概率统计例题1

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应用概率统计综合作业一

应用概率统计综合作业一一、填空题每小题2分,共20分 1．已知随机事件A 的概率5.0）（=A P ,事件B 的概率6.0）（=B P ,条件概率8.0）｜（=A B P ,则事件B A 的概率=）（B AP ．2．设在三次独立试验中,随机事件A 在每次试验中出现的概率为31,则A 至少出现一次的概率为 19/27 ． 3．设随机事件A,B 及其和事件B A的概率分别是,和,则积事件B A 的概率=）（B A P ．4．一批产品共有10个正品和两个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为 1/5 ．5．设10件产品中有4件不合格品,从中任取2件,已知所取2件产品中有一件是不合格品,则另1件也是不合格品的概率为． 6．设随机变量）,3（～2σN X ,且3.0)53(=<<X P ,则=<)1(X P ．7．设随机变量X 绝对值不大于1,且81)1-(==X P ,41)1(==X P ,则=<<)11-(X P 7/16 ．8．设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=，其他，010，x 2)(f x x 以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21X出现的次数,则{}2=Y P 9/64 ． 9．设随机变量X 的概率分布为2.0)1(==X P ,3.0)2(==X P ,5.0)3(==X P ,则随机变量X 的分布函数=)(x F fx= x=1x=2 x=30 x 不为1、2、3之中的任一个．10．设随机变量X 的密度函数为)1(1)(f2x x +=π,求随机变量31X-=Y 的密度函数=)y (Y f 3/π1+1 y 3. ．二、选择题每小题2分,共20分1．同时抛掷3枚均匀对称的硬币,则恰有2枚正面向上的概率为 D A B C D2．某人独立地投入三次篮球,每次投中的概率为,则其最可能失败没投中的次数为 A A2 B2或3 C3 D13．当随机事件A 与B 同时发生时,事件C 必发生,则下列各式中正确的是B A 1)()()(-+≤B P A P C P B 1)()()(-+≥B P A P C P C )()(AB P C P = D )()(B A P C P =4．设1)(0<<A P ,1)(0<<B P ,1)|()|(=+B A P B A P ,则BA 事件A 和B 互不相容 B 事件A 和B 互相对立C 事件A 和B 互不独立D 事件A 和B 相互独立 5．设A 与B 是两个随机事件,且1)(0<<A P ,0)(>B P ,)|()|(A B P A B P =,则必有 C A )|()|(B A P B A P = B )|()|(B A P B A P ≠C )()()(B P A P AB P =D )()()(B P A P AB P ≠6．设随机变量X 的密度函数为)(f x ,且)(f )(f x x =-,)(F x 为X 的分布函数,则对任意实数a ,有BA dx x f a⎰-=0)(1)-a (F B dx x f a⎰-=0)(21)-a (F C )a (F )-a (F= D 1)a (F 2)-a (F -= 7．设随机变量X 服从正态分布）,（2σμN ,则随着σ的增大,概率{}σμ<-XP 为 CA 单调增大B 单调减少C 保持不变D 增减不定8．设两个随机变量X 和Y 分别服从正态分布）4,（2μN 和）5,（2μN ,记{}41-≤=μX P P ,{}52+≥=μX P P ,则 AA 对任意实数μ,都有21P P =B 对任意实数μ,都有21P P <C 只对μ的个别值,才有21P P =D 对任意实数μ,都有21P P >9．设随机变量X 服从正态分布）4,0（N ,则=<)1(X P B Adxx e81221-⎰πBdxxe41041-⎰ C2121-eπDdxx e221221-∞-⎰π10．设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤<=,5,1,50,251,0x ，0)(F 2x x x x 则=<<)53(X P C A254 B 259 C 2516D 1 三、10分摆地摊的某赌主拿了8个白的、8个黑的围棋子放在一个签袋里,并规定凡愿摸彩者每人交一元钱作手续费,然后一次从口袋口摸出5个棋子,中彩情况如下：摸棋子 5个白 4个白 3个白其他彩金20元2元纪念品价值5角同乐一次无任何奖品试计算：①获得20元彩金的概率； ②获得2元彩金的概率； ③获得纪念品的概率；④按摸彩1000次统计,赌主可望净赚多少钱解：1.2.3.4.净赚大哟为1000-692=308元．四、10分已知连续型随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<≥=-,0,0,0,)(22x x e Ax x f x 试求：1常数A ；2);20(，)2(<<=X P XP 3X 的分布函数;解答：1由于∫+∞∞fx d x=1,即∫0∞ke x d x+∫2014d x=k+12=1∴k=122由于Fx=PXx=∫x∞fx d x,因此当x<0时,Fx=∫x∞12e x d x=12e x；当0x<2时,Fx=∫0∞12e x d x+∫x014d x=12+14x；当2x时,Fx=∫0∞12e x d x+∫2014d x=1∴Fx=12e x12+14x1,x<0,0x<2,x23由于连续型随即变量在任意点处的概率都为0,因此P{X=1}=0而P{1<X<2}=F2F1=14.五、10分设10件产品中有5件一级品,3件二级品,2件次品,无放回地抽取,每次取一件,求在取得二级品之前取得一级品的概率;解：先取得一级品的概率为5÷10=1/2那么当取出一级品再取得二级品的概率就为3÷10-1=1/3所以在取二级品之前取得一级品的概率为1/2×1/3=1/6六、10分某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩X百分制近似服从正态分布,平均成绩为72分,96分以上的占考生总数的%,试求考生的外语成绩X在60分至84分之间的概率;.），（1841Φ=ΦΦ=1（=）2.977）.（，5）933.解答：因为F96=∮96-72/x===∮2所以x=12成绩在60至84分之间的概率:F84-F60=∮84-72/12-∮60-72/12=∮1-∮-1=2∮1-1=2×=七、10分设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份、7份和5份;随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出2分;试求：1先抽出的一份是女生表的概率p；2若后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率q;解答：设事件：Hi={抽到的报名表示i区考生的}i=1,2,3；事件：Hj={第j次抽到的报名表是男生报名表}j=1,2,3.事件：A={第一次抽到的报名表示女生的}事件：B={第二次抽到的报名表示男生的}显然有,抽到三个区的概率是相等的,即：PH1=PH2=PH3=13PA|H1=310；PA|H2=715PA|H3=525=151根据全概率公式有：PA=PA|H1PH1+PA|H2PH2+PA|H3PH3=13×310+13×715+13×15=2 9902根据全概率公式,第二次抽到男生的概率为：PB=pB|H1×PH1+pB|H2×PH2+pB|H3×PH3显然：pB|H1=710；pB|H2=815；pB|H3=2025=45故：PB=pB|H1×PH1+pB|H2×PH2+pB|H3×PH3=710×13+815×13+45×13=6190第一次抽到女生,第二次抽到男生的概率为：PAB=PAB|H1×PH1+pAB|H2×PH2+pAB|H3×PH3而PAB|H1=310×79=730；PAB|H2=715×814=415；PAB|H3=525×2024=16故：PAB=PAB|H1×PH1+pAB|H2×PH2+pAB|H3×PH3=730×13+415×1 3+16×13=29根据条件概率公式有：pA|B=PABpB=29÷6190=2061即：p=2061故第一份抽到的是女生的概率为2990,在第二份抽到是男生的前提下,第一次抽到是女生的概率p为2061.的泊松分八、10分假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N(t)服从参数为t布,1求相继两次故障之间间隔时间T的概率分布；2求在设备已经无故障工作8小时的情形下,再无故障工作8小时的概率q;解答：1由泊松过程的定义,时间间隔分布为参数是λ的指数分布.即PT02PN16=0|N8=0=PN16=0/PN8=0=exp-16λ/exp-8λ=exp-8λ。

