n f x x = 则 ()(0)!n f n = ；（ ）10. 2()2d ax b ax += ；（ ）二、填空题1. 设 )(x f 在 0x 处可导，且 A x f =')(0，则 hh x f h x f h )3()2(lim000--+→用A 的代数式表示为_______ ；2.()f x = ，则 (0)f '= _________ ；3. 设 ln e x e y x e x e =+++，则 y '= ______ ；4. ()x x ' = _______；5. 曲线 3y x = 在点 (1,1) 处的切线方程是 ________ ；6. 曲线 x e x y += 在点 (0,1) 的处的切线方程是_______；7. 函数 32sin(1)y x x =+ 的微分 dy =__________ ；8. sin(1)x y e =+ ，dy =_______ ；9. dy y -∆ 的近似值是 _________ ；10. 设 e x y n += ，则 ()n y = ________ ；三、选择题1. 设)(x f 在点0x 处可导，则下列命题中正确的是 ( ) (A) 000()()lim x x f x f x x x →-- 存在 (B) 000()()limx x f x f x x x →--不存在 (C) 00()()lim x x f x f x x →+-存在 (D) 00()()lim x f x f x x ∆→-∆不存在2. 设)(x f 在点0x 处可导且0001lim (2)()4x xf x x f x →=--，则0()f x '等于 () (A) 4 (B) –4 (C) 2 (D) –23. 设 ()y f x = 可导，则 (2)()f x h f x -- = ( )(A) ()()f x h o h '+ (B) 2()()f x h o h '-+(C) ()()f x h o h '-+ (D) 2()()f x h o h '+4. 设 (0)0f = ，且 0()lim x f x x → 存在，则 0()lim x f xx →＝ ( )(A) ()f x ' (B) (0)f ' (C) (0)f (D) 1(0)2f '5. 设 1(2)1f x x +=+ ，则 ()f x '= ( )(A) 21(1)x -- (B) 21(1)x -+ (C) 11x + (D) 11x --6. 函数 x x x f )1()(-=的导数为 ( )(A)x x x )1(- (B)1)1(--x x (C)x x x ln (D))]1ln(1[)1(-+--x x xx x7. 设 21,10()1,02x x f x x ⎧+-<≤=⎨<≤⎩ ，则)(x f 在点x = 0 处 ( )(A) 可导 (B) 连续但不可导 (C) 不连续 (D) 无定义8. 函数)(x f 在 0x x =处连续，是 )(x f 在 0x 处可导的 ( )(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件9. 函数 x xx f =)( 在 0=x 处 ( )(A) 连续但不可导 (B) 连续且可导(C) 极限存在但不连续 (D) 不连续也不可导10.函数 0,0()1,0x f x x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ ，在点 0x = 不连续是因为 ( )(A) (00)(0)f f +≠ (B) (00)(0)f f -≠(C) (00)f +不存在 (D) (00)f -不存在11.设 21cos ,0()0,01tan ,0x x x f x x x x x⎧<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩ ，则 ()f x 在 0x =处（ ）(A) 极限不存在 (B) 极限存在，但不连续(C) 连续但不可导 (D) 可导12. 函数 )(x f e y =，则 ="y ( )(A) )(x f e (B) )(")(x f e x f (C) 2)()]('[x f e x f (D) )}(")]('{[2)(x f x f e x f +13. 设 x x y e e -=+ ，则 y ''=( )(A) x x e e -+ (B) x x e e -- (C) x x e e --- (D) x x e e --+14. 已知 ln y x x = ，则 (10)y = ( )(A) 91x - (B) 91x (C) 98!x (D) 98!x- 15. 已知 sin y x = ，则 (10)y = ( )(A) sin x (B) cos x (C) sin x - (D) cos x -四、计算与应用题1.