材料力学_强度理论与组合变形1
材料力学第八章组合变形
（2）对于圆形截面杆有
d Wt 2W 16
3
C1
弯扭组合变形时,相应的相当应力表达式可改写为
r3
M 2 T 2 2 2 4 ( ) 4( ) W Wt M 2 T 2 3 ( ) 3( ) W Wt
2 2
M2 T2 W M 0.75T W
三、组合变形工程实例
压弯组合变形
10-1
组合变形工程实例
拉弯组合变形
四、处理组合变形的基本方法
1.外力分析
将外力简化并沿主惯性轴分解,将组合变形分解为基本变形, 使之每个力（或力偶）对应一种基本变形
2.内力分析 求每个外力分量对应的内力方程和内力图,确定危险截面.分 别计算在每一种基本变形下构件的应力和变形
叠加原理
如果内力、应力、变形等与外力成线性关系，则复 杂受力情况下组合变形构件的内力、应力、变形等可以 由几组产生基本变形的载荷单独作用下的内力、应力、 变形等的叠加而得到，且与各组载荷的加载次序无关。
l
叠加原理成立的条件
(1) 应力应变关系为线性关系，即满足胡克定律； (2) 变形是小变形，可以用原始尺寸原理。 下面的讨论，都假设用叠加原理的条件成立。
M M
l
u
2 y max
M
2 z max
危险点的应力
材料力学-组合变形
i ey
2 y
2 z
④D
b 6 b 6
z
2
①
A
a z1
az
2 iy
ay
ez
b
3
1
h 6
y
b 23 12 hb i A 12 bh
2 z
Iy
4h
6
C
③
B ②
h
Iz h2 i A 12 h ez1 0 e y1 6
25
§7.5 弯扭组合变形
t max
强度条件（简单应力状态）——
max
19
对有棱角的截面，最大的正应力发生在棱角点处，且处于单向应力状态。
N M z max M y max max A Wz Wy
对于无棱角的截面如何进行强度计算——
1、确定中性轴的位置；
x
F
y ez F ey
A 解：1、外力分解 qz q sin 800 0.447 358N / m B
L
qy q cos 800 0.894 714N / m
y
2、强度计算
714 3.32 M z max 972Nm 8 8
qz L2 358 3.32 M y max 487Nm 8 8
一、弯扭组合 危险截面－截面A 危险点－ a 与 b
《材料力学》课程讲解课件第八章组合变形
k
z Fz
F
Fy
正应力的分布——
在 Mz 作用下：
y
在 My 作用下：
y
Mz
z
z
My
y
k
z Fz
F
Fy
（3）叠加：
k
kMz
kMy
M z yk Iz
M y zk Iy
y
b
a
z
c
y
b
a
y
x
z
My
c
z
x
F
d
3、强度计算
危险截面——固定端
d
M z max Fyl,
M y max Fzl
危险点——“b”点为最大拉应力点，“d”点为最大压应力点。
t max
cmax
M z maxymax Iz
M y m zax max Iy
M zmax Wz
M ymax Wy
强度条件（简单应力状态）—— max
中性轴的确定：
求任意截面 任意一点的 正应力：
C(y,z) z
C(y,z) z
Mz
C1
Myz Iy
My
y
C2
Mzy Iz
y
所以
C ( y,
1 32MPa, 试设计立柱直径d。
解：将力P向立柱轴线简 化，立柱承受拉伸和弯曲 两种基本变形，任意横截 面上的轴力和弯矩为：
材料力学-强度理论
s1 s2 s3
σ3 σ2
σ1
最大切应力
在三个主方向的作用面中都产生各自面内最大切
应力τmax, 即：
σ3
σ3
σ2
σ2
σ1
σ1
t1-2
1 2
s1
s2
t
2-3
1 2
s
2
s3
t1-3
1 2
s1
s
3
一点处应力状态中的最大切应力只是t1-2、 t2-3、t1-3
解：已知s =40 MPa是一个主应力，
水平方向的切应力对应于纯剪切应力状态。 材料单元的三向应力状态如下图。
t max
s 1
s 3
2
20
40
（ 2
20）
30
MPa
40 20
广义虎克定律
问题的提出
简单应力状态的 应力应变关系
，
s
s E或 s
E
, s
E
纯剪应力状态的
应力应变关系
t
t G 或 t
§7-3 三向应力状态
