绝对值三角不等式课时提升作业四 1.2.1

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高中数学第一讲不等式和绝对值不等式 1.1.2 基本不等式课时提升作业(含解析)新人教A版选修4

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基本不等式课时提升作业一、选择题（每小题6分,共18分)1.(2016·泰安高二检测)若关于x的方程9x+(4+a)·3x+4=0有解，则实数a的取值范围是（）A.(—∞,—8］∪［0，+∞）B。

（-∞，-4）C。

[—8，4）D.(-∞，-8］【解析】选D.由方程9x+（4+a）·3x+4=0有解,即a+4=—≤—4，所以a≤—8。

2.下列不等式的证明过程正确的是( )A。

若a,b∈R,则+≥2=2B。

若x〉0,则cosx+≥2=2C.若x〈0，则x+≤2=4D。

若a,b∈R，且ab<0,则+=-[+］≤-2=—2【解析】选D。

A,B,C中在应用基本不等式时忽视了前提“正数”，故均错误。

3。

(2015·福建高考)若直线+=1(a>0,b〉0）过点（1，1）,则a+b的最小值等于（）A.2B.3C.4 D。

5【解题指南】利用基本不等式及“1”的代换求解.【解析】选C。

因为直线过点(1，1）,所以+=1,所以a+b=(a+b）=1+1++=2++,因为a>0,b>0，所以2++≥2+2=4，当且仅当“a=b=2”时等号成立。

2021年高考数学绝对值不等式课时提升作业理北师大版选修4-1

2021年高考数学绝对值不等式课时提升作业理北师大版选修4-1一、选择题1.(xx·宝鸡模拟)不等式|x-2|>x-2的解集是( )(A)(-∞,2) (B)(-∞,+∞)(C)(2,+∞) (D)(-∞,2)∪(2,+∞)2.(xx·蚌埠模拟)若不等式|x-2|+|x+3|<a的解集为⌀,则a的取值范围为( )(A)a>5 (B)a≥5 (C)a<5 (D)a≤53.(xx·潍坊模拟)不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是( )(A)[-5,7](B)[-4,6](C)(-∞,-5]∪[7,+∞)(D)(-∞,-4]∪[6,+∞)二、填空题4.(xx·天津高考)集合A={x∈R||x-2|≤5}中最小整数为.5.(xx·陕西高考)若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立,则实数a的取值范围是.6.(xx·江西高考)在实数范围内,不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为.三、解答题7.已知函数f(x)=|x-1|+|x+3|.(1)求x的取值范围,使f(x)为常数函数.(2)若关于x的不等式f(x)-a≤0有解,求实数a的取值范围.8.已知函数f(x)=|2x+1|+|2x-3|.(1)求不等式f(x)≤6的解集.(2)若关于x的不等式f(x)<|a-1|的解集非空,求实数a的取值范围.9.(xx·辽宁高考)已知f(x)=|ax+1|(a∈R),不等式f(x)≤3的解集为{x|-2≤x≤1}.(1)求a的值.(2)若|f(x)-2f()|≤k恒成立,求k的取值范围.10.(xx·玉溪模拟)已知函数f(x)=|x+1|+|x-2|-m.(1)当m=5时,求f(x)>0的解集.(2)若关于x的不等式f(x)≥2的解集是R,求m的取值范围.11.已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=-|x+3|+m.(1)解关于x的不等式f(x)+a-1>0(a∈R).(2)若函数f(x)的图像恒在函数g(x)图象的上方,求m的取值范围.a(其中a>0).12.(xx·哈尔滨模拟)已知关于x的不等式|2x+1|-|x-1|≤log2(1)当a=4时,求不等式的解集.(2)若不等式有解,求实数a的取值范围.答案解析1.【解析】选A.∵|x-2|>x-2,∴x-2<0,即x<2.2.【解析】选D.∵|x-2|+|x+3|≥|x-2-x-3|=5,又不等式|x-2|+|x+3|<a的解集为⌀,∴a≤5.3.【解析】选D.①当x≥5时,不等式化为x-5+x+3≥10,解得x≥6;②-3<x<5时,不等式化为5-x+x+3≥10,即8≥10,不等式不成立,故这时原不等式无解;③x≤-3时,5-x-(x+3)≥10,解得x≤-4.由①②③得x≤-4或x≥6.4.【解析】不等式|x-2|≤5,即-5≤x-2≤5,∴-3≤x≤7,故集合A={x|-3≤x≤7},故最小的整数为-3.答案:-35.【解析】方法一:在数轴上确定点1,再移动点a的位置,观察a点的位置在-2和4的位置时验证符合题意.因为它们是边界位置,所以-2≤a≤4.方法二:∵|x-a|+|x-1|≥|(x-a)-(x-1)|=|a-1|,要使|x-a|+|x-1|≤3有解,只要有|a-1|≤3,∴-3≤a-1≤3,∴-2≤a≤4.答案:[-2,4]6.【解析】当|2x-1|=0时,x=,当|2x+1|=0时,x=-.当x<-时,不等式化为1-2x-2x-1≤6⇒->x≥-;当-≤x≤时,不等式化为1-2x+2x+1≤6⇒-≤x≤;当x>时,不等式化为2x-1+2x+1≤6⇒<x≤.综上可得,不等式的解集为[-,].答案:[-,]7.【解析】(1)f(x)=|x-1|+|x+3|=则当x∈[-3,1]时,f(x)为常数函数.(2)方法一:如图所示,由(1)得函数f(x)的最小值为4.∴a≥4.方法二:|x-1|+|x+3|≥|x-1-(x+3)|,∴|x-1|+|x+3|≥4,等号当且仅当x∈[-3,1]时成立,得函数f(x)的最小值为4,则实数a的取值范围为a≥4.8.【解析】(1)原不等式等价于或或解之得<x≤2,或-≤x≤,或-1≤x<-,即不等式的解集为{x|-1≤x≤2}.(2)∵f(x)=|2x+1|+|2x-3|≥|(2x+1)-(2x-3)|=4,∴|a-1|>4,解此不等式得a<-3或a>5.9.【解析】(1)因为|ax+1|≤3⇒-4≤ax≤2,而f(x)≤3的解集为{x|-2≤x≤1},当a≤0时,不合题意;当a>0时,-≤x≤,对照得a=2.(2)记h(x)=f(x)-2f(),则h(x)=所以|h(x)|≤1,由于|f(x)-2f()|≤k恒成立,故k≥1.10.【解析】(1)由题设知:|x+1|+|x-2|>5,不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集.或或解得f(x)>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞).(2)不等式f(x)≥2,即|x+1|+|x-2|≥m+2,∵x∈R时,恒有|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,不等式|x+1|+|x-2|≥m+2的解集是R,∴m+2≤3,m≤1,m的取值范围是(-∞,1].11.【解析】(1)不等式f(x)+a-1>0,即|x-2|+a-1>0.当a=1时,解集为x≠2,即(-∞,2)∪(2,+∞);当a>1时,解集为R;当a<1时,解集为(-∞,a+1)∪(3-a,+∞).(2)f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,即为|x-2|>-|x+3|+m对任意实数x恒成立,即|x-2|+|x+3|>m恒成立,又对任意实数x恒有|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5,于是得m<5,即m的取值范围是(-∞,5).12.【解析】(1)当a=4时,|2x+1|-|x-1|≤2,x<-时,-x-2≤2,得-4≤x<-;-≤x≤1时,3x≤2,得-≤x≤,x>1时,x≤0,此时无解,∴不等式的解集为{x|-4≤x≤}.(2)设f(x)=|2x+1|-|x-1|=故f(x)∈[-,+∞),即f(x)的最小值为-,所以若使f(x)≤log2a有解,只需log2a≥f(x)min,即log2a≥-,解得a≥,即a的取值范围是[,+∞).33677 838D 莍20728 50F8 僸C 39843 9BA3 鮣\737780 9394 鎔38057 94A9 钩uj @27426 6B22 欢。

