一次函数与方程和不等式的关系

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一次函数与方程(组)、不等式(组)的关系

一次函数——与方程（组）、不等式（组）的关系

【总结解题方法提升解题能力】

【课堂笔记】

1.待定系数法求一次函数解析式：已知两点坐标求k和b，本质是求解二元一次方程组.

2.一次函数与方程、不等式（组）的联系：充分体现数形结合思想，解决办法是观察图象、按图索骥，寻找交点（与坐标轴交点、两直线交点等）解决.

一、待定系数法求一次函数解析式

1.已知一次函数的图象过点（3，5）与点（﹣4，﹣9），求这个一次函数的解析式．

2.已知一次函数的图象过M（1，3），N（﹣2，12）两点．

（1）求函数的解析式；

（2）试判断点P（2a，﹣6a+8）是否在函数的图象上，并说明理由．

3.已知一次函数y=kx+b，当x=2时，y=﹣3，当x=1时，y=﹣1．

（1）求一次函数的解析式；

（2）若该一次函数的图形交x轴y轴分别于A、B两点，求△ABO的面积．

4.如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点B．

（1）求该一次函数的解析式；

（2）判定点C（4，﹣2）是否在该函数图象上？说明理由；

（3）若该一次函数的图象与x轴交于D点，求△BOD的面积．

5.直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．

（1）求直线AB的表达式．

（2）若直线AB上有一动点C，且S△BOC=2，求点C的坐标．

二、一次函数与方程（组）

6.如图，直线y=ax+b过点A（0，2）和点B（﹣3，0），则方程ax+b=0的解是（）

A．x=2 B．x=0

C．x=﹣1 D．x=﹣3

7.直线y=2x+b与x轴的交点坐标是（2，0），则关于x的方程2x+b=0的解是（）

一次函数与方程不等式知识点

一、一次函数与一元一次方程的关系

直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。求直线y b

kx =+与x 轴交点时，可令0y =，得到方程b 0kx +=，解方程得x b k =-，直线y b kx =+交x 轴于(,0)b k -，b

就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标。

二、一次函数与一元一次不等式的关系

任何一元一次不等式都可以转化为a b 0x +>或a b 0x +<(b a 、为常数，0a ≠)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。

三、一次函数与二元一次方程（组）的关系

一次函数的解析式y b k 0kx =+≠（）本身就是一个二元一次方程，直线y b k 0kx =+≠（）上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y b k 0kx =+≠（），因此二元一次方程的解也就有无数个。

一、一次函数与一元一次方程综合

【例1】若直线(2)6y m x =--与x 轴交于点()60，

，则m 的值为（） A.3 B.2 C.1 D.0

【例2】已知直线(32)2y m x =++和36y x =-+交于x 轴上同一点，m 的值为（）

A ．2-

B ．2

C ．1-

D ．0

【巩固】已知一次函数y x a =-+与y x b =+的图象相交于点()8m ，

，则a b +=______．

例题精讲

知识点睛

一次函数与方程、不等式综合

二、一次函数与一元一次不等式综合【例3】已知一次函数25

一次函数与方程、不等式的关系

6 4 2
1 y x 1 2
l 1: y=
2
x+1
P(2,2)
得l1，l2的交点为P（2，2）。所以方程的解是
x 2 y 2 2 x y 2
x 2 y 2
-6
-4
-2
O -2 -4
2
4
6
-6
。
一、二元一次方程的解与相应的一次函数图象上点对应。以方程 x+y=3 的解为坐标的所有点组成的图形就是一次函数 y=3－x 的图象. 二、因为函数和方程有以上关系，所以我们就可以用图象法解决方程问题，也可以用方程的方法解决图象问题。三、用图象法解二元一次方程组的一般步骤: 1.把两个方程都化成函数表达式的形式。 2.画出两个函数的图象。 3.找出交点坐标，交点坐标即为方程组的解。
用多种方法解行程问题兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑 9 米，然后自己才开始跑。已知弟弟每秒跑 3 米，哥哥每秒跑 4 米。列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题： (1) 何时弟弟跑在哥哥前面？ (2) 何时哥哥跑在弟弟前面？ (3) 谁先跑过 20米？谁先跑过 100米？你是怎样求的？与同伴交流。设x 为哥哥起跑开始的时间, 则哥哥与弟弟每人所跑的距离 y (m)与时间 x (s) 之间的关系式分别是： y1= 4x ，y2= 9+3x .

