2018-2019版高中数学第一章导数及其应用滚动训练二新人教A版选修2-2

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2018-2019版数学新导学笔记选修2-2人教A全国通用版讲义：第一章导数及其应用滚动训练二 Word版含答案

滚动训练二(§1.3～§1.4)一、选择题1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点考点函数极值的应用题点函数极值在函数图象上的应用答案C解析f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值，f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由题图易知有两个极大值点，两个极小值点．2．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是()A．[1，＋∞) B．a＝1C．(－∞，1] D．(0,1)考点利用导数求函数的单调区间题点已知函数单调性求参数(或其范围)答案A解析∵f′(x)＝3x2－2ax－1，又f(x)在(0,1)内单调递减，∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0,1)内恒成立，∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴a≥1.3.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()A．f(b)>f(c)>f(d)B．f(b)>f(a)>f(e)C．f(c)>f(b)>f(a)D．f(c)>f(e)>f(d)考点利用导数研究函数的单调性题点比较函数值的大小答案C解析依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0，因此，函数f (x )在(－∞，c )上是增函数，由于a <b <c ，所以f (c )>f (b )>f (a )．4．函数f (x )＝x ＋2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取最大值时的x 值为()A ．0B.π6C.π3D.π2考点利用导数求函数的最值题点利用导数求不含参数函数的最值答案B解析由f ′(x )＝1－2sin x ＝0，得sin x ＝12，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以x ＝π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，f ′(x )>0；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2时，f ′(x )<0，故当x ＝π6时取得最大值．5．已知函数f (x )＝x 2(ax ＋b )(a ，b ∈R )在x ＝2处有极值，其图象在点(1，f (1))处的切线与直线3x ＋y ＝0平行，则函数f (x )的单调递减区间为() A ．(－∞，0) B ．(0,2) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，＋∞) 考点利用导数求函数的单调区间题点利用导数求含参数函数的单调区间答案B解析∵f (x )＝ax 3＋bx 2，∴f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ×22＋2b ×2＝0，3a ＋2b ＝－3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3，令f ′(x )＝3x 2－6x <0，则0<x <2.6．已知f (x )＝x ＋bx 在(1，e)上为单调函数，则实数b 的取值范围是()A ．(－∞，1]∪[e 2，＋∞)B ．(－∞，0]∪[e 2，＋∞)C ．(－∞，e 2]D ．[1，e 2] 考点利用导数求函数的单调区间题点已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案A解析若b ≤0，则函数在(0，＋∞)上为增函数，满足条件，若b >0，则函数的导数f ′(x )＝1－bx2＝x2－bx2，由f ′(x )>0得x >b 或x <－b ，此时函数单调递增，由f ′(x )<0得－b <x <b ，此时函数单调递减，若函数f (x )在(1，e)上为单调递增函数，则b ≤1，即0<b ≤1，若函数f (x )在(1，e)上为单调递减函数，则b ≥e ，即b ≥e 2，综上b ≤1或b ≥e 2，故选A.7．已知函数f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是()考点函数的单调性与导数的关系题点根据导函数的图象确定原函数图象答案B解析从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x ＝0时最大，所以函数f (x )的图象的变化率也先增大后减小，在x ＝0时变化率最大．A 项，在x ＝0时变化率最小，故错误；C 项，变化率是越来越大的，故错误；D 项，变化率是越来越小的，故错误．B 项正确．8．当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是()A ．[－5，－3] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立问题中参数的取值范围答案C解析当x ＝0时，ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变为3≥0恒成立，即a ∈R . 当x ∈(0,1]时，ax 3≥x 2－4x －3，a ≥x2－4x －3x3，∴a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤x2－4x －3x3max . 设φ(x )＝x2－4x －3x3，φ′(x )＝(2x －4)x 3－(x 2－4x －3)3x 2x 6 ＝－x2－8x －9x4＝－(x －9)(x ＋1)x 4>0， ∴φ(x )在(0,1]上递增，φ(x )max ＝φ(1)＝－6， ∴a ≥－6.当x ∈[－2,0)时，a ≤x2－4x －3x3，∴a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x2－4x －3x3min . 仍设φ(x )＝x2－4x －3x3，φ′(x )＝－(x －9)(x ＋1)x 4. 当x ∈[－2，－1)时，φ′(x )<0，当x ∈(－1,0)时，φ′(x )>0.∴当x ＝－1时，φ(x )有极小值，即为最小值．而φ(x )min ＝φ(－1)＝1＋4－3－1＝－2，∴a ≤－2.综上知－6≤a ≤－2. 二、填空题9．若函数f (x )＝x 3＋32x 2＋m 在区间[－2,1]上的最大值为92，则m ＝________.考点导数在最值问题中的应用题点已知最值求参数答案2解析f ′(x )＝3x 2＋3x ＝3x (x ＋1)．由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－1. 又f (0)＝m ，f (－1)＝m ＋12，f (1)＝m ＋52，f (－2)＝－8＋6＋m ＝m －2，∴当x ∈[－2,1]时，最大值为f (1)＝m ＋52，∴m ＋52＝92，∴m ＝2.10.已知函数f (x )的导函数f ′(x )是二次函数，如图是f ′(x )的大致图象，若f (x )的极大值与极小值的和等于23，则f (0)的值为________．考点利用导数研究函数的极值题点已知极值求参数答案13解析∵其导函数的函数值应在(－∞，－2)上为正数，在(－2,2)上为负数，在(2，＋∞)上为正数，由导函数图象可知，函数在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，∴函数在x ＝－2时取得极大值，在x ＝2时取得极小值，且这两个极值点关于点(0，f (0))对称，由f (x )的极大值与极小值之和为23，得f (－2)＋f (2)＝2f (0)，∴23＝2f (0)，则f (0)的值为13. 11．已知函数f (x )＝x e x ＋c 有两个零点，则c 的取值范围是________．考点函数极值的综合应用题点函数零点与方程的根答案⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1e解析∵f ′(x )＝e x (x ＋1)，∴易知f (x )在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，且f (x )min ＝f (－1)＝c －e －1，由题意得c －e －1<0，得c <e －1.三、解答题12．某品牌电视生产厂家有A ，B 两种型号的电视机参加了家电下乡活动，若厂家对A ，B 两种型号的电视机的投放金额分别为p ，q 万元，农民购买电视机获得的补贴分别为110p ，25ln q 万元，已知A ，B 两种型号的电视机的投放总额为10万元，且A ，B 两种型号的电视机的投放金额均不低于1万元，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出最大值．(精确到0.1，参考数据：ln4≈1.4)考点利用导数求解生活中的最值问题题点利用导数求解最大利润问题解设B 型号电视机的投放金额为x 万元(1≤x ≤9)，农民得到的补贴为y 万元，则A 型号的电视机的投放金额为(10－x )万元，由题意得y ＝110(10－x )＋25ln x ＝25ln x －110x ＋1,1≤x ≤9， ∴y ′＝25x －110，令y ′＝0得x ＝4.由y ′>0，得1≤x <4，由y ′<0，得4<x ≤9，故y 在[1,4)上单调递增，在(4,9]上单调递减，∴当x ＝4时，y 取得最大值，且y max ＝25ln4－110×4＋1≈1.2，这时，10－x ＝6.即厂家对A ，B 两种型号的电视机的投放金额分别为6万元和4万元时，农民得到的补贴最多，最多补贴约1.2万元．13．设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(x ∈R ，t >0)．(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立问题中参数的取值范围解(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，∴当x＝－t时，f(x)有最小值f(－t)＝h(t)＝－t3＋t－1. (2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1或t＝－1(舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：∴当t∈(0,2)时，g(t)max＝g(1)＝1－m.∵h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，∴g(t)max＝1－m<0，∴m>1.故实数m的取值范围是(1，＋∞)．四、探究与拓展14．已知函数f(x)＝2ln x＋a x2(a>0)．若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立问题中参数的取值范围答案[e，＋∞)解析f(x)≥2即a≥2x2－2x2ln x.令g(x)＝2x2－2x2ln x，则g′(x)＝2x(1－2ln x)．由g′(x)＝0得x＝12e或0(舍去)，当0<x<12e时，g′(x)>0；当x>12e时，g′(x)<0，∴当x＝12e时，g(x)取最大值g(12e)＝e，∴a≥e.15．已知函数f (x )＝ln(x ＋1)＋axx ＋1(a ∈R )． (1)当a ＝1时，求函数f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的极值；(3)求证：ln(n ＋1)>1－112＋2－122＋3－132＋…＋n －1n2(n ∈N *)．考点利用导数研究函数的单调性题点构造法的应用(1)解当a ＝1时，f (x )＝ln(x ＋1)＋xx ＋1，所以f ′(x )＝1x ＋1＋(x ＋1)－x (x ＋1)2＝x ＋2(x ＋1)2，所以f ′(0)＝2，又f (0)＝0，所以函数f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x . (2)解f ′(x )＝1x ＋1＋a (x ＋1)－ax(x ＋1)2＝x ＋1＋a(x ＋1)2(x >－1)．令x ＋1＋a ＝0，得x ＝－a －1. 若－a －1≤－1，即a ≥0，则f ′(x )>0恒成立，此时f (x )无极值．若－a －1>－1，即a <0，当－1<x <－a －1时，f ′(x )<0，当x >－a －1时，f ′(x )>0，此时f (x )在x ＝－a －1处取得极小值，极小值为ln(－a )＋a ＋1.(3)证明当a ＝－1时，由(2)知，f (x )min ＝f (0)＝0，所以ln(x ＋1)－xx ＋1≥0，即ln(x ＋1)≥xx ＋1.令x ＝1n(n ∈N *)，则ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1≥1n 1n ＋1＝11＋n ，所以ln n ＋1n ≥11＋n.又因为11＋n －n －1n2＝1n2(n ＋1)>0，所以11＋n >n －1n2，所以ln n ＋1n >n －1n2，所以ln 21＋ln 32＋ln 43＋…＋ln n ＋1n >1－112＋2－122＋3－132＋…＋n －1n2，即ln(n ＋1)>1－112＋2－122＋3－132＋…＋n －1n2.。

