全国中学生物理竞赛5：物系相关速度

研究对象♠不发生形变的理想物体实际物体在外力作用下发生的形变效应不显著可被忽略时,即可将其视作刚体．具有刚体的力学性质，刚体上任意两点之间的相对距离是恒定不变的;刚体运动的速度法则♠刚体上每一点的速度都是与基点(可任意选择)速度相同的平动速度和相对于该基点的转动速度的矢量和.v=rω，r 是对基点的转动半径，ω是刚体转动角速度．任何刚体的任何一种复杂运动都是由平动与转动复合而成的. 刚体各质点自身转动角速度总相同且与基点的选择无关．AB C D αv 2v 2d v 1v 1d O 杆、绳方向的分速度.同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同.度的矢量和.杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：接触物系接触点速度的相关特征是：线状相交物系交叉点的速度是:v 1θv 0v 2v 1θθv v t v n v n v 1d v 0v 2d如图所示，AB 杆的A 端以匀速v 运动，在运动时杆恒与一半圆周相切，半圆周的半径为R ，当杆与水平线的交角为θ时，求杆的角速度ω及杆上与半圆相切点C 的速度．专题5-例1这是杆约束相关速度问题考察杆切点C ,由于半圆静止,C 点速度必沿杆!v CB R A θv 2θ杆A 点速度必沿水平!以C 为基点分解v :由杆约束相关关系:1c v v =cos v θ=v 2是A 点对C 点的转动速度,故sin cot v R θωθ=⋅2sin cos v R θθω=B 2A 1A 2如图所示，合页构件由三个菱形组成，其边长之比为3∶2∶1，顶点A 3以速度v 沿水平方向向右运动，求当构件所有角都为直角时，顶点Ｂ2的速度v B2．专题5-例2这是杆约束相关速度问题A 0A 1A 2A 3B 1B 2B 3v v A 2v A 1v 1分析顶点A 2、A 1的速度：顶点B 2，既是A 1B 2杆上的点，又是A 2B 2杆上的点，分别以A 1、A 2为基点，分析B 2点速度：1v 'v 12v 'v B 21122A v v =2222A v v =由图示知222122222B A A v v v ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由几何关系125,26A A v v v v ==2176B v =D v x B A 这是绳约束相关速度问题绳BD 段上各点有与绳端D 相同的沿绳BD 段方向的分速度v ；设A 右移速度为v x ，即相对于A ，绳上B 点是以速度v x 从动滑轮中抽出的，即BA x v v =引入中介参照系-物A ，在沿绳BD 方向上，绳上B 点速度v 是其相对于参照系A 的速度v x 与参照系A 对静止参照系速度v x cos θ的合成，即v cos BA x v v v α=+α由上1cos x v v α+=如图所示，物体A 置于水平面上，物A 前固定有动滑轮B ，D为定滑轮，一根轻绳绕过D 、B 后固定在C 点，BC 段水平，当以速度v 拉绳头时，物体A 沿水平面运动，若绳与水平面夹角为α，物体A 运动的速度是多大？专题5-例3如图所示，半径为R 的半圆凸轮以等速v 0沿水平面向右运动，带动从动杆AB 沿竖直方向上升，O 为凸轮圆心，P 为其顶点．求当∠AOP =α时，AB 杆的速度．专题5-例4这是接触物系接触点相关速度问题P AO B v 0ααv A v 0α根据接触物系触点速度相关特征，两者沿接触面法向的分速度相同，即0cos sin A v v αα=0tan A v v α=如图所示，缠在线轴上的绳子一头搭在墙上的光滑钉子A 上，以恒定的速度v 拉绳，当绳与竖直方向成α角时，求线轴中心O 的运动速度v 0．线轴的外径为R 、内径为r ，线轴沿水平面做无滑动的滚动．专题5-例5R r O vA ααOB 考察绳、轴接触的切点B 速度轴上B 点具有与轴心相同的平动速度v 0与对轴心的转动速度rω：v 0rω绳上B 点沿绳方向速度v 和与轴B 点相同的法向速度v n ：v n由于绳、轴点点相切，有0sin v v r αω=-α线轴沿水平面做纯滚动0v R ω=Cv 00sin R r v R v α=-若线轴逆时针滚动，则0sin R v r R v α-=如图所示，线轴沿水平面做无滑动的滚动，并且线端A 点速度为v ，方向水平．