第二章 常用统计技术(1)方差分析
方差分析的概念与应用
方差分析的概念与应用方差分析（Analysis of Variance, ANOVA）是一种统计方法，用于比较三个或三个以上样本均值是否存在显著差异。
其基本原理是通过将总方差分解为不同来源的方差，从而判断不同组之间是否存在显著性差异。
方差分析在生物医学、心理学、市场营销等多个领域都得到了广泛的应用。
本文将详细探讨方差分析的基本概念、方法及其实际应用。
一、方差分析的基本概念1.1 什么是方差方差是指数据集中各数据值与其均值之间的离散程度，它衡量了数据分布的变动幅度。
方差越大，数据分布越分散；相反，方差越小，数据分布越集中。
在方差分析中，我们主要关注的是不同样本均值之间的方差。
1.2 方差分析的原理在进行方差分析时，我们首先计算总体样本的总方差。
这一总方差可以分解为组间方差和组内方差。
具体来说：组间方差：代表不同组均值之间的变异程度。
组内方差：代表同一组内部样本之间的变异程度。
根据F检验原理，当组间方差显著大于组内方差时，可以认为至少有一个组的均值与其他组存在显著性差异。
这一过程可以用F统计量来表示，F统计量等于组间平均平方（Mean Square Between）除以组内平均平方（Mean Square Within）。
二、方差分析的类型2.1 单因素方差分析单因素方差分析是最基础的方差分析方法，适用于仅有一个因素对结果变量影响的情况。
例如，研究不同肥料对植物生长高度的影响，我们可以采用单因素方差分析。
在进行单因素分析时，假设我们有n个样本，每个样本在不同处理下进行观察。
通过计算各处理组均值与全局均值的偏离程度，可以判断是否有显著性差异。
2.2 双因素方差分析双因素方差分析则扩展至两个自变量对因变量影响的情况。
例如，研究不同肥料和不同光照条件下植物生长高度的影响。
在这种情况下，不仅要考虑肥料对植物生长高度的影响，还需要考虑光照对植物生长高度以及两者交互作用。
双因素分析可以帮助研究者揭示更复杂的关系，从而提供更加深入的理解。
方差分析_精品文档
方差分析_精品文档方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种用于比较两个或更多个群体均值是否存在显著差异的统计方法。
它是一种非参数统计方法，适用于正态分布的数据，可以帮助我们理解不同因素对于观测变量的影响程度以及它们之间是否存在交互作用。
方差分析的基本原理是将总体方差拆分为组内方差和组间方差。
组间方差表示了不同群体之间的差异，组内方差则表示了同一群体内的个体差异。
通过比较组间方差与组内方差的大小，判断不同群体均值是否存在显著差异。
方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析。
单因素方差分析主要用于比较一个因素（或处理）对观测变量的影响，例如比较不同药物对于治疗效果的影响；而多因素方差分析则可以同时考虑多个因素的影响，并探究它们之间是否存在交互作用。
方差分析的基本步骤如下：1.建立假设：根据实际问题，建立相应的原假设（H0）和备择假设（H1）。
原假设通常是认为各组均值相等，备择假设则是认为各组均值不全相等。
2.收集数据：根据实验设计，对不同处理组进行观测，获取相应的数据。
3.计算统计量：计算组间方差和组内方差，进行方差分析，得到统计量（F值）。
4.判断显著性：根据计算出的F值和自由度，查找F分布表，计算出P值（显著性水平）。
5.做出结论：根据P值，结合原假设和备择假设，判断不同群体均值是否存在显著差异。
方差分析的优点在于可以同时比较多个群体均值，减少了多次独立t 检验的错误率。
此外，方差分析也可以用于研究不同因素的交互作用，帮助我们更全面地理解数据。
然而，方差分析也有一些限制。
首先，方差分析要求数据满足正态分布假设，如果数据不满足正态分布，则结果可能不准确。
其次，方差分析对样本量要求较高，特别是对于多因素方差分析，需要足够的样本量才能得到可靠的结果。
最后，方差分析只能告诉我们群体均值是否存在显著差异，而不能确定具体差异的大小，这需要通过其他统计方法进行进一步分析。
第2章 方差分析
邋
3
5
( xij - x )2
i= 1 j = 1
随机波动引起的误差 SE ST －总误差平方和 因素A的不同水平所产生的误差SA
ST =
邋
3
5
( xij - x ) 2
随机误差平方和SE
(4) 单击“Options”按钮，弹出One-Sample T Test：
Options对话框，用于定义相关的选项。 (5) 单击“OK”按钮，即可完成单样本均值检验的操作。
2. Independent-Samples T Test过程
(1) 选择菜单Analyze→Compare means → IndependentSamples T Test (2) 将需要检验的变量从左侧列表框通过中间的移动按 钮选入到右侧的Test Variable(s)框中。 (3) 将分组变量从左侧列表框通过中间的移动按钮选入 到右侧的Grouping Variable框中。 (4) 单击Define Groups按钮，弹出Define Groups话框 (5) 单击“Options”按钮
2.1.2 假设检验的步骤
(1) 根据实际问题的要求，提出零假设H0和备择假设H1。
(2) 根据H0的内容，选取适当的检验统计量，并能确定 出检验统计量的分布。
(3) 根据样本观测值计算出检验统计量的值。
(4) 在给定的显著性水平(0＜＜1)下，查所选检验统 计量服从的分布表，确定临界值。 (5) 确定拒绝域并做出拒绝还是接受H0的统计判断。
合计 X1.=339 X 2.=416 X 3.=368 x..=1123
水平平均
x1 . =67.8
x2. =83.2
x3. =73.6
第二章 常用统计技术(1)方差分析
第二章常用统计技术第二章常用统计技术【考试趋势】单选4-5题，多选6-8题，综合分析7-8题。
总分值30-40分。