人教A版选修4-5 1.2.1 绝对值三角不等式学案

二绝对值不等式第4课时绝对值三角不等式1．绝对值的几何意义(1)实数a 的绝对值|a |表示数轴上坐标为a 的点A 到原点的距离． (2)对于任意两个实数a ，b ，设它们在数轴上的对应点分别为A ，B ，那么|a －b |的几何意义是数轴上A ，B 两点之间的距离，即线段AB 的长度．2．绝对值三角不等式(1)定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．(2)定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．知识点一与绝对值相关命题的判断1．若实数a ，b ，c 成公差不为0的等差数列，则下列不等式不成立的是( ) A.⎪⎪⎪⎪⎪⎪b －a ＋1c －b ≥2 B ．ab ＋bc ＋ca ≥a 2＋b 2＋c 2 C ．b 2≥acD ．|b |－|a |≤|c |－|b |解析：∵a ，b ，c 成公差不为0的等差数列， ∴2b ＝a ＋c ，∴c ＝2b －a .∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪b －a ＋1c －b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b －a ＋1b －a ≥2. (b －a )2＝b 2－2ab ＋a 2＝b 2－a (2b －a )＝b 2－ac ≥0， ∴b 2≥ac .由2b ＝a ＋c ，得2|b |＝|a ＋c |≤|a |＋|c |， ∴|b |－|a |≤|c |－|b |. 综上知，A ，C ，D 均正确；而对于B ，当a ，b 为正数，c 为负数时，显然不成立．答案：B2．(2019·河北衡水期中)设ab >0，下面四个不等式中，正确的是( ) ①|a ＋b |>|a | ②|a ＋b |<|b | ③|a ＋b |<|a －b | ④|a ＋b |>|a |－|b | A ．①和② B ．①和③ C ．①和④D ．②和④解析：∵ab >0，∴a ，b 同号，∴|a ＋b |>|a |，①正确；|a ＋b |>|b |，②错误；|a ＋b |>|a －b |，③错误；|a ＋b |>|a |－|b |，④正确，故选C.答案：C知识点二利用绝对值不等式求最值或范围3．(2019·山东潍坊检测)已知f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x －a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1x －a ＋2x －2a (x >0)的最小值为32，则实数a ＝________.解析：f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x －a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1x －a ＋2x －2a≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －a －⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －a ＋2x －2a＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x ＋2x －2a ＝2x＋2x －2a≥22x·2x －2a＝4－2a ，当且仅当2x＝2x ，即x ＝1时，等号成立，由4－2a ＝32，解得a ＝54.答案：544．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12x －⎪⎪⎪⎪⎪⎪12x －m 的最大值为4.(1)求实数m 的值；(2)若m >0,0<x <m 2，求2|x |＋2|x －2|的最小值．解：(1)由⎪⎪⎪⎪⎪⎪12x －⎪⎪⎪⎪⎪⎪12x －m ≤12x －12x －m ＝|m |，当且仅当12x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ≥0且当⎪⎪⎪⎪⎪⎪12x ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪12x －m 时取等号，此时f (x )取最大值|m |＝4，即m ＝±4.(2)由(1)及m >0可知m ＝4，∴0<x <2，则2|x |＋2|x －2|＝2⎝⎛⎭⎪⎫1|x |＋1|x －2|＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋12－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋12－x (x ＋2－x )＝2＋2－xx＋x 2－x ≥2＋22－xx·x 2－x＝4(当且仅当 2－x ＝x ，即x ＝1时，取“＝”)，∴2|x |＋2|x －2|的最小值为4. 知识点三绝对值不等式的证明 5．下列四个不等式： ①1lg x＋lg x ≥2(x >1)； ②|a －b |<|a |＋|b |； ③⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2(ab ≠0)； ④|x －1|＋|x －2|≥1.其中恒成立的是________(把你认为正确的序号都填上)．解析：①∵x >1，∴lg x >0， ∴1lg x＋lg x ≥2 1lg x·lg x ＝2，当且仅当x ＝10时，等号成立．∴①恒成立； ②当b ＝0时，|a －b |<|a |＋|b |不成立． ③∵b a 与a b同号， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ≥2. ∴③恒成立．④|x －1|＋|x －2|≥|(x －1)－(x －2)|＝1， ∴④恒成立．答案：①③④6．(2019·安徽六安市高二二阶测试)设函数f (x )＝|x ＋3|＋|x －2|的最小值为m .(1)求不等式|2x －1|＋x <m 的解集；(2)已知|a |<m 5，|b |<m5，证明：|ab －1|>|a －b |.解：(1)因为|x ＋3|＋|x －2|≥|(x ＋3)－(x －2)|＝5，当(x ＋3)(x －2)≤0，即－3≤x ≤2时取等号，则f (x )的最小值为5，所以m ＝5. 由|2x －1|＋x <5，得x －5<2x －1<5－x ，即－4<x <2，所以不等式的解集是(－4,2)．(2)证明：(ab －1)2－(a －b )2＝a 2b 2－a 2－b 2＋1＝(a 2－1)(b 2－1)．因为m ＝5，则|a |<1，得a 2<1同理b 2<1，所以(a 2－1)(b 2－1)>0，即(ab －1)2>(a －b )2，所以|ab －1|>|a －b |.一、选择题1．(2018·北京一零一中学高三模拟)设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案：C2．设A 、ε>0，|x －a |<ε2，|y －b |<ε2，|b |≤A ，|x |≤A ，则成立的是( )A ．|xy －ab |<A εB ．|xy －ab |>A εC ．|xy －ab |<AD ．|xy －ab |>ε解析：|xy －ab |＝|xy －bx ＋bx －ab |＝|x (y －b )＋b (x －a )|≤|x (y －b )|＋|b (x －a )| ≤|x ||y －b |＋|b ||x －a |<A ε2＋Aε2＝A ε.所以有|xy －ab |<A ε.3．(2019·湖南长郡中学高二期末)若关于x 的不等式|x －1|＋|x ＋m |>5的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－6)∪(4，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(6，＋∞)C ．(－6,4)D ．[－4,6]解析：∵|x －1|＋|x ＋m |≥|(x －1)－(x ＋m )|＝|m ＋1|且不等式|x －1|＋|x ＋m |>5恒成立，∴|m ＋1|>5，解得m <－6或m >4，即实数m 的取值范围为(－∞，－6)∪(4，＋∞)，故选A.答案：A4．若α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，5π4，M ＝|sin α|，N ＝|cos α|，P ＝12|sin α＋cos α|，Q ＝12sin 2α，则它们之间的大小关系为( ) A ．M >N >P >Q B ．M >P >N >Q C ．M >P >Q >ND ．N >P >Q >M解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4，∴cos α<sin α<0，∴|cos α|>|sin α|，即N >M .只有D 符合，故选D. 答案：D5．(2019·河南师大附中月考)若不等式|2a －1|≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x 对一切非零实数x恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[1,2] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32解析：因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x |＋1|x |≥2|x |·1|x |＝2，当且仅当|x |＝1|x |，即x ＝±1时，等号成立，所以|2a －1|≤2，解得－12≤a ≤32，故选C.二、填空题6．(2019·河北黄骅中学月考)若不等式|x －3|＋|x ＋1|>a 恒成立，则a 的取值范围为________．解析：因为|x －3|＋|x ＋1|≥|(x －3)－(x ＋1)|＝4，所以a <4，即a 的取值范围是(－∞，4)．答案：(－∞，4)7．不等式|a ＋b ||a |－|b |≥1成立的充要条件是________．解析：∵|a ＋b |≥|a |－|b |， ∴当|a |－|b |>0，即|a |>|b |时，有|a ＋b ||a |－|b |≥1成立，∴|a |>|b |是|a ＋b ||a |－|b |≥1的充分条件；当|a ＋b ||a |－|b |≥1成立时，∵|a ＋b |>0，∴|a |－|b |>0.即|a |>|b |， ∴|a |>|b |是|a ＋b ||a |－|b |≥1的必要条件．答案：|a |>|b |8．已知p ，q ，x ∈R ，且pq ≥0，x ≠0，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪px ＋q x 与2pq 的大小关系是________________．解析：当pq ＝0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪px ＋q x ≥2pq ，显然成立；当pq >0时，p 与q 同号，则px 与qx也同号，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪px ＋q x ＝|px |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪q x ≥2pq .综上知⎪⎪⎪⎪⎪⎪px ＋q x ≥2pq .答案：⎪⎪⎪⎪⎪⎪px ＋q x ≥2pq三、解答题9．(2019·云南大理一模)已知函数f (x )＝|x |＋|x －3|. (1)解关于x 的不等式f (x )－5≥x ；(2)设m ，n ∈{y |y ＝f (x )}，试比较mn ＋4与2(m ＋n )的大小．解：(1)f (x )＝|x |＋|x －3|＝⎩⎨⎧3－2x ，x <0，3，0≤x ≤3，2x －3，x >3.f (x )－5≥x ，即⎩⎨⎧x <0，3－2x ≥x ＋5或⎩⎨⎧0≤x ≤3，3≥x ＋5或⎩⎨⎧x >3，2x －3≥x ＋5，解得x ≤－23或x ∈∅或x ≥8，所以不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－23∪[8，＋∞)．(2)由(1)易知f (x )≥3，所以m ≥3，n ≥3. 由于2(m ＋n )－(mn ＋4)＝2m －mn ＋2n －4＝(m －2)(2－n )，且m ≥3，n ≥3，所以m －2>0,2－n <0，即(m －2)(2－n )<0，所以2(m ＋n )<mn ＋4.10．设a ，b ∈R ，且|a ＋b ＋1|≤1，|a ＋2b ＋4|≤4，求|a |＋|b |的最大值．解：∵|a ＋b ＋1|≤1，|a ＋2b ＋4|≤4，∴|a ＋b |＝|(a ＋b ＋1)－1|≤|a ＋b －1|＋|－1|＝1＋1＝2， |a －b |＝|3(a ＋b ＋1)－2(a ＋2b ＋4)＋5| ≤3|a ＋b ＋1|＋2|a ＋2b ＋4|＋5 ＝3×1＋2×4＋5＝16.①当ab ≥0时，|a |＋|b |＝|a ＋b |≤2； ②当ab <0时，则a (－b )>0，∴|a |＋|b |＝|a |＋|－b |＝|a ＋(－b )|＝|a －b |≤16. 由①②知，|a |＋|b |≤16. 而当a ＝8，b ＝－8时，∴满足|a ＋b ＋1|＝1，|a ＋2b ＋4|＝4，且|a |＋|b |＝16，∴|a|＋|b|的最大值为16.。

高中数学 1.2.1绝对值三角不等式课件新人教A版选修4-5

第一讲不等式和绝对值不等式 1．2 绝对值不等式
1．2.1 绝对值三角不等式
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利用绝对值三角不等式证明不等式
若|a－b|＞c，|b－c|＜a，求证：c＜a.
证明：由|a－b|＞c 及|b－c|＜a 得
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目
c－a＜|a－b|－|b－c|≤|(a－b)＋(b－c)|＝
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εε ＋|b(x－a)|≤|x||y－b|＋|b||x－a|<A·2 ＋A·2 ＝Aε.
所以有|xy－ab|<Aε.
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2．已知函数 f(x)＝x2－x＋13，|x－a|<1，求证：|f(x)－f(a)|<2(|a| ＋1)．
证明：|f(x)－f(a)|＝|x2－x＋13－(a2－a＋13)|＝|x2－a2－x＋a|＝栏
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＋x－6|＝2，从而可求．
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解析：y＝|x－4|＋|x－6|＝|4－x|＋|x－6|≥
|4－x＋x－6|＝2，

∴y≥2.
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∴函数的最小值为y＝2，
目
此时(4－x)(x－6)≥0，即4≤x≤6.
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∴当4≤x≤6时，函数的最小值为2.
点评：定理既可正用，也可逆用，但应注意适用的条件．
链
接
|a－c|＝|c－a|.
由 c－a＜|c－a|知 c－a＜0，故 c＜a.
ε
ε
设 ε＞0，|x－a|＜ 4 ，|y－b|＜ 6 .
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人教A版2019高中数学选修4-5试题：第一章_1.2.1绝对值三角不等式_含答案

1.绝对值三角不等式课后篇巩固探究A组1.设ab>0,下面四个不等式:①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|a-b|;④|a+b|>|a|-|b|.其中正确的是()A.①②B.①③C.①④D.②④ab>0,∴a,b同号.∴|a+b|=|a|+|b|>|a|-|b|.∴①④正确.2.函数f(x)=|3-x|+|x-7|的最小值等于()A.10B.3C.7D.4|3-x|+|x-7|≥|(3-x)+(x-7)|=4,所以函数f(x)的最小值为4.3.已知|a|≠|b|,m=,n=,则m,n之间的大小关系是()A.m>nB.m<nC.m=nD.m≤n,知|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.∴≤1≤.∴m≤n.4.若|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是()A.|a+b|+|a-b|>2B.|a+b|+|a-b|<2C.|a+b|+|a-b|=2D.不确定(a+b)(a-b)≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2;当(a+b)(a-b)<0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2,综上有|a+b|+|a-b|<2.5.若关于x的不等式|x|+|x-1|<a(a∈R)的解集为⌀,则a的取值范围是()A.[-1,1]B.(-1,1)C.(-∞,1]D.(-∞,1)|x|+|x-1|≥|x-(x-1)|=1,∴若关于x的不等式|x|+|x-1|<a的解集为⌀,则a的取值范围是a≤1.6.若a,b∈R,且|a|≤3,|b|≤2,则|a+b|的最大值是,最小值是.|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,所以1=3-2≤|a+b|≤3+2=5.17.若不等式|x-4|-|x-3|≤a对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是.f(x)=|x-4|-|x-3|,则f(x)≤a对一切x∈R恒成立的充要条件是a大于等于f(x)的最大值.∵|x-4|-|x-3|≤|(x-4)-(x-3)|=1,即f(x)max=1,∴a≥1.+∞)8.不等式≥1成立的充要条件是.≥1⇔≥0⇔(|a|-|b|)[|a+b|-(|a|-|b|)]≥0(且|a|-|b|≠0).而|a+b|≥|a|-|b|,∴|a+b|-(|a|-|b|)≥0.∴|a|-|b|>0,即|a|>|b|.9.设m等于|a|,|b|和1中最大的一个,当|x|>m时,求证<2.m等于|a|,|b|和1中最大的一个,|x|>m,∴∴==2.故原不等式成立.10.导学号26394011已知函数f(x)=log2(|x-1|+|x-5|-a).(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值;(2)当函数f(x)的定义域为R时,求实数a的取值范围.函数的定义域满足|x-1|+|x-5|-a>0,即|x-1|+|x-5|>a.设g(x)=|x-1|+|x-5|,由|x-1|+|x-5|≥|x-1+5-x|=4,当a=2时,∵g(x)min=4,∴f(x)min=log2(4-2)=1.(2)由(1)知,g(x)=|x-1|+|x-5|的最小值为4.∵|x-1|+|x-5|-a>0,∴a<g(x)min时,f(x)的定义域为R.∴a<4,即a的取值范围是(-∞,4).B组1.对任意x,y∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为()A.1B.2C.3D.4|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|=(|1-x|+|x|)+(|1-y|+|1+y|)≥|(1-x)+x|+|(1-y)+(1+y)|=1+2=3,当且仅当(1-x)·x≥0,(1-y)·(1+y)≥0,即0≤x≤1,-1≤y≤1时等号成立,∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为3.2.函数f(x)=|2x+1|-|x-4|的最小值等于.y=|2x+1|-|x-4|,则y=作出函数y=|2x+1|-|x-4|的图象(如图),由函数的图象可知,当x=-时,函数取得最小值-.3.已知a和b是任意非零实数,则的最小值为.=4.4.下列四个不等式:①log x10+lg x≥2(x>1);②|a-b|<|a|+|b|;③≥2(ab≠0);④|x-1|+|x-2|≥1,其中恒成立的是.(把你认为正确的序号都填上)x>1,∴lg x>0,∴log x10+lg x=+lg x≥2,①正确;当ab≤0时,|a-b|=|a|+|b|,②不正确;∵ab≠0,同号,∴≥2,③正确;由|x-1|+|x-2|的几何意义知|x-1|+|x-2|≥1恒成立,④也正确;综上,①③④正确.5.导学号26394012已知函数f(x)=x2-x+13,|x-a|<1,求证|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).|f(x)-f(a)|=|x2-x+13-(a2-a+13)|=|x2-a2-x+a|=|(x-a)(x+a-1)|=|x-a||x+a-1|<|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|<1+|2a|+1=2(|a|+1),∴|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).6.导学号26394013已知a,b,c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,求证:(1)|c|≤1;(2)当-1≤x≤1时,|g(x)|≤2.∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,∴|f(0)|≤1,即|c|≤1.(2)当a>0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是增函数,∴g(-1)≤g(x)≤g(1).∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,且|c|≤1,∴g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|≤2,g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(|f(-1)|+|c|)≥-2,∴|g(x)|≤2.当a<0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是减函数,∴g(-1)≥g(x)≥g(1).∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,且|c|≤1,∴g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≤|f(-1)|+|c|≤2. g(1)=a+b=f(1)-c≥-(|f(1)|+|c|)≥-2.∴|g(x)|≤2.当a=0时,g(x)=b,f(x)=bx+c,且-1≤x≤1, ∴|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2.综上可知,|g(x)|≤2.。

