2011年普通高等学校招生全国统一考试辽宁数学(文)

合集下载

2011年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学试题 (理科)(解析版)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供理科考生使用）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．a 为正实数，i 为虚数单位，2=+i ia ，则=a （） A ．2 B 3 C 2 D ．12．已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若I N ð=M I ∅，则=N M Y （） A ．M B ．N C ．I D ．∅3．已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（） A ．34 B ．1 C ．54 D ．744．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=ab（）A ．23B ．22C 3D 25．从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件B =“取到的2个数均为偶数”，则P （B ︱A ）=（） A ．18 B ．14 C ．25 D ．126．执行右面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的P 是（） A ．8 B ．5 C ．3 D ．27．设sin1+=43πθ（），则sin 2θ=（） A ．79- B ．19- C ．19 D ．798．如图，四棱锥S —ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确．．．的是（） A ．AC ⊥SB B ．AB ∥平面SCD C ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角9．设函数⎩⎨⎧>-≤=-1,log 11,2)(21x x x x f x ，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是（）A ．1[-，2]B ．[0，2]C ．[1，+∞]D ．[0，+∞]10．若a ，b ，c 均为单位向量，且0=⋅b a ，0)()(≤-⋅-c b c a ，则||c b a -+的最大值为（）A ．12-B ．1C ．2D ．211．函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为（） A ．（1-，1） B ．（1-，+∞） C ．（∞-，1-） D ．（∞-，+∞）12．已知球的直径SC =4，A ，B 是该球球面上的两点，AB =3，ο30=∠=∠BSC ASC ，则棱锥S —ABC 的体积为（）A ．33B ．32C ．3D ．1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知点（2，3）在双曲线C ：)0,0(12222>>=+b a by a x 上，C 的焦距为4，则它的离心率为．13．214．调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年饮食支出y （单位：万元），调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：321.0254.0ˆ+=x y．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加____________万元．14．0.25415．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是．15．2316．已知函数)(x f =A tan （ωx +ϕ）（2||,0πϕω<>），y =)(x f的部分图像如下图，则=)24(πf ．16．3三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10 （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和．17．解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得110,21210,a d a d +=⎧⎨+=-⎩解得11,1.a d =⎧⎨=-⎩故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =- ………………5分（II ）设数列1{}2n n n a n S -的前项和为，即2111,122n n n a a S a S -=+++=L 故， 12.2242n n n S a a a =+++L 所以，当1n >时，1211111222211121()2422121(1)22n n n n n nn n n nS a a a a a a n n------=+++--=-+++--=---L L=.2n n所以1.2n n nS -=综上，数列11{}.22n n n n a n n S --=的前项和 ………………12分18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA =AB =12P D ．（I ）证明：平面PQC ⊥平面DCQ ；（II ）求二面角Q —BP —C 的余弦值．18．解：如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D —xyz.（I ）依题意有Q （1，1，0），C （0，0，1），P （0，2，0）.则(1,1,0),(0,0,1),(1,1,0).DQ DC PQ ===-u u u r u u u r u u u r所以0,0.PQ DQ PQ DC ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC. 故PQ ⊥平面DCQ.又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ. …………6分（II ）依题意有B （1，0，1），(1,0,0),(1,2,1).CB BP ==--u u u r u u u r设(,,)n x y z =是平面PBC 的法向量，则0,0,20.0,n CB x x y z n BP ⎧⋅==⎧⎪⎨⎨-+-=⋅=⎩⎪⎩u u u r u u u r即因此可取(0,1,2).n =--设m 是平面PBQ 的法向量，则0,0.m BP m PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r可取(1,1,1).cos ,5m m n =<>=-所以故二面角Q —BP —C的余弦值为5-………………12分 19．（本小题满分12分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．（I ）假设n =4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X ，求X 的分布列和数学期望；（II ）试验时每大块地分成8小块，即n =8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的2哪一品种？附：样本数据n x x x ,,,21⋅⋅⋅的的样本方差])()()[(1222212x x x x x x ns n -+⋅⋅⋅+-+-=，其中x 为样本平均数．19．解：（I ）X 可能的取值为0，1，2，3，4，且481344482244483144484811(0),708(1),3518(2),358(3),3511(4).70P X C C C P X C C C P X C C C P X C P X C =============== 即X 的分布列为………………4分 X 的数学期望为181881()01234 2.7035353570E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ………………6分（II ）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：222222221(403397390404388400412406)400,81(3(3)(10)4(12)0126)57.25.8x S =+++++++==+-+-++-+++=甲甲………………8分品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：2222222221(419403412418408423400413)412,81(7(9)06(4)11(12)1)56.8x S =+++++++==+-+++-++-+=乙乙………………10分由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙. 20．（本小题满分12分）如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．（I ）设12e =，求BC 与AD 的比值；（II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．20．解：（I ）因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设22222122242:1,:1,(0)x y b y x C C a b a b a a+=+=>>设直线:(||)l x t t a =<，分别与C 1，C 2的方程联立，求得((A t B t ………………4分当1,,,22A B e b y y ==时分别用表示A ，B 的纵坐标，可知 222||3||:||.2||4B A y b BC AD y a === ………………6分（II ）t=0时的l 不符合题意.0t ≠时，BO//AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即a b t t a=-解得222221.ab e t a a b e-=-=---因为221||,01,1, 1.2e t a e e e-<<<<<<又所以解得所以当02e <≤时，不存在直线l ，使得BO//AN ；1e <<时，存在直线l 使得BO//AN. ………………12分 21．（本小题满分12分）已知函数x a ax x x f )2(ln )(2-+-=．（I ）讨论)(x f 的单调性；（II ）设0>a ，证明：当a x 10<<时，)1()1(x af x a f ->+；（III ）若函数)(x f y =的图像与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：f '（x 0）＜0．21．解：（I ）()(0,),f x +∞的定义域为 1(21)(1)()2(2).x ax f x ax a x x+-'=-+-=- （i ）若0,()0,()(0,)a f x f x '≤>+∞则所以在单调增加. （ii ）若10,()0,a f x x a'>==则由得且当11(0,),()0,,()0.x f x x f x aa''∈>><时当时所以1()(0,)f x a 在单调增加，在1(,)a+∞单调减少. ………………4分（II ）设函数11()()(),g x f x f x a a=+--则3222()ln(1)ln(1)2,2()2.111g x ax ax ax a a a x g x a ax ax a x =+---'=+-=+--当10,()0,(0)0,()0x g x g g x a '<<>=>时而所以.故当10x a <<时，11()().f x f x a a+>- ………………8分（III ）由（I ）可得，当0,()a y f x ≤=时函数的图像与x 轴至多有一个交点，故0a >，从而()f x 的最大值为11(),()0.f f a a>且不妨设1212121(,0),(,0),0,0.A x B x x x x x a<<<<<则由（II ）得111211()()()0.f x f x f x a a a-=+->= 从而1221021,.2x x x x x a a+>-=>于是由（I ）知，0()0.f x '< ………………12分请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC =ED ．（I ）证明：CD //AB ；（II ）延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF =EG ，证明：A ，B ，G ，F 四点共圆．22．解：（I ）因为EC=ED ，所以∠EDC=∠ECD.因为A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA. 故∠ECD=∠EBA ，所以CD//AB. …………5分（II ）由（I ）知，AE=BE ，因为EF=FG ，故∠EFD=∠EGC 从而∠FED=∠GEC.连结AF ，BG ，则△EFA ≌△EGB ，故∠FAE=∠GBE ，又CD//AB ，∠EDC=∠ECD ，所以∠FAB=∠GBA. 所以∠AFG+∠GBA=180°.故A ，B ，G ，F 四点共圆 …………10分 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos y x （ϕ为参数），曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （0>>b a ，ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ=α与C 1，C 2各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=2π时，这两个交点重合．（I ）分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；（II ）设当α=4π时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α=4π-时，l 与C 1，C 2的交点为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．23．解：（I ）C 1是圆，C 2是椭圆.当0α=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（1，0），（a ，0），因为这两点间的距离为2，所以a =3. 当2πα=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b ），因为这两点重合，所以b =1.（II ）C 1，C 2的普通方程分别为22221 1.9x x y y +=+=和当4πα=时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为2x =，与C 2交点B 1的横坐标为x '= 当4πα=-时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，因此，四边形A 1A 2B 2B 1为梯形. 故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为(22)()2.25x x x x ''+-= …………10分24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数)(x f =|x -2||-x -5|．（I ）证明：3-≤)(x f ≤3；（II ）求不等式)(x f ≥x 28-x +15的解集． 24．解：（I ）3,2,()|2||5|27,25,3, 5.x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩当25,327 3.x x <<-<-<时所以3() 3.f x -≤≤ ………………5分（II ）由（I ）可知，当22,()815x f x x x ≤≥-+时的解集为空集；当225,()815{|55}x f x x x x x <<≥-+-≤<时的解集为；当25,()815{|56}x f x x x x x ≥≥-+≤≤时的解集为.综上，不等式2()815{|56}.f x x x x x ≥-+-≤≤的解集为 …………10分。

2011年辽宁省高考文科数学试卷及答案（word版）

2011年普通高等学校招全国统一考试（浙江卷）数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页。

满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分（共2页）1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准备考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷个答题纸规定的位置上。

2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

参考公式：如果事件,A B 互斥，那么柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+ v sh =如果事件,A B 相互独立，那么其中s 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式 13v sh = 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设函数2,0,(),0.x x f x x x -≤⎧=⎨⎩ 若()4f α=，则实数α= （A ） —4或—2 （B ） —4或2 （C ）—2或4 （D ）—2或2（2）把负数z 的共轭复数记作i,i 为虚数单位。

若z=1+i,则(1)z z -+∙=（A ）3i - （B ）3i + （C ）13i + （D)3(3)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是 ()()()P A B P A P B ∙=∙（4）下列命题中错误的是（A ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定直线平行于平面β（B ）如果平面α垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β（C ）如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ⋂=，那么l ⊥平面γ（D ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β（5）设实数x 、y 是不等式组，若x 、y 为整数，则34x y +的最小值为（A ）14 （B ）16 （C ）17 （D ）19（6）若02πα<<，02πβ-<<，1cos ()23πα+=，cos ()42πβ-=，则c o s ()2βα+=（A （B ）（C （D ）（7）若a 、b 为实数，则“01ab <<”是“1a b <”或1b a >的（A ）充分二而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）已知椭圆 221221x y C a b =+=（a >b >0）与双曲线 22214y C x =-=有公共的焦点，1C 的一条最近线与以2C 的长轴为直径的圆相交于,A B 来两点。

2011年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国新课标.文)

2011年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（全国新课标.文）参考公式：三角函数的积化和差公式：[]1sin cos sin()sin()2αβαβαβ=++- []1cos sin sin()sin()2αβαβαβ=+--[]1cos cos cos()cos()2αβαβαβ=++-[]1sin sin cos()cos()2αβαβαβ=-+--正棱台、圆台的侧面积公式1()2S c c l ='+台侧其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长．球的体积公式：343V r π=球，其中R 表示球的半径．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}0,1,2,3,4M =，{}1,3,5N =，P M N = ，则PA ．2个B ．4个C ．6个D ．8个2．复数512i i-＝A ．2i -B ．12i -C ．2i -+D ．12i -+3．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是A ．3y x =B ．||1y x =+C ．21y x =-+D ．||2x y -=4．椭圆221168xy+=的离心率为A ．13B ．12C ．3D ．25．执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是A ．120B ．720C ．1440D ．50406．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为A ．13B ．12C ．23D ．347．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ＝A ．45-B ．35-C ．35D ．458．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为A ．B ．C ．D ．9．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A 、B 两点，||12AB =，P 为C 的准线上一点，则△A B P 的面积为A ．18B ．24C ．36D ．4810．在下列区间中，函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭ 11．设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则A ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图像关于直线4x π=对称B ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图像关于直线2x π=对称C ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图像关于直线4x π=对称D ． ()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图像关于直线2x π=对称12．已知函数()y f x =的周期为2，当[]1,1x ∈-时，2()f x x =，那么函数()y f x =的图像与函数|lg |y x =的图像的交点共有A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个正视图侧视图第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a b + 与向量k a b -垂直，则k ＝．14．若变量,x y 满足约束条件329,69,x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则2z x y =+的最小值为．15．△ABC 中，120B = ，7A C =，5A B =，则△ABC 的面积为．16．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点与底面的圆周都在同一球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者孤高的比值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 中，113a =，公比13q =．（1）n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12nn a S -=；（2）设31323log loglogn n b a a a =+++ ，求数列{}n b 的通项公式．18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 为平行四边形，60DAB ∠=，2A B A D =，P D ⊥底面A B C D ．（1）证明：P A ⊥B D ；（2）若1PD AD ==，棱锥D P B C -的高．19．（本小题满分12分）某种产品的质量以其质量指标量衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A 配方的频数分布表B 配方的频数分布表PCD（1）分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；（2）已知用B 配方生产的一件产品的利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为 2,94,2,94102,4,102,t y t t -<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上．（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与直线0x y a -+=交于A 、B 两点，且O A O B ⊥，求a 的值． 21．（本小题满分12分）已知函数ln ()1a xb f x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．（1）求a 、b 的值；（2）证明：当0x >，且1x ≠时，ln ()1x f x x >-．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】如图，,D E 分别为△ABC 的边A B ，A C 上的点，且不与△ABC 重合．已知A E 的长为m ，A C 的长为n ，A D ，A B 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根．（1）证明：,,,C B D E 四点共圆；（2）若90A ∠=，且4,6m n ==，求,,,C B D E 所在圆的半径．D23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,22sin ,x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），M 是1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，P 点的轨迹为曲线2C ．（1）求2C 的方程；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求||AB ．24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】设函数()||3f x x a x =-+，其中0a >．（1）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集；（2）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤-，求a 的值．2011年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（全国新课标.文）参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力13．14．15．16．三、解答题17．。