三向应力状态特例的一般情形--至少有一个主应 力及其主方向已知。
研究方法：将已知主方向的作用面作为屏幕面，则立方单元
体可以投影成平面矩形。平面矩形的上、下、左、右边缘上的
山东大学《材料力学》教案第6章 组合变形
第6章 组合变形
一、内容提要
组合变形形式是指除拉伸、压缩、平面弯曲、自由扭转等基本变形形式以外的其它变形形式。在工程实际中，杆件的受力变形情况种类繁多，但根据叠加原理及圣维南原理，它们均可以简化为几种基本变形形式的组合。
（一）杆件在组合变形下的应力计算方法
1、在小变形和线弹性条件下，杆件上各种力的作用彼此独立，互不影响，即杆上同时有几种力作用时，一种力对杆的作用效果（变形或应力），不影响另一种力对杆的作用效果（或影响很小可以忽略）。因此组合变形下杆件内的应力，可视为几种基本变形下杆件内应力的叠加。本章中组合变形下杆件的应力计算，将以各基本变形的应力及叠加法为基础。
2、叠加法的主要步骤 （1）、将组合变形按照各基本变形的条件，分解为几种基本变形，简称分解。 （2）、利用基本变形的应力计算公式，分别计算各点处的正应力和切应力。
（3）将分别计算得到的同一截面同一点上的正应力取代数和，得到组合变形下该点处的正应力σ；将分别计算得到的同一截面同一点上的切应力取几何和，得到组合变形下该点处的切应力τ，简称叠加。
因此计算步骤概括为：
分解——分别计算——叠加
其关键是分解。
（二）将组合变形分解为几种基本变形的两种途径
1、载荷分解法 （1）、将任意方向的外力F ，在作用点分解为平行于轴线的纵向力F ’z 和平行于形心主轴的横向力F ’y 、F ’z ，如图6-1a 所示。
( )
( )
( )
( )
(拉伸)( 平面内弯曲)
图
（2）、将纵向力F ’x 向该截面形心简化，得一与轴线重合的纵向力F x （引起拉伸或压缩，F ’x =F x ），和一个集中力偶m ，再将集中力偶m 沿两个形心主轴方向分解，得两个力偶分量m y 、m z （分别在xz 平面和xy 平面内引起平面弯曲）结果如图6-1b 所示。
14-1组合变形-材料力学
0.259108 mm4
ymax
h 2
90
mm,
zmax
b 2
60
mm
3、强度校核
max
M
max
(
ymax Iz
cos
Z max Iy
sin )
90103 m
60103 m
4200N m (0.583104 m4 0.894 0.259104 m4 0.447)
第十四章 组合变形
14-1 组合变形的概念
一、组合变形的概念：
在外力的作用下，构件同时发生两种或两种以上的基本变形， 且每一种基本变形所产生的变形参量属同一数量级的变形，称为组 合变形。
在小变形和线弹性的前提下，可以采用叠加原理研究组合变 形问题。
所谓叠加原理是指若干个力作用下总的变形参量等于各个力单 独作用下变形参量的总和（叠加）。
计算结果表明，钢板在截面1-1处的强度不够。
由分析知，造成钢板强度不够的原因，是由于偏心拉伸而引起的弯矩
Pe，使截面1-1的应力显著增加 。为了保证钢板具有足够的强度，在允许
的条件下，可在槽的对称位置再开一槽如图c。这样就避免了偏心拉伸。
此时截面1-1上的应力(如图d)为
P
80000
( b 2r ) 0.01( 0.08 20.01)
材料力学11 强度理论1
r 2 1 ( 2 3 ) [ ]
实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆
性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论
更接近实际情况。
材料力学 2018/8/8 14
局限性： 1、第一强度理论不能解释的问题，未能解决， 2、在二向或三向受拉时，
r 2 1 ( 2 3 ) r1 1
材料力学 2018/8/8 11
最大拉应变理论（第二强度理论）
(Maximum Tensile-Strain Criterion)
无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都
是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单拉伸时
的破坏伸长应变数值。