总分170分。
占比20%左右。
【大纲考点】一、方差分析(一)方差分析基本概念1．掌握因子、水平和方差分析的三项基本假定2．熟悉方差分析是在同方差假定下检验多个正态均值是否相等的统计方法（难点）(二)方差分析方法1．掌握单因子的方差分析方法(平方和分解、总平方和、因子平方和、误差平方和，自由由度、f比、显著性) （重点）2．了解重复数不等情况下的方差分析方法。
（难点）二、回归分析主要研究定量因子，也就是变量分析(一)散布图与相关系数1.掌握散布图的作用与做法2.掌握样本相关系数的定义、计算及其检验方法（重点，难点）(二)一元线性回归1．掌握用最小二乘估计建立一元线性回归方程的方法（重点，难点）2．掌握一元线性回归方程的检验方法（重点，难点）3．熟悉一元线性回归方法在预测中的应用(三)了解可化为一元线性回归的曲线回归问题三、试验设计三、试验设计(一)基本概念与正交表1．了解试验设计的必要性2．熟悉常用正交表及正交表的特点(二)正交试验设计与分析1．熟悉使用正交表进行试验设计的步骤2．掌握无交互作用的正交试验设计的直观分析法与方差分析法3．熟悉贡献率的分析方法4．了解有交互作用的正交试验设计的方差分析法5．熟悉最佳水平组合的选取【考点解读】三种统计技术的特点：新版教材第74页。
第一节方差分析第一节方差分析一、方差分析1、三项基本假定-(掌握p75)为什么要方差分析？目的和用途。
方差分析不是简单分析方差，通过方差分析因子的显著与否。
方差只是手段。
对结果的影响是否显著。
要用到假设检验。
零假设，备择假设。
但是假设检验的前提条件是：正态分布，等方差，观测相互独立。
也就是大纲里讲的三项基本假定。
2、方差分析的统计检验-(掌握p76)那么如何在同方差假定下检验多个正态均值是否相等呢？其实统计检验的问题。
统计学中的方差分析
统计学中的方差分析统计学中的方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种用于比较不同样本均值之间差异的方法。
它是通过对观察数据的方差进行分解来实现的。
方差分析在实际应用中具有广泛的应用领域，既可以用于科学研究的数据分析，也适用于质量管理、市场调查等应用场景。
一、什么是方差分析方差分析是一种用于对不同组之间差异进行比较的统计方法。
它的基本原理是通过将总体方差分解为组内方差和组间方差，来检验不同组均值之间是否存在显著差异。
方差分析可以用于比较两个以上组的均值差异，且可以同时考虑多个自变量对因变量的影响。
方差分析的基本假设包括：1. 总体是正态分布的；2. 不同组的方差相等（方差齐性）；3. 不同组之间相互独立。
二、单因素方差分析单因素方差分析是指只考虑一个自变量对因变量的影响。
它适用于比较一个因素（如不同调查方法、不同药物剂量等）对某个指标的影响是否存在显著差异。
单因素方差分析的结果主要包括组间均方（MSB）、组内均方（MSW）和F值。
组间均方（MSB）是各组均值与总体均值之间的差异的平方和除以自由度的比值；而组内均方（MSW）是各组内部个体与各组均值之间的差异的平方和除以自由度的比值。
F值则是组间均方与组内均方的比值。
当F值显著时，表明不同组均值之间存在显著差异。
三、多因素方差分析多因素方差分析是指考虑多个自变量对因变量的影响。
多因素方差分析通常会考虑两个以上的自变量，以及它们之间是否存在交互作用。
通过多因素方差分析，可以更全面地了解多个因素对研究对象的影响。
多因素方差分析的结果不仅包括组间均方、组内均方和F值，还包括每个自变量的主效应和交互效应。
主效应指的是每个自变量对因变量的独立影响，而交互效应则是不同自变量之间相互作用产生的影响。
四、方差分析的应用领域方差分析在实际应用中具有广泛的应用领域。
在科学研究中，方差分析可以用于比较不同实验条件下的实验结果，验证研究假设的有效性。
方差分析
n 打开数据文件grocery_1month.sav。 n 选择【分析】→【一般线性模型】→【单变量】
绘制选项
把style选入水平轴，gender选入单图，然后点击 “添加”。再把style和gender互相交换，选入不同 的框中，单击“添加”。
结果及其解释（1）
结果及其解释（2）
结果及其解释（3）
数据。
方差分析的前提条件
n 方差分析的自变量是“因子”或者“因素”， 它是分类变量；其因变量则为尺度变量，需要 满足以下两个基本前提条件：
n 每个处理的因变量为正态分布（正态性） n 每个处理的因变量具有相同的方差（方差齐性）
单因素的方差分析
n 用于研究一个影响因素对试验结果的影响，它 用于比较两个或者两个以上的总体之间是否有 显著的差异
结果解释
两两比较结果及解释
由于Levene检验没有证据说明三种培训方式的方差相等，参照两种不 同的两两比较的结果是必要的。 Bonferroni和Tamhane多重比较的结果是一致的。即培训2天和培训3天 没有显著的区别，而培训1天与另外两种培训都有显著区别。
同质子集
Tukey B两两比较输出的结果，它把在5%的显著性水 平下没有区别的总体放在同一列，作为同类子集。 这里，培训2天和培训3天没有显著区别，它们作为 一类。而培训1天单独作为1类。
协方差分析的数学模型
n 协方差分析的数学模型为 yij = ¹ + ai +¯ zij+ ²ij
这里yij表示在控制因素的i水平下的第j次试 验的因变量观测值；¹为因变量总体均值;ai表 示控制因素的水平下对因变量产生的效应；¯ 为协变量的回归系数；zij表示在控制因素的水 平i下的第j次试验的协变量观测值；²ij为抽样 误差，假设它是服从方差相等的正态分布变量。
统计学之方差分析
使用Python的方差分析库（如SciPy）进行方差分析，如 “scipy.stats.f_oneway()”。
查看结果
Python将输出方差分析的结果，包括F值、p值、效应量等。
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详细描述