2011年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）（辽宁卷）解析

2011年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）（辽宁卷）解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．主题1. a 为正实数，i 为虚数单位，2=+iia ，则=a A ．2 B ．3 C ．2 D ．1 难度难度易正确答案B 提示一提示一本题考查复数和模的运算，考查学生基本计算能力，清晰分母实数化是解题的前提. 提示二提示二首先化简复数，然后利用模的运算得到含有a 的等式，进而求解. 提示三提示三 21()12,1a i ai a i +-+==-+=即23a =，又a 为正实数，3a \=. 主题2. 已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若N ð=M I Æ，则=N M A ．MB ．NC ．ID ．Æ难度难度易正确答案A 提示一提示一本题考查韦恩图的应用，考查学生数形结合能力，清晰集合的概念是解题的前提. 提示二提示二根据 N ð=M IÆ画出韦恩图，然后明确.M N提示三提示三作出满足条件的韦恩（Venn ）图，易知M N M = 主题3. 已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，是该抛物线上的两点， =3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为轴的距离为A ．34B ．1 C ．54D ．74难度难度中正确答案C 提示一提示一本题考查抛物线定义的应用，考查学生的等价转换能力，本题考查抛物线定义的应用，考查学生的等价转换能力，利用转化思想得到AM BN AF +=+BF 是解题的关键. 提示二提示二利用梯形的中位线的性质进行过渡求解中点C 的横坐标. 提示三如图，由抛物线的定义知，AM BN AF +=+33,,2BF CD ==所以中点C 的横坐标为315244-=. 主题4. △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin sin cos 2,a A B b A a +=，则=ab I M N F x A y C B N D M 14- O A ．23B ．22C ．3D ．2难度难度易正确答案D 提示一提示一此题考查解三角形，考查学生目标意识能力，清晰正弦定理是解题的前提. 提示二提示二利用正弦定理将已知表达式中的边转化为角是解题的关键. 提示三2sin sin cos 2,a A B b A a += 由正弦定理可得：由正弦定理可得：22sin sin sin cos 2sin ,A B B A A +=sin 2sin B A \=,即2ba= 主题5. 从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A =“取到的2个数之和个数之和为偶数”，事件B =“取到的2个数均为偶数”，则P （B ︱A ）= A ．18B ．14C ．25D ．12难度难度中正确答案B 提示一提示一此题考查古典概率，考查学生识别事件的能力，清晰事件的计算公式是解题的前提. 提示二提示二准确计算出()()P A P AB 、是解题的关键. 提示三222232225541(),()1010C C C P A P AB C C +==== ,()1()()4P AB P B A P A \==. 主题6. 执行右面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的P 是 A ．8 B ．5 C ．3 D ．2 难度难度中正确答案C 提示一提示一本题考查流程图，考查学生的识图能力.清晰框图的流程过程是解题的前提. 提示二提示二抓住流程图的限制条件k n <是解题的关键. 提示三提示三初始值1,0,1,1,p s t k ====循环开始，第一次: 1,1,1,2,p s t k ====第二次:2,1,2,3,p s t k ====第三第三次:3,2,3,4,p s t k ====此时，k n <不成立，跳出循环，输出3p =. 主题7. 设sin 1+=43pq （），则sin 2q = A ．79-B ．19-C ．19D ．79难度难度中正确答案A 提示一此题考查三角函数求值，考查学生划归能力，清晰两角和的公式和二倍角公式是解题的前提. 提示二提示二利用平方技巧过渡是解题的关键. 提示三提示三由1sin(),43p q +=得221sin cos ,223q q +=即2sin cos ,3q q +=两边平方，得两边平方，得21sin 2,9q +=7sin 29q \=-. 主题8. 如图，四棱锥S —ABCD 的底面为正方形，SD ^底面ABCD ，则下列结论中不正确．．．的是的是 A ．AC ⊥SB B ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角所成的角 D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角所成的角难度难度中正确答案D 提示一提示一此题考查立体几何的位置关系和角的判断，考查学生的空间形象能力.清晰线面垂直的性质定理、线面平行的判定定理和线面角、异面直线所成的角的定义是解题的前提. 提示二提示二采用逐一判断的方法进行分析. 提示三,,,SD ABCD AC ABCD SD AC ABCD ^Ì\^ 面面又为正方形，为正方形， ,,AC BD SD BD D \^Ç=又,.AC SBD AC SB \^^面故A 对；对；,,AB CD CD CDS AB CDS AB SCD Ì\ ∥面在面外，∥面,故B 对；对；设,AC BD O Ç=由上面的分析知，A S O C S O ÐÐ与分别是,S A S B D S C S B D 与面与面所成的角，易知A S OC S O ÐÐ与相等，故C 对；选D. 主题9. 设函数îíì>-£=-1,log 11,2)(21x x x x f x，则满足2)(£x f 的x 的取值范围是的取值范围是A ．1[-，2] B ．[0，2] C ．[1，+¥] D ．[0，+¥] 难度难度中正确答案D 提示一提示一此题考查分段函数的性质，考查学生转化能力，清晰分段函数的性质是解题的前提. 提示二提示二判断函数在定义域上的单调性是解题的关键. 提示三提示三易知，()f x R 在上是减函数，由122,0,xx -==得所以x 的取值范围是[)0+¥，. 主题10. 若a ，b ，c 均为单位向量，且0=×b a ，0)()(£-×-c b c a ，则||c b a -+的最大值为的最大值为 A ．12-B ．1 C ．2D ．2 难度难度难正确答案B 提示一提示一此题考查向量模的最值.考查学生运算能力.清晰数量积的运算是解题的前提. 提示二提示二利用将||c b a -+平方的技巧进行转化是解题的关键. 提示三2)()()1()0,a c b c a b a b c c a b c -×-=×-+×+=-+×£ （()1;a b c \+×³222222()2()2()32()a b c a b a b c c a b c a b c a b c +-=+-+×+=++-+×=-+×321£-=. 主题11. 函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R Îx ，2)(>¢x f ，则42)(+>x x f 的解集为的解集为 A ．（1-，1） B ．（1-，+¥） C ．（¥-，1-） D ．（¥-，+¥）难度难度中正确答案B 提示一提示一此题考查不等式的解法，考查学生构造能力，通过42)(+>x x f 构造函数()()(24)h x f x x =-+是解题的前提. 提示二提示二利用求导判断函数()()(24)h x f x x =-+单调性是解题的关键. 提示三设''()()(24),()()2h x f x x h x f x =-+=-则0>,故()h x R 在上单调递增，又上单调递增，又(1)(1)20h f -=--=所以当1x >-时，()0h x >，即()24f x x >+. 主题12. 已知球的直径SC =4，A ，B 是该球球面上的两点，AB =3，30ASC BSC Ð=Ð=，则棱锥S —ABC 的体积为体积为 A ．33B ．32C ．3D ．1 难度难度难正确答案C 提示一提示一此题考查棱锥的体积，考查学生的画图能力和空间想象能力.利用题设条件准确画出图形是解题的前提. 提示二提示二明确三棱锥的底面面积和高是解题的关键. 提示三提示三如图，过AB 作与直径SC 垂直的球的截面，交SC 于点D ，在Rt SACD 中，c o s30=23s i n 30=3S AS C A D S A =×=×，，同理3,BD ABD =D 故为正三角形.13313333sin 60=432434ABDS ABC SV D -=´´=´´=，故. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．主题13. 已知点（2，3）在双曲线C ：)0,0(12222>>=+b a b y a x 上，C 的焦距为4，则它的离心率为，则它的离心率为．难度难度易正确答案正确答案 2 提示一提示一此题考查双曲线的离心率，考查学生基本知识掌握情况，清晰双曲线的几何性质是解题的前提. 提示二提示二利用点在曲线上和焦距得到方程组是解题的关键. 提示三22491a b -=与224a b +=联立，求得1a =，所以2c e a==. 主题14. 调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年饮食支出y （单位：万元），调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：321.0254.0ˆ+=x y．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加____________万元．万元．难度难度易正确答案0.254 S D A B C 提示一提示一此题考查回归方程，考查学生的基础知识掌握情况，清晰归回方程的含义是解题的前提. 提示二提示二利用321.0254.0ˆ+=x y求解“年饮食支出平均增加量”是解题的关键. 提示三提示三家庭收入每增加1万元，对应的回归直线方程中的x 增加1，相应的ˆy的值增加0.254，即年饮食支出平均增加0.254万元. 主题15. 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是．难度难度中正确答案中正确答案 23提示一提示一此题考查几何体的三视图，考查学生的分析解决问题能力和空间形象能力，清晰三视图的观察方法是解题的前提. 提示二提示二根据俯视图和左视图得到几何体的性质是解题的关键. 提示三如图，设底面边长为a ，则侧棱长也为a ，23234a a ×=，故38,2a a ==.左视图与矩形11DCC D 相同，113232DCC D Sa a =×=四边形. 主题16. 已知函数)(x f =A tan （w x +j ）（2||,0pj w <>），y =)(x f 的部分图像如下图，则=)24(p f ．难度难度中正确答案3提示一提示一此题考查函数解析式，考查学生视图能力，清晰A w j 、、的含义是解题的前提. 提示二提示二利用函数图象得到周期，利用点308p（，）代入解析式确定j ，利用（0,1）代入解析式确定A ，进而明确函数的解析式，然后求()24f p . 提示三提示三由图知，3=-==22882T T p p p w \\，，,()tan(2),f x A x j \=+将308p （，）代入得，3tan(2+=08A p j ´）即3tan()0,4p j +=又j 2p <，=4p j \.()sin(2).4f x A x p \=+又(0)1,tan1, 1.()tan(2)tan 3.4242443f A A f ppp p p=\=\=\=´+==三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．主题17．（本小题满分12分）分）已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10 （I ）求数列{a n }的通项公式；的通项公式；1C 1D 1AA B C D 1B（II ）求数列þýüîíì-12n n a 的前n 项和．项和．难度难度中正确答案（I ）2n a n =-；（II ）1.2n n n S -= 提示一提示一本题考查等差数列的通项公式和递推数列数列求和，考查学生应用方程思想的解题能力和划归能力.清晰等差数列的基本量思想以及错位相减法是解题的前提. 提示二提示二 (1)中，利用等差数列的通项公式得到两个方程，解得1a d 、；（2）中通过观察数列的通项公式的结构特点，采用错位相减法求þýüîíì-12n n a 的前n 项和. 提示三提示三（I ）设等差数列{}na 的公差为d ，由已知条件可得110,21210,a d a d +=ìí+=-î解得11,1.a d =ìí=-î故数列{}n a 的通项公式为2.na n =- ………………5分（II ）设数列1{}2n n n a n S -的前项和为，即2111,122n n n a a S a S -=+++= 故， 12.2242n n nS a a a =+++所以，当1n >时，时，1211111222211121()2422121(1)22n n n n n n n nn nS a a a a a a nn------=+++--=-+++--=--- =.2n n 所以1.2n n n S -= 综上，数列11{}.22n nn n a n n S --=的前项和 ………………12分主题18. （本小题满分12分）分）如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA =AB =12PD ．（I ）证明：平面PQC ⊥平面DCQ ；（II ）求二面角Q —BP —C 的余弦值．的余弦值．难度难度中正确答案（I ）详见提示; （II ）1515..5-提示一提示一此题考查面面垂直的证明和二面角的求解.考查学生的空间想象能力和利用空间向量处理问题的能力.清晰面面垂直的判定定理和利用向量法求解二面角的步骤是解题的前提. 提示二提示二 (1)利用数量积为0，证明PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC ，然后利用线面垂直证明面面垂直；（2）确定两个半平面的法向量，利用向量夹角公式求解二面角的余弦值. 提示三提示三如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D —xyz. （I ）依题意有Q （1，1，0），C （0，0，1），P （0，2，0）. 则1(1,1,1,0),(0,0,1),1(1,,1,0).DQ DC PQ ===-所以0,0.PQ DQ PQ DC ×=×=即,,PQ DQ PQ DC ^^ 故PQ ⊥平面DCQ. 又PQ Ì平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ. …………6分（II ）依题意有B （1，0，1），(1,0),(12,1).C B B P ==--设(,,)n x y z =是平面PBC 的法向量，则0,0,20.0,n CB x x y z n BP ì×==ìïíí-+-=×=îïî即因此可取(0,1,2).n =--设m 是平面PBQ 的法向量，则0,0.m BP m PQ ì×=ïí×=ïî可取15(1,1,1).cos ,.5m m n =<>=-所以故二面角Q —BP —C 的余弦值为15.5- ………………12分主题19. （本小题满分12分）分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．小块地种植品种乙．（I ）假设n =4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X ，求X 的分布列和数学期望；的分布列和数学期望；（II ）试验时每大块地分成8小块，即n =8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm 2）如下表：如下表：品种甲品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406 品种乙品种乙 419 403 412 418 408 423 400 413 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据n x x x ,,,21×××的的样本方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-+××××××++-，其中x 为样本平均数．难度难度中正确答案（I ）2; （II ）选择种植品种乙）选择种植品种乙提示一提示一此题考查随机变量的分布列期望以及样本平均数和样本方差.考查学生的对事件的识别能力和计算能力.确定X 的取值和准确记忆期望、样本平均数和样本方差的计算公式是解题的前提. 提示二提示二(1)(1)(1)根据题意，明确根据题意，明确X 的取值，利用随机事件的概率公式mP n=进行计算，然后利用期望公式求解；（2）利用样本平均数和样本方差的公式分别计算两种情况下数值，通过数值大小比较确定选择哪一种品种. 提示三（I ）X 可能的取值为0，1，2，3，4，且，且132244444448883144448811818(0),(1),(2),703535811(3),(4).3570C C C C P X P X P X C C C C CP X P X C C =============== 即X 的分布列为的分布列为………………4分X 的数学期望为的数学期望为181881()01234 2.7035353570E X =´+´+´+´+´= ………………6分（II ）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：222222221(403397390404388400412406)400,81(3(3)(10)4(12)0126)57.25.8x S =+++++++==+-+-++-+++=甲甲 ………………8分品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：2222222221(419403412418408423400413)412,81(7(9)06(4)11(12)1)56.8x S =+++++++==+-+++-++-+=乙乙………………10分由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，且两品种的样本方差差异不大，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种故应该选择种植品种乙. ………………12分主题20. 如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．（I ）设12e=，求BC 与AD 的比值；的比值；（II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．，并说明理由．难度难度难正确答案（I ）3.4（II ）当202e <£时，不存在直线l ，使得BO//AN ；当212e <<时，存在直线l 使得BO//AN. 提示一提示一此题考查椭圆和直线的位置关系和探索性问题.考查学生对数形结合和分类讨论的理解，以及计算能力.利用直线和椭圆联立得到交点坐标和BO//AN 得到斜率相等是解答本题的前提. 提示二提示二 (1)根据离心率相同设出两个椭圆方程,利用直线l 和椭圆联立，确定A 和B 的坐标，进而表示出BC 与AD ；（2）利用BO//AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，得到e t 、的表达关系式，通过t 的范围和函数关系确定e 范围，进而明确是否存在直线l ，使得BO ∥AN . 提示三（I ）因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设的离心率相同，故依题意可设22222122242:1,:1,(0)x y b y x C C a b a b a a +=+=>>设直线:(||)l x t t a =<，分别与C 1，C 2的方程联立，求得的方程联立，求得2222(,),(,).a b A t a t B t a t ba-- ………………4分当13,,,22A B e b a y y ==时分别用表示A ，B 的纵坐标，可知的纵坐标，可知 222||3||:||.2||4BA y b BC AD y a === ………………6分（II ）t=0时的l 不符合题意.0t ¹时，BO//AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即相等，即2222,b a a t a t abtt a--=- 解得222221.ab e t a a b e -=-=-×-因为2212||,01,1, 1.2e t a e e e-<<<<<<又所以解得所以当202e <£时，不存在直线l ，使得BO//AN ；当212e <<时，存在直线l 使得BO//AN. ………………12分主题21. 已知函数x a ax x x f )2(ln )(2-+-=．（I ）讨论)(x f 的单调性；（II ）设0>a ，证明：当ax 10<<时，)1()1(x af x af ->+；（III ）若函数)(x f y =的图像与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：f ¢（x 0）＜0．难度难度难正确答案正确答案 (1)1()(0,)f x a在单调增加，在1(,)a+¥单调减少. （II ）（III ）详见提示.提示一提示一本题考查函数的单调性、不等式的证明.考查学生灵活应用分类讨论思想、等价转换思想的能力和构造函数证明不等式的解题能力清晰导数法研究函数的单调性、构造函数11()()()g x f x f x a a =+--和借助前一二问结论解决第三问的意识是解题的前提. 提示二(1)首先明确函数的定义域，利用求导和对a 进行分类确定数函数的的单调区间；（2用）利用构构造函数11()()(),g x f x f x a a=+--通过求导确定其最小值大于0；（3）借助第一问和第二问的结论进行证明. 提示三（I ）()(0,),f x +¥的定义域为 1(21)(1)()2(2)x ax f x ax a x x +-¢=-+-=-（i ）若0,()0,()(0,)a f x f x ¢£>+¥则所以在单调增加. （ii ）若10,()0,a f x x a¢>==则由得且当11(0,),()0,,()0.x f x x f x a a¢¢Î>><时当时所以1()(0,)f x a在单调增加，在1(,)a+¥单调减少. ………………4分（II ）设函数11()()(),g x f x f x a a=+--则3222()ln(1)ln(1)2,2()2.111g x ax ax ax a aa x g x a ax axa x =+---¢=+-=+-- 当10,()0,(0)0,()0x g x g g x a¢<<>=>时而所以. 故当10x a <<时，11()().f x f x a a+>- ………………8分（III ）由（I ）可得，当0,()a y f x £=时函数的图像与x 轴至多有一个交点，轴至多有一个交点，故0a >，从而()f x 的最大值为11(),()0.f f a a>且不妨设1212121(,0),(,0),0,0.A x B x x x x x a<<<<<则由（II ）得111211()()()0.f x f x f x aa a-=+->=从而1221021,2x x x x x a a +>-=>于是由（I ）知，0()0.f x ¢< ………………12分主题22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲：几何证明选讲如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC =ED ．（I ）证明：CD //AB ；（II ）延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF =EG ，证明：A ，B ，G ，F四点共圆．四点共圆．难度难度中正确答案（I ）（II ）详见提示. 提示一提示一此题考查平面几何的线线证明和证明四点共圆.考查学生的转化划归能力和平面想象能力.清晰圆的几何性质和证明四点共圆的方法是解题的前提. 提示二提示二 (1)通过同位角相等证明线线平行；（2）通过证明三角形△EFA ≌△EGB ，进而证明∠AFG+∠GBA=180°，达到证明四点共圆的目的. 提示三（I ）因为EC=ED ，所以∠EDC=∠ECD. 因为A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA. 故∠ECD=∠EBA ，所以CD//AB. …………5分（II ）由（I ）知，AE=BE ，因为EF=FG ，故∠EFD=∠EGC 从而∠FED=∠GEC. 连结AF ，BG ，则△EFA ≌△EGB ，故∠FAE=∠GBE ，又CD//AB ，∠EDC=∠ECD ，所以∠FAB=∠GBA. 所以∠AFG+∠GBA=180°. 故A ，B ，G ，F 四点共圆四点共圆 …………10分主题23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为îíì==j j sin cos y x （j 为参数），曲线C 2的参数方程为îíì==jj sin cos b y a x （0>>b a ，j 为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ=a 与C 1，C 2各有一个交点．当a =0时，这两个交点间的距离为2，当a =2p时，这两个交点重合．时，这两个交点重合．（I ）分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；的值；（II ）设当a =4p时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当a =4p -时，l 与C 1，C 2的交点为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．的面积．难度难度中正确答案（I ）详见提示.（II ）2.5提示一提示一此题考查坐标系与参数方程，直线与椭圆相交.考查学生的转化能力和计算能力，以及分类讨论思想的应用.清晰参数方程化为普通方程的方法是解题的前提. 提示二(1)利用参数方程化为普通方程的方法确定曲线的轨迹方程，然后根据a 的不同取值，得到交点坐标，进而明确a 与b 的值（2）根据普通方程和射线l 联立，得到交点坐标，明确四边形A 1A 2B 2B 1为梯形，利用面积公式求解. 提示三（I ）C 1是圆，C 2是椭圆. 当0a =时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（1，0），（a ，0），因为这两点间的距离为2，所以a =3. 当2p a =时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b ），因为这两点重合，所以b =1. （II ）C 1，C 2的普通方程分别为22221 1.9x x y y +=+=和当4p a =时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为22x =，与C 2交点B 1的横坐标为310.10x ¢= 当4pa =-时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，轴对称，因此四边形因此四边形A 1A 2B 2B 1为梯形. 故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为(22)()2.25x x x x ¢¢+-= …………10分主题24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲：不等式选讲已知函数)(x f =|x -2||-x -5|．（I ）证明：3-≤)(x f ≤3；（II ）求不等式)(x f ≥x 28-x +15的解集．的解集．难度难度中正确答案（I ）详见提示. （II ）{|536}.x x -££提示一提示一此题考查绝对值不等式的解法.考查学生的计算能力和转化能力，以及分类讨论思想的灵活应用.去掉函数中的绝对值是解答本题的前提. 提示二(1)利用零点分段法,分析函数的值域，进而证明不等式；（2）采用分类讨论的方法，通过解二次不等式，探求不等式)(x f ≥x 28-x +15的解集．的解集．提示三（I ）3,2,()|2||5|27,25,3, 5.x f x x x x x x -£ìï=---=-<<íï³î当25,327 3.x x <<-<-<时所以3() 3.f x -££ ………………5分（II ）由（I ）可知，）可知，当22,()815x f x x x £³-+时的解集为空集；的解集为空集；当225,()815{|535}x f x x x x x <<³-+-£<时的解集为；当25,()815{|56}x f x x x x x ³³-+££时的解集为. 综上，不等式2()815{|536}.f x x x x x ³-+-££的解集为 …………10分。