方程函数不等式之间关系

◆知识讲解

1．一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系

一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数y=ax +b （a≠0，a ，b 为常数）中，函数的值等于0时自变量x 的值就是一元一次方程ax +b=0（a≠0）的解，所对应的坐标（－

，0）是直线y=ax+ b 与x 轴的交点坐标，反过来也成立；直线y=ax +b 在x 轴的上方，也就是函数的值大于零，x 的值是不等式ax+ b>0（a≠0）的解；在x 轴的下方也就是函数的值小于零，x 的值是不等式ax +b<0（a≠0）的解．

2．坐标轴的函数表达式

函数关系式x=0的图像是y 轴，反之，y 轴可以用函数关系式x=0表示；•函数关系式y=0的图像是x 轴，反之，x 轴可以用函数关系式y=0表示．

3．一次函数与二元一次方程组的关系

一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就是对应着两条直线，从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标，所以一次函数及其图像与二元一次方程组有着密切的联系．

4．两条直线的位置关系与二元一次方程组的解

（1）二元一次方程组11

y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩有唯一的解⇔直线y=k 1x+b 1不平行于直线y=k 2x+b 2

⇔k 1≠k 2．

（2）二元一次方程组11

y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩无解⇔直线y=k 1x+b 1∥直线y=k 2x+b 2 ⇔k 1=k 2，

一次函数与方程的关系

一次函数与方程（组）、不等式的关系

1、一次函数与一元一次方程

直线与轴交点的横坐标，就是一元一次方程的解。

求直线与轴交点的横坐标，可令得方程，解得方程，是直线

与轴交点的横坐标。反之，由函数的图像也能求出对应的一元一次

方程的解。

2、一次函数与二元一次方程组

一次函数图像上任意一点的坐标都是二元一次方程的解；以二元

一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图像上。

3、一次函数与一元一次不等式

①、使得一次函数的函数值的自变量的取值范围，即求的解集；反之，求的解集，即求一次函数的函数值的自变量的取值范围。（此处常用图解法求一元一次不等式的解集）

②、用图像法求一元一次不等式（例子）的解集步骤：

、设：设，则求，即求一次函数的函数值的自变量的取值范围。、作：根据五点作图法，作出一次函数的图像

、求：求出一次函数与轴的交点坐标

、解：根据直角坐标系特点，轴上方，恒成立；反之，轴下方，恒成立，故求，即看图

初高中衔接第五讲《一次函数与方程、不等式》

第五讲一次函数与方程、不等式姓名

基础知识呈现

1、一次函数与方程、不等式有深刻的内在联系，方程和不等式分别着眼于数量之间的相等或不

等关系，而一次函数则从研究数量变化规律将两者统一起来，并实现一定条件下的相互转化。 2、一次函数()0≠+=k b kx y 的图像与x 轴交点的横坐标是方程0=+b kx 的解；在x 轴上方