高中数学第一章导数及其应用1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)练习新人教A版选修2_2

1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）[A 基础达标]1．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D.y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′ ＝2(x ＋1)(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1，所以y ′|x ＝1＝4.2．函数y ＝cos(－x )的导数是( ) A ．cos x B ．－cos x C ．－sin xD ．sin x解析：选C.法一：[cos(－x )]′＝－sin(－x )·(－x )′＝sin(－x )＝－sin x . 法二：y ＝cos(－x )＝cos x ，所以[cos(－x )]′＝(cos x )′＝－sin x .3．(2018·郑州高二检测)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1，0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－1，0)解析：选C.因为f ′(x )＝2x －2－4x ＝2（x －2）（x ＋1）x，又x >0，所以f ′(x )>0即x－2>0，解得x >2.4．对于函数f (x )＝e xx 2＋ln x －2kx，若f ′(1)＝1，则k 等于( )A.e 2B.e 3 C ．－e 2D ．－e 3解析：选A.因为f ′(x )＝e x（x －2）x 3＋1x ＋2kx2，所以f ′(1)＝－e ＋1＋2k ＝1，解得k ＝e2，故选A. 5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2e xf ′(1)＋3ln x ，则f ′(1)＝( )A ．－3B ．2eC.21－2eD.31－2e解析：选D.因为f ′(1)为常数，所以f ′(x )＝2e xf ′(1)＋3x，所以f ′(1)＝2e f ′(1)＋3，所以f ′(1)＝31－2e.6．若f (x )＝log 3(2x －1)，则f ′(2)＝________．解析：因为f ′(x )＝[log 3(2x －1)] ′＝ 1（2x －1）ln 3(2x －1)′＝2（2x －1）ln 3，所以f ′(2)＝23ln 3.答案：23ln 37．已知函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，若f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________. 解析：法一：由f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，得f ′(x )＝4ax 3＋2bx .因为f ′(1)＝2，所以4a ＋2b ＝2，即2a ＋b ＝1.则f ′(－1)＝－4a －2b ＝－2(2a ＋b )＝－2. 法二：因为f (x )是偶函数，所以f ′(x )是奇函数，所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2. 答案：－28．已知f (x )＝exx，若f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，则x 0的值为________．解析：因为f ′(x )＝（e x ）′x －e x x ′x 2＝e x（x －1）x2(x ≠0)．所以由f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，得e x0（x 0－1）x 20＋e x0x 0＝0. 解得x 0＝12.答案：129．求下列函数的导数： (1)y ＝cos(1＋x 2)； (2)y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3； (3)y ＝ln(2x 2＋x )； (4)y ＝x ·2x －1.解：(1)设u ＝1＋x 2，y ＝cos u ，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(cos u )′·(1＋x 2)′ ＝－sin u ·2x ＝－2x sin(1＋x 2)． (2)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·2 ＝4sin v ·cos v＝2sin 2v ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3. (3)设u ＝2x 2＋x ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x 2＋x )′ ＝1u ·(4x ＋1)＝4x ＋12x 2＋x. (4)y ′＝x ′·2x －1＋x ·(2x －1)′. 先求t ＝2x －1的导数．设u ＝2x －1，则t ＝u 12，t ′x ＝t ′u ·u ′x ＝12·u －12·(2x －1)′＝12×12x －1×2＝12x －1 . 所以y ′＝2x －1＋x 2x －1＝3x －12x －1. 10．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1，1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．解：因为曲线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点P (1，1)，所以a ＋b ＋c ＝1.① 因为y ′＝2ax ＋b ，所以4a ＋b ＝1.②又因为曲线过点Q (2，－1)，所以4a ＋2b ＋c ＝－1.③ 联立①②③，解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.[B 能力提升]11．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215解析：选 C.因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝8，所以f ′(0)＝84＝212.12．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″ (x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上不是凸函数的是( )A ．f (x )＝sin x ＋cos xB ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝－x 3＋2x －1D ．f (x )＝－x e －x解析：选D.若f (x )＝sin x ＋cos x ，则f ″(x )＝－sin x －cos x ，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝ln x －2x ，则f ″(x )＝－1x 2，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝－x 3＋2x －1，则f ″(x )＝－6x ，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝－xe－x，则f ″(x )＝2e－x－x e－x＝(2－x )e －x，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )>0，不是凸函数．13．已知曲线y ＝e 2x·cos 3x 在点(0，1)处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程．解：因为y ′＝(e 2x)′·cos 3x ＋e 2x·(cos 3x )′＝2e 2x·cos 3x －3e 2x·sin 3x ，所以y ′|x ＝0＝2，所以经过点(0，1)的切线方程为y －1＝2(x －0)，即y ＝2x ＋1.设符合题意的直线方程为y ＝2x ＋b ，根据题意，得5＝|b －1|5，解得b ＝6或－4. 所以符合题意的直线方程为y ＝2x ＋6或y ＝2x －4. 14．(选做题)已知函数f (x )＝ax 2＋ln x 的导数为f ′(x )． (1)求f (1)＋f ′(1)；(2)若曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，由f (x )＝ax 2＋ln x ，得f ′(x )＝2ax ＋1x，所以f (1)＋f ′(1)＝3a ＋1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x ∈(0，＋∞)内导函数f ′(x )＝2ax ＋1x存在零点，即f ′(x )＝0⇒2ax ＋1x＝0有正实数解，即2ax 2＝－1有正实数解，故有a <0，所以实数a 的取值范围是(－∞，0)．。

2018-2019版高中数学第一章导数及其应用滚动训练一新人教A版选修2-2

第一章导数及其应用滚动训练一(§1.1～§1.2)一、选择题1．自变量x从x0变化到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A．从x0到x1的平均变化率B．在x＝x1处的变化率C．在x＝x1处的变化量D．在区间[x0，x1]上的导数考点平均变化率题点函数的平均变化率答案 A解析ΔyΔx＝f(x1)－f(x0)x1－x0表示函数从x0到x1的平均变化率．2．下列求导结果正确的是( )A．(a－x2)′＝1－2x B．(2x3)′＝3xC．(cos 60°)′＝－sin 60° D．[ln(2x)]′＝12x 考点导数公式的应用题点导数公式的应用答案 B解析根据题意，依次分析选项：对于A，(a－x2)′＝a′－(x2)′＝－2x，故A错误；对于B，(2x3)′＝()′＝2×32×＝3x，故B正确；对于C，(cos 60°)′＝0，故C错误；对于D，[ln(2x)]′＝(2x)′12x＝1x，故D错误．故选B.3．函数y＝x(1－ax)2(a>0)，且y′|x＝2＝5，则实数a的值为( )A.13B．0C．1 D．2考点导数乘除法则及运算题点导数乘除法则及运算答案 C解析 y ′＝(1－ax )2＋x [(1－ax )2]′＝(1－ax )2＋x [2(1－ax )(－a )]＝(1－ax )2－2ax (1－ax )，由y ′|x ＝2＝(1－2a )2－4a (1－2a )＝12a 2－8a ＋1＝5(a >0)，解得a ＝1.4．曲线y ＝ln x 在点M 处的切线过原点，则该切线的斜率为( )A ．1B ．eC ．－1eD.1e 考点导数公式的应用题点导数公式的应用答案 D解析设M (x 0，ln x 0)，由y ＝ln x 得y ′＝1x，所以切线斜率k ＝＝1x 0，所以切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)．由题意得0－ln x 0＝1x 0(0－x 0)＝－1，即ln x 0＝1，所以x 0＝e.所以k ＝1x 0＝1e，故选D. 5．已知函数f (x )＝a sin x ＋bx 3＋1(a ，b ∈R )，f ′(x )为f (x )的导函数，则f (2 016)＋f (－2 016)＋f ′(2 017)－f ′(－2 017)等于( )A ．2 017B ．2 016C ．2D ．0 考点导数的加减法则及运算题点导数的加减法则及运算答案 C解析函数的导数f ′(x )＝a cos x ＋3bx 2，则f ′(x )为偶函数，则f ′(2 017)－f ′(－2 017)＝f ′(2 017)－f ′(2 017)＝0，由f (x )＝a sin x ＋bx 3＋1，得f (2 016)＝a sin 2 016＋b ·2 0163＋1， f (－2 016)＝－a sin 2 016－b ·2 0163＋1，则f (2 016)＋f (－2 016)＝2，则f (2 016)＋f (－2 016)＋f ′(2 017)－f ′(－2 017)＝2＋0＝2，故选C.6．设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R 且为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在点(0,0)相切，则a ＋b 的值为( )A ．－1B ．1C ．0D ．2答案 A解析由y ＝f (x )过点(0,0)得b ＝－1，∴f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax －1，∴f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ，又∵曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在点(0,0)相切，即曲线y ＝f (x )在点(0,0)处切线的斜率为32， ∴f ′(0)＝32，即1＋12＋a ＝32， ∴a ＝0，故a ＋b ＝－1，选A.7．已知函数f (x )及其导数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．给出四个函数：①f (x )＝x 2，②f (x )＝e －x ，③f (x )＝ln x ，④f (x )＝tan x ，其中有“巧值点”的函数的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4考点导数公式的应用题点导数公式的应用答案 B解析根据题意，依次分析所给的函数：①若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x ，由x 2＝2x ，得x ＝0或x ＝2，这个方程显然有解，①符合要求；②若f (x )＝e －x ，则f ′(x )＝－e －x ，即e －x ＝－e －x ，此方程无解，②不符合要求；③f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x ，若ln x ＝1x，利用数形结合可知该方程存在实数解，③符合要求； ④f (x )＝tan x ，则f ′(x )＝1cos 2x，即sin x cos x ＝1，变形得sin 2x ＝2，无解，④不符合要求，故选B. 8．若函数f (x )＝－1be ax (a >0，b >0)的图象在x ＝0处的切线与圆x 2＋y 2＝1相切，则a ＋b 的最大值为( )A ．4B ．2 2C ．2 D. 2 考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数的综合应用答案 D解析函数的导数为f ′(x )＝－1be ax ·a ，所以f ′(0)＝－1b e 0·a ＝－a b，即在x ＝0处的切线斜率k ＝－a b ，又f (0)＝－1b e 0＝－1b，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1b ，所以切线方程为y ＋1b ＝－a bx ，即ax ＋by ＋1＝0. 圆心到直线ax ＋by ＋1＝0的距离d ＝1a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1，所以a 2＋b 2＝1≥2ab ，即0<ab ≤12. 又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1，所以(a ＋b )2＝2ab ＋1≤1＋1＝2，即a ＋b ≤2，当且仅当a ＝b ＝22时等号成立，所以a ＋b 的最大值是2，故选D.二、填空题9．已知函数f (x )＝mx m －n 的导数为f ′(x )＝8x 3，则m n＝________. 考点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数题点常数、幂函数的导数答案 14解析 ∵函数f (x )＝mx m －n 的导数为f ′(x )＝m (m －n )x m －n －1，∴m (m －n )＝8且m －n －1＝3，解得m ＝2，n ＝－2，由此可得m n ＝2－2＝14. 10．若某物体做运动方程为s ＝(1－t )2(位移单位为m ，时间单位为s)的直线运动，则其在t ＝1.2 s 时的瞬时速度v 为________ m/s.考点导数的几何意义的应用题点导数的物理意义答案 0.4解析 ∵s ＝t 2－2t ＋1，∴s ′＝2t －2，∴v ＝s ′|t ＝1.2＝2×1.2－2＝0.4(m/s)．11．函数f (x )＝x (x －1)(x －2)(x －3)(x －4)的导数为f ′(x )，则f ′(1)＝________.考点导数的乘除法则及运算题点导数的乘除法则及运算答案－6解析 ∵f (x )＝x (x －1)(x －2)(x －3)(x －4)，令g (x )＝x (x －2)(x －3)(x －4)，则f (x )＝(x －1)g (x )∴f ′(x )＝(x －1)′g (x )＋(x －1)g ′(x )＝g (x )＋(x －1)g ′(x )，则f ′(1)＝g (1)＋(1－1)g ′(1)＝g (1)，∵g (1)＝1×(1－2)(1－3)(1－4)＝－6，∴f ′(1)＝g (1)＝－6.12．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为________．考点导数公式的应用题点导数公式的应用答案 2解析令y ′＝2x －1x ＝1，得x ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝－12舍去，故当点P 坐标为(1,1)时，它到已知直线的距离最小，最小距离d ＝|1－1－2|2＝ 2. 三、解答题13．已知a >0，f (x )＝ax 2－2x ＋1＋ln(x ＋1)，l 是曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线，求切线l 的方程．考点求函数在某点处的切线方程题点求函数在某点处的切线方程解 ∵f (x )＝ax 2－2x ＋1＋ln(x ＋1)，f (0)＝1，∴f ′(x )＝2ax －2＋1x ＋1，∴f ′(0)＝－1， ∴切点P 的坐标为(0,1)，l 的斜率为－1，∴切线l 的方程为x ＋y －1＝0.四、探究与拓展14．已知函数f (x )＝cos x ＋e －x ＋x2 016，令f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，则f 2 017(x )等于( ) A ．－sin x ＋e －xB ．cos x －e －xC ．－sin x －e －xD ．－cos x ＋e －x 考点导数公式的应用题点导数公式的应用答案 C解析 f 1(x )＝f ′(x )＝－sin x －e －x ＋2 016x 2 015，f 2(x )＝f 1′(x )＝－cos x ＋e －x ＋2 016×2 015×x 2 014，f 3(x )＝f 2′(x )＝sin x －e －x ＋2 016×2 015×2 014x 2 013，f 4(x )＝f 3′(x )＝cos x ＋e －x ＋2 016×2 015×2 014×2 013x 2 012，…，∴f 2 016(x )＝f ′2 015(x )＝cos x ＋e －x＋2 016×2 015×2 014×2 013× (1)∴f 2 017(x )＝－sin x －e －x ，故选C.15．已知函数f (x )＝x 3－3x 及曲线y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l .(1)若直线l 与曲线y ＝f (x )相切于点P ，求直线l 的方程；(2)若直线l 与曲线y ＝f (x )相切，且切点异于点P ，求直线l 的方程．考点求函数过某点的切线方程题点求函数过某点的切线方程解 (1)由f (x )＝x 3－3x ，得f ′(x )＝3x 2－3.过点P 且以P (1，－2)为切点的直线l 的斜率为f ′(1)＝0，故所求直线l 的方程为y ＝－2.(2)设过点P (1，－2)的直线l 与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，x 30－3x 0)．由f ′(x 0)＝3x 20－3，得直线l 的方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)．又直线l 过点P (1，－2)，所以－2－(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(1－x 0)，即(x 0－1)2(x 0＋2)＝3(x 20－1)(x 0－1)，解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12，故直线l 的斜率k ＝－94，故直线l 的方程为y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.。