以铰链固定于B 点的木板靠在线轴上，线轴的内、外径分别为r 和R ．试确定木板的角速度ω与角α的关系．专题5-例6考察板、轴接触的切点C 速度板上C 点与线轴上C 点有相同的法向速度v n ,且板上v n 正是C 点关于B 轴的转动速度：C A B αCv n C v n n v BC ω=⋅cot 2R αω=⋅线轴上C 点的速度：它应是C 点对轴心O 的转动速度v Cn 和与轴心相同的平动速度v O 的矢量和，而v Cn 是沿C 点切向的，则C点法向速度v n 应是：v 0v v Cn v 0α0sin n v v α=v 线轴为刚体且做纯滚动，故以线轴与水平面切点为基点，应有D0v v R r R =+0R v v R r =+1cos v R r ωα-=+R r如图所示，水平直杆AB 在圆心为O 、半径为r 的固定圆圈上以匀速u 竖直下落，试求套在该直杆和圆圈的交点处一小滑环M 的速度，设OM 与竖直方向的夹角为φ．专题5-例7这是线状交叉物系交叉点相关速度问题B O φM 将杆的速度u 沿杆方向与圆圈切线方向分解:φu 滑环速度即交叉点速度,方向沿圆圈切向;根据交叉点速度是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和，滑环速度即为杆沿圆圈切向分速度:sin v u φ=如图所示，直角曲杆OBC 绕O 轴在图示平面内转动，使套在其上的光滑小环沿固定直杆OA 滑动．已知OB =10 cm ，曲杆的角速度ω=0.5 rad/s ，求φ=60°时，小环M 的速度．专题5-例8这是线状交叉物系交叉点相关速度问题O AB M C60°由于刚性曲杆OBC 以O 为轴转动，故BC 上与OA 直杆交叉点M 的速度方向垂直于转动半径OM 、大小是:根据交叉点速度相关特征，该速度沿OA 方向的分量即为小环速度，故将v BCM 沿MA 、MB 方向分解成两个分速度:cos 10cm/sBCMOB v ωϕ=⋅=v BCM 小环M 的速度即为v MA ：v MA v MB103cm/s=30°cot 30M BCM v v =O A BCdO 1O 2如图所示，一个半径为R 的轴环O 1立在水平面上，另一个同样的轴环O 2以速度v 从这个轴环旁通过，试求两轴环上部交叉点A 的速度v A 与两环中心之距离d 之间的关系．轴环很薄且第二个轴环紧傍第一个轴环．专题5-例9d O 1AO 2v本题求线状交叉物系交叉点A 速度Av 1θθv 2v轴环O 2速度为v ，将此速度沿轴环O 1、O 2的交叉点A 处的切线方向分解成v 1、v 2两个分量:O 2由线状相交物系交叉点相关速度规律可知，交叉点A 的速度即为沿对方速度分量v 1! 由图示几何关系可得:222sin 22A v v R v d R θ==⋅⎛⎫- ⎪⎝⎭224R v R d=-R顶杆AB 可在竖直滑槽K 内滑动，其下端由凸轮M 推动．凸轮绕O 轴以匀角速ω转动，在图示时刻，OA ＝r ，凸轮轮缘与A 接触处法线n 与OA 之间的夹角为α，试求顶杆的速度．MnαA KB杆与凸轮接触点有相同的法向速度!v 杆ωrr 根据接触物系触点速度相关特征，两者沿接触面法向的分速度相同，即sin cos r v ωαα=杆tan r v ωα⋅=杆α一人身高h ，在灯下以匀速率v A 沿水平直线行走．如图所示，设灯距地面高度为H ，求人影的顶端Ｍ点沿地面移动的速度．HMhsin sin Av v Rrαα=影借用绳杆约束模型设人影端点M 移动速度为v 影,以光源为基点,将v A 和v 影分解为沿光线方向“伸长速度”和对基点的“转动速度”v Anv v 影R Hr H h=-rR由几何关系A H v H v h-=影An v 由一条光线上各点转动角速度相同：ααv 0如图所示,缠在线轴A 上的线被绕过滑轮B 以恒定速率v 0拉出，这时线轴沿水平面无滑动地滚动．求线轴中心O 点的速度随线与水平方向的夹角α的变化关系．线轴的内、外半径分别为R 与r ．