空间向量及其运算学案(二)

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学案2：8.5 空间向量及其运算

8.5 空间向量及其运算导学目标1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直．考点梳理1．空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有和的量叫做空间向量，其大小叫做向量的______ 或．(2)相等向量：方向且模的向量．(3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线或，则这些向量叫做_________或，a平行于b记作a∥b.(4)共面向量：平行于同一的向量叫做共面向量．2．空间向量中的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb.(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积 a ·b 共线 a ＝λb (b ≠0) 垂直 a ·b ＝0 (a ≠0，b ≠0)模|a |a 21＋a 22＋a 23夹角〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0)cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 235.用空间向量解决几何问题的一般步骤： (1)适当的选取基底{a ，b ，c }； (2)用a ，b ，c 表示相关向量； (3)通过运算完成证明或计算问题．典例探究考向1 空间向量的线性运算【例1】三棱锥O －ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是△ABC 的重心，用基向量OA →，OB →，OC →表示MG →，OG →.变式训练1 如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1中，ABCD 是平行四边形，若AE →＝12EC →，A 1F→＝2FD →，AB →＝b ，AD →＝c ，AA 1→＝a ，试用a ，b ，c 表示EF →.考向2 共线向量与共面向量定理的应用【例2】如图所示，已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →(0≤k ≤1)．(1)向量MN →是否与向量AB →，AA 1→共面？ (2)直线MN 是否与平面ABB 1A 1平行？变式训练2 已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →＝13(OA →＋OB →＋OC →)． (1)判断MA →、MB →、MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内．考向3 空间向量的数量积及其应用【例3】如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝CD ＝1，∠ACD ＝90°，把△ADC 沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成60°角，求BD 的长．变式训练3 如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1的长；(2)求BD 1与AC 夹角的余弦值．能力提升1．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，现用基向量OA →、OB →、OC →表示向量OG →，设OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别是( )A ．x ＝13，y ＝13，z ＝13B ．x ＝13，y ＝13，z ＝16C ．x ＝13，y ＝16，z ＝13D ．x ＝16，y ＝13，z ＝132．已知O 点为空间直角坐标系的原点，向量OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，且点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时，OQ →的坐标是________．答案考点梳理1．(1)大小方向长度模 (2)相同相等(3)平行重合共线向量平行向量 (4) 平面 4．a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0【例1】【解析】结合图形，利用空间向量的加减法和数乘运算求解．【答案】 MG →＝MA →＋AG →＝12OA →＋23AN →＝12OA →＋23(ON →－OA →) ＝12OA →＋23⎣⎡⎦⎤12OB →＋OC →－OA →＝－16OA →＋13OB →＋13OC →.OG →＝OM →＋MG →＝12OA →－16OA →＋13OB →＋13OC →＝13OA →＋13OB →＋13OC →. 规律方法1 1.选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．2．空间向量问题实质上是转化为平面向量问题来解决的，即把空间向量转化到某一个平面上，利用三角形法则或平行四边形法则来解决．变式训练1【解】如图，连接AF ，则EF →＝EA →＋AF →.由已知ABCD 是平行四边形，故AC →＝AB →＋AD →＝b ＋c ， A 1D →＝A 1A →＋AD →＝－a ＋c .由已知，A 1F →＝2FD →，∴AF →＝AD →＋DF →＝AD →－FD →＝AD →－13A 1D →＝c －13(c －a )＝13(a ＋2c )，又EA →＝－13AC →＝－13(b ＋c )，∴EF →＝EA →＋AF →＝－13(b ＋c )＋13(a ＋2c )＝13(a －b ＋c )．【例2】【解析】 (1)在图形中，用向量AB →，AA 1→表示向量MN →. (2)用共面向量的概念判定MN 是否与平面ABB 1A 1平行．【答案】 (1)∵AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →， ∴MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝kC 1A →＋AB →＋kBC → ＝k (C 1A →＋BC →)＋AB →＝k (C 1A →＋B 1C 1→)＋AB → ＝kB 1A →＋AB →＝AB →－kAB 1→＝AB →－k (AA 1→＋AB →) ＝(1－k )AB →－kAA 1→，∴由共面向量定理知向量MN →与向量AB →，AA 1→共面．(2)当k ＝0时，点M 、A 重合，点N 、B 重合，MN 在平面ABB 1A 1内，当0＜k ≤1时，MN 不在平面ABB 1A 1内，又由(1)知MN →与AB →、AA 1→共面，所以MN ∥平面ABB 1A 1.规律方法2 应用共线(面)向量定理、证明点共线(面)的方法比较三点(P ，A ，B )共线空间四点(M ，P ，A ，B )共面P A →＝λPB →MP →＝xMA →＋yMB →对空间任一点O ，OP →＝OA →＋tAB →对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋(1－x )OB →对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋(1－x －y )OB →变式训练2【解】 (1)由已知OA →＋OB →＋OC →＝3OM →， ∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)，即MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →， ∴MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知MA →，MB →，MC →共面且过同一点M ，所以四点M ，A ，B ，C 共面，从而点M 在平面ABC 内．【例3】【解析】用AB →，AC →，CD →表示BD →，根据|BD →|＝BD →2求解．【答案】 ∵AB 与CD 成60°角， ∴〈BA →，CD →〉＝60°或120°，又∵AB ＝AC ＝CD ＝1，AC ⊥CD ，AC ⊥AB ， ∴|BD →|＝BD →2＝BA →＋AC →＋CD→2＝BA →2＋AC →2＋CD →2＋2BA →·AC →＋2AC →·CD →＋2BA →·CD → ＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos 〈BA →，CD →〉＝3＋2cos 〈BA →，CD →〉∴|BD →|＝2或 2. ∴BD 的长为2或 2. 规律方法31.利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．2．利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题． (1)a ≠0，b ≠0，a ⊥b ⇔a ·b ＝0； (2)|a |＝a 2；(3)cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |.变式训练3【解】 (1)记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， ∴a·b ＝b·c ＝c·a ＝12.|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b·c ＋c·a ) ＝1＋1＋1＋2×⎝⎛⎭⎫12＋12＋12＝6， ∴|AC 1→|＝6，即AC 1的长为 6. (2)同(1)得，BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ， ∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3，BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b )＝b 2－a 2＋a ·c ＋b·c ＝1. ∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝66.∴AC 与BD 1夹角的余弦值为66. 能力提升1．【解析】由题图知，OG →＝OM →＋MG →＝OM →＋23MN →＝OM →＋23(MO →＋OC →＋CN →)＝13OM →＋23OC →＋13(OB →－OC →) ＝16OA →＋13OB →＋13OC →. 【答案】 D2．【解析】 ∵点Q 在直线OP 上， ∴设点Q (λ，λ，2λ)，则QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)， QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，QA →·QB →＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6⎝⎛⎭⎫λ－432－23.当λ＝43时，QA →·QB →取得最小值－23.此时OQ →＝⎝⎛⎭⎫43，43，83. 【答案】 ⎝⎛⎭⎫43，43，83。

