12-13学年上高二期末数学理模拟试题2

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甘肃省兰州市兰大附中2024学年高二上数学期末检测模拟试题含解析

所以命题 q 为真命题， q 为假命题，
所以 (p) q 为真命题， p q ， p (q) ， (p) (q) 为假命题.
故选：A. 4、B 【解题分析】求出圆心坐标和半径后，直接写出圆的标准方程.
【题目详解】由
x
x
1 y
2
得
x
y
1 1
，
即所求圆的圆心坐标为 (1,1) .
由该圆过点 (1, 0) ，得其半径为 1，
取得最小值，从而求得 Q 点的坐标.
【题目详解】设 OQ OP ，则 QA ＝ OA － OQ ＝ OA －λ OP ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，
QB ＝ OB － OQ ＝ OB －λ OP ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
所以
QA
QB
＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝
故有①②④三个
故选:C 7、C 【解题分析】将圆的一般方程化为标准方程，即可得答案.
【题目详解】由题可知，圆的标准方程为 (x 1)2 ( y 2)2 9 ，
所以圆心为 1, 2 ，半径为 3，
故选 C .
8、A
【解题分析】由题目条件可得 z 1 2i 4 3i 5 ，即 z 5 ，然后利用复数的运算法则化简.
②若点 P 到点 A 的距离为 2 ，则动点 P 的轨迹是一个周长为 2 的圆
③若点 P 到直线 AB 的距离与到点 C 的距离之和为 1，则动点 P 的轨迹是椭圆
④若点 P 到平面 BAA1B1 的距离与到直线 CD 的距离相等，则动点 P 的轨迹是抛物线
A.1
B.2
C.3
D.4
7．圆 x2 y2 2x 4 y 4 0 的圆心坐标与半径分别是（）

2023-2024学年辽宁省丹东市高二上学期期末数学质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年辽宁省丹东市高二上册期末数学模拟试题一、单选题1．抛物线28x y =的准线方程为（）A ．1y =-B ．=2y -C ．=1x -D ．2x =-【正确答案】B【分析】由抛物线定义即可求.【详解】由定义可知，抛物线28x y =的准线方程为422y =-=-.故选：B.2．学校组织社团活动，要求每名同学必须且只能参加一个社团，现仅剩的3个社团供4名同学选择，则不同的选择方法有（）A ．34A 种B ．34C 种C ．34种D ．43种【正确答案】D【分析】由分步计数乘法原理即可求解【详解】由题意可得，每名同学共有3种选择，故不同的选择方法有43种故选：D3．已知椭圆过点()0,2，焦点分别为()10,1-F ，()20,1F ，则椭圆的离心率为（）A ．12BC．2D【正确答案】A【分析】由题可得椭圆方程，后可得椭圆离心率.【详解】设椭圆方程为22221y x a b +=，右焦点为(),0c ，由题有.2222411aa b c ⎧=⎪⎨⎪-==⎩则2a =，故离心率为12c e a ==.故选：A4．已知空间向量()2,1,4a =-- ，()1,1,2b =- ，()7,5,c m =-- 若，a ，b，c 共面，则实数m 的值为（）A ．14-B ．6C ．10-D ．12【正确答案】A【分析】根据向量共面，建立方程组，解得答案.【详解】由a ，b ，c 共面，可设a xb yc =+ ，则271542x yx yx my -=-⎧⎪=--⎨⎪-=+⎩，由2715x y x y -=-⎧⎨=--⎩，解得1712112x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入第三个方程可得：174612m -=-+，解得14m =-.故选：A.5．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是1DD 的中点，则二面角11E B C C --的平面角的正切值为（）A ．1B ．5C ．2D．【正确答案】C【分析】由题可得1EC C ∠为二面角11E B C C --的平面角，后结合题目条件可得答案.【详解】如图，因几何体为正方体，则11B C ⊥面11C CDD ，1C C ⊂面11C CDD ，则111B C C C ⊥，又1C E ⊂平面11C CDD ，则111B C C E ⊥，故1EC C ∠即为二面角11E B C C --的平面角.过E 做直线1C C 垂线，交1C C 于F ，则F 为1C C 中点.故112tan EFEC F C F∠==.故选：C6．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦点到渐近线的距离等于a ，则双曲线C 的渐近线方程为（）A0y ±=B．0x =C ．0x y ±=Dy ±=【正确答案】C【分析】由点到直线距离公式可得a b ，间关系，据此可得答案.【详解】由题，双曲线的一条渐近线的方程为by x a =，右焦点为(),0c ，a b a =⇒=，故渐近线方程为0x y ±=.故选：C7．如图所示为某公园景观的一隅，是由ABCDE 五处区域构成，现为了美观要将五处区域用鲜花装饰，要求相邻区域种植不同色的鲜花，有4种颜色鲜花可供选用，则不同的装饰方案数为（）A ．216B ．144C ．128D ．96【正确答案】B【分析】依次确定区域B 、A 、D 、C 、E 的选法种数，结合分步乘法计数原理可得结果.【详解】区域B 有4种颜色鲜花可供选择，区域A 有3种颜色鲜花可供选择，区域D 有3种颜色鲜花可供选择，区域C 、E 各有2种颜色鲜花可供选择，由分步乘法计数原理可知，不同的装饰方案数为43322144⨯⨯⨯⨯=种.故选：B.8．已知圆22:16O x y +=与圆22:86160C x y x y ++++=交于A ，B 两点，则四边形OACB 的面积为（）A ．12B ．6C ．24D ．245【正确答案】A【分析】由两圆标准方程得圆心坐标和半径，由()4,0A -和()4,3C --可知OA AC ⊥，则四边形OACB 的面积1222OAC S S OA AC ==⨯⋅⋅ ，计算即可.【详解】圆22:16O x y +=，圆心坐标为()0,0O ，半径14r =，圆22:86160C x y x y ++++=化成标准方程为()()22439x y +++=，圆心坐标为()4,3C --，半径23r =，圆O 与圆C 都过点()4,0-，则()4,0A -，如图所示，又()4,3C --，∴OA AC ⊥，由对称性可知，OB BC ⊥，4OA OB ==，3AC BC ==，则四边形OACB 的面积12243122OAC S S OA AC ==⨯⋅⋅=⨯= .故选：A 二、多选题9．20件产品中有18件合格品，2件次品，从这20件产品中任意抽取3件，则抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法表述正确的是（）A ．12219C C ⋅B ．1221218218C C C C ⋅+⋅C ．332018C C -D ．1221219218C C C C ⋅-⋅【正确答案】BCD【分析】直接法：抽出的3件产品中至少有1件次品有两种可能：恰有1件次品和恰有2件次品，运即可算求解；间接法：法一：20件产品中任意抽取3件的抽法减去没有次品（全为合格品）的抽法；法二：先抽取1件次品，再从剩余的19件中任取2件，减去重复一次的情况（2个次品）.【详解】直接法：抽出的3件产品中至少有1件次品有如下可能：抽出的3件产品中恰有1件次品的抽法12219C C ⋅；抽出的3件产品中恰有2件次品的抽法21218C C ⋅；故抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法为1221218218C C C C ⋅+⋅，A 错误，B 正确；间接法：法一：这20件产品中任意抽取3件的抽法为320C ，抽出的3件产品中没有次品（全为合格品）的抽法为318C ，故抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法为332018C C -，C 正确；法二：先抽取1件次品，再从剩余的19件中任取2件，抽法为12219C C ⋅，但2个次品的情况重复一次，抽出2个次品的抽法为21218C C ⋅，故抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法为1221219218C C C C ⋅-⋅，D 正确；故选：BCD.10．若2022220220122022(1)x a a x a x a x -=++++ ，则（）A ．01a =B ．12022a =C ．1220221a a a +++=- D ．012320221a a a a a -+-++= 【正确答案】AC【分析】对ACD ，由赋值法可判断；对B ，由二项式展开项通项公式可求.【详解】对A ，令0x =得01a =，A 对；对B ，由二项式展开项通项公式可得第2项为()1120212202211C 120222022T x x a x a =-=-=⇒=-，B 错对C ，令1x =得0122022122022001a a a a a a a a +++=++=-+⇒=-+，C 对；对D ，令=1x -得0123220222022a a a a a -+-++=，D 错.故选：AC.11．已知直线:2410l kx y k --+=，则下列表述正确的是（）A ．当2k =时，直线的倾斜角为45B ．当实数k 变化时，直线l 恒过点14,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．当直线l 与直线240x y +-=平行时，则两条直线的距离为1D ．直线l 与两坐标轴正半轴围成的三角形面积的最小值为4【正确答案】ABD【分析】A 选项，可求出直线斜率，即可判断选项正误；B 选项，将直线方程整理为()4120k x y -+-=，由此可得直线所过定点；C 选项，由题可得1k =-，后由平行直线距离公式可判断选项；D 选项，分别令0x y =，，可得直线与y 轴，x 轴交点为1402,k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，140,k ⎛⎫- ⎪⎝⎭.则围成三角形面积为1141422k k ⎛⎫-⋅⋅- ⎪⎝⎭，后由基本不等式可判断选项.【详解】A 选项，当2k =时，直线方程为2270x y --=，可得直线斜率为1，则倾斜角为45 ，故A 正确；B 选项，由题可得()4120k x y -+-=，则直线过定点14,2⎛⎫⎪⎝⎭，故B 正确；C 选项，因直线l 与直线240x y +-=平行，则221828k k k =-⎧⇒=-⎨-+≠⎩，则直线方程为：250x y --+=，即250x y +-=.则l 与直线240x y +-=之间的距离为5=，故C 错误；D 选项，分别令0x y =，，可得直线与y 轴，x 轴交点为1402,k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，140,k ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又交点在两坐标轴正半轴，则14020140kk k-⎧>⎪⎪⇒<⎨⎪->⎪⎩.故围成三角形面积为()1141142424224k k k k ⎛⎫-⋅⋅-=+-+≥+= ⎪-⎝⎭，当且仅当144k k-=-，即14k =-时取等号.即面积最小值为4，故D 正确.故选：ABD.12．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是AB ，BC 边上的动点，且满足BE BA λ=，[]0,1λ∈，BF BC μ=，[]0,1μ∈．则（）A ．当1λμ==时，正方体各棱与平面1D EF 夹角相等B ．当12λ=时，存在μ使得直线1B D 与平面1D EF 垂直C ．当12μ=时，满足12ED EF =的点E 有且只有两个D ．当12λμ==时，异面直线EF 与1B D 的距离为2【正确答案】AD【分析】建立空间直角坐标系，利用向量解决夹角、距离、平行等问题.【详解】以D 为原点，1,,DA DC DD的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有()0,0,0D ，()10,0,2D ，()12,2,2B ，()2,0,0A ，()0,2,0C ，当1λμ==时，()2,0,0E ，()0,2,0F ,()12,0,2D E =- ，()10,2,2D F =-，设平面1D EF 的一个法向量为(),,n x y z =r ，则11220220n D E x z n D F y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1z =，则()1,1,1n = ，()10,0,2DD = ，()2,0,0DA = ，()0,2,0DC = ，故1113cos ,23DD n DD n DD n ⋅==⨯⋅，同理3cos ,cos ,3DA n DC n == 由此可得正方体各棱与平面1D EF 夹角相等，A 正确；当12λ=时，()2,1,0E ，()12,1,2D E =- ，()12,2,2B D =--- ，则114240B D D E ⋅=--+≠ ，即1D E 与1B D不垂直，所以直线1B D 与平面1D EF 不垂直，B 错误；当12μ=时，()1,2,0F ，设()()2,,002E b b ≤≤，由12ED EF =()2222222212b b ++=+-，化简得2316120b b -+=，21643120∆=-⨯⨯>，121643b b +=>，所以这样点E 不可能有两个，C 错误；当12λμ==时，()2,1,0E ，()1,2,0F ，EF 的中点为33,,022G ⎛⎫⎪⎝⎭，1DB 的中点为()1,1,1H ，11,,122HG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1,1,0EF =-，()12,2,2DB = ，则11022HG EF ⋅=-+= ，11120HG DB ⋅=+-= ，所以HG 是异面直线EF 与1B D 的公垂线段，且()2221161222HG ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以异面直线EF 与1B D 的距离为62，D 正确.故选：AD三、填空题13．已知异面直线AB 和CD 的方向向量分别为()1,1,1AB = ，()2,0,4CD =-则异面直线AB 和CD 所成角的余弦值为______．【正确答案】15【分析】根据异面直线夹角求余弦值的坐标公式，可得答案.【详解】设异面直线AB 和CD 所成角为θ，则cos 15AB CD AB CD θ⋅===⋅ .故答案为.1514．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在1261年中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晩近四百年．如图所示的杨辉三角中，从第2行开始，每一行除1外，其他每一个数字都是其上一行的左右两个数字之和，若在杨辉三角中存在某一行，满足该行中有三个相邻的数字之比为3:5:5，则这一行是第______行．【正确答案】7【分析】设这一行为第()21n n *+∈N 行，且这三个数分别为121C n n -+、21C nn +、121C n n ++，利用组合数公式可得出关于n 的等式，解出n 的值，即可得解.【详解】由题意可知，这一行为第()21n n *+∈N 行，且这三个数分别为121C n n -+、21C nn +、121C n n ++，由题意可得()()()()()1212121!!1!C 3C 1!2!21!25n n n n n n n n n n n n -+++⋅+=⋅==-⋅+++，解得3n =，因此，这一行是第2317⨯+=行.故答案为.715．平行六面体1111ABCD A B C D -的底面是菱形，2AB =，14AA =，1160A AB A AD ∠=∠=︒，线段1AC的长度为cos DAB ∠=______．【正确答案】12##0.5【分析】利用空间向量基本定理得到11AC AB AD AA =++，平方后，利用数量积公式列出方程，求出cos DAB ∠.【详解】因为11AC AB AD AA =++，所以()2222211111222AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++=+++⋅+⋅+⋅因为2AB AD ==，14AA =，1160A AB A AD ∠=∠=︒，1211AC =，所以444168cos 16cos 16co 0s 6064BAD +++∠++︒︒=，解得.1cos 2BAD ∠=故12四、双空题16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，直线l 与C 在第一象限交于A ，B 两点，直线l 与x 轴和y 轴分别交于M ，N 两点，且MA NB =，点E 为AB 的中点，直线OE 倾斜角的正切值为22，3OE =，则直线l 的方程为______；椭圆C 的离心率为______．【正确答案】2232y =+22【分析】利用几何知识求出直线l 的斜率，利用中点E 坐标求出点M 坐标，即可得出直线l 的方程.设出点,A B 坐标，利用点差法，即可得出椭圆C 的离心率.【详解】由题意，在2222:1(0)x y C a b a b+=>>中，MA NB =，BA BE =，由几何知识得，直线l 与直线OE 关于点E 所在x 轴对称，∵直线OE 22，3OE =∴直线l 的斜率为22-，设(),E E E x y ，则32E E Ey y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩E E x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴E，(0,M∴:2l y =-+设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，122E x x x +==，122E y y y +==∴22221212220x x y y a b --+=，∴()()()()2121221212y y y y b x x x x a +-=-+-，∴22122b a ⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，∴222a b =，即a =，∴c b ===，∴离心率.2c e a ==故2y =-+2.五、解答题17．已知圆C 的圆心在直线260x y +-=上，且与直线y x =相切于原点．(1)求原点()0,0关于直线260x y +-=对称点的坐标；(2)求圆C 的方程．【正确答案】(1)2412 ,55⎛⎫⎪⎝⎭(2)22(6)(6)72x y -++=【分析】（1）若两点关于直线对称，则两点连线中点在直线上，且两点连线与直线垂直，据此可得答案；（2）因圆C 与直线y x =相切于原点，则圆C 过原点，且圆心在直线y x =-上，又圆心在直线260x y +-=上，可求得圆心坐标与圆的半径.【详解】（1）设原点()0,0关于直线260x y +-=对称点坐标为()00,x y ，则两个点的中点坐标为00,22x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭.∵中点在直线260x y +-=上，得到：002120x y +-=①.又过两个对称点的直线与已知直线垂直，∴021y x -⨯=-，得002y x =②.联立①②解得对称点坐标为2412,55⎛⎫⎪⎝⎭；（2）过原点且与直线y x =垂直的直线方程为y x =-，由题圆心在y x =-上.又圆心在直线260x y +-=上，联立直线：62606y x y x y x =-=-⎧⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩，即圆心为()6,6-.由题原点在圆C上，则半径r =.22(6)(6)72x y -++=18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AC BC CC ===．(1)求点1B 到平面1ABC 的距离；(2)若点M 是棱BC 的中点，求直线1B M 与平面1ABC 所成角的正弦值．【正确答案】(2)5【分析】如图，建立以C 为原点的空间直角坐标系.（1）求出平面1ABC 的法向量n，设点1B 到面1ABC 的距离为d ，则1n BB d n ⋅= ；（2）设直线1B M 与平面1ABC 成角正弦值为sin θ，则111sin cos ,n B M n B M n B M θ⋅==∣.【详解】（1）因为直三棱柱111ABC A B C -底面三角形ABC 满足：AC BC ⊥，且12AC BC CC ===，则以C 为坐标原点，CA的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -.则B （0，2，0），A （2，0，0），C （0，0，2），1B （0，2，2），()0,1,0M ，()2,2,0AB =- ，()12,0,2C A =- .设面1ABC 的法向量为(),,n x y z =r，则1220220n AB x y n C A x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取()1,1,1n = .又()10,0,2BB = ，设点1B 到面1ABC 的距离为d，则13n BB d n ⋅==.（2）由题可得()10,1,2B M =--，设1B M 与面1ABC 的夹角为θ，则111sin cos ,∣n B M n B M n B M ⋅==θ19．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为y =，且经过点(A ．(1)求C 的方程；(2)O 为坐标原点，过双曲线C 上一动点M （M 在第一象限）分别作C 的两条渐近线的平行线为1l ，2l 且1l ，2l 与x 轴分别交于P ，Q ，求证：OP OQ ⋅为定值．【正确答案】(1)22139x y -=(2)证明见解析【分析】（1）根据双曲线渐近线方程以及已知点，联立方程，可得答案；（2）由题意，设出动点，利用点斜式方程，结合直线位置关系，写出直线12,l l 的直线方程，求出,Q P 的坐标，整理OP OQ ⋅的表达式，利用整体思想，可得答案.【详解】（1）∵渐近线为y =，则b a =b =，∴222213x y a a-=，A 在双曲线C 上，得224313a a -=解得23a =，∴曲线C 的标准方程为22139x y -=.（2）设点M 坐标为()00,x y则)100:l y y x x -=-，得P ⎛⎫⎪⎪⎭，则OP =同理：)200:l y y x x -=-，得Q ⎫⎪⎪⎭，则OQ =则220033x y OP OQ -⋅=又∵点M 在曲线C 上，∴2200 139x y -=，∴220039x y -=则2200333x y OP OQ -⋅==，∴得证OP OQ ⋅为定值3．20．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 的动直线与C 交于A ，B 两点．(1)若直线AB 的倾斜角为45 ，求弦AB 的长度；(2)设A ，B 两点到x 轴的距离分别为1d ，2d ，求12d d +的最小值．【正确答案】(1)8(2)4【分析】（1）先利用点斜式得到直线方程，接着与抛物线进行联立可得121244y y y y +=⎧⎨=-⎩，然后用弦长公式即可求解；（2）设直线AB 的方程为1x my =+，与抛物线联立可得343444y y my y +=⎧⎨=-⎩，所以12344d d y y ⋅==，然后用基本不等式进行求解即可【详解】（1）由抛物线2:4C y x =可得焦点()1,0F ，当直线倾斜角为45 时，直线AB 的方程为1y x =-，联立214y x y x =-⎧⎨=⎩化简得：2440y y --=，经验证Δ0>成立，设()11,A x y ，()22,B x y ，此时121244y y y y +=⎧⎨=-⎩，∴128AB y y =-=（2）由题可知，直线AB 的斜率不为0，又焦点()1,0F ，所以设直线AB 的方程为1x my =+，联立214x my y x =+⎧⎨=⎩化简得：2440y my --=，经验证Δ0>成立，设()33,A x y ，()44,B x y ，此时343444y y my y +=⎧⎨=-⎩，由题可得：13d y =，24d y =，则12344d d y y ⋅==，又12d d +≥124d d +≥，当且仅当122d d ==，直线AB 与x 轴垂直，即弦AB 为通径时等号成立，所以12d d +的最小值是4．21．如图，PO 是三棱锥-P ABC 的高，PA PB =，AB AC⊥，E 是PB 上的动点．(1)若OE ∥平面PAC ，请确定点E 的位置，并说明理由；(2)若30ABO CBO ∠∠== ，4BO =，当E 是PB 中点，且二面角P AB C --的正切值为32时．求二面角C AE B --的正弦值．【正确答案】(1)E 是BP 中点，理由见解析(2)1113【分析】（1）通过证明POA POB ≅△△，得到OA OB =，再通过线面平行的性质，即可确定点E 的位置.（2）建立空间直角坐标系，求出各点坐标，求出平面AEB 和面AEC 的法向量，即可求出二面角C AE B --的正弦值.【详解】（1）由题意，E 是BP 中点，理由如下：延长BO 交AC 于点D ，连接PD 、OA ，取AB 中点M ，连接OM .∵PO ⊥面ABC ，∴90∠=∠= POA POB .又∵PA PB =，∴POA POB ≅△△，∴OA OB =.∵M 是AB 中点，∴OM AB ⊥.∵AC AB ⊥，∴OM AC ∥，∴O 是BD 中点.又∵OE ⊂面BPD ，面BPD 面PAC PD =，若OE ∥面PAC ，则由线面平行性质定理得OE PD ∥.∵O 是BD 中点，∴E 是BP 中点.（2）由题意，以A 为坐标原点，AB的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，由（1），可知z 轴在平面AOP 内．∵4BO =，30OBA OBC ∠∠== ，∴28BD OA ==，∴4=AD ，AB =12AC =，∴()2,0O ，()B ，()0,12,0C ，由（1），可得PO ⊥平面ABC ，OM AB ⊥，∴PM AB ⊥，∴PMO ∠为二面角P AB C --的平面角，∴3tan 2PO PMO OM ∠==.又2OM =，∴3PO =，∴()2,3P .∵E 是PB中点，∴32E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴32AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,0AB =，()0,12,0AC = .设平面AEB 的法向量为(),,n x y z =r，则3020n AE y z n AB ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩，取()0,3,2n =- ．设平面AEC 的法向量为(),,m a b c=，则302120m AE b c m AC b ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩，取)6m =- ．设二面角C AE B --的平面角为θ，则sin θ==1113=.22．已知动点P 到点()1,0F 的距离与到直线:4l x =的距离之比为12，记点P 的轨迹为曲线E ．(1)求曲线E 的方程；(2)曲线E 与x 轴正半轴交于点M ，过F 的直线交曲线E 于A ，B 两点（异于点M ），连接AM ，BM 并延长分别交l 于D ，C ，试问：以CD 为直径的圆是否恒过定点，若是，求出定点，若不是，说明理由．【正确答案】(1)22:143x y E +=(2)圆恒过定点()1,0和()7,0【分析】（1）设动点(),P x y12=，化简后可得E 方程；（2）由（1）设:1AB l x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，可得1124,2y D x ⎛⎫⎪-⎝⎭，2224,2y C x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，后设以CD 为直径的圆上一点为Q ，由0QC QD ⋅= 可得圆方程，即可得圆所过定点.【详解】（1）设动点(),P x y12=，化简得22:143x y E +=；（2）设:1AB l x my =+，与22143x y +=联立可得：()2234690m y my ++-=，由题Δ0>.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+.又由（1）可得()2,0M ，则()11:22AM y l y x x =--，令4x =，得1124,2y D x ⎛⎫⎪-⎝⎭.同理可得2224,2y C x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭.令以CD 为直径的圆上动点为(),Q x y ，则0QC QD ⋅=.又2121224422,，,y y QC x y QB x y x x ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ，则()()2212121212224(4)02222y y y y x y y x x x x ⎛⎫-+-++= ⎪----⎝⎭.注意到()()()()()212121212242211134xx my my m y y m y y m --=--=-++=+，()()()1221121222422224234my x y x my y y y m --+-=-+=+.则可得()()2222243640469044m x y y x y my ---+-+=⇒-++-=.因所过定点与参数m 无关，则0y =，则()24901x x --=⇒=或7x =.故圆恒过定点()1,0和()7,0.关键点点睛：本题涉及求轨迹方程，及探究圆是否过定点.对于直线或圆过定点问题，都是先求得直线或圆的表达式，后令含参数的项为0，即可求得所过定点.。