九年级数学概率统计练习题及答案

九年级数学概率统计练习题及答案一、选择题1. 下列各项中，属于概率的是：A. 李明抽到红球的可能性是10%B. 今天下雨的可能性是80%C. 买彩票中奖的可能性是1/1000000D. 扔一次骰子掷出的点数是4的可能性是1/62. 某班级有30个学生，其中有18个男生和12个女生。

从班级中随机选取一个学生，男生和女生被选到的概率相等。

那么，被选到的学生是男生的概率是多少？A. 2/3B. 1/3C. 3/5D. 1/23. 一副扑克牌中有52张牌，其中红心牌有13张。

从扑克牌中随机抽一张牌，抽到红心牌的概率是多少？A. 1/4B. 1/2C. 1/13D. 1/52二、填空题1. 从数字1、2、3、4、5中任意抽取一个数，抽到奇数的概率是_________。

2. 一组数据：10、12、14、16、18中，大于15的数的概率是_________。

3. 一枚硬币抛掷，正面向上的概率是_________。

三、计算题1. 某班级有40个学生，其中有18个男生和22个女生。

从班级中随机选取两个学生，分别计算：a) 选出的两个学生都是男生的概率是多少？b) 选出的两个学生一个是男生一个是女生的概率是多少？2. 一副扑克牌中有52张牌，其中黑色牌有26张。

从扑克牌中随机抽取两张牌，并将它们放回，再抽取一张牌。

计算：a) 三次抽取都是黑色牌的概率是多少？b) 三次抽取中至少有一张黑色牌的概率是多少？四、解答题1. 一组数据：5、7、9、11、13，从中随机抽取一个数。

计算抽取奇数的概率。

答案解析：一、选择题1. D2. A3. A二、填空题1. 3/52. 3/53. 1/2三、计算题1.a) 18/40 × 17/39 = 9/20 × 17/39 = 153/780b) 18/40 × 22/39 + 22/40 × 18/39 = 396/780 = 2/5 2.a) 26/52 × 26/52 × 26/52 = 27/64b) 1 - (26/52 × 26/52 × 26/52) = 37/64四、解答题1. 3/5通过以上习题，希望能够帮助同学们加深对数学概率统计的理解和掌握。

