集值映射空间上可数强Fan Tightness

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可数强仿S-闭空间

可数强仿S-闭空间
刘一强
【期刊名称】《重庆文理学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2007(026)006
【摘要】给出了可数强仿S-闭空间的概念,讨论了该空间的一些性质及其半正则化,同时给出它了的一个极不连通的定理.
【总页数】3页(P24-26)
【作者】刘一强
【作者单位】成都理工大学,信息管理学院,成都,610059
【正文语种】中文
【中图分类】O189.1
【相关文献】
1.可数S-闭空间及可数仿S-闭空间 [J], 王胜美;马跃超;申花实
2.可数强仿S-闭空间 [J], 刘一强;;
3.可数S-闭空间及可数仿S-闭空间 [J], 马跃超
4.仿S-闭空间与子集相对X是仿S-闭的子空间 [J], 李进金
5.仿S-闭空间与子集相对X是仿S-闭的子空间 [J], 李进金
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banach空间中集值测度的表示定理

banach空间中集值测度的表示定理
1. 定义：先给出banach空间的定义：banach空间是一个具有范数的完备向量
空间。

2. 集值测度：集值测度是一种将集合映射到一个测度空间的映射。

这里的测度空间可以是实数直线，复数平面或更一般化的空间。

3. 表示定理：banach空间中集值测度的表示定理是一个关于集值测度的重要定理，它用于表示banach空间中的测度。

4. 定理内容：该定理的主要内容是：如果M是一个紧的hausdorff空间，并且X是一个banach空间，那么从M到X的连续的集值测度可以表示为一些有限个范数的和。

5. 定理证明：该定理的证明需要建立在以下两个引理的基础上：
6. 引理1：如果M是一个紧的hausdorff空间，那么从M到R（实数）的连续函数可以一致逼近一个零点函数的有限线性组合。

7. 引理2：如果X是一个banach空间，那么从X到R的连续线性函数可以表示为X中某个元素的有限线性组合。

8. 结论：通过引理1和引理2的结论，我们可以得出banach空间中集值测度
的表示定理。

9. 应用：banach空间中集值测度的表示定理在微积分学、函数分析学以及其他数学领域的研究中都有非常广泛的应用。

10. 推论：除了上述结论外，还可以得到更多有用的推论，比如一个连续函数f: M -> X，如果f在M上所有的集值测度都为零，则f为零函数。

这种推论在分析学中也有重要的应用。

集值映射与回复性点集

集值映射与回复性点集设( X , d )是紧致度量空间, f :X→X是连续映射。

κ( X)为X的所有非空紧致子集赋予由d诱导的Hausdorff度量而得到的空间,由f诱导的集值映射(f|—) :κ( X )→κ( X)定义为(f|—)(A) = {f( a ) |a∈A}。

本文主要考虑( X , f )的回复性点集与(κ( X ), (f|—))的回复性点集之间的关系,得到了一系列成果。

本文由三章构成。

在第一章中,阐述了问题产生的历史背景及本领域研究的最新进展与本文的主要工作,介绍了本文所用的一些概念及基本知识,并说明了本文工作的理论意义和实践意义。

在第二章中,我们讨论了集值映射与周期点集。

在§2.1中得到了P ((f|—))是闭集蕴含P ( f )是闭集,并举例说明了它的逆命题不一定成立,而且证明了在φ_ω( X ) =κ( X)时有P ( f )为闭集蕴含P ((f|—))是闭集。

在§2.2中指出了文献[18]的推论3.2(ⅱ)的逆在P ( f )为闭集时能成立且得到更强的结论,即P ((f|—)) =κ( X)能蕴含P ( f )= X。

给出了一个反例说明了P ( f )= X不一定蕴含P ((f|—)) =κ( X),得到了在X为有限集时P ( f )= X能蕴含P ((f|—)) =κ( X)。

