苏科版九年级上册期终复习要点三(第五章二次函数)(2019秋).doc

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九年级上册数学知识点二次函数

九年级上册数学知识点二次函数九年级上册数学知识点的二次函数主要包括以下内容：1. 二次函数的概念：二次函数是一个含有x的二次多项式，其一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c。

其中a、b、c为常数，a不等于0。

2. 二次函数的图像：二次函数的图像是一个开口向上或开口向下的抛物线。

开口向上的抛物线对应的二次函数的a值为正，开口向下的抛物线对应的二次函数的a值为负。

3. 二次函数的顶点：二次函数的顶点是抛物线的最低点（开口向上）或最高点（开口向下）。

顶点的横坐标为x = -b/(2a)，纵坐标为f(-b/(2a))。

4. 二次函数的对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点且垂直于x轴的直线。

对称轴的方程为x = -b/(2a)。

5. 二次函数的零点：二次函数的零点是函数的图像与x轴交点的横坐标。

可以通过求解二次方程ax^2 + bx + c = 0来求得零点。

6. 二次函数的最值：开口向上的二次函数没有最小值，开口向下的二次函数没有最大值。

可以根据顶点和抛物线的开口方向来判断最值的取值范围。

7. 二次函数的平移：对二次函数进行平移操作可以改变函数的顶点和对称轴的位置。

平移时，可以考虑将二次函数的一般式写成完全平方形式，然后对x进行平移。

8. 二次函数与一次函数的关系：二次函数是一次函数的平方。

通过解方程或图像的变化，可以找到一次函数和二次函数之间的关系。

9. 二次函数的应用：二次函数在现实生活中具有广泛应用，如物体的抛射运动、焦点和准线问题、面积最大值和最小值等问题。

应用中需要把问题转化为二次函数，并利用二次函数性质进行求解。

九年级上册数学二次函数知识点

九年级上册数学二次函数知识点一、二次函数的概念。

1. 定义。

- 一般地，形如y = ax^2+bx + c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数。

其中x是自变量，a、b、c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。

- 例如y = 2x^2+3x - 1，这里a = 2，b=3，c=-1。

2. 二次函数的特殊形式。

- 当b = 0时，二次函数为y=ax^2+c，例如y = 3x^2-2。

- 当c = 0时，二次函数为y = ax^2+bx，例如y=x^2+2x。

- 当b = 0且c = 0时，二次函数为y = ax^2，例如y=-x^2。

二、二次函数的图象和性质。

1. 二次函数y = ax^2的图象和性质（a≠0）- 图象：二次函数y = ax^2的图象是一条抛物线。

当a>0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

- 对称轴：对称轴为y轴（即直线x = 0）。

- 顶点坐标：顶点坐标为(0,0)。

- 增减性。

- 当a>0时，在对称轴左侧（x<0），y随x的增大而减小；在对称轴右侧（x>0），y随x的增大而增大。

- 当a < 0时，在对称轴左侧（x<0），y随x的增大而增大；在对称轴右侧（x>0），y随x的增大而减小。

2. 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象和性质。

- 图象：也是一条抛物线。

- 对称轴：对称轴公式为x =-(b)/(2a)。

- 顶点坐标：把x =-(b)/(2a)代入函数y = ax^2+bx + c可得到顶点的纵坐标y=frac{4ac - b^2}{4a}，所以顶点坐标为(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。

- 增减性。

- 当a>0时，在对称轴左侧（x<-(b)/(2a)），y随x的增大而减小；在对称轴右侧（x>-(b)/(2a)），y随x的增大而增大。

苏科版初三数学重要知识点

苏科版初三数学重要知识点天才就是勤奋曾经有人这样说过。

如果这话不完全正确，那至少在很大程度上是正确的。

学习，就算是天才，也是需要不断练习与记忆的。

下面是小编给大家整理的一些初三数学的知识点，希望对大家有所帮助。

九年级数学知识点函数的图像与一元二次方程1.二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到.当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象;当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k 个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤-b/2a时，y随x 的增大而减小;当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大.若a<0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大;当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小.4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c);(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x?-x?|当△=0.图象与x轴只有一个交点;当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时，图象落在x轴的上方，x 为任何实数时，都有y>0;当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0.5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x=-b/2a 时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值.6.用待定系数法求二次函数的解析式(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax^2+bx+c(a≠0).(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0).(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0).初三年级数学知识点旋转一.知识框架二.知识概念1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。

苏科版九年级数学上册二次函数复习

课题：二次函数复习(初三上数学050)自助练习：①二次函数的定义：当k ＝时，函数1)1(2+-=+kk x k y 为二次函数．②二次函数的图像与性质：二次函数y ＝－x 2+6x+3的图象开口方向顶点坐标为____ __，对称轴为_________，当x ＝时函数有值，为．当x 时，y 的值随x 的增大而增大．它是由y ＝－x 2向平移个单位得到的，再向平移个单位得到的．③抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点个数：抛物线162++-=x x y 与x 轴的交点有个，抛物线4322+-=x x y 与x 轴的交点有个，抛物线y ＝x 2+2x+1与x 轴的交点为________．补充例题：例1 ．已知抛物线c bx ax y ++=2与抛物线732+--=x x y 的形状相同，顶点在直线1=x 上，且顶点到x 轴的距离为5，则此抛物线的解析式．例2 ．抛物线c bx ax y ++=2的图象与a 、b 、c 及b 2－4ac 的关系．x y O ⑴如图是y ＝ax 2+bx+c 的图象，则a______0 b______0 c______0 b 2－4ac________0．总结：抛物线c bx ax y ++=2的图象与a 、b 、c 及b 2－4ac 的关系是：a:开口方向；b ：结合a 看对称轴；c ：与y 轴交点坐标；b 2－4ac ：与x 轴的交点个数（2）二次函数c bx ax y ++=2与一次函数c ax y +=在同一直角坐标系中图象大致是（）(3)已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点()P a bc ，在第象限．(4)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④5a ＜b ．其中正确结论是（）A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③例3．如图平面直角坐标系中，圆M 经过原点O 且与x 轴、y 轴分别交于()()8006A B --，、，两点．（1）求出直线AB 的函数解析式；（2）若有一抛物线的对称轴平行于y 轴且经过点M ，顶点C 在⊙M 上，开口向下，且经过点B ，求此抛物线的函数解析式；（3）设（2）中的抛物线交x 轴于D 、E 两点，在抛物线上是否存在点P ，使得ABC PDE S S ∆∆=101？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．例4．如图，在矩形ABCD中，AB=6米，BC=8米，动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1米/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动t秒（0<t<5）后，四边形ABQP 的面积为S米2．（1）求面积S与时间t的关系式；（2）在P、Q两点移动的过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能，求出此时点P的位置；若不能，请说明理由。