概率论与数理统计：概率论练习题1及答案

5 / 8概率论练习题1（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）1、若当事件A ，B 同时发生时，事件C 必发生，则下列选项正确的是（） A ．()()P C P AB =； B ．()()P C P AB ≤； C ．()()P C P AB ≥； D ．以上答案都不对．2、设随机变量()~X E λ，则下列选项正确的是（）A ．X 的密度函数为(),00,0x e x f x x λ-⎧>=⎨≤⎩；B ．X 的密度函数为(),00,0x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩；C ．X 的分布函数为(),00,0x e x F x x λλ-⎧>=⎨≤⎩；D ．X 的分布函数为()1,00,0x e x F x x λλ-⎧->=⎨≤⎩．3、设相互独立的连续型随机变量1X ，2X 的概率密度函数分别()1f x ，()2f x ，分布函数分别为()1F x ，()2F x ，则下列选项正确的是（） A ．()()12f x f x +必为某一随机变量的概率密度函数； B ．()()12f x f x ⋅必为某一随机变量的概率密度函数； C ．()()12F x F x +必为某一随机变量的分布函数； D ．()()12F x F x ⋅必为某一随机变量的分布函数．4、设()~,X B n p ，()2~,Y N μσ，则下列选项一定正确的是（） A ．()E X Y np μ+=+； B ．()E XY np μ=⋅； C ．()()21D X Y np p σ+=-+； D ．()()21D XY np p σ=-⋅．5、设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从()1,0.2B ，则下列选项正确的是（）6 / 8A ．()1P X Y ==；B ．()1P X Y ≤=；C ．()1P X Y ≥=；D ．以上答案都不对． 6、设12,,,,n X X X 为独立的随机变量序列，且都服从参数为()0λλ>的指数分布，当n 充分大时，下列选项正确的是（）A ．21nii Xn nλλ=-∑近似服从()0,1N ； Bni X nλ-∑近似服从()0,1N ；C ．21ni i X λλ=-∑近似服从()0,1N ； D ．1ni i X nnλ=-∑近似服从()0,1N ．二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）1、设事件A ，B ，C 相互独立，且()()()P A P B P C ==，()1927P A B C =，则()P A =．2、若()14P A =，()13P B A =，()12P A B =，则()P A B =．3、设()2~10,X N σ，且()10200.3P X <<=，则()010P X <<=．4、设随机变量X 与Y 相互独立，且()~100,0.3X B ，()~4Y P ，则()D X Y -=．5、设平面区域(){},01D x y x y =≤≤≤，二维随机变量(),X Y 在区域D 上服从均匀分布，则(),X Y 的联合分布密度函数为．6、若随机变量X 的分布律为()()2,0,1,2,k P X k ae k -+===，则常数a =．三、解答题（本大题共 6 小题，共 64 分）5 / 81、设盒一装有1支红色笔和2支黑色笔，盒二装有2支红色笔和1支黑色笔，盒三装有3支红色笔和3支黑色笔．现掷一枚匀质骰子，若掷出1点，则从盒一中任取一支笔，若掷出6点，则从盒三中任取一支笔，否则均从盒二中任取一支笔．求取出黑色笔的概率．（10分）2、一盒装有6只灯管，其中有2只次品，4只合格品，随机地抽取一只测试，测试后不放回，直到2只次品都被找出，求所需测试次数X 的概率分布及均值．（10分）3、设连续型随机变量X 的分布密度函数为(),13;0,ax b x f x +<<⎧=⎨⎩其他.，且{}{}23212P X P X <<=-<<，求常数a 和b 的值．（10分）6 / 84、设某工程队完成某项工程所需时间X （天）服从()100,25N ．工程队若在100天内完工，可获奖金10万元；若在100~115天内完工，可获奖金3万元；若超过115天完工，则罚款5万元．求该工程队在完成工程时所获奖金的均值（要求用标准正态分布的分布函数值表示）．（10分）5、设二维随机变量(),X Y 的概率密度函数为()8,01;,0,xy x y f x y <<<⎧=⎨⎩其他，求关于X 和Y 的边缘分布密度函数()X f x 和()Y f y ，并判别X 与Y 是否相互独立．（10分）5 / 86、设()~,X U a b ，且()0E X =，()13D X =．试确定X 的概率密度函数（6分）7、设随机变量X 服从标准正态分布，求2Y X =的概率密度函数()Y f y .（8分）6 / 8概率论练习题1参考答案一、单项选择题（本大题 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 1、C ； 2、B ； 3、D ； 4、A ； 5、D ； 6、B ．二、填空题（本大题 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）1、13； 2、13； 3、0.3； 4、25； 5、()()2,,;,0,x y D f x y ∈⎧⎪=⎨⎪⎩其他.； 6、23e e ---．三、解答题（本大题 6 小题，共 64 分）1、解设A 表示“取出黑色笔”，iB 表示“从盒i 中取笔”，1,2,3i =．……..2分则()()1316P B P B ==，()246P B =，()123P A B =，()213P A B =，()312P A B =，…………7分故由全概率公式，有()()()31124111563636212iii P A P B P A B ===⋅+⋅+⋅=∑．……………….10分2、解由题意可知，X 的所有可能取值为2,3,4,5,6，…………….…….2 且{}1215P X ==，{}2315P X ==，{}145P X ==， {}4515P X ==，{}163P X ==，……..7分所以 ()121411423456151551533E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．……………………10分 3、解由密度函数的性质()1f x dx +∞-∞=⎰，可得()31421ax b dx a b +=+=⎰，………..3分又由 {}{}23212P X P X <<=-<<，可得()()32212ax b dx ax b dx +=+⎰⎰，即02ab +=，…..7分联立方程，解得11,36a b ==-．………………………………………….10分4、解方法1 由题设知工程队完成工程所需天数()~100,25X N ．设所获奖金为Y 万元，Y 的可能取值为10，3，-5，Y 取各值的概率为()100100{10}{100}(100)00.55P Y P X F -⎛⎫==≤==Φ=Φ= ⎪⎝⎭， ()115100100100{3}{100115}(115)(100)30.555P Y P X F F --⎛⎫⎛⎫==<≤=-=Φ-Φ=Φ- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 115100{5}{115}1(115)11(3)5P Y P X F -⎛⎫=-=>=-=-Φ=-Φ ⎪⎝⎭，…………….8分Y 因此 ()()()()100330.5513E Y =⨯Φ+Φ---Φ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()100.5330.551383 1.5=⨯+Φ---Φ=Φ-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．…………10分方法2 由题设知工程队完成工程所需天数()~100,25X N ，所获奖金10,100;3,100115;5,115.X Y X X ≤⎧⎪=<≤⎨⎪->⎩…………………………………………….2分5 / 8而()100100{10}{100}(100)00.55P Y P X F -⎛⎫==≤==Φ=Φ= ⎪⎝⎭， ()115100100100{3}{100115}(115)(100)30.555P Y P X F F --⎛⎫⎛⎫==<≤=-=Φ-Φ=Φ- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 115100{5}{115}1(115)11(3)5P Y P X F -⎛⎫=-=>=-=-Φ=-Φ ⎪⎝⎭，…….8分因此 ()()()()100330.5513E Y =⨯Φ+Φ---Φ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()100.5330.551383 1.5=⨯+Φ---Φ=Φ-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．…………10分5、解关于X 的边缘分布密度函数()Xf x ：当0x ≤或1x ≥时，(,)0f x y =，所以()(),00Xf x f x y dy dy +∞+∞-∞-∞===⎰⎰，当01x <<时，()()()1212,8441Xxxf x f x y dy xydy xy x x +∞-∞====-⎰⎰，所以，()()241,01;0,X x x x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他． ………………………….4分关于Y 的边缘分布密度函数()Yf y ：当0y ≤或1y ≥时，(,)0f x y =，所以()(),00Yf y f x y dx dx +∞+∞-∞-∞===⎰⎰，当01y <<时，()()230,844yyYf y f x y dx xydx yx y +∞-∞====⎰⎰，所以()34,01;0,Yy y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他.．……………………………………………8分于是()()()()32161,01,01;,0,X Y xy x x y f x f y f x y ⎧-<<<<⎪=≠⎨⎪⎩其他，所以X 与Y 不相互独立．……………………………………………10分 6、解因为()~,X U a b ，所以()2a bE X +=，()()212b a D X -=，于是有()241,2123b a a b -+==，解得 1,3a b =-=，………….…..4分故X 的概率密度函数为()1,13;40,x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他.．………………….6分7、22(0,1),(),.x X N x x ϕ-=-∞<<∞Y 的分布函数为2()()()Y F y P Y y P X y =≤=≤ ……………………2分当0y ≤时，()()0Y F y P Y y =≤=，从而()0.Y f y = ……………………4分当0y>时，2()(){(YF y P X y P X=≤=≤≤=Φ-Φ…6分从而2()()(((Y Yyf y F yϕϕϕϕ-'''==Φ-Φ==+=7分所以20()0,0-⎧>=≤⎩yYyf yy……………………………………………8分6 / 8。

