随机变量的均值与方差[高考数学总复习][高中数学课时训]

随机变量的均值与方差1.若随机变量X 的概率分布如下表，则E （X ）= .答案9202.已知随机变量X 服从二项分布，且E （X ）=2.4，V （X ）=1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为 . 答案 6，0.4 3.已知ξ的概率分布则在下列式子中，①E （ξ）=-31;②V （ξ）=2723;③P (ξ=0)=31.正确的个数是 . 答案 24.已知ξ的分布列为ξ=-1,0,1,对应P =21，61，31，且设η=2ξ+1，则η的期望是 .答案32例1 某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红球可获得奖金50元.现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令X 表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额.求： （1）X 的概率分布； （2）X 的均值.解 （1）X 的所有可能取值为0，10，20，50，60.基础自测P （X =0）=3109⎪⎭⎫⎝⎛=0001729；P （X =10）=101×2109⎪⎭⎫⎝⎛+109×12C ×101×109=0001243;P (X =20)=101×12C ×101×109=000118;P (X =50)=109×2101=00019;P (X =60)=3101 =00011.故X 的概率分布为（2）E （X ）=0×0001729+10×0001243+20×000118+50×00019+60×00011=3.3(元).例2 某运动员投篮时命中率p =0.6.（1）求一次投篮命中次数ξ的期望与方差； （2）求重复5次投篮时，命中次数η的期望与方差. 解 （1）投篮一次，命中次数的概率分布为：则E （ξ）=0×0.4+1×0.6=0.6,V （ξ）=(0-0.6)2×0.4+(1-0.6)2×0.6=0.24.(2)由题意,重复5次投篮,命中的次数η服从二项分布, 即η～B (5,0.6),由二项分布期望与方差的计算结论有 E （η）=5×0.6=3,V （η）=5×0.6×0.4=1.2. 例3 （14分）设随机变量ξ具有分布P （ξ=k ）=51，k =1，2，3，4，5，求E （ξ+2）2，V （2ξ-1），σ（ξ-1）.解 ∵E （ξ）=1×51+2×51+3×51+4×51+5×51=3.E （ξ2）=1×51+22×51+32×51+42×51+52×51=11.V （ξ)=（1-3）2×51+（2-3）2×51+（3-3）2×51+（4-3）2×51+（5-3）2×51=51（4+1+0+1+4）=2. 5分∴E （ξ+2）2=E （ξ2+4ξ+4） =E (ξ2)+4E (ξ)+4=11+12+4=27.8分V （2ξ-1）=4V (ξ)=8，11分 σ（ξ-1）=)1(-ξV =)(ξV =2.14分例4 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区每个季度发现违反保护条例的事件次数的概率分布分别为试评定这两个保护区的管理水平.解 甲保护区的违规次数ξ的数学期望和方差为 E (ξ)=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3;V (ξ)=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21. 乙保护区的违规次数η的数学期望和方差为 E (η)=0×0.1+0.5+2×0.4=1.3;V (η)=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41.因为E (ξ)=E (η),V (ξ)＞V (η),所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同,但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动,乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定.1.编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数 是X .（1）求随机变量X 的概率分布； （2）求随机变量X 的数学期望和方差. 解 （1）P （X =0）=33A 2=31；P （X =1）=3313A C =21；P （X =3）=33A 1=61；∴随机变量X的概率分布为（2）E (X )=1×21+3×61=1.V (X )=(1-0)2·31+(1-1)2·21+(3-1)2·61=1.2.A 、B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验.每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A ，另2只服用B ，然后观察疗效.若在一个试验组中，服用A 有效的小白鼠的只数比服用B 有效的多，就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用A 有效的概率为32，服用B 有效的概率为21.(1)求一个试验组为甲类组的概率；（2）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的概率分布和数学期望. 解 （1）设A i 表示事件“一个试验组中，服用A 有效的小白鼠有i 只”，i =0，1，2， B i 表示事件“一个试验组中，服用B 有效的小白鼠有i 只”，i =0，1，2. 依题意有 P （A 1）=2×31×32=94,P （A 2）=32×32=94.P (B 0)=21×21=41,P (B 1)=2×21×21=21.所求的概率为P =P (B 0A 1)+P （B 0A 2）+P （B 1A 2） =41×94+41×94+21×94=94.（2）ξ的可能值为0,1,2,3，且ξ～B (3,94).P （ξ=0）=395⎪⎭⎫ ⎝⎛=729125，P （ξ=1）=13C ×94×295⎪⎭⎫ ⎝⎛=243100,P (ξ=2)=23C ×294⎪⎭⎫ ⎝⎛×95=24380,P (ξ=3)=394⎪⎭⎫⎝⎛= 72964.ξ的概率分布为数学期望E (ξ)=0×729125+1×243100+2×24380+3×72964=34.3.（2008·湖北理，17）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个（n =1,2,3,4）.现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号. （1）求ξ的概率分布、期望和方差；（2）若η=a ξ +b ,E (η)=1,V (η)=11,试求a ,b 的值. 解 （1）ξ的概率分布为∴E (ξ)=0×21+1×201+2×101+3×203+4×51=1.5.V (ξ)=(0-1.5)2×21+(1-1.5)2×201+(2-1.5)2×101+(3-1.5)2×203+(4-1.5)2×51=2.75.(2)由V (η)=a 2V (ξ),得a 2×2.75=11,即a =±2. 又E (η)=aE (ξ)+b ,所以当a =2时,由1=2×1.5+b ,得b =-2. 