备战2020年高考理数一轮复习课时跟踪检测(五十二) 双曲线
2020高考数学理科大一轮复习导学案《双曲线》含答案
第六节双曲线知识点一双曲线的定义平面内动点P与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a<2c)，则点P的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．1．判断正误(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．(×)(2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(×)2．设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于(B)A．1 B．17C．1或17 D．以上答案均不对解析：由题意知|PF1|＝9<a＋c＝10，所以P点在双曲线的左支，则有|PF2|－|PF1|＝2a＝8，故|PF2|＝|PF1|＋8＝17.知识点二双曲线的标准方程与几何性质1．双曲线的标准方程和几何性质2.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝ 2.3．双曲线方程：x 2|k |－2＋y 25－k ＝1，那么k 的范围是( D )A ．k >5B ．2<k <5C ．－2<k <2D ．－2<k <2或k >5解析：由题意知，(|k |－2)(5－k )<0，解得－2<k <2或k >5.4．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( A )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22xD ．y ＝±32x解析：解法1：由题意知，e ＝ca ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所以b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x ，故选A.解法2：由e ＝ca ＝1＋(b a )2＝3，得ba ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x ，故选A.5．(2019·合肥市质量检测)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0所截得的弦的长为2，则该双曲线的离心率等于62.解析：不妨取双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为bx －ay ＝0，圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0的圆心为(3,0)，半径为2，∴圆心(3,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离d ＝3ba 2＋b2，又d ＝22－(22)2＝3，∴3ba 2＋b2＝3，化简得a 2＝2b 2，∴该双曲线的离心率e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝1＋12＝62.1．双曲线定义的四点辨析(1)当0<2a <|F 1F 2|时，动点的轨迹才是双曲线． (2)当2a ＝0时，动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线．(3)当2a ＝|F 1F 2|时，动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线． (4)当2a >|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在． 2．方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示的曲线(1)当m >0，n >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线． (2)当m <0，n <0时，则表示焦点在y 轴上的双曲线． 3．方程的常见设法(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)． (2)若渐近线的方程为y ＝±b a x ，则可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．考向一双曲线的定义及应用【例1】(1)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P 在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于()A．2 B．4C．6 D．8(2)已知圆C：(x－3)2＋y2＝4，定点A(－3,0)，则过定点A且和圆C外切的动圆圆心M的轨迹方程为________．【解析】(1)由双曲线的方程得a＝1，c＝2，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，即(22)2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|＝22＋|PF1|·|PF2|.解得|PF1|·|PF2|＝4.故选B.(2)设动圆M的半径为R，则|MC|＝2＋R，|MA|＝R，∴|MC|－|MA|＝2，由双曲线的定义知，M点的轨迹是以A，C为焦点的双曲线的左支，且a＝1，c＝3，∴b2＝8，则动圆圆心M的轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1)．【答案】(1)B(2)x2－y28＝1(x≤－1)双曲线定义的主要应用方面(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．(2019·沈阳市教学质量监测(一))已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 与双曲线C 的焦点不重合，点M 关于F 1，F 2的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在双曲线的右支上，若|AN |－|BN |＝12，则a ＝( A )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：如图，设MN 的中点为P .∵F 1为MA 的中点，F 2为MB 的中点，∴|AN |＝2|PF 1|，|BN |＝2|PF 2|，又|AN |－|BN |＝12，∴|PF 1|－|PF 2|＝6＝2a ， ∴a ＝3.故选A.考向二 双曲线的标准方程【例2】 (2018·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1D.x 29－y 23＝1【解析】 解法1：因为直线AB 经过双曲线的右焦点，所以不妨取A (c ，b 2a )，B (c ，－b 2a )，取双曲线的一条渐近线为直线bx －ay ＝0，由点到直线的距离公式可得d 1＝|bc －b 2|a 2＋b 2＝bc －b 2c ，d 2＝|bc ＋b 2|a 2＋b 2＝bc ＋b 2c ，因为d 1＋d 2＝6，所以bc －b 2c ＋bc ＋b 2c ＝6，所以2b ＝6，得b ＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以ca ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a 2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1，故选C.解法2：由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以ca ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a 2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1，故选C.【答案】 C求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值．(1)(2019·福州高三考试)已知双曲线C 的两个焦点F 1，F 2都在x 轴上，对称中心为原点O ，离心率为 3.若点M 在C 上，且MF 1⊥MF 2，M 到原点的距离为3，则C 的方程为( C )A.x 24－y 28＝1 B.y 24－x 28＝1 C ．x 2－y 22＝1D ．y 2－x 22＝1(2)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.解析：(1)由题意可知，OM 为Rt △MF 1F 2斜边上的中线，所以|OM |＝12|F 1F 2|＝c .由M 到原点的距离为3，得c ＝3，又e ＝ca ＝3，所以a ＝1，所以b 2＝c 2－a 2＝3－1＝2.故双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1.故选C.(2)法1：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.法2：∵渐近线y ＝12x 过点(4,2)，而3<2，∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y2＝1.考向三 双曲线的几何性质 方向1 渐近线问题【例3】 (2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A.32 B ．3 C ．2 3D ．4【解析】 因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，所以∠MON ＝60°.不妨设过点F 的直线与直线y ＝33x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN ＝90°，则∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F (2,0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，由⎩⎨⎧y ＝－3(x －2)，y ＝33x ，得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32，所以M (32，32)，所以|OM |＝(32)2＋(32)2＝3，所以|MN |＝3|OM |＝3，故选B.【答案】 B 方向2 离心率问题【例4】 (2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3 D. 2【解析】 不妨设一条渐近线的方程为y ＝b a x ，则F 2到y ＝ba x 的距离d ＝|bc |a 2＋b2＝b ，在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－(6a )22ac ＝－cos ∠POF 2＝－a c ，即3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca ＝ 3.【答案】 C方向3 最值与范围问题【例5】 已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233 【解析】 因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3<0，即3y 20－1<0，解得－33<y 0<33.【答案】 A1.与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解.(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决.2.与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略(1)双曲线的离心率e ＝ca 是一个比值，故只需根据条件得到关于a ，b ，c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形成关于e 的关系式，并且需注意e >1.(2)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0). (3)若渐近线的方程为y ＝±b a x ，则可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0).1．(方向1)(2019·福州四校联考)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，若这4条直线所围成的四边形的周长为8b ，则该双曲线的渐近线方程为( A )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2x解析：由双曲线的对称性得该四边形为菱形，因为该四边形的周长为8b ，所以菱形的边长为2b ，由勾股定理得4条直线与y 轴的交点到x 轴的距离为4b 2－c 2＝3b 2－a 2，又4条直线分别与两条渐近线平行，所以b a ＝3b 2－a 2a 2＋b2，解得a ＝b ，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，故选A.2．(方向2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆x 2＋(y －4)2＝1相切，则双曲线的离心率为( D )A ．2 B. 3 C ．3 D ．4解析：因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为bx ±ay ＝0.依题意，直线bx ±ay ＝0与圆x 2＋(y －4)2＝1相切，则圆心(0,4)到直线bx ±ay ＝0的距离d ＝|4a |a 2＋b2＝1，所以4a c ＝1，所以双曲线离心率e ＝ca ＝4.3．(方向3)中心在原点的椭圆C 1与双曲线C 2具有相同的焦点，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P 为C 1与C 2在第一象限的交点，|PF 1|＝|F 1F 2|且|PF 2|＝3，若椭圆C 1的离心率e 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，45，则双曲线的离心率e 2的范围是( C )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，53 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2 C.⎝⎛⎭⎪⎫43，2 D.(2,3)解析：设椭圆方程为：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意有：|PF 2|＝3＝2a －|PF 1|＝2a －2c ，设双曲线方程为x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)，同理可得2m ＝|PF 1|－|PF 2|＝2c －(2a －2c )＝4c －2a ，所以m ＝2c －a ，又e 2＝c m ＝c 2c －a＝12－1e1，因为e 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，45，所以1e 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫54，32，所以e 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2.经久不衰的高考热点——离心率问题离心率是圆锥曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点．这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求圆锥曲线的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表示，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆或双曲线的离心率问题难点的根本方法．一、利用定义求离心率典例1 (2019·广州高三调研测试)在直角坐标系xOy 中，设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，P 为双曲线C 的右支上一点，且△OPF 为正三角形，则双曲线C 的离心率为( )A. 3B.233 C ．1＋ 3D ．2＋ 3【解题思路】 设F ′为双曲线的左焦点，利用△OPF 为正三角形求出|PO |＝|PF |＝c ，∠POF ′＝120°，利用双曲线的定义得到|PF ′|＝2a ＋c ，最后在△PF ′O 中由余弦定理可得ca 的值．【解析】 设F ′为双曲线的左焦点，|F ′F |＝2c ，依题意可得|PO |＝|PF |＝c ，连接PF ′，由双曲线的定义可得|PF ′|－|PF |＝2a ，故|PF ′|＝2a ＋c ，在△PF ′O 中，∠POF ′＝120°，由余弦定理可得cos120°＝c 2＋c 2－(2a ＋c )22c 2，化简可得c 2－2ac －2a 2＝0，即(c a )2－2×c a －2＝0，解得c a ＝1＋3或ca ＝1－3(不合题意，舍去)，故双曲线的离心率e ＝1＋3，故选C.【答案】 C二、利用平面几何性质求离心率典例2 (2018·北京卷)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________．【解析】 如图，设椭圆的右焦点为F (c,0)，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A ，由题意可知A (c 2，3c2)，由点A 在椭圆M 上得，c 24a 2＋3c 24b 2＝1，∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∵b 2＝a 2－c 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)，∴4a 4－8a 2c 2＋c 4＝0，∴e 4椭－8e 2椭＋4＝0，∴e 2椭＝4±23，∴e 椭＝3＋1(舍去)或e 椭＝3－1，∴椭圆M 的离心率为3－1，∵双曲线的渐近线过点A (c 2，3c2)， ∴渐近线方程为y ＝3x ， ∴nm ＝3，故双曲线的离心率e 双＝m 2＋n 2m 2＝2.【答案】 3－1 2三、利用椭圆或双曲线的性质建立方程(或不等式)求离心率的值(或取值范围)典例3 已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，点P 在椭圆上且满足PF 1→·PF 2→＝c 2，则该椭圆离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12 D.⎝⎛⎦⎥⎤0，22【解析】 设P (x ，y )，则x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，y 2＝b 2－b2a 2x 2，－a ≤x ≤a ，PF 1→＝(－c －x ，－y )，PF 2→＝(c －x ，－y )．所以PF 1→·PF 2→＝x 2－c 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1－b 2a 2x 2＋b 2－c 2＝c2a 2x 2＋b 2－c 2.因为－a ≤x ≤a ，所以b 2－c 2≤PF 1→·PF 2→≤b 2.所以b 2－c 2≤c 2≤b 2，所以2c 2≤a 2≤3c 2，所以33≤c a ≤22.故选B.【答案】 B(1)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( A )A.13B.12C.23D.34(2)过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为椭圆的右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( B )A.22B.33C.12D.13解析：(1)由题意，不妨设直线l 的方程为y ＝k (x ＋a )，k >0，分别令x ＝－c 与x ＝0，得|FM |＝k (a －c )，|OE |＝ka .设OE 的中点为G ，由△OBG ∽△FBM ，得12|OE ||FM |＝|OB ||BF |，即ka 2k (a －c )＝a a ＋c ，整理，得c a ＝13，故椭圆的离心率e ＝13.故选A.(2)由题意，可设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .因为在Rt △PF 1F 2中，|PF 1|＝b 2a ，|F 1F 2|＝2c ，∠F 1PF 2＝60°，所以|F 1F 2||PF 1|＝2acb 2＝ 3.因为b 2＝a 2－c 2，所以3c 2＋2ac－3a 2＝0，即3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33或e ＝－ 3.又e ∈(0,1)，所以e ＝33.故选B.。
高考数学理科一轮复习双曲线学案含答案
高考数学（理科）一轮复习双曲线学案含答案学案52 双曲线导学目标： 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.2.理解数形结合的思想．自主梳理1．双曲线的概念平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a2c)，则点P的轨迹叫________．这两个定点叫双曲线的________，两焦点间的距离叫________．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a0，c0；(1)当________时，P点的轨迹是________；(2)当________时，P点的轨迹是________；(3)当________时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±baxy＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2 (ca0，cb0)3.实轴长和虚轴长相等的双曲线为________________，其渐近线方程为________，离心率为________．自我检测1．(2011安徽)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( ) A．2 B．22C．4 D．422．已知双曲线x22－y2b2＝1 (b0)的左、右焦点分别为F1、F2，其中一条渐近线方程为y＝x，点P(3，y0)在该双曲线上，则PF1→PF2→等于( )A．－12 B．－2C．0 D．43．(2011课标全国)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为( )A.2 B．2 D．34．(2011武汉调研)已知点(m，n)在双曲线8x2－3y2＝24上，则2m＋4的范围是__________________．5．已知A(1,4)，F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，P是双曲线右支上的动点，求|PF|＋|PA|的最小值．探究点一双曲线的定义及应用例1 已知定点A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程．变式迁移1 已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．探究点二求双曲线的标准方程例2 已知双曲线的一条渐近线方程是x－2y＝0，且过点P(4,3)，求双曲线的标准方程．变式迁移2 (2011安庆模拟)已知双曲线与椭圆x29＋y225＝1的焦点相同，且它们的离心率之和等于145，则双曲线的方程为____________．探究点三双曲线几何性质的应用例3 已知双曲线的方程是16x2－9y2＝(1)求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1||PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．变式迁移3 已知双曲线C：x22－y2＝1.(1)求双曲线C的渐近线方程；(2)已知M点坐标为(0,1)，设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点．记λ＝MP→MQ→，求λ的取值范围．方程思想的应用例(12分)过双曲线x23－y26＝1的右焦点F2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A、B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．(1)求|AB|；(2)求△AOB的面积；(3)求证：|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|.多角度审题(1)要求弦长|AB|需要A、B两点坐标或设而不求利用弦长公式，这就需要先求直线AB；(2)在(1)的基础上只要求点到直线的距离；(3)要充分联想到A、B两点在双曲线上这个条件．【答题模板】(1)解由双曲线的方程得a＝3，b＝6，∴c＝a2＋b2＝3，F1(－3,0)，F2(3,0)．直线AB的方程为y＝33(x－3)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝33x－3x23－y26＝1，得5x2＋6x－27＝0.[2分]∴x1＋x2＝－65，x1x2＝－275，∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋332x1＋x22－4x1x2＝433625＋1085＝1635.[4分](2)解直线AB的方程变形为3x－3y－33＝0.∴原点O到直线AB的距离为d＝|－33|32＋－32＝32.[6分]∴S△AOB＝12|AB|d＝12×1635×32＝1235.[8分] (3)证明如图，由双曲线的定义得|AF2|－|AF1|＝23，|BF1|－|BF2|＝23，[10分]∴|AF2|－|AF1|＝|BF1|－|BF2|，即|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|.[12分]【突破思维障碍】写出直线方程，联立直线方程、双曲线方程，消元得关于x的一元二次方程，利用弦长公式求|AB|，再求点O到直线AB的距离从而求面积，最后利用双曲线的定义求证等式成立．【易错点剖析】在直线和双曲线相交的情况下解题时易忽视消元后的一元二次方程的判别式Δ0，而导致错解．1．区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中a，b，c 的大小关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2；双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e∈(0,1)．2．双曲线x2a2－y2b2＝1 (a0，b0)的渐近线方程是y＝±bax，y2a2－x2b2＝1 (a0，b0)的渐近线方程是y＝±abx.3．双曲线标准方程的求法：(1)定义法，根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的a、b、c，即可求得方程．(2)待定系数法，其步骤是：①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程；③定值：根据题目条件确定相关的系数．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知M(－2,0)、N(2,0)，|PM|－|PN|＝3，则动点P的轨迹是( )A．双曲线 B．双曲线左边一支C．双曲线右边一支 D．一条射线2．设点P在双曲线x29－y216＝1上，若F1、F2为双曲线的两个焦点，且|PF1|∶|PF2|＝1∶3，则△F1PF2的周长等于( )A．22 B．16 C．14 D．123．(2011宁波高三调研)过双曲线x2a2－y2b2＝1 (a0，b0)的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线FM(切点为M)，交y轴于点P.若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率为( )A.2B.3 C．2 D．双曲线x2a2－y2b2＝1的左焦点为F1，左、右顶点分别为A1、A2，P是双曲线右支上的一点，则分别以PF1和A1A2为直径的两圆的位置关系是( )A．相交 B．相离 C．相切 D．内含5．(2011山东)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( ) A.x25－y24＝1 B.x24－y25＝x23－y26＝1 D.x26－y23＝1二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2011上海)设m是常数，若点F(0,5)是双曲线y2m－x29＝1的一个焦点，则m＝________.7．设圆过双曲线x29－y216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则此圆心到双曲线中心的距离为______．8．(2011铜陵期末)已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________．三、解答题(共38分)9．(12分)根据下列条件，求双曲线方程：(1)与双曲线x29－y216＝1有共同的渐近线，且经过点(－3，23)；(2)与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．10．(12分)(2011广东)设圆C与两圆(x＋5)2＋y2＝4，(x－5)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．(1)求圆C的圆心轨迹L的方程；(2)已知点M(355，455)，F(5，0)，且P为L上动点，求||MP|－|FP||的最大值及此时点P的坐标．．(14分)(2010四川)已知定点A(－1,0)，F(2,0)，定直线l：x＝12，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍．设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N.(1)求E的方程；(2)试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由．学案52 双曲线自主梳理1．双曲线焦点焦距(1)ac 双曲线(2)a＝c 两条射线(3)ac 3.等轴双曲线y＝±x e＝2 自我检测1．C [∵2x2－y2＝8，∴x24－y28＝1，∴a＝2，∴2a＝4.]2．C3．B [设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为l：x＝c或x＝－c，代入x2a2－y2b2＝1得y2＝b2(c2a2－1)＝b4a2，∴y＝±b2a，故|AB|＝2b2a，依题意2b2a＝4a，∴b2a2＝2，∴c2－a2a2＝e2－1＝2，∴e＝3.] 4．(－∞，4－23]∪[4＋23，＋∞)5．解设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义可知|PF|＝2a＋|PF1|＝4＋|PF1|，∴|PF|＋|PA|＝4＋|PF1|＋|PA|.∴当满足|PF1|＋|PA|最小时，|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图象可知当点A、P、F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，易求得最小值为|AF1|＝5，故所求最小值为堂活动区例1 解题导引求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量．在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性和完备性．解设F(x，y)为轨迹上的任意一点，因为A，B两点在以C，F为焦点的椭圆上，所以|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a(其中a表示椭圆的长半轴)．所以|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|.所以|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝122＋92－122＋52＝2.所以|FA|－|FB|＝2.由双曲线的定义知，F点在以A，B为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上．