2018届天津市第一中学高三上学期第三次月考数学(文)试题Word版含解析版

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天津市第一中学2017-2018学年高三上学期第三次月考数学(理) Word版含解析

天津市第一中学2017-2018学年高三上学期第三次月考数学（理）一、选择题：共8题1．已知全集错误！未找到引用源。

则错误！未找到引用源。

A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

【答案】C【解析】本题主要考查集合的并集、全集和补集的概念及运算.由条件知，错误！未找到引用源。

,所以错误！未找到引用源。

故选错误！未找到引用源。

.2．设变量错误！未找到引用源。

满足约束条件错误！未找到引用源。

，则目标函数错误！未找到引用源。

的最大值为A.2B.3C.4D.5【答案】D【解析】本题主要考查简单的线性规划，及利用几何意义求最值.如图，阴影部分表示约束条件错误！未找到引用源。

所表示的区域，当直线错误！未找到引用源。

经过点(1,0)时，目标函数错误！未找到引用源。

取得最大值5.故选D.3．设错误！未找到引用源。

，则“错误！未找到引用源。

”是“错误！未找到引用源。

”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法，充要条件的概念及判断.由不等式错误！未找到引用源。

得错误！未找到引用源。

,所以“错误！未找到引用源。

”是“错误！未找到引用源。

”的充分不必要条件.故选A.4．下图是一个算法框图，则输出的错误！未找到引用源。

的值是A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】本题主要考查循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是关键.由程序框图知，此算法的功能是求满足不等式错误！未找到引用源。

的最小正整数解，由错误！未找到引用源。

得错误！未找到引用源。

或错误！未找到引用源。

,所以输出错误！未找到引用源。

.故选C.5．如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF=CF=错误！未找到引用源。

，AF=2BF，若CE与圆相切，且CE=错误！未找到引用源。

，则BE的长为A.错误！未找到引用源。

天津市第一中学2022-2023学年高三上学期第三次月考数学试题(解析版)

天津一中2022-2023-1高三年级第三次月考数学试卷（答案）本试卷总分150分，考试用时120分钟。

考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知集合3{Z |Z}1A x x=∈∈-，2{Z |60}B x x x =∈--≤，则A B ⋃=（） A ．{2} B ．}{2,0,2- C ．{}2,1,0,1,2,3,4-- D ．}{3,2,0,2,4--【详解】{A x =∈2Z |x x --{2,1,0,1,2,3,4--．，b ，c 为非零实数，则“A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的基本性质可判定“a ＞b ＞c ”能推出“a +b ＞2c ”，然后利用列举法判定“a +b ＞2c ”不能推出“a ＞b ＞c ”，从而可得结论．【解答】解：∵a ＞b ＞c ，∴a ＞c ，b ＞c ，则a +b ＞2c ，即“a ＞b ＞c ”能推出“a +b ＞2c ”，但满足a +b ＞2c ，取a ＝4，b ＝﹣1，c ＝1，不满足a ＞b ＞c ，即“a +b ＞2c ”不能推出“a ＞b ＞c ”，所以“a ＞b ＞c ”是“a +b ＞2c ”的充分不必要条件，故选：A ．3、已知2log 0.8a =，0.12b =，sin 2.1c =，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b<c<a 【答案】B【详解】因为22log 0.8log 10<=，0.10122>=，0sin 2.11<<，所以a c b <<，故选：B 4、函数2sin ()1x xf x x -=+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】根据函数的定义域、奇偶性以及2f π⎛⎫⎪⎝⎭的值来确定正确选项. 【详解】由题意，函数2sin ()1x xf x x -=+的定义域为R ，且22sin()sin ()()()11x x x xf x f x x x -----===--++，所以函数()f x 奇函数，其图象关于原点对称，所以排除C 、D 项，2120212f πππ-⎛⎫=> ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以排除B 项．故选：A5、已知1F 、2F 分别为双曲线2222:1x y E a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，1221::2:3:4F F F M F M =，则双曲线E 的渐近线方程为（） A ．2y x =± B ．12y x =±C．y = D．y =【答案】C【解析】由题意，1F 、2F 分别为双曲线2222:1x y E a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，且满足1221:||:2:3:4F F F M F M =，可得122F F c =，23F M c =，14F M c =，由双曲线的定义可知21243a F M F M c c c =-=-=，即2c a =，又由b ==，所以双曲线的渐近线方程为y =．故选：C ．6、设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若34S =，4566a a a ++=，则96S S = （）A ．32B ．1910 C ．53D ．196【答案】B【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，若1q =，则456133a a a a S ++==，矛盾．所以，1q ≠，故()()33341345631111a q a q q a a a q S qq--++===--，则332q=，所以，()()()63113631151112a q a q S q S qq--==+⋅=--， ()()()9311369311191114a q a q S q q S qq--==++=--，因此，9363192194510S S S S =⋅=．故选：B ． 7、直线1y kx =-被椭圆22:15x C y +=截得最长的弦为（） A ．3 B ．52C ．2D【答案】B【解析】联立直线1y kx =-和椭圆2215xy +=，可得22(15)100k x kx +-=，解得0x =或21015kx k =+，则弦长21015kl k =+，令215(1)k t t +=≥，则10l === 当83t =，即k =，l 取得最大值55242⨯=，故选：B8、设函数()sin()(0)4f x x πωω=->，若12()()2f x f x -=时，12x x -的最小值为3π，则（）A ．函数()f x 的周期为3πB ．将函数()f x 的图像向左平移4π个单位，得到的函数为奇函数 C ．当(,)63x ππ∈，()f x的值域为D ．函数()f x 在区间[,]-ππ上的零点个数共有6个【答案】D【解析】由题意，得23T π=，所以23T π=，则23T πω==，所以()sin(3)4f x x π=-选项A 不正确；对于选项B ：将函数()f x 的图像向左平移4π个单位，得到的函数是 ()sin[3()]cos344f x x x ππ=+-=为偶函数，所以选项B 错误；对于选项C ：当时(,)63x ππ∈，则33444x πππ<-<，所以()f x的值域为，选项C 不正确；对于选项D ：令()0,Z 123k f x x k ππ=⇒=+∈，所以当3,2,1,0,1,2k =---时，[,]x ππ∈-，所以函数()f x 在区间[,]-ππ上的零点个数共有6个，D 正确，故选：D ．9、设函数()(),01,,10,1xx mf x x x m x ⎧≤<⎪⎪=⎨-⎪-<<+⎪⎩，()()41g x f x x =--.若函数()g x 在区间()1,1-上有且仅有一个零点，则实数m 的取值范围是（）A ．(]11,1,4⎡⎫--⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]1,1,4⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭C ．{}11,5⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．{}11,15⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭【答案】C 【详解】令()()410g x f x x =--=，则()41f x x =+，当01x ≤<时，41xx m=+，即4x mx m =+，即函数1y x =与24y mx m =+的交点问题，其中24y mx m =+恒过A 1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭.当10x -<<时，()411x x m x -=++，即1114mx m x -+=++，即函数3111x y =-++与24y mx m =+的交点问题分别画出函数1y ，2y ，3y 在各自区间上的图象：当2y 与3y 相切时，有且仅有一个零点，此时()411xx m x -=++，化简得：()24510mx m x m +++=，由()2251160m m ∆=+-=得：11m =-，219m =-（舍去）当直线2y 的斜率，大于等于直线1y 的斜率时，有且仅有一个零点，把()1,1B 代入24y mx m =+中，解得：15m =，则15m ³综上，m 的取值范围是{}11,5⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭故选：C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10、已知复数z 满足()2i i z -=，则5i z -=___________．【答案】3【解析】因为圆22:20(0)C x ax y a -+=>的标准方程为：()222x a y a -+=，所以圆必坐标为(,0)a ，半径为a ，由题意得：32a a += 解得：3a = ，故答案为：3.12、已知3π3sin 85α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．【答案】725-【解析】2πcos 2cos 22cos 1488ππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦232cos 182ππα⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦223372sin 1218525πα⎛⎫⎛⎫=--=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：725- 13、直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的一条渐近线平行，l 过抛物线2:4C y x =的焦点，交C 于A ，B 两点，若||5AB =，则E 的离心率为_______．【详解】依题意，点F 的坐标为(1,0)，设直线l 的方程为1x my =+，联立方程组214x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 并整理得：2440y my --=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则124y y m +=，124y y =-，则2212||()4(1)5AB y y m ++=，解得：12m =±，∴直线l 的方程为220x y +-=或220x y --=；直线的斜率为：2±．直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的一条渐近线平行，可得2b a =，所以22224b a c a ==-，1e >，解得e =故14、已知1a >，1b >，且lg 12lg a b =-，则log 2log 4a b +的最小值为_______．【答案】9lg2【解析】由已知，令lg 2log 2lg a m a ==，lg 4log 4lg b n b==，所以lg 2lg a m =，lg 42lg 2lg b n n ==，代入lg 12lg a b =-得：lg 24lg 21m n+=，因为1a >，1b >，所以lg 24lg 24log 2log 4()1()()5lg 2(lg 2lg 2)a b m nm n m n m n n m+=+⨯=++=++ 2lg 25lg 25lg 24lg 29lg 2n m≥+=+=．当且仅当4lg 2lg 2m n n m=时，即1310a b ==时等号成立． log 2log 4a b +的最小值为9lg2．故答案为：9lg2．15、在Rt ABC 中，90C ∠=，若ABC 所在平面内的一点P 满足0PA PB PC λ++=，当1λ=时，222PA PB PC+的值为；当222PA PB PC+取得最小值时，λ的值为．【答案】5；-1【解析】（1）如图5-26，以C 为坐标原点建立直角坐标系，因为0PA PB PC λ++=，所以点P 为ABC 的重心，设BC a =，AC b =，所以(),0A b ，()0,B a ，易得,33a b P ⎛⎫⎪⎝⎭，所以222222222411499991199a b a b PA PBPC b a ++++=+5=．（2）设(,)P x y ,则(,),(,),(,)PA b x y PB x a y PC x y =--=--=--, 所以2,2,b x x a y y λλ-=⎧⎨-=⎩可得(2),(2),b x a y λλ=+⎧⎨=+⎩于是222222222||||()()||PA PB x b y x y a x y PC +-+++-=+()222222222x y bx ay a b x y +--++=+ 22222222(2)(2)2(2)2(2)2x y x y x y λλλλ+++-+-+=++()()222222222x y x y λλλλ+++=++ 2222(1)11λλλ=++=++…当1λ=-时取等号,所以222||||||PA PB PC +的最小值为1．故答案为：5；-1．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16、如图，在平面四边形ABCD 中，对角线AC 平分BAD ∠，ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos cos cos 0B a C c A ++=．（1）求B ；（2）若2AB CD ==，ABC 的面积为2，求AD ．【答案】（1）34B π=；（2）4=AD ．【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式及诱导公式即可得到cos B=出B；（2）由三角形面积公式求出a，再利用余弦定理求出AC，即可求出cos CAB∠，依题意cos cosCAB CAD∠=∠，最后利用余弦定理得到方程，解得即可；【详解】（1）cos cos cos0B aC c A++=，cos sin cos cos sin0B B AC A C++=，()cos sin0B B A C++=，cos sin0B B B+=，因为0Bπ<<，所以sin0B>，所以cos B=34Bπ=．（2）因为ABC的面积2S=，所以1sin22==ABCS ac B，2=，所以a=由余弦定理得AC==所以222cos2AB AC BCCABAB AC+-∠==⋅因为AC平分BAD∠，所以cos cosCAB CAD∠=∠，所以2222cosCD AC AD AC AD CAD=+-⋅⋅∠，所以24202AD AD=+-⨯28160AD AD-+=，所以4=AD．17、如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABEF为正方形，DF⊥平面ABEF，//CD EF，2DF=，22EF CD==，2EN NC=，2BM MA=．（1）求证：//MN平面ACF；（2）求直线AD与平面BCE所成角的正弦值；（3）求平面ACF与平面BCE夹角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2；（3）45【详解】（1）证明：在EF上取点P，使2EP PF=，因为2EN NC=，所以//NP FC，于是//NP平面ACF，因为2BM MA=，四边形ABEF为正方形，所以//MP AF，所以//MP平面ACF，因为MP PN P =，所以平面//MNP 平面ACF ，因为MN ⊂平面MNP ，所以//MN 平面ACF ；（2）解：因为DF ⊥平面ABEF ，所以DF FA ⊥，DF EF ⊥，又因为四边形ABEF 为正方形，所以AF EF ⊥，所以FA 、FE 、FD 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， (2AD =-，0，2)，(2EB =，0，0)，(0EC =，1-，2)，设平面BCE 的法向量为(m x =，y ，)x ， 2020EB m x EC m y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1z =，(0m =，2，1)，所以直线AD 与平面BCE所成角的正弦值为||2||||22AD m AD m ⋅=⋅⋅ （3）解：(2FA =，0，0)，(0FC =，1，2)，设平面ACF 的法向量为(n u =，v ，)w ，2020FA n u FC n v w ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1w =-，(0n =，2，1)-，由（1）知平面BCE 的法向量为(0m =，2，1)，设平面ACF 与平面BCE 所成二面角的大小为θ，||33cos ||||55m n m n θ⋅===⋅⋅，4sin 5θ==．所以平面ACF 与平面BCE 所成二面角的正弦值为45． 18、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点为12,F F ，P 为椭圆上一点，且212PF F F ⊥，12tan PF F ∠=．（1）求椭圆C 的离心率；（2）已知直线l 交椭圆C 于,A B 两点，且线段AB 的中点为11,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，若椭圆C 上存在点M ，满足234OA OB OM +=，试求椭圆C 的方程．【答案】（1）e =（2）22551164x y +=．【分析】（1）由212tan 2b a PF F c ∠==222a c b -=，建立关于e 的方程，即可得到结果；（2）设()()()112200,,,,,A x y B x yM x y ，由（1）可知224a b =，可设椭圆方程为22244x y b +=，根据234OA OB OM +=，可得120120234234x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，设1:(1)2AB y k x =--将其与椭圆方程联立，由韦达定理和点M 满足椭圆方程，可求出2b ，进而求出结果.【详解】（1）解：因为2212tan 22b b a PF F c ac ∠==26b =，即()226a c -=，则()261e -=，解得e =（2）设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，由22234c e a ==，得2243a c =，所以222221134b a c c a =-==，所以224a b =设2222:14x y C b b+=，即22244x y b +=由于,A B 在椭圆上，则2221144x y b +=，2222244x y b +=，①由234OA OB OM +=，得120120234234x x x y y y +=⎧⎨+=⎩，即120120234234x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 由M 在椭圆上，则2220044x y b +=,即212222144232344x x y y b ⎛⎫+= ⎪++⎛⎫ ⎪⎝⎝⎭⎭，即()()()222211121222441249464x y x x y y x y b +++++=，②将①代入②得：212124x x y y b +=，③线段AB 的中点为11,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设1:(1)2AB y k x =--可知()22211244y k x x y b⎧=--⎪⎨⎪+=⎩ ()()22222148444410k x kk x k k b +-+++-+=212284121142k k x x k k ++==⨯⇒=+，所以222220x x b -+-=，其中0∆>，解得212b >，所以21222x x b ⋅=-，AB 方程为112y x =-又()2121212121111111122422b y y x x x x x x -⎛⎫⎛⎫=--=-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，④ 将④代入③得：22221422425b b b b --+⋅=⇒=，经检验满足212b >，所以椭圆C 的方程为22551164x y +=. 19、已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且455=S 455=S ，40342=+a a .数列}{n b 的前n 项和为n T ，满足n n b T 413=+)(*N n ∈.（1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式；（2）若1)23(+⋅-=n n n n n a a a b c ，求数列}{n c 的前n 项和n R ；（3）设n n n b S d =，求证：11248-=+-<∑n n k k n d . 【答案】（1）32+=n a n ，14-=n n b ；（2）51524-+=n R n n ；（2）证明见详解．【详解】（2）；（3）124n n n n n b c b b ++=， 112(3)44n n n n n n b n n c b b +-++∴==，则12124)2(444--+=++<n n n n n n c ，122-+<n n ．设1122n n k k k S '-=+=∑， 11123422122nn k n k k n S '--=++∴==++⋯+∑ 213422222n n n S +'∴=++⋯+ 12111(1)121112422334122222221()2n n n n n n n n n S ---+++'∴=-+++⋯+=-+=--，1482n n n S -+'∴=- 综上，11248-=+-<∑n n k k n c ． 20、已知函数()e cos x f x x =，()cos (0)g x a x x a =+<，曲线()y g x =在π6x =处的切线的斜率为32．（1）求实数a 的值；（2）对任意的π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()'()0f x g x -≥恒成立，求实数t 的取值范围；（3）设方程()'()f x g x =在区间()ππ2π,2π32n n n +⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭N 内的根从小到大依次为1x 、2x 、…、n x 、…，求证：12n n x x +->π．【答案】（1）1a =-；（2）1t ≥；（2）证明见详解．【分析】（1）由'π362g ⎛⎫= ⎪⎝⎭来求得a 的值. （2）由()'()0f x g x -≥，对x 进行分类讨论，分离常数t 以及构造函数法，结合导数求得t 的取值范围.（3）由()'()f x g x =构造函数()e cos sin 1x x x x ϕ=--，利用导数以及零点存在性定理，结合函数的单调性证得12n n x x +->π.【详解】（1）因为()cos (0)g x a x x a =+<，则()'1sin g x a x =-，由已知可得'π131622g a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解得1a =-．（2）由（1）可知()'1sin g x x =+，对任意的π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()'()0tf x g x -≥恒成立，即e cos 1sin x t x x ≥+对任意的π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，当2x π=-时，则有00≥对任意的R t ∈恒成立；当π02x -<≤时，cos 0x >，则1sin e cos x x t x+≥，令1sin ()e cos x x h x x +=，其中π02x -<≤， ()()2'2e cos e (cos sin )(1sin )e cos x x x x x x x h x x --+=2(1cos )(1sin )0e cos x x x x-+=≥且()'h x 不恒为零，故函数()h x 在π,02⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，则max ()(0)1h x h ==，故1t ≥．综上所述，1t ≥．（3）由()'()f x g x =可得e cos 1sin x x x =+，e cos 1sin 0x x x --=，令()e cos sin 1x x x x ϕ=--，则()'e (cos sin )cos x x x x x ϕ=--，因为()ππ2π,2π32x n n n +⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭N ，则sin cos 0x x >>，所以，()'0x ϕ<，所以，函数()ϕx 在()ππ2π,2π32n n n +⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭N 上单调递减，因为π2π3ππ2πe cos 2π33n n n ϕ+⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin 2π13n ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭π2π31e 12n +=π2π3e 102+≥>，π2π202n ϕ⎛⎫+=-< ⎪⎝⎭，所以，存在唯一的()ππ2π,2π32n x n n n +⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭N ，使得()0n x ϕ=，又1ππ2(1)π,2(1)π32n x n n +⎛⎫∈++++ ⎪⎝⎭()n +∈N ，则()1ππ2π2π,2π32n x n n n ++⎛⎫-∈++∈ ⎪⎝⎭N 且()10n x ϕ+=，所以，()()12π112πe cos 2πn x n n x x ϕ+-++-=-()1sin 2π1n x +---12π11e cos sin 1n x n n x x +-++=--112π11e cos e cos n n x x n n x x ++-++=-()112π1e e cos 0n n x x n x ++-+=-<()n x ϕ=，因为函数()ϕx 在()ππ2π,2π32n n n +⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭N 上单调递减，故12n n x x +-π>，即12n n x x +->π．。

天津市第一中学2023届高三上学期第一次月考物理试题 Word版含答案

A.拉力F先变大后变小B.弹簧长度先增加后减小
C.P所受摩擦力方向先沿斜面向下后沿斜面向上D.斜面对P的作用力先变小后变大
三、实验题
11.某同学用橡皮条与弹簧测力计验证“力的平行四边形定则”，实验装置如图甲所示。其中A为固定橡皮条的图钉，和为细绳。
（1）本实验采用的科学方法是“等效替代法”，其含义是___________
4.电梯、汽车等交通工具在加速时会使乘客产生不适感，其中不适感的程度可用“急动度”来描述。急动度是描述加速度变化快慢的物理量，即。汽车工程师用急动度作为评判乘客不舒适程度的指标，按照这一指标，具有零急动度的乘客，感觉较舒适。图为某汽车加速过程的急动度j随时间t的变化规律。下列说法正确的是（）
A.在0~5.0s时间内，汽车做匀加速直线运动
B.“福建舰”在码头补给充足后，它的惯性将变大
C.“福建舰”大角度转弯时，舰上各点的速度相同
D.研究战斗机在航母上的起落时，可以将“福建舰”看成质点
2.如图所示，音乐喷泉竖直向上喷出水流，喷出的水经3s到达最高点，把最大高度分成三等份，水通过起始的第一等份用时为，通过最后一等份用时为。空气阻力不计，则满足（）
A.
B.轻绳上的弹力与弹簧N上的弹力之比为
C.若剪断弹簧M，则在剪断的瞬间，b球处于失重状态
D.若剪断轻绳，则在剪断的瞬间，a球的加速度为
6.“血沉”是指红细胞在一定条件下沉降的速度，在医学中具有重要意义。测量“血沉”可将经过处理后的血液放进血沉管内，由于重力作用，血液中的红细胞将会下沉。设血沉管竖直放置且足够深，红细胞的形状为球体。已知红细胞下落受到血液的粘滞阻力表达式为，其中为血液的粘滞系数，r为红细胞半径，v为红细胞运动的速率。若某血样中半径为r的红细胞，由静止下沉直到匀速运动的速度为，红细胞密度为，血液的密度为。以下说法正确的是（）