在§2.3中证明了P ((f|—))=φ蕴含P ( f )=φ以及证明了(f|—)是极小的蕴含f是极小的,并各举了一个反例说明它的逆命题不一定成立。

在§2.4中得到了当f是拓扑传递的及X = I或T时, P ((f|—))在κ( X)中稠密。

在§2.5中证明了当X = I时, P ((f|—) )是闭集蕴含(f|—)不是Devaney混沌的。

在第三章中,我们研究了集值映射与极限点集、回归点集、几乎周期点集。

证明了若F是(f|—)的ω-极限点则F中含有f的ω-极限点。

泛函分析答案2：

泛函分析期末复习题（2005-2006年度）（1）所有矩阵可以构成一个线性空间。

试问这个线性空间中的零元素是什么？（2）什么是线性空间的子空间？子空间是否一定包含零元素？为什么？（3）什么是线性流形？（4）什么是线性空间中的凸集？（5）如果一个度量能够成为一个线性空间上定义的距离，那么这个度量必须满足什么条件？试给出几个在维欧几里德空间上常用的距离定义（6）距离空间上的收敛是如何定义的？（7）线性空间上定义的范数必须满足哪些条件？（8）什么是巴拿赫空间？赋范空间中的基本列一定收敛吗？（9）有限维的线性赋范空间都是巴拿赫空间吗？（10）什么是希尔伯特空间？（11）空间是如何构成的？在怎样的内积定义下其可以成为一个希尔伯特空间？（12）什么是算子？为什么要求算子的定义域是一个子空间？（13）算子的范数是如何定义的？从直观角度谈谈对算子范数定义的理解。

（14）线性算子的零空间一定是值域空间中的子空间吗？（15）什么是有界算子？举一个无界算子的例子。

（16）算子的强收敛是如何定义的？（17）设为一个线性赋范空间，而为一个Banach空间。

那么从到的线性算子所构成的空间是否构成一个Banach空间？（18）什么是压缩映像原理？它在力学中有什么重要应用？（19）什么是泛函？什么是泛函的范数？（20）什么是线性赋泛空间的共轭空间？线性赋泛空间的共轭空间是否总是完备的？（21）什么是弱收敛？弱收敛与强收敛之间是什么关系？（22）什么是的Gateaux微分？（23）什么是泛函的（一阶）变分？它是如何定义的？（24）形如的泛函，其对应的Euler-Lagrange方程是什么？（25）什么是结构的应变能密度？什么是余能密度？二者关系如何？试画图说明。

（26）有限元方法的本质是什么？瑞兹＋具有局部紧支集的分片插值函数（27）什么是最小势能原理？最小势能原理中的基本未知函数是什么？对这些基本未知函数有什么要求？推导并证明使得势能泛函取最小值的位移函数对应结构真实的位移场。

集值映射向量优化的近似benson真有效性

集值映射向量优化的近似benson真有效性
集值映射向量优化的近似Benson真有效性是指在优化空间中，对可行解应用集值映射向量优化技术来近似Benson真有效性。

这一技术可以彻底消除无效答案，并将复杂优化问题转化为简单的线性优化问题，从而大大提高优化的效率。

集值映射向量优化的近似Benson真有效性的思想是：将不可行解从优化问题中剔除掉，然后对于可行解，通过将它们转换为一个为集值映射向量，向量中的元素的取值只能是0或1，这样可以保证约束条件的满足，从而将原来的优化问题转化为简单的线性优化问题，解决线性优化问题既可以提升优化效率，同时也可以获得较优解。

集值映射向量优化的近似Benson真有效性在原理上涉及两个重要概念：一个是“集值映射”，即将大空间中的复杂问题映射到一个小空间中；另一个是“线性映射”，即将问题映射到可用线性优化方法求解的空间中。

集值映射是集值映射向量优化的关键，其中的思想是将原问题转化为一个固定的集值映射，使得每个可行解对应一个独特的集值映射向量，这样就可以确保约束条件的满足，从而将原来的优化问题转化为简单的线性优化问题，解决线性优化问题既可以提升优化效率，同时也可以获得较优解。

综上所述，集值映射向量优化的近似Benson真有效性，是一种求解复杂优化问题的新技术，可以有效地避免产生无效答案，并将复杂优化问题转化为简单的线性优化问题，大大提升优化的效率，找到较优解。