2011年辽宁高考数学试题及答案(文科)

2011年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（文科）（辽宁卷）解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．主题1. 已知集合A ={x 1|>x }，B ={x 21|<<-x }}，则A B = A ．{x 21|<<-x }B ．{x 1|->x }C ．{x 11|<<-x }D ．{x 21|<<x } 难度易正确答案D提示一本题考查集合运算.考查学生基础知识.清晰交集运算是解题的前提. 提示二借助数轴画出两个集合的区域，则重合的部分即为A B. 提示三{}{}{}=1,12,12.A x x B x x A B x x >=-<<∴=<< 主题2. i 为虚数单位，=+++7531111ii i i A ．0 B ．2i C ．i 2- D ．4i 难度易正确答案A提示一此题考查复数运算.考查学生的基本运算能力.清晰ni 的化简是解题的前提. 提示二利用01231,,1,i i i i i i ===-=-进行化简求值是解题的关键. 提示三35724421111111111110i i i i i i i i i i i i i i i i+++=+++=-+-=⋅⋅⋅⋅. 主题3. 已知向量)1,2(=a ，),1(k -=b ，0)2(=-⋅b a a ，则=k A ．12- B ．6-C ．6D ．12 难度易正确答案D提示一此题考查向量的坐标运算，考查学生的运算能力.清晰向量和数量积的坐标运算是解题的前提.提示二利用向量的坐标运算化简2,a b - 然后利用数量积的坐标运算化简(2)a a b ⋅-，进而得到含有k 的等式，解之.提示三 2(4,2)(1,)(5,2)a b k k -=--=-,(2)(2,1)(5,2)10212.a a b k k k ∴⋅-=⋅-=+-=- 又(2)0,120,12.a a b k k ⋅-=∴-=∴=主题4. 已知命题P ：∃n ∈N ，2n ＞1000，则⌝P 为 A ．∀n ∈N ，2n ≤1000 B ．∀n ∈N ，2n ＞1000 C ．∃n ∈N ，2n ≤1000D ．∃n ∈N ，2n ＜1000 难度易正确答案A提示一此题考查特称命题的否定，考查学生对基础知识的掌握.清晰否定量词的使用是解题的前提.提示二利用特称命题的否定为全称命题是解题的关键.提示三特称命题的否定为全称命题，“∃”变“∀”，“ >”变“≤”，故选A. 主题5. 若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2B ．4C ．8D ．16 难度中正确答案B提示一此题考查等比数列的公比.考查学生应用基本量思想解题的能力.清晰等比数列的通项公式是解题的前提.提示二采用赋值法，令1,2n =得到两个等量关系进行求解. 提示三令1n =得1216a a =;令2n =得22316a a =；两式相除得23116,16,4a q q a ==∴=±.由1216a a =知0 4.q q >∴=，主题6. 若函数))(12()(a x x xx f -+=为奇函数，则a =A ．21B ．32C ．43D ．1 难度中正确答案A提示一本题考查奇函数的性质.考查学生转化能力和计算能力.清晰奇函数的性质()()f x f x =--是解题的前提.提示二利用函数为奇函数则有()()f x f x =--恒成立进行转化是解题的关键.提示三()f x 为奇函数，()(),f x f x ∴=--即(21)()(21)()x xx x a x x a =+--+--恒成立，整理得：12a =,故选A. 7．已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为A ．34B ．1C ．54D ．74主题8. 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 A ．4 B ．32 C ．2D ．3 难度中正确答案B提示一此题考查几何体的三视图，考查学生的分析解决问题能力和空间形象能力，清晰三视图的观察方法是解题的前提.提示二根据俯视图和左视图得到几何体的性质是解题的关键. 提示三由题意可设棱柱的底面边长为a ，则其体积为2323, 2.4a a a ⋅==得由俯视图易知，三棱柱的左视图是以2为长，3为宽的矩形，所以其面积为23，故选B. 9．执行右面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的P 是 A ．8 B ．5 C ．3 D ．2主题10. 已知球的直径SC=4，A ，B 是该球球面上的两点，AB=2， ∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S-ABC 的体积为 A ．33B ．233C ．433 D ．533难度中正确答案C提示一此题考查棱锥的体积.考查学生的画图能力和空间想象能力.利用题设条件准确画出图形是解题的前提.提示二采用分割的技巧求体积是解题的关键.提示三如图所示，连接OA,OB(O 为球心)，2,AB OAB =∴∆ 为正三角形，又45BSC ASC ∠=∠=且SC 为直径，ASC BSC ∴∆∆与均为等腰直角三角形，BOASC,,,BO SC AO SC AO BO O SC ABO ∴⊥⊥=∴⊥ 又面.11343()44,3343S ABC C OAB S OAB OAB V V V S SO OC ---∆∴=+=⋅⋅+=⨯⨯⨯=故选C.11．函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为 A ．（1-，1） B ．（1-，+∞）C ．（∞-，1-）D ．（∞-，+∞）主题12. 已知函数)(x f =A tan （ωx +ϕ）（2||,0πϕω<>），y =)(x f 的部分图像如下图，则=)24(πfA ．2+3B ．3C ．33D ．23- 难度中正确答案B提示一此题考查函数解析式，考查学生的识图和用图能力，清晰A ωϕ、、的含义是解题的前提.提示二利用图象得到周期，利用点308π（，）代入解析式确定ϕ，利用（0,1）代入解析式确定A ，进而明确函数的解析式，然后求()24f π.提示三由图知，3=-==22882T T πππω∴∴，，,()tan(2),f x A x ϕ∴=+将308π（，）代入得，3tan(2+=08A πϕ⨯）即3tan()0,4πϕ+=又ϕ2π<，=4πϕ∴.()sin(2).4f x A x π∴=+又(0)1,tan1, 1.()tan(2)tan 3.4242443f A A f πππππ=∴=∴=∴=⨯+== 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．主题13. 已知圆C 经过A （5，1），B （1，3）两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为___________ 难度中正确答案 22(2)10x y -+=提示一此题考查圆的方程.考查学生对待定系数法的掌握情况.清晰圆的几何性质是解题的前提. 提示二应用弦AB 的垂直平分线过圆心的性质是解题的关键. 提示三由题意，线段AB 的中点(3,2)M ,1,2AB k =-∴线段AB 中垂线所在直线方程为22(3)y x -=-,由22(3),0y x y -=-⎧⎨=⎩得圆心20（，），则圆C 的半径 22(21)(03)10,r =-+-=故圆C 的方程为22(2)10x y -+=.14．调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年饮食支出y （单位：万元），调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程321.0254.0ˆ+=x y．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加 ____________万元．主题15. S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2=S 6，a 4=1，则a 5=____________．难度易正确答案1-提示一此题考查等差数列的性质.考查学生应用方程思想解题的能力.清晰等差数列的求和公式和通项公式是解题的前提.提示二利用基本量思想确定等差数列的首项和公差是解题的关键. 提示三（法一）设等差数列{}n a 首项为1a ，公差为d26112165,26,22S S a d a d ⨯⨯=∴+=+ 11414,27a d a d ∴=-=-，又41131,13,a a d a d =+=∴=-12(13)7,2,7d d d a ∴-=-∴=-=5154781,1a a d a ∴=+=-=-∴=-提示四（法二）26,S S = 即121234563456,0a a a a a a a a a a a a +=+++++∴+++=，即452()0a a +=，541a a ∴=-=-.主题16. 已知函数a x e x f x +-=2)(有零点，则a 的取值范围是___________．难度中正确答案 (],2ln22-∞-提示一本题考查函数的零点.考查学生的等价转化能力和计算能力.清晰导数法研究函数的性质是解题的前提.提示二利用“函数()f x 有零点，则min ()0f x ≤”是解题的关键.提示三 '()2,()2x x f x e x a f x e =-+∴=- ，令'()0f x =，得ln 2x =，当ln 2x <时，'()0,()f x f x <在(),ln 2-∞上是减函数当ln 2x >时，'()0,()f x f x >在()ln 2,+∞上是增函数，故min ()(ln 2)2ln 2f x f a ==-+，若函数()f x 有零点，则min ()0f x ≤，即2ln 20,2ln 22a a -+≤∴≤-. 三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．主题17. （本小题满分12分）△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =2a ．（I ）求b a；（II ）若c 2=b 2+3a 2，求B ．难度中正确答案（I ）2；（II ）45提示一此题考查解三角形.考查学生灵活应用正弦定理和余弦定理解题的能力.清晰正弦定理和余弦定理的转化作用是解题的前提.提示二（1）利用正弦定理将边转化为角进行化简；（2）利用余弦定理和第一问的结论进行转化求解.提示三（I ）由正弦定理得，22sin sin cos 2sin A B A A +=，即22sin (sin cos )2sin B A A A +=故sin 2sin , 2.bB A a==所以………………6分（II ）由余弦定理和222(13)3,cos .2ac b a B c+=+=得由（I ）知222,b a =故22(23).c a =+可得212cos ,cos 0,cos ,4522B B B B =>== 又故所以 …………12分主题18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA =AB =12PD ．（I ）证明：PQ ⊥平面DCQ ；（II ）求棱锥Q —ABCD 的的体积与棱锥P —DCQ 的体积的比值．难度中正确答案（I ）详见提示；（II ）1.提示一此题考查线面垂直的证明和棱锥的体积.考查学生的空间想象能力和转化能力.清晰线面垂直的判定定理和棱锥的体积公式是解题的前提.提示二(1)借助几何图形的特点，利用垂直关系的转化证明PQ ⊥DC 和PQ ⊥QD 是解题的关键；（2）确定AQ 为棱锥Q —ABCD 的高和PQ 为棱锥P —DCQ 的高是解题的关键.提示三（I ）由条件知PDAQ 为直角梯形,因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD.又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ，所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC.在直角梯形PDAQ 中可得DQ=PQ=22PD ，则PQ ⊥QD 所以PQ ⊥平面DCQ. ………………6分（II ）设AB=a .由题设知AQ 为棱锥Q —ABCD 的高，所以棱锥Q —ABCD 的体积311.3V a = 由（I ）知PQ 为棱锥P —DCQ 的高，而PQ=2a ，△DCQ 的面积为222a ，所以棱锥P —DCQ 的体积为321.3V a =故棱锥Q —ABCD 的体积与棱锥P —DCQ 的体积的比值为1.…………12分主题19. 某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．（I ）假设n =2，求第一大块地都种植品种甲的概率；（II ）试验时每大块地分成8小块，即n =8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm 2）如下表：品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406 品种乙419403412418408423400413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据n x x x ,,,21⋅⋅⋅的的样本方差])()()[(1222212x x x x x x ns n -+⋅⋅⋅+-+-=，其中x 为样本平均数．难度中正确答案（I ）16; （II ）选择种植品种乙提示一此题考查古典型概率以及样本平均数和样本方差.考查学生的对事件的识别能力和计算能力.清晰古典型概率和准确记忆期望、样本平均数和样本方差的计算公式是解题的前提. 提示二(1)利用随机事件的概率公式mP n=进行计算；（2）利用样本平均数和样本方差的公式分别计算两种情况下数值，通过数值大小比较确定选择哪一种品种.提示三（I ）设第一大块地中的两小块地编号为1，2，第二大块地中的两小块地编号为3，4，令事件A=“第一大块地都种品种甲”.从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个；（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）. 而事件A 包含1个基本事件：（1，2）. 所以1().6P A =………………6分（II ）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：222222221(403397390404388400412406)400,81(3(3)(10)4(12)0126)57.25.8x S =+++++++==+-+-++-+++=甲甲………………8分品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：2222222221(419403412418408423400413)412,81(7(9)06(4)11(12)1)56.8x S =+++++++==+-+++-++-+=乙乙………………10分由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙. 19．（本小题满分12分）主题 20．（本小题满分12分）设函数)(x f =x +ax 2+b ln x ，曲线y =)(x f 过P （1,0），且在P 点处的切斜线率为2．（I ）求a ，b 的值；（II ）证明：)(x f ≤2x -2．难度中正确答案（I ）1, 3.a b =-=（II ）详见提示.提示一此题考查导数的几何含义和不等式的证明.考查学生灵活应用等价转换思想的能力和构造函数证明不等式的解题能力.清晰导数的几何含义和导数法的应用是解题的前提.提示二(1)利用切线的斜率等于在该点处得导数和点在曲线上联立方程，求解a ，b 的值；（2）利用构造函数()()(22)g x f x x =--，然后借助求导研究函数的最大值，达到证明不等式的目的. 提示三（I ）()12.bf x ax x'=++…………2分由已知条件得(1)0,10,(1) 2.12 2.f a f a b =+=⎧⎧⎨⎨'=++=⎩⎩即解得1, 3.a b =-= ………………5分（II ）()(0,)f x +∞的定义域为，由（I ）知2()3ln .f x x x x =-+设2()()(22)23ln ,g x f x x x x x =--=--+则3(1)(23)()12.x x g x x x x-+'=--+=- 01,()0;1,()0.()(0,1),(1,).x g x x g x g x ''<<>><+∞当时当时所以在单调增加在单调减少而(1)0,0,()0,()2 2.g x g x f x x =>≤≤-故当时即 ………………12分 21．（本小题满分12分）如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．（I ）设12e =，求BC 与AD 的比值；（II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．解：（I ）因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设22222122242:1,:1,(0)x y b y x C C a b a b a a+=+=>> 设直线:(||)l x t t a =<，分别与C 1，C 2的方程联立，求得2222(,),(,).a b A t a t B t a t b a-- ………………4分当13,,,22A B e b a y y ==时分别用表示A ，B 的纵坐标，可知 222||3||:||.2||4B A y b BC AD y a === ………………6分（II ）t=0时的l 不符合题意.0t ≠时，BO//AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即2222,b a a t a t a b t t a--=- 解得222221.ab e t a a b e-=-=-⋅- 因为2212||,01,1, 1.2e t a e e e-<<<<<<又所以解得所以当202e <≤时，不存在直线l ，使得BO//AN ；当212e <<时，存在直线l 使得BO//AN. ………………12分请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC =ED ．（I ）证明：CD //AB ；（II ）延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF =EG ，证明：A ，B ，G ，F 四点共圆．解：（I ）因为EC=ED ，所以∠EDC=∠ECD.因为A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA.故∠ECD=∠EBA ，所以CD//AB. …………5分（II ）由（I ）知，AE=BE ，因为EF=FG ，故∠EFD=∠EGC从而∠FED=∠GEC.连结AF ，BG ，则△EFA ≌△EGB ，故∠FAE=∠GBE ，又CD//AB ，∠EDC=∠ECD ，所以∠FAB=∠GBA.所以∠AFG+∠GBA=180°.故A ，B ，G ，F 四点共圆 …………10分23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos y x （ϕ为参数），曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （0>>b a ，ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ=α与C 1，C 2各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=2π时，这两个交点重合．（I ）分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；（II ）设当α=4π时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α=4π-时，l 与C 1，C 2的交点为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．解：（I ）C 1是圆，C 2是椭圆.当0α=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（1，0），（a ，0），因为这两点间的距离为2，所以a =3.当2πα=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b ），因为这两点重合，所以b =1.（II ）C 1，C 2的普通方程分别为22221 1.9x x y y +=+=和当4πα=时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为22x =，与C 2交点B 1的横坐标为 310.10x '= 当4πα=-时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，因此，四边形A 1A 2B 2B 1为梯形.故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为(22)()2.25x x x x ''+-= …………10分24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数)(x f =|x -2||-x -5|．（I ）证明：3-≤)(x f ≤3；（II ）求不等式)(x f ≥x 28-x +15的解集．解：（I ）3,2,()|2||5|27,25,3, 5.x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩当25,327 3.x x <<-<-<时所以3() 3.f x -≤≤ ………………5分（II ）由（I ）可知，当22,()815x f x x x ≤≥-+时的解集为空集；当225,()815{|535}x f x x x x x <<≥-+-≤<时的解集为；当25,()815{|56}x f x x x x x ≥≥-+≤≤时的解集为.综上，不等式2()815{|536}.f x x x x x ≥-+-≤≤的解集为 …………10分。