概率统计参考答案（习题一）

概率统计参考答案（习题一）1、写出下列随机试验的样本空间及各个事件的样本点：（1）同时郑三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和。

解：设三枚骰子点数之和为k ，k=3,,4,5,…,18;则样本空间为{k |k 3,4,...,18}Ω==,且事件A={k |k 11,12,...,18}=，事件B={k |k 3,4,...,14}=。

（2）解：设从盒子中抽取的3只电子元件为(i,j,k)，(i,j,k)为数列1,2,3,4,5的任意三个元素构成的组合。

则Ω={（1,2,3）,(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)} A={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}。

2、下列式子什么时候成立？解：AUB=A ：成立的条件是B ⊂A ；（2）AB=A ：成立的条件为A ⊂B 。

3、设A 、B 、C 表示三事件，试将下列事件用A 、B 、C 表示出来。

解：（1）仅A 发生：ABC ；（2） A 、B 、C 都发生：ABC ；（3） A 、B 、C 都不发生：ABC ；（4） A 、B 、C 不都发生：ABC ；（5） A 不发生，且B 与C 中至少发生一事件：(A B C)；（6） A 、B 、C 中至少有一事件发生：AUBUC ；（7） A 、B 、C 中恰好有一事件发生：ABC+ABC+ABC ；（8） A 、B 、C 中至少二事件发生： BC ABC ABC ABC A +++=（AB ）U （AC ）U （BC ）；（9） A 、B 、C 中最多一事件发生：BC ABC ABC ABC A +++=(AB)U(AC)U(BC)------------------。

4、设P(A)=0.5,P(B)=0.6，问：（1）什么条件下，P(AB)取得最大值，最大值是多少？解：由P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB）得到P（AB）=P（A）+P（B）-P（AUB）<=0.5+0.6-0.6=0.5，此时，P（AUB）=0.6。

《概率论与数理统计》典型例题

《概率论与数理统计》典型例题第一章随机事件与概率例1．已知事件,A B 满足，A B 与同时发生的概率与两事件同时不发生的概率相等，且()P A p =，则()P B = 。

分析：此问题是考察事件的关系与概率的性质。

解：由题设知，()(P AB P A B =∩)，则有()()()1()1()()()P AB P A B P A B P A B P A P B P AB ===−=−−+∩∪∪而，故可得。

()P A p =()P B =1p −注：此题具体考察学生对事件关系中对偶原理，以及概率加法公式的掌握情况，但首先要求学生应正确的表示出事件概率间的关系，这三点都是容易犯错的地方。

例2．从10个编号为1至10的球中任取1个，则取得的号码能被2或3整除的概率为。

分析：这是古典概型的问题。

另外，问题中的一个“或”字提示学生这应该是求两个事件至少发生一个的概率，即和事件的概率，所以应考虑使用加法公式。

解：设A ：“号码能被2整除”，B ：“号码能被3整除”，则53(),()1010P A P B ==。

只有号码6能同时被2和3整除，所以1()10P AB =，故所求概率为 5317()()()()10101010P A B P A P B P AB =+−=+−=∪。

注：这是加法公式的一个应用。

本例可做多种推广，例如有60只球，又如能被2或3或5整除。

再如直述从10个数中任取一个，取得的数能被2或3整除的概率为多少等等。

例3．对于任意两事件，若，则 A B 和()0,()0P A P B >>不正确。

（A ）若AB φ=，则A 、B 一定不相容。

（B ）若AB φ=，则A 、B 一定独立。

（）若C AB φ≠，则A 、B 有可能独立。

（）若D AB φ=，则A 、B 一定不独立。

分析：此问题是考察事件关系中的相容性与事件的独立性的区别，从定义出发。

解：由事件关系中相容性的定义知选项A 正确。

概率论与数理统计教程习题(第一章随机事件与概率)