初三数学上学期《二次函数》知识点归纳：苏版

初三数学上学期《二次函数》知识点归纳：苏版
学习是一个不断深入的过程，他需要我们对每天学习的新知识点及时整理，接下来由查字典数学网为大提供了二次函数知识点归纳，望大家好好阅读。

I.定义与定义表达式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax^2+bx+c
(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a0时，抛物线向上开口;当a0)，对称轴在y 轴左;
当a与b异号时(即ab0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ= b^2-4ac0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，
当h0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图象;
当h>0,k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
当h0时，开口向上，当a0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小;当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大.假设a0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2
是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x?-x?|
当△=0.图象与x轴只有一个交点;
当△0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0;当a
5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a。

(完整word)初三数学二次函数知识点总结,推荐文档

初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念：1. 二次函数的概念：一般地，形如 y = ax 2 + bx + c （ a 何何b c 是常数， a ≠ 0 ）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a ≠ 0 ，而b 何体实数．2. 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的结构特征：c 可以为零．二次函数的定义域是全⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式， x 的最高次数是 2． ⑵ a 何何b c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式： y = ax 2 的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2.y = ax 2 + c 的性质：上加下减。

3.y = a (x - h )2的性质：左加右减。

a < 0 向下(h 何0) X=h x >h 时，y 随x 的增大而减小；x <h 时，y 随x 的增大而增大；x =h 时，y 有最大值0 ．4.y =a (x -h)2 +k 的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0 向上(h 何k ) X=h x >h 时，y 随x 的增大而增大；x <h 时，y 随x 的增大而减小；x =h 时，y 有最小值k ．a < 0 向下(h 何k ) X=h x >h 时，y 随x 的增大而减小；x <h 时，y 随x 的增大而增大；x =h 时，y 有最大值k ．三、二次函数图象的平移1.平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y =a (x -h)2 +k ，确定其顶点坐标(h何k )；⑵ 保持抛物线y =ax2的形状不变，将其顶点平移到(h 何k )处，具体平移方法如下：【【(k>0)【【【【(k<0)【【【|k|【【【【【( h>0)【【【( h<0【【【|k|【【【【【( h>0)【【【( h<0)【【|k|【【【【【( k>0)【【【( k<0)【【【|k|【【【【【( h>0)【【【( h<0)【【【|k|【【【y=a(x-h)2【【(k>0)【【【(k<0)【【【|k|【【【y=a(x-h)2+k2.平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴ y =ax 2 +bx +c 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，y =ax 2 +bx +c 变成y =ax 2 +bx +c +m （或y =ax 2 +bx +c -m ）⑵ y =ax 2 +bx +c 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，y =ax 2 +bx +c 变成y =a(x +m)2 +b(x +m) +c （或y =a(x -m)2 +b(x -m) +c ）四、二次函数y =a (x -h)2 +k 与y=ax2+bx+c的比较y=ax2y=ax 2+k2a ⎝ ⎭⎝ ⎭从解析式上看， y = a (x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前 ⎛ b ⎫24ac - b 2 b 4ac - b 2者，即 y = a x + ⎪ +⎝ ⎭，其中 h = - 何 k = ． 4a 2a 4a五、二次函数 y = ax 2 + bx + c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 y = ax 2 + bx + c 化为顶点式 y = a (x - h )2 + k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点(0何 c )、以及(0何 c )关于对称轴对称的点(2h ，c )、与 x 轴的交点(x 1何 0)， (x 2 何 0)（若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴的交点，与 y 轴的交点.六、二次函数 y = ax 2 + bx + c 的性质b⎛ b 4ac - b 2 ⎪⎫ ． 1. 当 a > 0 时，抛物线开口向上，对称轴为 x = - 2a ，顶点坐标为 - 2a何 4a当 x < - b 时， y 随 x 的增大而减小；当 x > - b时， y 随 x 的增大而增大；当 x = - b 时， y 有最2a 2a2a 4ac - b 2小值．4ab ⎛ b 4ac - b 2 ⎫ b2. 当 a < 0 时，抛物线开口向下，对称轴为 x = - 2a ，顶点坐标为 - 2a 何 4a ⎪ ．当x < - 2a时， b b 4ac - b 2y 随 x 的增大而增大；当 x > - 2a 时， y 随 x 的增大而减小；当 x = - 2a 时， y 有最大值．4a七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： y = ax 2 + bx + c （ a ， b ， c 为常数， a ≠ 0 ）；2. 顶点式： y = a (x - h )2 + k （ a ， h ， k 为常数， a ≠ 0 ）；3. 两根式： y = a (x - x 1)(x - x 2 ) （ a ≠ 0 ， x 1 ， x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即b 2 - 4ac ≥ 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数 y = ax 2 + bx + c 中， a 作为二次项系数，显然 a ≠ 0 ．⑴ 当 a > 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大； ⑵ 当 a < 0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大．总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在 a > 0 的前提下，当b > 0 时， - b< 0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴左侧；2a 当b = 0 时， - b= 0 ，即抛物线的对称轴就是 y 轴；2a 当b < 0 时， - b> 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧．2a⑵ 在 a < 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当b > 0 时， - b> 0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴右侧；2a 当b = 0 时， - b= 0 ，即抛物线的对称轴就是 y 轴；2a 当b < 0 时， - b< 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧．2a总结起来，在 a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置．bab 的符号的判定：对称轴 x = - 在 y 轴左边则 ab > 0 ，在 y 轴的右侧则 ab < 0 ，概括的说就是2a“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当c > 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当c = 0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为0 ； ⑶ 当c < 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负．总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置．总之，只要 a 何何b c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于 x 轴对称y = ax 2 + bx + c 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y = -ax 2 - bx - c ；y = a (x - h )2 + k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y = -a (x - h )2- k ；ab 2. 关于 y 轴对称y = ax 2 + bx + c 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 y = ax 2 - bx + c ；y = a (x - h )2+ k 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 y = a (x + h )2+ k ； 3. 关于原点对称y = ax 2 + bx + c 关于原点对称后，得到的解析式是 y = -ax 2 + bx - c ；y = a (x - h )2+ k 关于原点对称后，得到的解析式是 y = -a (x + h )2- k ； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180°） 2 y = ax2+ bx + c 关于顶点对称后，得到的解析式是 y = -ax 2 - bx + c -； 2ay = a (x - h )2+ k 关于顶点对称后，得到的解析式是 y = -a (x - h )2+ k ．5. 关于点(m 何 n )对称y = a (x - h )2+ k 关于点(m 何 n )对称后，得到的解析式是 y = -a (x + h - 2m )2+ 2n - k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x 轴交点情况）：一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 是二次函数 y = ax 2 + bx + c 当函数值 y = 0 时的特殊情况. 图象与 x 轴的交点个数：① 当∆ = b 2 - 4ac > 0 时，图象与 x 轴交于两点 A (x ，0，) ，B (x 0) (x ≠ x ) ，其中的 x ，x 是一元二次121212方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的两根．这两点间的距离 AB = x 2- x 1 = .② 当∆ = 0 时，图象与 x 轴只有一个交点； ③ 当∆ < 0 时，图象与 x 轴没有交点.1' 当 a > 0 时，图象落在 x 轴的上方，无论 x 为任何实数，都有 y > 0 ；2 ' 当 a < 0 时，图象落在 x 轴的下方，无论 x 为任何实数，都有 y < 0 ．2. 抛物线 y = ax 2 + bx + c 的图象与 y 轴一定相交，交点坐标为(0 ， c ) ；3. 二次函数常用解题方法总结：x 2 y= -2y= -x 2y=-2x 2y=-2(x+3)2y=-2x 2y=-2(x-3)2y=2 x 2+2y=2 x 2y=2 x 2-4y=x 2 2y=2 x 2y=x 2⎩y=2 x 2y=2(x-4)2y=2(x-4)2-3y=3 (x+4)2y=3 x 2y=3 (x-2)2⑴ 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数 y = ax 2 + bx + c 中 a ， b ， c 的符号，或由二次函数中 a ， b ， c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式 ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 本身就是所含字母 x 的二次函数；下面以 a > 0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：∆ > 0 抛物线与 x 轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根∆ = 0 抛物线与 x 轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根∆ < 0 抛物线与 x 轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用⎧何何何何 ⎪ 何何何何何何何何 ⎨⎪何何何何何何何二次函数考查重点与常见题型1.考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数y = (m - 2)x 2 +m2 -m - 2 的图像经过原点，则m 的值是2.综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数y =kx +b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数y =kx 2 +bx - 1的图像大致是（）D3.考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x =5，求这条抛物线的解析式。