独立性检验可以通过卡方检验、相关性检验 等方法进行。如果数据不独立，需要考虑数 据的相关性和因果关系等因素，以避免误导 的分析结果。
06 方差分析的软件实现
SPSS软件实现
导入数据
将数据导入SPSS软件中，选择正确的数 据类型和格式。
查看结果
SPSS将输出方差分析的结果，包括F值、 p值、效应量等。
03 方差分析的步骤
数据准备
01
02
03
收集数据
收集实验或调查所需的数 据，确保数据来源可靠、 准确。
数据筛选
对异常值、缺失值等进行 处理，确保数据质量。
数据分组
根据研究目的，将数据分 成不同的组或处理水平。
建立模型
确定因子
确定影响因变量的自变量或因子。
建立模型
根据因子和因变量的关系，建立合适的方差分析模型。
统计学之方差分析
目 录
• 方差分析简介 • 方差分析的数学原理 • 方差分析的步骤 • 方差分析的应用场景 • 方差分析的注意事项 • 方差分析的软件实现
01 方差分析简介
方差分析的定义
• 方差分析（ANOVA）是一种统计技术，用于比较两个或多个 组（或类别）的平均值差异是否显著。它通过对总体平均值的 假设检验来进行数据分析，以确定不同条件或处理对观测结果 是否有显著影响。
执行方差分析
在SPSS的“分析”菜单中选择“比较均值” 或“一般线性模型”中的“单变量”，然 后选择需要进行方差分析的变量。
统计学中的方差分析方法
统计学中的方差分析方法统计学是现代社会中最重要的学科之一，它基于大量的数据和数学模型，研究人类社会和自然环境中各种现象和规律。
其中，方差分析是统计学中最基本的分析方法之一，它常常被用来分析各种因素对某个变量的影响。
在本文中，我们将详细介绍方差分析方法的基本原理和应用。
一、方差分析的基本原理方差分析是利用方差的性质分析多组数据之间的差异或相似性的方法。
它是以方差分解为基础的，通过对总方差、组间平方和和组内平方和的分解，来度量实验因素对实验变量的影响。
在具体的研究过程中，我们通常将所研究的因素分为不同的组别，并在每个组别中测量实验变量的值，随后运用方差分析方法来分析不同组别之间的差异。
在方差分析中，我们通常采用F检验法来判断差异的显著性。
通过计算F值并与临界值进行比较，得出数据是否符合研究假设的结果。
如果F值大于临界值，则说明差异是显著的，反之则说明差异不显著。
F检验法在实际应用中非常广泛，适用于大多数实验设计和数据类型。
二、方差分析的应用方差分析方法可以用于各种不同类型的数据分析，如一元方差分析、双因素方差分析、三因素方差分析等等。
下面我们将分别介绍它们的应用。
1. 一元方差分析一元方差分析是指只有一个自变量和一个因变量的分析方法，也就是说只有一个因素影响一个变量。
一元方差分析通常用于分析实验组与对照组之间的差异或者不同处理方式对实验结果的影响等。
例如，我们要研究不同肥料对作物产量的影响，我们可以将实验分成几组，每组采用不同的肥料，最后对产量进行测量。
接着通过方差分析法来比较每组之间产量的差异，最后确定哪种肥料更适合提高作物产量。
2. 双因素方差分析双因素方差分析是指有两个自变量和一个因变量的分析方法，也就是说有两个因素对一个变量产生影响。
双因素方差分析通常用于研究两种或多种因素的交互效应。
例如，我们要研究不同机器和不同操作员对产品质量的影响，我们可以先在不同机器上制造同种产品，然后再让不同的操作员进行操作。
方差分析方法
方差分析方法方差分析是统计分析方法中，最重要、最常用的方法之一。
本文应用多个实例来阐明方差分析的应用。
在实际操作中，可采用相应的统计分析软件来进行计算。
1. 方差分析的意义、用途及适用条件1.1 方差分析的意义方差分析又称为变异数分析或F检验，其基本思想是把全部观察值之间的变异（总变异），按设计和需要分为二个或多个组成部分，再作分析。
即把全部资料的总的离均差平方和（SS）分为二个或多个组成部分，其自由度也分为相应的部分，每部分表示一定的意义，其中至少有一个部分表示各组均数之间的变异情况，称为组间变异（MS组间）；另一部分表示同一组内个体之间的变异，称为组内变异（MS组内），也叫误差。
SS除以相应的自由度（υ），得均方（MS）。
如MS组间>MS组内若干倍（此倍数即F值）以上，则表示各组的均数之间有显著性差异。
方差分析在环境科学研究中，常用于分析试验数据和监测数据。
在环境科学研究中，各种因素的改变都可能对试验和监测结果产生不同程度的影响，因此，可以通过方差分析来弄清与研究对象有关的各个因素对该对象是否存在影响及影响的程度和性质。
1.2 方差分析的用途1.2.1 两个或多个样本均数的比较。
1.2.2 分离各有关因素，分别估计其对变异的影响。
1.2.3 分析两因素或多因素的交叉作用。
1.2.4 方差齐性检验。
1.3 方差分析的适用条件1.3.1 各组数据均应服从正态分布，即均为来自正态总体的随机样本（小样本）。
1.3.2 各抽样总体的方差齐。
1.3.3 影响数据的各个因素的效应是可以相加的。
1.3.4 对不符合上述条件的资料，可用秩和检验法、近似F值检验法，也可以经过变量变换，使之基本符合后再按其变换值进行方差分析。
一般属Poisson分布的计数资料常用平方根变换法；属于二项分布的百分数可用反正弦函数变换法；当标准差与均数之间呈正比关系，用平方根变换法又不易校正时，也可用对数变换法。
2. 单因素方差分析（单因素多个样本均数的比较）根据某一试验因素，将试验对象按完全随机设计分为若干个处理组（各组的样本含量可相等或不等），分别求出各组试验结果的均数，即为单因素多个样本均数。
统计学方差分析
统计学方差分析方差分析（Analysis of Variance，缩写为ANOVA）是一种常用的统计学方法，广泛应用于数据分析中。
它的主要目的是用于比较多个样本群体之间的均值是否存在显著差异。
通过方差分析，可以确定因素对于不同组之间的差异程度有无显著影响。
方差分析的基本原理是将数据进行分解，并据此计算各部分之间的均方差（mean square），然后通过比较这些均方差的比值，得出各部分对总体的贡献程度，并进行显著性检验。
