2018年高考数学全国Ⅰ卷两道圆锥曲线题的探究与推广

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2018年高考全国Ⅰ卷选做题分析及备考建议

ｆ（ｘ）：ｌ＋１ｌ— ｌａｘ一１１．
图１
（１）当ａ＝ｌ时，求不等式ｆ（ｘ）＞ｌ的解集；（２）若Ｘ∈（０，１）时不等式ｆ（ｘ）＞Ｘ成立，求ａ的取值范围．分析本题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立的问题，在解题的过程中，需要用零点分段法将其化为分段函数，将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第（２）问求参数ａ的取值范围
一、试题及分析
点，或２２与只有一个公共点且ｆ１与Ｃ有两个公共点．
题目１ｆ２０１８年高考全国Ｉ卷文理科第２２题）在直角坐
当ｆ与只有一个公共点时，点到Ｚ所在直线的
标系ｘＯｙ中，曲线１的方程为：Ｙ＝＋２，以坐标原点距离为２，所以杀毒＝２，故＝一或＝。．经检验，
（１＋）。＋（４ｋｌｘ；＋２ｘ）＋１＝０． ① Ｘ＝０显然不是方程（１）的解．
（１）
② 当ｋ＞０时，１与无公共点． ④ 当＜０时，射线Ｙ＝一ｚ＋２（∞≤ ０）与圆
Ｃ有两个公共点要满足Ｃ与Ｃ２有且仅有三个公
共点，射线ｙ＝＋２（ｘ＞０）必须与相切．曲线
３８
中学数学研究
２０１８年第９期（上）
所以△＝（４ｋ＋２）一４（１＋。）＝０，解得七：一兰或庇＝０（舍｛Ｉ托ｏＳＱ代入（蚪１）＋２：４得：（ｔｃｏｓ（ｘ＋１）＋
去）综上，所求Ｃ１的方程为Ｙ＝一＋２．
Ｙ２＋ｔｓｉｎ

2018年全国高考数学(新课标Ⅰ)试卷分析

2018年全国高考数学(新课标Ⅰ)试卷分析试题特点高考数学题遵循了往年全国卷命题原则，如多数试题均以学生最熟悉的知识和问题呈现，只要对所涉及的知识和方法有基本的认知就可正确作答，这类试题有利于稳定考生的心态，有利于考生正常发挥。

此外，试题注重对高中所学内容的全面考查，如集合、复数、函数、数列、线性规划、平面向量、计数原理、极坐标与参数方程、不等式等内容都得到了有效的考查。

在此基础上，试卷还强调对主干内容的重点考查，如在解答题中考查了函数与导数、解三角形、概率统计、立体几何、圆锥曲线等主干内容，这体现了试卷对数学知识考查的基础性、全面性和综合性。

试卷总体评价2018年普通高考数学试卷依纲靠本，试卷结构稳中求变，试卷均减少算法和简易逻辑的考查。

试题编制科学规范、难易适度，各种难度的试题比例适当，有较好的区分度。

试题坚持能力立意，坚持多角度、多层次地考查考生的数学素养，突出对逻辑推理、数学运算、创新意识与中国传统数学文化的考查，突出数学的基础性和应用性。

考题难度适中，选择题填空题压轴题难度降低，中间部分选择题和填空题难度也比较适中，压轴大题的形式依然很常规，导数难度中上。

2018 年高考数学命题严格依据考试大纲，聚焦学科主干内容，突出关键能力的考查，强调逻辑推理等理性思维能力，重视数学应用，关注创新意识，渗透数学文化。

试题体现考主干、考能力、考素养，重思维、重应用、重创新的指导思想。

试卷稳中求新，在保持结构总体稳定的基础上，科学灵活地确定试题的内容和顺序;合理调控整体难度，并根据文理科考生数学素养的综合要求，调整文理科同题比例，为新一轮高考数学不分文理科的改革进行了积极的探索;贯彻高考内容改革的要求，将高考内容和素质教育要求有机结合，把促进学生健康成长成才和综合素质提高作为命题的出发点和落脚点，强化素养导向，助推素质教育发展。

一、聚焦主干内容，突出关键能力2018 年高考数学试题，立足于培育学生支撑终身发展和适应时代要求的能力，重点考查学生独立思考、逻辑推理、数学应用、数学阅读和表达等关键能力;重视学科主干知识，将其作为考查重点，围绕主干内容加强对基本概念、基本思想方法和关键能力的考查，基础性与中档性题目各约占整卷的40%，重点考查考生对数学本质的认识，考查考生对数学思想方法的理解和运用，多考一点想的，少考一点算的，杜绝偏题、怪题和繁难试题，以此引导中学教学遵循教育规律、回归课堂，用好教材，避免超纲学、超量学。

圆锥曲线一类性质的探究——对2018年全国高考新课标I卷理科数学第19题的思考

圆锥曲线一类性质的探究——对2018年全国高考新课标I卷理科数学第19题的思考王锋【期刊名称】《中学数学月刊》【年(卷),期】2019(000)006【总页数】2页(P60-61)【作者】王锋【作者单位】江西省九江市柴桑区第一中学 332100【正文语种】中文近些年，以椭圆为背景的定点定值问题在高考理科数学试题中频繁出现，对学生的分析问题能力和计算处理能力提出了较高的要求.针对这类问题，我们可以从不同角度不同维度去进行进一步的探究.本文以一道高考题为例，将椭圆问题拓展到整个圆锥曲线，并用代数与几何两种方法进行演算论证.例1 (2018年全国新课标I卷理科19题)设椭圆的右焦点为F，过F的直线l与C 交于A,B两点，点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.分析第(1)问求过焦点且垂直于长轴的弦端点与长轴上一定点的连线，可以利用椭圆方程轻松求出该焦点弦方程，从而确定其与椭圆交点，进而求解.其实该焦点弦不是一般的线段，正是椭圆的通径，也可利用通径公式求解.第(2)问是证明∠OMA=∠OMB，先证明特殊情况，再证明一般情况，将问题转化成证明直线AM 与BM的倾斜角互补，即它们的斜率之和为0，在证明过程中利用A,B的坐标与直线l斜率的关系及韦达定理可计算求得.图1解 (1)如图1，由椭圆方程知，F(1，0)，将x=1代入椭圆方程可得或则所以直线AM的方程为图2(2)当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°.当l与x轴垂直时，A与B关于x轴对称，∠OMA=∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时，如图2，设l的方程为y=k(x-1)(k≠0).设A(x1,y1),B(x2,y2)，则直线MA,MB的斜率之和由y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),得联立得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0，于是故从而kMA+kMB=0，故MA,MB的倾斜角互补，所以∠OMA=∠OMB.综上可得，∠OMA=∠OMB.从第(2)问的结果来看，无论直线l怎么旋转，交点A,B与定点M始终满足∠OMA=∠OMB.在这个问题中，定点M是如何确定的？换成其他的点,结论还成立吗？如果将椭圆类比到抛物线中，会有怎样的结论呢？变式探究1 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，过F的直线l与C交于A,B 两点，在x轴上是否存在一定点M，使得∠OMA=∠OMB？解设M(m,0)(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).当l与x轴垂直时，A,B关于x轴对称，∠OMA=∠OMB.当l与x轴不垂直时，设l的斜率为k(k≠0)，直线l的方程为联立得由韦达定理知直线MA,MB的斜率之和其中要使∠OMA=∠OMB，只需满足kMA+kMB=0，所以解得综上，在x轴上存在一定点使得∠OMA=∠OMB.从上面变式探究的结论来看，抛物线和椭圆有着相似的结论，都在对称轴上存在定点M，使得∠OMA=∠OMB.分析抛物线方程和点M的坐标我们发现点M恰好是抛物线的准线与其对称轴的交点.为什么这个点会具备这样的性质呢？下面我们用抛物线的定义来证明这一结论.图3如图3，过点A,B分别作准线的垂线，垂足为A′,B′.根据抛物线的定义知AF=AA′,BF=BB′.由AA′∥FM∥BB′,知因此又∠MA′A=∠MB′B=90°,所以△AMA′∽△BMB′,则∠AMA′=∠BMB′,所以∠OMA=∠OMB.对椭圆而言，定点M是否也是其准线与对称轴的交点呢？我们用上面的例1来验证：在椭圆中，a2=2,b2=1，c2=1,准线方程为题中点M(2,0)恰好是其右准线与对称轴的交点.椭圆有两个焦点和两条准线，那么直线l如果过左焦点，点M就是左准线与对称轴的交点吗？答案是肯定的.下面我们用定义法来证明这个结论.图4由椭圆的第二定义知，椭圆上的点到焦点的距离与到相应准线的距离之比为常数，这个常数就是椭圆的离心率e(0<e<1).由此，所以从而由AA′∥FM∥BB′,知因此易得△AMA′∽△BMB′,则∠AMA′=∠BMB′,所以∠OMA=∠OMB.从上述抛物线和椭圆的相似结论，我们很自然地考虑：双曲线是否也有这样的结论呢？下面我们一起来共同探究.变式探究2 设双曲线的左焦点为F，过F的直线l与C交于A,B两点，若点M的坐标为与∠OMB是否相等呢？图5由双曲线的第二定义知，双曲线上的点到焦点的距离与到相应准线的距离之比为常数，这个常数就是双曲线的离心率e(e>1).由此，如图因此由AA′∥FM∥BB′,知因此易得△AMA′∽△BMB′,则∠AMA′=∠BMB′,那么∠FMA=∠FMB，所以∠OMA=∠OMB.综合以上研究，我们发现对于圆锥曲线而言，若过焦点的直线l与该曲线交于A,B 两点，准线与对称轴的交点为M，则∠OMA=∠OMB(O为坐标原点).并且这一结论可以用代数和几何两种方法进行证明.。