12—13学年高二选修2-2模拟训练题及答案新(数学理)

12—13学年高二选修2-2模拟训练数学（理科） 2013.3.22（本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟）温馨提醒：细心是成功的基础，慎密是成功的阶梯！第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知i 是虚数单位，则复数21-i=（） B A ．1i - B ．1i + C ．1i -+D ．i2．曲线123+-=x x y 在点()0,1处的切线方程是（） AA ．1-=x yB ．1+-=x yC ．22-=x yD ．22+-=x y 3．右图是今年元宵节花灯展中的一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是（） A4．下列推理是归纳推理的是（） BA ．A ，B 为定点，P 满足||PA|-|PB||=2a ＜|AB|（a ＞0），则动点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线B ．由a 1=2，a n =3n-1求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列{a n }的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2+y 2=r 2的面积S=πr 2，猜想出椭圆 12222=+by a x 的面积S=πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇 5．证明不等式211---=-+a a a a （a≥2）所用的最适合的方法是（） BA ．综合法B ．分析法C ．间接证法D ．合情推理法6．已知函数)(x f y =，其导函数)(x f y '=的图象如图所示，则)(x f y =满足（）C A ．在（-∞，0）上为减函数 B ．在=x 0处取极小值C ．在（4，+∞）上为减函数D ．在=x 2处取极大值7．已知i 是虚数单位，复数21ii-+在复平面上的对应点在（） D A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．若函数x e x f x cos )(=，则此函数图象在点))1(,1(f 处的切线的倾斜角为（） D A ．0 B ．锐角 C ．直角 D ．钝角9．设曲线y=11x x +-在点（3，2）处的切线与直线ax+y+3=0垂直，则a=（） B A ．2 B ．-2 C ．12 D ．-1210．已知函数332y x x c =-+的图像与x 轴恰有两个公共点，则c 的值为（） CA.2或2-B. 3-或1C. 1或1-D. 3或9- 11．函数f （x ）=1n x －212x 的图像大致是（）B12. 下列四个命题中，正确的是（） BA .函数y=42+x x在区间[1,3]上是增函数； B .已知函数0()sin af a xdx =⎰，则1)2(=πfC .函数y= sin x （x ∈],[ππ-）图像与x 轴围成的图形的面积是S= ⎰-ππxdx sin ；D . 复数i215+的共轭复数的虚部是1A B CD第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把填空题答案写在第II 卷上）13．221x dx ⎰= ;7314．已知i 是虚数单位，若z （i+1）=i ，则|z|等于 .2215. 若点P 是曲线x x y -=2上任意一点，则点P 到直线3-=x y 的距离的最小值是 . 15. 216．根据下面一组等式S 1=1 S 2=2+3=5S 3=4+5+6=1 5 S 4=7+8+9+1 0=34S 5=1 1+1 2+1 3+1 4+1 5=65 S 6=1 6+1 7+1 8+1 9+20+2 1=1 1 1 S 7=22+23+24+25+26+27+28=1 75 … … … … … … … …可得S 1+S 3+S 5+……+S 2n-1= . 4n三、解答题（本大题共6小题，共76分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）已知i 是虚数单位，复数z=ii+2-3. （1）复数z 在复平面内对应的点在第几象限；（2）若z 2+ai+b=1+i ，求实数a ，b 的值．18.（本小题满分12分）已知函数32()2f x x bx cx =-+的导函数的图象关于直线2x =对称.（1）求b 的值；（2）若函数()f x 无极值，求实数c 的取值范围.19.（本小题满分12分）设函数()sin x f x e x =.（1）求函数()f x 单调递增区间；（2）当x ∈[0，π]时，求函数f （x ）的最大值和最小值．20．（本小题满分12分）已知1)2(),()(=≠+=f a x xa axx f 且. （1）求a 的值；（2）若数列}{n a 中，),(),(,1*11N n a f a a n n ∈==+计算,,,432a a a 并由此猜想通项公式;n a （3）证明（2）中的猜想.21.（本小题满分13分）已知函数()ln(1)(x f x e a a =++为常数）是实数集R 上的奇函数．（1）求实数a 的值；（2）若函数()()sin g x f x x λ=+在区间[]1,1-上是减函数，求实数λ的最大值；（3）若关于x 的方程2ln 2()xx ex m f x =-+有且只有一个实数根，求m 的值．22. （本小题满分13分）已知函数f （x ）=()xex x a 12--（x ∈R ），a 为正实数. （1）求函数f （x ）的单调区间；（2）若对[]40,21，∈∀x x ，不等式()()21x f x f -＜1恒成立，求正实数a 的取值范围.12—13学年高二选修2-2模拟训练数学（理科）答案一、选择题：1-5 ADABA 6-10 ACDCA 11-12 BB二、填空题：13. 5 14. 2 15.5916． a 1＋a 2＋…＋a n ≤n 三、解答题：17.18．解：（1）由已知得2()322f x x bx c '=-+， ………………2分.32)3(3)(22bc b x x f -+-='∴ ………………4分函数)(x f '的图象关于直线2x =对称， .6,23==∴b b解得 ………………6分（2）由（1）知，32()62,f x x x cx =-+ ………………7分∴22()31223(2)212f x x x c x c '=-+=-+-. ………………10分故当6,()0,()c f x f x '≥≥时此时无极值. ………………12分 19. 20.21．解：（1）()ln(1)x f x e a =++是实数集R 上奇函数，(0)0f ∴=，即0ln(1)0211e a a a ++=⇒+=⇒=- ……2分．将1a =-带入()ln x f x e x ==，显然为奇函数． ……4分（2）由（Ⅰ）知()()sin sin g x f x x x x λλ=+=+，[]'()cos ,1,1g x x x λ∴=+∈-∴要使()g x 是区间[]1,1-上的减函数，则有'()0g x ≤在[]1,1x ∈-恒成立， min (cos )x λ∴≤-，所以1λ≤-． ……6分所以实数λ的最大值为1- ………7分（3）由（Ⅰ）知方程2ln 2()xx ex m f x =-+，即2ln 2x x ex m x =-+，………8分令212ln (),()2xf x f x x ex m x==-+121ln '()xf x x -=当(]0,x e ∈时，11'()0,()f x f x ≥∴在(]0,e 上为增函数；当[,)x e ∈+∞时，11'()0,()f x f x ≤∴在[,)e +∞上为减函数；当x e =时，1max 1()f x e=． ………………10分而2222()2()f x x ex m x e m e =-+=-+-当(]0,x e ∈时2()f x 是减函数，当[,)x e ∈+∞时，2()f x 是增函数， ∴当x e =时，22min ()f x m e =-． ………………11分只有当21m e e -=，即21m e e=+时，方程有且仅有一个实数根．…………12分 22.解：（1）因为f （x ）=()xe x x a 12--，所以()x f '=()xe x ax 3--. ...........................................................................3分令()x f '＞0，得0＜x ＜3，令()x f '＜0，得x ＜0，或x ＞3. .................5分所以f （x ）的单调增区间为[0，3]（注意：写成开区间（0，3）也行），单调减区间为（－∞，0）和（3，+∞）..........................................6分（2）由（1）知f （x ）在[0，3]上为增函数，在[3，4]上为减函数，所以f （x ）在[0，4]上的最大值是f （3）=35e a. ......................................8分又因为f （0）=－a ＜0，f （4）=11a 4-e ＞0,所以f （0）＜f （4），所以f （x ）在[0，4]上的最小值为f （0）=－a . .......................................10分所以，若对[]40,21，∈∀x x ，不等式()()21x f x f -＜1恒成立，当且仅当1)()(min max <-x f x f ，即()()03f f -＜1. .......................................11分即35e a +a ＜1，解得：a ＜335e e +. .......................................12分又因为a ＞0，所以0＜a ＜335e e +. .......................................13分故实数a 的取值范围为)5,0(33e e +. .................................................................14分。

2022-2023学年四川省安岳县周礼中学高二年级上册学期期末测数学(理)试题【含答案】

2022-2023学年四川省安岳县周礼中学高二上学期期末测数学（理）试题一、单选题1．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．23B ．46+C ．43+D ．23+【答案】B【分析】由三视图判断该几何体是有三条棱两两垂直是三棱锥，结合三视图的数据可得结果.【详解】由三视图可得该几何体是如图所示的三棱锥-P ABC ，其中AB ，BC ，BP 两两垂直，且1,2AB BC BP ===，则ABC ∆和ABP ∆的面积都是1，PBC ∆的面积为2，在PAC ∆中，2,5PC AC AP === 则PAC ∆的面积为122362⨯所以该几何体的表面积为46 故选：B.【点睛】三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.2．已知圆221:1C x y +=和222:540C x y x +-+=，则两圆的位置关系是（）A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离【答案】C【分析】根据题意，由圆的方程求出两个圆的圆心和半径，求出圆心距，由圆与圆的位置关系分析可得答案.【详解】由题意，知圆1C 的圆心1(0,0)C ，半径1r =.圆2C 的方程可化为225924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则其圆心25,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径32R =.因为两圆的圆心距12531+22C C R r ===+，故两圆外切. 故选：C.3．用斜二测画法画水平放置的ABC 的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A B C '''.已知点O '是斜边B C ''的中点，且1A O，则ABC 的边BC 边上的高为（）A ．1B ．2C 2D ．22【答案】D【分析】在直观图中A C ''∥y '轴，可知原图形中AC ∥y 轴，故AC BC ⊥,12C CA A ,求直观图中A C ''的长即可求解.【详解】∵直观图是等腰直角三角形A B C '''，90,1B A C A O，∴2A C，根据直观图中平行于y 轴的长度变为原来的一半, ∴△ABC 的边BC 上的高222ACA C.故选D.【点睛】本题主要考查了斜二测直观图的画法，属于中档题.4．已知方程221221x y k k +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是（）A ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,+∞C ．()1,2D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据已知条件可得出关于实数k 的不等式组，由此可解得实数k 的取值范围.【详解】因为方程221221x y k k +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则221210k k k ->-⎧⎨->⎩，解得112k <<.故选：D.5．如图，某圆锥SO 的轴截面SAC 是等边三角形，点B 是底面圆周上的一点，且60BOC ∠=︒，点M是SA 的中点，则异面直线AB 与CM 所成角的余弦值是（）A ．13B ．74C ．34D ．32【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，分别得到,AB CM ，然后根据空间向量夹角公式计算即可. 【详解】以过点O 且垂直于平面SAC 的直线为x 轴，直线OC ，OS 分别为y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设2OC =，则根据题意可得()0,2,0A -，)3,1,0B ，()0,2,0C ，(0,3M -，所以()3,3,0AB =，(0,3CM =-，设异面直线AB 与CM 所成角为θ，则()3033033cos cos ,43993AB CM θ⨯+⨯-+⨯===+⋅+. 故选：C .6．鳖臑（biē nào ）是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．已知三棱锥A -BCD 是一个鳖臑，其中AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，BC ⊥CD ，且AB ＝6，BC ＝3，DC ＝2，则三棱锥A -BCD 的外接球的体积是（） A ．493πB ．3432πC ．49πD ．3436π【答案】D【解析】将三棱锥A -BCD 可放在长方体中确定直径AD ，计算即得结果. 【详解】依题意，三棱锥A -BCD 可放在长方体中，如图所示易得三棱锥A-BCD的外接球的直径为AD，则2226327AD=++=，故三棱锥A-BCD的外接球的半径72R=，所以347343326A BCDVππ-⎛⎫==⎪⎝⎭．故选：D.【点睛】求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.7．如图，已知圆柱底面圆的半径为2π，高为2，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线.若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点则小虫爬行路线的最短长度是（）.A．2B．2C．3D．33【答案】B【分析】展开圆柱侧面，根据两点间直线距离最短求得正确结论.【详解】展开圆柱的侧面如图所示，由图可知小虫爬行路线的最短长度是222222 ACππ⎛⎫=⨯+⎪⎝⎭故选：B8．若直线:20l kx y --=与曲线2:1(1)1C y x --=-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（） A ．4,23⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．4,43⎛⎫⎪⎝⎭C ．442,,233⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】确定曲线C 是半圆（右半圆），直线l 过定点(0,2)P -，求出直线l 过点(1,0)A 时的斜率，再求得直线l 与半圆相切时的斜率，由图形可得k 的范围．【详解】直线:20l kx y --=恒过定点(0,2)P -，曲线2 :1(1)1C y x --=-表示以点(1,1)C 为圆心，半径为1，且位于直线1x =右侧的半圆（包括点(1,2)，(1,0)．如图，作出半圆C ，当直线 l 经过点(1,0)A 时， l 与曲线C 有两个不同的交点，此时2k =，直线记为1l ；当l 与半圆相切时，由2|3|11k k -=+，得43k =，切线记为2l ．由图形可知当423k <≤时，l 与曲线C 有两个不同的交点，故选：A ．9．若双曲线()222:104y x C a a -=>的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为165，则双曲线C的离心率为（） A 13B 17C ．53D 39【分析】首先确定双曲线渐近线方程，结合圆的方程可确定两渐近线截圆所得弦长相等；利用垂径定理可构造方程求得a 的值，进而根据离心率e 可求得结果. 【详解】由双曲线方程得：渐近线方程为2ay x =±；由圆的方程知：圆心为()2,0，半径2r =；2a y x =与2ay x =-图象关于x 轴对称，圆的图象关于x 轴对称，∴两条渐近线截圆所得弦长相等，不妨取2ay x =，即20ax y -=，则圆心到直线距离d =∴弦长为165=，解得：32a =，∴双曲线离心率53e =. 故选：C.10．已知抛物线C ：2y x =的焦点为F ,00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x =（） A ．1 B ．2C ．4D ．8【答案】A 【分析】解方程001544x x +=即得解. 【详解】解：由题得抛物线的准线方程为14x =-，则有014AF x =+，即有001544x x +=，解得01x =．故选：A11．设l 是直线，α，β是两个不同的平面（） A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若//l α，l β⊥，则αβ⊥ C ．若αβ⊥，l α⊥，则l β⊥ D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥【答案】B【分析】结合空间中直线、平面的位置关系可逐一判断选项中空间中直线、平面的位置关系是否正确.【详解】若//l α，//l β，则α，β可能平行也可能相交，故A 错误；//l α，l β⊥，则存在m α⊂，//l m ，则m β⊥，故αβ⊥，故B 正确；若αβ⊥，l α⊥，则//l β或l β⊂，故C 错误；若αβ⊥，//l α，则l 与β相交、平行或l β⊂，故D 错误.12．已知三棱锥S ABC -中，1SA SB SC ===，且SA 、SB 、SC 两两垂直，P 是三棱锥S ABC -外接球面上一动点，则P 到平面ABC 的距离的最大值是 A ．33B ．3C ．233D ．433【答案】C【分析】,,SA SB SC 是棱长为1的正方体MNQB ADCS -上具有公共顶点S 的三条棱,以B 为原点,,,BM BQ BS 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系,三棱锥S ABC -外接球就是正方体MNQB ADCS -的外接球，由正方体及球的几何性质可得点P 与N 重合时，点P 到平面ABC 的距离最大，求出平面ABC 的法向量，由点到直线的距离公式即可得结果.【详解】三棱锥S ABC -，满足,,SA SB SC 两两垂直，且,,1SA SB SC =，∴如图,,SA SB SC 是棱长为1的正方体MNQB ADCS -上具有公共顶点S 的三条棱,以B 为原点,,,BM BQ BS 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系, 则()()()()()0,0,0,1,0,1,0,1,1,0,0,1,1,1,0B A C S N ，()()()1,0,1,0,1,1,1,1,0BA BC BN ===，设平面ABC 的法向量(),,n x y z =，则00n BA x z n BC y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，取1x =，得1,1,1n，三棱锥S ABC -外接球就是棱长为1的正方体MNQB ADCS -的外接球， P 是三棱锥S ABC -外接球上一动点，∴由正方体与球的几何性质可得，点P 点与N 重合时，点P 到平面ABC 的距离最大，∴点P 到平面ABC 的距离的最大值为110233BN n d n⋅++===.故选C. 【点睛】求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.二、填空题13．若双曲线22221x y a b -=的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.【答案】y =【分析】根据离心率得出2c a =，结合222+=a b c 得出,a b 关系，即可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】解：由题可知，离心率2ce a==，即2c a =，又22224a b c a +==，即223b a =，则ba=故此双曲线的渐近线方程为y =.故答案为：y =.14．过点，且与椭圆221259y x +=有相同焦点的椭圆的标准方程为_______．【答案】221204y x +=【分析】由题设条件设出椭圆方程22221y x a b+=，再列出关于a 2与b 2的方程组即可作答.【详解】所求椭圆与椭圆221259y x +=的焦点相同，则其焦点在y 轴上，半焦距c 有c 2=25-9=16，设它的标准方程为22221y x a b+= (a ＞b ＞0)，于是得a 2-b 2=16，又点在所求椭圆上，即22531a b+=，联立两个方程得2253116b b+=+，即222()8480b b +-=，解得b 2=4，则a 2=20，所以所求椭圆的标准方程为221204y x +=.故答案为：221204y x +=15．一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，则动圆圆心的轨迹方程为___________. 【答案】2213627x y += 【分析】先根据两圆位置关系得动圆圆心到两已知圆心距离和为定值，再由椭圆的定义求解，【详解】圆22650x y x +++=的圆心为(3,0)A -，1=2r ，圆226910x y x +--=的圆心为(3,0)B ，210r =，设动圆的圆心为P ，半径为r ，由题意得||2PA r =+，||10PB r =-，则||+||=12>212PA PB AB a =｜｜，，3c =，由椭圆定义得P 的轨迹方程为2213627x y +=，故答案为：2213627x y +=16．已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，A B ，是C 上的两个点，线段AB 的中点为(22)M ，，则ABF△的面积等于_______．【答案】 2【详解】设过M 的直线方程为，由∴，，由题意，于是直线方程为，，∴，焦点F （1，0）到直线的距离∴ABF △的面积是2三、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，M 是PA 的中点，PD ⊥平面ABCD ，且4PD CD ==，2AD =.(1)求AP 与平面CMB 所成角的正弦； (2)求M 点到平面PBC 的距离.【答案】(1)45(2)2【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面CMB 的法向量，进而求出AP 与平面CMB 所成角的正弦；（2）先求出平面PBC 的法向量，再利用点到平面距离的向量求法即可求解. 【详解】（1）解：由题意，底面ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD 可得：DA 、DC 、DP 两两垂直所以以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系4PD CD ==，2AD =，M 是PA 的中点()2,0,0A ∴，()0,0,4P ，()1,0,2M ，()0,4,0C ，()2,4,0B()2,0,4AP =-，()1,4,2MB =-，()2,0,0BC =-设平面CMB 的法向量()111,,n x y z = 则111142020MB n x y z BC n x ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令11y =，即()0,1,2n =设AP 与平面CMB 所成角为θ，则4sin 540165AP n AP nθ⋅===++⋅⋅（2）解：由（1）知，()0,0,4P ，()1,0,2M ，()0,4,0C()0,4,4PC ∴=-，()1,4,2MC =--设平面PBC 的法向量为()222,,m x y z =，则22244020PC m y z BC m x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令21y =，即()0,1,1m =设M 点到面PBC 的距离为d ，则222MC m d m⋅=== 18．如图，ABC 的外接圆O 的直径2,AB CE =垂直于圆O 所在的平面，,2,1BD CE CE BC BD ===∥.(1)求证：平面AEC ⊥平面BCED ；(2)若13DM DE =，求平面ACM 与平面ADM 夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析； 6【分析】（1）先证明出BC ⊥平面ACE ，利用面面垂直的判定定理可以证明；（2）以C 为原点，直线CA 为x 轴，直线CB 为y 轴，直线CE 为z 轴建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【详解】（1）ABC 的外接圆O 的直径AB AC BC ∴⊥.又因为EC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以EC BC ⊥. 又,AC EC C AC ⋂=⊂平面ACE ，EC ⊂平面ACE ，BC ∴⊥平面ACE ，又BC ⊂平面,BCDE ∴平面AEC ⊥平面BCED .（2）以C 为原点，直线CA 为x 轴，直线CB 为y 轴，直线CE 为z 轴建立空间直角坐标系，则 )()()()3,0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,2AB D E .设()()()1124,,,,1,10,1,10,,3333M x y z DM DE x y z M ⎛⎫=⇒--=-⇒ ⎪⎝⎭设平面CAM 的法向量为()()11124,,,3,0,0,0,,33m x y z CA CM ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则11130024033x m CA y z m CM ⎧⎧=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩，不妨令11z =，则()0,2,1m =-. 设平面AMD 的法向量为()222,,n x y z =，同理可求()23,3,3n =. 由图可知，平面ACM 与平面ADM 夹角不是钝角. 因为0636cos 100411299m n m n m n⋅-+⋅===++⨯++，所以平面ACM 与平面ADM 夹角的余弦值为610. 19．如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，△P AB 为等边三角形，平面P AB ⊥底面ABCD ，E 为AD 的中点.(1)求证：CE ⊥PD ；(2)在线段BD （不包括端点）上是否存在点F ，使直线AP 与平面PEF 5在，确定点F 的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析(2)存在，点F 为靠近点B 的三等分点，即13BF BD =；【分析】（1）取AB 的中点O ，连结PO ，取CD 的中点G ，连结OG ，利用面面垂直的性质定理证明OB ，OP ，OG 两两垂直，然后建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和两条直线的方向向量的坐标，由向量垂直的坐标表示进行分析证明即可；（2）设(01)BF BD λλ=<<，则(2,2,0)BF λλ=-，即可得到EF 的坐标，表示出平面PEF 的法向量，利用空间向量方程得到方程，解得即可；【详解】（1）证明：取AB 的中点O ，连结PO ，因为PA PB =，所以PO AB ⊥，又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PO ⊂平面PAB ，所以PO ⊥底面ABCD ，取CD 的中点G ，连结OG ，则OB ，OP ，OG 两两垂直，分别以OB ，OG ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，设2AB =，则(1,2,0),(1,1,0),(1,2,0)C P E D --，所以(2,1,0),(1,2,CE PD =--=-，则220CE PD ⋅=-=，故CE PD ⊥，所以CE PD ⊥；（2）解：由（1）可知，(1,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(1,2,0)A B P E D ---，所以(1,1,3),PE AP =--=，(2,2,0),(2,1,0)BD BE =-=-，设(01)BF BD λλ=<<，则(2,2,0)BF λλ=-，所以(22,21,0)EF BF BE λλ=-=-+-，设平面PEF 的法向量为(,,)n x y z =，则00n PE n EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即0(22)(21)0x y x y λλ⎧-+=⎪⎨-++-=⎪⎩，令1y =，则21,22x z λλ-==-故21223(22)n λλλ⎛-=⎪--⎝⎭，所以cos ,2AP n AP n AP nλ⋅===⎛，整理可得29610λλ-+=，解得13λ=，所以在BD 上存在点F ，使得直线AP 与平面PEF 所成角的正弦值为55，此时点F 为靠近点B 的三等分点，即13BF BD =．20．已知圆C ：228120x y y +-+=，直线l ：20ax y a ++=. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |=2l 的方程.【答案】(1)34a =-；(2)20x y -+=或7140x y -+=.【分析】（1）由题设可得圆心为()0,4C ，半径2r =，根据直线与圆的相切关系，结合点线距离公式列方程求参数a 的值即可.（2）根据圆中弦长、半径与弦心距的几何关系列方程求参数a ，即可得直线方程. 【详解】（1）由圆C ：228120x y y +-+=，可得()2244x y +-=，其圆心为()0,4C ，半径2r =，若直线l 与圆C 相切，则圆心C 到直线l 距离24221ad r a +==+，即43a =-，可得：34a =-.（2）由（1）知：圆心到直线的距离2421a d a+=+因为2222AB d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即222222d +=⎝⎭，解得：2d = 所以24221a d a+=+2870a a ++=，解得：1a =-或7a =-，则直线l 为20x y -+=或7140x y -+=.21．已知抛物线()2:20C y px p =>，拋物线C 上横坐标为1的点到焦点F 的距离为3．（1）求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）过()1,0-的直线l 交抛物线C 于不同的两点A ，B ，交直线4x =-于点E ，直线BF 交直线=1x -于点D ，是否存在这样的直线l ，使得//DE AF ？若不存在，请说明理由；若存在，求出直线l 的方程．【答案】（1）抛物线C 的方程为28y x =，准线方程为2x =-；（2）存在直线1)y x +或1)y x =+．【分析】（1）根据抛物线的定义即可求得抛物线的标准方程以及准线飞航程.（2）设出直线l 的方程(1)y k x =+(0)k ≠，联立直线的方程和抛物线的方程，消去y 后根据判别式大于零求得k 的取值范围，写出韦达定理.结合//DE AF 得到直线DE 与直线AF 的斜率相等，由此列方程，解方程求得k 的值，也即求得直线l 的方程. 【详解】（1）因为横坐标为1的点到焦点的距离为3,所以132p+=,解得4p =, 所以28y x =，即准线方程为2x =-.（2）显然直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为(1)y k x =+(0)k ≠,1122(,),(,)A x y B x y .联立得28(1)y xy k x ⎧=⎨=+⎩，消去y 得2222(28)0k x k x k +-+=.由224(28)40k k ∆=-->,解得k <所以k <0k ≠.由韦达定理得212282k x x k-+=,121=x x . 直线BF 的方程为22(2)2y y x x =--,又1D x =-,所以2232D y y x -=-,所以223(1,)2yD x ---, 因为//DE AF ,所以直线DE 与直线AF 的斜率相等又(4,3)E k --,所以221133232y k x y x -+-=--.整理得121222yy k x x =+--,即1212(1)(1)22k x k x k x x ++=+--,化简得121211122x x x x ++=+--,121212122()412()4x x x x x x x x -+-=-++,即12+7x x =.所以2282=7k k -,整理得289k =,解得k =. 经检验,k =符合题意. 所以存在这样的直线l ,直线l的方程为1)y x +或1)y x =+．22．已知椭圆：2222:1(0)x y E a b a b+=>>的一个顶点为(0,1)A，焦距为(1)求椭圆E 的方程；(2)过点(2,1)P -作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当||2MN =时，求k 的值．【答案】(1)2214x y +=(2)4k =-【分析】（1）依题意可得22212b c c a b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，即可求出a ，从而求出椭圆方程；（2）首先表示出直线方程，设()11,B x y 、()22,C x y ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线AB 、AC 的方程，表示出M x 、N x ，根据N M MN x x =-得到方程，解得即可；【详解】（1）解：依题意可得1b =，2c =222c a b =-，所以2a =，所以椭圆方程为2214x y +=；（2）解：依题意过点()2,1P -的直线为()12y k x -=+，设()11,B x y 、()22,C x y ，不妨令1222x x -≤<≤，由()221214y k x x y ⎧-=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()()22221416816160k x k k x k k +++++=，所以()()()222216841416160k k k k k ∆=+-++>，解得0k <，所以212216814k kx x k ++=-+，2122161614k k x x k +⋅=+，直线AB 的方程为1111y y x x --=，令0y =，解得111M x x y =-，直线AC 的方程为2211y y x x --=，令0y =，解得221N xx y =-，所以212111N M x xMN x x y y =-=--- ()()2121121121x x k x k x =--++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()212122x x k x k x =+-++()()()()2121212222x x x x k x x +-+=++()()12212222x x k x x -==++，所以()()122122x x k x x -=++， ()212124k x x x x +++⎡⎤⎣⎦22221616168241414k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫+++-+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()22221616216841414kk k k k k k⎡⎤=+-+++⎣⎦+ 整理得4k =，解得4k =-。