2011年辽宁卷(文科数学)

2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（辽宁卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1}A x x =>，{12}B x x =-<<，则A B =IA ．{12}x x -<<B ．{1}x x >-C ．{11}x x -<<D ．{12}x x <<2.i 为虚数单位，3571111i i i i+++=A ．0B ．2iC ．2i -D ．4i3.已知向量(2,1)a =r ，(1,)b k =-r ，(2)0a a b ⋅-=r r r，则k =A ．12-B ．6-C ．6D ．12 4.已知命题p ：n N ∃∈，21000n >，则p ⌝为A ．n N ∀∈，21000n ≤B ．n N ∀∈，21000n >C ．n N ∃∈，21000n ≤D ．n N ∃∈，21000n < 5.若等比数列{}n a 满足116n n n a a +=，则公比为A ．2B ．4C ．8D ．16 6.若函数()(21)()xf x x x a =--为奇函数，则a =A ．12B ．23C ．34D ．17.已知F 是抛物线2y x =的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为A.34B.1C.54D.748.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是A ．4 B．．2 D9.执行右面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的p 是12.已知球的直径4SC =，A ,B是该球球面上的两点，AB =ASC BSC ∠=∠45=o ，则棱锥S ABC -的体积为A．3 B．3 C．3 D．311.函数()f x 的定义域为R ，(1)2f -=，对任意x R ∈,，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为A.(1,1)-B.(1,)-+∞C.(,1)-∞-D.(,)-∞+∞ 16.已知函数()tan()f x A x ωϕ=+（0ω>＞0，2πω<），()y f x =的部分图像如下图，则()24f π=A．2 B．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知圆C 经过(5,1)A ，(1,3)B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为 . 14.调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年饮食支出y （单位：万元），调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：$0.2540.321y x =+.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加万元.15.n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，26S S =，41a =，则5a = . 16.已知函数()2x f x e x a =-+有零点，则a 的取值范围是 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第1721:题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22，23，24题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）若ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .2sin sin cos a A B b A +2a =.（Ⅰ）求ab；（Ⅱ）若2223c b a =+，求B . 18.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，12QA AB PD ==. （Ⅰ）证明：PQ ⊥平面DCQ ；（Ⅱ）求棱锥Q ABCD -的体积与棱锥P DCQ -的体积的比值.PDBC19.（本小题满分12分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验.选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙.（Ⅰ）假设4n =，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）试验时每大块地分成8小块，即8n =，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg /2hm ）如下表：分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？ 19.（本小题满分12分）设函数2()ln f x x ax b x =++，曲线()y f x =过(1,0)P ，且在P 点处的切斜线率为2.（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）证明：()22f x x ≤-. 21.（本小题满分12分）如图，已知椭圆1C 的中心在原点o ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆2C 的短轴为MN ，且1C ，2C 的离心率都为e ，直线l MN ⊥，l 与1C 交于两点，与2C 交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D .（Ⅰ）设12e =，求BC 与AD 的比值；（Ⅱ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23，24题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题计分.22．（本小题满分10分）选修41-：几何证明选讲如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC ED =.（Ⅰ）证明：CD //AB ；（Ⅱ）延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF EG =，证明：A ，B ，G ，F 四点共圆.23.（本小题满分10分）选修44-：坐标系统与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），曲线2C 的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（0a b >>，ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θα=与1C ，2C 各有一个交点.当0α=时，这两个交点间的距离为2，当2πα=时，这两个交点重合.（Ⅰ）分别说明1C ，2C 是什么曲线，并求出a 与b 的值；（Ⅱ）设当4πα=时，l 与1C ，2C 的交点分别为1A ，1B ,当4πα=-时，l 与1C ，2C 的交点为2A ，2B ，求四边形1221A A B B 的面积.24.（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲已知函数()25f x x x =---. （Ⅰ）证明：3()3f x -≤≤；ABCDEFG（Ⅱ）求不等式2≥-+的解集.()815f x x x。