时，自变量x 的取值范围是不等式0>+b kx 的解，在x 轴下方时，自变量x 的取值范围是不等式0<+b kx 的解。 3、一般地，方程组()0212

1≠⎩⎨

⎧+=+=k k b x k y b x k y 的解是两个一次函数2211,b x k y b x k y +=+=的图

像的交点坐标；当x 取不等式2211b x k b x k +>+的解时，函数11b x k y +=的图像在

22b x k y +=图像的上方；当x 取不等式2211b x k b x k +<+的解时，函数11b x k y +=的图

像在22b x k y +=图像的下方。

例题讲解

例1、函数11+=x y 与b ax y +=2的图象如图所示，这两个函数的交点在y 轴上，那么1y 、2y 的值都大于零的x 的取值范围是；

例2、在直角坐标系中，横纵坐标都是整数的点称为整点，设k 为整数，当直线3-=x y 与k kx y +=的交点为整点时，k 的值为。

例3、从2,3,4,5这四个数中，任取两个数()q p q p ≠,，构成函数21-=px y 和q x y +=2，使这两个函数的交点在直线2=x 的左侧，则这样的有序数组()q p ,共有（） A.12组 B.6组 C.5组 D.3组

一元一次不等式与一次函数一元一次方程的关系

一元一次不等式与一次函数一元一次方程的

关系

一元一次不等式与一次函数一元一次方程有着密切的关系。一元一次不等式的形式为ax + b > 0（或ax + b < 0），其中a和b是已知常数，x是未知数。一般情况下，一元一次不等式可以通过绘制一次函数的图像来解决。而一次函数的一元一次方程则可以写成ax + b = 0的形式，其中a和b是已知常数，x是未知数。可以将求解一元一次不等式的过程转化为求解一次函数一元一次方程的过程，从而通过图像或求根的方式来找到不等式的解。同时，对一次函数的图像进行分析也可以帮助我们判断一元一次不等式的解的情况，如判定不等式解集的开闭、有界无界性等。因此，一元一次不等式与一次函数一元一次方程之间存在着密切的联系。

一次函数和方程关系解不等式的方法一次函数与一元一次不等式

函数和不等式:

解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b

的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；

从函数图像的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合。

对应一次函数y=kx+b，它与x轴交点为（b/k，0）。

当k>0时，不等式kx+b>0的解为：x> b/k，不等式kx+b<0的解为：x< b/k；

当k<0的解为：不等式kx+b>0的解为：x< b/k，不等式kx+b<0的解为：x> b/k。

一次函数与方程、不等式的关系

一次函数与一元一次方程的关系：

一般的一元一次方程0kx b +=的解就是一次函数y kx b =+的图象与x 轴交点的横坐标。

直线与坐标轴的交点坐标的求法：

（1）直线y kx b =+与y 轴交点的横坐标是0，当x=0时，一次函数y kx b =+的函数值y b =，b 就是交点的纵坐标，即直线y kx b =+与y 轴的交点为（0,b ）

；（2）直线y kx b =+与x 轴交点的纵坐标是0，故令y=0，得到方程0kx b +=，解方程得

b x k

，b k -

就是直线y kx b =+与x 轴交点的横坐标，即直线y kx b =+与x 轴的交点为(,0)b k

一次函数与一元一次不等式的关系：

（1）一般的，一元一次不等式0(0)kx b kx b +>+

（2）从图象上看，一元一次不等式0kx b +>的解集是直线y=kx+b 位于x 轴上方的部分所对

应的自变量x 的取值范围；一元一次不等式0kx b +

（1）一次函数y=kx+b 图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx y b -=-的一组解；（2）以二元一次方程kx y b -=-的解为坐标的点都在一次函数y kx b =+的图象上（3）对于同一个数学模型()y=kx+b k 0≠，若将其中的x 、y 看做变量，则它表示一个一次函数；若将x 、y 看做未知数，则它就是一个二元一次方程，二者本质相同一次函数与二元一次方程组的关系：

两条直线1l ：11y k x b =+ ()10k ≠，2l ：22y k x b =+()20k ≠的交点坐标就是关于x 、y 的方程组

专题4 一次函数与方程、不等式的关系-重难点题型(举一反三)(浙教版)(解析版)