2023-2024学年山东省滨州市高二上册期末数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年山东省滨州市高二上册期末数学模拟试题一、单选题1．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1a ，公比为q ，则21S a =（）A ．2B ．qC ．2qD ．1q+【正确答案】D 【分析】根据211111S a a q q a a +==+求解即可.【详解】因为{}n a 等比数列，10a ≠，所以212111111S a a a a q q a a a ++===+.故选：D2．下列关于抛物线2y x =的图象描述正确的是（）A ．开口向上，焦点为10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．开口向右，焦点为1,04⎛⎫⎪⎝⎭C ．开口向上，焦点为10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．开口向右，焦点为1,02⎛⎫⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】把2y x =化成抛物线标准方程2x y =，依据抛物线几何性质看开口方向，求其焦点坐标即可解决.【详解】2y x =，即2x y =.则21p =，即12p =故此抛物线开口向上，焦点为10,4⎛⎫⎪⎝⎭故选：A3．若直线20x ay ++=与直线230x y --=平行，则=a （）A ．2-B ．12-C ．12D ．2【正确答案】A【分析】根据给定条件列式计算，再进行验证即可作答.【详解】因直线20x ay ++=与直线230x y --=平行，则1(2)10a ⨯--⨯=，解得2a =-，当2a =-时，直线220x y -+=与直线230x y --=平行，所以2a =-.故选：A4．在空间直角坐标系中，已知点(3,0,4)A ，(1,4,2)B -，则线段AB 的中点坐标与向量AB的模长分别是（）A ．(1,2,3)；5B ．(1,2,3)；6C ．(2,2,1)--；5D ．(2,2,1)--；6【正确答案】B【分析】根据给定条件利用中点坐标公式及空间向量模长的坐标表示计算作答.【详解】因点(3,0,4)A ，(1,4,2)B -，所以线段AB 的中点坐标为(1,2,3)，||6AB =.故选：B5．已知公差为d 的等差数列{}n a 满足12200a a a ++⋅⋅⋅+=，则（）A ．0d =B ．100a =C ．12190a d +=D ．5150a a +=【正确答案】C【分析】根据等差数列前n 项和，即可得到答案.【详解】∵数列{}n a 是公差为d 的等差数列，∴1220120192002a a a a d ⨯++⋅⋅⋅+=+=，∴12190a d +=.故选：C6．惊艳全世界的南非双曲线大教堂是由伦敦著名的建筑事务所steynstudio 完成的，建筑师的设计灵感源于想法：“你永无止境的爱是多么的珍贵，人们在你雄伟的翅膀下庇护”.若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线221x y m-=（0m >）下支的一部分，且此双曲线的一条渐近线方程为20x my -=，则此双曲线的离心率为（）AB C ．2D【正确答案】B【分析】首先根据双曲线的渐近线方程得到2m =1a =，2b =，c =，再求离心率即可.【详解】双曲线221x y m-=()0m >，1a =，b =因为双曲线的一条渐近线方程为20x my -=，即2y x m=，所以2m 4m =，所以1a =，2b =，c =，ce a==.故选：B7．已知直线+(0)y x t t =>与圆22:4O x y +=相交于,A B 两点，当AOB 的面积最大时，t 的值是（）A ．1B C ．2D ．【正确答案】C【分析】利用点到直线的距离公式和弦长公式可以求出AOB 的面积是关于t 的一个式子，即可求出答案.【详解】圆心(0,0)到直线+(0)y x t t =>的距离d =弦长AB 为.1122AOBSAB d =⋅⋅=⨯当24t =，即2t =时，AOBS 取得最大值.故选：C.8．已知(),0,ln ,0,x e x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩若函数()()g x f x a =+有两个零点，则实数a 的取值范围是A ．1a >B ．1a <-C ．1a <-或0a =D ．1a ≥【正确答案】B【分析】依题意画出函数()f x 的图象，将函数的零点转化为函数()y f x =与y a =-的交点，数形结合即可得到不等式，从而解得；【详解】解：因为(),0,ln ,0,x e x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩画出函数图象如下所示：函数()()g x f x a =+有两个零点，即函数()y f x =与y a =-有两个交点，所以1a ->所以1a <-故选：B本题考查函数方程的综合应用，数形结合思想的应用，属于中档题.二、多选题9．下列直线方程中斜率1k ≠的有（）A ．1x y +=B ．1x y -=C ．tan1y x =⋅D ．4y xπ=【正确答案】ACD【分析】把所给直线方程化成斜截式直线方程，直接读取斜率k ，与1进行比较即可.【详解】选项A ：1x y +=可化为1y x =-+，斜率1k =-，则有1k ≠.判断正确；选项B ：1x y -=可化为1y x =-，斜率1k =.判断错误；选项C ：tan1y x =⋅，斜率tan1tan 14k π=>=，则有1k ≠.判断正确；选项D ：4y x π=，斜率14k π=<，则有1k ≠.判断正确.故选：ACD10．已知曲线E 的方程为22x y x y +=+，则（）A ．曲线E 关于直线y x =对称B ．曲线E 围成的图形面积为2π+C ．若点00(,)x y 在曲线E 上，则0x ≤≤D ．若圆222(0)x y r r +=>能覆盖曲线E ，则r 的最小值为【正确答案】ABC【分析】根据给定条件逐一分析每一个选项，推理、计算判断作答.【详解】对于A ，曲线E 上任意点(,)x y 有：22x y x y +=+，该点关于直线y x =的对称点(,)y x 有22y x y x +=+，即曲线E 上任意点(,)x y 关于直线y x =的对称点仍在曲线E 上，A 正确；对于B ，因点(,)x y 在曲线E 上，点(,)x y -，(,)x y -也都在曲线E 上，则曲线E 关于x 轴，y 轴对称，当0,0x y ≥≥时，曲线E 的方程为22111()()222x y -+-=，表示以点11(,)22为圆心，2为半径的圆在直线1x y +=上方的半圆(含端点)，因此，曲线E 是四个顶点为(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)--的正方形各边为直径向正方形外所作半圆围成，如图，所以曲线E 围成的图形面积是211224()2222ππ⨯⨯+⨯⨯=+，B 正确；对于C ，点00(,)x y 在曲线E 上，则2200002200111(||)(||)222x y x y x y ⇔-+-+=+=，则有2011(||)22x -≤，即01||2x ≤，解得01122x +-≤≤，而[[⊆，C 正确；对于D ，曲线E 2=，圆222(0)x y r r +=>能覆盖曲线E ，则min r =，D 不正确.故选：ABC11．已知函数323f x ax ax b =-+（），其中实数0R a b >∈，，点2A a （，），则下列结论正确的是（）A ．f x （）必有两个极值点B ．当2b a =时，点10（，）是曲线y f x =（）的对称中心C ．当3b a =时，过点A 可以作曲线y f x ='（）的2条切线D ．当56a b a <<时，过点A 可以作曲线y f x =（）的3条切线【正确答案】ABD【分析】对f x （）求导，得到()f x 的单调性，判断f x （）的极值点个数可判断A ；当2b a =时，计算()()20f x f x +-=可判断B ；当3b a =时，设切点为()2000,36B x ax ax -，求出过点A 的切线方程，通过求∆可判断C ；设切点为()32000,3C x ax ax b -+，求出过点A 的切线方程，令()322912,g x ax ax ax a y b =-++=所以过点A 可以作曲线y f x =（）的切线条数转化为()y g x =与y b =图象的交点个数即可判断D.【详解】对于A ，()()23632f x ax ax ax x '=-=-，令()0f x '=，解得：0x =或2x =，因为0a >，所以令()0f x ¢>，得0x <或2x >，令()0f x '<，得02x <<，所以()f x 在()(),0,2,-∞+∞上单调递增，在()0,2上单调递减，所以()f x 在0x =处取得极大值，在2x =处取得极小值.所以A 正确；对于B ，当2b a =时，()3232f x ax ax a =-+，()()()32322232232f x a x a x a ax ax a -=---+=-+-，()()20f x f x +-=，所以点10（，）是曲线y f x =（）的对称中心，所以B 正确；对于C ，当3b a =时，()3233f x ax ax a =-+，令()()236f x g x ax ax '==-，()66g x ax a '=-，设切点为()2000,36B x ax ax -，所以在B 点处的切线方程为：()()()200003666y ax ax ax a x x --=--，又因为切线过点()2,A a ，所以()()()2000036662a ax ax ax a x --=--，化简得：200312130x x -+=，()21243130∆=-⨯⨯<，所以过点A 不可以作曲线y f x ='（）的切线，所以C 不正确；对于D ，()236f x ax ax '=-，设切点为()32000,3C x ax ax b -+，所以在C 点处的切线方程为：()()()32200000336y ax ax b ax ax x x --+=--，又因为切线过点()2,A a ，所以()()()322000003362a ax ax b ax ax x --+=--，解得：320002912ax ax ax a b -++=，令()322912,g x ax ax ax a y b=-++=所以过点A 可以作曲线y f x =（）的切线条数转化为()y g x =与y b =图象的交点个数.()()()()2261812632612g x ax ax a a x x a x x '=-+=-+=--,则()g x 在()(),1,2,-∞+∞上单调递增，在()1,2上单调递减，()()16,25g a g a ==，如下图所示，当56a b a <<时，过点A 可以作曲线y f x =（）的3条切线.故D 正确.故选：ABD.12．如图所示，已知12,F F 分别为双曲线2213y x -=的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线的右支交于,A B 两点，记12AF F △的内切圆1O 的面积为1S ，12BF F △的内切圆2O 的面积为2S ，则（）A ．圆1O 和圆2O 外切B ．圆心1O 一定不在直线AO 上C ．212⋅=S S πD ．12S S +的取值范围是[]2,3ππ【正确答案】ABC【分析】由双曲线定义及圆的切线长定理，数形结合可以顺利求得1O 的横坐标，同样由数形结合可得到直线AB 的倾斜角取值范围为2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭，接下来再去求值、证明即可解决.【详解】双曲线2213y x -=的12a b c ===，，渐近线方程为y =、y =，两渐近线倾斜角分别为3π和23π，设圆1O 与x 轴切点为G过2F 的直线与双曲线的右支交于,A B 两点，可知直线AB 的倾斜角取值范围为2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭由双曲线定义和圆的切线长定理可知1O 、2O 的横坐标均为a ，即1O 2O 与x 轴垂直.故圆1O 和圆2O 均与x 轴相切于(1,0)G ，圆1O 和圆2O 两圆外切.选项A 判断正确；由双曲线定义知，12AF F △中，12AF AF >，则AO 只能是12AF F △的中线，不能成为12F AF ∠的角平分线，则圆心1O 一定不在直线AO 上.选项B 判断正确；在122O O F △中，12290O F O ∠= ，122O O F G ⊥，则由直角三角形的射影定理可知2212F G O G O G =⋅，即212()c a r r -=⋅则121r r ⋅=，故2221212S S r r πππ⋅=⋅=.选项C 判断正确；由直线AB 的倾斜角取值范围为2,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可知21AF F ∠的取值范围为2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则121O F F ∠的取值范围为,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，故12121121tan tan r F G O F F O F F =⋅∠=∠∈⎝则22212121211()(),S S r r r r ππ+=+=+13r ⎛∈ ⎝令11(),,33f x x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，则()f x 在1,13⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在()1,3单调递增.(1)2f =，110(33f =，10(3)3f =，11(),,33f x x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭值域为102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭故2121211(),S S r r π+=+13r ⎛∈ ⎝的值域为102,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.选项D 判断错误.故选：ABC数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。

2012-2013学年高二上册理科数学期末试卷(附答案)

2012-2013学年高二上册理科数学期末试卷（附答案）珠海市2012～2013学年度第一学期期末学生学业质量监测高二理科数学试题（A卷）与参考答案时量：120分钟分值：150分．内容：圆，数学选修2-1和数学选修2-2．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（逻辑）“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（逻辑）已知命题：，则（）A．B．C．D．3．（圆锥曲线）若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．24．（圆锥曲线）抛物线的焦点坐标为（）A．B．C．D．5．（导数）下列求导运算正确的是()A.B.C.D.6．（导数）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极大值点（）7．（导数）设函数，则（）A．为的极大值点B．为的极小值点C．为的极大值点D．为的极小值点8．（复数）复数是纯虚数，则实数的值为A．3B．0C．2D．3或29．（空间向量）已知空间坐标系中，，，是线段的中点，则点的坐标为A．B．C．D．10．（空间向量）如图，平行六面体中中，各条棱长均为1，共顶点的三条棱两两所成的角为，则对角线的长为A．1B．C．D．211．（推理）三角形的面积为为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可得出四面体的体积为（）A．B．C．（分别为四面体的四个面的面积，r为四面体内切球的半径）D．12．（导数）已知函数，则的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分,请将正确答案填空在答题卡上）13．（空间向量）已知空间向量，，则_________.14．（圆锥曲线）已知方程表示双曲线，则m的取值范围是__________________.15.（导数）计算．1016.（圆）以点（2，-1）为圆心，以3为半径的圆的标准方程是_____________________．17．（复数）设i是虚数单位，计算：=_________-1.18．（圆锥曲线）设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为________．19．（空间向量）正方体中，点为的中点，为的中点，则与所成角的余弦值为2/520．（导数）函数的单调递增区间是________.三、解答题（本大题共5小题，每题10分，共50分.请将详细解答过程写在答题卡上）21．（逻辑估级3）设：P:指数函数在x∈R内单调递减；Q：曲线与x 轴交于不同的两点。