2018年高考“圆锥曲线与方程”专题命题分析

5. 文、理科差异分析从2018年高考的不同试卷结构来看，文、理科试卷中相同试题与2017年相比有增多的趋势，体现了命题者对文、理科数学未来发展的站位及导向. 其中，北京卷文、理科试题区分度较大，在上海卷，浙江卷，江苏卷文、理科试题相同的基础上，全国Ⅱ卷中一道客观题和一道主观题文、理科相同. 天津卷中所有文、理科客观题和主观题，以及全国Ⅰ卷、全国Ⅲ卷中的主观题以姊妹题的形式呈现. 从试卷难度来看，2018年高考中，圆锥曲线部分的文、理科试题难度有所调整. 全国Ⅰ卷、全国Ⅱ卷圆锥曲线和统计概率模块位置的调整、主观题以姊妹题呈现等均降低了理科试题中圆锥曲线试题的思维难度；全国Ⅲ卷文、理科试题有一定的难度；北京卷虽然文、理科试题差异较大，但是试题难度均为中等.
2018 年第 7—8 期（总第 187—188 期）
中国数学教育
ZHONGGUO SHUXUE JIAOYU
№7—8，2018 General，№187—188
2018年高考“圆锥曲线与方程”专题命题分析
任佩文，张强，霍文明（河北正中实验中学；河北省教育科学研究所；河北正定中学）
摘要：2018 年高考数学试卷中，“圆锥曲线与方程”专题占有很大的比重 . 知识方面，命题者注重对圆锥曲线的标准方程和基本概念进行考查，注重对利用平面图形的几何性质对圆锥曲线的方程进行研究的考查，注重圆锥曲线与平面向量知识的综合，体现了圆锥曲线试题在高考中的基础性、全面性和综合性 . 数学思想和能力方面，命题者重视对圆锥曲线中的核心素养——数学运算素养的考查，重视对数形结合思想通过“以形助数”简化运算、优化思维的考查，重视向量的工具性作用在圆锥曲线中的应用 .
表2 卷别全国Ⅰ卷全国Ⅱ卷全国Ⅲ卷北京卷天津卷

2018年高考数学全国 Ⅰ 卷两道圆锥曲线题的探究与推广

2018年高考数学全国Ⅰ 卷两道圆锥曲线题的探究与推广郝安军【期刊名称】《《中学数学月刊》》【年(卷),期】2019(000)003【总页数】3页(P50-52)【作者】郝安军【作者单位】陕西省安康市江北高级中学 725000【正文语种】中文2018年全国Ⅰ卷文理两道圆锥曲线试题，蕴涵着丰富多彩的数学知识、数学方法和深厚的命题背景.本文就这两道试题进行探究，并对其进行横向推广和一般性推广，了解命题方向和命题意图，希望对读者有所帮助.试题1 (2018年高考数学全国Ⅰ卷理科19题)设椭圆的右焦点为F，过F的直线l 与C交于A,B两点，点M的坐标为(2,0).(1) l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2) 设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．分析对于第(2)问，x= 2刚好为椭圆的准线，联想椭圆的第二定义，则得出具有一般意义的几何证法.图1证明如图1,由题意知椭圆的准线为x= 2，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为点C，D，由椭圆的第二定义有则有又AC∥BD∥x轴，故有从而有即有故有tan∠AMC=tan∠BMD.因此∠AMC=∠BMD，从而∠OMA=∠OMB.此证法对任意的椭圆都适用.将以上探究方法及结论类比横向推广到双曲线和抛物线中，发现其也成立，由此得到以下结论.图2横向推广结论1 椭圆准线与长轴的交点D与过焦点弦端点A，B的连线AD，BD所成角∠ADB被长轴平分(图2).结论2 双曲线准线与实轴的交点D与过焦点弦端点A，B连线AD，BD所成角∠ADB被实轴平分(图3).图3 图4结论3 抛物线准线与对称轴的交点D与焦点弦端点A，B连线AD，BD所成角被对称轴平分(图4).结论1～3的证明可仿照上述高考试题的证法，当然还可用代数法加以证明.我们不妨以抛物线的情形为例，分别用几何法和代数法进行证明.即证明：如图5,过点任作直线交抛物线y2=2px(p>0)于A,B两点，点为定点，则∠AKF=∠BKF．图5证法1 (几何法)过点A，B分别作准线的垂线，垂足为A1,B1.由AA1∥FK∥BB1及AA1=AF,BB1=BF,得又有∠AA1K=∠BB1K=90°，故有△AA1K∽△BB1K，从而有∠A1KA=∠B1KB.又因为∠A1KF=∠B1KF=90°，所以∠AKF=∠BK F．证法2 (代数法)设AB的方程为与抛物线方程y2=2px联立得y2-2pλy-p2=0.显然Δ>0，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1y2=-p2.又故故kKA=-kKB，即KA,KB的倾斜角互补，亦即以∠AKF=∠BKF．试题2 (2018年全国Ⅰ卷文科第20题)设抛物线C：y2=2x，点A(2,0),B(-2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：∠ABM=∠ABN．第(2)问的证法和试题1第(2)问的证法类似，但是点A(2，0)，B(-2，0)并不是焦点或准线与对称轴的交点，其蕴藏着更一般的规律.一般性探究探究1 过椭圆长轴上任意一定点N(t,0)的一条弦AB，端点与对应点的连线所成角∠ADB必被对称轴(ND所在直线即x轴)平分(图6)．或者，过椭圆长轴上任意一定点N(t,0)的一条弦AB，端点与对应点的连线AD，BD与x轴所夹角相等(图7).图6 图7下面给出探究1的证明.证明设椭圆方程为直线AB的方程为y=k(x-t)(k显然存在)，将直线方程代入椭圆方程消去y得(b2+a2k2)x2-2ta2k2x+a2 (k2t2-b2 )=0.设A(x1,y1),B(x2,y2)，则有①, ②.因为y1=k(x1-t) ③,y2=k(x2-t) ④,将①～④式代入(*)式，经整理得KAD+KBD=0，则有命题成立.(双曲线和抛物线情形的证明方法和上述证法相同，在此略去)探究2 过双曲线实轴所在直线上任意一定点N(t,0)的一条弦AB，端点与对应点的连线所成角∠AGB被对称轴(NG所在直线)平分(图8).或者，过双曲线实轴所在直线上任意一定点N(t,0)的一条弦AB，端点与对应点的连线AG，BG和实轴(x轴)所夹角相等(图9).图8 图9探究3 过抛物线对称轴上任意一定点N(t,0)的一条弦AB，端点与对应点G(-t,0)的连线所成角∠AGB被对称轴(NG所在直线)平分(图10).或者，过抛物线对称轴上任意一定点N(t,0)的一条弦AB，端点与对应点G(-t,0)的连线AG，BG与x轴所夹角相等(图11).图10 图11逆向探究探究4 椭圆一条弦AB,D(m,0)为一定点，AD,BD与x轴所成角相等，则弦AB过定点探究5 双曲线一条弦AB,D(m,0)为一定点，AD，BD与x轴所成角相等，则弦AB 过定点探究6 抛物线一条弦AB,D(m,0)为一定点，AD，BD与x轴所成角相等，则弦AB 过定点G(-m,0).易证上面三个结论都成立，下面以椭圆为例加以证明.图12证明如图12，设椭圆定点D(m,0)，设直线AB方程为x=ny+t,代入椭圆方程消去x并整理得(n2b2+a2)y2+2ntb2y+t2b2-a2b2=0,则又因为AD,BD与x轴的夹角相等，故有由整理得到tm=a2,即故直线过定点命题得证.。