设 x y e y ln = 确定 y 是 x 的函数，求dxdy2.方程 0y x e e xy -+= 确定 y 是 x 的函数，求 y '3.方程 2cos 0y y x e += 确定 y 是 x 的函数，求 y '4.设 21(1)arctan cos 2y x x x =++，求 y '5.ln tan 2x y = ，求 'y 及 dy6.221cos 5ln x x y -+= ，求 y ' 及 dy7.y e = ，求 y ' 及 dy8.xy e y x -= ，求 y ' 及 dy 9.已知 2cos 3y x =，求 y '10.设 ln(y x x =+，求 y ' 11.设 22arctan()1x y x =- ，求 y '12.设 x y x = ，求 y ' 13.求 13cos x y e x -= 的微分14.求 2xe y x = 的微分 15.设 )ln(ln x y =，求 dy16.设 xx y 1cos 1ln+= ，求 dy 17.设 cos 2x y e = ，求 dy18.3cos cos x y x x e =+ ，求 dy 19.ln y x x = ，求 y ''20.已知 ()sin3f x x = ，求 ()2f π''。
导数与微积分
导数与微积分导函数导函数的概念涉及：的对于区间 , 上任意点处都可导,则在各点的导数也随x的变化而变化,因而也是自变量x的函数,该函数被称为的导函数,记作 ;一、基本函数的导函数C'=0C为常数x^n'=nx^n-1 n∈Qsinx'=cosxcosx'=-sinxe^x'=e^xa^x'=a^xlnaloga,x' = 1/xlnalnx'= 1/x二、和差积商函数的导函数fx + gx' = f'x + g'xfx - gx' = f'x - g'xfxgx' = f'xgx + fxg'xfx/gx' = f'xgx - fxg'x / gx^2三、复合函数的导函数设 y=ut ,t=vx,则 y'x = u'tv'x = u'vx v'x例：y = t^2 ,t = sinx ,则y'x = 2t cosx = 2sinxcosx = sin2x一般定义设函数在点的某个邻域内有定义,当自变量在处取得增量Δ点仍在该邻域内时,相应地函数取得增量Δ；如果Δ与Δ之比当Δ时的极限存在,则称函数在点处可导,并称这个极限为函数在点处的导数,记为,即,也可记作,或;邻域数学分析的定义以a为中心的任何开区间称为点a的邻域,记作Ua设δ是任一正数,则在开区间a-δ,a+δ就是点a的一个邻域,这个邻域称为点a的δ邻域,记作Ua,δ,即Ua,δ={x|a-δ<x<a+δ};点a称为这邻域的中心,δ称为这邻域的半径;a的δ邻域去掉中心a后,称为点a的去心δ邻域,有时把开区间a-δ,a称为a的左δ邻域,把开区间a,a+δ称为a的右δ邻域;拓扑学的定义设A是拓扑空间X,τ的一个子集,点x∈A;如果存在集合U,满足①U是开集,即U∈τ,②点x∈U,③U是A的子集,则称点x是A的一个内点,并称A是点x的一个邻域;若A是开闭集,则称为开闭邻域;可导设y=fx是一个单变量函数, 如果y在x=x0处存在导数y'=f'x,则称y在x=x0处可导;如果一个函数在x0处可导,那么它一定在x0处是连续函数若将一点扩展成函数fx在其定义域包含的某开区间I内每一个点,那么函数fx在开区间内可导,这时对于内每一个确定的值,都对应着fx的一个确定的导数,如此一来每一个导数就构成了一个新的函数,这个函数称作原函数fx的导函数,记作：y'、或者;原函数已知函数fx是一个定义在某区间的函数,如果存在函数Fx,使得在该区间内的任一点都有dFx=fxdx,则在该区间内就称函数Fx为函数fx的原函数;例：sinx是cosx的原函数;关于原函数的问题函数fx满足什么条件是,才保证其原函数一定存在呢这个问题我们以后来解决;若其存在原函数,那么原函数一共有多少个呢我们可以明显的看出来：若函数Fx为函数fx的原函数,即：F'x=fx,则函数族Fx+CC为任一个常数中的任一个函数一定是fx的原函数,故：若函数fx有原函数,那末其原函数为无穷多个.如果定义在a,b上的函数Fx和fx满足条件：对每一x∈a,b,F′x＝fx则称Fx为fx的一个原函数;例如,x3是3x2的一个原函数,易知,x3＋1和x3＋2也都是3x2的原函数;因此,一个函数如果有一个原函数,就有许许多多原函数,原函数概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的,例如：已知作直线运动的物体在任一时刻t的速度为v＝vt,要求它的运动规律 ,就是求v＝vt的原函数;原函数的存在问题是微积分学的基本理论问题,当fx为连续函数时,其原函数一定存在;几何意义和力学意义设fx在a,b上连续,则由曲线y=fx,x轴及直线x=a,x=x围成的曲边梯形的面积函数指代数和——x轴上方取正号,下方取负号是fx的一个原函数.