天津市第一中学2018届高三上学期第三次月考数学理试题含答案

试卷（理）第Ⅰ卷（本卷共8道题,每题5分,共40分）一、选择题：1.设全集U R =，集合2{|log 2}A x x =≤，{|(3)(1)0}B x x x =-+≥，则()U C B A =∩（）A ．(,1]-∞-B ．(,1](0,3)-∞-∪C ．[0,3)D ．(0,3) 2.下列说法正确的是（）A ．若a R ∈，则“11a<”是“1a >”的必要不充分条件 B ．“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的必要不充分条件C ．若命题:p“sin cos x R x x ∀∈+≤，，则p ⌝是真命题 D ．命题“0x R ∃∈，200230x x ++<使得”的否定是“2230x R x x ∀∈++>，”3.设变量,x y 满足约束条件2024x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则目标函数23z x y =+的最小值为（）A ．5B ．4 C. 3 D ．2 4.如图所示的程序框图输出的所有点都在函数（）A ．1y x =+的图象上B ．2y x =的图象上C. 2x y =的图象上 D ．12x y -=的图象上5. 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，4cos 5A =，2b =，面积3S =，则a 为（）A．6.数列{}n a 满足11a =，对任意的*n N ∈都有11n n a a a n +=++，则122016111a a a +++=（） A ．20152016 B ．20162017 C. 40342017 D ．403220177.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的交点为A B 、，直线AB 经过抛物线的焦点F ，且线段AB 的长等于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率为（）A 1B ．．28.已知函数2ln 2,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是（） A ．1(,1)2 B ．13(,)24 C. 1(,1)3 D ．1(,2)2第Ⅱ卷（本卷共12道题，共110分）二、填空题：9.若复数212bii-+（b R ∈，i 为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，则b = ． 10.某几何体的三视图如图所示（单位:cm ），则该几何体的体积是___________3cm ．11.若1(21)6mx dx -=⎰，则二项式3(12)m x -的展开式各项系数的和为．12.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线Mcos()14πθ+=，曲线N 的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数）.若曲线M 与N 相交于A B ，两点，则线段AB 的长等于．13.ABC ∆是边长为P 是以C 为圆心，半径为1的圆上任意一点，则AP BP •的取值范围是．14.若关于x 的不等式|||1|||x x x a +->>对x R ∀∈恒成立，则a 的取值范围是．三、解答题（共6题，80分）15.函数()cos()(0)2f x x ππϕϕ=+<<的部分图象如图所示.（1）求ϕ及图中0x 的值；（2）设1()()()3g x f x f x =++，求函数()g x 在区间11[,]23-上的最大值和最小值. 16.从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球（不放回），则实验结束.（1）求第一次实验恰好摸到1个红球和1个白球的概率；（2）记实验次数为X ，求X 的分布列及数学期望.17. 如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，2AB BE ==.（1）求证：//EG 平面ADF ；（2）求二面角O EF C --的正弦值；（3）设H 为线段AF 上的点，且23AH HF =，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值. 18. 已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠），且数列{()}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列.（1）求证:数列{}n a 是等比数列；（2）若()n n n b a f a =+，当k =时，求数列{}n b 的前n 项和n S 的最小值；（3）若lg n n n c a a =，问是否存在实数k ，使得{}n c 是递增数列？若存在，求出k 的范围；若不存在，说明理由.19. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的焦距为12C C ，，点12(1,0)(3,2)A B AC AC ⊥，，.（1）求椭圆E 的方程及离心率；（2）点P 的坐标为(,)(3)m n m ≠，过点A 任意作直线l 与椭圆E 相交于点,M N 两点，设直线MB BP NB ，，的斜率依次成等差数列，探究,m n 之间是否满足某种数量关系，若是，请给出,m n 的关系式，并证明；若不是，请说明理由. 20. 已知函数()2ln h x ax x =-+.（1）当1a =时，求()h x 在(2,(2))h 处的切线方程；（2）令2()()2a f x x h x =+，已知函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1212x x >•，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若存在0[1x ∈+，使不等式20()ln(1)(1)(1)2ln 2f x a m a a ++>--++对任意a （取值范围内的值）恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案一、选择题1-4: DAAD 5-8:BDBA二、填空题9. 23-10. 16311. -1 12.8 13.[1,13] 14.(0,1)三、解答题15.解：（1）由题图得(0)f =，所以cos ϕ=，因为02πϕ<<，故6πϕ=.由于()f x 的最小正周期等于2，所以由题图可知012x <<，故0713666x ππππ<+<，3sin sin()26x x x ππππ=-=-. 当11[,]23x ∈-时，2663x ππππ-≤-≤.所以1sin()126x ππ-≤-≤，故62x πππ-=，即13x =-时，()g x当66x πππ-=-，即13x =时，()g x取得最小值2-16.解：（1）1126283()7C C P A C ==；（2）∵1122622813(1)28C C C P X C +===2112642222869(2)28C C C C P X C C +==⨯=；； 22112642222228645(3)28C C C C C P X C C C +==⨯⨯=；22226422222286421(4)28C C C C P X C C C C ==⨯⨯⨯=. ∴X 的分布列为()12342828282814E x =⨯+⨯+⨯+⨯=.17.试题解析：依题意，OF ⊥平面ABCD ，如图，以O 为点，分别以AD BAOF ，，的方向为x 轴，y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0)O ，(1,1,0)A -，(1,1,0)B --，(1,1,0)C -，(1,1,0)D ，(1,1,2)E --，(0,0,2)F ，(1,0,0)G -.（1）证明：依题意(2,0,0)AD =，(1,1,2)AF =-.设1(,,)n x y z =为平面ADF 的法向量，则1100n AD n AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩••，即2020x x y z =⎧⎨-+=⎩.不妨设1z =，可得1(0,2,1)n =，又(0,1,2)EG =-，可得10EG n =•，又因为直线EG ⊄平面ADF ，所以//EG 平面ADF . （2）解：易证：(1,1,0)OA =-为平面OEF 的一个法向量. 依题意(1,1,0)EF =，(1,1,2)CF =-.设2(,,)n x y z =为平面CEF 的法向量，则220n EF n CF ⎧=⎪⎨=⎪⎩••，即020x y x y z +=⎧⎨-++=⎩.不妨设1x =，可得2(1,1,1)n =-.因此有222cos ,|||OA n OA n OA n ==-•|?23sin ,3OA n =，所以，二面角O EF C --的正弦值为3. （3）解：由23AH HF =，得25AH AF =.因为(1,1,2)AF =-，所以2224(,,)5555AH AF ==-，有334(,,)555H -，从而284(,,)555BH =，因此222cos ,||BH n BH n BHn ==-•|?|.所以直线BH 与平面CEF 所成角的正弦值为21.18.解：（1）证明：由题意可得()42(1)22n f a n n =+-=+，即log 22k n a n =+， ∴22n n a k +=，∴2(1)22122n n n n a k k a k++++==.∵常数0k >且1k ≠， ∴2k为非零常数，∴数列{}n a 是以4k 为首项，2k 为公比的等比数列. （2）当k =时，112n n a +=，()22n f a n =+，所以2111(1)22411423122212n n n n S n n n +-++=+=++--，因为1n ≥，所以2111322n n n +++-是递增数列，因而最小值为1111713244S =++-=.由（1）知，22lg (22)lg n n n n c a a n k k +==+•，要使1n n c c +<对一切*n N ∈成立，即2(1)lg (2)lg n k n k k +<+••对一切*n N ∈恒成立；当1k >时，lg 0k <，21(2)n n k +>+对一切*n N ∈恒成立，只需2min 1()2n k n ++<. ∵11122n n n +=-++单调递增， ∴当1n =时，min 12()23n n +=+.∴223k <，且01k <<，∴0k <<.综上所述，存在实数(1,)k ∈+∞∪满足条件. 19.解：（1）∵12AC AC ⊥，1(0,)C b ，2(0,)C b -，(1,0)A ， ∴21210AC AC b =-=•，∴21b =.∵2c =，解得c =2223a b c =+=.∴椭圆E 的方程为2213x y +=.离心率c e a ===（2）,m n 之间满足数量关系1m n =+.下面给出证明：①当取M ，(N 时，MB k =，23BP n k m -=-，NB k =.∵直线MB BP NB ，，的斜率依次成等差数列，∴223n m -⨯=-，化为：1m n =+.②当直线MN 的斜率不为0时，设直线MN 的方程为：1ty x +=，11(,)M x y ，22(,)N x y .联立22113ty x x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，化为：22(3)220t y ty ++-=， ∴12223t y y t -+=+，12223y y t -=+. 1123MB y k x -=-，23BP n k m -=-,2223NB y k x -=-.∵直线,,MB BP NB 的斜率依次成等差数列， ∴12122222333y y n m x x ---⨯=+---，由于121221121122(2)(2)(2)(2)33(2)(2)y y y ty y ty x x ty ty ----+--+=---- 1212212122(22)()822()4ty y t y y t y y t y y -+++==-++， ∴213nm-=-，化为：1m n =+. 20.解：（1）1'()2h x a x =-+，1a =时，()2ln h x x x =-+，1'()2h x x =-+，(2)4ln 2h =-+，3'(2)2h =-. ()h x 在(2,(2))g 处的切线方程为322ln 220x y +-+=.（2）2121'()2(0)ax ax f x ax a x x x-+=-+=>， 2'()0210f x ax ax =⇔-+=，所以212124402112a a x x x x a ⎧⎪∆=->⎪+=⎨⎪⎪=>⎩，所以12a <<.（3）由2210ax ax -+=，解得1x =，2x =，∵12a <<，∴2112x =++.而()f x 在2()x +∞上单调递增，∴()f x在[12]2+上单调递增.∴在[12]2+上，max ()(2)2ln 2f x f a ==-+. 所以，“存在0[12]2x ∈+，使不等式20()ln(1)(1)(1)2ln 2f x a m a a ++>--++恒成立”等价于“不等式22ln 2ln(1)(1)(1)2ln 2a a m a a -+++>--++恒成立”，即，不等式2ln(1)ln 210a ma a m +--+-+>对任意的(12)a a <<恒成立. 令2()ln(1)ln 21g a a ma a m =+--+-+，则(1)0g =.2122'()2111ma ma a g a ma a a ---=--=++. ①当0m ≥时，222'()01ma ma a g a a ---=<+，()g a 在(1,2)上递减. ()(1)0g a g <=，不合题意.②当0m <时，12(1)2'()1ma a m g a a -++=+. 若11(1)2m <-+，记1min(2,1)2t m=--，则()g a 在(1,)t 上递减. 在此区间上有()(1)0g a g <=，不合题意. 因此有01112m m <⎧⎪⎨--≤⎪⎩，解得14m ≤-，所以，实数m 的取值范围为1(,]4-∞-.。

2023届天津市南开中学高三年级上册学期第三次月考数学试卷【含答案】

天津市南开中学2023届高三第三次月考一、选择题1．设为虚数单位，则复数的虚部是（）i 21i z =+A ．B ．C ．D ．i-1-i 12．集合，，则=（）{}2|4A x x =>{}|51B x x =-<<()R A B A ．B ．C ．D ．{}|52x x -<<-{}|22x x -<<{}|21x x -<<{}|21x x -£<3．已知直线，，则是的（）()1:120l a x ay -+=()()2:22110l a x a y -+++=1a =12//l l 条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要4．展开式中的常数项是（）623x x æöç÷-ç÷èøA ．B ．135C ．D ．135-12151215-5．已知，，则的大小关系是2log a =0.42b =1313c -æöç÷=ç÷èø,,a b c A ．B ．C ．D ．b a c <<a c b <<a b c <<b c a<<6．将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再向左平移()2sin 23f x x πæöç÷=-ç÷èø12个单位，得到函数的图象，则下列说法正确的是（）6π()g x A ．的图象关于点对称B ．的图象关于直线对称()g x 7,024πæöç÷ç÷èø()g x 6x π=C ．过点D ．在区间上单调递增()g x ,28πæöç÷ç÷èø()g x 0,24πæöç÷ç÷èø7．设抛物线：（）的焦点为，上一点，满足直线与轴正半C 22y px =0p >F C B FB y 轴交于点，且在之间，若，且点到抛物线准线的距离为，则M B ,F M 2FB BM=B 43点的纵坐标为（）M A ．1B C ．D 328．已知双曲线：的右焦点为，关于原点对称的两点分别H ()222210,0x y a b a b -=>>F ,A B 在双曲线的左．右两支上，，，且点在双曲线上，则双曲线的离0AF FB ⋅=32BF FC =C 心率为（）A B CD9．已知函数若方程有5个不等实根，则实数的取(),42,42 6.xx x f x x ⎧-<<⎪+⎪=≤<()20f x ax +=a值范围是（）A ．B ．C ．D．1,3⎛⎧⎫-∞⋃- ⎨⎬ ⎩⎭⎝11,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦13⎡⎢⎣13⎫⎧⎫+∞⋃⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎭二、填空题10．某校为了解学生关于校本课程的选课意向，计划从高一．高二这两个年级共名学500生中，采用分层抽样的方法抽取人进行调査．已知高一年级共有名学生，那么应抽50300取高一年级学生的人数为_________11．一批产品分为一，二，三3个等级，其中一级品的个数是二级品的两倍，三级品的个数是二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量，则ξ______ 1533P ξ⎛⎫≤≤=⎪⎝⎭12．等差数列中，，，则数列的前2023项和为{}n a 31a =5672a a a -+=(){}cos πn a ___________.13．已知都是正数，则的最小值是___________,a b 222a ba b a b +++14．已知圆的圆心为，且有一条直径的两个端点分别在两坐标轴上，若直线C ()2,1C 与交于两点，，则实数__________:420l x y λ-+=C ,A B 120ACB Ð= λ=15．如图，在中，，点满足，，为ABC ,23B AB π==M 13AM AC = 43BM AC ×= O 中点，点在线段上移动（包括端点），则的最小值是______ BM N BC OA ON ×CB三、解答题16．在，中，记角，，的对边分别为，已知ABC A B C ,,ab c cos a cC C b++=(1)求角；B (2)已知点在边上，且，求的面积.D AC 4,6AD BD AB ===ABC17．如图，在四棱锥中，平面平面，，P ABCD -PAB ⊥ABCD ,,3AB BC AD BC AD ⊥=∥．2,1,PA BC AB PB ===(1)．求证：平面；PB ^ABCD (2)．求平面与平面夹角的余弦值；PCD ABCD (3)．若点在棱上，且平面，求线段的长.E PA //BE PCD BE18．已知椭圆中心在原点，右焦点，离心率为.C ()2,0F 12（1）求椭圆的标准方程；C （2）若椭圆左右顶点分别为和，为椭圆位于第二象限的一点，在轴上存在一点1A 2A B y ，满足，设和的面积分别为和，当时，求直线N BF NF ^12A A B 1A FN 1S 2S 12:3:2S S =的斜率.1A B 19．已知公差不为零的等差数列，为等比数列，且满足，，{}n a {}n b 11a b =442b a =，成等比数列.2352b b a +=+248,,a a a （1）求数列和的通项公式；{}n a {}n b（2）设数列的前项和为，若不等式恒成立，求实数的n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T ()*942n n n T n N λ++≥-∈λ取值范围．20．已知函数.()e sin x f x k x=-（1）．当，时，求的单调区间；1k =0,2x πæöç÷Îç÷èø()f x （2）．若在区间内存在极值点.()f x 0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭α①．求实数的取值范围；k ②．求证：在区间内存在唯一的，使，并比较与的大小，()f x ()0,πβ() 1f β=β 2α说明理由.一、选择题BDABCDDBA 二、填空题10、3011、12、1314、或15、47121-1-11-2936-三、解答题16、（1）因为，cos a c C C b ++=由正弦定理可得，sin cos sin sin sin B C B C A C =+因为，所以，π=--A B C ()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C=+=+，sin cos sin sin B C B C C =+因为，则，故0πC <<sin 0C >cos 1B B =+cos 1B B -=，π2sin 16B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭又，所以，故.0πB <<ππ66B -=π3B =（2）在中由余弦定理可得，，，ABD 2221cos 22AB AD BD A AB AD +-==⋅⋅0πA <<是等边三角形，60A = ABC 所以的面积是11sin 6622ABC S AB BC B=⋅=⨯⨯= ABC 17．(1)．略（2）解：在中，因为，PAB△2,1PA PB AB ===所以，所以．222PA AB PB =+PB AB ⊥所以，建立空间直角坐标系，如图所示．B xyz -所以，(1,0,0),(0,0,0),(0,2,0),(1,3,0),(1,1,0),(0,2,A B C D P CD PC --=-=易知平面的一个法向量为．ABCD (0,0,1)n =设平面的一个法向量为，PCD (,,)m x y z=则，即，令，则．=0=0m CD m PC ⋅⋅⎧⎪⎨⎪⎩=2x y y⎧⎪⎨⎪⎩=2z m = 则cos ,||||n m n mn m ⋅〈〉===⋅即平面与平面．PCDABCD （3）解：因为点E 在棱，所以．PA,[0,1]AE APλλ=∈因为．AP =所以．(),()AE BE BA AE λλ==+=-又因为平面，为平面的一个法向量，BE ∥PCD m PCD所以，所以．0BE m ⋅==0λ-13λ=所以，所以23BE ⎛=- ⎝ ||BE BE == 18．（1）椭圆方程2211612x y +=（2）设直线的方程为，显然，联立1A B 4x my =-0m >2243448x my x y ì=-ïí+=ïî，所以，所以()223424m y my Þ+=2222224241216,4343434B B m m m y x m m m -==-=+++，设，所以，根据题意，22222443412164234BF m m m k m m m +==---+()0,N u 2244422m u m u m m--=Þ=-，所12:3:2S S =24222424423628910448023493m m m m m m m m -Þ´´=´´Þ+-=Þ=Þ=+以所求直线斜率为3219．(1)．2,2nn n a n b ==(2)．∵，1222n n n n a n nb -＝＝则，23123412222n n n T -＝＋＋＋＋＋，23111231222222n n n n n T --∴ ＝＋＋＋＋＋，2311111111*********222212n n n nn nn n n T --∴---- ＋＝＋＋＋＋＋＝＝，1242n n n T -∴-＋＝恒成立，()*942n n n T n N λ++≥-∈则恒成立，192544222n n n n n n λ--≥--＋＋＋＝令，则，()52n n f n -＝()()114561222n n n n n n f n f n -----＋＋＋＋＝＝，()()()()()12678f f f f f ∴＜＜＜＝＞＞，()()1()6764max f n f f ∴＝＝＝，164λ∴≥故实数的取值范围是λ164⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，+20．(1)．，，所以在()'cos ,0,2e x f x x x πæöç÷=-Îç÷èø()''sin 0e x f x x =+>()'f x 0,2πæöç÷ç÷èø ，所以在单调递增()()''00f x f >=()f x 0,2πæöç÷ç÷èø（2）．①，又，则且，()e cos xf x k x '=-()0f α'=e cos k αα=π(0,)2α∈∴，即在上递增，故，2e (cos sin )0cos k αααα+'=>k π(0,2α∈1k >当时，在上，即递增，又，1k >(0,)2x π∈()e sin 0x f x k x ''=+>()'f x (0)10f k '=-<，()e 0f k ππ'=+>∴上，上，则在上递减，在上递增，(0,)α()0f x '<(,)2πα()0f x '>()f x (0,)α(,2πα∴在处取极小值，符合题设.()f x α∴.1k >②要证在内存在唯一的使，只需证在上有唯一()0,πβ()1f β=()esin 1xg x k x =--()0,π零点，β∴，由（1）知：在上递减，在上递增，()e cos xg x k x '=-()g x (0,)α(,)2πα又时，，即在上递增，[,)2x ππ∈()e cos 0xg x k x '=->()g x [,)2ππ综上，在上递减，在上递增，而，，()g x (0,)α(,)απ(0)0()g g α=>()e 10g ππ=->∴在无零点，在上存在一个零点，故存在唯一使.()g x (0,)α(,)απβ∈()0,π()0g β=由①知：，e cos 1k αα=>∴，22(2)e sin 21e 2sin e 1e (e 2sin )1g k ααααααααα=--=--=--令且，则，2e 2si ()n e1xxh x x =--(0,2x π∈e [e (cos sin )2]'()x xx h x x -+=令，则显然，则递增，e (cos sin )x y x x =-+e sin cos 0xy x x '=+->y∴，即，故在上递增，则，0y >'()0h x >()h x (0,)2x π∈()()00h x h >=∴在有，π(0,)2α∈(2)0g α>即有，又在上递增且，(2)()0g g αβ>=()g x (,)απ2ααπ<<∴.2βα<。

2018届天津市第一中学高三上学期第三次月考数学(文)试题(解析版)