专题5.4 一次函数与方程、不等式的关系-重难点题型

【浙教版】

【知识点1 一次函数与一元一次方程、不等式的关系】

【例1】（2020秋•包河区期中）根据一次函数y＝kx+b的图象，直接写出下列问题的答案：（1）关于x的方程kx+b＝0的解；

（2）代数式k+b的值；

（3）关于x的方程kx+b＝﹣3的解．

【解题思路】（1）利用函数图象写出函数值为0时对应的自变量的值即可；

（2）利用函数图象写出x＝1时对应的函数值即可

（3）利用函数图象写出函数值为﹣3时对应的自变量的值即可．

【解答过程】解：（1）当x＝2时，y＝0，

所以方程kx+b＝0的解为x＝2；

（2）当x＝1时，y＝﹣1，

所以代数式k+b的值为﹣1；

（3）当x＝﹣1时，y＝﹣3，

所以方程kx+b＝﹣3的解为x＝﹣1．

【变式1-1】（2021秋•泰兴市校级期末）已知一次函数y＝kx+1与y=−1

2x+b的图象相交

于点（2，5），求关于x的方程kx+b＝0的解．

【解题思路】首先将（2，5）点代入一次函数解析式求出k，b的值，进而解方程得出答案．

【解答过程】解：∵一次函数y＝kx+1与y=−1

2x+b的图象相交于点（2，5），

∴5＝2k+1，5=−1

×2+b，

解得：k＝2，b＝6，

则kx+b＝0为：2x+6＝0，

解得：x＝﹣3．

【变式1-2】一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b＝4的解为多少？

【解题思路】先求出函数的解析式，再把y＝4代入，即可求出x．

【解答过程】解：把（0，1）和（2，3）代入y＝kx+b得：

中考数学总复习一次函数与方程、不等式的关系

一次函数与方程、不等式的关系

考点·方法·破译 1．一次函数与一元一次方程的关系：任何一元一次方程都可以转化成kx ＋b ＝0(k 、b 为常数，k ≠0)的形式，可见一元一次方程是一次函数的一个特例．即在y ＝kx ＋b 中，当y ＝0时则为一元一次方程．

2．一次函数与二元一次方程(组)的关系：

⑴任何二元一次方程ax ＋by ＝c (a 、b 、c 为常数，且a ≠0，b ≠0)都可以化为y ＝a c x b b

-+的形式，因而每个二元一次方程都对应一个一次函数；

⑵从“数”的角度看，解方程组相当于求两个函数的函数值相等时自变量的取值，以及这个函数值是什么；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两个函数图像交点的坐标．

3．一次函数与一元一次不等式的关系：由于任何一元一次不等式都可以转化成ax ＋b ＞0或ax ＋b ＜0(a 、b 为常数，a ≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看成是当一次函数的函数值大于或小于0时，求相应自变量的取值范围．

经典·考题·赏析

【例1】直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 1x ＋b ＞k 2x 的解为( )

A ．x ＞－1

B ．x ＜－1

C ．x ＜－2

D ．无法确定【解法指导】由图象可知l 1与l 2的交点坐标为(－1，－2)，即当x ＝－1时，两函数的函数值相等；当x ＞－1时，l 2的位置比l 1高，因而k 2x ＞k 1x ＋b ；当当x ＜－1时，l 1的位置比l 2高，因而k 2x ＜k 1x ＋b ．因此选A ．

一次函数与方程和不等式

复习回顾：

我们学习了关于一次函数的那些知识点？那些考察点容易犯错误？

1．求直线y=2x+4和y=-3x+9与x 轴所围成的面积.