苏科版九年级数学上册第5章二次函数小结与思考

A.
B.
C.
D.
考点综合运用
4.函数的应用
【例 4-2】（2020·抚顺）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，
AC＝BC＝ 2 2 ，CD⊥AB 于点 D．点 P 从点 A 出发，沿 A－D
－C 的路径运动，运动到点 C 停止，过点 P 作 PE⊥AC 于点 E，
作 PF⊥BC 于点 F．设点 P 运动的路程为 x，四边形 CEPF 的
考点综合运用
3.从图像中获取信息
【例 3-4】一次函数 y1=kx+m 和二次函数 y2=ax2+bx+c 的大致图像如图，请根据图中信息回答问题（在横
线上直接写上答案） (1) 当 x= 1或8 时，y1=y2； (2) 不等式 ax2+bx+c＜0 的解集是 2＜x＜6 ； (3) 不等式 kx+m＞ax2+bx+c 的解集是 1＜x＜8 ．
(1)求抛物线的函数关系式及顶点 D 的坐标；
考点综合运用
5【.函例数的5综】合(2应)用若点 M 是抛物线上的一个异于点 C 的一个动点，求点 M 的坐标，使 S△ABM＝S△ABC；
考点综合运用
5.函数的综合应用
【例 5】(3)若点 P 是抛物线在直线 BC 下方的一个动点，求点 P 的坐标，使△BCP 的面积最大．
第5章二次函数小结与思考
学习目标
1.梳理二次函数章节体系. 2.掌握二次函数的图像与性质. 3.能运用二次函数解决实际问题. 4.综合运用二次函数知识，提升分析与解决问题的能力.
定义
应用
二次函数
图像
性质
考点综合运用
1.函数的图像与性质

九年级数学二次函数重点归纳总结(中考复习重要资料)

九年级数学二次函数重点归纳总结中考复习重要资料二次函数知识点总结一、定义与定义表达式一般地，自变量和因变量之间存在如下关系：=a2bc（a≠0），则称为的二次函数。

二、二次函数的三种表达式一般式：=a2bc（a≠0）顶点式：=a-h2（a≠0），此时抛物线的顶点坐标为为何值时，关于的方程20的两根是一个直角三角形的两个锐角的余弦值。