天津一中2017-2018学年度高三年级月考试卷数学（文史类）一、选择题：每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B. D.【答案】D点睛：集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．2. ）C.【答案】B【解析】本题选择B选项.3. 下列说法正确的是（）A.B. 为真命题”是“C.D.【答案】A考点：命题真假【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q 的充分条件．2．等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．4. ）B. -1 D. 1【答案】B【解析】本题选择B选项.5. ）A.6. 的图像关于直线取最小值时，，使得的取值范围是（）C.【答案】D，因此，选D.【点睛】函数;求减区间7. 已知是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数）A. B. C.【答案】A上单调递减，因为是定义在，即，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据8. 上恒成立，则的取值范围是（）B.【答案】A式即为（时取等号），（时取等号）所以，时，(*)（当时取等号），（当时取等号），所以，A．【考点】不等式、恒成立问题循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据原理，求出对应的的范围.第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9. __________．【解析】因为10. ，则的极大值为__________．11. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．12. 抛物线的焦点与双曲线的右支交于点，的离心率为__________．【解析】B(0,1),b=1;点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于性质、点的坐标的范围等.13. __________．点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.14. 的中点，．【答案】3【解析】设平行四边形对角线交点为Q，所以P是三角形ABC的重心，由，得三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 中，内角（1）（2）.【答案】（1（2【解析】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系利用两角差的正弦公式求出结果.试题解析：（Ⅱ）解：由（Ⅰ），代入，得由（Ⅰ）知，A为钝角，所以，考点：正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.16. 某营养学家建议：（单位：克），（单位：克）160克，含脂肪9克，售价20元；1千克食物30克，含脂肪27克，售价15元.（1（2低需要花费的钱数.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据A满足蛋白质的摄入量时确定脂肪摄入量，A满足脂肪摄入量时确定蛋白质的摄入量，再对照专家标准进行比较判断（2试题解析：（1）解：如果学生只吃食物（单位：克）时，（单位：千克），其相应的脂肪摄入量在，不符合营养学家的建议；当脂肪的摄入量在克），不符合营养学家的建议.（2千克食物满足可行域如图所示，.由图可以看出，经过可行域上的点.元，答：学生每天吃0.8千克食物0.4千克食物既能符合营养学家的建议又花费最少.最低需要花费22元.17. 分别为棱中点.（1（2平面（3.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3【解析】试题分析：（1，根据平几知识得四边形为平行四边形，即得平行判定定理得结论（2最后根据面面垂直判定定理得结论（3）.正弦值.试题解析：（1又因为为为平行四边形，所以（2），（3）内，过点而直线由此得与平面.设棱长为，，所以直线与平面所成角的正弦值为18. ，，为数列（1（2（3【答案】（1（2；（3）【解析】试题分析：（1）先根据和项与通项关系得项之间递推关系，再根据等比数列定义以及通项公式求（21，再根据等差数列定义进行说明论证（3）先两项合并，再利用错位相减法求偶数项试题解析：（1，2，首项为2（21，首项为1.（3）令（1）-（2），得19. 已知函数，（为常数）.（1（2，证明：（3）若对任意.【答案】（1（2）见解析；（3【解析】试题分析：（1）解得实数的值；（2）求导数，再求导函数零点，确定函数单调性，进而确定最小值为0，即证得结论（3）研究差函数.试题解析：（1处的切线方程为：（2，从而对任意，即时，成立.（3，不等式..，即时，恒成立，此时函数单调递增.时，所以.于是当20. 在平面直角坐标系中，焦点在轴上的椭圆.在轴下方）.（1（2（3，求直线的斜率.【答案】（1（2；（3）【解析】试题分析：（1）将点坐标代入椭圆方程，（2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简可得定值（3）先求交点坐标，再根据，得2试题解析：（1经过点.，所以，解得（2，则直线的方程为，所以直线方程为与椭圆方程，（3）在中，令，则，所以由（2，解得因为，所以整理得，解得或（舍）.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.。

天津市第一中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学试题(解析版)

2023届天津市第一中学高三上学期第一次月考数学试题一、单选题1．设全集R U =，集合{}{}22802345A x x x B =--<=∣，，，，，则()U A B =ð（） A ．{}2 B ．{}23，C ．{}45，D ．{}345，，【答案】C【分析】解不等式后由补集与交集的概念求解【详解】由题意得(2,4)A =-，则(){4,5}U A B ⋂=ð，故选：C2．已知,a b ∈R ，则“2a b >>”是“22a b ->-”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据不等式的性质以及充分不必要条件的判断，即可求解. 【详解】若2a b >>时，则20,20a b ->->,因此22=2a b b ->--，若22a b ->-时，比如5,1a b ==，但不满足2a b >>，因此“2a b >>”是“22a b ->-”的充分不必要条件. 故选：A 3．函数2sin ()||2xf x x =+的部分图象大致为（） A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据奇偶性及函数值的正负判断即可.【详解】因为2sin ()2xf x x =+，定义域为R 所以2sin()2sin ()()22x xf x f x x x --==-=--++所以()f x 为奇函数，且(0)0f =，排除CD 当()0,x π∈时，sin 0x >，即()0f x >，排除A 故选：B.4．已知函数()11e xm f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是偶函数，则m 的值是（） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】A【分析】先求出函数的定义域，然后根据偶函数的定义取特殊值求解【详解】函数的定义域为{}0x x ≠，因为函数()11e xm f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是偶函数，所以(1)(1)f f -=，所以11111e 1e m m -⎛⎫⎛⎫-+=⨯+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， e 11e 11em m--=+--，所以(e 1)21e m -=-，得2m =-，故选：A5．已知函数()f x 是(),-∞+∞上的偶函数，且()()11f x f x -=+，当[]0,1x ∈时，()21x f x =-，则()()20212022f f +的值为（）A ．1B ．2C ．1-D ．0【答案】A【分析】由偶函数可得()()f x f x -=，由()()11f x f x -=+可得对称性，再化简整理可得周期2T =，进而根据性质转换()()20212022f f +到[]0,1x ∈，再代入解析式求解即可.【详解】由题，因为偶函数，所以()()f x f x -=，又()()11f x f x -=+，所以()()()111f x f x f x -+=-=+,即()()2f x f x =+，所以()f x 是周期函数，2T =，故()()()()10202120221021211f f f f +=+=-+-= 故选：A6．已知函数()()||0.542π()2,log 3,log 5,cos 3x f x a f b f c f ⎛⎫==== ⎪⎝⎭，则（）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】B【分析】直接由指数、对数的运算以及特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】0.52|log 3|log 3223a ===，4|log 5|log 22b ==2π1cos3222c ==a b c >>.故选：B ． 7．已知35a b =且211a b+=，则a 的值为（） A ．3log 15 B ．5log 15C ．3log 45D ．5log 45【答案】C【分析】令350a b k ==>，利用指对数互化，换底公式及对数的运算法则可得45k =，即得.【详解】令350a b k ==>，则35log ,log a k b k ==，351111log 3,log 5log log k k a k b k ====，又211a b+=， ∴2log 3log 5log 451k k k +==，即45k =， ∴3log 45a =. 故选：C.8．设函数e e ()sin 2x x f x x --=+，不等式()e (ln 1)0xf a x f x x -+++≤对0x >恒成立，则实数a 的最大值为（） A ．e 1- B ．1C ．e 2-D ．0【答案】D【分析】先由定义证()f x 为奇函数，结合均值不等式可证()1cos 0f x x '≥+≥，得()f x 在R 上单调递增，故结合奇偶性与单调性，恒成立转化为e ln 1x a x x x ≤---对0x >恒成立．令()e ln 1x g x x x x =---，用导数法求()g x 最小值，即有()min a g x ≤.【详解】因为e e ()sin 2x xf x x ---=-，所以()()f x f x -=-，所以()f x 为R 上的奇函数．因为e e ()cos cos 1cos 02x x f x x x x -+'=+≥=+≥，所以()f x 在R 上单调递增．不等式()e (ln 1)0x f a x f x x -+++≤可转化为()(ln 1)e xf x x f x a ++≤-，所以ln 1e x x x x a ++≤-，即e ln 1x a x x x ≤---对0x >恒成立．令()e ln 1x g x x x x =---，则ln ln ()e e ln 1e (ln )1x x x x g x x x x x +=---=-+-，令()e 1x h x x =--，则()e 1x h x '=-．当0x >时，()0h x '>，()h x 在(0,)+∞上单调递增；当0x <时，()0h x '<，()h x 在(,0)-∞上单调递减．所以0min ()(0)e 010h x h ==--=，即()0h x ≥，所以()0g x ≥，且当ln 0x x +=时，()g x 取最小值0，故0a ≤，即实数a 的最大值为0．故选：D.【点睛】1.通常函数不等式恒成立问题涉及奇偶性与单调性可先进行转化； 2.含参不等式恒成立问题，一般通过构造函数解决.一般将参数分离出来，构造函数用导数法讨论不含参数部分的最值；或者包含参数一起构造函数，用导数法对参数分类讨论.当参数不能分离出来时，也可尝试将不等式左右变形成一致形式，即可将该形式构造成函数，通过导数法分析单调性，将问题等价成对应自变量的不等式.9．已知函数()()212f x x mx x =++∈R ，且()y f x =在[]0,2x ∈上的最大值为12，若函数()()2g x f x ax =-有四个不同的零点，则实数a 的取值范围为（）A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()0,1C ．1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】由()y f x =在[]0,2x ∈上的最大值为12，讨论可求出2m =-，从而()2122f x x x =-+，若()()2g x f x ax =-有4个零点，则函数()y f x =与2y ax =有4个交点，画出图象，结合图象求解即可【详解】若0m ≥，则函数()212f x x mx =++在[]0,2上单调递增，所以()212f x x mx =++的最小值为12，不合题意，则0m <，要使函数()212f x x mx =++在[]0,2x ∈上的最大值为12．如果22m-≥，即4m ≤-，则()912222f m =+≤，解得522m -≤≤-，不合题意；若22m -<，即40m -<<，则2912,2211,242m m ⎧+≤⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩解得52,22,m m ⎧-≤≤-⎪⎨⎪≥-⎩即2m =-，则()2122f x x x =-+．如图所示，若()()2g x f x ax =-有4个零点，则函数()y f x =与2y ax =有4个交点，只有函数2y ax =的图象开口向上，即0a >．当2y ax =与(2y x =-122x -+）有一个交点时，方程221202ax x x +-+=有一个根，0∆=得1a =，此时函数()()2g x f x ax =-有二个不同的零点，要使函数()g x =()2f x ax -有四个不同的零点，2y ax =与2122y x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭有两个交点，则抛物线2y ax =的图象开口要比2y x =的图象开口大，可得1a <，所以01a <<，即实数a 的取值范围为()0,1．故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查二次函数的性质的应用，考查数形结合的思想，解题的关键是由已知条件求出m 的值，然后将问题转化为函数()y f x =与2y ax =有4个交点，画出函数图象，结合图象求解即可，属于较难题二、填空题 10．复数i2i=+_________. 【答案】12i 55+【分析】根据复数的除法运算直接求解.【详解】解：()()()i 2i i 12i 2i 2i 2i 55-==+++-. 故答案为:12i 55+.11．已知函数()f x 的导函数，满足()()321f x xf x '=+，则()1f 等于_______________.【答案】5-【分析】求导，令1x =，可解得()1f '，进而可得()1f .【详解】由()()321f x xf x '=+，得()()2213f x f x ''=+，令1x =，得()()1213f f ''=+，解得()13f '=-，所以()()()312112315f f '=+=⨯-+=-，故答案为：5-.12．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”.计算方法如下表：若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为___________. 【答案】320m 20立方米【分析】根据题设条件可得水费与水价的关系式，根据该关系式可求用水量. 【详解】设用水量为x 立方米，水价为y 元，则()3,01236612,1218729(18),18x x y x x x x ≤≤⎧⎪=+-<≤⎨⎪+->⎩，整理得到：3,012636,1218990,18x x y x x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩，当012x ≤≤时，036y ≤≤；1218x <≤时，3672y <≤；故某户居民本月交纳的水费为90元，则用水量大于18立方米，令99090x -=，则20x =（立方米），故答案为：320m .13．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(2)()f x f x +=-，当[0x ∈，1)时，2()f x x =，则23()2f =_______．【答案】14-【分析】根据题意，分析可得(4)(2)()f x f x f x +=-+=，则函数()f x 是周期为4的周期函数，由此可得231()()22f f =-，结合函数的解析式计算可得答案．【详解】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(2)()f x f x +=-，则(2)()()f x f x f x +=-=-，则有(4)(2)()f x f x f x +=-+=，则函数()f x 是周期为4的周期函数，则23111()(12)()()2222f f f f =-+=-=-，又由当[0x ∈，1)时，2()f x x =，则2111()()224f ==，则2311()()224f f =-=-，故答案为：14-．14．已知函数()212-,02=1+1,>02xx f x x x ≤⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⎪⎩，则不等式()313xf ->的解集为___________.【答案】()1,+∞【分析】分别在条件31>0x -，310x -≤下化简不等式，再求其解，由此可得不等式()31>3x f -的解集.【详解】当310x -≤时，即0x ≤时，()31131=22x x f ---⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以不等式()31>3xf -可化为3112>32x --⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以0x ≤且3111>2x --⎛⎫⎪⎝⎭，所以满足条件的x 不存在，即当0x ≤时，不等式无解，当31>0x -时，即>0x 时，()()2131=31+12xxf --，此时不等式()31>3x f -可化为()2131+1>32x-，得31>2x -或31<2x --，解得>1x ，所以不等式()31>3xf -的解集为()1,+∞，故答案为：()1,+∞.15．已知正数,a b 满足1,a b c +=∈R ，则222312a c bc b abc ab++++的最小值为__________．【答案】2【分析】把1a b +=平方得到2221,0,0a ab b a b ++=>>，代入结论构造基本不等式，再分析计算可求出最小值.【详解】解：由1a b +=，得2221,0,0a ab b a b ++=>>，则222312a c bc b abc ab++++ 222213221a a ab b c c b ab ⎛⎫++=++ ⎪+⎝⎭2214221a b c c b a ⎛⎫=+++ ⎪+⎝⎭221221c c ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭≥+()226212221c c =++-≥=+，当且仅当4a bb a =，即2b a =，()226211c c =++，即()2213c +=时取“等号”，所以当212,,133a b c ==时，222312a c bc b abc ab++++的最小值为2．故答案为：2三、解答题16．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.(1)若cos A =cos(2)A C +的值；(2)若c =ABC a ，b 的值.【答案】(1)(2)2a =，3b =或3a =，2b =【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出C ，由同角三角函数的基本关系求出sin A ，即可求出sin 2A 、cos 2A ，最后利用两角和的余弦公式计算可得；（2）由面积公式及余弦定理得到方程组，解得即可.【详解】(1)解：因为2cos (cos cos )C a B b A c +=，由正弦定理得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，即2cos sin()2cos sin sin C A B C C C +==，因为(0,)C π∈，sin 0C >，所以1cos 2C =，由C 为三角形内角得3C π=；由cos A =，则sin A =所以sin 22sin cos 2A A A ===， 261cos 22cos 121164A A =-=⨯-=-，()cos 2cos 2cos sin 2sin A C A C A C +=-=1142-⨯=(2)解：因为ABC 的面积1sin 2S ab C ==6ab =①，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得227a b ab =+-，则2213a b +=②，由①②解得2a =，3b =或3a =，2b =17．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 满足AD BC ∥，且12AB AD AA ===，BD DC ==(1)求证：BD ∥平面11B CD .(2)求直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值. (3)求二面角111B CD C --的正弦值. 【答案】(1)证明见解析(3)正弦值为1【分析】(1)由四棱柱的性质证明11//BD B D ，根据线面平行判定定理证明BD 平面11B CD ；(2)建立空间直角坐标系，求直线AB 的方向向量和平面11B CD 的法向量利用空间向量求解线面角；(3)求平面11C CD 的法向量，利用向量夹角公式求二面角111B CD C --的夹角的余弦值，再由同角关系求其正弦值.【详解】(1)在四棱柱1111ABCD A B C D -中，11BB DD ，11BB DD =，故四边形11BB D D 是平行四边形，所以11//BD B D ，因为BD ⊄平面11B CD ，11B D ⊂平面11B CD ，所以BD ∥平面11B CD ；(2)因为1AA ⊥平面ABCD ，AB ，AD ⊂平面ABCD ，所以1AA AB ⊥，1AA AD ⊥，因为2AB AD ==，BD =所以222AB AD BD +=，=ABD ADB ∠∠，所以AB AD ⊥，=45ADB ∠，因为AD BC ∥，所以=45DBC ∠，又BD CD ==所以BDC △为等腰直角三角形，所以=4BC ，因为AB ，AD ，1AA 两两垂直，以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，1AA 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,4,0C ，()12,0,2B ，()10,2,2D 所以()2,0,0AB =，()1=0,4,2B C -，()11=2,2,0B D - 设平面11B CD 的法向量为(),,n x y z =∴111=0=0n B C n B D ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，即42=02+2=0y z x y --⎧⎨⎩，令=1x ，则=1y ，=2z ，∴()1,1,2n =设直线AB 与平面11B CD 所成角为θ，∴2sin =cos ,==2?6AB n AB nAB n⋅θ⋅所以直线AB 与平面11B CD .(3)平面11B CD 的法向量为()1,1,2n =，因为1AA ⊥平面ABCD ，11//AA DD ，所以1DD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1DD BD ⊥，又B D D C ⊥，1=DD DC D ⋂，1,DD DC ⊂平面11CD C ，所以BD ⊥平面11CD C ，所以BD 为平面11CD C 的法向量，所以平面11CD C 的法向量为()=2,2,0m BD -= ∴cos ,==0m nm n m n⋅，∴sin ,1m n = 所以，二面角111B CD C --的正弦值为1.18．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当],(0x ∈-∞时，()93x xm f x -=-． (1)求()f x 在(0,)+∞上的解析式；(2)当[1,2]x ∈时，1()23x x f x a +⋅+…恒成立，求实数a 的取值范围；(3)关于x 的方程1()3160x f x n -++⋅+=在[2,1]--上有两个不相等的实根，求实数n 的取值范围．【答案】(1)()93x xf x =-+(2)15,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ (3)227,93⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【分析】(1)根据函数的奇偶性求出m 的值，进而求出函数的解析式即可；(2)利用分离参数法将原不等式转化为932()22x xa g x ⎛⎫⎛⎫≥--⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[]1,2上恒成立，结合函数的单调性求出()max g x 即可；(3)令[]33,9xt -=∈，将原方程转化为直线13y n =-与函数()16h t t t=+的图象有两个交点．利用数形结合的思想即可求解.【详解】(1)依题意得()010f m =-=，解得1m =，经检验1m =，符合题意.当()0,x ∈+∞时，(),0x -∈-∞，则()93x xf x -=-，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()93x xf x f x =--=-+，即当()0,x ∈+∞时，()93x xf x =-+；(2)当[]1,2x ∈时，19323xxxx a +-+≤⋅+恒成立，即93222x xa ⎛⎫⎛⎫≥--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立．设()93222x xg x ⎛⎫⎛⎫=--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，易知()g x 在[]1,2上是减函数，()()max 1512g x g ==-，所以152a ≥-，即实数a 的取值范围为15,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭； (3)方程()13160x f x n -++⋅+=在[]2,1--上有两个不相等的实根，即函数()()931316x xF x n --=+-⋅+在[]2,1--上有两个零点，令[]33,9xt -=∈，则关于t 的方程()231160t n t +-+=在[]3,9上有两个不相等的实根，由于2161613t n t t t+-==+，则直线13y n =-与()16h t t t=+的图象有两个交点．如图，因为()16h t t =+在[]3,4上单调递减，在[]4,9上单调递增，且()48h =，()2533h =，()9799h =，所以258133n <-≤，解得22793n -≤<-，即实数n 的取值范围为227,93⎡⎫--⎪⎢⎣⎭．19．设函数()222ln f x ax a x =--，()1eex g x x =-，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数． (1)讨论()f x 的单调性； (2)证明：当1x >时，()0g x >；(3)若不等式()()f x g x >在()1,x ∈+∞时恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析 (3)1,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）求导后分0a ≤与0a >两种情况讨论即可；（2）构造函数()1e-=-x s x x ，求导分析单调性与最值，证明当1x >时，1e x x ->即可；（3）结合（1）（2）讨论()(),f x g x 1的大小关系，构造函数()()()h x f x g x =-，求导放缩判断单调性，进而证明即可. 【详解】(1)()f x 定义域为()0,∞+，()241ax f x x-'=．当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+内单调递减；当0a >时，由()0f x '=，得x =x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增．综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0,∞+内单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． (2)令()1e-=-x s x x ，则()1e 1x s x -=-．当1x >时，()0s x '>，()s x 单调递增，()()10s x s >=，所以1e x x ->，从而()1110e x g x x -=->． (3)由（2）得，当1x >时，()0g x >．当0a ≤时，1x >时，()()()221ln 0f x a x x g x =--<<，不符合题意．当104a <<1=>，由（1）得，当x ⎛∈ ⎝⎭时，()()()10f x f g x <=<，不符合题意．当14a ≥时，令()()()h x f x g x =-，1x >． ()211e 4e x h x ax x x '=-+-2111x x x x >-+-()222111110x x x x x ->-+-=>()h x 在区间()1,+∞上单调递增．又因为()10h =，所以当1x >时，()()()0h x f x g x =->，即()()f x g x >恒成立．综上，1,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题主要考查了求导分情况讨论函数单调性的问题，证明不等式与恒成立的问题，需要根据题意，结合极值点与区间端点的关系分情况讨论导函数的正负，求得函数的单调性，从而证明不等式的问题.属于难题.20．已知0a >，设函数()(2)ln ,()=-+'f x x a x x f x 是()f x 的导函数． (1)若2a =，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)若()f x 在区间(1,)+∞上存在两个不同的零点()1212,x x x x <， ①求实数a 范围； ②证明：()221(e)(2e)(3)12e---'<-x f x a a a x ．注，其中e 2.71828=⋅⋅⋅⋅⋅⋅是自然对数的底数．【答案】(1)y x =(2)①>a【分析】(1)把1x =代入原函数与导函数得到切点及斜率，利用点斜式即可得切线方程； (2)①可设()()2ln ln f x xg x x a x x==+-，因为1x >，所以()g x 与()f x 零点相同，可根据()g x 的单调性与极值情况来确定a 的范围；②根据题意，巧设函数，利用放缩构造等思路结合导数，可分别求出22()x f x '与111x -的范围，然后相乘即可，详细过程见解析.【详解】(1)当2a =时，2()2(1)ln ,()2ln 3=-+=-+'f x x x x f x x x，所以(1)1,(1)1f k f '===．根据点斜式可得曲线()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为y x =．(2)①当1x >时，()0f x =等价于20ln +-=xx a x．设()2ln =+-x g x x a x ，则22ln 1(ln 1)(2ln 1)()2ln ln '-+-=+=x x x g x x x．当1x <<()0,()g x g x '<单调递减；当x >()0,()'>g x g x 单调递增；所以，当1x >时，min [()]==g x g a ，因为()f x 在区间(1,)+∞上存在两个不同的零点12,x x ，所以min [()]0<g x，解得>a当>a1=∈-a ax a ，则1ln 11<-=-a a x x a ，故()221201ln 111-=+->+-=>---a a a a a x a a a g x x a a x a a a ，又202ln 2⎛⎫=> ⎪⎝⎭a a g a ，所以()f x在区间和2⎫⎪⎭a 上各有一个零点．综上所述：>a②设()()[(3)2](2)ln (2)(2)=--+-=-+---F x f x a x a x a x a x a ，则2()2ln (2)2ln -=++=+'--x a aF x x a x a x x，它是[1,)+∞上的增函数．又(1)0F '=，所以()0F x '≥，于是()F x 在[1,)+∞上递增．所以()(1)0F x F ≥=，即(2)ln (3)2-+≥-+-x a x x a x a ，当1x =时取等号．因为11x >，所以()110(3)2=>-+-f x a x a ，解得11031<<--a x ．(1) 因为()2ln 3=-'+af x x x，所以()222222ln 3-'=+x f x x x a x ，结合()()22222ln 0=-+=f x x a x x 知()()2222222222232222-=-+=---+-'-a x ax f x a x a x x a a x ．处理1：设函数()ln xh x x =，则2ln 1()ln -='x h x x，所以当0x e <<时，()0,()h x h x '<递减，当x e >时，()0,()h x h x '>递增，所以()()ln =≥=xh x h e e x，所以2222ln -=≥x a x e x ．处理2：因为ln 1≤-x x ，所以ln 1⎛⎫≤- ⎪⎝⎭x xe e，即ln x x e ≤，当x e =时取等号，所以ln 022222-----⎛⎫=-+>-⋅+= ⎪⎝⎭a e a e a e a e a e f e e e ．由①可知，()f x 在[)2,x +∞上单调递增，且()20f x =，所以22-≤a ex ，即22-≥a x e ．因为22()2=--+a a g x t t 在[,)e ∞+上是减函数，且22-≥a x e ，且()()2222()(2)22()22--=-≤=--+='a a a e a e x f x g a x g e e e e．综上可知：()221()(2)(3) 12--'-<-x f x a e a e ax e．【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。

