2020秋华师大八年级数学上册习题课件-专题训练(二) 因式分解的方法及应用 -(共11张PPT)
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华东师大版八年级数学上册 第2课时 因式分解(2)
运用a2-b2=(a+b)(a-b)公式时,如何区分a、b?
• 答: a平方前符号为正，b平方前符号为负。
例1：分解因式: (1) x5－x3
解：(1) x5－x3 =x3 (x2 –1)= x3 (x+1)(x－1)
结论：1、若有公因式，要先提公因式，再考虑
平方差公式. 2、分解因式分解到不能分解为止.
填一填
多项式
x2 8x 16
4y4 4y2 1
1 9b2
x2 1 x 1 24
x2 4x 4y2
是否是完全 平方式
是
是
a、b各表 表示（a+b）2或
示什么
（a－b）2
a表示x， b表示4
(x 4)2
a表示2y2， (2 y 2 1)2
b表示1
否
否
否
4 y2 12 xy 9x2
(a b)2 2(a b) 1
等式右边是：这两个数的平方差
（a+3)(a-3)= a2 -9 (2x+y)(2x-y)= (2x)2-y2=4x2-y2
a2 -9= （a+3 ）( a-3 )
4x2-y2= (2x+y )(2x-y ) a2- b2 =(a +b) (a - b)
因式分解的平方差公式：
两个因式的积 的形式
a² - b² = (a+b) (a-b)
我们把以上两个式子 叫做完全平方式.
两个“项”的平方和加 上（或减去）这两“项” 的积的两倍.
a2 2abb2 a2 2abb2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式； 2、有两个“项”的平方； 3、有这两“项”积的2倍或-2倍。
首2 2首尾尾2
• 答: a平方前符号为正，b平方前符号为负。
例1：分解因式: (1) x5－x3
解：(1) x5－x3 =x3 (x2 –1)= x3 (x+1)(x－1)
结论：1、若有公因式，要先提公因式，再考虑
平方差公式. 2、分解因式分解到不能分解为止.
填一填
多项式
x2 8x 16
4y4 4y2 1
1 9b2
x2 1 x 1 24
x2 4x 4y2
是否是完全 平方式
是
是
a、b各表 表示（a+b）2或
示什么
（a－b）2
a表示x， b表示4
(x 4)2
a表示2y2， (2 y 2 1)2
b表示1
否
否
否
4 y2 12 xy 9x2
(a b)2 2(a b) 1
等式右边是：这两个数的平方差
（a+3)(a-3)= a2 -9 (2x+y)(2x-y)= (2x)2-y2=4x2-y2
a2 -9= （a+3 ）( a-3 )
4x2-y2= (2x+y )(2x-y ) a2- b2 =(a +b) (a - b)
因式分解的平方差公式：
两个因式的积 的形式
a² - b² = (a+b) (a-b)
我们把以上两个式子 叫做完全平方式.
两个“项”的平方和加 上（或减去）这两“项” 的积的两倍.
a2 2abb2 a2 2abb2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式； 2、有两个“项”的平方； 3、有这两“项”积的2倍或-2倍。
首2 2首尾尾2
华东师大版八年级上册 12.5.8 因式分解的应用 课件(共30张PPT)
因式分解的应用
因式分解的概念
一般地，把一个多项式化成几个整式的积 的形式，叫做因式分解.
因式分解的思路
首项系数变为正
一准备 各项分解因式
相反因式变相同
(三）由项数思考能否再分解
1.二项：只能分解a2-b2
(二）提公因式
2.三项：只能分解a2±2ab+b2 或能找到“十字”的二次三项式
3.四项及以上：只能分组分解后还能分解的多项式
a2 -2ab+b2-c2的正负
解:
a2 -2ab+b2-c2
=(a-b)2 -c2
=(a-b+c)(a-b-c)
∵ a、b、c为三角形的三边
∴ a+c ﹥b a﹤b+c
∴ a-b+c﹥0 a-b-c ﹤0 即：(a-b+c)(a-b-c) ﹤0 因此 a2 -2ab+b2-c2小于零，是负数。
解：2n+4-2n=2n(2４-1)=2n(16-1)=15×2n =15×2×2n-1=30×2n-1.