1.2.1绝对值三角不等式同步训练(人教A版选修4-5)

1.2.1绝对值三角不等式同步训练（人教A版选修4-5）一、选择题(每小题6分，共36分)1.已知实数a,b满足ab<0,则下列不等式成立的是( )(A)|a+b|>|a-b| (B)|a+b|<|a-b|(C)|a-b|<||a|-|b|| (D)|a-b|<|a|+|b|2.若不等式｜x-4｜+｜x-3｜＞a对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是( )(A)(-∞,1) (B)(1,+∞)(C)(3,4) (D)［3,+∞)3.设a,b,c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是( )(A)|a-b|≤|a-c|+|b-c|(B)(C)(D)4.若|a-c|<b,则下列不等式不成立的是( )(A)|a|<|b|+|c| (B)|c|<|a|+|b|(C)b>||c|-|a|| (D)b<||a|-|c||5.已知|a|≠|b|,则m,n之间的关系是( )(A)m>n (B)m<n(C)m=n (D)m≤n6.( ·青岛高二检测)设｜a｜＜1,｜b｜＜1，则｜a+b｜+｜a-b｜与2的大小关系是( )(A)｜a+b｜+｜a-b｜＞2 (B)｜a+b｜+｜a-b｜＜2(C)｜a+b｜+｜a-b｜=2 (D)不能比较大小二、填空题(每小题6分，共18分)7.( ·大连高二检测)已知p,q,x∈R，pq≥0,x≠0,则______(填不等关系符号).8.(2011·江西高考)对于实数x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,则|x-2y+1|的最大值为__________.9.(易错题)“｜x-a｜＜m且｜y-a｜＜m”是“｜x-y｜＜2m”(x,y,m∈R)的____________________(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”).三、解答题(每小题14分，共28分)10.已知函数f(x)=|x-3|-2,g(x)=-|x+1|+4.若函数f(x)-g(x)≥m+1的解集为R，求m的取值范围.11.( ·沈阳模拟)已知|x1-2|＜1,|x2-2|＜1.(1)求证：2＜x1+x2＜6,|x1-x2|＜2.(2)若f(x)=x2-x+1,x1≠x2,求证：|x1-x2|＜|f(x1)-f(x2)|＜5|x1-x2|.【挑战能力】(18分)如果结论成立，请问不等式成立吗？成立吗？说明理由.答案解析1.【解析】选B.∵ab<0,∴|a-b|=|a|+|b|,又|a+b|<|a|+|b|,∴|a+b|<|a|+|b|=|a-b|.2.【解析】选A.由｜x-4｜+｜x-3｜≥｜(x-4)-(x-3)｜=1,得不等式｜x-4｜+｜x-3｜的最小值是1，当且仅当3≤x≤4时等号成立.故a的取值范围是(-∞,1).【变式训练】若不等式|x-2|+|x+3|<a的解集为,则a的取值范围为( ) (A)(2,+∞) (B)(-∞,5］(C)(-3,+∞) (D)(-∞,-3)【解析】选B.因为|x-2|+|x+3|≥|-x+2+3+x|=5,当且仅当-3≤x≤2时等号成立,故|x-2|+|x+3|的最小值为5,又不等式|x-2|+|x+3|<a的解集为,所以a≤5.3.【解析】选C.由于给出的是不完全题干，必须结合选项，才能得出正确的结论.运用排除法，C选项当a-b<0时不成立.故选C.4.【解析】选D.若|a-c|<b,令a=1,c=2,b=3.则||c|-|a||=||2|-|1||=1=||a|-|c||,∴b>||c|-|a||成立,而b<||a|-|c||不成立.5.【解析】选D.∵|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|,∴∴m≤1≤n,即m≤n.【方法技巧】绝对值不等式中的放缩法绝对值不等式性质的重要作用在于放缩，放缩的思路主要有两种：(1)分子不变，分母变小，则分数值变大；(2)分子变大，分母不变，则分数值也变大.但要注意放缩后等号是否还能成立.6.【解析】选B.当(a+b)(a-b)≥0时，｜a+b｜+｜a-b｜=｜(a+b)+(a-b)｜=2｜a｜＜2,当(a+b)(a-b)＜0时，｜a+b｜+｜a-b｜=｜(a+b)-(a-b)｜=2｜b｜＜2.7.【解析】当p,q至少有一个为0时，当pq＞0时，p,q同号，则px与同号，∴故答案：≥8.【解题指南】根据|x-2y+1|=|(x-1)-2(y-2)-2|,结合|a+b|≤|a|+|b|易得.【解析】根据条件有|x-2y+1|=|(x-1)-2(y-2)-2|≤|x-1|+|2(y-2)|+2.∵|x-1|≤1，|y-2|≤1,∴|x-2y+1|≤1+2×1+2=5.答案：59.【解析】∵｜x-y｜=｜(x-a)-(y-a)｜≤｜x-a｜+｜y-a｜＜m+m=2m,∴｜x-a｜＜m且｜y-a｜＜m是｜x-y｜＜2m的充分条件，取x=3,y=1,a=-2,m=2.5,则有｜x-y｜=2＜5=2m,但｜x-a｜=5，不满足｜x-a｜＜m=2.5,故｜x-a｜＜m且｜y-a｜＜m不是｜x-y｜＜2m的必要条件.答案：充分不必要条件10.【解题指南】本题关键是转化题中的条件为求f(x)-g(x)的最小值,求解时结合绝对值三角不等式.【解析】f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6,因为x∈R,由绝对值三角不等式得f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6=|3-x|+|x+1|-6≥|(3-x)+(x+1)|-6=4-6=-2,于是有m+1≤-2,得m≤-3,即m的取值范围是(-∞,-3］.11.【证明】(1)∵|x1-2|＜1,|x2-2|＜1,∴2-1＜x1＜2+1,2-1＜x2＜2+1,即1＜x1＜3,1＜x2＜3,∴2＜x1+x2＜6,|x1-x2|=|(x1-2)-(x2-2)|≤|x1-2|+|x2-2|＜1+1=2,即|x1-x2|＜2.(2)∵f(x)=x2-x+1,∴|f(x1)-f(x2)|=|x12-x1-x22+x2|=|(x1-x2)(x1+x2-1)|=|x1-x2||x1+x2-1|.由(1)知2＜x1+x2＜6,|x1-x2|＞0,∴|x1-x2|＜|x1-x2||x1+x2-1|＜5|x1-x2|,即|x1-x2|＜|f(x1)-f(x2)|＜5|x1-x2|.【方法技巧】含绝对值不等式的证明证明含有绝对值的不等式，其思路主要有两条：(1)恰当地运用|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|进行放缩，并注意不等号的传递性及等号成立的条件.(2)把含绝对值的不等式等价转化为不含绝对值的不等式，再利用比较法、综合法及分析法等进行证明，其中去掉绝对值符号的常用方法是平方法或分类讨论法.【变式训练】已知 a2≠b2,求证：｜f(a)-f(b)｜＜｜a-b｜.【证明】∵∴｜f(a)-f(b)｜＜｜a-b｜.【挑战能力】【解析】成立.因为左边=故成立.又因为所以成立.。

人教版高中数学选修4-5练习：第一讲1.2-1.2.1绝对值三角不等式

第一讲不等式和绝对值不等1.2绝对值不等式绝对值三角不等式A 级基础稳固一、选择题1．若|x－m|＜ε，|y－m|＜ε，则以下不等式中必定建立的是 () A．|x－y|＜εB．|x－y|＜2εC．|x－y|＞2εD．|x－y|＞ε分析： |x－y|＝|x－m－(y－m)|≤|x－m|＋|y－m|＜2ε.答案： B2．假如 a，b 都是非零实数，则以下不等式中不建立的是 () A．|a＋b|＞a－b B．2 ab≤|a＋b|(ab＞0)．＋≤|＋b＋a≥2|a b|aC|b| D. a b分析：令 a＝1， b＝－ 1，则 A 不建立．答案： A3．已知 h＞0，a，b∈ R，命题甲： |a－b|＜ 2h；命题乙： |a－ 1|＜h，且 |b－1|＜h，则甲是乙的 ()A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件分析：明显 a 与 b 的距离能够很近，知足 |a－b|＜2h，但此时 a，b 与 1 的距离也能够最大，所以甲不可以推出乙；若 |a－ 1|＜ h， |b－1|＜h，则 |a－b|＝|a－1＋1－b|≤|a－1|＋ |b－1|＜2h，乙能够推出甲．所以甲是乙的必需不充足条件．答案： B4．函数 y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为 ()A．2 B. 2C．4D．6分析： y＝|x－ 4|＋|x－6|≥|x－4－ (x－6)|＝2.故最小值为 2.答案： A5．若 |a－c|＜b，则以下不等式不建立的是()A．|a|＜|b|＋ |c|B．|c|＜|a|＋|b|C．b＞||c|－|a||D．b＜|a|－|c|分析：由|a－c|＜b 知 b＞0，所以 b＝|b|.由于 |a|－|c|≤|a－c|，所以 |a|－|c|＜b，即 |a|＜b＋|c|＝|b|＋|c|，故 A 建立．同原因 |c|－|a|≤|a－c|，得 |c|－|a|＜b.所以 |c|＜|a|＋b＝|a|＋|b|，故 B 建立．而由 A 建立得 |c|－ |a|＞－ |b|，由B 建立得|c|－|a|＜|b|，所以－|b|＜|c|－|a|＜|b|，即||c|－|a||＜|b|＝b，故 C 建立．故由 A 建立知 D 不建立．答案： D二、填空题6．若不等式 |x－4|＋|x－3|＞a 对一确实数 x 恒建立，则实数 a 的取值范围是 ________．分析：由|x－4|＋ |x－3|≥|(x－ 4)－(x－3)|＝1，得(|x－4|＋|x－3|)min＝1，故 a 的取值范围是 (－∞，1)．答案： (－∞，1)7．若不等式 |x－4|－|x－3| ≤a对全部 x∈R 恒建立，则实数 a 的取值范围是 ________．分析：设 f(x)＝|x－4|＋|x－3|，则 f(x)≤a 对全部 x∈R 恒建立的充要条件是 a≥f(x)的最大值．由于 |x－4|－|x－3|≤|(x－4)－(x－3)|＝1，即 f(x)max＝1，所以 a≥1.答案： [1，＋∞)8．关于实数 x，y，若|x－1| ≤1，|y－2| ≤1，|x－2y＋1|的最大值是________．分析：|x－2y＋1|＝|x－1－2(y－2)－2|≤|x－1|＋2|y－2|＋|－2|≤1＋2＋2＝5.答案： 5 三、解答题19． (2014 ·课标全国Ⅱ卷)设函数 f(x)＝ x＋a＋|x－a|(a＞0)，证明： f(x) ≥2.证明：由 a＞0，有f(x)＝＋1＋|x－ a|≥＋1－（ x－a）x a x a1＝a＋a≥2.所以 f(x)≥2.10．求函数 f(x)＝|x－5|－|x＋3|的最大值，并求出取最大值时x 的范围．解： f(x)＝|x－ 5|－|x＋3|≤|(x－5)－ (x＋3)|＝8，当且仅当 (x－5)(x＋3)≤0，即－ 3≤x≤5 时等号建立，所以当－ 3≤x≤5 时， f(x)＝ |x－5|－|x＋3|获得最大值为 8.B 级能力提高1．设会合 {x|x－3|－|x－4|＞m} ≠?，则实数 m 的取值范围为 ()A．m＞1 C．m＜1B．m≥1 D．m≤1分析： |x－ 3|－|x－ 4|≤|x－ 3－ (x－4)|＝ 1.会合非空即 |x－3|－|x－4|＞m 有解，所以 m＜1.答案： C2．以下三个命题：(1)若|a－b|＜1，则 |a|＜|b|＋1；(2)若 a，b∈R，则 |a＋b|－2|a| ≤|a－b|；x 2(3)若|x|＜2，|y|＞3，则y＜3.此中正确的有 ________个．分析：(1)由于 |a|－|b|≤|a－b|＜ 1，所以 |a|＜|b|＋1，所以 (1)正确．(2)由于 |a＋b|－2|a|≤|a＋b－2a|＝ |b－a|＝|a－b|，所以 (2)正确．(3)由于 |x|x 2＜2，|y|＞3，所以y＜3，所以 (3)正确．答案： 33．x，y∈R，若|x|＋|y|＋ |x－1|＋|y－1| ≤2，求 x＋y 的取值范围．解：由于 |x|＋|x－1|≥|x－(x－ 1)|＝1，当且仅当 0≤x≤1 时取等号，|y|＋|y－ 1|≥|y－(y－1)|＝1，当且仅当 0≤y≤1 时取等号，所以 |x|＋|y|＋|x－ 1|＋|y－1|≥2.①又由于 |x|＋|y|＋ |x－1|＋|y－1|≤2，②所以只有当 0≤x≤1，0≤y≤1 时，①②两式同时建立．所以 0≤x＋y≤2.。