集值映射的Set-Benson次梯度及其应用

ｔｅｒｌｔｎｈｐｂｔｅｎＳｔＢｎｏ —ｕｇａｉｎｎｅｓｎｓｂｒｄｅｔＩｘｓｎｅｔｅｒｍａｉｅｙｔｅｈｅａｉｓｉｅｗｅｅ — ｅｓｎｓｂｒｄｅｔａｄＢｎｏ —ｕｇａｉｎ．ｔｅｉｔｃｈｏｅｗｓｇｖｎｂｈｏｓｅ
１基本概念
设是实线性空间，】Ｇ是偏序完备的实拓（，），
扑线性空间，ｚ为局部凸拓扑线性空间。，ｃＤ分别是ｙｚ中的非空闭凸点锥。（，）表示由到ｙ的连，ｙ续线性算子空间，（ｙ表示由ｚ到】的连续线性三ｚ，），
ＸＵｏｇＸＩＹｉｈｎ，ＯＮＧｅ．ｈ，ＷｉｚｉＤＵＡＮｕｄｏＷ —ｕ
（．ｅａｍｎｆａｈｍｔｓＮｎｈｎｎｖｒｔ，ａｅａｇ３０Ｃｉａ１ＤｐｒｅＮｎｈｎ０３，ｈｎ；ｔｏＭｃｅｉ３１２ＰｂｉＥｕａｏｅａｍｎ，ｉｇｉｏｒｎｒｅｈｏｇｎｔｕｅＸｎｕ３８０Ｃｉ）．ｕｌｄｃｔｎＤｐｒｅｔＪｎｘＳｌｅｇＴｃｎｌｙＩｓｔｔ，ｉｙ３００，ｈｎｃｉｔａａＥｙｏｉａ
第３４卷第２期
２１０２年６月
南昌大学学报（工科版）
ＪｕｎｌｆａｃａｇＵｉｒｔ（ｎｉｅｒｇ＆ＴｃｎｌｙｏｒａｏｎｈｎｎｖｓｙＥｇｅｎＮｅｉｎｉｅｈｏｇ）ｏ
Ｖｏ．４Ｎｏ２１３．