2018年高考“圆锥曲线与方程”专题解题分析

二、解法分析
1. 强调数学运算，利用“直译法”进行求解近几年的高考数学试卷，对本专题的考查中，重
点考查学生的运算能力. 尤其是考查学生对含字母的代数式的化简变形的能力，在2018年的高考数学试卷中得到了很好的体现.
“直译法”就是在解决圆锥曲线试题的过程中，利
用数学运算程序，将条件中的文字描述都转化为数学
-
3 2
ö2 ø
+
æ ç è
3+
3 2
ö2 ÷ ø
关键词：圆锥曲线；几何特征；平面向量；试题综合；复习建议
2018年高考数学试卷中，圆锥曲线试题位置前移是数学试卷结构上的重大调整，这种调整，在适当降低圆锥曲线试题难度的同时仍然保证了对圆锥曲线主干知识的考查，在强调通性、通法的基础上重视对数学学科思想与核心素养的考查，重视对圆锥曲线核心思想的考查.
8
=
0. 解得
y1
=
2，y2=
4
.
不妨令 M(1，2)，N(4，4)，所

以 FM = (0，2) ， FN = (3，4) . 所以 FM · FN = 8 . 故
答案选D.
【评析】该题直接求出点 M，N 的坐标，然后利用
向量的基本概念及其运算进行求解.
得 yN =
y1 + y2 2
=1.
故k=
y1 - y2 x1 - x2
=
4 y1 + y2
=2.
y
A1
A
M
N
O
x
B1
B
图1
【评析】该题主要考查圆锥曲线与平面几何图形的
联系. 数形结合，利用直角三角形的几何性质，问题

2018新课标I数学(理)高考真题命题分析

今年全国I卷理科试题命题分析一是保持稳定，主要体现在全面考查基础，突出考查主干试卷在强调通性通法的同时，还坚持能力立意，试卷往往以一道题为载体，呈现给考生的是解决一类问题的通用方法。

如第18题考查了证明面面垂直和求线面角的一般方法，重点考查考生的逻辑推理和空间想象能力;第19题考查了解决圆锥曲线定值问题的一般方法，重点考查考生的运算求解能力;特别是第21题考查了化归与转化的思想方法，揭示了如何构造辅助函数证明不等式的方法，重点考查考生分析问题和解决问题的能力。

二是坚持创新，主要体现在注重题型设计创新，综合考查数学素养，试题设问新颖。

如第10题以古希腊数学家研究的几何图形为情境，设计了一个几何概型及几何概率计算的问题;第16题关于三角函数的最值问题，体现导数工具在研究函数最值问题中的一般性应用;第20题将函数与概率综合，设问新颖，体现了考生运用数学知识解决数学问题的能力和素养。

三是注重应用，试题贴近生产生活实际，体现数学应用价值。

如第3题以新农村建设为背景，试题情境丰富，贴近生活，具有浓厚的时代气息，设计的问题自然却不乏新颖;再如第20题以产品质量检查为背景，设计的问题有很强的现实意义，如何根据期望进行科学合理决策，不仅考查考生对概率统计知识的理解，更是考查概率统计知识在数学和生活中的应用，使考生体会到数学知识与现实生活息息相关。

总的来说，今年全国I卷理科数学试题全面覆盖中学数学的主干内容，坚持平凡问题考查真功夫，没有偏题怪题，非常有利于高校科学选拔，也对高中教学有很好的导向作用。

附：命题专家权威解析2018年高考数学试题教育部考试中心命题专家认为，2018年高考数学卷一个突出的特点是，根据文理科考生数学素养综合要求，调整文理科同题比例，为新一轮高考数学不分文理科的改革进行了积极探索。

试题采用“Y字形排列”，即文理科容易题和中档题相同，构成试卷的基础，在中途文科增加中档题，理科增加较难题，组成文理科不同难度结构的试卷。

2018年高考圆锥曲线部分大题解析

1.【2018浙江21】如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点,A B 满足,PA PB 的中点均在C 上。

（1）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（2）若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点，求PAB ∆面积的取值范围。

解析：（1）设2200112211(,),(,),(,)44P x y A y y B y yAP 中点满足：22102014()4()22y x y y ++= BP 中点满足：22202024:()4()22y x y y BP ++= 所以12,y y 是方程220204()4()22y x y y ++=即22000280y y y x y -+-=的两个根，所以1202y y y +=，故PM 垂直于y 轴。

（2）由（1）可知212012002,8y y y y y x y +=⋅=-所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-,12||y y -=因此，32212001||||4)24PABS PM y y y x ∆=⋅-=- 因为220001(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈因此，PAB ∆面积的取值范围是 1. 距离型问题2.【2018全国3 理20】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于,A B 两点，线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点且0FP FA FB ++=，证明：,,FP FA FB 为等差数列，并求出该数列的公差。