高中数学第一讲不等式和绝对值不等式 1.2.1 绝对值三角不等式练习(含解析)新人教A版选修4-

1.绝对值三角不等式基础巩固1已知|a-b|=1,b=(3,4),则|a|的取值范围是()A.[3,4]B.[4,5]C.[4,6]D.[3,6]||a-b|-|b||≤|a|=|a-b+b|≤|a-b|+|b|,∴4≤|a|≤6.2已知ab>0,有如下四个不等式:①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|a-b|;④|a+b|>|a|-|b|.其中正确的是()A.①和②B.①和③C.①和④D.②和④ab>0,∴a,b同号.∴|a+b|=|a|+|b|.∴①④正确.3已知实数a,b满足ab<0,则下列不等式成立的是() A.|a+b|>|a-b| B.|a+b|<|a-b|C.|a-b|<||a|-|b||D.|a-b|<|a|+|b|4已知|x-m|<ξ2,|ξ−ξ|<ξ2,则|4ξ+2ξ−4ξ−2ξ|小于()A.ξB.2ξC.3ξD.ξ25若不等式|x-2|+|x+3|<a的解集为⌀,则a的取值范围为() A.(5,+∞) B.[5,+∞)C.(-∞,5)D.(-∞,5]6已知|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=8,|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=5,则|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是.ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,又|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |−|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以3≤|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤13.7x,y∈R,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,则x+y的取值范围为.8不等式|ξ+ξ||ξ|-|ξ|≥1成立的充要条件是.⇔|ξ+ξ|-(|ξ|-|ξ|)|ξ|-|ξ|≥0.∵|a+b|≥|a|-|b|,∴|a+b|-(|a|-|b|)≥0.∴|a|-|b|>0,即|a|>|b|.9设|a|≤1,函数f(x)=ax2+x-a(-1≤x≤1),证明：|f(x)|≤54.(x)|=|a(x2-1)+x|≤|a(x2-1)|+|x|≤|x2-1|+|x|=1-x2+|x|=−(|ξ|-12)2+54≤54,即|f(x)|≤54.10已知f(x)=ax2+bx+c,且当|x|≤1时,|f(x)|≤1,求证:(1)|c|≤1;(2)|b|≤1.由|f(0)|≤1,得|c|≤1.(2)由|f(1)|≤1,得|a+b+c|≤1,由|f(-1)|≤1,得|a-b+c|≤1,故|b|=|ξ+ξ+ξ+(-ξ+ξ-ξ)|2≤12(|ξ+ξ+ξ|+|ξ−ξ+ξ|)≤1.能力提升1已知x 为实数,且|x-5|+|x-3|<m 有解,则m 的取值范围是( )A.m>1B.m ≥1C.m>2D.m ≥2|x-5|+|x-3|≥|x-5+3-x|=2, ∴|x-5|+|x-3|的最小值为2. ∴要使|x-5|+|x-3|<m 有解,则m>2.2已知h>0,a ,b ∈R ,命题甲:|a-b|<2h ;命题乙:|a-1|<h ,且|b-1|<h ,则甲是乙的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件a 与b 的距离可以很近,满足|a-b|<2h ,但此时a ,b 与1的距离可以很大,因此甲不能推出乙;若|a-1|<h ,|b-1|<h ,则|a-b|=|a-1+1-b|≤|a-1|+|b-1|<2h ,故乙可以推出甲.因此甲是乙的必要不充分条件.3已知|a|≠|b|,m =|ξ|-|ξ||ξ-ξ|,ξ=|ξ|+|ξ||ξ+ξ|,则ξ,ξ之间的大小关系是( )A.m>nB.m<nC.m=nD.m ≤n,知|a|-|b|≤|a ±b|≤|a|+|b|,则|ξ|-|ξ||ξ-ξ|≤1≤|ξ|+|ξ||ξ+ξ|.4设|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是( ) A.|a+b|+|a-b|>2 B.|a+b|+|a-b|<2 C.|a+b|+|a-b|=2 D.不能比较大小(a+b )(a-b )≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b )+(a-b )|=2|a|<2, 当(a+b )(a-b )<0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b )-(a-b )|=2|b|<2.综上可知,|a+b|+|a-b|<2.5下列不等式恒成立的个数是()①x+1ξ≥2(x≠0);②ξξ<ξξ(ξ>ξ>ξ>0);③ξ+ξξ+ξ>ξξ(ξ,ξ,ξ>0,ξ<ξ);④|a+b|+|b-a|≥2a.A.4B.3C.2D.1,当x<0时不等式不成立;②成立,a>b>c>0⇒ξξξ>ξξξ即1ξ>1ξ,又由于c>0,故有ξξ>ξξ;③成立,因为ξ+ξξ+ξ−ξξ=(ξ-ξ)ξξ(ξ+ξ)>0(ξ,ξ,ξ>0,ξ<ξ),所以ξ+ξξ+ξ>ξξ;④成立,由绝对值不等式的性质可知|a+b|+|b-a|≥|(a+b)-(b-a)|=|2a|≥2a,故选B.6已知函数f(x)=|x-3|-|x-a|.若存在实数x,使得不等式f(x)≥a成立,则实数a的取值范围为.-∞,32]7函数y=|x-4|+|x-6|的最小值为.4|+|x-6|≥|x-4+6-x|=2,当且仅当4≤x≤6时,等号成立.★8下列四个不等式:①log x10+lg x≥2(x>1);②|a-b|<|a|+|b|;③|ξξ+ξξ|≥2(ab≠0);④|x-1|+|x-2|≥1.其中恒成立的是(只填序号).x>1,∴log x10+lg x=1lgξ+lg x≥2,①正确;当ab ≤0时,|a-b|=|a|+|b|,②不正确; ∵ab ≠0,ξξ与ξξ同号,∴|ξξ+ξξ|=|ξξ|+|ξξ|≥2,③正确; 由|x-1|+|x-2|的几何意义知|x-1|+|x-2|≥1恒成立,④也正确;综上可知,①③④正确.★9对定义在区间[-1,1]上的函数f (x ),若存在常数A>0,使得对任意x 1,x 2∈[-1,1],都有|f (x 1)-f (x 2)|≤A|x 1-x 2|,则称f (x )具有性质L .问函数f (x )=x 2+3x+5与g (x )=√|ξ|是否具有性质L ?试证明.f (x )具有性质L,函数g (x )不具有性质L . 证明如下:(1)对于函数f (x )=x 2+3x+5,任取x 1,x 2∈[-1,1],|f (x 1)-f (x 2)|=|ξ12−ξ22+3(ξ1−ξ2)|=|(x 1-x 2)(x 1+x 2+3)| =|x 1-x 2||x 1+x 2+3|≤|x 1-x 2|(|x 1|+|x 2|+3)≤5|x 1-x 2|. 故存在A=5,使f (x )具有性质L . (2)对于函数g (x )=√|ξ|,设它具有性质L,任取x 1,x 2∈[-1,1],当x 1,x 2不同时为0时, 则|g (x 1)-g (x 2)|=|√|ξ1|−√|ξ2||=√|ξ12≤√|ξ12≤A|x 1-x 2|,得A ≥√|ξ121ξ≤√|ξ1|+√|ξ2|≤2.得1ξ∈(0,2]. 取x 1=14ξ2≤1,x 2=116ξ2≤14,有√|ξ1|+√|ξ2|=12ξ+14ξ=34ξ<1ξ, 与√|ξ1|+√|ξ2|≥1ξ矛盾, 故函数g (x )=√|ξ|不具有性质L .。