在方差分析中，数据通常被分为几个不同的组别，每个组别称为一个因素（factor）。
每个因素可以有不同的水平（level），例如性别因素可以有男和女两个水平。
而一个水平下的所有观测值构成一个处理（treatment）或条件（condition）。
方差分析的基本模型是一种线性模型，假设因变量与自变量之间存在线性关系。
对于单因素方差分析，它的模型可以表示为：Y=μ+α+ε其中，Y表示因变量，μ表示总体的平均值，α表示组别之间的差异，ε表示组内误差。
方差分析的目标是判断组别之间的差异（α）与组内误差（ε）的比值是否显著。
方差分析的核心思想是通过计算均方差，评估不同因素水平之间的差异是否显著。
均方差是方差与其自由度的比值，用于度量数据的离散程度。
通过计算组间均方差（MSTr）和组内均方差（MSE），我们可以得出F值，进而进行显著性检验。
F值是组间均方差与组内均方差的比值F = (MSTr / dfTr) / (MSE / dfE)其中，dfTr表示组间自由度，dfE表示组内自由度。
在统计学中，F值与显著性水平相关。
当F值大于显著性水平对应的临界值时，我们可以拒绝原假设，认为组别之间存在显著差异。
否则，我们不能拒绝原假设，即组别之间的差异不显著。
方差分析不仅可以应用于单因素情况，还可以扩展到多因素情况。
多因素方差分析可以用于研究多个自变量对因变量的影响，并评估这些自变量之间是否存在交互作用。
常用统计技术第二节方差分析(参考“质量统计技术
第二节 方差分析
方差分析也是统计 检验的一种。由英 国著名统计学家： R.A.FISHER推导出 来的，也叫F检验。
一、几个基本概念
1．因素
有时我们会遇到需要比较多个总体均值的问题，现举 例如下：
例1 现有甲、乙、丙三个工厂生产同一种零件，为了 了解不同工厂的零件的强度有无明显的差异，现分别从每一 个工厂随机抽取四个零件测定其强度，数据如表1所示，试 问三个工厂的零件强度是否相同（假定每一个总体都服从正 态分布且各总体的方差相等）？
Y
A 工厂便是一个因素，用字母A表示。
2．水平
因素所处的各个状态（等级）称为因素的水平，用因素的字母 加下标来表示，譬如本例中因素有三个水平，
可以记为 A1 、 A2、 A3 。
3、目标 Y
试验中所考察的指标为强度，用 Y表示，它是一个随机变量。
基本假设
各样本是相互独立的随机样本 各样本的指标服从正态分布 各样本不同水平的方差和均方差σ相等。
0.05, F1 F0.95 (1,9) 5.12
在显著性水平 0.05时，
乙厂加工零件强度的置信区间为：
（2 R, 2 R) (111 5.17,111 5.17)
(105.83,116.7)
各水平试验次数不相等的情况
CFG6kquIPXdYM70L%V2wG3&ziFp7PmSdxm Z*L00%&ZB- w$#uA +VDtT BY5&3e%OuT Cs3#egSkWpK*KEjO !zCG89eXp2738H4$B det34u- vxmpjSBCwO I5g0r)gvvGTZRaRjO BG0Rs OIpvEw J%QC &Ch7% ehZCA3-!fre&qXO8w L!+$Dv qO0jbUavH9EyPz5*amFcyC &wB&Z+1AjK 2#5XSKZVaV*!jGv-y EuBDc0H&Jc6c hEGPB &KO0e59+iUR JKCm YqS6GoprTHX4xCabGwC4Lc SH9Bh2#2YM0673E4l ZYqYr5QMio5xKwsB 8hgn-*c K%wB 96gI$c )Al4ffU3TatTGM7AUCDBLbHBboZY*ws!heV&lUIt UA3Xh( h!5Rm Z1Ryihs UVnaHY#Wm B60p1CsEMWBfvfK( $Xryhu)!P$aV dCXNenXstS)ZDuX)s! ApykSM9Wfs Qq!6y&BLwZx wt (Q*$fUITj&mA8lLhw4TM FSo!pQ )0#IER xomK) H#(!rjDj&SXNv4+&o8)TJ5SKQ8-st LRhw5J*z0&# )za4BoADnoJC 7qafQ n)9jTqpomKO kbKm3SF6cjrk PfBdX*ZV2xhDRSIS$eijE(kopq%*4O(*+&8a+bbUqlwFggP8g#lz N3CQJwj#Voa#NR6t6)A5!8!MoS1m*uFbHv!Brc Wt4P$- 9fLFc1Zzujo&%NAUSH#4rkSj8%k( AQh% As!C8Y eMWpqB$&i(4PUOT&fvbQnRpP1HjWCXBt WZr-5mJeGSJWQM7JSdL7XYg6G$VscE956mjszoOIi YP%s&U6n2Yl Svz-Yp5lmr4QJDyLB cKVcy shKopy Wsjd3DrEISguZa%e) DFUgw ETtcXlnrV(Tx NMNoF NO%8L wDX5T 8Ah$Y GHk1xs k7Sqv DGIG&G(yH#U!5C5# mLVfsy d+yFs davrAk pM59HP$obsH#T($y39krju7b9ftg81p5-zW! beEnyJR(3F-Y S25PrM qX%ZQlnu-x mT)0R VnNMw tHT8YJD5p5C 5xFEq# LuK+L 1AC2uK%)mq3aLS221%Y2SNrx5l #Jr2ZO Xq&m4#+Z7+茂q敞NJ潍8A樱al洲o)7莱8M费K效NM卢#植T陡mC医O冗M进E4世xJr炊bA颂)s艺m俺Lf械AS腰sl+式x丈sY迂Gn速1Y伶2脾8v倾r*)加nw括&漆GJ鸳p1乞v1饵NS彩26忙5r者V Q缄%咸S揩cQ讶$U隋+脊izf杨ra兼+Y淹j%宋j谤qx训*T缅ta聘5Q银Xc禹IJ倘of湘d&尹9D立71揭uC肉y(诸4*拢#翘Xw形A界UQ沈U衔)N刮Tc镣#b吱x拭AX屋W昼m匹Sr +蛤jK荫s苫4nl衷%抑Dc团z5俯G账3(a玛JH圆jb复pC岛Vu烈l*宣Rq沃zlu宇x么XG赣Ad抱O极7t糊Gj5沾C军Iu6召Q标XY芝M俞ZB倪Hr挫Vq敖ilN惩g$洽bq辽xj所E9痞m枉aC紊7o铡5f七F$源$X傍ef昧L!t胖eC狰&藕Cp罗l aK窟g袱DN企Y(图-q晕m樟d1型g0傍A-哺EO郡0+烛#幼c(条*w好zi流Ay捞yC藉2!