2．如图，直线1l 的解析表达式为33y x =-+，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A B ，，直线1l ，2l 交于点C ．（1）求点D 的坐标；（2）求直线2l

（3）求ADC △的面积；（4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得 ADP △与ADC △的面积相等，请直接．．写出点P 的坐标．

一、一次函数与一元一次方程的关系

直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。求直线y b kx =+与x 轴交点时，可令0y =，得到方程b 0kx +=，解方程得x b

=-，直线y b kx =+交x 轴于(,0)b k

-，b

k -就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标。

二、一次函数与一元一次不等式的关系

三、一次函数与二元一次方程（组）的关系

一次函数的解析式y b k 0kx =+≠（）本身就是一个二元一次方程，直线y b k 0kx =+≠（）上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y b k 0kx =+≠（），

因此二元一次方程的解也就有无数个。

二元一次方程组的解，可以理解为两个一次函数的公共点

一次函数与方程不等式知识点汇总

一、一次函数与一元一次方程的关系

直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。求直线y b

kx =+与x 轴交点时，可令0y =，得到方程b 0kx +=，解方程得x b k =-，直线y b kx =+交x 轴于(,0)b k -，b

就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标。

二、一次函数与一元一次不等式的关系

任何一元一次不等式都可以转化为a b 0x +>或a b 0x +<(b a 、为常数，0a ≠)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值围。

三、一次函数与二元一次方程（组）的关系

一、一次函数与一元一次方程综合

【例1】若直线(2)6y m x =--与x 轴交于点()60，

，则m 的值为（） A.3 B.2 C.1 D.0

【例2】已知直线(32)2y m x =++和36y x =-+交于x 轴上同一点，m 的值为（）

A ．2-

B ．2

C ．1-

D ．0

【巩固】已知一次函数y x a =-+与y x b =+的图象相交于点()8m ，

，则a b +=______．知识点睛

例题精讲

一次函数与方程、不等式综合

二、一次函数与一元一次不等式综合【例3】已知一次函数25

19.2.3——一次函数与方程、不等式(第一课时)教学设计 (2)

19.2.3 一次函数与方程、不等式（第一课时）

龙感湖中学严格

一、教学内容：

一次函数与方程、不等式的关系

二、内容解析：

函数、方程、不等式是初中数学的核心内容，函数是联系方程、不等式的纽带，通过函数图像，可以直观地表示方程（组）和不等式的解或者解集的含义。用函数的观点看一元一次方程，可以把解一元一次方程理解为已知一次函数的函数值求对应的自变量的值；用函数的观点看一元一次不等式，它的解集就是使得函数值在某个范围的自变量的取值范围。研究函数、方程、不等式间的联系可以深化相关知识的理解，优化知识结构。

综上所述，本节课教学重点是：理解一次函数与一元一次方程和一元一次不等式的联系。

三、教学目标：

（1）认识一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系，会用函数观点解释方程和不等式及其解或解集的意义；

（2）经历用函数图像表示方程和不等式的过程，体会数形结合的思想。

四、学情分析：

学生已经学习过一次函数、一元一次方程、一元一次不等式，知道它们是刻画现实问题中数量关系的重要模型，但还没有建立这些知识间的有效联系，不知道方程、不等式、函数的联系。从函数图像的角度看一元一次方程，实际上是已知一次函数图像上点的纵坐标求与其对应的纵坐标；用函数图像观点看不等式，要把不等式的解集看作纵坐标的值在一定范围内的点对应的x轴的部分。