若x为时间变量,fx为直线运动的物体的速度函数,则fx的原函数就是路程函数.导函数的定义表达式为：值得注意的是,导数是一个数,是指函数fx在点x0处导函数的函数值;但通常也可以说导函数为导数,其区别仅在于一个点还是连续的点;几何意义如右图所示,设P0为曲线上的一个定点,P为曲线上的一个动点;当P沿曲线逐渐趋向于点P0时,并且割线PP0的极限位置P0T存在,则称P0T为曲线在P0处的切线;若曲线为一函数y = fx的图像,那么割线PP0的斜率为：当P0处的切线P0T,即PP0的极限位置存在时,此时,,则P0T的斜率tanα为：上式与一般定义中的导数定义是完全相同,则f'x0 = tanα,故导数的几何意义即曲线y = fx在点P0x0,fx0处切线的斜率;函数可导的条件如果一个函数的定义域为全体实数,即函数在上都有定义,那么该函数是不是在定义域上处处可导呢答案是否定的;函数在定义域中一点可导需要一定的条件是：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等;这实际上是按照极限存在的一个充要条件极限存在,它的左右极限存在且相等推导而来：上式中,后两个式子可以定义为函数在x0处的左右导数：极值extremum∶数学函数的一种稳定值,即一个极大值或一个极小值,极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点中取得;extreme value∶在给定的时期内,或该时期的一定月份或季节内观测到的气候要素的最高值或最低值;如果这个时期是整个有观测资料的时期,这个极值就是绝对极值极限在高等数学中,极限是一个重要的概念;极限可分为数列极限和函数极限,分别定义如下;首先介绍刘徽的"割圆术",设有一半径为1的圆,在只知道直边形的面积计算方法的情况下,要计算其面积;为此,他先作圆的内接正六边形,其面积记为A1,再作内接正十二边形,其面积记为A2,内接二十四边形的面积记为A3,如此将边数加倍,当n无限增大时,An无限接近于圆面积,他计算到3072=62的9次方边形,利用不等式An+1<A<An+2An+1-Ann=1,2,3....得到圆周率=3927/1250约等于数列极限：定义：设|Xn|为一数列,如果存在常数a对于任意给定的正数ε不论它多么小,总存在正整数N,使得当n>N时,不等式|Xn - a|<ε都成立,那么就称常数a是数列|Xn|的极限,或称数列|Xn|收敛于a;记为lim Xn = a 或Xn→an→∞数列极限的性质：1.唯一性：若数列的极限存在,则极限值是唯一的；2.有界性：如果一个数列收敛有极限,那么这个数列有界;但是,如果一个数列有界,这个数列未必收敛;3.保号性：如果一个数列{xn}收敛于a,且a>0或a<0,那么存在正整数N,当n>N时,都有xn>0或xn<0;4.改变数列的有限项,不改变数列的极限;几个常用数列的极限：an=c 常数列极限为can=1/n 极限为0an=x^n 绝对值x小于1 极限为0函数极限的专业定义:设函数fx在点x;的某一去心邻域内有定义,如果存在常数A,对于任意给定的正数ε无论它多么小,总存在正数δ ,使得当x满足不等式0<|x-x;|<δ时,对应的函数值fx都满足不等式：|fx-A|<ε那么常数A就叫做函数fx当x→x;时的极限;函数极限的通俗定义：1、设函数y=fx在a,+∞内有定义,如果当x→+∞时,函数fx无限接近一个确定的常数A,则称A为当x趋于+∞时函数fx的极限;记作lim fx＝A ,x→+∞;2、设函数y=fx在点a左右近旁都有定义,当x无限趋近a时记作x→a,函数值无限接近一个确定的常数A,则称A为当x无限趋近a时函数fx的极限;记作lim fx=A ,x→a;函数的左右极限：1：如果当x从点x=x0的左侧即x〈x0无限趋近于x0时,函数fx无限趋近于常数a,就说a是函数fx在点x0处的左极限,记作x→x0-limfx=a.2:如果当x从点x=x0右侧即x>x0无限趋近于点x0时,函数fx无限趋近于常数a,就说a是函数fx在点x0处的右极限,记作x→x0+limfx=a.注：若一个函数在x0上的左右极限不同则此函数在x0上不存在极限注：一个函数是否在x0处存在极限,与它在x=x0处是否有定义无关,只要求y=fx在x0近旁有定义即可;函数极限的性质：极限的运算法则或称有关公式：limfx+gx=limfx+limgxlimfx-gx=limfx-limgxlimfxgx=limfxlimgxlimfx/gx=limfx/limgx limgx不等于0limfx^n=limfx^n以上limfx limgx都存在时才成立lim1+1/x^x =ex→∞无穷大与无穷小：一个数列极限无限趋近于0,它就是一个无穷小数列极限;无穷大数列和无穷小数列成倒数;两个重要极限：1、lim sinx／x ＝1 ,x→02、lim 1 + 1／x^x ＝e ,x→∞ e≈...,无理数====================================================================== ==举两个例子说明一下一、……＝1以下一段不作证明,只助理解——原因：小数的加法的第一步就是对齐数位,即要知道具体哪一位加哪一位才可操作,下文中……的加法使用小数点与小数点对齐并不可以保证以上标准,所以对于无限小数并不能做加法;既然不可做加法,就无乘法可言了;谁都知道1/3＝……,而两边同时乘以3就得到1＝……,可就是看着别扭,因为左边是一个“有限”的数,右边是“无限”的数;10×……—1×……=9=9×……∴……=1二、“无理数”算是什么数我们知道,形如根号2这样的数是不可能表示为两个整数比值的样子的,它的每一位都只有在不停计算之后才能确定,且无穷无尽,这种没完没了的数,大大违背人们的思维习惯;结合上面的一些困难,人们迫切需要一种思想方法,来界定和研究这种“没完没了”的数,这就产生了数列极限的思想;类似的根源还在物理中实际上,从科学发展的历程来看,哲学才是真正的发展动力,但物理起到了无比推动作用,比如瞬时速度的问题;我们知道速度可以用位移差与时间差的比值表示,若时间差趋于零,则此比值就是某时刻的瞬时速度,这就产生了一个问题：趋于无限小的时间差与位移差求比值,就是0÷0,这有意义吗这个意义是指“分析”意义,因为几何意义颇为直观,就是该点切线斜率这也迫使人们去为此开发出合乎理性的解释,极限的思想呼之欲出;真正现代意义上的极限定义,一般认为是由魏尔斯特拉斯给出的,他当时是一位中学数学教师,这对我们今天中学教师界而言,不能不说是意味深长的;几个常用数列的极限an=c 常数列极限为can=1/n 极限为0an=x^n 绝对值x小于1 极限为0定积分定积分的几何意义众所周知,微积分的两大部分是微分与积分;微分实际上是求一个已知函数的导数,而积分是已知一个函数的导数,求原函数;所以,微分与积分互为逆运算;积分的分类实际上,积分还可以分为两部分;第一种,不定积分,也就是已知导数求原函数,而若Fx的导数是fx,那么Fx+CC是常数的导数也是fx,也就是说,把fx积分,不一定能得到Fx,因为Fx+C的导数也是fx,C是任意常数,所以fx积分的结果有无数个,是不确定的,我们一律用Fx+C代替,这就称为不定积分;这也就是说它是一组函数,而不是有限个;第二种,定积分定积分就是求函数FX在区间A,B中图线下包围的面积;即 y=0 x=a x=b y=FX所包围的面积;这个图形称为曲边梯形,特例是曲边梯形;定积分的定义：设一元函数y=fx ,在区间a,b内有定义;将区间a,b分成n个小区间 a,x0 x0,x1x1,x2 .....xi,b ;设△xi＝xi－xi-1,取区间△xi中曲线上任意一点记做fξi,做和式：和式若记λ为这些小区间中的最长者;当λ→ 0时,若此和式的极限存在,则称这个和式是函数fx 在区间a,b上的定积分;记做：∫ _a^b fxdxa在∫下方,b在∫上方其中称a为积分下限,b为积分上限, fx 为被积函数,fxdx 为被积式,∫为积分号;之所以称其为定积分,是因为它积分后得出的值是确定的,是一个数, 而不是一个函数;微分一元微分定义：设函数y = fx在x.的邻域内有定义,x0及x0 + Δx在此区间内;如果函数的增量Δy = fx0 + Δx fx0可表示为Δy = AΔx + oΔx其中A是不依赖于Δx 的常数,而oΔx0是比Δx高阶的无穷小,那么称函数fx在点x0是可微的,且AΔx 称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分,记作dy,即dy = AΔx;通常把自变量x的增量Δx称为自变量的微分,记作dx,即dx = Δx;于是函数y = fx的微分又可记作dy = f'xdx;函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数;因此,导数也叫做微商;当自变量X改变为X+△X时,相应地函数值由fX改变为fX+△X,如果存在一个与△X无关的常数A,使fX+△X-fX和A△X之差关于△X→０是高阶无穷小量,则称A△X是fX在X的微分,记为dy,并称fX在X可微;可导不一定可微,可微一定可导,这时A=f′X;再记A△X=dy,则dy=f′XdX;例如：dsinX=cosXdX;几何意义：设Δx是曲线y = fx上的点M的在横坐标上的增量,Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量,dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量;当|Δx|很小时,|Δy－dy|比|Δy|要小得多高阶无穷小,因此在点M附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段;多元微分同理,当自变量为多个时,可得出多元微分得定义;运算法则：dy=f'xdxdu+v=du+dvdu-v=du-dvduv=duv+dvudu/v=duv-dvu/v^2黎曼积分定积分的正式名称是黎曼积分,详见黎曼积分;用自己的话来说,就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形,然后把某个区间a,b上的矩形累加起来,所得到的就是这个函数的图象在区间a,b的面积;实际上,定积分的上下限就是区间的两个端点a、b;黎曼积分如果函数fX在闭区间a,b上定义,而P,ζ是这个闭区间的一个带点分割,则和σf；p,ζ:=Σ fζiΔXi叫做函数f在区间a,b上对应于带点分割P,ζ的积分和,其中ΔXi=Xi-Xi-1 存在这样一个实数I,如果对于任何ε>0可以找到一个δ>0,使对区间a,b的任何带点分割P,ζ,只要分化P的参数λP<δ,就有|I-σf；p,ζ|<ε,则称函数fX在闭区间a,b上黎曼可积,而I就成为函数fX在闭区间a,b上的黎曼积分;我们可以看到,定积分的本质是把图象无限细分,再累加起来,而积分的本质是求一个函数的原函数;它们看起来没有任何的联系,那么为什么定积分写成积分的形式呢微积分基本定理定积分与积分看起来风马牛不相及,但是由于一个数学上重要的理论的支撑,使得它们有了本质的密切关系;把一个图形无限细分再累加,这似乎是不可能的事情,但是由于这个理论,可以转化为计算积分;这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式,它的内容是：若F'x=fx那么∫ _a^bfx dx = Fa-Fb牛顿-莱布尼兹公式用文字表述,就是说一个定积分式的值,就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差;正因为这个理论,揭示了积分与黎曼积分本质的联系,可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位,因此,牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理;牛顿-莱布尼茨公式,又称为微积分基本定理,其意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法;从几何上看,它在切线和面积两个看似很不相关的概念之间建立起了联系;下面就是该公式的证明全过程：我们知道,对黎曼Riemann可积函数fx于区间a,b上的定积分表达为：b上限∫a下限fxdx现在我们把积分区间的上限作为一个变量,这样我们就定义了一个新的函数：Φx= x上限∫a下限fxdx但是这里x出现了两种意义,一是表示积分上限,二是表示被积函数的自变量,但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的;虽然这种写法是可以的,但习惯上常把被积函数的自变量改成别的字母如t,这样意义就非常清楚了：Φx= x上限∫a下限ftdt接下来我们就来研究这个函数Φx的性质：1.定义函数Φx= x上限∫a下限ftdt,则Φx连续;当fx连续时,有Φ’x=fx;证明：让函数Φx获得增量Δx,则对应的函数增量ΔΦ=Φx+Δx-Φx=x+Δx上限∫a下限ftdt-x上限∫a下限ftdt,利用区间可加性,x+Δx上限∫a下限ftdt-x上限∫a下限ftdt=x+Δx上限∫x下限ftdt若m和M分别是fx在区间a,b上的最小值和最大值,利用定积分第一中值定理,存在m,M中的实数η,使得ΔΦ=x+Δx上限∫x下限ftdt=ηΔx;进一步,当fx连续时存在x与x+Δx之间的常数ξ,使得η=fξ;于是当Δx趋向于0时,ΔΦ趋向于0,即Φx连续;若fx连续,那么当Δx趋向于0时,ξ趋向于x,fξ趋向于fx,故有lim Δx→0 ΔΦ/Δx=fx,从而得出Φ’x=fx;2. 若fx在a,b上连续,且Fx是fx在a,b上的一个原函数,那么b上限∫a 下限fxdx=Fb-Fa;证明：我们已证得Φ’x=fx,故Φx+C=Fx;注意到Φa=0积分区间变为a,a,故面积为0,所以Fa=C,于是有Φx=Fx-Fa,当x=b时,Φb=Fb-Fa,这就得到了牛顿-莱布尼茨公式;。
微积分第3章导数与微分
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三、左、右导数
定义 设函数 y = f(x) 在某U+(x0) (或 U-(x0))内有定义. 若
(或
)
存在，则称该极限值为 f 在点 x0 处的右 (左) 导数.
记作 f( x0 ) (或 f( x0 )) .
注：1. f 在x0可导 f 在 x0 的左, 右导数存在且相等.
f
(
x)
x
sin
1 x
,
x 0 与 f(x) = |x| 在 x = 0 处连续但不可导.