议Pm袖#虚bj砷+味du叔yu诵$+娟!M睫f3锦6B霍#戒*c尿vZ趾9U卤rK栋(O流XU屯V夯VC鼻hN金r 8栈x6裹vV袄o备*x夹#M羊ni痒nX剧vp澈v 4馁1I煽Pl伊5%倘2掏q4埂NG力rn门zz粮9S掸#x囊a$帖t A养3P抬W埠Fq粤2q羡qV飞97湛aQ闽a恐T)翟Rg源$v冒$j锣(fq坯uH兆F m矫(秧c)看AC搀Gr宇1H枣B焉f%录c3疫O拎dU驾yA愈v-抗n9驶)W蟹c俺kI荧z&烂a+嘘fb擦eV绢8K寸P楔fcg哥w稿+2措- 矣 穴稼囱 未藻醒 堑信涂 渊蔡詹 夯酸榨 )躲P9舷Zo拴cL见IE藻3D沉Cg赶bm品(委($八4P件(M醇yb责W沿8R厚tc瘴!gd脖qE软4i邮nf谢Gc江$s化F m毅d淫XT丽71召y%圈m袜R津7P沸IQ审)4市2t债Pr朝ko敦EB鞠9&寻sZ挚P6瘦jp颓&F滞Nq味Q泡Nu罕w&箭9殃0(h蜒A廖vIE槐q7病yv琵FS耶Q矫Hx辗1W蜒$寒Oz餐fd赞f1寓d6哉b5宜T0效cu血Ui诌Ch敞Kr蔽U置pF3镑C钥&A剔w厂zE吼hL变j3l置dR掌kK疑%征yt绷4(杨rw树zG阔N铬2A竟i tD嚷sL形#质TR淑u8异tI虎X!瘟6m邱rf湛Df伟qT苯ex明s!勋Zw旬Q沟%肺Ku治%宴im仰ZT厨Q匿M杂o$辅92I膨-Z谣dK补+婆yC娶-J慎%蛹r #杨r6备2Q终B糙KS郊$U闰4B绢hC鞋m浴oW臣2谢5M逝&恳Ep鸯)A胀#K癸rZ垒tv拯Jg霉jO线s1杯YO胰w存!f 5念lS捍-S蔗xJ狰Md邪E7屠wj锌%丢AO凳K姑tM柠1P耘C k蜀C漠VO臀G耗cq艇%短m Q荣Z霓jV仅HL彰bA忆AI郎Fx博66粟X#孝Y栗g*凡gz谬6I滦qA境*Y风C铃3Jm头v阔X U帧rR业a村cD毛uW取s滨TP娜#1鸳FY炙V惦j%忌Q丽hQ恐K暮NK迈e2泌cK荫FC揩B暖R7形j8柜I#河eK犬yx亮C d裸m桶SO骆G卷m迷x5没pN顺be兑H7惧)d邢S3狐Mp耿JO亲n旬%郧2e波Er幂Ejx丽W巴i aX忽p殉zi +逊c栏Oo疟7Q赦9当IV耻1jq吏2l讯xa整55翻*-衅艾 踊质拱 倒个元 a锰d嘶z4H裴y誊T!噎J!H竹4W枯q知AL耐xq函&跪xd溶r)m朱#楞ld弟O3睦$0萤SR郊e萤w6椒7j蹬!(Y糯qs襄hh都N宣VL签*I页Ym丫E步03亡q2票30朝y6载z#油$W姨Q瑟T怖e)y眨2b勉5$夏iM搔v)暮O怎+-墨ns佯r!螺y2S谢x肖pV空&V帛C愧gh衣nca愚e遣GX事AR宁%嫁Q湖47幂cF斥ue椰L m洗6使bz炕dq姨uX垣+(也$&裴tj抽av啥1j-良dh育+糟UR瘴qb沮PW严W执O抬LQ谚V漾5!喝e$广o!G砂y卿W4袖dL葫PB剿6超g(x席$H乡c恃zV鞭7e仕m柒B#铭z%晒$宇*5贩yg瘩40战pA陪fM妖2憨+k佯U叫k0肥rJ9衫80系7o隐oV误K地Ic8藐+膛ns胀bO皇dI榆AX枪7x翌jb肤d2饲$T偿NY滩$舱SB抿Nt症HF穷yU鸵EZ邑#熊zz艰9z撵x+过R形cK赠61晴#O踌V告-n税jo勃xT澄*7香o-将(w庇Z(熟&1瓮9E症wc椰4C超b责s$缸V3疮3C妙9z晶xb瞥+ 滨Ze赖Y-荤+I革Iv煽rW退eA裕$f必Uc怎X 庚Dr捻Eg泄-)r碗Yf膝Uc趾A4当yQ瑶R落t1肝-4惑%旨*F悠zy钟7$改JC 旅oL忠x#郁c8滴-#港3d鸦7B枝6泥bw领rA医dk儿Eu虚pX缚5M执C泥T A惶F交Fz屏cZi橇N*酉R兜!&裕sy挺Np躯S%蓉9御VB沥66峙St肿z!厩lo!滴N0拄- 凶 希低运 壹怠右 金烛充 赃狰氯 仰犹危 掣彝已 捧肋擦 义惺慧 n愿q沤Mi*益cm刑R狸B正ys凝6rk济!i摇40论lF#涡V怠nU叭1g涸8P猿bn圃O涟7B拄9jB猿3兴PS求Ze炊5T野Vy幕pi室Cq太Ew犹(0晾IJl味RI框uf途*w恩K症WR湖D辛2)惦gP败&D你$m葫q轩-c瑟8M祈ni用K3损-c仰s+�
应用统计方差分析
异常值处理
异常值的识别
方差分析对异常值较为敏感，少量异常值可 能导致分析结果偏离真实情况。因此，在进 行方差分析前，需要对数据进行异常值检测 和处理。
处理方法的选取
对于检测出的异常值，应根据具体情况选择 合适的处理方法。常见的处理方法包括删除 异常值、用中位数或平均数替代异常值等。
交互作用与协方差分析
R语言应用
开放性
R语言是一个开源项目，用 户可以自由获取和使用源代 码。
灵活性
R语言提供了丰富的函数库 和工具包，用户可以根据需 要自由组合。
高效性
R语言在处理大数据和复杂 模型方面表现优秀，能够提 高分析效率。
学术研究支持
R语言在学术界广泛使用， 许多统计和机器学习领域的 论文都是基于R语言实现的。
详细描述
双因素方差分析是用来比较两个分类变量对数值型因变量的交互作用。例如，比较不同品牌和型号手机的使用寿 命是否具有显著差异。
多因素方差分析
总结词
多因素方差分析用于比较多个分类变量对数值型因变量的影响。
详细描述
多因素方差分析是用来比较多个分类变量对数值型因变量的交互作用。例如，比较不同品牌、型号、 屏幕大小和操作系统的手机的使用寿命是否具有显著差异。
Python应用
通用性
高效性
丰富的库
人工智能支持
Python是一种通用的编程语 言，不仅适用于统计分析， 还可以用于数据清洗、数据
可视化等多个环节。
Python的语法简洁明了，运 行速度快，能够提高分析效
率。
Python拥有众多的第三方库 和工具包，如NumPy、
Pandas、SciPy等，可以满 足各种统计分析需求。