习题1（随机事件及其运算）一．填空题1. 设A ，B ，C 是三个随机事件，用字母表示下列事件：事件A 发生，事件B ，C 不都发生为；事件A ，B ，C 都不发生为；事件A ，B ，C 至少一个发生为；事件A ，B ，C 至多一个发生为 .2. 某人射击三次，用A i 表示“第i 次射击中靶”(i =1,2,3).下列事件的含义是：1A 表示；321A A A 表示；321321321A A A A A A A A A ++表示；321A A A 表示 .3. 在某学院的学生中任选一人，用A 表示“选到的是男生”，用B 表示“选到的是二年级的学生”，用C 表示“选到的是运动员”。

则式子ABC=C 成立的条件是 .二．选择题1. 在事件A ,B ,C 中，B 与C 互不相容，则下列式子中正确的是（）.① A BC A = ； ② A BC A = ；③ Φ=BC A ； ④ Ω=BC A .2. 用A 表示“甲产品畅销，乙产品滞销”，则A 表示（）.① “甲产品滞销，乙产品畅销”； ② “甲、乙产品都畅销”； ③ “甲产品滞销或乙产品畅销”； ④ “甲、乙产品都滞销”.3. 若概率0)(=AB P ，则必有（）.① Φ=AB ； ② 事件A 与B 互斥；③ 事件A 与B 对立； ④ )()()(B P A P B A P += .三．解答题1. 将一枚骰子掷两次，记录点数之和，写出样本空间Ω及事件=A {点数之和为偶数}；=B {点数之和能被3整除}.2. 将一枚骰子掷两次，观察点数的分布，写出样本空间Ω及事件=A {点数之和为6}；=B {点数之差为2}.3. 某城市发行日报和晚报两种报纸。

有15%的住户订日报，25%的住户订晚报，同时订两种报纸的住户有8%，求下列事件的概率：C ={至少订一种报}；D ={恰订一种报}；E ={不订任何报}.4. 若已知,2.0)(,0)()(,3.0)()()(======BC P AC P AB P C P B P A P 求概率)(ABC P ；)(C B A P ；).(C B A P习题2（概率的定义及性质）一．填空题1. 掷两枚质地均匀的骰子，则点数之和为8的概率P = .2. 在10把钥匙中，有3把能开门。

概率统计习题课1

求(1)参数A; (1)参数A 参数 (2)分布函数F(x); (2)分布函数F(x); 分布函数F(x) (3)落入区间[0,π/4]的概率. (3)落入区间[0,π/4]的概率. 落入区间[0, 的概率 (4)下面方程有实根的概率. (4)下面方程有实根的概率. 下面方程有实根的概率
大卫: 大卫:思索者
例1:设A,B是相互独立的事件,P(A∪B)=0.6,P(A)=0.4, 是相互独立的事件,P(A∪B)=0.6,P(A)=0.4, 求P(B). P(B).
P( A ∪ B ) = P( A) + P ( B ) P( AB )
P( A ∪ B) = P( A) + P( B) P( A) P( B)
∫
bHale Waihona Puke af ( x)dx = ∫ cos xdx = sin b sin a
a
b
练习5 下面那个函数不可作为随机变量X的分布函数? 练习5:下面那个函数不可作为随机变量X的分布函数?( )
0 x < 0 2 x ( A) F ( x) = 0 ≤ x <1 2 1 x ≥ 1
ln(1 + x) (C ) F ( x) = 1 + x 0
X 1 ~ b ( 20, 0.01) .
P{ X 1 ≥ 2} = 1 P{ X < 2} = 1 P{ X = 0} P{ X = 1} = 0.0169
80台设备不能得到及时维护 P"80台设备不能得到及时维护" 80台设备不能得到及时维护" = P( A ∪ A ∪ A ∪
1 2 3
(1 P( A) ) P( B) = P( A ∪ B) P( A)
P ( A ∪ B ) P ( A) 1 P( B) = = 1 P ( A) 3

概率统计题目及答案1

一、单项选择题1. 对于事件和，下述命题正确的是 ( B )(A) 如果与互不相容，则与相互对立(B) 如果与相互对立，则与互不相容(C) 如果与相互独立，则与互不相容(D) 如果与互不相容，则与相互独立2. 一个寝室住有4个同学，那么他们中至少有两人的生日在一个星期内的同一天的概率是 ( D )(A) 0.25 (B) 0.35 (C) 0.55 (D) 0.653. 若P（B|A）=0，则下列命题中正确的是 ( B )(A) BA (B) AB= (C) AB (D) A-B=4. 相互独立且都服从正态分布，则 ( C )(A) -8 (B) 9 (C) 45 (D)605. 若函数为随机变量的概率密度，则的可能取值区间 ( D )(A) (B) (C) (D)6. 3人独立编写同一计算机程序，他们各自能成功的概率分别是0.3, 0.6, 0.5，则能将此程序编写成功的概率是（B ）(A) 0.09 (B) 0.86 (C) 0.14 (D) 0.917设是两个事件，则以下关系中正确的是( B )(A) (B)(C) (D)8 10个产品中有8个正品2个次品,从中无放回地任取3个, 则恰有1个次品的概率是（ A ）(A) (B) (C) (D)1. 若P（B|A）=1，则下列命题中正确的是（ C ）(A) BA (B) P（A-B）=O (C) AB(D)A-B=9 相互独立且都服从正态分布，则( B )(A) 8 (B) 20 (C) －16 (D) 1210 设，，是来自（0,）上的均匀分布的样本，>未知，则下列样本数中（ C ）不是统计量。

(A)2+ (B) (C)(D)（统计量无未知数）11 两个随机变量的协方差,则____Ｃ______.(A)相互独立 (B)互不相容 (C)不相关 (D)相等二、判断题1、若随机事件A、B相互独立，则事件A、B互斥。