课时作业4：二　第1课时　绝对值三角不等式

二绝对值不等式第1课时绝对值三角不等式一、选择题1．已知h＞0，a，b∈R，命题甲：|a－b|＜2h；命题乙：|a－1|＜h且|b－1|＜h，则甲是乙的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析“乙⇒甲”∵|a－1|＜h，|b－1|＜h，∴|a－1|＋|b－1|＜2h，又|a－1|＋|b－1|≥|(a－1)－(b－1)|＝|a－b|，∴|a－b|＜2h.“甲⇏乙”当a＝b＝5，h＝1时，甲⇏乙．综上，甲是乙的必要不充分条件．2．设|a|＜1，|b|＜1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是()A．|a＋b|＋|a－b|＞2 B．|a＋b|＋|a－b|＜2C．|a＋b|＋|a－b|＝2 D．不能比较大小答案 B解析当(a＋b)与(a－b)同号或(a＋b)(a－b)＝0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|＜2.当(a＋b)与(a－b)异号时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|＜2.3．对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为()A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥|(x－1)－x|＋|(y－1)－(y＋1)|＝3.4．设变量x ，y 满足|x －1|＋|y －a |≤1，若2x ＋y 的最大值是5，则实数a 的值是( )A ．2B ．1C ．0D ．－1答案 B解析由|x －1|＋|y －a |≤1，得|x －1|≤1，∴0≤x ≤2，且|x ＋y －1－a |≤1，∴a ≤x ＋y ≤2＋a ，∴a ≤2x ＋y ≤4＋a ，又2x ＋y 的最大值为5，∴4＋a ＝5，∴a ＝1.5．已知不等式|x －m |＜1成立的一个充分不必要条件是13＜x ＜12，则实数m 的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤－43，12 B.⎣⎡⎦⎤－12，43 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 D.⎣⎡⎭⎫43，＋∞ 答案 B6．对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为( )A ．5B ．4C ．8D ．7答案 A解析由题意，得|x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －1)|≤|x －1|＋|2(y －2)＋2|≤1＋2|y －2|＋2≤5，即|x －2y ＋1|的最大值为5.二、填空题7．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．答案 [－2,4]解析 |x －a |＋|x －1|≥|a －1|，则只需要|a －1|≤3，解得－2≤a ≤4.8．已知函数f (x )＝|x －3|－|x －a |.若存在实数x ，使得不等式f (x )≥a 成立，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，32 解析由不等式性质可知，f (x )＝|x －3|－|x －a |≤|(x －3)－(x －a )|＝|a －3|，所以若存在实数x ，使得不等式f (x )≥a 成立，则|a －3|≥a ，解得a ≤32，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，32. 9．以下三个命题：①若|a －b |≤1，则|a |≤|b |＋1；②若a ，b ∈R ，则|a ＋b |－2|a |≤|a －b |；③|x |＜2，|y |＞3，则⎪⎪⎪⎪x y ＜23.其中正确命题的序号为________．答案 ①②③解析因为|a |－|b |≤|a －b |≤1，所以|a |≤|b |＋1，故①正确；因为|a ＋b |－2|a |＝|a ＋b |－|2a |≤|(a ＋b )－2a |＝|a －b |.故②正确；③显然正确．10．若不等式|2a －1|≤⎪⎪⎪⎪x ＋1x 对一切非零实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤－12，32 解析 ⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x |＋1|x |≥2，所以由已知得|2a －1|≤2，即－2≤2a －1≤2，解得－12≤a ≤32. 11．已知函数f (x )＝|x －3|－2，g (x )＝－|x ＋1|＋4，若函数f (x )－g (x )≥m ＋1的解集为R ，则m 的取值范围是________．答案 (－∞，－3]解析 f (x )－g (x )＝|x －3|＋|x ＋1|－6，因为x ∈R ，由绝对值三角不等式，得f (x )－g (x )＝|x －3|＋|x ＋1|－6＝|3－x |＋|x ＋1|－6≥|(3－x )＋(x ＋1)|－6＝4－6＝－2，于是有m ＋1≤－2，得m ≤－3，即m 的取值范围是(－∞，－3]．三、解答题12．设不等式－2＜|x －1|－|x ＋2|＜0的解集为M ，a ，b ∈M ，证明：⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ＜14.证明记f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，x ≤－2，－2x －1，－2＜x ＜1，－3，x ≥1.由－2＜－2x －1＜0，解得－12＜x ＜12，则M ＝⎝⎛⎭⎫－12，12. 因为a ，b ∈M ，所以|a |＜12，|b |＜12，所以⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |＜13×12＋16×12＝14. 13．设a ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋x －a (－1≤x ≤1)．(1)若|a |≤1，证明：|f (x )|≤54； (2)求使函数f (x )有最大值178的实数a 的值． (1)证明 ∵|x |≤1，|a |≤1，∴|f (x )|＝|a (x 2－1)＋x |≤|a ||x 2－1|＋|x |≤|x 2－1|＋|x |＝1－|x |2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |－122＋54≤54. ∴|f (x )|≤54. (2)解当a ＝0时，f (x )＝x ；当－1≤x ≤1时，f (x )的最大值为f (1)＝1不可能满足题设条件，∴a ≠0.又f (1)＝a ＋1－a ＝1，f (－1)＝a －1－a ＝－1，故f (±1)均不是最大值．∴f (x )的最大值为178，应在其对称轴上，即顶点位置取得，∴a ＜0， ∴⎩⎨⎧－1＜－12a ＜1，f ⎝⎛⎭⎫－12a ＝178，a ＜0，得⎩⎨⎧ a ＜－12，(a ＋2)⎝⎛⎭⎫a ＋18＝0. 即⎩⎨⎧a ＜－12，a ＝－2或a ＝－18. ∴a ＝－2.四、探究与拓展 14．设x ，y ∈R ，求证：|2x －x |＋|2y －y |＋|x ＋y |≥122x y ++.证明由绝对值三角不等式，得|2x －x |＋|2y －y |≥|2x ＋2y －(x ＋y )|≥|2x ＋2y |－|x ＋y |，∴|2x －x |＋|2y －y |＋|x ＋y |≥|2x ＋2y |.而|2x ＋2y |＝2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y ＝2·22x y +＝22x y+＋1，∴|2x －x |＋|2y －y |＋|x ＋y |≥122x y ++.15．已知a ，b ∈R 且a ≠0，求证：|a 2－b 2|2|a |≥|a |2－|b |2. 证明 (1)若|a |＞|b |，左边＝|a ＋b ||a －b |2|a |＝|a ＋b ||a －b ||a ＋b ＋a －b |≥|a ＋b ||a －b ||a ＋b |＋|a －b |＝11|a ＋b |＋1|a －b |. ∵1|a ＋b |≤1|a |－|b |，1|a －b |≤1|a |－|b |， ∴1|a ＋b |＋1|a －b |≤2|a |－|b |. ∴左边≥|a |－|b |2＝右边． (2)若|a |＜|b |，左边＞0，右边＜0，∴原不等式显然成立．(3)若|a |＝|b |，原不等式显然成立．综上可知，原不等式成立．。

人教A版选修【4-5】1.2.1《绝对值三角不等式》习题及答案

数学·选修4－5(人教A版)不等式和绝对值不等式1.1不等式1．2.1 绝对值三角不等式一层练习1．若|x－a|<m，|y－a|<n，则下列不等式一定成立的是( )A．|x－y|<2m B．|x－y|<2nC．|x－y|<n－m D．|x－y|<n＋m[:答案：D2．设ab>0，下面四个不等式：①|a＋b|>|a|；②|a＋b|<|b|；③|a＋b|<|a－b|；④|a＋b|>|a|－|b|.其中正确的是( )A．①② B．①③C．①④ D．②④答案：C3．若a，b∈R，且|a|≤3，|b|≤2，则|a＋b|的最大值是________，最小值是________．答案：5 04．已知p ，q ，x∈R，pq≥0，x≠0，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪px ＋q x ______2pq(填“≥”，“≤”，“>”或“<”)．答案：≥5．若不等式|x －4|＋|x －3|>a 对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(3,4)D ．[3，＋∞)答案：A6．方程|x|＋|log a x|＝|x ＋log a x|(a>1)的解集是________________．答案：{x|x>1}二层练习7．函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值是________，最小值是________．答案：4 －48．|x －A|<ε2，|y －A|<ε2是|x －y|<ε的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件答案：A9．对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，|x －2y ＋1|的最大值是________．解析：|x －2y ＋1|＝|x －1－2(y －2)－2|≤|x－1|＋2|y －2|＋|－2|≤1＋2＋2＝5. 答案：5三层练习10．设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是平面直角坐标系xOy 上的两点，现定义点A 到点B 的一种折线距离为ρ(A ，B)＝|x 2－x 1|＋|y 2－y 1|，对于平面xOy 上给定的不同的两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，若点C(x ，y)是平面xOy 上的点，试证明：ρ(A ，C)＋ρ(C ，B)≥ρ(A ，B)．证明：由绝对值不等式知，ρ(A ，C)＋ρ(C ，B)＝|x －x 1|＋|x 2－x|＋|y －y 1|＋|y 2－y| ≥|(x－x 1)＋(x 2－x )|＋|(y －y 1)＋(y 2－y)|＝|x 2－x 1|＋|y 2－y 1|＝ρ(A ，B)．当且仅当(x －x 1)·(x 2－x)≥0且(y －y 1)·(y 2－y)≥0时等号成立．11．已知实数x ，y 满足：|x ＋y|<13，|2x －y|<16，求证：|y |<518.证明：∵3|y|＝|3y|＝|2(x ＋y)＋(y －2x)|≤2|x＋y|＋|2x －y|，由题意设|x ＋y|<13，|2x －y|<16， ∴3|y|<2×13＋16＝56. ∴|y|<518.12．求证：|a 2－b 2|2|a|≥|a|2－|b|2. 证明：(1)当|a|≤|b|时，由|a 2－b 2|2|a|≥0， |a|2－|b|2≤0，知不等式成立 (2)当|a|>|b|时．|a 2－b 2|2|a|－⎝ ⎛⎭⎪⎫|a|2－|b|2＝|a|2－|b|22|a|－|a|－|b|2＝|a|－|b|2×⎝ ⎛⎭⎪⎫|a|＋|b||a|－1 ＝|a|－|b|2×b a≥0. 所以|a 2－b 2|2|a|≥|a|2－|b|2.1．在掌握本节知识过程中，要充分认识和理解绝对值的意义和性质：设a∈R，则|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a≥0，－a ，a ＜0.|a|≥0，－|a|≤a≤|a|，|a|2＝a 2.2．绝对值不等式的性质定理的推广：|a 1＋a 2＋a 3|≤|a 1|＋|a 2|＋|a 3|；|a 1＋a 2＋…＋a n |≤|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |；|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.3．在应用含绝对值的不等式求某些函数的最值时，一定要注意等号成立的条件： |a ＋b|＝|a|＋|b|(ab≥0)；|a －b|＝|a|＋|b|(ab ≤0)；||a|－|b||＝|a ＋b|(ab≤0)；||a|－|b||＝|a －b|(ab≥0)．。