2022-2023学年内蒙古包头市高二年级上册学期期末线上考试数学(理)试题【含答案】

2022-2023学年内蒙古包头市高二上学期期末线上考试数学（理）试题一、单选题1．“”是“”的（）1x >11x <A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】首先解分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可．【详解】解：因为，所以，11x <10xx -<，，(1)0x x ∴-<(1)0x x ∴->或，0x ∴<1x >当时，或一定成立，所以“”是“”的充分条件；1x >0x <1x >1x >11x <当或时，不一定成立，所以“”是“”的不必要条件．0x <1x >1x >1x >11x <所以“”是“”的充分不必要条件．1x >11x <故选：A2．已知复数满足：（i 为虚数单位），则（）z i 1i z ⋅=+||z =A B ．1CD ．2【答案】C【分析】通过复数除法得，利用复数模的定义即可得到答案.1i z =-【详解】，故()2i 1i 1i 1i i i z ++===-z ==故选：C.3．下面几种推理是合情推理的是（）①地球和火星在很多方面都相似，而地球上有生命，进而认为火星上也可能有生命存在；②因为金、银、铜、铁等金属能导电，所以一切金属都导电；③某次考试高二一班的全体同学都合格了，张军是高二一班的，所以张军也合格了；④由“若三角形的周长为l ，面积为S ，则其内切圆的半径”类比推出“若三棱锥的表面积为2Sr l =S ，体积为V ，则其内切球的半径”．3V r S =A ．①②B ．①③④C ．②④D ．①②④【答案】D【分析】根据合情推理和演绎推理的概念判断；【详解】根据合情推理和演绎推理的概念判断：①④是类比推理，所以是合情推理；②是归纳推理，所以是合情推理；③是由一般到特殊的推理，是演绎推理；故选：D4．设，向量，，，且，，则（）,x y ∈R (),1,1a x =()1,,1b y=()3,6,3c =-a c ⊥ //bc a b -=A B ．3C ．4D ．【答案】B【分析】根据已知条件求得，从而求得.,x y a b-【详解】由于，所以，a c ⊥363330,1x x x -+=-==由于，所以，，//b c 11363y ==-2y =-所以，，.()1,1,1a = ()1,2,1b =-()0,3,0,3a b a b -=--= 故选：B5．若离心率为的双曲线与椭圆的焦点相同,则双曲线的方程是（）532214015x y +=A ．B ．221916x y -=221169x y -=C ．D ．221916y x -=221169y x -=【答案】A【分析】根据双曲线和椭圆的焦点相同,求出椭圆的焦点及,再根据双曲线的离心率求出,写出双c ,a b 曲线方程即可.【详解】解:由题知在椭圆中,2401525c =-=焦点坐标为,∴()()5,0,5,0-双曲线中,焦点坐标为,,∴()()5,0,5,0-5c =,53c e a == ,,3a ∴=22229,16a b c a ==-=故双曲线的方程为．221916x y -=故选:A 6．圆：与圆：的公共弦的弦长等于（）1C 2240x y +-=2C 224440x y x y +-++=A ．2B ．4CD．【答案】D【分析】计算圆心距确定两圆相交，得到公共弦为，根据弦长公式即得.20x y --=【详解】圆：，圆心为，半径为；1C 224x y +=()0,02r =圆：，圆心为，半径为；2C ()()22224x y -++=()2,2-2R=圆心距，两圆相交，d ==R r d R r -<<+联立两圆方程，得，2222404440x y x y x y ⎧+-=⎨+-++=⎩20x y --=即公共弦所在直线的方程为，20x y --=故圆心()0,0公共弦长为：=故选：D.7．若椭圆满足，则该椭圆的离心率（）2222:1(0)x y C a b a b +=>>2a b =e =A ．BCD12【答案】B【分析】根据求出离心率.e =【详解】因为，所以2a b =e ===故选：B8．如图，平行六面体的底面是菱形，，且-ABCD A B C D ''''ABCD C CB C CD ''∠=∠=60BCD ︒∠=，则异面直线与所成角的余弦值为( )CD CC '=BC 'CA 'A ．BCD ．10【答案】D【分析】求出即可求出异面直线与所成角的余弦值．BC CA ⋅''BC 'CA '【详解】由题可设，则易知三个向量之间两两的数量积均为，1CD CC CB '===,,CD CC CB ' 12()()BC CA CC CB CD DA AA ⋅=-⋅+'''+'()()CC CB CD CB CC =-⋅++''CC CD CC CB CC CC CB CD CB CB CB CC =⋅+⋅+'''''⋅-⋅-⋅-⋅1111112222=++---0=，BC CA ∴'⊥'∴异面直线与所成角的余弦值为0．BC 'CA '故选：D ．9．是抛物线上一点，是抛物线的焦点，则（）()2,2M ()220y px p =>F MF =A ．B ．3C ．D ．45272【答案】A 【分析】将点代入，可得，即可求出准线方程，根据抛物线的定义，抛物线()2,2M 22y px =1p =上的点到焦点的距离等于到准线的距离，即可求得MF【详解】解：因为是抛物线上一点，()2,2M ()220y px p =>所以，22221p p =⋅⇒=则抛物线的准线方程为，12x =-由抛物线的定义可知，，15222MF =+=故选：A.10．已知x ，y 满足，若不等式恒成立，则c 的取值范围是222230x y x y ++--=20x y c +-<（）A ．B ．C ．D ．(,4)-∞-(4,)+∞(6,)+∞(6,4)-【答案】B【分析】不等式恒成立，只需，可以看作是直线在20x y c +-<()max 2c x y >+2x y+2y x m =-+轴上的截距，当直线与圆相切时，纵截距取得最大值或最小y 2y x m =-+222230x y x y ++--=m 值，然后根据点到直线的距离公式求解即可.【详解】因为可化为，表示的是以222230x y x y ++--=()()22115x y ++-=()1,1-径的圆，可以看作是直线在轴上的截距，2x y +2y x m =-+y 当直线与圆相切时，纵截距取得最大值或最小值，2y x m =-+222230x y x y ++--=m或，所以，4m =6m =-()max 24x y +=又因为不等式恒成立，所以，20x y c +-<()max 24c x y >+=则c 的取值范围是.(4,)+∞故选：B.二、填空题11．用反证法证明命题“若，则或”为真命题时，第一个步骤是__________．5x y +≠2x ≠3y ≠【答案】假设且2x =3y =【分析】根据反证法的概念即得.【详解】根据反证法可知证明命题“若，则或”为真命题时，5x y +≠2x ≠3y ≠第一个步骤是：假设原命题结论不成立，写出结论的否定，即假设且.2x =3y =故答案为：假设且.2x =3y =12．已知椭圆的左焦点为，过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于两点，2212x C y +=：F F 4πl C A B ，则__________．AB =【分析】先求出过左焦点且倾斜角为的直线的方程，与椭圆方程联立，根据弦长公式求得F 4πl C .AB【详解】已知椭圆，，则，2212x C y +=：2221a b ==，222211c a b =-=-=所以椭圆的左焦点为,()1,0F -因为直线倾斜角为，所以直线的斜率，则直线的方程为.l 4πl tan14k π==l 1y x =+联立，消去，整理得，22112y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y 2340x x +=解得．1240,3x x ==-243AB x ⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭13．如图,在正方体中,二面角的余弦值为______．1111ABCD A B C D -1C D B D --【答案】##0.512【分析】建立合适坐标系,分别求出平面和平面法向量,根据向量夹角的余弦值的公式,计1CD B 1D BD 算出法向量夹角的余弦值,即为二面角的余弦值.【详解】解:由题知正方体，令正方体棱为1，1111ABCD A B C D -以为原点,分别以方向为轴,建立如图所示空间直角坐标系:D 1,,DA DC DD ,,x yz 可得,()()()()10,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,1D B C D ,()()()111,1,1,0,0,1,1,0,0BD DD BC =--==-记平面法向量为,1CD B ()111,,x n y z =则有,100n BD n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即,111100x y z x --+=⎧⎨-=⎩取,则,11y =()0,1,1n =记平面法向量为,1D BD ()222,,m x y z = 则有,1100m BD m DD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即,222200x y z z --+=⎧⎨=⎩取,则,21y =()1,1,0m =-所以,1cos ,2n m n m n m⋅===⋅ 由图可知二面角的大小为锐角,1C D B D --故二面角的余弦值为.1C D B D --12故答案为:12三、解答题14．观察下面三个等式：第1个：，1113211=⨯⨯+第2个：，1121335221+=⨯⨯⨯+第3个：1113133557231++=⨯⨯⨯⨯+(1)按照以上各式的规律，写出第4个等式；(2)按照以上各式的规律，猜想第个等式（为正整数）；n n (3)用数学归纳法证明你的猜想成立．【答案】(1)11114133********+++=⨯⨯⨯⨯⨯+(2)，1111335(21)(21)21n n n n ++⋯+=⨯⨯-++*n ∈N (3)证明见解析【分析】（1）（2）根据前个式子归纳出第与第个式子；34n （3）利用数学归纳法证明，首先说明时成立，再假设时成立，通过计算说明1n =(*)n k k N =∈时也成立，即可得证；1n k =+【详解】（1）解：由第1个：，1113211=⨯⨯+第2个：，1121335221+=⨯⨯⨯+第3个：，1113133557231++=⨯⨯⨯⨯+第4个：，1111413355779241+++=⨯⨯⨯⨯⨯+（2）解：由（1）可猜想，第个等式：，；n 1111335(21)(21)21n n n n ++⋯+=⨯⨯-++*n ∈N （3）数学归纳法证明：当时，，，等式成立；1n =11133=⨯1213n n =+假设时，，．(*)n k k N =∈1111335(21)(21)21k k k k ++⋯+=⨯⨯-++*k ∈N 当时，1n k =+11111335(21)(21)(21)(23)k k k k ++⋯++⨯⨯-+++121(21)(23)k k k k =++++(23)1(21)(23)k k k k ++=++(21)(1)(21)(23)k k k k ++=++，12(1)1k k +=++可得时，，也成立，1n k =+1111335(21)(21)21n n n n ++⋯+=⨯⨯-++*n ∈N 综上可得，对一切的，均成立．*n ∈N 1111335(21)(21)21n n n n ++⋯+=⨯⨯-++15．已知椭圆的长轴长为10，焦距为6．()2222:10x y C a b a b +=>>(1)求C 的方程；(2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点坐标为，求l 的方程．11,45⎛⎫⎪⎝⎭【答案】(1)2212516x y +=(2)4520x y +-=【分析】（1）由题意得的值，由，即可得所求方程,a c 222b ac =-（2）先用点差法及中点公式求出直线的斜率，然后利用点斜式求出直线方程.【详解】（1）设C 的焦距为，长轴长为，2(0)c c >2a 则，210,26a c ==所以，所以，5,3a c ==22216b a c =-=所以C 的方程为．2212516x y +=（2）设，()()1122,,,A x y B x y 代入椭圆方程得221122221251612516x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减可得，()()()()121212122516x x x x y y y y +-+-=-即．()()()()121212121625y y y y x x x x +-=-+-由点为线段的中点，11,45⎛⎫ ⎪⎝⎭AB 得，121212,25x x y y +=+=则l 的斜率，12121212161654252545y y x x k x x y y -+==-⨯=-⨯=--+所以l 的方程为，141554y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭即．4520x y +-=16．如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，P ABCD -ABCD PB ⊥ABCD ，，，．3AB BC ==3BP =13CF CP =13DE DA=(1)证明：平面平面；EFD ⊥ABP (2)求直线与平面所成角的正弦值．PC ADF 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；【详解】（1）解：由题意知，，，两两互相垂直，以为原点，，，所在直BC BA BP B BC BA BP 线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，,,x y z B xyz-则，，，，，，()0,0,0B ()3,0,0C ()2,3,0E ()2,0,1F ()0,0,3P ()3,3,0D所以，，．()3,0,0BC = ()0,3,1EF =- ()1,0,0ED = 底面，底面，PB ⊥ ABCD BC ⊂ABCD PB BC ∴⊥又，，BC BA ⊥ PB BA B = 且平面，,PB BA ⊂ABP 平面，BC ∴⊥ABP 所以是平面的一个法向量．()3,0,0BC = ABP 设平面的法向量为，则，令，则，，所以EFD (),,m a b c = 300m EF b c m ED a ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 1b =3c =0a =，()0,1,3m = 因为，所以平面平面.0m BC =⋅ EFD ⊥ABP （2）解：因为，，，，，()0,3,0A ()3,0,0C ()3,3,0D ()0,0,3P ()2,0,1F 所以，，，()3,0,0AD = ()2,3,1AF =- ()3,0,3PC =- 设平面的法向量为，ADF (),,n x y z = 则，解得，令，30230n AD x n AF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 03x z y =⎧⎨=⎩1y =得平面的一个法向量为．ADF ()0,1,3n = 设直线与平面所成的角为，PC ADF θ则．sin cos<,PC θ=故直线与平面．PC ADF17．在平面直角坐标系中，已知直线：（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，xxOy 12:2x t l y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 3πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求的值．(0,2)||||MA MB +【答案】(1)220x y y +-=(2)【详解】（1）由,得.2sin 3πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12sin 2ρθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭两边同乘,即.ρ2sin cos ρρθθ=由,得曲线的直角坐标方程为cos ,sin x y ρθρθ==C 220x y y +-=（2）将代入,得,122x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩220x y y +-=220t ++=设A,B 对应的参数分别为12,t t则12122t t t t +=-=所以.120,0t t <<由参数的几何意义得t 12||||MA MB t t +=+=。

河南省天一大联考2024_2025学年高二数学上学期期末考试试题理

河南省天一大联考2024-2025学年高二数学上学期期末考试试题理考生留意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.不等式282x x -+<－1的解集为 A.(－3，2) B.(－3，－2) C.(－3，4) D.(－2，4) 2.下列命题为真命题的是A.∃x 0∈R ，x 02＋4x 0＋6≤0 B.正切函数y ＝tanx 的定义域为R C.函数y ＝1x的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞) D.矩形的对角线相等且相互平分 3.已知直线x ＋2y ＝4过双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点及虚轴的一个端点，则此双曲线的标准方程是A.2211612x y -= B.221164x y -= C.221124x y -= D.221258x y -= 4.已知{a n }为等差数列，公差d ＝2，a 2＋a 4＋a 6＝18，则a 5＋a 7＝ A.8 B.12 C.16 D.205.已知直线l 和两个不同的平面α，β，若α⊥β，则“l //α”是“l ⊥β”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A ＝60°，c ＝4，a ＝，则sinAsinB＝A.23B.3 D.37.在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB//DC ，CADC ＝90°，AD ＝AB ＝3，PD ＝4，DC ＝6，则DB 与CP 所成角的余弦值为A.5B.6C.26D.138.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q>0，a 1＝1，a 12＝9a 10，要使数列{λ＋S n }为等比数列，则实数λ的值为 A.13 B.12C.2D.不存在 9.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B ＝23π，b ＝b 2＋c 2－a 2。

12-13学年高二上学期期末调研考试(数学理)

2012～2013学年第一学期期末调研考试高二数学（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．试卷满分150分．考试时间100分钟．注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚． 2．第Ⅰ卷，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．3．第Ⅱ卷，请务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷．．．．上作答无效．．．．．．第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列语句是命题的个数是（1）空集是任何集合的子集; （2是无理数；（3）若x R ∈，则210x x -+<；（4）面积相等的三角形是全等三角形. A . 1 B . 2 C .3 D . 4 2.若向量()()2,1,2,4,2,4a b =-=--,则a 与bA .相交B .平行C .垂直D .以上都不对3. 已知集合{}2lg(2)M x y x x ==-,{}2230N x x x =+-≥,则MN 等于A . {}12x x ≤<B . {}302x x x ≤-<<或C . {}32x x -≤<D .{}01x x <≤4.已知等比数列{}n a 中，1330,a a +=前4项和为120，若31log n n b a =+，则2011b =A .2009B .2010C .2011D .20125.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为3,5,6a b c ===,则cos cos bc A ac B +cos ab C +的值为A .35B . 36C . 37D .386. 椭圆的两个焦点为12,F F ,短轴的一个端点为A ,且12F AF ∆是顶角为0120的等腰三角形,则此椭圆的离心率为A .13 B C D . 127. 正方体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为M ，设11111,,A B a A D b AA c ===则下列与1B M 相等的向量是A .1122a b c -+-B . 1122a b c ++C .1122a b c -+D . 1122a b c --+8.下列函数中最小值为4的是A .4y x x =+B .2y = C .4x x y e e -=+ D .4sin ,(0)sin y x x xπ=+<< 9.不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，所表示的平面区域的面积等于A . 32B . 43C .23D . 110. ABC ∆中,2cos a b C =,则此三角形一定是A .等腰三角形B .直角三角形C .等腰直角三角形D .等腰或直角三角形11.AB 是平面上一定线段,点P 是该平面内的一动点,满足2,PA PB -=25PA PB -=,则点P 的轨迹是A .圆B . 双曲线的一支C .椭圆的一部分D . 抛物线12. 设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和为n S 、n T .若2352n n S n T n -=+ ,则66a b =A .13 B . 932 C .2162 D . 2367第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13. 若点()1,3和点()4,2--在直线20x y m ++=的两侧,则m 的取值范围为 .14.已知数列1(1)n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n S ，则99S = .15. 抛物线281x y -=的准线方程是 . 16.下列有关命题的说法(1) 命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”; (2)若p q ∧为假命题,则,p q 均为假命题;(3) “1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件;(4) 命题p :x R ∃∈,使得210x x ++<,则2:,10p x R x x ⌝∀∈++≥.其中正确的说法有 .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分10分）在ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c，已知045,3A a b ∠===.求角B ∠和c .18. （本小题满分12分）已知点A ，O 为坐标原点，点(,)P x y满足0200y x y -≤-+≥⎨⎪≥⎪⎩，求OA OP z OA⋅=的最大值和最小值.19. （本小题满分12分）设命题p :函数3()2xf x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是R 上的减函数, 命题q :函数2()43f x x x =-+在[]0,a 上的值域为[]1,3-,若“p q ∧”为假, “p q ∨”为真,求实数a 的取值范围.20.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2232n S n n =-（1）求证：{}n a 是等差数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n T .21.（本小题满分12分）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 的中点.()1求证:1AB ⊥平面1A BD ;()2求二面角1A A D B --的正弦值; ()3求点C 到平面1A BD 的距离.22. （本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，且短轴长为2.()1求椭圆的方程;()2若过点P 与两坐标轴都不垂直的直线l 与椭圆交于,A B 两点,O 为坐标原点,且23OA OB =,求直线l 的方程.平顶山市2011～2012学年第一学期期末调研考试高二数学（理）答案一、选择题:,,CBADA BACBA BA 二、填空题: 13.510m -<<9914.100 15.2y = 16.(1)(3)(4)17.解:由正弦定理得:sin sin a bA B=,∴sin sin 2b A B a ==, ∴060B ∠=或0120.当060B ∠=时,075C ∠=,00sin 3sin 75sin sin 60b C c B ===当0120B ∠=时, 015C ∠=,00sin 3sin15sin sin 60b C c B === 综上可知: 060,B c ∠==或0120,2B c ∠==. 18. 解:不等式组表示的平面区域如图所示：其中A ，(2,0)B - 由OA OP z OA⋅==12xy + 得：2y z =+，∴2z 表示斜率为∴当直线过A时，z 当直线过(2,0)B-时，z 有最小值. ∴OA OP z OA⋅=的最大值为最小值为.19.解:∵函数3()2xf x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是R 上的减函数，∴3012a <-<,得3522a <<；0=∵函数22()43(2)1f x x x x =-+=--在[]0,a 上的值域为[]1,3-，∴24a ≤≤；∵“p q ∧”为假, “p q ∨”为真， ∴,p q 为一真一假；若p 真q 假，得322a <<，若p 假q 真，得542a ≤≤，综上可知：实数a 的取值范围是322a <<或542a ≤≤ 20.证明: （1）当1n =时,1121a S == 当2n ≥时,1254n n n a S S n -=-=- ∵125421a -==∴254()n a n n N *=-∈∴2n ≥时,14n n a a --=∴{}n a 是首项为21,公差为4的等差数列.（2）由（1）知当6n ≤时,0n a >; 当7n ≥时,0n a < .∴当6n ≤时,21212232n n n n T a a a a a a S n n =+++=+++==-当7n ≥时, 1267n n T a a a a a =++++++2126762223132n n a a a a a S S n n =++---=-=-+综上可知:22232(6)223132(7)n n nn T n n n ⎧-≤⎪=⎨-+≥⎪⎩.21.解法一: ()1取BC 中点O ,连结1,AO B O , ∵ABC ∆为正三角形,∴AO BC ⊥. ∵正三棱柱111ABC A B C -中,平面ABC ⊥平面11BCC B∴AO ⊥平面11BCC B ,∴AO BD ⊥在正方形11BCC B 中, O ,D 分别为BC ,1CC 的中点, ∴1BD B O ⊥,∴BD ⊥平面1AB O ,而1AB ⊆平面1AB O ∴1AB BD ⊥又在正方形11ABB A 中,11AB A B ⊥ ∴1AB ⊥平面1A BD .()2设1AB 与1A B 交于G ，在平面1A BD 中，作1GF A D ⊥于F ，连AF ，由()1知1AB ⊥平面1A BD ，∴1AF A D ⊥∴AFG ∠为二面角1A A D B --的平面角.在1AA D ∆中,AF =,又112AG AB ==∴sin AG AFG AF ∠==, ∴二面角1A A D B --. ()31A BD ∆中,11BD A D A B ===∴11A BD BCD S S ∆∆==在正三棱柱111ABC A B C -中,1A 到平面11BCC B设点C 到平面1A BD 的距离为d , 由11BCD A C A BD V V --=得:11133BCD A BD S S d ∆∆=⋅,∴1ABD d == ∴点C 到平面1A BD的距离为2. 22.解: ()1由题意可知：22,1,c b b e a ====，又222a b c =+，所以1a c ==，∴椭圆的方程为2212x y +=. ()2设直线l的方程为0)y kx k =+≠,1122(,),(,)A x y B x y由2212y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 得:22(12)20k x +++=∴1212222,1212x x x x k k -+==++,∵212121212(1)()2OA OB x x y y k x x x x =+=+++,∴22222(1)212123k k k -+++=++, 即21k = ∴1k =±所以直线l的方程为y x =+或y x =-+.。

高中数学选择性必修二北京市昌平区新学道临川学校高二上学期期末考试数学(理)试题(含答案)

临川学校2020-2021学年度第一学期期末考试
高二数学理科试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在等差数列中，若，，则＝（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由等差数列通项公式可求得，由可求得结果.
【详解】设等差数列的公差为，则， .
【详解】抛物线 ( )的准线为：，
因为准线经过点，可得，即，
所以抛物线为，焦点坐标为，
故选：B.
11.椭圆内有一点过点的弦恰好以为中点，那么这弦所在直线的方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用点差法得到直线斜率和中点之间的关系，即可得解.
【详解】设弦的两个端点为，
即曲线C右侧部分的点到原点的距离都不超过，
再根据对称性可知，曲线C上的所有点到原点的距离都不超过，②正确；
对于③，因为在x轴上方，图形面积大于四点（﹣1，0），
（1，0），（1，1），（﹣1，1）围成的矩形面积1×2＝2，
在x轴下方，图形面积大于三点（﹣1，0），（1，0），（0，﹣1）围成的等腰直角三角形的面积 ×2×1＝1，
故选：C.
2.在等比数列中，，，则与的等比中项是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】计算出的值，利用等比中项的定义可求得结果.
【详解】由已知可得，由等比中项的性质可得，
因此，与的等比中项是 .
故选：A.
3.若△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为( )

山东省阳谷三中2013-2014学年高二数学上学期期末复习试题(2)理

高二数学上学期期末检测（二）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 若R c b a ∈、、，且b a >，则下列不等式一定成立的是（）A ．bc ac >B ．02>-ba c C ．0)(2≥-cb a D ．b a 11< 2.不等式0652≥+--x x 的解集为（）A ．}16|{-≤≥x x x 或 B.}61|{≤≤-x x C ．}16|{≤≤-x x D ．}16|{≥-≤x x x 或3.A b a ,0,0>>是b a ,的等差中项，G 是b a ,的正的等比中项，则G A ,大小关系是（） A.G A ≥ B.G A ≤ C.G A = D.G A ,大小不能确定4.双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为 ( ))0000A B C D⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭5.命题“已知b a ,为实数，若b a >，则b a >”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.46.已知命题:p x R ∀∈,23x x <;命题:q x R ∃∈,321x x =-,则下列命题中为真命题的是:( )A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝ 7．原点和点(1,1)在直线0=-+a y x 两侧，则a 的取值范围是( )A ．20≤≤aB ．20<<aC ．20==a a 或D ．20><a a 或8.在等比数列｛a n ｝中,若,20,40654321=++=++a a a a a a 则前9项之和9S 等于（） A ．50B.70C.80D.909.已知ABC ∆满足2cos c a B =，则ABC ∆的形状是（） A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形 10．下列命题正确的是（）<．对任意的实数x ,都有321x x x ≥-+恒成立.C. 224()2y x x R x =+∈+的最小值为2 D. 2(2),(2)y x x x =-≥的最大值为2 11.若点P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点，且PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12则此椭圆的离心率e ＝（） A.53 B.23 C.13 D.1212.设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)A ．必在圆x 2＋y 2＝2内 B ．必在圆x 2＋y 2＝2上 C ．必在圆x 2＋y 2＝2外 D ．以上三种情形都有可能二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比2=q , 则33a S = . 14.函数y=x ＋14-x ( x >1)的最小值是 . 15.如图，CD 是一座铁塔，线段AB 和塔底D 在同一水平地面上，在B A ,两点测得塔顶C 的仰角分别为030和045，又测得030,12=∠=ADB m AB 则此铁塔的高度为 m . 16.已知两点A( –2, 0 ) , B( 0 , 2 ), 点P 是椭圆9y16x 22+=1上任意一点，则点P 到直线 AB 距离的最大值是 ______________.三、解答题（本大题6小题，共70分。