（ F ）2、事件A的概率P（A）等于O, 事件 A也有可能发生。

《概率论与数理统计》例题

故这只次品来自第2 家工厂的可能性最大 .
用寿命超过例2 按规定, 某种型号电子元件的使 1500 小时的为一级品. 已知某一大批产品的一级品率为0.2, 现在从中随机地抽查 20只. 问20只元件中恰有 k 只( k 0,1,,20) 一级品的概率是多少 ?
分析这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.
(9) A, B 至少有一个出现, C 不出现; (10) A, B, C 中恰好有两个出现. 解 (8) ABC ABC ABC ABC;
(9) ( A B) C; (10) ABC ABC ABC .
1 1 例1 设事件 A, B 的概率分别为和 , 求在下列 3 2 三种情况下 P ( B A) 的值. 1 (1) A与B互斥; ( 2) A B; ( 3) P ( AB ) . 8 解 (1) 由图示得 P ( B A) P ( B), 1 故 P ( B A) P ( B ) . 2 A B ( 2) 由图示得 S P ( B A) P ( B ) P ( A) 1 1 1 B A . S 2 3 6
解
第一步先求Y=2X+8 的分布函数 FY ( y ).
FY ( y ) P{Y y } P{2 X 8 y }
y 8 y8 P{ X } 2 f X ( x)d x 2
第二步由分布函数求概率密度.
( y) fY ( y ) Fy
[
y 8 2
2 3 2 1 3 3 3
3
2 20 1 . 3 27

概率统计练习1

概率论与数理统计练习（一）一、填空题1. A 、B 、C 是三个随机事件，且A 与B 相互独立，A 与C 互不相容。

已知P( A ) = 0.2，P( B ) = 0.6，P( B | C ) = 0.5，P( BC ) = 0.4。

请计算以下事件的概率：P(A )= ， P( AB ) = ， P( AC ) = ，P( C ) = ，P( A+B ) = ， P( C | B ) = 。

2. 假设有某种彩票叫“10选2”，每周一期。

其规则是从1到10的10个自然数中不重复地任意选2个数组成一注，每注1元。

如果所选的2个数与本期出奖的结果（也是从1到10中不重复选出的2个自然数）完全相同，则中奖，奖额为40元。

则购买一注彩票能中奖的概率是。

引进随机变量X ，如果买1注彩票中奖了则令X 等于1，否则令X 等于0，那么X 服从分布，X 的数学期望等于。

3. 已知某对夫妇有三个小孩，但不知道他们的具体性别。

设他们有Y 个儿子，如果生男孩的概率为0.5，则Y 服从分布。

这对夫妇恰好有一个儿子的概率是。

他们的孩子的男女性别比例最可能是。

4. 假设东莞市公安机关每天接到的110报警电话次数可以用泊松(Poisson)分布)100(π来描述。

则东莞市公安机关在某一天没有接到一个110报警电话的概率为。

东莞市公安机关平均每天接到的110报警电话次数为次。

5. 指数分布又称为寿命分布，经常用来描述电子器件的寿命。

设某款电器的寿命（单位：小时）的密度函数为⎩⎨⎧>=-其它 ,00 ,001.0)(001.0t e t f t 则这种电器没有用到500小时就坏掉的概率为，这种电器的平均寿命为小时。

6. 根据世界卫生组织的数据，全球新生婴儿的平均身长为50厘米，身长的标准差估计为2.5厘米。

设新生婴儿的身长服从正态分布，则全球范围内大约有 %新生婴儿身长超过53厘米，有 %新生婴儿身长不足48厘米，身长在49厘米到51厘米之间的新生婴儿大约占 %。

概率统计练习题1

概率统计练习题一、填空题1.设离散型随机变量X 的分布律:C. 2.设随机变量X,rni 互独立，D(X) = 4,D(y)= b 则D{3X-2Y) = (3•设随机变量X ~ N(1 J)./(X)和F(x)分别为X 的密度函数和分布函数, 则有()班级学号姓名序号FCv)为X 的分布函数，则F(l ・5)=( A. 10B. 32C. 14D. 40D. 1A ・P(X <0) = P(X>0) = 0・5B. /(X)= /(-X)J ・€(YO,S)C. P(X<1) = P (X >1) = 05D. F(-x) = I-F(x).xe(-co,co)4•设二维随机变量(X”)的联合概率密度为心=严八 0<5<y<2,则£x=(其他5B. 一5 C.— 18 D.5.若且Xf 相互独立，/ = 12…"则E (为XJ = ((-1B. D.以上都不对二、填空题2•某商店搞抽奖活动•顾客需过三关，第i 关从装有i+1个白球和一个黑球的袋子中抽取一只，抽到黑球即过关•连过三关者可拿到一等奖•则顾客能拿到 -等奖的概率 __ .,.p (B|A) = 1, P (A|B) =》则P(AUB)= ______________ . 3.某高速公路一天的事故数X 服从参数/t = 3的泊松分布，则一天没有发生事故的概率2.已知且P(A} = -4 B. 03•(结果以e 的形式表示)4.设随机变量X 服从(0,2)的均匀分布，则随机变量Y = X"在(0,4)内的概率密度为/r(y)= 5•设随机变量X 的方差D(X)H O,且Y = aX+bSa>0).则X 和F 的相关系数 PXY =三、解答题0 < A- < 11<%<2 其他试求(1) )X 的分布函数FM, (2) P{Xe(0.5,15)}2•有屮乙两个袋子，甲袋中有两个白球，一个红球；乙袋中有两个红球，一个0球.这六个球手感上不可区别.今从屮袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球,(1) 问此球是红球的概率(2) 若从乙袋中取到一个红球，则从屮袋放入乙袋的是口球的概率是多少2•已知随机变量X 的概率密度为/(»•) = < X 2-X3.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分计）服从指数分布，其概率密度为匸严X >0 0, 其他某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开，他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，（1）求顾客在窗口未等到服务而离开的概率卩（2）求P{Y>\}（结果以e的形式表示）4•设二维随机变量（X, Y）的概率密度/（圮y）= <试求⑴常数人（2）p（y < 1）.人£・（2卅y）, X > 0, >' > 00, 其他5•箱子中装有10件产品，其中2件是次品，每次从箱子中任取一件产品，共取2次，每次取后不放回，定义随机变量X,Y 如下：0,若第一次取出正品，Y = “ 1,若第一次取出次品，试写出随机变量(X'Y)的联合分布律、边缘分布律，并问X 'j Y 是否相互独立6.设某城市成年男子的身高X 〜N(17O,62)(单位：厘米)(1) 问应如何设计公共汽车车门的高度，使成年男子与车门顶碰头的机会小于(2) 若车门设计高度为282厘果，求W 个成年男子中没有与车门顶碰头的概率 d 若第二次取出正品, 1,若第二次取出次品, x=<(已知4>(2・33) =0.9901,①(2) = 0.9772〉7•某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%,以X表示在随意抽査的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数。