因此，本节课的教学难点是：把一次函数图像上点的坐标与一元一次方程、一元一次不等式的解或解集建立联系。

【提问】我们刚刚学习了从函数的角度看方程，那么大家能不能尝试从函数值的角度理解不等式：

一次函数与方程组、不等式的关系

一、概述

一次函数，又称一元函数，是利用一个变量由常数、指数、对数、三

角函数和其他的混合动态变量构成的函数。它可以以简单的一次曲线

定义某一参数变化情况，也可以定义涉及多个变量的复杂方程组，对

曲线参数进行函数式分析和证明。一次函数可以看做是方程组和不等

式的特例，与方程组、不等式关系密切。

二、一次函数与方程组的关系

一次函数可以看做方程组的特殊情况，当某一方程只有一个未知数时，它就可以转换成一次函数，并有着一定的图形表示，简化了对其进行

分析的过程，极大的提高了效率。如当一组方程组均为一个未知数冚

构成时，若满足一次函数的性质，那么这组方程组就可以看做是一次

函数的特殊情况。

例如，若我们有一组以y=2x+1构成的一次函数，那么它就可以表示为

形如y-2x-1=0的方程，也就是图形上红色一次函数曲线对应着满足蓝

色方程线的点。

三、一次函数与不等式的关系

与方程组类似，不等式也可以通过一次函数转换，当某一不等式只有一个未知数构成时，就可以用一次函数进行表示，并且由于不等式的加减性，不同类型的不等式有着不同的图形表示。

例如，当y<2x+1的不等式表达式转换为一次函数时，我们可以得到一条红色的上限函数曲线，它就可以表示不等式表达式所给出的结果，也就是解空间位于红色曲线之下的点才符合不等式表达式。

四、总结

一次函数与方程组、不等式的关系密切，它们各自都可以通过对另一个的转换来进行数学分析和求解，而一次函数的表示也简化了数学求解的难度，可以有效的提高效率。

一次函数与一次方程、一次不等式的关系

一次函数与一次方程、一次不等式

的关系

一次函数与一次方程、一次不等式的关系

随着数学的发展，一次函数、一次方程、一次不等式成为初中数学的重点内容之一，这三者之间的关系也越来越受到人们的重视。本文将从定义、性质和应用等方面介绍一次函数、一次方程、一次不等式之间的关系，以帮助读者更好地掌握这些数学知识。

一、一次函数

在初中数学中，我们通常将形如y=kx+b的函数称为一次函数，其中k和b都是常数。一次函数的图像通常是一条直线，垂直于x轴的是纵坐标常数，垂直于y轴的是横坐标常数。一次函数具有以下性质：

1、函数图像是一条直线；

2、函数值具有线性关系；

3、函数的斜率为常数，代表了函数的变化率。

二、一次方程

一次方程是指形如ax+b=0的方程，其中a和b都是常数，且a≠0。一次方程的解是方程中符合条件的未知量的值，即x=-b/a。一次方程的解法有多种，例如等式两边同时乘除、移项等。一次方程也具有以下性质：

1、方程中只有一个未知量；

2、方程的通解只有一个；

3、方程的解法简单直接。

三、一次不等式

一次不等式是指形如ax+b>0或ax+b<0的不等式，其中a和b都是常数，且a≠0。一次不等式的解是满足不等式中的未知量的取值范围。一次不等式的解法需要讨论a 的正负和不等式的方向，可以利用初等代数方法或者图像分析方法求解。一次不等式也具有以下性质：

1、不等式中只有一个未知量；

2、不等式的解可能是区间或者单个值；

3、不等式的解法需要分类讨论和分析。

四、一次函数、一次方程、一次不等式的关系

1、一次函数与一次方程的关系

一次函数与方程和不等式的关系

一次函数与方程(组)、不等式(组)的关系

一次函数与方程不等式知识点

一次函数与方程、不等式的关系

方程函数不等式之间关系

一次函数与方程的关系

初高中衔接第五讲 《一次函数与方程、不等式》

一元一次不等式与一次函数一元一次方程的关系

一次函数和方程关系解不等式的方法一次函数与一元一次不等式

一次函数与方程、不等式的关系

专题4 一次函数与方程、不等式的关系-重难点题型(举一反三)(浙教版)(解析版)

中考数学总复习一次函数与方程、不等式的关系

一次函数与方程和不等式

一次函数与方程不等式知识点汇总

19.2.3——一次函数与方程、不等式(第一课时)教学设计 (2)

一次函数与方程组、不等式的关系

一次函数与一次方程、一次不等式的关系

初高中衔接第五讲《一次函数与方程、不等式》