连续映射与紧致性的研究

连续映射与紧致性的研究对于数学领域来说，连续映射与紧致性是两个非常重要的概念。

本文将探讨这两个概念的定义、性质以及它们之间的关联。

一、连续映射连续映射是数学中最基本的映射概念之一。

给定两个拓扑空间X和Y，一个映射f：X→Y被称为连续映射，如果对于任意的Y中开集U，它的原像f^(-1)(U)是X中的开集。

连续映射的定义表明，映射f将开集映射为开集。

而在数学中，一个更强的性质是紧致性。

二、紧致性紧致性是一种拓扑空间的重要性质。

一个拓扑空间X称为紧致的，如果它的每一个开覆盖都有有限子覆盖。

换句话说，对于任意X中的开覆盖C，存在有限子集C'，使得C'也是X的开覆盖。

紧致性的定义给出了一种局部无限性与全局有限性的关系。

紧致空间常常具有一些特殊的性质，比如有界性、闭性等，因此在数学研究中有着广泛的应用。

三、连续映射与紧致性的关系在数学分析中，连续映射和紧致性有着密切的联系。

事实上，有一个著名的结论称为“连续映射的像是紧致集合”，即如果f是X到Y的连续映射，且X为紧致空间，则f(X)为Y中的紧致子集。

这个结论反映了连续映射对紧致性的保持作用。

在证明中，我们可以利用开覆盖的性质，通过映射f将X中的有限子覆盖映射到Y中，从而得到Y中的有限子覆盖。

因此，连续映射可以将紧致空间映射为紧致子集。

四、应用举例连续映射和紧致性在数学的各个领域都有广泛的应用。

以实分析为例，考虑一个实数集合X，定义映射f：X→R，其中R为实数集。

如果f在X上连续且X为紧致空间，则根据之前的结论可以得到f(X)为R中的紧致子集。

这个结论非常重要，因为R中的紧致子集必为闭有界集合，而闭有界性是实分析中常用的性质。

因此，通过研究连续映射和紧致性，我们可以推导出实分析中的一些重要结论。

此外，在拓扑学、微积分学、代数学等多个数学分支中，连续映射和紧致性也有广泛的应用。

它们为我们理解数学中的基本概念和性质提供了重要的工具。

五、总结连续映射和紧致性是数学中两个基本且重要的概念。

集值映射向量优化问题的ε-超有效解

集值映射向量优化问题的ε-超有效解
凌晨
【期刊名称】《运筹学学报》
【年(卷),期】2001(005)003
【摘要】本文引进了集值映射向量优化问题的ε-超有效解概念,并在集值映射为近似广义锥次似凸的假设下,建立了关于ε-超有效解的标量化定理和Lagrange乘子定理.%In this paper, the e-super efficient solution for set-valued map vector optimization is introduced. And under the assumption of the nearly generalized cone-subconvexlikeness for set-valued maps, the scalarization theorem and Lagrange multiplier theorem for e-super efficient solution are established.
【总页数】6页(P51-56)
【作者】凌晨
【作者单位】浙江财经学院统计运筹系,
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.集值映射向量优化问题的ε-弱有效解 [J], 王引观;柴惠文
2.集值映射向量优化问题弱有效解的性质 [J], 周洪波;尹文双
3.集值映射向量优化问题的锥弱有效解的镇定性和稳定性(英) [J], 孟志青;胡奇英
4.集值映射向量优化问题弱有效解的本质性及本质连通区 [J], 宋伟才;向淑文
5.集值映射向量优化问题的e-真有效解 [J], 彭建文; 杨新民
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泛函分析习题

泛函分析练习题一名词解释：1.范数与线性赋范空间2.无处稠密子集与第一纲集3.紧集与相对紧集4.开映射5.共轭算子6. 内点、内部：7. 线性算子、线性范函：8. 自然嵌入算子9. 共轭算子10. 内积与内积空间：11. 弱有界集：12. 紧算子：13. 凸集14. 有界集15. 距离16. 可分17. Cauchy列18.自反空间二、定理叙述1、压缩映射原理2. 共鸣定理3.逆算子定理4. 闭图像定理5.实空间上的Hahn-Banach延拓定理6、Baire 纲定理7、开映射定理8、Riesz 表现定理三证明题：1.若(,)x ρ是度量空间，则1d ρρ=+也使X 成为度量空间。

证明：,,x y z X ∀∈显然有（1）(,)0d x y ≥，(,)0d x y =当且仅当x y =。

（2）(,)(,)d x y d y x =（3）由1()111t f t t t ==-++，(0)t >关于t 单调递增，得(,)(,)(,)(,)1(,)1(,)(,)x z x y y z d x z x z x y y z ρρρρρρ+=≤+++(,)(,)1(,)1(,)x y y z x y y z ρρρρ≤+++(,)(,)d x y d y z =+故d 也是X 上的度量。

2，设H 是内积空间，,,,n n x x y y H ∈，则当,n n x x y y →→时，(,)(,)n n x y x y →，即内积关于两变元连续。

证明：22|(,)(,)||(,)|||||||||n n n n n n x y x y x x y y x x y y -=--≤-⋅-已知 ,n n x x y y →→，即||||0,||||0n n x x y y -→-→。

故有2|(,)(,)|0n n x y x y -→即 (,)(,)n n x y x y →。

3.考虑[,]C a b 上的非线性积分方程()(,,())()bax t k t s x s ds t λϕ-=⎰其中[,],(,,)C a b k t s ϕω∈是[,][,]a b a b R ⨯⨯上的连续函数，满足1212|(,,)(,,)|||k t s k t s b ωωωω-≤-证明当||λ足够小时，此方程存在唯一解0[,]x C a b ∈。

(新)泛函要点整理

1线性算子、非线性算子的连续性和有界性（p.86+p.250）#82赋范线性空间和Banach 空间的定义，并证空间的完备性（p.71+p.58）#3，2完备的赋范线性空间称为Banach 空间。

3紧算子（p139）#4注：恒等算子不是紧算子。

如其把无穷维的单位球映到它本身，单位球是有界的（球面是界），但不是紧的（球面不属于单位球，不是闭集）。

定理（p65）#25赋范线性空间的Hahn-Banach 定理（p109）#46 Banach压缩映像原理及证明（p157）#57线性泛函的计算（p88）#3 8 Heine定理及证明（p55）#29全变差的概念及应用（p112）#410判断是否为内积空间（p189）#611内积和相应的范数不等式证明（p187）#6 12算子全连续性（紧性）的证明（p141）#4全连续算子用有限维连续有界算子一致逼近13变分引理及证明（p190）#614 Frechet-Riesz泛函表示定理（p204）#6度量空间（p45）#216闭集与序列收敛之间的关系（p54）#217Hausdorff定理（p63）#218赋范线性空间的一个重要引理（p76）#319弱收敛（p131）#420直和（p192）#621紧性（p62）#2补：①若M是度量空间X的一个子集，M的闭包M是X中的一个紧集，则M称为X的相对紧集。