∵n为正整数时，2n-1为整数， ∴2n+4-2n能被30整除.
计算:
（ 2 ） 4 x 2 9 3 2 x
解: 原式 2 x 3 2 x 3 2 x 3
2x3
2x3
例2. 2 a 4 b 3 a 6 b a 2 4 b 2
(四）若无法分解，则采用非常1.每个因式是否最简 2.每个因式还能分解吗？
3.各因式的排列规范吗？ 4.用乘法检验是否恒等
1.将下列各式因式分解:
(1)n4 n3 n3(n 1)
提取公因式法
(2)ax2 bx x(axb)
(3) x 2 9 (x3)(x3)
因式分解的概念
一般地，把一个多项式化成几个整式的积 的形式，叫做因式分解.
因式分解的思路
首项系数变为正
一准备 各项分解因式
相反因式变相同
(三）由项数思考能否再分解
1.二项：只能分解a2-b2
(二）提公因式
2.三项：只能分解a2±2ab+b2 或能找到“十字”的二次三项式
3.四项及以上：只能分组分解后还能分解的多项式
a2 -2ab+b2-c2的正负
解:
a2 -2ab+b2-c2
=(a-b)2 -c2
=(a-b+c)(a-b-c)
∵ a、b、c为三角形的三边
∴ a+c ﹥b a﹤b+c
∴ a-b+c﹥0 a-b-c ﹤0 即：(a-b+c)(a-b-c) ﹤0 因此 a2 -2ab+b2-c2小于零，是负数。
解：2n+4-2n=2n(2４-1)=2n(16-1)=15×2n =15×2×2n-1=30×2n-1.
∵n为正整数时，2n-1为整数， ∴2n+4-2n能被30整除.
计算:
（ 2 ） 4 x 2 9 3 2 x
解: 原式 2 x 3 2 x 3 2 x 3
2x3
2x3
例2. 2 a 4 b 3 a 6 b a 2 4 b 2
(四）若无法分解，则采用非常1.每个因式是否最简 2.每个因式还能分解吗？
3.各因式的排列规范吗？ 4.用乘法检验是否恒等
1.将下列各式因式分解:
(1)n4 n3 n3(n 1)
提取公因式法
(2)ax2 bx x(axb)
(3) x 2 9 (x3)(x3)
华东师大版八年级数学上册因式分解公式法课件
1002－2×100×99+99² 解：原式=（100－99)²
=1.
本题利用完全平方 公式分解因式的方 法，大大减少计算 量，结果准确.
当堂练习
1.把下列各式分解因式：
(1) 16a2-9b2
(4a+3b)(4a-3b)
(2) (a+b)2-(a-b)2
4ab
(3) 9xy3-36x3y
9xy(y+2x)(y-2x)
a2 ± 2 . a . b + b2
下列各式是不是完全平方式？
首2 2 首 尾 尾2
（1）a2－4a+4;
是 （2）1+4a²; 不是
（3）4b2+4b-1; （5）x2+x+0.25.
不是 （4）a2+ab+b2; 不是 是
分析： （2）因为它只有两项；
（3）4b²与-1的符号不统一； （4）因为ab不是a与b的积的2倍.
2、m²-6m+9=( m)²- 2·(m ) ·(3 )+( 3 )²=(m - 3 )² 3、a²+4ab+4b²=(a )²+2·( a ) ·(2b )+(2b )²=( a + 2b )²
a2 ± 2 . a . b + b2 = （ a ± b )²
首2 2 首 尾 尾2 (首 尾)2
三查（多项式的因式分解要分解到不能再分解为止） 分解因式的一般步骤
二 运用完全平方公式因式分解
完全平方公式: a2 2ab b2 =（a ± b）2 完全平方式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍. 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成 完全平方形式，便实现了因式分解.