《空间向量的运算(2)》示范公开课教案【高中数学北师大】

《空间向量的运算(2)》教案1.经历由平面向量的运算和运算规则推广到空间向量的运算和运算规则的过程，体会从二维空间到三维空间的变化，培养学生迁移的能力；2.掌握空间向量的数量积运算．重点：空间向量的数量积运算．难点：空间向量的数量积的计算方法，几何意义，立体几何问题的转化．一、情境导入情境：上节课我们类比平面向量，把向量的概念及线性运算由平面向空间进行了推广，并用空间向量及其线性运算解决了一些立体几何问题．我们知道，平面向量除了线性运算以外，还有数量积运算．平面向量的数量积运算在研究角度、距离等几何问题时，有非常广泛的应用．今天我们就继续类比平面向量，来学习空间向量的数量积运算．设计意图：通过类比平面向量，引导学生进行思考，为讲解空间向量的数量积作铺垫．二、新知探究问题1：你还记得平面向量的数量积运算是怎么定义的吗？答案：两个非零平面向量a，b的数量积是一个实数，等于这两个向量的模和它们夹角余弦值的乘积，即：a·b=|a|·|b|cos〈a，b〉．追问1：什么是平面向量的夹角？答案：两个非零向量a，b，在平面内任取一点O，作OA⃗⃗⃗⃗⃗ =a，OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．规定0≤〈a，b〉≤π．追问2：你能类比平面向量，给出空间向量夹角的定义吗？答案：两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作OA⃗⃗⃗⃗⃗ =a，OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．通常规定0≤〈a，b〉≤π．◆教学目标◆教学重难点◆◆教学过程在此规定下，两个向量的夹角被唯一确定，并且〈a，b〉=〈b，a〉．当〈a，b〉=0时，向量a与b方向相同；当〈a，b〉=π时，向量a与b方向相反；当〈a，b〉=π2时，称向量a与b互相垂直，记作a⊥b．规定：零向量与任意向量垂直．问题2：能否类比平面向量，得到空间向量的数量积运算的定义呢？由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此两个空间向量数量积的定义和平面向量数量积的定义完全一致．即：已知两个非零向量a，b，把|a|·|b|cos〈a，b〉叫作a与b的数量积，记作a·b．a·b=|a|·|b|cos〈a，b〉．与平面向量类似，空间向量的数量积也是一个实数，容易得到以下结论：（1）cos〈a，b〉=a·b|a|·|b|(a≠0，b≠0)；（2）|a|=√a·a；（3）a⊥b⇔ a·b=0．追问：向量的数量积运算有哪些运算律？如何证明？答案：与平面向量类似，空间向量的数量积运算也满足如下运算律：（1）交换律：a·b=b·a；（2）分配律：a·(b+c)=a·b+a·c；（3）(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R)．【概念巩固】判断下列命题是否正确：（1）由a·b=0，可得a=0或b=0；（2）对于三个非零向量a，b，c，由a·b=a·c，可得到b=c；（3）对于两个非零向量a，b，由a·b=k，可得到a=kb 或b=ka．（4）对于向量a，b，c，有(a·b)·c=a·(b·c)．答案：（1）不一定，因为a·b=|a|·|b|cos〈a，b〉=0，所以|a|=0或|b|=0或cos〈a，b〉=0．即a=0或b=0或a⊥b；（2）不一定，由a·b=a·c，有a·(b−c)=0，从而有b=c或a⊥(b−c)；（3）不能，向量没有除法运算；（4）不一定，两个向量的数量积为一个实数，(a·b)·c和a·(b·c)分别表示与向量c和向量a 共线的向量，它们不一定相等．即向量的数量积运算没有结合律．问题3：我们在平面向量中学习过投影向量的概念，你还记得什么是投影向量吗？能推广到空间向量中吗？答案：由于任意两个空间向量总能通过平移变成同一平面内的向量，因此平面向量的投影概念可以直接推广到空间中．已知两个非零向量a ·b ，在空间任取一点O ，作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，过点B 作直线OA 的垂线，垂足为点B 1，称向量OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为向量b 在向量a 方向上的投影向量，其长度等于||b |cos 〈a ，b 〉|．当〈a ，b 〉为锐角时，|b |cos 〈a ，b 〉>0；当〈a ，b 〉为钝角时，|b |cos 〈a ，b 〉<0；当〈a ，b 〉=π2时，|b |cos 〈a ，b 〉=0．若用a 0表示与向量a (a ≠0)同方向的单位向量，则向量b 在向量a 方向上的投影向量为OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|b |cos 〈a ，b 〉a 0．因此，称|b |cos 〈a ，b 〉为投影向量OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的数量，简称为向量b 在向量a 方向上的投影数量．结合空间向量数量积的定义可知：向量b 在向量a 方向上的投影数量为|b |cos 〈a ，b 〉=a·b|a |=a 0·b ．设计意图：类比平面向量，得出空间向量的数量积运算，进一步引导学生对空间向量数量积运算的运算律进行推广．三、应用举例例1：如图，已知单位正方体ABCD −A′B′C′D′，（1）指出向量CA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别在CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影向量；（2）求向量CA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在CB⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影数量；（3）求向量CA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影数量．解：（1）根据正方体的性质知：A′B ⊥CB ，A′D ⊥CD ，A′C′⊥CC′，所以向量CA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD⃗⃗⃗⃗⃗ ，CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影向量分别为：CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；（2）因为〈CA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=∠A′CB ，所以向量CA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影数量为： |CA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠A′CB =|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1；（3）因为〈CA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=π−∠A′CB ，所以向量CA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影数量为： |CA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos (π−∠A′CB )=−|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−1．例2：如图，已知四棱柱ABCD −A′B′C′D′的底面ABCD 是边长为1的菱形，且∠C′CB =∠C′CD =∠BCD =π3，DD′=2．求：（1）DD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ；（2）DD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )；（3）|CB⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |．解：（1）因为∠D′DA =∠C′CB =π3，所以DD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =|DD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠D′DA =1；（2）因为DD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，而CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =|CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠C′CD =1， CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠C′CB =1，所以DD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CC ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1−1=0；（3）|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD⃗⃗⃗⃗⃗ +CC ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =√CB⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√11．总结：空间向量数量积的计算问题的解题思路1．在几何体中求空间向量数量积的步骤：(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；(3)代入a ·b =|a |·|b |cos 〈a ，b 〉求解．2．长方体、四面体等是研究空间向量的常见载体，要熟悉其结构特点，善于挖掘隐含的垂直关系或特殊角等．四、课堂练习1.（多选）设a ，b 为空间中的两个非零向量，则下列各式正确的是( )A ． a 2=|a |2B ．a·b a 2=b aC ．(a ·b )2=a 2·b 2D ．(a −b )2=a 2−2a ·b +b 22.已知|a |=3，|b |=2，a ·b =−3，则〈a ，b 〉=________．3.如图，在长方体ABCD −A′B′C′D′中，已知|AB |=5，|AD |=4，|AA′|=3，则向量AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗在DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影数量为________，向量AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在AA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向的投影数量为________．参考答案：1．解：a·ba 2=|a ||b |cos 〈a ，b 〉|a ||a |=|b |cos 〈a ，b 〉|a |，故B 错误； (a ·b )2=(|a ||b |cos 〈a ，b 〉)2=|a |2|b |2cos 2〈a ，b 〉，故C 错误；本题选AD ．2.解：因为cos 〈a ，b 〉=a·b |a |·|b |=−33×2=−12．所以〈a ，b 〉=2π3．3.解：向量AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影数量为|AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos (π−∠C′AD )=−|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−4，向量AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在AA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向的投影数量为：|AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠C′AA′=|AA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3．五、课堂小结说明：空间向量没有除法运算；空间向量的数量积不满足结合律.设计意图：引导学生对本节课所学知识方法有一个全面的认识，培养学生的归纳总结能力，帮助学生深化对知识的理解与掌握，体会研究解决实际问题的思路、途径、方法，为进一步学习打下坚实基础．六、布置作业教材第103页练习第2，3，4题．。

高中数学 3.1空间向量及其运算学案苏教版选修2-1(2)

3.1.1空间向量及其线性运算一、学习目标：1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质；3．理解空间向量共线的充要条件重点难点：1 空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质；2 空间向量的线性运算及其性质。

二、课前自学回顾平面向量的概念及其运算法则；平面向量共线定理 1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量.注：⑴ 空间的一个平移就是一个向量；⑵ 向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量； ⑶ 空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示.2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）b a +=+=b a -=-= )(R a OP ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)(3．共线向量与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量.a 平行于b 记作b a //.1/B 规定：当我们说向量a、b共线（或a//b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线.4．共线向量定理：三、问题探究例1、如图，在三棱柱111CBAABC-中，M是1BB的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：（1）1BA+；（2）121AACBAC++；（3）AA--1例2、如图，在长方体///BDCAOADB-中，1,2,4,3======OKOJOIOCOBOA，点E,F分别是//,BDDB的中点，设kOKjOJiOI===,,，试用向量kji,,表示和四、反馈小结课本83页练习1－6小结：3.1.2 共面向量定理一、学习目标：1．了解共面向量的含义，理解共面向量定理；2．利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题重点难点：1 共面向量的含义，理解共面向量定理；2 利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题。