0, x 0
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例5. 求下列函数的导函数：
(1) c ( 常函数 ) ;
答案：0
记结论
(2) xn , ( n∈N+ ) ; (3) sin x ,
cos x ; (4) log ax ( a > 0, a≠1, x > 0 ) .
方法一：F(x, y) = 0 显化 y = f(x) 已有方法 求 y.
√ 方法二：F(x, y) = 0 两边同时求导 [F(x, y)] 0 求 y.
例6. 已知 y x ln y 确定了函数 y = f(x)，求 y.
（答案：
y
y ln y y x
）
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第三章 导数与微分
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要牢记！
(1) (c) 0 (c为常数);
(2) ( x ) x1 (为任意实数 );
(3) (a x ) a x ln a, (ex ) ex ;
(4)
(log a
x)
1, x ln a
(ln
x)
1; x
(5) (sin x) cos x,(cos x) sin x ;
浙江大学微积分一习题解答 第三,四章(秋冬)
2
∆ T≈ π
1 gl 0
l 0 0.000011∆W ＝ 0.000011π
0
24.83 16 ＝0.8797× 10 −4 (秒)每天约慢 0.8797× 10 −4 ×24×3600＝7.6(秒) 980
又冬季室温到－10
∆ T≈ π
C 时 ∆W ＝－30，周期每秒约快
24.83 30 ＝－0.1648× 10 −3 (秒). 980
π (sin ax )' = a sin(ax + ) 2
π (sin ax )' ' = a 2 sin(ax + 2 ⋅ ) 2
π (sin ax ) ( n ) = a n sin(ax + n ⋅ ) 2
故
y (n ) =
π π π 1 1 1 1 1 1 (sin 2 x ) ( n ) + (sin 4 x ) ( n ) − (sin 6 x ) ( n ) = 2 n sin( 2x + n ) + 4 n sin(4 x + n ) − 6 n sin(6 x + n ) # 4 4 2 4 4 2 4 4 2
～～ calculus I chap 03-- 04 ～～ 第三章 导数与微分 题 5(5) (p101) 【1】 『解』 f(x)在 x 0 可导，试讨论|f(x)|在 x 0 的可导性 只需考虑
x →x 0
lim
| f (x) | − | f (x 0 ) | 。 x − x0
我们希望去掉绝对值。故分情况讨论
以此类推
π y''' (− 2 ) 3 [e − x sin( x − 3 ⋅ )] 4 π y ( n ) = (− 2 ) n [e − x sin( x − n ⋅ )] # 4
2006-2007学年浙江工商大学第二学期《微积分》试卷
浙江工商大学2006 /2007学年第二学期考试试卷课程名称： 微积分 考试方式： 闭卷 完成时限： 120分钟 班级名称： 学号： 姓名：一、1．,1),(),(),(),(0000-=''=y x f ，y x ，f y x f z y x xx且具有二阶连续偏导数的驻点是设 ,),(,1),(0000a y x f y x f yy xy=''=''则a 时，),(00y x 是极大值点. 2．若)1(1n n u +=∞∑收敛，则=∞→n n u lim .3．设1d 112=+⎰x x kx，则=k . 4．=⎰+∞-x e x x d 03 .5．幂级数∑∞=1n nnx 的收敛域为 .6．设)ln ln(y x z +=，则=∂∂yz. 7．交换积分次序后 ⎰⎰==baxay y f x I d )(d .8．=+⎰-dx x x 11)( .9．微分方程011=+dx ydy x 满足43==x y的解为 .10．若D 是平面上长半轴和短半轴分别为b a 、的椭圆圆域，则⎰⎰=Dσd .二、 单项选择（1052=⨯分）1.已知),(y x f z =的全微分xydy dx y dz 22+=，则=∂∂22xz（ ）.A. 0B. x 2C. y 2D.xy 22.级数nn ）∑∞=121(的和为（ ）.A.21 B.1 C.2 D.23 3.下列广义积分发散的是（ ）.A.⎰101dx xB.dx x ⎰-10211 C.dx x ⎰∞+121D.dx x⎰1021 4.若级数∑∞=1n n u 发散，则必有（ ）.A.0lim =∞→n n uB.0lim ≠∞→n n uC.∑∞=+12007n n u 发散 D.∑∞=12007n n u 发散 5.方程xy y x y +='22是（ ）方程 .A.可分离变量B.齐次C.一阶线性D.伯努利 三、 计算题（一）（2464=⨯分） 1．dx x x ⎰+-40223.2．dx x x ⎰+31211 .3．已知函数)2sin(y x e z x-=,求yx z ∂∂∂2.4．已知函数),(y x f z =是由方程0)ln(22=+-xyz xyz xz 所确定的隐函数,求dz . 四、 计算题（二）（2464=⨯分）1. 求二重积分dxdy y x I D22sin +=⎰⎰，其中D 是由122≤+y x 与x 轴及y 轴所围平面图形的第一象限部分. 2. 判断级数n n n nn !21=∞∑的敛散性. 3. 求221xx xy -+=在0=x 处展开的幂级数. 4. 求微分方程222)1(2)1(+=-+x xy dxdyx 的通解.五、 应用题（1628=⨯分）1.已知D 为由x y =2与2-=x y 围成的平面图形， 求:（1）D 的面积;（2）D 绕y 轴旋转所得旋转体的体积.2. 设某企业的总产量函数为y x y x P 2005.0),(=（吨），y x ,为两种投入要素，其单价分别为1万元/吨和2万元/吨，且该企业拥有资金150万元，试求y x ,使产量最大. 六、 证明题（6分）设)(x f 连续，且⎰-=-xx t t x tf 0cos 1d )(，试证：⎰=21d )(πx x f .。
微积分 第三章 导数与微分
也记为
f ( x0 Δx) f ( x0 ) Δy lim 即 f ( x0 ) lim x0 Δx x0 Δx
df ( x) dy y ' x x0 ， 或 ， dx xx0 dx xx
0
.