解析：（1）由中点弦公式22OMb k k a⋅=-，解得34k m =-又因为点M 在椭圆内，故302m <<，故12k <- （2）由题意知2,2FA FB FM FP FM +==-，故(1,2)P m -因为点P 在椭圆上，代入可得3,14m k ==-，即3||2FP = 根据第二定义可知，1211||2,||222FA x FB x =-=- 121||||4()2FA FB x x +=-+联立22212121114371402,42874x y x x x x x x y x ⎧+=⎪⎪⇒-+=⇒+==⎨⎪=-+⎪⎩即121||||4()32FA FB x x +=-+= 故满足2||||||FP FA FB =+，所以,,FP FA FB 为等差数列设其公差为d ，因为,A B 的位置不确定，则有1212||||||||2d FA FB x x =±-=±-=代入得21428d d =±=±3.【2018全国3 文20】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于,A B 两点，线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点且0FP FA FB ++=，证明2||||||FP FA FB =+。

2018年高考数学—圆锥曲线(解答+答案)

2018年高考数学——圆锥曲线解答1.（18北京理（19）（本小题14分））已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ=u u u u r u u u r ，QN QO μ=u u u r u u u r ，求证：11λμ+为定值．2.（18江苏18．（本小题满分16分））如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1(3,)2，焦点12(3,0),(3,0)F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △26，求直线l 的方程．3.（18全国二理19．（12分））设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．4.（18全国三理20．（12分））已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r．证明：FA u u u r ，FP u u u r ，FB u u u r 成等差数列，并求该数列的公差．5.18全国一理19．（12分）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；（2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.6.（18天津理(19)(本小题满分14分)）设椭圆22221x x a b+=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .A的坐标为(,0)b，且FB AB ⋅=（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若4AQ AOQ PQ=∠(O 为原点) ，求k 的值.7.（18浙江21．（本题满分15分））如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围．8.（18北京文（20）（本小题14分））已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为63，焦距为22.斜率为k 的直线l与椭圆M 有两个不同的交点A ，B . （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值；（Ⅲ）设(2,0)P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D 和点71(,)42Q - 共线，求k .9.（18全国三文20．（12分））已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r．证明：2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r ．10.（18全国一文20．（12分））设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；（2）证明：ABM ABN =∠∠．参考答案：1.解：（Ⅰ）因为抛物线y 2=2px 经过点P （1，2），所以4=2p ，解得p =2，所以抛物线的方程为y 2=4x ．由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y =kx +1（k ≠0）．由241y xy kx ⎧=⎨=+⎩得22(24)10k x k x +-+=．依题意22(24)410k k ∆=--⨯⨯>，解得k<0或0<k<1．又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点（1，-2）．从而k ≠-3．所以直线l 斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由（I ）知12224k x x k -+=-，1221x x k =．直线PA 的方程为y –2=1122(1)1y y x x --=--．令x =0，得点M 的纵坐标为1111212211M y kx y x x -+-+=+=+--．同理得点N 的纵坐标为22121N kx y x -+=+-．由=QM QO λuuu r uuu r ，=QN QO μuuu r uuu r得=1M y λ-，1N y μ=-．所以2212121212122224112()111111=2111(1)(1)11M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+---++=+=+=⋅=⋅------．所以11λμ+为定值．2.解：（1）因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=，所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+．由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=．因为00,0x y >，所以002,1x y ==．因此，点P 的坐标为(2,1)． ②因为三角形OAB 的面积为26，所以21 26AB OP ⋅=，从而427AB =．设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得22000001,22448(2)x y x x ±-=，所以2222121()()x B y y x A =-+- 222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=，解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P 的坐标为102(,)．综上，直线l 的方程为532y x =-+．学*科网3.解：（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->.设1221(,),(,)A y x y x B ，由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=.216160k ∆=+>，故122224k x k x ++=. 所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=.由题设知22448k k+=，解得1k =-（舍去），1k =. 因此l 的方程为1y x =-.（2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+.设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005,(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=.4.解：（1）设1221(,),(,)A y x y x B ，则222212121,14343y x y x +=+=. 两式相减，并由1221y x y k x -=-得1122043y x y k x +++⋅=. 由题设知12121,22x y x ym ++==，于是 34k m=-.① 由题设得302m <<，故12k <-. （2）由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=.由（1）及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<.又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2FP =u u u r .于是1||22x FA ===-u u u r .同理2||22xFB =-u u u r .所以121||||4()32FA FB x x +=-+=u u u r u u u r .故2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r ，即||,||,||FA FP FB u u u r u u u r u u u r成等差数列.设该数列的公差为d ，则1212||||||||||2FB FA x x d =-=-=u u u r u u u r .②将34m =代入①得1k =-. 所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=.故121212,28x x x x +==，代入②解得||28d =.所以该数列的公差为28或28-.5解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1.由已知可得，点A 的坐标为(1,2或(1,2-.所以AM 的方程为y x =+y x =.（2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--.将(1)y k x =-代入2212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=.所以，21221222422,2121x x x k k k x k -+==++. 则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+. 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠. 综上，OMA OMB ∠=∠.6.（Ⅰ）解：设椭圆的焦距为2c ，由已知知2259c a =，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ．由已知可得，FB a =，AB =，由FB AB ⋅=，可得ab =6，从而a =3，b =2．所以，椭圆的方程为22194x y +=．（Ⅱ）解：设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2）．由已知有y 1>y 2>0，故12sin PQ AOQ y y ∠=-．又因为2sin y AQ OAB =∠，而∠OAB =π4，故2AQ =．由AQ AOQ PQ=∠，可得5y 1=9y 2．由方程组22194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x，可得1y =AB 的方程为x +y –2=0，由方程组20y kx x y =⎧⎨+-=⎩，，消去x ，可得221ky k =+．由5y 1=9y 2，可得5（k +1）=，两边平方，整理得25650110k k -+=，解得12k =，或1128k =．所以，k 的值为111228或．7.（Ⅰ）设00(,)P x y ，2111(,)4A y y ，2221(,)4B y y ．因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程202014()422y x y y ++=⋅即22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根．所以1202y y y +=．因此，PM 垂直于y 轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎪⎨=-⎪⎩ 所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-，12||y y -= 因此，PAB △的面积32212001||||4)24PABS PM y y y x =⋅-=-△．因为220001(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈．因此，PAB △面积的取值范围是．8.【解析】（Ⅰ）由题意得2c =，所以c =又3c e a ==，所以a =2221b a c =-=，所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（Ⅱ）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=，则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12|||2AB x x =-==，易得当20m =时，max ||AB ，故||AB．（Ⅲ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，则221133x y += ①，222233x y += ②，又(2,0)P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+，由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=，则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+，又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+，所以1111712(,)4747x y C x x --++，同理可得2222712(,)4747x y D x x --++．故3371(,)44QC x y =+-u u u r ，4471(,)44QD x y =+-u u u r ，因为,,Q C D 三点共线，所以34437171()()()()04444x y x y +--+-=，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =． 9..解：（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，则2211143x y +=，2222143x y +=．两式相减，并由1212=y y k x x --得1212043x x y y k +++⋅=．由题设知1212x x +=，122y y m +=，于是34k m=-．由题设得302m <<，故12k <-．（2）由题意得F （1，0）．设33()P x y ，，则 331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=，，，，．由（1）及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<．又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1)2P -，，3||=2FP uu r ．于是1||22x FA ==-uu r ．同理2||=22xFB -uu r ．所以1214()32FA FB x x +=-+=uu r uu r ．故2||=||+||FP FA FB uu r uu r uu r ．10．解：（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x =2，可得M 的坐标为（2，2）或（2，–2）．所以直线BM 的方程为y =112x +或112y x =--．（2）当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM =∠ABN ．当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1>0，x 2>0．由2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，得ky 2–2y –4k =0，可知y 1+y 2=2k ，y 1y 2=–4．直线BM ，BN 的斜率之和为 1221121212122()22(2)(2)BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=+=++++．① 将112y x k =+，222yx k=+及y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得 121221121224()882()0y y k y y x y x y y y k k++-++++===．所以k BM +k BN =0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM +∠ABN ．综上，∠ABM=∠ABN．。