所以点F的轨迹方程是y2－x248＝1 (y≤－1)．变式迁移1 解设动圆M的半径为r，则由已知得，|MC1|＝r＋2，|MC2|＝r－2，∴|MC1|－|MC2|＝22，又C1(－4,0)，C2(4,0)，∴|C1C2|＝8.∴22|C1C2|.根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(－4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线的右支．∵a＝2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝∴点M的轨迹方程是x22－y214＝1 (x≥2)．例2 解题导引根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选取方程的形式，当焦点不能定位时，则应分两种情况讨论．解决本题的方法有两种：一先定位，避免了讨论；二利用其渐近线的双曲线系，同样避免了对双曲线方程类型的讨论．在共渐近线的双曲线系x2a2－y2b2＝λ (参数λ≠0)中，当λ0时，焦点在x轴上；当λ0时，焦点在y轴上．解方法一∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，当x＝4时，y＝2yp＝3，∴双曲线的焦点在y轴上．从而有ab＝12，∴b＝2a.设双曲线方程为y2a2－x24a2＝1，由于点P(4,3)在此双曲线上，∴9a2－164a2＝1，解得a2＝5.∴双曲线方程为y25－x220＝1.方法二∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，即x2－y＝0，∴双曲线的渐近线方程为x24－y2＝0.设双曲线方程为x24－y2＝λ (λ≠0)，∵双曲线过点P(4,3)，∴424－32＝λ，即λ＝－5.∴所求双曲线方程为x24－y2＝－5，即y25－x220＝1.变式迁移2 y24－x212＝1解析由于在椭圆x29＋y225＝1中，a2＝25，b2＝9，所以c2＝16，c＝4，又椭圆的焦点在y轴上，所以其焦点坐标为(0，±4)，离心率e＝45.根据题意知，双曲线的焦点也应在y轴上，坐标为(0，±4)，且其离心率等于145－45＝2.故设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1 (a0，b0)，且c＝4，所以a＝12c＝2，a2＝4，b2＝c2－a2＝12，于是双曲线的方程为y24－x212＝1.例3 解题导引双曲线问题与椭圆问题类似，因而研究方法也有许多相似之处，如利用“定义”“方程观点”“直接法或待定系数法求曲线方程”“数形结合”等．解(1)由16x2－9y2＝144，得x29－y216＝1，∴a＝3，b＝4，c＝5.焦点坐标F1(－5,0)，F2(5,0)，离心率e＝53，渐近线方程为y＝±43x.(2)||PF1|－|PF2||＝6，∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1||PF2|＝|PF1|－|PF2|2＋2|PF1||PF2|－|F1F2|22|PF1||PF2|＝36＋64－10064＝0，∴∠F1PF2＝90°.变式迁移3 解(1)因为a＝2，b＝1，且焦点在x轴上，所以渐近线方程为y－22x＝0，y＋22x＝0.(2)设P点坐标为(x0，y0)，则Q的坐标为(－x0，－y0)，λ＝MP→MQ→＝(x0，y0－1)(－x0，－y0－1)＝－x20－y20＋1＝－32x20＋2.∵|x0|≥2，∴λ的取值范围是(－∞，－1]．课后练习区1．C 2.A 3.A ．A [∵双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±bax，圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，∴圆心为C(3,0)．又渐近线方程与圆C相切，即直线bx－ay＝0与圆C相切，∴3ba2＋b2＝2，∴5b2＝4a2.①又∵x2a2－y2b2＝1的右焦点F2(a2＋b2，0)为圆心C(3,0)，∴a2＋b2＝9.②由①②得a2＝5，b2＝4.∴双曲线的标准方程为x25－y24＝1.]6．16解析由已知条件有52＝m＋9，所以m＝8.62 9．解(1)方法一由题意可知所求双曲线的焦点在x轴上，(2分)设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1，由题意，得ba＝43，－32a2－232b2＝1，解得a2＝94，b2＝4.(4分)所以双曲线的方程为49x2－y24＝1.(6分)方法二设所求双曲线方程x29－y216＝λ (λ≠0)，(2分)将点(－3,23)代入得λ＝14，(4分)所以双曲线方程为x29－y216＝14，即49x2－y24＝1.(6分)(2)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1.由题意c＝25.(8分)又双曲线过点(32，2)，∴322a2－4b2＝1.又∵a2＋b2＝(25)2，∴a2＝12，b2＝8.(10分)故所求双曲线的方程为x212－y28＝1.(12分)10．解(1)设圆C的圆心坐标为(x，y)，半径为r.圆(x＋5)2＋y2＝4的圆心为F1(－5，0)，半径为2，圆(x－5)2＋y2＝4的圆心为F(5，0)，半径为2.由题意得|CF1|＝r＋2，|CF|＝r－2或|CF1|＝r－2，|CF|＝r＋2，∴||CF1|－|CF||＝4.(4分)∵|F1F|＝254.∴圆C的圆心轨迹是以F1(－5，0)，F(5，0)为焦点的双曲线，其方程为x24－y2＝1.(6分)(2)由图知，||MP|－|FP||≤|MF|，∴当M，P，F三点共线，且点P在MF延长线上时，|MP|－|FP|取得最大值|MF|，(8分)且|MF|＝355－52＋455－02＝2.(9分)直线MF的方程为y＝－2x＋25，与双曲线方程联立得y＝－2x＋25，x24－y2＝1，整理得15x2－325x＋84＝0.解得x1＝14515(舍去)，x2＝此时y＝－255.(11分) ∴当||MP|－|FP||取得最大值2时，点P的坐标为(655，－255)．(12分)11．解(1)设P(x，y)，则x－22＋y2＝2x－12，化简得x2－y23＝1(y≠0)．(5分)(2)①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y＝k(x－2) (k≠0)，与双曲线方程x2－y23＝1联立消去y，得(3－k2)x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0.由题意知，3－k2≠0且Δ＞0.(7分)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1＋x2＝4k2k2－3，x1x2＝4k2＋3k2－3，2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2x1x2－2x1＋x2＋4＝k24k2＋3k2－3－8k2k2－3＋4＝－9k2k2－3.因为x1，x2≠－1，所以直线AB的方程为y＝y1x1＋1(x＋1)．因此M点的坐标为12，3y12x1＋1，FM→＝－32，3y12x1＋1.同理可得FN→＝－32，3y22x2＋1.因此FM→FN→＝－32×－32＋9y1y24x1＋1x2＋1＝94＋－81k2k2－344k2＋3k2－3＋4k2k2－3＋1＝0.(11分)②当直线BC与x轴垂直时，其方程为x＝2，则B(2,3)，C(2，－3)．AB的方程为y＝x＋1，因此M点的坐标为12，32，FM→＝－32，32.同理可得FN→＝－32，－32.因此FM→FN→＝－32×－32＋32×－32＝0.(13分) 综上，FM→FN→＝0，故FM⊥FN.故以线段MN为直径的圆过点F.(14分)。
2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测五十二直线与圆锥曲线
课时跟踪检测（五十二） 直线与圆锥曲线1．过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条解析：选B 设该抛物线焦点为F ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则|AB |＝|AF |＋|FB |＝x A ＋p2＋x B ＋p2＝x A ＋x B ＋1＝3＞2p ＝2.所以符合条件的直线有且只有两条．2．(2019·张掖高三诊断)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为103，则|AB |＝( ) A.133B.143 C ．5D.163解析：选D 过抛物线的焦点的弦长公式为|AB |＝p ＋x 1＋x 2.∵p ＝2，∴|AB |＝2＋103＝163. 3．(2018·聊城二模)已知直线l 与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为(2,1)，则直线l 的方程为( )A ．y ＝x －1B ．y ＝－2x ＋5C ．y ＝－x ＋3D ．y ＝2x －3解析：选D 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ②①－②得y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，由题可知x 1≠x 2.∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝42＝2，即k AB ＝2，∴直线l 的方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0.故选D.4．(2019·厦门模拟)过双曲线C ：x 24－y 29＝1的左焦点作倾斜角为π6的直线l ，则直线l与双曲线C 的交点情况是( )A ．没有交点B ．只有一个交点C ．有两个交点且都在左支上D ．有两个交点分别在左、右两支上解析：选D 直线l 的方程为y ＝33()x ＋13，代入C ：x 24－y 29＝1，整理得23x 2－813x －160＝0，Δ＝(－813)2＋4×23×160＞0，所以直线l 与双曲线C 有两个交点，由一元二次方程根与系数的关系得两个交点横坐标符号不同，故两个交点分别在左、右两支上．5．已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A ，B ，则|AB |＝( )A ．3B ．4C ．3 2D ．4 2解析：选C 由题意可设l AB 为y ＝x ＋b ，代入y ＝－x 2＋3得x 2＋x ＋b －3＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝b －3，y 1＋y 2＝x 1＋b ＋x 2＋b ＝－1＋2b .所以AB 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12＋b ，该点在x ＋y ＝0上，即－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋b ＝0，得b ＝1，所以|AB |＝1＋12·x 1＋x 22－4x 1x 2＝3 2.6．(2019·青岛模拟)已知点A 是抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的对称轴与准线的交点，过点A 作抛物线C 的两条切线，切点分别为P ，Q ，若△AP Q 的面积为4，则p 的值为( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：选D 设过点A 与抛物线相切的直线方程为y ＝kx －p 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －p 2，x 2＝2py得x2－2pkx ＋p 2＝0，由Δ＝4k 2p 2－4p 2＝0，可得k ＝±1， 则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，p 2，P ⎝⎛⎭⎪⎫－p ，p 2，∴△AP Q 的面积为12×2p ×p ＝4，∴p ＝2.故选D.7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，过点P (3,6)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (12,15)，则双曲线C 的离心率为( )A ．2 B.32 C.355D.52解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AB 的中点为N (12，15)，得x 1＋x 2＝24，y 1＋y 2＝30，由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式相减得：x 1＋x 2x 1－x 2a2＝y 1＋y 2y 1－y 2b2，则y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝4b 25a 2.由直线AB 的斜率k ＝15－612－3＝1，∴4b 25a 2＝1，则b 2a 2＝54，∴双曲线的离心率e ＝c a ＝1＋b 2a 2＝32. 8．(2019·福州模拟)已知抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交E 于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点C ，MN ⊥y 轴于点N ，若四边形CMNF 的面积等于7，则E 的方程为( )A ．y 2＝x B ．y 2＝2x C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：选C F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线AB 的方程为y ＝x －p2.联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝x －p2，可得x 2－3px ＋p 24＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3p ， 则y 1＋y 2＝x 1＋x 2－p ＝2p ，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 2，p ，∴N (0，p )，直线MC 的方程为y ＝－x ＋5p 2. ∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5p 2，0，∴四边形CMNF 的面积为S 梯形OCMN －S △ONF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 2＋5p 2·p2－12·p 2·p ＝7p24＝7， 又p ＞0，∴p ＝2，即抛物线E 的方程为y 2＝4x .故选C.9．(2018·湖北十堰二模)如图，F1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的两个分支分别交于点A ，B .若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为( )A ．4 B.7 C.233D. 3解析：选B ∵△ABF 2为等边三角形，∴|AB |＝|AF 2|＝|BF 2|，∠F 1AF 2＝60°. 由双曲线的定义可得|AF 1|－|AF 2|＝2a ， ∴|BF 1|＝2a .又|BF 2|－|BF 1|＝2a ，∴|BF 2|＝4a . ∴|AF 2|＝4a ，|AF 1|＝6a .在△AF 1F 2中，由余弦定理可得|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 2|·|AF 1|cos 60°， ∴(2c )2＝(6a )2＋(4a )2－2×4a ×6a ×12，即c 2＝7a 2，∴e ＝c a ＝c 2a 2＝7.故选B. 10．(2019·贵阳模拟)已知双曲线x 2－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，动直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则x 2－x 1的最小值为( )A ．2 2B ．2C ．4D ．3 2解析：选A ∵l 与圆相切， ∴原点到直线的距离d ＝|m |1＋k2＝1，∴m 2＝1＋k 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2－y 2＝1得(1－k 2)x 2－2mkx －(m 2＋1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4m 2k 2＋－k2m 2＋＝m 2＋1－k 2＝8＞0，x 1x 2＝1＋m 2k 2－1＜0，∴k 2＜1，∴－1＜k ＜1，由于x 1＋x 2＝2mk 1－k 2，∴x 2－x 1＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝22|1－k 2|＝221－k2，∵0≤k 2＜1，∴当k 2＝0时，x 2－x 1取最小值2 2.故选A.11．(2019·安庆模拟)设抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，点A ，B 在抛物线上，且满足AF ―→＝λFB ―→，若|AF ―→|＝32，则λ的值为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线x 2＝4y 得焦点F 的坐标为(0,1)，准线方程为y ＝－1，∵|AF ―→|＝32，∴y 1＋1＝32，解得y 1＝12，∴x 1＝±2，由抛物线的对称性取x 1＝2， ∴A ⎝⎛⎭⎪⎫2，12，∴直线AF 的方程为y ＝－24x ＋1， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－24x ＋1，x 2＝4y .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝12或⎩⎨⎧x ＝－22，y ＝2，∴B (－22，2)，∴|FB ―→|＝2＋1＝3，∵AF ―→＝λFB ―→，∴|AF ―→|＝λ|FB ―→|，∴32＝3λ，解得λ＝12.答案：1212．(2019·武汉调研)已知直线MN 过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F ，与椭圆交于M ，N 两点．直线P Q 过原点O 且与直线MN 平行，直线P Q 与椭圆交于P ，Q 两点，则|P Q|2|MN |＝________.解析：法一：由题意知，直线MN 的斜率不为0，设直线MN 的方程为x ＝my ＋1，则直线P Q 的方程为x ＝my .设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，Q(x 4，y 4).⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 22＋y 2＝1⇒(m2＋2)y 2＋2my －1＝0⇒y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2. ∴|MN |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝22·m 2＋1m 2＋2.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ，x 22＋y 2＝1⇒(m 2＋2)y 2－2＝0⇒y 3＋y 4＝0，y 3y 4＝－2m 2＋2. ∴|P Q|＝1＋m 2|y 3－y 4|＝2 2 m 2＋1m 2＋2. 故|P Q|2|MN |＝2 2. 法二：取特殊位置，当直线MN 垂直于x 轴时，易得|MN |＝2b2a＝2，|P Q|＝2b ＝2，则|P Q|2|MN |＝2 2.答案：2 213．(2019·石家庄重中高中摸底)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，直线l ：y ＝3(x －1)，l 与C 交于A ，B 两点，若|AB |＝163，则p ＝________.解析：由⎩⎨⎧y 2＝2px ，y ＝3x －，消去y ，得3x 2－(2p ＋6)x ＋3＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2p ＋63，x 1x 2＝1，所以|AB |＝2x 1＋x 22－4x 1x 2＝2p ＋29－4＝163，所以p ＝2. 答案：214．(2018·深圳二模)设过抛物线y 2＝2px (p ＞0)上任意一点P (异于原点O )的直线与抛物线y 2＝8px (p ＞0)交于A ，B 两点，直线OP 与抛物线y 2＝8px (p ＞0)的另一个交点为Q ，则S △AB QS △ABO＝________. 解析：设直线OP 的方程为y ＝kx (k ≠0)，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px ，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k 2，2p k ， 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝8px ，解得Q ⎝⎛⎭⎪⎫8p k 2，8p k， ∴|OP |＝ 4p2k4＋4p2k 2＝2p 1＋k2k 2， |P Q|＝ 36p2k 4＋36p 2k2＝6p 1＋k2k2， ∴S △AB Q S △ABO ＝|P Q||OP |＝3. 答案：315．已知抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，E 上一点(3，m )到焦点的距离为4. (1)求抛物线E 的方程；(2)过F 作直线l ，交抛物线E 于A ，B 两点，若直线AB 中点的纵坐标为－1，求直线l 的方程．解：(1)抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p2，由抛物线的定义可知3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2 ＝4，解得p ＝2，∴抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)法一：由(1)得抛物线E 的方程为y 2＝4x ，焦点F (1,0)， 设A ，B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减，整理得y 2－y 1x 2－x 1 ＝4y 2＋y 1(x 1≠x 2)． ∵线段AB 中点的纵坐标为－1， ∴直线l 的斜率k AB ＝4y 2＋y 1＝4－＝－2，∴直线l 的方程为y －0＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0. 法二：由(1)得抛物线E 的方程为y 2＝4x ，焦点F (1,0)， 设直线l 的方程为x ＝my ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1消去x ，得y 2－4my －4＝0.设A ，B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵线段AB 中点的纵坐标为－1， ∴y 1＋y 22 ＝4m2＝－1，解得m ＝－12， ∴直线l 的方程为x ＝－12y ＋1，即2x ＋y －2＝0.16．(2019·佛山模拟)已知直线l 过点P (2,0)且与抛物线E ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 在第四象限，O 为坐标原点．(1)当A 是PC 中点时，求直线l 的方程；(2)以AB 为直径的圆交直线OB 于点D ，求|OB |·|OD |的值． 解：(1)∵A 是PC 的中点，P (2,0)，C 在y 轴上， ∴A 点的横坐标为1，又A 在第四象限，∴A (1，－2)． ∴直线l 的方程为y ＝2x －4. (2)显然直线l 的斜率不为0， 设l的方程为x ＝my ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝4x ，消去x得y 2－4my －8＝0，∴y 1y 2＝－8，故x 1x 2＝y 214·y 224＝4，∵D 在以AB 为直径的圆上，且在直线OB 上，∴AD ―→⊥OD ―→， 设OD ―→＝λOB ―→＝(λx 2，λy 2)，则AD ―→＝OD ―→－OA ―→＝(λx 2－x 1，λy 2－y 1)， ∴AD ―→·OD ―→＝(λx 2－x 1)λx 2＋(λy 2－y 1)λy 2＝0， 即λ2x 22－4λ＋λ2y 22＋8λ＝0，易知λ≠0， ∴λ(x 22＋y 22)＝－4.∴|OB |·|OD |＝x 22＋y 22·λ2x 22＋λ2y 22 ＝|λ|(x 22＋y 22)＝4.17．(2019·广州调研)如图，在直角坐标系xOy 中，椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上焦点为F 1，椭圆C 的离心率为12，且过点⎝⎛⎭⎪⎫1，263. (1)求椭圆C 的方程；(2)设过椭圆C 的上顶点A 的直线l 与椭圆C 交于点B (B 不在y 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与x 轴交于点H ，若F 1B ―→·F 1H ―→＝0，且|MO |＝|MA |，求直线l 的方程．解：(1)因为椭圆C 的离心率为12，所以c a ＝12，即a ＝2c .又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝3c 2，即b 2＝34a 2，所以椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 234a2＝1.把点⎝⎛⎭⎪⎫1，263代入椭圆C 的方程中，解得a 2＝4.所以椭圆C 的方程为y 24＋x 23＝1.(2)由(1)知，A (0,2)，设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 23＋y24＝1，得(3k 2＋4)x 2＋12kx ＝0.设B (x B ，y B )，得x B ＝－12k3k 2＋4， 所以y B ＝－6k 2＋83k 2＋4，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 3k 2＋4，－6k2＋83k 2＋4.设M (x M ，y M )，因为|MO |＝|MA |，所以点M 在线段OA 的垂直平分线上， 所以y M ＝1，因为y M ＝kx M ＋2，所以x M ＝－1k，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k，1.设H (x H,0)，又直线HM 垂直于直线l ， 所以k MH ＝－1k，即1－1k－x H＝－1k . 所以x H ＝k －1k，即H ⎝⎛⎭⎪⎫k －1k，0.又F 1(0,1)，所以F 1B ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 3k 2＋4，4－9k 23k 2＋4，F 1H ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k ，－1.因为F 1B ―→·F 1H ―→＝0，所以－12k 3k 2＋4·⎝⎛⎭⎪⎫k －1k －4－9k 23k 2＋4＝0，解得k ＝±263.所以直线l 的方程为y ＝±263x ＋2.。
2020年新高考一轮跟踪检测数学 跟踪检测52
跟踪检测(五十二) 圆锥曲线的综合问题[基础训练]1．[2019河北七校3月联考]如图，由抛物线y 2＝8x 与圆E ：(x －2)2＋y 2＝9的实线部分构成图形Ω，过点P (2,0)的直线始终与图形Ω中的抛物线部分及圆部分有交点，则|AB |的取值范围为 ( )A ．[2,3]B ．[3,4]C ．[4,5]D ．[5,6]答案：D 解析：由题意可知，抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，圆(x －2)2＋y 2＝9的圆心为E (2,0)，因此点P ，F ，E 三点重合，所以|P A |＝3.设B (x 0，y 0)，则由抛物线的定义可知，|PB |＝x 0＋2，由⎩⎨⎧y 2＝8x ，(x －2)2＋y 2＝9，得(x －2)2＋8x ＝9，整理得x 2＋4x －5＝0， 解得x 1＝1，x 2＝－5(舍去)． 设圆E 与抛物线交于C ，D 两点， 所以x C ＝x D ＝1，因此0≤x 0≤1， 又|AB |＝|AP |＋|BP |＝3＋x 0＋2＝x 0＋5，所以|AB |＝x 0＋5∈[5,6]．故选D.2．[2019河南安阳一模]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与椭圆x 24＋y 23＝1的焦点重合，离心率互为倒数，设F 1，F 2为双曲线C 的左、右焦点，P 为右支上任意一点，则|PF 1|2|PF 2|的最小值为 ( )A ．4B ．8C ．16D ．32答案：A 解析：因为椭圆x 24＋y 23＝1的两焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)，离心率为12，故双曲线C 的离心率为2，c ＝1， 从而a ＝12，|PF 2|≥12，所以|PF 1|2|PF 2|＝(2a ＋|PF 2|)2|PF 2|＝|PF 2|＋4a 2|PF 2|＋4a＝|PF 2|＋1|PF 2|＋2≥2|PF 2|·1|PF 2|＋2＝4(当且仅当|PF 2|＝1时，等号成立)．3．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率e 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12D.⎝⎛⎭⎪⎫23，＋∞ 答案：B 解析：由题意，知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，所以k ＝b 2ac ＋a＝a －ca ＝1－e .又13<k <12，所以13<1－e <12， 解得12<e <23.4．[2019福建普通高中质量检查]已知A (－2,0)，B (2,0)，斜率为k 的直线l 上存在不同的两点M ，N ，且满足|MA |－|MB |＝23，|NA |－|NB |＝23，且线段MN 的中点为(6,1)，则k 的值为( )A ．－2B ．－12 C.12D ．2答案：D 解析：因为|MA |－|MB |＝23，|NA |－|NB |＝23， 由双曲线的定义知，点M ，N 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上，且c ＝2，a ＝3，所以b ＝1，所以该双曲线的方程为x 23－y 2＝1. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝12，y 1＋y 2＝2. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ， 代入双曲线的方程，消去y ，得 (1－3k 2)x 2－6mkx －3m 2－3＝0， 所以x 1＋x 2＝6mk1－3k2＝12，① y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝12k ＋2m ＝2.② 由①②解得k ＝2.故选D.5．[2019豫北精英对抗赛3月联赛]双曲线C 的渐近线方程为y ＝±233x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双曲线上第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△P AF 周长的最小值为( )A ．8B ．10C ．4＋37D ．3＋317答案：B 解析：设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ a b ＝233，c ＝7，c 2＝a 2＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3，c 2＝7，则双曲线方程为y 24－x 23＝1， 设双曲线的另一个焦点为F ′，则|PF |＝|PF ′|＋4，△P AF 的周长为|P A |＋|PF |＋|AF |＝|PF ′|＋|P A |＋7，点P 在双曲线上且在第一象限内， ∴|PF ′|＋|P A |的最小值为|AF ′|＝3， 故△P AF 周长的最小值为10，故选B.6．[2019河北衡水中学周测]设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上不同的三点，F A →＋FB→＋FC →＝0，O 为坐标原点，且△OF A ，△OFB ，△OFC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 21＋S 22＋S 23等于 ( )A ．