空间向量及其运算导学案

空间向量及其运算导学案学科：高二数学课型：新授课课时：3课时编写时间：2013.3.12编写人：万秋红审核人：刘刚班级：姓名：【导案】【学习目标】1．了解空间向量的概念。

2．掌握空间向量的线性运算，数量积的定义和运算。

【学习重点、难点】重点：空间向量的概念及其运算。

【学案】1．空间向量(1)空间向量的定义在空间，把具有____________和_________的量叫做空间向量，向量的________叫做向量的长度或模.(2)空间向量的表示方法空间向量用___________表示，有向线段的___________表示向量的模. 如图，a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为___________或___________.(3)特殊向量①零向量：规定______________的向量叫做向量，记为_______________.②单位向量：___________的向量称为单位向量.③相反向量：与________长度________而方向__________的向量称为__________的相反向量，记为__________.④相等向量：方向__________且模__________的向量称为相等向量. 在空间中，____________的有向线段表示同一向量或相等向量.2．空间向量的加法、减法类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算（如图）：==a＋b；+CA a－b.OA-=OC=3．空间向量加法的运算律(1)交换律 a ＋b ＝________________；(2)结合律：（a ＋b ）＋c ＝_________________. 4．空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a 的乘积___________仍是一个_____________，称为向量的数乘运算.(3)空间向量的数乘运算律①分配律：λ(a ＋b )＝______________； (λ＋μ)a ＝_______________；②结合律：λ(μa )＝_________________. 5．共线向量 (1)(2)共线向量定理对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0), a //b 的充要条件是存在实数λ使_____________. (3)共线向量的推论如果l 为经过点A 平行于已知非零向量a 的直线，那么对于空间任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 使ta OA OP +=①，其中a 叫直线l 的_____________，如图所示.若在l上取=a，则①式可化为______________.6．共面向量(1)共面向量的概念平行于_____________的向量叫做共面向量.(2)共面向量定理若两个向量a，b不共线，则向量p与a, b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x, y）使____________.7．空间向量的夹角(1)夹角的定义已知两个非零向量a、b，在空间任取一点O，作＝a，=b，则_________叫做向量a、b的夹角，记为________________.(2)夹角的范围空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是_____________. 特别地，当θ=0时，两向量_______________；当θ＝π时，两向量__________，所以若a//b，则（a, b）＝____________；当_______________时，两向量垂直，记为_____________.8．两个向量的数量积的定义已知两个非零向量a和b，则_______________叫做向量a与b的____________，记为a·b，即a·b＝________________.规定，零向量与任何向量的数量积为0，即________________.9．两个向量数量积的性质若a、b是非零向量，e是单位向量，θ是a与e的夹角，则(1)e·a＝_______________.(2)a⊥b⇔_________________.(3)若a与b同向，则a·b＝_________________；若a与b反向，则a·b＝_______________.a⋅.特别地：a·a＝|a|2或|a|＝acos＝_____________.(4)若θ为a、b的夹角，则θ(5)|a·b|_______________|a| |b|.10．两个向量数量积的运算律(1)（结合律）(λa)·b＝__________________；(2)（交换律）a·b＝____________________；(3)（分配律）a·(b＋c)＝________________.11．三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的_____________，那么它也和这条斜线垂直.12．三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的____________，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直.例1 如图，已知平行四边形ABCD ，过平面AC 外一点O 作射线OA ，OB ，OC ，OD ，在四条射线上分别取点E ，F ，G ，H ，并且使k ODOHOC OG OB OF OA OE ====，求证：H G F E ,,,四点共面.例2 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.已知：如图，PO, PA 分别是平面α的垂线、斜线，AO 是PA 在平面α内的射影，α⊂l ，且OA l ⊥，求证：PA l ⊥.例3 如图，m, n 是平面α内的两条相交直线. 如果m l ⊥，n l ⊥，求证：α⊥l .分析：要证明α⊥l ，就是要证明l 垂直于α内的任何一条直线g （直线和平面垂直的定义）. 如果我们能在g 和m ，n 之间建立某种联系，并由m l ⊥，n l ⊥，得到g l ⊥，就能解决此问题.空间向量及其加减运算练案（一）学科：数学编写人：万秋红审核人：刘刚编写时间：2013.3.12 班级：姓名：评分：【A 级】1．给出以下命题：①空间中任意两个单位向量必相等； ②0无方向；③若空间向量m , n , p 满足m ＝n , n ＝p ，则m ＝p ； ④若空间向量a 、b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；⑤两个空间向量相等，则它们的起点和终点均相同. 其中不正确命题的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3D. 42．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，下列各式运算的结果为1AC 的共有（） ①1)(CC BC AB ++ ②1)(DD BC AB ++ ③1)(CC ++ ④1)(DD ++ ⑤111)(D A AA ++ ⑥1)(AA AD AB ++A. 2个B. 3个C. 4个D. 6个 3．两个向量（非零向量）的模相等是两个向量相等的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4．设a 表示向东3m ，b 表示向北4m ，c 表示向上5m ，则（） A. a －b ＋c 表示向东3m ，向南4m ，向上5m B. a ＋b －c 表示向东3m ，向北4m ，向上5m C. 2a －b ＋c 表示向东3m ，向南4m ，向上5m D. 2(a ＋b ＋c )表示向东6m ，向北8m ，向上5m5．已知空间四边形ABCD ，连结AC 、BD ，设M 、G 分别是BC 、CD 的中点，则+-等于（）A.23B. 3C. 3GMD. 2MG6．化简+-所得的结果是（） A.B.C. 0D.7．如图所示，已知平行六面体1111—D C B A ABCD ，在下列选项中，与相等的向量是（） A. AB B. 11C A C. 11A B D. 18．已知向量a 、b 是两个非零向量，a 0、b 0是与a 、b 同方向的单位向量，那么下列各式中正确的是（） A. a 0＝b 0 B. a 0＝b 0或a 0＝－b 0 C. a ０＝1 D. |a 0|＝|b 0|【B 级】1．如图所示，空间四边形ABCD 中，CD BC AB ++＝________________.2．在平行六面体''''—D C B A ABCD 中，=a ，=b ，＝c ，则'＝__________，A '＝_________________.3．已知平行六面体''''—D C B A ABCD ，M 是'AA 的中点，点G 在对角线C A '上且1:2':=GA CG ，设=a ，＝b ，＝c ，试用a 、b 、c 表示、'、、.【C 级】1．已知平行六面体''''—D C B A ABCD ，化简下列表达式： (1)D D -+-+''； (2)''-+-.2．如图，M 、N 分别是四面体ABCD 的棱AB 、CD 的中点，求证：)(21+=.3．如图所示，在长、宽、高分别为AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中： (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为5的所有向量. (3)试写出与向量相等的所有向量. (4)试写出向量1的相反向量.空间向量及其加减运算练案（二）学科：数学编写人：万秋红审核人：刘刚编写时间：2013.3.12 班级：姓名：评分：【A 级】1．给出以下命题：①用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面； ②已知空间四边形ABCD ，则由四条线段AB 、BC 、CD 、DA 分别确定的四个向量之和为零向量； ③若存在有序实数对（x, y ）使得y x +=，则O 、P 、A 、B 四点共面； ④若三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面. 其中正确命题的序号是____________. 2．下列说法正确的是（）A. 以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体.B. 设平行六面体的三条棱是AB 、1AA 、AD ，则这一平行六面体的对角线所对应的向量是AD AA AB ++1C. 若)(21+=成立，则P 点一定是线段AB 的中点. D. 在空间中，若向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共面. 3．已知''''—D C B A ABCD 是平行六面体. (1)化简AA 32'21++； (2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面''B BCC 对角线'BC 上的43分点，设'γβα++=，试求γβα,,的值.4．已知四边形ABCD 是空间四边形，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边CB 、CD 上的点，且32,32==. 求证：四边形EFGH 是梯形.5．已知A 、B 、M 三点不共线，对于平面ABM 外的任一点O ，确定在下列条件下，点P 是否与A 、B 、M 一定共面？ (1)-=+3； (2)--=4.6．如图所示，P 是平面四边形ABCD 所在平面外一点，连接PA, PB, PC, PD ，点E, F, G , H 分别是PDA PCD PBC PAB ∆∆∆∆,,,的重心，求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面. (2)平面EFGH//平面ABCD.分析：由共面向量定理可知，要证明E, F, G, H 四点共面，只要证明存在有序实数对x, y , 使得EH y EF x EG ⋅+⋅=；要证明平面EFGH.//平面ABCD ，只要证明平面EG 内两条相交直线平行于平面AC 内的两条相交直线.【B 级】1．如图，空间四边形OABC 中，=OA a ，=OB b ，=OC c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN 等于（）A.21a －32b ＋21c B. 32-a ＋21b ＋21cC. 21a ＋32b －21cD. 32a －21b ＋21c2．下列等式中，使M 、A 、B 、C 四点共面的有多少个（）①--=； ②;213151OM ++=③=++； ④0=+++OC OB OA OM . A. 1B. 2C. 3D. 43．若对任意一点O ，有y x +=，则1=+y x 是P ，A, B 三点共线的（） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．若D 点在∆ABC 的边BC 上，且s r s r ++==3,4的值为（） A. 58- B. 54- C. 58 D.545．已知向量a 、b ，且=a ＋2b ，5-=a ＋6b ，7=a －2b ，则一定共线的三点是（） A. A 、B 、D B. A 、B 、C C. B 、C 、D D. A 、C 、D6．下列命题中正确的是（）A. 若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B. 向量a , b , c 共面即它们所在的直线共面C. 零向量没有确定的方向D. 若a//b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb7．如图所示，在平行六面体''''—D C B A ABCD 中，=a ，=b ，=1AA c ，则D 1等于（）A. a ＋b －cB. －a －b ＋cC. a －b －cD. －a ＋b ＋c【C 级】1．已知非零向量e 1，e 2不共线，如果＝e 1＋e 2，2=e 1＋8e 2，＝3e 1－3e 2，求证A, B, C, D 共面.2．如图，A 、B 、C 、D 共面于α，.1111SDSD SC SC SB SB SA SA === (1)求证A 1、B 1、C 1、D 1共面；(2)若A 1、B 1、C 1、D 1所在平面为β，求证：βα//.3．如图，已知ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形的中心O ，Q 是CD 的中点，求下列各题中x , y 的值： (1)y x ++=; (2)y x ++=.空间向量及其加减运算练案（三）学科：数学编写人：万秋红审核人：刘刚编写时间：2013.3.12 班级：姓名：评分：【A 级】1．下列命题是否正确？正确的给出证明，不正确的给予说明. (1)a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0； (2)p 2·q 2 ＝(p ·q )2；(3)|p ＋q |·|p －q |＝|p 2－q 2|； (4)若a 与（a ·b ）·c －（a ·c ）·b 均不为0，则它们垂直.2．如图，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于a ，点E, F, G 分别是AB ，AD ，DC 的中点.求下列向量的数量积： (1);⋅ (2)⋅； (3)AC GF ⋅；(4)BC EF ⋅.3．以下命题，正确的命题为（）A. |a |－|b |<|a ＋b |是a , b 不共线的充要条件B. (a ·b )·c ＝b ·(a ·c )＝(b ·c )·aC. 向量a 在向量b 的方向上的投影向量的模为|a |cos(a , b )D ．在四面体ABCD 中，若=⋅0，0=⋅，则0=⋅4．已知正四面体OABC 的棱长为1，求： (1)OB OA ⋅；(2))()(+⋅+；(3))()(++⋅++.5．已知点O 是正三角形ABC 平面外的一点，若OA ＝OB ＝OC ＝AB ＝1，E 、F 分别是AB 、OC 的中点，求OE 与BF 所成角的余弦值.6．如图所示，已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，沿对角线AC 把矩形ABCD 折成︒30的二面角，求BD.7．已知在平行六面体D'C'B''A ABCD —中，AB ＝4，AD ＝3，'AA ＝5，.60'',90︒=∠=∠︒=∠DAA BAA BAD 求'AC 的长（如图所示）.【B 级】1．下列式子正确的是（） A. |a |·a ＝a 2B. (a ·b )2＝a 2·b 2C. (a ·b )·c ＝a (b ·c )D. |a ·b |≤|a |·|b |2．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0=⋅，0=⋅，0=⋅，则∆BCD 是（） A. 钝角三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 不确定3．已知|a |＝13，|b |＝19，|a ＋b |＝24，则|a －b |等于（） A. 22B. 48C.46D. 324．|a ＋b |＝|a －b |的充要条件是（） A. a ＝0或b ＝0B. a //bC. a ·b ＝0D. |a |＝|b |5．已知a , b 均为单位向量，它们的夹角为︒60，那么|a ＋3b |等于（） A.7B.10C.13D. 46．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是∆ABC 的（）A. 三个内角的角平分线的交点B. 三条边的垂直平分线的交点C. 三条中线的交点D. 三条高的交点7．在∆ABC 中，有命题：①=-；②=++0；③若0)()(=-⋅+，则∆ABC 为等腰三角形；④若0>⋅，则∆ABC 为锐角三角形. 上述命题正确的是（） A. ①②B. ①④C. ②③D. ②③④8．已知非零向量a , b ，若a ＋2b 与a －2b ）A.41B. 4C.21 D. 29．已知e 1、e 2是夹角为︒60的两个单位向量，则a ＝e 1＋e 2与b ＝e 1－2e 2的夹角为______.【C 级】1．已知线段AB 在平面α内，线段α⊥AC ，线段AB BD ⊥，且与α所成的角是︒30. 如果b BD AC AB ===,α，求C 、D 间的距离.2．如图，已知平行六面体1111D C B A —A B C D 的底面ABCD 是菱形，且︒=∠=∠=∠6011BCD CD C CB C ，当1CC CD的值为多少时，能使⊥C A 1平面BD C 1？请给出证明.。