第3集圆锥曲线——2018年高考全国1卷文科数学20题

第3集圆锥曲线——2018年高考全国1卷文科数学20题圆锥曲线作为压轴题的地位正在逐步受到挑战，是的，近年来，随着课改的深入，圆锥曲线已经开始被弱化，而概率统计却在悄然被加强。

圆锥曲线已经不好意思再作为拉分题而存在，关键时刻还得靠概率统计。

事实上，弱化圆锥曲线已经是大势所趋，也符合国际潮流，国际上许多国家对圆锥曲线的要求都不高。

另外，从实用性和与大学数学接轨上来说，弱化圆锥曲线也是理所当然，有了高等方法后，圆锥曲线的很多问题都可以轻易解决。

当然，圆锥曲线所包含的思想精髓是不可否认的，相信未来也还会作为主干知识进行考查，只不过难度会降低而已。

一·套路二·脑洞1.本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及直线方程，角平分线，韦达定理等知识点，考查设而不求，分类讨论，以及数形结合的思想，属于中档题。

2.法1，利用点斜式设直线的方程，但要注意讨论直线斜率不存在的情况，避免因不严谨而失分。

坐标轴作为角平分线等价于两直线的倾斜角互补，进而等价于两直线的斜率互为相反数，这便是法1的核心解题思路。

3.法2，反设直线方程，这样设直线方程有两个好处：一是不用讨论直线斜率不存在的情况；二是联立方程，计算更为简洁。

当然法2与法1本质上都是一样的，都是利用韦达定理转化为两直线的斜率互为相反数来求解。

4.法3，通过角平分线性质来解答，也即是角平分线上的点到角的两边的距离相等。

由于原点在角平分线上，因此，选择原点可以大大减少计算量。

直接计算得到两个距离相等似乎不太容易，因此，本题采用分析法来证明。

5.法4，由于解析几何也是几何，当然可以采用平面几何的方法来进行解答，有些题目用平面几何的方法解答甚至会受到奇效。

值得说明的是，本题第二问的结论还可以推广至一般情况，在此不作赘述。

6.最后，本题还可以借助平面向量的夹角公式来进行解答，感兴趣的可以自行尝试。

三·迁移2018年高考数学全国1卷，真的是平平无奇，所有试题几乎都没有特色和亮点。

2018年高考全国I、II卷数学深度解析立足基础知识学习是关键

2018年高考全国I、II卷数学深度解析立足基础知识学习是关键2018年全国高考Ⅰ卷数学试题依照《高中数学课程标准》与《2018年普通高等学校招生全国统一考试大纲（数学）》进行命题。

以“立德树人、服务选拔、引导教学”为核心，考查“必备知识、关键能力、学科素养、核心价值”。

注重“基础性、综合性、应用性、创新性”。

突出“四基、四能、三会、六素养”。

即：①四基是指数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验；②四能是指发现问题的能力,提出问题的能力,分析问题的能力,解决问题的能力；③三会是指会说、会辩、会用；④六个数学核心素养是指数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析。

因此，高考命题中逐渐由“以能力立意命题”的指导思想过渡到“以素养立意命题”。

2018年的试题具有以下特征：一、重理性思维考查，彰显选拔性。

在注重基础知识的同时，还必须考查学生的综合分析能力，逻辑推理能力，解决实际问题的能力，运算能力等。

一份好的试卷应该有较好的区分度，彰显试卷选拔功能。

如理科第12题，考查空间想象能力，截面运动到相应的位置面积才会最大；理科第16题，用普通的三角函数的凑、配就难于解决，利用导数解题也必须有较强的解决问题的能力；理科第20题的解决，就必须有清晰的思路，首先必须读懂题意，阅读理解能力的欠缺是该题的最大障碍，这是对人文素养的考查！阅读能力欠佳的学生，就难于理解题意。

当然，概率统计知识的合理运用也体现了该题的选拔功能；理科第21题，作为整套试卷中的压轴题，以导数知识为基础，考查函数的思想，方程的思想，韦达定理虽然是最基础的知识，想得到且会运用，区分度也就在这里体现出来！今年的压轴题不设难度较大的第三问，高考在选拔功能方面降低了内容的难度，加强了思维的广度和宽度。

二、重视应用性考查，增强实践性。

广泛的应用性是数学的基本属性，数学已成为人们日常生活不可或缺的重要方面，科学技术的进步更离不开数学。

2018年高考圆锥曲线部分小题解析

圆锥曲线2018年高考小题解析一、考点分析1. 点、直线、斜率和倾斜角之间的关系；2. 直线与圆的位置关系判断，以及圆内弦长的求法；3. 掌握椭圆、双曲线、抛物线基础内容，特别是参数之间的计算关系以及独有的性质；4. 掌握圆锥曲线内弦长的计算方法（弦长公式和直线参数方程法）；5. 通过研究第二定义，焦点弦问题，中点弦问题加深对图形的理解能力；6. 动直线过定点问题和动点过定直线问题；7. 定值问题；8. 最值问题。

二、真题解析1. 直线与圆位置关系以及圆内弦长问题1.【2018全国1文15】直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于,A B 两点，则||AB =___________解析：2222230(1)4x y y x y ++-=⇒++=，圆心坐标为(0,1)-，半径2r =圆心到直线1y x =+的距离d =||AB ==2.【2018全国2理19文20】设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于,A B 两点，||8AB = （1）求l 的方程；（2）求过点,A B 且与C 的准线相切的圆的方程。

解析：（1）直线过焦点，因此属于焦点弦长问题，可以利用焦点弦长公式来求根据焦点弦长公式可知22||8sin pAB θ==，则sin 2θ=，tan 1θ=则l 的直线方程为1y x =-（2）由（1）知AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005(1)(1)162y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩ 解得00003112-6x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或因此所求圆的方程为2222(3)(2)1(11)(+6)1x y x y -+-=-+=或通过这个题目注意一个在抛物线中不常用的结论：在抛物线中以焦点弦为直径的圆与准线相切，证明过程如下：在上图中过焦点的直线与抛物线交于,A B 两点，取AB 的中点M ，三点分别向准线作垂线，垂足分别为,,C D N ，因为1()2MN AC BD =+，,AC AF BD BF ==，所以11()22MN AF BF AB =+=，所以AB 为直径的圆与准线相切。