高中数学第一章导数及其应用本章整合新人教A版选修2_2【含答案】

高中数学第一章导数及其应用本章整合新人教A版选修2-2 知识网络专题探究专题一导数的几何意义及其应用1．导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x)0)处的切线的斜率．2．导数的几何意义的应用，利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)，明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f(x)的切线方程”的异同点．3．围绕着切点有三个等量关系，在求解参数问题中经常用到．【例1】已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求斜率为4的曲线的切线方程．提示：切点坐标→切线斜率→点斜式求切线方程解：(1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4. ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 03＋43，则切线的斜率k ＝0|x x y ='＝x 02.∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 03＋43＝x 02(x －x 0)，即y ＝x 02·x －23x 03＋43.∵点P (2,4)在切线上， ∴4＝2x 02－23x 03＋43，即x 03－3x 02＋4＝0. ∴x 03＋x 02－4x 02＋4＝0.∴x 02(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0. ∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. (3)设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝x 20＝4， ∴x 0＝±2.∴切点为(2,4)或⎝⎛⎭⎪⎫－2，－43.∴斜率为4的曲线的切线方程为y －4＝4(x －2)和y ＋43＝4(x ＋2)，即4x －y －4＝0和12x －3y ＋20＝0.专题二利用导数研究函数的单调性借助导数研究函数的单调性，尤其是研究含有ln x ，e x，－x 3等线性函数(或复合函数)的单调性，是近几年高考的一个重点．其特点是导数f ′(x )的符号一般由二次函数来确定；经常同一元二次方程、一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体．【例2】若a ≥－1，求函数f (x )＝ax －(a ＋1)ln(x ＋1)的单调区间．解：由已知得函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)，且f ′(x )＝ax －1x ＋1(a ≥－1)， (1)当－1≤a ≤0时，f ′(x )＜0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递减； (2)当a ＞0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝1a.f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：从上表可知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，a 时，f ′(x )＜0，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，a 上单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞时，f ′(x )＞0，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞上单调递增．综上所述，当－1≤a ≤0时，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递减．当a ＞0时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a 上单调递减，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递增．【例3】若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围．解：函数f (x )的导数f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1. 令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝a －1.当a －1≤1，即a ≤2时，函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，不合题意．当a －1＞1，即a ＞2时，函数f (x )在(－∞，1)上为增函数，在(1，a －1)内为减函数，在(a －1，＋∞)上为增函数．依题意当x ∈(1,4)时，f ′(x )＜0，当x ∈(6，＋∞)时，f ′(x )＞0. 故4≤a －1≤6，即5≤a ≤7. 因此a 的取值范围是[5,7]．专题三利用导数求函数的极值和最值1．极值和最值是两个迥然不同的概念，前者是函数的“局部”性质，而后者是函数的“整体”性质．另函数有极值未必有最值，反之亦然．2．判断函数“极值”是否存在时，务必把握以下原则： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)解方程f ′(x )＝0的根．(3)检验f ′(x )＝0的根的两侧f ′(x )的符号：若左正右负，则f (x )在此根处取得极大值．若左负右正，则f (x )在此根处取得极小值．即导数为零点未必是极值点，这一点是解题时的主要失分点，学习时务必引起注意． 3．求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最大值、最小值的方法与步骤： (1)求f (x )在(a ，b )内的极值；(2)将(1)求得的极值与f (a )，f (b )相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．【例4】(1)函数f (x )＝1x ＋2x 2＋1x 3，求y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，－12上的最值； (2)若a ＞0，求g (x )＝1x ＋2x 2＋ax3的极值点．解：(1)f ′(x )＝－(x ＋1)(x ＋3)x，令f ′(x )＞0，得－3＜x ＜－1，令f ′(x )＜0，得x ＜－3，或－1＜x ＜0，或x ＞0， ∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，－12时，x ，f ′(x )，f (x )的变化如下表：(2)g ′(x )＝－x 2＋4x ＋3ax 4，设u ＝x 2＋4x ＋3a ，Δ＝16－12a ，当a ≥43时，Δ≤0，即g ′(x )≤0，所以y ＝g (x )没有极值点．当0＜a ＜43时，x 1＝－2－4－3a ，x 2＝－2＋4－3a ＜0.∴g (x )的递减区间为(－∞，x 1)，(x 2,0)，递增区间为(x 1，x 2)． ∴有两个极值点x 1＝－2－4－3a ，x 2＝－2＋4－3a . 【例5】已知f (x )＝x 2＋ax －ln x ，a ∈R .(1)若a ＝0，求函数y ＝f (x )在点(1，f (x ))处的切线方程； (2)若函数f (x )在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围；(3)令g (x )＝f (x )－x 2，是否存在实数a ，当x ∈(0，e](e 是自然对数的底数)时，函数g (x )的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解：(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2－ln x ，所以f ′(x )＝2x －1x⇒f ′(1)＝1，f (1)＝1.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x －y ＝0. (2)因为函数在[1,2]上是减函数，所以f ′(x )＝2x ＋a －1x ＝2x 2＋ax －1x≤0在[1,2]上恒成立，令h (x )＝2x 2＋ax －1，有⎩⎪⎨⎪⎧h (1)≤0，h (2)≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a ≤－72，得a ≤－72.(3)假设存在实数a ，使g (x )＝ax －ln x (x ∈(0，e])有最小值3，g ′(x )＝a －1x ＝ax －1x.①当a ≤0时，g ′(x )＜0，所以g (x )在(0，e]上单调递减，g (x )min ＝g (e)＝a e －1＝3，a ＝4e (舍去)．②当1a≥e 时，g ′(x )＜0在(0，e]上恒成立，所以g (x )在(0，e]上单调递减．g (x )min ＝g (e)＝a e －1＝3，a ＝4e(舍去)．③当0＜1a ＜e 时，令g ′(x )＜0⇒0＜x ＜1a，所以g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤1a ，e 上单调递增．所以g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1＋ln a ＝3，a ＝e 2，满足条件．综上，存在实数a ＝e 2，使得当x ∈(0，e]时g (x )有最小值3. 专题四利用导数证明不等式从近几年高考题看，利用导数证明不等式这一知识点常考到，一般出现在高考题解答题中．利用导数解决不等式问题(如：证明不等式，比较大小等)，其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性，而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关．因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解．其实质是这样的：要证不等式f (x )＞g (x )，则构造函数φ(x )＝f (x )－g (x )，只需证φ(x )＞0即可，由此转化成求φ(x )最小值问题，借助于导数解决．【例6】已知函数f (x )＝x 2ex －1－13x 3－x 2. (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)设g (x )＝23x 3－x 2，试比较f (x )与g (x )的大小．解：(1)f ′(x )＝x (x ＋2)(ex －1－1)，由f ′(x )＝0得x 1＝－2，x 2＝0，x 3＝1.当－2＜x ＜0或x ＞1时，f ′(x )＞0；当x ＜－2或0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在(－2,0)和(1，＋∞)上是单调递增的，在(－∞，－2)和(0,1)上是单调递减的．(2)f (x )－g (x )＝x 2ex －1－x 3＝x 2(ex －1－x )．因为对任意实数x 总有x 2≥0，所以设h (x )＝ex －1－x .h ′(x )＝e x －1－1，由h ′(x )＝0得x ＝1，则当x ＜1时，h ′(x )＜0，即函数h (x )在(－∞，1)上单调递减，因此当x ＜1时，h (x )＞h (1)＝0.当x ＞1时，h ′(x )＞0，即函数h (x )在(1，＋∞)上单调递增，因此当x ＞1时，h (x )＞h (1)＝0.当x ＝1时，h (1)＝0.所以对任意实数x 都有h (x )≥0，即f (x )－g (x )≥0，故对任意实数x ，恒有f (x )≥g (x )．专题五导数的应用解决优化问题的步骤(1)首先要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域．(2)其次要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．(3)最后验证数学问题的解是否满足实际意义．【例7】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3＜x ＜6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解：(1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10(x －6)2＝2＋10(x －3)(x －6)2(3＜x ＜6)．从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表：由上表可得，x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．专题六定积分的应用由定积分求曲边梯形面积的方法步骤 (1)画出函数的图象，明确平面图形的形状． (2)通过解方程组，求出曲线交点的坐标． (3)确定积分区间与被积函数，转化为定积分计算．(4)对于复杂的平面图形，常常通过“割补法”求各部分的面积之和．【例8】如图所示，求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成的图形的面积．解：由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x ，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－13x ，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点(1,1)，(0,0)，(3，－1)，故S ＝1⎰⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x ＋31⎰⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2－x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x ＝1⎰⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋31⎰⎝ ⎛⎭⎪⎫2－23x d x ＝3222136x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭10|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －13x 231| ＝23＋16＋6－13×9－2＋13＝136. 专题七恒成立问题解决恒成立问题的方法(1)若关于x 的不等式f (x )≤m 在区间D 上恒成立，则转化为f (x )max ≤m . (2)若关于x 的不等式f (x )≥m 在区间D 上恒成立，则转化为f (x )min ≥m . (3)导数是解决函数f (x )的最大值或最小值问题的有力工具．【例9】已知函数f (x )＝x ln x .(1)若函数g (x )＝f (x )＋ax 在区间[e 2，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围； (2)若对任意x ∈(0，＋∞)，f (x )≥－x 2＋mx －32恒成立，求实数m 的最大值．解：(1)由题意得g ′(x )＝f ′(x )＋a ＝ln x ＋a ＋1.∵函数g (x )在区间[e 2，＋∞)上为增函数， ∴当x ∈[e 2，＋∞)时，g ′(x )≥0，即ln x ＋a ＋1≥0在[e 2，＋∞)上恒成立． ∴a ≥－1－ln x .又当x ∈[e 2，＋∞)时，ln x ∈[2，＋∞)． ∴－1－ln x ∈(－∞，－3]，∴a ≥－3.(2)∵2f (x )≥－x 2＋mx －3，即mx ≤2x ·ln x ＋x 2＋3. 又x ＞0，∴m ≤2x ·ln x ＋x 2＋3x.令h (x )＝2x ·ln x ＋x 2＋3x，h ′(x )＝(2x ln x ＋x 2＋3)′·x －(2x ln x ＋x 2＋3)·x ′x2＝(2ln x ＋2＋2x )x －(2x ln x ＋x 2＋3)x2＝2x ＋x 2－3x2，令h ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－3(舍)．当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，函数h (x )在[0,1)上单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，函数h (x )在(1，＋∞)上单调递增．∴h (x )min ＝h (1)＝4，即m 的最大值为4.。