2012-13学年高二上学期期末考试数学理试题

天津一中2012-2013-1高二年级第二次模块检测数学科试卷（理）一、选择题（每小题4分，共32分）1.一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可能是（） A ．圆柱 B. 三棱锥 C. 正方体 D. 球2.某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），这个几何体的体积是( )A．34000cm 3B ．38000cm 3C ．32000cmD ．34000cm 3.正方体的内切球与其外接球的体积之比为( )A ．1∶3B ．1∶3C ．1∶33D ．1∶94. 若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原三角形面积的( )A.2B．4C. 12D. 25.用a 、b 、c 表示三条不同的直线，y 表示平面，给出下列命题,正确的是 ( )① 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ； ③若a ∥y ，b ∥y ，则a ∥b ；④若a ⊥y ，b ⊥y ，则a ∥b . A. ①②B. ②③C. ①④D. ③④6.已知平面α外不共线的三点C B A ,,到α的距离都相等，则正确的结论是（）A ．平面ABC 必不垂直于αB ．平面ABC 必平行于α正视图侧视图俯视图α∙AB∙βC ．平面ABC 必与α相交D ．存在ABC ∆的一条中位线平行于α或在α内7.已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（） A ．13B ．23C D 8. 已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等，则1AB 与侧面11ACC A 所成角的正弦值等于（）． A B C D 二、填空题（每小题4分，共24分）9.三棱锥的底面为正三角形，侧面为等腰三角形，侧棱长为2，底面周长为9，求棱锥的高 .10.一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为 .11.如右图，正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平面1ABC ，则线段EF 的长度等于_________.12.如右图正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论中正确的序号是________. ①平面1A BD ∥平面11CB D ②1AC 与1CD相交 ③1AC ⊥平面11CB D ④ 异面直线AD 与1CB 所成角为060. 13.如右图，二面角l αβ--的大小是60°，线段AB α⊂.B l ∈，AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是 .14.如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，2=AB ，若二面角1C AB C --的大小为060，则C 到平面1ABC 的距离是 .三、解答题：（共4题，44分） 15．已知椭圆方程为22119x y +=，过左焦点作倾斜角为6π的直线交椭圆于,A B 两点，（1）求弦AB 的长；（2）求ABO △的面积.16．如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1PA AD ==，AB =F 是PD 的中点，点E 在CD 上移动.（1）求三棱锥E PAB -的体积；（2）当点E 为CD 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的关系，并说明理由；（3）求证：PE AF ⊥17. 如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2,CA CB CD BD AB AD =====（1）求证：AO ⊥平面BCD ；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值；（3）求点E 到平面ACD 的距离．E B D18.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=BB1，直线B1C与平面ABC成30°角.（1）求证：平面B1AC⊥平面ABB1A1；（2）求直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值；（3）求二面角B—B1C—A的大小.参考答案1．A 2．B3．C 4．B5．C 6．D7．D 8．A9．1 10．24+8311．2 12．①，③13．4314．2315．（1）联立消y得24150x++= |AB|=2（2）16．解：（1）11113326E PAB P AEB AEBV V PA S--∆==⋅⋅=⋅⋅=……………………3分（2）F是DP中点，E是DC中点EF PC∴,PC APC EF APC⊂⊄平面平面，EF APC∴ 平面………………3分（3）,AP AD F PD=是中点,AF PD∴⊥PA ABCD⊥平面,PA CD∴⊥B EAD CD ⊥ CD APD ∴⊥平面 CD AF ∴⊥ AF PCD ∴⊥平面 AF PE ∴⊥ …………………4分17．,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥,,.BO DO BC CD CO BD ==∴⊥在AOC ∆中，由已知可得1,AO CO == 而2,AC =222,AO CO AC ∴+= 90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥,BD OC O = AO ∴⊥平面BCD…………4分（II ）解：取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB,OE ∥DC∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角在OME ∆中，111,22EM AB OE DC ==== OM 是直角AOC ∆斜边AC 上的中线，11,2OM AC ∴==cos OEM ∴∠=…………8分（III ）解：设点E 到平面ACD 的距离为.h,11 (33)E ACD A CDE ACD CDE V V h S AO S --∆∆=∴= 在ACD ∆中，2,CA CD AD ===122ACD S ∆∴==而211,22CDE AO S ∆===1.7CDE ACD AO S h S ∆∆∴===ABMDEOC∴点E 到平面ACD的距离为7…………12分 18．（I ）证明：由直三棱柱性质，B 1B ⊥平面ABC ，∴B 1B ⊥AC ，又BA ⊥AC ，B 1B∩BA=B ，∴AC ⊥平面 ABB 1A 1，又AC ⊂平面B 1AC ，∴平面B 1AC ⊥平面ABB 1A 1. （II ）解：建立如图的空间直角坐标系A —xyz ，∵直线B 1C 与平面ABC 成30°角， ∴∠B 1CB=30°.设AB=B 1B=1，).1,1,0(),1,0,0(),0,0,2(),0,1,0(),0,0,0(.2,311B A C B AAC BC 则则==11111111111,,(0,1,1),cos ,||||A B A B B AC A B AC A B AC A B AC A B AC =-=⋅∴<>===⋅连结易知是平面的一个法向量又 ∴直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值为.66（III ）解：设(,,)n x y z =为平面BCC 1B 1的一个法向量，所求二面角为θ，由10BC n BB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,令,1=x 得(1n = ,又111,(0,1,1),A B B AC A B =- 是平面的一个法向量故1c o s c o s ,3A B n θ==。

高二数学第二学期期末试卷理(含解析)-人教版高二全册数学试题

2014-2015学年某某省某某市满城中学高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．若直线的参数方程为（t为参数），则直线的倾斜角为（）A． 30° B． 60° C． 120° D． 150°2．“x2﹣2x＜0”是“0＜x＜4”的（）A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件3．若命题“存在x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值X围为（） A． a＞3或a＜﹣1 B． a≥3或a≤﹣1 C．﹣1＜a＜3 D．﹣1≤a≤34．在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2 B．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2C．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1 D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=15．若x，y∈R且满足x+3y=2，则3x+27y+1的最小值是（）A． B． C． 6 D． 76．不等式||＞a的解集为M，又2∉M，则a的取值X围为（）A．（，+∞） B． [，+∞） C．（0，） D．（0，]7．如果关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|＜a的解集不是空集，则实数a的取值X围是（） A． 0＜a≤1 B． a≥1 C． 0＜a＜1 D． a＞18．极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线2ρcos（θ+）=﹣1的位置关系为（）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定9．下列说法中正确的是（）A．命题“若x＞y，则2x＞2y”的否命题为假命题B．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定为“∀x∈R，满足x2+x+1＞0”C．设x，y为实数，则“x＞1”是“lgx＞0”的充要条件D．若“p∧q”为假命题，则p和q都是假命题10．如图所示的韦恩图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A={x|y=}，B={y|y=3x，x＞0}，则A#B=（）A． {x|0＜x＜2} B． {x|1＜x≤2} C． {x|0≤x≤1或x≥2} D． {x|0≤x≤1或x＞2} 11．若n＞0，则n+的最小值为（）A． 2 B． 4 C． 6 D． 812．已知a，b，c为三角形的三边且S=a2+b2+c2，P=ab+bc+ca，则（）A． S≥2P B． P＜S＜2P C． S＞P D． P≤S＜2P二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把最简答案填在题后横线上）13．不等式|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0的解集为．14．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为．15．已知集合A={﹣1，1}，B={x|ax+1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为．16．已知p：|x﹣3|≤2，q：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0，若￢p是￢q的充分而不必要条件，则实数m的取值X围为．三.解答题（本大题共6小题，70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ=4coθ，ρ=﹣sinθ．（1）把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的极坐标方程．18．选修4﹣5：不等式选讲设函数，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（I）求证f（x）≥1；（II）若f（x）=成立，求x的取值X围．19．极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．（1）求C的直角坐标方程；（2）直线l：为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．20．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．21．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，某某数a的值．（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，某某数m的取值X 围．22．在直角坐标xoy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，如图，曲线C与x轴交于O，B两点，P是曲线C在x轴上方图象上任意一点，连结OP并延长至M，使PM=PB，当P变化时，求动点M的轨迹的长度．2014-2015学年某某省某某市满城中学高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．若直线的参数方程为（t为参数），则直线的倾斜角为（）A． 30° B． 60° C． 120° D． 150°考点：直线的参数方程．专题：直线与圆．分析：设直线的倾斜角为α，则α∈[0°，180°）．由直线的参数方程为（t为参数），消去参数t可得．可得直线的斜率，即可得出．解答：解：设直线的倾斜角为α，α∈[0°，180°）．由直线的参数方程为（t为参数），消去参数t可得．∴直线的斜率，则直线的倾斜角α=150°．故选D．点评：本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．2．“x2﹣2x＜0”是“0＜x＜4”的（）A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：不等式的解法及应用．分析：因为“x2﹣x＞0”可以求出x的X围，再根据充分必要条件的定义进行求解；解答：解：∵x2﹣2x＜0⇔0＜x＜2，若0＜x＜2可得0＜x＜4，反之不成立．∴“x2﹣2x＜0”是“0＜x＜4”的充分非必要条件，故选B．点评：此题主要考查一元二次不等式的解法，以及充分必要条件的定义，是一道基础题；3．若命题“存在x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值X围为（） A． a＞3或a＜﹣1 B． a≥3或a≤﹣1 C．﹣1＜a＜3 D．﹣1≤a≤3考点：特称命题．分析：根据所给的特称命题写出其否定命题：任意实数x，使x2+ax+1≥0，根据命题否定是假命题，得到判别式大于0，解不等式即可．解答：解：∵命题“存在x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”的否定是“任意实数x，使x2+ax+1≥0”命题否定是真命题，∴△=（a﹣1）2﹣4≤0，整理得出a2﹣2a﹣3≤0∴﹣1≤a≤3故选D．点评：本题考查命题的否定，解题的关键是写出正确的全称命题，并且根据这个命题是一个真命题，得到判别式的情况．4．在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2 B．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2C．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1 D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1考点：简单曲线的极坐标方程；圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：利用圆的极坐标方程和直线的极坐标方程即可得出．解答：解：如图所示，在极坐标系中圆ρ=2cosθ是以（1，0）为圆心，1为半径的圆．故圆的两条切线方程分别为（ρ∈R），ρcosθ=2．故选B．点评：正确理解圆的极坐标方程和直线的极坐标方程是解题的关键》5．若x，y∈R且满足x+3y=2，则3x+27y+1的最小值是（）A． B． C． 6 D． 7考点：基本不等式．专题：计算题．分析：将x用y表示出来，代入3x+27y+1，化简整理后，再用基本不等式，即可求最小值．解答：解：由x+3y﹣2=0得x=2﹣3y代入3x+27y+1=32﹣3y+27y+1=+27y+1∵，27y＞0∴+27y+1≥7当=27y时，即y=，x=1时等号成立故3x+27y+1的最小值为7故选D．点评：本题的考点是基本不等式，解题的关键是将代数式等价变形，构造符合基本不等式的使用条件．6．不等式||＞a的解集为M，又2∉M，则a的取值X围为（）A．（，+∞） B． [，+∞） C．（0，） D．（0，]考点：绝对值不等式的解法．专题：综合题．分析：本题为含有参数的分式不等式，若直接求解，比较复杂，可直接由条件2∉M出发求解．2∉M即2不满足不等式，从而得到关于a的不等关系即可求得a的取值X围．解答：解：依题意2∉M，即2不满足不等式，得：||≤a，解得a≥，则a的取值X围为[，+∞）．故选B．点评：本题考查绝对值不等式的解法和等价转化思想，属于基础题．7．如果关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|＜a的解集不是空集，则实数a的取值X围是（） A． 0＜a≤1 B． a≥1 C． 0＜a＜1 D． a＞1考点：绝对值不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：利用绝对值的意义求得|x﹣3|+|x﹣4|的最小值为1，再结合条件求得实数a的取值X围．解答：解：|x﹣3|+|x﹣4|表示数轴上的x对应点到3、4对应点的距离之和，它的最小值为1，故a＞1，故选：D．点评：本题主要考查绝对值的意义，属于基础题．8．极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线2ρcos（θ+）=﹣1的位置关系为（）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，再与半径比较大小即可得出．解答：解：圆ρ=2cosθ即ρ2=2ρcosθ，化为x2+y2=2x，配方为（x﹣1）2+y2=1，∴圆心C （1，0），半径r=1．直线2ρcos（θ+）=﹣1展开为=﹣1，化为x﹣y+1=0．∴圆心C到直线的距离d==1=r．∴直线与圆相切．故选：B．点评：本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程的方法、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．下列说法中正确的是（）A．命题“若x＞y，则2x＞2y”的否命题为假命题B．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定为“∀x∈R，满足x2+x+1＞0”C．设x，y为实数，则“x＞1”是“lgx＞0”的充要条件D．若“p∧q”为假命题，则p和q都是假命题考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：由指数函数的单调性和命题的否命题，即可判断A；由含有一个量词的命题的否定，即可判断B；运用对数函数的单调性和充分必要条件的定义，即可判断C；由复合命题的真假，结合真值表，即可判断D．解答：解：A．命题“若x＞y，则2x＞2y”的否命题是“若x≤y，则2x≤2y”是真命题，故A错；B．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定为“∀x∈R，满足x2+x+1≥0”，故B错；C．设x，y为实数，x＞1可推出lgx＞lg1=0，反之，lgx＞0也可推出x＞1，“x＞1”是“lgx＞0”的充要条件，故C正确；D．若“p∧q”为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，故D错．故选C．点评：本题主要考查简易逻辑的基础知识：四种命题及关系、命题的否定、充分必要条件和复合命题的真假，注意否命题与命题的否定的区别，是一道基础题．10．如图所示的韦恩图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A={x|y=}，B={y|y=3x，x＞0}，则A#B=（）A． {x|0＜x＜2} B． {x|1＜x≤2} C． {x|0≤x≤1或x≥2} D． {x|0≤x≤1或x＞2}考点： Venn图表达集合的关系及运算．专题：计算题；新定义．分析：利用函数的定义域、值域的思想确定出集合A，B是解决本题的关键．弄清新定义的集合与我们所学知识的联系：所求的集合是指将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合．解答：解：依据定义，A#B就是指将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合；对于集合A，求的是函数的定义域，解得：A={x|0≤x≤2}；对于集合B，求的是函数y=3x（x＞0）的值域，解得B={y|y＞1}；依据定义，借助数轴得：A#B={x|0≤x≤1或x＞2}，故选D．点评：本小题考查数形结合的思想，考查集合交并运算的知识，借助数轴保证集合运算的准确定．11．若n＞0，则n+的最小值为（）A． 2 B． 4 C． 6 D． 8考点：平均值不等式．专题：计算题；转化思想．分析：利用题设中的等式，把n+的表达式转化成++后，利用平均值不等式求得最小值．解答：解：∵n+=++∴n+=++（当且仅当n=4时等号成立）故选C点评：本题主要考查了平均值不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．12．已知a，b，c为三角形的三边且S=a2+b2+c2，P=ab+bc+ca，则（）A． S≥2P B． P＜S＜2P C． S＞P D． P≤S＜2P考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由于a+b＞c，a+c＞b，c+b＞a，可得ac+bc＞c2，ab+bc＞b2，ac+ab＞a2，可得SP ＞S．又2S﹣2P=（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0，可得S≥P，即可得出．解答：解：∵a+b＞c，a+c＞b，c+b＞a，∴ac+bc＞c2，ab+bc＞b2，ac+ab＞a2，∴2（ac+bc+ab）＞c2+b2+a2，∴SP＞S．又2S﹣2P=（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0，∴S≥P＞0．∴P≤S＜2P．故选：D．点评：本题考查了基本不等式的性质、三角形三边大小关系，考查了变形能力与计算能力，属于中档题．二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把最简答案填在题后横线上）13．不等式|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0的解集为{x|﹣1＜x＜1} ．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；转化思想．分析：首先分析题目求不等式|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0的解集，可以考虑平方去绝对的方法，先移向，平方，然后转化为求解一元二次不等式即可得到答案．解答：解：|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0移向得：丨2x﹣1丨＜丨x﹣2丨两边同时平方得（2x﹣1）2＜（x﹣2）2即：4x2﹣4x+1＜x2﹣4x+4，整理得：x2＜1，即﹣1＜x＜1故答案为：{x|﹣1＜x＜1}．点评：此题主要考查绝对值不等式的解法的问题，其中涉及到平方去绝对值的方法，对于绝对值不等式属于比较基础的知识点，需要同学们掌握．14．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为 3 ．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：直接划参数方程为普通方程得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的右顶点，代入直线方程即可求得a的值．解答：解：由直线l：，得y=x﹣a，再由椭圆C：，得，①2+②2得，．所以椭圆C：的右顶点为（3，0）．因为直线l过椭圆的右顶点，所以0=3﹣a，所以a=3．故答案为3．点评：本题考查了参数方程和普通方程的互化，考查了直线和圆锥曲线的关系，是基础题．15．已知集合A={﹣1，1}，B={x|ax+1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为{﹣1，0，1} ．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：阅读型．分析：根据B⊆A，利用分类讨论思想求解即可．解答：解：当a=0时，B=∅，B⊆A；当a≠0时，B={﹣}⊆A，﹣=1或﹣=﹣1⇒a=1或﹣1，综上实数a的所有可能取值的集合为{﹣1，0，1}．故答案是{﹣1，0，1}．点评：本题考查集合的包含关系及应用．16．已知p：|x﹣3|≤2，q：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0，若￢p是￢q的充分而不必要条件，则实数m的取值X围为[2，4] ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：先求出命题p，q的等价条件，然后利用p是￢q的必要非充分条件，建立条件关系即可求出m的取值X围．解答：解：∵log2|1﹣|＞1；∴：|x﹣3|≤2，即﹣2≤x﹣3≤2，∴1≤x≤5，设A=[1，5]，由：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0，得m﹣1≤x≤m+1，设B=[m﹣1，m+1]，∵￢p是￢q的充分而不必要条件，∴q是p的充分而不必要条件，则B是A的真子集，即，∴，即2≤m≤4，故答案为：[2，4]．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的性质求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．三.解答题（本大题共6小题，70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ=4coθ，ρ=﹣sinθ．（1）把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的极坐标方程．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，代入两个圆的极坐标方程，化简后可得⊙O1和⊙O2的直角坐标方程；（2）把两个圆的直角坐标方程相减可得公共弦所在的直线方程，再化为极坐标方程．解答：解：（1）∵圆O1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，∴化为直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4，∵圆O2的极坐标方程ρ=﹣sinθ，即ρ2=﹣ρsinθ，∴化为直角坐标方程为 x2+（y+）2=．（2）由（1）可得，圆O1：（x﹣2）2+y2=4，①圆O2：x2+（y+）2=，②①﹣②得，4x+y=0，∴公共弦所在的直线方程为4x+y=0，化为极坐标方程为：4ρcosθ+ρsinθ=0．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求直线的极坐标方程，属于基础题．18．选修4﹣5：不等式选讲设函数，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（I）求证f（x）≥1；（II）若f（x）=成立，求x的取值X围．考点：带绝对值的函数．专题：计算题；证明题；函数的性质及应用．分析：（I）利用绝对值不等式即可证得f（x）≥1；（II）利用基本不等式可求得≥2，要使f（x）=成立，需且只需|x﹣1|+|x﹣2|≥2即可．解答：解：（Ⅰ）证明：由绝对值不等式得：f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|≥|（x﹣1）﹣（x﹣2）|=1 …（5分）（Ⅱ）∵==+≥2，∴要使f（x）=成立，需且只需|x﹣1|+|x﹣2|≥2，即，或，或，解得x≤，或x≥．故x的取值X围是（﹣∞，]∪[，+∞）．…（10分）点评：本题考查带绝对值的函数，考查基本不等式的应用与绝对值不等式的解法，求得≥2是关键，属于中档题．19．极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．（1）求C的直角坐标方程；（2）直线l：为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）将极坐标方程两边同乘ρ，进而根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可求出C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，求出对应的t值，根据参数t的几何意义，求出|EA|+|EB|的值．解答：解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ∴x2+y2=2x+2y即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2﹣t﹣1=0，所以|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）点评：本题考查的知识点是参数方程与普通方程，直线与圆的位置关系，极坐标，熟练掌握极坐标方程与普通方程之间互化的公式，及直线参数方程中参数的几何意义是解答的关键．20．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．考点：圆的参数方程；函数的图象与图象变化；直线与圆相交的性质；直线的参数方程．专题：计算题．分析：（I）将直线l中的x与y代入到直线C1中，即可得到交点坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出|AB|．（II）将直线的参数方程化为普通方程，曲线C2任意点P的坐标，利用点到直线的距离公式P到直线的距离d，分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母约分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离d的最小值即可．解答：解：（I）l的普通方程为y=（x﹣1），C1的普通方程为x2+y2=1，联立方程组，解得交点坐标为A（1，0），B（，﹣）所以|AB|==1；（II）曲线C2：（θ为参数）．设所求的点为P（cosθ，sinθ），则P到直线l的距离d==[sin（）+2]当sin（）=﹣1时，d取得最小值．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有直线与圆的参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，根据曲线C2的参数方程设出所求P的坐标，根据点到直线的距离公式表示出d，进而利用三角函数来解决问题是解本题的思路．21．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，某某数a的值．（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，某某数m的取值X 围．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）原不等式可化为|2x﹣a|≤6﹣a，解得a﹣3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，可得a﹣3=﹣2，从而求得a的值．（2）由题意可得|n﹣1|+|2n﹣1|+2≤m，构造函数y=|n﹣1|+|2n﹣1|+2，求得y的最小值，从而求得m的X围．解答：解：（1）原不等式可化为|2x﹣a|≤6﹣a，∴，解得a﹣3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，可得a﹣3=﹣2，∴a=1．（2）∵f（x）=|2x﹣1|+1，f（n）≤m﹣f（﹣n），∴|n﹣1|+1≤m﹣（|﹣2n﹣1|+1），∴|n﹣1|+|2n﹣1|+2≤m，∵y=|n﹣1|+|2n﹣1|+2，当n≤时，y=﹣3n+4≥，当≤n≤1时，y=n+2≥，当n≥1时，y=3n≥3，故函数y=|n﹣1|+|2n﹣1|+2的最小值为，∴m≥，即m的X围是[，+∞）．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，带有绝对值的函数，体现了转化的数学思想，属于中档题．22．在直角坐标xoy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，如图，曲线C与x轴交于O，B两点，P是曲线C在x轴上方图象上任意一点，连结OP并延长至M，使PM=PB，当P变化时，求动点M的轨迹的长度．考点：简单曲线的极坐标方程；轨迹方程．专题：坐标系和参数方程．分析：设出点M的极坐标（ρ，θ），表示出OP、PB，列出的极坐标方程，再化为普通方程，求出点M的轨迹长度即可．解答：解：设M（ρ，θ），θ∈（0，），则OP=2cosθ，PB=2sinθ；∴ρ=OP+PM=OP+PB=2cosθ+2sinθ，∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ；化为普通方程是x2+y2=2x+2y，∴M的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2（x＞0，y＞0）；∴点M的轨迹长度是l=×2π×=π．点评：本题考查了极坐标的应用问题，解题时应根据题意，列出极坐标方程，再化为普通方程，从而求出解答来，是基础题．。