2B ．3C ．6D ．9答案：B 解析：由题意可知，F (1,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，FC →＝(x 3－1，y 3)， 由F A →＋FB →＋FC →＝0，得 (x 1－1)＋(x 2－1)＋(x 3－1)＝0， 即x 1＋x 2＋x 3＝3.又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)在抛物线上，所以y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，y 23＝4x 3，又S 1＝12|OF |·|y 1|＝12|y 1|， S 2＝12|OF |·|y 2|＝12|y 2|， S 3＝12|OF |·|y 3|＝12|y 3|， 所以S 21＋S 22＋S 23＝14(y 21＋y 22＋y 23) ＝14×(4x 1＋4x 2＋4x 3)＝3. 故选B.7．[2019安徽蚌埠二中3月模拟]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为M ，上顶点为N ，直线2x ＋y －63＝0与直线MN 垂直，垂足为B 点，且点N 是线段MB 的中点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于E ，F 两点，点G 在椭圆C 上，且四边形OEGF 为平行四边形，求证：四边形OEGF 的面积S 为定值．(1)解：由题意知，M (－a,0)，N (0，b )， 直线MN 的斜率k ＝b a ＝12，化简得a ＝2b .∵点N 是线段MB 的中点，∴点B 的坐标为B (a,2b )， ∵点B 在直线2x ＋y －63＝0上， ∴2a ＋2b ＝63，又a ＝2b ，∴b ＝3，a ＝23， ∴椭圆C 的方程为x 212＋y 23＝1.(2)证明：设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，G (x 0，y 0)， 将y ＝kx ＋m 代入x 212＋y 23＝1，消去y 整理，得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， 则x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－121＋4k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋4k 2，∵四边形OEGF 为平行四边形， ∴OG →＝OE →＋OF →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， 得G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 1＋4k 2，2m 1＋4k 2， 将G 点坐标代入椭圆C 的方程，得m 2＝34(1＋4k 2)，又易得点O 到直线EF 的距离d ＝|m |1＋k2，EF ＝1＋k 2|x 1－x 2|， ∴平行四边形OEGF 的面积 S ＝d ·|EF |＝|m ||x 1－x 2|＝|m |·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4×|m |3－m 2＋12k21＋4k 2＝4×|m |3m 21＋4k 2＝43m 21＋4k 2＝3 3.故平行四边形OEGF 的面积S 为定值3 3.8.[2019天津和平一模]已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点⎝⎛⎭⎪⎫1，32，且离心率e ＝12.(1)求椭圆E 的方程；(2)设椭圆E 的右顶点为A ，若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 相交于M ，N 两点(异于A 点)，且满足MA ⊥NA ，试证明直线l 经过定点，并求出该定点的坐标．解：(1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，1a 2＋94b2＝1，c a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1.所以，椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)如图，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，整理，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0， 则Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0， 即3＋4k 2－m 2>0，x 1＋x 2＝－8mk3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2.从而y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3(m 2－4k 2)3＋4k 2，由椭圆E 的右顶点为A (2,0)，MA ⊥NA ，得 y 1x 1－2·y 2x 2－2＝－1， 即y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0.则有3(m 2－4k 2)3＋4k 2＋4(m 2－3)3＋4k 2＋16mk 3＋4k 2＋4＝0，整理，得7m 2＋16km ＋4k 2＝0， 解得m ＝－2k 或m ＝－2k 7， 均满足条件3＋4k 2－m 2>0.当m ＝－2k 时，直线l 的方程为y ＝k (x －2)， 直线l 过定点A ，与题设矛盾；当m ＝－2k7时，直线l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －27， 直线l 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0， 所以直线l 经过定点，且定点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0.[强化训练]1．[2019贵州适应性考试]已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆E 上，直线l 过椭圆的右焦点F 且与椭圆交于A ，B 两点．(1)求椭圆E 的方程；(2)在x 轴上是否存在定点M ，使得MA →·MB →为定值？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意，知c a ＝22，1a 2＋12b 2＝1，又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1， 故椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)存在．直线AB 过椭圆的右焦点F (1,0)，当直线AB 不与x 轴重合时，可设直线AB 的方程为x ＝my ＋1， 代入椭圆方程，并整理得(2＋m 2)y 2＋2my －1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2m 2＋m 2，y 1y 2＝－12＋m 2.设M (t,0)，若MA →·MB →＝(x 1－t )(x 2－t )＋y 1y 2 ＝(my 1＋1－t )(my 2＋1－t )＋y 1y 2 ＝(1＋m 2)y 1y 2＋m (1－t )(y 1＋y 2)＋(1－t )2 ＝－1＋m 22＋m 2－2m 2(1－t )2＋m 2＋(1－t )2＝(2t 2－4t ＋1)＋(t 2－2)m 22＋m 2为定值，则2t 2－4t ＋1＝2(t 2－2)，解得t ＝54.故存在定点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0，使得MA →·MB →为定值－716， 经检验，当直线AB 与x 轴重合时也成立，所以在x 轴上存在一个定点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0，使得MA →·MB→为定值． 2.[2019广东六校3月联考]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，A 1，A 2分别为椭圆C 的左、右顶点，点P (2，－1)满足P A 1→·P A 2→＝1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点P 且与C 交于不同的两点M ，N ，试问：在x 轴上是否存在点Q ，使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意，A 1(－a,0)，A 2(a,0)， 又P (2，－1)，∴P A 1→·P A 2→＝(－a －2,1)·(a －2,1)＝5－a 2， 由P A 1→·P A 2→＝1，a >0，得a ＝2， ∵e ＝c a ＝32，∴c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)在x 轴上存在点Q ，使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值．假设存在满足条件的点Q (t,0)．当直线l 与x 轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意． 因此直线l 的斜率存在，设l ：y ＋1＝k (x －2)，由⎩⎨⎧y ＋1＝k (x －2)，x 24＋y 2＝1消去y ，得(1＋4k 2)x 2－(16k 2＋8k )x ＋16k 2＋16k ＝0，则Δ＝[－(16k 2＋8k )]2－4(1＋4k 2)(16k 2＋16k )＝－64k ， 由Δ>0，得k <0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝16k 2＋8k 1＋4k 2，x 1x 2＝16k 2＋16k1＋4k 2，∵k QM ＋k QN ＝y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝(kx 1－2k －1)(x 2－t )＋(kx 2－2k －1)(x 1－t )x 1x 2－t (x 1＋x 2)＋t 2＝(4t －8)k ＋2t 4(t －2)2k 2＋8(2－t )k ＋t 2， ∴要使对任意k ∈(－∞，0)，k QM ＋k QN 为定值，则t ＝2，此时k QM ＋k QN ＝1.故在x 轴上存在点Q (2,0)，使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值1.3．[2019广东汕头一模]已知O 为坐标原点，圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝16，定点F (1,0)，点N 是圆M 上一动点，线段NF 的垂直平分线交圆M 的半径MN 于点Q ，点Q 的轨迹为E .(1)求曲线E 的方程；(2)已知点P 是曲线E 上但不在坐标轴上的任意一点，曲线E 与y 轴的交点分别为B 1，B 2，直线B 1P 和B 2P 分别与x 轴相交于C ，D 两点，请问线段长之积|OC |·|OD |是不是定值？如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由．(3)在(2)的条件下，若点C 的坐标为(－1,0)，过点C 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，求△ABD 面积的最大值．解：(1)连接FQ ，则|FQ |＝|NQ |，∴|MQ |＋|FQ |＝|MQ |＋|QN |＝|MN |＝4>|MF |，根据椭圆的定义得，E 是以M (－1,0)，F (1,0)为焦点，4为长轴长的椭圆，∴2a ＝4，即a ＝2，又∵焦点为(1,0)，即c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3.故点Q 的轨迹E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)是定值．设P (x 0，y 0)(x 0≠±2，y 0±3)，不妨设B 1在y 轴负半轴上，则直线B 1P 的方程为y ＝y 0＋3x 0x － 3. 令y ＝0，得x C ＝3x 03＋y 0，同理得x D ＝3x 03－y 0， ∴|OC |·|OD |＝|x C |·|x D |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x 203－y 20. ∵点P 是曲线E 上但不在坐标轴上的任意一点，∴x 204＋y 203＝1，即3x 20＝4(3－y 20)，∴|OC |·|OD |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x 203－y 20＝4， 因此|OC |·|OD |是定值，且定值为4.(3)当点C 的坐标为(－1,0)时，点D (－4,0)，|CD |＝3，设直线l 的方程为x ＝my －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，3x 2＋4y 2＝12，得 (3m 2＋4)y 2－6my －9＝0，Δ＝(－6m )2－4×(－9)×(3m 2＋4)＝144(m 2＋1)，则y 1＝3m ＋6m 2＋13m 2＋4，y 2＝3m －6m 2＋13m 2＋4， ∴|y 1－y 2|＝12m 2＋13m 2＋4， △ABD 的面积S ＝12×|y 1－y 2|×3＝32·12m 2＋13m 2＋4＝18m 2＋13m 2＋4＝183m 2＋1＋1m 2＋1. ∵m 2≥0，∴m 2＋1≥1，又函数y ＝3x ＋1x 在[1，＋∞)上为增函数，∴3m 2＋1＋1m 2＋1≥4，∴S ≤92， ∴当m ＝0，即直线AB 的方程为x ＝－1时，△ABD 的面积最大，且最大值为92.。
【新课改】2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测：直线与圆锥曲线(含解析)
课时跟踪检测（五十二） 直线与圆锥曲线1．过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条解析：选B 设该抛物线焦点为F ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则|AB |＝|AF |＋|FB |＝x A ＋p2＋x B ＋p2＝x A ＋x B ＋1＝3＞2p ＝2.所以符合条件的直线有且只有两条．2．(2019·张掖高三诊断)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为103，则|AB |＝( ) A.133B.143 C ．5D.163解析：选D 过抛物线的焦点的弦长公式为|AB |＝p ＋x 1＋x 2.∵p ＝2，∴|AB |＝2＋103＝163. 3．(2018·聊城二模)已知直线l 与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为(2,1)，则直线l 的方程为( )A ．y ＝x －1B ．y ＝－2x ＋5C ．y ＝－x ＋3D ．y ＝2x －3解析：选D 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ②①－②得y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，由题可知x 1≠x 2.∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝42＝2，即k AB ＝2，∴直线l 的方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0.故选D.4．(2019·厦门模拟)过双曲线C ：x 24－y 29＝1的左焦点作倾斜角为π6的直线l ，则直线l与双曲线C 的交点情况是( )A ．没有交点B ．只有一个交点C ．有两个交点且都在左支上D ．有两个交点分别在左、右两支上解析：选D 直线l 的方程为y ＝33()x ＋13，代入C ：x 24－y 29＝1，整理得23x 2－813x －160＝0，Δ＝(－813)2＋4×23×160＞0，所以直线l 与双曲线C 有两个交点，由一元二次方程根与系数的关系得两个交点横坐标符号不同，故两个交点分别在左、右两支上．5．已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A ，B ，则|AB |＝( )A ．3B ．4C ．3 2D ．4 2解析：选C 由题意可设l AB 为y ＝x ＋b ，代入y ＝－x 2＋3得x 2＋x ＋b －3＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝b －3，y 1＋y 2＝x 1＋b ＋x 2＋b ＝－1＋2b .所以AB 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12＋b ，该点在x ＋y ＝0上，即－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋b ＝0，得b ＝1，所以|AB |＝1＋12·x 1＋x 22－4x 1x 2＝3 2.6．(2019·青岛模拟)已知点A 是抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的对称轴与准线的交点，过点A 作抛物线C 的两条切线，切点分别为P ，Q ，若△AP Q 的面积为4，则p 的值为( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：选D 设过点A 与抛物线相切的直线方程为y ＝kx －p 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －p 2，x 2＝2py得x2－2pkx ＋p 2＝0，由Δ＝4k 2p 2－4p 2＝0，可得k ＝±1， 则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，p 2，P ⎝⎛⎭⎪⎫－p ，p 2，∴△AP Q 的面积为12×2p ×p ＝4，∴p ＝2.故选D.7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，过点P (3,6)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (12,15)，则双曲线C 的离心率为( )A ．2 B.32 C.355D.52解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AB 的中点为N (12，15)，得x 1＋x 2＝24，y 1＋y 2＝30，由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式相减得：x 1＋x 2x 1－x 2a2＝y 1＋y 2y 1－y 2b2，则y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝4b 25a 2.由直线AB 的斜率k ＝15－612－3＝1，∴4b 25a 2＝1，则b 2a 2＝54，∴双曲线的离心率e ＝c a ＝1＋b 2a 2＝32. 8．(2019·福州模拟)已知抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交E 于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点C ，MN ⊥y 轴于点N ，若四边形CMNF 的面积等于7，则E 的方程为( )A ．y 2＝x B ．y 2＝2x C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：选C F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线AB 的方程为y ＝x －p2.联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝x －p2，可得x 2－3px ＋p 24＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3p ， 则y 1＋y 2＝x 1＋x 2－p ＝2p ，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 2，p ，∴N (0，p )，直线MC 的方程为y ＝－x ＋5p 2. ∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5p 2，0，∴四边形CMNF 的面积为S 梯形OCMN －S △ONF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 2＋5p 2·p2－12·p 2·p ＝7p24＝7， 又p ＞0，∴p ＝2，即抛物线E 的方程为y 2＝4x .故选C.9．(2018·湖北十堰二模)如图，F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的两个分支分别交于点A ，B .若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为( )A ．4 B.7 C.233D. 3解析：选B ∵△ABF 2为等边三角形，∴|AB |＝|AF 2|＝|BF 2|，∠F 1AF 2＝60°. 由双曲线的定义可得|AF 1|－|AF 2|＝2a ， ∴|BF 1|＝2a .又|BF 2|－|BF 1|＝2a ，∴|BF 2|＝4a . ∴|AF 2|＝4a ，|AF 1|＝6a .在△AF 1F 2中，由余弦定理可得|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 2|·|AF 1|cos 60°， ∴(2c )2＝(6a )2＋(4a )2－2×4a ×6a ×12，即c 2＝7a 2，∴e ＝c a ＝c 2a 2＝7.故选B. 10．(2019·贵阳模拟)已知双曲线x 2－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，动直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则x 2－x 1的最小值为( )A ．2 2B ．2C ．4D ．3 2解析：选A ∵l 与圆相切， ∴原点到直线的距离d ＝|m |1＋k2＝1，∴m 2＝1＋k 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2－y 2＝1得(1－k 2)x 2－2mkx －(m 2＋1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4m 2k 2＋41－k2m 2＋1＝4m 2＋1－k 2＝8＞0，x 1x 2＝1＋m 2k 2－1＜0，∴k 2＜1，∴－1＜k ＜1，由于x 1＋x 2＝2mk 1－k 2，∴x 2－x 1＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝22|1－k 2|＝221－k2，∵0≤k 2＜1，∴当k 2＝0时，x 2－x 1取最小值2 2.故选A.11．(2019·安庆模拟)设抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，点A ，B 在抛物线上，且满足AF ―→＝λFB ―→，若|AF ―→|＝32，则λ的值为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线x 2＝4y 得焦点F 的坐标为(0,1)，准线方程为y ＝－1，∵|AF ―→|＝32，∴y 1＋1＝32，解得y 1＝12，∴x 1＝±2，由抛物线的对称性取x 1＝2， ∴A ⎝⎛⎭⎪⎫2，12，∴直线AF 的方程为y ＝－24x ＋1， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－24x ＋1，x 2＝4y .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝12或⎩⎨⎧x ＝－22，y ＝2，∴B (－22，2)，∴|FB ―→|＝2＋1＝3，∵AF ―→＝λFB ―→，∴|AF ―→|＝λ|FB ―→|，∴32＝3λ，解得λ＝12.答案：1212．(2019·武汉调研)已知直线MN 过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F ，与椭圆交于M ，N 两点．直线P Q 过原点O 且与直线MN 平行，直线P Q 与椭圆交于P ，Q 两点，则|P Q|2|MN |＝________.解析：法一：由题意知，直线MN 的斜率不为0，设直线MN 的方程为x ＝my ＋1，则直线P Q 的方程为x ＝my .设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，Q(x 4，y 4).⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 22＋y 2＝1⇒(m2＋2)y 2＋2my －1＝0⇒y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2. ∴|MN |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝22·m 2＋1m 2＋2.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ，x 22＋y 2＝1⇒(m 2＋2)y 2－2＝0⇒y 3＋y 4＝0，y 3y 4＝－2m 2＋2. ∴|P Q|＝1＋m 2|y 3－y 4|＝2 2 m 2＋1m 2＋2. 故|P Q|2|MN |＝2 2. 法二：取特殊位置，当直线MN 垂直于x 轴时，易得|MN |＝2b2a＝2，|P Q|＝2b ＝2，则|P Q|2|MN |＝2 2.答案：2 213．(2019·石家庄重中高中摸底)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，直线l ：y ＝3(x －1)，l 与C 交于A ，B 两点，若|AB |＝163，则p ＝________.解析：由⎩⎨⎧y 2＝2px ，y ＝3x －1，消去y ，得3x 2－(2p ＋6)x ＋3＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2p ＋63，x 1x 2＝1，所以|AB |＝2x 1＋x 22－4x 1x 2＝22p ＋629－4＝163，所以p ＝2. 答案：214．(2018·深圳二模)设过抛物线y 2＝2px (p ＞0)上任意一点P (异于原点O )的直线与抛物线y 2＝8px (p ＞0)交于A ，B 两点，直线OP 与抛物线y 2＝8px (p ＞0)的另一个交点为Q ，则S △AB QS △ABO＝________. 解析：设直线OP 的方程为y ＝kx (k ≠0)，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px ，解得P ⎝⎛⎭⎪⎫2p k 2，2p k， 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝8px ，解得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫8p k2，8p k ，∴|OP |＝ 4p2k4＋4p2k 2＝2p 1＋k2k 2， |P Q|＝ 36p2k 4＋36p 2k2＝6p 1＋k2k2， ∴S △AB Q S △ABO ＝|P Q||OP |＝3. 答案：315．已知抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，E 上一点(3，m )到焦点的距离为4. (1)求抛物线E 的方程；(2)过F 作直线l ，交抛物线E 于A ，B 两点，若直线AB 中点的纵坐标为－1，求直线l 的方程．解：(1)抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p2，由抛物线的定义可知3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2 ＝4，解得p ＝2，∴抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)法一：由(1)得抛物线E 的方程为y 2＝4x ，焦点F (1,0)， 设A ，B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减，整理得y 2－y 1x 2－x 1 ＝4y 2＋y 1(x 1≠x 2)． ∵线段AB 中点的纵坐标为－1， ∴直线l 的斜率k AB ＝4y 2＋y 1＝4－1×2＝－2， ∴直线l 的方程为y －0＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0. 法二：由(1)得抛物线E 的方程为y 2＝4x ，焦点F (1,0)， 设直线l 的方程为x ＝my ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1消去x ，得y 2－4my －4＝0.设A ，B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵线段AB 中点的纵坐标为－1， ∴y 1＋y 22 ＝4m2＝－1，解得m ＝－12， ∴直线l 的方程为x ＝－12y ＋1，即2x ＋y －2＝0.16．(2019·佛山模拟)已知直线l 过点P (2,0)且与抛物线E ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 在第四象限，O 为坐标原点．(1)当A 是PC 中点时，求直线l 的方程；(2)以AB 为直径的圆交直线OB 于点D ，求|OB |·|OD |的值． 解：(1)∵A 是PC 的中点，P (2,0)，C 在y 轴上， ∴A 点的横坐标为1，又A 在第四象限，∴A (1，－2)． ∴直线l 的方程为y ＝2x －4. (2)显然直线l 的斜率不为0， 设l的方程为x ＝my ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝4x ，消去x得y 2－4my －8＝0，∴y 1y 2＝－8，故x 1x 2＝y 214·y 224＝4，∵D 在以AB 为直径的圆上，且在直线OB 上，∴AD ―→⊥OD ―→， 设OD ―→＝λOB ―→＝(λx 2，λy 2)，则AD ―→＝OD ―→－OA ―→＝(λx 2－x 1，λy 2－y 1)， ∴AD ―→·OD ―→＝(λx 2－x 1)λx 2＋(λy 2－y 1)λy 2＝0， 即λ2x 22－4λ＋λ2y 22＋8λ＝0，易知λ≠0， ∴λ(x 22＋y 22)＝－4.∴|OB |·|OD |＝x 22＋y 22·λ2x 22＋λ2y 22 ＝|λ|(x 22＋y 22)＝4.17．(2019·广州调研)如图，在直角坐标系xOy 中，椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上焦点为F 1，椭圆C 的离心率为12，且过点⎝⎛⎭⎪⎫1，263. (1)求椭圆C 的方程；(2)设过椭圆C 的上顶点A 的直线l 与椭圆C 交于点B (B 不在y 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与x 轴交于点H ，若F 1B ―→·F 1H ―→＝0，且|MO |＝|MA |，求直线l 的方程．解：(1)因为椭圆C 的离心率为12，所以c a ＝12，即a ＝2c .又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝3c 2，即b 2＝34a 2，所以椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 234a2＝1.把点⎝⎛⎭⎪⎫1，263代入椭圆C 的方程中，解得a 2＝4.所以椭圆C 的方程为y 24＋x 23＝1.(2)由(1)知，A (0,2)，设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 23＋y24＝1，得(3k 2＋4)x 2＋12kx ＝0.设B (x B ，y B )，得x B ＝－12k3k 2＋4， 所以y B ＝－6k 2＋83k 2＋4，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 3k 2＋4，－6k2＋83k 2＋4.设M (x M ，y M )，因为|MO |＝|MA |，所以点M 在线段OA 的垂直平分线上， 所以y M ＝1，因为y M ＝kx M ＋2，所以x M ＝－1k，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k，1.设H (x H,0)，又直线HM 垂直于直线l ， 所以k MH ＝－1k，即1－1k－x H＝－1k . 所以x H ＝k －1k，即H ⎝⎛⎭⎪⎫k －1k，0.又F 1(0,1)，所以F 1B ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 3k 2＋4，4－9k 23k 2＋4，F 1H ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k ，－1.因为F 1B ―→·F 1H ―→＝0，所以－12k 3k 2＋4·⎝⎛⎭⎪⎫k －1k －4－9k 23k 2＋4＝0，解得k ＝±263.所以直线l 的方程为y ＝±263x ＋2.。