2018-2019年人教A版数学选修2-2同步练习：第一章+导数及其应用+1.2.2(二)+Word

1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)一、非标准1.已知f(x)=ax3+3x2+2,若f'(-1)=4,则a的值为()A. B. C. D.解析:∵f'(x)=3ax2+6x,∴f'(-1)=3a-6=4.∴a=.答案:B2.若曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a等于()A.2B.C.-D.-2解析:∵y==1+,∴y'=-,∴y'|x=3=-,∴-a=2,∴a=-2.答案:D3.函数y=(e x+e-x)的导数是()A.(e x-e-x)B.(e x+e-x)C.e x-e-xD.e x+e-x解析:设u=e-x,v=-x,则u'x=(e v)'v'=e v·(-1)=-e-x,即y'=(e x-e-x).答案:A4.函数f(x)=x cos x-sin x的导函数是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数,又不是偶函数解析:∵f'(x)=x'cos x+x(cos x)'-cos x=-x sin x,∴f'(-x)=x sin(-x)=-x sin x=f'(x).∴f'(x)为偶函数.答案:B5.曲线y=在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A.4e2B.2e2C.e2D.e2解析:由导数的几何意义,切线的斜率k=y'|x=4=|x=4=e2,所以切线方程为y-e2=e2(x-4),令x=0,得y=-e2;令y=0,得x=2.所以切线与坐标轴所围三角形的面积为S=×2e2=e2.答案:C6.已知函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3),则f'(1)=.解析:方法一:∵f(x)=(x2-3x+2)(x-3)=x3-6x2+11x-6,∴f'(x)=3x2-12x+11,故f'(1)=3-12+11=2.方法二:∵f'(x)=(x-1)'·(x-2)(x-3)+(x-1)·[(x-2)(x-3)]',∴f'(1)=(1-2)(1-3)=2.答案:27.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为.解析:设切点为(x0,y0),则y0=x0+1,y0=ln(x0+a),即x0+1=ln(x0+a).∵y'=,∴=1,即x0+a=1.∴x0+1=ln 1=0,∴x0=-1,∴a=2.答案:28.已知y=,x∈(-π,π),当y'=2时,x=.解析:y'====.令=2,则cos x=-.又x∈(-π,π),故x=±.答案:±9.已知函数f(x)=ln(ax+1)+,x≥0,其中a>0,若f'(1)=0,求a的值. 解:f'(x)=[ln(ax+1)]'+'=,∴f'(1)==0.∴a=1.因此a的值为1.10.若函数f(x)=在x=c处的导数值与函数值互为相反数,求c的值.解:∵f(x)=,∴f(c)=.又∵f'(x)=,∴f'(c)=.依题意知f(c)+f'(c)=0,∴=0.∴2c-1=0,得c=.。

高中数学第一章导数及其应用 1.1.3 导数的几何意义学案新人教A版选修2-2-新人教A版高二

1．1.3 导数的几何意义1.理解曲线的切线的含义．2.理解导数的几何意义．3.会求曲线在某点处的切线方程．4．理解导函数的定义，会用定义法求简单函数的导函数．1．导数的几何意义(1)切线的定义如图，对于割线PP n，当点P n趋近于点P时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P 处的切线．(2)导数的几何意义当点P n无限趋近于点P时，k n无限趋近于切线PT的斜率．因此，函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝f′(x0)．2．导函数的概念(1)定义：当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．(2)记法：f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f（x＋Δx）－f（x）Δx.1．此处切线定义与以前所学过的切线定义的比较(1)初中我们学习过圆的切线：直线和圆有唯一的公共点时，称直线和圆相切，唯一的公共点叫做切点，直线叫做圆的切线．但因为圆是一种特殊的曲线，所以圆的切线定义不适用于一般的曲线．如图中的曲线C ，直线l 1与曲线C 有唯一的公共点M ，但l 1不是曲线C 的切线；l 2虽然与曲线C 有不止一个公共点，但l 2是曲线C 在点N 处的切线．(2)此处是通过逼近方法，将割线趋近于确定的位置的直线定义为切线，适用于各种曲线．所以这种定义才真正反映了切线的本质．2．函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)、导函数f ′(x )之间的区别与联系区别：(1)f ′(x 0)是在x ＝x 0处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，是一个常数，不是变量．(2)f ′(x )是函数f (x )的导数，是对某一区间内任意x 而言的，即如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每点处都有导数，此时对于每一个x ∈(a ，b )，都对应着一个确定的导数f ′(x )，从而构成了一个新的函数——导函数f ′(x )．联系：函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．这也是求函数在x ＝x 0处的导数的方法之一．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数在一点处的导数f ′(x 0)是一个常数．( )(2)函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值．( )(3)函数f (x )＝0没有导数．( )(4)直线与曲线相切，则直线与该曲线只有一个公共点．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×如图，直线l 是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线，则f ′(4)＝( ) A. 12 B ．3 C ．4D ．5解析：选A.根据导数的几何意义知f ′(4)是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线的斜率k ，注意到k ＝5－34－0＝12，所以f ′(4)＝12.已知y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析：选B.由图可知，曲线在点A 处的切线的斜率比曲线在点B 处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f ′(x A )<f ′(x B )，选 B.曲线y ＝－2x 2＋1在点(0，1)处的切线的斜率是________．解析：因为Δy ＝－2(Δx )2，所以Δy Δx ＝－2Δx ，lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0(－2Δx )＝0，由导数的几何意义知切线的斜率为0.答案：0探究点1 求曲线在定点处的切线方程求曲线y ＝2x －x 3在点(－1，－1)处的切线方程．【解】因为y ′＝lim Δx →02（x ＋Δx ）－（x ＋Δx ）3－2x ＋x3Δx＝lim Δx →0[2－3x 2－3x Δx －(Δx )2]＝2－3x 2.所以y ′|x ＝－1＝2－3(－1)2＝2－3＝－1.所以切线方程为y －(－1)＝－[x －(－1)]，即x ＋y ＋2＝0.求过点(－1，－2)且与曲线y ＝2x －x 3相切的直线方程．解：y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →02（x ＋Δx ）－（x ＋Δx ）3－2x ＋x 3Δx ＝lim Δx →0[2－3x 2－3x Δx －(Δx )2]＝2－3x 2.设切点坐标为(x 0，2x 0－x 30)，则切线方程为y －2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(x －x 0)．因为切线过点(－1，－2)，所以－2－2x 0＋x 30＝(2－3x 20)·(－1－x 0)，即2x 30＋3x 20＝0，解得x 0＝0或x 0＝－32.所以切点坐标为(0，0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，38. 当切点坐标为(0，0)时，切线斜率k ＝－2－0－1－0＝2，切线方程为y ＝2x ；当切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，38时，切线斜率k ＝38－（－2）－32－（－1）＝－194，切线方程为y ＋2＝－194(x ＋1)，即19x ＋4y ＋27＝0.综上可知，过点(－1，－2)且与曲线y ＝2x －x 3相切的直线方程为y ＝2x 或19x ＋4y ＋27＝0.解决曲线的切线问题的思路(1)求曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程，即点P 的坐标既满足曲线方程，又满足切线方程时，若点P 处的切线斜率存在，则点P 处的切线方程为y ＝f ′(x 0)(x －x 0)＋f (x 0)；若曲线y ＝f (x )在点P 处的切线斜率不存在(此时切线平行于y 轴)，则点P 处的切线方程为x ＝x 0.(2)若切点未知，则需设出切点坐标，再根据题意列出关于切点横坐标的方程，最后求出切点纵坐标及切线的方程，此时求出的切线方程往往不止一个．已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程；(2)试问(1)中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？若有，求出公共点的坐标；若没有，说明理由．解：(1)将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1，所以切点为(1，1)． Δy Δx ＝（1＋Δx ）3－13Δx ＝3Δx ＋3（Δx ）2＋（Δx ）3Δx ＝3＋3Δx ＋(Δx )2，当Δx 趋近于0时，ΔyΔx 趋近于3，所以y ′|x ＝1＝3.故所求切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2＝0，y ＝x 3，可得(x －1)2(x ＋2)＝0，解得x 1＝1，x 2＝－2.从而求得公共点为(1，1)，(－2，－8)．故(1)中的切线与曲线C 的公共点除切点(1，1)外，还有点(－2，－8)．探究点2 求切点坐标在曲线y ＝x 2上取一点，使得在该点处的切线： (1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)倾斜角为135°.分别求出满足上述条件的点的坐标．【解】设y ＝f (x )，则f ′(x )＝lim Δx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx ＝lim Δx →0（x ＋Δx ）2－x2Δx ＝limΔx →0(2x ＋Δx )＝2x .设P (x 0，y 0)是满足条件的点．(1)因为点P 处的切线与直线y ＝4x －5平行，所以2x 0＝4，解得x 0＝2，所以y 0＝4，即P (2，4)．(2)因为点P 处的切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，且直线2x －6y ＋5＝0的斜率为13，所以2x 0·13＝－1，解得x 0＝－32，所以y 0＝94，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94. (3)因为点P 处的切线的倾斜角为135°，所以切线的斜率为tan 135°＝－1，即2x 0＝－1，解得x 0＝－12，所以y 0＝14，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14.求满足某条件的曲线的切点坐标的步骤(1)先设切点坐标(x 0，y 0)． (2)求导函数f ′(x )． (3)求切线的斜率f ′(x 0)．(4)由斜率间的关系列出关于x 0的方程，解方程求x 0.(5)点(x 0，y 0)在曲线f (x )上，将(x 0，y 0)代入求y 0得切点坐标．1.已知曲线y ＝x 24的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.因为y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝12x ＝12，所以x ＝1，所以切点的横坐标为 1.2．已知曲线f (x )＝x 2＋6在点P 处的切线平行于直线4x －y －3＝0，求点P 的坐标．解：设切点P 坐标为(x 0，y 0)．f ′(x )＝limΔx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx＝lim Δx →0（x ＋Δx ）2＋6－（x 2＋6）Δx＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .所以点P 在(x 0，y 0)处的切线的斜率为2x 0. 因为切线与直线4x －y －3＝0平行，所以2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝x 20＋6＝10，即切点为(2，10)．探究点3 导数几何意义的应用我市某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T 内完成预期的运输任务Q 0，各种方案的运输总量Q 与时间t 的函数关系如下所示．在这四种方案中，运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是( )【解析】从函数图象上看，要求图象在[0，T ]上越来越陡峭，在各选项中，只有B 项中的切线斜率在不断增大，也即运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高．【答案】 B(1)曲线f (x )在x 0附近的变化情况可通过x 0处的切线刻画．f ′(x 0)>0说明曲线在x 0处的切线的斜率为正值，从而得出在x 0附近曲线是上升的；f ′(x 0)<0说明在x 0附近曲线是下降的．(2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．1.已知函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列结论正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)解析：选B.从图象上可以看出f (x )在x ＝2处的切线的斜率比在x ＝3处的斜率大，且均为正数，所以有0<f ′(3)<f ′(2)，过此两点的割线的斜率f （3）－f （2）3－2比f (x )在x ＝2处的切线的斜率小，比f (x )在x ＝3处的斜率大，所以0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，故选B.2．李华在参加一次同学聚会时，他用如图所示的圆口杯喝饮料，李华认为：如果向杯子中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同)，那么杯子中饮料的高度h 是关于时间t 的函数h (t )，则函数h (t )的图象可能是( )解析：选B.由于圆口杯的形状是“下细上粗”，则开始阶段饮料的高度增加较快，以后高度增加得越来越慢，仅有B 中的图象符合题意.1．下列说法中正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线斜率不存在，则曲线在该点处没有切线解析：选C.f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率，切线斜率不存在，但其切线方程可以为x ＝x 0，所以A ，B ，D 错误．2．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( )A ．f ′(x 0)>0B ．f ′(x 0)<0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在解析：选B.由题意可知，f ′(x 0)＝－12.3．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)等于________．解析：易得切点P (5，3)，所以f (5)＝3，k ＝－1，即f ′(5)＝－1.所以f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2. 答案：2 4．已知曲线y ＝1t －x 上两点P (2，－1)，Q ⎝⎛⎭⎪⎫－1，12. (1)求曲线在点P ，Q 处的切线的斜率； (2)求曲线在点P ，Q 处的切线方程．解：将点P (2，－1)代入y ＝1t －x，得t ＝1，所以y ＝11－x.y ′＝limΔx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx＝lim Δx →011－（x ＋Δx ）－11－x Δx＝limΔx →0Δx[1－（x ＋Δx ）]（1－x ）Δx＝limΔx →01（1－x －Δx ）（1－x ）＝1（1－x ）2，(1)曲线在点P 处的切线斜率为y ′|x ＝2＝1（1－2）2＝1；曲线在点Q 处的切线斜率为y ′|x ＝－1＝14.(2)曲线在点P 处的切线方程为y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0，曲线在点Q 处的切线方程为y －12＝14[x －(－1)]，即x －4y ＋3＝0.知识结构深化拓展导数与函数图象的关系在x ＝x 0附近各切线的斜率反映切线的升降变化情况，导数f ′(x 0)反映函数在x ＝x 0附近的增减情况，而在x ＝x 0处的切线斜率k ＝f ′(x 0)，所以反映在图形上它们的变化情况是一致的，如图．曲线的升降、切线的斜率与导数符号的关系如下表：曲线f (x )在x ＝x 0附近切线的斜率k切线的倾斜角 f ′(x 0)>0上升k >0 锐角f ′(x 0)<0下降k <0 钝角 f ′(x 0)＝0k ＝0零角(切线与x 轴平行)[注意] 导数绝对值的大小反映了曲线上升或下降的快慢.[A 基础达标]1．已知二次函数f (x )的图象的顶点坐标为(1，2)，则f ′(1)的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1D ．2解析：选B.因为二次函数f (x )的图象的顶点坐标为(1，2)，所以过点(1，2)的切线平行于x 轴，即切线的斜率为0，所以f ′(1)＝0，选B.2．曲线f (x )＝9x在点(3，3)处的切线的倾斜角等于( )A ．45°B ．60°C ．135°D ．120°解析：选C.f ′(x )＝lim Δx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx ＝9lim Δx →01x ＋Δx －1x Δx ＝－9limΔx →01（x ＋Δx ）x＝－9x2，所以f ′(3)＝－1.又切线的倾斜角的范围为[0°，180°)，所以所求倾斜角为135°.3．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B. 12 C ．－12D ．－1解析：选A.因为y ′|x ＝1＝lim Δx →0a （1＋Δx ）2－a ×12Δx＝lim Δx →02a Δx ＋a （Δx ）2Δx ＝lim Δx →0(2a ＋a Δx )＝2a ，所以2a ＝2，所以a ＝1.4．若曲线f (x )＝x 2的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －4＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0解析：选A.设切点为(x 0，y 0)，因为f ′(x )＝lim Δx →0（x ＋Δx ）2－x2Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x .由题意可知，切线斜率k ＝4，即f ′(x 0)＝2x 0＝4，所以x 0＝2.所以切点坐标为(2，4)，切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0，故选A.5．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1解析：选A.因为点(0，b )在直线x －y ＋1＝0上，所以b ＝1.又y ′＝lim Δx →0（x ＋Δx ）2＋a （x ＋Δx ）＋1－x 2－ax －1Δx ＝2x ＋a ，所以过点(0，b )的切线的斜率为y ′|x ＝0＝a ＝1.6．已知函数y ＝f (x )在点(2，1)处的切线与直线3x －y －2＝0平行，则y ′|x ＝2＝________．解析：因为直线3x －y －2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y ′|x ＝2＝3. 答案：37．已知f (x )＝x 2＋ax ，f ′(1)＝4，曲线f (x )在x ＝1处的切线在y 轴上的截距为－1，则实数a 的值为________．解析：由导数的几何意义，得切线的斜率为k ＝f ′(1)＝4.又切线在y 轴上的截距为－1，所以曲线f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝4x －1，从而可得切点坐标为(1，3)，所以f (1)＝1＋a ＝3，即a ＝2.答案：28．设f (x )存在导函数，且满足lim Δx →0f （1）－f （1－2Δx ）2Δx ＝－1，则曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为________．解析：limΔx →0f （1）－f （1－2Δx ）2Δx＝lim Δx →0f （1－2Δx ）－f （1）－2Δx＝f ′(x )＝－1. 答案：－19．已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83，求： (1)曲线在点P 处的切线方程； (2)过点P 的曲线的切线方程．解：(1)因为函数y ＝13x 3的导函数为y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →013（x ＋Δx ）3－13x 3Δx ＝13lim Δx →03x 2Δx ＋3x （Δx ）2＋（Δx ）3Δx ＝13lim Δx →0[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2]＝x 2，所以y ′|x ＝2＝22＝4.所以曲线在点P 处的切线的斜率等于4.故曲线在点P 处的切线方程是y －83＝4(x －2)，即12x －3y －16＝0.(2)设切点为(x 0，y 0)，由(1)知y ′＝x 2，则点(x 0，y 0)处的切线斜率k ＝x 20，切线方程为y －y 0＝x 20(x －x 0)．又切线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83，且(x 0，y 0)在曲线y ＝13x 3上，所以⎩⎪⎨⎪⎧83－y 0＝x 2（2－x 0），y 0＝13x 30，整理得x 30－3x 20＋4＝0，即(x 0－2)2(x 0＋1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝－1.当x 0＝2时，y 0＝83，切线斜率k ＝4，切线方程为12x －3y －16＝0；当x 0＝－1时，y 0＝－13，切线斜率k ＝1，切线方程为3x －3y ＋2＝0.故过点P 的切线方程为12x －3y －16＝0或3x －3y ＋2＝0.10．已知曲线f (x )＝ax－x 在x ＝4处的切线方程为5x ＋16y ＋b ＝0，求实数a 与b 的值．解：因为直线5x ＋16y ＋b ＝0的斜率k ＝－516，所以f ′(4)＝－516.而f ′(4)＝lim Δx →0（a 4＋Δx －4＋Δx ）－（a4－4）Δx＝limΔx →0（a 4＋Δx －a4）－（4＋Δx －2）Δx＝lim Δx →0[－a 4（4＋Δx ）－14＋Δx ＋2]＝－a ＋416，所以－a ＋416＝－516，解得a ＝1. 所以f (x )＝1x －x ，所以f (4)＝14－4＝－74，即切点为(4，－74)．因为(4，－74)在切线5x ＋16y ＋b ＝0上，所以5×4＋16×(－74)＋b ＝0，即b ＝8，从而a ＝1，b ＝8.[B 能力提升]11．曲线y ＝x ＋1x上任意一点P 处的切线斜率为k ，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，1)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)解析：选C.y ＝x ＋1x上任意一点P (x 0，y 0)处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0（x 0＋Δx ）＋1x 0＋Δx －⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0Δx＝lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 20＋x 0Δx ＝1－1x 20<1.即k <1.12．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标是－2，在点P 处的切线恰好过坐标原点，则实数c 的值为________．解析：y ′＝limΔx →0ΔyΔx ＝2x －1，在点P 处切线的斜率为2×(－2)－1＝－5.因为点P 的横坐标是－2，所以点P 的纵坐标是6＋c ，故直线OP 的斜率为－6＋c 2，根据题意有－6＋c2＝－5，解得c ＝4.答案：413．已知直线l ：y ＝4x ＋a 与曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点坐标．解：设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)，因为f ′(x )＝limΔx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx＝lim Δx →0（x ＋Δx ）3－2（x ＋Δx ）2＋3－（x 3－2x 2＋3）Δx＝3x 2－4x ，由题意可知k ＝4，即3x 20－4x 0＝4，解得x 0＝－23或x 0＝2，所以切点的坐标为(－23，4927)或(2，3)．当切点为(－23，4927)时，有4927＝4×(－23)＋a ，a ＝12127.当切点为(2，3)时，有3＝4×2＋a ，a ＝－5.所以当a ＝12127时，切点为(－23，4927)；当a ＝－5时，切点为(2，3)．14．(选做题)已知曲线y ＝x 2－1在x ＝x 0处的切线与曲线y ＝1－x 3在x ＝x 0处的切线互相平行，试分别求出这两条平行的切线方程．解：对于曲线y ＝x 2－1在x ＝x 0处，y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0[（x 0＋Δx ）2－1]－（x 20－1）Δx＝lim Δx →02x 0·Δx ＋（Δx ）2Δx＝lim Δx →0(2x 0＋Δx )＝2x 0.对于曲线y ＝1－x 3在x ＝x 0处，y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0[1－（x 0＋Δx ）3]－（1－x 30）Δx＝lim Δx →0－3x 20Δx －3x 0（Δx ）2－（Δx ）3Δx＝lim Δx →0[－3x 20－3x 0·Δx －(Δx )2]＝－3x 20，又y ＝1－x 3与y ＝x 2－1在x ＝x 0处的切线互相平行，所以2x 0＝－3x 20，解得x 0＝0或x 0＝－23.(1)当x 0＝0时，两条切线的斜率k ＝0，曲线y ＝x 2－1上的切点坐标为(0，－1)，切线方程为y ＝－1，曲线y ＝1－x 3上的切点坐标为(0，1)，切线方程为y ＝1. 但直线y ＝1并不是曲线的切线，不符合题意． (2)当x 0＝－23时，两条切线的斜率k ＝－43，曲线y ＝x 2－1上的切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－59，切线方程为y ＋59＝－43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23，即12x ＋9y＋13＝0，曲线y ＝1－x 3上的切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，3527，切线方程为y －3527＝－43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23，即36x ＋27y－11＝0.综上，两曲线的切线方程分别是12x＋9y＋13＝0，36x＋27y－11＝0.。