概率统计期末必考题1

第一章一、填空题1.已知()0.4,()0.3,()0.5P A P B P A B ==⋃=，则__()P A B =． 2.已知()0.7,()0.3,()0.5P A P A B P B =-==，则__(A )P B =． 3.设()0.5P A =，()=0.2P AB ，则()P B A =.4. 已知__11(),()43P A P B A ==，则()P AB =． 5.已知111(),(),()432P A P B A P A B ===，则,A B 至少有一个发生的概率为.6. 设__()0.9,()0.95,(A)0.85P A P B P B ===，则__()P A B =. 7.已知,A B 相互独立，且()0.4,()0.7P A P A B =⋃=，则()P B =.8. 设,,A B C 为随机事件,,A C 互不相容，11(),()23P AB P C ==，则__()P AB C =_____.9. 假设随机事件,A B 相互独立，且()()1P A P B a ==-，7()9P A B ⋃=，则a =．10. 两两独立的三个事件,,A B C 满足条件：1,()()()2ABC P A P B P C =∅==<，且9()16P A B C ⋃⋃=，则(A )P =．二、选择题1．已知__()0.9,()0.95,()0.85P A P B P B A ===，则()P AB =（）． (A) 0.085 (B) 0.865 (C) 0.065 (D) 0.0352. 从一批由7件正品、3件次品组成的产品中任取3件产品，则其中恰有1件次品的概率为（）．(A)2140 (B) 2040 (C) 1940 (D) 11403．已知__111(),(),()243P A P B P A B ===，则()P AB =（）．(A) 12 (B) 13 (C) 14 (D) 154. 从装有3个白球、7个黑球的袋子中不放回的抽取，每次随机抽取一个，则第二次抽到白球的概率为（）．(A)710 (B) 310 (C) 38 (D) 585. 若,,A B C 两两独立，则下列式子不正确的是（）．(A) ()()()P AB P A P B = (B) ()()()P AC P A P C =(C) ()()()P BC P B P C = (D)()()()()P ABC P A P B P C = 6．n 个签中有()m m n ≤个标有“中”，无放回的依次随机抽取，则第(1)j j n ≤≤次抽到“中”的概率为（）． (A)1n (B) mn(C) 与j 有关 (D) 以上都不对三、计算题1. 已知____()0.3,()0.4,()0.5P A P B P A B ===，求条件概率__()P B A B ⋃2.某保险公司把火灾保险的客户分为“易发”和“偶发”两类．该公司的统计资料表明，“易发”客户占30%，一年内索赔的概率为10%，“偶发”客户占70%，一年内索赔的概率为2%．假设现有一客户向保险公司索赔，试分别求该客户为“易发”和“偶发”客户的概率．3.在回答有A B C D 、、、四个选项的选择题时，只有一个答案是正确的。

(完整版)概率论与数理统计习题1及答案

概率论与数理统计习题及答案习题一1。

写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点. （1）掷一颗骰子，出现奇数点. (2）掷二颗骰子,A =“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点."B =“出现点数之和为偶数，但没有一颗骰子出现1点.” (3）将一枚硬币抛两次， A =“第一次出现正面." B =“至少有一次出现正面。

”C =“两次出现同一面。

” 【解】{}{}1123456135A Ω==（），，，，，，，，；{}{}{}{}{}(2)(,)|,1,2,,6,(12),(14),(16),(2,1),(4,1),(6,1),(22),(24),(26),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6);(3)(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(i j i j A B A B ΩΩ=======，，，，，，正反正正反正反反正正正反正正正反反{}{},),(,),(,),C =正正正反反2。

设A ，B ,C 为三个事件，试用A ，B ，C 的运算关系式表示下列事件: （1） A 发生，B ，C 都不发生；（2） A 与B 发生，C 不发生；（3） A ,B ,C 都发生;(4) A ，B ,C 至少有一个发生；（5） A ，B ，C 都不发生; （6） A ，B ,C 不都发生；（7） A ,B ，C 至多有2个发生; (8） A ，B ,C 至少有2个发生.【解】(1） A BC （2） AB C （3） ABC（4） A ∪B ∪C =AB C ∪A B C ∪A BC ∪A BC ∪A B C ∪AB C ∪ABC =ABC （5） ABC =A B C (6） ABC(7） A BC ∪A B C ∪AB C ∪AB C ∪A BC ∪A B C ∪ABC =ABC =A ∪B ∪C(8） AB ∪BC ∪CA =AB C ∪A B C ∪A BC ∪ABC5。