天津市第一中学2023-2024学年高三第四次月考数学试卷(解析版)

天津一中2023—2024-2高三年级第四次月考数学试卷本试卷总分150分，考试用时120分钟．考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分）1. 已知集合，则（）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】根据题意，求得集合，结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由不等式，解得，所以，又由，所以.故选：C.2. 将收集到的天津一中2021年高考数学成绩绘制出频率分布直方图，如图所示，则下列说法中不正确的是（）A. B. 高三年级取得130分以上的学生约占总数的65%C. 高三年级的平均分约为133.2D. 高三年级成绩的中位数约为125【答案】D 【解析】【分析】对于A ，由各个矩形面积之和为1即可列式求解；对于B ，求最右边两个矩形面积之和即可验算；对于C ，D 分别由平均数计算公式、中位数计算方法即可判断.{}{}2|3100,33A x x x B x x =--<=-≤≤A B = (2,3]-[)3,5-{1,0,1,2,3}-{3,2,1,0,1,2,3,4}---{}1,0,1,2,3,4A =-23100x x --<25x -<<{}1,0,1,2,3,4A =-{}33B x x =-≤≤{}1,0,1,2,3A B ⋂=-0.028a =【详解】对于A ，，故A 正确；对于B ，高三年级取得130分以上的学生约占总数的，故B 正确；对于C ，高三年级的平均分约为，故C 正确；对于D ，设高三年级成绩的中位数为，由于，所以，故D 不正确.故选；D.3. 已知，条件，条件，则是的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】结合绝对值的性质，根据不等式的性质及充分条件、必要条件的定义分析判断即可.【详解】因为，所以由得，故由能推出；反之，当时，满足，但是；所以是的充分不必要条件.故选：A .4. 函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】.()1100.0010.0090.0250.037100.028a =-⨯+++÷=⎡⎤⎣⎦()0.0280.03710100%65%+⨯⨯=()1050.0011150.0091250.0251450.0281350.03710133.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=x 0.010.090.250.350.500.350.370.72++=<<+=130140x <<0a >:p a b >2:q a ab >p q 0a >a b >2a ab ab >≥:p a b >2:q a ab >10,2a b =>=-212a ab =>=-122a =<-=p q ()21cos 31x f x x ⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭【分析】根据函数奇偶性即可排除CD ，由特殊点的函数值即可排除A.【详解】，则的定义域为R ，又，所以为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD ，当时，，故排除A .故选：B.5. 已知函数是上的偶函数，且在上单调递增，设，，，则a ，b ，c 的大小关系是（）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】结合偶函数的性质，函数单调性，只需比较对数、分数指数幂的大小即可得解.【详解】因为函数是上的偶函数，且在上单调递增，所以，即.故选：B.6. 多项式展开式中的系数为（）A. 985B. 750C. 940D. 680【答案】A 【解析】分析】由二项式定理即可列式运算，进而即可得解.【详解】多项式展开式中的系数为.故选：A.7. 已知斜三棱柱中，为四边形对角线的交点，设三棱柱的体积【2()(1)cos 31xf x x =-⋅+()f x ()()()22321cos 1cos 1cos 313131x x x xf x x x x f x -⎛⎫⨯⎛⎫⎛⎫-=-⋅-=-⋅=-+⋅=- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x πx =()ππ22π1cos π103131f ⎛⎫-=< ⎪++⎝⎭=-+()f x R ()f x [0,)+∞12e a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭12b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭1ln 2c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c <<b<c<ac<a<bb a c<<()f x R ()f x [0,)+∞()()1211ln 2ln 1e 22b f f f c f ff a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<==<<== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭b<c<a ()52(71)52x x++2x ()52(71)52x x++2x 32350555C 712C 7159805985⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=+=111ABC A B C -O 11ACC A 111ABC A B C -为，四棱锥的体积为，则（）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】如图，延长，连接，则、，进而得，即可求解.【详解】如图，延长，连接，则，所以，又O 为的中点，所以点到平面的距离是点到平面的距离的2倍，则，所以，即故选：A8. 已知函数（为常数，且）的一个最大值点为，则关于函数的性质，下列说法错误的有（）个.1V 11O BCC B -2V 21:V V =1:31:41:62:31OA 11,,OB OB A B 111123A BCC B V -=11122A BCC B V V -=12223V V =1OA 11,,OB OB A B 11111111,3A ABC A BCCB A ABC V V V V V ---=+=111123A BCCB V -=1AC 1A 11BCC B O 11BCC B 11111222A BCC B O BCC B V V V --==12223V V =2113V V =()sin cos f x a x b x =+,a b 0,0a b >>π3x =()sin 2cos 2g x a x b x =+①的最小正周期为；②的一个最大值点为；③在上单调递增；④的图像关于中心对称．A. 0个 B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数的性质，求的关系，再根据辅助角公式化简函数，再利用代入的方法，判断函数的性质.【详解】函数，，平方后整理为，所以，，函数的最小正周期为，故①正确；当时，，此时函数取得最大值，故②正确；当时，，位于单调递增区间，故③正确；，故④错误，所以错误的只有1个.故选：B9. 已知双曲线的左焦点为，过作渐近线的垂线，垂足为，且与抛物线交于点，若，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】()g x π()g x π6()g x 2π,π3⎛⎫⎪⎝⎭()gx 7π,012⎛⎫⎪⎝⎭,a b ()g x ()sin cos f x a x b x =+12b +=()20a =a π()sin 2cos 22sin 26g x x b x b x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭0b >()g x 2ππ2=π6x =πππ2662⨯+=()g x 2π,π3x ⎛⎫∈⎪⎝⎭π3π13π2,626x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭77ππ4π2sin 22sin 0121263g b b π⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22221(0,0)x y a b a b-=>>1(,0)F c -1F P 212y cx =M 13PM F P =【分析】首先利用等面积法求出点坐标，再根据，求出坐标，再将坐标带入抛物线化简即可求解出双曲线离心率.【详解】据题意，不妨取双曲线的渐近线方程为，此时，，∴，且是直角三角形，设，则，，代入中，得，即；设,则，，由，则，，∴，则；又在抛物线上，，即，化简得，分子分母同时除以，，且，，.故选：B二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）10. 已知，且满足（其中为虚数单位），则_________．【答案】2【解析】【分析】根据复数相等得到关于的方程组，解该方程组即可.【详解】由题意，可得，P 13PM F P =M M 212y cx =by x a=-1F P b =1OF c =OP a =1OPF (,)p p P x y 11122OPF p S ab cy== p aby c ∴=b y xa =-2p a x c =-2(,a ab P c c-(,)M xy 2,a ab PM x y c c ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 221,,a ab b ab F P c cc c c ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 13PM F P = 223a b x c c+=⋅3ab ab y c c -=⋅2234,b a ab x y c c -==2234(,)b a abM c c -M 212y cx =22243()12ab b a cc c-∴=()()()2222222222221612316123a b b aca c a c a a c ⎡⎤=-⇔-=--⎣⎦422491640c a c a -+=4a 4291640e e ∴-+=1e >2e ∴===e ∴=,R a b ∈(12i)(i)3i a b ++=-i 22a b +=,a b (12i)(i)3i a b ++=-(2)(2)i 3i a b a b -++=-所以，解得，所以.故答案为：211. 著名的“全错位排列”问题（也称“装错信封问题”是指“将n 个不同的元素重新排成一行，每个元素都不在自己原来的位置上，求不同的排法总数．”，若将个不同元素全错位排列的总数记为，则数列满足，．已知有7名同学坐成一排，现让他们重新坐，恰有两位同学坐到自己原来的位置，则不同的坐法有_________种【答案】【解析】【分析】根据数列递推公式求出项，再结合分步计数原理求解.【详解】第一步，先选出两位同学位置不变，则有种，第二步，剩下5名同学都不在原位，则有种，由数列满足，，则，，，则不同的做法有种.故答案为：.12. 已知在处的切线与圆相切，则_________．【答案】或【解析】【分析】根据导数的几何意义，求得切线方程，再由直线与圆相切，列出方程，即可求解.【详解】由函数，可得，则且，所以函数在处的切线方程为，即，又由圆，可得圆心，半径为，2321a b a b -=⎧⎨+=-⎩1575a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩222a b +=n n a {}n a 120,1a a ==()12(1)(3)n n n a n a a n --=-+≥9242776C 2121⨯==⨯5a {}n a 120,1a a ==()12(1)(3)n n n a n a a n --=-+≥()()321312a a a =-+=()()432419a a a =-+=()()5435144a a a =-+=2144924⨯=9242()ln f x x x =-1x =22:()4C x a y -+==a -0x y -=2()ln f x x x =-1()2f x x x=-'(1)1f '=(1)1f =()f x 1x =11y x -=-0x y -=22:()4C x a y -+=(,0)C a 2r =因为与圆，解得.故答案为：.13. 元旦前夕天津-中图书馆举办一年一度“猜灯谜”活动，灯谜题目中逻辑推理占，传统灯谜占，一中文化占，小伟同学答对逻辑推理，传统灯谜，一中文化的概率分别为，，，若小伟同学任意抽取一道题目作答，则答对题目的概率为______，若小伟同学运用“超能力”，抽到的5道题都是逻辑推理题，则这5道题目中答对题目个数的数学期望为______.【答案】 ①. ##②. 【解析】【分析】根据全概率公式求解概率，根据二项分布列的期望公式求解即可.【详解】设事件“小伟同学任意抽取一道题目作答，答对题目”，则.由题意小伟同学任意抽取一道逻辑推理题作答，则答对题目的概率为，根据二项式分布知，所以，即的数学期望为.故答案为：，14. 在中，设，，其夹角设为，平面上点满足，，交于点，则用表示为_________．若，则的最小值为_________．【答案】 ①. ②.【解析】【分析】由和三点共线，得到和，得出方程组，求得的值，得到，再由，化简得到，得出，结合基本不等式，即可求解.0x y -=C 2a =±±20%50%30%0.20.60.7X 0.5511201A =()0.20.20.50.60.30.70.55P A =⨯+⨯+⨯=0.2()5,0.2X B ~()50.21E X =⨯=X 10.551ABC ,AB a AC b ==u u u r r u u u r r θ,D E 2AD AB = 3AE AC =,BE DC O AO ,a b65AO DE DC BE ⋅=⋅ cos θ4355AO a b =+ ,,D O C ,,B O E 2(1)AO ta t b =+- ()33AO ua u b =+-2133t ut u =⎧⎨-=-⎩,t u 4355AO a b =+ 65AO DE DC BE ⋅=⋅ 2248209a b a b ⋅=+ 22209cos 48a b a bθ+=【详解】因为三点共线，则存在实数使得，又因为三点共线，则存在实数使得，可得，解得，所以，由，因为，可得，整理得，可得，所以又因为所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以.故答案为：15. 设函数，若函数与直线有两个不同的公共点，则的取值范围是______.【答案】或或【解析】【分析】对于，当可直接去绝对值求解，当时，分和,,D O C t (1)2(1)AO t AD t AC ta t b =+-=+-,,B O E u ()()133AO u AB u AE ua u b =+-=+-2133t u t u =⎧⎨-=-⎩24,55t u ==4355AO a b =+ 32,2,3DE AE AD b a DC AC AD b a BE AE AB b a =-=-=-=-=-=- 65AO DE DC BE ⋅=⋅ 436()(32)(2)(3)555a b b a b a b a +⋅-=-⋅-2248209a b a b ⋅=+ 2248cos 209a b a b θ=+ 22209cos 48a b a bθ+=22209a b+≥ 22209cos 48a b a b θ+=≥ 22209a b = 3b cos θ4355AO a b =+ 22()21f x x ax ax =-++()y f x =y ax =a 2a <-21a -<<-2a >221y x ax =-+0∆≤0∆>a <-a >论，通过和图像交点情况来求解.详解】由已知，即，则必过点，必过，对于，当时，，此时恒成立，所以，令，即，要有两个不同的公共点，则，解得或或，当时，或当时，和图象如下：此时夹在其两零点之间的部分为，令，得无解，则有两个根有两个根，即有两个解，，符合要求；当和图象如下：【221y x ax =-+()1y ax x =-22()21f x x ax ax ax =-++=()2211x ax ax x -+=-()1y ax x =-()()0,0,1,0221y x ax =-+()0,1221y x ax =-+280a ∆=-≤a -≤≤2210x ax -+≥()222()2121f x x ax ax a x ax =-++=+-+()221a x ax ax +-+=()22210a x ax +-+=()21Δ442020a a a ⎧=-+>⎨+≠⎩2a -≤<-21a -<<-2a <≤280a ∆=->a <-a >a <-221y x ax =-+()1y ax x =-221y x ax =-+-2221x ax ax ax -+-=-+()221a x -=()2211x ax ax x -+=-()2211x ax ax x ⇔-+=-()22210a x ax +-+=()2Δ4420a a =-+>a <-a >221y x ax =-+()1y ax x =-或令，根据韦达定理可得其两根均为正数，对于①，则，解得，对于②，则，解得，综上所述，的取值范围是或或.【点睛】方法点睛：对于方程的根或者函数零点问题，可以转化为函数图象的交点个数问题，图象直观方便，对解题可以带来很大的方便.三、解答题（本大发共5小题，共75分）16. 已知中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且，．（1）求；（2）若，求的面积．【答案】（1（2【解析】【分析】（1）利用正弦定理求关系，再利用余弦定理求出，再利用两角和的正弦定理计算即可；（2）利用三角形的面积公式求解即可.【小问1详解】2210x ax -+=011⎧<<⎪⎪>3a >011⎧<<⎪⎪<3a <<a 2a <-21a -<<-2a >ABC sin cos sin 22C CB =2223a c b -=πsin 3B ⎛⎫+⎪⎝⎭1b =ABC ,,a b c cos B因为，所以，由正弦定理得，所以，即，所以，在中，，所以【小问2详解】由（1）得当时，，所以17. 已知四棱台，下底面为正方形，，，侧棱平面，且为CD 中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值；（3）求到平面的距离．【答案】（1）证明见详解（2）sincos sin 22C CB =sin 2sinC B =2c b =2222223347b a b c b b +=+===a 222cos 2a cb B ac +-===ABC sin B ==π11sin sin 322B B B ⎛⎫+=== ⎪⎝⎭1b =2a c ==122ABC S =´´=1111ABCD A B C D -ABCD 2AB =111A B =1AA ⊥ABCD 12,AA E =1//A E 11BCC B 11ABC D 11BCC B E 11ABC D 15（3【解析】【分析】（1）直接使用线面平行的判定定理即可证明；（2）构造空间直角坐标系，然后分别求出两个平面的法向量，再计算两个法向量的夹角余弦值的绝对值即可；（3）使用等体积法，从两个不同的方面计算四面体的体积即可求出距离.【小问1详解】由于，，故，而，故四边形是平行四边形，所以，而在平面内，不在平面内，所以平面；【小问2详解】如上图所示，以为原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系.则，，，，，，设平面与平面的法向量分别是和，则有和，1EAD B 11∥A B AB CE AB ∥11CEA B 1111122CE CD AB A B ====11CEA B 11A E B C ∥1B C 11BCC B 1A E 11BCC B 1//A E 11BCC B 1A 11111,,A A A D A B,,x y z ()2,0,0A ()10,1,0D ()2,0,2B ()10,0,1B ()10,1,1C ()()()()11110,0,2,2,1,0,2,0,1,0,1,0AB AD BB B C ==-=--=11ABC D 11BCC B ()1,,n p q r = ()2,,n u v w =11100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 212110n BB n B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即，，从而，，.故我们可取，，而，故平面与平面所成角的余弦值是.【小问3详解】设到平面的距离为，由于，而，所以.所以到平面18. 已知椭圆的左右顶点为A ，B ，上顶点与两焦点构成等边三角形，右焦点（1）求椭圆的标准方程；（2）过作斜率为的直线与椭圆交于点，过作l 的平行线与椭圆交于P ，Q 两点，与线段BM 交于点，若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据上顶点与两焦点构成等边三角形求出即可；（2）设出直线方程，利用弦长公式求出求出，，利用点到直线的距离求出点到直线的距离和点到直线的距离，再根据列式计算即可.【小问1详解】2020r p q =⎧⎨-+=⎩200u w v --=⎧⎨=⎩0r v ==2p q =20u w +=()11,2,0n = ()21,0,2n =-11cos ,5n 11ABC D 11BCC B 15E 11ABC D L 111111332E AD B AD B V LS L AD AB L -==⋅⋅⋅= 111142333E AD B B AD E AEB ABCD V V S S --==⋅⋅=⋅= 43=L =E 11ABC D 22221(0)x y a b a b +=>>(1,0)F A (0)k k >l M F N 2AMN BPQ S S =△△k 22143x y +=k =,a b AM PQ N AM B PQ 2AMN BPQ S S =△△由已知在等边三角形中可得，则椭圆的标准方程为为；【小问2详解】设直线的方程为：，联立消去得，则，得，，设直线的方程为：，设，联立，消去得，易知，则，所以，由得，所以直线的方程为，即，联立得，所以点到直线的22,a c b ====22143x y +=l ()2y k x =+()222143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩y ()2222341616120k x k x k +++-=221612234M k x k --=+226834M k x k-=+226834Mk AM x k -=-=-=+PQ ()1y k x =-()()1122,,,P x y Q x y ()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩y ()22223484120k x k x k +-+-=0∆>221212228412,3434k k x x x x k k-+==++PQ ==()2212134k k +=+226834M k x k -=+222681223434M k k y k k k ⎛⎫-=⋅+= ⎪++⎝⎭BM ()2221234268234kk y x k k +=---+()324y x k=--()()3241y x k y k x ⎧=--⎪⎨⎪=-⎩222463,4343k k N k k ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭N AM点到直线，因为，所以，解得.【点睛】方法点睛：直线与椭圆联立问题第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可由点斜式设出直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式：计算一元二次方程根的判别式.第四步：写出根之间的关系，由根与系数的关系可写出．第五步：根据题设条件求解问题中的结论．19. 已知数列满足对任意的，均有，且，，数列为等差数列，且满足，．（1）求，的通项公式；（2）设集合，记为集合中的元素个数．①设，求的前项和；②求证：，．【答案】（1），B PQ 2AMN BPQ S S =△△()221211122234k k +=⨯+k =∆0∆>{}n a *N n ∈212n n n a a a ++=12a =24a ={}n b 11b =2105b b a +={}n a {}n b {}*1N n n k n A k a b a +=∈<≤n c n A ()2n n n p b c =+{}n p 2n 2n P *N n ∀∈122121111176n n c c c c -++++< 2n n a =32n b n =-（2）①；②证明过程见解析【解析】【分析】（1）根据等比中项的性质，结合等差数列的通项公式、等比数列的通项公式进行求解即可；（2）①根据不等式的解集特征，结合累和法、等比数列的前项和公式分类讨论求出的表达式，最后根据错位相减法进行求解即可；②运用放缩法，结合等比数列前项和公式进行运算证明即可.【小问1详解】因为数列满足对任意的，均有，所以数列是等比数列，又因为，，所以等比数列的公比为，因此；设等差数列的公差为，由；【小问2详解】因为，，所以由，因此有，即有，，当时，有于是有当为大于2的奇数时，()2122122n n P n n +=-⋅+-12322,n n k k +*<-≤∈N n n c n {}n a *N n ∈212n n n a a a ++={}n a 12a =24a ={}n a 212a a =1222n n n a -=⨯={}n b d ()210511932313132n b d d d b b n n a ⇒+++=⇒=⇒=+-=+-=2n n a =32n b n =-11,2322,nn n k n a b a k k k *+*+<≤∈⇒<-≤∈N N {}{}{}{}{}123452,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,,22A A A A A ===== {}623,24,,43,A =1234561,1,3,5,11,21,c c c c c c ======234512233445562,42,82,162,322,c c c c c c c c c c +=+==+==+==+== 12,n n n c c ++= 2,N n n *≥∈112,n n n c c --+=1112,n n n c c -+--=n ()()()243122431122221n n n n n n n c c c c c c c c -----=-+-+-+=+++++，显然也适合，当为大于2的偶数时，，显然也适合.①，，，设，则有，两式相减，得，，；②设，显然，，当时，有，因此，12214211143n n -⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+=-11c =n ()()()244222442222221n n n n n n n c c c c c c c c -----=-+-++-+=+++++ 122214211143nn ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+=-21c =()()()21,21,N 221,2,Nn n n n n n n k k p b c n n k k **⎧+=-∈⎪=+=⎨-=∈⎪⎩()()212342121321242n n n n n P P P P P P P P P P P P P --=++++++=+++++++ ()()132124212132321221222424222n nn n n n -⎡⎤⎡⎤=⨯++⨯+++-⋅+-+⨯-+⨯-++⋅-⎣⎦⎣⎦()()()123212122232212221234212n n n n n n -⎡⎤=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅+-+-+--⎣⎦ ()()12321212223221222n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ()()234221212223221222nn S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ 123212212222222n n n S n -+-=+++++-⋅ ()()2212121222212212n n n S n S n ++-⇒-=-⋅⇒=-⋅+-()2122122n n P n n +=-⋅+-()()11321k k k k c *+=∈+-N ()11332121k k k k c +=≤-+-()4213224k k k --⨯=-4,N k k *≥∈()()344213224042132212kk kkkk k--⨯=->⇒->⨯⇒<-()1133421221k k k k k c +=≤<-+-所以当时，，即，显然当时，有成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键由可以确定从第几项开始放缩，根据数列的通项公式的形式，得到，这样可以进行放缩证明.20. 已知函数．（1）讨论的单调区间；（2）已知，设的两个极值点为，且存在，使得的图象与有三个公共点；①求证：；②求证：．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，再讨论，结合函数的定义域，即可求函数的单调区间；（2）①要证，即证，只需证，构造函数，，借助导数即可得证；②同①中证法，先证，则可得，利用、是方程的两根所得韦达定理，结合即可得证.【小问1详解】，，N k *∈4512321111111111143222k k k c c c c c -⎛⎫+++++<++++++ ⎪⎝⎭ 43123211111111122114312k k k c c c c c --⎛⎫- ⎪⎝⎭⇒+++++<+++⨯- 312321111171171171322326k k k c c c c c --⎛⎫+++++<+-<+= ⎪⎝⎭ 2k n =122121111176n n c c c c -++++< 171111632=+++()1133421221k k k k k c +=≤<-+-2()24ln f x x ax x =-+()f x [4,6]a ∈()f x ()1212,λλλλ<b ∈R ()y f x =y b =()123123,,x x x x x x <<1212x x λ+>31x x -<∆1212x x λ+>2112x x λ>-()()1112f x f x λ<-()()()12x g x f x f λ=--()10,x λ∈2232x x λ+<()()2312123122x x x x x x λλ=++<---1λ2λ220x ax -+=[4,6]a ∈()()222422x ax f x x a x x-+'=-+=0x >其中，，当时，即，此时恒成立，函数在区间单调递增，当时，即或当时，在区间上恒成立，即函数在区间上单调递增，当，得或当时，，时，，所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，综上可知，当的单调递增区间是；当的单调递增区间是和，单调递减区间是；【小问2详解】①由（1）知，当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，、是方程的两根，有，，又的图象与有三个公共点，故，则，()22tx x ax =-+28a ∆=-0∆≤a -≤≤()0f x '≥()f x ()0,∞+0∆>a <-a >a <-()0f x ¢>()0,∞+()f x ()0,∞+a >()0t x =1x =1x =0x <<x >()0f x ¢>x <<()0f x '<()f x ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭a ≤()f x ()0,∞+a >()f x ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭[4,6]a ∈()f x ()10,λ()2,λ+∞()12,λλ1λ2λ220x ax -+=122λλ=12a λλ+=()y f x =y b =()123123,,x x x x x x <<112230x x x λλ<<<<<1112x λλ->要证，即证，又，且函数在上单调递减，即可证，又，即可证，令，，由，则恒成立，故在上单调递增，即，即恒成立，即得证；②由，则，令，，则，故在上单调递增，即，1212x x λ+>2112x x λ>-1112x λλ->()f x ()12,λλ()()1122f x f x λ<-()()12f x f x b ==()()1112f x f x λ<-()()()12x g x f x f λ=--()10,x λ∈()()()()212222422x ax x x f x x a x x xλλ-+--'=-+==()()()()()112211122222x x xx x g x x λλλλλλλ------'=+-()()()()()1221112222x x x x x x x λλλλλλ+--+-=-⋅-()()222211*********x x x x x x xx x λλλλλλλλ-+++--+=-⋅-()()()()()12221111222420x x x x x x x λλλλλλλ--=-⋅=>--()g x '()10,λ()()()()111102g x g f f λλλλ<=--=()()1112f x f x λ<-112230x x x λλ<<<<<2322x λλ-<()()()22x h x f x f λ=--()2,x λ∈+∞()()()()()122221222222x x xx x h x x λλλλλλλ------'=+-()()()()()2112222222x x x x x x x λλλλλλ+--+-=-⋅-()()221122212222222x x x x x x xx x λλλλλλλλ-+++--+=-⋅-()()()()()22112222222420x x x x x x x λλλλλλλ--=-⋅=>--()h x '()2,λ+∞()()()()222202h x h ff λλλλ>=--=即当时，，由，故，又，故，由，，函数在上单调递减，故，即，又由①知，故，又，故.【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于先证，从而借助①中所得，得到.()2,x λ∈+∞()()22x f x f λ>-32x λ>()()3232f x f x λ>-()()32f x f x =()()3222f x f x λ>-2322x λλ-<122x λλ<<()f x ()12,λλ2322x x λ<-2232x x λ+<1212x x λ+>()()2312123122x x x x x x λλ=++<---2122λλ-==≤=31x x -<2232x x λ+<1212x x λ+>()()2312123122x x x x x x λλ=++<---。