2018版高中数学第一章导数及其应用章末复习提升课课件新人教A版选修2_2

【解析】 (1)因为 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，所以 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c. 28 4 又 f(x)在 x＝－2 处取得极大值 3 ，在 x＝2 处取得极小值－3，所以 x＝－2 和 x＝2 是方程 3ax2＋2bx＋c＝0 的两个根．
2b 所以－3a＝0，①
3
c 3a＝－4.②
(2)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)，当 a<0 时，f′(x)>0，函数 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数 f(x)没有极值点；当 a>0 时，由 f′(x)＝0，得 x＝± a. 当 x∈(－∞，－ a)时，f′(x)>0，函数 f(x)单调递增；当 x∈(－ a， a)时，f′(x)<0，函数 f(x)单调递减；当 x∈( a，＋∞)时，f′(x)>0，函数 f(x)单调递增.
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
28 且 a×(－2) ＋b×(－2) ＋c×(－2)＋d＝ 3 ，③ 4 3 2 a×2 ＋b×2 ＋c×2＋d＝－3，④ 上边四个式子联立解得 1 a＝3，b＝0，c＝－4，d＝4. 1 3 所以 f(x)的解析式为 f(x)＝3x －4x＋4.
1 3 (2)由(1)知 f(x)＝3x －4x＋4 的极小值为 4 f(2)＝－3，且 f(3)＝1. 4 所以要使 f(x)在区间[t,3]上取得最小值－3， t≤2， 4 所以 t≤2，且 f(t)≥－3.即1 3 4 t －4t＋4≥－3. 3
(1)当 a＝1 时，f(x)＝3x－2x2＋lnx，其定义域为－4x2＋3x＋1 －4x＋1x－1 1 (0，＋∞)，则 f′(x)＝x －4x＋3＝＝ x x (x>0)，当 x∈(0,1)时，f′(x)>0，故函数 f(x)在区间(0,1)上单调递增；当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，故函数 f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减．所以 f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．【解析】