高考数学(理科)一轮复习双曲线学习型教学案含答案
高考数学（理科）一轮复习双曲线学案含答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案52 双曲线导学目标：1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.2.理解数形结合的思想．自主梳理．双曲线的概念平面内动点P与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值为常数2a，则点P的轨迹叫________．这两个定点叫双曲线的________，两焦点间的距离叫________．集合P＝{m|||mF1|－|mF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0；当________时，P点的轨迹是________；当________时，P点的轨迹是________；当________时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1y2a2－x2b2＝1图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1，A2顶点坐标：A1，A2渐近线y＝±baxy＝±abx离心率e＝ca，e∈，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b23.实轴长和虚轴长相等的双曲线为________________，其渐近线方程为________，离心率为________．自我检测．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是A．2B．22c．4D．422．已知双曲线x22－y2b2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，其中一条渐近线方程为y＝x，点P在该双曲线上，则PF1→•PF2→等于A．－12B．－2c．0D．43．设直线l过双曲线c的一个焦点，且与c的一条对称轴垂直，l与c交于A，B两点，|AB|为c的实轴长的2倍，则c的离心率为A.2B.3c．2D．34．已知点在双曲线8x2－3y2＝24上，则2m＋4的范围是__________________．5．已知A，F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，P是双曲线右支上的动点，求|PF|＋|PA|的最小值．探究点一双曲线的定义及应用例1 已知定点A，B，c，以c为一个焦点作过A，B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程．变式迁移1 已知动圆m与圆c1：2＋y2＝2外切，与圆c2：2＋y2＝2内切，求动圆圆心m的轨迹方程．探究点二求双曲线的标准方程例2 已知双曲线的一条渐近线方程是x－2y＝0，且过点P，求双曲线的标准方程．变式迁移2 已知双曲线与椭圆x29＋y225＝1的焦点相同，且它们的离心率之和等于145，则双曲线的方程为____________．探究点三双曲线几何性质的应用例3 已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144.求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|•|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．变式迁移3 已知双曲线c：x22－y2＝1.求双曲线c的渐近线方程；已知m点坐标为，设P是双曲线c上的点，Q是点P关于原点的对称点．记λ＝mP→•mQ→，求λ的取值范围．方程思想的应用例过双曲线x23－y26＝1的右焦点F2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A、B两点，o为坐标原点，F1为左焦点．求|AB|；求△AoB的面积；求证：|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|.多角度审题要求弦长|AB|需要A、B两点坐标或设而不求利用弦长公式，这就需要先求直线AB；在的基础上只要求点到直线的距离；要充分联想到A、B两点在双曲线上这个条件．【答题模板】解由双曲线的方程得a＝3，b＝6，∴c＝a2＋b2＝3，F1，F2．直线AB的方程为y＝33．设A，B，由y＝33x－3x23－y26＝1，得5x2＋6x－27＝0.[2分]∴x1＋x2＝－65，x1x2＝－275，∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋332•x1＋x22－4x1x2＝43•3625＋1085＝1635.[4分]解直线AB的方程变形为3x－3y－33＝0.∴原点o到直线AB的距离为d＝|－33|32＋－32＝32.[6分]∴S△AoB＝12|AB|•d＝12×1635×32＝1235.[8分]证明如图，由双曲线的定义得|AF2|－|AF1|＝23，|BF1|－|BF2|＝23，[10分]∴|AF2|－|AF1|＝|BF1|－|BF2|，即|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|.[12分]【突破思维障碍】写出直线方程，联立直线方程、双曲线方程，消元得关于x的一元二次方程，利用弦长公式求|AB|，再求点o到直线AB的距离从而求面积，最后利用双曲线的定义求证等式成立．【易错点剖析】在直线和双曲线相交的情况下解题时易忽视消元后的一元二次方程的判别式Δ>0，而导致错解．．区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中a，b，c 的大小关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2；双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e∈．2．双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程是y＝±bax，y2a2－x2b2＝1的渐近线方程是y＝±abx.3．双曲线标准方程的求法：定义法，根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的a、b、c，即可求得方程．待定系数法，其步骤是：①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程；③定值：根据题目条件确定相关的系数．一、选择题．已知m、N，|Pm|－|PN|＝3，则动点P的轨迹是A．双曲线B．双曲线左边一支c．双曲线右边一支D．一条射线2．设点P在双曲线x29－y216＝1上，若F1、F2为双曲线的两个焦点，且|PF1|∶|PF2|＝1∶3，则△F1PF2的周长等于A．22B．16c．14D．123．过双曲线x2a2－y2b2＝1的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线Fm，交y轴于点P.若m为线段FP的中点，则双曲线的离心率为A.2B.3c．2D.54．双曲线x2a2－y2b2＝1的左焦点为F1，左、右顶点分别为A1、A2，P是双曲线右支上的一点，则分别以PF1和A1A2为直径的两圆的位置关系是A．相交B．相离c．相切D．内含5．已知双曲线x2a2－y2b2＝1的两条渐近线均和圆c：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆c的圆心，则该双曲线的方程为A.x25－y24＝1B.x24－y25＝1c.x23－y26＝1D.x26－y23＝1二、填空题6．设m是常数，若点F是双曲线y2m－x29＝1的一个焦点，则m＝________.7．设圆过双曲线x29－y216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则此圆心到双曲线中心的距离为______．8．已知以双曲线c的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线c的离心率为________．三、解答题9．根据下列条件，求双曲线方程：与双曲线x29－y216＝1有共同的渐近线，且经过点；与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点．10．设圆c与两圆2＋y2＝4，2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．求圆c的圆心轨迹L的方程；已知点m，F，且P为L上动点，求||mP|－|FP||的最大值及此时点P的坐标．1．已知定点A，F，定直线l：x＝12，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍．设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、c两点，直线AB、Ac分别交l于点m、N.求E的方程；试判断以线段mN为直径的圆是否过点F，并说明理由．学案52 双曲线自主梳理．双曲线焦点焦距a<c 双曲线a＝c 两条射线a>c 3.等轴双曲线y＝±x e＝2自我检测．c [∵2x2－y2＝8，∴x24－y28＝1，∴a＝2，∴2a＝4.]2．c3．B [设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为l：x＝c或x＝－c，代入x2a2－y2b2＝1得y2＝b2＝b4a2，∴y＝±b2a，故|AB|＝2b2a，依题意2b2a＝4a，∴b2a2＝2，∴c2－a2a2＝e2－1＝2，∴e＝3.]4．5．解设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义可知|PF|＝2a＋|PF1|＝4＋|PF1|，∴|PF|＋|PA|＝4＋|PF1|＋|PA|.∴当满足|PF1|＋|PA|最小时，|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图象可知当点A、P、F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，易求得最小值为|AF1|＝5，故所求最小值为9.课堂活动区例1 解题导引求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量．在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性和完备性．解设F为轨迹上的任意一点，因为A，B两点在以c，F为焦点的椭圆上，所以|FA|＋|cA|＝2a，|FB|＋|cB|＝2a．所以|FA|＋|cA|＝|FB|＋|cB|.所以|FA|－|FB|＝|cB|－|cA|＝122＋92－122＋52＝2.所以|FA|－|FB|＝2.由双曲线的定义知，F点在以A，B为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上．所以点F的轨迹方程是y2－x248＝1．变式迁移1 解设动圆m的半径为r，则由已知得，|mc1|＝r＋2，|mc2|＝r－2，∴|mc1|－|mc2|＝22，又c1，c2，∴|c1c2|＝8.∴22<|c1c2|.根据双曲线定义知，点m的轨迹是以c1、c2为焦点的双曲线的右支．∵a＝2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14.∴点m的轨迹方程是x22－y214＝1．例2 解题导引根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程，但要注意焦点的位置，从而正确选取方程的形式，当焦点不能定位时，则应分两种情况讨论．解决本题的方法有两种：一先定位，避免了讨论；二利用其渐近线的双曲线系，同样避免了对双曲线方程类型的讨论．在共渐近线的双曲线系x2a2－y2b2＝λ中，当λ>0时，焦点在x轴上；当λ<0时，焦点在y轴上．解方法一∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，当x＝4时，y＝2<yp＝3，∴双曲线的焦点在y轴上．从而有ab＝12，∴b＝2a.设双曲线方程为y2a2－x24a2＝1，由于点P在此双曲线上，∴9a2－164a2＝1，解得a2＝5.∴双曲线方程为y25－x220＝1.方法二∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，即x2－y＝0，∴双曲线的渐近线方程为x24－y2＝0.设双曲线方程为x24－y2＝λ，∵双曲线过点P，∴424－32＝λ，即λ＝－5.∴所求双曲线方程为x24－y2＝－5，即y25－x220＝1.变式迁移2 y24－x212＝1解析由于在椭圆x29＋y225＝1中，a2＝25，b2＝9，所以c2＝16，c＝4，又椭圆的焦点在y轴上，所以其焦点坐标为，离心率e＝45.根据题意知，双曲线的焦点也应在y轴上，坐标为，且其离心率等于145－45＝2.故设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1，且c＝4，所以a＝12c＝2，a2＝4，b2＝c2－a2＝12，于是双曲线的方程为y24－x212＝1.例3 解题导引双曲线问题与椭圆问题类似，因而研究方法也有许多相似之处，如利用“定义”“方程观点”“直接法或待定系数法求曲线方程”“数形结合”等．解由16x2－9y2＝144，得x29－y216＝1，∴a＝3，b＝4，c＝5.焦点坐标F1，F2，离心率e＝53，渐近线方程为y＝±43x.||PF1|－|PF2||＝6，cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1||PF2|＝|PF1|－|PF2|2＋2|PF1||PF2|－|F1F2|22|PF1||PF2|＝36＋64－10064＝0，∴∠F1PF2＝90°.变式迁移3 解因为a＝2，b＝1，且焦点在x轴上，所以渐近线方程为y－22x＝0，y＋22x＝0.设P点坐标为，则Q的坐标为，λ＝mP→•mQ→＝•＝－x20－y20＋1＝－32x20＋2.∵|x0|≥2，∴λ的取值范围是2＋y2＝4，∴圆心为c．又渐近线方程与圆c相切，即直线bx－ay＝0与圆c相切，∴3ba2＋b2＝2，∴5b2＝4a2.①又∵x2a2－y2b2＝1的右焦点F2为圆心c，∴a2＋b2＝9.②由①②得a2＝5，b2＝4.∴双曲线的标准方程为x25－y24＝1.]6．16解析由已知条件有52＝m＋9，所以m＝16.7.163 8.629．解方法一由题意可知所求双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1，由题意，得ba＝43，－32a2－232b2＝1，解得a2＝94，b2＝4.所以双曲线的方程为49x2－y24＝1.方法二设所求双曲线方程x29－y216＝λ，将点代入得λ＝14，所以双曲线方程为x29－y216＝14，即49x2－y24＝1.设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1.由题意c＝25.又双曲线过点，∴322a2－4b2＝1.又∵a2＋b2＝2，∴a2＝12，b2＝8.故所求双曲线的方程为x212－y28＝1.0．解设圆c的圆心坐标为，半径为r.圆2＋y2＝4的圆心为F1，半径为2，圆2＋y2＝4的圆心为F，半径为2.由题意得|cF1|＝r＋2，|cF|＝r－2或|cF1|＝r－2，|cF|＝r＋2，∴||cF1|－|cF||＝4.∵|F1F|＝25>4.∴圆c的圆心轨迹是以F1，F为焦点的双曲线，其方程为x24－y2＝1.由图知，||mP|－|FP||≤|mF|，∴当m，P，F三点共线，且点P在mF延长线上时，|mP|－|FP|取得最大值|mF|，且|mF|＝355－52＋455－02＝2.直线mF的方程为y＝－2x＋25，与双曲线方程联立得y＝－2x＋25，x24－y2＝1，整理得15x2－325x＋84＝0.解得x1＝14515，x2＝655.此时y＝－255.∴当||mP|－|FP||取得最大值2时，点P的坐标为．1．解设P，则x－22＋y2＝2x－12，化简得x2－y23＝1．①当直线Bc与x轴不垂直时，设Bc的方程为y＝k，与双曲线方程x2－y23＝1联立消去y，得x2＋4k2x－＝0.由题意知，3－k2≠0且Δ＞0.设B，c，则x1＋x2＝4k2k2－3，x1x2＝4k2＋3k2－3，y1y2＝k2＝k2x1x2－2x1＋x2＋4＝k24k2＋3k2－3－8k2k2－3＋4＝－9k2k2－3.因为x1，x2≠－1，所以直线AB的方程为y＝y1x1＋1．因此m点的坐标为12，3y12x1＋1，Fm→＝－32，3y12x1＋1.同理可得FN→＝－32，3y22x2＋1.因此Fm→•FN→＝－32×－32＋9y1y24x1＋1x2＋1＝94＋－81k2k2－344k2＋3k2－3＋4k2k2－3＋1＝0.②当直线Bc与x轴垂直时，其方程为x＝2，则B，c．AB的方程为y＝x＋1，因此m点的坐标为12，32，Fm→＝－32，32.同理可得FN→＝－32，－32.因此Fm→•FN→＝－32×－32＋32×－32＝0.综上，Fm→•FN→＝0，故Fm⊥FN. 故以线段mN为直径的圆过点F.。
2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：53 双曲线 Word版含解析
Earlybird课时作业 53 双曲线一、选择题x 21．(2018·浙江卷)双曲线 －y 2＝1 的焦点坐标是( B )3A ．(－ 2，0)，( 2，0)B ．(－2,0)，(2,0)C ．(0，－ 2)，(0， 2)D ．(0，－2)，(0,2)解 析：由题可知双曲线的焦点在 x 轴上，因为 c 2＝a 2＋b 2＝3＋1＝ 4，所以 c ＝2，故焦点坐标为(－2,0)，(2,0)．故选 B.2．已知双曲线 C 的渐近线方程为 y ＝±2x ，且经过点(2,2)，则 C 的方程为( A )x 2 y 2 x 2 y 2A. － ＝1B. － ＝1 3 12 12 3y 2 x 2y 2 x 2C. － ＝1D. － ＝1 3 1212 3 y 2解析：由题意，设双曲线 C 的方程为 －x 2＝λ(λ≠0)，因为双曲422 y 2 线 C 过点(2,2)，则 －22＝λ，解得 λ＝－3，所以双曲线 C 的方程为 4 4 x 2 y 2－x 2＝－3，即 － ＝1. 3 12x 2 y 23．设双曲线 － ＝1(a >0，b >0)的右焦点是 F ，左、右顶点分a 2b 2别为 A 1，A 2，过 F 作 A 1A 2 的垂线与双曲线交于 B ，C 两点．若 A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( C )1 A ．±B ．± 22 2C．±1D．±2Earlybirdb2 b2解析：由题设易知A1(－a,0)，A2(a,0)，B(c，a)，C(c，－a).∵A1B⊥A2C，b2 b2－a a∴·＝－1，整理得a＝b.c＋a c－ab∵渐近线方程为y＝±x，a即y＝±x，∴渐近线的斜率为±1.x2 y24．设双曲线－＝1 的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1 的4 3直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为(B)19A. B．112C．12 D．16解析：由题意，得Error!所以|BF2|＋|AF2|＝8＋|AF1|＋|BF1|＝8＋|AB|，显然，当AB垂直于x轴时其长度最短，b2|AB|min＝2·＝3，故(|BF2|＋|AF2|)min＝11.2x2 y25．(2019·河南新乡模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的a2 b2右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交→→→于点A，若BA＝2 ，且| |＝4，则双曲线C的方程为(D)AF BFx2 y2 x2 y2A. －＝1B. －＝16 5 8 12x2 y2 x2 y2C. －＝1D. －＝18 4 4 6→→b2c解析：不妨设B(0，b)，由BA＝2 ，F(c,0)，可得A( 3)，代AF，3Earlybird4 c2 1入双曲线C的方程可得×－＝1，9 a2 94 a2＋b2 10 b2 3即·＝，∴＝，①9 a2 9 a2 2→又|BF|＝＝4，c2＝a2＋b2，b2＋c2∴a2＋2b2＝16，②由①②可得，a2＝4，b2＝6，x2 y2∴双曲线C的方程为－＝1，故选D.4 6x2 y26．(2019·山东泰安联考)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)，a2 b23圆C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0，若双曲线C1 的一条渐近线与圆C2 有两4个不同的交点，则双曲线C1 的离心率的范围是(A)2 3 2 3A.(1，3 )B.( ，＋∞)3C．(1,2) D．(2，＋∞)b解析：由双曲线方程可得其渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，a3 1圆C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0 可化为(x－a)2＋y2＝a2，圆心C2 的坐标4 41为(a,0)，半径r＝a，由双曲线C1 的一条渐近线与圆C2 有两个不同2|ab| 1的交点，得< a，即c>2b，即c2>4b2，又知b2＝c2－a2，所以c2>4(c2 a2＋b2 24 c 2 3－a2)，即c2< a2，所以e＝< ，又知e>1，所以双曲线C1 的离心3 a 32 3率的取值范围为(1，3 )，故选A.二、填空题y27．实轴长为2，虚轴长为4 的双曲线的标准方程为x2－＝1 或4Earlybirdx2y2－＝1.4解析：2a＝2,2b＝4.当焦点在x轴时，y2双曲线的标准方程为x2－＝1；4x2当焦点在y轴时，双曲线的标准方程为y2－＝1.4x2 y2 8．(2019·河南安阳二模)已知焦点在x轴上的双曲线＋8－m4－m＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是(0,2)．x2 y2解析：对于焦点在x轴上的双曲线－＝1(a>0，b>0)，它的焦a2 b2|bc| x2点(c,0)到渐近线bx－ay＝0 的距离为＝b.本题中，双曲线b2＋a2 8－m y2 x2 y2＋＝1即－＝1，其焦点在x轴上，则Error!解得4<m<8，4－m8－m m－4则焦点到渐近线的距离d＝m－4∈(0,2)．y29．设F1，F2 分别是双曲线x2－＝1 的左、右焦点，A是双曲b2线上在第一象限内的点，若|AF2|＝2 且∠F1AF2＝45°，延长AF2 交双曲线右支于点B，则△F1AB的面积等于4.解析：由题意可得|AF2|＝2，|AF1|＝4，则|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝2＋|BF2|＝|BF1|.又∠F1AF2＝45°，所以△ABF1 是以AF112为斜边的等腰直角三角形，则|AB|＝|BF1|＝2 2，所以其面积为×22×2 2 4.＝x ya2 b210．(2019·福建六校联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，左顶点为A，以F为圆心，FA为半径的圆交C的右支4 于P，Q两点，△APQ的一个内角为60°，则双曲线C的离心率为.3 解析：设左焦点为F1，由于双曲线和圆都关于x轴对称，又△APQEarlybird的一个内角为60°，所以△APQ为正三角形，则∠PFx＝60°，所以PF＝AF＝a＋c，∴PF1＝3a＋c，在△PFF1 中，由余弦定理可得PF21＝PF2＋FF21－2PF·FF1cos120°.故3c2－ac－4a2＝0，整理得3e2－e－4＝0，4解得e＝.3三、解答题x2 y211．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为3，点( 3，a2 b20)是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F2 作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求|AB|.x2 y2解：(1)∵双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为3，点( 3，a2 b20)是双曲线的一个顶点，∴Error!解得c＝3，b＝6，∴双曲线的方x2 y2程为－＝1.3 6x2 y2(2)双曲线－＝1 的右焦点为F2(3,0)，∴经过双曲线右焦点F23 63且倾斜角为30°的直线的方程为y＝(x－3)．3联立Error!得5x2＋6x－27＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x26 27 1 6 27 16 3 ＝－，x1x2＝－.所以|AB|＝3×(－5 )2－4 ×(－5 )＝.1＋5 5 5x2 y212．(2019·湛江模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为a2 b2F(c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．b解：(1)因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以a＝b.a所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2，x2 y2所以双曲线方程为－＝1.2 2(2)设点A的坐标为(x0，y0)，y0所以直线AO的斜率满足·(－3)＝－1，x0所以x0＝3y0，①依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，将①代入圆的方程得3y20＋y20＝c2，1 3即y0＝c，所以x0＝c，2 23 1所以点A的坐标为( c)，c，2 23 1c2 c24 4代入双曲线方程得－＝1，a2 b23 1即b2c2－a2c2＝a2b2，②4 4又因为a2＋b2＝c2，所以将b 2＝c2－a2 代入②式，整理得3c4－2a2c2＋a4＝0，4c c所以3(a)4－8(a)2＋4＝0，所以(3e2－2)(e2－2)＝0，因为e>1，所以e＝2，所以双曲线的离心率为 2.x 2 y 213．(2019·河南洛阳联考)设 F 1，F 2 分别为双曲线 － ＝1 的左、9 16右焦点，过 F 1 引圆 x 2＋y 2＝9 的切线 F 1P 交双曲线的右支于点 P ，T 为切点，M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( D )A ．4B ．3C ．2D ．11解析：连接 PF 2，OT ，则有|MO |＝ |PF 2|21 1 1＝ (|PF 1|－2a )＝ (|PF 1|－6)＝ |PF 1|－3， 2 2 21 1 |MT |＝ ·|PF 1|－|F 1T |＝ |PF 1|－2 2 c 2－32 1＝ |PF 1|－4，于是有|MO |－|MT | 2 1 1＝(|PF 1|－3)－(|PF 1|－4)＝1，故选 D.2 2x 2 y 214．(2019·河南适应性测试)已知 F 1，F 2 分别是双曲线 － ＝ a 2 b 21(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ， π且△PF 1F 2 的最小内角为 ，则双曲线的渐近线方程为( D )61A ．y ＝±2xB ．y ＝± x22C．y＝±x D．y＝±2x2解析：不妨设P为双曲线右支上一点，则|PF1|>|PF2|，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝π2a.又因为Error!所以∠PF1F2为最小内角，故∠PF1F2＝.由余弦定理，64a2＋2c2－2a 2 3可得＝，即( 3a－c)2＝0，所以c＝3a，则b＝ 2 2·4a·2c2Earlybirda ，所以双曲线的渐近线方程为 y ＝± 2x ，故选 D.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用y 215．(2019·河北衡水中学二模)已知双曲线 C ：x 2－ ＝1(b >0)的b 2左、右焦点分别为 F 1、F 2，点 P 是双曲线 C 上的任意一点，过点 P 作双曲线 C 的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于 A ，B 两→ →点，若四边形 PAOB (O 为坐标原点)的面积为 2，且PF 1· >0，则点PF 2P 的横坐标的取值范围为( A )17A.(－∞，－ 3 )∪( 173 ，＋∞)B.(－ 17 3， 173)2 172 17 C.(－∞，－ 3 )∪(，＋∞)32 17 2 17D.(－3)，3解 析：由题易知四边形 PAOB 为平行四边形，且不妨设双曲线 C 的渐近线 OA ：bx －y ＝0，OB ：bx ＋y ＝0.设点 P (m ，n )，则直线 PB |bm ＋n | 的方程为 y －n ＝b (x －m )，且点 P 到渐近线 OB 的距离为 d ＝ .1＋b 2由Error!解得Error!bm －n n －bm∴B(2)，，2bbm －n2n －bm21＋b 2 ∴|OB |＝＝ |bm －n |，＋4b2 4 2b|b2m2－n2| n2∴S▱PAOB＝|OB|·d＝.又∵m2－＝1，∴b2m2－n2＝b2，∴2b b21S▱PAOB＝b.又S▱PAOB＝2，2y2∴b＝2 2.∴双曲线C的方程为x2－＝1，8Earlybird∴c＝3，∴F1(－3,0)，F2(3,0)，→→∴PF1·＝(－3－m)(3－m)＋n2>0，即m2－9＋n2>0，又∵m2－PF2n2＝1，817 17∴m2－9＋8(m2－1)>0，解得m> 或m<－，3 317 17∴点P的横坐标的取值范围为－∞，－∪，故选3 ( ，＋∞)3A.16．(2019·河南天一大联考)已知F1(－c,0)、F2(c,0)为双曲线C：x2 y2－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过双曲线C的左焦点的直线与双a2 b2曲线C的左支交于Q，R两点(Q在第二象限内)，连接RO(O为坐标2原点)并延长交C的右支于点P，若|F1P|＝|F1Q|，∠F1PF2＝π，则双357曲线C的离心率为.6解析：如图，设|PF1|＝x，则|PF2|＝x－2a，作Q关于原点对称的点S，连接PS，RS，SF1.因为双曲线关于原点中心对称，所以|PO|＝|OR|，S在双曲线上，所以四边形PSRQ是平行四边形，根据对称性知，F2 在线段PS上，|F2S|Earlybird2π＝|QF1|＝x，则∠F1PS＝，根据双曲线的定义，有|F1S|＝x＋2a，所3以在△PF1S中，由余弦定理得(x＋2a)2 ＝x2 ＋(2x－2a)2 －2·x(2x－1 7 12a)·(－2 )，解得x＝a，所以|PF2|＝a，所以在△PF1F2 中，由余弦3 37 1 1 7 1 c定理得4c2＝(a)2＋(a)2－2×(－2 )×a×a，整理可得e＝＝3 3 3 3 a 57.6。
2020高考数学(理)一轮复习课时作业52双曲线 含解析
答案：
三、解答题
9．若双曲线E： －y2＝1(a＞0)的离心率等于 ，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．
∴|AB|＝ ·
＝2 ＝6 ，
整理得28k4－55k2＋25＝0，
∴k2＝ 或k2＝ .又1＜k＜ ，∴k＝ .
10．已知椭圆C1的方程为 ＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点，O为坐标原点．
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋ 与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且 · >2，求k的取值范围．
解法二易知双曲线的焦点在x轴上，所以由渐近线方程为2x±y＝0，可设双曲线的方程为x2－ ＝λ(λ>0)，即 － ＝1，因为双曲线的焦距为4 ，所以c＝2 ，所以λ＋4λ＝20，λ＝4，所以双曲线的方程为 － ＝1，故选A.