一道高考解析几何解答题的解法探究

一道高考解析几何解答题的解法探究作者：袁海军来源：《广东教育·高中》2018年第07期2018年高考全国I卷理数第19题是一道解析几何题，背景是直线与椭圆的位置关系，重点考查有关圆锥曲线的定值问题. 此题的难度是近三年最简单的，位置也由以往的第20题往前移了一位变成第19题，成为考生重点得分的中档题，可能是为了更好的迎接新高考改革所作的铺垫.引例：（2018年高考全国I卷理数第19题）设椭圆C ∶ +y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）.（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.解析：（1）由已知得F（1，0），l的方程为x=1，联立椭圆方程可得，点A的坐标为（1，）或（1，-）.所以AM的方程为y=-x+或y=x-.第一小问考生基本没有什么问题，轻松地拿到这一块的分数.以下就第二小问提供几种解法：解法1：（代数法）（2）当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA=∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k（x-1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），则x1由y1=kx1-k，y2=kx2-k得kMA+kMB=.将y=k（x-1）代入+y2=1得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0.所以，x1+x2=，x1x2=.2kx1x2-3k（x1+x2）+4k==0.从而kMA+kMB=0，故MA，MB的倾斜角互补，所以∠OMA=∠OMB.综上，∠OMA=∠OMB.点评：此法也是解析几何常见的解题套路——“联立方程、代入消元、韦达定理和判别式”.但在求解中要注意三点：（1）需要分类讨论直线斜率两种特殊情形；（2）代入消元时要有整体思想，无需求出x1，x2具体的值；（3）在证明目标时需作相应的等价转化——将要证明的两个角相等转化到两直线的倾斜角互补，即两直线斜率之和为零.解法2：（几何法）利用圆锥曲线第二定义：易得点M是椭圆的准线与x轴的交点，设点A、B分别到准线的距离记为d1=|AP|，d2=|BQ|，则依题意得：====？圯？驻APM～？驻BQM，∴=.所以？驻ABM在中，MO是∠AMB的内角平分线，即∠OMA=∠OMB.点评：此法纯几何法，简单地运用了椭圆的第二定义，首先转化到证明两个三角形相似，后转化到内角平分线定理的应用.证明过程非常巧妙，步骤简洁明了，但现行的教材对圆锥曲线的第二定义只作阅读了解，没有作理解和掌握的层次要求，因此对于考生来说显然超出其能力要求.如果本题作为一道小题来讲，它考查了直线和椭圆的一个定值问题，也就是一个二级结论，接下来我们可以作进一步的探讨，导出它的一般结论.示例：设椭圆C ∶ +=1（a>b>0）的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（，0），设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.证明：设直线方程为x=ty+c，A（x1，y1），B（x2，y2）.由+=1，x=ty+c？圯（a2+b2t2）y2+（2b2tc）y+b2c2-a2b2=0，∴y1+y2=-，y1y2=.所以直线MA，MB的斜率之和为：kMA+kMB=+===0.由此本题导出了一个关于椭圆的焦点弦和准线相关斜率之和为定值的结论.现在我们仅就椭圆焦点弦的性质及定值问题作一些补充和推广.在平时考试常见的有哪些具体的结论呢？结论（1）设P点是椭圆C ∶ +=1（a>b>0）上异于长轴端点的任一点，为F1，F2，为其焦点，记∠F1PF2=？兹，则（1）|PF1| |PF2|=.（2）S=b2tan.证明：（1）由余弦定理：|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos？兹=（2c）2？圯（|PF1|+|PF2|）2=4c2+2|PF1| |PF2|（cos？兹+1）？圯4a2=4c2+2|PF1||PF2|（cos？兹+1）？圯|PF1||PF2|=.（2）∵|PF1||PF2|==，S=|PF1||PF2|sin？兹=b2tan.结论（2）设A，B是椭圆C ∶ +=1（a>b>0）的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为线段AB的中点，则kOMkAB=-.证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则有+=1，+=1作差得：+=0？圯+=0？圯kAB==-=-=-？圯kAB·kOM=-.结论（3）过椭圆C ∶ +=1（a>b>0）上任一点A（x0，y0）任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B，C两点，则直线BC有定向且kBC=（常数）.证明：设直线AB：y-y0=k（x-x0）即y=kx+y0-kx0，y=kx+y0-kx0，+=1？圯（a2k2+b2）x2+2a2k（y0-kx0）x+a2 [（y0-kx0）2-b2]=0？圯x0+xB=？圯xB=？圯B（，）.同理C（，），∴ kBC==.结论（4）设已知椭圆C ∶ +=1（a>b>0），O为坐标原点，P，Q为椭圆上两动点，有且OP⊥OQ.则（1）+=+；（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为；（3）S？驻OPQ的最小值是.证明：（1）设P（acos？兹，bsin？兹），Q（acos？渍，bsin？渍），∵·=a2cos？兹 cos？渍+b2sin？兹 sin？渍=0？圯tan？兹 tan？渍=-+======+.（2）∵（|OP|2+|OQ|2）（+）≥（1+12）=4，当且仅当 |OP|+|OQ|时取“=”，∴|OP|2+|OQ|2≥4÷（+）=.（3）+==+=.4=|OP|2|OQ|2=（|OP|2+|OQ|2）（）≥4（）2？圯S？驻OPQ≥.∴ Smin=.真题再现：（2018年高考全国卷III文20）已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点.线段AB的中点为M（1，m）（m>0）.（1）证明：k（2）设F为C的右焦点，F为C上一点，且++=.证明：2||=||+||.解法1：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则+=1，+=1.两式相减，并由=k得+. k=0.由题设知=1，=m，于是k=-（m>0）.又由点M（1，m）（m>0）在椭圆内，即+0），可得0故k=-（2）由题意得F（1，0）.设P（x3，y3），则（x3-1，y3）+（x1-1，y1）+（x2-1，y2）=（0，0）.由（1）及题设得x3=3-（x1+x2）=1，y3=-（y1+y2）=-2m注意：此题第2小问也可以由++=直接推出F为？驻PAB的重心，即得x3=3-（x1+x2）=1，y3=-（y1+y2）=-2m解法2：（1）由题意可知直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y=k（x-1）+m（k≠0），设A（x1，y1），B（x2，y2），由y=k（x-1）+m，+=1？圯（3+4k2）x2+（8mk-8k2）x+4（m-k）2-12=0.解得x1+x2==2？圯k=-（m>0）.又由点M（1，m）（m>0）在椭圆内，即+0），可得0（2）由题意得F（1，0）.设P（x3，y3），则（x3-1，y3）+（x1-1，y1）+（x2-1，y2）=（0，0）.由（1）及题设得x3=3-（x1+x2）=1，由椭圆焦半径公式得：||=a-ex1=2-，||=a-ex2=2-，||=2-=.||+||=2-+2-=4-（）=3.故2||=||+||.点评：本题主要考查了中点弦问题，常用方法点差法和判别式法.注意两种的区别，如点差法需设出弦的两端点坐标代入圆锥曲线方程，将两式相减直接转化为直线的斜率，借用中点公式即可求出斜率.而判别式法是联立直线与圆锥曲线方程化为一元二次方程，由根与系数的关系求解，这一步要求考生有较好运算能力.至于第2小问考查了向量的坐标运算，方向明确，如果运用椭圆的第二定义就更为简洁明了.巩固练习：1. 已知椭圆C ∶ +=1（a>b>0）的一个焦点为F（1，0），离心率为，过点F的动直线交M于A，B两点，若x轴上的点P（t，0）使得∠APO=∠BPO总成立（O为坐标原点），则t 等于__________.2. 已知F1，F2是椭圆C ∶ +=1（a>b>0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且·=，若△PF1F2的面积为9，则b=________.3. 以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为 .4. 已知（4，2）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则l的方程是__________.5. 直线l与椭圆？祝：+=1相交于P，Q两点，若OP⊥OQ（O为坐标原点），则以O点为圆心且与直线l相切的圆方程为 .参考答案：1. 2； 2. 3； 3. 2； 4. x+2y-8=0； 5. x2+y2=.【本文为福建省第三批高中数学课程基地校建设项目《“三教”教学培育数学核心素养的探索与实践》研究成果之一】责任编辑徐国坚。