214关于的方程2250的两个根都大于2，则的取值范围为＿＿＿＿＿。

215关于的方程2510的一根小于0，另一根大于3，则的取值范围为＿＿＿＿＿。

16关于的方程222110且3，求证：方程总有实数根。

17关于的方程223m10有两个实数根1、2且满足围。

18已知22222215，则22=＿＿＿＿＿。

19直角三角形斜边长为正整数，两直角边长是方程92（310的两个根，则的值为＿＿＿＿＿。

20已知m、n为有理数，并且方程mn0有一根是52，那么mn 的值为＿＿＿＿＿。

21如果方程122m0的三根可以作为一个三角形的三边长，则m的取值范围为＿＿＿＿＿。

22若方程的取值范12422a仅有两个不同的实根，则实数a的取值范围为＿＿＿＿＿。

23关于的方程124已知1、2为方程2＋3＋1＝0的两实根，则12＋82＋20＝__________．25若n（n0）是关于的方程m2n0的根，则mn的值为____________．26设1、2是一元二次方程24－3=0的两个根，212252－3a=2，则a=．27若关于的一元二次方程2222120有实数根、．1求实数的取值范围；2设t2，求t的最小值2228实数a、b满足条件a7a20，b7b20，则2ab的值为____________。

ba29若一个三角形的三边都是方程12320的解，则此三角形的面积为____________。

30方程12的解为____________。

31若2243，则____________。

2232已知m,n是方程210的两根，且7m14ma3n6n78，则a的值等于____________。

九年级上册二次函数知识点总结

一、引言二次函数是初中数学课程中的重要内容，也是九年级上册数学课本中的重点章节之一。

掌握二次函数的知识对于理解数学原理、解决实际问题都具有重要意义。

通过九年级上册的学习，我们已经初步接触了二次函数的概念和基本性质，下面将对九年级上册二次函数的知识点进行总结，帮助大家巩固所学内容。

二、二次函数的定义1. 二次函数的定义：一般地，形如y=ax^2+bx+c（a≠0）的函数称为二次函数，其中a、b、c是已知常数，且a不等于0。

2. 二次函数的图像：二次函数的图像是抛物线。

抛物线开口方向由二次函数的系数a的正负性决定。

3. 二次函数的自变量、因变量：自变量通常用x表示，因变量通常用y表示。

三、二次函数的图像特征1. 抛物线的开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

2. 抛物线的顶点：二次函数的图像在其顶点处取得极值，当a>0时，抛物线的顶点是最小值点；当a<0时，抛物线的顶点是最大值点。

3. 抛物线的对称轴：对称轴是垂直于x轴过抛物线顶点的直线，其方程为x=-b/2a。

4. 抛物线的焦点：焦点是抛物线上所有点到定点的距离与到定直线的距离相等的点。

四、二次函数的基本性质1. 判别二次函数的开口方向：利用二次函数的一阶导数的正负性可以判断抛物线的开口方向。

2. 求解二次函数的零点：利用二次函数的根的求法，可以求出二次函数的零点。

3. 求解二次函数的顶点：利用二次函数的完全平方公式，可以求出二次函数的顶点。

五、二次函数的应用1. 利用二次函数解决实际问题：例如利用二次函数的图像特征和性质，可以解决抛物线运动、抛物线的方程等实际问题。

2. 二次函数与其他函数的关系：二次函数是数学中的一种基本函数，也是其他函数的重要组成部分，掌握二次函数的知识对于理解其他函数具有重要意义。

六、总结九年级上册的二次函数知识点虽然不算太多，但其中蕴含的数学思想和方法却是非常丰富的。

通过对二次函数的定义、图像特征、基本性质和应用进行总结，希望大家能够更加深入地理解和掌握二次函数，为今后的数学学习打下坚实的基础。

九年级数学二次函数的复习江苏科技版知识精讲

九年级数学二次函数的复习某某科技版【本讲教育信息】一. 教学内容：二次函数的复习二. 教学目的：1. 理解二次函数的概念及性质，会画出二次函数的图象。

2. 会用待定系数法求二次函数的解析式，用配方法和公式法求抛物线的顶点坐标和对称轴。

3. 能利用二次函数关系式及有关性质解决比较复杂的问题。

三. 重点、难点：重点：理解二次函数的概念，能结合图像对实际问题中的函数关系进行分析。

难点：能用函数解决实际问题［课堂教学］一. 知识要点：知识点1：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图所示.y b 2－4ac ＜0－4ac=0知识点2：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的性质（一）a 的符号决定抛物线的开口方向、大小及最大值或最小值.a ＞0等价于开口向上等价于最小值（最低点的纵坐标） a ＜0等价于开口向下等价于最大值（最高点的纵坐标） a 越大，开口越小；a 越小，开口越大.（二）a ，b 决定抛物线的对称轴和顶点的位置.b ＝0等价于，对称轴是y 轴，顶点在y 轴上.a ，b 同号等价于对称轴在y 轴的左侧，顶点在第二或第三象限内. a ，b 异号等价于对称轴在y 轴的右侧，顶点在第一或第四象限内.（三）c 的符号决定抛物线与y 轴交点的位置.c ＝0，等价于抛物线过原点.c ＞0，等价于抛物线交y 轴的正半轴. c ＜0，等价于抛物线交y 轴的负半轴.（四）a ，b ，c 的符号决定抛物线与x 轴交点的位置.抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0），且x 1＜x 2，△＞0.a ，b ，c 同号等价于A ，B 两点在x 轴的负半轴上.a ，c 同号且与b 异号等价于A ，B 两点在x 轴的正半轴. b ，c 同号且与a 异号等价于A ，B 两点在原点的两侧.（五）△＝b 2－4ac 的符号决定抛物线与x 轴交点个数.△＞0，等价于抛物线与x 轴有两个交点. △＝0，等价于抛物线与x 轴只有一个交点. △＜0，等价于抛物线与x 轴没有交点.（六）抛物线的特殊位置与系数的关系.顶点在x 轴上等价于△＝0. 顶点在y 轴上等价于b ＝0. 顶点在原点，等价于b ＝c ＝0. 抛物线经过原点，等价于c ＝0.知识点3：二次函数关系式的形式及对称轴、顶点坐标.（1）一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，且a ≠0），其对称轴为直线x ＝ab2-，顶点坐标为（ab2-，a b ac 442-）.（2）顶点式：y ＝a （x ＋h ）2＋k （a ，h ，k 是常数，且a ≠0），其对称轴为直线x ＝－h ，顶点坐标为（－h ，k ）.（3）交点式：y ＝a （x －x 1）（x －x 2），其中a ≠0，x 1，x 2是抛物线与x 轴两个交点的横坐标，即一元二次方程的两个根.知识点4：抛物线的平移规律.基本口诀：上加下减，左加右减，具体操作如下（其中m ＞0，n ＞0，a ≠0）：（1）将抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 沿y 轴向上平移m 个单位，得y ＝ax 2＋bx ＋c ＋m. （2）将抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 沿y 轴向下平移m 个单位，得y ＝ax 2＋bx ＋c －m. （3）将抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 沿x 轴向左平移n 个单位，得y ＝a （x ＋n ）2＋b （x ＋n ）＋c.（4）将抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 沿x 轴向右平移n 个单位，得y ＝a （x －n ）2＋b （x －n ）＋c.知识点5：二次函数最值的求法.（1）配方法：将解析式化为y ＝a （x －h ）2＋k 的形式，顶点坐标为（h ，k ），对称轴为x ＝h ，当a ＞0时，y 有最小值，即当x ＝h 时，y 最小值＝k;当a ＜0时，y 有最大值，即当x ＝h 时，y 最大值＝k. （2）公式法：直接利用顶点坐标公式.当a ＞0时，y 有最小值，即x ＝－b/2a 时，y 最小值＝4ac －b 2/4a 当a ＜0时，y 有最大值，即x ＝－b/2a 时，y 最大值＝4ac －b 2/4a（3）判别式法：结合抛物线的性质，利用根的判别式和不等式求最值.说明：二次函数实际问题求最值，一般是条件最值，应主动地求出自变量的取值X 围.知识点6：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系.（1）如图所示，当a ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向上，它与x 轴有两个交点（x 1，0），（x 2，0）. x ＝x 1，x ＝x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解。