天津市第一中学2022-2023学年高三上学期第三次月考英语试题(含答案)

天津一中2022-2023-1高三年级英语学科第三次月考试卷第I卷（共95分）本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）和第III卷（听力）三部分，共150 分, I卷、第II卷考试用时100分钟。

第I卷4页，第II卷1页，第III卷2页。

考生务必将答案涂写规定的位置上, 答在试卷上的无效。

祝各位考生考试顺利!第一部分英语知识运用（共两节,满分45分）第一节单项填空（共15小题；每小题1分，满分15分）从A、B、C、D四个选项中,选出可以填入空白处的最佳选项。

1. —Going to the pub Viking Burger to watch the final of the World Cup tonight?—______! Will you join us?A. You thereB. You betC. You got meD. You know better2. The Five Avenues Area is a very popular tourist ______ in Tianjin.A. digestB. drawC. distinctionD. division3. For a senior high student, ______ good use you have made of your time to study, there is still room for improvement.A. whateverB. howeverC. thoughD. whether4. With the ever-serious pollution, many species, including endangered ones, are known ______ by ocean plastics in the past decades.A. to have been affectedB. to have affectedC. having been affectedD. having affected5. Sometimes parents’ control of young kids will be thought to be such an invisible rope with which to tie them tightly that they ______ tried to cut it.A. extremelyB. thoroughlyC. desperatelyD. obviously6. There is a sign over there, saying no person ______ bring food and drinks into the reading room.A. shallB. shouldC. willD. must7. Such a simple experiment ca n effectively ______ people’s doubts about the new technology, so they are willing to embrace the innovation.A. bring forthB. go overC. put awayD. wipe out8. The Palace Museum is ______ the royal families used to live and it’s now a historical museum with collections of valuable antiques.A. whatB. whichC. whereD. how9. Prof. Wu says that the best way to help the tradition ______ is passing it down from generation to generation.A. surviveB. recoverC. preserveD. function10. Although members of one culture do not express their emotions as openly as _______ of another do, it does not mean that they do not experience emotions.A. itB. oneC. thatD. those11. Cambridge University says it ______ gaokao scores for years, requiring the admitted students to rank in the top 0.1 percent on the test in their province.A. has been consideringB. had consideredC. is consideringD. considers12. Hate speech on the internet causes violence, undermines diversity and social unity, thus ______ the common values and principles that bind us together.A. to threatenB. having threatenedC. threateningD. threatened13. Reciting does much good in language learning and it ______ helps to learn science subjects better.A. in returnB. by chanceC. in turnD. for once14. China will allow all couples to have three children, ______, in my opinion, is helpful to cope with the increasingly aging society.A. thatB. whichC. whatD. who15. —Because they were all team players, the task was fulfilled.—Well, ______.A. a bird in the hand is worth two in the bushB. a good beginning is half doneC. where there is a will, there is a wayD. many hands make light work第二节完形填空（共20小题；每小题1.5分，满分30分）阅读下面短文,从16-35各题所给的A、B、C、D四个选项中,选出最佳选项。

天津一中2018-2019学年高三上学期第三次月考数学试卷Word版含解析

天津一中2018-2019学年高三上学期第三次月考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x|x2﹣5x﹣6=0}，B={x|y=log2（2﹣x）}，则A∩（∁RB）=（）A．{2，3} B．{﹣1，6} C．{3} D．{6}2．下列选项叙述错误的是（）A．命题“若x≠l，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”B．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题C．若命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则¬p：∃x∈R，x2+x+1=0D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件3．阅读如图所示的程序框图，则输出的S=（）A．14 B．30 C．20 D．554．已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=（）A．B．1 C．2 D．5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（）A．2B．2C．4D．46．如图，PC与圆O相切于点C，直线PO交圆O于A，B两点，弦CD垂直AB于E．则下面结论中，错误的结论是（）A．△BEC∽△DEA B．∠ACE=∠ACP C．DE2=OEEP D．PC2=PAAB7．已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a8．定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x；记函数g（x）=f（x）﹣k（x ﹣1），若函数g（x）恰有两个零点，则实数k的取值范围是（）A．[1，2）B．C．D．二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上）9．已知（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b= ．10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．11．已知函数f（x）=x3+ax2+b2x+1，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为．12．已知a＞0，b＞0，ab=8，则当a的值为时，log2alog2（2b）取得最大值．13．在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且，EF=1，．若，则的值为．14．函数y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，记∠APB=θ，则sin2θ的值是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如表：试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？16．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为S=accosB．（1）若c=2a，求角A，B，C的大小；（2）若a=2，且≤A≤，求边c的取值范围．17．如图，四棱锥P ﹣ABCD 底面为一直角梯形，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，CD=2AB ，PA ⊥面ABCD ，E 为PC 中点18．（Ⅰ）求证：平面PDC ⊥平面PAD （Ⅱ）求证：BE ∥平面PAD（Ⅲ）假定PA=AD=CD ，求二面角E ﹣BD ﹣C 的正切值．18．已知递增的等比数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 4=S 1+28，且a 3+2是a 2和a 4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若b n =a n log a n ，T n =b 1+b 2+…+b n ，求使T n +n2n+1=30成立的正整数n 的值．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．①若线段AB中点的横坐标为﹣，求斜率k的值；②若点M（﹣，0），求证：为定值．20．已知函数f（x）=2lnx﹣x2+ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的图象在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣ax+m在[，e]上有两个零点，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）的图象与x轴有两个不同的交点A（x1，0），B（x2，0），且0＜x1＜x2，求证：f′（）＜0（其中f′（x）是f（x）的导函数）．天津一中2018-2019学年高三上学期第三次月考文科数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x|x 2﹣5x ﹣6=0}，B={x|y=log 2（2﹣x ）}，则A ∩（∁R B ）=（）A ．{2，3}B ．{﹣1，6}C ．{3}D ．{6} 【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合A ，B ，然后求解补集以及交集即可．【解答】解：集合A={x|x 2﹣5x ﹣6=0}={﹣1，6}，B={x|y=log 2（2﹣x ）}={x|x ＜2}，则∁R B={x|x ≥2}则A ∩（∁R B ）={6}．故选：D ．【点评】本题考查集合的补集以及交集的求法，是基础题．2．下列选项叙述错误的是（）A ．命题“若x ≠l ，则x 2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x 2﹣3x+2=0，则x=1”B ．若p ∨q 为真命题，则p ，q 均为真命题C ．若命题p ：∀x ∈R ，x 2+x+1≠0，则¬p：∃x ∈R ，x 2+x+1=0D ．“x ＞2”是“x 2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A “若p 则q ，“的逆否命题为“若﹣p 则﹣q “．故A 正确；B p ∨q 为真命题说明p 和q 中至少有一个为真；C 是全称命题与存在性命题的转化；D 从充要条件方面判断．【解答】解：A 原命题为“若p 则q ，“，则它的逆否命题为“若﹣p 则﹣q “．故正确；B 当p ，q 中至少有一个为真命题时，则p ∨q 为真命题．故错误．C 正确．D 由x 2一3x+2＞0解得x ＜1或x ＞2 显然x ＞2⇒x ＜1或x ＞2但x＜1或x＞2不能得到x＞2故“x＞2”是“x2一3x+2＞0”的充分不必要条件，故正确．故选B【点评】本题主要考查了四种命题的关系、充要条件的转化、全称命题与存在性命题的相互转化．3．阅读如图所示的程序框图，则输出的S=（）A．14 B．30 C．20 D．55【考点】循环结构．【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件i＞4，计算输出S的值即可．【解答】解：由程序框图知：第一次运行S=1，i=1+1=2，不满足条件i＞4，循环，第二次运行S=1+4=5，i=2+1=3，不满足条件i＞4，循环，第三次运行S=5+9=14，i=3+1=4，不满足条件i＞4，循环，第四次运行S=14+16=30，i=4+1=5，满足条件i＞4，终止程序，输出S=30，故选：B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法．4．已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=（）A．B．1 C．2 D．【考点】直线与圆的位置关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】由题意判断点在圆上，求出P与圆心连线的斜率就是直线ax﹣y+1=0的斜率，然后求出a的值即可．【解答】解：因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2=5的方程，所以P在圆上，又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1=0平行，所以直线ax﹣y+1=0的斜率为：a==2．故选C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线的垂直，考查转化数学与计算能力．5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（）A．2B．2C．4D．4【考点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系．【分析】根据题意，点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p=4，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得a的值，由点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得c的值，进而可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），即点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣，则p=4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（﹣2，0），即a=2；点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=±x，由双曲线的性质，可得b=1；则c=，则焦距为2c=2；故选B．【点评】本题考查双曲线与抛物线的性质，注意题目“双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1）”这一条件的运用，另外注意题目中要求的焦距即2c，容易只计算到c，就得到结论．6．如图，PC与圆O相切于点C，直线PO交圆O于A，B两点，弦CD垂直AB于E．则下面结论中，错误的结论是（）A．△BEC∽△DEA B．∠ACE=∠ACP C．DE2=OEEP D．PC2=PAAB【考点】与圆有关的比例线段；命题的真假判断与应用．【分析】利用垂径定理、切割线定理及相似三角形的判定方法即可判断出结论．【解答】解：A．∵∠CEB=∠AED，∠BCE=∠DAE，∴△BEC∽△DEA，因此A正确；B．∵PC与圆O相切于点C，∴∠PCA=∠B=∠ACE，因此B正确；C．连接OC，则OC⊥PC，又CD⊥AB，∴CE2=OEEP，CE=ED，∴ED2=OEEP，因此C正确；D．由切割线定理可知：PC2=PAPB≠PAAB，因此D不正确．故选D．【点评】熟练掌握垂径定理、切割线定理及相似三角形的判定方法是解题的关键．7．已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a【考点】对数函数图象与性质的综合应用；奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数的奇偶性得出f（x）=2|x|﹣1=，利用单调性求解即可．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），m=0，∵f（x）=2|x|﹣1=，∴f（x）在（0，+∞）单调递增，∵a=f（log0.53）=f（log23），b=f（log25），c=f（2m）=f（0）=0，0＜log23＜log25，∴c＜a＜b，故选：B【点评】本题考查了对数函数的性质，函数的奇偶性，单调性，计算能力，属于中档题．8．定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x；记函数g（x）=f（x）﹣k（x ﹣1），若函数g（x）恰有两个零点，则实数k的取值范围是（）A．[1，2）B．C．D．【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据题中的条件得到函数的解析式为：f（x）=﹣x+2b，x∈（b，2b]，又因为f（x）=k（x﹣1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，再结合函数的图象根据题意求出参数的范围即可【解答】解：因为对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立，且当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x所以f（x）=﹣x+2b，x∈（b，2b]．由题意得f（x）=k（x﹣1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，如图所示红色的直线与线段AB相交即可（可以与B点重合但不能与A点重合）所以可得k的范围为故选C．【点评】解决此类问题的关键是熟悉求函数解析式的方法以及函数的图象与函数的性质，数形结合思想是高中数学的一个重要数学思想，是解决数学问题的必备的解题工具．二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上）9．已知（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b= 1 ．【考点】复数相等的充要条件．【分析】先对等式化简，然后根据复数相等的充要条件可得关于a，b的方程组，解出可得．【解答】解：，即=2﹣ai=b+i，由复数相等的条件，得，解得，∴a+b=1，故答案为：1．【点评】本题考查复数相等的充要条件，属基础题，正确理解复数相等的条件是解题关键．10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为80 ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图得出该几何体是下部正方体，上部是四棱锥的组合体，求出它的体积即可．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是下部是楞长为4的正方体，上部是高为3的四棱锥的组合体，∴该几何体的体积是V 组合体=V 正方体+V 四棱锥=43+×42×3=80．故答案为：80．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了求几何体的体积的应用问题，是基础题．11．已知函数f （x ）=x 3+ax 2+b 2x+1，若a 是从1，2，3三个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为．【考点】利用导数研究函数的极值；古典概型及其概率计算公式．【分析】f ′（x ）=x 2+2ax+b 2，要满足题意需x 2+2ax+b 2=0有两不等实根，由此能求出该函数有两个极值点的概率．【解答】解：∵f （x ）=x 3+ax 2+b 2x+1， ∴f ′（x ）=x 2+2ax+b 2，要满足题意需x 2+2ax+b 2=0有两不等实根，即△=4（a 2﹣b 2）＞0，即a ＞b ，又a ，b 的取法共3×3=9种，其中满足a＞b的有（1，0），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1），（3，2）共6种，故所求的概率为P=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质、根的判别式、等可能事件概率计算公式的合理运用．12．已知a＞0，b＞0，ab=8，则当a的值为 4 时，log2alog2（2b）取得最大值．【考点】复合函数的单调性．【分析】由条件可得a＞1，再利用基本不等式，求得当a=4时，log2alog2（2b）取得最大值，从而得出结论．【解答】解：由题意可得当log2alog2（2b）最大时，log2a和log2（2b）都是正数，故有a＞1．再利用基本不等式可得log2alog2（2b）≤===4，当且仅当a=2b=4时，取等号，即当a=4时，log2alog2（2b）取得最大值，故答案为：4．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意检查等号成立条件以及不等式的使用条件，属于中档题．13．在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且，EF=1，．若，则的值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】画出图形，结合图形，先求出的值，再利用=15，即可求出的值．【解答】解：如图所示，设AB∩DC=O，∵ =++=+， =++=+，两式相加得=；∵AB=，EF=1，CD=，平方得1=；∴=﹣；又∵=15，即（﹣）（﹣）=15；∴﹣﹣+=15，∴+=15++，∴=（﹣）（﹣）=﹣﹣+=（15++）﹣﹣=15+（﹣）+（﹣）=15++=15+（﹣）=15+=15﹣=15﹣（﹣）=．故答案为：．【点评】本题考查了两个向量的加减运算的应用问题，也考查了平面向量的几何意义以及平面向量的数量积的应用问题，是综合性题目．14．函数y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，记∠APB=θ，则sin2θ的值是．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由题意，|AB|=2，P是图象的最高点，故P是纵坐标为1，设∠BAP=α，∠PBA=β，那么：θ=π﹣（α+β），过P作AB的垂线．即可求sinα，sinβ，cosα，cosβ，从而求sin2θ的值．【解答】解：由题意，函数y=sin（πx+φ），T=，∴|AB|=2，P是图象的最高点，故P是纵坐标为1，设∠BAP=α，∠PBA=β，那么：θ=π﹣（α+β），过P作AB的垂线交于C，|AC|=，|AP|=，|PC|=1，那么：sinα=，cosα=，|BC|=，|PB|=，那么：sinβ=，cosβ=，则：sin2θ=2sinθcosθ=﹣2sin（α+β）cos（α+β）=﹣2（sinαcosβ+cosαsinβ）（cosαcosβ﹣sinαsinβ）=，故答案为：．【点评】本题考查了三角函数图象及性质的运用和计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如表：试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？【考点】简单线性规划的应用．【分析】利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用．本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．【解答】解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x、y台，总利润是P，则P=6x+8y，由题意有30x+20y≤300，5x+10y≤110，x≥0，y≥0，x、y均为整数．由图知直线y=﹣x+P过M（4，9）时，纵截距最大．=6×4+8×9=96（百元）．这时P也取最大值Pmax故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．16．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且△ABC 的面积为S=accosB ．（1）若c=2a ，求角A ，B ，C 的大小；（2）若a=2，且≤A ≤，求边c 的取值范围．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）法一：根据正弦定理，建立条件关系，即可求出角A ，B ，C 的大小；法二：根据余弦定理，建立条件关系，即可求出角A ，B ，C 的大小．（2）根据正弦定理表示出c ，根据三角函数的图象和性质即可得到结论．【解答】解：由已知及三角形面积公式得S=acsinB=accosB ，化简得sinB=cosB ，即tanB=，又0＜B ＜π，∴B=．（1）解法1：由c=2a ，及正弦定理得，sinC=2sinA ，又∵A+B=，∴sin （﹣A ）=2sinA ，化简可得tanA=，而0＜A ＜，∴A=，C=．解法2：由余弦定理得，b 2=a 2+c 2﹣2accosB=a 2+4a 2﹣2a 2=3a 2，∴b=，∴a ：b ：c=1：，知A=，C=．（2）由正弦定理得，即c=，由C=﹣A ，得===+1又由≤A ≤，知1≤tanA ≤，故c∈[2，]．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，要求熟练掌握相应的定理．17．如图，四棱锥P﹣ABCD底面为一直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥面ABCD，E 为PC中点（Ⅰ）求证：平面PDC⊥平面PAD（Ⅱ）求证：BE∥平面PAD（Ⅲ）假定PA=AD=CD，求二面角E﹣BD﹣C的正切值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明PA⊥DC，DC⊥AD，然后证明DC⊥面PAD，平面PDC⊥平面PAD（Ⅱ）取PD的中点F，连接EF，FA∵E为PC中点，证明四边形ABEF为平行四边形，推出BE ∥AF，然后证明BE∥平面PAD（Ⅲ）连接AC，取AC中点O，连接EO．过O作OG⊥BD交BD于G，连接EG．说明∠EGO为所求二面角E﹣BD﹣C的平面角，设PA=AD=CD=2a，AB=a，连DO并延长交AB于B′，O为DB′中点，过B′作B′G′⊥DB交BD于G′，在△EOG中求解二面角E﹣BD﹣C的平面角的正切值．【解答】（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥DC，∵DC⊥AD且AD∩PA=A，∴DC⊥面PAD，∵DC⊂面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD（Ⅱ）证明：取PD的中点F，连接EF，FA∵E为PC中点，∴在△PDC中：EF∥=，∴EF∥=AB，∴四边形ABEF为平行四边形，即BE∥AF，∵AF⊂面PAD且BE⊄面PAD，∴BE∥平面PAD．（Ⅲ）解：连接AC，取AC中点O，连接EO．在△PAC中：EO∥=，∴EO⊥面ABC，过O作OG⊥BD交BD于G，连接EG．由三垂线定理知：∠EGO为所求二面角E﹣BD﹣C的平面角，设PA=AD=CD=2a，AB=a，∴EO=a连DO并延长交AB于B′，则四边形AB′CD为正方形，且B′B=a，O为DB′中点，过B′作B′G′⊥DB交BD于G′．∴=在△EOG中：，故：二面角E﹣BD﹣C的平面角的正切值为．【点评】本题考查二倍角的平面角的求法，直线与平面平行于垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．18．已知递增的等比数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 4=S 1+28，且a 3+2是a 2和a 4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若b n =a n loga n ，T n =b 1+b 2+…+b n ，求使T n +n2n+1=30成立的正整数n 的值．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（I ）由题意，得，由此能求出数列{a n }的通项公式．（Ⅱ）b n =a n loga n ，T n =b 1+b 2+…+b n =﹣（1×2+2×22+…+n ×2n ），进而可得T n +n2n+1=30成立的正整数n 的值．【解答】解：（I ）设等比数列{a n }的公比为q ， ∵S 4=S 1+28，且a 1+2是a 2和a 4的等差中项．∴，解得，即数列{a n }的通项公式为a n =22n ﹣1=2n …（Ⅱ）b n =a n loga n ，…T n =b 1+b 2+…+b n =﹣（1×2+2×22+…+n ×2n ）①则2T n =﹣（1×22+2×23+…+n ×2n+1）②②﹣①，得T n =（2+22+…+2n ）﹣n2n+1=2n+1﹣2﹣n2n+1 即数列{b n }的前项和T n =2n+1﹣2﹣n2n+1，则T n +n2n+1=2n+1﹣2=30，即2n+1=32，解得：n=4【点评】本题考查数列的性质的应用，解题时要认真审题，注意数列与不等式的综合运用，合理地进行等价转化．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．①若线段AB中点的横坐标为﹣，求斜率k的值；②若点M（﹣，0），求证：为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）根据椭圆的离心率，三角形的面积及椭圆几何量之间的关系，建立等式，即可求得椭圆的标准方程；（2）①直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及线段AB中点的横坐标为，即可求斜率k 的值；②利用韦达定理，及向量的数量积公式，计算即可证得结论．【解答】（1）解：因为满足a2=b2+c2，，…根据椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，可得．从而可解得，所以椭圆方程为…（2）证明：①将y=k（x+1）代入中，消元得（1+3k2）x2+6k2x+3k2﹣5=0…△=36k4﹣4（3k2+1）（3k2﹣5）=48k2+20＞0，…因为AB 中点的横坐标为，所以，解得…②由①知，所以…==…===…【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量的数量积，考查学生的运算能力，综合性强．20．已知函数f （x ）=2lnx ﹣x 2+ax （a ∈R ）．（Ⅰ）当a=2时，求f （x ）的图象在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若函数g （x ）=f （x ）﹣ax+m 在[，e]上有两个零点，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若函数f （x ）的图象与x 轴有两个不同的交点A （x 1，0），B （x 2，0），且0＜x 1＜x 2，求证：f ′（）＜0（其中f ′（x ）是f （x ）的导函数）．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（I ）利用导数的几何意义即可得出；（II ）利用导数研究函数的单调性极值、最值，数形结合即可得出；（III ）由于f （x ）的图象与x 轴交于两个不同的点A （x 1，0），B （x 2，0），可得方程2lnx﹣x 2+ax=0的两个根为x 1，x 2，得到．可得=．经过变形只要证明，通过换元再利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，f （x ）=2lnx ﹣x 2+2x ，，切点坐标为（1，1），切线的斜率k=f ′（1）=2， ∴切线方程为y ﹣1=2（x ﹣1），即y=2x ﹣1．（Ⅱ）g （x ）=2lnx ﹣x 2+m ，则，∵，故g ′（x ）=0时，x=1．当时，g ′（x ）＞0；当1＜x ＜e 时，g ′（x ）＜0．故g （x ）在x=1处取得极大值g （1）=m ﹣1．又，g （e ）=m+2﹣e 2，，∴，∴g （x ）在上的最小值是g （e ）．g （x ）在上有两个零点的条件是解得，∴实数m 的取值范围是．（Ⅲ）∵f （x ）的图象与x 轴交于两个不同的点A （x 1，0），B （x 2，0），∴方程2lnx ﹣x 2+ax=0的两个根为x 1，x 2，则两式相减得．又f （x ）=2lnx ﹣x 2+ax ，，则=．下证（*），即证明，令，∵0＜x 1＜x 2，∴0＜t ＜1，即证明在0＜t＜1上恒成立．∵，又0＜t＜1，∴u′（t）＞0，∴u（t）在（0，1）上是增函数，则u（t）＜u（1）=0，从而知，故（*）式＜0，即成立．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、导数的几何意义、切线的方程、方程实数根的个数转化为图象的交点，考查了推理能力和计算能力，属于难题．。