人教A版选修1-1教案：空间向量及其运算第2课时(含答案)

§3.1.2空間向量的數乘運算【學情分析】：本節，空間向量的數乘運算共有4個知識點：空間向量的數乘、共線向量或平行向量、方向向量與共面向量、空間向量的分解定理這一節是全章的重點，有了第一節空間向量加減法的基礎，我們就很容易把平面向量及其運算推廣到空間向量由於本教材學習空間向量的主要目的是，解決一些立體幾何問題，所以例習題的編排也主要是立體幾何問題當我們把平面向量推廣到空間向量後，很自然地要認識空間向量的兩個最基本的子空間：共線向量和共面向量把平行向量基本定理和平面向量基本定理推廣到空間然後由這兩個定理推出空間直線和平面的向量運算式有了這兩個運算式，我們就可以很方便地使用向量工具解決空間的共線和共面問題【教學目標】：（1）知識與技能：掌握空間向量的數乘運算（2）過程與方法：進行類比學習，會用空間向量的運算意義和運算律解決立幾問題（3）情感態度與價值觀：會用平面的向量運算式解決共面問題【教學重點】：空間向量的數乘運算及運算律【教學難點】：用向量解決立幾問題得：AP xAB y AC =+，或對空間任意一點OP OA x AB y AC =++。

推論：已知空間任意一點O 和不共線的三點C ，則點P 與點A ，B ，C 共面的充要條件是(++=OC z OB y OA x OP 其中求證：E ，F ，G ，H 四點共面分析：欲證E ，F ，G ，H 四點共面，只需證明EH ，EF ，EG 共面。

下麵我們利用AD ，AB ，AC 共面來證明。

證明：因為k ODOHOC OG OB OF OA OE ====，所以 OA k OE =，OB k OF =，OC k OG =，OD k OH =，由於四邊形ABCD 是平行四邊形，所以AD AB AC +=，因此，OE OG EG -=)(AD AB k AC k OA k OC k +==-=OE OH OE OF OA OD OA OB k -+-=-+-=)(EH EF +=由向量共面的充要條件知E ，F ，G ，H 四點共面進一步：請學生思考如何證明：面AC//面EG 四．練習鞏固 1、如圖，已知空間四邊形ABCD ，連結AC ，BD ，E ，F 分別是BC ， CD 的中點，化簡下列各運算式，並標出化簡結果的向量。