苏科版九年级第五章《二次函数》知识点

第5章《二次函数》知识点康进成一、二次函数的概念和一般式1、概念：；2、一般式：；3、自变量的取值范围：；4、列实际问题的二次函数表达式；二、二次函数y=ax 2的图象特征和性质1、特征：开口方向、顶点坐标、对称轴；2、性质：（1）增减性：当a ＞0时② ；③ ；④ .当a ＜0时② ；② ；③ .（2）最值：当a ＞0时，x= ，有最小值，y 最小值是；当a ＜0时，x= ，有最大值，y 最大值是 .三、二次函数2()y a x h k =-+的图像画法、平移规律、特征和性质1、图像画法：列表（取五对数）、描点（描五个点）、连线2、平移规律：左加右减、上加下减3、特征：开口方向、顶点坐标、对称轴 .4、性质：（1）增减性：当a ＞0时② ；③ ；④ .当a ＜0时② ；② ；③ .（2）最值：当a ＞0时，x= ，有最小值，y 最小值是；当a ＜0时，x= ，有最大值，y 最大值是 .四、二次函数2()y a x h k =-+中a 、h 、k 的意义（1）a 决定，（2）h ① ；② ；③ ，（3）k ① ；② ；③ . 五、二次函数一般式2y ax bx c =++对应的顶点式224()24b ac b y a x a a -=++、特征、性质 1、转化：2y ax bx c =++224()24b ac b a x a a -=++. 2、特征：开口方向、顶点坐标（2b a -，244ac b a -）、对称轴是直线2b x a=-. 3、性质（1）增减性：当a ＞0时② ；③ ；④ .当a ＜0时② ；② ；③ .（2）最值：当a ＞0时，x= ，有最小值，y 最小值是；当a ＜0时，x= ，有最大值，y 最大值是 .注：由一般式回答图像特征和性质的思路：（1）直接通过计算相关代数式（如2b a-，244ac b a -）的值后解决问题. （2）将一般式转化成顶点式：224()24b ac b y a x a a-=++，结合顶点式来解决问题. 六、二次函数一般式2y ax bx c =++中a 、b 、c 符合和一些重要代数式的符合的确定1、a 看而确定符合；b 看而确定符合；c 看而确定符合；2、2a b +看2b a -与而确定符合，2a b -看2b a-与而确定符合， 24b ac -看而确定符合.3、a b c ++ 而确定符合，a b c -+ 而确定符合， 42a b c ++ 而确定符合，42a b c -+ 而确定符合.七、二次函数的对称规律1、二次函数一般式2y ax bx c =++的对称规律（1）关于x 轴对称的表达式为：2y ax bx c -=++，即：2y ax bx c =---（2）关于y 轴对称的表达式为：()()2y a x b x c =-+-+ 即：2y ax bx c =-+ （3）关于原点轴对称的表达式为：()()2y a x b x c -=-+-+即：2y ax bx c =-+- 2、二次函数顶点式2()y a x h k =-+的对称规律（1）关于x 轴对称的表达式为：2()y a x h k =---（2）关于y 轴对称的表达式为：2()y a x h k =++（3）关于原点轴对称的表达式为：2()y a x h k =-+-八、二次函数的三种形式和用待定系数法确定函数表达式1、一般式：2y ax bx c =++，已知条件，设为一般式求出待定系数的值确定表达式.2、顶点式：2()y a x h k =-+，已知条件，设为顶点式求出待定系数的值确定表达式.3、交点式：12()()y a x x x x =--，已知条件，设为交点式求出待定系数的值确定表达式.九、二次函数与一元二次方程1、二次函数的图像与x 轴的交点情况与相应的一元二次方程的根的情况的关系.2、由24b ac -的符合确定二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的交点情况.3、求二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴、y 轴的交点坐标.4、确定（求出）二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的交点坐标，结合图像由y 值的符合确定x 的取值范围.5、由x 值的取值范围值，结合图像根据x 值的取值范围与抛物线对称轴的位置关系（有三种情况：对称轴在x 值的取值范围右边、之间、左边），而确定y 值的取值范围.6、利用图像由二次函数值与一次函数值、二次函数值与反比例函数值的大小关系确定x 的取值范围（关键是组成方程组，解出方程组的解而确定交点坐标，然后看图像而确定x 的取值范围）.7、利用图像（或表格）确定相应的一元二次方程的近似解.十、二次函数与几何图形的综合1、这类问题的三大特点：一数形结合、二分类讨论、三运动.2、抓住二次函数的性质和一些几何图形的性质3、几何图形有等腰三角形、直角三角形、平行四边形（菱形、正方形）、相似三角形、圆，并注意这些几何图形性质的灵活应用，如等腰三角形中等边对等角，直角三角形中勾股定理，平行四边形（菱形、正方形）中对边平行且相等，由相似三角形得比例式，圆中有圆周角定理、切线长定理的应用等等4、如有求值必找等式，用方程思想解决问题、设动点横坐标，代入函数关系式表示出纵坐标，再写成坐标便于解决问题、注意数值与线段长度的区别十一、用二次函数解决问题1、用二次函数知识解决“数”的问题列二次函数解决问题与列整式方程解决问题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．常见的问题主要是解决最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)问题.2、用二次函数的图像解决“形”问题把涵洞、桥梁、抛物体等“抛物线形”建立在适当地直角坐标系中，转化为二次函数图像而解决问题常见的问题主要是解决涵洞、桥梁、抛物体等“抛物线形”的实际问题.。