max
1u
材料力学
2018/8/8
12
max s
材料力学 2018/8/8 16
2 1 3
= s
1 3 max 2
屈服条件 强度条件
材料力学
1o 3o s s 2 2
r3 1 3
2018/8/8
s
ns
17
实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到 较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生
r1 1
材料力学 2018/8/8 10
材料力学第十章 组合变形
1
xB
1
B
1
M W
2 max 2
4
T2 Wt 2
r 3 1 3 2 4 2
r3
r4
2 M y M z2 T 2
M W
2 max 2
4
T
2 2
Wt
2 M y M z2 T 2
W
W
(圆轴)
r3
M 2 T 2 W
1 2 2 2 1 2 2 3 3 1 2
P
P
10203 [ 1020252 ] 12 7.27105 mm4
M 5P 3 500Nm 10
P N M
20 20
y yC z
应力分析如图
100
N M z max max A I yc
P
100 103 500 55 103 6 800 10 7.27107
④确定危险面
Mz B1 T
M x B2 My
⑤画危险面应力分布图，找危险点
M xB1 max W M
B
1
T Wt
xB
1
xB
B
x
1 2 2 ( ) 2 3 2
1
1
xB
2
材料力学 第八章 强度理论
3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。
§8–3
莫尔强度理论及其相当应力
莫尔认为：最大剪应力 是使物体破坏的主要因素， 但滑移面上的摩擦力也不可 忽略（莫尔摩擦定律）。综 合最大剪应力及最大正应力
的因素，莫尔得出了他自己
的强度理论。
¢ Ð Ä û °Í • ¶ (O.Mohr),1835¡ 1918 ª «
bL
2
)/ sin
即:
bL 1 3
2 2
( max
bL
2
)/ sin
1 3
2
200(450200 )/ 0.5300
(1 3 )/2 max 450
解上述联立方程得 ：
1150MPa ; 3 750MPa
一、两个概念：1、极限应力圆：
2、极限曲线：极限应力圆的包络线（envelope）。
s极限应力圆
极限应力圆的包络线
s3
O
s2
s1
近似包络线
二、莫尔强度理论：任意一点的应力圆若与极限曲线相接触，
则材料即将屈服或剪断。 M P [ y] O2 3 N o O3 O1
2、强度准则： 1 2 3 3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。
三、最大剪应力（第三强度）理论： 认为构件的屈服是由最大剪应力引起的。当最大剪应力达 到单向拉伸试验的极限剪应力时，构件就破坏了。
《材料力学》第八章组合变形
§8.1 组合变形和叠加原理
一、组合变形
前面研究杆的简单变形问题，实际上，大多数的杆件在 载荷作用下，往往同时发生两种或两种以上的变形。这种 情况，称为组合变形。
杆在组合变形的情况下，如果其中只有一种基本变形是 主要的，可以略去其它的次要变形，在计算杆的强度时，通 过适当地降低许用应力，从而把各种次要变形的影响考虑进 去；如果杆在受力后所产生的几种基本变形都是比较重要的， 那么就必须考虑变形的组合影响。
解 (1)外力分析，确定变形类型—拉弯组合；
（2）内力分析，确定危险截面—整个轴；
M=600(kN·cm) FN=15(kN)
(3)应力计算，确定危险点—ａ、b点；
P产生拉伸正应力： t
FN A
FN
d 2
4FN
d 2
4
M拉产弯生组弯合曲：的正应力：wmax
M Wy
M
d3
32
32M
d3
P M= a Pe
W
W t 2Wz 2W
T
2W
σ ２
y
4.建立强度条件。在1点处取出一单元体如图示，这 个单元体的面上有应力σ和τ是一个二向应力状态。
(1)计算单元体的主应力。计算单元体的三个主应力为:
1
1 2
2 4 2
,2 0
,
3
1 2
-
材料力学组合变形习题
L
1AL101ADB 〔3〕
