关于平行弹簧组等效劲度系数的讨论
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ｋｑ ＝ ｋ １＋ ｋ ２ ． ｘ １ ２
此外 ，杠杆 的合力 矩也 必定 为零 。
∑ｒ＝Ｙ （ １ ） ２ ｋ ） １ｋ １ ＋Ｙ （ ２ ２ ＝０ 最后 ，对 于此时处 于静 止状态 的刚 体杠杆 物理模 型 ，可以从几 何学 的角度考 虑 ，得 出 ：
＝
（） ２
（ ）（
２ 推 导
考虑 弹簧不 受限制 的情况 （ 图 １ ，弹 劲 系数 ｋ 如 ） 和 ｋ 的两个 弹簧 ，分别平 行 于 轴 放 置 ，两个 弹 簧
的一端分 别 固定 在Ｙ 、 ，另一 端 固定 到一根直 、硬杆上 。一个 沿 轴 与 轴平行 的外力作 用 到硬杆上 ， Ｙ 处
图 １
（ 弹劲 系数 分别 为ｋ ，２ 两个弹簧 ，相距 Ｌ 。ｋ 的 ，分别放在Ｙ ， 处。一个力沿 轴施力于 Ｙ 。 ＝０处。 ）
［ 收稿 日期 ］２０ —０ —２ ０７ ６ １ ［ 金项 目］吉林省科技发展计划项 目；吉林省教育厅科研计划规划项 目 基 ［ 作者简介 ］杨以刚 （９５ ，男，江 苏扬 中人 ，长春师范学院物理 学院教授 ，从事凝聚态物理 学研 究。 １５ 一）
ｋ ，当两 个弹簧 受到外力 作用 长度发生 变化时 ，有 ｋ ＝ｋ ＋ｋ ， ｑ ，这里 ｋ 为等 效 劲度 系数 ， 、 分 别
为弹簧 １ 和弹簧 ２变化的位 移 ，如果 这两个 弹簧位移 的变化 总是一致 ，也就是说 每个 弹簧 同时被 压缩 或伸 长 的量相等 ，即 ＝ ，此时 ＝ ＝ ，则有 ｋ ＝ｋ ＋ｋ 。这 在 物理 学 中是 一个典 型 情 况 。但是 在 实 际应 用 中 ，更 多 的情 况是这 些平行 弹簧各 自的位移 变化 并不一 致 ，即 ≠ ，那么 此 时 ≠ｋ ＋ｋ 。本文 就 是 要讨 论平 行弹簧 组 内部 各个平行 弹簧位 移变化不 一致时 ，等效 弹簧劲度 系数 的物理情 况 。
行 弹 簧 同 时 被 压缩 或 伸 长 的量 要 相 等 。 但 是 在实 际 中 ，更 多 的情 况 是 ：在 同时 间 内 ，每个 平 行 弹 簧被 压 缩 或 伸 长 的长 度 各 有 不 同 。我 们 以 劲 度 系数 不 相 同 的两 个 平 行 弹 簧 为 例 ，将 平 行 弹 簧 的一 端 固定 ， 而 对 另 一 端压 缩 ，每 个 弹簧 被 压 缩 的 量 不一 致 。 在 这种 情 况 下 ，得 到平 行 弹 簧 组 的 等效 劲 度 系数 。
・
１ ・ ８
维普资讯
使得 两个 弹簧 被压缩 ，分别 产生 了 、 的位 移变化 。在这 种情况 下 ，也 可能会 引起 轴 的偏 转 ，假定 这里
轴 的偏转 很小 ，所 以偏离 轴方 向的弹簧 的旋 转可 以被忽 略掉 。
当杠杆 平衡 时 ，最终净 合力 一定为 零来 阻止产生 加速度 。所 以
［ 关键词］平行 弹簧；劲度系数
［ 中图分类号］０ ６ ４９
［ 文献标识码］Ａ