天津市第一中学2018届高三上学期第二次月考物理试题Word版含答案

本试卷分为第1卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟。

考生务必将答案涂写答题纸或答题卡的规定位置上，答在试卷上的无效。

祝各位考生考试顺利！第1卷（选择题，共44分）一、单项选择题（本题共8小题，每题3分，共24分。

每小题只有一个正确选项。

）1、2017年11月15日，我国自行研制的风云三号D星发射升空，这是一颗极轨气象卫星，运行周期约为100分钟。

而11月5日，北斗三号双星发射升空，标志着我国的北斗导航系统进入全球组网时代。

北斗系统中的同步定点卫星与风云卫星相比，下列说法正确的是( )A．两种卫星都可能经过天津上空B．北斗卫星的周期约为风云卫星的14.4倍C．北斗卫星的运行速度可能比风云卫星的大D．北斗卫星的向心力一定比风云卫星的大2、如图所示，A、B、C是水平面上同一直线上的三点，其中AB=BC，在A点正上方的O点以初速度v0水平抛出一小球，刚好落在B点，小球运动的轨迹与OC的连线交于D点，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法不正确的是( )A. 小球从O到D点的水平位移是从O到B点水平位移的1/2B．小球经过D点与落在B点时重力瞬时功率的比为1/2C．小球从O到D点与从D到B点两段过程中重力做功的比为1/3D．小球经过D点时速度与水平方向夹角的正切值是落到B点时速度与水平方向夹角的正切值的1/43、如图所示，有一个内壁光滑的圆锥形漏斗竖直放置，一个质量为m的小球在漏斗内壁某水平面内做匀速圆周运动。

若漏斗的侧壁与竖直方向夹角为θ，小球运动的圆平面到漏斗底端的距离为h，则下列说法正确的是( )A. 小球受到内壁的支持力与h 无关，随θ的增大而增大B ．小球运动的向心加速度与θ无关，随h 的增大而增大C ．小球运动的线速度与θ无关，随h 的增大而增大D ．小球运动的角速度与h 无关，随θ的增大而增大4、如图所示，一小球以初速度v 做竖直上抛运动，到达的最大高度为H 。

数学---天津一中2018届高三(上)第三次月考试卷(文)(解析版)

天津一中2018届高三（上）第三次月考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知集合A={x∈Z||x﹣1|＜3}，B={x|x2+2x﹣3≥0}，则A∩∁R B=（）A．（﹣2，1）B．（1，4）C．{2，3} D．{﹣1，0}2．（5分）若从集合{1，2，3，5}中随机地选出三个元素，则满足其中两个元素的和等于第三个元素的概率为（）A．B．C．D．3．（5分）下列说法正确的是（）A．若a∈R，则“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件C．若命题p：“∀x∈R，sin x+cos x≤”，则￢p是真命题D．命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3＞0”4．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．﹣lg9 B．﹣1 C．﹣lg1 D．15．（5分）直线y=kx+3被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4截得的弦长为，则直线的倾斜角为（）A．或B．或C．或D．6．（5分）若f（x）=2cos（2x+φ）（φ＞0）的图象关于直线x=对称，且当φ取最小值时，∃x0∈（0，），使得f（x0）=a，则a的取值范围是（）A．（﹣1，2] B．[﹣2，﹣1）C．（﹣1，1）D．[﹣2，1）7．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数x1，x2，都有，记，，，则（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a8．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣，2] B．[﹣，]C．[﹣2，2] D．[﹣2，]二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）已知复数z满足（1+2i）z=i，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为．10．（5分）已知函数f（x）=2f′（1）ln x﹣x，则f（x）的极大值为．11．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为12．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，抛物线E：x2=4y的焦点B是双曲线虚轴上的一个顶点，若线段BF与双曲线C的右支交于点A，且=3，则双曲线C的离心率为．13．（5分）对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，则实数x的取值范围是．14．（5分）在平行四边形ABCD中，已知AB=6，∠BAD=60°，点E是BC的中点，AE与BD相交于点P，若，则BC=．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a sin A=4b sin B，ac=（a2﹣b2﹣c2）．（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．16．（13分）某营养学家建议：高中生每天的蛋白质摄入量控制在[60，90]（单位：克），脂肪的摄入量控制在[18，27]（单位：克）．某学校食堂提供的伙食以食物A和食物B为主，1千克食物A含蛋白质60克，含脂肪9克，售价20元；1千克食物B含蛋白质30克，含脂肪27克，售价15元．（Ⅰ）如果某学生只吃食物A，判断他的伙食是否符合营养学家的建议，并说明理由；（Ⅱ）为了花费最低且符合营养学家的建议，学生需要每天同时食用食物A和食物B各多少千克？并求出最低需要花费的钱数．17．（13分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面A1CD；（Ⅱ）证明：平面A1CD⊥平面A1ABB1；（Ⅲ）求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．18．（13分）已知数列{a n}，{b n}，S n为数列{a n}的前n项和，a2=4b1，S n=2a n﹣2，nb n+1﹣（n+1）b n=n2+n（n∈N*）.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明为等差数列；（3）若数列{c n}的通项公式为c n=，令T n为{c n}的前n项的和，求T2n．19．（14分）已知函数f（x）=x ln x，g（x）=λ（x2﹣1）（λ为常数）（1）已知函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处有相同的切线，求实数λ的值；（2）如果，且x≥1，证明f（x）≤g（x）；（3）若对任意x∈[1，+∞），不等式f（x）≤g（x）恒成立，求实数λ的取值范围．20．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：+=1经过点（b，2e），其中e为椭圆C的离心率．过点T（1，0）作斜率为k（k＞0）的直线l交椭圆C于A，B两点（A在x轴下方）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求的值；（3）记直线l与y轴的交点为P．若=，求直线l的斜率k．【参考答案】一、选择题1．D【解析】由A中不等式解得：﹣2＜x＜4，即B={﹣1，0，1，2，3}，由B中不等式变形得：（x+3）（x﹣1）≥0，解得：x≤﹣3，或x≥1，即B=（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞），∴∁R B=（﹣3，1），则A∩（∁R B）={﹣1，0}．故选：D．2．B【解析】从集合{1，2，3，5}中随机地选出三个元素，基本事件总数n=4，满足其中两个元素的和等于第三个元素包含的基本事件有：（1，2，3），（2，3，5），共有2个，∴满足其中两个元素的和等于第三个元素的概率p=．故选：B．3．A【解析】若“＜1”成立，则“a＞1”或“a＜0”，故“＜1”是“a＞1”的不充分条件，若“a＞1”成立，则“＜1”成立，故“＜1”是“a＞1”的必要条件，综上所述，“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件，故A正确；若“p∧q为真命题”，则“p，q均为真命题”，则“p∨q为真命题”成立，若“p∨q为真命题”则“p，q存在至少一个真命题”，则“p∧q为真命题”不一定成立，综上所述，“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件，故B错误；命题p：“∀x∈R，sin x+cos x=sin（x+）≤”为真命题，则￢p是假命题，故C错误；命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3≥0”，故D错误；故选：A．4．B【解析】模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=lg+lg+lg+…+lg的值．由于S=lg+lg+lg+…+lg=（lg1﹣lg2）+（lg2﹣lg3）+（lg3﹣lg4）+…+（lg9﹣lg10）=lg1﹣lg10=﹣1．故选：B．5．A【解析】由题知：圆心（2，3），半径为2．因为直线y=kx+3被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4截得的弦长为，所以圆心到直线的距离为d==1=，∴k=±，由k=tanα，得或．故选A．6．D【解析】∵函数f（x）=2cos（2x+φ）（φ＞0）的图象关于直线x=对称，∴+φ=kπ，∴φ=kπ﹣，当φ取最小值时φ=，∴f（x）=2cos（2x+），∵x0∈（0，），∴2x0+∈（，），∴﹣1≤cos（2x0+）＜，∴﹣2≤f（x0）＜1，∵f（x0）=a，∴﹣2≤a＜1故选：D．7．A【解析】不妨设：x1＞x2＞0，由题意可得：，同理，当0＜x1＜x2时有，据此可得函数在区间（0，+∞）上单调递减，且函数g（x）是偶函数，因此，，，即a＜c＜b，故选：A．8．A【解析】当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为﹣x2+x﹣3≤+a≤x2﹣x+3，即有﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3，由y=﹣x2+x﹣3的对称轴为x=＜1，可得x=处取得最大值﹣；由y=x2﹣x+3的对称轴为x=＜1，可得x=处取得最小值，则﹣≤a≤①当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为﹣（x+）≤+a≤x+，即有﹣（x+）≤a≤+，由y=﹣（x+）≤﹣2=﹣2（当且仅当x=＞1）取得最大值﹣2；由y=x+≥2=2（当且仅当x=2＞1）取得最小值2．则﹣2≤a≤2②由①②可得，﹣≤a≤2．另解：作出f（x）的图象和折线y=|+a|当x≤1时，y=x2﹣x+3的导数为y′=2x﹣1，由2x﹣1=﹣，可得x=，切点为（，）代入y=﹣﹣a，解得a=﹣；当x＞1时，y=x+的导数为y′=1﹣，由1﹣=，可得x=2（﹣2舍去），切点为（2，3），代入y=+a，解得a=2．由图象平移可得，﹣≤a≤2．故选：A．二、填空题9．【解析】∵（1+2i）z=i，∴z===+，∴复数z的虚部为．故答案为10．2ln2﹣2【解析】由于函数f（x）=2f′（1）ln x﹣x，则f′（x）=2f′（1）×﹣1（x＞0），f′（1）=2f′（1）﹣1，故f′（1）=1，得到f′（x）=2×﹣1=，令f′（x）＞0，解得：x＜2，令f′（x）＜0，解得：x＞2，则函数在（0，2）上为增函数，在（2，+∞）上为减函数，故f（x）的极大值为f（2）=2ln2﹣2故答案为：2ln2﹣211．【解析】由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，底面四边形BEDC为直角梯形，DC∥EB，DE⊥EB，且EB=DE=2DC=4，侧面ABE为等腰三角形，AB=AE，平面AEB⊥平面BEDC，∴该几何体的体积为V=．故答案为：．12．【解析】F（c，0），B（0，1），∴b=1．设A（m，n），则=（m，n﹣1），=（c﹣m，﹣n），∵=3，∴，解得，即A（，），∵A在双曲线﹣y2=1的右支上，∴﹣=1，∴=．∴e==．故答案为：．13．[﹣4，5]【解析】∵θ∈（0，），∴+=（sin2θ+cos2θ）=5+≥=9，当且仅当tanθ=时取等号．∵对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，∴|2x﹣1|≤=9，∴﹣9≤2x﹣1≤9，解得﹣4≤x≤5．∴实数x的取值范围是[﹣4，5]．故答案为：[﹣4，5]．14．3【解析】如图所示，建立直角坐标系，设AD=2a，∵AB=6，∠BAD=60°，点E是BC的中点，AE与BD相交于点P，∴A（0，0），B（6，0），D（a，a），C（a+6，a），E（+6，a），∵B，P，D三点共线，∴存在实数λ使得=λ+（1﹣λ）=（6λ+（1﹣λ）a，（1﹣λ）a）．∵A，P，E三点共线，（+6）（1﹣λ）a﹣a[6λ+（1﹣λ）a]=0，解得：a=，故BC=3．故答案为：3．三、解答题15．（Ⅰ）解：由，得a sin B=b sin A，又a sin A=4b sin B，得4b sin B=a sin A，两式作比得：，∴a=2b．由，得，由余弦定理，得；（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入a sin A=4b sin B，得．由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，∴．于是，，故．16．解：（Ⅰ）如果学生只吃食物Ax kg，则，无解，故不符合营养学家的建议；（Ⅱ）由题意，设学生每天吃食物Ax kg，食物By kg；则z=20x+15y；作平面区域如下，由解得，x=，y=；故z=20×+15×=22；答：学生每天吃0.8千克食物A，0.4千克食物B，既能符合营养学家的建议又花费最少．最低需要花费22元．17．证明：（I）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC∥A1C1，AC=A1C1，连接ED，可得DE∥AC，DE=AC，又F为棱A1C1的中点．∴A1F=DE，A1F∥DE，所以A1DEF是平行四边形，所以EF∥DA1，DA1⊂平面A1CD，EF⊄平面A1CD，∴EF∥平面A1CD（II）∵D是AB的中点，∴CD⊥AB，又AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴AA1⊥CD，又AA1∩AB=A，∴CD⊥面A1ABB1，又CD⊂面A1CD，∴平面A1CD⊥平面A1ABB1；（III）过B作BG⊥A1D交A1D于G，∵平面A1CD⊥平面A1ABB1，且平面A1CD∩平面A1ABB1=A1D，BG⊥A1D，∴BG⊥面A1CD，则∠BCG为所求的角，设棱长为a，可得A1D=，由△A1AD∽△BGD，得BG=，在直角△BGC中，sin∠BCG==，∴直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．18．（1）解：当n＞1时，当n=1时，S1=2a1﹣2⇒a1=2，综上，{a n}是公比为2，首项为2的等比数列，（2）证明：∵a2=4b1，∴b1=1，∵，∴综上，是公差为1，首项为1的等差数列，．（3）解：令p n=c2n﹣1+c2n=，①﹣②，得，，∴．19．解：（1）∵函数f（x）=x ln x，g（x）=λ（x2﹣1），∴f′（x）=1+ln x，g′（x）=2λx，∵函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处有相同的切线，∴f′（1）=g′（1），∴1+ln1=2λ，解得λ=，（2）当，且x≥1时，设h（x）=g（x）﹣f（x）=（x2﹣1）﹣x ln x，∴h′（x）=x﹣1﹣ln x，令φ（x）=x﹣1﹣ln x，∴φ′（x）=1﹣≥0在[1，+∞）上恒成立，∴φ（x）min=φ（1）=1﹣1﹣ln1=0，∴h′（x）=x﹣1﹣ln x≥0，在[1，+∞）上恒成立，∴h（x）在[1，+∞）上递增，∴h（x）min=h（1）=0，∴当，且x≥1，f（x）≤g（x）成立，（3）对任意x∈[1，+∞），不等式f（x）≤g（x）恒成立，∴x ln x≤λ（x2﹣1），∴λ≥，设m（x）=，则m′（x）==，令n（x）=x2﹣1﹣（x2+1）ln x，则n′（x）=2x﹣2x ln x﹣（x+）=，再令p（x）=x2﹣2x2ln x﹣1则p′（x）=2x﹣2（2x ln x+x）=﹣4x ln x＜0在[1，+∞）为恒成立，∴p（x）在[1，+∞）为减函数，∴p（x）≤p（1）=0，∴n′（x）＜0在[1，+∞）为恒成立，∴n（x）在[1，+∞）为减函数，∴n（x）≤n（1）=0，∴m′（x）＜0在[1，+∞）为恒成立，∴m（x）在[1，+∞）为减函数，∵m（x）===，∴m（x）≤，∴λ≥．故λ的取值范围为[，+∞）．20．解：（1）因为椭圆椭圆C：+=1经过点（b，2e）所以．因为e2=，所以，又∵a2=b2+c2，，解得b2=4或b2=8（舍去）．所以椭圆C的方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．因为T（1，0），则直线l的方程为y=k（x﹣1）．联立直线l与椭圆方程，消去y，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣8=0，所以x1+x2=，x1x2=．因为MN∥l，所以直线MN方程为y=kx，联立直线MN与椭圆方程消去y得（2k2+1）x2=8，解得x2=因为MN∥l，所以因为（1﹣x1）•（x2﹣1）=﹣[x1x2﹣（x1+x2）+1]=．（x M﹣x N）2=4x2=．所以=．（3）在y=k（x﹣1）中，令x=0，则y=﹣k，所以P（0，﹣k），从而，∵=，…①由（2）知…②由①②得⇒50k4﹣83k2﹣34=0，解得k2=2或k2=﹣（舍）．又因为k＞0，所以k=．。