偏心压缩时，截面的中性轴与外力作用点位于截面形心的两侧，那么外力作用点 到形心之距离ｅ和中性轴到形心距离ｄ之间的关系有四种答案：
〔A 〕 ｅ＝ｄ； 〔B 〕 ｅ＞ｄ；
〔C 〕 ｅ越小，ｄ越大； 〔D 〕 ｅ越大，ｄ越小。
正确答案是＿＿＿＿＿＿。 答案〔C 〕
1BL102ADB 〔3〕
三种受压杆件如图。设杆１、杆２和杆３中的最大压应力〔绝对值〕分别用 max1σ、max 2σ和max3σ表示，现有以下四种答案：
〔A 〕max1σ＝max 2σ＝max3σ； 〔B 〕max1σ＞max 2σ＝max3σ；
〔C 〕max 2σ＞max1σ＝max3σ； 〔D 〕max 2σ＜max1σ＝max3σ。
正确答案是＿＿＿＿＿＿。
答案〔C 〕
1BL103ADD 〔1〕
在图示杆件中，最大压应力发生在截面上的哪一点，现有四种答案：
〔A 〕Ａ点； 〔B 〕Ｂ点； 〔C 〕Ｃ点； 〔D 〕Ｄ点。
正确答案是＿＿＿＿＿＿。
答案〔C 〕
1AL104ADC 〔2〕
一空心立柱，横截面外边界为正方形， 边界为等边三角形〔二图形形心重 合〕。当立柱受沿图示ａ－ａ线的压力时，此立柱变形形态有四种答案： 〔A 〕斜弯曲与中心压缩组合； 〔B 〕平面弯曲与中心压缩组合；
〔C 〕斜弯曲； 〔D 〕平面弯曲。
正确答案是＿＿＿＿＿＿。
答案〔B 〕
1BL105ADC 〔2〕
铸铁构件受力如下图，其危险点的位置有四种答案：
〔A 〕①点； 〔B 〕②点； 〔C 〕③点； 〔D 〕④点。
正确答案是＿＿＿＿＿＿。
09.材料力学-组合变形
强度条件（简单应力状态）—— max
17
[例2] 图示不等截面与等截面柱，受力P=350kN，试分别求 出两柱内的绝对值最大正应力。 解：两柱横截面上的最大正应力均为压应力 P M P d P P 1max
A1 Wz1
200
300
200 P
350000 350 50 6 0.2 0.3 0.2 0.32 11.7 MPa
25
[例5] 方形截面杆的横截面面积在 mn 处减少一半，试求由轴 向载荷 P 引起的 mn 截面上的最大拉应力。
解：
N M m ax A W
a2 a a a2 P P/ P / 8 2 2 4 4 6 a
26
§9.2
扭转与弯曲的组合
弯曲与扭转的组合变形在机械工程中是常见的。下面以操
27
28
用截面法可计算出AB杆横截面上的弯矩M和扭矩MT ，其M
图和MT图分别如图c)和d)所示。因为A截面上内力最大，该截面 为危险截面，其内力值分别为弯矩M＝FPl，扭矩MT＝FPa。 在危险截面A上，与弯矩M相对应的弯曲正应力 切应力
，在y轴方
向的直径上下两端点1和2处最大(图e))；与扭矩MT 相对应的扭转 的应力 和
12537.8162 .8MPa
100 103 孔移至板中间时 A 631.9mm2 10(100x) max 162.8106 N
材料力学公式大全
主应力 最大剪应力
max
1
3
2
4、应力应变关系
（1）广义胡克定律:
max
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
D
max
O
3 2
1
A
1 2
3
1
E 1
E 1
E
1 2 3
2 1 1
3 3 2
5
（2）各向同性材料的体积应变
1 2 E
x y z
5、空间应力状态下的应变能密度
v
1 2E
12
22
2 3
r3
M 2 T 2 [ ]
W
r4
M 2 0.75T 2 [ ]
W
统一形式：
r
Mr W
[ ]
Mr3
M
2 z
M
2 y
T
2
Mr4
M
2 z
M
2 y
0.75T
2
10
5、连接件的强度条件
剪切的强度条件: 挤压强度条件:
FS [ ]
AS
bs
Fbs Abs
[ bs ]
11
四、压杆稳定
8
2、两相互垂直平面内的弯曲
有棱角的截面:
max
Mz Wz
My Wy
[ ]
圆截面:
材料力学第八章-组合变形
Mz Wz
My 材料W力y 学
截面核心的概念： 纵向压力P作用在靠近横截面形心的某一 区域内，则横截面上的正应力均为压应力 ，该区域称为该截面的核心。
材料力学
例 图示结构，
求底截面上A，B， C，D四点的正应
力，以及最大拉应 力和最大压应力.