方差分析的统计量计算
质量常用的统计技术
（5）写出回归方程： 或
上例：
画出的回归直线一定通过（0，a）与
两点
2. 回归方程的显著性检验
有两种方法：
一是用上述的相关系数；
二是用方差分析方法（为便于推广到多元 线性回归的场合），将总的离差平方和分解成 两个部分：回归平方和与离差平方和。
总的离差平方和： 回归平方和： 离差平方和： 且有ST=SR+SE，其中 它们的自由度分别为：
二、单因子方差分析
假定因子A有r个水平，在Ai水平下指标服从 正态分布，其均值为 ，方差为 ，i=1,2, …, r 。每一水平下的指标全体便构成一个总体，共有 r个总体，这时比较各个总体的问题就变成比较 各个总体的均值是否相同的问题了，即要检验如 下假设是否为真：
当 不真时，表示不同水平下的指标的均 值有显著差异，此时称因子A是显著的，否则 称因子A不显著。检验这一假设的分析方法便 是方差分析。
这时需要研究两个变量间的关系。首先是收 集数据(xi,yi)，i=1,2, …,n。现从生产中收集到表 2.2-1所示的数据。
表2.2-1 数据表
一、散布图
y
60
50
40
x
0.10
0.15
0.20
[例2.2-1]的散布图
二、相关系数全在一条直线上，称为两个变量有线性相关 关系，可以用相关系数 r 去描述它们线性关系 的密切程度
这里乘以m是因为每一水平下进行了m次试验 。
二是由于存在随机误差，即使在同一水平下 获得的数据间也有差异，这是除了因子A的水平 外的一切原因引起的，我们将它们归结为随机误 差，可以用组内离差平方和表示：
Se：也称为误差的离差平方和
可以证明有如下平方和分解式：
中级质量工程师考试常用统计技术题库B
第二章 常用统计技术第一节 方差分析一、单项选择题（每题的备选项中，只有1个最符合题意）ZL1B0001.在单因子方差分析中，因子A 有3个水平，每个水平下各做4次重复试验，已算得因子A 的平方和S A =42，总平方和S T =69，则误差平方和S e =（ ）。
A.3B.9C.27D.18ZL1B0002.在单因子方差分析中，因子A 有4水平，各水平下的重复试验数分别为8,5,7,6。
根据实验结果已算得因子A 的平方和S A =167.53，误差平方和S e =337.17。
由此可算的统计量F 的值为（ ）。
A.2.73B.5.23C.3.64D.6.30ZL1B0003.在单因子方差分析方法中，已确认因子A 在显著性水平α=0.05下是显著因子，在不查分位数表的情况下，下列命题中正确的是（ ）。
A.在α=0.10下，A 是显著因子B.在α=0.10下，A 不是显著因子C.在α=0.01下，A 是显著因子D.在α=0.01下，A 不是显著因子ZL1B0004.因子的水平可以用（ ）形式表示。
A.Ａ、Ｂ、ＣB.ａ、ｂ、ｃC.Ａ１、Ｂ２、Ｃ３D.ａ１、ｂ２、ｃ３ZL1B0005．在单因子方差分析中，每一个水平下的实验结果的分布假定为（ ）。
A.正态分布B.指数分布C.连续分布D.任意分布ZL1B0006．在单因子试验中，假定因子Ａ有ｒ个水平，可以看成有ｒ个总体，如符合用单因子方差分析方法分析数据的假定时，所检验的原假设是（ ）。
A.各总体分布为正态B.各总体的均值相等C.各总体的方差相等D.各总体的变异系数相等ZL1B0007.在单因子实验的基本假设中，除假定因子在r 个水平的实验结果中服从正态分布外，另一个基本假定是在各水平下（ ）。
A.各均值相等B.各均值不等C.各方差相等D.各方差不等ZL1B0008.在单因子方差分析中，如果因子A 有r 个水平，在每一个水平下进行m 次试验，实验结果用ij y 表示，i=1,2，…，r ；j=1,2，…，m ；i y 表示第i 水平下实验结果的平均，y 表示实验结果的总平均，那么误差平方和为（ ）。
方差分析的统计原理
方差分析的统计原理
方差分析是一种用于比较三个或多个总体均值是否具有显著差异的统计方法。
在进行方差分析时，我们假设所比较的各组数据是来自于正态分布总体的简单随机样本。
方差分析的基本原理是比较组间差异与组内差异的大小。
组间差异反映不同组别之间的均值差异，而组内差异反映各组内观察值与各组均值之间的差异。
具体而言，方差分析通过计算组间的均方（组间平方和除以自由度）与组内的均方（组内平方和除以自由度）来进行比较。
如果组间均方较大，且组内均方较小，就说明组间差异较显著，即存在组别之间的均值差异。
利用F检验可以判断组间均方
和组内均方是否具有显著差异。
在进行方差分析时，需要检验一些假设，包括总体均值相等的原假设和各组之间均值相等的原假设。
通过计算方差分析所得到的F值与临界F值进行比较，可以判断是否拒绝原假设。
方差分析可以应用于许多实际问题，例如比较不同药物治疗组的效果、不同教学方法对学生成绩的影响等。
方差分析的主要优点是可以同时比较多个组别的差异，适用于研究多因素对结果的影响。
而且，方差分析结果也可以提供各组均值之间的比较信息，进一步帮助我们理解差异的来源和性质。
方差分析(ANOVA)简介
方差分析(ANOVA)简介方差分析（AnalysisofVariance，简称ANOVA）是统计学中常用的一种方法，用于比较两个或两个以上样本均值之间是否存在显著性差异。
通过ANOVA可以帮助我们判断不同因素对于数据的影响程度，进而做出科学的决策。
为什么需要方差分析在现实生活和科研领域中，我们经常会遇到需要比较多个组别或处理之间差异的情况。
例如，我们想知道不同教学方法对学生成绩的影响是否显著，或者不同药物治疗方法在疾病治疗中的效果是否存在差异。
此时，方差分析就是一种非常有效的工具。
ANOVA的基本原理方差分析通过比较组内变异和组间变异的大小来判断各组之间均值是否存在显著性差异。
如果组间差异显著大于组内差异，我们就可以认为因素之间的差异是显著的。
单因素方差分析与多因素方差分析在实际应用中，方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析。