2018-2019年人教A版数学选修2-2同步练习：第一章+导数及其应用+测评B+Word版含解析

第一章测评B(高考体验卷)(时间:90分钟满分:100分)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=().A.0B.1C.2D.3解析:∵y=ax-ln(x+1),∴y'=a-.∴y'|x=0=a-1=2,得a=3.答案:D2.定积分(2x+e x)d x的值为().A.e+2B.e+1C.eD.e-1解析:因为(x2+e x)'=2x+e x,所以(2x+e x)d x=(x2+e x)=(1+e1)-(0+e0)=e.答案:C3.已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f'(x)的图象如下图所示,则该函数的图象是()解析:由导函数图象知,函数f(x)在[-1,1]上为增函数.当x∈(-1,0)时f'(x)由小到大,则f(x)图象的增长趋势由缓到快,当x∈(0,1)时f'(x)由大到小,则f(x)的图象增长趋势由快到缓,故选B.答案:B4.直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为().A.2B.4C.2D.4解析:由解得x=-2或x=0或x=2,所以直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形面积应为S=(4x-x3)d x=-0=4.答案:D5.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是()A.∃x0∈R,f(x0)=0B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)单调递减D.若x0是f(x)的极值点,则f'(x0)=0解析:∵x0是f(x)的极小值点,则y=f(x)的图象大致如下图所示,则在(-∞,x0)上不单调,故C 不正确.答案:C6.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+(t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是()A.1+25ln5B.8+25lnC.4+25ln5D.4+50ln2解析:由于v(t)=7-3t+,且汽车停止时速度为0,因此由v(t)=0可解得t=4,即汽车从刹车到停止共用4s.该汽车在此期间所行驶的距离s=d t==4+25ln5(m).答案:C7.若函数f(x)=x2+ax+是增函数,则a的取值范围是()A.[-1,0]B.[-1,+∞)C.[0,3]D.[3,+∞)解析:由条件知f'(x)=2x+a-≥0在上恒成立,即a≥-2x在上恒成立.∵函数y=-2x在上为减函数,∴y max<-2×=3.∴a≥3.故选D.答案:D8.设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是()A.∀x∈R,f(x)≤f(x0)B.-x0是f(-x)的极小值点C.-x0是-f(x)的极小值点D.-x0是-f(-x)的极小值点解析:选项A,由极大值的定义知错误;对于选项B,函数f(x)与f(-x)的图象关于y轴对称,-x0应是f(-x)的极大值点,故不正确;对于C选项,函数f(x)与-f(x)图象关于x轴对称,x0应是-f(x)的极小值点,故不正确;而对于选项D,函数f(x)与-f(-x)的图象关于原点成中心对称,故正确.答案:D9.已知函数f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是()A.(-∞,0)B.C.(0,1)D.(0,+∞)解析:f'(x)=ln x-ax+x=ln x-2ax+1,函数f(x)有两个极值点,即ln x-2ax+1=0有两个不同的根(在正实数集上),即函数g(x)=与函数y=2a在(0,+∞)上有两个不同交点.因为g'(x)=,所以g(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减,所以g(x)max=g(1)=1,如图.若g(x)与y=2a有两个不同交点,须0<2a<1.即0<a<,故选B.答案:B10.已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=(e x-1)(x-1)k(k=1,2),则()A.当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值B.当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值C.当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值D.当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值解析:当k=1时,f(x)=(e x-1)(x-1),f'(x)=x e x-1,∵f'(1)=e-1≠0,∴f(x)在x=1处不能取到极值;当k=2时,f(x)=(e x-1)(x-1)2,f'(x)=(x-1)(x e x+e x-2),令H(x)=x e x+e x-2,则H'(x)=x e x+2e x>0,x∈(0,+∞).说明H(x)在(0,+∞)上为增函数,且H(1)=2e-2>0,H(0)=-1<0,因此当x0<x<1(x0为H(x)的零点)时,f'(x)<0,f(x)在(x0,1)上为减函数.当x>1时,f'(x)>0,f(x)在(1,+∞)上是增函数.∴x=1是f(x)的极小值点,故选C.答案:C二、第Ⅱ卷(非选择题共50分)填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.若x2d x=9,则常数T的值为.解析:∵'=x2,∴x2d x=x3T3-0=9,∴T=3.答案:312.若曲线y=ax2-ln x在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a=.解析:由曲线在点(1,a)处的切线平行于x轴得切线的斜率为0,由y'=2ax-及导数的几何意义得y'|x=1=2a-1=0,解得a=.答案:13.设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(e x)=x+e x,则f'(1)=.解析:令e x=t,则x=ln t,∴f(t)=ln t+t,∴f'(t)=+1,∴f'(1)=2.答案:214.在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是.解析:由曲线y=ax2+过点P(2,-5),得4a+=-5.①又y'=2ax-,所以当x=2时,4a-=-,②由①②得所以a+b=-3.答案:-315.已知函数y=f(x)的图象是折线段ABC,其中A(0,0),B,C(1,0).函数y=xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为.解析:由题意f(x)=则xf(x)=∴xf(x)与x轴围成图形的面积为10x2d x+(-10x2+10x)d x=x3.答案:三、解答题(本大题共4小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(本小题6分) 设函数f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a>0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性;(2)当x∈[0,1]时,求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.分析:(1)利用导数判断函数单调性的方法,先求导,再令其等于0,求出导函数的零点,即为相应的极值点,结合导函数的开口方向从而得出导函数在相应区间的正负,从而得到原函数的单调区间.(2)讨论极值点x2在不在区间[0,1]内是问题的关键,要通过分类讨论,得出函数f(x)在[0,1]上的变化趋势,从而得出f(x)在[0,1]上的最值情况.若函数f(x)在[0,1]上有单调性,那么f(x)的最值就在区间的端点处取得.若f(x)在[0,1]上单调递增,那么f(x)在x=0处取得最小值,在x=1处取得最大值.若f(x)在[0,1]上单调递减,那么f(x)在x=0处取得最大值,在x=1处取得最小值.若函数f(x)在[0,1]上不单调,就要看能不能把区间[0,1]再细分成几部分,通过讨论函数f(x)在每一部分的单调性确定其在整个区间上的最值情况.特别要注意的是函数在区间端点处的函数值要比较大小,以确定哪一个才是最值.解:(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=1+a-2x-3x2.令f'(x)=0,得x1=,x2=,x1<x2.所以f'(x)=-3(x-x1)(x-x2).当x<x1或x>x2时,f'(x)<0;当x1<x<x2时,f'(x)>0.故f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)内单调递减,在(x1,x2)内单调递增.(2)因为a>0,所以x1<0,x2>0.①当a≥4时,x2≥1.由(1)知,f(x)在[0,1]上单调递增.所以f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值.②当0<a<4时,x2<1.由(1)知,f(x)在[0,x2]上单调递增,在[x2,1]上单调递减.所以f(x)在x=x2=处取得最大值.又f(0)=1,f(1)=a,所以当0<a<1时,f(x)在x=1处取得最小值;当a=1时,f(x)在x=0处和x=1处同时取得最小值;当1<a<4时,f(x)在x=0处取得最小值.17.(本小题6分) 设函数f(x)=a e x ln x+,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2.(1)求a,b;(2)证明:f(x)>1.分析:(1)由已知可得f(1)=e(1-1)+2=2,切线斜率k=e=f'(1),由此可求出a,b.(2)由(1)可求f(x),结合不等式的特点将之转化为g(x)>h(x)的形式,通过比较g(x)的最小值与h(x)的最大值进行证明.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=a e x ln x+e x-e x-1+e x-1.由题意可得f(1)=2,f'(1)=e.故a=1,b=2.(2)由(1)知,f(x)=e x ln x+e x-1,从而f(x)>1等价于x ln x>x e-x-.设函数g(x)=x ln x,则g'(x)=1+ln x.所以当x∈时,g'(x)<0;当x∈时,g'(x)>0.故g(x)在单调递减,在单调递增,从而g(x)在(0,+∞)的最小值为g=-.设函数h(x)=x e-x-,则h'(x)=e-x(1-x).所以当x∈(0,1)时,h'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0.故h(x)在(0,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减,从而h(x)在(0,+∞)的最大值为h(1)=-.综上,当x>0时,g(x)>h(x),即f(x)>1.18.(本小题6分) 已知a∈R,函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax.(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)若|a|>1,求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值.解:(1)当a=1时,f'(x)=6x2-12x+6,所以f'(2)=6.又因为f(2)=4,所以切线方程为y=6x-8.(2)记g(a)为f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值.f'(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a).令f'(x)=0,得到x1=1,x2=a.当a>1时,x0(0,1) 1(1,a)a(a,2a)2af'(x)+0 -0 +f (x)单调递增极大值3a-1单调递减极小值a2(3-a)单调递增4a3比较f(0)=0和f(a)=a2(3-a)的大小可得g(a)=当a<-1时,x0(0,1) 1(1,-2a)-2af'(x)-0 +f (x)单调递减极小值3a-1单调递增-28a3-24a2得g(a)=3a-1.综上所述,f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值为g(a)=19.(本小题7分) 已知函数f(x)=x-a ln x(a∈R).(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1-.(1)当a=2时,f(x)=x-2ln x,f'(x)=1-(x>0),因而f(1)=1,f'(1)=-1,所以曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.(2)由f'(x)=1-,x>0知:①当a≤0时,f'(x)>0,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;②当a>0时,由f'(x)=0,解得x=a.又当x∈(0,a)时,f'(x)<0;当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-a ln a,无极大值.综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-a ln a,无极大值.。

(全国通用版)2018_2019版高中数学第一章导数及其应用习题课导数的应用课件新人教A版选修2_2

解析
答案
反思与感悟范围.
构造恰当函数并判断其单调性，利用单调性得到x的取值
跟踪训练 2
已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(1)＝1，且对任意的 x∈R
lg x＋2 1 (0,10) 都有 f′(x)<3，则不等式 f(lg x)> 3 的解集为________.
解析
答案
类型二
利用导数研究函数的单调性
题型探究
类型一命题角度1 比较函数值的大小
例1
π 已知定义在0，2上的函数
构造法的应用
f(x)，f′(x)是它的导函数，且 sin x·
f′(x)>cos x· f(x)恒成立，则
A. 2f
π >f 6
π 4
B. 3f
π >f 6
1 1 1 1 fx － 2 ln ln f′(x)＋ x <0，若 a＝2 f ， b ＝－ 2 f ， c ＝ f ，则 a，b， 2 2 2
c 的大小关系是
A.a<c<b C.a<b<c
e 是自然对数的底数，a∈R. (1)当 a＝1 时，求函数 f(x)的单调区间和极值；
解答
1 (2)求证：在(1)的条件下，f(x)>g(x)＋； 2 1 ln x 1 证明令 h(x)＝g(x)＋2＝ x ＋2，
1－ln x h′(x)＝ x2 ，x∈(0，e]，
当0<x<e时，h′(x)>0，此时h(x)单调递增，
假设函数f(x)在[1,3]上不存在单调递增区间，
必有g(x)≤0，

2018_2019学年高中数学第一章导数及其应用练习新人教A版选修2_2

第一章导数及其应用
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若函数f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为()
A．0B．2
C．1D．－1
解析：选D.f′(x)＝x2－2f′(1)·x－1，则f′(1)＝12－2f′(1)·1－1，解得f′(1)＝0.
7．设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)>g′(x)，则当a<x<b时，有()
A．f(x)>g(x)
B．f(x)<g(x)
C．f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)
D．f(x)＋g(b)>g(x)＋f(b)
解析：选C.因为f′(x)－g′(x)>0，所以[f(x)－g(x)]′>0，所以f(x)－g(x)在[a，b]上是增函数，所以当a<x<b时，f(b)－g(b)>f(x)－g(x)>f(a)－g(a)，所以f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)，f(x)＋g(b)<g(x)＋f(b)．故选C.
所以⇒
所以a－b＝－3＋24＝21.故选A.
5．函数f(x)＝x2－ln 2x的单调递减区间是()
A.B.
C.，D.，
解析：选A.因为f′(x)＝2x－＝，
所以f′(x)≤0⇔
解得0＜x≤.
6．曲线y＝sinx与直线y＝x所围成的平面图形的面积为()
A.B.
C.D.
解析：选C.在同一坐标系中作出曲线y＝sinx和直线y＝x的图象，如图所示，阴影部分的面积可表示为2dx＝2＝.
2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()