空间向量及其线性运算(2)

证: 设AB＝x AC＋yAD，则e1＋e2＝x(2e1＋8e2)＋y(3e1－3e2), ∴(1－2x－3y)e1＋(1－8x＋3y)e2＝0.
∵e1、e2不共线，1182xx33yy00, xy1/5.
AB 1 AC 1 AD, ∴A、B、C、D四点共面.．
55
2. 设A、B、C三点不共线，O是平面ABC外一点，分别
6. 在平行六面体ABCD-EFGH中，点P、Q分别在棱BF、
DH上，且BP=(1/3)BF，DQ=(2/3)DH，求证：A、P、
G、Q四点共面。
析: PG PF FG 2 BF FG 3
2 DH AD DQ AD AQ 3
∴AQ//PG，
H E
Q
D
A
G F
PC B
∴A、P、G、Q四点共面。
E
F
例2. 如图，G为△ABC的重C＝c，用a，b，c 来表示 OG .
A
C
GM
B
析: 连接AG，延长AG交BC于M，则M为BC中点.
O
ABOBOAba, ACOCOAca,
AM 1(ABAC)1(bc2a),
2
2
AG2 AM 1(bc2a),
OP ta
Pl B
A 问6. 如何判断A、B、P三点共线？
(1)存在实数t使 AP t AB
O
(2)存在实数t使 OP OA t AB (点O为空间任一点)
(3)存在有序实数对(x, y)使OP xOA yOB且x+y=1(点O为任一点)
问7. 如何用向量法证两条直线平行？
证两条直线的方向向量平行。
析：点P与A、B、C共面。∵x+y+z=1，∴z=1-x-y，

3.1空间向量及其运算第2课时精品教案

3.1 空间向量及其运算【课题】：空间向量的数乘运算【教课目的】：（1）知识与技术：掌握空间向量的数乘运算（2）过程与方法：进行类比学习，会用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题（3）感情态度与价值观：会用平面的向量表达式解决共面问题【教课要点】：空间向量的数乘运算及运算律【教课难点】：用向量解决立几问题【课前准备】： Powerpoint 课件【教课过程设计】：教课环教课活动设计企图节1、空间向量的数乘运算 a ，其模长是 a 的 | | 倍（ 1）当0 时， a 与 a 同向（ 2）当0时， a 与 a 反向2、空间向量的数乘分派律和联合律一．温（1）分派律：故知新（ 2）联合律：(a b)a b( a) ()a以数乘向量及其运算律为打破口，与平面向量进行比较学习，为下边引出共面向量作铺垫。

3、共线向量或平形向量近似于平面向量共线，对空间随意两个向量a, b(b 0) ，a // b的充要条件是存在实数，使a b1、方向向量假如 l 为经过已知点 AaP且平行于已知非零向量a 的直线，关于随意一 BA点 O，点 P 在直线l上的l充要条件是存在实数 t知足等式OOP OA t a．此中向量 a 叫做直线 l 的方向向量.在 l 上取AB a，则上式可化为 OP OA t AB证明：关于空间内随意一点O，A, B ,P三点共线方向向量的引入是为了更好的说明三点共线的向量充要条件，作为特点班，t R,使 AP t AB 能够依据实质状况增补证明过程。

OP-OA t ABOP OA t AB因而可知，能够利用向量之间的关系判断空间任意三点共线，这与利用平面向量判断平面内三点共线二．新是同样的。

课讲解回首平面向量的基本定理：共面向量定理假如两个向量a, b 不共线，那么向量p 与向量 a,b 共面的充要条件是存在有序实数组( x, y) ，使得 p x yb ，这就是说，向量不共线的两个向量a, b 线性表示。

空间向量及其运算导学案

《空间向量及其运算》导学案班级：____________ 组别：________________ 姓名：______________【学习目标】1.掌握向量的加法、减法法则，理解平行四边形法则与三角形法则.2.掌握向量的数乘运算，理解空间向量数乘的几何意义.3.理解直线的方向向量，掌握共线向量、共面向量的概念，并会判定共线向量和共面向量.【学习重难点】重点：空间向量的有关概念，空间向量的加、减、数乘运算及其几何意义，共线向量和共面向量的判定方法.难点：如何判断共线向量和共面向量.【学习情景设置】一块均匀的正三角形面的钢板质量为500kg ，在它的顶点处分别受力F 1、F 2、F 3，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是60°，这样的力F 1、F 2、F 3是什么量？【知识链接】问题1：空间向量的有关概念有哪些？问题2：你能说出空间向量的加、减、数乘运算的运算法则及满足的运算律吗？问题3：什么是共线向量？什么是共面向量？你能说出有关的定理吗？（1）共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线________，则这些向量叫作共线向量或平行向量.读作a 平行于b .记作a ∥b .共线向量定理：对空间任意两个向量)0(,≠b b a ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使_________.（2）共面向量：通常把_________于同一平面的向量，叫作共面向量. 共面向量定理：如果两个向量b a ,不共线，p 与向量b a ,共面的充要条件是存在唯一的有序实数对),(y x ，使____________.问题4：什么是直线的方向向量？三点共线的条件是什么？四点共面的条件是什么？（1）如果l 为经过已知点A 且________已知非零向量a 的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式ta OA OP +=，其中向量a 叫作直线l 的____________.（2）A 、B 、P 三点共线，则OP =________.当21=t 时，点P 是线段AB 的_______，则)(21OB OA OP +=. （3）M 、A 、B 、P 四点共面的充要条件空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对y x ,，使_________，或对空间任一定点O ，有___________或___________.【学习过程】问题1：下列各式中，化简后等于0的是（）A.CD BC AB ++B.DC DA BC AB -++C.DC BD CB AB +++D.DA DC BC AB ---问题2：设非零向量c b a ,,，若||||||c c b b a a p ++=，则|p |的取值范围是（） A.[0，1] B.[0，2] C.[0，3] D.[3-，3]问题3：已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，c AA b BC a AB ===1,,，则c b a ++的模等于__________.问题4：请回答“学习情景设置”中的问题.【典例剖析】例1：如图，已知平行六面体D C B A ABCD ''''-，化简下列向量表达式，并在几何体中标出化简结果的向量.（1）BC AB +；（2）A A AD AB '++；（3）C C AD AB '++21；（4）)(31A A AD AB '++变式：已知平行六面体D C B A ABCD ''''-，求证：C A D A B A AC '='+'+2例2：已知A 、B 、C 三点不共线，对平面外任一点O ，点P 满足OB OA OP 5251+=OC 52+，那么点P 与A 、B 、C 三点是否共面？变式：对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，问满足向量式OC z OB y OA x OP ++=（其中1=++z y x ）的四点P 、A 、B 、C 是否共面？例3：有下列命题：①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线；②向量c b a ,,共面，则它们所在直线也共面；③若a 与b 共线，则存在唯一的实数λ，使a b λ=；④若A 、B 、C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OC OB OA OM 313131++=，则点M 一定在平面ABC 内.其中真命题的是____________（填序号）变式：已知A ，B ，C 三点不共线，D 在平面ABC 内，且对空间任意一点O ，存在三个实数n m ,,λ，使OD OC n OB m OA =++λ，求n m ++λ的值.【基础达标】1.在平行六面体D C B A ABCD ''''-中，与向量A A '相等的向量（不含A A '）的个数是（）A.1B.2C.3D.42.给出下列命题：①若|a |=|b |，则b a =；②若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则DC AB =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若c b b a ==,，则c a =；④b a =的充要条件是|a |=|b |，其中正确命题的序号是_________.3.已知两个非零向量21,e e 不共线，如果212182,e e AC e e AB +=+=，2133e e AD -=.求证：A 、B 、C 、D 四点共面.【反思小结】______________________________________________________________________________________________________________________________________________________。