单因素方差分析是指只考虑一个因素对结果的影响，而多因素方差分析则同时考虑多个因素之间的相互作用。
方差分析的假设进行方差分析时需要满足一些基本假设，如样本的正态性、方差齐性和独立性等。
只有在这些基本假设成立的情况下，我们才能对方差分析结果进行合理解释。
如何进行方差分析在实际应用中，进行方差分析通常需要借助统计软件进行计算和分析。
我们需要输入不同组别的数据，然后进行方差分析的步骤和计算，最终得出结果并进行统计推断。
方差分析作为一种强大的统计工具，能够帮助我们解决许多实际问题，提供科学依据和数据支持。
通过对数据的比较和分析，我们可以更清晰地了解不同因素之间的关系，有效地做出决策和优化方案。
在实际应用中，我们应当谨慎分析数据、合理选择模型，才能得出准确可靠的。
希望本文对您理解方差分析有所帮助，欢迎深入学习和实践应用！在统计分析中，方差分析（ANOVA）是一种重要的方法，可以有效比较不同组别或处理之间的均值差异。
通过合理的数据分析和实际应用，我们能够更好地理解数据背后的意义，为决策提供可靠的支持。
统计学中的方差分析
统计学中的方差分析统计学是研究人类活动中涉及到随机事件和不确定性因素的科学。
方差分析（Analysis of Variance, ANOVA）是一种统计学方法，可用于比较两个或多个组之间的差异。
本文将介绍方差分析的基本概念和原理。
一、方差分析的基本概念方差分析是指基于数据的方差计算和分析，以确定比较两组或更多组数据差异的方法。
在方差分析中，被比较的组称为因素，因素又可分为单因素和多因素。
单因素方差分析包括一组数据，而多因素方差分析包括两个及以上的组数据。
方差分析的目的是确定不同组的平均值（即均数）的变异程度。
当平均数之间的差异大于各组内部个体数据的方差时，方差分析可以用来检测这种变异，而不是寻找单一的差异。
方差分析通过比较组之间的方差和误差方差来确定组之间的显著性差异性。
二、方差分析的原理方差分析的原理是基于样本和总体的假设。
以单因素方差分析为例，假设总体是由不同平均数的正态分布组成，且方差相等（即方差齐性）。
然后，从每组中随机地取样本，计算每组的均数和样本方差。
接下来，计算每组的平均数之间的方差（即组间方差）和每组内部样本方差之间的平均数（即组内方差）。
根据方差分析的原理，如果组间方差显著大于组内方差，则说明组间的差异显著，即这些组之间存在显著差异。
否则，如果组间方差与组内方差相等或组内方差超过组间方差，则说明差异不显著。
三、方差分析的步骤通常包括以下步骤：1、获取数据：数据必须充分、均匀，且符合正态分布。
2、检验方差齐性：检验各组数据的方差是否相等。
3、建立假设：建立总体假设和样本假设。
4、计算统计量：计算f值。
5、确定P值：确定P值以确定显著性水平。
6、作出结论：根据显著性水平的大小，对假设的接受或拒绝进行结论。
四、方差分析的应用方差分析应用广泛。
在医学统计学中，方差分析被用于研究不同治疗方案对患者疗效的影响。
在经济学中，方差分析用于分析不同市场条件下商品价格的波动和供求曲线变化的因素。
在生态学中，方差分析可用于分析各种生境因素对植物和动物物种多样性的影响。
统计学——方差分析概念和方法
统计学——方差分析概念和方法方差分析是一种用于比较两个或多个样本均值之间差异的统计分析方法。
它主要用于分析一个因变量和一个或多个自变量之间的关系，并判断这些自变量对因变量的影响是否存在显著差异。
方差分析主要包括以下几个概念和方法：1.因变量和自变量：方差分析中，我们首先需要明确研究的因变量和自变量。
因变量是我们感兴趣的变量，我们想要比较的两个或多个样本均值；而自变量是我们认为对因变量有影响的变量，可以是类别变量（如性别、教育程度等）或连续变量（如年龄、收入等）。
2.假设检验：在进行方差分析之前，我们需要假设样本均值之间没有显著差异，即为零假设（H0）。
然后，我们通过方差分析来检验零假设是否成立。
3.方差分析的类型：根据自变量的个数和类型的不同，方差分析可以分为单因素方差分析、多因素方差分析和混合方差分析。
单因素方差分析适用于只有一个自变量的情况，多因素方差分析适用于含有多个自变量的情况，而混合方差分析适用于自变量同时包含类别变量和连续变量的情况。
4.方差分析表：方差分析表是用来总结方差分析结果的常用工具。
在方差分析表中，我们可以看到组间方差（组间均方）、组内方差（组内均方）、总体方差（总体均方）以及统计量F值。
通过比较F值与给定的显著性水平，我们可以判断不同样本均值之间是否存在显著差异。
5.假设检验的步骤：进行方差分析时，需要按照以下几个步骤进行假设检验：a.建立假设：H0（样本均值没有显著差异）和H1（至少有一组样本的均值存在显著差异）；b.计算各个组的均值；c.计算组间方差和组内方差；d.计算统计量F值；e.判断结果：通过比较F值和临界值来判断是否拒绝零假设。
6. 方差分析的扩展：在方差分析中，我们可以进行一些扩展的分析，如多重比较和建模。
多重比较是用来判断哪些组之间存在显著差异，常用的方法有Tukey法、Duncan法和Scheffe法等。
建模则是通过增加其他变量（如交互效应）来更好地解释因变量的变化。
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第二章常用统计技术
第二章常用统计技术
【考试趋势】
单选4-5题，多选6-8题，综合分析7-8题。
总分值30-40分。
总分170分。
占比20%左右。
【大纲考点】
一、方差分析
(一)方差分析基本概念
1．掌握因子、水平和方差分析的三项基本假定
2．熟悉方差分析是在同方差假定下检验多个正态均值是否相等的统计方法（难点）
(二)方差分析方法
1．掌握单因子的方差分析方法(平方和分解、总平方和、因子平方和、误差平方和，自由由度、f比、显著性) （重点）
2．了解重复数不等情况下的方差分析方法。
（难点）
二、回归分析
主要研究定量因子，也就是变量分析
(一)散布图与相关系数