2018年高考数学全国ⅰ卷两道圆锥曲线题的探究与推广

2018年高考数学全国ⅰ卷两道圆锥曲线题的探究与推广一、探究两道圆锥曲线题1、第一道题：给定一个圆锥曲线C：$x^2=2ay$(a>0)，其中点B 满足$OB^2=3a^2$，点A和点B的距离被平行四边形OBEF所包围，则平行四边形OBEF的面积为多少？（1）分析题意根据给定的条件，给出的圆锥曲线C 的方程为 $x^2=2ay$，即$x=\sqrt{2ay}$，有点B (b，0)，点A（a，0），点O (a，0)，点E（b，a），点F（0，a），要求求出OBEF 平行四边形的面积。

（2）求解步骤由题意可知，$$OB^2=3a^2\Rightarrow OB=3a$$设OBEF 平行四边形的面积为S，则有$S=OB\times EF=3a\timesa=3a^2$综上所述，OBEF 平行四边形的面积为$S=3a^2$2、第二道题：给定一个圆锥曲线C：$y^2=2ax$(a>0)，其中点B ($\frac{a}{2}$ ，$\frac{\sqrt{3a^2}}{2}$），点A(-a，0)，点C (0，$\frac{\sqrt{3a^2}}{2}$)，则点A、B、C所围成的三角形的面积为多少？（1）分析题意根据给定的条件，给出的圆锥曲线 C 的方程为$y^2=2ax$，有点A(-a，0)，点B($\frac{a}{2}$ ，$\frac{\sqrt{3a^2}}{2}$），点C (0，$\frac{\sqrt{3a^2}}{2}$)，要求求出ABC 三角形的面积。

（2）求解步骤由三角形ABC 一定是等腰三角形，可得 BC=2A，设ABC 三角形的面积为 S，则有$S=\frac{1}{2}\times BC \times 2A=AB\times AC=a\times \frac{\sqrt{3a^2}}{2}=\frac{3a^3}{4}$综上所述，ABC 三角形的面积为$S=\frac{3a^3}{4}$二、两道圆锥曲线题的推广1、推广一：给定一个圆锥曲线C：$x^2=2ay$(a>0)，其中有点A(a，0)，点B(b，0)，点C(0，a)，则点A、B、C所围成的三角形的面积为多少？（1）解析题意根据给定的条件，给出的圆锥曲线C的方程为 $x^2=2ay$，有点A(a，0)，点B(b，0)，点C(0，a)，要求求出ABC 三角形的面积。

2018高考全国卷1数学答案解析

2018高考全国卷1数学答案解析2018年高考全国卷1数学难吗?下面小编带大家看看2018年高考全国卷1数学试题分析。

2018高考全国卷1数学答案解析 2018高考全国卷难易度分析点评2018高考全国卷数学答案最新解析：2018年高考全国卷1数学试题解2018年高考全国卷1数学试题解析区分度高利于高校选拔人才“今年高考数学卷在试卷结构、题目数量、分值分布、主干知识等方面与往年基本一致，试卷中规中矩、不偏不怪，立足于高中数学基础知识，重点考查主干内容，在基础知识和通性通法的考查上浓墨重彩。

”7日下午，合肥六中特级教师侯曙明在接受本网专访时，用“山的沉稳水的灵动”来评价今年安徽使用的数学全国卷。

他认为，理科试题和去年比，难度基本持平，文科试题应该比去年难一些。

而整份试卷多角度、多层次、全方位地考查了考生的数学素养和能力，比较契合新课程的教学实际。

合肥一中数学教师刘娟也认为，今年是安徽省在自主命题之后进入全国卷考试的第一年，与往年的全国卷比较，整体稳中求变，与安徽卷相比，侧重点不同。

“整体来说，本次考试对学生提取信息，整理数据的能力要求较高，指导了高中的课堂教学，有利于高校选拔人才。

”考题立足基础区分度高在具体的考题设置上，侯老师分析说，文、理科选择题第11、12题，都是选择的压轴题。

第11题构思精巧，对空间想象能力要求较高，对文科生更是挑战。

选择题第12题第一次考三角函数这个点，应该是意料之外的。

填空题压轴第18题，一改往年类型，第一次考应用题，对数据提取和处理能力要求高。

建模从来都是学生的软肋，加之平时训练不是很多，学生答题时应该感到棘手。

文、理科第19题概率解答题是同一背景，设问不同，体现对文理差异的人文关怀。

该题文字长、数据多，信息量大，还要识图，加之考的又是相对较少出现的柱状图，对大多数同学都是考验。

这些题的区分度都比较高。

此外，特别让大家关注的第20题和第21题，也是最后两道压轴题，综合性强，能区分学生进入不同高校学习的潜能。

2018年高考数学两道解析几何试题同一源头的探讨

GUANG DONG JIAO YU
2018 年高考数学两道解析几何试题同一源头的探讨
文/广东仲元中学严运华
2018 年全国高考数学 I 卷文科第
20 题为：设抛物线 C： y2＝2x，点 A （2,
0）， B（-2, 0），过点 A 的直线 l 与 C 交
于 M， N 两点．（1）当 l 与 x 轴垂直时，
命题 1：设抛物线 C： y2＝2px，点A
（2p, 0）， B（-2p, 0），过点 A 的直线 l 与
C 交于 M， N 两点．则直线 BN、 BM 与
x 轴成等角.
证明：显然，直线 l 不与 x 轴重
合，设直线 l 的方程为 x＝ty+2p，
联立抛物线方程得 y2-2pty-4p2=0，
这其中的第二个问题，就是命题 3 的特例.
由此可见， 2018 年高考数学文科卷、理科卷的两道解析几何的源头相同，有着相同的根，只是呈现的形式不同. 文科卷试题以抛物线为背景，运算过程较简洁；理科卷的试题以椭圆为背景，运算过程比抛物线稍复杂. 通过设置的位置和运算过程的繁简程度来实现文科与理科数学的区别. 事实上，不仅是解析几何试题有此特点，其他内容如函数试题等也是按此思路来命题.
式. 近年全国高考数学常以上述结论为
背景命题，如 2015 年全国高考数学理
科试题第 20 题：
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C： y=
x2 与直线 y=kx+a （a>0）交于 M， N 两 4
点，（Ⅰ）当 k=0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程；（Ⅱ） y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有 ∠OPM=∠OPN？说明理由.