A BO VV AαV 0考察绳、轴接触的切点A 速度轴上A 点具有对轴心的转动速度V=Rω和与轴心相同的平动速度V 0：v 0V 0C绳上A 点具有沿绳方向速度v 0和与轴A 点相同的法向速度v n ：v n由于绳、轴点点相切，有00cos v R V ωα=+α由于纯滚动，有0V r ω=0cos v r Rωα=+00cos rRV v r α+=图中的AC 、BD 两杆以匀角速度ω分别绕相距为l 的A 、Ｂ两固定轴在同一竖直面上转动，转动方向已在图上示出．小环M 套在两杆上，t =0时图中α=β=60°，试求而后任意时刻t （M 未落地）M 运动的速度大小．AB αβC DM 因两杆角速度相同，∠AMB=60°不变本题属线状交叉物系交叉点速度问题套在两杆交点的环M 所在圆周半径为60°OlR 2cos 303l lR ==θ2θ杆D 转过θ圆周角，M 点转过同弧上2θ的圆心角环M 的角速度为2ω!环M 的线速度为23Mlv ω=⋅233lω=如图,一个球以速度v 沿直角斜槽ACB 的棱角做无滑动的滚动．AB 等效于球的瞬时转轴．试问球上哪些点的速度最大？这最大速度为多少？本题属刚体各点速度问题ACB球心速度为v ，则对瞬时转轴AB :O22v R ω=则球角速度2v Rω=球表面与瞬时转轴距离最大的点有最大速度!根据刚体运动的速度法则:max212v R ω⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭()21v=+R45如图，由两个圆环所组成的滚珠轴承，其内环半径为R 2，外环半径为R 1，在二环之间分布的小圆球（滚珠）半径为r ，外环以线速度v 1顺时针方向转动，而内环则以线速度v 2顺时针方向转动，试求小球中心围绕圆环的中心顺时针转动的线速度v 和小球自转的角速度ω，设小球与圆环之间无滑动发生．R 1R 2ωv 已知滚珠球心速度为v ，角速度为ω，v 1v 2Ar ω根据刚体运动的速度法则:A v v r ω=-滚珠与内环接触处A 速度滚珠与外环接触处B 速度r ωB v v r ω=+B ∵滚珠与两环无滑动，∴两环与珠接触处A 、B 切向速度相同1v =2v =122v v v =+122v v rω-=本题属刚体各点速度及接触点速度问题一片胶合板从空中下落，发现在某个时刻板上a 点速度和b 点速度相同：v a =v b =v ，且方向均沿板面；同时还发现板上c 点速度大小比速度v 大一倍，c 点到a 、b 两点距离等于a 、b 两点之间距离．试问板上哪些点的速度等于3v ？本题属刚体各点速度问题∵板上a 、b 两点速度相同，故a 、b 连线即为板瞬时转动轴!vvcab根据刚体运动的速度法则,C 点速度为:C Cnv v v =+v c =2vvv cn =lω()222322v v l ω⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2vlω=板角速度同理,速度为3v 的点满足V=3vv n =xω()()2223v v x ω=+2x l=xx如图,A 、B 、C 三位芭蕾演员同时从边长为l 的三角形顶点A 、B 、C 出发，以相同的速率v 运动，运动中始终保持A 朝着B ，B 朝着C ，C 朝着A ．试问经多少时间三人相聚？每个演员跑了多少路程？ABC由三位舞者运动的对称性可知，他们会合点在三角形ABC 的中心OOv n每人的运动均可视做绕O 转动的同时向O 运动，v t考虑A 处舞者沿AO 方向分运动考虑,到达O 点历时23cos 30AOlt v v == 由于舞者匀速率运动,则23s lvt ==如图所示，一个圆台，上底半径为r ，下底半径为R其母线AB 长为L ，放置在水平地面上，推动它以后，它自身以角速度ω旋转，整体绕Ｏ点做匀速圆周运动，若接触部分不打滑，求旋转半径OA 及旋转一周所需时间T ．ABLOrRr x LR r=-设旋转半径为x ，则由几何关系:接触处不打滑，则A 点（即接触点）移动速度即为A v r ω=v A 2Ax T v π=则()2l R r r πω=-如图所示，绳的一端固定，另一端缠在圆筒上，圆筒半径为R ，放在与水平面成α角的光滑斜面上，当绳变为竖直方向时，圆筒转动角速度为ω(此时绳未松驰)，试求此刻圆筒与绳分离处A 的速度以及圆筒与斜面切点C 的速度．