二次函数知识点九年级

二次函数知识点九年级
二次函数是初中数学中的重要内容之一，以下是九年级二次函数知识点的总结：
1. 二次函数的定义：形如f(x)=ax^2+bx+c (a≠0)的函数称为二次函数。

其中a、b、c为常数，且a≠0。

2. 二次函数的图像：二次函数的图像是一个抛物线，其形状由
a、b、c的值决定。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

3. 二次函数的性质：二次函数具有以下性质：对称轴为x=-frac{b}{2a};顶点坐标为(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a});最大值或最小值为f(\frac{b}{2a})=\frac{4ac-b^2}{4a}$。

4. 二次函数的应用：二次函数在实际生活中有很多应用，例如计算物体的最大高度、最远距离等。

此外，二次函数还可以用于解决一些实际问题，例如求最大利润、最小成本等。

苏科版九年级上册期终复习要点三(第五章二次函数)【精编】.doc

第一学期初三数学期终复习要点三第5章二次函数知识点：二次函数，二次函数图像与性质，用待定系数法确定解析式，二次函数与一元二次方程，用二次函数解决问题。

典型例题：例1．在下列各点中，一定在二次函数y=(−1)2+2图象上的是（）A．(0，2) B．(1，2) C．(−1，2) D．(1，0)例2．已知二次函数y=2−4+3，当>0时，函数值y的取值范围是（）A．y＞3 B．y＜3 C．y≥−1 D．−1≤y＜3例3．已知抛物线y=a2+2+c的顶点坐标为(1，4)，则c的值为.例4．如图，在抛物线y=2的内部依次画正方形，使对角线在y轴上，另两个顶点落在抛物线上.按此规律堆垒，第2015个正方形的边长是．例5．已知点M(2，1)在二次函数y=a2−2b+1的图象上．(1)b= ；（用含a的代数式表示）；(2)该二次函数的图象与轴的两个交点为A、B，若AB=1，求该二次函数的表达式；(3)在(2)的条件下，若A(m，y1)，B(m+2，y2)两点都在该函数图象上，试探究y1与y2的大小.例6．如图，抛物线y=122+b−4与轴交于点B(−2，0)和C，点M在y轴上．(1)求抛物线的解析式；(2)连结BM并延长，交抛物线于点D，过点D作DE⊥BC于点E.当以B、D、E为顶点的三角形与△AOC相似时，求点M的坐标；(3)连结BM，当∠OMB+∠OAB=∠ACO时，求AM的长.当堂练习：1．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离(m)2间的关系为y ＝－112(－4)2＋3，由此可知铅球推出的距离是（） A ．2mB ．8mC ．10mD ．12m2．已知抛物线y ＝a(＋1)(－3a)与轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，则能使△ABC 为等腰三角形的a 的值有（） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．若二次函数y ＝a 2＋b ＋c 的与y 的部分对应值如表，则当＝－1时，y 的值为． 4．已知二次函数y ＝(a －1)2－2＋l 的图像与轴有两个交点，则a 的取值范围是． 5．已知抛物线y ＝a 2经过点A(－2，4)．(1)求该抛物线的函数关系式； (2)判断点B ，－3）是否在此抛物线上；(3)若图像上有两点M(1，y 1)、N （2，y 2），其中12x x l ，则y 1 y 2(在横线上填“<”“＝”或“>”）．6. 如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝－－3与抛物线y ＝2＋m ＋n 相交于两个不同的点A 、B ，其中点A 在轴上．(1)则A 点坐标为 ▲ ；(2)若点B 为该抛物线的顶点，求m 、n 的值；(3)在(2)条件下，设该抛物线与轴的另一个交点为C ，请你探索在平面内是否存在点D ，使得△DAC 与△DCO 相似？如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，请说明理由．课后作业：1．已知函数y ） A ．<－1B ．>－1C ．≤－1D ．≥－12．已知二次函数y ＝a 2＋b ＋a(a ≠0)的图象如图所示，下列说法错误的是（） A ．函数y ＝a 2＋b ＋c(a ≠0)的最小值是－4；B ．－1和3是方程a 2＋b ＋c ＝0(a ≠0)的两个实数根；C ．当<1时，y 随的增大而增大；D ．当≤－1或≥3时，不等式a2 ＋b ＋c ≥0成立.（第2题）（第3题）3．如图，已知抛物线y ＝－2＋p ＋q 的对称轴为直线＝－3，过其顶点M 的一条直线y ＝＋b 与该抛物线的另一个交点为N （－1，1）．若要在y 轴上找一点P ，使得PM ＋PN 最小，则点P 的坐标为（） A ．(0，2)B ．（0，53） C ．（0，43） D ．（0，32） 4．如图，已知二次函数y ＝122－2＋3的图象的顶点为A ，且与y 轴交于点C ． (1)求点A 与点C 的坐标；(2)若将此函数的图象沿轴向右平移1个单位，再沿y 轴向下平移3个单位，请直接写出平移后图象所对应的函数关系式及点C 的对应点的坐标；(3)若A(m ，y 1)，B(m ＋1，y 2)两点都在此函数的图象上，试比较y 1与y 2的大小．5. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE 的三个顶点分别是C(3，0)，D(3，4)，E(0，4)．点A 在DE 上，以A 为顶点的抛物线过点C ，且对称轴－1交轴于点B ．连接EC ，AC ．点P ，Q 为动点，设运动时间为t 秒．(1)填空：点A坐标为▲，抛物线的解析式为▲；(2)在图1中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位／秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向E以2个单位／秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．连接PQ，是否存在实数t，使得PQ所在的直线经过点D，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(3)在图2中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位／秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？参考答案：典型例题：1、B；2、C；3、3；4、；5、(1) b=a．··························································2'(2)抛物线的对称轴为：直线=1． ···················································································3'∵AB=1，∴点(12，0)在抛物线上. ············································································4'代入表达式：y=a2−2a+1得：a=43．即表达式为：y=432−83+1．··························5'(3) ①当m=0时，y1=y2；··································································································6'②当m<0时，y1>y2；···································································································7'③当m>0时，y1<y2．···································································································8'6. 解：(1)由题意得：0=2−2b−4，解之得：b=−1． ························································1'∴该函数解析式为：y=122−−4． ·················································································2'(2)易证：△BOM∽△BED．∴为使△BDE与△AOC相似，只需△BOM与△AOC相似．易得：OC=4，OB=2，OA=4，∴△AOC为等腰直角三角形． ································4'∴△BOM也为等腰直角三角形．∴M(0，2)或M(0，−2)．···································6' (3)如图，点M1满足条件∠OM1B+∠OAB=∠ACO.∵∠ACO=45°，∴∠DBM1=45°.过点M1作M1D⊥AB于点D.∴DB=DM1.在Rt△AOB中，易得：AB=tan∠BAO=1 2 .设DM1=，则在Rt△AOB中，12=.解之得：=∴AM1DM1=10.·······················8'根据对称性，在y轴负半轴上，OM2=OM1.∴AM2=OM2−OA=10−4−4=2. ·····················································································10'当堂练习：1、C；2、C；3、-3；4、2a<且1a≠；5、6.课后作业：1、D；2、C；3、A；4、5.。