高考真题之圆锥曲线问题的浅析

高考真题之圆锥曲线问题的浅析摘要圆锥曲线作为高考试题的“压轴”题目，因题目形式多样，运算求解复杂，很多学生在碰到圆锥曲线问题感到束手无策，自动放弃。

本文通过分析从2006年到2018年全国卷和新课标卷圆锥曲线真题，寻找出了全国卷在圆锥曲线问题上的一些规律，并给出备考建议。

关键词研究考纲；专题训练；定值定点圆锥曲线作为高考试题的“压轴”题目，充分体现数学学科的数形结合思想，等价转化思想，特殊与一般的思想，考查学生的运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力和学生的个性品质。

由于圆锥曲线问题的命题形式和考查内容丰富多样，运算求解能力要求高的特点，很多学生在碰到圆锥曲线问题感到束手无策，加之考试时间紧迫，学生在求解过程不得已自动放弃，本文就自2006年到2018年全国Ⅰ卷、新课标卷的高考真题中的圆锥曲线问题进行进行汇总分析，寻找出一些规律，并研究圆锥曲线问题的备考策略和建议。

1.命题规律1.1 试题的变化跟随考纲变化从2006年至今，全国Ⅰ卷对圆锥曲线的考查非常严格的遵循考试大纲对知识点掌握层次的要求。

在2011年之前，全国Ⅰ卷对圆锥曲线的考查形式多样，双曲线也曾以解答题的形式出现，如2009年的第21题，这是因为在2011年之前，全国Ⅰ卷的考纲明确指出，对双曲线的考试要求为“掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质”。

从2012年开始，新的考纲修订之后，考纲对双曲线的要求由“掌握”降低到“了解”。

自2012年开始，双曲线均选择题和填空题的形式出现，主要考查双曲线的定义，几何性质等基本知识，考纲的变化随之在高考试题中体现，双曲线的考查难度随之降低。

如2013年全国卷第4题：已知双曲线：（）的离心率为，则的渐近线方程为（）此题考查双曲线的基本定义，用定义简单计算后就可以迎刃而解，可以看出高考对双曲线知识的考查难度并不太高。

1.2 考查形式和内容相对固定1.2.1 全国Ⅰ卷对圆锥曲线的考查形式非常固定，即“两小一大”自2012年之后，圆锥曲线命题规律非常明显，每年均为两道小题和一道解答题，命题形式相对固定，双曲线知识年年考查，抛物线和椭圆问题随机考查。

2018年高考全国Ⅰ卷理科数学试题分析

2018年高考全国Ⅰ卷理科数学试题分析2018年高考数学全国卷命题严格按照《考试大纲》的基本要求，立足于学科主干知识，突出学科能力的考查，同时注重数学应用，关注创新意识，渗透数学文化。

试卷整体难度较2017年略有降低，重视基础知识，试题内容灵活，设问新颖，稳中求新.1.注重基础，聚焦主干内容2018年高考数学试题，注重基础知识的考查，试题以容易题与中档题为主，其中容易题与中档题为主，同时注重通性通法的考查；聚焦高中数学主干知识，围绕主干内容加强对基本概念、基本思想方法和关键能力的考查，回归教材，以此引导中学教学遵循教育规律、回归课堂，用好教材，避免超纲学、超量学。

2.以能力立意，考查数学应用在一如既往重视基础知识和基本技能的同时，注重考查逻辑推理能力、应用能力、运算能力、空间想象能力、创新能力，强调对数学本质的理解。

试题从学科整体意义和数学素养的高度立意，重视通性通法，淡化特殊技巧，加强针对性，有效检测考生对数学知识中所蕴涵的数学思想方法的掌握程度。

第9、16、21题考查了函数与方程的思想，第7、9、10、16题考查了数形结合的思想，第21题考查了分类讨论思想。

试卷对结合生活实际的试题，考查学生从数学的角度对数据进行处理分析，突出数学思想方法的理解和运用。

如第3题，第15题，第20题，结合实际背景考查，考查学生的阅读理解能力，数学建模思想，分析问题、解决问题的能力，从数学模型解决生活生产中的实际问题。

第10题考查数学文化，第10题从古希腊数学家研究几何图形入手，借助几何概型弘扬传统数学文化。

3.适度创新，增加高考的新颖性创新是高考的生命线，今年高考在整体稳定的情况下，作出了一些变化：今年高考没有考查算法及程序框图、二项式定理，而增加了一道统计题及一道排列组合题；解答题中将统计与概率解答题与解析几何解答题位置互换。

在新课程改革全面推进的过程中，今年高考将没有考查到算法，也是预料之中，因为新课标将算法内容删去，而增加一道统计中的饼状图，增加数学试卷的应用性，更加体现高考的趋势。

一道解析几何高考试题的简解及推广.doc

一道解析几何高考试题的简解及推广广东仲元中学2018年全国高考数学I卷理科第19题为:设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：.一解法探究（1）由已经得，将代入椭圆方程，得，即，所以直线的斜率为，因此其方程为或.探究第2问:分析1：∠OMA=∠OMB等价于直线和的斜率互为相反数，即.证法1：∠OMA=∠OMB等价于.，因为，所以，因此∠OMA=∠OMB.分析2：∠OMA=∠OMB等价于点到直线和的距离相等.证法2：直线为，即，故到直线的距离为，同理，到直线的距离等于.∠OMA=∠OMB……①……②当时，②式显然成立；当时，②式等价于这显然是成立的，因此∠OMA=∠OMB.分析3：从向量的角度，利用夹角公式来证明.证法3：……③这就是①式，下同证法2.分析4：利用角平分线定理，这就是③式，下同证法3.分析5：由于，.证法5：下面证明，等价于证明这就是①式，由证法1知，.又因为，，所以，成立，因此.证法1到证法5，用解析几何的方法，从不同的视角来证明了.其核心思想就是分析几何关系，然后把几何关系转化为代数关系，利用解析几何证明.解法6:发现点为准线与轴的交点, 由于涉及到椭圆的焦点和准线，故考虑椭圆的第二定义，利用平面几何知识来证.由椭圆的第二定义，，即，又，所以，故，所以，所以，因此.类似的2018年全国高考数学I卷文科第20题为:设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点．（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）证明：．也有上述解法.不仅有多种解法，还可以将结论推广定理1设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点．则直线与与轴成等角；证明：显然，直线不与轴重合，设直线的方程为，联立抛物线方程得，设，则，，设直线和直线的斜率分别为则而，，代入上式得将，代入上式得，故；发现两点的横坐标之和为零，可以得出以下一般结论：定理2设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点．则直线与与轴成等角；证明：显然，直线不与轴重合，设直线的方程为，联立抛物线方程得，设，则，，设直线和直线的斜率分别为则而，，代入上式得将，代入上式得，故；定理3过椭圆的右焦点的直线与交于两点，点.其中为的焦半距，设坐标原点，则直线与与轴成等角；证明：当直线与轴重合时，结论显然成立；当直线不与轴重合时，设直线的方程为，联立椭圆方程得，设，则，设直线和的斜率分别为，所以因此将，代入上式得故直线与与轴成等角；再探究发现：点和点的横坐标之积为，于是可将命题3进一步拓展得到：定理4：设椭圆，过点的直线与交于两点，点.且，设为坐标原点，则直线与与轴成等角；证明：当直线与轴重合时，结论显然成立；当直线不与轴重合时，设直线的方程为，联立椭圆方程得，设，则，设直线和的斜率分别为，所以因此，由，得又，代入上式得故直线与与轴成等角；将椭圆的相关结论推广到双曲线有：定理5：设双曲线，过点的直线与交于两点，点.且，则直线与与轴成等角；定理6：设是圆锥曲线的一对“等角点”，过点的直线与交于两点,则直线与与轴成等角；若圆锥曲线为抛物线，则两“等角点”的坐标分别为，，其中，且。