αA O 绳竖直时设圆筒中心速度为v 0v O 以A 为基点,由刚体速度法则,O 点速度是v Av n O A nv v v =+ 圆筒与绳分离处A 速度v A 如图:v A C αcot A n v v α==cot R ωα⋅考察圆筒与斜面切点C 速度:v Ov n以O 为基点,由刚体速度法则,C 点速度是C O nv v v =+sin C O R v v R R ωωωα=-=-即1sin sin R αωα-=如图所示，长度l ＝10cm 的棒在光滑水平面上转动，同时，以速度v ＝10cm/s 滑动，离棒的中心距离L ＝50cm 处有竖直的墙．要使棒平着与墙相撞，试问棒的角速度ω应为多少？Lvω棒要平着与竖墙相撞应满足⑴棒中心完成L 位移时，棒与墙平行；⑵相撞时无沿棒法向向右的离开墙的速度（即棒上所有点速度方向均向墙）.满足⑴应有:5L n n v ππωω=⇒=⋅棒在向墙移动时每半周与墙平行一次满足⑵应有v v2n l v ω=02l v ω-≤1025ω≤=1n =时5ωπ=2n =时25ωπ=3n =时35ωπ=一块坯料夹在两导板之间，导板水平运动．上板向右，速度为v 1，下板向左，速度为v 2，若v 1＝2v 2，某时刻切点１和２在同一条竖直线上，如图所示．请作图指出该时刻坯料上速度大小分别为v 1和v 2的点的集合．1(A )2(B )v 2AB以1∶2截分AB 得瞬时转动中心OO刚体上与瞬时转动中心距离相同的点对中心的转动速度相同1v 2vABCDαO 'O如图所示，两只小环O 和分别套在静止不动的竖直杆AB和CD 上，一根不可伸长的绳子一端系在C 点上，穿过环，另一端系在环O上．若环以恒定速度v 1向下运动，当∠AO =α时，求环O 的速度．O 'O 'O 'O 'v 1V 绳对环= v 1O 'v O 对＝v 1+v 2O '()121cos v v v α+=V 绳对环O '设环O 的速度为v 2以O ′为参照绳抽出速度大小为v 1,方向如示: v 2则环O 对环O ′的速度大小为v 1+v 2,方向如示:这个速度是O 对O ′沿绳“抽出”速度和对O ′转动速度的合成121cos cos v v αα-=:在同一时刻必具有相同的沿绳方向的分速度.如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，相距为h ．轨道上有两个物体Ａ和Ｂ，它们通过一根绕过定滑轮Ｏ的不可伸长的轻绳相连接．物体Ａ在下面的轨道上以匀速率v 运动．在轨道间的绳子与轨道成30°角的瞬间，绳子BO 段的中点处有一与绳相对静止的小水滴Ｐ与绳子分离，设绳长BO 远大于滑轮直径，求：小水滴Ｐ恰脱离绳子落地时速度的大小．O ABPvh 30°小水滴P 刚与绳分离时应具有与OB 绳中点相同的速度,这个速度是沿绳速度与绕O 转动速度的合成:vv Pn v Bv Bn小水滴沿绳方向速度即为v 整个OB 段绳有相同绕O 转动角速度,故2BnPnv v =tan30326v v ==则22P pn v vv =+2236v v ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭1312v =2pt pv v gh =+以此速度斜抛落地v P21312v gh =+如图所示，AB 杆以角速度ω绕A 点转动，并带动套在水平杆OC 上的小环M 运动．运动开始时，AB 杆在铅垂位置，设OA =h ，求：⑴小环M 沿OC 杆滑动的速度；⑵小环M 相对于AB 杆运动的速度．OCAh ωMB ⑴经时间t ，杆转过角ωt ，杆AB 上M 点速度:t ωMv 杆cos M hv tωω=⋅杆由线状交叉物系交叉点相关速度特征环M 的速度等于v M 沿杆OC 分量:tωcos MMv v t ω=杆2cos htωω=⑵小环相对于AB 杆的速度大小等于速度v 杆M 沿AB 杆方向分量:tan MM AB v v t ω=杆对2sin cos h t tωωω=方向如图!M ABv 对如图所示，曲柄滑杆机构中，滑杆上有圆弧形滑槽，其半径为R ，圆心在导杆BC 上，曲柄OA 长R ，以角速度ω转动，当机构在图示位置时，曲柄与水平线交角θ=30°，求此时滑杆的速度．COB v Av nVA30曲柄与水平线交角θ=30°时，曲柄滑杆机构上A 点速度:A v R ω=此时滑杆速度设为V ，A 在圆形槽中的转动速度设为v n :A nv V v =+由刚体运动的速度法则,有其中n v R ω=60速度矢量三角形为正△V R ω=R。