人教版高中数学选修4-5 1.2.1《绝对值三角不等式》练习及答案

1．2 绝对值不等式1．2.1 绝对值三角不等式1．理解绝对值的几何意义．2．能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a ＋b |≤|a |＋|b |；(2)|a －b |≤|a －c |＋|c －b |.1．研究在绝对值符号内含有未知数的不等式(也称绝对值不等式)，关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等式．主要的依据是绝对值的意义．在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值．即|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ＞0，0，x ＝0，－x ，x ＜0.思考1 求下列各数的绝对值：(1)3；(2)－8；(3)0.答案: (1)3 (2)8 (3)02．绝对值三角不等式定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．关于定理1的几点说明：(1)定理1的证明：|a ＋b |≤|a |＋|b |⇔(a ＋b )2≤(|a |＋|b |)2⇔a 2＋b 2＋2ab ≤a 2＋b 2＋2|a ||b |⇔ab ≤|a ||b |⇔ab ≤|ab |，由已知知识可知ab ≤|ab |一定成立，因而不等式|a ＋b |≤|a |＋|b |成立．又由于上面每一步都是恒等变形及ab ＝|ab |⇔ab ≥0可知，当且仅当ab ≥0时，等号成立．(2)对定理的几何说明，实际上是利用了绝对值的几何意义，证明了不等式|a ＋b |≤|a |＋|b |.(3)定理1还可以变形为|a －b |≤|a |＋|b |，等号成立的充要条件是ab ≤0.(4)由定理1还可以得出许多正确的结论，例如：如果a ，b 是实数，那么|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |；|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |.思考2 说出下列不等式等号成立的条件：(1)|a |＋|b |≥|a ＋b |；(2)|a|－|b|≤|a＋b|；(3)|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.答案: (1)等号成立的条件是：ab≥0；(2)等号成立的条件是：ab≤0且a≥b.(3)等号成立的条件是：(a－b)(b－c)≥03．含有绝对值的不等式的证明中，常常利用|a|≥a，|a|≥－a及绝对值的和的性质．思考3当|a|>a时，a∈________；当|a|>－a时，a∈(0，＋∞)．答案: (－∞，0)一层练习1．若|x－a|<m，|y－a|<n，则下列不等式一定成立的是()A．|x－y|<2m B．|x－y|<2nC．|x－y|<n－m D．|x－y|<n＋m答案: D2．设ab>0，下面四个不等式：①|a＋b|>|a|；②|a＋b|<|b|；③|a＋b|<|a－b|；④|a＋b|>|a|－|b|.其中正确的是()A．①②B．①③C．①④D．②④答案: C3．若a，b∈R，且|a|≤3，|b|≤2，则|a＋b|的最大值是________，最小值是________．答案: 504．方程|x|＋|log a x|＝|x＋log a x|(a>1)的解集是________________．答案: {x|x≥1}二层练习5．|x－A|<ε2，|y－A|<ε2是|x－y|<ε的()A．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件答案: A6．若不等式|x －4|＋|x －3|>a 对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(3，4)D ．[3，＋∞)答案: A7．“a ＜4”是“对任意实数x ，|2x －1|＋|2x ＋3|≥a 成立”的( )A ．必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．即不充分也不必要条件解析：∵|2x －1|＋|2x ＋3|≥|2x －1－(2x ＋3)|＝4，∴当a ＜4时⇒|2x －1|＋|2x ＋3|≥a 成立，即充分条件；当|2x －1|＋|2x ＋3|≥a ⇒a ≤4，不能推出a ＜4，即必要条件不成立．答案：B8．函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值是________，最小值是________．解析：解法一 ∵||x －3|－|x ＋1||≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4， ∴－4≤|x －3|－|x ＋1|≤4.∴y max ＝4，y min ＝－4.解法二把函数看作分段函数y ＝|x －3|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ＜－1，2－2x ，－1≤x ≤3，－4，x ＞3.∴－4≤y ≤4，∴y max ＝4，y min ＝－4.答案：4 －49．对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，|x －2y ＋1|的最大值是________．解析：|x －2y ＋1|＝|x －1－2(y －2)－2|≤|x －1|＋2|y －2|＋|－2|≤1＋2＋2＝5.答案：510．(2014·江西高考文科)x ，y ∈R ，若|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≤2，则x ＋y 的取值范围为____________．解析：由|a |＋|b |≥|a －b |知，|x |＋|x －1|≥|x －(x －1)|＝1，同理|y |＋|y －1|≥1，故|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|＝2，所以0≤x ≤1且0≤y ≤1，即0≤x ＋y ≤2.答案：[0，2]三层练习11．(2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a ＞0)，证明：f (x )≥2.解析：(1)由a ＞0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪x ＋1a －（x －a ）＝1a＋a ≥2. 所以f (x )≥2.12．设a ，b ∈R 且|a ＋b ＋1|≤1，|a ＋2b ＋4|≤4，求|a |＋|b |的最大值．解析：|a ＋b |＝|(a ＋b ＋1)－1|≤|a ＋b ＋1|＋|－1|≤1＋1＝2|a －b |＝|3(a ＋b ＋1)－2(a ＋2b ＋4)＋5|≤3|a ＋b ＋1|＋2|a ＋2b ＋4|＋5≤3×1＋2×4＋5＝16. ①当ab ≥0时，|a |＋|b |＝|a ＋b |≤2；②当ab ＜0时，则a (－b )＞0，|a |＋|b |＝|a |＋|－b |＝|a ＋(－b )|≤16.总之，恒有|a |＋|b |≤16.而a ＝8，b ＝－8时，满足|a ＋b ＋1|＝1，|a ＋2b ＋4|＝4，且|a |＋|b |＝16.因此|a |＋|b |的最大值为16.13．已知实数x ，y 满足：|x ＋y |<13，|2x －y |<16，求证：|y |<518. 证明：∵3|y |＝|3y |＝|2(x ＋y )＋(y －2x )|≤2|x ＋y |＋|2x －y |，由题意设|x ＋y |<13，|2x －y |<16， ∴3|y |<2×13＋16＝56. ∴|y |<518.14．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是平面直角坐标系xOy 上的两点，现定义点A 到点B 的一种折线距离为ρ(A ，B )＝|x 2－x 1|＋|y 2－y 1|，对于平面xOy 上给定的不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若点C (x ，y )是平面xOy 上的点，试证明：ρ(A ，C )＋ρ(C ，B )≥ρ(A ，B )．证明：由绝对值不等式知，ρ(A ，C )＋ρ(C ，B )＝|x －x 1|＋|x 2－x |＋|y －y 1|＋|y 2－y |≥|(x －x 1)＋(x 2－x )|＋|(y －y 1)＋(y 2－y )|＝|x 2－x 1|＋|y 2－y 1|＝ρ(A ，B )．当且仅当(x －x 1)·(x 2－x )≥0且(y －y 1)·(y 2－y )≥0时等号成立．1．在掌握本节知识过程中，要充分认识和理解绝对值的意义和性质：设a ∈R ，则|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a ＜0. |a |≥0，－|a |≤a ≤|a |，|a |2＝a 2.2．绝对值不等式的性质定理的推广：|a 1＋a 2＋a 3|≤|a 1|＋|a 2|＋|a 3|；|a 1＋a 2＋…＋a n |≤|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |；||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |.3．在应用含绝对值的不等式求某些函数的最值时，一定要注意等号成立的条件： |a ＋b |＝|a |＋|b |(ab ≥0)；|a －b |＝|a |＋|b |(ab ≤0)；||a |－|b ||＝|a ＋b |(ab ≤0)；||a |－|b ||＝|a －b |(ab ≥0)．。

近年-近年学年高中数学课时训练(四)绝对值三角不等式(含解析)新人教A版选修4-5(最新整理)

课时跟踪检测（四）绝对值三角不等式1．对于|a|－|b|≤|a＋b｜≤|a｜＋|b|，下列结论正确的是（)A．当a，b异号时,左边等号成立B．当a,b同号时,右边等号成立C．当a＋b＝0时，两边等号均成立D．当a＋b>0时，右边等号成立；当a＋b<0时，左边等号成立解析：选 B 当a，b异号且|a|>｜b|时左边等号才成立，故A不正确；显然B正确; 当a＋b＝0时，右边等号不成立，C不正确；D显然不正确．2．若|a－c｜〈b，则下列不等式不成立的是（)A．｜a｜〈｜b|＋|c| B．｜c|<|a｜＋|b｜C．b>｜c|－|a｜D．b<|｜a｜－|c｜｜解析：选D ∵|a－c｜<b，令a＝1，c＝2,b＝3。

则｜a｜＝1，｜b｜＋｜c|＝5，∴｜a｜<｜b|＋|c｜成立．|c|＝2,|a|＋|b｜＝4，∴|c|〈｜a|＋｜b|成立．||c|－|a｜｜＝||2｜－|1||＝1，∴b〉｜｜c｜－|a|｜成立．故b<｜|a|－｜c｜|不成立．3．不等式错误!〈1成立的充要条件是（）A．a，b都不为零B．ab<0C．ab为非负数D．a,b中至少有一个不为零解析：选B ｜a＋b||a|＋|b|〈1⇔｜a＋b|<|a｜＋｜b｜⇔a2＋b2＋2ab〈a2＋b2＋2｜ab|⇔ab<｜ab|⇔ab<0.4．“｜x－a｜〈m且｜y－a｜<m”是“｜x－y｜<2m"(x,y，a,m∈R）的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析:选A ∵|x－a｜<m，|y－a｜〈m，∴｜x－a|＋｜y－a｜〈2m。

又∵|(x－a）－(y－a)｜≤｜x－a|＋｜y－a｜，∴|x－y|〈2m，但反过来不一定成立，如取x＝3，y＝1,a＝－2，m＝2。

5，|3－1｜〈2×2.5，但｜3－（－2)｜>2。

2020版高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.2.1绝对值三角不等式练习(含解析)新人教A版选修4_5

1.绝对值三角不等式基础巩固1已知|a-b|=1,b=(3,4),则|a|的取值范围是()A.[3,4]B.[4,5]C.[4,6]D.[3,6]||a-b|-|b||≤|a|=|a-b+b|≤|a-b|+|b|,∴4≤|a|≤6.2已知ab>0,有如下四个不等式:①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|a-b|;④|a+b|>|a|-|b|.其中正确的是()A.①和②B.①和③C.①和④D.②和④ab>0,∴a,b同号.∴|a+b|=|a|+|b|.∴①④正确.3已知实数a,b满足ab<0,则下列不等式成立的是()A.|a+b|>|a-b|B.|a+b|<|a-b|C.|a-b|<||a|-|b||D.|a-b|<|a|+|b|4已知|x-m|则44小于A.ξB.2ξC.3ξD5若不等式|x-2|+|x+3|<a的解集为⌀,则a的取值范围为() A.(5,+∞) B.[5,+∞)C.(-∞,5)D.(-∞,5]6已知则的取值范围是又所以3≤≤13.7x,y∈R,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤ ,则x+y的取值范围为.8不等式-≥1成立的充要条件是.⇔---≥0.∵|a+b|≥|a|-|b|,∴|a+b|-(|a|-|b| ≥0.∴|a|-|b|>0,即|a|>|b|.9设|a|≤1,函数f(x)=ax2+x-a(-1≤x≤1 ,证明：|f(x)|≤4(x)|=|a(x2-1)+x|≤|a(x2-1)|+|x|≤|x2-1|+|x|=1-x2+|x|=-144即|f(x)|≤410已知f(x)=ax2+bx+c,且当|x|≤1时,|f(x)|≤1,求证:(1)|c|≤1;(2)|b|≤1.由|f(0)|≤1,得|c|≤1.(2)由|f(1)|≤1,得|a+b+c|≤1,由|f(-1)|≤1,得|a-b+c|≤1,故|b|--≤1≤1.能力提升1已知x为实数,且|x-5|+|x-3|<m有解,则m的取值范围是()A.m>1B.m≥1C.m>2D.m≥|x-5|+|x-3|≥|x-5+3-x|=2,∴|x-5|+|x-3|的最小值为2.∴要使|x-5|+|x-3|<m有解,则m>2.2已知h>0,a,b∈R,命题甲:|a-b|<2h;命题乙:|a-1|<h,且|b-1|<h,则甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件a与b的距离可以很近,满足|a-b|<2h,但此时a,b与1的距离可以很大,因此甲不能推出乙;若|a-1|<h,|b-1|<h,则|a-b|=|a-1+1-b|≤|a-1|+|b-1|<2h,故乙可以推出甲.因此甲是乙的必要不充分条件.则之间的大小关系是3已知|a|≠|b|,m--A.m>nB.m<nC.m=nD.m≤n≤1≤,知|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|,则--4设|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是()A.|a+b|+|a-b|>2B.|a+b|+|a-b|<2C.|a+b|+|a-b|=2D.不能比较大小(a+b)(a-b ≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2,当(a+b)(a-b)<0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2.综上可知,|a+b|+|a-b|<2.5下列不等式恒成立的个数是()①x1≥ x≠0);②0③0④|a+b|+|b-a|≥ a.A.4B.3C.2D.1,当x<0时不等式不成立;②成立,a>b>c>0⇒即11又由于c>0,故有③成立,因为-00所以④成立,由绝对值不等式的性质可知|a+b|+|b-a|≥|(a+b)-(b-a)|=|2a|≥ a,故选B.6已知函数f(x)=|x-3|-|x-a|.若存在实数x,使得不等式f(x ≥a成立,则实数a的取值范围为.-∞,37函数y=|x-4|+|x-6|的最小值为.4|+|x-6|≥|x-4+6-x|=2,当且仅当4≤x≤6时,等号成立.★8下列四个不等式:①log x10+lg x≥ x>1);②|a-b|<|a|+|b|;③≥ ab≠0);④|x-1|+|x-2|≥1.其中恒成立的是(只填序号).x>1,∴log x10+lg x1x≥ ,①正确;当ab≤0时,|a-b|=|a|+|b|,②不正确;∵ab≠0与同号,≥ ,③正确;由|x-1|+|x-2|的几何意义知|x-1|+|x-2|≥1恒成立,④也正确;综上可知,①③④正确.★9对定义在区间[-1,1]上的函数f(x),若存在常数A>0,使得对任意x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤A|x1-x2|,则称f(x)具有性质L.问函数f(x)=x2+3x+5与g(x)是否具有性质试证明f(x)具有性质L,函数g(x)不具有性质L.证明如下:(1)对于函数f(x)=x2+3x+5,任取x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|=131=|(x1-x2)(x1+x2+3)|=|x1-x2||x1+x2+3|≤|x1-x2|(|x1|+|x2|+3 ≤ |x1-x2|.故存在A=5,使f(x)具有性质L.(2)对于函数g(x)设它具有性质L,任取x1,x2∈[-1,1],当x1,x2不同时为0时,则|g(x1)-g(x2)|=111≤A|x1-x2|,得A≥111≤ .得1∈(0,2].取x114≤1,x211614有1114341与11矛盾,故函数g(x)不具有性质L.。

2019秋高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.2.1绝对值三角不等式练习(含解析)新人教A版选修4_5