数学：13.5《因式分解》课件(华东师大版八年级上)
Байду номын сангаас
山本见到我，向我躹了一躬，然后又像弹簧般弹回了原样。他听了我问题后，微笑着对我说，这节课，是由他一手开发的校本课程，旨在磨练学生的毅力和意志。一节课，同学们就那样绷紧神经， 以时刻奔跑的姿势，站在各自的位置上一动不动，看似简单，其实要坚持近半个小时，也是很难的。规则是飞碟飞向哪里，那里的同学方能去抢，其他同学一律不得做任何动作。往往，一节课下来，很 多同学都没有跑抢飞碟的机会，只能是像木头似的硬撑一节课。贝博体育网站
我听了，稍一琢磨，就恍惚大悟。这是中国功夫的活学活用，有道是“站如松，坐如钟，行如风”呵！
我顺便问他：山本老师，这个班级学生的近视率怎么样？
山本说：不容乐观，全班三十六人，有十人近视，几乎是三分之一。
这是初一的学生，我曾了解过一个数据，国内同年段学生的近视率远比这要高得多。
与山本道别之际，我很友好地跟他握了一下手。他的手掌很重、很结实，他轻轻地握了我一下，我就有如被钢丝钳子钳了一下的感觉。对此，我为自己感到非常的悲哀。早知如此，我早就该去拜铁 掌峰上的裘千仞把铁沙掌练好了，或者赴少林寺先修炼一通大力金刚指。如是，我想我只须稍显功力，就可以把他的手掌捏成一团棉花了。但为时已晚也，我惟有懊恼不已。
山本见到我，向我躹了一躬，然后又像弹簧般弹回了原样。他听了我问题后，微笑着对我说，这节课，是由他一手开发的校本课程，旨在磨练学生的毅力和意志。一节课，同学们就那样绷紧神经， 以时刻奔跑的姿势，站在各自的位置上一动不动，看似简单，其实要坚持近半个小时，也是很难的。规则是飞碟飞向哪里，那里的同学方能去抢，其他同学一律不得做任何动作。往往，一节课下来，很 多同学都没有跑抢飞碟的机会，只能是像木头似的硬撑一节课。贝博体育网站
我听了，稍一琢磨，就恍惚大悟。这是中国功夫的活学活用，有道是“站如松，坐如钟，行如风”呵！
我顺便问他：山本老师，这个班级学生的近视率怎么样？
山本说：不容乐观，全班三十六人，有十人近视，几乎是三分之一。
这是初一的学生，我曾了解过一个数据，国内同年段学生的近视率远比这要高得多。
与山本道别之际，我很友好地跟他握了一下手。他的手掌很重、很结实，他轻轻地握了我一下，我就有如被钢丝钳子钳了一下的感觉。对此，我为自己感到非常的悲哀。早知如此，我早就该去拜铁 掌峰上的裘千仞把铁沙掌练好了，或者赴少林寺先修炼一通大力金刚指。如是，我想我只须稍显功力，就可以把他的手掌捏成一团棉花了。但为时已晚也，我惟有懊恼不已。
华师大版数学八上13.5《因式分解》(第2课时)ppt课件
分式方程
在解分式方程时，因式分解可以帮助 我们消去分母，将方程化简为更易于 求解的形式。
在几何图形中的应用
面积与周长的计算
在几何图形中，因式分解可以帮助我们计算图形的面积和周长，特别是对于一 些不规则的图形。
分割与拼接
通过因式分解，可以将一个复杂的几何图形分割或拼接成更简单的图形，从而 简化问题的解决过程。
简化代数式
通过因式分解，可以将复 杂的代数式化简为更易于 处理的形式，从而简化计 算过程。
约分与通分
因式分解可以帮助我们进 行分式的约分和通分，使 分数的计算更加简便。
求解代数方程
在求解代数方程时，因式 分解是一种常用的方法， 可以将方程化简为更易于 求解的形式。
在解方程中的应用
一元二次方程
对于一元二次方程，因式分解是一种 常用的解法，可以将方程化简为更易 于求解的形式。
十字相乘法是利用十字相乘法将二次多项式化为两个一次多项
式的乘积的一种因式分解方法。
步骤
02
首先观察多项式的各项系数，然后尝试将某些系数相乘得到其
他系数，使得乘积之和等于原多项式的常数项。
例子