高中数学概率统计经典例题

高中数学概率统计经典例题高中数学概率统计经典例题可以涵盖各种不同的概率问题，包括随机事件、概率的定义、条件概率、贝叶斯公式、独立事件等。

以下是一些示例:1. 某公司发行了 200 张彩票，其中 100 张为一等奖，每张彩票的价格为 1 元，另有 100 张为二等奖，每张彩票的价格为 2 元。

假设彩民购买了一张彩票，请问中奖的概率是多少？答案：中奖的概率为 1/100 + 1/200 = 3/50。

2. 某次考试中，有 20 道选择题，每道选择题的难度相等，正确答案的概率为 1/4。

请问答对 4 道或 5 道选择题的概率是多少？答案：答对 4 道或 5 道选择题的概率为 (1/4)×(1/4)×(1/4)×(1/4) + (1/4)×(1/4)×(1/4)×(1/4) = 1/64。

3. 某只股票的售价为 10 元，预计在未来的 1 个月内会上涨10%,也就是说，股价将会上涨 1 元。

请问购买 100 股股票，总投资金额为多少元？答案：总投资金额为 100×(1+1)=1100 元。

4. 某次比赛共有 20 名参赛者，其中 15 名是男性，5 名是女性。

请问男性参赛者中获得第一名的概率是多少？答案：男性参赛者中获得第一名的概率为 15/20=3/4。

5. 某次考试中，有 20 道选择题，每道选择题的难度相等，正确答案的概率为 1/4。

请问答对 3 道或 4 道选择题的概率是多少？答案：答对 3 道或 4 道选择题的概率为 (1/4)×(1/4)×(1/4)×(1/4) + (1/4)×(1/4)×(1/4)×(1/4) = 1/64。

这些示例展示了概率统计在解决实际问题中的重要性。

在高中数学中，概率统计是一个重要的学科，可以帮助人们更好地理解世界，解决实际问题。

概率统计练习题1

21. 从装有 3 个白球，3 个黑球的甲箱中，随机地取出二个球，放入装有 4 个白球与 4 个黑球的乙箱中，然后再从乙箱中取出一球，求此球为白球的概率。
22. 不同的两个小麦品种的种子混杂在一起，已知第一个品种的种子发芽率为 90%，第二个品种的种子发芽率为 96%，并且已知第一个品种的种子比第二个品种的种子多一倍，求：（1）从中任取一粒种子，它能发芽的概率；（2）如果取到的一粒种子能发芽，那么它是第一个品种的概率是多少？
概率统计练习题
第1章
1. 一口袋装有 10 只球，其中 6 只是红球，4 只是白球，今随机地从中同时取出 2 只球，试求取到二只球颜色相同的概率。
2. 一口袋装有 10 只球，其中 6 只是红球，4 只是白球，今随机地从中同时取出 2 只球，试求：（1）2 只都是红球的概率；（2）一只是红球一只是白球的概率。
23. 某保险公司把被保险人分成三类：“好的”，“一般的”与“差的”，统计资料表明，对于上述三种人而言，在一年内出问题的概率依次为 0.05，0.15，和 0.30，如果“好的”被保险人占总的保险人数的 20%，“一般的”占 50%，“差的”占 30%，试问在固定的一年中出问题的人在总保险人数中占多大的比例？如某人在这一年内未出问题，他是属于“好的”的概率为多少？
3. 在 8 件产品中有 5 件是一级品和 3 件是二级品，现从中任取 2 件，求取得的 2 件中只有一件是一级品的概率. 如果：（1）2 件产品是无放回的逐次抽取；（2）2 件产品是有放回的逐次抽取。
4. 将 15 名新生平均分配到三个班级中去，新生中有三名是优秀生，问每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少？
P( AC) 1 ，求 A，B，C 至少有一个发生的概率。 7

概率统计例题

例1 设随机变量X 具有以下是的分布律，试求Y=(X-1)2的分布律。

解 Y 所有可能的取值为0，1，4。

由P{Y=O}= P{(X-1)2=0}= P{X=1}=0.1 P{Y=1}= P{X=0}+ P{X=2}=0.7 P{Y=4}= P{X=-1}=0.2, 例2 设随机变量X 具有概率密度x/8 ，0＜x ＜4f X （x ）=0 , 其他求随机变量Y=2X+8的概率密度。

解分别记X,Y 的分布函数为F X （x ），F Y （y ）。

下面先求F Y （x ）。

F Y （y ）=P{Y ≤y}=P{2X+8≤y}=P{X ≤(y-8)/2}= F X {(y-8)/2}。

将F Y （x ）关于y 求导数，得Y=2X+8的概率密度为f Y （y ）= f X （x/2-4）/21/8×(y-8)/2×1/2, 0＜(y-8)/2＜4=0 ,其他（y-8）/32, 8＜y ＜16=0 ,其他例3 设随机变量X 具有概率密度f X （x ），求Y=X 2的概率密度。

解分别记X ，Y 的分布函数为F X （x ），F Y （y ）。

先求Y 的分布函数F Y （y ）。

由于Y=X 2≥0，故当y ≤0时F Y （y ）=0。

当y ＞0时有F Y （y ）=P{Y ≤y} =P{X 2≤y}=P{-√y ≤X ≤√y} =F X （√y ）-F X （-√y ）将F Y （y ）关于y 求导数，即得Y 的概率密度为1/(2√y)[ f X （√y ）+f X （-√y ）],y ＞0f Y （y ）=0 ,y ≤0 例如，设X ～N(0，1)，其概率密度为φ=√2π−x 2/2,−∞<x <+∞由上得Y=X 2的概率密度为√2π−1/2e−y/2,y>0fY（y）=0 ,y≤0例4 设随机变量X～N(μ，σ2)。

试证明X的线性函数Y=aX+b(a≠0)也服从正态分布。