答案：A
2．[2019·山东潍坊模拟]已知双曲线 － ＝1(a>0，b>0)的焦点到渐近线的距离为 ，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为()
解析：因为双曲线的焦点是(0,2)，所以焦点在y轴上，所以双曲线的方程为 － ＝1，即a2＝－3m，b2＝－m，所以c2＝－3m－m＝－4m＝4，解得m＝－1.所以椭圆方程为 ＋x2＝1，且n>0，椭圆的焦距为4，所以c2＝n－1＝4或1－n＝4，解得n＝5或－3(舍去)．
答案：5
7．[2019·太原高三模拟]设P为双曲线 － ＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝2|PF2|，则cos∠PF2F1＝____[2019·山西八校联考]已知双曲线 － ＝1(a>0，b>0)的焦距为4 ，渐近线方程为2x±y＝0，则双曲线的方程为()
2020年高考一轮课时训练(理)10.2双曲线 (通用版)
第二节双曲线一、选择题1．(2020年全国卷Ⅱ)双曲线x26－y23＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r＝( )A. 3 B．2 C．3 D．62．(2020年江西卷)设F1和F2为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，若F 1、F2、P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( )A.32B．2 C.52D．33．(2020年福建卷)若双曲线x2a2－y23＝1(a＞0)的离心率为2，则a等于( ) A．2 B. 3 C.32D．14．(2020年重庆卷)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为y＝kx(k＞0)，离心率e＝5k，则双曲线方程为( )A.x2a2－y24a2＝1 B.x2a2－y25a2＝1C.x24b2－y2b2＝1 D.x25b2－y2b2＝15．“ab＜0”是“曲线ax2＋by2＝1为双曲线”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件二、填空题6．(2020年上海春招)已知P 是双曲线x 2a 2－y29＝1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －y ＝0.设F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点．若||PF 2＝3，则||PF 1＝______.7．(2020年海南宁夏卷)双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F.过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为__________．8．已知F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是________．三、解答题9．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF 1⊥MF 2； (3)求△F 1MF 2的面积．10．(2020年上海卷)双曲线C ：x 22－y 2＝1，设过A(－32，0)的直线l 的方向向量e ＝(1，k)．(1)当直线l 与双曲线C 的一条渐近线m 平行时，求直线l 的方程及l 与m 的距离；(2)证明：当k ＞22时，在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使之到达直线l 的距离为 6.参考答案1．解析：由圆心到渐近线的距离等于r ，可求r ＝ 3. 答案：A2．解析：由tan π6＝c 2b ＝33有3c 2＝4b 2＝4(c 2－a 2)，则e ＝ca ＝2，故选B.答案：B3．解析：由x 2a 2－y 23＝1可知虚半轴b ＝3，而离心率e ＝c a ＝a 2＋3a ＝2，解得a＝1或a ＝－1(舍去)，选D.答案：D4．解析：e ＝ca＝5k ⇒⎩⎪⎨⎪⎧b a＝k ca ＝5k a 2＋b 2＝c2, 所以a 2＝4b 2.答案：C5．解析：由ab ＜0，得a>0，b ＜0或a ＜0，b>0.由此可知a 与b 符号相反，则方程表示双曲线，反之亦然． 答案：C6．解析：由题知a ＝1，故||PF 1－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝|PF 2|＋2＝3＋2＝5. 答案：57．解析：双曲线的右顶点坐标A(3,0)，右焦点坐标F(5,0)，设一条渐近线方程为y ＝43x ，建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43x －5x 29－y 216＝1，得交点纵坐标y ＝－3215，从而S △AFB ＝12×2×3215＝3215.答案：32158．解析：∵△ABF 2是等腰三角形，顶角为∠AF 2B. ∴△ABF 2是锐角三角形⇔12∠AF 2B ＜45°⇔b 2a 2c ＜tan 45°.由b 22ac＜1⇒c 2－a 2＜2ac ⇒e 2－2e －1＜0 ⇒0＜e ＜1＋2，又e ＞1，∴e 的取值范围是：(1,1＋2)． 答案：(1,1＋2)9．解析：(1)由e ＝2⇒ca ＝2⇒c 2＝2a 2⇒a 2＝b 2.设双曲线方程为x 2－y 2＝λ， 将点(4，－10)代入得：λ＝6， 故所求双曲线方程为x 2－y 2＝6. (2)∵c 2＝12，∴焦点坐标为(±23，0) 将M(3，m)代入x 2－y 2＝4得：m 2＝3. 当m ＝3时，MF 1→＝(－23－3，－3)，MF 2→＝(23－3，－3) ∴MF 1→·MF 2→＝(－3)2－(23)2＋(－3)2＝0， ∴MF 1⊥MF 2，当m ＝－3时，同理可证MF 1⊥MF 2. (3)S△F 1MF 2＝12·|2c|·|m|＝12·43·3＝6. 10．解析：(1)双曲线C 的渐近线m ：x2±y＝0. ∴直线l 的方程x±2y ＋32＝0 ∴直线l 与m 的距离d ＝321＋2＝ 6.(2)证明：法一：设过原点且平行与l 的直线b ：kx －y ＝0， 则直线l 与b 的距离d ＝32|k|1＋k 2当k ＞22时，d ＞ 6. 又双曲线C 的渐近线为x±2y ＝0， ∴双曲线C 的右支在直线b 的右下方，∴双曲线C 右支上的任意点到直线l 的距离大于 6.故在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l 的距离为 6. 法二：双曲线C 的右支上存在点Q(x 0，y 0)到直线l 的距离为6，则⎩⎨⎧|kx 0－y 0＋32k|1＋k 2＝6， ①x 20－2y 20＝2， ②由①得y 0＝kx 0＋32k±6·1＋k 2， 设t ＝32k±6·1＋k 2.当k＞22，t＝32k±6·1＋k2＞0.将y0＝kx＋t代入②得(1－2k2)x20－4ktx－2(t2＋1)＝0(*)∵k＞22，t＞0，∴1－2k2＜0，－4kt＜0，－2(t2＋1)＜0∴方程(*)不存在正根，即假设不成立．故在双曲线C的右支上不存在Q，使之到直线l的距离为 6.。
高考数学课标通用(理科)一轮复习课时跟踪检测：52Word版含解析
课时追踪检测 (五十二 )[高考基础题型得分练 ]1．双曲线 x 2－my 2＝1 的实轴长是虚轴长的 2 倍，则 m ＝()11A. 4B.2 C ．2D ．4答案： D分析： 双曲线的方程可化为 x 2－ y 2＝1，1m∴实轴长为 2，虚轴长为 2 1m，∴2＝2×21，解得 m ＝4.m2．已知双曲线 C 的渐近线方程为y ＝±2x ，且经过点 (2,2)，则 C的方程为 ()x2y2x2y2A. 3－12＝1B.12－ 3 ＝1y 2 x 2 y 2 x 2C. 3 －12＝1D.12－ 3 ＝1答案： A2，由于双曲分析：由题意，设双曲线 C 的方程为 y － 2＝λλ≠4 x(0)22y 2线 C 过点 (2,2)，则 4－22＝λ，解得 λ＝－ 3，因此双曲线 C 的方程为 4 22－ x 2＝－ 3，即x3 －12y ＝1.x2y 23．[2017 ·林长春模拟吉 ]已知 F 1，F 2 是双曲线 a 2－b 2＝1(a ＞0，b＞0)的两个焦点，以 F1F2为直径的圆与双曲线的一个交点是P，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是()A. 2B. 3C．2D．5答案： D分析：不如设点P 位于第一象限，F1为左焦点，|PF2|＝m－d，|PF1|＝m，|F1F2|＝m＋d，此中 m＞d＞0，则有 (m－d)2＋m2＝(m＋d)2，解得 m＝4d，故双曲线的离心率e＝|F1F2|＝5. |PF1|－ |PF2|4．若双曲线 x2＋y2α∈ 0，π，则 m ＝ 1 的一条渐近线的倾斜角m3的取值范围是 ()A ．(－3,0)B．(－ 3，0)3 C．(0,3) D.－3，0答案： A分析：由题意可知 m<0，双曲线的标准方程为x2－y2＝1，经－m过第一、三象限的渐近线方程为y＝π由于其倾斜角α∈0，3，因此－mx，－m＝tanα∈(0，3)，故m∈(－3,0)．x2y25． [2017·河南郑州模拟] 已知双曲线a2－b2＝1(a＞ 0， b＞0)的右焦点为 F，过 F 作斜率为－ 1 的直线交双曲线的渐近线于点P，点 P在第一象限， O 为坐标原点，若△ OFP 的面积为a 2＋b 2，则该双曲线 8的离心率为 ()57A. 3B. 3C. 10D. 1533答案： C分析： 如下图，π由 k PF ＝－ 1，得∠PFO ＝4，b由 k OP ＝tan ∠POF ＝a ，得bbsin ∠POF ＝＝ ，aacos ∠POF ＝＝ ，22c a ＋b因此∠ ＝ ∠POF ＋π2＋a×a ＋b4＝b×2＝sin OPF sinc2 c22c.又∵S △OPF ＝1c ·|PF| ·2＝ a 2＋b2＝c 2，得2 2 8 8c |PF|＝2 2，a ＋bb2cc由正弦定理，得c ＝ c ，2 210整理得 a ＝3b ，又 a 2＋b 2＝c 2，故 e ＝ 3 .6 ． [2015 ·新课标全国卷Ⅰ 已知0，y 0 是双曲线 ：x2－y 2＝1] M(x )C2上的一点， F ，F → →＜0，则 y 的取值范是 C 的两个焦点．若 MF·1 21MF 2围是 ()3 33 3A.－3，3B. － 6 ，6C. －232，232D. －233，233答案： A分析： 由题意知， a ＝ 2，b ＝1，c ＝ 3，∴F 1(－ 3，0)，F 2( 3，0)，→ →∴MF 1＝(－ 3－x 0，－ y 0)，MF 2＝( 3－x 0，－ y 0)．→ →∵MF 1·MF 2＜0，∴ (－ 3－x 0)( 3－x 0)＋y 02＜0，即 x 20－3＋y 20＜0.∵ 点 M(x 0，y 0)在双曲线上，x 022 2 2∴2 －y 0＝ 1，即 x 0＝2＋2y 0 ，∴ 2＋2y 20－3＋y 20＜0，3 3∴ － 3 ＜y 0＜ 3 .应选 A.．已知为双曲线 x 2 y 2 7 F ： － ＝1 的左焦点，P ，Q 为 C 上的点．若C 9 16 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍，点 A(5,0)在线段 PQ 上，则△ PQF 的周长为 ________．答案： 44x2y2分析： 由 9 －16＝1，得 a ＝3，b ＝4，c ＝5.∴|PQ|＝4b ＝16>2a.又∵A(5,0)在线段 PQ 上，∴P ，Q 在双曲线的右支上，且 PQ 所在直线过双曲线的右焦点，|PF|－|PA|＝2a ＝6，由双曲线定义知，|QF|－|QA|＝2a ＝6，∴|PF|＋|QF|＝28.∴△PQF 的周长是 |PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44.x 2y 28．已知 F 1，F 2 是双曲线 a 2－b 2＝1(a>0，b>0)的两焦点，以线段F 1F 2 为边作正三角形 MF 1F 2，若边 MF 1 的中点 P 在双曲线上，则双曲线的离心率是 ________．答案： 3＋1分析：由于 MF 1 的中点 P 在双曲线上， |PF 2|－|PF 1|＝2a ，△MF 1F 2为正三角形，边长都是 2c，因此c23c－c＝2a，因此 e＝a＝＝ 33－1＋1.x2y29．过双曲线C：a2－b2＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交 C 于点 P.若点 P 的横坐标为 2a，则 C 的离心率为________．答案： 2＋3分析：如图， F1，F2为双曲线 C 的左，右焦点，x2y2＝1 中，得 y2＝3b2，将点 P 的横坐标 2a 代入a2－b2不如令点 P 的坐标为 (2a，－3b)，此时 kPF2＝3b b3)a，＝a，获得 c＝(2＋c－2ac即双曲线 C 的离心率 e＝a＝2＋ 3.10．[2017 ·江南十校联考 ]已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在座标轴上，离心率为2，且过点 P(4，－ 10)．(1)求双曲线的方程；→ →(2)若点 M(3，m)在双曲线上，求证： MF 1·MF 2＝0.(1)解： ∵e ＝ 2，∴可设双曲线的方程为 x 2－y 2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点 (4，－ 10)，∴ 16－10＝λ，即 λ＝6.∴双曲线的方程为 x 2－y 2＝6.(2)证明：证法一：由 (1)可知， a ＝b ＝ 6，∴ c ＝2 3，∴ F 1(－2 3，0)，F 2(2 3，0)，mm3，∴ kMF 1＝3＋23，kMF 2＝3－2 kMF 1·kMF 2＝m 2＝－ m 2.9－123∵点 M(3，m)在双曲线上，∴ 9－m 2＝6， m 2＝3，故 kMF 1·kMF 2＝－ 1，→ →∴ MF 1⊥MF 2.∴MF 1·MF 2＝0.证法二：由 (1)可知， a ＝b ＝ 6，∴ c ＝2 3，∴ F 1(－2 3，0)，F 2(2 3，0)，→ →MF 1＝(－2 3－3，－ m)，MF 2＝(2 3－3，－m)，→ →＝(3＋2 3)×(3－2 3)＋m 2＝－ 3＋m 2， ∴ MF· 1 MF 2∵点 M(3,0)在双曲线上，∴ 9－m 2＝6，即 m 2－3＝0，→ →∴ MF 1·MF 2＝0.[ 冲刺名校能力提高练 ]1．如图， F1，F2是椭圆2C1：x4 ＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A. 2B.336C.2D.2答案： D分析： |F＝1F2| 2 3.x2y2＝1(a＞0，b＞0)．设双曲线的方程为a2－b2∵|AF2|＋|AF1|＝4， |AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF2|＝2＋a，|AF1|＝2－a.在 Rt△F1AF2中，∠F1AF2＝90°，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，即 (2－a)2＋(2＋a)2＝(2 3)2，c36∴a＝2，∴e＝a＝2＝2 .应选 D.] 已知双曲线x222.[2017 广·西柳州、北海、钦州三市联考2－y2＝a b1(a>0，b>0)与抛物线 y2＝8x 有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为 P ，若 |PF|＝5，则双曲线的渐近线方程为 ()A ．x ±2y ＝0B ．2x ±y ＝0C ．x ± 3y ＝0D. 3x ±y ＝0答案： D分析：抛物线 y 2＝8x 的焦点坐标为 (2,0)，准线方程为直线x ＝－2，x 2 y 2＝1(a ＞0，b ＞0)与抛物线 y 2＝8x 有一个公共的焦∵双曲线a 2－b 2点 F ，则双曲线的半焦距 c ＝2，∴a 2＋b 2＝4，①又∵|PF|＝5，∴点P 的横坐标为 3，代入抛物线 y 2＝8x 得 y ＝±2 6，则 P(3，±2 6)，9 24∵点P 在双曲线上，则有 a 2－ b 2 ＝1，②联立①②，解得 a ＝1，b ＝ 3，x 2y 2∴双曲线a 2－b 2＝1 的渐近线方程为y ＝± 3x.x 2 y 23．[2017 ·山西太原二模 ] 已知 F 1，F 2 分别是双曲线 a 2－b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过 F 1 的直线 l 与双曲线的左、 右两支分别交于点A ，B ，若 |AB|＝|AF 2|，∠ F 1AF 2＝90°，则双曲线的离心率为 ()A.6＋ 3B. 6＋ 32C.5＋225＋2 22D.答案： B分析：∵|AB|＝|AF2|，∠F1AF2＝ 90°，∴|BF2|＝2|AF2|.又由双曲线的定义知，|BF1|－|BF2|＝2a，∴|AF1|＋|AB|－2|AF2|＝2a，即 |AF1|＋(1－ 2) ·|AF2|＝2a.又 |AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF2|＝2(2＋ 2)a，|AF1|＝2(1＋2)a.在 Rt△AF1F2中， |AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，即 [2(2＋ 2)a] 2＋[2(1＋ 2)a]2＝(2c)2，c2∴ 2＝9＋6a2，∴e＝9＋62＝6＋ 3.应选B.4．设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线x2y2a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m,0)知足 |PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是 ________．答案：52x－3y＋m＝0，分析：由by＝ax，得点A的坐标为am，bm，3b－a 3b－ax －3y ＋m ＝0，由 by ＝－ ax ，得点 B 的坐标为－ambm，，3b ＋a 3b ＋a则 AB 的中点 C 的坐标为a 2m 2，3b 2m2，2－a 2－a9b 9b1而 k AB ＝3，由 |PA|＝|PB|，可得AB 的中点 C 与点 P 连线的斜率为－ 3，3b 2m 9b 2－a 2即 k CP ＝ a 2m＝－ 3，22－m9b －ab 2 1化简得 a ＝4，b 215因此双曲线的离心率 e ＝1＋ a ＝1＋4＝ 2.225． [2017 甘·肃兰州诊疗 ] 已知曲线 C ：x2－ y2＝1(a ＞0，b ＞0)的aba 23一条渐近线的方程为 y ＝ 3x ，右焦点 F 到直线 x ＝ c 的距离为 2.(1)求双曲线 C 的方程；(2)斜率为 1 且在 y 轴上的截距大于 0 的直线 l 与双曲线 C 订交于→ →B ，D 两点，已知 A(1,0)，若 DF ·BF ＝1，证明：过 A ，B ，D 三点的圆与 x 轴相切．(1)解：依题意有 b 3，c － a 2 3，＝ c ＝a 2∵ a 2＋b 2＝c 2，∴ c ＝2a ，∴ a ＝1，c ＝2，∴ b 2＝3，2∴双曲线 C 的方程为 x 2－y3 ＝1.(2)证明：设直线 l 的方程为 y ＝x ＋m(m ＞0)，B(x 1， x 1＋m)，D(x 2，x 2＋m)，BD 的中点为 M ，y ＝x ＋m ，由 x 2－y 2＝1， 得 2x 2－2mx －m 2－3＝0， 3m 2＋3∴ x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝－2，→ →又 DF ·BF ＝1，即 (2－x 1)(2－x 2)＋(x 1＋m)(x 2＋m)＝1，∴ m ＝0(舍去 )或 m ＝2，7∴ x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－ 2，点 M 的横坐标为x 1＋x 2＝1， 2→ →∵ DA ·BA ＝(1－x 1)(1－x 2)＋(x 1＋2)(x 2＋2)＝ 5＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＝5－7＋2＝0，∴ AD ⊥AB ，∴过 A ，B ， D 三点的圆以点 M 为圆心， BD 为直径，∵点 M 的横坐标为 1， ∴ MA ⊥x 轴．∴过 A ，B ， D 三点的圆与 x 轴相切．6．已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 (2,0)，实轴长为 2 3.(1)求双曲线 C 的方程；(2)若直线 l ：y ＝ kx ＋ 2与双曲线 C 左支交于 A ，B 两点，求 k的取值范围；(3)在(2)的条件下，线段 AB 的垂直均分线 l 0 与 y 轴交于 M(0，m)，求 m 的取值范围．x 2 y 2解： (1)设双曲线 C 的方程为 a 2－b 2＝1(a>0， b>0)．由已知，得 a ＝ 3，c ＝2，再由 a 2＋b 2＝c 2，得 b 2＝1，2∴双曲线 C 的方程为x3－y 2＝1. (2)设 A(x A ，y A )，B(x B ，y B )，2将 y ＝kx ＋ 2代入 x3 －y 2＝1，得 (1－3k 2)x 2－6 2kx －9＝0.1－3k 2≠0，＝ 36 1－k 2 >0，6 2k 由题意知，x A ＋x B ＝1－3k 2<0，－ 9x A x B ＝1－3k 2>0，3解得 3 <k<1.此时， l 与双曲线左支有两个交点．故 k 的取值范围为3，1 . 36 2k(3)由(2)，得 x A ＋x B ＝1－3k 2，∴ y A ＋y B ＝(kx A ＋ 2)＋(kx B ＋ 2)2 2＝ k(x A ＋x B )＋2 2＝1－3k 2.∴ AB 的中点 P 的坐标为 3 2k21－3k2，1－3k 2.1设直线 l 0 的方程为 y ＝－ k x ＋m ，将点 P 的坐标代入直线 l 0 的方程，得 m ＝ 1－43k 22.∵ 33<k<1，∴－ 2<1－3k 2<0.∴ m<－2 2.∴ m 的取值范围为 (－∞，－ 2 2)．。
2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：53 双曲线 Word版含解析
3．设双曲线 － ＝1(a >0，b >0)的右焦点是 F ，左、右顶点分别课时作业 53双曲线一、选择题x 21．(2018·浙江卷)双曲线 －y 2＝1 的焦点坐标是( B )3A ．(－ 2，0)，( 2，0)C ．(0，－ 2)，(0， 2)B ．(－2,0)，(2,0)D ．(0，－2)，(0,2)解析：由题可知双曲线的焦点在 x 轴上，因为 c 2＝a 2＋b 2＝3＋1＝4，所以 c ＝2，故焦点坐标为(－2,0)，(2,0)．故选 B.2．已知双曲线 C 的渐近线方程为 y ＝±2x ，且经过点(2,2)，则 C的方程为( A )x 2 y 2A. － ＝13 12 x 2 y 2B. － ＝112 3y 2 x 2y 2 x 2C. － ＝1D. － ＝13 1212 3y 2解析：由题意，设双曲线 C 的方程为 －x 2＝λ(λ≠0)，因为双曲422 y 2线 C 过点(2,2)，则 －22＝λ，解得λ＝－3，所以双曲线 C 的方程为 －4 4x 2 y 2x 2＝－3，即 － ＝1.3 12x 2 y 2a 2b 2为 A ，A ，过 F 作 A A 的垂线与双曲线交于 B ，C 两点．若 A B ⊥121 21A C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( C )2解析：由题设易知 A (－a,0)，A (a,0)，B c ， ⎪，C c ，－ ⎪.aa · ＝－1，整理得 a ＝b .∵渐近线方程为 y ＝± x ，⎪⎩|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝4，5．(2019·河南新乡模拟)已知双曲线 C ： － ＝1(a >0，b >0)的1A ．±2B ．±22C ．±1D ．± 2⎛b 2⎫ ⎛ b 2⎫ 1 2 a ⎪ a ⎪⎝ ⎭ ⎝ ⎭∵A B ⊥A C ，12∴ b 2 b 2－c ＋a c －aba即 y ＝±x ，∴渐近线的斜率为±1.x 2 y 24．设双曲线 － ＝1 的左、右焦点分别为 F ，F ，过点 F 的直4 31 2 1线 l 交双曲线左支于 A ，B 两点，则|BF |＋|AF |的最小值为( B )2 2A.192B ．11C ．12D ．16⎧⎪|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝4，解析：由题意，得⎨所以|BF |＋|AF |＝8＋|AF |＋|BF |＝8＋|AB |，2211显然，当 AB 垂直于 x 轴时其长度最短，b 2|AB | ＝2· ＝3，故(|BF |＋|AF |) ＝11.min 22 2 minx 2 y 2a 2b 2⎛2c b ⎫ 解析：不妨设 B (0，b )，由BA ＝2AF ，F (c,0)，可得 A ， ⎪，代9 a 2 9 9 a 2 9 a 2 2 6．(2019·山东泰安联考)已知双曲线 C ： － ＝1(a >0，b >0)，1， B. ，＋∞⎪解析：由双曲线方程可得其渐近线方程为 y ＝± x ，即 bx ±ay ＝右焦点为 F ，点 B 是虚轴的一个端点，线段 BF 与双曲线 C 的右支交→ → →于点 A ，若BA ＝2AF ，且|BF |＝4，则双曲线 C 的方程为( D )x 2 y 2A. － ＝16 5 x 2 y 2B. － ＝18 12x 2 y 2x 2 y 2C. － ＝1D. － ＝18 44 6→ →3 3⎪⎝⎭4 c 2 1入双曲线 C 的方程可得 × － ＝1，4 a 2＋b 2 10 b 2 3即 · ＝ ，∴ ＝ ，①→又|BF |＝ b 2＋c 2＝4，c 2＝a 2＋b 2，∴a 2＋2b 2＝16，②由①②可得，a 2＝4，b 2＝6，x 2 y 2∴双曲线 C 的方程为 － ＝1，故选 D.4 6x 2 y 21 a2 b 23圆 C ：x 2＋y 2－2ax ＋ a 2＝0，若双曲线 C 的一条渐近线与圆 C 有两2 41 2个不同的交点，则双曲线 C 的离心率的范围是( A )1A. ⎛ 2 3⎫ ⎪ 3 ⎪ ⎝ ⎭ ⎛2 3 ⎫ 3 ⎪ ⎝ ⎭C ．(1,2)D ．(2，＋∞)ba2 c 2>4(c 2－a 2)，即 c 2< a 2，所以 e ＝ < ，又知 e >1 ，所以双曲线 C8－m 4－m解析：对于焦点在 x 轴上的双曲线 － ＝1(a >0 ，b >0)，它的焦b ．＝b .本题中，双曲线3 10，圆 C ：x 2＋y 2－2ax ＋ a 2＝0 可化为(x －a) ＋y 2＝ a 2，圆心 C 的坐 2 4 421标为(a,0)，半径 r ＝ a ，由双曲线 C 的一条渐近线与圆 C 有两个不同2 1 2的交点，得|ab | 1< a ，即 c >2 b ，即 c 2>4 b 2，又知 b 2＝c 2－a 2，所以a 2＋b 2 24 c 2 33 a 3 12 3 的离心率的取值范围为 1，，故选 A.3二、填空题y 27．实轴长为 2，虚轴长为 4 的双曲线的标准方程为 x 2－ ＝1 或4x 2y 2－ ＝1.4解析：2a ＝2,2 ＝4.当焦点在 x 轴时，y 2双曲线的标准方程为 x 2－ ＝1；4x 2当焦点在 y 轴时，双曲线的标准方程为 y 2－ ＝1.4x 2 y 28．(2019·河南安阳二模)已知焦点在 x 轴上的双曲线＋＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是(0,2)x 2 y 2a 2b 2点(c,0)到渐近线 bx －ay ＝0 的距离为 |b c | xb 2＋a 2 8－m⎧⎪8－m >0，9．设 F ，F 分别是双曲线 x 2－ ＝1 的左、右焦点，A 是双曲线 10．(2019·福建六校联考 )已知双曲线 C ： － ＝1(a >0，b >0)11．已知双曲线 C ： － ＝1(a >0，b >0)的离心率为 3，点( 3，4－m 8－mm －4 ⎪m －4>0，y 2 x 2 y 2＋ ＝1 即 － ＝1，其焦点在 x 轴上，则⎨ 解 ⎩得 4<m <8，则焦点到渐近线的距离 d ＝ m －4∈(0,2)．y 21 2 b 2上在第一象限内的点，若|AF |＝2 且∠F AF ＝45°，延长 AF 交双2122曲线右支于点 △B ，则 F AB 的面积等于 4.1解析：由题意可得|AF |＝2，|AF |＝4，则|AB |＝|AF |212＋|BF |＝2＋|BF |＝|BF |.