2011年普通高等学校招生全国统一考试数学(辽宁卷)理

2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供理科考生使用）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅰ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．a 为正实数，i 为虚数单位，2=+iia ，则=a A ．2B 3C 2D ．12．已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若 N =M I∅，则=N MA ．MB ．NC ．ID ．∅3．已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为A ．34B ．1C ．54D ．744．ⅠABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=abA ．23B ．2C 3D 25．从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件B =“取到的2个数均为偶数”，则P （B ︱A ）= A ．18 B ．14C ．25D ．126．执行右面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的P 是 A ．8 B ．5 C ．3 D ．2 7．设sin 1+=43πθ（），则sin 2θ=A ．79-B ．19-C ．19D ．798．如图，四棱锥S —ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确．．．的是 A ．AC ⅠSBB ．AB Ⅰ平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角9．设函数⎩⎨⎧>-≤=-1,log 11,2)(21x x x x f x ，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是A ．1[-，2]B ．[0，2]C ．[1，+∞]D ．[0，+∞]10．若a ，b ，c 均为单位向量，且0=⋅b a ，0)()(≤-⋅-c b c a ，则||c b a -+的最大值为A ．12-B ．1C ．2D ．211．函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为A ．（1-，1）B ．（1-，+∞）C ．（∞-，1-）D ．（∞-，+∞）12．已知球的直径SC =4，A ，B 是该球球面上的两点，AB =3， 30=∠=∠BSC ASC ，则棱锥S —ABC的体积为A ．33B ．32C ．3D ．1第Ⅰ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知点（2，3）在双曲线C ：)0,0(12222>>=+b a by a x 上，C 的焦距为4，则它的离心率为．14．调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年饮食支出y （单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：321.0254.0ˆ+=x y ．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加____________万元． 15．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是． 16．已知函数)(x f =A tan （ωx +ϕ）（2||,0πϕω<>），y =)(x f的部分图像如下图，则=)24(πf ．三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10 （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和．18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为正方形，PD Ⅰ平面ABCD ，PD ⅠQA ，QA =AB =12P D ．（I ）证明：平面PQC Ⅰ平面DCQ ；（II ）求二面角Q —BP —C 的余弦值． 19．（本小题满分12分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．（I ）假设n =4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X ，求X 的分布列和数学期望；（II ）试验时每大块地分成8小块，即n =8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产2品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406 品种乙 419403412418408423400413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据n x x x ,,,21⋅⋅⋅的的样本方差])()()[(1222212x x x x x x ns n -+⋅⋅⋅+-+-=，其中x 为样本平均数． 20．（本小题满分12分）如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ，直线l ⅠMN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．（I ）设12e =，求BC 与AD 的比值；（II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ⅠAN ，并说明理由． 21．（本小题满分12分）已知函数x a ax x x f )2(ln )(2-+-=．（I ）讨论)(x f 的单调性；（II ）设0>a ，证明：当a x 10<<时，)1()1(x af x a f ->+；（III ）若函数)(x f y =的图像与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：f '（x 0）＜0．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC =ED ．（I ）证明：CD //AB ；（II ）延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF =EG ，证明：A ，B ，G ，F四点共圆．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos y x （ϕ为参数），曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （0>>b a ，ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ=α与C 1，C 2各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=2π时，这两个交点重合．（I ）分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；（II ）设当α=4π时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α=4π-时，l 与C 1，C 2的交点为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数)(x f =|x -2||-x -5|．（I ）证明：3-≤)(x f ≤3；（II ）求不等式)(x f ≥x 28-x +15的解集．参考答案评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4．只给整数分数，选择题不给中间分. 一、选择题1—5 BACDB 6—10 CADDB 11—12 BC 二、填空题 13．2 14．0.254 15．16三、解答题 17．解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得110,21210,a d a d +=⎧⎨+=-⎩解得11,1.a d =⎧⎨=-⎩故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =- ………………5分（II ）设数列1{}2n n n a n S -的前项和为，即2111,122nn n a a S a S -=+++=故，12.2242n nn S a a a =+++所以，当1n >时，1211111222211121()2422121(1)22n n n n n nn n n nS a a a a a a n n------=+++--=-+++--=---.2n n 所以1.2n n n S -=综上，数列11{}.22n n n n a n n S --=的前项和 ………………12分 18．解：如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D —xyz.（I ）依题意有Q （1，1，0），C （0，0，1），P （0，2，0）.则(1,1,0),(0,0,1),(1,1,0).DQ DC PQ ===- 所以0,0.PQ DQ PQ DC ⋅=⋅=即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC.故PQ ⊥平面DCQ.又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ. …………6分（II ）依题意有B （1，0，1），(1,0,0),(1,2,1).CB BP ==--设(,,)n x y z =是平面PBC 的法向量，则0,0,20.0,n CB x x y z n BP ⎧⋅==⎧⎪⎨⎨-+-=⋅=⎩⎪⎩即因此可取(0,1,2).n =--设m 是平面PBQ 的法向量，则0,0.m BP m PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可取15(1,1,1).cos ,.m m n =<>=-所以故二面角Q —BP —C 的余弦值为15.- ………………12分 19．解：（I ）X 可能的取值为0，1，2，3，4，且481344482244483144484811(0),708(1),3518(2),358(3),3511(4).70P X C C C P X C C C P X C C C P X C P X C ===============即X 的分布列为………………4分 X 的数学期望为181881()01234 2.7035353570E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ………………6分（II ）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：222222221(403397390404388400412406)400,81(3(3)(10)4(12)0126)57.25.8x S =+++++++==+-+-++-+++=甲甲………………8分品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：2222222221(419403412418408423400413)412,81(7(9)06(4)11(12)1)56.8x S =+++++++==+-+++-++-+=乙乙………………10分由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙. 20．解：（I ）因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设22222122242:1,:1,(0)x y b y x C C a b a b a a+=+=>>设直线:(||)l x tt a =<，分别与C 1，C 2的方程联立，求得((A t B t ………………4分当1,,,2A B e b y y ==时分别用表示A ，B 的纵坐标，可知 222||3||:||.2||4B A y b BC AD y a === ………………6分（II ）t=0时的l 不符合题意.0t ≠时，BO//AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即,a b t t a =-解得222221.ab e t a a b e-=-=---因为221||,01,1, 1.2e t a e e e-<<<<<<又所以解得所以当02e <≤时，不存在直线l ，使得BO//AN ；当12e <<时，存在直线l 使得BO//AN. ………………12分 21．解：（I ）()(0,),f x +∞的定义域为 1(21)(1)()2(2).x ax f x ax a x x+-'=-+-=- （i ）若0,()0,()(0,)a f x f x '≤>+∞则所以在单调增加.（ii ）若10,()0,a f x x a'>==则由得且当11(0,),()0,,()0.x f x x f x a a ''∈>><时当时所以1()(0,)f x a 在单调增加，在1(,)a+∞单调减少. ………………4分（II ）设函数11()()(),g x f x f x a a=+--则3222()ln(1)ln(1)2,2()2.111g x ax ax ax a a a x g x a ax ax a x =+---'=+-=+--当10,()0,(0)0,()0x g x g g x a '<<>=>时而所以. 故当10x a <<时，11()().f x f x a a+>- ………………8分（III ）由（I ）可得，当0,()a y f x ≤=时函数的图像与x 轴至多有一个交点，故0a >，从而()f x 的最大值为11(),()0.f f a a>且不妨设1212121(,0),(,0),0,0.A x B x x x x x a<<<<<则由（II ）得111211()()()0.f x f x f x a a a-=+->= 从而1221021,.2x x x x x a a+>-=>于是由（I ）知，0()0.f x '< ………………12分22．解：（I ）因为EC=ED ，所以∠EDC=∠ECD.因为A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA. 故∠ECD=∠EBA ，所以CD//AB. …………5分（II ）由（I ）知，AE=BE ，因为EF=FG ，故∠EFD=∠EGC从而∠FED=∠GEC.连结AF ，BG ，则△EFA ≌△EGB ，故∠FAE=∠GBE ，又CD//AB ，∠EDC=∠ECD ，所以∠FAB=∠GBA. 所以∠AFG+∠GBA=180°.故A ，B ，G ，F 四点共圆 …………10分 23．解：（I ）C 1是圆，C 2是椭圆.当0α=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（1，0），（a ，0），因为这两点间的距离为2，所以a =3. 当2πα=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b ），因为这两点重合，所以b =1.（II ）C 1，C 2的普通方程分别为22221 1.9x x y y +=+=和当4πα=时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为22x =，与C 2交点B 1的横坐标为 310.x '=当4πα=-时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，因此，四边形A 1A 2B 2B 1为梯形. 故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为(22)()2.25x x x x ''+-= …………10分24．解：（I ）3,2,()|2||5|27,25,3, 5.x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩当25,327 3.x x <<-<-<时所以3() 3.f x -≤≤ ………………5分（II ）由（I ）可知，当22,()815x f x x x ≤≥-+时的解集为空集；当225,()815{|55}x f x x x x x <<≥-+-≤<时的解集为；当25,()815{|56}x f x x x x x ≥≥-+≤≤时的解集为.综上，不等式2()815{|56}.f x x x x x ≥-+-≤≤的解集为 …………10分。

2011年辽宁高考数学文科试卷带详解

2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ={x 1|>x }，B ={x 21|<<-x }，则A B = ( )A. {x 21|<<-x }B. {x 1|->x }C. {x 11|<<-x }D. {x 21|<<x }【测量目标】集合的基本运算（交集）.【考查方式】集合的表示（描述法），求集合的交集. 【参考答案】D【试题解析】利用数轴可以得到A B ={x 1|>x } {x 21|<<-x }={x 21|<<x }. 2．i 为虚数单位，3571111i i i i+++= ( ) A. 0B. 2iC. 2i -D. 4i【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】结合复数代数形式和方幂来考查四则运算. 【参考答案】A 【试题解析】3571111i i i i 0i i i i +++=-+-+=. 3．已知向量(2,1)=a ，(1,)k =-b ，(2)0-=a a b ，则=k ( )A. 12-B. 6-C. 6D. 12【测量目标】平面向量的数量积的综合应用.【考查方式】给出两向量数量积为零的条件，求待定参数. 【参考答案】D【试题解析】因为(2,1),(1,)k ==-a b ，所以2(5,2)k -=-a b ．（步骤1）又(2)0⋅-=a a b ，所以0)2(152=-⨯+⨯k ，得12=k ．（步骤2）4．已知命题P ：∃n ∈N ，2n ＞1000，则P ⌝为 ( )A. ∀n ∈N ，2n ≤1000B. ∀n ∈N ，2n ＞1000C. ∃n ∈N ，2n ≤1000D. ∃n ∈N ，2n ＜1000【测量目标】全称命题和特称命题的否定. 【考查方式】结合不等式考查特称命题的否定. 【参考答案】A【试题解析】特称命题的否定是全称命题，“＞”的否定是“≤”，故正确答案是A 5．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 ( )A. 2B. 4C. 8D. 16 【测量目标】等比数列的性质.【考查方式】给出相邻两项数列积的规律，化简得出数列的公比. 【参考答案】B【试题解析】设等比数列{a n }的公比为q ，116n n n a a +=,11216n n n a a +++∴=，（步骤1）∴216,4q q ==（步骤2） 6．若函数))(12()(a x x xx f -+=为奇函数，则a = ( )A.21 B. 32 C. 43D. 1 【测量目标】函数奇偶性的综合应用.【考查方式】利用奇函数的原点对称性，代入特殊点求出函数中的未知数. 【参考答案】A【试题解析】∵ 函数))(12()(a x x xx f -+=为奇函数,∴(2)(2),f f -=2(41)(2)a --+--即2=(41)(2)a +-，解得12a =.7．已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ( )A.34B. 1C.54D.74【测量目标】抛物线的简单几何性质.【考查方式】给出焦点弦的线段关系，间接求解点到坐标轴的距离. 【参考答案】C【试题解析】设 A ，B 两点的横坐标分别为,m n 则由=3AF BF +及抛物线的定义可知132m n ++=, (步骤1) ∴1,2m n +=5.24m n +=（步骤2）即线段AB 的中点到y 轴的距离为5.4（步骤3）8．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 ( )A. 4B.32C. 2D.3【测量目标】由三视图求几何体的表面积与体积.【考查方式】给出正三棱柱的体积和线段的长度，转化为求对应平面的面积. 【参考答案】B【试题解析】设棱长为a ，由体积为32可列等式=⋅a a 24332，2=a ，（步骤1）所求矩形的底边长为323=a ，这个矩形的面积是3223=⨯．（步骤2） 9．执行下面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的p 是 ( )A. 8B. 5C. 3D. 2【测量目标】选择结构的程序框图.【考查方式】考查循环结构的流程图，注意循环条件的设置，以及循环体的构成，特别是注意最后一次循环的k 的值．【参考答案】C【试题解析】若输入n =4，则执行s =0，t =1，k =1，p =1，判断1<4成立，进行第一次循环；（步骤1）p =2，s =1，t =2，k =2，判断2<4成立，进行第二次循环；（步骤2） p =3，s =2，t =2，k =3，判断3<4成立，进行第三次循环；（步骤3） p =4，s =2，t =4，k =4，判断4<4不成立，故输出p =4（步骤4）.10．已知球的直径4SC A B =，，是该球球面上的两点，2AB =，45ASC BSC ∠=∠=，则棱锥S ABC -的体积为( )A.33 B. 233 C.433 D.533【测量目标】球体和三棱锥的体积.【考查方式】给出球体内部三棱锥的线段关系，利用线面垂直的关系求出对应三棱锥的体积.【参考答案】C【试题解析】设球心为O ，则BO AO ,是两个全等的等腰直角三角形斜边上的高，斜边,4=SO 故2==BO AO ，(步骤1)且有SC AO ⊥，SC BO ⊥． ∴1()3S ABC S AOB C AOB AOB V V V S SO OC ---=+=+△=3344243312=⨯⨯⨯．（步骤2） 11．函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为 ( )A.（1-，1）B.（1-，+∞）C.（∞-，1-）D.（∞-，+∞）【测量目标】函数的单调性、导函数的性质和不等式的应用.【考查方式】给出函数值和导函数满足的条件，将不等式转化为函数的值域，进而求出对应的解集. 【参考答案】B【试题解析】设()()(24)g x f x x =-+ , ()()2g x f x ''-=. （步骤1）因为对任意x ∈R ，2)(>'x f ，所以对任意x ∈R ，()0g x '>，则函数g (x )在R 上单调递增. （步骤2）又因为g (-1)=(1)(24)0f ---+=，故()0g x >,即()24f x x >+的解集为(1,)-+∞（步骤3）12．已知函数)(x f =A tan （ωx +ϕ）（π0,||2ωϕ><），y =)(x f 的部分图像如下图，则π()24f = ( )A. 2+3B.3C.33D.23- 【测量目标】)(x f =A tan （ωx +ϕ）的图象及性质.【考查方式】结合正切函数的图象，在给定范围内求出周期，进而得出解析式和函数值. 【参考答案】B 【试题解析】如图可知3ππ288T =-，即ππ24ω=，所以2=ω，（步骤1）再结合图像可得ππ2π,82k k ϕ⨯+=+∈Z ，即πππ42k ϕ=+<，所以4143<<-k ，（步骤2）只有0=k ，所以π4ϕ=，又图像过点（0，1），代入得A tan π4=1，所以A =1，函数的解析式为π()tan(2)4f x x =+，则ππ()tan 3246f ==. （步骤3）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知圆C 经过A （5，1），B （1，3）两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为___________．【测量目标】圆的方程，直线方程，直线与圆的位置关系.【考查方式】由圆上的两点坐标确定出过圆心的直线，进而求出圆的方程. 【参考答案】22(2)10x y -+= 【试题解析】直线AB 的斜率是311152AB k -==--，中点坐标是(3,2).故直线AB的中垂线方程()223y x -=-，（步骤1）由()223,0,y x y -=-⎧⎪⎨=⎪⎩得圆心坐标(2,0)C ，||r AC ==223110+=,故圆的方程为22(2)10x y -+=.（步骤2）14．调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年饮食支出y （单位：万元），调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x的回归直线方程：321.0254.0ˆ+=x y.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加____________万元．【测量目标】回归直线方程的实际应用.【考查方式】由回归直线方程中系数的意义可直接求解．【参考答案】0.254【试题解析】由于321.0254.0ˆ+=x y，当x 增加1万元时，年饮食支出y 增加0.254万元．15．S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2=S 6，a 4=1，则a 5=____________．【测量目标】等差数列的综合应用.【考查方式】给出等差数列的某几项和之间的关系，通过待定系数法求出等差数列通项公式和某一项. 【参考答案】1-【试题解析】设等差数列的公差为d ，解方程组1116526,231,a d a d a d ⨯⎧+=+⎪⎨⎪+=⎩得2d =-， (步骤1)541.a a d =+=-（步骤2）16．已知函数()e 2xf x x a =-+有零点，则a 的取值范围是___________．【测量目标】函数的零点，单调性，极值，导数的性质，函数的零点与方程根的联系.. 【考查方式】通过函数有零点转化为方程有根，将里面的参数提取出来作为函数值来处理，应用导数和极值求出其参数的取值范围. 【参考答案】(],2ln 22-∞-【试题解析】函数()e 2xf x x a =-+有零点等价于()0,f x =即e 2xx a -+有解. 等价于2e xa x =-有解. (步骤1）令()2e x g x x =-，∴()2e x g x '=-.当ln 2x >时，()0g x '<；当ln 2x <时，()0g x '>.（步骤2） ∴当ln 2x =时，()2e x g x x =-取到最大值2ln 22-，∴a 的取值范围是(],2ln 22-∞-.（步骤3）三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =2a ．（I ）求ba；（II ）若c 2=b 2+3a 2，求B ．【测量目标】正弦定理和余弦定理.【考查方式】给出三角形中边和角满足的等式关系，由正弦定理和余弦定理求出相应的边和角.【试题解析】（I ）由正弦定理得，22sin sin sin cos 2sin B A B A A +=，即22sin (sin cos )2sin B A A A += (步骤1）故sin 2sin ,B A =所以2.ba=(步骤2）………………6分（II ）由余弦定理和222(13)3,cos .2ac b a B c+=+=得(步骤1）由（I ）知222,b a =故22(23).c a =+(步骤2）可得21cos ,2B =又cos 0,B >故2cos ,2B =所以45B =. (步骤3） …………12分 18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为正方形, QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA =AB =12PD ．（I ）证明：PQ ⊥平面DCQ ；（II ）求棱锥Q ABCD -的的体积与棱锥P DCQ -的体积的比值．【测量目标】空间点、线、面之间的位置关系，线线、线面、面面垂直的性质与判定，三棱锥的体积.【考查方式】线线垂直⇒线面垂直, 给定线段间比例关系由此求出三棱锥体积. 【试题解析】（I ）由条件知四边形PDAQ 为直角梯形因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD .又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ，所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC . (步骤1）在直角梯形PDAQ 中可得DQ =PQ =22PD ，则PQ ⊥QD (步骤2）所以PQ ⊥平面DCQ . (步骤3） ………………6分（II ）设AB =a .由题设知AQ 为棱锥Q ABCD -的高，所以棱锥Q ABCD -的体积311.3V a = (步骤1）由（I ）知PQ 为棱锥P DCQ -的高，而PQ =2a ，△DCQ 的面积为222a ，所以棱锥P DCQ -的体积为321.3V a =(步骤2）故棱锥Q ABCD -的体积与棱锥P DCQ -的体积的比值为1 (步骤3）.……12分 19．（本小题满分12分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．（I ）假设n =2，求第一大块地都种植品种甲的概率；（II ）试验时每大块地分成8小块，即n =8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm 2）如下表：品种甲403 397 390 404 388 400 412 406品种乙 419 403 412 418 408 423 400 413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据n x x x ,,,21⋅⋅⋅的的样本方差])()()[(1222212x x x x x x ns n -+⋅⋅⋅+-+-=，其中x 为样本平均数．【测量目标】简单随机抽样，随机事件的概率，用平均数和方差估计总体的数字特征. 【考查方式】列出基本事件数，从而得出概率; 根据两类个体的平均数和方差来相互比较作出优化选择. 【试题解析】（I ）设第一大块地中的两小块地编号为1，2，第二大块地中的两小块地编号为3，4，令事件A =“第一大块地都种品种甲”.从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个；（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）.（步骤1）而事件A 包含1个基本事件：（1，2）. 所以1().6P A =（步骤2）………………6分（II ）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：1(403397390404388400412406)400,8x =+++++++=甲2222222221(3(3)(10)4(12)0126)57.25.8S =+-+-++-+++=甲（步骤1） ………………8分品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：1(419403412418408423400413)412,8x =+++++++=乙2222222221[7(9)06(4)11(12)1]56.8S =+-+++-++-+=乙（步骤2） ………………10分由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙. （步骤3） 20．（本小题满分12分）设函数)(x f =x +ax 2+b ln x ，曲线y =)(x f 过P （1,0），且在P 点处的切斜线率为2.（I ）求a ，b 的值；（II ）证明：()22f x x -….【测量目标】函数的单调性和导数的关系，极值，不等式的证明.【考查方式】给出点坐标和切点斜率代入解析式中求出各参数，利用函数的单调性和导数来证明不等式. 【试题解析】（I ）()12.bf x ax x'=++0x ≠（步骤1） …………2分由已知条件得(1)0,(1) 2.f f =⎧⎨'=⎩即10,12 2.a a b +=⎧⎨++=⎩解得1, 3.a b =-=（步骤2） ………………5分（II ）()(0,)f x +∞的定义域为，由（I ）知2()3ln .f x x x x =-+（步骤1）设2()()(22)23ln ,g x f x x x x x =--=--+则3(1)(23)()12.x x g x x x x-+'=--+=-（步骤2） 01,()0;1,()0.x g x x g x ''<<>><当时当时所以()g x 在(0,1)单调增加，在(1,)+∞单调减少.而(1)0,0,()0,()2 2.g x g x f x x =>-剟故当时即（步骤3） …………12分21．（本小题满分12分）如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ，直线l MN ⊥，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．（I ）设12e =，求BC 与AD 的比值；（II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．【测量目标】椭圆方程，直线斜率，直线与椭圆的位置关系，直线与直线的平行，不等式的应用.【考查方式】给出两椭圆之间的线段关系，进而设出椭圆和直线方程，求出对应线段的比例关系；将平行直线转化为斜率相等的条件，代入式后求出离心率的范围.【试题解析】（I ）因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设22222122242:1,:1,(0)x y b y x C C a b a b a a+=+=>> 设直线:(||)l x t t a =<，分别与C 1，C 2的方程联立，求得2222(,),(,).a b A t a t B t a t b a-- （步骤1）………………4分当13,,,22A B e b a y y ==时分别用表示A ，B 的纵坐标，可知 222||3||:||.2||4B A y b BC AD y a === （步骤2）………………6分（II ）t =0时的l 不符合题意.0t ≠时，BO //AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即2222,b a a t a t a b t t a--=- 解得222221.ab e t a a b e-=-=-- (步骤1) 因为2212||,01,1, 1.2e t a e e e-<<<<<<又所以解得所以当202e <…时，不存在直线l ，使得BO //AN ；当212e <<时，存在直线l 使得BO //AN . （步骤2） ………………12分请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC =ED ．（I ）证明：CD //AB ；（II ）延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF =EG ，证明：A ，B，G ，F 四点共圆．【测量目标】直线与圆的位置关系，直线的平行.【考查方式】根据圆的性质和直线的位置关系证明出线段的平行；结合圆和三角形中的角度关系证明圆上各点对应关系.【试题解析】（I ）因为EC =ED ，所以∠EDC =∠ECD .（步骤1）因为A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，所以∠EDC =∠EBA .（步骤2）故∠ECD =∠EBA ，所以CD //AB . （步骤3）…………5分（II ）由（I ）知，AE =BE ，因为EF =EG ，故∠EFD =∠EGC从而∠FED =∠GEC . (步骤1)连结AF ，BG ，则△EF A ≌△EGB ，故∠F AE =∠GBE ，（步骤2）又CD //AB ，∠EDC =∠ECD ，所以∠F AB =∠GBA .所以∠AFG +∠GBA =180°.故A ，B ，G ，F 四点共圆（步骤3）…………10分23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos y x （ϕ为参数），曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （0>>b a ，ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ=α与C 1，C 2各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=π2时，这两个交点重合．（I ）分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；（II ）设当α=π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α=π4-时，l 与C 1，C 2的交点为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．【测量目标】圆和椭圆的参数方程，梯形的面积.【考查方式】根据射线与圆和椭圆的位置关系求出参数方程中各参数，进而求出交点横坐标由此得出梯形的面积.【试题解析】（I ）C 1是圆，C 2是椭圆.（步骤1）当0α=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（1，0），（a ，0），因为这两点间的距离为2，所以a =3.当π2α=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b ），因为这两点重合，所以b =1.（步骤2）（II ）C 1，C 2的普通方程分别为22221 1.9x x y y +=+=和（步骤1）当π4α=时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为22x =，与C 2交点B 1的横坐标为 310.10x '= 当π4α=-时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，（步骤2）因此，四边形A 1A 2B 2B 1为梯形.故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为(22)()2.25x x x x ''+-= （步骤3）…………10分 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数)(x f =|2x -||-5x -|．（I ）证明： 3()3f x -剟；（II ）求不等式)(x f ≥x 28-x +15的解集．【测量目标】不等式的证明，分段函数和集合的基本运算.【考查方式】对绝对值函数的分段讨论，进而得出不等式的解集.【试题解析】（I ）3,2,()|2||5|27,25,3, 5.x f x x x x x x -⎧⎪=---=-<<⎨⎪⎩……(步骤1)当25,327 3.x x <<-<-<时所以3() 3.f x -剟（步骤2）………………5分（II ）由（I ）可知，当22,()815x f x x x -+时剠的解集为空集；当225,()815{|535+3}x f x x x x x <<-+-时的解集为≤厔；当25,()815{|26}x f x x x x x -+时的解集为厖剟.（步骤1）综上，不等式2()815{|536}.f x x x x x -+-的解集为厔? （步骤2）…………10分。