03
$2x^2 - 5x - 3 = (2x + 1)(x - 3)$。
04 因式分解的应用
在代数式中的应用
05 练习与巩固
基础练习题
1. 把下列各式因式分解
$(x + 1)(x - 3) + 2$
3. 因式分解
$a^2 - 4ab + 4b^2$
2. 利用因式分解计算
$202^2 - 202 times 196 + 98^2$
4. 利用因式分解解方程
$x^2 - 4x = 0$
在解分式方程时，因式分解可以帮助 我们消去分母，将方程化简为更易于 求解的形式。
在几何图形中的应用
面积与周长的计算
在几何图形中，因式分解可以帮助我们计算图形的面积和周长，特别是对于一 些不规则的图形。
分割与拼接
通过因式分解，可以将一个复杂的几何图形分割或拼接成更简单的图形，从而 简化问题的解决过程。
简化代数式
通过因式分解，可以将复 杂的代数式化简为更易于 处理的形式，从而简化计 算过程。
约分与通分
因式分解可以帮助我们进 行分式的约分和通分，使 分数的计算更加简便。
求解代数方程
在求解代数方程时，因式 分解是一种常用的方法， 可以将方程化简为更易于 求解的形式。
在解方程中的应用
一元二次方程
对于一元二次方程，因式分解是一种 常用的解法，可以将方程化简为更易 于求解的形式。
十字相乘法是利用十字相乘法将二次多项式化为两个一次多项
式的乘积的一种因式分解方法。
步骤
02
首先观察多项式的各项系数，然后尝试将某些系数相乘得到其
他系数，使得乘积之和等于原多项式的常数项。
例子
03
$2x^2 - 5x - 3 = (2x + 1)(x - 3)$。
04 因式分解的应用
在代数式中的应用
05 练习与巩固
基础练习题
1. 把下列各式因式分解
$(x + 1)(x - 3) + 2$
3. 因式分解
$a^2 - 4ab + 4b^2$
2. 利用因式分解计算
$202^2 - 202 times 196 + 98^2$
4. 利用因式分解解方程
$x^2 - 4x = 0$
数学：13.5《因式分解》课件(华东师大版八年级上)
音乐是深情的。坂本龙一说：钢琴像人的生命，弦乐（小提琴）更像人的理想，连贯的音不断渐强，生生不息，是一种永恒延续的声音。比之凄美的《梁祝》，尤其在雪夜巴黎的香榭丽舍大道孑孓 而行，偶遇白发苍苍的的士司机随手放了一段门德尔松的《E小调小提琴协奏曲》会更觉舒展入心。与其说，这首古典音乐中的榜单神曲如精灵般的细腻、静好与无束，给人以春天的梦寐，不如说更像 这位话语不多的老者，静美、和畅而不激烈，明亮、甘醇而丰美。还记得那张“陪你看日落”的照片吗？一老一少，一患一医，共赏晚霞余晖。后来，音乐如期而至，已行动自如的老者款款拉起心爱的 小义、李云迪和嘉阳，钢琴不再高处不胜寒，而飞入寻常百姓家。小王同学从小师从嘉阳老师学琴，当年德艺双馨的但教授和嘉阳老师一起为她精心挑选的钢琴，随着它 的主人留学在外，如今静默一角。这些日子不出门，翻阅琴书上嘉阳老师行云流水的批阅，想念师徒二人的指尖芭蕾，时而大江大湖的奔腾，时而暗流涌动的凝绝，最喜欢听她们弹奏肖邦的作品，旋转 着诗一般温暖的抒情、敏感的分句和饱满的音色阶梯。想念周末夜晚，约上三五好友，热热闹闹共赴钢琴音乐盛典；想念“二十周年行庆郎朗钢琴全国巡演”。尤记得在人民大会堂举办的那场演出，郎 朗与余隆的天作之合，一曲《生日快乐》嗨翻全场，化解了我们几天几夜通宵达旦组织工作的辛苦。一场文化赋能的经典之作完美诠释了文化金融属性的高光。想念，天涯不远，江湖无风。想念，四季 出发，佳期如许。优游 /
华师大版八年级数学上册《因式分解及提取公因式》课件
例3. 把 -24x3 –12x2 +28x 分解因式.