1.2.1 绝对值三角不等式A 级基础巩固一、选择题1．若|x －m |＜ε，|y －m |＜ε，则下列不等式中一定成立的是( )A ．|x －y |＜εB ．|x －y |＜2εC ．|x －y |＞2εD ．|x －y |＞ε解析：|x －y |＝|x －m －(y －m )|≤|x －m |＋|y －m |＜2ε.答案：B2．如果a ，b 都是非零实数，则下列不等式中不成立的是( )A ．|a ＋b |＞a －bB ．2ab ≤|a ＋b |(ab ＞0)C ．|a ＋b |≤|a |＋|b | D.⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2 解析：令a ＝1，b ＝－1，则A 不成立．答案：A3．对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为( )A ．5B ．4C ．8D ．7解析：由题意得，|x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －1)|≤|x －1|＋|2(y －2)＋2|≤1＋2|y －2|＋2≤5，即|x －2y ＋1|的最大值为5.答案：A4．已知|a |≠|b |，m ＝|a |－|b ||a －b |，n ＝|a |＋|b ||a ＋b |，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD ．m ≤n解析：由绝对值三角不等式知|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |，所以|a |－|b ||a －b |≤1≤|a |＋|b ||a ＋b |. 答案：D5．不等式|x ＋3|＋|x －1|≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1，4]B ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪[5，＋∞)D ．[－2，5]解析：由绝对值的几何意义易知|x ＋3|＋|x －1|的最小值为4，所以不等式|x ＋3|＋|x －1|≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.答案：A二、填空题6．“|x －A |＜q 2且|y －A |＜q 2”是“|x －y |＜q ”的________条件．解析：因为|x －y |＝|(x －A )－(y －A )|≤|x －A |＋|y －A |＜q 2＋q 2＝q . 所以充分性成立．反之若|x －y |＜q 不能推出|x －A |＜q 2且|y －A |＜q 2成立．答案：充分不必要7．若不等式|x －4|－|x －3|≤a 对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：设f (x )＝|x －4|＋|x －3|，则f (x )≤a 对一切x ∈R 恒成立的充要条件是a ≥f (x )的最大值．因为|x －4|－|x －3|≤|(x －4)－(x －3)|＝1，即f (x )max ＝1，所以a ≥1.答案：[1，＋∞)8．x ，y ∈R ，若|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≤2，则x ＋y 的取值范围为________．解析：|x |＋|x －1|≥|x －(x －1)|＝1，|y |＋|y －1|≥|y －(y －1)|＝1，所以|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≥2，当且仅当x ∈[0，1]，y ∈[0，1]时，|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|取得最小值2，而已知|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≤2，所以|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|＝2，此时x ∈[0，1]，y ∈[0，1]，所以x ＋y ∈[0，2]．答案：[0，2]三、解答题9．已知a ，b ∈R 且a ≠0，求证：|a 2－b 2|2|a |≥|a |2－|b |2. 证明：①若|a |>|b |，左边＝|a ＋b ||a －b |2|a |＝|a ＋b ||a －b ||a ＋b ＋a －b |≥|a ＋b ||a －b ||a ＋b |＋|a －b |＝ 11|a ＋b |＋1|a －b |.因为1|a ＋b |≤1|a |－|b |，1|a －b |≤1|a |－|b |，所以1|a ＋b |＋1|a －b |≤2|a |－|b |. 所以左边≥|a |－|b |2＝右边． ②若|a |<|b |，左边>0，右边<0，所以原不等式显然成立．③若|a |＝|b |，原不等式显然成立．综上可知原不等式成立．10．(1)求函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值和最小值．(2)如果关于x 的不等式|x －3|＋|x －4|<a 的解集为空集，求参数a 的取值范围．解：(1)法一 ||x －3|－|x ＋1||≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4，所以－4≤|x －3|－|x ＋1|≤4.所以y max ＝4，y min ＝－4.法二把函数看作分段函数．y ＝|x －3|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x <－1，2－2x ，－1≤x ≤3，－4，x >3.所以－4≤y ≤4.所以y max ＝4，y min ＝－4.(2)只要a 不大于|x －3|＋|x －4|的最小值，则|x －3|＋|x －4|<a 的解集为空集，而|x －3|＋|x －4|＝|x －3|＋|4－x |≥|x －3＋4－x |＝1，当且仅当(x －3)(4－x )≥0，即3≤x ≤4时等号成立．所以当3≤x ≤4时，|x －3|＋|x －4|取得最小值1.所以a 的取值范围为(－∞，1]．B 级能力提升1．设|a |<1，|b |<1，则|a ＋b |＋|a －b |与2的大小关系是( )A ．|a ＋b |＋|a －b |>2B ．|a ＋b |＋|a －b |<2C ．|a ＋b |＋|a －b |＝2D ．不可能比较大小解析：当(a ＋b )(a －b )≥0时，|a ＋b |＋|a －b |＝|(a ＋b )＋(a －b )|＝2|a |<2；当(a ＋b )(a －b )<0时，|a ＋b |＋|a －b |＝|(a ＋b )－(a －b )|＝2|b |<2.答案：B2．已知α，β是实数，给出三个论断：①|α＋β|＝|α|＋|β|；②|α＋β|>5；③|α|>22，|β|>2 2.以其中的两个论断为条件，另一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题___________________________________________．解析：①，③成立时，则|α＋β|＝|α|＋|β|>42>5.答案：①③⇒②3．设函数y＝|x－4|＋|x－3|，求：(1)y的最小值；(2)使y<a有解的a的取值范围；(3)使y≥a恒成立的a的最大值．解：(1)当x≤3时，y＝－(x－4)－(x－3)＝7－2x是减函数，所以y≥7－2×3＝1.当3<x<4时，y＝－(x－4)＋(x－3)＝1；当x≥4时，y＝(x－4)＋(x－3)＝2x－7是增函数，所以y≥2×4－7＝1.所以y min＝1.(2)由(1)知y≥1.要使y<a有解，只要a>1，即a的取值范围为(1，＋∞)．(3)要使y≥a恒成立，只要y的最小值1≥a即可．所以a max＝1.。

高中数学选修4-5《绝对值三角不等式》同步课时作业(含答案)

高中数学选修4-5《绝对值三角不等式》同步课时作业(建议用时：45分钟)一、选择题1．已知a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ＞c ，则有( ) A ．|a |＞|b |＞|c | B ．|ab |＞|bc | C ．|a ＋b |＞|b ＋c | D.|a －c |＞|a －b |2．已知|a |≠|b |，m ＝|a |－|b ||a －b |，n ＝|a |＋|b ||a ＋b |，则m ，n 之间的大小关系为( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD.m ≤n3．已知a ，b ∈R ，ab >0，则下列不等式中不正确．．．的是( ) A ．|a ＋b |＞a －b B ．2ab ≤|a ＋b | C ．|a ＋b |<|a |＋|b |D.⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2 4．若|a －c |＜b ，则下列不等式不成立的是( ) A ．|a |＜|b |＋|c | B ．|c |＜|a |＋|b | C ．b ＞||c |－|a ||D.b ＜||a |－|c ||5．“|x －a |＜m 且|y －a |＜m ”是“|x －y |＜2m ”(x ，y ，a ，m ∈R)的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件二、填空题6．设a ，b ∈R ，|a －b |>2，则关于实数x 的不等式|x －a |＋|x －b |>2的解集是________．7．下列四个不等式： ①log x 10＋lg x ≥2(x ＞1)；②|a －b |＜|a |＋|b |；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2(ab ≠0)；④|x －1|＋|x －2|≥1.其中恒成立的是________(填序号)．8．已知α，β是实数，给出三个论断： ①|α＋β|＝|α|＋|β|； ②|α＋β|>5； ③|α|>22，|β|>2 2.以其中的两个论断为条件，另一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题是________．三、解答题9．设ε>0，|x －a |<ε4，|y －b |<ε6.求证：|2x ＋3y －2a －3b |<ε. 10．(2014·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0)．(1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围．巩固提高1．对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1| 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D.42．以下三个命题：(1)若|a －b |＜1，则|a |＜|b |＋1； (2)若a ，b ∈R ，则|a ＋b |－2|a |≤|a －b |； (3)若|x |＜2，|y |＞3，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪x y ＜23.其中正确的有________个．3．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________. 4．若1＜a ＜8，－4＜b ＜2，则a －|b |的取值范围是____________． 5．设a ＞0，|x －1|＜a 3，|y －2|＜a3，求证：|2x ＋y －4|＜a .高中数学选修4-5《绝对值三角不等式》同步课时作业参考答案一、选择题1．已知a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ＞c ，则有( ) A ．|a |＞|b |＞|c | B ．|ab |＞|bc | C ．|a ＋b |＞|b ＋c |D.|a －c |＞|a －b |【解析】当a ，b ，c 均为负数时，则A ，B ，C 均不成立，如a ＝－1，b ＝－2，c ＝－3时，有|a |＜|b |＜|c |，故A 错； |ab |＝2，而|bc |＝6，此时|ab |＜|bc |，故B 错；|a ＋b |＝3，|b ＋c |＝5，与C 中|a ＋b |＞|b ＋c |矛盾，故C 错；只有D 正确．故选D. 【答案】 D2．已知|a |≠|b |，m ＝|a |－|b ||a －b |，n ＝|a |＋|b ||a ＋b |，则m ，n 之间的大小关系为( )A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD.m ≤n【解析】由|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |，得|a |－|b ||a －b |≤1，|a |＋|b ||a ＋b |≥1. 【答案】 D3．已知a ，b ∈R ，ab >0，则下列不等式中不正确．．．的是( ) A ．|a ＋b |＞a －b B ．2ab ≤|a ＋b | C ．|a ＋b |<|a |＋|b |D.⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2 【解析】当ab >0时，|a ＋b |＝|a |＋|b |，C 错．【答案】 C4．若|a －c |＜b ，则下列不等式不成立的是( ) A ．|a |＜|b |＋|c | B ．|c |＜|a |＋|b | C ．b ＞||c |－|a ||D.b ＜||a |－|c ||【解析】 b ＞|a －c |＞|a |－|c |， b ＞|a －c |＞|c |－|a |，故A ，B 成立， ∴b ＞||a |－|c ||，故C 成立．应选D(此题代入数字也可判出)．【答案】 D5．“|x －a |＜m 且|y －a |＜m ”是“|x －y |＜2m ”(x ，y ，a ，m ∈R)的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ∵|x －a |＜m ，|y －a |＜m ， ∴|x －a |＋|y －a |＜2m .又∵|(x －a )－(y －a )|≤|x －a |＋|y －a |， ∴|x －y |＜2m ，但反过来不一定成立，如取x ＝3，y ＝1，a ＝－2，m ＝2.5，|3－1|＜2×2.5，但|3－(－2)|＞2.5，|1－(－2)|＞2.5，∴|x －y |＜2m 不一定有|x －a |＜m 且|y －a |＜m ，故“|x －a |＜m 且|y －a |＜m ”是“|x －y |＜2m (x ，y ，a ，m ∈R )”的充分不必要条件．【答案】 A 二、填空题6．设a ，b ∈R ，|a －b |>2，则关于实数x 的不等式|x －a |＋|x －b |>2的解集是________．【解析】因为a ，b ∈R ，则|a －b |>2，其几何意义是数轴上表示数a ，b 的两点间距离大于2，|x －a |＋|x －b |的几何意义为数轴上任意一点到a ，b 两点的距离之和，当x 处于a ，b 之间时|x －a |＋|x －b |取最小值，距离恰为a ，b 两点间的距离，由题意知其恒大于2，故原不等式解集为R .【答案】 R 7．下列四个不等式： ①log x 10＋lg x ≥2(x ＞1)；②|a －b |＜|a |＋|b |；③⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2(ab ≠0)； ④|x －1|＋|x －2|≥1.其中恒成立的是________(填序号)．【解析】 log x 10＋lg x ＝1lg x ＋lg x ≥2，①正确．ab ≤0时，|a －b |＝|a |＋|b |，②不正确； ∵ab ≠0，b a 与ab同号，∴⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ＝⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪a b ≥2，③正确；由|x －1|＋|x －2|的几何意义知 |x －1|＋|x －2|≥1恒成立，④也正确．综上，①③④正确．【答案】 ①③④8．已知α，β是实数，给出三个论断： ①|α＋β|＝|α|＋|β|；②|α＋β|>5； ③|α|>22，|β|>2 2.以其中的两个论断为条件，另一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题是________．【解析】 ①，③成立时，则|α＋β|＝|α|＋|β|>42>5. 【答案】 ①③⇒② 三、解答题9．设ε>0，|x －a |<ε4，|y －b |<ε6.求证：|2x ＋3y －2a －3b |<ε.【证明】 ∵|2x ＋3y －2a －3b |＝|2(x －a )＋3(y －b )|≤2|x －a |＋3|y －b |<2×ε4＋3×ε6＝ε.10．(2014·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0)． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围．【解】 (1)证明：由a >0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪x ＋1a －(x －a )＝1a ＋a ≥2，所以f (x )≥2.(2)f (3)＝⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |. 当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5，得3<a <5＋212.当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5，得1＋52<a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.巩固提高1．对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1| 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D.4【解析】 ∵x ，y ∈R ，∴|x －1|＋|x |≥|(x －1)－x |＝1， |y －1|＋|y ＋1|≥|(y －1)－(y ＋1)|＝2， ∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3.∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3. 【答案】 C 2．以下三个命题：(1)若|a －b |＜1，则|a |＜|b |＋1；(2)若a ，b ∈R ，则|a ＋b |－2|a |≤|a －b |； (3)若|x |＜2，|y |＞3，则⎪⎪⎪⎪x y ＜23. 其中正确的有________个．【解析】 (1)1＞|a －b |≥|a |－|b |， ∴1＋|b |＞|a |成立，(1)正确；(2)|a ＋b |－2|a |＝|a ＋b |－|2a |≤|a ＋b －2a |＝|a －b |正确； (3)⎪⎪⎪⎪x y ＝|x ||y |＜2|y |＜23，正确．【答案】 33．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________. 【解析】 |x －a |＋|x －1|≥|a －1|，则只需要|a －1|≤3，解得－2≤a ≤4. 【答案】－2≤a ≤44．若1＜a ＜8，－4＜b ＜2，则a －|b |的取值范围是____________．【解析】 ∵－4＜b ＜2，则0≤|b |＜4，∴－4＜－|b |≤0. 又∵1＜a ＜8，∴－3＜a －|b |＜8. 【答案】 (－3,8)5．设a ＞0，|x －1|＜a 3，|y －2|＜a3，求证：|2x ＋y －4|＜a .【证明】因为|x －1|＜a 3，|y －2|＜a3，所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋|y －2|＜2×a 3＋a3＝a.。