2023-2024学年吉林省长春市高二上册期末数学模拟试题2(含解析)

2023-2024学年吉林省长春市高二上册期末数学模拟试题一、单选题1．一条直线过原点和点()1,1P -，则这条直线的倾斜角是（）A ．4πB ．4π-C ．34πD ．74π【正确答案】C求出直线的斜率，结合倾斜角的取值范围可求得所求直线的倾斜角.【详解】设这条件直线的倾斜角为θ，则10tan 110θ--==--，0θπ≤<，因此，34πθ=.故选：C.2．抛物线22y x =的准线方程是（）A ．12x =-B ．18x =-C ．18y =-D ．12y =-【正确答案】C【分析】依题意将抛物线化为标准式，即可求出抛物线的准线；【详解】解：因为抛物线方程为22y x =，即212x y =，所以122p =，即14p =，所以抛物线的准线为18y =-故选：C3．已知椭圆C 的焦点1F ，2F 在x 轴上，过点1F 的直线与C 交于A ，B 两点，若2ABF △周长为8，则椭圆C 的标准方程可能为（）A ．2211615x y +=B ．22187x y +=C ．22143x y +=D ．22134x y +=【正确答案】C【分析】由椭圆的定义可得2ABF △的周长为48a =，然后可选出答案.【详解】由椭圆的定义可得2ABF △的周长为48a =所以2a =因为椭圆的焦点在x 轴上，所以椭圆C 的标准方程可能为22143x y+=故选：C4．已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，若3a 与9a 方程28200x x --=的两个实根，则11S =（）A ．46B ．44C ．42D ．40【正确答案】B【分析】利用等差数列的性质和前n 项和公式即可求解.【详解】因为3a 与9a 方程28200x x --=的两个实根，所以398a a +=.由等差数列{}n a 的性质可得：119138a a a a +=+=，所以()1111111442a a S +⨯==.故选：B5．经过两条直线23100x y -+=和3420x y +-=的交点，且垂直于直线3240x y -+=的直线方程为（）A ．2320x y ++=B ．3220x y +-=C ．2320x y -+=D ．2320x y +-=【正确答案】D联立直线方程求出交点坐标，利用两直线垂直的条件求出斜率，点斜式写出直线方程.【详解】由231003420x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得22x y =-⎧⎨=⎩因为所求直线与直线3240x y -+=垂直所以所求直线方程：2x +3y ＋c ＝0,代入点(2,2)-可得2c =-，所以所求直线方程为2320x y +-=故选：D方法点睛：本题考查直线方程，确定直线方程一般有两种途径：1.确定直线上不同的两点，通过直线方程的两点式确定；2.确定直线的斜率和直线上的一点，通过直线方程的点斜式确定.6．等比数列{}n a 的各项均为正数，已知向量()45,a a a = ，()76,b a a = ，且4a b ⋅= ，则2122210log log log (a a a ++⋯+=)A ．12B ．10C ．5D ．22log 5+【正确答案】C【分析】利用数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质即可得出．【详解】向量a ＝4a 5a ，b ＝7a 6a ，且a •b＝4，∴47a a +56a a ＝4，由等比数列的性质可得：110a a ＝……＝47a a ＝56a a ＝2，则2122210log log log a a a +++=log 2（12a a 10a ）＝()5521102log log 25a a ==．故选C ．本题考查数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．7．2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n 次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数n 是（）lg 20.3≈lg3.80.6≈A ．40B ．41C ．42D ．43【正确答案】C设对折n 次时，纸的厚度为n a ，则{}n a 是以10.12a =⨯为首项，公比为2的等比数列，求出{}n a 的通项，解不等式460.12381010n n a =⨯≥⨯⨯即可求解【详解】设对折n 次时，纸的厚度为n a ，每次对折厚度变为原来的2倍，由题意知{}n a 是以10.12a =⨯为首项，公比为2的等比数列，所以10.1220.12n nn a -=⨯⨯=⨯，令460.12381010n n a =⨯≥⨯⨯，即122 3.810n ≥⨯，所以lg 2lg 3.812n ≥+，即lg 20.612n ≥+，解得：12.6420.3n ≥=，所以至少对折的次数n 是42，故选：C关键点点睛：本题解题的关键是根据题意抽象出等比数列的模型，求出数列的通项，转化为解不等式即可.8．圆22:890C x y x ++-=上有四个点到双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的一条渐近线的距离为2，则双曲线E 的离心率的取值范围是（）．A ．41,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,7⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．7⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】易得双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为0bx ay -=和圆的圆心()4,0-，半径为5，根据圆C 上有四个点到0bx ay -=的距离为2，由圆心()4,0-到0bx ay -=的距离523d <-=求解.【详解】双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为0bx ay -=，圆22:890C x y x ++-=，圆心()4,0-，半径为5，因为圆C 上有四个点到0bx ay -=的距离为2，所以圆心()4,0-到0bx ay -=的距离523d <-=3<，而222+=a b c ，所以22167c a <，即17e <<故选：C二、多选题9．下列结论中，正确的是（）A ．sincos33ππ'⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．若()21f x x =，则()2327f '=-C ．()x xe e '=D ．()41log ln 4x x '=【正确答案】BCD【分析】根据初等函数的导数逐一判断即可.【详解】A ：因为sin32π=，所以'sin 03π⎛⎫= ⎪⎝⎭，因此本选项不正确；B ：由()()231'2f x f x x x =⇒=-，所以()2'327f =-，因此本选项正确；C ：因为()'x xe e =，所以本选项正确；D ：因为()41log 'ln 4x x =，所以本选项正确，故选：BCD10．已知曲线22:0C Ax By Dx Ey F ++++=，下列说法正确的是（）A ．若A =B =1，则C 是圆B ．若A =B =0，220D E +>，则C 是直线C ．若A ≠0，B =0，则C 是抛物线D ．若AB <0，D =E =0，0F ≠，则C 是双曲线【正确答案】BD【分析】对于A ：当A =B =1时，则曲线22:0C x y Dx Ey F ++++=，分22+40D E F -=，22+4>0D E F -，22+40D E F -<，分别讨论可判断；对于B ：当A =B =0，则:0C Dx Ey F ++=，且220D E +>，可判断；对于C ：当A ≠0，B =0，则2:0C Ax Dx Ey F +++=，分0E =，0E ≠，讨论可判断；对于D ：当AB <0，D =E =0，0F ≠，则22:0C Ax By F ++=由此可判断.【详解】已知曲线22:0C Ax By Dx Ey F ++++=，对于A ：当A =B =1时，则曲线22:0C x y Dx Ey F ++++=，若22+40D E F -=，则C 是点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；若22+4>0D E F -，则C 是圆；若22+40D E F -<，则C 不存在，故A 不正确；对于B ：当A =B =0，则:0C Dx Ey F ++=，且220D E +>，则C 是直线，故B 正确；对于C ：当A ≠0，B =0，则2:0C Ax Dx Ey F +++=，若0E =，则2:0C Ax Dx F ++=表示一元二次方程，若0E ≠，则2:+0C Ax Dx Ex F ++=表示抛物线，故C 不正确，对于D ：当AB <0，D =E =0，0F ≠，则22:0C Ax By F ++=表示双曲线，故D 正确，故选：BD.11．等差数列{}n a 是递增数列，公差为d ，前n 项和为n S ，满足753a a =，下列选项正确的是（）A ．d ＜0B ．10a <C ．当n ＝5时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为8【正确答案】BD【分析】利用等差数列基本量计算以及等差数列前n 项和公式进行判断.【详解】A ：因为数列递增，故0d >，故A 错；B ：因为753a a =，根据基本量展开，即130a d +=，因为0d >，所以10a <，故B 正确；C ：由130a d +=可知40a =，所以前3项均为负数，故n S 最小时，n 为3或4.故C 错；D ：()17747702a a S a +===，()()188458402a a S a a +==+>，故当0n S >时，n 最小值为8.故选：BD12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为12，焦距为20，左、右焦点分别为12,F F ，下列结论正确的是（）A ．双曲线C 的离心率为53B ．双曲线C 的渐近线方程为34y x=±C ．2F 到一条渐近线的距离是8D ．过2F 的最短弦长为643【正确答案】AC【分析】依题意可知6a =，10c =，8b =，进而由双曲线的几何性质可依次做出判断.【详解】依题意可知6a =，10c =，所以8b =.离心率53c e a==，故A 正确；渐近线方程为43y x =±，故B 错误；2(10,0)F ，不妨设渐近线为430x y +=，则2F 到渐近线的距离8d =，故C 正确；过2F 的最短弦长为212a =，故D 错误.故选：AC.三、填空题13．已知F 为椭圆22143x y +=的左焦点，P 为椭圆上一点，则PF 的取值范围为_________．【正确答案】[1,3]【分析】设出点P 的坐标，由两点间的距离公式求出||PF ，进而根据点在椭圆上将式子化简，最后求出范围.【详解】由题意，()1,0F -，设(),P x y ，则2222313434x y y x +=⇒=-，所以1|||4|2PF x ==+，因为22x -≤≤，所以||PF 的范围是[]1,3.故答案为.[]1,314．函数()2ln f x x x =+在点(1,(1))f 处的切线方程为__________.【正确答案】320x y --=【分析】求出切点和斜率，代入点斜式即可求出结果.【详解】因为()2ln f x x x =+，所以()11=f ，()1'2f x x x=+，()'1213f =+=所以切线方程为13(1)y x -=-，即320x y --=故320x y --=本题考查的是导数的几何意义，考查了运算求解能力，属于一般题目.15．已知实数4，m ，9构成一个等比数列，则圆锥曲线221x y m+=的离心率为________.【正确答案】6【分析】根据等比中项的性质求得m ，由此对m 进行分类讨论，求得圆锥曲线221xy m+=的离心率.【详解】由于实数4,,9m 成等比数列，所以24936m =⨯=，所以6m =±.当6m =时，2216x y +=为椭圆，6c a c a ===.当6m =-时，2216x y +=-为双曲线，1,1a b c =====.所以锥曲线221x y m +=的离心率为6本小题主要考查等比中项的性质，考查椭圆和双曲线的离心率的求法，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.16．已知双曲线2222:1,-=x y C a b且圆22(2):1E x y -+=的圆心是双曲线C 的右焦点.若圆E 与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为____________.【正确答案】2213x y -=【分析】由已知可得双曲线右焦点坐标为(2,0)，再由圆心到渐近线的距离为1，得到,a b 关系，结合2c =，即可求解.【详解】∵2224c a b =⇒+=.①取渐近线0bx ay -=，2213a b =⇒=.②由①②可得23a =，21b =，∴双曲线C 的方程为2213x y -=.故答案为:2213x y -=.本题以圆为背景，考查双曲线的性质，考查计算求解能力，属于基础题.四、解答题17．等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=.(1)求{}n a 的通项公式和前n 项和n S ；(2)设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【正确答案】(1)22n a n =+；23n S n n=+(2)224n n T +=-【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前n 项和公式求解即可；（2）根据条件算出14,2b q ==，再由等比数列的前n 项和公式求解即可.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由1210a a +=，432a a -=可得，1110,2a a d d ++==，解得：14,2a d ==，可得：()42122n a n n =+-=+，()()12422322n n n a a n n S n n +++===+.（2）设等比数列{}n b 的公比为q ，由足23b a =，37b a =，可得：18b q ⋅=，2116b q ⋅=，解得：14,2b q ==，则数列{}n b 的前n 项和n T 为.()24122412n n n T +-==--18．已知圆22:8120C x y y +-+=，直线:20l ax y a ++=．(1)当直线l 与圆C 相交，求a 的取值范围；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB =l 的方程．【正确答案】(1)3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；(2)20x y -+=或7140x y -+=.【分析】（1）根据直线与圆的位置关系，利用几何法可得出关于实数a 的不等式，由此可解得实数a 的取值范围；（2）根据勾股定理求出圆心到直线l 的距离，再利用点到直线的距离公式可得出关于实数a 的值，即可求出直线l 的方程.【详解】（1）解：圆C 的标准方程为()2244x y +-=，圆心为()0,4C ，半径为2r =，因为直线l 与圆C 2<，解得34a <-.（2）解：因为AB =，则圆心C 到直线l 的距离为d由点到直线的距离公式可得d =2870a a ++=，解得1a =-或7-.所以，直线l 的方程为20x y -+=或7140x y -+=.19．已知抛物线C ：24y x =，坐标原点为O ，焦点为F ，直线l ：1y kx =+．（1）若l 与C 只有一个公共点，求k 的值；（2）过点F 作斜率为1的直线交抛物线C 于A 、B 两点，求OAB 的面积．【正确答案】（1）1或0；（2）【分析】（1）将直线方程与抛物线方程联立，由0k =或0∆=即可求解；（2）求出抛物线的焦点坐标，即可得直线方程，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立直线与抛物线方程，根据121||||2OABSOF y y =⋅-及韦达定理即可求解；【详解】解：（1）依题意214y kx y x=+⎧⎨=⎩消去x 得2114y ky =+，即2440ky y -+=，①当0k =时，显然方程只有一个解，满足条件；②当0k ≠时，2(4)440k ∆=--⨯=，解得1k =；综上，当1k =或0k =时直线与抛物线只有一个交点；（2）抛物线C ：24y x =，所以焦点(1,0)F ，所以直线方程为1y x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由214y x y x=-⎧⎨=⎩，消去x 得2440y y --=，所以124y y +=，124y y =-，所以12||y y -==所以1211||||122OABSOF y y =⋅-=⨯⨯=20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，239n n S a =-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若3log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 【正确答案】(1)()13N n n a n +*=∈(2)24n nT n =+【分析】（1）根据数列公式11,1,2n n n a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，结合已知得出19a =与()132n n a n a -=≥，即可根据等比数列定义得出答案；（2）根据对数运算结合小问1通项得出1n b n =+，再得出数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，即可利用裂项相消法得出答案.【详解】（1）由题意得，当1n =时，1112239S a a ==-，解得19a =，当2n ≥时，由239n n S a =-可得，11239n n S a --=-，两式相减并整理得：13n n a a -=，故数列{}n a 是首项为9，公比为3的等比数列，则数列{}n a 的通项公式为.()11933n n n a n -+*=⨯=∈N （2）由小问1知：133log log 31n n n b a n +===+，则()()111111212n n b b n n n n +==-++++，则12231111n n n T b b b b b b +=+++，111111233412n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1122n =-+，24n n =+.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，1,24⎛⎫- ⎪⎝⎭（1）求C 的方程；（2）记C 的左顶点为M ，上顶点为N ，点A 是C 上在第四象限的点，AM ，AN 分别与y 轴，x 轴交于P ，Q 两点，试探究四边形MNQP 的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.【正确答案】（1）22143x y +=；（2）是定值，定值【分析】（1）利用代入法进行求解即可；（2）根据直线二点式方程，结合四边形的面积表达式，通过数学运算进行求解判断即可.【详解】解：（1）依题意，2222191,41451,416a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得224,3a b ==，故C 的方程为22143x y +=.（2）是定值.理由如下：依题意，(2,0),M N -，设()00,A x y ，则22003412x y +=，所以直线0002:02y x AM y x -+=-+，令0020,2P y x y x ==+，则0000022||22P y y NP y x x +===++；直线000x AN x -=-，令0,Q y x =.则22Q MQ x =+=又易知NP MQ ⊥，所以四边形MNQP 的面积为1||||2S NP MQ =⋅012=00002x y y +-=所以四边形MNQP 的面积为关键点睛：根据四边形的面积表达式，通过熟练的数学运算求解是解题的关键.。

期末模拟题(二)-2021-2022学年高二上学期数学(人教A版(2019)选择性必修第一册)