x P=1z00KN 0.05m y
D
C
A
B
a=0.2m
Ip D/2
πD3 16
max
材料力学
3、纯弯曲及横力弯曲时截面上的正应力
( y) My
Iz
压应力
由公式可知，某一截面的最大正应力发生在 距离中性轴最远处。
弯矩M
max
M Iz
ymax
Wz
Iz ymax
截面 拉应力
max
M Wz
材料力学
4、横力弯曲时矩形截面上的切应力
2.研究方法：
①分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于 是得到两个正交的平面弯曲。
②叠加：对两个平面弯曲进行研究；然后将计算结
果叠加起来。
材料力学
材料力学
材料力学
材料力学
t,max M y max M z max
c,max
Wy
Wz
强度条件：
D1点： t,max [ t ] D2点： c,max [ c ]
材料力学—强度理论
§10.3 适用于塑性屈服的强度理论
《推导》 0 0 失效方程（或极限条件） u f u（ u f f 即为单向拉伸） 1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 uf 6E
1 2(1 ) 2 2 2 2 u s 0 s s 6E 6E
一、最大剪应力（第三强度）理论（Tresca准则） 1773年，Coulomb提出假设 1868年 Tresca完善 《失效准则》 最大剪应力是引起材料塑性屈服的原因， 具体说：不管在什么应力状态下， 只要构件内有一点处的最大剪应力达到单向拉伸的塑性屈服时的剪应力， 就发生塑性屈服破坏
§10.3 适用于塑性屈服的强度理论
用第三强度理论校核其强度 ( E = 210GPa, [] = 170MPa, = 0.3 )
y
A
x
解：由广义虎克定律得
E 2.1 7 x ( ) ( 1 . 88 0 . 3 7 . 37 ) 10 94.4MPa x y 2 2 1 1 0.3
Baidu Nhomakorabea
{ b , 0.2 , s } [ ] n
eqM
[ t ] 1 3 [ c ]
§10.3 适用于塑性屈服的强度理论
四、强度计算的步骤： 1、外力分析： ——确定所需的外力值， 2、内力分析： ——画内力图，确定可能的危险面， 3、应力分析： ——画危面应力分布图，确定危险点并画出单元体，求主应力， 4、强度分析： ——选择适当的强度理论，计算相当应力然后进行强度校核，
材料力学强度理论
材料力学强度理论
材料力学强度理论是材料力学的重要分支，它研究材料在外力作用下的变形和破坏规律，对于工程结构的设计和材料的选用具有重要的指导意义。材料力学强度理论主要包括极限强度理论、能量强度理论和应变强度理论等。
首先，极限强度理论是最早形成的材料力学强度理论之一。它认为材料的破坏取决于材料内部的最大应力达到其抗拉强度或抗压强度时所对应的应变状态。极限强度理论的优点是简单易行，适用范围广，但其缺点是只考虑了材料的强度，忽略了材料的变形性能，因此在工程实践中应用受到了一定的限制。
其次，能量强度理论是在极限强度理论的基础上发展起来的。它认为材料的破坏取决于单位体积内的应变能达到一定数值时所对应的应变状态。能量强度理论考虑了材料的变形性能，能够更准确地描述材料的破坏过程，因此在工程实践中得到了广泛的应用。
最后，应变强度理论是在能量强度理论的基础上进一步发展起来的。它认为材料的破坏取决于应变状态达到一定数值时所对应的应力状态。应变强度理论综合考虑了材料的强度和变形性能，能够更全面地描述材料的破坏规律，因此在工程实践中得到了广泛的应用。
总的来说，材料力学强度理论对于工程结构的设计和材料的选用具有重要的指导意义。不同的强度理论各有其优缺点，工程师需要根据具体的工程要求和材料性能选择合适的强度理论进行分析和计算。在今后的研究和工程实践中，我们还需要进一步深入理解材料的力学性能，不断完善和发展材料力学强度理论，为工程结构的安全可靠提供更加科学的依据。
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第八章强度理论与组合变形
§8-1 强度理论的概念
１．不同材料在同一环境及加载条件下对“破坏”（或称为失效）具有不同的抵抗能力（抗力）。
例1常温、静载条件下，低碳钢的拉伸破坏表现为塑性屈服失效，具有屈服极限
σ，
s
铸铁破坏表现为脆性断裂失效，具有抗拉强度
σ。图9-1a,b