又∠F AF ＝45°，所以△ABF 是以221121AF 为斜边的等腰直角三角形，则 |AB |＝|BF |＝2 2，所以其面积111为 ×2 2×2 2＝4.2x 2 y 2a 2b 2的右焦点为 F ，左顶点为 A ，以 F 为圆心，FA 为半径的圆交 C 的右支于 P ，Q 两点，△APQ 的一个内角为 60°，则双曲线 C 的离心率4为 .3解析：设左焦点为 F ，由于双曲线和圆都关于 x 轴对称，又△1APQ 的一个内角为 60°，所以△APQ 为正三角形，则∠PFx ＝60°，所以 PF ＝AF ＝a ＋c ，∴PF ＝3a ＋△c ，在 PFF 中，由余弦定理可得11PF 2＝PF 2＋FF 2－2PF ·FF cos120°.故 3c 2－ac －4a 2＝0，整理得 3e 2－e1114 －4＝0，解得 e ＝ .3三、解答题x 2 y 2a 2b 2解：(1)∵双曲线 C ： － ＝1(a >0，b >0)的离心率为 3，点( 3，⎧⎪x －y ＝1， 联立⎨ ⎩y 1 2 5 . － ⎪2－4× － ⎪＝12．(2019·湛江模拟 )已知双曲线 － ＝1(a >0，b >0)的右焦点0)是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点 F 作倾斜角为 30°的直线，直线与双曲线2交于不同的两点 A ，B ，求|AB |.x 2 y 2a 2b 2⎧⎪c＝ 0)是双曲线的一个顶点，∴⎨a ⎪⎩a ＝3，3，解得 c ＝3，b ＝ 6，∴双曲x 2 y 2线的方程为 － ＝1.3 6x 2 y 2(2)双曲线 － ＝1 的右焦点为 F (3,0)，∴经过双曲线右焦点 F3 62 23且倾斜角为 30°的直线的方程为 y ＝ (x －3)．32 23 6⎪y ＝ 33x －3，得 5x 2＋6x －27＝0.设 A (x ， )，B (x ，1 1 26 27y ) ，则 x ＋ x ＝－ ， x x ＝－ . 所 以 |AB | ＝2 1 2 5 511＋ ×3⎛ 6⎫ ⎛27⎫ 16 3 5⎪ 5 ⎪⎝ ⎭ ⎝ ⎭x 2 y 2 a 2 b 2为 F (c,0)．解：(1)因为双曲线的渐近线方程为 y ＝± x ，所以 a ＝b .所以直线 AO 的斜率满足0·(－ 3)＝－1，2 c ，c 2 1 代入双曲线方程得4 ⎛c ，⎪(1)若双曲线的一条渐近线方程为 y ＝x 且 c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点 O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为 A ，过 A 作圆的切线，斜率为－ 3，求双曲线的离心率．ba所以 c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4，所以 a 2＝b 2＝2，x 2 y 2所以双曲线方程为 － ＝1.2 2(2)设点 A 的坐标为(x ，y )，yx所以 x ＝ 3y ，①依题意，圆的方程为 x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程得 3y 2＋y 2＝c 2，1 3即 y ＝ c ，所以 x ＝ 0 2 0所以点 A 的坐标为 3 1c ⎫，2 2 ⎪ ⎝ ⎭34c 2a 2 －b 2 ＝1，3 1即 b 2c 2－ a 2c 2＝a 2b 2，②4 4又因为 a 2＋b 2＝c 2，所以将 b 2＝c 2－a 2 代入②式，整理得a ⎪ a ⎪ 1 1 1 1 |PF |－3⎪－ |PF |－4⎪＝1，故选 D.134c 4－2a 2c 2＋a 4＝0，⎛c ⎫ ⎛c ⎫所以 3 ⎪4－8 ⎪2＋4＝0，⎝ ⎭ ⎝ ⎭所以(3e 2－2)(e 2－2)＝0，因为 e >1，所以 e ＝ 2，所以双曲线的离心率为 2.x 2 y 213．(2019·河南洛阳联考)设 F ，F 分别为双曲线 － ＝1 的左、1 2 9 16右焦点，过 F 引圆 x 2＋y 2＝9 的切线 F P 交双曲线的右支于点 P ，T11为切点，M 为线段 F P 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于1( D )A ．4C ．2B ．3D ．11解析：连接 PF ，OT ，则有|MO |＝ |PF |2 221 1 1＝ (|PF |－2a )＝ (|PF |－6)＝ |PF |－3，2 2 211 1|MT |＝ ·|PF |－|F T |＝ |PF |－ c 2－322 211＝ |PF |－4，于是有|MO |－|MT |21＝ ⎛1 ⎫ ⎛1 ⎫ 2 1 ⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭14．(2019·河南适应性测试 )已知 F ，F 分别是双曲线 － ＝⎧⎪2c >2a ，|PF |＝2a .又因为⎨ 所以∠PF F 为最小内角，故∠PF F ＝ .⎪⎩4a >2a ， 15．(2019·河北衡水中学二模)已知双曲线 C ：x 2－ ＝1(b >0)的( ⎪∪⎭ ⎝x 2 y 21 2 a 2 b 21(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线上一点，若|PF |＋|PF |＝6a ，12π且△P F F 的最小内角为 ，则双曲线的渐近线方程为( D )1 2 6A ．y ＝±2x2C ．y ＝± x21B ．y ＝± x2D ．y ＝± 2x解析：不妨设 P 为双曲线右支上一点，则|PF |>|PF |，由双曲12线的定义得|PF |－|PF |＝2a ，又|PF |＋|PF |＝6a ，所以|PF |＝4a ，12 1 2 1π2 1 2 1 2 6由余弦定理，可得4a2＋ 2c 2－ 2a2·4a ·2c2 3＝ ，即( 3a －c )2＝0，2所以 c ＝ 3a ，则 b ＝ 2a ，所以双曲线的渐近线方程为 y ＝± 2x ，故选 D.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用y 2b 2左、右焦点分别为 F 、F ，点 P 是双曲线 C 上的任意一点，过点 P12作双曲线 C 的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于 A ，B 两→ →点，若四边形 PAOB O 为坐标原点)的面积为 2，且PF ·PF >0，则12点 P 的横坐标的取值范围为( A )⎛ 17⎫ ⎛ 17 ⎫A. －∞，－ ，＋∞⎪3 ⎪ 3⎪ ⎝ ⎭B. － ，D. － ，⎪⎩bx ＋y ＝0，⎪⎩y ＝2b∴B ，⎪， ∴|OB |＝bm －n＋n －bm＝ |bm －n |，∴S ＝|OB |·d ＝ .又∵m 2－ ＝1，∴b2m 2－n 2＝∴PF ·PF ＝(－3－m )(3－m )＋n 2>0，即 m 2－9＋n 2>0，又∵m 2→⎛ 17 17⎫⎪ 3 3 ⎪ ⎝ ⎭C. ⎛ 2 17⎫ ⎛2 17 ⎫－∞，－ ⎪∪ ，＋∞⎪3 ⎪ 3 ⎪⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎛ 2 17 2 17⎫⎪ 3 3 ⎪ ⎝ ⎭解析：由题易知四边形 PAOB 为平行四边形，且不妨设双曲线 C的渐近线 OA ：bx －y ＝0，OB ：bx ＋y ＝0.设点 P (m ，n )，则直线 PB|bm ＋n |的方程为 y －n ＝b (x －m )，且点 P 到渐近线 OB 的距离为 d ＝ .1＋b 2⎧⎪y －n ＝b x －m由⎨， ⎧⎪x ＝bm －n，解得⎨n －bm，2⎛bm －n n －bm ⎫2b 2 ⎪⎝⎭4b 22421＋b 2 2b|b 2m 2－n 2| n 2▱ PAOB 2b b 2b 2，∴S＝ b .又 S1▱ PAOB 2 ▱PAOB ＝ 2，y 2∴b ＝2 2.∴双曲线 C 的方程为 x 2－ ＝1，8∴c ＝3，∴F (－3,0)，F (3,0)，1 2→1216．(2019·河南天一大联考)已知 F (－c,0)、F (c,0)为双曲线 C ：－ ＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过双曲线 C 的左焦点的直线与双n 2－ ＝1，817 17∴m 2－9＋8(m 2－1)>0，解得 m > 或 m <－ ，3 317 ⎛ 17 ⎫∴点 P 的横坐标的取值范围为－∞，－ ∪ ，＋∞⎪，故33 ⎪ ⎝⎭选 A.x 21 2 a 2y 2b 2曲线 C 的左支交于 Q ，R 两点(Q 在第二象限内)，连接 RO (O 为坐标2原点)并延长交 C 的右支于点 P ，若|F P |＝|F Q |，∠F PF ＝ π，则1 1 12 357双曲线 C 的离心率为 .6解析：如图，设|PF |＝x ，则|PF |＝x －2a ，作 Q 关于原点对称12的点 S ，连接 PS ，RS ，SF .1因为双曲线关于原点中心对称，所以|PO |＝|OR |，S 在双曲线上，所以四边形 PSRQ 是平行四边形，根据对称性知，F 在线段 PS211⎝ 2⎪由余弦定理得 4c 2＝ a ⎪2＋ a ⎪2－2× － ⎪× a × a ，整理可得 e ＝ ＝ ⎭⎝ 2⎪3 3 22π上，|F S |＝|QF |＝x ，则∠F PS ＝ ，根据双曲线的定义，有|F S |2 1 1 31＝x ＋2△a ，所以在 PF S 中，由余弦定理得 (x ＋2a )2＝x 2＋(2x －2a )2－1⎛ 1⎫7 1 2·x (2x －2a )· － ⎪，解得 x ＝ a ，所以|PF |＝ △a ，所以在 PF F 中， 3 31 2 ⎭ ⎛7 ⎫ ⎛1 ⎫ ⎛ 1⎫ 71 c 3 ⎪ 3 ⎪ a⎝ ⎭ ⎝ ⎭576 .12。
高三数学(理)一轮总复习课时跟踪检测(五十) 双 曲 线 Word版含解析
课时跟踪检测（五十）双曲线一抓基础，多练小题做到眼疾手快．双曲线－＝的焦点到渐近线的距离为．解析：由题意知双曲线的渐近线方程为＝±，焦点为(±)，故焦点到渐近线的距离＝.答案：．已知双曲线＋＝的虚轴长是实轴长的倍，则实数的值是．解析：依题意得＜，双曲线方程是－＝，于是有＝×，＝－.答案：－．双曲线－＝的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为．解析：由渐近线互相垂直可知＝.答案：．已知双曲线的一个焦点(，)，它的渐近线方程为＝±，则该双曲线的标准方程为．解析：设双曲线的标准方程为－＝，由题意得(\\(＝()，,()＝))⇒(\\(＋＝，＝))⇒(\\(＝，＝，))所以双曲线的标准方程为－＝.答案：－＝．设，分别是双曲线－＝的左、右焦点，是双曲线上在第一象限内的点，若＝且∠＝°，延长交双曲线右支于点，则△的面积等于．解析：由题意可得＝，＝，则＝＋＝＋＝.又∠＝°，所以△是以为斜边的等腰直角三角形，所以其面积为××＝.答案：二保高考，全练题型做到高考达标．若双曲线：－＝的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且＝，则等于．解析：由双曲线的定义有－＝－＝＝，∴＝.答案：．已知双曲线－＝(＞)的一条渐近线与直线－＋＝垂直，则该双曲线的准线方程是．解析：双曲线－＝(＞)的渐近线为＝±，若其中一条与直线－＋＝垂直，则有－×＝－，解得＝，∴双曲线－＝的准线方程为＝±＝±.答案：＝±．已知双曲线：－＝(>，>)的离心率＝，且它的一个顶点到相应焦点的距离为，则双曲线的方程为．解析：由题意得(\\(－＝，,()＝，))解得(\\(＝，＝，))则＝，故所求方程为－＝.答案：－＝．双曲线－＝的两条渐近线与直线＝围成的三角形的面积为．解析：由题知，双曲线的渐近线为＝±，故所求三角形的面积为××＝.答案：．(·无锡调研)若双曲线－＝(>，>)上存在一点满足以为边长的正方形的面积等于(其中为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是．解析：由条件，得＝，又为双曲线上一点，从而≥，∴≥，∴≥，又∵＝＋≥＋＝，∴＝≥.答案：．(·淮安模拟)设，分别是双曲线－＝的左、右焦点，若双曲线上存在点，使∠＝°且＝，则双曲线的离心率为．解析：因为∠＝°，故＋＝＝，又＝，且－＝，故＝，故＝，故＝＝.答案：．若双曲线－＝(＞，＞)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为．解析：双曲线的一条渐近线方程为－＝，一个焦点坐标为()．根据题意知＝×，所以＝，＝＝，所以＝＝＝.答案：．已知，为双曲线－＝(＞，＞且≠)的两个焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，为坐标原点．给出下面四个命题：①△的内切圆的圆心必在直线＝上；②△的内切圆的圆心必在直线＝上；③△的内切圆的圆心必在直线上；④△的内切圆必通过点()．其中所有真命题的序号是．解析：设△的内切圆分别与，切于，，与切于，则＝，＝，＝，又点在双曲线的右支上，所以－＝，设点的坐标为()，则由－＝，可得(＋)－(－)＝，解得＝，显然内切圆的圆心与点的连线垂直于轴．由以上分析易知，①④正确，②③错误．答案：①④．双曲线－＝(>，>)的焦距为，直线过点()，(，)，且点()到直线的距离与点(－)到直线的距离之和≥，求双曲线的离心率的取值范围．解：直线的方程为＋＝，即＋－＝.。
新课改专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测五十二直线与圆锥曲线含解析
课时跟踪检测（五十二）直线与圆锥曲线1.过抛物线y 2= 2x 的焦点作一条直线与抛物线交于 A , B 两点，它们的横坐标之和等 于2,则这样的直线（ ）A.有且只有一条 B .有且只有两条C.有且只有三条D .有且只有四条p解析：选 B 设该抛物线焦点为 F , A (X A , y A ) , B (X B , y B )，则 | AB = I AF + I FB = X A + 2 + X B + p = X A + X B + 1 = 3 >2p = 2.所以符合条件的直线有且只有两条.2. （2019 •张掖高三诊断）过抛物线y 2= 4x 的焦点F 的直线I 与抛物线交于 A, B 两点,10若A, B 两点的横坐标之和为 y ，则| AB =（）16D.716 3.3. （2018 •聊城二模）已知直线I 与抛物线C: y 2= 4x 相交于A , B 两点，若线段 AB 的 中点为（2,1），则直线I 的方程为（）B . y =— 2x + 5D . y = 2x — 3解析：选 D 设 A (X 1, y 1) ,B(X 2,y 2)，则有卩2—仪，② ①—②得 y 2— y 2= 4(X 1 — X 2), y 2= 4X 2,②2x — y — 3 = 0.故选 D.2 24.（2oi9 •厦门模拟）过双曲线c ：x —中=i 的左焦点作倾斜角为nn 的直线I ，则直线i 与双曲线C 的交点情况是（）A. 没有交点B. 只有一个交点C. 有两个交点且都在左支上1314B.TC. 5解析：选D 过抛物线的焦点的弦长公式为10| AE | = p + X 1 + X 2. T p = 2, • | AB = 2+ —=3A. y = x — 1C. y = — x + 3 V i由题可知 X i M X 2. — X i —X 22,即卩k AB = 2,.・.直线l 的万程为y — 1 = 2( X — 2)，即D. 有两个交点分别在左、右两支上2 2X Vx + 13)，代入 C ：N —"9 = 1,整理得 23X 2- 8 .13X - 160 = 0, △= ( — 8 13) 2+ 4X 23 X 160> 0，所以直线I 与双曲线C 有两个交点，由一元 二次方程根与系数的关系得两个交点横坐标符号不同，故两个交点分别在左、右两支上.5. 已知抛物线 y = — X +3上存在关于直线 x + y = 0对称的相异两点 A, B,则| AB =( )A .3 B .4 C .3 2D .4 2、, ______2 2解析：选C 由题意可设I AB 为y = x + b ,代入y =— X + 3得X + x + b — 3 = 0,设A (X 1, V 1) , B (X 2,y 2)，贝U X 1 + X 2=— 1, X 1X 2= b — 3, y 1+ y 2= X 1+ b + X 2+ b =— 1 + 2b .所以 AB 中点一 f 1 1 「 1 f 1 、坐标为 j — 2, — 2 + b ，该点在 x + y = 0 上，即一 + I — 2 + b = 0，得 b = 1，所以 | AB = 1 + 12 • 一 X 1 + X 2 2— 4X 1X 2= 3 2.6. (2019 •青岛模拟)已知点A 是抛物线C ： X 2= 2py (p >0)的对称轴与准线的交点，过 点A 作抛物线C 的两条切线，切点分别为P , Q,若A AF Q 的面积为4,贝U p 的值为()1 A.2 B . 13C ・2D . 22—2pkx + p = 0,由△= 4k 2p 2 — 4p 2= 0,可得 k =± 1, 则 Qp , pj, P [-p ,1•••△ AP Q 的面积为 X2pX p = 4,••• p = 2.故选 D.2 2X y7.已知双曲线 C:二—2= 1(a > 0, b >0),过点P (3,6)的直线l 与C 相交于A , B 两点,a b且AB 的中点为N (12,15)，则双曲线C 的离心率为( )解析：选D 直线I 的方程为解析：选 y = kx —2,D 设过点A 与抛物线相切的直线方程为 y = kx —2.由$山2= 2py得X 23A. 2B. -2解析：选 B 设 A (x i , y i ) , B (X 2, y 2)，由 AB 的中点为 N (12 , 15)，得 X i + X 2= 24,屮+ y 2= 30,2 2 X i y ia 2—b 2 =1,X 2 y 2a 2 -b 2=i , 两式相减得:X i + X 2X i —Xy i + y 2 y i — y 2y i — y 2 X i —X b 2 X i + X 2 4b 2 a ~~y i+ y 2 ■=盲. 由直线AB 的斜率k == i ，、 c b 2 3 曲线的离心率 e = a = i + &2= 2-& （20i9 •福州模拟）已知抛物线E: y 2= 2px （p > 0）的焦点为F ,过F 且斜率为i 的直 线交E 于A B 两点，线段 AB 的中点为 M 线段AB 的垂直平分线交 X 轴于点C, MN L y 轴于 点N,若四边形CMN 的面积等于7,则E 的方程为（ A2 A. y = x 2B . y = 2x2 …C. y = 4xD . y 2= 8x解析：选C F$, 0 j,直线AB 的方程为y = x — 2.__ 2y = 2px ,联立得方程组py =x —222p可得 x — 3px + : = 0,设 A (x i, y i ) , B (X 2, y 2)，则 X i + X 2= 3p , 则 y i + y 2 = x i + X 2— p = 2p ,••• M§p , p ,••• N O , p )，直线 MC 的方程为 y =— x + 乎. ,0，•四边形CMNI 的面积为S 梯形 OCM — S A ONF = 又p >0, • p = 2,即抛物线E 的方程为y 2= 4x .故选C.2 2x y9. （20i8 •湖北十堰二模）如图，F i , F 2是双曲线 C ： - — 2= i （a > a b 0 , b >0）的左、右焦点，过 F i 的直线I 与C 的两个分支分别交于点A ,B 若厶ABF 为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A. 4B. ,7解析：选B •••△ABF为等边三角形,•••原点到直线的距离0=咼1,2 2 y = kx + m• m = 1 + k，由f 2 2 得(1|x —y = 1—k2) x2—2mkx- ( m+1) = 0,『1 —k2M 0,'A = 4mF+4 i- k2m+i 11+m X1X2= 2- v 0, i k —1=4 m+1 —k2• k2v 1,2•/ 0< k v 1,•••当k2= 0时，X2—X1取最小值2 2.故选A.11. （2019 •安庆模拟）设抛物线x2= 4y的焦点为F,点A, B在抛物线上，且满足刁F =_ 3 入_B，若| _F| = 2,贝y入的值为 ______ .解析：设A（X1, y1）, B（X2, y2）,由抛物线x2= 4y得焦点F的坐标为（0,1）,•••I A B = |AF2| =|BF2|，/ F1AF = 60°.由双曲线的定义可得| AF| —| AF2| = 2a,•| BF| = 2a.又| BF2| —| BF| = 2a,「. | BF| = 4a.•••|AF = 4a, |AF| = 6a.在厶AFR中，由余弦定理可得|F i F2|2=|A冋2+ |A冋2—2| AR|AF|cos 60 ° ,•(2C)2= (6 a)2+ (4a)2—2X4 a x6a x1，即c2= 7a2,10. （2019 •贵阳模拟）已知双曲线X2—y2= 1的左、右顶点分别为A, A,动直线l : y =kx + m 与圆x2+ y2= 1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P（X1, y" , F2（X2 , y2）, 则X2 —X1的最小值为（）A. 2 2C. 4解析：选A ■/ l与圆相切,a=<7.故选B .c e=一a由于刘+X2= 1—k>,• X2 —X1 = V X1 + X2准线方程为y =— 1,•••| ^AF | = 3,•••屮+ 1 = I ，解得 y = 2, ••• X 1 = ± , 2,由抛物线的对称性取 X 1= 2,—述x + 1,,1，•直线AF 的方程为y =4y =-¥x +1,由*：x2=解得$x^/2,；1y= 2或 $ = — 2"y=2,•- B ( -2 2, 2)| "F B | = 2 + 1 = 3,-- > ------ > ------ > -------- > ••• AF =入 FB , • | AF | =入 | FB | , •3入，解得入=2 x 212.（2019 •武汉调研）已知直线MN 过椭圆2 + y = 1的左焦点F ,与椭圆交于 M N 两点.直 线P Q 过原点0且与直线MN 平行，直线P Q 与椭圆交于P, Q 两点，则普MN解析：法一：由题意知，直线 MN 的斜率不为0，设直线MN 的方程为x = m 什1,则直线fx = my+ 1,F Q 的方程为 x = my 设 Mx 1, yj , N (X 2, y ?), F (x 3 , y 3), Q(X 4, y 4). f x 2 212 + y = 122m1+ 2)y + 2my-1 = 0?w + y 2= — m ^2,中屮一 ^^2.m 1•“MN = ,1 + m | y 1 — y 2| = 2#2 •吊十？ x = my x 2 2 ?(m + 2) y 2— 2 = 0? y 3 + y 4= 0 ,月割A2+y =12 m + 2.•••|P Q|=1 + 吊|『3— y 4| =2 2m +1 m + 2.法二：取特殊位置，当直线 MN 垂直于x 轴时，易得|MN = 2b = ,2, |F Q| = 2b = 2,则 a答案：2 213. (2019 •石家庄重中高中摸底 )已知抛物线 C ： y 2= 2px (p > 0)，直线l : y = 3(x —答案：214. (2018 •深圳二模)设过抛物线y 2= 2px (p > 0)上任意一点R 异于原点O 的直线与抛 物线y 2 =8px ( p > 0)交于代B 两点，直线 OP 与抛物线y 2= 8px ( p > 0)的另一个交点为 Q 则 & ABQ ABO 解析：设直线 OP 的方程为y = kx (k z 0),y = kx , 联立得彳2 l y = 2px ,y= kx ,联立得t 2l y = 8px , •••I OP =答案：3215. 已知抛物线E ： y = 2px ( p >0)的焦点F , E 上一点(3 , m )到焦点的距离为4.(1) 求抛物线E 的方程；(2) 过F 作直线l ，交抛物线E 于A , B 两点，若直线 AB 中点的纵坐标为—1,求直线l 的方程. 1),l 与C 交于A , B 两点，若| AB =罟，则.2y = 2px ,解析：由 $=申 x —1 , 2消去 y ，得 3x — (2p + 6)x + 3= 0，设 A (x i , y i ) , B (X 2,y 2)，由根与系数的关系，得 x i + X 2 = 2p + 63X i X 2= 1，所以 | AB = 2 X i + X 2 2— 4x i X 2= 2164=专，所以p = 2.p+69S^AB2| P Q|& ABO | OP解：(1)抛物线E：y2= 2px(p>0)的准线方程为x = —2,由抛物线的定义可知 3 —[ 2) = 4, 解得p = 2,二抛物线E 的方程为y 2 = 4x .⑵法一：由⑴得抛物线E 的方程为y = 4x ,焦点F (1,O), 设A , B 两点的坐标分别为 A (x i , y i ) , 0X 2, y 2), 则两式相减，整理得y —y = 4—(x i X 2).X 2 — X i y 2+ y i•••线段AB 中点的纵坐标为一i ,•直线 I 的方程为 y — 0=— 2(x — i)，即 2x + y — 2 = 0. 法二：由⑴ 得抛物线E 的方程为y 2= 4x ，焦点F (i,0), 设直线I 的方程为x = my^ i ,设A B 两点的坐标分别为 A (x i , y i ), B (X 2, y 2),•••线段AB 中点的纵坐标为一i , y i + y 2~2•直线I 的方程为x = — i y + i ，即2x + y — 2 = 0.i6. (20i9 •佛山模拟)已知直线I 过点F (2,0)且与抛物线 E y 2= 4x 相交于A , B 两点, 与y 轴交于点C,其中点A 在第四象限，O 为坐标原点.(i)当A 是PC 中点时，求直线I 的方程；⑵ 以AB 为直径的圆交直线 OB 于点D,求| OB •丨OD 的值.解：(1) ••• A 是PC 的中点，P (2,0) , C 在y 轴上，• A 点的横坐标为1,又A 在第四象限，• A (i , — 2).•直线I 的方程为y = 2x — 4.(2)显然直线I 的斜率不为0,x = my^ 2, 设I 的方程为x = my+ 2, A (x i , y i ) , B (X 2, y 2)，联立得方程组2 消去xl y = 4x , 得 y 2 — 4my- 8= 0,y 2 = 4x i , y 2 = 4X 2,•••直线l 的斜率由 y 2 =4X ，x = my+ i 2消去 x ，得 y — 4my- 4 = 0.4 y 2+ y i2“ y i • • y i y 2=— 8,故 X i X 2 =— 设 OD =入 OB =(入 X 2,入 y 2),则 A D = "OD - _O A =(入 X 2 - x i ,入 y 2— y i ),—> —>二 AD • OD =(入 X 2 — x i )入 X 2+ (入 y 2 — y i )入 y 2= 0,2 2 2 2即入X 2— 4入+入y 2 + 8入=0,易知入工0,入(x 2+ y 2) =— 4.• | OB •丨 OD = x 2 + y 2 •入 2x 2+ 入 2y 2=| 入 |( x 2 + y 2) = 4.17. (2019 •广州调研)如图，在直角坐标系xOy 中，椭圆C:X i/孑=i(a >b >0)的上焦点为F i ,椭圆C 的离心率为 刁且过点i ,⑴求椭圆C 的方程; ⑵设过椭圆C 的上顶点A 的直线I 与椭圆C 交于点政B 不在y 轴上)，垂直于I 的直线 与I 交于点M 与x 轴交于点H,若F i B • F i H = 0，且|M(p = | MA ，求直线I 的方程.i解：(i )因为椭圆C 的离心率为,c i所以：=了，即a = 2c . a 2又 a 2= b 2 + c 2, 所以 b 2 = 3c 2, 即卩 b 2 = 3a 2, 42 2所以椭圆C 的方程为占+产=i. a 3 24a把点［i ,型6代入椭圆C 的方程中，解得 a 2 = 4.、一3丿 2 2 所以椭圆C 的方程为春+ X 3 = i. (2)由⑴ 知，A (0,2)，设直线I 的斜率为k (k z 0)，则直线I 的方程为y = kx + 2, •/ D 在以AB 为直径的圆上,—> —>'1,霜y =kx +2,2 2 x y _+「=i , [34 ,2 2得(3 k + 4)x + i2kx = 0.一12k设B(X B, y B)，得X B=录£4，「- 6k2+ 8所以y B=贡工了，2—12k - 6k + 8\ 3k2+4，3k2+ 4 .设M XM, y M)，因为| MO = I MA，所以点M在线段OA的垂直平分线上,1所以y M= 1,因为y心kX M+ 2,所以x心一匚，k设H(X H,0)，又直线HM垂直于直线I ,1 1所以k MH=-「，即k 1—厂一X Hk所以X H= k-k，即Hk-k，—> 又F i(0,1)，所以F i B =212k 4 - 9k \3k2+ 4，3k2+ 4，RH= 'k- k，-1 .-- > 因为F i B •> —12kF1H=O，所以市1 4- 9k2k 一3k T4 =0，解得k=±2.63 '所以直线I的方程为y =±+ 2.所以B。