高中数学(空间向量及其运算)学案2 新人教A版选修2-1 学案

空间向量及其运算一、复习目标：理解空间向量的概念、掌握空间向量的有关运算及其性质．二、主要知识：1．,a b 向量共线的充要条件：； 2．三点共线：； 3．三向量共面：；4．四点共面：； 5．两向量夹角的X 围；三．课前预习：如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。

若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（）()A 1122a b c -++()B 1122a b c ++ ()C 1122a b c --+()D c b a +-21212．有以下命题：①如果向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C 一定共面； ③已知向量,,a b c 是空间的一个基底，则向量,,a b a b c +-，也是空间的一个基底。

其中正确的命题是（）()A ①②()B ①③()C ②③()D ①②③3．下列命题正确的是（）()A 若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线； ()B 向量,,a b c 共面就是它们所在的直线共面； ()C 零向量没有确定的方向；()D 若//a b ，则存在唯一的实数λ使得a b λ=；4．已知A 、B 、C 三点不共线，O 是平面ABC 外的任一点，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是（）()A OC OB OA OM ++=()B OC OB OA OM --=2()C OC OB OA OM 3121++=()D OC OB OA OM 313131++=C1四、例题分析：例1．已知在正三棱锥ABC P -中，N M ,分别为BC PA ,中点，G 为MN 中点，求证：BC PG ⊥例2．已知H G F E ,,,分别是空间四边形ABCD 的边DA CD BC AB ,,,的中点，（1）用向量法证明H G F E ,,,四点共面；（2）用向量法证明：BD //平面EFGH ；（3）设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有1()4OM OA OB OC OD =+++OM GFABCDE HGNACP M例3．在平行六面体1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧棱1AA 长为b ，且1111120AA B AA D ∠=∠=︒，求（1）1AC 的长；（2）直线1BD 与AC 所成角的余弦值。

高中数学《空间向量及其加减法运算》导学案 (2)

第三章空间向量与立体几何 3.1.1空间向量及其加减法运算一、学习目标 1.理解空间向量的有关概念； 2.掌握空间向量的加减运算法则及运算律；【重点、难点】重点：空间向量的有关概念及其加减运算的运算法则；难点：空间向量的加减运算在空间几何体中的应用；二、学习过程【复习回顾】知识点1:平面向量的概念问题1.（1）向量的概念是什么？（2）向量如何表示？（3）什么是向量的长度？（4）有哪些特殊的向量？问题2.平面向量的加减法运算法则是什么？【探究新知】1. 空间向量（1）定义：在空间，把具有和的量叫做空间向量；（2）长度：向量的叫做向量的长度或；（3）表示法：⎧⎨⎩几何表示法：用表示；字母表示法： . 2. 几类特殊向量(1)零向量：的向量叫做零向量，记为0.(2)单位向量：的向量称为单位向量．(3)相等向量：方向且模的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．(4)相反向量：与向量a 长度而方向的向量，称为a 的相反向量，记为2．空间向量的加减法与运算律空间向量的加减法类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ； CA →＝OA →－OC →＝a －b . 加法运算律(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ； (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ) 【典型例题】例1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．① 向量AB 与AC 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上；② 单位向量都相等；③ 任一向量与它的相反向量不相等；④ 四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB =DC ；⑤ 模为0是一个向量方向不确定的充要条件；⑥ 共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.例2．如图所示，已知平行六面体1111ABCD A B C D -，M 为11AC 与11B D 的交点，化简下列向量表达式．（1）1AA +11B A ；（2）2111B A + 2111D A ；（3）1AA +2111B A +11D A ；（4）AB +BC +1CC +11A C +A A 1;例3. 在平行六面体中，求证：''2'AC AB AD AC ++=【变式拓展】1. 下列说法中正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a 、b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．空间向量的减法满足结合律D.在四边形ABCD 中，一定有AB +AD =AC2. 已知长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′,化简下列向量表达式:(1)';AA CB - (2)'''''AB B C C D ++3. 在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，画出表示下列向量的有向线段.（1） AB ＋AD →＋1AA ;；（2）11AB CC DD +-;.三、总结反思1．在掌握向量加减法的同时，应首先掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差，如共线、共起点、共终点等．2．通过掌握相反向量，理解两个向量的减法可以转化为加法．3．注意向量的三角形法则和平行四边形法则的要点．对于向量加法运用平行四边形法则要求两向量有共同起点，运用三角形法则要求向量首尾顺次相连．对于向量减法要求两向量有共同的起点．4．a b -表示的是由减数b 的终点指向被减数a 的终点的一条有向线段．四、随堂检测 1．判断下列各命题的真假：①向量AB 的长度与向量BA →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB 与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．52．在三棱柱ABCA′B′C′中，AC →与A′C′→是________向量；AB →与B′A′→是________向量．3. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,化简向量表达式AB →+ CD + BC DA +的结果为________．4. 已知ABCD 是空间四边形,M 和N 分别是对角线AC 和BD 的中点.求证: MN = 1()2AB CD +。