即：紧集一定是闭集，一定是相对紧集；相对紧集不是闭集时，不是紧集。

②定理：n为欧几里德空间n R中的有界集必是相对紧的。

③定理：设X是度量空间，若在X中的每个完全有界集都是相对紧的，则X是完备的。

④度量空间中的相对紧集且是闭集，称为紧集。

⑤定理：有限维赋范线性空间中任何有界集是相对紧的。

⑥定理：有限维赋范线性空间X中，任意一个子集M是紧的 M是有界闭的。

⑦定理：若赋范线性空间X是无限维的，则X必有不相对紧的有界集。

⑧定理：赋范线性空间是有限维的它的任一有界闭子集都是紧集。

L-模糊集的可数STARPLUS-紧性

拓扑，Ｘｌ（）叫拓扑生成的．（，．）Ｏｒ
定义１２令（是一个Ｌｔ且Ｇ∈Ｌ．．，） —ｓ如果Ｇ（在（， ’ 口 ’ ）上对于每一个ｎＥＰＬ都（）
收稿日期：０８—０２０８—２１
中可数紧的．）推论２１令（ ∞ （）是由（．拓扑生．，丁），）ｒ成的，Ｇ ∈２．Ｇ在（（）且Ｘ则，．）中可数．ｒ
第２４卷第６期
哈尔滨师范大学自然科学学报
ＮＡＴＵＲＡＣＥＮＣＯＬＳＩＥＳＪＵＲＮＡＬＯＦＨＡＲＢＮＮＯＲＩＭＡＬＵＮＶＥＩＩＲＳＴＹ
Ｖ１４ｏ６２０ｏ２，Ｎ．０８．
Ｌ一模糊集的可数ＳＡＰＵＴＲＬＳ一紧性木
０（）都存在Ａｆ使得Ａ，，．ｔ。则的子集称为Ｇ的一个Ｑ一开拟覆盖如果。而且也是Ｇ的一个Ｑ。一开拟覆盖，则称为的一个Ｑ。一开拟子覆盖．定义１４令（是一个Ｌ—ｔ对于一．，）ｓ．集Ａ ∈ Ｌ，果Ａａ（６）内对任何口Ｅｘ如【 ’在Ｘ，ＰＬ封闭，（）则称其为伪封闭．
紧性的推广．
是紧的，Ｇ叫Ｓａｐｕ一紧的，则ｔｒｌｓ如果１Ｓａｐｕ是ｔｒｌｓ
０引言
１７９８年，参考文献［］中Ｇｎｎｒ等人引在１ａｔｅ人了一拓扑空间的紧性的概念．Ｌ＝［；］在０１时以一紧性给出了强Ｆ紧性的概念Ｊ此后，Ｆ．强紧性的概念又先后被Ｌ和Ｗａｇ人推广到了一ｉｎ等般模糊集和￡一模糊集的概念－３２０年，５０１参考．

关于可数中紧空间的映射定理

中图分类号：Ｏ１９１８．ｌ
ＭａｐｉｇＴｈｅｒｍｓｏｕｔｂｙＭｅｏｏｐｃｐａｅｐｎｏｅｎＣｏｎａｌｓｃｍａｔＳｃｓ
文献标志码：Ａ
ＷＡＧＱｕｌＹＮＰｎ —ｅＮｉ－ｉＡｅｇｆｉ，
年，ｃａｌ１Ｍｉｅ¨证明了闭映射保持仿紧性；９５，国士【又证明了拟完全映射保持仿紧性；９１ｈ１８年高】１７
年。ＪＲ．ｏｎ［引入了中紧的概念．关于可数亚紧和可数仿紧【的各种刻画及映射性质已被广泛讨．Ｂｏｅ’ 。】论，一个自然的问题是可数中紧空间是否也有类似的映射性质。我们给出了肯定的回答．本文首先给出可数中紧的等价刻画，然后给出了一些类似的映射性质的证明．本文所讨论的映射均为到上的连续映射．
在闭的紧覆盖映射下是保持的；可数中紧的Ｆｅｈｔ间在闭映射下的像是可数中紧的；２）ｒｃｅ空３）
可数ห้องสมุดไป่ตู้中紧性的拟完全原象是可数中紧的；４）可数中紧空间与紧空间的积空问是可数中紧的．
关键词：可数中紧空间紧覆盖映射；闭映射；拟完全映射
ｙｉｏａｔｓａｅ。ｔｅＸｉｌｏａｃｕｔｈｙｍｅｏｏｓａｃｍｐｃｐｃｈｎｘＹｓａｓｏｎａｌｓｃｍｐａｔｐｃ．ｃａｅｓ