b
２．同一材料在不同环境及加载条件下也表现出对失效的不同抗力。
例2常温静载条件下，带有环形深切槽的圆柱形低碳钢试件受拉时，不再出现塑性变形，而沿切槽根部发生脆断，切槽导致的应力集中使根部附近出现两向和三向拉伸型应力状态。图（9-2a,b）
例3 常温静载条件下，圆柱形铸铁试件受压时，不再出现脆性断口，而出现塑性变形，此时材料处于压缩型应力状态。图（9-3a ）
例4 常温静载条件下，圆柱形大理石试件在轴向压力和围压作用下发生明显的塑性变形，此时材料处于三向压缩应力状态下。图９－３b
３．根据常温静力拉伸和压缩试验，已建立起单向应力状态下的弹性失效准则，考虑安全系数后，其强度条件为 []σσ≤ ，根据薄壁圆筒扭转实验，可建立起纯剪应力状态下的弹性失效准则，考虑安全系数后，强度条件为 []ττ≤ 。
建立常温静载一般复杂应力状态下的弹性失效准则——强度理论的基本思想是： １）确认引起材料失效存在共同的力学原因，提出关于这一共同力学原因的假设； ２）根据实验室中标准试件在简单受力情况下的破坏实验（如拉伸），建立起材料在复杂应力状态下共同遵循的弹性失效准则和强度条件。
３）实际上，当前工程上常用的经典强度理论都按脆性断裂和塑性屈服两类失效形式，分别提出共同力学原因的假设。
§8-２四个强度理论
１．最大拉应力准则（第一强度理论）
基本观点：材料中的最大拉应力到达材料的正断抗力时，即产生脆性断裂。
表达式：u σσ=+
max
复杂应力状态
32
1σσ
σ≥≥， 当01>σ， 1
m a x
σσ
=+
简单拉伸破坏试验中材料的正断抗力
b u σσσ==1，032==σσ 最大拉应力脆断准则： b σσ=1
(9-1a)
相应的强度条件：
[]b
b n σσσ=
≤1
(9-1b)
适用范围：虽然只突出 1σ 而未考虑 32,σσ 的影响，它与铸铁，工具钢，工业陶瓷等多数脆性材料的实验结果较符合。特别适用于拉伸型应力状态（如0321=>≥σσσ），混合型应力状态中拉应力占优者（ ,0,031<>σσ但31σσ> ）。
2．最大伸长线应变准则（第二强度理论）
基本观点：材料中最大伸长线应变到达材料的脆断伸长线应变 u ε时，即产生脆性断裂。 表达式：
u εε=+
max
复杂应力状态
321εεε≥≥，当01>ε， [])(132
1
1max σσ
νσεε+-=
=+
E
简单拉伸破坏试验中材料的脆断伸长线应变
b σσ=1，032
==σσ
，E
b
b u σεε=
=
最大伸长线应变准则：
b σσσνσ=+-)(321
（9-2a ）
相应的强度条件：
[]b
b n σσσσνσ=
≤+-)(321 （9-2b ）
适用范围：虽然考虑了2σ，3σ的影响，它只与石料、混凝土等少数脆性材料的实验结果较符合（如图9-4所示），铸铁在混合型压应力占优应力状态下（01>σ313,0,σσσ<<）的实验结果也较符合，但上述材料的脆断实验不支持本理论描写的2σ，3σ对材料强度的影响规律。
3．最大剪应力准则（第三强度理论）
基本观点：材料中的最大剪应力到达该材料的剪切抗力u τ时，即产生塑性屈服。
表达式：u ττ=max
复杂应力状态
简单拉伸屈服试验中的剪切抗力
s σσ=1 ，032
==σσ
，2
s
s u σττ=
=
最大剪应力屈服准则：
s σσσ=-31
（9-3a ）
相应的强度条件：
[]s
s
n σ
σσσ=
≤-31 （9-3b ）321σσσ≥≥，
2
3
113σσττ-=
=maax
适用范围：虽然只考虑了最大主剪应力
13
τ ，而未考虑其它两个主剪应力 12τ ，
32
τ 的
影响，但与低碳钢、铜、软铝等塑性较好材料的屈服试验结果符合较好；并可用于像硬铝那样塑性变形较小，无颈缩材料的剪切破坏，此准则也称特雷斯卡（Tresca ）屈服准则。
3．形状改变比能准则（第四强度理论）
基本观点：材料中形状改变比能到达该材料的临界值 u f u )( 时，即产生塑性屈服。 表达式：u f f u u )(= 复杂应力状态
321σσσ≥≥，
[]2
13
2
32
2
21
)
()()(61σσ
σσ
σσ
-+-+-+=
E
v u
f
简单拉伸屈服试验中的相应临界值
s σσ=1，032
==σσ
， 2
261)(s u f E
v u σ⋅+=
形状改变比能准则：
[]s
σ
σσσσ
σσ
=-+-+-2
13232
2
21
)
()()(2
1 （9-4a ）