2018-2019学年高中数学第一章导数及其应用1.6微积分基本定理习题新人教A版选修

第一章 1.6 微积分基本定理A 级基础巩固一、选择题1．(2018·四平模拟)定积分⎠⎛01x 2－xd x 的值为( A )A ．π4B ．π2C ．πD ．2π[解析] ∵y ＝x2－x，∴(x －1)2＋y 2＝1表示以(1,0)为圆心，以1为半径的圆， ∴定积分⎠⎛01x2－x d x 所围成的面积就是该圆的面积的四分之一， ∴定积分⎠⎛01x 2－x d x ＝π4，故选A ．2．(2018·铁东区校级二模)由曲线xy ＝1与直线y ＝x ，y ＝3所围成的封闭图形面积为( D )A ．2－ln3B ．ln3C ．2D ．4－ln3[解析] 方法一：由xy ＝1，y ＝3可得交点坐标为(13，3)，由xy ＝1，y ＝x 可得交点坐标为(1,1)，由y ＝x ，y ＝3可得交点坐标为(3,3)，∴由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的平面图形的面积为⎠⎜⎛131(3－1x )d x ＋⎠⎛13(3－x )d x ＝(3x －ln x )|113＋(3x －12x 2)|31，＝(3－1－ln3)＋(9－92－3＋12)＝4－ln3故选D ．方法二：由xy ＝1，y ＝3可得交点坐标为(13，3)，由xy ＝1，y ＝x 可得交点坐标为(1,1)，由y ＝x ，y ＝3可得交点坐标为(3,3)，对y 积分，则S ＝⎠⎛03(y －1y )dy ＝(12y 2－lny )|31＝92－ln3－(12－0)＝4－ln3，故选D ．3．(2018·安庆高二检测)已知函数f (x )＝x n＋mx 的导函数f ′(x )＝2x ＋2，则⎠⎛13f (－x )d x ＝( D )A ．0B ．3C ．－23D ．23[解析] ∵f (x )＝x n＋mx 的导函数f ′(x )＝2x ＋2， ∴nxn －1＋m ＝2x ＋2，解得n ＝2，m ＝2， ∴f (x )＝x 2＋2x ， ∴f (－x )＝x 2－2x ，∴⎠⎛13f (－x )d x ＝⎠⎛13(x 2－2x )d x ＝(13x 3－x 2)|31＝9－9－13＋1＝23，故选D ．4．函数F (x )＝⎠⎛0x cos t d t 的导数是( A )A ．f ′(x )＝cos xB ．f ′(x )＝sin xC ．f ′(x )＝－cos xD ．f ′(x )＝－sin x[解析] F (x )＝⎠⎛0x cos t d t ＝sin t | x0＝sin x －sin0＝sin x ．所以f ′(x )＝cos x ，故应选A ．5．(2018·昆明高二检测)若直线l 1：x ＋ay －1＝0与l 2：4x －2y ＋3＝0垂直，则积分⎠⎛－aa(x 3＋sin x －5)d x 的值为( D )A ．6＋2sin 2B ．－6－2cos 2C ．20D ．－20[解析] 由l 1⊥l 2得4－2a ＝0即a ＝2，∴原式＝⎠⎛－22 (x 3＋sin x －5)d x ＝⎠⎛－22 (x 3＋sin x )d x ＋⎠⎛－22(－5)d x ＝0－20＝－20． 6．⎠⎜⎛0π3⎝⎛⎭⎪⎫1－2sin 2θ2d θ的值为( D ) A ．－32 B ．－12C ．12D ．32[解析] ∵1－2sin2θ2＝cos θ，∴⎠⎜⎛0 π3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2sin 2θ2d θ＝⎠⎜⎛0π3cos θd θ ＝sin θ⎪⎪⎪⎪π3＝32，故应选D ．二、填空题7．从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为13．[解析] 长方形的面积为S 1＝3，S 阴＝⎠⎛013x 2d x ＝x 3| 10＝1，则P ＝S 阴S 1＝13． 8．已知f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛－11f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝－1或13．[解析] 由已知F (x )＝x 3＋x 2＋x ，F (1)＝3，F (－1)＝－1， ∴⎠⎛－11f (x )d x ＝F (1)－F (－1)＝4，∴2f (a )＝4，∴f (a )＝2．即3a 2＋2a ＋1＝2．解得a ＝－1或13．三、解答题9．计算下列定积分：(1)⎠⎛02(4－2x )(4－x 2)d x; (2)⎠⎛12x 2＋2x －3x d x ．[解析] (1)⎠⎛02(4－2x )(4－x 2)d x ＝⎠⎛02(16－8x －4x 2＋2x 3)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫16x －4x 2－43x 3＋12x 4| 20＝32－16－323＋8＝403．(2)⎠⎛12x 2＋2x －3x d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2－3x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2x －3ln x | 21＝72－3ln2．10．(2017·泉州模拟)已知f (x )＝(kx ＋b )e x且曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝e(x －1)．(1)求k 与b 的值； (2)求⎠⎛01x ·e xd x ．[解析] (1)∵f (x )＝(kx ＋b )e x， ∴f ′(x )＝(kx ＋k ＋b )e x， ∴f ′(1)＝e ，f (1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b e ＝ek ＋b e ＝0解得k ＝1，b ＝－1． (2)由(1)知f (x )＝(x －1)e x，f ′(x )＝x e x ，∴⎠⎛01(x e x)d x ＝(x －1)e x |10＝0＋1＝1．B 级素养提升一、选择题1．(2016·岳阳高二检测)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121xd x ，S 3＝⎠⎛12e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( B )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1[解析] S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝x 33|21＝73．S 2＝⎠⎛121xd x ＝ln x |21＝ln2－ln1＝ln2．S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)．∵e>2．7，∴S 3>3>S 1>S 2．故选B ．2．定义在R 上的可导函数y ＝f (x )，如果存在x 0∈[a ，b ]，使得f (x 0)＝⎠⎛abf x d x b －a成立，则称x 0为函数f (x )在区间[a ，b ]上的“平均值点”，那么函数f (x )＝x 3－3x 在区间[－2,2]上“平均值点”的个数为( C )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 由已知得：f (x 0)＝⎠⎛－22x 3－3x d x 4＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 4－32x 22－24＝0，即x 30－3x 0＝0，解得：x 0＝0或x 0＝±3，∴f (x )的平均值点有3个，故选C ．二、填空题3．⎠⎜⎜⎛–π2π2(x ＋cos x )d x ＝2． [解析] ⎠⎜⎜⎛–π2π2(x ＋cos x )d x ＝(12x 2＋sin x ) ⎪⎪⎪⎪π2-π2＝2．4．函数y ＝x 2与y ＝kx (k >0)的图象所围成的阴影部分的面积为92，则k ＝3．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2.由题意得，⎠⎛0k (kx －x 2)d x ＝(12kx 2－13x 3)|k 0＝12k 3－13k 3＝16k 3＝92，∴k ＝3．三、解答题5．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a 、b 、c 的值．[解析] ∵f (－1)＝2，∴a －b ＋c ＝2．① 又∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0② 而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x ，取F (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx ，则f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝F (1)－F (0)＝13a ＋12b ＋c ＝－2③解①②③得a ＝6，b ＝0，c ＝－4．6．如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值．[解析] 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝(x 22－x 33)|10＝12－13＝16．抛物线y ＝x －x 2与直线y ＝kx 两交点的横坐标为x ′1＝0，x ′2＝1－k ，所以S2＝⎠⎛01－k (x－x 2－kx )d x ＝(1－k 2x 2－x 33)|1－k 0＝16(1－k )3，又知S ＝16，所以(1－k )3＝12．于是k ＝1－312＝1－342．C 级能力拔高设f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2． (1)求y ＝f (x )的表达式．(2)若直线x ＝－t (0<t <1)把y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．[解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ，又已知f ′(x )＝2x ＋2，所以a ＝1，b ＝2，所以f (x )＝x 2＋2x ＋c ．又方程f (x )＝0有两个相等实根．所以判别式Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1．故f (x )＝x 2＋2x ＋1． (2)依题意有⎠⎛－1－t (x 2＋2x ＋1)d x＝⎠⎛－t0(x 2＋2x ＋1)d x ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x |－t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x |0－t即－13t 3＋t 2－t ＋13＝13t 3－t 2＋t ．所以2t 3－6t 2＋6t －1＝0，所以2(t －1)3＝－1，所以t ＝1－132．。

2018-2019版选修2-2人教A全国通用版讲义第一章导数及其应用1.1.1 -1.1.2 Word版含答案

§变化率与导数．变化率问题．导数的概念学习目标.了解导数概念的实际背景.会求函数在某一点附近的平均变化率.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．知识点一函数的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．是出发点，是山顶．爬山路线用函数＝()表示．自变量表示某旅游者的水平位置，函数值＝()表示此时旅游者所在的高度．设点的坐标为(，)，点的坐标为(，)．思考若旅游者从点爬到点，自变量和函数值的改变量分别是多少？答案自变量的改变量为－，记作Δ，函数值的改变量为－，记作Δ.思考怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？答案对山路来说，用＝可近似地刻画其陡峭程度．梳理函数＝()从到的平均变化率()定义式：＝.()实质：函数值的增量与自变量的增量之比．()作用：刻画函数值在区间[，]上变化的快慢．()几何意义：已知(，())，(，())是函数＝()的图象上两点，则平均变化率＝表示割线的斜率．知识点二瞬时速度思考物体的路程与时间的关系是()＝.试求物体在[＋Δ]这段时间内的平均速度．答案Δ＝(＋Δ)－＝Δ＋(Δ)，＝＝＋Δ.思考当Δ趋近于时，思考中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？答案当Δ趋近于时，趋近于，这时的平均速度即为当＝时的瞬时速度．梳理瞬时速度()物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．()一般地，设物体的运动规律是＝()，则物体在到＋Δ这段时间内的平均速度为＝.如果Δ无限趋近于时，无限趋近于某个常数，我们就说当Δ趋近于时，的极限是，这时就是物体在时刻＝时的瞬时速度，即瞬时速度＝＝.知识点三函数在某点处的导数函数＝()在＝处的瞬时变化率＝，我们称它为函数＝()在＝处的导数，记作′()或0|x x y' ，即′()＝＝.．在平均变化率中，函数值的增量为正值．(×)．瞬时变化率是刻画某函数值在区间[，]上变化快慢的物理量．(×)．函数＝()在＝处的导数值与Δ的正、负无关．(√)。

高中数学第一章导数及其应用 1.1.3 导数的几何意义学业分层测评(含解析)新人教A版选修2-2

导数的几何意义学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为2x －y ＋2＝0，则f ′(1)＝( ) A ．4 B ．－4 C ．－2 D ．2【解析】由导数的几何意义知f ′(1)＝2，故选D. 【答案】 D2．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 2＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值等于( ) A ．2 B ．－1 C ．1D ．－2【解析】依导数定义可求得y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧12＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1，选C.【答案】 C3．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线的斜率k ＝3，则点P 的坐标是( ) A ．(1,1)B ．(－1,1)C ．(1,1)或(－1，－1)D ．(2,8)或(－2，－8)【解析】因为y ＝x 3，所以y ′＝lim Δx →0x ＋Δx 3－x 3Δx ＝lim Δx →0[3x 2＋3x ·Δx ＋(Δx )2]＝3x 2.由题意，知切线斜率k ＝3，令3x 2＝3，得x ＝1或x ＝－1. 当x ＝1时，y ＝1；当x ＝－1时，y ＝－1. 故点P 的坐标是(1,1)或(－1，－1)．【答案】 C4．(2016·某某高二检测)若曲线f (x )＝x 2的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －4＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0【解析】设切点为(x 0，y 0)，∵f ′(x )＝lim Δx →0x ＋Δx 2－x 2Δx ＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .由题意可知，切线斜率k ＝4，即f ′(x 0)＝2x 0＝4，∴x 0＝2，∴切点坐标为(2,4)，∴切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0，故选A.【答案】 A5．曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2处的切线的斜率为( )A ．2B ．－4C ．3 D.14【解】因为y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →01x ＋Δx －1x Δx ＝lim Δx →0－1x 2＋x ·Δx ＝－1x 2，所以曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝12＝－4.【答案】 B 二、填空题6．已知函数y ＝f (x )的图象如图115所示，则函数y ＝f ′(x )的图象可能是__________(填序号)．图115【解析】由y ＝f (x )的图象及导数的几何意义可知，当x <0时f ′(x )>0，当x ＝0时f ′(x )＝0，当x >0时f ′(x )<0，故②符合．【答案】②7．曲线y ＝x 2－2x ＋3在点A (－1,6)处的切线方程是 __________.【解析】因为y ＝x 2－2x ＋3，切点为点A (－1,6)，所以斜率k ＝y ′|x ＝－1＝limΔx →0－1＋Δx2－2－1＋Δx ＋3－1＋2＋3Δx＝lim Δx →0(Δx －4)＝－4，所以切线方程为y －6＝－4(x ＋1)，即4x ＋y －2＝0. 【答案】 4x ＋y －2＝08．若曲线y ＝x 2＋2x 在点P 处的切线垂直于直线x ＋2y ＝0，则点P 的坐标是__________．【解析】设P (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝limΔx →0x 0＋Δx2＋2x 0＋Δx －x 20－2x 0Δx＝lim Δx →0(2x 0＋2＋Δx )＝2x 0＋2.因为点P 处的切线垂直于直线x ＋2y ＝0，所以点P 处的切线的斜率为2，所以2x 0＋2＝2，解得x 0＝0，即点P 的坐标是(0,0)．【答案】 (0,0) 三、解答题9．(2016·某某高二检测)已知抛物线y ＝f (x )＝x 2＋3与直线y ＝2x ＋2相交，求它们交点处抛物线的切线方程．【解】由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋3，y ＝2x ＋2，得x 2－2x ＋1＝0，解得x ＝1，y ＝4，所以交点坐标为(1,4)，又Δx ＋12＋3－12＋3Δx＝Δx ＋2.当Δx 趋于0时Δx ＋2趋于2，所以在点(1,4)处的切线斜率k ＝2，所以切线方程为y －4＝2(x －1)，即y ＝2x ＋2. 10．试求过点P (3,5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程．【解】y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝limΔx →0x ＋Δx 2－x 2Δx＝2x .设所求切线的切点为A (x 0，y 0)． ∵点A 在曲线y ＝x 2上， ∴y 0＝x 20，又∵A 是切点，∴过点A 的切线的斜率y ′|x ＝x 0＝2x 0， ∵所求切线过P (3,5)和A (x 0，y 0)两点，∴其斜率为y 0－5x 0－3＝x 20－5x 0－3.∴2x 0＝x 20－5x 0－3，解得x 0＝1或x 0＝5.从而切点A 的坐标为(1,1)或(5,25)．当切点为(1,1)时，切线的斜率为k 1＝2x 0＝2；当切点为(5,25)时，切线的斜率为k 2＝2x 0＝10.∴所求的切线有两条，方程分别为y －1＝2(x －1)和y －25＝10(x －5)，即y ＝2x －1和y ＝10x －25.[能力提升]1．(2016·某某高二检测)设f (x )为可导函数，且满足lim Δx →0f 1－f 1－x2x ＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2【解析】∵limΔx →0f 1－f 1－x2x＝12lim Δx →0f 1－x －f 1－x ＝－1， ∴limΔx →0f 1－x －f 1－x ＝－2，即f ′(1)＝－2.由导数的几何意义知，曲线在点(1，f (1))处的切线斜率k ＝f ′(1)＝－2，故选D. 【答案】 D2．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 2＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值等于( ) A ．2 B ．－1 C ．1D ．－2【解析】依导数定义可求得y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1，选C.【答案】 C3．(2016·某某高二检测)已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a 的值为________．【解析】设切点为P (x 0，y 0)．则f ′(x 0)＝limΔx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝limΔx →0a x 0＋Δx2－ax 2Δx＝lim Δx →0(2ax 0＋a Δx )＝2ax 0，即2ax 0＝1. 又y 0＝ax 20，x 0－y 0－1＝0，联立以上三式，得⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＝1，y 0＝ax 20，x 0－y 0－1＝0，解得a ＝14.【答案】144．已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公切线，求a ，b 的值．【解】因为f ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx＝limΔx →0a x ＋Δx2＋1－ax 2＋1Δx＝2ax ，所以f ′(1)＝2a ，即切线斜率k 1＝2a . 因为g ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx＝limΔx →0x ＋Δx3＋b x ＋Δx －x 3＋bx Δx＝3x 2＋b ，所以g ′(1)＝3＋b ，即切线的斜率k 2＝3＋b . 因为在交点(1，c )处有公切线，所以2a ＝3＋b .①又因为c ＝a ＋1，c ＝1＋b ，所以a ＋1＝1＋b ，即a ＝b ，代入①式，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3.。