高中数学第一章1.2.1绝对值不等式课后练习北师大版选修4_

2019学年高中数学第一章不等关系与基本不等式 1.2.1 绝对值不等式课后练习北师大版选修4-5一、选择题1．实数a、b满足ab<0，那么( )A．|a－b|<|a|＋|b| B．|a＋b|≥|a－b|C．|a＋b|<|a－b| D．|a－b|<||a|－|b||解析：由ab<0，不妨设a>0，b<0，所以|a＋b|＝||a|－|b||，|a－b|＝|a|＋|b|，|a＋b|<|a－b|答案： C2．不等式|a＋b||a|＋|b|<1成立的充要条件是( )A．a、b都不为零B．ab<0C．ab为非负数D．a、b中至少有一个不为零解析：由绝对值不等式|a＋b|≤|a|＋|b|∴|a＋b||a|＋|b|≤1，当a，b同号或其中一个为零时取等号．∴ab<0.答案： B3．若|x－a|<m，|y－a|<n，则下列不等式一定成立的是( )A．|x－y|<2m B．|x－y|<2nC．|x－y|<n－m D．|x－y|<n＋m解析：|x－a|<m，|y－a|<n，∴|x－a|＋|y－a|<m＋n.∵|x－a|＋|y－a|≥|(x－a)－(y－a)|＝|x－y|，∴|x－y|<m＋n.答案： D4．已知函数f(x)＝－2x＋1，对任意ε使得|f(x1)－f(x2)|<ε成立的一个充分非必要条件是( )A ．|x 1－x 2|<εB ．|x 1－x 2|<ε2C ．|x 1－x 2|<ε3D ．|x 1－x 2|>ε3解析： ∵f (x )＝－2x ＋1，∴|f (x 1)－f (x 2)|＝|－2x 1＋1＋2x 2－1|＝|2x 1－2x 2|＝2|x 1－x 2|<ε，∴|x 1－x 2|<ε2∴|x 1－x 2|<ε3⇒|x 1－x 2|<ε2. 答案： C二、填空题 5．若不等式|x ＋5|＋|x ＋7|＜a 的解集为非空集合，则实数a 的取值范围是________．解析：由|x ＋5|＋|x ＋7|＝|x ＋5|＋|－x －7|≥|x ＋5－x －7|＝|－2|＝2，∴a ＞2.答案： (2，＋∞)6．以下三个命题：①若|a －b |＜1，则|a |＜|b |＋1；②若a 、b ∈R ，则|a ＋b |－2|a |≤|a－b |；③若|x |＜2，|y |＞3，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪x y ＜23，其中正确命题的序号是________．解析： ①|a |－|b |≤|a －b |＜1，所以|a |＜|b |＋1；②|a ＋b |－|a －b |≤|(a ＋b )＋(a －b )|＝|2a |，所以|a ＋b |－2|a |≤|a －b |；③|x |＜2，|y |＞3，所以1|y |＜13，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪x y ＝|x |·1|y |＜23. 故三个命题都正确．答案： ①②③三、解答题7．已知|A －a |＜ε3，|B －b |＜ε3，|C －c |＜ε3，求证：|(A ＋B ＋C )－(a ＋b ＋c )|＜ε.证明： |A ＋B ＋C －(a ＋b ＋c )|＝|(A －a )＋(B －b )＋(C －c )|≤|A－a|＋|B－b|＋|C－c|＜ε3＋ε3＋ε3＝ε.8．已知f(x)＝1＋x2定义在区间[－1,1]上，设x1，x2∈[－1,1]且x1≠x2. 求证：|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|.证明：|f(x1)－f(x2)|＝|x1－x2||x1＋x2| 1＋x21＋1＋x22，∵|x1＋x2|≤|x1|＋|x2|，1＋x21＋1＋x22>|x1|＋|x2|，∴|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|.9．设f(x)＝ax2＋bx＋c，当|x|≤1时，总有|f(x)|≤1，求证：|f(2)|≤7.证明：∵|x|≤1时，有|f(x)|≤1，∴|f(0)|＝|c|≤1，|f(1)|≤1，|f(－1)|≤1.又f(1)＝a＋b＋c，f(－1)＝a－b＋c，∴|f(2)|＝|4a＋2b＋c|＝|3(a＋b＋c)＋(a－b＋c)－3c|＝|3f(1)＋f(－1)－3f(0)|≤|3f(1)|＋|f(－1)|＋|3f(0)|≤3＋1＋3＝7.∴|f(2)|≤7.。

人教A版选修4-5 1.2.1.绝对值三角不等式作业

自我小测1．设集合A ＝{x ||x －a |＜1，x ∈R }，B ＝{x |1＜x ＜5，x ∈R }．若A ∩B ＝，则实数a 的取值范围是( )．A ．{a |0≤a ≤6}B ．{a |a ≤2，或a ≥4}C ．{a |a ≤0，或a ≥6}D ．{a |2≤a ≤4}2．已知|a |≠|b |，||||||a b m a b －＝－，||||||a b n a b ＋＝＋，则m ，n 之间的大小关系是( )． A ．m ＞n B ．m ＜nC ．m ＝nD ．m ≤n3．若对任意实数x ，不等式|x ＋1|－|x －2|＞a 恒成立，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，3)B ．(－∞，3]C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－3]4．已知p 、q 、x ∈R ，pq ≥0，x ≠0，则q px x＋______2pq . 5．若不等式|x －4|－|x －3|≤a 对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．6．若x ＜5，n ∈N ＋，则下列不等式：①lg <5lg 11n n x n n ＋＋；②||lg <5lg 11n n x n n ＋＋；③lg <5lg 11n n x n n ＋＋；④||lg <5lg 11n n x n n ＋＋，其中能够成立的有______． 7．设|a |≤1，函数f (x )＝ax 2＋x －a (－1≤x ≤1)，证明|f (x )|≤54. 8．已知f (x )＝x 2－2x ＋7，且|x －m |＜3，求证：|f (x )－f (m )|＜6|m |＋15.9.已知a ，b ，c 是实数，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，g (x )＝ax ＋b ，当－1≤x ≤1时，|f (x )|≤1．(1)求证：|c |≤1；(2)求证：当－1≤x ≤1时，|g (x )|≤2.参考答案1. 答案：C解析：由集合A 得－1＜x －a ＜1，即a －1＜x ＜a ＋1，显然集合A ≠，若A ∩B ＝，由图可知a ＋1≤1或a －1≥5，故a ≤0或a ≥6.2. 答案：D解析：由绝对值不等式的性质，知|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.∴||||||||1||||a b a b a b a b ≤≤－＋－＋. 3. 答案：C解析：恒成立问题，往往转化为求最值问题，本题中a ＜|x ＋1|－|x －2|对任意实数恒成立，即a ＜[|x ＋1|－|x －2|]min ，也就转化为求函数y ＝|x ＋1|－|x －2|的最小值问题．∵||x ＋1|－|x －2||≤|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴－3≤|x ＋1|－|x －2|≤3.∴[|x ＋1|－|x －2|]min ＝－3.∴a ＜－3.4. 答案：≥解析：当p ，q 至少有一个为0时，2q px pq x≥＋.当pq ＞0时，p ，q 同号，则px 与q x同号， ∴||2qq px px pq x x≥＋＝＋故2q px pq x≥＋. 5. 答案：[1，＋∞)解析：设f (x )＝|x －4|－|x －3|，则f (x )≤a 对一切x ∈R 恒成立的充要条件是a ≥f (x )的最大值．∵|x －4|－|x －3|≤|(x －4)－(x －3)|＝1．即f (x )max ＝1，∴a ≥1．6. 答案：④解析：∵0<<11n n ＋，∴lg <01n n ＋，由x ＜5并不能确定|x |与5的关系， ∴可以否定①②③，而||lg <01n x n ＋，④成立． 7. 证明：|f (x )|＝|a (x 2－1)＋x |≤|a (x 2－1)|＋|x |≤|x 2－1|＋|x |＝1－x 2＋|x |＝2155||244x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭－＋，即|f (x )|≤54. 8. 证明：|f (x )－f (m )|＝|(x －m )(x ＋m －2)|＝|x －m ||x ＋m －2|＜3|x ＋m －2|≤3(|x |＋|m |＋2)．又|x －m |＜3，且|x |－|m |≤|x －m |，∴|x |＜3＋|m |.∴3(|x |＋|m |＋2)＜3(3＋|m |＋|m |＋2)＝6|m |＋15.∴|f (x )－f (m )|＜6|m |＋15.9. 证明：(1)∵－1≤x ≤1时，|f (x )|≤1，∴|f (0)|≤1，即|c |≤1．(2)当a ＞0时，g (x )＝ax ＋b 在[－1,1]上是增函数，∴g (－1)≤g (x )≤g (1)．∵当－1≤x ≤1时，|f (x )|≤1，且|c |≤1，∴g (1)＝a ＋b ＝f (1)－c ≤|f (1)|＋|c |≤2，g (－1)＝－a ＋b ＝－f (－1)＋c ≥－(|f (－1)|＋|c |)≥－2，∴|g (x )|≤2.当a ＜0时，g (x )＝ax ＋b 在[－1,1]上是减函数，∴g (－1)≥g (x )≥g (1)．∵－1≤x ≤1时，|f (x )|≤1，且|c |≤1，∴g (－1)＝－a ＋b ＝－f (－1)＋c ≤|f (－1)|＋|c |≤2.g (1)＝a ＋b ＝f (1)－c ≥－(|f (1)|＋|c |)≥－2.∴|g (x )|≤2.当a ＝0时，g (x )＝b ，f (x )＝bx ＋c ，且－1≤x ≤1，∴|g (x )|＝|f (1)－c |≤|f (1)|＋|c |≤2.综上可知：|g(x)|≤2.。

绝对值三角不等式课时提升作业 四 1.2.1

高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1.2 基本不等式课时提升作业(含解析)新人教A版选修4

2021年高考数学 绝对值不等式课时提升作业 理 北师大版选修4-1

人教A版选修4-5 1.2.1 绝对值三角不等式 学案

高中数学 1.2.1绝对值三角不等式课件 新人教A版选修4-5