解：原式= (24x3 12x2 28x ) = 4x (24x3÷4x+12x2÷4x-28x÷4x) = 4x (6x2+3x-7)
当多项式第一项系数是 负数时，通常先提出“-” 号，使括号内第一项系 数变为正数，注意括号
内各项都要变号。
• 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月下午6时20分22.4.1218:20April 12, 2022 • 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022年4月12日星期二6时20分57秒18:20:5712 April 2022 • 书籍是屹立在时间的汪洋大海中三看指数
例1 把8a3b2 + 12ab3c 分解因式.
最大公约数
相同字母 最低指数
4
一看系数
a,b
4ab2
二看字母 三看指数
解:8a3b2+12ab3c =4ab2•2a2+4ab2•3bc =4ab2(2a2+3bc).
例2 把 2a(b+c) -3(b+c)分解因式. 分析:( b+c)是这个式子的公因式 解: 2a(b+c) – 3(b+c) =(b+c)(2a-3).
分解因式与整式乘法有何关系?
整式的积 多项式 多项式 整式的积
3x(x-1)= 3x2 -,3x 3x2-3x=3_x_(_x_-_1_)___
整式乘法
分解因式
分解因式与整式乘法有什么关系？
分解因式与整式乘法是互逆 过程
如图，一块场地由三个矩形组成， 这些矩形的长分别是a、b、c，宽 都是m，如何计算这块场地的面积 呢？
2020秋华师大版八年级数学上册习题课件
2020秋华师大版八年级数学上册习题课件一、教学内容本节课选自2020秋华师大版八年级数学上册，主要涉及第三章《方程与不等式》的3.1节《一元一次方程》和3.2节《一元一次不等式》。
详细内容包括一元一次方程的解法、一元一次不等式的解法以及它们在实际问题中的应用。
二、教学目标1. 理解一元一次方程和一元一次不等式的概念，掌握它们的解法。
2. 能够将实际问题转化为方程或不等式，运用数学知识解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解题技巧。
三、教学难点与重点难点：一元一次不等式的解法以及在实际问题中的应用。
重点：一元一次方程的解法、一元一次不等式的解法以及解题技巧。
四、教具与学具准备教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
学具：练习本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）利用多媒体课件展示生活中的实际问题，引导学生将问题转化为方程或不等式。
2. 例题讲解（15分钟）讲解一元一次方程和一元一次不等式的解法，结合实际问题进行讲解。
3. 随堂练习（10分钟）学生独立完成练习题，巩固所学知识。
4. 互动讨论（10分钟）学生分组讨论，分享解题心得，互相学习。
六、板书设计1. 一元一次方程的解法：去分母去括号移项合并同类项系数化为12. 一元一次不等式的解法：去分母去括号移项合并同类项解集表示七、作业设计1. 作业题目：（1）解下列方程：2x + 5 = 3x + 1（2）解下列不等式：3(x 2) > 2(x + 1)（3）运用一元一次方程和一元一次不等式解决实际问题。
2. 答案：（1）x = 4（2）x > 5（3）答案不唯一，根据实际问题求解。
八、课后反思及拓展延伸本节课学生掌握了方程和不等式的解法，但部分学生在解题过程中对实际问题的转化能力较弱。
课后应加强练习，提高学生将实际问题转化为数学问题的能力。
拓展延伸部分，可以引入一元二次方程和一元二次不等式，为学生今后的学习打下基础。
重点和难点解析1. 教学内容的安排与实际问题的结合。
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