当a =-2时,由1=-2×1.5+b ,得b =4. ∴⎩⎨⎧-==,2,2b a 或⎩⎨⎧=-=42b a 即为所求.4.有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设项目，为了对重点建设项目负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各取等量的样品检查它们的抗拉强度指数如下：其中ξ和η分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120的条件下，比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性较好.解 E (ξ)=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125, E (η)=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125，V (ξ)=0.1×（110-125）2+0.2×（120-125）2+0.4×（125-125）2+0.1×（130-125）2+0.2×（135-125）2=50，V (η)=0.1×（100-125）2+0.2×（115-125）2+0.4×（125-125）2+0.1×（130-125）2+0.2×（145-125）2=165，由于E (ξ)=E (η)＞120，而V (ξ)＜V (η), 故甲厂的材料稳定性较好.一、填空题1.设一随机试验的结果只有A 和A ，且P （A ）=p ，令随机变量X =⎩⎨⎧不出现出现A A 01，则X 的方差V (X )= .答案 p （1-p ）2.某一离散型随机变量ξ的概率概率分布如下表，且E (ξ)=1.5，则a -b 的值为 .答案 03.如果a 1,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6的平均数（期望）为3，那么2（a 1-3），2（a 2-3），2（a 3-3），2（a 4-3），2（a 5-3），2（a 6-3）的平均数（期望）是 . 答案 04.设ξ～B （n ，p ），若有E (ξ)=12，V (ξ)=4，则n 、p 的值分别为 . 答案 18，325.随机变量X 的概率分布为则E （5X +4）= . 答案 156.投掷1枚骰子的点数为ξ，则E （ξ）= ，V （ξ）= . 答案 3.512357.随机变量ξ的概率分布如下：其中a ,b ,c 成等差数列.若E （ξ）=31,则V （ξ）的值是 .答案 958.设离散型随机变量X 可能取的值为1，2，3，4.P （X =k ）=ak +b （k =1，2，3，4）.又X 的均值E （X ）=3，则a +b = . 答案101二、解答题9.某地区的一个季节下雨天的概率是0.3，气象台预报天气的准确率为0.8.某厂生产的产品当天怕雨，若下雨而不做处理，每天会损失3 000元，若对当天产品作防雨处理，可使产品不受损失，费用是每天500元.（1）若该厂任其自然不作防雨处理，写出每天损失ξ的概率分布，并求其平均值； （2）若该厂完全按气象预报作防雨处理，以η表示每天的损失，写出η的概率分布.计算η的平均值，并说明按气象预报作防雨处理是否是正确的选择？ 解 （1）设ξ为损失数，概率分布为：∴E （ξ）=3 000×0.3=900（元）. （2）设η为损失数，则 P （η=0）=0.7×0.8=0.56.P (η=500)=0.3×0.8+0.7×0.2=0.38. P （η=3 000）=0.3×0.2=0.06. 概率分布为：∴E (η)=0+500×0.38+3 000×0.06=370 平均每天损失为370元.∵370＜900，∴按天气预报作防雨处理是正确的选择.10.设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，若以ξ和η分别表示取出次品和正品的个数.（1）求ξ的概率分布、期望值及方差； （2）求η的概率分布、期望值及方差. 解 （1）ξ的可能值为0，1，2. 若ξ=0，表示没有取出次品，其概率为： P （ξ=0）=31231002C C C =116;同理，有P （ξ=1）=31221012C C C =229；P （ξ=2）=31211022C C C =221.∴ξ的概率分布为：∴E （ξ）=0×116+1×229+2×221=21.V （ξ）=(0-21)2×116+2211⎪⎭⎫ ⎝⎛-×229+2212⎪⎭⎫ ⎝⎛-×221=223+889+889=4415.(2)η的可能值为1，2，3，显然ξ+η=3. P (η=1)=P (ξ=2)=221,P (η=2)=P (ξ=1)=229,P (η=3)=P (ξ=0)=116.∴η的概率分布为：E （η）=E （3-ξ）=3-E （ξ）=3-21=25.∵η=-ξ+3，∴V （η）=（-1）2V （ξ）=4415.11.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与p ，且乙投球2次均未命中的概率为161.（1）求乙投球的命中率p ；（2）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的概率分布和数学期望. 解 (1)设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B . 由题意得（1-P (B )）2=(1-p )2=161,解得p =43或p =45（舍去），所以乙投球的命中率为43.（2）由题设和（1）知P (A )=21,P (A )=21,P (B )= 43,P (B )=41.ξ可能的取值为0，1，2，3，故P (ξ=0)=P (A )P (B B )=21×241⎪⎭⎫⎝⎛=321,P (ξ=1)=P (A )P (B B )+12C P （B ）P （B ）P （A ） =21×241⎪⎭⎫⎝⎛+2×43×41×21=327,P (ξ=3)=P (A )P (BB )=21×243⎪⎭⎫⎝⎛=329,P (ξ=2)=1-P (ξ=0)-P (ξ=1)-P (ξ=3)=3215.ξ的概率分布为ξ的数学期望E (ξ)=0×321+1×327+2×3215+3×329=2.12.（2008·全国Ⅰ理，20）已知5只动物中有1只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性的即没患病.下面是两种化验方案:方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止.方案乙:先任取3只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验. (1)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率; (2) ξ表示依方案乙所需化验次数,求ξ的期望.解 （1）设ξ1、ξ2分别表示依方案甲和依方案乙需化验的次数，P 表示对应的概率，则 方案甲中ξ1的概率分布为方案乙中ξ2的概率分布为若甲化验次数不少于乙化验次数,则P =P (ξ1=1)×P (ξ2=1)+P (ξ1=2)×［P (ξ2=1)+P (ξ2=2)］+P (ξ1=3)×［P (ξ2=1)+P (ξ2=2)+P (ξ2=3)］+P (ξ1=4) =0+51×（0+53）+51×（0+53+52）+52=2518=0.72.(2)E (ξ)=1×0+2×53+3×52=512=2.4.。