2018-2019学年高中数学(人教A版)选修1-2同步学案：第一章滚动训练(一)Word版含答案

滚动训练(一)一、选择题1．根据变量x，y的观测数据得到的散点图如图所示，则()A．变量x与y正相关B．变量x与y负相关C．变量x与y可能正相关，也可能负相关D．变量x与y没有相关性考点线性回归分析题点回归直线的概念答案 A解析图中的数据y随x的增大而增大，因此变量x与y正相关，故选A.2．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是()A．角度和它的余弦值B．正方形的边长和面积C．正n边形的边数和内角度数和D．人的年龄和身高考点回归分析题点回归分析的概念和意义答案 D解析函数关系就是变量之间的一种确定性关系．A，B，C三项中的两个变量之间都是函数关系，可以写出相应的函数表达式，分别为f(θ)＝cosθ，g(a)＝a2，h(n)＝(n－2)π.D选项中的两个变量之间不是函数关系，对于年龄确定的人群，仍可以有不同的身高，故选D.3．在建立u与v的回归模型时，选择了4种不同模型，其中拟合最好的为()A．相关指数R2为0.75的模型B．相关指数R2为0.90的模型C．相关指数R2为0.25的模型D ．相关指数R 2为0.55的模型考点残差分析与相关指数题点残差及相关指数的应用答案 B解析相关指数R 2的值越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好，故选B.4．两个变量x 与y 的散点图如图，可用如下函数进行拟合，比较合理的是( )A ．y ＝a ·x bB ．y ＝a ＋b ln xC ．y ＝a ·e bxD ．y ＝a ·e bx答案 B解析由散点图知，此曲线类似对数型函数曲线，可用函数y ＝a ＋b ln x 进行拟合．故选B. 5．已知以下结论：①事件A 与B 的关系越密切，K 2的值就越大； ②K 2的大小是判定事件A 与B 是否相关的唯一依据； ③若判定两事件A 与B 有关，则A 发生B 一定发生．其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个考点独立性检验思想的应用题点独立性检验在分类变量中的应用答案 B解析 ①正确；对于②，判断A 与B 是否相关的方式很多，可以用列联表，也可以借助图形或概率运算，故②错误；对于③，两事件A 与B 有关，说明两者同时发生的可能性相对来说较大，但并不是A 发生了B 一定发生，故③错误．正确的只有1个，故选B.6．在新媒体时代，酒香也怕巷子深，宣传是让大众最快了解自己产品的最有效的手段，已知某种产品的宣传费用x 与销售总额y 的统计数据如下表所示：根据上表求得的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^为9.4，据此模型预报宣传费用为6万元时销售额为( ) A ．63.6万元 B ．65.5万元 C ．67.7万元 D ．72万元考点线性回归分析题点回归直线的应用答案 B解析由数据统计表可得x ＝3.5，y ＝42，根据回归直线的性质得点(3.5,42)在回归直线上，代入方程y ^＝9.4x ＋a ^可得a ^＝9.1，故线性回归方程为y ^＝9.4x ＋9.1，因此当x ＝6时，估计销售额y ^＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．故选B.7．考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如下表数据：根据以上数据，则( )A ．种子是否经过处理跟是否生病有关B ．种子是否经过处理跟是否生病无关C ．种子是否经过处理决定是否生病D ．以上都是错误的考点独立性检验及其基本思想题点独立性检验的方法答案 B解析因为K 2的观测值k ＝407×(32×213－101×61)2133×274×93×314≈0.164 1<2.706，所以有90%的把握可判断种子是否经过处理与是否生病无关，故选B.8．对变量x ，y 进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是( )考点残差分析与相关指数题点残差及相关指数的应用答案 A解析用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．二、填空题9．若对于变量y 与x 的10组统计数据的回归模型中，相关指数R 2＝0.95，又知残差平方和为120.53，那么i ＝110(y i －y )2＝________.考点残差分析与相关指数题点残差及相关指数的应用答案 2410.6解析依题意，由0.95＝1－120.53i ＝110(y i －y )2，所以i ＝110(y i －y )2＝2 410.6. 10．如果由一个2×2列联表中的数据计算得k ＝4.073，那么有________的把握认为两变量有关系，已知P (K 2≥3.841)≈0.05，P (K 2≥5.024)≈0.025. 考点独立性检验思想的应用题点独立性检验在分类变量中的应用答案 95%解析因为K 2的观测值k ＝4.073>3.841， P (K 2≥3.841)≈0.05，所以有95%的把握认为两变量有关系．11．考古学家通过始祖鸟化石标本发现：其股骨长度x (cm)与肱骨长度y (cm)的线性回归方程为y ^＝1.197x －3.660，由此估计，当股骨长度为50cm 时，肱骨长度的估计值为________cm. 答案 56.19解析根据线性回归方程y ^＝1.197x －3.660，将x ＝50代入，得y ^＝56.19，则肱骨长度的估计值为56.19 cm.。

2018-2019版选修2-2人教A全国通用版讲义第一章导数及其应用1.3.3(二) Word版含答案

．函数的最大(小)值与导数(二)学习目标.理解极值与最值的关系，并能利用其求参数的范围.能利用导数解决一些简单的恒成立问题．知识点用导数求函数()最值的基本方法()求导函数：求函数()的导函数′()；()求极值嫌疑点：即′()不存在的点和′()＝的点；()列表：依极值嫌疑点将函数的定义域分成若干个子区间，列出′()与()随变化的一览表；()求极值：依()的表中所反应的相关信息，求出()的极值点和极值；()求区间端点的函数值；()求最值：比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数()在其定义域内的最大值和最小值.类型一由极值与最值关系求参数范围例若函数()＝－在区间(－，)上有最小值，则实数的取值范围是()．(－，) ．(－)．(－] ．(－)考点利用导数求函数中参数的取值范围题点最值存在性问题答案解析由′()＝－＝，得＝±.当变化时，′()，()的变化情况如下表：(－∞，－)－(－)(，＋∞) ′()－＋－()↘－↗↘由此得－<－<，解得－<<.又当∈(，＋∞)时，()单调递减，且当＝时，()＝－.∴≤.综上，－<≤.反思与感悟函数在开区间内存在最值，则极值点必落在该区间内．跟踪训练若函数()＝－＋在()内有最小值，则实数的取值范围是()．() ．(－∞，)．(，＋∞)考点利用导数求函数中参数的取值范围题点最值存在性问题答案解析由题意得，函数()＝－＋的导数′()＝－在()内有零点，且′()<，′()>，即－<，且(－)>，∴<<，故选.类型二与最值有关的恒成立问题例已知函数()＝＋＋＋在＝－与＝处都取得极值．()求，的值及函数()的单调区间；()若对∈[－]，不等式()<恒成立，求实数的取值范围．。

高中数学第一章导数及其应用阶段通关训练新人教A版选修2-2(2021学年)

２０17－20１８学年高中数学第一章导数及其应用阶段通关训练新人教A版选修2－２编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(2017-2018学年高中数学第一章导数及其应用阶段通关训练新人教Ａ版选修2-２）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉,前进的动力。

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第一章导数及其应用阶段通关训练(60分钟100分)一、选择题(每小题５分，共３0分)1.(201７·永安高二检测)曲线ｙ=x３在点ｘ=２处的切线方程是（)A。

12x-y—16=0B。

12x+y—３２=0C。

4x-y=0Ｄ。

4x+y-１6=0【解析】选A.由题意，可对函数ｙ=ｘ3进行求导得y′＝3x2,当x=２时,y=23=8，y′＝3×22＝12，所以切线方程为ｙ—８＝１２（ｘ—２）,即12x-y—16＝0。

2。

在下面所给图形阴影部分的面积S及相应的表达式中,正确的有 ( )A。

①③ﻩＢ．②③ﻩＣ.①④ D。

③④【解析】选D。

①应是Ｓ=［ｆ(x)—g（ｘ)］dx，②应是S＝２dx—（2ｘ—8)dｘ,③和④正确.【补偿训练】曲线y=x2+2x与直线ｘ＝-1,x=１及x轴所围图形的面积为 ( )A。

２ﻩ B.ﻩC．ﻩﻩ D.【解析】选A．S=－（x２＋２x)dx+(x2+２x）dｘ=-+=＋=2．３。

当x∈[—2,1］时,不等式aｘ3－ｘ2+４x+3≥０恒成立,则实数a的取值范围是( ）A。

[-5，-3]ﻩﻩ B.C。

［－6,—2］ﻩﻩﻩﻩD。

[—4,—3］【解题指南】讨论x的范围利用分离参数法，转化为最值问题.【解析】选Ｂ.当x∈(0,1]时,得a≥－3-４＋,令t=，则t∈［1，＋∞）,a≥-３ｔ３—4t2+t,令ｇ(ｔ)=—3t3—4t2+t，t∈[1，+∞),则g′（ｔ)=-9t2－8ｔ+1=—（t＋1)·(9t-1)，显然在[1，+∞)上，ｇ′（t)〈0,g（t）单调递减，所以g（t)max=g（1)=－6,因此a≥-6;同理,当x∈［—2，０）时,得a≤—．由以上两种情况得－６≤ａ≤—,显然当x＝0时也成立.故实数a的取值范围为。

2018-2019版高中数学 第一章 导数及其应用滚动训练二 新人教A版选修2-2

2018-2019版数学新导学笔记选修2-2人教A全国通用版讲义：第一章 导数及其应用 滚动训练二 Word版含答案