2011年辽宁高考数学试题及答案(文科)

2011年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(文科)考试说明：本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。

（2）请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，在草稿纸和试卷上答题视为无效。

（3）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄皱，不准使用涂改液和刮纸刀等用具。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题（每题5分，共12小题，满分60分，每小题只有一个选项正确。

） 1. 若集合}22{+=+=x x x A ，},02{2>+=x x B 则=⋂B AA ．)0,2(-B ．)0,2[-C ． ),0(+∞D ．),0[+∞ 2. 复数ii -12的共轭复数是A ．i -1B ．i +1C ．i +-1D ．i --13．已知43)4sin(-=+πx ，则x 2sin 的值是A ．81-B ．81 C ．42 D ．42-4. 抛物线x y122-=的准线与双曲线13922=-y x 的两条渐近线所围成的三角形面积是A ．3B ．32C ．2D ．335. A 、B 两名同学在4次数学考试中的成绩统计如下面的茎叶图所示，若A 、B 的平均成绩分别是A X 、BX，则下列结论正确的是A ．A X >BX ,B 比A 的成绩稳定 B ．A X <BX ,B 比A 的成绩稳定 C ．A X >BX ,A 比B 的成绩稳定 D ．A X<BX, A 比B 的成绩稳定6. 双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为e ，过的直线与双曲线的右支交与A 、B 两点，若AB F 1△是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则=2e A ．323- B ．323+ C ．225+ D ．225- 7. 函数)(xf y =在定义域)3,23(-内可导，其图像如图所示，记)(x f y =的导函数为)(x f y '=，则不等式0)(≤'x f 的解集为 A ．]3,2[]1,31[⋃-B ．]38,34[]31,1[⋃-C ．]2,1[]21,23[⋃-D ．),3[]2,1[]21,23[+∞⋃⋃-8．执行下面的程序框图，若9=P ，则输出的=SA ．187B ．98C ．52D ．13109. 已知某个几何体的三视图如图（正视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是（单位：2cm ）A ．π24+B ．π34+C ．π26+D ．π36+10.现将一个边不等的凸五边形的各边进行染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色，则共有（）种染色方法A ．30B ．36C ．48D ．5011.下列命题中正确的一项是 A ．“21=m ”是“直线013)2(=+++my x m 与直线03)2()2(=-++-y m x m 相互平行”的充分不必要条件B ．“直线l 垂直平面α内无数条直线”是“直线l 垂直于平面α”的充分条件C ．已知a ,b ,c 为非零向量，则“a •b=a •c ”是“b=c ”的充要条件D ．R x p ∈∃:，0222≤++x x 。

2011辽宁数学高考试题及答案

2011年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(辽宁卷)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．a 为正实数，i 为虚数单位，i2ia +=，则a ＝( ) A ．2B ． 3C ． 2D ．12．已知M 、N 为集合I 的非空真子集，且M 、N 不相等，若N ∩＝∅，则M ∪N ＝( )A ．MB ．NC ．ID ．∅3．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A ． 34B ．1C ． 54D ．744．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝a 2，则=ab( ) A ．23B ．22C ． 3D ． 25．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A ．18 B ．14 C ． 25D ． 126．执行下面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的p 是( )A ．8B ．5C ．3D ．27．设1sin+=43πθ（），则sin 2θ＝( ) A ．79- B ．19-C ． 19D ． 798．如图，四棱锥S —ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是()A ．AC ⊥SBB ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角9．设函数⎩⎨⎧>-≤=-1,log 11,2)(21x x x x f x 则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1，2]B ．[0，2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)10．若a ，b ，c 均为单位向量，且0⋅=a b ，()()0-⋅-≤a c b c ，则|a ＋b －c |的最大值为( )A ． 12-B ．1C ． 2D ．211．函数f (x )的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为( )A ．(－1，1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞) 12．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝3， 30=∠=∠BSC ASC ，则棱锥S —ABC 的体积为( )A ．33B ．32C. 3 D ．1 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知点(2，3)在双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．14．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)．调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：321.0254.0ˆ+=x y.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．15．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是________．16．已知函数()tan()f x A x ωϕ＝＋，(ω＞0,π2ϕ<)，y ＝f (x )的部分图像如图，则=)24(πf ________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和．18．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD ．(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)求二面角Q －BP －C 的余弦值．19．某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．(1)假设n ＝4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X ，求X 的分布列和数学期望；(2)试验时每大块地分成8小块，即n ＝8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位：kg/hm 2)如下表：品种甲403 397 390 404 388 400 412 406 品种乙419 403 412 418 408 423 400 413 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据x 1，x 2，…，x n 的样本方差])()()[(1222212x x x x x x ns n -+⋅⋅⋅+-+-=，其中x 为样本平均数．20．如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．(1)设12e =，求|BC |与|AD |的比值； (2)当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由． 21．已知函数x a ax x x f )2(ln )(2-+-=. (1)讨论f (x )的单调性； (2)设a ＞0，证明：当a x 10<<时，)1()1(x af x a f ->+； (3)若函数y ＝f (x )的图像与x 轴交于A 、B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：f ′(x 0)＜0.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4—1：几何证明选讲如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC ＝ED ．(1)证明：CD ∥AB ；(2)延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF ＝EG ，证明：A ，B ，G ，F 四点共圆． 23．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos y x (φ为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x (a ＞b ＞0，φ为参数)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α与C 1，C 2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝2π时，这两个交点重合．(1)分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值； (2)设当α＝4π时，l 与C 1、C 2的交点分别为A 1，B 1，当α＝4π-时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．24．选修4—5：不等式选讲已知函数()|2||5|f x x x ＝－－－. (1)证明：()33f x ≤≤－；(2)求不等式()2815f x x x ≥－＋的解集．参考答案1．B 2．A 3．C 4．D 5．B 6．C 7．A 8．D 9．D 10．B 11．B 12．C 13．答案：2 14．答案：0.254 15．答案：23 16．答案：3。