天津市第一中学2022届高三上学期第三次月考语文试题 Word版含答案

考生务必将答案涂写答题纸或答题卡的规定位置上，答在试卷上的无效。

祝各位考生考试顺当!第Ⅰ卷（36分）一、（12分，每小题3分）1．下列各句中，没有错别字且加点字的注音全都正确的一项是A．吐．（tǔ）槽社会不公，埋怨怀才不遇，因而踟．（c hí）蹰不前，这不过是找一个堂皇的借口而已。

当你拂去往日心灵的积弊与尘垢，用婴儿水晶般的瞳孔端详世界的时候，你会发觉即使是在严冬季节，周遭仍旧暗涌着奇迹抽芽带来的层层新绿。

B．中华文明硕果累累（lěi），仰韶的彩陶、良渚（z hǔ）的玉器、唐之金银、宋之陶瓷，元明清不胜枚举，这些手艺不经意间将生活艺术化，让后人仰而视之，诚惶诚恐。

C．雄心期决胜，壮志在必克。

我们要多些一往无前的进取意识、乘．（chénɡ）势而上的机遇意识、敢于担当的责任意识，汇聚全体国民的磅礴力气，再接再厉，砥砺攻艰，铿（kēng）锵前行，争取更大的成功。

D．站在兵马俑（yǒng）坑前，我们观察的秦朝文物几近全部。

细心倾听，甚至可以听见金戈铁马的嘶杀声。

这令人震惊的兵马俑，不过是秦文明中的沧海一粟（sù）。

2．依次填入下面横线上的词语最恰当的一项是（1）为了搞清事故的缘由，公安部门打算立案。

（2）我们必需学会如何在纷繁简单的干扰中剥离出“演绎”的成分，去伪存真，真相，呈现出万事万物的真实状态。

（3）为了弄清这句话的出处，推断对方说法的真伪，老先生跑了很多图书馆，了大量的文献资料。

A．侦查厘清披阅B．侦查理清批阅C．侦察理清披阅D．侦察厘清批阅3．下列各句中，没有语病的一句是A．蓟县滑雪场九成以上受伤者为初学滑雪者，大部分在未接受专业指导或训练的情况下直接进入中高级滑道，从而导致自己受伤或撞伤他人概率更大。

2018届天津市第一中学高三上学期月考(三)理科数学试题及答案精品

天津市第一中学2018届高三上学期月考（三）数学（理）试题一、选择题：1. 设i 是虚数单位，则2(1)i i--等于A ．0B ．4C .22.已知实数y x ，满足210,||10x y x y -+≥⎧⎨--≤⎩则2z x y =+的最大值为 A ．4B ．6C . 8D .103．执行如图所示的程序框图，输出的结果是A ．5B .6C .7 D.84. 等比数列{}n a 中，01>a ，则“41a a <”是“53a a <” 的 A.充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件.5函数)42sin(log 21π+=x y 的单调减区间为A ．)(,4Z k k k ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛-πππ B ．)(8,8Z k k k ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛+-ππππC ．)(8,83Z k k k ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛+-ππππ D ．)(83,8Z k k k ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛++ππππ6. 设1F ，2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线某条渐近线于M 、N 两点，且满足120MAN ∠=︒，则该双曲线的离心率为ABC . 737. ABC ∆中，,3,15,10π=∠==BAC AC AB ，点D 是边AB 的中点，点E 在直线AC 上，且AE AC 3=，直线CD 与BE 相交于点PA .37 B . 13 C .132D. 728. 已知函数2|log |,02()sin(),2104x x f x x x π<<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩，若存在实数1x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，且1234()()()()f x f x f x f x ===，则3412(2)(2)x x x x -⋅-⋅的取值范围是（） A ．(4,16)B ．(0,12)C ．(9,21)D ．(15,25)二、填空题：9. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是____________.10. 251(2)(1)x x+-的展开式的常数项是．11.在等差数列{}n a 中，01>a ，01110<a a ，若此数列的前10项和pS =10，前18项和qS =18，则数列{}n a 的前18项和=18T ___________．12.在极坐标系中，直线()sin cos a ρθθ-=与曲线2cos 4sin ρθθ=-相交于A 、B两点，若AB=a 的值为.14. 设函数11()lg m xx i im a f x m-=+=∑，其中,a R m ∈是给定的正整数，且2m ≥，如果不等式()(1)lg f x x m >-在区间[1,)+∞有解，则实数a 的取值范围是 .天津一中2014-2018-1高三数学（理）三月考答案一选择题1．设i是虚数单位，则2(1)ii--等于（D ）A、0B、4 C、2 D5.已知实数yx，满足210,||10x yx y-+≥⎧⎨--≤⎩则2z x y=+的最大值为( C)A．4 B．6 C．8 D．10 3执行如图所示的程序框图，输出的结果是(C)A．5B.6C.7 D.84等比数列{}n a 中，01>a ，则“41a a <”是“53a a <” 的（ A ） A.充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5函数)42sin(log 21π+=x y 的单调减区间为（ B ）A ．)(,4Z k k k ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛-πππ B ．)(8,8Z k k k ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛+-ππππC ．)(8,83Z k k k ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛+-ππππ D ．)(83,8Z k k k ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛++ππππ6设1F ，2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线某条渐近线于M 、N 两点，且满足120MAN ∠=︒，则该双曲线的离心率为（ A ）A B C . 73D.7ABC ∆中，,3,15,10π=∠==BAC AC AB ，点D 是边AB 的中点，点E 在直线AC 上，且3=，直线CD 与BE 相交于点P (A) A . 37B . 13C .132D. 728已知函数2|log |,02()sin(),2104x x f x x x π<<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩，若存在实数1x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，且1234()()()()f x f x f x f x ===，则3412(2)(2)x x x x -⋅-⋅的取值范围是（B ） A ．(4,16)B ．(0,12)C ．(9,21)D ． (15,25)10251(2)(1)x x+-的展开式的常数项是． -1211在等差数列{}n a 中，01>a ，01110<a a ，若此数列的前10项和pS =10，前18项和qS =18，则数列{}n a 的前18项和=18T ___________．q p -212在极坐标系中，直线()sin cos a ρθθ-=与曲线2cos 4sin ρθθ=-相交于A 、B两点，若AB=a 的值为 .15--or13如图，在ABC ∆和ACD ∆中， 90=∠=∠ADC ACB ，CAD BAC ∠=∠，⊙O 是以AB 为直径的圆, DC 的延长线与AB 的延长线交于点E , 若6=EB ，26=EC ，则BC 的长为．3214设函数11()lgm xx i im a f x m-=+=∑，其中,a R m ∈是给定的正整数，且2m ≥，如果不等式()(1)lg f x x m >-在区间[1,)+∞有解，则实数a 的取值范围是 . 32m a ->三、解答题()y f x =的图象向右平移个单位后得到函数()y g x =的图象. (1)求函数()y g x =的解析式；(2) 若ABC ∆的三边为,,a b c成单调递增等差数列，且15【解析】1 6已知甲、乙两个盒子，甲盒中有2个黑球和2个红球，乙盒中有2个黑球和3个红球，从甲、乙两盒中各取一球交换. （Ⅰ）求交换后甲盒中有2个黑球的概率；（Ⅱ）设交换后甲盒中黑球的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望. 16【解析】（Ⅰ）①互换的黑球，此时甲盒子恰好有2黑球的事件记为A 1，则：1122111451()5C C P A C C ⋅==⋅②互换的是红球，此时甲甲盒子恰好有2黑球记为A 2，则：1123211453()10C C P A C C ⋅==⋅故甲盒中有2个黑球的概率12131()()5102P P A P A =+=+= （2）设甲盒中黑球的个数为ξ，则：112311453(1)10C C P C C ξ⋅===⋅；1(2)2P ξ==；112211451(3)5C C P C C ξ⋅===⋅因而ξ的分布列为：∴ E ξ＝103×1＋21×2＋51×3＝101917在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，2BC AD=2AB ==AB BC ⊥，如图，把ABD ∆沿BD 翻折，使得平面ABD ⊥平面BCD ．（1）求证：CD AB ⊥；（2）若点M 为线段BC 中点，求点M 到平面ACD 的距离；（3）在线段BC 上是否存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60 ？若存在，求出BNBC的值；若不存在，请说明理由．（2）由（1）得CD⊥平面ABD，所以CD BD⊥．以点D为原点，DB所在的直线为x轴，DC所在直线为y轴，利用三维空间直角坐标系即可求的点面距离，即首先求出线段MC与面ADC的法向量的夹角，再利用三角函数值即可求的点面距离.此外，该题还可以利用等体积法来求的点面距离，即三棱锥M-ADC的体积，分别以M点为顶点和以A点为定点来求解三棱锥的体积，解出高即为点面距离.（2）解法1：因为CD ⊥平面ABD ，所以CD BD ⊥．以点D 为原点，DB 所在的直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴,过点D 作垂直平面BCD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，如图．由已知，得(1,0,1)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,0)D ，(1,1,0)M ．所以(0,2,0)CD =-，(1,0,1)AD =-- ，(1,1,0)MC =-． (7)分．设平面ACD 的法向量为(,,)x y z =n ，则0CD ⋅= n ，0AD ⋅= n ，所以20,0.y x z -=⎧⎨--=⎩令1x =，得平面ACD 的一个法向量为(1,0,1)=-n …9分所以点M到平面ACD的距离为||||MC d MC ⋅=n== ……10分．解法2：由已知条件可得AB AD⊥，AB AD ==，所以112ABD S AB AD ∆=⋅=．由（1）知CD ⊥平面ABD ，即CD 为三棱锥C ABD -的高，又2CD =，所以13C ABD ABD V S CD -∆=⋅23= ……7分．由CD ⊥平面ABD 得到CD AD ⊥，设点C 到平面ADC 的距离为h ，则11(232B ACD V h -=⨯⨯h =……8分．23=，h =， ……9分．因为点M 为线段BC 中点，所以点M 到平面ACD 的距离为……10分．18设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．（Ⅰ）若6ED DF =，求k 的值；（Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值． 18【解析】（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2214x y +=，直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． ··· 2分如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <，且12x x ，满足方程22(14)4k x +=，故21x x =-=．①由6ED DF =知01206()x x x x -=-，得021215(6)77x x x x =+==；由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k=+．所以212k =+，化简得2242560k k -+=，解得23k =或38k =． ················ 6分（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB的距离分别为1h ，2h ． ·········· 9分=，所以四边形AEBF 的面积为121()2S AB h h =+12===≤当21k =，即当12k =时，上式取等号．所以S 的最大值为．······················ 12分解法二：由题设，1BO=，2AO =．设11y kx =，22y kx =，由①得20x >，210y y =->，故四边形AEBF 的面积为BEF AEF S S S =+△△222x y =+ (9)分===当222x y =时，上式取等号．所以S 的最大值为． · 12分19各项均为正数的数列{a n }中，设12n nS a a a =+++ ，12111n nT a a a =+++ ，且(2)(1)2nnS T -+=，*n ∈N ．（1）设2nn b S =-，证明数列{bn }是等比数列；（2）设12nn cna =，求集合(){}*,,|2,,,,m r k m k r c c c m k r m k r +=<<∈N ．【答案】（1）详见解析，（2）{}111(1,3,4),(21,2,2)i i i i i +++---（*i ∈N ）．20设()(1)x f x e a x =-+(e 是自然对数的底数， 71828.2=e )，且0)0(='f ．（Ⅰ）求实数a 的值，并求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设)()()(x f x f x g --=，对任意)(,2121x x R x x <∈，恒有m x x x g x g >--1212)()(成立．求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若正实数21,λλ满足121=+λλ，)(,2121x x R x x ≠∈，试证明：)()()(22112211x f x f x x f λλλλ+<+。

集合的概念课件-2025届高三数学一轮复习

6−x
然数，∴ B =
6
{1，2，3，6}.（集合B的代表元素是 ,注意与A区分）
6−x
例2-5 用描述法表示下列集合：
1
3
2
4
3
5
4
6
5
7
（1）{ ，，，， }；
【解析】可表示为{x|x =
n
，n
n+2
∈ + 且n ≤ 5}．
（2）偶数集；
【解析】可表示为{x|x = 2n，n ∈ }．（奇数集可表示为{x|x = 2n + 1,n ∈ }）
列集合和运算：
①G = {x|x是非负整数}，⊕ 为整数的加法；
②G = {x|x是偶数}，⊕ 为整数的乘法；
③G = {x|x是二次三项式}，⊕ 为多项式的加法.
①
其中G关于运算⊕ 为“融洽集”的是____.（写出所有满足条件的序号）
【解析】①G = {x|x是非负整数}，⊕ 为整数的加法，满足对任意a,b ∈ G,都有
是( AD
)
A.0 ∈
2
B.
7
∈
C.−3 ∉ Z
D.π ∉ Q
【解析】0是自然数（0是最小的自然数），即有0 ∈ ，故A正确；
2
2
不是整数，即有
7
7
∉ Z，故B错误；
−3是负整数，即有−3 ∈ ，故C错误；
π 是无理数，即有π ∉ Q，故D正确.
例2-4 用列举法表示下列集合：
（1）A = {x ∈
且k + 1 ∉ A，那么k是A的一个“孤立元”.给定S = {1，2，3，4，5，6，7，8}，由S
的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合个数为( D

2018届天津市第一中学高三上学期第三次月考数学(理)试题(解析版)

天津一中2017-2018高三年级三月考数学试卷（理）一、选择题：1. ）C. D.【答案】B＜x≤1}故选B2. （）A. -5B. -1C. 0D. 1【答案】DD.考点：1、线性规划；2、向量的数量积.3. 2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1.在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数．如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反复进行上述运算后，最后结果为1.现根据此问题设计一个程序框图则输出）A. 3B. 5C. 6D. 7【答案】C6，选C.4. 下列四个命题：，“②；的图像关于，；，，列．其中正确命题的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B的否定是对称，故错误；对于④，因为的公差故错误故选B5. 、右焦点，使得其中为坐标原点，且则该双曲线的离心率为（）【答案】D【解析】试题分析：设,则,由题设,又因,故,即,联立可得,所以,代入可得,即,也即,应选D.考点：双曲线的几何性质及运用.【易错点晴】双曲线是圆锥曲线的重要代表曲线之一,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,运用双曲线的几何性质和题设中的条件将问题转化为求点的问题.,然后通过解方程组求得点的坐标为,.再代入可得,即.借助.6. 如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗实数与虚线画出的是某四面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度是（）B. C. 6 D.【答案】C其中正方体的棱长为4故选C点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.7. 上的函数则（）B.【答案】C【解析】函数f（x f（t+4）∴f（x）是周期为4的函数．f（2016）=f（4），4f（2017）=4f（1），2f（2018）=2f（2）．令g（x）x∈（0，4]∵x∈（0，4]时，f′(x)∴g′（x）＞0，g（x）在（0，4]递增，∴f（14f（1）＜2f（2）＜f（4）故选C．8. 使得的取值范围是（）B. C.【答案】D为单调递增函数，且，总存在的取值范围时故选D点睛：本题主要考查分段函数的应用，其中解答中涉及到指数函数的单调性和值域，基本不等式的应用求最值，以及命题的转化等知识点的综合运用，试题有一定的综合性，属于中档题，解答中根据题意转化为两段函数的最值之间的关系是解答本题的关键.二、填空题：9. 若复数为纯虚数，为虚数单位）．，即10. 以极点为原点，极轴为建立直角坐标系，上的点最近的距离为__________．【解析】由曲线上的任意一点，则曲线，当且仅当时，即点∴最近的距离为__________．【答案】128故答案为12812. ，，则．【解析】若故答案为13. 定义一种运算5个不同的零点时，则实数__________．【解析】根据题意画出其图象如图所示：结合图象可以知道5个零点时,实数m点睛：已知函数零点（方程根）的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：（1）直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围；（2）分离参数法，先将参数分离，转化为求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.14. 若对任意不等式，最大值__________．，简可得，则综上所述，的最大值为试题点评：本题考查恒成立问题，考查了数学转化思想方法，涉及二次函数恒成立问题，常由二次项系数结合判别式解决.三、解答题15. ，（Ⅰ）求的值；．【答案】（1）2【解析】试题分析：（1）进而得到的值；（2）的最大值，即可求出.试题解析：（1由正弦定理，得,由余弦定理，得整理得当且仅当时，等号成立.故当时，周长的最大值考点：1.正弦定理；2.余弦定理；3.解三角形.16. 一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片．（Ⅰ）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；表示所取3．满足）．【答案】见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）先算出基本事件的总数和所研究的事件包含的基本事件个数，然后代入古典概型概率计算公式即可；的概率，最后将分布列以表格形式呈现，从而求出数学期望.试题解析：的所有可能值为1，2，3，且故的分布列为17. 如图，三棱柱中，已知，若二面角．【答案】（1）见解析（2【解析】试题分析：（Ⅰ）证明AB⊥BC1，在△CBC1中，由余弦定理求解B1C，然后证明BC⊥BC1，利用直线与平面垂直的判定定理证明C1B⊥平面ABC．（Ⅱ）通过AB，BC，BC1两两垂直．以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，求出平面AB1E的一个法向量，平面的一个法向量通过向量的数量积，推出λ的方程，求解即可．，所以可以知道，，直角坐标系.令，则，，平面∴或点睛：本题考查面面垂直，线面垂直，线线垂直的判定及性质以及二面角的余弦，属于中档题。

2022届天津市第一中学高三上学期12月月考数学试题(解析版)