2020高考数学一轮复习名师随堂巩固练52附答案解析(20190730130618)
2020高考数学一轮复习名师随堂巩固练521.若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆x29＋y24＝1的交点个数是2.解析：由题意知4m2＋n2>2，即m2＋n2<2，即m2＋n2<4，所以点P(m，n)是以原点为圆心，2为半径的圆内的点.因为椭圆的长半轴为3，短半轴为2，所以圆m2＋n2＝4内切于椭圆，所以点P(m，n)在椭圆x 29＋y24＝1的内部，故所求交点个数是 2.2.已知直线l过椭圆x216＋y24＝1内的一点M(1，1)，与椭圆交于A，B两点，且M是AB的中点，则弦AB所在直线的方程为x＋4y－5＝0.解析：显然，斜率不存在的直线x＝1不满足条件；设所求的直线为y－1＝k(x－1)，即y＝kx＋1－k，代入x 216＋y24＝1并整理得(4k2＋1)x2＋8k(1－k)x＋4(1－k)2－16＝0，此方程有两个根且两根之和等于2，即－8k（1－k）4k2＋1＝2，解得k＝－14，所以y－1＝－14(x－1)，即x＋4y－5＝0.3.已知椭圆C的方程为x216＋y2m2＝1(m>0)，若直线y＝22x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为22.解析：设椭圆的右焦点F(c，0)，c＝16－m2.由题意可得，直线y＝22x与椭圆的一个交点M c，22c，所以c216＋22c2m2＝1.因为c2＝16－m2，解得m2＝8或m2＝－16(舍去).因为m>0，所以m＝2 2.4.直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，1。
2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：53 双曲线 Word版含解析
课时作业53 双曲线一、选择题1．(2021·浙江卷)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( B ) A ．(－ 2 ,0) ,( 2 ,0) B ．(－2,0) ,(2,0) C ．(0 ,－2) ,(0 ,2)D ．(0 ,－2) ,(0,2)解析：由题可知双曲线的焦点在x 轴上 ,因为c 2＝a 2＋b 2＝3＋1＝4 ,所以c ＝2 ,故焦点坐标为(－2,0) ,(2,0)．应选B.2．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ,且经过点(2,2) ,那么C 的方程为( A )A.x 23－y 212＝1 B.x 212－y 23＝1 C.y 23－x 212＝1D.y 212－x 23＝1解析：由题意 ,设双曲线C 的方程为y 24－x 2＝λ(λ≠0) ,因为双曲线C 过点(2,2) ,那么224－22＝λ ,解得λ＝－3 ,所以双曲线C 的方程为y 24－x 2＝－3 ,即x 23－y 212＝1.3．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0 ,b >0)的右焦点是F ,左、右顶点分别为A 1 ,A 2 ,过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ,C 两点．假设A 1B ⊥A 2C ,那么该双曲线的渐近线的斜率为( C )A ．±12 B ．±22 C ．±1D ．±2解析：由题设易知A 1(－a,0) ,A 2(a,0) ,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c b 2a ,C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c －b 2a .∵A 1B ⊥A 2C ,∴b 2a c ＋a ·－b 2a c －a＝－1 ,整理得a ＝b . ∵渐近线方程为y ＝±ba x , 即y ＝±x ,∴渐近线的斜率为±1.4．设双曲线x 24－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1 ,F 2 ,过点F 1的直线l 交双曲线左支于A ,B 两点 ,那么|BF 2|＋|AF 2|的最|小值为( B )A.192 B ．11 C ．12D ．16解析：由题意 ,得⎩⎪⎨⎪⎧|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝4|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝4所以|BF 2|＋|AF 2|＝8＋|AF 1|＋|BF 1|＝8＋|AB | , 显然 ,当AB 垂直于x 轴时其长度最|短 , |AB |min ＝2·b 22＝3 ,故(|BF 2|＋|AF 2|)min ＝11.5．(2021·河南新乡模拟)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0 ,b >0)的右焦点为F ,点B 是虚轴的一个端点 ,线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ,假设BA →＝2AF → ,且|BF →|＝4 ,那么双曲线C 的方程为( D )A.x 26－y 25＝1B.x 28－y 212＝1C.x 28－y 24＝1 D.x 24－y 26＝1解析：不妨设B (0 ,b ) ,由BA →＝2AF → ,F (c,0) ,可得A⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2c 3 b 3 ,代入双曲线C 的方程可得49×c 2a 2－19＝1 ,即49·a 2＋b 2a 2＝109 ,∴b 2a 2＝32 ,①又|BF →|＝b 2＋c 2＝4 ,c 2＝a 2＋b 2 ,∴a 2＋2b 2＝16 ,②由①②可得 ,a 2＝4 ,b 2＝6 ,∴双曲线C 的方程为x 24－y 26＝1 ,应选D.6．(2021·山东泰安联考)双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0 ,b >0) ,圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0 ,假设双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点 ,那么双曲线C 1的离心率的范围是( A )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1 233 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫233 ＋∞ C ．(1,2)D ．(2 ,＋∞)解析：由双曲线方程可得其渐近线方程为y ＝±ba x ,即bx ±ay ＝0 ,圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0可化为(x －a )2＋y 2＝14a 2,圆心C 2的坐标为(a,0) ,半径r ＝12a ,由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点 ,得|ab |a 2＋b 2<12a ,即c >2b ,即c 2>4b 2 ,又知b 2＝c 2－a 2 ,所以c 2>4(c 2－a 2) ,即c 2<43a 2 ,所以e ＝c a <233 ,又知e >1 ,所以双曲线C 1的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1 233 ,应选A.二、填空题7．实轴长为2 ,虚轴长为4的双曲线的标准方程为x 2－y24＝1或y 2－x 24＝1.解析：2a ＝2,2bx 轴时 ,双曲线的标准方程为x 2－y24＝1；当焦点在y 轴时 ,双曲线的标准方程为y 2－x24＝1.8．(2021·河南安阳二模)焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1 ,它的焦点到渐近线的距离的取值范围是(0,2)．解析：对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0 ,b >0) ,它的焦点(c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为|bc |b 2＋a 2＝b .此题中 ,双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1即x 28－m －y 2m －4＝1 ,其焦点在x 轴上 ,那么⎩⎪⎨⎪⎧8－m >0 m －4>0解得4<m <8 ,那么焦点到渐近线的距离d ＝m －4∈(0,2)．9．设F 1 ,F 2分别是双曲线x 2－y 2b 2＝1的左、右焦点 ,A 是双曲线上在第|一象限内的点 ,假设|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45° ,延长AF 2交双曲线右支于点B ,那么△F 1AB 的面积等于4.解析：由题意可得|AF 2|＝2 ,|AF 1|＝4 ,那么|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|＝|BF 1|.又∠F 1AF 2＝45° ,所以△ABF 1是以AF 1为斜边的等腰直角三角形 ,那么|AB |＝|BF 1|＝2 2 ,所以其面积为12×22×22＝4.10．(2021·福建六校联考)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0 ,b >0)的右焦点为F ,左顶点为A ,以F 为圆心 ,F A 为半径的圆交C 的右支于P ,Q 两点 ,△APQ 的一个内角为60° ,那么双曲线C 的离心率为43.解析：设左焦点为F 1 ,由于双曲线和圆都关于x 轴对称 ,又△APQ 的一个内角为60° ,所以△APQ 为正三角形 ,那么∠PFx ＝60° ,所以PF＝AF ＝a ＋c ,∴PF 1＝3a ＋c ,在△PFF 1中 ,由余弦定理可得PF 21＝PF 2＋FF 21－2PF ·FF 1cos120°.故3c 2－ac －4a 2＝0 ,整理得3e 2－e －4＝0 ,解得e ＝43.三、解答题11．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0 ,b >0)的离心率为 3 ,点( 3 ,0)是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线 ,直线与双曲线交于不同的两点A ,B ,求|AB |.解：(1)∵双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0 ,b >0)的离心率为 3 ,点( 3 ,0)是双曲线的一个顶点 ,∴⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝ 3 a ＝3解得c ＝3 ,b ＝ 6 ,∴双曲线的方程为x 23－y 26＝1.(2)双曲线x 23－y 26＝1的右焦点为F 2(3,0) ,∴经过双曲线右焦点F 2且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33(x －3)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 23－y 26＝1y ＝33(x －3) 得5x 2＋6xA (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2) ,那么x 1＋x 2＝－65 ,x 1x 2＝－275.所以|AB |＝1＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－652－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－275＝1635. 12．(2021·湛江模拟)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0 ,b >0)的右焦点为F (c,0)．(1)假设双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2 ,求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心 ,c 为半径作圆 ,该圆与双曲线在第|一象限的交点为A ,过A 作圆的切线 ,斜率为－ 3 ,求双曲线的离心率．解：(1)因为双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ,所以a ＝b . 所以c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4 , 所以a 2＝b 2＝2 ,所以双曲线方程为x 22－y 22＝1. (2)设点A 的坐标为(x 0 ,y 0) ,所以直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1 ,所以x 0＝3y 0 ,①依题意 ,圆的方程为x 2＋y 2＝c 2 ,将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2,即y 0＝12c ,所以x 0＝32c ,所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32c12c , 代入双曲线方程得34c 2a 2－14c2b 2＝1 , 即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2,② 又因为a 2＋b 2＝c 2 ,所以将b 2＝c 2－a 2代入②式 ,整理得 34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0 , 所以3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋4＝0 , 所以(3e 2－2)(e 2－2)＝0 , 因为e >1 ,所以e ＝ 2 , 所以双曲线的离心率为 2.13．(2021·河南洛阳联考)设F 1 ,F 2分别为双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点 ,过F 1引圆x 2＋y 2＝9的切线F 1P 交双曲线的右支于点P ,T 为切点 ,M 为线段F 1P 的中点 ,O 为坐标原点 ,那么|MO |－|MT |等于( D )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：连接PF 2 ,OT ,那么有|MO |＝12|PF 2| ＝12(|PF 1|－2a )＝12(|PF 1|－6)＝12|PF 1|－3 , |MT |＝12·|PF 1|－|F 1T |＝12|PF 1|－c 2－32＝12|PF 1|－4 ,于是有|MO |－|MT |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－4＝1 ,应选D. 14．(2021·河南适应性测试)F 1 ,F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0 ,b >0)的左、右焦点 ,P 是双曲线上一点 ,假设|PF 1|＋|PF 2|＝6a ,且△PF 1F 2的最|小内角为π6 ,那么双曲线的渐近线方程为( D )A ．y ＝±2xB ．y ＝±12x C ．y ＝±22xD ．y ＝±2x解析：不妨设P 为双曲线右支上一点 ,那么|PF 1|>|PF 2| ,由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ,又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ,所以|PF 1|＝4a ,|PF 2|＝2a .又因为⎩⎪⎨⎪⎧2c >2a 4a >2a 所以∠PF 1F 2为最|小内角 ,故∠PF 1F 2＝π6.由余弦定理 ,可得(4a )2＋(2c )2－(2a )22·4a ·2c ＝32 ,即(3a －c )2＝0 ,所以c ＝3a ,那么b ＝2a ,所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ,应选D.尖子生小题库 - -供重点班学生使用普通班学生慎用15．(2021·河北衡水中学二模)双曲线C ：x 2－y2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2 ,点P 是双曲线C 上的任意一点 ,过点P 作双曲线C 的两条渐近线的平行线 ,分别与两条渐近线交于A ,B 两点 ,假设四边形P AOB (O 为坐标原点)的面积为 2 ,且PF 1→·PF 2→>0 ,那么点P 的横坐标的取值范围为( A )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞ －173∪⎝ ⎛⎭⎪⎫173 ＋∞ B.⎝⎛⎭⎪⎫－173 173C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞ －2173∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2173 ＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－21732173 解析：由题易知四边形P AOB 为平行四边形 ,且不妨设双曲线C 的渐近线OA ：bx －y ＝0 ,OB ：bx ＋yP (m ,n ) ,那么直线PB 的方程为y －n ＝b (x －m ) ,且点P 到渐近线OB 的距离为d ＝|bm ＋n |1＋b 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y －n ＝b (x －m ) bx ＋y ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝bm －n 2b y ＝n －bm 2∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫bm －n 2b n －bm 2 ,∴|OB |＝(bm －n )24b 2＋(n －bm )24＝1＋b 22b |bm －n | ,∴S ▱P AOB ＝|OB |·d ＝|b 2m 2－n 2|2b .又∵m 2－n 2b2＝1 ,∴b 2m 2－n 2＝b 2,∴S ▱P AOB ＝12b .又S ▱P AOB ＝ 2 , ∴b ＝2 2.∴双曲线C 的方程为x 2－y 28＝1 ,∴c ＝3 ,∴F 1(－3,0) ,F 2(3,0) ,∴PF 1→·PF 2→＝(－3－m )(3－m )＋n 2>0 ,即m 2－9＋n 2>0 ,又∵m 2－n28＝1 ,∴m 2－9＋8(m 2－1)>0 ,解得m >173或m <－173 ,∴点P 的横坐标的取值范围为－∞ ,－173∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫173 ＋∞ ,应选A. 16．(2021·河南天一大联考)F 1(－c,0)、F 2(c,0)为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0 ,b >0)的左、右焦点 ,过双曲线C 的左焦点的直线与双曲线C 的左支交于Q ,R 两点(Q 在第二象限内) ,连接RO (O 为坐标原点)并延长交C 的右支于点P ,假设|F 1P |＝|F 1Q | ,∠F 1PF 2＝23π ,那么双曲线C 的离心率为576.解析：如图 ,设|PF 1|＝x ,那么|PF 2|＝x －2a ,作Q 关于原点对称的点S ,连接PS ,RS ,SF 1.公众号：惟微小筑因为双曲线关于原点中|心对称 ,所以|PO |＝|OR | ,S 在双曲线上 ,所以四边形PSRQ 是平行四边形 ,根据对称性知 ,F 2在线段PS上 ,|F 2S |＝|QF 1|＝x ,那么∠F 1PS ＝2π3 ,根据双曲线的定义 ,有|F 1S |＝x＋2a ,所以在△PF 1S 中 ,由余弦定理得(x ＋2a )2＝x 2＋(2x －2a )2－2·x (2x －2a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ,解得x ＝73a ,所以|PF 2|＝13a ,所以在△PF 1F 2中 ,由余弦定理得4c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫73a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×73a ×13a ,整理可得e ＝c a ＝576.。
专题52 双曲线-2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)(原卷版)
1专题52双曲线最新考纲了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).基础知识融会贯通1．双曲线定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0. (1)当2a <|F 1F 2|时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当2a >|F 1F 2|时，P 点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质【知识拓展】 巧设双曲线方程2(1)与双曲线x 2a2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．(2)过已知两个点的双曲线方程可设为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)．重点难点突破【题型一】双曲线的定义及标准方程命题点1 利用定义求轨迹方程 【典型例题】动点P 与点F 1（0，5）与点F 2（0，﹣5）满足|PF 1|﹣|PF 2|＝6，则点P 的轨迹方程为 ． 【再练一题】已知点F 1（﹣3，0）和F 2（3，0），动点P 到F 1、F 2的距离之差为4，则点P 的轨迹方程为（ ） A ． B ． C ．D ．命题点2 利用待定系数法求双曲线方程 【典型例题】设双曲线（a ＞0，b ＞0）的虚轴长为4，一条渐近线为，则双曲线C 的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．【再练一题】 已知双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点F 2的直线l 交双曲线于A 、B 两点，F 1为左焦点． （Ⅰ）求双曲线的方程； （Ⅱ）若△F 1AB 的面积等于6，求直线l 的方程．命题点3 利用定义解决焦点三角形问题【典型例题】3虚轴长为2，离心率e ＝3的双曲线两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交双曲线的一支于A 、B 两点，且|AB |＝8，则△ABF 2的周长为（ ） A ．3 B ．16C ．12D ．24【再练一题】已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2﹣y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则P 到x 轴的距离为（ ） A ．B ．C ．D ．思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF 1－PF 2|＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．(3)利用待定系数法求双曲线方程要先定形，再定量，如果已知双曲线的渐近线方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．【题型二】双曲线的几何性质【典型例题】 已知双曲线C1（a ＞0，b ＞0）的左，右焦点分别为F 1，F 2，抛物线y 2＝2px （p ＞0）与双曲线C有相同的焦点．设P 为抛物线与双曲线C 的一个交点，cos ∠PF 1F 2，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．或B ．或3C ．2或D ．2或3【再练一题】已知双曲线与双曲线没有公共点，则双曲线C 1的离心率的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【题型三】直线与双曲线的综合问题【典型例题】已知双曲线mx 2﹣ny 2＝1与直线y ＝1+2x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为，则的值是（ ） A ．B ．C ．D ．4【再练一题】 已知F 为双曲线C ：1（a ＞b ＞0）的右焦点，AB 是双曲线C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，AF ⊥BF ，且AF 的中点在双曲线C 上，则C 的离心率为（ ） A ．1B ．21C ．D ．1思维升华 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．基础知识训练1．【天津市红桥区2019届高三一模】双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别|为1F 、2F ，点P在C 上，且123PF PF b +=，1294PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率为（ ） A ．43B ．53C 10D 102．【天津市和平区2018-2019学年度第二学期高三年级第三次质量调查】设1e ，2e 分别为具有公共焦点1F ，2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，则222111e e +的值为（ ） A ．12B ．13C ．2D ．不确定3．【甘肃省、青海省、宁夏回族自治区2019届高三5月联考】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若()21210F F F A F A +⋅=u u u u r u u u u r u u u r ，则此双曲线的标准方程可能为（ ）A ．22143x y -=B ．22134x y -=C ．221169x y -=D ．221916x y -=4．【重庆南开中学2019届高三第四次教学检测】过双曲线2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的一个焦点F 1作一条渐近线的垂线，垂足为A ，与另一条渐近线交于点B ，若A 恰好是F 1B 的中点，则双曲线的离心率是（ ）5A 2B 3C ．2D 55．【湖南省雅礼中学2019届高考模拟卷（二)】已知F 是双曲线2218y C x -=：的右焦点，P 是C 左支上一点， 06A （，，当APF ∆周长最小时，则点P 的纵坐标为（ ） A ．66B ．6C ．46D ．86-6．【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试】设双曲线C ：221(0)8x y m m-=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与双曲线C 交于M ，N 两点，其中M 在左支上，N 在右支上.若22F MN F NM ∠=∠，则MN =（ ） A ．2B ．8C ．42D ．47．【广东省2019届高三适应性考试】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，(,0),(,0)(0)A t B t t ->，斜率为13的直线过A 点且与双曲线交于,M N 两点，若2OD OM ON =+u u u r u u u u r u u u r ，0BD MN ⋅=u u u r u u u u r ，则双曲线的离心率为（ ） A 5B ．53C ．102D ．1038．