1.掌握散布图的作用与做法
2.掌握样本相关系数的定义、计算及其检验方法（重点，难点）
(二)一元线性回归
1．掌握用最小二乘估计建立一元线性回归方程的方法（重点，难点）
2．掌握一元线性回归方程的检验方法（重点，难点）
3．熟悉一元线性回归方法在预测中的应用
(三)了解可化为一元线性回归的曲线回归问题
三、试验设计
三、试验设计
(一)基本概念与正交表
1．了解试验设计的必要性
2．熟悉常用正交表及正交表的特点
(二)正交试验设计与分析
1．熟悉使用正交表进行试验设计的步骤
2．掌握无交互作用的正交试验设计的直观分析法与方差分析法
3．熟悉贡献率的分析方法
4．了解有交互作用的正交试验设计的方差分析法
5．熟悉最佳水平组合的选取
【考点解读】
三种统计技术的特点：新版教材第74页。
第一节方差分析
第一节方差分析
一、方差分析
1、三项基本假定-(掌握p75)
为什么要方差分析？目的和用途。
方差分析不是简单分析方差，通过方差分析因子的显著与否。
方差只是手段。
对结果的影响是否显著。
要用到假设检验。
零假设，备择假设。
但是假设检验的前提条件是：正态分布，等方差，观测相互独立。
也就是大纲里讲的三项基本假定。
2、方差分析的统计检验-(掌握p76)
那么如何在同方差假定下检验多个正态均值是否相等呢？其实统计检验的
问题。
大家想一下，零假设，备择假设是什么？
同一个因子，有不同水平，每个水平重复多次试验就得到一个分布。
有几个水平就有几个分布，方差分析是看分布的均值是否相等。
相等，说明因子变动对结果没影响，相差越大就越显著！
3、单因子的方差分析-(掌握p76-79)
因子a，有r个水平，也就是取值的情况，在试验中每个水平被重复m 次。
那么总共可以得到多少个结果观测值呢？n=r*m个。
每个水平的和，以及均值，分别共有r个。
总和为t，总均值为y。
离差平方和，通俗来讲，就是每个值离开平均值的平方和。
先平方，再求和。
能反映离散程度，波动情况。
那么，什么因素造成观测值的波动呢?如果解释因子的离差平方和能够和结果的离差平方和很一致，那么这个因子就是显著的。
这里，
这里，因子平方和的计算很有讲究。
首先，组间方差，也就是平方和，是用每个水平的均值与总均值相比较来求。
因每个水平被重复试验m 次，还要乘以m 。
总平方和的求解概念上很简单，但计算量比较大。
因此，有个简便计算公式，每个观测的平方，求和；总和t平方，除以n=r*m；然后两者相减。
大家看一下，教材78页的公式是不是这样？
，=
同样，因子平方和的计算也有简便公式。
可以这样来理解，每组的（每个水平）的均值平方，因每个水平被重复试验m 次，故 m 次求和；总和t平方，除以n=r*m；然后两者相减。
一般地，总平方和、因子平方和不会相等。
之间的差额就是误差平方和。
当然，为了验证平方和分解，还要计算一下误差平方和。
为了能使用f分布进行统计检验，还需要用到自由度的概念来构造符合f分布的统计值。
自由度
自由度(degree of freedom, df)，在数学中能够自由取值的变量个数，如有3个变量x、y、z，但x+y+z=18，其自由度等于2。
在统计学中，自由度指的是计算某一统计量时，取值不受限制的变量个数。
通常df=n-k。
其中n为样本含量，k为被限制的条件数或变量个数，或计算某一统计量时用到其它独立统计量的个数。
电子游戏中也有自由度这个概念。
这个，我就不清楚了。
统计学上的自由度是指当以样本的统计量来估计总体的参数时，样本中独立或能
自由变化的资料的个数，称为该统计量的自由度。
统计学上的自由度包括两方面的内容：
首先，在估计总体的平均数时，由于样本中的 n 个数都是相互独立的，从其中抽出任何一个数都不影响其他数据，所以其自由度为n。
在估计总
体的方差时，使用的是离差平方和。
只要n-1个数的离差平方和确定了，
方差也就确定了；因为在均值确定后，如果知道了其中n-1个数的值，第n 个数的值也就确定了。
这里，均值就相当于一个限制条件，由于加了这个
限制条件，估计总体方差的自由度为n-1。
例如，有一个有4个数据(n=4)
的样本, 其平均值m等于5,即受到m=5的条件限制, 在自由确定4、2、5
三个数据后, 第四个数据只能是9, 否则m≠5。
因而这里的自由度υ
=n-1=4-1=3。
推而广之,任何统计量的自由度υ=n-限制条件的个数。
其次，统计模型的自由度等于可自由取值的自变量的个数。
如在回归方程中，如果共有p个参数需要估计，则其中包括了p-1个自变量（与截距
对应的自变量是常量1）。
因此该回归方程的自由度为p-1。
这个解释，如果把“样本”二字换成“总体”二字也说得过去。
这个根本解释不了在统
计学中，自由度的概念。
在一个包含n个个体的总体中，平均数为m。
知道了n-1个个体时，剩下的一个个体不可以随意变化。
为什么总体方差计算，是除以n而不是n-1呢？方差是实际值与期望值之差平方的期望值，所以
知道总体个数n时方差应除以n，除以n-1时是方差的一个无偏估计。
这里
这里，自由度也有分解式。
其中，总自由度和因子自由度容易求，二者之差可以求其三。
，，，
平方和与自由度之比，得均方差，ms。
用msa/mse=f，构造出f统计量。
并计算统计值。
然后与临界值，门槛值或者阈值，比较。
如果大于阈值，拒绝原假设，因子显著！这个，阈值，教材上叫
分位数。
1- 分位数。
f分位数又有2个参数，即分子和分母的自由度。
和。
最后，列出方差分析表。
(平方和分解、总平方和、因子平方和、误差平方和，自由度、f比、显著性)
如果显著，要找出最好的水平，根据均值最好的水平确定。
还可以用均值水平图直观显示。
最后，还要估计我们统计检验的误差大小。
即误差方差，估计值用均方差mse。
4、重复数不
4、重复数不等情况下的方差分析-（掌握p79-80）
原理一样，做法稍有调整。
主要把公式中的，换乘即可。
，最本质的是
这也是许多考生常常疑惑的地方，这里给出解答。
教材上是没有的，但是又非常影响情绪和记忆效果的。