九年级上册数学二次函数知识点汇总

九年级上册数学二次函数知识点汇总亲爱的小伙伴们，今天我们来聊聊九年级上册数学二次函数知识点汇总。

二次函数可是初中数学里的一个重要角色，它就像我们生活中的好朋友，总是陪伴着我们度过一个又一个难关。

接下来就让我们一起走进二次函数的世界，看看它到底是个什么神奇的存在吧！我们要了解什么是二次函数。

简单来说，二次函数就是一个形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，x和y分别表示自变量和因变量。

这个函数的图像呢，就像是一个抛物线，有时候看起来有点儿复杂，但只要我们用心去理解，就会发现它的奥妙所在。

我们就要学习二次函数的基本概念。

在学习之前，我们先来给大家讲一个小故事。

从前，有一个叫小明的小伙伴，他非常喜欢玩弹球。

有一天，他发现了一个特别好玩的游戏，就是用一根弹簧把弹球弹到一个特别高的架子上。

小明觉得这个游戏太有趣了，于是他开始研究如何让弹球弹得更高。

经过一番努力，他终于找到了一个方法，那就是让弹簧变得更长一些。

于是，他开始尝试用不同的长度的弹簧来弹弹球，发现随着弹簧长度的增加，弹球的高度也越来越高。

后来，他还发现了一个更厉害的方法，那就是让弹簧变得更硬一些。

这样一来，弹球就能跳得更高了。

小明觉得这个方法太神奇了，于是他决定把它应用到其他地方去。

后来，他发现这个方法还可以用来解决很多数学问题，比如求最大值和最小值等等。

于是，他就把这个方法叫做二次函数。

现在我们已经知道了二次函数的基本概念，接下来我们就要学习二次函数的性质。

二次函数有很多性质，比如对称轴、顶点、开口方向等等。

这些性质都是非常重要的，因为它们可以帮助我们更好地理解和解决二次函数的问题。

下面，我就给大家讲一下二次函数的对称轴、顶点和开口方向吧！我们来说说二次函数的对称轴。

对称轴是指一条直线，它把二次函数的图像分成了两部分，这两部分是互相对称的。

换句话说，如果我们在对称轴的左边画一条垂直于对称轴的直线，那么这条直线会把图像分成两个相等的部分。

九年级数学上册二次函数知识点汇总

二次函数的复习资料知识点1.二次函数的定义1、一般地，如果y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数，它是关于自变量的次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据． 2、当b=c=0时，二次函数y=ax 2是最简单的二次函数．练习（1）下列函数中，二次函数的是（）A ．y=ax 2+bx+c B 。

2)1()2)(2(---+=x x x y C 。

xx y 12+= D 。

y=x(x —1)练习（2）如果函数1)3(232++-=+-mx x m y m m是二次函数，那么m 的值为知识点2.二次函数的图像及性质1、已知一个二次函数，确定它的图象名称、开口方向、对称轴、顶点坐标、增减范围、极值。

已知条件中含二次函数开口方向或对称轴、顶点坐标、增减范围、极值，求解析中待定系数的取值。

（1）、二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线. （2）、二次函数 c bx ax y ++=2，当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点（3）、对于y=ax 2+bx+c 而言，其顶点坐标为（，）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（，）。

二次函数c bx ax y ++=2用配方法或公式法（求h 时可用代入法）可化成：k h x a y +-=2)(的形式，其中h= ,k=练习（３）抛物线1822-+-=x x y 的图象的开口方向是_____, 顶点坐标是_ ___. 练习（４）若抛物线232)1(2-++-=m mx x m y 的最低点在x 轴上，则m 的值为（4）、二次函数 c bx ax y ++=2的对称轴为直线x=－2ba运用抛物线的对称性求对称轴，由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线段的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.若抛物线上有两点A （m,n ）、B(p,n)的纵坐标相等,则它的对称轴为直线x=－2pm + 练习（５）已知A 、B 是抛物线243y x x =-+上位置不同的两点，且关于抛物线的对称轴对称，则点A 、B 的坐标可能是_____________．（写出一对即可）（5）增减性：二次函数 c bx ax y ++=2的增减性分对称轴左右两侧描述（数形结合理解它的增减性）若0>a ，当x 时（在对称轴侧），y 随x 的增大而增大，当x 时（在对称轴侧），y 随x 的增大而减小，若0<a ，当x 时（在对称轴侧），y 随x 的增大而增大，当x 时（在对称轴侧），y 随x 的增大而减小，练习（６）已知抛物线2y ax bx c =++（a ＞0）的对称轴为直线1x =，且经过点()()212y y -1，，，，试比较1y 和2y 的大小：1y _2y （填“>”，“<”或“=”）练习（７）二次函数542+-=mx x y ，当2-<x 时，y 随x 的增大而减小；当2->x 时，y 随x 的增大而增大。