［ 文章编号］１ ８ ７ｘ ２０） — ０８ ３ ０ —１ （０７ｏ ０１ ０ ０ ８ ５ ．
１ 问题 的提 出
我 们 以一个 由两个平行 弹簧构 成的弹 簧组 为讨论 对象 ，设 弹簧 １ 的劲度 系数 为 ｋ ，弹簧 ２的劲 度 系数 为
２０ 年 １ ｏｒ ７ ０月
Ｏ ｔ２ ０ ｃ．０ ７
关 于 平 行 弹 簧 组 等 效 劲 度 系数 的讨 论
杨 以 刚 ， 贾玉亮
（ 长春 师范学 院物 理学 院 ，吉林 长春
［ 摘
１０ ３ ） ３０ ２
要］在通常情况下 ，针对多个平行弹簧等效 劲度系数的研究过程 中，存在这样 的假设 ：这些平
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第２ ６卷第 ５期
Ｖ １院 学报 （ 自然科学版 ）
Ｊｕ ｌ ｆ ｈｎｃｕ ｏｍ ｌ ｎ ｅｓｙＮ ｔ ａ Ｓｉ ｃ） ｏｍａ ｏ ａｇｈｎＮ ｒａ Ｕ ｉ ｒｔ（ ａ ｒｌｃｅ ｅ Ｃ ｖ ｉ ｕ ｎ
一
些 对应关 系 。为 了求得 ｋ 的极 值 ，考 虑两 个弹簧被 放置 在固定距 离 Ｙ 一Ｙ 。 ＝Ｌ为 的情 况 ，把 Ｙ 看作 独立
变量 ，对 ｋ 进 行关 于 Ｙ 偏微分计 算 ，得 到
矗 ＝２２ 毒 ２ｌ ｙｋ ｋＬ
（ ５ ）
令导数 方程 （ ）等 于零 ，结 果 可 以得 到极 值 。当 Ｙ （ 且 限制 Ｙ ）趋 向于 ∞时 ，方 程 （ ）右边 将 为 ５ 并 ５ 零 ，这时产 生一 个最小 值 ｋ ＝０。如 果 Ｙ ｋ ＝ 一Ｙ ，方 程 （ ） 的分 子也 是 ０ 。。 ５ ，这时 产 生 一 个极 大 值 。从 方程 （ ） 中还 可 以看 出，如果 ｙ ｋ ＝ 一Ｙ ｋ ，那 么两 个 弹簧 必压 缩 至 等量 。把 这 个关 系式 代 人 式 （ ）得 ４ 。。 ４ 到尼 ＝ｋ ＋ｋ 。 。这样 ，我们 就会得 出 ：这 种压 缩或 伸长 等 量 的情 况属 于 不受 限制 、任意 压 缩 或伸 长 中 的一
（ １ ２ １ ２ Ｙ 一Ｙ ）ｋ ｋ Ｌ ｋ ｋ １２
㈤
（） ４
我们 的 目的是 要求 出弹簧 等 效劲 度 系数 ｋ ，为 此 就可 以 利用 上述 这 些方 程 ， 由方程 （ ） （ ） 出发 ， ２、 ３ 再 从 方程 （ ） 中消去 和 ，并且做 一些 简单 的代数运算 ，从 而得 到我们想 要 的结果 １
，
这就是针 对任 意位移 变化 的平行 弹簧组 等效劲 度系数 。其 中 Ｙ 一Ｙ ＝Ｌ是 两 个弹簧 间 的距 离 ，此 结果 还 ２ 表明 ，不仅 当所施 的外力 位 于两弹簧 问 、而且 当外 力延 伸至两 弹簧末端 的 时候 ，此 结果都 是适 用 的。
３ 讨论
对 于弹簧 组不受 限制 被压缩 的方程 （ ）是 不 同于受 限制 被等量 压缩情 况 的。从方 程 （ ）中 可 以看 出等 ４ ４ 效 弹簧劲 度系 数与作 用力 的位置 有关 。 利用 图 １ ，我们 要证 明 ， 于不受 限制 情况 弹簧劲度 系数 的极 大值 与受 限制情 况下 的已知 劲 度 系数 存 在 对