集值映射空间的一致收敛

集值映射空间的一致收敛最近，越来越多的研究者致力于探索集值映射空间的一致收敛。

集值映射空间的一致收敛可以在计算、优化和分析等多种应用中发挥重要作用。

将集值映射空间的一致收敛技术应用于不同的领域，可以为解决实际问题提供新思路。

集值映射空间是一种重要的空间概念，又称为“集值空间”，是一种典型的可穷举的空间，它由一组有序的集值组成。

每个集值都可以唯一标识一个具体的点，组成了一个有序的集值序列。

集值映射空间的一致收敛是指，将一组数据映射到一个有序的集值空间，然后再从这个有序的集值空间得到一组连续的序列。

集值映射空间的一致收敛有很多研究。

有研究表明，将集值映射空间用于多种应用场景，会出现一致性收敛的情况，这可能是一种有效的不变量。

另一方面，也有研究发现，任意的一组分布数据，可能无法形成一致收敛的序列。

因此，研究者致力于提出一种有效的方法，即将这些数据经过特殊的处理后，转换成有序的集值空间，以保证一致的收敛性。

大多数的一致收敛方法都依赖于数据的采样过程，一般会先采样数据，然后使用特定的技术将采样数据转换为集值映射空间，从而实现一致收敛。

采样数据时，也可以使用多种不同的采样方法，如空间采样、时间采样、哈希函数采样等，可以根据数据的分布特征选择最佳的采样方式。

除了采样方式外，研究者还提出了用于构造集值映射空间的多种算法。

这些算法往往可以更有效地求解复杂的数据问题，同时保证一致的收敛性。

最近的研究表明，一种名为“时空索引”的算法，可以在不需要太多辅助信息的情况下快速搜索，并以一致的收敛性将数据转换成集值映射空间。

综上所述，集值映射空间的一致收敛是一个重要的研究课题，它可以使应用程序更加精确、高效，并且可以解决复杂的问题。

通过不同的采样和算法，研究者发现可以在一致性收敛的前提下，更快地实现集值映射空间。

将这项技术应用于更多的领域，将会为解决实际问题提供更多的新思路。

局部紧Lindel(？)f空间的映象及其他结果

局部紧Lindel（？）f空间的映象及其他结果本文由两部分组成，在本文的第一部分中引人了强k系的概念并借助于商映射、闭映射和紧覆盖映射建立了局部紧Lindel(?)f空间和几类具有特定性质k
系之间的联系。

在本文的第二部分中引入2—序列商映射并讨论了1—序列商映射和2—序列商映射的相关性质。

在第一部分主要结果有：结果1 (定理2．6)：对于空间X，下列
条件等价： (1) X是局部紧Lindel(?)f空间的紧覆盖、可数对一、SL映象(2) X是局部紧Lindel(?)f空间的紧覆盖映象 (3) X具有由紧子集组成的可数k覆盖结果2 (定理2．11)：对于空间X，下列条件等价： (1) X是局部紧Lindel(?)f空间的紧覆盖、有限对一、闭、SL映象 (2) X是局部紧Lindel(?)f空间 (3) X具有σ—可数且离散的强k系 (4) X具有σ—可数且局部有限的强k系 (5) X具有可数且局部有限k系 (6) X具有可数的点有限且遗传闭包保持k系在第二部分主要结果有：结果3 (定理3．4)：2-序列商映射保持sof可数空间结果4 (定理3．5)：对于空间X，下列条件等价： (1) X是度量空间的1-序列覆盖映象(2-序列覆盖映象) (2) X是度量空间的1-序列商映象(2-序列商映象) (3) X是snf可数(sof
可数)空间结果5 (定理3．14)：设f：X→Y，X是snf可数(sof可数)空间，若f为1-序列商映射(2-序列商映射)，则f为1-序列覆盖映射(2-序列覆盖映射)。