如果极限不存在，我们说函数 y f ( x) 在点 x0 处不可导. 如果固定 x0 ，令 x0 Δx = x ，则当 Δx 0 时， 有 x x0 ，故函数在 x0 处的导数 f ( x0 ) 也可表为
st0 t st0 s v(t0 ) lim v lim lim . t 0 t 0 t t 0 t
就是说，物体运动的瞬时速度是路程函数的增量 和时间的增量之比当时间增量趋于零时的极限.
2 .平面曲线的切线斜率
平面曲线的切线几何演示
在曲线 L 上点 M 0 附近， 再取一 点 M ,作割线 M 0 M ，当点 M 沿曲 线 L 移动而趋 向于 M 0 时 ，割线
左右导数不相等，故函数在该点不可导.所以，函数连续 是可导的必要条件而不是充分条件.
四、求导举例
求函数 y f ( x) 的导数 y 的步骤： （1）求增 y f ( x x ) f ( x ) ,
y f ( x x ) f ( x ) （2）算比值： , x x
这就是说 y f ( x) 在点 x 处连续.也即，如果函数 y f ( x) 在 x 处可导，那么在 x 处必连续.但反过来不一定成立， 即在 x 处连续的函数未必在 x 处可导. x, x 0, 例如，函数 y x 显然在 x 0 处连续， x, x 0 但是在该点不可导.
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) lim . x x0 x x0
《微积分》各章习题及详细答案
第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=,则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为 。
5、=-∞→x e xx arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b .7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小,则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、lim ____________x →+∞=。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________.15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。
（Ａ))()(x g x f +；(Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +;（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α,31)(x x -=β，则当1→x 时有 。
（Ａ)α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
微积分讲义_第三章-一元函数的导数和微分
3.6 导数和微分在经济学中的简单应用，由于知识体系的关联性，我们把本节放到第四章后面讲。
例11.求
的导数
【答疑编号11030311：针对该题提问】
例12.求
的导数
【答疑编号11030312：针对该题提问】
例13.求
的导数
【答疑编号11030313：针对该题提问】
例14.求
的导数
【答疑编号11030314：针对该题提问】
例15.（教材习题3.2，8题）已知 【答疑编号11030315：针对该题提问】
切线方程为 法线方程为
例8、求双曲线
处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程。
【答疑编号11030108：针对该题提问】
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
所求切线方程为
法线方程为
六、可导与连续的关系 1.定理 凡可导函数都是连续函数. 注意：该定理的逆定理不成立，即：连续函数不一定可导。 我们有：不连续一定不可导 极限存在、连续、可导之间的关系。
2.连续函数不存在导数举例
例9、讨论函数
在x=0处的连续性与可导性。
【答疑编号11030109：针对该题提问】
解：
例10、 P115第10题
设
，α在什么条件下可使f（x）在点x=0处。
（1）连续；（2）可导。 【答疑编号11030110：针对该题提问】 解：（1）
（2）
七、小结 1.导数的实质：增量比的极限； 2.导数的几何意义：切线的斜率； 3.函数可导一定连续，但连续不一定可导；
第三章 一元函数的导数和 微分
一、问题的提出 1.切线问题 割线的极限位置——切线位置
3.1 导数概念
如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即
高等数学D 第3章导数与微分
lim
2
2
h0
h
limcos(x
h0
h) 2
sinh 2
h
cx o .