2022届天津市第一中学高三上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合()(){}210M x x x =+-<，{}10N x x =+<，则M N =（） A ．()1,1- B ．()2,1- C ．()2,1--D ．()1,2【答案】C【分析】解出集合M 、N ，利用交集的定义可求得集合M N ⋂.【详解】()(){}()2102,1M x x x =+-<=-，{}()10,1N x x =+<=-∞-，因此，()2,1M N =--.故选：C.2．若,a b ∈R ，且0ab ≠，则“a b >”是“11a b<”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】根据充分必要条件的定义分别进行判断即可．【详解】当0a b >>时，11a b <不成立；当110a b<<时，a b >不成立，所以“a b >”是“11a b<”的既不充分也不必要条件．故选D ．【点睛】本题考查了充分必要条件，考查了不等式的性质，是一道基础题． 3．函数2()22x x f x x -=--的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据函数的奇偶性可排除C ，再根据()()3,5f f 的符号即可排除AD ，即可得出答案.【详解】解：函数的定义域为R ，因为()2()22x xf x x f x --=--=，所以函数()f x 是偶函数，故排除C ；()17398088f =--=>，故排除A ；()1152532703232f =--=--<，故排除D. 故选：B.4．为了解学生课外使用手机的情况，某研究学习小组为研究学校学生一个月使用手机的总时间，收集了500名学生2019年12月课余使用手机的总时间（单位：小时）的数据．从中随机抽取了50名学生，将数据进行整理，得到如图所示的频率分布直方图．已知这50人中，恰有2名女生的课余使用手机总时间在[18,20]区间，现在从课余使用手总时间在[18,20]样本对应的学生中随机抽取2人，则至少抽到1名女生的概率为（）A ．25B ．710C ．815D ．715【答案】B【解析】由频率分布直方图求出在[18,20]区间的学生人数，然后求出抽取2人的总方法数和至少有1名女生的方法数，从而计算出概率．【详解】500.105⨯=，则[18,20]样本对应的学生为5人，即2名女生，3名男生，从中抽取2人有25C =10种方法，至少抽到一名女生有2253C C -=7种方法，概率为710．【点睛】本题考查频率分布直方图，考查古典概型，正确理解频率分布直方图是解题基础，求出至少抽到1名女生所含有的基本事件的数量是解题关键．5．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1棱长为1，点P 在线段BD 1上，当∠APC 最大时，三棱锥P －ABC 的体积为A ．124B ．118 C ．19D ．112【答案】B【详解】连接AC 交BD 于O ，连接PO ，则∠APC=2∠APO ∵tan ∠APO=AOPO∴当PO 最小时，∠APO 最大，即PO ⊥BD 1时，∠APO 最大，如图，作PE ⊥BD 于E ，∵正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1棱长为1， ∴2BD 13 ∵OP ⊥BD 1，PE ⊥BD ， ∴△BDD 1∽△BPO ∽△PEO ， ∴11OP OB DD BD =，1PE OPBD BD = ∴6，PE=13，∴三棱锥P-ABC 的体积V=ABC 11PE 318S⨯⨯=，, 故选项为：B点睛：立体几何的核心思想：空间问题平面化.本题把问题转化到平面BDD 1中，当PO 最小时,即∠APO 最大，借助平面几何知识易得：6PE=13，从而得到了三棱锥P-ABC 的体积.6．已知3log 1a a ⋅=，31b b ⋅=，21c c ⋅=，则a b c ，，的大小关系为（） A ．a b c << B ．c a b << C ．b c a << D ．b a c <<【答案】C【分析】根据等式特征，构造函数，利用函数图象，结合数形结合思想进行判断即可.【详解】显然0,0,0a b c >>>， 331log 1log a a a a ⋅=⇒=，1313b b b b ⋅=⇒=，1212c cc c⋅=⇒=，构造函数()()31log (0),20,30,(0),x xy x x y x y x y x x=>=≥=≥=>在同一直角坐标系画出它们的图象，如下图所示：有b c a <<成立，故选：C7．函数()()2sin (0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象如图，把函数()f x 的图象上所有的点向右平移6π个单位长度，可得到函数()y g x =的图象，下列结论中： ①3πϕ=；②函数()g x 的最小正周期为π；③函数()g x 在区间,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；④函数()g x 关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭中心对称其中正确结论的个数是（）．A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】对①，先根据图象分析出ω的取值范围，然后根据()03f =ϕ的可取值，然后分类讨论ϕ的可取值是否成立，由此确定出,ωϕ的取值；对②，根据图象平移确定出()g x 的解析式，利用最小正周期的计算公式即可判断；对③，先求解出()g x 的单调递增区间，然后根据k 的取值确定出,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是否为单调递增区间；对④，根据3g π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是否为0,即可判断. 【详解】解：由图可知： 1112113124T T ππ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，11211129πππω∴<<，即18241111ω<<，又()02sin f ϕ==0ϕπ<<，由图可知：23ϕπ=，又11112sin 21212f ππωϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 112,122k k Z ππωϕπ∴+=+∈，且113,2122ππωπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 113,3122ππωϕπ⎛⎫⎛⎫∴+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1k =，当23ϕπ=时，1111126πωπ=，解得：2ω=，满足条件，()22sin 23f x x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭，故()22sin 22sin 2633g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对①，由上述可知①错误；对②，()2sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()g x ∴的最小正周期为2=2ππ，故②正确；对③，令222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，即5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令0k =，此时单调递增区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，且5,,3121212ππππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故③正确；对④，2sin 230333g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=-≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ,03π⎛⎫∴- ⎪⎝⎭不是对称中心，故④错误；故选：C.【点睛】方法点睛：已知函数()()sin g x A x ωϕ=+()0ω>，若求函数()g x 的单调递增区间，则令ππ2π2π22k x k ωϕ-<+<+，Z k ∈；若求函数()g x 的单调递减区间，则令π3π2π2π22k x k ωϕ+<+<+，Z k ∈；若求函数()g x 图象的对称轴，则令ππ2x k ωϕ+=+，Z k ∈；若求函数()g x 图象的对称中心或零点，则令πx k ωϕ+=，Z k ∈．8．如图，1F ，2F 是双曲线()222:103x y C a a -=>的左右焦点，过1F 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若点A 为1F B 的中点，且12F B F B ⊥，则12F F =（）．A ．4B ．43C ．6D ．9【答案】A【分析】结合已知条件得2//OA F B ，推出1260AOF AOB BOF ∠=∠=∠=︒，然后求出a ，即可求得12||F F ．【详解】因为点A 为2F B 的中点，所以2//OA F B ，又12F B F B ⊥，所以1OA F B ⊥，12||||||OF OF OB ==，所以1260AOF AOB BOF ∠=∠=∠=︒，3tan 603=︒=1a =，所以132c =+=．故12||24F F c ==．故选：A.9．已知偶函数(),()y f x x R =∈，满足(2)()f x f x +=-且[1,0]x ∈-时()||f x x =，则6()log (1)0f x x -+=的解的个数是（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】已知函数()f x 是周期为2的周期函数，在同一个坐标系中，画出函数()y f x =和()6log 1y x =+的图像，可以得出两个图像的交点的个数是5个. 【详解】由()y f x =为偶函数，得()(2)()f x f x f x +=-=，所以()f x 的周期为2，由6()log (1)0f x x -+=可得6()log (1)f x x =+，令()()6log 1g x x =+，即求6()log (1)0f x x -+=的解的个数转化为函数()y f x =与函数()y g x =的交点个数问题；在同一个坐标系中，画出函数()y f x =和()y g x =的图像，如图所示：观察图像可得两个函数共有5个交点. 故选：B.【点睛】本题主要考查了函数图像的交点个数，考查了数形结合思想．属于较易题. 二、填空题10．用()Re z 表示复数z 的实部，用()Im z 表示复数z 的虚部，若已知复数：满足()173z i i -=+，其中z 是复数z 的共轭复数，则()()Re Im z z +=______．【答案】3-【分析】根据复数除法运算求得z ，进而得到z ，实部加虚部即可得到结果.【详解】由题意得：()()()()73173410251112i i i iz i i i i ++++====+--+ 25z i ∴=- 则()()Re Im 253z z +=-=- 本题正确结果：3-【点睛】本题考查复数的除法运算、共轭复数的定义、复数的实部和虚部的定义，属于基础题.11．72x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为__________.【答案】280-【分析】写出72x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项，令x 的指数为1，求出参数的值，再代入通项即可得解.【详解】72x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为()77217722rr r r rr r T C x C x x --+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令721r -=，解得3r =.因此，72x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为()()3372358280C ⋅-=⨯-=-. 故答案为：280-.【点睛】本题考查利用二项式定理求展开式中指定项的系数，考查计算能力，属于基础题.12．据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0.055，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为0.19.现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为______. 【答案】67【分析】由对立设事件的概率分别得到连续熬夜48小时和连续熬夜72小时未诱发心脏病的概率，再利用条件概率公式求解.【详解】设事件A 为48h 发病，事件B 为72h 发病，由题意可知：()0.055P A =，()0.19P B =，则()0.945P A =，()0.81P B =，由条件概率公式可得：()()()()()0.8160.9457P AB P B P B A P A P A ====.故答案为：67【点睛】本题主要考查对立事件和条件概率的求法，属于基础题.13．正数a ，b 满足1a ＋9b＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是______．【答案】[6，＋∞)【分析】先利用基本不等式，求得a b +的最小值为16.再对题目所给的恒成立的不等式分离常数m ，求得含有x 的表达式的最小值，由此求得m 的取值范围.【详解】因为a >0，b >0，1a ＋9b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )·19a b ⎛⎫⎪⎝⎭＋＝10＋b a ＋9a b ≥10＋29＝16，由题意，得16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立．又x 2－4x －2＝(x －2)2－6，所以x 2－4x －2的最小值为－6，所以－6≥－m ，即m ≥6. 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求和式的最小值，考查不等式恒成立问题的解决策略——分离常数法.属于中档题.14．法国数学家布丰提出一种计算圆周率π的方法——随机投针法，受其启发，我们设计如下实验来估计π的值：先请200名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数的平方和小于1的数对(),x y 的个数m ；最后再根据统计数m 来估计π的值.已知某同学一次试验统计出156m =，则其试验估计π为______. 【答案】3.12【解析】横、纵坐标都小于1的正实数对(),x y 构成第一象限内的一个正方形, 两数的平方和小于1的数对(),x y 为单位圆在第一象限的部分.由几何概型概率的计算公式,及试验所得结果,即可估计π的值.【详解】横、纵坐标都小于1的正实数对(),x y 构成第一象限内的一个正方形, 两数的平方和小于1的数对(),x y 为单位圆在第一象限的部分.其关系如下图所示:则阴影部分与正方形面积的比值为1:14π由几何概型概率计算公式可知115642001π=解得15643.12200π⨯== 故答案为: 3.12【点睛】本题考查了几何概型概率的求法,根据题意得各部分的关系是解决问题的关键,属于基础题.15．已知向量a ，b 满足1a =，2b =，则a b a b ++-的最大值为______ 【答案】【分析】设a ，b 的夹角为θ，则a b a b ++-=y =平方后化简可求出其最大值，从而可求得a b a b ++-的最大值【详解】解：设a ，b 的夹角为θ（[0,]θπ∈），因为1a =，2b =，所以()()22a b a b a b a b ++-=++-222222a a b b a a b b +⋅++-⋅+令y =210y =+因为[0,]θπ∈，所以2cos [0,1]θ∈，所以当2cos 0θ=时，2y 有最大值102520+⨯=，即y 有最大值所以a b a b ++-的最大值为故答案为：三、解答题16．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且4B π=．（1）b =3a =，求sinA 的值；（2）若b =3ac +=，求ABC 的面积．【答案】（1；（21.【分析】（1）直接利用正弦定理即可求出sin A 的值；（2）根据5b =，3a c +=，4B π=，利用余弦定理求出ac ，即可求出ABC 的面积．【详解】解：（1）由正弦定理sin sin b a B A =得sin 310sin 10a B Ab ==. （2）由余弦定理2222cos b ac ac B =+-得2252a c ac =+-，所以25()(22)9(22)a c ac ac =+-+=-+，得422ac =-. 所以1sin 212ABC S ac B ==-. 17．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 中，ABD △为等边三角形，BCD △是等腰三角形，且顶角120BCD ∠=︒，PC BD ⊥，平面PBD ⊥平面ABCD ，M 为PA 中点.（1）求证：//DM 平面PBC ；（2）若PD PB ⊥，求二面角C PA B --的余弦值大小.【答案】（1）见解析；（221 【解析】（1）设AB 中点为N ，连接MN 、DN ，首先通过条件得出CB AB ⊥，加DN AB ⊥，可得//DN BC ，进而可得//DN 平面PBC ，再加上//MN 平面PBC ，可得平面//DMN 平面PBC ，则//DM 平面PBC ；（2）设BD 中点为O ，连接AO 、CO ，可得PO ⊥平面ABCD ，加上BD ⊥平面PCO ，则可如图建立直角坐标系O xyz -，求出平面PAB 的法向量和平面PAC 的法向量，利用向量法可得二面角的余弦值.【详解】（1）证明：设AB 中点为N ，连接MN 、DN ，ABD 为等边三角形，DN AB ∴⊥，DC CB =，120DCB ∠=︒，30CBD ∴∠=︒，603090ABC ∴∠=︒+︒=︒，即CB AB ⊥，DN AB ⊥，//DN BC ∴，BC ⊂平面PBC ，DN ⊄平面PBC ，//DN ∴平面PBC ，MN 为PAB △的中位线，//MN PB ∴，PB ⊂平面PBC ，MN ⊄平面PBC ，//MN ∴平面PBC ， MN 、DN 为平面DMN 内二相交直线，∴平面//DMN 平面PBC ，DM ⊂平面DMN ，//DM ∴平面PBC ；（2）设BD 中点为O ，连接AO 、COABD 为等边三角形，BCD △是等腰三角形，且顶角120BCD ∠=︒AO BD ∴⊥，CO BD ⊥，A ∴、C 、O 共线，PC BD ⊥，BD CO ⊥，PC CO C =，PC ，CO ⊂平面PCOBD ∴⊥平面PCO .PO ⊂平面PCOBD PO ∴⊥平面PBD ⊥平面ABCD ，交线为BD ，PO ⊂平面PBDPO ∴⊥平面ABCD .设2AB =，则3AO =在BCD △中，由余弦定理，得：2222cos BD BC CD BC CD BCD =+-⋅⋅∠又BC CD =，222222cos120BC BC ∴=-⋅︒， 233CB CD ∴==，33CO =， PD PB ⊥，O 为BD 中点，112PO BD ∴==，建立直角坐标系O xyz -（如图），则C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,1P ，)A，()0,1,0B . ()3,1,0BA ∴=-，()3,0,1PA =-，设平面PAB 的法向量为(),,n x y z =，则，000y n BA n PA z ⎧-=⋅=⇒⎨⋅=-=⎩，取1x =，则y z == (1,3,n ∴=，平面PAC 的法向量为()0,1,0OB =， 21cos ,7n OBn OB n OB ⋅==⋅ 二面角C PA B --为锐角，∴二面角C PA B --的余弦值大小为7. 【点睛】本题考查面面平行证明线面平行，考查向量法求二面角的大小，考查学生计算能力和空间想象能力，是中档题.18．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，以原点O 为圆心，短半轴长为半径的圆恰好经过椭圆C 的两焦点，且该圆截直线10x y +-=.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过定点()2,0P 的直线交椭圆C 于两点A 、B ，椭圆上的点M 满足OA OB OM +=，求直线AB 的方程.【答案】（1）2212x y +=；（2）)2y x =-.【分析】（1）由题意可知，b c =，再由圆222x y b +=截直线10x y +-=得=，可求出b ，从而求出2a 的值，可得到椭圆的标准方程；（2）设过点P 的直线为2x my =+，与椭圆方程联立成方程组，消元后得()222420m y my +++=，先使判别式大于零，求出m 的取值范围，再利用根与系数的关系得到12242m y y m +=-+，然后结合OA OB OM +=将点M 的坐标表示出来代入椭圆方程中可出m 的值，从而可得直线AB 的方程.【详解】（1）以原点为圆心，短半轴长为半径的圆的方程为222x y b +=.∵ 圆222x y b +=过椭圆C 的两焦点， ∴b c =，∵ 圆222x y b +=截直线10x y +-=∴1b =， ∴ 222222a b c b =+==.∴ 椭圆C 的标准方程为2212x y +=. （2）设过点P 的直线方程为2x my =+.A ，B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，联立方程22122x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222420m y my +++=，2281602m m ∆=->⇒>， ∴ 12242m y y m +=-+， ∵ OA OB OM +=，∴点()1212,M x x y y ++，∵ 点M 在椭圆C 上，∴有()()22121222x x y y +++=，即()()221212422m y y y y ++++=⎡⎤⎣⎦，∴ ()()()22121228140m y y m y y +++++=，即()2222442814022m m m m m m ⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，解得214m =，符合22m >，直线AB方程为)214y x =±-. （2）方法二：由题意知直线AB 的斜率存在，设过定点()2,0P 的直线为()2y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，则直线与y 轴交于点()0,2k -，因为OA OB OM +=，所以()1212,M x x y y ++，将直线()2y k x =-与椭圆2212x y +=联立并化简可得， ()2222218820k x k x k +-+-=，则()()()22228421820k k k ∆=--+->，解得k << 所以2122821k x x k +=+，21228221k x x k -=+，所以()121224421k y y k x x k +=+-=-+，因为点M 在椭圆上，所以()1212,M x x y y ++满足椭圆方程2212x y +=，将2122821k x x k +=+，122421k y y k +=-+代入得， ()()422222321612121k k k k +=++，化简得k ⎛= ⎝⎭，直线AB方程为)2y x =-. 【点睛】此题考查了求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查了运算能力，属于中档题.19．给定数列{c n }，如果存在常数p 、q 使得c n+1＝pc n +q 对任意n ∈N 都成立，则称{c n }为“M 类数列”．（1）若{a n }是公差为d 的等差数列，判断{a n }是否为“M 类数列”，并说明理由；（2）若{a n }是“M 类数列”且满足：a 1＝2，a n +a n+1＝3•2n ．①求a 2、a 3的值及{a n }的通项公式；②设数列{b n }满足：对任意的正整数n ，都有a 1b n +a 2b n ﹣1+a 3b n ﹣2+…+a n b 1＝3•2n+1﹣4n ﹣6，且集合M ＝{n|n nb a ≥λ，n ∈N}中有且仅有3个元素，试求实数λ的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）①234,8a a == ，2n n a =；②71,162λ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【分析】（1）通过a n+1＝a n +d 与c n+1＝pc n +q 比较可知p ＝1、q ＝d ，进而可得结论；（2）①通过a 1＝2、a n +a n+1＝3•2n 计算出a 2、a 3的值，进而利用数列{a n }是“M 类数列”代入计算可知数列{a n }是以首项、公比均为2的等比数列，计算可得结论；②通过①可知2b n +22b n ﹣1+23b n ﹣2+…+2n b 1＝3•2n+1﹣4n ﹣6，利用2b n ＝（2b n +22b n ﹣1+23b n ﹣2+…+2n b 1）﹣（22b n ﹣1+23b n ﹣2+…+2n b 1）计算可知b n ＝2n ﹣1，从而M ＝{n|212nn -≥λ，n ∈N}，分别计算出当n ＝1、2、3时λ的值，进而可得结论．【详解】（1）结论：公差为d 的等差数列是“M 类数列”．理由如下：∵数列{a n }是公差为d 的等差数列，∴a n+1＝a n +d ，此时p ＝1、q ＝d ，即公差为d 的等差数列是“M 类数列”；（2）①∵a 1＝2，a n +a n+1＝3•2n ，∴a 2＝3•2﹣a 1＝4，232328a a =⋅-=，又∵数列{a n }是“M 类数列”，∴2132a pa q a pa q=+⎧⎨=+⎩，即4284p q p q =+⎧⎨=+⎩，解得：p ＝2，q ＝0，即a n+1＝2a n ，又∵a 1＝2，∴数列{a n }是以首项、公比均为2的等比数列，∴数列{a n }的通项公式a n ＝2n ；②由①可知a 1b n +a 2b n ﹣1+a 3b n ﹣2+…+a n b 1＝3•2n+1﹣4n ﹣6，即2b n +22b n ﹣1+23b n ﹣2+…+2n b 1＝3•2n+1﹣4n ﹣6，∴2b n ﹣1+22b n ﹣2+23b n ﹣3+…+2n ﹣1b 1＝3•2n ﹣4（n ﹣1）﹣6＝3•2n ﹣4n ﹣2()2n ≥，∴22b n ﹣1+23b n ﹣2+…+2n b 1＝3•2n+1﹣8n ﹣4，∴2b n ＝（2b n +22b n ﹣1+23b n ﹣2+…+2n b 1）﹣（22b n ﹣1+23b n ﹣2+…+2n b 1）＝（3•2n+1﹣4n ﹣6）﹣（3•2n+1﹣8n ﹣4）＝4n ﹣2，即b n ＝2n ﹣1()2n ≥，当1n =时，11b =也符合上式，所以b n ＝2n ﹣1.∴集合M ＝{n|n n b a ≥λ，n ∈N}＝{n|212n n -≥λ，n ∈N}，当n ＝1时，λ≤21122-= ；当n ＝2时，λ≤2221324⨯-=；当n ＝3时，λ≤3231528⨯-= ；当n≥4时，λ≤42417216⨯-=；又∵集合M ＝{n|n n b a ≥λ，n ∈N}中有且仅有3个元素，∴71162λ<，故实数λ的取值范围是71,162⎛⎤ ⎥⎝⎦．【点睛】本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．20．已知函数()e 1e x xx f x a =--，其中0a >. （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）若函数()f x 有唯一零点，求a 的值.【答案】（1）10x y -+=；（2）a 的值为1.【分析】(1)求出函数的导数，得出曲线在点(0,(0))f 处的切线的斜率，再求出切点坐标，得出切线方程.(2) 问题等价于关于x 的方程1(1)e e x x x a =+有唯一的解时，求a 的值,令1()(1)e e x x x g x =+,求出函数()g x 的导数，得出函数()g x 的单调性，从而得出答案.【详解】（1）当2a =时，()2e 1ex x x f x =--，所以1()2e e x x x f 'x -=-，所以(0)211f '=-=；又(0)211f =-=，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y x -=，即10x y -+=.（2）问题等价于关于x 的方程1(1)e e x x x a =+有唯一的解时，求a 的值. 令1()(1)e e x x x g x =+，则212e ()e xxx g'x --=. 令()12e x h x x =--，则()2e 0x h'x =--<，∴()h x 在(,)-∞+∞上单调递减.又(0)0h =，∴当(,0)x ∈-∞时，()0h x >，()0g x '>，∴()g x 在(,0)-∞上单调递增.当(0,)x ∈+∞时，()0h x <，)'(0g x <，∴()g x 在(0,)+∞上单调递减，∴()g x 的极大值即最大值为(0)1g =.∴当(,0]x ∈-∞时，()(,1]g x ∈-∞；当(0,)x ∈+∞时，()(0,1)g x ∈.又0a >，∴当方程1(1)e e x xx a =+有唯一的解时，1a =. 综上，当函数()f x 有唯一零点时，a 的值为1.【点睛】本题考查求曲线的切线方程，利用导数讨论函数的零点问题，属于中档题.。

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