2011年普高等学校招生全国统一考试数学试卷(理科)(辽宁卷)+解析

2011年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）（辽宁卷）解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．主题1. a 为正实数，i 为虚数单位，2=+iia ，则=a A ．2 B ．3 C ．2D ．1难度易正确答案B [考点：复数、模的运算]提示一考查学生基本计算能力，清晰分母实数化是解题的前提. 提示二首先化简复数，然后利用模的运算得到含有a 的等式，进而求解. 提示三21()12,1a i ai a i +-+==-+=即23a =，又a 为正实数，3a ∴=. 主题2. 已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若N ð=M I ∅，则=N MA ．MB ．NC ．ID ．∅难度易正确答案A [考点：集合、韦恩图应用]提示一考查学生数形结合能力，清晰集合的概念是解题的前提. 提示二根据 N ð=M I ∅画出韦恩图，然后明确.M N 提示三作出满足条件的韦恩（Venn ）图，易知MN M =主题3. 已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为A ．34B ．1C ．54D ．74难度中正确答案C [考点：圆锥曲线—抛物线] 提示一考查学生的等价转换能力，利用转化思想得到AM BN AF +=+BF 是解题的关键. 提示二利用梯形的中位线的性质进行过渡求解中点C 的横坐标. 提示三如图，由抛物线的定义知，AM BN AF +=+33,,2BF CD ==所以中点C 的横坐标为315244-=.主题4. △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin sin cos 2,a A B b A a +=，则=ab A ．23 B ．22 C ．3 D ．2IMNFxAy C B ND M14- O难度易正确答案D [考点：解三角形]提示一考查学生目标意识能力，清晰正弦定理是解题的前提. 提示二利用正弦定理将已知表达式中的边转化为角是解题的关键. 提示三2sin sin cos 2,a A B b A a +=由正弦定理可得：22sin sin sin cos 2sin ,A B B A A +=sin 2sin B A ∴=,即2ba= 主题5. 从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件B =“取到的2个数均为偶数”，则P （B ︱A ）= A ．18B ．14C ．25D ．12难度中正确答案B [考点：古典概率]提示一考查学生识别事件的能力，清晰事件的计算公式是解题的前提. 提示二准确计算出()()P A P AB 、是解题的关键.提示三222232225541(),()1010C C C P A P AB C C +====,()1()()4P AB P B A P A ∴==. 主题6. 执行右面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的P 是 A ．8 B ．5 C ．3 D ．2难度中正确答案C [考点：算法初步—流程图]提示一考查学生的识图能力.清晰框图的流程过程是解题的前提. 提示二抓住流程图的限制条件k n <是解题的关键. 提示三初始值1,0,1,1,p s t k ====循环开始，第一次:1,1,1,2,p s t k ====第二次:2,1,2,3,p s t k ====第三次:3,2,3,4,p s t k ====此时，k n <不成立，跳出循环，输出3p =. 主题7. 设sin 1+=43πθ（），则sin 2θ= A ．79-B ．19-C ．19D ．79难度中正确答案A [考点：三角函数求值]提示一考查学生划归能力，清晰两角和的公式和二倍角公式是解题的前提. 提示二利用平方技巧过渡是解题的关键. 提示三由1sin(),43πθ+=得221sin cos ,223θθ+=即2sin cos ,3θθ+=两边平方，得 21sin 2,9θ+=7sin 29θ∴=-.主题8. 如图，四棱锥S —ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确．．．的是 A ．AC ⊥SB B ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角难度中正确答案D [考点：空间几何体的位置关系和角的判断]提示一考查学生的空间形象能力.清晰线面垂直的性质定理、线面平行的判定定理和线面角、异面直线所成的角的定义是解题的前提.提示二采用逐一判断的方法进行分析. 提示三,,,SD ABCD AC ABCD SD AC ABCD ⊥⊂∴⊥面面又为正方形，,,AC BD SD BD D ∴⊥⋂=又,.AC SBD AC SB ∴⊥⊥面故A 对；,,AB CD CD CDS AB CDS AB SCD ⊂∴∥面在面外，∥面,故B 对；设,AC BD O ⋂=由上面的分析知，A S O C S O ∠∠与分别是,S AS B D S C S B D 与面与面所成的角，易知A S O C S O ∠∠与相等，故C 对；选D.主题9. 设函数⎩⎨⎧>-≤=-1,log 11,2)(21x x x x f x ，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是A ．1[-，2]B ．[0，2]C ．[1，+∞]D ．[0，+∞]难度中正确答案D [考点：分段函数以及性质]提示一考查学生转化能力，清晰分段函数的性质是解题的前提. 提示二判断函数在定义域上的单调性是解题的关键. 提示三易知，()f x R 在上是减函数，由122,0,xx -==得所以x 的取值范围是[)0+∞，.主题10. 若a ，b ，c 均为单位向量，且0=⋅b a ，0)()(≤-⋅-c b c a ，则||c b a -+的最大值为 A ．12-B ．1C ．2D ．2难度难正确答案B [考点：向量模的最值]提示一考查学生运算能力.清晰数量积的运算是解题的前提. 提示二利用将||c b a -+平方的技巧进行转化是解题的关键.提示三2)()()1()0,a c b c a b a b c c a b c -⋅-=⋅-+⋅+=-+⋅≤（()1;a b c ∴+⋅≥222222()2()2()32()a b c a b a b c c a b c a b c a b c +-=+-+⋅+=++-+⋅=-+⋅321≤-=.主题11. 函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为A ．（1-，1）B ．（1-，+∞）C ．（∞-，1-）D ．（∞-，+∞）难度中正确答案B [考点：不等式的解法]提示一考查学生构造能力，通过42)(+>x x f 构造函数()()(24)h x f x x =-+是解题的前提. 提示二利用求导判断函数()()(24)h x f x x =-+单调性是解题的关键.提示三设''()()(24),()()2h x f x x h x f x =-+=-则0>,故()h x R 在上单调递增，又(1)(1)20h f -=--=所以当1x >-时，()0h x >，即()24f x x >+.主题12. 已知球的直径SC =4，A ，B 是该球球面上的两点，AB =3，30ASC BSC ∠=∠=，则棱锥S —ABC 的体积为 A ．33B ．32C ．3D ．1难度难正确答案C [考点：空间几何体—棱锥的体积]提示一此题考查棱锥的体积，考查学生的画图能力和空间想象能力.利用题设条件准确画出图形是解题的前提. 提示二明确三棱锥的底面面积和高是解题的关键.提示三如图，过AB 作与直径SC 垂直的球的截面，交SC 于点D ，在Rt SAC∆中，c o s 30=23s i n 30=3S A S C A D S A =⋅=⋅，，同理3,BD ABD =∆故为正三角形.13313333sin 60=432434ABD S ABC S V ∆-=⨯⨯=⨯⨯=，故. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．主题13. 已知点（2，3）在双曲线C ：)0,0(12222>>=+b a by a x 上，C 的焦距为4，则它的离心率为．难度易正确答案 2 [考点：圆锥曲线—双曲线的离心率]提示一考查学生基本知识掌握情况，清晰双曲线的几何性质是解题的前提. 提示二利用点在曲线上和焦距得到方程组是解题的关键. 提示三22491a b -=与224a b +=联立，求得1a =，所以2c e a==. 主题14. 调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年饮食支出y （单位：万元），调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：321.0254.0ˆ+=x y．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加____________万元．难度易正确答案0.254 [考点：回归方程]提示一考查学生的基础知识掌握情况，清晰归回方程的含义是解题的前提.提示二利用321.0254.0ˆ+=x y求解“年饮食支出平均增加量”是解题的关键. SD ABC提示三家庭收入每增加1万元，对应的回归直线方程中的x 增加1，相应的ˆy的值增加0.254，即年饮食支出平均增加0.254万元.主题15. 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是．难度中正确答案 23 [考点：三视图]提示一考查学生的分析解决问题能力和空间形象能力，清晰三视图的观察方法是解题的前提. 提示二根据俯视图和左视图得到几何体的性质是解题的关键. 提示三如图，设底面边长为a ，则侧棱长也为a ，23234a a ⋅=，故38,2a a ==.左视图与矩形11DCC D 相同，113232DCC D S a a =⋅=四边形. 主题16. 已知函数)(x f =A tan （ωx +ϕ）（2||,0πϕω<>），y =)(x f 的部分图像如下图，则=)24(πf ．难度中正确答案3 [考点：三角函数]提示一考查学生视图能力，清晰A ωϕ、、的含义是解题的前提. 提示二利用函数图象得到周期，利用点308π（，）代入解析式确定ϕ，利用（0,1）代入解析式确定A ，进而明确函数的解析式，然后求()24f π.提示三由图知，3=-==22882T T πππω∴∴，，,()tan(2),f x A x ϕ∴=+将308π（，）代入得，3tan(2+=08A πϕ⨯）即3tan()0,4πϕ+=又ϕ2π<，=4πϕ∴.()sin(2).4f x A x π∴=+又(0)1,tan1, 1.()tan(2)tan 3.4242443f A A f πππππ=∴=∴=∴=⨯+==三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．主题17．（本小题满分12分）已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10 （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和．难度中正确答案（I ）2n a n =-；（II ）1.2n n n S -=[考点：数列的通项公式和递推数列求和]1C 1D 1A ABCD1B提示一考查学生应用方程思想的解题能力和划归能力.清晰等差数列的基本量思想以及错位相减法是解题的前提. 提示二 (1)中，利用等差数列的通项公式得到两个方程，解得1a d 、；（2）中通过观察数列的通项公式的结构特点，采用错位相减法求⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和. 提示三（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得110,21210,a d a d +=⎧⎨+=-⎩解得11,1.a d =⎧⎨=-⎩故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =- ………………5分（II ）设数列1{}2n n n a n S -的前项和为，即2111,122nn n a a S a S -=+++=故， 12.2242n nn S a a a =+++ 所以，当1n >时，1211111222211121()2422121(1)22n n n n n nn n n nS a a a a aa n n------=+++--=-+++--=---=.2n n 所以1.2n n nS -= 综上，数列11{}.22n n n n a n n S --=的前项和 ………………12分主题18. （本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA =AB =12PD ．（I ）证明：平面PQC ⊥平面DCQ ；（II ）求二面角Q —BP —C 的余弦值．难度中正确答案（I ）详见提示; （II ）15.5-[考点：空间几何体、面面垂直的证明、二面角的求解]提示一考查学生的空间想象能力和利用空间向量处理问题的能力.清晰面面垂直的判定定理和利用向量法求解二面角的步骤是解题的前提.提示二 (1)利用数量积为0，证明PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC ，然后利用线面垂直证明面面垂直；（2）确定两个半平面的法向量，利用向量夹角公式求解二面角的余弦值.提示三如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D —xyz. （I ）依题意有Q （1，1，0），C （0，0，1），P （0，2，0）.则(1,1,0),(0,0,1),(1,1,0).DQ DC PQ ===- 所以0,0.PQ DQ PQ DC ⋅=⋅= 即,,PQ DQ PQ DC ⊥⊥ 故PQ ⊥平面DCQ.又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ. …………6分（II ）依题意有B （1，0，1），(1,0),(12,1).C B B P ==--设(,,)n x y z =是平面PBC 的法向量，则0,0,20.0,n CB x x y z n BP ⎧⋅==⎧⎪⎨⎨-+-=⋅=⎩⎪⎩即因此可取(0,1,2).n =--设m 是平面PBQ 的法向量，则0,0.m BP m PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可取15(1,1,1).cos ,.5m m n =<>=-所以故二面角Q —BP —C 的余弦值为15.5- ………………12分主题19. （本小题满分12分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．（I ）假设n =4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X ，求X 的分布列和数学期望；（II ）试验时每大块地分成8小块，即n =8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm 2）如下表：品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406 品种乙419403412418408423400413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据n x x x ,,,21⋅⋅⋅的的样本方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-+⋅⋅⋅+-，其中x 为样本平均数．难度中正确答案（I ）2; （II ）选择种植品种乙[考点：随机变量的分布列、期望、样本平均数、样本方差]提示一考查学生的对事件的识别能力和计算能力.确定X 的取值和准确记忆期望、样本平均数和样本方差的计算公式是解题的前提.提示二 (1)根据题意，明确X 的取值，利用随机事件的概率公式mP n=进行计算，然后利用期望公式求解；（2）利用样本平均数和样本方差的公式分别计算两种情况下数值，通过数值大小比较确定选择哪一种品种. 提示三（I ）X 可能的取值为0，1，2，3，4，且132244444448883144448811818(0),(1),(2),703535811(3),(4).3570C C C C P X P X P X C C C C C P X P X C C ===============即X 的分布列为………………4分 X 的数学期望为181881()01234 2.7035353570E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ………………6分（II ）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：222222221(403397390404388400412406)400,81(3(3)(10)4(12)0126)57.25.8x S =+++++++==+-+-++-+++=甲甲………………8分品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：2222222221(419403412418408423400413)412,81(7(9)06(4)11(12)1)56.8x S =+++++++==+-+++-++-+=乙乙………………10分由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙. ………………12分主题20. 如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．（I ）设12e =，求BC 与AD 的比值；（II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．难度难正确答案（I ）3.4（II ）当202e <≤时，不存在直线l ，使得BO//AN ；当212e <<时，存在直线l 使得BO//AN. [考点：圆锥曲线—椭圆、直线与椭圆的位置关系]提示一考查学生对数形结合和分类讨论的理解，以及计算能力.利用直线和椭圆联立得到交点坐标和BO//AN 得到斜率相等是解答本题的前提.提示二 (1)根据离心率相同设出两个椭圆方程,利用直线l 和椭圆联立，确定A 和B 的坐标，进而表示出BC 与AD ；（2）利用BO//AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，得到e t 、的表达关系式，通过t 的范围和函数关系确定e 范围，进而明确是否存在直线l ，使得BO ∥AN . 提示三（I ）因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设22222122242:1,:1,(0)x y b y x C C a b a b a a+=+=>>设直线:(||)l x tt a =<，分别与C 1，C 2的方程联立，求得2222(,),(,).a b A t a t B t a t b a -- ………………4分当13,,,22A B e b a y y ==时分别用表示A ，B 的纵坐标，可知 222||3||:||.2||4B A y b BC AD y a === ………………6分（II ）t=0时的l 不符合题意.0t ≠时，BO//AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即2222,b a a t a ta b t t a--=- 解得222221.ab e t a a b e -=-=-⋅- 因为2212||,01,1, 1.2e t a e e e-<<<<<<又所以解得所以当202e <≤时，不存在直线l ，使得BO//AN ；当212e <<时，存在直线l 使得BO//AN. ………………12分 21. 已知函数x a ax x xf )2(ln )(2-+-=．（I ）讨论)(x f 的单调性；（II ）设0>a ，证明：当a x 10<<时，)1()1(x af x a f ->+；（III ）若函数)(x f y =的图像与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：f '（x 0）＜0．难度难正确答案 (1)1()(0,)f x a 在单调增加，在1(,)a+∞单调减少. （II ）（III ）详见提示. [考点：函数、单调性、不等式证明]提示一考查学生灵活应用分类讨论思想、等价转换思想的能力和构造函数证明不等式的解题能力.清晰导数法研究函数的单调性、构造函数11()()()g x f x f x a a=+--和借助前一二问结论解决第三问的意识是解题的前提.提示二 (1)首先明确函数的定义域，利用求导和对a 进行分类确定函数的单调区间；（2）利用构造函数11()()(),g x f x f x a a=+--通过求导确定其最小值大于0；（3）借助第一问和第二问的结论进行证明. 提示三（I ）()(0,),f x +∞的定义域为 1(21)(1)()2(2).x ax f x ax a x x+-'=-+-=-（i ）若0,()0,()(0,)a f x f x '≤>+∞则所以在单调增加.（ii ）若10,()0,a f x x a'>==则由得且当11(0,),()0,,()0.x f x x f x a a ''∈>><时当时所以1()(0,)f x a在单调增加，在1(,)a +∞单调减少. ………………4分（II ）设函数11()()(),g x f x f x a a=+--则3222()ln(1)ln(1)2,2()2.111g x ax ax ax a a a x g x a ax ax a x =+---'=+-=+--当10,()0,(0)0,()0x g x g g x a '<<>=>时而所以. 故当10x a <<时，11()().f x f x a a+>- ………………8分（III ）由（I ）可得，当0,()a y f x ≤=时函数的图像与x 轴至多有一个交点，故0a >，从而()f x 的最大值为11(),()0.f f a a>且不妨设1212121(,0),(,0),0,0.A x B x x x x x a<<<<<则由（II ）得111211()()()0.f x f x f x a a a-=+->= 从而1221021,.2x x x x x a a+>-=>于是由（I ）知，0()0.f x '< ………………12分主题22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC =ED ．（I ）证明：CD //AB ；（II ）延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF =EG ，证明：A ，B ，G ，F四点共圆．难度中正确答案（I ）（II ）详见提示.提示一此题考查平面几何的线线证明和证明四点共圆.考查学生的转化划归能力和平面想象能力.清晰圆的几何性质和证明四点共圆的方法是解题的前提.提示二 (1)通过同位角相等证明线线平行；（2）通过证明三角形△EFA ≌△EGB ，进而证明∠AFG+∠GBA=180°，达到证明四点共圆的目的.提示三（I ）因为EC=ED ，所以∠EDC=∠ECD.因为A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA.故∠ECD=∠EBA ，所以CD//AB. …………5分（II ）由（I ）知，AE=BE ，因为EF=FG ，故∠EFD=∠EGC 从而∠FED=∠GEC.连结AF ，BG ，则△EFA ≌△EGB ，故∠FAE=∠GBE ，又CD//AB ，∠EDC=∠ECD ，所以∠FAB=∠GBA.所以∠AFG+∠GBA=180°. 故A ，B ，G ，F 四点共圆 …………10分主题23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos y x （ϕ为参数），曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （0>>b a ，ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ=α与C 1，C 2各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=2π时，这两个交点重合．（I ）分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；（II ）设当α=4π时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α=4π-时，l 与C 1，C 2的交点为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．难度中正确答案（I ）详见提示.（II ）2.5提示一此题考查坐标系与参数方程，直线与椭圆相交.考查学生的转化能力和计算能力，以及分类讨论思想的应用.清晰参数方程化为普通方程的方法是解题的前提.提示二(1)利用参数方程化为普通方程的方法确定曲线的轨迹方程，然后根据α的不同取值，得到交点坐标，进而明确a 与b 的值.（2）根据普通方程和射线l 联立，得到交点坐标，明确四边形A 1A 2B 2B 1为梯形，利用面积公式求解. 提示三（I ）C 1是圆，C 2是椭圆.当0α=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（1，0），（a ，0），因为这两点间的距离为2，所以a =3. 当2πα=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b ），因为这两点重合，所以b =1.（II ）C 1，C 2的普通方程分别为22221 1.9x x y y +=+=和当4πα=时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为22x =，与C 2交点B 1的横坐标为310.10x '= 当4πα=-时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，因此四边形A 1A 2B 2B 1为梯形.故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为(22)()2.25x x x x ''+-= …………10分主题24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数)(x f =|x -2||-x -5|．（I ）证明：3-≤)(x f ≤3；（II ）求不等式)(x f ≥x 28-x +15的解集．难度中正确答案（I ）详见提示. （II ）{|536}.x x -≤≤提示一此题考查绝对值不等式的解法.考查学生的计算能力和转化能力，以及分类讨论思想的灵活应用.去掉函数中的绝对值是解答本题的前提.提示二(1)利用零点分段法,分析函数的值域，进而证明不等式；（2）采用分类讨论的方法，通过解二次不等式，探求不等式)(x f ≥x 28-x +15的解集．提示三（I ）3,2,()|2||5|27,25,3, 5.x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩当25,327 3.x x <<-<-<时所以3() 3.f x -≤≤ ………………5分（II ）由（I ）可知，当22,()815x f x x x ≤≥-+时的解集为空集；当225,()815{|535}x f x x x x x <<≥-+-≤<时的解集为；当25,()815{|56}x f x x x x x ≥≥-+≤≤时的解集为.综上，不等式2()815{|536}.f x x x x x ≥-+-≤≤的解集为 …………10分。