《点集拓扑学》第7章 §7.5 度量空间中的紧致性

§7.5度量空间中的紧致性本节重点:掌握度量空间中的紧致空间、可数紧致空间、序列紧致空间、列紧空间之间的关系．由于度量空间满足第一可数性公理，同时也是空间，所以上一节中的讨论（参见表7.2）因此我们，一个度量空间是可数紧致空间当且仅当它是列紧空间，也当且仅当它是序列紧致空间．但由于度量空间不一定就是Lindeloff空间，因此从定理7.4.2并不能断定列紧的度量空间是否一定就是紧致空间．本节研究这个问题并给出肯定的回答．定义7.5.1 设A是度量空间（X，ρ）中的一个非空子集．集合A的直径diam（A）定义为diam(A)=sup{ρ(x,y)|x,y∈A}若A是有界的diam(A)=∞ 若A是无界的定义7.5.2 设（X，ρ）是一个度量空间，A是X的一个开覆盖．实数λ＞0称为开覆盖A的一个Lebesgue数，如果对于X中的任何一个子集A，只要diam（A）＜λ，则 A包含于开覆盖A的某一个元素之中．Lebesgue数不一定存在．例如考虑实数空间R的开覆盖{(-∞,1)}∪{(n-1/n,n+1+1/n) |n∈Z+}则任何一个正实数都不是它的Lebesgue数．（请读者自补证明．）定理7.5.1[Lebesgue数定理] 序列紧致的度量空间的每一个开覆盖有一个Lebesgue数．证明设X是一个序列紧致的度量空间，A是X的一个开覆盖．假若开覆盖A没有Lebesgue 数,则对于任何i∈Z+,实数1/i不是A的Lebesgue数，所以X有一个子集E,使得diam（E）＜1/i并且Ei不包含于A的任何元素之中．在每一个之中任意选取一个点,由于X是一个序列紧致空间，所以序列有一个收敛的子序列．由于A是X的一个开覆盖，故存在A∈A使得y∈A，并且存在实数ε＞0使得球形邻域B（y，ε）A．由于，所以存在整数M＞0使得当i>M时．令k为任意一个整数，使得k＞M+2/ε,则对于任何有ρ（x，y）≤ρ（x，）＋ρ（，y）＜ε这证明A与的选取矛盾．定理7.5.2 每一个序列紧致的度量空间都是紧致空间．证明设X是一个序列紧致的度量空间，A是X的一个开覆盖．根据定理7.5.1，X的开覆盖A有一个Lebesgue数，设为λ＞0．令B={B(x,λ/3)}．它是X的一个开覆盖．我们先来证明B有一个有限子覆盖．假设B没有有限子覆盖．任意选取一点∈X．对于i＞1，假定点已经取定，由于不是X的覆盖,选取．按照归纳原则，序列已经取定．易见对于任何i,j∈Z+,i≠j，有ρ()>λ/3．序列没有任何收敛的子序列．（因为任何y∈X的球形邻域B(y,λ/6)中最多只能包含这个序列中的一个点．）这与X是序列紧致空间相矛盾．现在设{}是开覆盖B的一个有限子覆盖．由于其中每一个元素的直径都小于λ，所以对于每一个i=1,2,…,n存在使得B(,λ/3)．于是{}是A的一个子覆盖．因此，根据定理7.5.2以及前一节中的讨论可见：定理7.5.3 设X是一个度量空间．则下列条件等价：（1）X是一个紧致空间；（2）X是一个列紧空间；（3）X是一个序列紧致空间；（4）X是一个可数紧致空间．我们将定理7.5.3的结论列为图表7.3以示强调．作业:P205 1．本章总结：（1）重点是紧致性、紧致性与分离性的关系．（2）度量空间（特别是）中的紧致性性质要掌握．（3）紧致性是否是连续映射所能保持的、可积的、可遗传的？证明时牵涉到的闭集要注意是哪个空间的闭集．。