高二上册数学期末模拟题（二）-人教A 版（2019）新高考一、单选题1．在数列{}n a 中，11a =，()1112n n a n a -=+≥，则4a =（） A ．32B ．53C ．74D ．852．双曲线2214y x -=的渐近线方程是（）A ．12y x =± B ．2y x =±C ．4x y =±D ．14x y =±3．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AA a =，11A B b =，11A D c =，O 为底面ABCD 的中心，G 为11D C O 的重心，则AG =（）A ．215326a b c ++B ．2536a b c ++C ．121336a b c ++D ．1526a b c ++4．圆22(1)(2)2x y -++=关于直线:10l x y -+=对称的圆的方程为（） A ．22(1)(3)2x y ++-= B ．22(1)(3)2x y -++= C ．22(3)(2)2x y ++-= D ．22(3)(2)2x y -++=5．已知4ln 4a a -=，3ln 3-=b b ，22ln -=cc ，其中4a ≠，3b ≠，2c ≠，则（）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．a c b <<6．已知数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=，则数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和是（） A ．1021B ．1123C ．2021D ．22237．已知12F F ，为双曲线222:1(0)16x y C a a -=>的左､右焦点，点A 在双曲线的右支上，点(72)P ，是平面内一定点.若对任意实数m ，直线430x y m ++=与双曲线C 的渐近线平行，则2AP AF +的最小值为（） A．6B．10-C．8D．28．若曲线12,C C 存在到直线l 距离相等的点，则称12,C C 相对直线l “互关”.已知曲线22212:,:(4)2C y x a C x y =+-+=相对直线:0l x y -=“互关”，则实数a 的取值范围是（） A ．(,4]∞- B ．25(,]4∞- C ．25(2,]4D ．25()4∞+，二、多选题9．空间直角坐标系O xyz -中，已知()()1,2,2,0,1,1A B -，下列结论正确的有（） A ．(1,1,3)AB =--B ．若()2,1,1m =，则⊥m ABC ．点A 关于xOy 平面对称的点的坐标为()1,2,2- D．||AB =10．已知曲线C ：()224y m x =-，其中m 为非零常数，则下列结论中正确的是（）A ．当1m =-时，则曲线C 是一个圆B ．当0m >时，则曲线C 是一个双曲线C ．若3m =-时，则曲线是焦点为(0,±的椭圆 D ．若曲线C2m =- 11．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且214S a =，2a 是11a +与312a 的等差中项，数列{}nb 满足1nn n n a b S S +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则下列命题正确的是（）A ．数列{}n a 的通项公式123n n a -=⨯B ．31nn s =-C ．数列{}n b 的通项公式为()()1233131nn nn b +⨯=-- D ．n T 的取值范围是11,86⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．函数()1,11ln ,1x e m x f x x x x -+⎧+<=⎨+-≥⎩的值域为[)2,+∞，则下列选项中一定正确的是（）A ．1m ≥B ．()()21f f m -<--C ．()()()ln 21f m f m +<+D ．ln 212e f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三、填空题13．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱B 1C 1，CC 1的中点，则异面直线A 1E 与BF 所成角的余弦值为___________.14．在平面直角坐标系中，以点(0,1)为圆心且与直线20mx y m --+=相切的圆中，半径最大的圆的标准方程为______15．已知椭圆C ：2214x y +=的左､右焦点分别是1F ，2F ，过点1F 的直线交椭圆于A ，B两点，则2ABF 的内切圆面积的最大值为___________.16．定义在R 上的函数()f x 满足()()13f x f x +=+，当[)0,1x ∈时，()24342x f x x +=+.设()f x 在[)()*,1n n n +∈N 上最小值为n a ，则6a =___________.四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，()*12,2n n n a S n N n -=+∈≥．（1）求证：数列2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；18．已知E ，F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱BC 和CD 的中点．（1）求1A D 与EF 所成角的大小；（2）求1A E 与平面1B FB 所成角的余弦值．19．在平面直角坐标系xOy 中，已知两定点A (－2，2)，B (0，2)，动点P 满足2PA PB=（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点(0，1)的直线l 与轨迹C 相交于M 、N 两点，且||4MN =，求直线l 的方程． 20．已知E 是曲线221:143x y C +=上任一点，过点E 作x 轴的垂线，垂足为H ，动点D 满足32HE HD =（1）求点D 的轨迹2C 的方程;（2）若点P 是直线:250l x y --=上一点，过点P 作曲线2C 的切线，切点分别为M ，N ，求使四边形OMPN 面积最小时MN 的值.21．已知数列{}n a 满足a 1＝1，a n ＋1＝2,3,n na n a n ⎧⎨+⎩为奇数为偶数（1）从下面两个条件中选一个，写出b 1，b 2，并求数列{}n b 的通项公式； ①b n ＝a 2n －1＋3；②b n ＝a 2n ＋1－a 2n －1．（2）求数列{}n a 的前n 项和为S n ．22．已知函数()()2ln f x x x ax x a R =-+∈.（1）当0a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 有两个零点12,x x ，且122x x >，证明1228x x e >.参考答案1．B 【分析】分别将2n =，3，4代入递推关系式求出2a ，3a ，4a 的值即可求解. 【详解】数列{}n a 中，11a =，()1112n n a n a -=+≥，令2n =，可得21111121a a =+=+=，令3n =，可得321131122a a =+=+=，令4n =，可得431251133a a =+=+=，故选：B. 2．B 【分析】求出a 、b 的值，即可得出双曲线的渐近线方程. 【详解】在双曲线2214y x -=中，1a =，2b =，所以，该双曲线的渐近线方程为2b y x x a =±=±. 故选：B. 3．A 【分析】结合空间线段的关系以及空间向量的线性运算即可求出结果. 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，1AA a =，11A B b =，11A D c =，O 为底面ABCD 的中心，G 为11D C O 的重心，连接OG ，则()1111()23AG AO OG AB AD OD OC =+=+++111111()()()2322b c BA BC DD AB AD CC ⎡⎤=+++++++⎢⎥⎣⎦11111()()()26363b c b c a b c a =++-+++++ 215326a b c ++=．故选：A ． 4．C 【分析】圆关于直线的对称圆问题，第一步求圆心关于直线的对称点，半径不变，第二步直接写出圆的方程. 【详解】圆22(1)(2)2x y -++=的圆心(1,2)-，由:10l x y -+=得1l k =设对称点的坐标为(,)m n ，利用两圆心的连线与直线垂直，两圆心的中点在直线上列方程求解， 211{121022l n k m m n +⋅=--+--+=，化简得1050m n m n ++=⎧⎨-+=⎩，解得32m n =-⎧⎨=⎩所以对称圆的方程为22(3)(2)2x y ++-=.故选:C. 5．C 【分析】先令函数()ln f x x x =-，求导判断函数()f x 的单调性，并作出函数()f x 的图像，由函数()f x 的单调性判断()()()f c f b f a >>，再由对称性可得a b c <<.【详解】由4ln4aa -=，则ln 4ln 4a a -=-，同理ln 3ln3b b -=-，ln 2ln 2c c -=-，令()ln f x x x =-，则()111x f x x x-'=-=，当()0,01f x x '<<<；当()0,1>>'f x x ，∴()f x 在()0,1上单调递减，()1,+∞单调递增，所以()()()432f f f >>，即可得()()()f a f b f c >>，又4a ≠，3b ≠，2c ≠由图的对称性可知，a b c <<.故选：C 6．C 【分析】用1n -替换已知式中的n ，然后两式相减求得n a ，然后由裂项相消法求和．【详解】因为123(21)2n a a n a n +++-=，所以2n ≥时，1213(23)2(1)n a a n a n -+++-=-，两式相减得(21)2n n a -=，221n a n =-，又12a =，满足此式，所以221n a n =-， 21121(21)(21)2121n a n n n n n ==-+-+-+，所以数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和为111111201133519212121⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：C ． 7．A 【分析】根据双曲线的性质可得直线430x y m ++=与双曲线的渐近线方程为4y x a=±，重合或平行，即可求出a ，再利用双曲线的定义转化可求最小值. 【详解】∵双曲线C ：()2221016x y a a -=>，∴双曲线的渐近线方程为4y x a =±，∵对任意实数m ，直线430x y m ++=与双曲线C 的渐近线平行， ∴直线430x y m ++=与双曲线的渐近线方程为4y x a=±平行， ∴3a =，∴5c =，∴1F 为()5,0-，∵()7,2P ，∴1PF =∴211666AP AF AP AF PF +=+-≥-=， ∴2APAF +的最小值为6. 故选：A. 8．B 【分析】由点到直线的距离公式求出圆心2(40)C ，到直线l 的距离，进而得出圆上点到直线l 的最大距离max d ，当0a ≤时满足题意；当0a >时，利用导数的几何意义求出曲线1C 的切点坐标，根据点到直线的距离公式求出切点到直线l 的距离2d ，结合2max d d ≤计算即可. 【详解】由题意知，圆2C 的圆心坐标为2(40)C ，，半径为r = 圆心2(40)C ，到直线l的距离为1d ==所以圆上的点到直线l 的最大距离为max 1d d r =+=当0a ≤时，21C y x a =+：为开口向上的抛物线，1C 、2C 存在到直线l 距离相等的点，符合题意；当0a >时，由21C y x a =+：，得2y x '=，设点00()P x y ，为曲线1C 上的一点，则曲线上过点P 的切线方程的斜率为02x ，又过点P 且与直线l 平行的切线方程的斜率为1，所以02x =1，012x =，所以切点11()24P a +，，此时切点11()24P a +，到直线l的距离为2d =，由2max d d ≤≤164a -≤，解得232544a -≤≤，所以2504a <≤综上所述，254 a≤故选：B9．AB【分析】利用向量的坐标公式，模的计算公式，对称点的坐标，及数量积公式依次计算即可得出结果. 【详解】()()1,2,2,0,1,1A B-，∴(1,1,3)AB=--,1AB=+A正确,D 错误.若()2,1,1m=，则()()=211113=0m AB⋅⨯-+⨯-+⨯,则⊥m AB,B正确，点A关于xOy平面对称的点的坐标为()1,2,2，故C错误，故选：AB.10．ABC【分析】根据曲线方程，结合各选项给定的参数值，将方程转为为22221x ya b±=的形式判断曲线的性质即知A、B、C的正误，由椭圆的离心率求参数m判断D.【详解】A：1m=-时，曲线可整理为224x y+=，即曲线C是一个圆，正确；B：0m>时，曲线可整理为22144x ym-=，即曲线C是一个双曲线，正确；C：3m=-时，曲线可整理为221124y x+=，即曲线是焦点为(0,±的椭圆，正确；D：由上分析知：若曲线C的椭圆，则m<⎧⎪=2m<⎧=，可得12m=-或2m=-，错误.故选：ABC.11．ABD【分析】根据已知条件求出等比数列{}n a 的公比和首项，进而可以求得n a 和n S ；利用裂项相消法可得111133131n n n b +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭和n T ，讨论数列{}n T 的单调性，即可得出n T 的范围. 【详解】A ：由214S a =可得213a a =，所以等比数列{}n a 的公比3q =，所以113n n a a -=⨯.由2a 是11a +与312a 的等差中项，可得2131212a a a =++，即()2111123132a a a ⨯=++⨯，解得12a =，所以123n n a -=⨯，所以A 正确；B ：()()1121331113nnnn a q S q-⨯-===---，所以B 正确；C ：()()111123111331313131n n n n n n n n n a b S S -+++⨯⎛⎫===- ⎪⋅----⎝⎭，所以C 不正确；D ：12n nT b b b =++⋅⋅⋅+1223111111111111113333231313131313131n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以数列{}n T 是递增数列，得11110326n T T ⎛⎫≤<⨯-= ⎪⎝⎭，所以1186n T ≤<，所以D 正确.故选：ABD. 12．ACD 【分析】判断函数在(),1-∞上的单调性，再根据函数的值域即可求出m 的范围，即可判断A ；根据函数在(),1-∞上的单调性即可判断B ；利用导数判断函数()f x 在[)1,+∞上的单调性，令()()()1ln 2,1h x x x x =+-+≥，求出函数()h x 在[)1,+∞上的单调性，即可判断1m +与()ln 2m +的大小，从而可判断C ；令()ln xg x x=，求出函数()g x 在(]0,e 上的单调性，再根据函数在(),1-∞上的单调性即可判断D. 【详解】解：当1x ≤时，()1ln f x x x =+-，则()1110x f x x x-'=-=≥，所以函数()f x 在[)1,+∞上递增，()()12f x f ≥=，当1x <时，()1x f x em -+=+在(),1-∞上递减，则()()112f x f m >=+≥，解得m 1≥，故A 正确；则12m --≤-，所以()()21f f m -≤--，故B 错误；则23m +≥，故()ln 21m +>，令()()()1ln 2,1h x x x x =+-+≥，则()111022x h x x x +'=-=>++，所以函数()h x 在[)1,+∞上递增，所以()()12ln30h x h ≥=->，所以()ln 12x x +>+，即()1ln 2m m +>+，所以()()()ln 21f m f m +<+，故C 正确；令()ln xg x x=，则()21ln x g x x -'=，当0x e <≤时，()0g x '≤，所以函数()g x 在(]0,e 上递增，所以()()2g g e <，即ln 2112e<<，所以ln 212e f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD. 13．25【分析】建立如图所示空间直角坐标系，利用数量积可求夹角的余弦值. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则1(0,0,2),(2,0,0),(2,1,2),(2,2,1)A B E F ，则1(2,1,0),(0,2,1)A E BF ==，故1112,cos ,55||A E BF A E BF A E BF ⋅===.故答案为：2514．22(1)2x y +-= 【分析】把直线方程化为点斜式，根据题意知，当切点为P 点时，半径最大且为CP ，结合两点间的距离公式即可求解. 【详解】根据题意，直线20mx y m --+=，即()21y m x -=-，恒过定点()1,2，记P 为()1,2 设要求圆的半径为r ，其圆心C 的坐标为(0,1)，其与直线20mx y m --+=相切的所有圆中，当切点为P 点时，半径最大且为CP ，所以，()()22221021r CP ==-+-=2，则所求圆的方程为22(1)2x y +-= 故答案为：22(1)2x y +-=． 15．4π 【分析】设直线AB 的方程为3x ty =，()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得1212,y y y y +，由2121212ABF S F F y y =-△示面积，并变形后应用基本不等式得最大值，从而可得内切圆半径最大值，即得面积最大值．【详解】解：直线AB 的斜率不能为0，但可不存在.设直线AB的方程为x ty =，()11,A x y ，()22,B x y ，由2214x ty x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得()22410t y +--=，12y y +=12214y y t =-+，则2121212ABF SF F y y =⋅-12=⋅====≤2=（当且仅当t =时等号成立）.设2ABF 的内切圆半径为r ，2248AF BF AB a ++==，则()22122AF BF AB r ++⋅≤， 12r ≤，则2ABF 的内切圆面积的最大值为2124ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：4π． 16．19 【分析】根据基本不等式可知[)0,1x ∈时()min 1f x =，又()()13f x f x +=+，可得()()13f x f x =-+，进而可求出[)1,2x ∈时()1min 4f x a ==，由此可知[)()*1,2x n n n N ∈++∈时，可得13n n a a +=+，由此可证数列{}n a 是以4为首项，3为公差的等差数列，再根据等差数列的的通项公式，即可求出结果. 【详解】当[)0,1x ∈时，()22411414413122=11422422x x x f x x x x x ⎛⎫+++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭+- ⎪⎛⎫⎝ ⎪+⎝⎭==++⎛⎫++ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎭ 因为32121,2x ∈+⎡⎫⎪⎢⎣⎭，所以()11121121f x x x ⎛⎫+-≥= ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪+⎝+⎭= 当且仅当11122x x +=+，即12x =时，取等号；所以当[)0,1x ∈时，()min 1f x =；又()()13f x f x +=+ 所以()()13f x f x =-+；当[)1,2x ∈时，则[)10,1x -∈，所以()()min min 134f x f x =-+=；又()f x 在[)()*,1n n n +∈N 上最小值为n a ，所以14a =当[)()*1,2x n n n N∈++∈时，则[)()*1,1x n n n N -∈+∈所以()()min min 13f x f x =-+ 即13n n a a +=+，所以13n n a a +-=所以数列{}n a 是以4为首项，3为公差的等差数列，即()43131n a n n =+-=+ 所以619a =. 故答案为：19.17．（1）证明见解析；（2）1(1)2n n a n -=+⋅，*n N ∈.【分析】（1）由题设可得11221n n n n S S ---=，即可证明结论；（2）由（1）可知2nn S n =⋅，再根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩计算可得；（1）由12a =，()*12,2n n n a S n N n -=+∈≥，∴112nn n n S S S ---=+，整理得：11221n n n n S S ---=，而11221S a ==， ∴2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭以1为首项，1为公差的等差数列，得证. （2）由（1）得：2nn S n =⋅，①当1n =时，112a S ==；②当2n ≥时，111(1)(1)222n n n n n n a S S n n n ---=-=--⋅=+⋅⋅，综上，1n =时1(1)2n n a n -=+⋅成立，∴1(1)2n n a n -=+⋅，*n N ∈. 18．（1）60°；（2）23.【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标公式即可求出异面直线所成角的余弦值，进而结合异面直线成角的范围即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标公式即可求出求出线面角的正弦值，进而结合线面角的范围即可求出结果；（1）以AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2a ，则1(0,0,2)A a ，(0,2,0)D a ，()2,,0E a a ，(),2,0F a a ，所以1(0,2,2)A D a a =-，(,,0)EF a a =-，设1A D 与EF 所成角的大小为α，则211222211cos cos ,244A D EF A D EF A D EFa a a a ⋅====⋅+⋅+α，因为异面直线成角的范围是(0,90⎤⎦，所以1A D 与EF 所成角的大小为60°．（2）设平面1B FB 的法向量为()0000,,n x y z =，1A E 与平面1B FB 所成角为β，0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦πβ．因为(2,0,0)B a ，1(2,0,2)B a a ，所以(,2,0)BF a a =-，1(0,0,2)BB a =，所以0000102020n BF ax ay n BB az ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令02x =，得0(2,1,0)n =为平面1B FB 的一个法向量，又因为1(2,,2)A E a a a =-，所以10102221045sin cos ,4414A E n a a A E n A E n a a a ⋅+====⋅++⋅+β 所以22cos 1sin 3=-ββ． 19．（1）22(2)(2)8x y -+-=；（2）x ＝0或3x ＋4y －4＝0﹒ 【分析】(1)设动点P 的坐标，直接利用已知的等式2PA PB=(2)分直线l 斜率存在和不存在两种情况进行分析，利用圆心到直线的距离列出方程求解即可．（1）设动点P 的坐标为(,)x y ，则PA PB==，整理得22(2)(2)8x y -+-=，故动点P 的轨迹是圆，方程为22(2)(2)8x y -+-=；（2）由(1)知动点P 的轨迹是圆心为(2,2)C，半径R = 设F 为MN 中点，则CF l ⊥，得||||2FM FN ==，圆心C 到直线l 的距离||2d CF ==，当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为0x =，此时||2CF =，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为1y kx =+，即10kx y -+=，由题意得2d ==，解得34k =-；故直线l 的方程为3440x y +-=，综上直线l 的方程为0x =或3440x y +-=． 20．（1）224x y +=；（2【分析】（1）设(),D x y ，()00,E x y ，则()0,0H x ，由32HE HD =可得00x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，再代入2200143x y +=化简即可求解；（2）由圆的切线的性质可得PM PN =，OM PM ⊥，S OM PM =⋅=圆心O 到直线l 的距离即为OP 的最小值，进而可得面积S 的最小值，再由min min 12S OP MN =⋅即可得MN 的值. （1）设(),D x y ，()00,E x y ，则()0,0H x ，由32HE HD =可得())000,,y x x y =-，所以)000x x y y -==，所以00x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，因为点()00,E x y 在椭圆221:143x y C +=上，所以2200143x y +=，所以22143yx ⎫⎪⎝⎭+=，整理可得：224x y +=，所以点D 的轨迹方程为224x y +=. （2）由圆的切线性质知，切线长PM PN =，OM PM ⊥，所以四边形面积2S OM PM PM =⋅===所以当OP 最小时，面积最小，而OP 的最小值即为点O 到直线:250l x y --=的距离d ==此时min 2S ==，又因为min min 11222S OP MN MN =⋅==，可得MN =，所以四边形OMPN面积最小时MN21．（1）所选条件见解析，124,8b b ==；12n n b +=；（2）7246229212,2292212,2n n n n n n S n n +++⎧--⎪⎪=⎨⎪+--⎪⎩为奇数为偶数. 【分析】（1）分n 为奇数和n 为偶数进行讨论，分别构造数列即可求出结果.（2）分n 为奇数和n 为偶数进行讨论，然后结合等比数列的求和公式以及分组求和即可求出结果. （1）当n 为奇数时，21323n n n a a a ++=+=+，则()2323n n a a ++=+，且134a +=，则12342n n a ++=⋅，即3223n n a +=-，当n 为偶数时，()2122326n n n n a a a a ++==+=+，则()2626n n a a ++=+，且2122a a ==，268a +=，则12682n na ++=⋅，即4226n n a +=-，若选①，则213122132332n n n n b a -++-=+=-+=，则124,8b b ==；若选②，则2132132112221212323222n n n n n n n n b a a ++-+++++-⎛⎫=-=---=-= ⎪⎝⎭，则124,8b b ==，（2）当n 为偶数时，12n n S a a a =+++()()13124n n a a a a a a -=+++++++24233422232323262626n n ++⎛⎫⎛⎫=-+-++-+-+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭232221221236122122n nn n ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⋅+-⋅-- 4622922122n n n ++=+--当n 为奇数时，12n n S a a a =+++()()13241n n a a a a a a -=+++++++33233422232323262626n n ++⎛⎫⎛⎫=-+-++-+-+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1123222122121136122122n n n n +-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭=-⋅+-⋅-- 72921222n n +=--7246229212,2292212,2n n n n n n S n n +++⎧--⎪⎪=⎨⎪+--⎪⎩为奇数为偶数. 22．（1）单调增区间是21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，单调减区间是210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）证明见解析【分析】（1）当0a =时，()ln 2f x x '=+，结合导数正负判断函数单调区间即可；（2）因12,x x 是函数零点，得2211112222ln 0,ln 0x x ax x x x ax x -+=-+=，分离得121122ln ln 11x x a x x x x =+=+，令21(2)x tx t =>，构造()12ln x x ⋅，代换成关于t 的函数表达式()h t ，通过()h t '求出()h t 最值，进而得证. （1）答案第17页，共17页当0a =时，()()ln ,ln 2f x x x x f x x =+∴=+',令()0f x '>得21x e >，令()0f x '<得210x e <<， ()f x ∴的单调增区间是21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，单调减区间是210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）若()f x 有两个零点12,x x ，则2211112222ln 0,ln 0x x ax x x x ax x -+=-+=，得121122ln ln 11x x a x x x x =+=+. 2120x x >>，令21(2)x tx t =>，则()111111ln ln 11tx x x x tx tx +=+，得1ln ln 11t x t =--，则()211ln ln ln ln ln 11t t x tx t x t ==+=--， ()()12121ln ln ln ln ln ln 11 2.111t t t t t x x x x t t t +∴=+=-+-=---- 令()()1ln 2(2)1t t h t t t +=->-，则212ln ()(1)t t t h t t -+-'=-，令()12ln (2)t t t t t ϕ=-+->，则()22221(1)10t t t t t ϕ-=-++=>'， ()t ϕ∴在()2,+∞上单调递增，()()3t 22ln202ϕϕ∴>=->. ()()20(1)t h t t ϕ∴=>-'，则()h t 在()2,+∞上单调递增， ()()2823ln 22ln h t h e∴>=-=，即()1228ln ln x x e >， 1228x x e ∴>.答案第18页，共1页。

河北省承德市2023-2024学年高二数学上学期12月联考模拟试题(含答案)