苏州市-学年九年级上期中考试数学复习要点

苏州市2019－2019学年九年级上期中考试数学复习要点考试范围：苏科版九年级数学教材上册第一章《一元二次方程》、下册第五章《二次函数》；考试时间：120分钟；考试分值：130分；考试题型：选择题、填空题、解答题。

第一章《一元二次方程》考点：一元二次方程概念与解法；一元二次方程根的判别式；一元二次方程根与系数关系；用一元二次方程解决问题。

练习：1.方程x2=x的根是（）A.x=1 ；B.x=－1；C.x1=0,x2=1；D.x1=0,x2=－12.一元二次方程x2－4x+4=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根;B.有两个相等的实数根;C.无实数根；D.无法确定3.用配方法解方程x2－4x=5时，方程的两边同时加上，可使方程左边配成一个完全平方式。

4.若一元二次方程2x2+4x+1=0的两根是x1,x2,则x1+x2的值是.5.如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，设小道进出口的宽度为xm，根据条件，可列出方程：.6.解下列一元二次方程：（1）x2+6x+5=0 （2）x2+x－1=0 7.已知关于x的方程mx2－(m+2)x+2=0.（1）求证：不论m为何值，该方程总有实数根；（2）若方程有一个根是2，求m的值以及方程的另一个根。

8.我们知道，各类方程的解法虽然不尽相同，但是它们的基本思想都是“转化”，即把未知转化为已知。

用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新方程。

像x2这样，根号下含有未知数的方程叫做无理方程，可以通x=+3过方程两边平方把它转化为2x+3=x2,解得x1=3,x2=－1.但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，x2=－1是原方程的增根，舍去，所以原方程的解释x=3.运用以上经验，解下列方程：(1)x-x2=+xx=3-615(2)69.某农场去年种植南瓜10亩，总产量为20190公斤。

苏教版初三数学：二次函数知识点归纳

苏教版初三数学：二次函数知识点概括一、定义与定义表达式一般地，自变量x 和因变量y 之间存在以下关系：y=ax2+bx+c(a0) ，则称 y 为 x 的二次函数。

二、二次函数的三种表达式一般式：y=ax2+bx+c(a0) 极点式：y=a(x-h)2+k(a0) ，此时抛物线的极点坐标为P(h， k)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a0) 仅用于函数图像与x 轴有两个交点时， x1 、x2 为交点的横坐标，因此两交点的坐标分别为A(x1 ，0)和B(x2 ， 0))，对称轴所在的直线为x=注：在 3 种形式的相互转变中，有以下关系：h=-， k=;x1,x2=;x1+x2=-三、二次函数的图像从图像能够看出，二次函数的图像是一条抛物线，属于轴对称图形。

四、抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形，对称轴为直线 x=- ，对称轴与抛物线独一的交点是抛物线的极点 P。

特别地，当 b=0 时，抛物线的对称轴是y 轴 (即直线 x=0)2.抛物线有一个极点 P，坐标为 P(-，)。

当 x=- 时， y 最值 =，当a0 时，函数 y 有最小值 ;当 a0 时，函数 y 有最大值。

当 -=0 时，P 在 y 轴上 (即交点的横坐标为 0);当 =b2-4ac=0 时， P 在x 轴上 (即函数与x 轴只有一个交点)。

3.二次项系数 a 决定抛物线的张口方向和大小(即形状 )。

当a0 时，抛物线张口向上;当 a0 时，抛物线张口向下。

|a|越大，则抛物线的张口越小。

对于两个抛物线，若形状同样，张口方向同样，则 a 相等 ;若形状同样，张口方向相反，则 a 互为相反数。

4.二次项系数 a 和一次项系数 b 共同决定对称轴的地点，四字口诀为“左同右异”，即：当对称轴在 y 轴左侧时， a 与 b 同号(即 ab 当对称轴在 y 轴右侧时， a 与 b 异号 (即 ab0)。

5.常数项c 决定抛物线与 y 轴交点地点，抛物线与 y 轴交于点(0， c)。

苏科版九年级上册期末复习攻略(一元二次方程、圆、三角函数、二次函数)

九年级期末复习专题一：一元二次方程1.一元二次方程的概念：（1）下列方程是一元二次方程的是（）.A.22)1(32+=++x x x B.02=+bx ax C.xx =2 D.1122=+x x （2）若31-是方程022=+-c x x 的一个根，则c 的值为（）.A.-2B.234-C.33- D.31+2.根据实际问题列一元二次方程：（3）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元/件，商场平均每天可多售出2件.如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，衬衫的单价降了x 元/件，那么下面所列的方程正确的是()A.(20)(402)1250x x +-= B.(20)(40)1250x x +-=C.(202)(402)1250x x +-= D.(202)(40)1250x x +-=3.一元二次方程的解法：1.直接开方、乘法公式、因式分解；2.配方法；3.求根公式；4.整体法（换元法）（3）.解下列一元二次方程.①22)2(25)1(4-=-x x ；②0322=--y y ；（用配方法求解）③0142=-+x x ；④12432=--x x ；（用公式法求解）⑤09)1(6)1(222=+---x x ；⑥)1(322+=x x .（4）若一元二次方程)0(2>=ab b ax 的两个根分别是2+m 与52-m ，则a b =.（5）如果63)1)(1(2222=-+++b a b a ，那么22b a +的值为.（6）已知a a a N a M (97,1922-=-=为任意实数)，则M、N 的大小关系为.（7）已知一元二次方程04522=--x x 的某一个根也是一元二次方程049)2(2=++-x k x 的根，求k 的值.（8）关于x 的一元二次方程012)1(2=++--m mx x m .①求出此方程的根；②m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？4.一元二次方程根的判别式：注意在使用根的判别式时，前提要看清题目，二次项系数是否已知。