【天津市部分区2019届高三联考一模】已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F ，双曲线的渐近线上点()3,4P 满足12PF PF ⊥，则双曲线的方程为（ ）A ．221169x y -=B ．22134x y -=C ．221916x y -=D ．22143x y -=9．【福建省2019届高三模拟考试】在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线2221(0)4x y a a -=>上的一点C 作两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为A ，B ，若平行四边形OACB 的面积为3，则该双曲线的离心率为（ ）6A 13B 5C 2D 510．【山东省济宁市2019届高三第一次模拟考试】已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =．则该双曲线的离心率为 A ．2 B ．3C 2D 311．【山东省威海市2019届高三二模】设1F ，2F 为双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>的左、右焦点，点()0,2P x a 为双曲线上一点，若12PF F ∆的重心和内心的连线与x 轴垂直，则双曲线的离心率为( )A 6B 5C 6D 512．【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线2y x =在第一象限交于点P ，若抛物线2y x =在点P 处的切线过双曲线的左焦点(4,0)F -，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．4C 171-D 171+ 13．【河南省天一大联考2019届高三阶段性测试（五)】已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点.若2ABF ∆的内切圆与边AB ，2BF ，2AF 分别相切于点M ，N ，P ，且4AP =，则a 的值为________.14．【甘肃省靖远县2019届高三第四次联考】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的一条渐近线与圆2(2)x -+2(1)1y -=相切，则ba=_____． 15．【四川省2019届高三“联测促改”】中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 与圆22:5O x y +=有公共点()21P -，，且圆O 在点P 处的切线与双曲线C 的一条渐近线平行，则该双曲线的实轴长为__________．716．【安徽省皖南八校2019届高三第三次联考】已知P 是双曲线2221(0)y x b b-=>上一点，1F 、2F 是左、右焦点，12PF F ∆的三边长成等差数列，且1290F PF ∠=︒，则双曲线的渐近线方程为__________．17．【安徽省安庆市市示范中学2019届髙三联考】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若双曲线的渐近线上存在点P ，使得122PF PF =，则双曲线C 的离心率的取值范围是__________.18．【山东省青岛市2019届高考模拟检测】直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，为双曲线的右顶点，为坐标原点，若平分，则该双曲线的离心率为_______．19．【河南省开封市2019届高三第三次模拟】已知双曲线的右顶点为，以为圆心， 为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于两点.若，则的离心率为________.20．【福建省厦门市厦门外国语学校2019届高三最后一模】双曲线M 的焦点是12,F F ，若双曲线M 上存在点P ，使12PF F ∆是有一个内角为23π的等腰三角形，则M 的离心率是______； 21．【福建省泉州市2019届高三第二次（5月)质检】已知双曲线C 的中心为O ，左、右顶点分别为12,A A ，左、右焦点为12,F F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于,P Q 两点．若2//PO QF ，12QA QA ⊥，则C 的离心率等于_________．22．【北京市朝阳区2019届高三第二次（5月)综合练习（二模)】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点O （0，0），M （-4，0），N （4，0），P （0，-2），Q （0，2），H （4，2）．线段OM 上的动点A 满足()()01OA OM λλ=∈u u u r u u u u r，；线段HN 上的动点B 满足HB HN λ=u u u r u u u r．直线PA 与直线QB 交于点L ，设直线PA 的斜率记为k ，直线QB 的斜率记为k'，则k•k'的值为______；当λ变化时，动点L 一定在______（填“圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个）上．能力提升训练1．【山西省吕梁市2019届高三上学期第一次模拟考试】已知双曲线分别是双曲线的左右焦点，存在一点点关于点的对称点是点，点关于点的对称点是点，线段的中点在双曲线上，则（）A ．B．4 C ．D．82．【江西省上饶市重点中学2019届高三六校第一次联考】已知点O为双曲线C 的对称中心，直线交于点O 且相互垂直，与C 交于点与C 交于点，若使得成立的直线有且只有一对，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．3．【安徽省淮南市2019届高三第一次模拟考试】已知点是双曲线右支上一点，分别是双曲线的左、右焦点，的内心，若成立，则双曲线的渐近线方程为A ．B ．C ．D ．4．【安徽省淮南市2019届高三第一次模拟考试】已知点是双曲线右支上一点，分别是双曲线的左、右焦点，的内心，若成立，则双曲线的离心率为A．4 B ．C．2 D ．895．【河北省石家庄市2019届高中毕业班3月教学质量检测】已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左，右焦点分别为1F ，2F ，点A 为双曲线右支上一点，线段1AF 交左支于点B .若22AF BF ⊥，且1213BF AF =，则该双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．65 C ．355D ．36．已知A ()3,2是双曲线2213x y -=上一点，1F 是左焦点，B 是右支上一点， 1AF 与1ABF △的内切圆切于点P ，则1F P 的最小值为 ( ) A ．3B ．23C ．332-D ．6322-7．【福建省泉州市2019届高三1月单科质检】已知为双曲线的右焦点，若直线交于两点，且，则的离心率等于______.8．【广西柳州市2019届高三毕业班1月模拟考试高三】已知双曲线的左焦点为，顶点是双曲线右支上的动点，则的最小值等于__________.9．【山西省吕梁市2019届高三上学期第一次模拟考试】已知双曲线的左右焦点分别为右支上一动点，的内切圆的圆心为，半径，则的取值范围为______．10．【四川省泸州市2019届高三第二次教学质量诊断性考试】已知双曲线2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>右支上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，双曲线的右焦点为F ，满足AF BF 0⋅=u u u r u u u r，且πABF 6∠=，则双曲线的离心率e的值是______．10。
2020版高考数学一轮复习课时训练(五十二)双曲线(含解析)新人教A版(2021-2022学年)
课时跟踪检测(五十二) 双曲线一、题点全面练1．(2019·襄阳联考)直线ｌ：4ｘ-5ｙ=2０经过双曲线Ｃ:＼ｆ(x２,a2)-错误!＝1(a＞０，b>0)的一个焦点和虚轴的一个端点，则双曲线C的离心率为( ）Ａ.错误!未定义书签。
ﻩ B.错误!未定义书签。
C。
错误!未定义书签。
ﻩ D.错误!解析：选Ａ由题意知直线ｌ与两坐标轴分别交于点(５,０),(０,－4)，从而ｃ=5，ｂ＝４,∴a=3，双曲线C的离心率e＝错误!未定义书签。
=错误!未定义书签。
．2.(2019·成都模拟)如图,已知双曲线E：错误!未定义书签。
－错误!未定义书签。
＝１(a>0,b＞0）,长方形ABCD的顶点A,B分别为双曲线E的左、右焦点,且点C,Ｄ在双曲线Ｅ上，若|AB|＝6，|ＢC｜=错误!,则此双曲线的离心率为（）A.＼ｒ（２）B.＼ｆ(3,2）C.52ﻩD。
错误!未定义书签。
解析：选B因为２c=|ＡB|=6,所以c=3。
因为错误!未定义书签。
=|BC|＝错误!,所以5a＝2b2.又ｃ2＝a2＋b2,所以9=a2＋错误!，解得ａ=2或ａ＝-错误!（舍去),故该双曲线的离心率e=错误!未定义书签。
＝错误!未定义书签。
,故选B.3.(２018·武汉调研)已知点P在双曲线＼ｆ（x２,a2)-错误!＝１（a>0,ｂ>0)上,PF⊥x轴(其中Ｆ为双曲线的右焦点），点P到该双曲线的两条渐近线的距离之比为错误!未定义书签。
，则该双曲线的离心率为(）A.错误!未定义书签。
B.错误!未定义书签。
Ｃ。
错误! D.错误!解析：选A 由题意知F（c,0),由PF⊥x轴,不妨设点P在第一象限，则P错误!,双曲线的渐近线方程为ｂx±aｙ=0,由题意，得错误!未定义书签。
=错误!，解得c=２b，又ｃ２＝ａ2＋b2，所以a＝＼ｒ（3）ｂ，所以双曲线的离心率e＝错误!＝=错误!未定义书签。
．４.(２0１８·全国卷Ⅰ）已知双曲线C：错误!－y2=1，O为坐标原点,F为C的右焦点,过Ｆ的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OＭN为直角三角形,则|MＮ|=（ ) A．错误!未定义书签。
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课时跟踪检测（五十二） 双曲线[A 级 基础题——基稳才能楼高]1．(2018·浙江高考)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( )A ．(－2，0)，(2，0)B ．(－2,0)，(2,0)C ．(0，－2)，(0，2)D ．(0，－2)，(0,2)解析：选B ∵双曲线方程为x 23－y 2＝1，∴a 2＝3，b 2＝1，且双曲线的焦点在x 轴上， ∴c ＝a 2＋b 2＝3＋1＝2，即得该双曲线的焦点坐标为(－2,0)，(2,0)．2．(2019·南宁摸底联考)双曲线x 225－y 220＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±45xB ．y ＝±54xC ．y ＝±15xD ．y ＝±255x解析：选D 在双曲线x 225－y 220＝1中，a ＝5，b ＝25，∴其渐近线方程为y ＝±255x ，故选D.3．(2019·合肥调研)下列双曲线中，渐近线方程不是y ＝±34x 的是( )A.x 2144－y 281＝1 B.y 218－x 232＝1 C.y 29－x 216＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：选D 对于A ，渐近线方程为y ＝±912x ＝±34x ；对于B ，渐近线方程为y ＝±1832x ＝±34x ；对于C ，渐近线方程为y ＝±34x ；对于D ，渐近线方程为y ＝±32x ．故选D.4．(2019·铜陵模拟)已知双曲线x 24－y 22＝1的右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点A (0，2)，则△APF 周长的最小值为( ) A ．4(1＋2) B ．4＋ 2 C ．2(2＋6)D.6＋3 2解析：选A 设双曲线的左焦点为F ′，易得点F (6，0)，△APF 的周长l ＝|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋2a ＋|PF ′|＋|AP |，要使△APF 的周长最小，只需|AP |＋|PF ′|最小，易知当A ，P ，F ′三点共线时取到，故l ＝2|AF |＋2a ＝4(1＋2)．故选A.5．(2019·合肥一模)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝－2x ，则该双曲线的离心率是( )A ．52B ． 3解析：选C 由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，且双曲线的一条渐近线方程为y ＝－2x ，得b a ＝2，则b ＝2a ，则双曲线的离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝a 2＋4a 2a ＝5a a＝ 5.故选C. 6．(2019·德州一模)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点在抛物线y 2＝16x 的准线上，且双曲线的一条渐近线过点(3，3)，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 220＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 24－y 212＝1 D.x 220－y 24＝1 解析：选C 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，由双曲线的一条渐近线过点(3，3)， 可得ba＝3，①由双曲线的一个焦点(－c,0)在抛物线y 2＝16x 的准线x ＝－4上，可得c ＝4， 即有a 2＋b 2＝16，②由①②解得a ＝2，b ＝23， 则双曲线的方程为x 24－y 212＝1.故选C.[B 级 保分题——准做快做达标]1．(2017·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( ) A.13 B.12 C.23D.32解析：选D 法一：由题可知，双曲线的右焦点为F (2,0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2,3)，因为点A (1,3)，所以AP ∥x 轴，又PF ⊥x 轴，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32. 法二：由题可知，双曲线的右焦点为F (2,0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2,3)，因为点A (1,3)，所以AP ―→＝(1,0)，PF ―→＝(0，－3)，所以AP ―→·PF ―→＝0，所以AP ⊥PF ，所以S△APF＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32. 2．(2019·黄冈质检)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM (切点为M )，交y轴于点P ，若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为( )C ．2D. 5解析：选A 连接OM .由题意知OM ⊥PF ，且|FM |＝|PM |，∴|OP |＝|OF |， ∴∠OFP ＝45°，∴|OM |＝|OF |·sin 45°，即a ＝c ·22，∴e ＝ca ＝ 2.故选A.3．(2019·银川模拟)已知双曲线x 2a 2－y 21－a 2＝1(0＜a ＜1)的离心率为2，则a 的值为( )A.12B.22C.13D.33解析：选B ∵c 2＝a 2＋1－a 2＝1，∴c ＝1，又c a ＝2，∴a ＝22，故选B.4．(2019·辽宁五校联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为5，从双曲线C 的右焦点F 引渐近线的垂线，垂足为A ，若△AFO 的面积为1，则双曲线C 的方程为( ) A ．x 22－y 28＝1B ．x 24－y 2＝1C ．x 24－y 216＝1D ．x 2－y 24＝1解析：选D 因为双曲线C 的右焦点F 到渐近线的距离|FA |＝b ，|OA |＝a ，所以ab ＝2，又双曲线C 的离心率为5，所以1＋b 2a 2＝5，即b 2＝4a 2，解得a 2＝1，b 2＝4，所以双曲线C 的方程为x 2－y 24＝1，故选D. 5．(2019·黄山一诊)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，F 1，F 2为C 的焦点，A 为双曲线上一点，若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1等于( ) A.32 B.54C.55D.14解析：选C 因为双曲线的一条渐近线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以b ＝2a .又|F 1A |＝2|F 2A |，且|F 1A |－|F 2A |＝2a ，所以|F 2A |＝2a ，|F 1A |＝4a ，而c 2＝5a 2，得2c ＝25a ，所以cos ∠AF 2F 1＝|F 1F 2|2＋|F 2A |2－|F 1A |22|F 1F 2||F 2A |＝20a 2＋4a 2－16a 22×25a ×2a＝55，故选C. 6．(2019·天津和平一模)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为32，过右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为M .若△FOM 的面积为5，其中O 为坐标原点，则双曲线的方程为( ) A ．x 2－4y 25＝1B.x 22－2y 25＝1C.x 24－y25＝1 D.x 216－y220＝1 解析：选C 由题意可知e ＝c a ＝32，可得b a ＝52，取一条渐近线为y ＝bax ，可得F 到渐近线y ＝b a x 的距离d ＝bca 2＋b 2＝b ，在Rt △FOM 中，由勾股定理可得|OM |＝|OF |2－|MF |2＝c 2－b 2＝a ，由题意可得12ab ＝5，联立⎩⎨⎧b a ＝52，12ab ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝5，所以双曲线的方程为x 24－y 25＝1.故选C.7．(2019·湘中名校联考)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，与双曲线的渐近线交于C ，D 两点，若|AB |≥35|CD |，则双曲线离心率的取值范围为( )A.⎣⎡⎭⎫53，＋∞B.⎣⎡⎭⎫54，＋∞C.⎝⎛⎦⎤1，53D.⎝⎛⎦⎤1，54解析：选B 将x ＝c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y ＝±b 2a ，不妨取A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a ，所以|AB |＝2b 2a . 将x ＝c 代入双曲线的渐近线方程y ＝±b a x ，得y ＝±bca ， 不妨取C ⎝⎛⎭⎫c ，bc a ，D ⎝⎛⎭⎫c ，－bc a ，所以|CD |＝2bca . 因为|AB |≥35|CD |，所以2b 2a ≥35×2bc a ，即b ≥35c ，则b 2≥925c 2，即c 2－a 2≥925c 2，即1625c 2≥a 2，所以e 2≥2516，所以e ≥54. 8．(2019·桂林模拟)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上存在一点P 满足以|OP |为边长的正方形的面积等于2ab (其中O 为坐标原点)，则双曲线离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤1，52 B.⎝⎛⎦⎤1，72 C.⎣⎡⎭⎫52，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫72，＋∞解析：选C 由条件得|OP |2＝2ab .又∵P 为双曲线上一点，∴|OP |≥a ，∴2ab ≥a 2，∴2b ≥a .又∵c 2＝a 2＋b 2≥a 2＋a 24＝54a 2，∴e ＝c a ≥52.∴双曲线离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫52，＋∞. 9．(2019·惠州调研)已知O 为坐标原点，设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2＝1的左、右焦点，P 为双曲线左支上任一点，过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH |＝( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．12解析：选A 如图，延长F 1H 交PF 2于点Q ，由PH 为∠F 1PF 2的平分线及PH ⊥F 1Q ，可知|PF 1|＝|P Q |，根据双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝2，从而|Q F 2|＝2，在△F 1Q F 2中，易知OH 为中位线，故|OH |＝1.故选A.10．(2019·郑州模拟)设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b＞0)的左、右焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( ) A ．x ±2y ＝0 B ．2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0解析：选B 假设点P 在双曲线的右支上，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .∵|F 1F 2|＝2c ＞2a ，∴△PF 1F 2最短的边是PF 2， ∴△PF 1F 2的最小内角为∠PF 1F 2.在△PF 1F 2中，由余弦定理得4a 2＝16a 2＋4c 2－2×4a ×2c ×cos 30°， ∴c 2－23ac ＋3a 2＝0，∴e 2－23e ＋3＝0，∴e ＝3，∴ca ＝3，∴c 2＝3a 2，∴a 2＋b 2＝3a 2，∴b 2＝2a 2，∴ba ＝2，∴双曲线的渐近线方程为2x ±y ＝0，故选B.11．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.解析：∵双曲线的标准方程为x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3a x .又双曲线的一条渐近线方程为y ＝35x ，∴a ＝5.答案：512．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________． 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知|AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p 2，|OF |＝p2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py 消去x ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，所以y 1＋y 2＝2pb 2a 2，所以2pb 2a 2＝p ，即b 2a 2＝12，故b a ＝22， 所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .答案：y ＝±22x13．(2019·成都毕业班摸底测试)已知双曲线x 2a 2－y 22＝1(a ＞0)和抛物线y 2＝8x 有相同的焦点，则双曲线的离心率为________．解析：易知抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，所以双曲线x 2a 2－y 22＝1的焦点为(2,0)，则a 2＋2＝22，即a ＝2，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝22＝ 2.答案： 214．(2019·南昌调研)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过点F 作圆(x －a )2＋y 2＝c 216的切线，若该切线恰好与C 的一条渐近线垂直，则双曲线C 的离心率为________．解析：不妨取与切线垂直的渐近线方程为y ＝b a x ，由题意可知该切线方程为y ＝－ab (x －c )，即ax ＋by －ac ＝0.又圆(x －a )2＋y 2＝c 216的圆心为(a,0)，半径为c 4，则圆心到切线的距离d ＝|a 2－ac |a 2＋b2＝ac －a 2c ＝c 4，又e ＝c a ，则e 2－4e ＋4＝0，解得e ＝2. 答案：215．(2019·西安铁一中模拟)已知点F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2－y 2b2＝1(b ＞0)的左、右焦点，过F 2作垂直于x轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，∠MF 1F 2＝30°. (1)求双曲线C 的方程；(2)过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P 1，P 2，求PP 1―→·PP 2―→的值． 解：(1)由题易知F 2(1＋b 2，0)，可设M (1＋b 2，y 1)．因为点M 在双曲线C 上且在x 轴上方，所以1＋b 2－y 21b2＝1，得y 1＝b 2，所以|F 2M |＝b 2.在Rt △MF 2F 1中，∠MF 1F 2＝30°，|MF 2|＝b 2，所以|MF 1|＝2b 2.由双曲线的定义可知，|MF 1|－|MF 2|＝b 2＝2，故双曲线C 的方程为x 2－y22＝1.(2)易知两条渐近线方程分别为l 1：2x －y ＝0，l 2：2x ＋y ＝0. 设双曲线C 上的点P (x 0，y 0)，两条渐近线的夹角为θ， 不妨设P 1在l 1上，P 2在l 2上，则点P 到两条渐近线的距离分别为|PP 1|＝|2x 0－y 0|3，|PP 2|＝|2x 0＋y 0|3. 因为P (x 0，y 0)在双曲线x 2－y 22＝1上，所以2x 20－y 20＝2，又易知cos θ＝13，所以PP 1―→·PP 2―→＝|2x 0－y 0|3·|2x 0＋y 0|3cos θ＝|2x 20－y 20|3·13＝29.16．(2019·湛江模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．解：(1)因为双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，所以a ＝b ， 所以c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4，所以a 2＝b 2＝2， 所以双曲线的方程为x 22－y 22＝1.(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，所以直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1，所以x 0＝3y 0，①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ， 所以x 0＝32c ，所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫32c ，12c ，代入双曲线方程得34c 2a 2－14c 2b 2＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2，② 又因为a 2＋b 2＝c 2，所以将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0，所以3⎝⎛⎭⎫c a 4－8⎝⎛⎭⎫c a 2＋4＝0， 所以(3e 2－2)(e 2－2)＝0， 因为e ＞1，所以e ＝2， 所以双曲线的离心率为 2.。