《空间向量及其运算》第二课时示范公开课教学设计【高中数学】

《空间向量及其运算》教学设计第二课时◆教学目标（1）掌握两个向量数量积的概念、性质及运算律．提升学生的数学抽象、逻辑推理素养.（2）学生重点掌握利用向量的方法求立体几何中的平行、垂直、夹角及长度问题的方法，提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象素养．◆教学重难点◆教学重点：熟练掌握空间向量的数量积的计算方法．教学难点：利用向量的方法解决简单的立体几何问题．◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、整体概览问题1：阅读课本第8页，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.预设的答案：（1）本节主要研究空间向量的数量积（2）通过第一课时空间向量的概念及空间向量的加法、减法、数乘向量等运算的学习，让学生认识了空间向量，本节延续上一节的要求，开始空间向量的数量积的运算，为后面学习空间向量的坐标表示等打好基础，做好铺垫．设计意图：通过对本节知识内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.二、探索新知1、形成定义平面内两个非零向量a ，b ，任意在平面内选定一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则大小在[0,] 内的∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角.问题2：观察上述平面向量夹角的概念，思考空间中两个非零向量的夹角该如何定义，并尝试总结两者的不同之处.师生活动：通过学生学过的物理知识自行解决问题，教师给出引导性话语，引出本节主题．预设的答案：由于空间中任意两个向量都一定是共面的，因此，空间两个非零向量的夹角也可以按照上述的方式进行定义.但“任意在平面内选定一点”应改成“任意在空间内选定一点”．特别地，如果<a ，b >=ð2时，则称向量a 与b 垂直，记作a ⊥b.（板书：空间向量的数量积）设计意图：引导学生通过回顾平面内两个非零向量的夹角定义类比得出空间中两个非零向量的夹角定义,发现二者的不同之处只是将“平面内”更换为“空间中”借此让学生学会用发展的眼光看问题,用联系的观点看待事物.同时,进一步培养学生直观想象的核心素养．教师讲解：关于空间中两个非零向量之间的夹角,需要提醒学生注意以下几点：(1)由定义可知两非零向量,a b 的夹角<,a b >与向量的大小无关,只与方向有关.两非零向量,a b 的夹角<,a b >的取值范围是[0,π].(2)必须将两非零向量平移到同一始点,才能确定其夹角.显然<,a b >=<,b a >. (3)防止将<,a b >与表示点的符号(,a b )混淆. (4)若<,a b >=2π,则称,a b 互相垂直,记作⊥a b .此时,a b 所在的两条直线可能是相交垂直,也可能是异面垂直.约定0⊥a .当,0〈〉=a b 时,向量,a b 同向;当,π〈〉=a b 时,向量,a b 反向(5)两非零向量,a b 所在的两条直线可能是共面直线,也可能是异面直线两条异面直线的夹角θ的取值范围是(0,]2π,当,〈〉a b 为锐角或直角时,则有,θ=〈〉a b ,当,〈〉a b 为钝角时,则有,θπ=-〈〉a b三、初步应用例4 如图1-1-11所示是一个正方体，求下列各对向量的夹角:（1）AB 与11AC ；（2）AB 与11C A ；（3）AB 与11A D ；（4）AB 与11B A ；师生活动：学生自己根据所学内容得出结论，教师帮助解答．预设的答案：（1）11,,〈〉=〈〉=AB AC AB AC 45°（2）11,,〈〉=〈〉=AB C A AB CA 135°（3）11,,〈〉=〈〉=AB A D AB AD 90°（4）11,,〈〉=〈〉=AB B A AB BA 180°练习：如图所示,在正六边形ABCDEF 中,求下列各对向量的夹角: （1）AB 与BC ;(2)AB 与CD ;(3)AB 与DE ; (4) AB 与EF ;(5)AB 与FA ;(6)AB 与BE ;预设的答案：（1）60°（2）120°(3)180°（4）120°（5）60°（6）120°设计意图：通过对两个向量夹角的表示形式进行转换,达到“化陌生为熟悉”“化未知为已知”,进而帮助学生加深理解转化与化归的数学思想.问题3：类比平面向量的数量积，能否说出空间向量的数量积的定义及的几何意义？师生活动：学生自己写出自己理解的结论，教师给出答案．预设的答案：两个非零向量a 与b 的数量积(也称为内积)定义为||||cos ,⋅=〈〉a b a b a b 而且,两个向量数量积的几何意义与投影有关, 如图所示,过a 的始点和终点分别向b 所在的直线作垂线,即可得到向量a 在向量b 上的投影a ,a 与b 的数量积等于a 在b 上的投影a 的数量与b 的长度的乘积特别地,a 与单位向量e 的数量积等于a 在e 上的投影，a 的数量.规定零向量与任意向量的数量积为0.同样,空间中向量的数量积也是按上述方式定义的,而且空间向量的数量积也具有类似的性质．不过,空间向量a 在向量b 上的投影'a ，除了按照上述方式得到之外,还可以过a 的始点和终点分别作与b 所在直线垂直的平面得到这可以从图所示的长方体中看出来,其中向b a ⋅b a ⋅量b 在棱AB 上,a =''A C ,因为''=AC A C ,BC⊥AB,所以a 在向量b 上的投影'=a AB ,一般地,给定空间向量a 和空间中的直线l(或平面α),过a 的始点和终点分别作直线l(或平面α)的垂线，假设垂足为A,B 则向量AB 称为a 在直线l(或平面α)上的投影．设计意图：视学生的情况,从平面向量的有关知识引导到空间向量的相关知识,这样可以开阔学生的学习思路,提高学习兴趣．问题4：请你类比平面向量说出空间向量的数量积有哪些性质．师生活动：学生同桌讨论并给出答案，教师给出正确答案，学生自纠．预设的答案：（1）⊥a b ⟺ a b =0；（2）a b =|a |2=a 2；（3）|a b |≤|a ||b |；（4）(λa )⋅b =λ()；（5）a b =b a （交换律）；（6）（+a b )⋅c =⋅a c +⋅b c (分配律）；设计意图：通过平面向量的性质总结空间向量的一些性质和结论，为以后运算做好铺垫．问题5：尝试证明（+a b )⋅c =a c +b c (分配律）？师生活动：学生自行思考并给出答案，教师给出正确答案．预设的答案：当a ，b ，c 共面时，根据平面向量数量积的性质可知，结论成立. 当a ，b ，c 不共面时，显然|c |≠0，设 c 0 =||cc ,即c 0是与c 同向的单位向量，如图1-1-14所示，b a ⋅b a ⋅设''''-ABCD A B C D 是一个长方体．点O 与c 0都在直线AB 上，且OA '= a ， A C ''=b ，因此a 在c 0 上的投影为a ，=OA ，b 在c 0 上的投影为b ，=AB ，且''''=+OC OA A C =a+b . a+b 在c 0上的投影为OB .注意到OB =+OA AB =a ，+b ，.这就说明( a+b )·c 0= a·c 0+b·c 0，在这个式子两边同时乘以|c |，即可知（a+b )·c =a·c+b·c .设计意图：通过对空间向量分配律的推导及证明，增强学生的逻辑推理素养，为以后学习打好基础．例 5 如图所示的长方体''''-ABCD A B C D 中，E 是'AA 的中点，'2,4===AA AD AB ,求：(1)';(2)'BC AE B D AE师生活动：学生根据所学尝试自己解答，由老师指定学生回答．预设的答案：(1)因为是长方体，而且'2==AA AD ，所以1',''45,||'12〈〉=∠===BC AE B BC AE AA ,|'|'==BC BC '|'|||cos ',2=〈〉=BC AE BC AE BC AE设计意图：通过例题的设置，加深公式的理解和应用．巩固练习1、已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AB 1的中心，F 为A 1D 1的中点．试计算： (1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→；(3)EF →·FC 1→.预设的答案：解如图，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0. (1)BC →·ED 1→＝b ·[12(c －a )＋b ]＝|b |2＝42＝16.(2)BF →·AB 1→＝⎝⎛⎭⎫c －a ＋12b ·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0. (3)EF →·FC 1→＝⎣⎡⎦⎤12(c －a )＋12b ·⎝⎛⎭⎫12b ＋a ＝12(－a ＋b ＋c )·⎝⎛⎭⎫12b ＋a ＝－12|a |2＋14|b |2＝2.设计意图：通过巩固训练的设置，加深公式的理解和应用。

北师大版数学高二-选修2学案 2.2《空间向量及其运算》

2.2《空间向量及其运算》导学案【学习目标】1.了解空间向量与平面向量的联系与区别；了解向量及其运算由平面向空间推广的过程。

2.了解空间向量、共线向量、共面向量等概念；理解空间向量共线、共面的充要条件；了解空间向量的基本定理及其意义；掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。

3 .掌握空间向量的线性运算及其性质；掌握空间向量的坐标运算。

4 .理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

【导入新课】复习引入1.有关平面向量的一些知识：什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？既有大小又有方向的量叫向量。

向量的表示方法有：用有向线段表示；用字母a 、b等表示；用有向线段的起点与终点字母：AB ．长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 2. 向量的加减以及数乘向量运算：向量的加法：向量的减法：实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下：|λa |＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa 与a 同向；当λ＜0时，λa 与a 反向；当λ＝0时，λa＝0.3. 向量的运算运算律：加法交换律：a ＋b ＝b ＋a新授课阶段一. 空间向量及其加减与数乘运算1. 定义：我们把空间中叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模。

得到：零向量、单位向量、相反向量的概念。

相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． 2. 空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：OB OA AB =+=a +b，AB OB OA =-（指向被减向量）， OP =λa()R λ∈3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律。

⑴加法交换律：a +b = b + a；⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b+ c )；⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa+λb ； (4)数乘结合律：λ(u a ) =(λu )a。

高二数学9.5空间向量及其运算(二)教案

B b M
P p
a
A A'
与向量 a, b 共面，根据平面向量的基本定
理，一定存在实数 x, y 使 p xa yb
（必要性）设存在实数 x, y 使
O
p xa yb 取空间任意一点 M ，作
M A a, M B b, M A' x,a 'A P ，y则b MP xa yb p ，于是点 P 在
C
a
b a
O
b Bb
A
OB OA AB a b ; BA OA OB a b ; OP a( R)
运算律： ⑴加法交换律： a b b a ⑵加法结合律： ( a b ) c a (b c ) ⑶数乘分配律： (a b ) a b
3．平行六面体：
D' A'
a
D
A
C' B' C B
平行四边形 ABCD平移向量 a 到 A B C D 的轨迹所形成的几何体，叫做平行
三、讲解范例：
例 1 已知 A, B,C 三点不共线，对平面外任一点，满足条件：
1
2
2
OP OA OB OC ，
5
5
5
试判断：点 P 与 A, B,C 是否一定共面？
解：由题意： 5OP OA 2OB 2OC ， ∴ (OP OA) 2( OB OP) 2(OC OP ) ，
∴ AP 2PB 2PC ，即 PA 2PB 2PC ，
C B
3．如图， E, F , G, H 分别为正方体 AC1 的棱 A1B1, A1D1, B1C1,D1C1 的中点，
求证：（ 1） E, F , D , B 四点共面；（ 2 ）平面 AEF // 平面 BDHG ．