2
即 (six)n cox.s(sin x) x cos x x
4
4
2. 2
同理可得 (cx o ) s six.n课下练习
编辑ppt
23
例 求函 f(x) 数 ax(a0 ,a1 )的.导数
解 (ax)lim axhax h0 h
证明：设函f数 (x)在点 x0处导数,即存在
f(x0)lxi m0xy
从而 lim y l i my x 0
x0
x0 x
注 该定理的逆定理不一定成立.
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29
例 讨论函数 y 3 x在 x=0处的连续性和
可导性.
解 在x=0处的连续性是显然的.
但在x=0处，由于
lim f(xh)f(x)lim f(0h)f(0)
y y x
O
x
连续是可导的必要条件,不是可导的充分条件.
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32
7分段函数求导
函数导数的公式
limf(x0x)f(x0)
x0
x
是一个极限式，
也有左极限和右极限的概念.
左极限
limf(x0x)f(x0) 称为函数在点
x0
x
x
0
的左导数， 记作
f
(
x
0
),
右极限 limf(x0x)f(x0) 称为函数在点 x 0
差商 sf(t0t)f(t0) 平均速度
t
t
若运动是匀速的, 瞬时速度就等于平均速度。
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3
3.1 导数的概念
五、单侧导数
2
一、 引例
1. 变速直线运动的速度
设描述质点运动位置的函数为
则 到 的平均速度为
f (t ) f (t 0 ) v t t0
自由落体运动
s 1 gt 2
2
而在 时刻的瞬时速度为
f (t ) f (t 0 ) v lim t t0 t t0
在 t 0 时刻的瞬时速度
f ( t 0 )
o
f (t0 )
f (t )
t0
t
s
曲线 C : y f ( x ) 在 M 点处的切线斜率
y
y f (x )
N
f ( x0 )
C
M
x0
T
说明: 在经济学中, 边际成本率,
o
x x
边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.
7
y f ( x) f ( x0 ) x x x0
f ( x ) f ( 0) sin x sin 0 f (0) lim lim x 0 x 0 x0 x0
sin x lim 1 x 0 x
f (0) 1
函数f ( x )在x 0处可导。
17
内容小结
1. 导数的实质: 增量比的极限; f ( x0 ) f ( x0 ) a 2. f ( x0 ) a
9
例如， (
1 x ) ( x 2 ) 1 2
1 x 2
1 2 x
1 1 1 1 1 ( x ) x 2 x x
3 ) ( x 4 )
微积分(上册)第三章
第三节
高阶导数
第三节 高 阶 导 数
当x变化时，f(x)的导数f′(x)仍是一 个关于x的函数，对于这个新的函数， 如果可导，就可以将f′(x)继续对x进行求 导，从而得到“导了再导”的函数，这 就是高阶导数.
一、 高阶导数的定义
三、 复合函数的求导法则
注
对于初学者来说，求复合函数的导数是一个难点.但若能够 熟悉复合函数的复合过程，并牢记“由外向里，逐层求导”的 八字原则，则复合函数的求导就会变得简便易行.所谓“由外向 里”，就是按照复合的层次，从最外面开始，依次向里；“逐 层求导”就是一层一层地求下去，直到自变量为止.最后，把各 层求的导数的结果乘起来即可.
二、 反函数的求导法则
定理5
如果x=φ (y)在某区间上单调可导，且φ ′(y)≠0，那么它 的反函数y=f(x)在对应区间上也可导，且有
证因x=φ (y)单调可导，故它的反函数单调连续，下面
证明它的可导性.
当x有增量Δx≠0
Δy=f(x+Δx)－
f(x)≠0
二、 反函数的求导法则
二、 反函数的求导法则
一、 函数的和、差、积、商的求导法则
定理4
一、 函数的和、差、积、商的求导法则
【例14】
设y=3x2+2x+7，求y′. 解y′=(3x2+2x+7)′=(3x2)′+(2x)′+(7)′=6x+2.
【例15】
一、 函数的和、差、积、商的求导法则
【例16】
求下列函数的导数. (1)y=xsin x；(2)y=ax(2sin x－3cos x)；(3)y=x4•ex•ln x. 解(1)y′=(xsin x)′=(x)′sinx+x(sin x)′=sin x+xcosx； (2)y′=axln a(2sin x－3cos x)+ax(2cos x+3sinx)； (3)y′=4x3exln x+x4exln x+x3ex=x3ex(4ln x+xln x+1).