河北省承德市2023-2024学年高二数学上学期12月联考模拟试题注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 抛物线()20y ax a=<的焦点坐标是（）A.1,04a⎛⎫⎪⎝⎭ B.10,4a⎛⎫⎪⎝⎭C.10,16a-⎛⎫⎪⎝⎭ D.1,016a⎛⎫⎪⎝⎭2. 已知向量(),0,1a m=，()1,0,4b=-，且//a b，则实数m=（）A. 2-B. 4-C.12-D.14-3. 两平行直线3210x y-+=和6430x y--=间的距离是（）D.4. 双曲线()222210,0x ya ba b-=>>，则其渐近线方程为（）A.12y x=±B.2y x=±C. 4y x=± D. 8y x=±5. 过点()2,3P引圆222440x y x y+--+=的切线，其方程是（）A. 2x =B. 12590x y -+=C. 2x =或3y = D. 3x =或2y =6. 如图，已知四边形ABCD 、ABEF 都是正方形，若二面角D AB F --为60︒，则异面直线AC 与BF所成角的正切值为（）B.D. 7. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．如图，1F ，2F 为椭圆E ：()222210,0x y a b a b +=>>的左、右焦点，中心为原点，椭圆E，直线4x =上一点P 满足12F PF △是等腰三角形，且12120F F P ∠=︒，则E的离心率为（）C. 15D. 258. 已知直线与抛物线C ：28y x =交于A 、B 两点，F 为抛物线的焦点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥，直线AB 的倾斜角为ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，OD AB ⊥交AB 于点D ，若P 为拋物线上任意一点，则PF PD+的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D. 10二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 已知直线l20y +=，则下列说法正确的有（）A. l的一个方向向量为(1,k =B. l1+=C. 若l 与直线()40R x ay a -+=∈互相垂直，则a =D. 点()1,0-到l 的距离为110. 已知曲线C ：221mx ny +=，则（）A. 若0m n =>，则C 是圆 B. 若0m n >>，则C 是椭圆C. 若0mn <，则C 是双曲线 D. 若0m =，0n >，则C 是两条射线11. 如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且1DAB DAA ∠=∠=160BAA ∠=︒，则（）A.1AC BD ⊥B. 1BD =C. BD ⊥平面1ACC D. 直线1BD 与AC12. 椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>的右焦点(),0F c ，抛物线2C ：24y cx =，1C ，2C 交于点P ，过F 作x 轴垂线交1C 于A 、B ，交2C 于C 、D ，下列结论正确的是（）A .若AB CD>，则1C11e <<B .若AB CD<，则1C11e -<<C. 若43CD AB =，则1C 离心率12e =D. 若5PF =，则()225a c a c +=+三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 双曲线22221124x y m m -=+-的焦点坐标是______．14. 已知空间向量()1,,2a n = ，()2,1,2b =- ．若a b+ 与b垂直，则a =r ______．15. 已知圆1C ：222440x y x y +---=和圆2C ：22441616310x y x y +--+=，则这两个圆的位置关系为______．16. 中国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为“鳖臑”，若三棱锥-P ABC 为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，3PA =，2AC BC ==，则结论正确的序号是______．（填写序号即可）①BC⊥平面PAB ；②直线PA 与平PBC③二面角A PB C --④三棱锥-P ABC 外接球的表面积为17π四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知点()2,4A ，()4,2B ，直线l 的方程为：210x y -+=．（1）求直线l 关于点A 对称的直线m 的方程；（2）求经过,A B 两点，且圆心在直线l 上的圆的标准方程．18. 已知圆P 在x 轴上截得线段长为4，在y轴上截得线段长为（1）求圆心P 的轨迹方程；（2）若P 点到直线y x =，求圆P 的标准方程．19. 如图，在棱长为1的正方体OABC O A B C ''''-中，E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =．（1）求证：A F C E ''⊥；（2）当三棱推B BEF '-的体积取得最大值时，求平面B EF '与平面BEF 的夹角的正弦值．20. 已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>经过点(，其中一条渐近线为30y -=，O 为坐标原点．（1）求C 的标准方程；（2）过C 的右焦点F ，且在y 轴上的截距为2-的直线l ，交C 于P ，Q 两点，求OP OQ ⋅的值．21. 已知点F 为抛物线C ：()220y px p =>的焦点，过F 且垂直于x 轴的直线截C 所得线段长为4．（1）求p 的值；（2）M 为抛物线C 的准线上任意一点，过点M 作MA ，MB 与C 相切，A ，B 为切点，则直线AB 是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，说明理由．22. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的右顶点到左焦点(),0F c -的距离与左焦点F 到直线2a x c =-的距离相等，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 过点F ，且与坐标轴不垂直，与椭圆C 相交于P ，H 两点，线段PH 的垂直平分线与x 轴交于点B ．①当76BF =时，求直线l 的倾斜角的正弦值；②求证：4PH BF．数学试题答案本试卷共4页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 抛物线()20y ax a =<的焦点坐标是（）A. 1,04a ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 10,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 10,16a -⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.1,016a ⎛⎫⎪⎝⎭【正确答案】B【分析】得到抛物线的标准方程，进而得到焦点坐标.【详解】a<0，则抛物线2y ax =的标准方程为：21x y a =，焦点坐标在y 轴上，焦点坐标为10,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：B ．2. 已知向量(),0,1a m =，()1,0,4b =-，且//a b，则实数m =（）A. 2-B. 4- C. 12-D. 14-【正确答案】D【分析】根据空间向量共线定理计算即可.【详解】因为//a b，所以存在唯一实数λ，使得a b λ= ，则0014mλλ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得1414mλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故选：D．3. 两平行直线3210x y-+=和6430x y--=间的距离是（）D. 【正确答案】C【分析】根据平行线间距离公式进行求解即可.【详解】将直线6430x y--=化为33202x y--=，所以两平行直线3210x y-+=和6430x y--=间的距离为：d．故选：C．4. 双曲线()222210,0x ya ba b-=>>，则其渐近线方程为（）A.12y x=±B.2y x=±C. 4y x=± D. 8y x=±【正确答案】B【分析】根据双曲线的离心率可求得ba的值，由此可得出双曲线的渐近线方程.【详解】cea==2222221514b c aea a-∴==-=-=，2ba∴=，渐近线方程为by xa=±，∴渐近线方程为2y x=±．故选：B．5. 过点()2,3P 引圆222440x y x y +--+=的切线，其方程是（）A. 2x = B. 12590x y -+=C. 2x =或3y = D. 3x =或2y =【正确答案】C【分析】求出圆心和半径，考虑切线的斜率不存在和存在两种情况，结合圆心到直线距离等于半径，得到方程，求出答案.【详解】根据题意，圆222440x y x y +--+=，即()()22121x y -+-=，其圆心为()1,2，半径1r =；过点()2,3P 引圆222440x y x y +--+=的切线，若切线的斜率不存在，切线的方程为2x =，符合题意；若切线的斜率存在，设其斜率为k ，则有()32y k x -=-，即320kx y k -+-=，1=，解得0k =，此时切线的方程为()302y x -=-，即3y =．综上：切线的方程为2x =和3y =．故选：C ．6. 如图，已知四边形ABCD 、ABEF 都是正方形，若二面角D AB F --为60︒，则异面直线AC 与BF所成角的正切值为（）B.D. 【正确答案】C【分析】根据题意，由条件可得60EBC ∠=︒，结合空间向量的运算，可得AC BF ⋅，再由空间向量的夹角公式，代入计算，即可得到结果.【详解】根据题意可知，EBC ∠即为二面角D AB F --的平面角，所以60EBC ∠=︒，设正方形边长为1，异面直线AC 与BF 所成的角为θ，AC AB BC =+ ，BF BE EF =+ ，EF BA AB ==-，B A F C ==所以()()()()AC BF AB BC BE EF AB BC BE AB⋅=+⋅+=+⋅- ，即()210111cos 6002AC BF AB BE AB BC BE BC AB ⋅=⋅-+⋅-⋅=+-+⨯⨯︒-=-，所以1cos ,4AC BF AC BF AC BF⋅===- ，即1cos cos ,4F AC B θ==，sin θ=，所以tan 14θ==．故选：C ．7. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．如图，1F ，2F 为椭圆E ：()222210,0x y a b a b +=>>的左、右焦点，中心为原点，椭圆E，直线4x =上一点P 满足12F PF △是等腰三角形，且12120F F P ∠=︒，则E的离心率为（）C. 15D. 25【正确答案】B【分析】根据题意，由条件可得12F PF △是以12120F F P ∠=︒为顶角的等腰三角形，列出关于,,a b c 的方程，再由离心率的计算公式，即可得到结果.πab =，即ab =12F PF △是以12120F F P ∠=︒为顶角的等腰三角形，则有：122F F PF =，122130PF F F PF ∠=∠=︒，230F PA ∠=︒，所以()2222482PF AF c c ==-=-，又因为122FF c =，即282c c =-，2c =，可得：2222ab c a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，解得21a c b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，故离心率为c e a ==．故选：B ．8. 已知直线与抛物线C ：28y x =交于A 、B 两点，F 为抛物线的焦点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥，直线AB 的倾斜角为ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，OD AB ⊥交AB 于点D ，若P 为拋物线上任意一点，则PF PD+的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D. 10【正确答案】C【分析】设出直线AB 的方程与抛物线方程联立，根据一元二次方程的判别式和根的系数关系、抛物线的定义逐一判断即可.【详解】由题意，可设直线AB 的方程为：x my n =+，()0n ≠，()11,A x y ，()22,B x y ，则：28x my n y x =+⎧⎨=⎩，消x 可得：2880y my n --=，由0∆>得220m n +>，则128y y m +=，128y y n ⋅=-，又OA OB ⊥，所以2121280OA OB x x y y n n ⋅=+=-= ，解得0n =（舍）或8n =，所以直线AB 的方程为：8x my =+，过定点()8,0T ，又OD AB ⊥，故点D 在以OT 为直径的圆上，故点D 的轨迹方程为()22416x y -+=，(48,40)x y ≤≤-≤≤，又点D 和点T 在直线AB 上，且AB 的倾斜角为ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即直线AB 的斜率[)1,DT k ∈+∞，故48D x ≤≤，40D y -≤≤，如下图弧所示，过P ，D 分别作准线2x =-的垂线，垂足分别为H ，I ，根据抛物线的定义知：PF PD PH PD ID+=+≥，当点P 为ID 与抛物线的交点时取等号，又2D ID x =+，当D x 取最小值4时，此时ID 取得最小值6，故PF PD+的最小值为6．故选：C关键点睛：本题的关键是利用抛物线的定义和一元二次方程根与系数的关系.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 已知直线l 20y +=，则下列说法正确的有（）A. l 的一个方向向量为(1,k =B. l 1+=C. 若l 与直线()40R x ay a -+=∈互相垂直，则a =D. 点()1,0-到l 的距离为1【正确答案】AD【分析】由直线一般方程写出一个方向向量及截距式判断A 、B ；由垂直关系的判定列方程求参判断C ；应用点线距离公式求距离判断D.【详解】由直线方程知：l 的一个方向向量为(1,k =，A 对；2y +=-1=，B 错；l 与直线()40R x ay a -+=∈11()0a +⨯-=，可得a =C 错；点()1,0-到l1=，D 对.故选：AD10. 已知曲线C ：221mx ny +=，则（）A. 若0m n =>，则C 是圆 B. 若0m n >>，则C 是椭圆C. 若0mn <，则C 是双曲线 D. 若0m =，0n >，则C 是两条射线【正确答案】ABC【分析】根据圆、椭圆、双曲线、射线的方程特征逐一判断即可.【详解】A 选项，当0m n =>时，222211mx ny x y n +=⇒+=，表示圆，A 选项正确；B 选项，当0m n >>时，22221111x y mx ny m n +=⇒+=11,0m n <<，方程表示焦点在y 轴上的椭圆，B 选项正确；C 选项，当0mn <时，22221111x y mx ny m n +=⇒+=，表示双曲线，C 选项正确；D 选项，当0m =，0n >时，22211mx ny y y n +=⇒=⇒==±表示两条直线，D 选项错误．故选：ABC ．11. 如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且1DAB DAA ∠=∠=160BAA ∠=︒，则（）A.1AC BD⊥B.1BD =C. BD ⊥平面1ACC D. 直线1BD 与AC所成角的正弦值为【正确答案】AC【分析】利用空间向量基本定理，结合空间向量数量积的运算性质和定义、空间向量夹角公式逐一判断即可.【详解】以{}1,,AB AD AA 为空间一组基底，11AC AB AD AA =++，()()111,BD AD AB AC BD AB AD AA AD AB AB AD AD AD AA AD=-⋅=++⋅-=⋅+⋅+⋅ 2211111111111111102222AB AB AD AB AA AB -⋅-⋅-⋅=⨯⨯++⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯= ，所以1AC BD⊥，A 选项正确；111A BD D AB AD AA AB =-=+-，所以()2222211111222BD AD AA ABAD AA AB AD AA AA AB AD AB=+-=+++⋅-⋅-⋅ 2221111112112112112222=+++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，所以1BD =B 选项错误；依题意可知，四边形ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥，且1BD AC ⊥，由于1AC AC A = ，1AC ，AC ⊂平面1ACC ，所以BD ⊥平面1ACC ，C 选项正确；设直线1BD 与AC 所成角为θ，π02θ<≤，11,AC AB AD BD AD AA AB =+=+- ，22221()21211132AC AB AD AB AB AD AD =+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=，AC =()11()AC BD AB AD AD AA AB⋅=+⋅+- 11AB AD AB AA AB AB AD AD AD AA AD AB=⋅+⋅-⋅+⋅+⋅-⋅ 221111111111111112222=⨯⨯+⨯⨯-++⨯⨯-⨯⨯=，所以11cos AC BD AC BD θ⋅===⋅，sin θ==D 选项错误．故选：AC ．关键点睛：本题的关键是利用空间向量基本定理、空间向量夹角公式.12. 椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>的右焦点(),0F c ，抛物线2C ：24y cx =，1C ，2C 交于点P ，过F 作x 轴垂线交1C 于A 、B ，交2C 于C 、D ，下列结论正确的是（）A .若AB CD>，则1C11e <<B. 若AB CD<，则1C11e -<<C. 若43CD AB =，则1C 离心率12e =D. 若5PF =，则()225a c a c +=+【正确答案】BCD【分析】利用代入法，结合抛物线和椭圆的定义和它们的离心率公式逐一判断即可.【详解】把x c =代入22221x y a b +=中，得2b y a =±，所以22b AB a =，把x c =代入24y cx =中，得2y c =±，所以4CD c =，A ：222224,2,b c b ac a c a >∴>∴->22,12,01ac e e e ∴->∴<<-，故A 错误；B ：同理可得B 正确；C ：22424,233b c b ac a =⨯∴= ，()()222123,213,2a c ac e e e ∴-=∴-=∴=，故C 正确；D ：设(,),||5,5,P x y PF x c x =∴+=∴= 25,4(5)c y c c -=⨯-，亦可知点P 到椭圆左焦点的距离为25a -，222(25)()(5a x c y c -=++=-+2)4(5)c c c +⨯-，整理得225()a c a c +=+，故D 正确．故选：BCD．关键点睛：本题的关键是利用代入法求出弦长表达式.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 双曲线22221124x y m m -=+-的焦点坐标是______．【正确答案】()4,0±【分析】求出2212a m =+，224b m =-，得到4c =，求出焦点坐标.【详解】因为2120m +>恒成立，故2212a m =+，224b m =-，所以22216c a b =+=，所以4c =，故焦点坐标为()4,0±．故()4,0±．14. 已知空间向量()1,,2a n =，()2,1,2b =-．若a b + 与b 垂直，则a =r ______．【正确答案】【分析】根据空间向量加法的坐标表示公式、垂直的坐标表示公式、空间向量模的坐标表示公式进行求解即可.【详解】()1,,2a n =，()2,1,2b =-，()1,1,4a b n ∴+=-+．a b + 与b垂直，()a b b ∴+⋅= ，2180n ∴+++=，解得11n =-，()1,11,2a ∴=- ，a ∴==故．15. 已知圆1C ：222440x y x y +---=和圆2C ：22441616310x y x y +--+=，则这两个圆的位置关系为______．【正确答案】内含【分析】根据圆心距和两圆半径的关系即可判断两圆的位置关系.【详解】因为圆1C ：()()22129x y -+-=，圆2C ：()()221224x y -+-=，所以圆心距121d C C ===，而两圆半径之差132-512=>，故两个圆内含．故内含16. 中国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为“鳖臑”，若三棱锥-P ABC 为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，3PA =，2AC BC ==，则结论正确的序号是______．（填写序号即可）①BC⊥平面PAB ；②直线PA 与平PBC③二面角A PB C --④三棱锥-P ABC 外接球的表面积为17π【正确答案】③④【分析】该几何体可以看成是长方体中截出来的三棱锥-P ABC ，建立直角坐标系，结合空间向量的数量积和向量的夹角公式，以及球的截面圆的性质和球的表面积公式，即可求解.【详解】该几何体可以看成是长方体中截出来的三棱锥-P ABC ，建立如图所示的直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()0,0,3P ，可得()2,0,0CB =，()2,2,3BP =--，因为40CB BP ⋅=-≠ ，所以CB 与BP不垂直，BC 与平面PAB 不垂直，所以①错误；设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =r，则202230n CB x n BP x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=--+=⎪⎩,令3y =，得平面PBC 的一个法向量为()0,3,2n = ，又由()0,0,3AP =，设PA 与平面PBC 所成角为θ，所以sin cos ,AP θ===n ，所以②错误；设平面PAB 的法向量为()111,,m x y z =r，且()0,0,3AP = ，()2,2,0AB = ，则11130220m AP z m AB x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令11x =，得平面PAB 的一个法向量为()1,1,0m =-r，可得cos ,m ，由图可知二面角A PB C --为锐角，所以二面角A PB C --，所以③正确；长方体的体对角线为三棱锥-P ABC 外接球的直径，可得2R PB ===所以，球的表面积为24π17πS R ==，所以④正确．故③④．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知点()2,4A ，()4,2B ，直线l 的方程为：210x y -+=．（1）求直线l 关于点A 对称的直线m 的方程；（2）求经过,A B 两点，且圆心在直线l 上的圆的标准方程．【正确答案】（1）2110x y -+=（2）()()221110x y -+-=【分析】（1）设直线m 上任意一点(),P x y 关于点(2,4)A 的对称点为()00,Q x y ，得到0048x xy y =-⎧⎨=-⎩，代入即可求解；（2）设圆心()21,C b b -，根据CA CB=，求得1b =，得到圆心和半径，即可求得圆C 的标准方程.【小问1详解】解：设直线m 上任意一点(),P x y 关于点(2,4)A 的对称点为()00,Q x y ，则0048x x y y =-⎧⎨=-⎩，因为00210x y -+=，所以()42810x y ---+=，整理得2110x y -+=，即直线m 的方程2110x y -+=．【小问2详解】解：设圆心()21,C b b -，由CA CB=，则=1b =，所以圆心为()1,1C ，半径r CA ==，所以圆C 的标准方程为()()221110x y -+-=．18. 已知圆P 在x 轴上截得线段长为4，在y 轴上截得线段长为（1）求圆心P 的轨迹方程；（2）若P 点到直线y x =，求圆P 的标准方程．【正确答案】（1）228y x -=（2）()()221313x y +++=或()()221313x y -+-=【分析】（1）由弦长，半径，圆心到弦的距离之间的关系可知224r y =+，224r y =+，消去2r 即可得到圆心P 的轨迹方程；（2）设()00,P x y ，由点到直线的距离公式得002x y -=，与228y x -=联立即可求出圆心P 与半径r ，即可求出圆P 的标准方程.【小问1详解】设(),P x y ，圆P 的半径为r ，因为圆P 在x 轴上截得的线段长为4，点P 到x 轴的距离为y，所以有2222r y =+，即224r y =+,同理有2212r x =+,即22412y x +=+，即228y x -=故P 点的轨迹方程为228y x -=．【小问2详解】设()00,P x y，所以002x y -=．又()00,P x y 点在双曲线228y x -=上，所以00220028x y y x ⎧-=⎨-=⎩，解得：0013x y =-⎧⎨=-⎩或0013x y =⎧⎨=⎩此时圆的半径2201211213r x =+=+=，故圆P 的方程为()()221313x y +++=或()()221313x y -+-=．19. 如图，在棱长为1的正方体OABC O A B C ''''-中，E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =．（1）求证：A F C E ''⊥；（2）当三棱推B BEF '-的体积取得最大值时，求平面B EF '与平面BEF 的夹角的正弦值．【正确答案】（1）证明见解析（2【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标表示公式进行运算证明即可；（2）利用空间向量夹角公式，结合三棱锥的体积公式进行求解即可.【小问1详解】CO 、CB 、CC '两两垂直，∴以C 为原点，CO 、CB 、CC '为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()0,1,0B ，()1,1,0A ，()1,0,0O ，()0,0,1C '，()0,1,1B '，()1,1,1A '，()1,0,1O '，由于AE BF =，设CF a =，则()0,,0F a ，其中01a ≤≤，则(),1,0E a ，所以()1,1,1A F a '=---，(),1,1C E a '=-，则110A F C E a a '⋅=-+-+='，故A F C E ''⊥．【小问2详解】要使三棱锥B BEF '-的体积取得最大值，只要BEF △的面积最大即可，由题意知()22111111112222228BEFS BE BF a a a a a ⎛⎫=⋅=-=-+=--+ ⎪⎝⎭ ，当12a =时，即E ，F 分别为AB ，BC 中点时BEF △的面积最大，则10,,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,1,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设平面B EF '的法向量为(),,n x y z =r ，又11,,022EF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，1,0,12EB '⎛⎫=-⎪⎝⎭，则110022110022y x x y EF n z x EB n x z ⎧⎧=---=⎧⎪⎪⋅=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=⋅=⎪⎪⎪-+=⎩'⎪⎪⎩⎩ ，令2x =得()2,2,1n =-，又正方体OABC O A B C ''''-中CC '⊥平面BEF ，所以()0,0,1CC '=为平面BEF 的一个法向量，所以11cos ,313n CC n CC CC n '⋅==⨯''=⋅，则sin ,n CC ==' ，所以平面B EF '与平面BEF．20. 已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>经过点(，其中一条渐近线为30y -=，O 为坐标原点．（1）求C 的标准方程；（2）过C 的右焦点F ，且在y 轴上的截距为2-的直线l ，交C 于P ，Q 两点，求OP OQ ⋅的值．【正确答案】（1）2213x y -=（2）7【分析】（1）根据渐近线方程以及点的坐标得到关于,a b 的方程组，由此求解出22,a b 即可知C 的标准方程；（2）根据条件先求出l 的方程，然后联立l 与双曲线的方程得到对应坐标的韦达定理形式，再将OP OQ ⋅表示为坐标形式即可求解出结果.【小问1详解】因为双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为b y x a =±，所以b a =又因为点(在双曲线上，所以22921a b -=②，①②联立解得223,1a b ==，所以双曲线C 的方程为2213x y -=．【小问2详解】由（1）可知双曲线C 中2224c a b =+=，所以右焦点F 坐标为()2,0，即直线l 的横截距为2，又因为直线l 在y 轴上的截距为2-，所以直线l 的方程为()122x y +=-，即2y x =-，联立22132x y y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩得2212150x x -+=，设()()1122,,,P x y Q x y ，则1212156,2x x x x +==，所以1212OP OQ x x y y ⋅=+()()121222x x x x =+--()12122247x x x x =-++=．21. 已知点F 为抛物线C ：()220y px p =>的焦点，过F 且垂直于x 轴的直线截C 所得线段长为4．（1）求p 的值；（2）M 为抛物线C 的准线上任意一点，过点M 作MA ，MB 与C 相切，A ，B 为切点，则直线AB 是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，说明理由．【正确答案】（1）2p =（2）直线AB 恒过定点()1,0，理由见解析【分析】（1）求出焦点坐标，将2px =代入抛物线方程，得到y p =±，故24p =，求出答案；（2）设直线MA 的方程为()11y k x x y =-+，与24y x =联立，根据Δ0=求出12k y =，()112yy x x =+，同理可得()222yy x x =+，又点()1,M a -在,MA MB ，得到直线AB 的方程为220x ay --=，求出定点坐标.【小问1详解】由题意知，,02pF⎛⎫⎪⎝⎭，将2px=代入抛物线方程得，2222py p p=⋅=，故y p=±，故过F且垂直于x轴的直线截C所得线段长为2p，由24p=可知2p=；【小问2详解】直线AB恒过定点，定点坐标为()1,0，理由如下：设()()() 1122,,,,1,A x yB x y M a-，由题意可知直线,MA MB的斜率均存在，且不为0，120,0y y≠≠，设直线MA的方程为()11y k x x y=-+，与24y x=联立得()211440ky y y kx-+-=，由于直线MA为切线．故()11Δ16160k y kx=--=，又2114y x=，则2211440k y ky-+=，解得12ky=，所以直线()1112:MA y x x yy=-+，即()112yy x x=+，同理直线MB的方程为()222yy x x=+，又点()1,M a-在,MA MB上，所以()()11222121ay xay x⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩，从而直线AB的方程为：()21ay x=-+，即220x ay--=，故直线AB恒过定点() 1,0．圆锥曲线中探究性问题解题策略：（1）先假设存在或结论成立，然后引进未知数，参数并建立有关未知数，参数的等量关系，若能求出相应的量，则表示存在或结论成立，否则表示不存在或结论不成立；（2）在假设存在或结论成立的前提下，利用特殊情况作出猜想，然后加以验证也可.22. 已知椭圆C：()222210x ya ba b+=>>的右顶点到左焦点(),0F c-的距离与左焦点F到直线2axc=-的距离相等，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为3．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l过点F，且与坐标轴不垂直，与椭圆C相交于P，H两点，线段PH的垂直平分线与x轴交于点B．①当76BF=时，求直线l的倾斜角的正弦值；②求证：4PH BF=．【正确答案】（1）221 43x y+=（2；②证明见解析【分析】（1）根据题意，列出关于,,a b c的方程组，求得,,a b c的值，即可求解；（2）设直线l的方程为()1y k x=+，()()1122,,,P x y H x y，且线段PH的中点为M，联立方程组，得到221212228412,3434k kx x x xk k--+==++，求得22243,3434k kMk k⎛⎫-⎪++⎝⎭，得到线段PH的垂直平分线方程，求得22,034kBk⎛⎫-⎪+⎝⎭，①当67BF=时，列出方程求得1k=±，进而求得直线l的倾斜角的正弦值；②利用弦长公式，分别求得PH和BF的表达式，即可求解.【小问1详解】解：因为椭圆C的右顶点到左焦点(),0F c-的距离与左焦点F到直线2axc=-的距离相等，且过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为3，可得()2222223a a c c c ba b a c⎧⎛⎫--=---⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎨=⎪⎪=-⎪⎩，解得2,1a b c ===，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．【小问2详解】解：因为直线l 过点()1,0F -，且与坐标轴不垂直，所以设直线l 的方程为()()10y k x k =+≠，()()1122,,,P x y H x y ，且线段PH 的中点为M ，联立方程组()221143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，整理得()22223484120k x k x k +++-=，则Δ0>，所以221212228412,3434k k x x x x k k --+==++，所以线段PH 的中点22243,3434k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，所以线段PH 的垂直平分线方程为2223143434k k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭，令0y =，可得2234k x k -=+，即22,034k B k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，①当67BF =时，则2261347k k -=+，解得1k =±，故倾斜角为π4或3π4，所以直线l的倾斜角的正弦值为π3πsinsin 44==．②证明：因为()22212134k PH x k +=-==+，且22223313434k k BF k k +=-=++，所以4PH BF =．知识方法总结：对于直线与圆锥曲线问题的求解策略：1、求解直线与圆锥曲线交点问题，一般转化为研究直线方程与圆锥曲线方程组，得到一元二次方程，结合根与系数的关系，进而进行求解；2、参数范围问题，①通常利用圆锥曲线的几何性质或联立方程组，转化为方程或利用判别式构造不等关系，从而确定参数的值或取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解答的核心是建立两个参数之间的等量关系，结合题设中的不等关系建立不等式，从而求得参数的取值范围；③转化为函数，结合函数的值域将待求参数表达为其他变量的函数，求得函数的值域，从而确定参数的取值范围.。