空间向量及其运算说课稿(2)

《2.2空间向量及其运算》各位评委、各位老师：大家好！今天我说课的内容是《空间向量及其运算》，选自普通高中课程标准实验教科书湘教版选择性必修第二册第二章.下面我就从说教材、明目标；说教法、明策略；说过程、明意图；说反思、明方向等方面对这节课进行说明.本节内容是第二章《空间向量与立体几何》的第二节，由于这节课中也包含了章引言的内容.章引言中提到了本章的主要内容和研究方法，即类比平面向量来研究空间向量的概念和运算.它能像数一样进行运算，本身又是一个“图形”，所以它可以作为沟通代数和几何的桥梁，在很多数学问题的解决中有着重要的应用.本章要学习的空间向量，将为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供一个十分有效的工具.本小节的主要内容可分为两部分：一是空间向量的相关概念；二是空间向量的加减法.新课标对这节内容的要求是：经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念，学生在高一时就学习了平面向量，能利用平面向量解决平面几何的问题.在平面向量的教学中，我始终注重与实数的类比、数形结合等数学思想方法的渗透，不仅让学生清楚学什么，更主要的是帮助学生理解为什么学，怎么学.基于此，我将本节课的教学过程分为5个环节：创设情境、引出课题；问题引导、概念类比；例题练习、巩固新知；问题引导、运算类比；总结反思，深化认知；布置作业、应用迁移。

其中重点是概念的形成和概念的深化。

首先我通过视频导入提问帮助学生回顾平面向量学习的内容，学习的目的和研究方法，让学生对平面向量有个整体的认识，同时也为空间向量的学习做铺垫.通过追问激发学生学习新概念的兴趣，并给出本节课具体的研究方向.概念形成首先我向学生提出问题：我们应该如何研究空间向量？学生回答：类比平面向量教师引导：接着我给出平面向量概念的PPT，由学生从定义、表示、方向刻画、大小刻画、特殊向量、向量间的特殊关系等方面探究空间向量的概念，最后师生小结。

我通过问题串帮助学生将概念梳理清楚，让他们体会到空间向量与平面向量的概念完全相同，只是所处的环境不同而已.以前研究的向量都位于平面内，现在他们可以在空间中任意平移了.在这个过程中让学生明确空间向量的研究方法，体会数学的严谨性.接着我通过提问让学生类比平面向量去定义空间向量的加法，减法和数乘运算，同时得到多个空间向量求和的多边形法则，让学生进一步体会空间向量与平面向量之间的关系，突出教学重点.概念深化为了简化运算就需要研究空间向量线性运算的运算律.我向学生提出以下问题：平面向量中学习过哪些线性运算的运算律？这些运算律是不是也可以推广到空间中去呢？咱们先来看看哪些可以直接由平面结论得到？（PPT给出）学生通过探究发现由于加法交换律和分配律都只涉及到一个或两个向量，可以看作同一平面上的问题，可由平面结论直接得出；而空间中任意三个向量可能不共面，所以加法结合律还需要重新证明.接着由学生自主完成对加法结合律的证明.教师小结；通过结合律的证明能培养学生的空间观念，他们还能进一步体会空间向量中的某些问题与平面向量中相应问题的不同之处.应用概念在应用概念环节中，我设置了两道例题（PPT给出）.例1的设计意图是让学生初步应用空间向量的概念及其运算解决一些问题，平行六面体是空间向量加法运算的一个重要几何模型，需要加深对平行六面体的理解.归纳小结在归纳小结环节中为了培养学生归纳总结的意识和能力，我首先提问让学生自己总结，接着我根据学生的回答补充完善小结，总结空间向量的概念内容和研究过程，尤其强调在整个研究过程中都使用到的类比的推理方法，进一步突破这节课的教学难点.布置作业练习A和练习B的第1，2题可帮助学生巩固基础知识；练习B 的第3题是为下一节《空间向量的基本定理》做准备.教学反思通过这节课的备课与教学我自己主要获得了以下几方面的收获：1.在概念课教学中教师作用的体现这节课的知识本身是很容易的，对于学习程度好的学生自学应该也没有问题，那么教师在这节课中的作用是什么？我想作为教师，需要帮助学生从整体上把握知识脉络，关注这部分内容在整个数学知识体系中的地位和作用。

空间向量及其运算详细教案

空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算教学目标：（1）通过本章的学习，使学生理解空间向量的有关概念。

（2）掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。

能力目标：（1）培养学生的类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力。

（2）培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义。

（3）培养学生空间向量的应用意识教学重点：（1）空间向量的有关概念（2）空间向量的加减运算及其运算律、几何意义。

（3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用教学难点：（1）空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用。

（2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。

考点：空间向量的加减运算及其几何意义，空间想象能力，向量的应用思想。

易错点：空间向量的加减运算及其几何意义在空间几何体中的应用教学用具：多媒体教学方法：研讨、探究、启发引导。

教学指导思想：体现新课改精神，体现新教材的教学理念，体现学生探究、主动学习的思维习惯。

教学过程：（老师）：同学们好！首先请教同学们一个问题：物理学中，力、速度和位移是什么量怎样确定（学生）：矢量，由大小和方向确定（学生讨论研究）（课件）引入：（我们看这样一个问题）有一块质地均匀的正三角形面的钢板，重500千克，顶点处用与对边成60度角，大小200千克的三个力去拉三角形钢板，问钢板在这些力的作用下将如何运动这三个力至少多大时，才能提起这块钢板（老师）：我们研究的问题是三个力的问题，力在数学中可以看成是什么（学生）向量（老师）：这三个向量和以前我们学过的向量有什么不同（学生）这是三个向量不共面（老师）：不共面的向量问题能直接用平面向量来解决么（学生）：不能，得用空间向量（老师）：是的，解决这类问题需要空间向量的知识这节课我们就来学习空间向量板书：空间向量及其运算（老师）:实际上空间向量我们随处可见，同学们能不能举出一些例子（学生）举例（老师）：然后再演示（课件）几种常见的空间向量身影。

人教版高中选修2-13.1空间向量及其运算课程设计

人教版高中选修2-13.1空间向量及其运算课程设计一、课程目标本课程旨在帮助学生：1.掌握空间向量的概念和基本性质2.掌握空间向量的加法、减法、数量积和向量积等运算方法3.能够应用空间向量的相关知识解决实际问题4.培养学生的数学思维能力和数学建模能力二、课程内容及安排第一课时（2课时）1. 空间向量的概念和基本性质•空间向量的定义•空间向量的基本性质2. 空间向量的表示方法•坐标表示法•向量表示法3. 空间向量的相等和共线•空间向量的相等•空间向量的共线第二课时（2课时）1. 空间向量的加法和减法•空间向量的加法定义•空间向量的减法定义•空间向量的几何意义2. 空间向量的数量积•空间向量的数量积定义•数量积的几何意义•两个非零向量的数量积为0的判定方法第三课时（2课时）1. 空间向量的向量积•向量积的定义•向量积的几何意义•向量积的性质2. 向量积的坐标表示法•向量积的坐标表示法•向量积的计算方法第四课时（2课时）1. 空间向量的混合积•混合积的概念和含义•混合积的性质和计算方法2. 空间向量在几何问题中的应用•平面方程的解法•直线间的距离和夹角•空间图形体积的计算三、教学方法和手段1.设计合理的教学计划和教学内容，使学生有序地掌握和运用知识。

2.采用多种形式的教学方法，如讲解、演示、练习和案例分析等，激发学生的学习兴趣，加深对知识的理解和记忆。

3.结合实际问题，运用空间向量的相关知识进行建模，培养学生的实际问题解决能力。

4.利用计算机辅助教学软件，如MATLAB和Mathematica等，辅助授课和实验教学。

四、教学评估1.根据学生的掌握情况，开展阶段性测试和调查，及时掌握学生的学习情况和需求，及时调整和改进教学内容和方法。

2.设计课程作业和课程论文，要求学生运用空间向量的相关知识解决具体问题，培养学生的实际问题解决和论文写作能力。

3.开展模拟实验和综合实验，考察学生的实验操作能力和实验分析能力。