2011年全国高考数学试卷(含标准答案)

2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学本试卷共4页，三大题21小题。

满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。

4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1.复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1z z z --= (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i2. 函数()20y x x =≥的反函数为(A)()24xy x R =∈ (B)()204xy x =≥(C)()24y xx R =∈ (D)()240y xx =≥3.下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是 (A) 1a b >+ (B) 1a b >- (C)22a b > (D) 33a b >4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差22,24k k d S S +=-=，则k= (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 55.设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 (A)13(B) 3 (C) 6 (D) 96.已知直二面角l αβ--，点,,A AC l C α∈⊥为垂足，,,B BD l D β∈⊥为垂足，若2,1A B A C B D ===，则D 到平面ABC 的距离等于(A) 22(B) 33(C) 63(D) 17.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种8.曲线21x y e =+在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为 (A)13(B)12(C)23(D) 19.设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()()21f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(A) 12-(B) 14-(C)14(D)1210.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A 、B 两点，则cos A F B ∠= (A)45(B)35(C) 35-(D) 45-11.已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60 二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球面的半径为4.圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为 (A) 7π (B) 9π (C) 11π (D) 13π12. 设向量,,a b c 满足11,,,602a b a b a c b c ===---=，则c 的最大值等于(A) 2 (B) 3 (C) 2 (D) 1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写. 13. ()201x-的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为 .14. 已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，5sin 5α=，则tan 2α= . 15. 已知12F F 、分别为双曲线22:1927xyC -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为()2,0，AM 为12F A F ∠的角平分线，则 2AF = .16. 已知点E 、F 分别在正方体1111ABC D A B C D - 的棱11BB C C 、上，且12B E E B =,12C F FC =,则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .三、解答题：本大题共6小题，共70分。

2011年高考新课标全国卷_文科数学(含答案)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M N ，则P 的子集共有A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个2．复数512ii=-A ．2i -B ．12i -C ． 2i -+D ．12i -+3．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是A ．3y x =B ．||1y x =+C ．21y x =-+ D ．||2x y -=4．椭圆221168x y +=的离心率为A ．13 B ．12C ．33D ．225．执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是A ．120B ． 720C ．1440D ．50406．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为A ．13 B ． 12C ．23D ．347．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=A ． 45-B ．35-C ．35D ．458．在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为9．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||12AB =，P 为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为 A ．18 B ．24C ． 36D ． 4810．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为A ．1(,0)4-B ．1(0,)4C ．11(,)42D ．13(,)2411．设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则 A ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线4x π=对称 B ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线2x π=对称 C ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线4x π=对称D ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线2x π=对称12．已知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时2()f x x =，那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a+b 与向量ka-b 垂直，则k=_____________．14．若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值是_________．15．ABC ∆中，120,7,5B AC AB =︒==，则ABC ∆的面积为_________．16．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 中，113a =，公比13q =．（I ）n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12nn a S -=（II ）设31323log log log n n b a a a =+++，求数列{}n b 的通项公式．18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ．（I ）证明：PA BD ⊥；（II ）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC 的高． 19．（本小题满分12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：A 配方的频数分布表指标值分组 [90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数 8 20 42228B 配方的频数分布表指标值分组 [90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数 412423210（I ）分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；（II ）已知用B 配方生产的一种产品利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润． 20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上．（I ）求圆C 的方程；（II ）若圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，且,OA OB ⊥求a 的值．21．（本小题满分12分）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．（I ）求a ，b 的值；（II ）证明：当x>0，且1x ≠时，ln ()1xf x x >-．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为ABC ∆的边AB ，AC 上的点，且不与ABC ∆的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根．（I ）证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；（II ）若90A ∠=︒，且4,6,m n ==求C ，B ，D ，E 所在圆的半径． 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ．（I ）求2C 的方程；（II ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求|AB|．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()||3f x x a x =-+，其中0a >．（I ）当a=1时，求不等式()32f x x ≥+的解集．（II ）若不等式()0f x ≤的解集为｛x|1}x ≤-，求a 的值．2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷参考答案一、选择题（1）B （2）C （3）B （4）D （5）B （6）A （7）B （8）D （9）C （10）C （11）D （12）A 二、填空题（13）1 （14）-6 （15）4315 （16）31三、解答题（17）解：（Ⅰ）因为.31)31(311n n n a =⨯=- ,2311311)311(31nn n S -=--= 所以,21nn a S --（Ⅱ）n n a a a b 32313log log log +++= )21(n +++-=2)1(+-=n n所以}{n b 的通项公式为.2)1(+-=n n b n (18)解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=︒=，由余弦定理得BD =从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面P AD. 故 P A ⊥BD（Ⅱ）如图，作DE ⊥PB ，垂足为E 。

2011年高考新课标卷文科数学试题(解析版)

2011年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷）文科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其他题为必考题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{0,1,2,3,4}M =，{1,3,5}N =，P MN =，则P 的子集共有A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个【答案】B 【解析】P M N =={1,3}，故P 的子集有224=个．2．复数5i12i=- A ．2i - B ．12i - C ．2i -+ D ．12i -+ 【答案】C 【解析】5i 5i(12i)2i 12i (12i)(12i)+==-+--+． 3．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是A ．3y x = B ．||1y x =+ C ．21y x =-+ D ．||2x y -=【答案】B【解析】3y x =为奇函数，21y x =-+在(0,)+∞上为减函数，||2x y -=在(0,)+∞上为减函数，故选B ．4．椭圆221168x y +=的离心率为A ．13 B ．12C D ．2【答案】D【解析】由221168x y +=可知216a =，28b =，∴2228c a b =-=，∴22212c e a ==,∴22e =． 5．执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是A ．120B ．720C ．1440D ．5040 【答案】B【解析】由程序框图可得，输出的123456720p =⨯⨯⨯⨯⨯=，选B6．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A ．13 B ．12 C ．23 D ．34【答案】A【解析】记三个兴趣小组分别为1、2、3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1,乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1;甲2，乙2；甲2,乙3；甲3,乙1；甲3,乙2；甲3，乙3”，共9个．记事件A 为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”,其中事件A 有“甲1，乙1;甲2，乙2；甲3，乙3”,共3个．因此31()93P A ==． 7．已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=A ．45-B ．35-C ．35D ．45【答案】B【解析】由题知tan 2θ=，222222cos sin 1tan 3cos2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++,选B ．8．在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为俯视图正视图DCB A【答案】D【解析】通过正视图及俯视图可看出该几何体为半个圆锥和一个三棱锥组合在一起，故侧视图为D ．9．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于,A B 两点,||AB =12,P为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为_____．A ．18B ．24C ．36D ．48 【答案】C【解析】设抛物线方程为22y px =，则焦点坐标为(,0)2p ,将2px =代入22y px =可得22y p =，||AB =12，即2p =12,∴p =6．点P 在准线上，到AB 的距离为p =6,所以ABP∆面积为1612362⨯⨯=． 10．在下列区间中,函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为_____． A ．1(,0)4- B ．1(0,)4 C ．11(,)42 D ．13(,)24【答案】C【解析】因为114411()432044f e e =+⨯-=-<，112211()431022f e e =+⨯-=->，所以()43xf x e x =+-的零点所在的区间为11(,)42．11．设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则 A ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线4x π=对称B ．()y f x =在(0,)2π单调递增,其图象关于直线2x π=对称C ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线4x π=对称 D ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线2x π=对称【答案】D【解析】因为()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++=2sin(2)2x π+=2cos 2x ，所以2cos 2y x =，在(0,)2π单调递减，对称轴为2x k π=，即2k x π=(k ∈Z )．12．已知函数()y f x =的周期为2,当[1,1]x ∈-时2()f x x =，那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有_____．A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个【答案】A【解析】画出两个函数图象可看出交点有10个．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量+a b 与向量k -a b 垂直,则k = ．【答案】1【解析】∵+a b 与k -a b 垂直，∴（+a b ）·（k -a b ) =0，化简得(1)(1)0k -⋅+=a b ，根据a 、b 向量不共线，且均为单位向量得10⋅+≠a b ，得10k -=，即1k =． 14．若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值是_________．【答案】－6【解析】画出区域图知,当直线2z x y =+过239x y x y +=⎧⎨-=⎩的交点(4,-5）时，min 6z =-．15．ABC ∆中,120,7,5B AC AB =︒==，则ABC ∆的面积为_________．153【解析】根据sin sin AB ACC B=得5353sin sin 7AB C B AC === 25311cos 1()1414C =-=, 所以sin sin[()]sin cos sin cos A B C B C C B π=-+=+3111533321421414=⨯-⨯=．因此ABC S ∆=1133153sin 7522144AB AC A ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= 16．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为______________．【答案】13【解析】设球心为1O ，半径为1r ，圆锥底面圆圆心为2O ，半径为2r ，则有22123416r r ππ⨯=，即212r r =,所以1122r O O ==，设两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高分别为1h 、2h ，则1111211232r r h r h r -==+．三、解答题:解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分）已知等比数列{}n a 中，113a =，公比13q =．（Ⅰ）n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12nn a S -=；(Ⅱ）设31323log log log n n b a a a =+++，求数列{}n b 的通项公式．【解析】（Ⅰ）因为.31)31(311n n n a =⨯=- ,2311311)311(31nn n S -=--= 所以,21nn a S --（Ⅱ）n n a a a b 32313log log log +++=)21(n +++-=2)1(+-=n n 所以}{n b 的通项公式为.2)1(+-=n n b n18．（本小题满分12分)如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒,2AB AD =,PD ⊥底面ABCD ．(Ⅰ）证明:PA BD ⊥；(Ⅱ）若1PD AD ==，求棱锥D PBC -的高．【解析】（Ⅰ)因为60,2DAB AB AD ∠=︒=，由余弦定理得3BD AD =从而222BD AD AB +=，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ,可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面P AD 。