此外 ，杠杆 的合力 矩也 必定 为零 。
∑ｒ＝Ｙ （ １ ） ２ ｋ ） １ｋ １ ＋Ｙ （ ２ ２ ＝０ 最后 ，对 于此时处 于静 止状态 的刚 体杠杆 物理模 型 ，可以从几 何学 的角度考 虑 ，得 出 ：
＝
（） ２
（ ）（
２ 推 导
考虑 弹簧不 受限制 的情况 （ 图 １ ，弹 劲 系数 ｋ 如 ） 和 ｋ 的两个 弹簧 ，分别平 行 于 轴 放 置 ，两个 弹 簧
的一端分 别 固定 在Ｙ 、 ，另一 端 固定 到一根直 、硬杆上 。一个 沿 轴 与 轴平行 的外力作 用 到硬杆上 ， Ｙ 处
图 １
（ 弹劲 系数 分别 为ｋ ，２ 两个弹簧 ，相距 Ｌ 。ｋ 的 ，分别放在Ｙ ， 处。一个力沿 轴施力于 Ｙ 。 ＝０处。 ）
［ 收稿 日期 ］２０ —０ —２ ０７ ６ １ ［ 金项 目］吉林省科技发展计划项 目；吉林省教育厅科研计划规划项 目 基 ［ 作者简介 ］杨以刚 （９５ ，男，江 苏扬 中人 ，长春师范学院物理 学院教授 ，从事凝聚态物理 学研 究。 １５ 一）
ｋ ，当两 个弹簧 受到外力 作用 长度发生 变化时 ，有 ｋ ＝ｋ ＋ｋ ， ｑ ，这里 ｋ 为等 效 劲度 系数 ， 、 分 别
为弹簧 １ 和弹簧 ２变化的位 移 ，如果 这两个 弹簧位移 的变化 总是一致 ，也就是说 每个 弹簧 同时被 压缩 或伸 长 的量相等 ，即 ＝ ，此时 ＝ ＝ ，则有 ｋ ＝ｋ ＋ｋ 。这 在 物理 学 中是 一个典 型 情 况 。但是 在 实 际应 用 中 ，更 多 的情 况是这 些平行 弹簧各 自的位移 变化 并不一 致 ，即 ≠ ，那么 此 时 ≠ｋ ＋ｋ 。本文 就 是 要讨 论平 行弹簧 组 内部 各个平行 弹簧位 移变化不 一致时 ，等效 弹簧劲度 系数 的物理情 况 。
行 弹 簧 同 时 被 压缩 或 伸 长 的量 要 相 等 。 但 是 在实 际 中 ，更 多 的情 况 是 ：在 同时 间 内 ，每个 平 行 弹 簧被 压 缩 或 伸 长 的长 度 各 有 不 同 。我 们 以 劲 度 系数 不 相 同 的两 个 平 行 弹 簧 为 例 ，将 平 行 弹 簧 的一 端 固定 ， 而 对 另 一 端压 缩 ，每 个 弹簧 被 压 缩 的 量 不一 致 。 在 这种 情 况 下 ，得 到平 行 弹 簧 组 的 等效 劲 度 系数 。
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１ ・ ８
维普资讯
使得 两个 弹簧 被压缩 ，分别 产生 了 、 的位 移变化 。在这 种情况 下 ，也 可能会 引起 轴 的偏 转 ，假定 这里
轴 的偏转 很小 ，所 以偏离 轴方 向的弹簧 的旋 转可 以被忽 略掉 。
当杠杆 平衡 时 ，最终净 合力 一定为 零来 阻止产生 加速度 。所 以
［ 关键词］平行 弹簧；劲度系数
［ 中图分类号］０ ６ ４９