函数空间Gk(X)上的T—Tightness和Set—Tightness

ＶｏＩ１．．０ＮＯ２
Ｍａ．２１ｒＯｌ
ＤＯＩ０３６／．ｓｎ１７ —３Ｘ．０１０．０：１．９９ｊｉｓ．６４２２２１．２０７
函数空间（上的ＴＴｇｔｅｓＳｔｉｈｎｓＸ） — ｉｈｎｓ和ｅ— ｇｔｅｓＴ
ｔｈｎｓ空间引入Ｔｔｈｎｓ空间．数空间Ｃ（的各种类型ｔｈｎｓ特征中已经有ｔｈｎｓ，ｆｎｉｔｅｓｇ —ｉｔｅｓｇ函Ｘ）ｉｔｅｓｇｉｔｅｓａｇ
ｔｈｎｓ和可数强ｆｎｔｈｎｓ对偶性的证明，ｉｔｅｓｇａｉｔｅｓｇ上述性质已推广到集值映射空间Ｃ（［７上．Ｘ）－６￣函数空间
中图分类号：Ｏ１９１８．ＭＳ００：５Ｃ３Ｃ２１４５文献标志码：Ａ
文章编号：ｌ７３Ｘ（Ｏ）２０２一３６４２２２ ¨ ０１４Ｏ
０引言
Ｔｔｈｎｓ空间和ｓｔｉｈｎｓ空间是弱于ｔｈｎｓ空间从而弱于第一可数空间的一类拓扑空间． —ｉｔｅｓｇｅ— ｇｔｅｓｔｉｔｅｓｇ
Ｃ（中的Ｔｔｈｎｓ和ｓｔｉｈｎｓ性质的刻画是由Ｓｋｉ８得到的．ｘ）间的拓扑性质与ＣＸ） —ｉｔｅｓｇｅ— ｇｔｅｓｔａａＭ＿］Ｃ（空
（有很大区别．ｃｏＮｔｎｕＩ林寿等＿。Ｃ（的拓扑性质均有系统的论述．此给出了Ｘ）ＭＣｙＲＡ，ａｔ９和［１对Ｘ）。在具有紧开拓扑函数空间Ｃ（的Ｔｔｈｎｓ和ｓｔｉｈｎｓ性质与基本空间Ｘ的对偶定理，得了ＣＸ） —ｉｔｅｓｇｅ— ｇｔｅｓｔ获

泛函分析中的概念和命题

泛函分析中的概念和命题本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March泛函分析中的概念和命题赋范空间，算子，泛函定理：赋范线性空间是有限维的当且仅当它的单位球是列紧的；有限维赋范线性空间上的任两个范数是等价的；有限维赋范线性空间是Banach 空间. 定理：M 是赋范线性空间()||||,⋅X 的一个真闭线性子空间，则,1||||,,0=∈∃>∀y X y ε使得：M x x y ∈∀->-,1||||ε定理：设X 是赋范线性空间，f 是X 上的线性泛函，则1.*X f ∈()()的闭线性子空间是X x f X x f N }0|{=∈=⇔2.()()中稠密在是不连续的非零线性泛函X f N x f ⇔定理：()空间是空间是则是赋范空间，Banach ,Banach },{,Y X B Y X Y X ⇔≠θ ()()()||||||||||||,,,,,,,,B A AB Z X B AB Z Y B Y X B A Z Y X ≤∈∈∈且则是赋范空间，可分B 空间：()()[]可分b a C c c p l L p P ,,,,1,1,00∞<≤ ()∞∞l L ,10，不可分 Hahn-Banach 泛函延拓定理设X 为线性空间，上的实值函数是定义在X p ，若：(1)()()()()为次可加泛函则称p X y x y p x p y x p ,,,∈∀+≤+(2)()()()为正齐性泛函，则称p X x x p x p ∈∀≥∀=,0,ααα (3) ()()()为对称泛函，则称p X x x p x p ∈∀∈∀=,K ,||ααα 实Hahn-Banach 泛函定理: 设X 是实线性空间，()x p 是定义在X 上的次可加正齐性泛函，0X 是X 的线性子空间，0f 是定义在0X 上的实线性泛函且满足()()()00X x x p x f ∈∀≤，则必存在一个定义在X 上的实线性泛函f ，且满足： 1．()()()X x x p x f ∈∀≤02. ()()()00X x x f x f ∈∀=复Hahn-Banach 泛函定理: 设X 是复线性空间，()x p 是定义在X 上的次可加对称泛函，0X 是X 的线性子空间，0f 是定义在0X 上的线性泛函且满足()()()00||X x x p x f ∈∀≤，则必存在一个定义在X 上的线性泛函f ，且满足：1．()()()X x x p x f ∈∀≤||02. ()()()00X x x f x f ∈∀=定理: 设X 是线性空间，若}{θ≠X ，则在X 上必存在非零线性泛函。