［ 文献标识码］Ａ
［ 文章编号］１ ８ ７ｘ ２０） — ０８ ３ ０ —１ （０７ｏ ０１ ０ ０ ８ ５ ．
１ 问题 的提 出
我 们 以一个 由两个平行 弹簧构 成的弹 簧组 为讨论 对象 ，设 弹簧 １ 的劲度 系数 为 ｋ ，弹簧 ２的劲 度 系数 为
２０ 年 １ ｏｒ ７ ０月
Ｏ ｔ２ ０ ｃ．０ ７
关 于 平 行 弹 簧 组 等 效 劲 度 系数 的讨 论
杨 以 刚 ， 贾玉亮
（ 长春 师范学 院物 理学 院 ，吉林 长春
［ 摘
１０ ３ ） ３０ ２
要］在通常情况下 ，针对多个平行弹簧等效 劲度系数的研究过程 中，存在这样 的假设 ：这些平
维普资讯
第２ ６卷第 ５期
Ｖ １院 学报 （ 自然科学版 ）
Ｊｕ ｌ ｆ ｈｎｃｕ ｏｍ ｌ ｎ ｅｓｙＮ ｔ ａ Ｓｉ ｃ） ｏｍａ ｏ ａｇｈｎＮ ｒａ Ｕ ｉ ｒｔ（ ａ ｒｌｃｅ ｅ Ｃ ｖ ｉ ｕ ｎ
一
些 对应关 系 。为 了求得 ｋ 的极 值 ，考 虑两 个弹簧被 放置 在固定距 离 Ｙ 一Ｙ 。 ＝Ｌ为 的情 况 ，把 Ｙ 看作 独立
变量 ，对 ｋ 进 行关 于 Ｙ 偏微分计 算 ，得 到
矗 ＝２２ 毒 ２ｌ ｙｋ ｋＬ
（ ５ ）
令导数 方程 （ ）等 于零 ，结 果 可 以得 到极 值 。当 Ｙ （ 且 限制 Ｙ ）趋 向于 ∞时 ，方 程 （ ）右边 将 为 ５ 并 ５ 零 ，这时产 生一 个最小 值 ｋ ＝０。如 果 Ｙ ｋ ＝ 一Ｙ ，方 程 （ ） 的分 子也 是 ０ 。。 ５ ，这时 产 生 一 个极 大 值 。从 方程 （ ） 中还 可 以看 出，如果 ｙ ｋ ＝ 一Ｙ ｋ ，那 么两 个 弹簧 必压 缩 至 等量 。把 这 个关 系式 代 人 式 （ ）得 ４ 。。 ４ 到尼 ＝ｋ ＋ｋ 。 。这样 ，我们 就会得 出 ：这 种压 缩或 伸长 等 量 的情 况属 于 不受 限制 、任意 压 缩 或伸 长 中 的一
（ １ ２ １ ２ Ｙ 一Ｙ ）ｋ ｋ Ｌ ｋ ｋ １２
㈤
（） ４
我们 的 目的是 要求 出弹簧 等 效劲 度 系数 ｋ ，为 此 就可 以 利用 上述 这 些方 程 ， 由方程 （ ） （ ） 出发 ， ２、 ３ 再 从 方程 （ ） 中消去 和 ，并且做 一些 简单 的代数运算 ，从 而得 到我们想 要 的结果 １
，
这就是针 对任 意位移 变化 的平行 弹簧组 等效劲 度系数 。其 中 Ｙ 一Ｙ ＝Ｌ是 两 个弹簧 间 的距 离 ，此 结果 还 ２ 表明 ，不仅 当所施 的外力 位 于两弹簧 问 、而且 当外 力延 伸至两 弹簧末端 的 时候 ，此 结果都 是适 用 的。
３ 讨论
对 于弹簧 组不受 限制 被压缩 的方程 （ ）是 不 同于受 限制 被等量 压缩情 况 的。从方 程 （ ）中 可 以看 出等 ４ ４ 效 弹簧劲 度系 数与作 用力 的位置 有关 。 利用 图 １ ，我们 要证 明 ， 于不受 限制 情况 弹簧劲度 系数 的极 大值 与受 限制情 况下 的已知 劲 度 系数 存 在 对